ecuaciones diferenciales ordinaria (parte ii)

8/13/2019 Ecuaciones Diferenciales Ordinaria (Parte II)

1/317

CAPTULO

4Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.1 Conceptos bsicos

En este captulo trataremos sobre el procedimiento que debemos llevar a cabo para obtener la solucingeneral de la ED lineal no homognea de ordenn:

an.x/y.n/ C an1.x/y

.n1/ C C a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/y DQ.x/:

Con este objetivo realizaremos un estudio detallado sobre la forma de resolver a la ED lineal no homognea

de segundo orden:a2.x/y

00 C a1.x/y0 C a0.x/y DQ.x/

y para esto trataremos primero con la ED lineal homognea de segundo orden:

a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/y D0:

As, una vez obtenida la solucin general de la homognea, resolveremos la no homognea.

Una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden es de la forma:

a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/y D0: (4.1)

Es decir, los coeficientes de yas como de sus dos derivadas dependen slo de x (o son constantes) y

los exponentes dey y sus derivadas son 1.La parte izquierda de la ecuacin diferencial esun operadorLque asocia funciones a funciones, es decir,Les una funcin de funciones:

LW F ! F ;

dondeF es el conjunto de funciones reales de variable real que son derivables a cualquier orden.

Lse define como sigue:L.y/ D a2.x/y

00 C a1.x/y0 C a0.x/y:

1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1


2/317

2 Ecuaciones diferenciales

Unasolucinde la ecuacin diferencial (4.1) es una funcinf .x/2 Fque cumple:

Lf.x/D 0:

Es decir, al sustituir f.x/y sus derivadas correspondientes en la ecuacin diferencial, se satisface a laED.

Resolverla ecuacin diferencial (4.1) significa encontrar todas sus soluciones.

Ejemplo 4.1.1 La siguiente es una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden:

x2y 00 C 2xy 0 6yD 0:

En este caso

L.y/ D x 2y 00 C 2xy 0 6y:

1. Sif .x/D x , calcularLf.x/.

2. Sig.x/D x 2, calcularLg.x/.

H

1. Siy D f .x/D x , calcularL.x/.

(Sabemos en este caso quey 0 D1 & y 00 D0.)

L.y/ D Lf .x/D L.x/D x 2.0/ C 2x.1/ 6x D 2x 6x D 4x :

Por consiguiente, la funciny D xno es solucin de la ecuacin diferencialL.y/ D 0:

2. Siy D g.x/D x 2, calcularL.x2/.

(Sabemos en este caso quey 0 D2x &y 00 D2.)

L.y/ D Lg.x/D L.x2

/D x2

.2/ C 2x.2x/ 6x2

D2x2

C 4x2

6x2

D0:

Este ltimo resultado nos dice que la funciny D x 2 es solucin de la ecuacin diferencialL.y/ D 0:

El operadorLtiene las siguientes propiedades:

Si y es solucin de L.y/ D 0, entoncesy D cy tambin es solucin; donde c 2 R es una constantearbitraria.

H Comoyes solucin de L.y/ D 0, entonces:

L.y/ D a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/yD0:

Aplicando el operadorL.y/a la funcin y Dcy , se tiene que

L.y/D L.cy/D a2.x/.cy/00 C a1.x/.cy/

0 C a0.x/.cy/D

Da2.x/ cy00 C a1.x/ cy

0 C a0.x/ cy D

Dc

a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/y

L.y/D0

D

Dc L.y/ D c 0D 0:

Por lo tantoy Dcy es solucin.


3/317

4.1 Conceptos bsicos 3

Siy1 & y2son soluciones de L.y/ D 0, entoncesy1C y2tambin es solucin.

H Comoy1 &y2son solucines deL.y/ D 0, entonces:

L.y1/D a2.x/y00

1 C a1.x/y0

1C a0.x/y1 D 0:

L.y2/D a2.x/y00

2 C a1.x/y0

2C a0.x/y2 D 0:

Al usar enL.y/la funciny D y1C y2, se obtiene:

L.y1C y2/D a2.x/.y1C y2/00 C a1.x/.y1C y2/

0 C a0.x/.y1C y2/D

Da2.x/y00

1 C y00

2 C a1.x/y0

1C y0

2 C a0.x/y1C y2D

D a2.x/y00

1 C a1.x/y0

1C a0.x/y1

L.y1/D0

Ca2.x/y00

2 C a1.x/y0

2C a0.x/y2

L.y2/D0

D

DL.y1/ C L.y2/D 0 C 0D 0:

Por lo tantoy1C y2es solucin.

Podemos resumir las propiedades anteriores como sigue:

SiL.y/D 0y sices una constante, entoncesL.cy/D cL.y/ D 0. SiL.y1/D 0y siL.y2/D 0, entoncesL.y1C y2/D L.y1/ C L.y2/D 0.

Tomando en cuenta lo anterior se cumple lo siguiente:

SiL.y1/D 0y siL.y2/D 0, entoncesL.c1y1C c2y2/D 0, dondec1 & c2son constantes arbitrarias.

H En efecto, siL.y1/D 0y siL.y2/D 0, entonces:

L.c1y1C c2y2/D L.c1y1/ C L.c2y2/D c1L.y1/ C c2L.y2/D c1 0 C c2 0D 0 C 0D 0:

Ejemplo 4.1.2 Sea la ecuacin diferencial

L.y/ D y00

C 2y0

C y D 0:

Comprobar quey1 D ex,y2 D x e

x &y D c1ex C c2xex son soluciones de la ED L.y/ D 0.

H Primero comprobamos quey1 D ex es solucin:

y1 D ex ) y 01 D e

x ) y 001 Dex:

Entonces:

L.y1/D L.ex /D ex 2ex C ex D0:

De igual forma, paray2 D x ex:

y2 D x e

x

) y

0

2 D e

x

xe

x

) y

00

2 D 2e

x

C xe

x

:

Entonces:

L.y2/D L.xex/D 2ex C xex C 2.ex xex/ C xex D0:

Finalmente, paray D c1ex C c2xex se tiene:

L.y/D L.c1y1C c2y2/D c1L.ex / C c2L.xe

x /D c1.0/ C c2.0/D 0:

Por lo cual,y D c1ex C c2xex es tambin solucin de la ED.


4/317


4.1.1 Combinaciones lineales

Dadas dos funcionesy1 2 F &y2 2 F, se dice que la funcin

y D c1y1C c2y2; dondec12 R &c22 R son constantes arbitrarias;

esuna combinacin linealde las funcionesy1 &y2.

Ntese que en el ejemplo4.1.2vimos que las funciones y1 D ex, y2 D xex & y D c1ex C c2xex sonsoluciones de

L.y/ D y 00 C 2y 0 C y D 0:

Entonces, por la definicin anterior, se puede afirmar que toda combinacin lineal de las funciones y1 Dex

&y2 D x ex tambin es solucin de L.y/D 0.

Definimos a larecta generada por una funcin f 2 F, como el conjuntoRfde todas las combina-ciones lineales de esa funcin, que en este caso es el conjunto de todos los mltiplos de la funcin:

Rf D

cf

c 2 R

F :

Una representacin de este concepto:

0

f

cf c > 0

0

f

cf c < 0

Estamos dando una representacin en analoga con los vectores.

Ejemplo 4.1.3 La recta generada por la funcinf .x/D x 2 es

Rx2 D

cx 2

c 2 R

:

H As las funcionesg.x/D 5x 2 & h.x/D 2

7x2 pertenecen a estarecta.

Dos funcionesf &gsoncolinealescuando pertenecen a una misma recta. Esto es, cuando una es unmltiplo de la otra.

Definimosal plano generado por dos funciones no colineales y1 D f .x/& y2 D g.x/ como el conjuntof;gde todas las combinaciones lineales de las funciones:

f;g D

c1f C c2g

c1; c22 R

F:

Podemos visualizar este plano como sigue:


5/317

4.1 Conceptos bsicos 5

f

c1f

gc2g

c1fC c2g

Ejemplo 4.1.4 El plano generado por las funcionesy1 D x2 & y2 D sen xes

x2 ;sen x D

c1x

2 C c2sen x c1; c2 2 R

:

H As la funcing.x/D x2 C 7 sen xest en este plano, tomando c1 D 1 & c2 D 7.Igualmente la funcini.x/D 30x 2 9 sen xest en el plano, tomandoc1 D 30 &c2D 9.

Teorema 4.1 de Existencia y Unicidad

Dado el siguiente PVI:

a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/y D0; cony.x0/D y0 y con y0.x0/D y1: (4.2)

Si suponemos quea2.x/ 0,a1.x/ & a0.x/son funciones continuas en un intervalo Iy six0 2 I, entonces el PVItiene una solucin nicay.x/parax 2 I.

4.1.2 Solucin de un problema con condiciones iniciales

Suponiendo que podemos encontrar dos solucionesy1 & y2no colineales de la ED lineal homognea:

a2.x/y00 C a1.x/y

0 C a0.x/y D0

y que generamos con estas dos soluciones el plano:

y1;y2 D

c1y1C c2y2

c1; c22 R

;

queremos saber bajo qu condiciones la solucin del PVI (4.2) es una funcin que est en este plano. Esdecir, cundo la solucin, que se menciona que existe y es nica, es de la forma:

y Dc1y1C c2y2:

y1

c1y1

y2c2y2

c1y1 C c2y2


6/317


Para que esto suceda, dicha solucin debe cumplir las condiciones iniciales. Puesto que:

y 0 Dc1y0

1C c2y0

2:

De las condiciones iniciales:

y.x0/D c1y1.x0/ C c2y2.x0/D y0Iy 0.x0/ D c1y

01.x0/ C c2y

02.x0/D y1:

(4.3)

Por lo tanto, para que la solucin del PVI (4.2) exista en el plano mencionado, deben existir las constantesc1 & c2que satisfagan el sistema (4.3). ste es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitasc1yc2. Sabemosque un sistema de este tipo tiene solucin nica si su determinante es diferente de cero. En este caso, eldeterminante del sistema es y1.x0/ y2.x0/y 01.x0/ y 02.x0/

:En consecuencia, para resolver el PVI (4.2), se tienen que encontrar dos solucionesy1 &y2que satisfagan:

y1.x0/ y2.x0/

y 01.x0/ y0

2.x0/

0:

4.1.3 El wronskiano

Dadas dos funcionesy1 2 F &y2 2 F, se define elwronskianode estas funciones como sigue:

W .y1; y2/D

y1.x/ y2.x/y 01.x/ y 02.x/ :

Ejemplo 4.1.5 Calcular el wronskiano de las funcionesy1 D cos x & y2 D sen x.

