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Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
Ecuación diferencial de Bessel:
€
R αρ( ) = cn αρ( )n+s
n= 0
∞
∑ s = ±m R αρ( ) = C1Jn αρ( ) +C2Nn αρ( )
€
Jm αρ( ) =αρ2
$
% &
'
( ) m −1( )k
k! m + k( )!αρ2
$
% &
'
( ) 2k
k= 0
∞
∑
Constantes de Separación:
€
φ ϕ( ) = Ameimϕ
m=1
∞
∑ m = ±1,±2,…
€
Z z( ) =
Beαz + Ce−αz α ∈ ℜ
Bcosαz + C sinαz α ∈ ℑ
Fenómeno no depende de z α = 0
'
( )
* )
Solución de la Ecuación Diferencial:
€
ddρ
ρdRdρ
#
$ %
&
' ( + α 2ρ −
m2
ρ
#
$ %
&
' ( R = 0
Primera Solución de la Ecuación Diferencial:
LMG Fac Ciencias-UNAM
€
1. J−m x( ) = −1( )m Jm x( )2. Jm−1 x( ) + Jm +1 x( ) =
2x
Jm x( )3. Jm−1 x( ) − Jm +1 x( ) = 2 # J m x( )4. Jm−1 x( ) =
mx
Jm x( ) + # J m x( )
5. Jm +1 x( ) =mx
Jm x( ) − # J m x( )
6. xmJm−1 x( )dx∫ = xmJm x( ) + C7. x−mJm +1 x( )dx∫ = −x−mJm x( ) + C
Propiedades:
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) LMG Fac Ciencias-UNAM
€
Jm γm, j ρ a( )Jm γm,k ρ a( )ρdρ0
a
∫ = 12 a
2 Jm+1 γm,k( )( )[ ]2δ j,k
γm, j jth raíz de Jm γm, j ρ a( )
Ortogonalidad:
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
J0(x) J1(x) J2(x) J3(x)
€
x =γm,kaρ
x
Jm(x)
LMG Fac Ciencias-UNAM
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
1 2.4048 3.8317 5.1356 2 5.5201 7.0156 8.4172 3 8.6537 10.1735 11.6198 4 11.7915 13.3237 14.7960 5 14.9309 16.4706 17.9598
m=0
m=1
m=2
j 0 m 2 1 Jm(x)
LMG Fac Ciencias-UNAM
Expansión en funciones Bessel:
€
f ρ( ) = cm, jJm γm, j ρ a( )j=1
∞
∑
€
cm, j =2
a2 Jm+1 γm, j( )[ ]2 f ρ( )Jm γm, j ρ a( )ρdρ0
a
∫€
f ρ( ),Jm γm,k ρ a( ) = cm, j Jm γm, j ρ a( ),Jm γm,k ρ a( )j=1
∞
∑
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) LMG Fac Ciencias-UNAM
€
J0γ 01aρ
$
% &
'
( )
€
J0γ 04aρ
$
% &
'
( ) €
J0γ 03aρ
$
% &
'
( )
€
J0γ 02aρ
$
% &
'
( )
1 2.4048 3.8317 5.1356 2 5.5201 7.0156 8.4172 3 8.6537 10.1735 11.6198 4 11.7915 13.3237 14.7960 5 14.9309 16.4706 17.9598
j 0 m 2 1
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) LMG Fac Ciencias-UNAM
€
cm, j =2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr0
a
∫ m = 3
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
Sea f r( ) = r3 0 < r < aEjemplo
LMG Fac Ciencias-UNAM
€
cm, j =2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr0
a
∫ m = 3
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
c3, j =2a3
α3, jJ4 α3, j( )
€
Sea f r( ) = r3 0 < r < aEjemplo
LMG Fac Ciencias-UNAM
€
cm, j =2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr0
a
∫ m = 3
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
c3, j =2a3
α3, jJ4 α3, j( )
€
r3 = c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( ) + c3,3J3 α3,3 r a( ) +…
€
Sea f r( ) = r3 0 < r < aEjemplo
LMG Fac Ciencias-UNAM
€
cm, j =2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr0
a
∫ m = 3
€
Sea f r( ) = r3 0 < r < aEjemplo
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
c3, j =2a3
α3, jJ4 α3, j( )
€
r3 = c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( ) + c3,3J3 α3,3 r a( ) +…
α3,j c3,j J4(α3,jr/a)
6.3802 395.93 0.2983
9.7610 -309.48 -0.2494
13.0152 265.22 0.2183
16.2235 -236.43 -0.1964