H

W .cos x; sen x/ D cos x sen x.cos x/ 0 .sen x/ 0

D cos x sen x sen x cos x

Dcos 2xC sen 2x D1:

Con esta nueva definicin, podemos afirmar: Para resolver el PVI, basta con encontrar dos soluciones y1 & y2 de la ecuacin diferencial lineal

homognea cuyo wronskiano sea diferente de cero. El conjunto de todas las soluciones es entoncesel plano generado por estas funciones. La solucin del PVI es un elemento (un vector) de este plano.Por esto, denominamos solucin general de la ED a la combinacin lineal:

y D c1y1C c2y2:

Un conjunto de funciones f y1; y2 gque cumple con la condicin anterior se llama unconjunto funda-mental de soluciones.

Es decir, un conjunto f y1; y2 g ser un conjunto fundamental de soluciones si:

1. Cadayies solucin de la ED.

2. y1 & y2no son colineales.

Ejemplo 4.1.6 Encontrar la solucin general de la ED:

y 00 C y D 0:

H Es fcil ver que las funciones y1 D cos x & y2 D sen x son soluciones de la ED. Por el ejemplo4.1.5estas funciones tienen wronskiano no nulo. Por lo tanto la solucin general de la ED es

y D c1cosxC c2sen x:


7/317


8/317

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Si derivamosy2dos veces, hallamos:

y2 D uy1:

y 02 D uy0

1Cu0y1:

y 002 Duy00

1 C2u0y 01Cu

00y1:

Sustituyendo en la EDy 002 Cpy02C qy2 D0, obtenemos:

uy 001 C2u0y 01Cu

00y1

y 002

C puy 01Cpu0y1

py 02

Cqy1u

qy2

D0:

Reagrupamos en trminos deu,u 0,u 00 y as resulta:

u .y 001 Cpy0

1Cqy1/

L.y1/D 0

Cy1u00 C2y 01u

0 Cpy1u0 D0 ) y1u

00 C2y 01u0 Cpy1u

0 D0:

Si hacemos el cambio de variable w D u 0, se tieneu 00 Dw 0, por lo que la ED se reduce a otra de orden uno,

concretamente: y1w 0 C2y 01wCpy1w D 0 ) y1dw

dx C2y 01wCpy1wD 0:

Si escribimos ahora la ecuacin en forma diferencial, hallaremos:

y1dw C2y0

1wd xCpy1wd x D 0:

Esta ltima expresin es una ED que puede resolverse mediante separacin de variables. En efecto, multi-

plicando por 1

wy1, tenemos:

dw

wC2

y 01y1

dx Cpdx D 0:

Integrando, encontramos:

dw

wC2

y 01

y1dx C

pdx DC ) ln wC2 ln y1C

pdx D C:

Aplicando propiedades de logaritmos encontramos:

ln.y21w/ C

pdx DC ) ln.y21w/ D C

pdx:

Si ahora aplicamos la funcin exponencial,

y21w D eC

Rpdx DeCe

Rpdx DC e

Rpdx :

As,

w D du

dx DC

eRpdx

y21) uD C

e

Rpdx

y21dx CK:

De esta manera, cualesquiera de las funciones u 0que resulten de esta frmula ser de utilidad paraconstruir una segunda soluciny2 D uy1. Como

W .y1; y2/D

y1 y2y 01 y 02 D

y1 uy1y 01 uy 01Cu 0y1 Duy1y 01Cu 0y21 uy1y 01 Du 0y21 D

DCe

Rpdx

y21

.y21 /D C e

Rpdx 0;


9/317

4.2 Reduccin de orden 3

resulta que f y1; y2ges un conjunto fundamental de soluciones. Tomamos el caso ms sencillo para lafuncinu, esto esC D1yKD0;utoma la forma de

uD

e

Rpdx

y21dx :

En resumen, tenemos el siguiente resultado:. Dada la ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden

y 00 Cp.x/y 0 Cq.x/y D0 (4.1)

y una solucin no nula y1, entonces:

1. La funciny2 Duy1, donde

uD

e

Rpdx

y21dx ;

es tambin solucin y, adems,f y1; y2 gconforma un conjunto fundamental de soluciones de laecuacin diferencial.

2. La solucin general de la ED (4.1) est dada por:

y D c1y1Cc2y2:

Ejemplo 4.2.1 Consideremos la ED lineal homognea de segundo ordenx2y 00 C2xy 0 6yD 0.

1. Verificar quey1 D x2 es una solucin de la ED.

2. Encontrar una segunda solucin y2de la ecuacin.

3. Escribir la solucin general de la ecuacin.

H

1. En primer lugar calculamos la primera y segunda derivada dey1:

y1 D x2 ) y 01 D 2x & y

00

1 D2 :

Si sustituimos en la ecuacin diferencial:

x2 .2/

y 001

C2x .2x/

y 01

6 .x2/

y1

D0 ) 6x2 6x2 D0;

concluimos quey1es una solucin de la ecuacin diferencial.

2. Usamos ahora el resultado anterior. Determinamosu.

Primero necesitamos normalizar la ecuacin para lo cual dividimos entrex2. Obtenemos:

y 00 C 2

xy 0

6

x2y D 0:

Usamos la frmula del resultado anterior con p D 2

x& y1 D x2; encontramos:

uD

e

R 2xdx

.x2/2 dx D

e2 lnx

x4 dx D

eln.x

2/

x4 dx D

x2

x4 dx D

x6dx D

1

5x5:

Por lo tanto,y2 D uy1 D 1

5x5 x2 D

1

5x3.


10/317


3. La solucin general es

y Dc1y1Cc2y2 D c1x2 Cc2

1

5x3

D c1x

2 Cc2x3:

Ejemplo 4.2.2 Utilizando el mtodo de reduccin de orden, calcular una segunda solucin de la ED dada y escribirsu solucin general.

x2y 00 C2xy 0 2y D 0; y1.x/ D x :

H Vamos a usar dos procedimientos.

1. Procedimiento 1: uso de la frmula.

Primero, normalizamos la ED; para ello, dividimos entrex2:

y 00 C 2

xy 0

2

x2y D 0:

Usamos ahora la frmula de esta seccin con p D 2

x& y1D x ; encontramos:

uD

e

R 2xdx

x2 dx D

e2 lnx

x2 dx D

eln.x

2/

x2 dx D

x2

x2 dx D

x4 dx D

1

3x3:

Por lo tanto,

y2 D uy1 D 1

3x3x D

1

3x2:

As, la solucin general de la ED es

y D c1y1C c2y2 Dc1xCc2

1

3

x2

:

O bieny Dc1xCc2x

2:

2. Procedimiento 2: sustitucin de y2 D u.x/y1.x/.

Siy2 D ux, entonces:y 02 D u

0xC u & y 002 Du00xC2u 0:

Sustituimos en la ED para garantizar que y2 D uy1sea solucin:

x2y 002 C2xy0

22y2 D 0:

Se debe cumplir:

x2.u 00xC2u 0/C2x.u 0xCu/2.ux/D 0 )

) x3u 00 C2x2u 0 C 2x2u 0 C2xu2xuD 0 )

) x3u 00 C4x2u 0 D0:

Dividiendo entrex3:

u 00 C 4

xu 0 D0: (4.2)


11/317


Siu0 Dw , entoncesu 00 D dw

dx. Sustituyendo en (4.2) se tiene que

dw

dxC

4

xw D 0 )

d w

dxD

4

xw )

dw

wD 4

dx

x)

) dw

w D 4 dx

x ) ln w D 4 ln xCC1 ))ln wDln x4 Cln C1 D ln.C1x4/ ) w D C1x4:

Pero

w D u 0 Ddu

dx )

du

dx DC1x

4 ) uD C1

x4 dx D C1

x3

3 C C2 )

)uD C1

3x3 CC2 ) uD C1x

3 C C2:

Si tomamosC1 D 1 &C2 D 0, obtenemos queu D x3.

Peroy2.x/ D ux, por lo tanto:

y2.x/ D x3

x D x2

) y2.x/ D x2

:

Por lo tanto, la solucin general de la EDx2y 00 C2xy 0 2y D 0, es

y Dc1y1Cc2y2 ) y D c1xCc2x2:

Ejemplo 4.2.3 Utilizando el mtodo de reduccin de orden, calcular una segunda solucin de la ED proporcionada yescribir su solucin general.

x2y 00 C3xy 0 Cy D 0; y1.x/ D x1:

H Siy2.x/ D u.x/y1.x/, entonces:

y2 D ux1I

y 02 D u0x1 ux2I

y 002 Du00x1 2u 0x2 C 2ux3:

Sustituyendo en la EDx2y 002 C 3xy02C y2 D 0, se obtiene:

x2.u 00x1 2u 0x2 C2ux3/C3x.u 0x1 ux2/Cux1 D0 )

)u 00x2u 0 C2ux1 C3u 0 3ux1 Cux1 D0 )

)u 00xCu 0 D0:

Dividiendo entrexpara normalizar la ED:

u 00 C 1

x u0 D0: (4.3)

Siu 0 Dw , entoncesu 00 D dw

dx; sustituyendo en (4.3) se tiene que

dw

dx C

1

xwD 0 )

d w

w D

dx

x )

)

dw

w D

dx

x ) ln w D ln xCC1 D ln x1 Cln C1 Dln.C1x1/ )

)w D C1x1:


12/317


Perow D u 0 D du

dx, por lo que

du

dxDC1x

1 ) uD C1

x1 dx D C1

dx

x) uD C1ln xCC2:

Si tomamos, por ejemplo, C1 D 1 y C2 D 0, hallamos que u D ln x. Ya que y2.x/ D ux1

, entoncesy2 D

ln xx

.

Por lo tanto, la solucin general de la ED:

y D c1x1 Cc2x

1 ln x:

Ejemplo 4.2.4 Utilizando el mtodo de reduccin de orden, calcular una segunda solucin de la ED dada y escribirsu solucin general.

.2xC1/y 00 C4xy 0 4yD 0; y1.x/ D e2x:


y2 D ue2xI

y 02 D u0e2x 2ue2x D.u 0 2u/e2xI

y 002 Du00e2x 4u 0e2x C4ue2x D.u 00 4u 0 C4u/e2x:

Sustituyendo en.2xC1/y 002 C4xy

0

24y2 D 0;

se obtiene.2xC1/.u 00 4u 0 C4u/e2x C4x.u 0 2u/e2x 4ue2x D0:

Multiplicando pore2x se tiene que

.2xC1/.u 00 4u 0 C4u/ C4x.u 0 2u/4u D 0 )

).2xC1/u 00 C.8x4C4x/u 0 C.8xC48x4/uD 0 )

).2xC1/u 00 C.4x 4/u 0 D0:

Dividiendo entre.2xC1/para normalizar:

u 00 4xC4

2xC1u 0 D0: (4.4)


dx. Sustituyendo en (4.4):

dw

dx

4 xC4

2xC1w D 0 )

dw

w D

4x C 4

2xC1d x )

)

dww

D

2C 22xC1

d x )

)ln wD 2x Cln.2xC 1/CC1 )

)w D e2xeln.2xC1/eC1 De2x.2xC1/C1 )

)w D C1.2xC1/e2x; perow D

du

dx )

)uD C1

.2xC 1/e2x dx :

t D2x C1 ) dt D2 dx I

dv De2x dx ) v D1

2e2x:


13/317


Aplicando integracin por partes:

uD C1

1

2.2xC1/e2x

e2x dx

) uD C1xe

2x CC2:

TomandoC1 D 1 &C2 D 0, hallamos quey2.x/ D ue2x Dx e2x e2x Dx . Por lo tanto, la solucin general

de la ED esy D c1y1Cc2y2 D c1e

2x Cc2x:

Ejemplo 4.2.5 Utilizando el mtodo de reduccin de orden, calcular una segunda solucin de la ED conocida yescribir su solucin general.

x2y 00 Cxy 0 C

x2

1

4

y D 0; y1.x/ D x

12sen x:


y2 D ux12sen xI

y 02 D u0x12sen xCu

x

12cos x 1

2x

32sen x

I

y 002 Du00x

12sen xC2u 0

x

12cos x

1

2x

32sen x

C u

x

12sen x x

32cos xC

3

4x

52sen x

:

Sustituyendo enx2y 002 Cxy02C

x2

1

4

y2 D0, se obtiene, despus de algunas operaciones:

u 00x32sen xC2u 0x

32cos x D0:

De donde, dividiendo entre x32 :

u 00 sen xC2u 0 cos x D 0: (4.5)


dx. Sustituyendo en (4.5) se tiene que

dw

dxsen xC2wcosx D 0 )

dw

dxsen x D 2wcosx )

dw

w D 2

cos xsen x

dx )

)

dw

w D 2

cos xsen x

d x )

) ln wD 2 ln.sen x/CC1 D ln.sen x/2 Cln C1 D ln

C1.sen x/2

)

) wD C1.sen x/2:

Perow D u 0 D du

dx, por lo tanto:

du

dxDC1

1

sen 2xDC1csc2 x )uD C1

csc2 x dxD C1. cot x/CC2 )

)uD C1cot xCC2 ) uD C1cot xCC2:

Si se tomaC1 D 1&C2 D 0, obtenemosuDcot x, con lo que:

y2 Dux12sen x D .cot x/x

12sen x D

cos xsen x

x

12

sen x )

) y2 Dx12cos x:


14/317


Por lo tanto la solucin general de la ED

x2y 00 Cxy 0 C

x2

1

4

y D0;

est dada por

y.x/D c1y1.x/Cc2y2.x/ D c1x12sen xCc2x

12cos x )

) y.x/D x12 .c1sen xCc2cos x/:

Ejercicios 4.2.1 Reduccin de orden.Soluciones en la pgina 9Obtener la solucin general de la ED conocida, considerando quey1es una solucin de ella.

1. 2y 00 C 3y 0 2y D 0I y1 D e2x. .

2. 4y 00 12y 0 C9y D 0I y1 D e3x

2. .

3. y 00 C4yD 0I y1 D sen 2x. .

4. y 00 C6y 0 C9yD0I y1 D e3x. .

5. y 00 C4y 0 C13yD 0I y1 De2x cos 3x. .

6. 9y 00 4yD 0I y1 D e2x

3. .

7. x2y 00 6xy 0 C10yD 0I y1 D x2. .

8. x2y 00 xy 0 3yD 0I y1 D 1

x. .

9. x2y 00 C8xy 0 C12y D 0I y1 D x3. .

10. x2y 00 Cxy 0 C8y D 0I y1 D x4. .

11. .1x/y 00 Cxy 0 y D0I y1 D x . .

12. xy 00 C2y 0 Cxy D 0I y1 Dsen x

x . .

13. x2.ln x 1/y 00 xy 0 Cy D 0I y1D x . .

14. xy 00 C.x 1/y 0 y D0I y1 D ex. .

15. xy 00 .2xC1/y 0 C.xC1/y D0I y1 D ex. .


15/317


Ejercicios 4.2.1 Reduccin de orden.Pgina 8

1. y D c1e2x Cc2ex2.

2. y D .c1Cc2x/e3x2 .

3. y D c1sen2xCc2cos 2x.

4. y D .c1Cc2x/e3x .

5. y D e2x.c1cos3xCc2sen3x/.

6. y D c1e23x Cc2e

23x.

7. y D c1x2 Cc2x5.

8. y D c1

x Cc2x

3.

9. y D c1

x3 C

c2

x4.

10. y D c1x4 C c2

x2.

11. y D c1xC c2ex .

12. y D1

x.c1senxCc2cosx/.

13. y D c1xC c2lnx.

14. y D c1ex Cc2.x 1/.

15. y D ex.c1Cc2x2/.


16/317

1

Reduccin de orden.

Obtener la solucin general de la ED conocida, considerando quey1es una solucin de ella.

1. 2y 00 C 3y 0 2y D 0I y1 D e2x.

11

2. 4y 00 12y 0 C 9y D 0I y1 D e3x

2 .

12

3. y 00 C 4yD 0I y1 D sen 2x.

13

4. y 00 C 6y 0 C 9y D 0I y1 D e3x.

14

5. y 00 C 4y 0 C 13yD 0I y1 D e2x cos 3x.

15

6. 9y 00 4y D 0I y1 D e2x

3 .

16

7. x2y 00 6xy 0 C 10yD 0I y1 D x2.

17

8. x2y 00 xy 0 3yD 0I y1 D1

x.

18

9. x2y 00 C 8xy 0 C 12y D 0I y1 D x3.

19

10. x2y 00 C xy 0 C 8y D 0I y1 D x4.

20

11. .1 x/y 00 C xy 0 y D 0I y1 D x.

21


d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d


17/317

12. xy 00 C 2y 0 C xy D 0I y1 Dsenx

x.

22

13. x2

.ln x 1/y00

xy0

C y D 0I y1 D x.

23

14. xy 00 C .x 1/y 0 y D 0I y1 D ex.

24

15. xy 00 .2xC 1/y 0 C .x C 1/y D 0I y1 D ex.

25

d

d

d

d


18/317

CAPTULO


4.3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

En esta seccin presentaremos un mtodo general para resolverED lineales de ordenncuya forma es

an.x/y.n/ C C a1.x/y

0 C a0.x/yDg.x/: (4.1)

Estas ecuaciones se caracterizan por las dos propiedades siguientes:

1. La variable dependiente y

as como sus derivadas tienen exponente igual a1

, o bien0

, exclusiva-mente.

2. Los coeficientesan. x / ; : : : ; a1.x/; a0.x/y la funcing.x/son funciones que slo dependen dex, o sonconstantes. Es decir, no dependen de la variable dependiente y.

Cabe mencionar que no existen mtodos,ni generales ni sencillos que permitan resolver ecuaciones diferen-ciales no lineales de orden n. Qu hace la diferencia?; la respuesta es simple: poder usar o no el bagaje dellgebra lineal. sta es una rama muy til de las matemticasdonde encontramos las definiciones, conceptosy resultados que nos permitirn resolver el problema general. As, nuestro estudio pasar obligadamentepor algunas de las ideas ms importantes de este tema que se presentan a continuacin.

4.3.1 Espacio vectorial

Un espaciovectorial consta de un conjunto V, cuyos elementos denotados porEvse llamanvectores, y de dosoperaciones: adicin vectorial y multiplicacin por escalar, que satisfacen a un conjunto de axiomas. Noentraremos en el detalle de todos ellos porque, para nosotros, dos axiomas importantes son los siguientes:

1. Existe un vector en V al que se le llamavector ceroy se escribe como E0tal que EvCE0 D Evpara todoEv2 V.

2. Dados los vectores Eu; Ev2 Vy los escalares; 2 R, entonces Eu C Ev2 V.

A esto se le llamacerradurabajo la adicin y multiplicacin por escalares.


1


19/317


Los vectores a los que nos hemos referido, as como las operaciones de adicin y multiplicacin por escalarpueden ser muy diversos, sin embargo, nos limitaremos a los casos habituales en nuestro tratamiento.