19.4094 0.1801 215.6
LMG Fac Ciencias-UNAM
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
r3 = c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( ) + c3,3J3 α3,3 r a( ) +…
a
LMG Fac Ciencias-UNAM
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
cm, j =2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr−a
a
∫
=2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr
−a
0
∫ + r4Jm αm, j r a( )dr0
a
∫%
& '
(
) *
=2
a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 −1( )m r4Jm αm, j r a( )dr
−a
0
∫ + r4Jm αm, j r a( )dr0
a
∫%
& '
(
) *
€
Sea f r( ) = r3 −a < r < aEjemplo
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
c3, j =2a3
α3, jJ4 α3, j( )LMG Fac Ciencias-UNAM
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
€
r3 =…+ c3,2J3 α3,2 r a( ) + c3,1J3 α3,1 r a( )r<0
+ c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( )
r>0
+…
=…− c3,2J3 α3,2 r a( ) − c3,1J3 α3,1 r a( )r<0
+ c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( )
r>0
+…
a -a
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π π π π π π π π
€
f ρ( ) =12 π − ρ( ) 0 < ρ < 2πf ρ + 2π( ) otro caso
% & '
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) LMG Fac Ciencias-UNAM
π π π π π π π π
€
f ρ( ) =12 π − ρ( ) 0 < ρ < 2πf ρ + 2π( ) otro caso
% & '
a0 = 0, an = 0, bn =1n
f ρ( ) ≅sin nρ( )
nn=1
∞
∑
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
Fourier
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π π π π π π π π
€
f ρ( ) =12 π − ρ( ) 0 < ρ < 2πf ρ + 2π( ) otro caso
% & '
f ρ( ) = Cm, j Jmγmj2π
ρ!
"#
$
%&
j=1
∞
∑
f ρ( ) ≅ πγ0 j J1 γ0 j( )j=1
∞
∑ J0γ0 j2π
ρ!
"#
$
%&−
2πγ1 j J2 γ1 j( )j=1
∞
∑ J1γ1 j2π
ρ!
"#
$
%&
a0 = 0, an = 0, bn =1n
f ρ( ) ≅sin nρ( )
nn=1
∞
∑
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
Fourier
Bessel
LMG Fac Ciencias-UNAM
f ρ( ) ≈sin nρ( )
nn=1
100
∑
€
f ρ( ) ≅ πγ 0 jJ1 γ 0 j( )j=1
100
∑ J0γ 0 j2π
ρ'
( )
*
+ , −
2πγ1 jJ2 γ1 j( )j=1
100
∑ J1γ1 j2π
ρ'
( )
*
+ ,
Fourier
Bessel
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) LMG Fac Ciencias-UNAM
g t, x( ) = ex2t−1t
"
#$
%
&'= tnJn x( )
n=−∞
∞
∑Función Generadora:
Teorema de la Adición:
€
Jm x + y( ) = Jm−n x( )Jn y( )n=−∞
∞
∑
Ecuación Integral de Bessel:
€
Jm x( ) =1π
cos x sinϑ −mϑ( )dϑ0
π
∫
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Segunda Solución Linealmente Independiente: Función Neumman
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
)()()( 0201 xYcxJcxy +=
( )
( ) !"
#$%
& −+(
)
*+,
- +=
−=
∑
∑∞
=
+
∞
=
m
mm
mm
mm
mm
xmHxJxxY
mxxJ
2
122
1
00
022
2
0
!2)1()(
2ln2)(
,!2
)1()(
γπ
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Segunda Solución Linealmente Independiente: Función Neumman
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
∞→#$
%&'
( −##$
%&&'
(≅
∞→#$
%&'
( −##$
%&&'
(≅
xxx
xY
xxx
xJ
as,4
sin2
)(
as,4
cos2
)(
2/1
0
2/1
0
ππ
ππ
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Segunda Solución Linealmente Independiente: Función Neumman
Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)
( )[ ] 0,)(2ln)(2)( 121 >−+−= xxJxyxY γπ
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