Ejemplo 4.3.1 Si V D R2 D

.a; b/ a; b2 R y si definimos las operaciones de adicin y multiplicacin por

escalar de la siguiente manera:

.a1

; b1

/ C .a2

; b2

/D .a1

C a2

; b1

C b2

/ y

.a; b/D .a; b/;

obtenemos queV, junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial.

Ejemplo 4.3.2 SiV D

.a; b/ a2 R; b 0 y si adoptamos las operaciones del ejemplo(4.3.1), entoncesVno es

un espacio vectorial.

H En efecto, si tomamos EvD .1; 2/2 Vy el escalar D 2, por ejemplo, resulta que EvD 2.1; 2/D.2; 4/ Vdebido a que la segunda componente del vector es negativa.

.1;2/2V

.2;4/V

x

y

Deseamos resaltar lo siguiente:

1. El concepto de espacio vectorial nos permite dotar a un conjunto con operaciones que producenresultados que nuevamente satisfacen a las condiciones que definen al conjunto.

2. Si Ves un espacio vectorial (con las operaciones de adicin y multiplicacin por escalar), alvector Eu C Evse le llamacombinacin lineal de los vectores Eu &Ev.

Ejemplo 4.3.3 El conjunto de las funciones derivables es un espacio vectorial.

4.3.2 Independencia lineal

Un vector contiene informacin. El concepto de independencia lineal nos dir en cierto sentido si un vectoraporta o no informacin adicional a la ya considerada por un conjunto de vectores. Precisamos:

Sea Vun espacio vectorial y sean Ev1; : : : ; Evn vectores del mismo. Diremos que estos vectores sonlinealmente independientessi

c1Ev1C c2Ev2C C cnEvn DE0 (4.2)

solamentese cumple cuandoc1D c2D DcnD 0.

En caso contrario diremos que el conjunto de vectores

Ev1; : : : ; Evn

eslinealmente dependiente.

Supongamos que el conjunto Ev1; : : : ; Evn es linealmente dependiente. Esto significa que la ecuacin (4.2)se cumple para al menos unci 0.Si suponemos quec1 0. Entonces, de (4.2), hallamos lo siguiente:

c1Ev1C c2Ev2C C cnEvnD E0 ) Ev1D c2

c1Ev2

cn

c1Evn:

Lo que significa que la informacin del vector Ev1se puede obtener de una combinacin lineal del resto delos vectores, en otras palabras: la informacin de Ev1no aporta informacin adicional a la que ya se conocapor medio del resto de vectores. Esto significa que podemos prescindir de este vector.Los conceptos de independencia y dependencia lineal tienen una interpretacin grfica interesante quepodemos visualizar en el espacio vectorial R2:


20/317

4.3 Ecuaciones diferenciales lineales de ordenn 3

x

y

Ev1

Ev2

Los vectores Ev1; Ev2son linealmente independientes.

x

y

Ev1

Ev2

Los vectores Ev1; Ev2son linealmente dependientes.

Ls ideas anteriores pueden y deben ser extendidas al espacio vectorial de las funciones. Esto lo usaremosen nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales. Concretamente:

Una coleccin de funcionesf1; : : : ; f ndefinidas en un intervaloJse dice que eslinealmente indepen-dientesi:

c1f1.x/ C c2f2.x/ C C cnfn.x/D 0, para todax 2 J ) c1D c2D Dcn D 0:

Si la combinacin lineal anterior se cumple para al menos un ci 0, diremos que la coleccin eslinealmente dependiente.

Para el caso particular de dos funciones, la definicin anterior equivale a lo siguiente:

f f1; f2 g es un conjuntolinealmente dependientede funciones, si y slo sif1.x/

f2.x/Dc , para todax 2 J

y alguna constantec .

Ejemplo 4.3.4 Las funciones f1.x/ D ex cos 2xI f2.x/ D ex sen 2xconforman un conjunto linealmente indepen-

diente de funciones.

H La razn es muy simple:

f1.x/

f2.x/D

ex cos 2xex sen 2x

Dcot 2x no es una constante.

Entonces:f1.x/

f2.x/c ; paracconstante.

Ejemplo 4.3.5 Determine si el conjunto f f1.x/Darcsen x; f2.x/Darccos x; f3.x/D 1 g es linealmente indepen-

diente o bien linealmente dependiente.

H Como arcsen xC arccos x D

2, entonces:

arcsen xD

2.1/ C .1/ arccos x ) f1.x/D

2f3.x/ C .1/f2.x/;

deducimos que la informacin de la funcin f1.x/ D arcsen x puede recuperarse (va una combinacinlineal) de las otras dos funcionesf2.x/ Darccos x&f3.x/D 1.En consecuencia, el conjunto f f1.x/Darcsen x; f2.x/Darccos x; f3.x/D 1 g es linealmente dependiente.


21/317


Sean f f1; f2 g soluciones de la ecuacin diferencial lineal de segundo orden

y 00 C a1.x/y0 C a0.x/yD0;

cona1.x/& a0.x/funciones continuas en un intervaloJ. Entonces, tenemos dos casos:

1. Sif1.x/ f 2.x/f 01.x/ f 02.x/ 0 para algn x 2 J, entonces el conjunto f f1.x/;f2.x/ g es linealmente

independiente.

2. Sif1.x/ f 2.x/f 01.x/ f 02.x/

D 0 para algn x 2 J, entonces el conjunto f f1.x/;f2.x/ g es linealmentedependiente.

H En efecto, puesto quef1&f2son soluciones de la ED, tenemos que

f 001 C a1.x/f 01 C a0.x/f1 D 0I

f 002 C a1.x/f 02 C a0.x/f2 D 0:

Si multiplicamos la primera de las ecuaciones anteriores por f2.x/, la segunda porf1.x/y restamosla primera de la segunda, hallamos:

f2f 001 C a1.x/f2f

01 C a0.x/f1f2D 0

f1f 002 C a1.x/f1f

02 C a0.x/f1f2D 0

) f1f

002 f2f

001 C a1.x/f1f

02 f2f

01 D 0: (4.3)

Deseamos resaltar la expresin f1f 02 f2f 01 . Su estudio se atribuye al matemtico polaco Hone

Wronski. Si la expresamos por medio deW.x/D W .f1; f2/.x/, observamos que

W .f1; f2/.x/D

f1.x/ f 2.x/f 01.x/ f 02.x/ Df1f 02 f2f 01 ;

y adems que

W 0 D d

dx.f1f

02 f2f

01 /D .f1f

002 C f

01f

02/ .f2f

001 C f

02 f

01/D f1f

002 f2f

001 :

Por lo que la ecuacin (4.3) se expresa como

W 0.x/ C a1.x/W.x/D 0;

que es un ED de variables separables:

d W

dx D a1.x/W )

d W

W D a1.x/dx:

Por lo tanto, al integrar:

lnW D a

1.x/dxC C;

deducimos queW De

Ra1.x/dxCC:

As obtenemos como solucin:W.x/D C e

Ra1.x/dx :

Y como la funcin exponencial nunca se anula, tenemos que

1. SiC 0, entoncesW.x/ 0, para todax 2 J.

2. SiC D0, entoncesW.x/D 0, para todax 2 J.


22/317


Ahora, si consideramos la combinacin lineal

c1f1C c2f2D 0 ) c1f 01 C c2f

02 D0;

tenemos el sistema

c1f1C c2f2 D 0

c1f

0

1 C c2f 0

2 D 0 (dondec1&c2son las incgnitas);deducimos que, en caso de queW.x/D

f1 f2f 01 f 02 0, para algunax 2 J, la solucin del sistema ser

nicamente la solucin trivialc1 D c2 D 0, de lo cual se desprende que el conjunto f f1.x/; f2.x/ geslinealmente independiente; mientras que, si W.x/ D 0, se puede garantizar una solucin no trivialparac1y parac2, por lo cual f f1.x/; f2.x/ gresultar un conjunto linealmente dependiente.

Ejemplo 4.3.6 Las funcionesf1.x/D x & f2.x/ D x2, conx 0, son soluciones de la ED lineal

x2y 00 2xy 0 C 2yI

adems son linealmente independientes.

H En efecto:

f1D x ) f 01 D1 ) f

001 D0:

f2D x2 ) f 02 D2x ) f

002 D2 :

Luego entonces:

x2f 001 2xf 01 C 2f1D x

2.0/ 2x.1/ C 2.x/D 0:

x2f 002 2xf 02 C 2f2D x

2.2/ 2x.2x/ C 2.x2/D 0:

Esto es,f1.x/D x & f2.x/D x2 son soluciones de la ED. Adems:

W .f1; f2/D

f1 f2f 01 f 02 Df1f 02 f 01f2D .x/.2x/ .1/.x2/D 2x2 x2 Dx2 0:

Por lo tanto,f1.x/ D x & f2.x/D x2 son soluciones linealmente independientes. La solucin general

de la ED es y D c1f1C c2f2D c1xC c2x2:

Ejemplo 4.3.7 Las funcionesf1.x/D 3x e2x & f2.x/ D 5xe2x, conx 0, son soluciones de la ED lineal

y 00 C 4y 0 C 4yD 0;

adems son linealmente dependientes.

H En efecto:

f1D 3x e2x ) f 01 D.6xC 3/e

2x ) f 001 D.12x 12/e2x:

f2D 5xe2x ) f 02 D.10x 5/e

2x ) f 002 D.20xC 20/e2x:

Luego entonces:

f 001 C 4f 01 C 4f1D .12x 12/ C 4.6xC 3/ C 4.3x/e

2x D.0/e2x D0:

f 002 C 4f 02 C 4f2D .20x C 20/ C 4.10x 5/ C 4.5x/e

2x D.0/e2x D0:

Adems:

W .f1; f2/D

f1 f2f 01 f 02 Df1f 02 f 01f2D .3xe2x/.10x 5/e2x .6xC 3/e2x.5xe2x/D

D.30x2 15x 30x2 C 15x/e4x D.0/e4x D0:

Por lo tanto, f1.x/D 3x e2x & f2.x/D 5xe2x son soluciones linealmente dependientes.


23/317


4.3.3 Bases de un espacio vectorial

Sean Ev1; : : : ; Evn,n vectores de un espacio vectorial V. Diremos que el conjunto

Ev1; : : : ; Evn

constituyeunabase del espacio vectorialsi se cumplen las siguientes condiciones:

1. El conjunto Ev1; : : : ; Evn es un conjunto linealmente independiente, en otras palabras, ningnvector del conjunto puede obtenerse de los dems vectores a travs de una combinacin lineal.

2. El conjunto

Ev1; : : : ; Evn

genera el espacio vectorial, es decir, todo vector Ewdel espacio vectorialpuede ser expresado mediante una combinacin lineal de los vectores Ev1; : : : ; Evn, es decir:

EwD c1Ev1C c2Ev2C C cnEvn, para cualquier Ew2 V:

Todas las bases del espacio vectorial Vtienen el mismo nmero de vectores. A este nmero comnse le conoce comodimensin del espacio vectorial. La dimensin del espacio vectorial que se estconsiderando esn.

Nosotros trabajaremos, de manera general, con espacios vectoriales que puedan ser descritos por slo unnmero finito de vectores, esto es, espacios vectoriales de dimensin finita.

Ejemplo 4.3.8 Consideremos el espacio vectorial V D R3 con las operaciones de adicin y multiplicacin por es-calar usuales. Examinar en cada caso si los vectores son linealmente independientes o bien linealmente dependientes.Decidir tambin si generan el espacio vectorial R3:

1. Ev1D .1; 0; 1/; Ev2D .0;1; 1/.

2. Ev1D .1; 0; 1/; Ev2D .0; 1; 1/; Ev3D .1; 1;0/ & Ev4 D .1;1; 1/.

3. Ev1D .1; 0; 1/; Ev2D .0; 1; 1/; Ev3D .1; 1;0/.

H

1. Los vectores Ev1 D .1; 0; 1/; Ev2 D .0;1; 1/son linealmente independientes (un argumento a favor de

nuestra afirmacin es que uno no es mltiplo del otro). Sin embargo, no generan el espacio vecto-rial R3. Por ejemplo, el vector Ew D .1;1;1/no puede ser escrito como una combinacin lineal deEv1& Ev2. En efecto, si wfuera una combinacin lineal de Ev1& Ev2, obtendramos:

Ew D c1Ev1C c2Ev2 ) .1;1;1/Dc1.1;0; 1/ C c2.0;1; 1/ )

) .1;1; 1/D.c1; 0 ; c1/ C .0; c2; c2/ ) .1;1; 1/D.c1; c2; c1 C c2/ )

) c1D 1; c2D 1; c1C c2D 1 ) 2D 1; imposible.

2. Los vectores Ev1 D .1; 0; 1/; Ev2D .0; 1; 1/; Ev3D .1;1; 0/ & Ev4 D .1;1; 1/no forman una base del espaciovectorial. En este caso,

Ev1; : : : ; Ev4

es un conjunto linealmente dependiente:

Ev4D 1

2Ev1C

1

2Ev2C

1

2Ev3:

3. Puede verificarse que los vectores Ev1 D .1; 0; 1/; Ev2 D .0; 1; 1/; Ev3 D .1;1;0/conforman una base delespacio vectorial R3, por lo que su dimensin es 3.

4.3.4 Ecuaciones diferenciales de ordenn

Aplicaremos los aspectos tericos anteriores a la discusin de nuestro inters principal: las ecuaciones dife-renciales lineales. Centraremos nuestra presentacin para ED de ordennD 2, no sin antes sealar que todo


24/317


25/317


para saber el nmero de funciones que se requieren para describirlo, es decir, escribir cualquier solucinde (4.7) mediante una combinacin lineal de algunas soluciones (suponiendo que el espacio resulta dedimensin finita).Sea Oyuna solucin de (4.7) que satisfaga las condiciones:

y.x0/D a & y 0.x0/D b: (4.8)

Sabemos ya que c1y1C c2y2 es solucin general de (4.7), pero nos preguntamos si podremos encontrarvalores nicos de las constantes c1&c2tales que la expresinc1y1C c2y2satisfaga las condiciones (4.8), esdecir, tales que

c1y1.x0/ C c2y2.x0/D aI

c1y01.x0/ C c2y

02.x0/D b:

Esto ser cierto siy1.x0/ y2.x0/y 01.x0/ y 02.x0/

D W .y1; y2/.x0/ 0. sta es precisamente la condicin para inde-pendencia lineal. Luego, concluimos que, si el conjuntof y1; y2 ges linealmente independiente, podremossatisfacer con la combinacin lineal c1y1C c2y2las condiciones (4.8). Como consecuencia del teorema deExistencia y Unicidad enunciado anteriormente, concluimos que

Oy D c1y1C c2y2:

Esto significa quef y1; y2 gconstituye una base del espacio de soluciones de la ecuacin diferencial lo quenos permitir expresar cualquier solucin en trminos dey1&y2.Resumimos nuestras ideas en el siguiente teorema.

SeaVel conjunto de todas las funciones que son solucin de la ecuacin diferencial:

y 00 C a1.x/y0 C a0.x/yD0:

1. EntoncesVes un espacio vectorial.

2. Siy1& y2son soluciones linealmente independientes, entonces f y1; y2 gconstituye una base deVpor lo cual todo elemento deV, es decir, cualquier solucin de la ecuacin diferencial puede

ser escrita como una combinacin lineal de y1&y2; en smbolos, para cualquier

y 2 V ) y D c1y1C c2y2:

3. La afirmacin anterior establece que la dimensin deV es2y quey D c1y1 C c2y2es la solucingeneral de la ED lineal homognea.

4. Al conjuntof y1; y2 gse le llamaconjunto fundamental de solucionesde la ecuacin diferenciallineal homognea.

Ejemplo 4.3.9 Verifique que las funciones y1 D ex cos 2x;y2 D ex sen 2x forman un conjunto fundamental desoluciones de la ecuacin diferencialy 002y 0C5yD 0. Despus forme la solucin general de la ED y, posteriormente,halle la solucin particular que satisface las condiciones iniciales y.0/D 0; y 0.0/D 1.

H En primer lugar verificaremos que y1& y2 son soluciones de la ecuacin diferencial; como la verifi-cacin es similar, slo probaremos nuestra afirmacin paray1. Tenemos:

y1 D ex cos 2x ) y 01D 2e

x sen 2xC ex cos 2x&y 001 D 3ex cos 2x 4ex sen 2x:

Sustituyendo en la ecuacin diferencial, hallamos:

3ex cos 2x 4ex sen 2x 22ex sen 2xC ex cos 2x C 5ex cos 2x D

D 3excos 2x 4exsen 2xC 4exsen 2x 2excos 2xC 5excos 2x D 0; para todox 2 R:

Esto demuestra quey1D ex cos 2xes solucin de la ED.


26/317


En segundo lugar, requerimos mostrar que el conjunto f y1; y2 g es un conjunto linealmente independiente.Para ello, tenemos dos estrategias, la primera consiste en determinar la naturaleza del cocientey1=y2:

y1

y2D

ex cos 2xex sen 2x

Dcot 2x c :

De esto se deduce quef y1; y2 ges un conjunto linealmente independiente y, en consecuencia, un conjuntofundamental de soluciones de la ecuacin diferencial.Sin embargo, con el propsito de ilustrar lo que discutimos sobre el wronskiano, mostraremos la indepen-dencia lineal de las funciones por medio de este concepto; para ello, consideramos:

W.x/D

y1 y2y 01 y 02 D

D

ex cos 2x ex sen 2x2ex sen 2xC ex cos 2x 2ex cos 2xC ex sen 2x :

Ahora bien, dado que y1& y2 son soluciones de la ED, su wronskiano se anula idnticamente o bien esdiferente de cero para todo x 2 R; en consecuencia, no requerimos hacer el clculo del anterior determi-nante para todox : bastar tomar un valor particular; por ejemplo, six D 0:

W.0/D

1 01 2 D2 0:

De este resultado concluimos que el conjunto de solucionesf y1; y2 ges linealmente independiente, y enconsecuencia podemos decir que ste es un conjunto fundamental de soluciones para la ED. As, con baseen lo discutido en la teora preliminar, la solucin general de la ED est expresada por:

y.x/D c1ex cos 2xC c2ex sen 2x:

Finalmente, para hallar la solucin particular consideramos las condiciones iniciales.En primer lugar tenemos:

y.0/D 0 ) c1e0

cos.0/ C c2e0

sen.0/D 0 ) c1D 0:

De esta forma, la solucin se reduce ay.x/D c2ex sen 2x. Ahora, dey 0.0/D 1deducimos que

y 0.x/ D c2 .2ex cos 2xC ex sen 2x/ & y 0.0/D 1 )

) 1D c2

2e0 cos 0 C e0 sen 0

D 2 c2 ) c2D 1

2:

Concluimos que la solucin buscada es y.x/D 1

2ex sen 2x.

Para cerrar esta seccin, discutiremos un resultado asociado al teorema anterior.

Suponiendo queypsea una solucin conocida de la ED lineal no homognea

y 00 C a1.x/y0 C a0.x/y Dq.x/; (4.9)

queysea cualquier solucin de (4.9) y que f y1; y2 gsea as mismo un conjunto fundamental de solu-ciones de la ED lineal homognea

y 00 C a1.x/y0 C a0.x/yD0;

se puede afirmar que cualquier solucin de la ED (4.9) puede ser escrita en la forma:

yD ypC c1y1C c2y2:


27/317


H Nuestra primera observacin es que y yp es una solucin de la ED homognea asociada; enefecto:

.y yp/00 C a1.x/.y yp/

0 C a0.x/.y yp/D

D.y 00 C a1.x/y0 C a0.x/y/ .y

00p C a1.x/y

0pC a0.x/yp/D

Dq.x/ q.x/D 0:

Ahora, ya quey ypes una solucin de la ED homognea asociada, sta puede ser escrita como unacombinacin lineal dey1 &y2, esto es:

y yp D c1y1C c2y2:

Es decir:yD c1y1C c2y2C yp:

En conclusin, toda solucin de (4.9) puede ser escrita como la suma de la solucin general de la EDhomognea asociada y una solucin conocida ypde (4.9). Denominamossolucin particularde (4.9)a la solucin conocidayp.

Ejercicios 4.3.1 Ecuaciones diferenciales lineales de ordenn.Soluciones en la pgina 12

1. Mostrar que tanto f y1D ex; y2D ex gcomo f y3Dsenh x; y4Dcosh x gson conjuntos fundamen-tales de soluciones para la ecuacin diferencialy 00 y D 0.

2. a. Verificar quey1D x2 & y2D x1 son soluciones de la ecuacin diferencial x2y 00 2yD 0.La combinacin linealy D c1y1C c2y2es solucin de la ecuacin?

b. Verificar quey1D 1&y2D x1

2 son soluciones de la ecuacin diferencialyy 00 C .y 0/2 D0.La combinacin linealy D c1y1C c2y2es solucin de la ecuacin (en general)?

c. Si hay alguna diferencia entrea.yb., en qu radica esta diferencia?

3. a. Seay1.x/una solucin de la ecuacin diferencial y 00 C p.x/y 0 C q.x/y Df .x/.Esy2.x/D cy1.x/solucin de la ecuacin diferencial?

b. SiVrepresenta el conjunto de todas las soluciones de la anterior ecuacin diferencial, es V unespacio vectorial?

4. Calcular el wronskiano de cada uno de los siguientes pares de funciones:

a. y1Dsen x& y2D cos x.

b. y1D e2x sen x& y2D e2x cos x.

c. y1Dsenh 3x& y2D 4.e3x e3x/.

d. y1D xsen 2x&y2Dsen 2x.

5. a. Extender la definicin de wronskiano para el caso de tres funciones.

b. Calcular el wronskiano de cada una de las siguientes ternas de funciones:

i. y1D ex; y2D x ex &y3D x2ex.ii. y1Dcos x; y2D sen x&y3D 1.

iii. y1Dcos xC sen x; y2Dcos x sen x& y3Dcos x.

En cada uno de los siguientes ejercicios, verificar que el conjunto dado es un conjunto fundamental de soluciones dela ecuacin proporcionada; despus encontrar la solucin particular que satisface las condiciones iniciales dadas.


28/317


6. y 00 C y 0 2yD 0I

y1D ex; y2D e2x

; cony.0/D 1; y 0.0/D 0.

7. y 00 C 4yD 0I f y1Dcos 2x;y2Dsen 2x g ; cony.0/D 1; y 0.0/D 4.

8. y 000 2y 00 C 5y 0 D0I f y1 D 1; y2D ex cos 2x;y3D ex sen 2x g ; cony.0/D 0; y 0.0/D 1; y 00.0/D 1.

9. x2y 00 C 2xy 0 6yD 0I y1D x2; y2D x3 ; con y.2/D 1; y 0.2/D 0.10. xy 00 C y 0 D0I f y1D 1; y2Dln x g ; cony.1/D 2; y 0.1/D 3.

11. Determinar la dependencia o independencia lineal de cada uno de los siguientes conjuntos de fun-ciones:

a. f ex; ex; 2 g.b. f arcsen x; arccos x; g.

c.

e4x; e4x; cosh 4x

.

d.

ex cos 2x;ex sen 2x;e4x

.

12. Suponga quey1sea una solucin no nula de la ecuaciny 00 C p.x/y 0 C q.x/y D0.

a. Verifique que, si y2 es una segunda solucin tal que f y1; y2 g sea linealmente independiente,

entonces ddx

y2

y1

D W .y

1 ; y2/

y21.

b. Verifique que y1 D x sea una solucin de x2y 00 C2xy 0 2y D 0; usea. para determinar lasolucin general de la ecuacin diferencial.

13. a. Muestre quey1D 3x2 1satisface a la ecuacin.1 x2/y 00 2xy 0 C 6yD 0y tiene un mnimoenx D 0.

b. Verifique ahora que cualquier otra solucin y2no podr tener mnimo en x D 0, sif y1; y2 geslinealmente independiente .

14. Demuestre que y D x3 es una solucin de yy 00 D 6x4, pero que, si c2 1, entonces y D cx3 no esuna solucin de la ecuacin diferencial. Por qu este hecho no contradice la teora discutida en estaseccin?

15. Compruebe quey1D 1& y2D x12 son soluciones deyy 00 C .y 0/2 D0, pero que la suma y D y1C y2

no es solucin. Por qu este hecho no contradice la teora discutida en esta seccin?

16. a. Determine si el conjunto de funciones

y1D sen x2; y2Dcos x2

es linealmente dependiente oindependiente.

b. CalculeW .y1; y2/.0/.

c. Existe una ecuacin de la forma y 00 Cp.x/y 0 Cq.x/y D 0(en la que p& q sean funcionescontinuas) tal quey1&y2sean soluciones de la ecuacin diferencial?

En los siguientes ejercicios se proporciona una ecuacin diferencial no homognea, una solucin particular, condicionesiniciales y un conjunto fundamental de soluciones para la ecuacin diferencial homognea asociada. En cada casoencuentre la solucin particular del PVI.

17. y 00 C y D 3x I yp D3x ;cony.0/D 2; y 0.0/D 2I f cos x; sen x g.

18. y 00 2y 0 3yD 6I ypD 2; cony.0/D 3; y 0.0/D 11I

ex; e3x

.

19. y 00 4yD senh xI ypD 1

3senh x; cony.0/D 0; y 0.0/D 1I

e2x; e2x

.


29/317


Ejercicios 4.3.1 Ecuaciones diferenciales lineales de ordenn.Pgina 10

1. Demostrar.

2. a. S;

b. no;

c. en la linealidad; la ED en a: es lineal, en b:nolo es.

3. No, para ambas preguntas.

4. a. 1;

b. e4x ;

c. 0;

d. sen22x.

5. a. W.y1; y2; y3/.x/D

y1 y2 y3y 01 y

02 y

03

y 001 y002 y

003

.

b. i. 2e3x ;

ii. 1;iii. 0.

6. yD 2

3ex C

1

3e2x .

7. yD cos 2xC 2 sen2x.

8. yD 1

53 C 3ex cos 2xC ex sen2x.

9. yD 3

20x2 C

16

5x3 .

10. yD 2 C 3 ln x.

11. a. Linealmente independiente.

b. Linealmente dependiente.

c. Linealmente dependiente.

d. Linealmente independiente.

12. a. Verificar.

b. yD c1xC c2x2.

13. a. Demostrar.

b. Verificar.

14. Porque la ED no es lineal.

15. Porque la ED no es lineal.

16. a. El conjunto es linealmente independiente;

b. W.y1; y2/D 0;

c. no.

17. yD 2 cos x 5 sen xC 3x.

18. yD ex C 4e3x 2.

19. yD 2

3senh 2x

1

3senh x.


30/317

1

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

1. Mostrar que tanto f y1 D ex; y2 D ex g como f y3 D senh x; y4 D cosh x g son conjuntos funda-

mentales de soluciones para la ecuacin diferencial y00

y D 0.

1

2. a. Verificar quey1 D x2 &y2 D x1 son soluciones de la ecuacin diferencialx2y 00 2yD 0.

La combinacin linealy D c1y1 C c2y2es solucin de la ecuacin?

b. Verificar quey1 D 1&y2 D x1

2 son soluciones de la ecuacin diferencialyy 00 C .y 0/2 D 0.

La combinacin linealy D c1y1 C c2y2es solucin de la ecuacin (en general)?

c. Si hay alguna diferencia entrea.yb., en qu radica esta diferencia?

2

3. a. Seay1.x/una solucin de la ecuacin diferencialy 00 C p.x/y 0 C q.x/y D f.x/.

Esy2.x/ D cy1.x/solucin de la ecuacin diferencial?

b. SiVrepresenta el conjunto de todas las soluciones de la anterior ecuacin diferencial, esVun espacio vectorial?

3

4. Calcular el wronskiano de cada uno de los siguientes pares de funciones:

a. y1 D sen x&y2 D cos x.b. y1 D e2x sen x&y2 D e2x cos x.

c. y1 D senh 3x&y2 D 4.e3x e3x/.

d. y1 D xsen 2x&y2 D sen 2x.

4

5. a. Extender la definicin de wronskiano para el caso de tres funciones.

b. Calcular el wronskiano de cada una de las siguientes ternas de funciones:

i. y1 D ex

; y2 D xe

x

&y3 D x2

e

x

.ii. y1 D cos x; y2 D sen x&y3 D 1.

iii. y1 D cos x C sen x; y2 D cos x sen x&y3 D cos x.

5

En cada uno de los siguientes ejercicios, verificar que el conjunto dado es un conjunto fundamentalde soluciones de la ecuacin proporcionada; despus encontrar la solucin particular que satisfacelas condiciones iniciales dadas.


d

d

d

d

d


31/317

6. y 00 C y 0 2y D 0I

y1 D ex; y2 D e

2x

; cony.0/ D 1; y 0.0/ D 0.

6

7. y 00 C 4yD 0I f y1 D cos 2x;y2 D sen 2x g ; cony.0/ D 1; y 0.0/ D 4.

7

8. y 000 2y 00C 5y 0 D 0I f y1 D 1; y2 D ex cos 2x;y3 D ex sen 2x g ; cony.0/ D 0; y 0.0/ D 1; y 00.0/ D1.

8

9. x2y 00 C 2xy 0 6yD 0I

y1 D x2; y2 D x

3

; cony.2/ D 1; y 0.2/ D 0.

9

10. xy 00 C y 0 D 0I f y1 D 1; y2 D ln x g ; cony.1/ D 2; y 0.1/ D 3.

10

11. Determinar la dependencia o independencia lineal de cada uno de los siguientes conjuntos defunciones:

a. f ex; ex; 2 g.

b. f arcsen x; arccos x; g.

c. e4x; e4x; cosh 4x .d.

ex cos 2x;ex sen 2x;e4x

.

12

12. Suponga quey1sea una solucin no nula de la ecuacin y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0.

a. Verifique que, si y2es una segunda solucin tal que f y1; y2 gsea linealmente independi-

ente, entonces d

dx

y2

y1

D

W .y1; y2/

y21.

b. Verifique quey1 D xsea una solucin dex2

y

00

C 2xy

0

2y D 0; usea.para determinar lasolucin general de la ecuacin diferencial.

13

13. a. Muestre quey1 D 3x2 1satisface a la ecuacin .1 x2/y 00 2xy 0 C 6y D 0y tiene unmnimo enx D 0.

b. Verifique ahora que cualquier otra soluciny2no podr tener mnimo enx D 0, si f y1; y2 ges linealmente independiente .

14

d

d

d

d

d

d

d

d


32/317

14. Demuestre quey D x3 es una solucin deyy 00 D 6x4, pero que, sic2 1, entoncesy D cx3 noes una solucin de la ecuacin diferencial. Por qu este hecho no contradice la teora discutidaen esta seccin?

15

15. Compruebe que y1 D 1&y2 D x1

2 son soluciones de yy 00 C .y 0/2 D 0, pero que la sumay D y1 C y2 no es solucin. Por qu este hecho no contradice la teora discutida en estaseccin?

16

16. a. Determine si el conjunto de funciones

y1 D sen x2; y2 D cos x

2

es linealmente depen-diente o independiente.

b. CalculeW .y1; y2/.0/.

c. Existe una ecuacin de la formay00

C p.x/y0

C q.x/y D 0(en la quep&qsean funcionescontinuas) tal quey1&y2sean soluciones de la ecuacin diferencial?

17

En los siguientes ejercicios se proporciona una ecuacin diferencial no homognea, una solucinparticular, condiciones iniciales y un conjunto fundamental de soluciones para la ecuacin difer-encial homognea asociada, respectivamente. En cada caso encuentre la solucin particular delPVI.

17. y 00 C y D 3xI yp D 3x; cony.0/ D 2; y 0.0/ D 2I f cos x; sen x g.

18

18. y 00 2y 0 3yD 6I yp D 2; cony.0/ D 3; y 0.0/ D 11I

ex; e3x

.

19

19. y 00 4yD senh xI yp D 1

3senh x; cony.0/ D 0; y 0.0/ D 1I

e2x; e2x

.

20

d

d

d

d

d

d


33/317

CAPTULO


4.4 ED lineales homogneas con coeficientes constantes

4.4.1 ED homogneas con coeficientes constantes de orden2

El objetivo de esta seccin es determinar la solucin general de la ecuacin diferencial lineal homognea desegundo orden

ay 00 C by 0 C cy D 0Idondea

0,b,cson constantes.

Una soluciny.x/de esta ED es una funcin que satisface lo siguiente: el resultado de c -veces la funciny.x/, msb-veces su primera derivada y 0.x/, msa-veces su segunda derivada y 00.x/, es igual a cero.Para que esto suceda la funciny.x/y sus derivadas deben tener la misma forma, lo que quiere decir quelas funcionesy.x/; y 0.x/&y 00.x/deben diferir entre ellas cuando mucho un factor constante. Una funcinque cumple con este requisito es la funcin exponencialy D erx, conr constante. En efecto:

y D erx ) y 0 D r erx ) y 00 D r2erx:Supongamos pues que las soluciones de ay 00 C by 0 C cy D 0son de la formay D erx, conr constante.Ahora,y D erx es solucin si

ay 00 C by 0 C cy D 0) ar2erx C br erx C ce rx D 0)

) .ar2

Cbr

Cc/erx

D0

) ar 2

Cbr

Cc

D0;

ya queerx > 0para cadax2 R.

Concretando:y D erx es solucin de la ecuacin diferencialay 00 C by 0 C cy D 0; (4.1)

si y slo, sires solucin de la ecuacin algebraica

ar 2 C br C c D 0: (4.2)


1


34/317


Las soluciones de esta ecuacin cuadrtica estn dadas por la conocida frmula

rDb p

b2 4ac2a

;

y la naturaleza de dichas soluciones depende del signo del discriminanteb2 4ac .A la ecuacin algebraica (4.2) la denominamos laecuacin caractersticao bien laecuacin auxiliarde laED (4.1). Y al polinomiop.r/ D ar2 C br C cle llamaremos elpolinomio caractersticoo bien elpolinomioauxiliarde la ecuacin diferencial.Existen tres posibilidades para el discriminanteb2 4ac . Veamos qu sucede en cada caso.

Caso1. b2 4ac > 0.b2 4ac > 0)

pb2 4ac 2 R) r2 R:

Se tienen dos soluciones reales

r1 Db C pb2 4ac

2a & r2 D

b pb2 4ac2a

;

las cuales son diferentes.r1 r2/.

Conociendo estas races del polinomio auxiliar, podemos factorizar este polinomio como sigue:

p.r/ D a.r r1/.r r2/:

Estas races reales diferentes generan un par de funciones exponenciales reales, que son soluciones dela ecuacin diferencial

rD r1! y1D erx D er1x:rD r2! y2D erx D er2x:

Obtenidas stas, debemos preguntarnos siy1D er1x &y2D er2x forman un conjunto fundamental desoluciones para la EDay 00 C by 0 C cy D 0.

Para responder a esta cuestin calculamos el wronskiano de y1&y2:

W .y1; y2/ Dy1 y2y 01 y 02

D er1x er2xr1er1x r2er2x

DD r2er1xCr2x r1er1xCr2x D .r2 r1/e.r1Cr2/x:

Debido a que e.r1Cr2/x > 0 para cada x 2 R y para r2 r1 0, por ser r1 r2, se tiene queW .y1; y2/ 0en todo R.

Luego,y1D er1x &y2D er2x forman un conjunto fundamental de soluciones, por lo que la solucingeneral de la ecuacin diferencial, en este caso, es

y D c1y1 C c2y2D c1er1x C c2er2x:


35/317

4.4 ED lineales homogneas con coeficientes constantes 3

Ejemplo 4.4.1 Obtener la solucin general de la ED

y 00 5y 0 C 6y D 0:

H Proponiendo y D erx como solucin de la ED, se obtiene la ecuacin auxiliarr 2 5rC 6D 0,cuyas soluciones son

rD 5 12

D

r1D 3r2D 2

)

y1D e3xIy2D e2x:

Por lo tanto, la solucin general esy D c1e3x C c2e2x:

Es decir, la solucin general de la ED es el plano generado por las funcionesy1 D e3x &y1D e2x, lascuales forman un conjunto fundamental de soluciones.

Caso2. b2 4ac D 0.

b2

4ac

D0

)

pb2

4ac

D0

) r

Db

pb2 4ac

2a D b

2a

:

Se tiene slo una solucin real r1D b

2a, de multiplicidad dos, la cual genera una funcin exponencial

realy1 D er1x D e b2ax , que es solucin de la ecuacin diferencial.Conociendo esta raz de multiplicidad2, factorizamos el polinomio auxiliar como sigue:

p.r/ D a.r r1/2:Por la necesidad de tener dos soluciones reales linealmente independientes de la ecuacin diferencial,aplicamos el mtodo de reduccin de orden para obtener otra solucin y2.

Proponiendoy2D ue b2a

x :

y 02D u 0e b2a x C ue b2a x b

2a

D u 0 b2a

u

e b2a x I

y 002D

u 00 b2a

u 0

e b2a

x C

u 0 b2a

u

e b2a

x

b

2a

D

D

u 00 b2a

u 0 b2a

u 0 C b2

4a2u

e b2a

x D

u 00 ba

u 0 C b2

4a2u

e b2a

x:

Ahora bien,y2es solucin de ay 00 C by 0 C cy D 0, siay 002C by 02 C cy2 D 0)

) a

u 00 ba

u 0 C b2

4a2u

e b2a

x C b

u 0 b2a

u

e b2a

x C cue b2a

x D 0)

)

au 00 bu 0 C b24a

u C bu 0 b22a

u C cu

e b2a x D 0) au 00 C u

b24a

b22a

C c

D 0)

) au 00 C

b2 2b2 C 4ac4a

u D 0) au 00 C b

2 C 4ac4a

u D 0) au 00 b2 4ac

4au D 0)

) au 00 D 0, ya queb2 4ac D 0) u 00 D 0, ya quea 0:Perou 00 D 0) u 0 D c1) u D c1x C c2, conc1&c2constantes.De esta familia de funciones elegimos una funcin:

c1 D 1&c2 D 0) u D x:


36/317


Entonces podemos tomar para la segunda solucin:

y2D ue b2a

x D xe b2a

x :

Y debido a que la solucin y2D uy1forma con y1un conjunto fundamental de soluciones, se puedeafirmar que la solucin general de la ecuacin diferencial es

y D c1y1 C c2y2D c1erx C c2xerx D .c1 C c2x/erx , conrD b

2a:

Ejemplo 4.4.2 Obtener la solucin general de la ED

4y 00 12y 0 C 9y D 0:

H Proponiendoy D erx como solucin de la ED, se obtiene la ecuacin caracterstica

4r2 12r C 9 D 0;

de donde resulta:rD 12 0

8 ) rD 3

2) y1D e

32x

:

Entonces, otra solucin esy2D xe32x . Por lo tanto, la solucin general es

y D c1e32x C c2xe

32x ) y D .c1 C c2x/e

32x :

Caso3. b2 4ac < 0.b2 4ac < 0)

pb2 4ac R) r R:

Ahora, las soluciones no son reales, sino que son nmeros complejos dados de la siguiente manera

b2 4ac < 0) .b2 4ac/ D 4ac b2 > 0 )p

4ac b2 2 R)

) rDb p

b2 4ac2a

Db

.1/.4ac b2/2a

Db p

1p

4ac b22a

)

) rD b2a

p

1p

4ac b22a

D i;

donde D b2a

2 R,iDp

1& Dp

4ac b22a

2 R.Se tienen dos soluciones complejas:

r1D

C

i & r2D

i:

Conociendo estas races complejas del polinomio auxiliar, podemos factorizar este polinomio comosigue:

p.r/ D a.r r1/.r r2/:Estas races generan un par de funciones exponenciales complejas, que son soluciones de la ecuacindiferencial

rD r1! y1D er1x D e.Ci/x :rD r2! y2D er2x D e.i/x :


37/317


A partir de este par de funciones complejas, generamos un par de soluciones reales. Para ellose utilizala frmula de Euler, la cual asegura que para2 R,

ei D cos C isen :

Considerando esta frmula y las identidades

cos. / D cos & sen. / D sen :

se obtiene queei D ei./ D cos. / C isen./ D cos isen :

Es decir,ei D cos isen :

Utilizando estas frmulas para e i &ei conD x, se tiene que

y1 D e.Ci/x D exCix D exeix D ex.cos x C isen x/Iy2 D e.i/x D exix D exeix D ex.cos x isen x/:

Y debido a quey1&y2son soluciones de la ecuacin diferencialay 00 C by 0 C cy D 0, tambin lo sony1 C y2 D ex.2 cos x C 0/ D 2ex cos xIy1 y2 D ex.0 C 2isen x/ D 2i ex sen x:

As tambin, son soluciones de la misma ecuacin diferencial las siguientes funciones:

1D 1

2.y1 C y2/ D ex cos xI

2D 1

2i.y1 y2/ D ex sen x:

stas son funciones reales y constituyen una pareja de soluciones para la ED.

Forman 1 D ex cos x & 2 D ex sen x un conjunto fundamental de soluciones para laecuacin diferencialay 00 C by 0 C cy D 0?Para responder esto calculamos el wronskiano de 1&2:

W .1; 2/ D1 2 01 02

D 1 02 2 01DD ex.cos x/ex sen x C ex cos x ex.sen x/ex cos x ex sen x DD e2x cos x sen x C cos 2x sen xcos x C sen 2x DD e2x.cos 2x C sen 2x/ D e2x

W .1; 2/ D e2x , donde D 4ac b2

2a 0:

Entonces, para cadax2 R,W .1; 2/ D e2x 0;

por lo cual se puede afirmar que las funciones reales 1D ex cos x&2D ex sen x forman unconjunto fundamental de soluciones para la ecuacin diferencial.

Por lo tanto, la solucin general deay 00 C by 0 C cy D 0, en este caso, es

y D c11 C c22D c1ex cos x C c2ex sen x ) y D ex.c1cos x C c2 sen x/I

donde ,son la parte real e imaginaria de las racesrD i.


38/317


Ejemplo 4.4.3 Obtener la solucin general de la ecuacin diferencial

y 00 C 4y 0 C 13y D 0:H Proponiendoy D erx como solucin de la ED, se obtiene la ecuacin auxiliar:

r

2

C 4r C 13 D 0;cuyas soluciones son

rD4 p36

2D 2 3i(races complejas):

Entonces, la solucin general esy D e2x.c1cos 3x C c2sen 3x/:

Observe que la ecuacin caracterstica ar 2 C br C c D 0, de la EDay 00 C by 0 C cy D 0, se obtiene asociandolas derivadasy.n/ con la potenciasrn en la forma

y.n/

!rn:

Comoy.0/ D y, asociamosy.0/ D y ! 1 D r0:


2y 00 3y 0 C 2y D 0:H Proponiendoy D erx como solucin de la ED, se obtiene la ecuacin caracterstica

2r2 3r C 2 D 0;cuyas soluciones son

rD 3

5

4 D r1 D 2

r2 D 12

) y1D e2xIy2D e

12x

:

Entonces, la solucin general de la ED es

y D c1e2x C c2e12x

:


y 00 C 2y 0 C y D 0:H Proponiendoy D erx como solucin de la ED, se obtiene la ecuacin auxiliar

r2 C 2r C 1 D 0;cuyas soluciones son

rD2 02

) r1D r2 D 1) y1 D ex:Entonces, la raz 1es de multiplicidad2; necesitamos otra solucin: sta esy2D xex.Por lo tanto, la solucin general de la ED es

y D c1ex C c2xex ) y D .c1 C c2x/ex :


39/317



y 00 C y 0 C y D 0:


r2 C r C 1 D 0;cuyas soluciones son

rD1 p

32

D 12

p3

2 i(races complejas):

Entonces la solucin general de la ED es

y D e12x

c1cos

p3

2x C c2sen

p3

2x

:

Ejemplo 4.4.7 Obtener la solucin general de la ecuacin diferencialy 00 C 4y D 0:

H Proponiendoy D erx, se obtiene la ecuacin auxiliar

r2 C 4 D 0;

cuyas soluciones sonrD

p4 D 0 2i (races complejas):

Entonces la solucin general es

y D e0x.c1cos 2x C c2 sen 2x/ ) y D c1cos 2x C c2sen 2x:

Ejemplo 4.4.8 Obtener la solucin general del PVI:

9y 00 y D 0; cony.0/ D 1 & y 0.0/ D 23

:


9r 2 1 D 0;

cuyas soluciones son

rD 1

3 ) r1D

1

3r2D

1

3

) y1D e 13xIy2D e

13x:

Entonces, la solucin general de la ED es

y D c1e13x C c2e

13x

:

Derivando esta solucin general, se obtiene

y 0 D 13

c1e13x 1

3c2e

13x:


40/317


Usando las condiciones iniciales

y.0/ D c1 C c2 D 1I

y 0.0/ D 13

c1 1

3c2D

2

3:

La solucin del sistema anterior, de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, es

c1D 3

2 & c2 D

1

2:

Por lo tanto, la solucin del PVI, es la funcin

y D 32

e13x 1

2e

13x :


y00

5y0

D 0:H Proponiendoy D erx como solucin de la ED, se obtiene la ecuacin auxiliar

r2 5rD 0;

cuyas soluciones son r1 D 0r2 D 5

)

y1 D e0x D 1Iy2 D e5x:

Entonces la solucin general de la ED esy D c1 C c2e5x:


y 00 C w2y D 0; conw constante.

H Proponiendoy D erx, se obtiene la ecuacin caracterstica

r2 C w2 D 0;

cuyas soluciones sonrD

pw2 D wiD 0 wi (races complejas):

Por lo tanto la solucin general es

y D e0x.c1sen wx C c2cos wx /) y D c1sen wx C c2 cos wx :

La solucin general del ejemplo anterior puede expresarse as:

y D A sen.wx C /; conA &constantes:

Para obtener la ltima expresin se efecta el desarrollo siguiente:Se tiene:

yD c1 sen wx C c2cos wx :


41/317


Se quiere:

y D A sen.wx C / D A.sen wx cos C sen cos wx / DD .A cos / sen wx C .A sen / cos wx :

Igualando la expresin que se quiere con la que se tiene se llega a:

.A cos / sen wx C .A sen / cos wx D c1sen wx C c2cos wx :

Igualdad que se cumple si A cos D c1A sen D c2

)

A2 cos2 D c21 IA2 sen 2D c22 :

Sumando las ltimas igualdades:

A2.cos 2 C sen 2/ D c21 C c22 ) A2 D c21 C c22 ) A D

c21 C c22 :

DeA cos D

c1, se tiene: cos D

c1

AD c1

c21 C c22.

DeA sen D c2, se tiene: sen D c2

AD c2

c21 C c22.

Resumiendo, la solucin general de la ED

y 00 C w2y D 0

esyD c1 sen wx C c2cos wx :

Que puede expresarse comoy D A sen.wx C /:

Donde

A D

c21 C c22 :cos D c1

c21 C c22:

sen D c2c21 C c22

:

Aes denominada amplitud y es denominado ngulo de fase.

Ejercicios 4.4.1 ED lineales homogneas con coeficientes constantes de orden 2.Soluciones en la pgina 11Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes.

1. y 00

5y 0

C6y

D0.

2. y 00 C y D 0.3. 4y 00 4y 0 C y D 0.4. y 00 C 2y 0 3y D 0.5. 4y 00 C y D 0.6. 9y 00 6y 0 C y D 0.7. 6y 00 y 0 y D 0.

8. y 00

2y 0

C2y

D0.

9. y 00 C 4y 0 C 5y D 0.

10. y 00 y D 0.Resolver los siguientes PVI.

11. y 00 C 16y D 0; cony.0/ D 2&y 0.0/ D 2.

12. y 00 C y 0 2y D 0; cony.0/ D 0&y 0.0/ D 1.

13. y 00 6y 0 C 9y D 0; cony.0/ D 0&y 0.0/ D 2.


42/317


14. y 00 C 4y 0 C 5y D 0; con y.0/ D 1&y 0.0/ D 0. 15. y 00 C 4y 0 C 3y D 0; cony.0/ D 2&y 0.0/ D 0.


43/317


Ejercicios 4.4.1 ED lineales homogneas con coeficientes constantes de orden 2.Pgina 9

1. y D c1e2x C c2e3x .

2. y D c1cosx C c2senx.

3. y D .c1 C c2x/ex

2.4. y D c1e3x C c2ex .

5. y D c1cosx

2C c2sen

x

2.

6. y D .c1 C c2x/ex3.

7. y D c1ex3 C c2e

x2.

8. y D ex.c1cosxC c2senx/.

9. y D e2x.c1cosxC c2senx/.

10. y D c1ex C c2ex .

11. y D 2 cos 4x 12

sen4x.

12. y D1

3.ex e2x/.

13. y D 2xe3x.

14. y D e2x.cos xC 2 senx/.

15. y D 3ex e3x .


44/317

1

ED homogneas con coeficientes constantes de oreden2.Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes.

1. y00

5y0

C 6y D 0

1

2. y 00 C y D 0

2

3. 4y 00 4y 0 C y D 0

3

4. y 00 C 2y 0 3yD 0

4

5. 4y 00 C y D 0

5

6. 9y 00 6y 0 C y D 0

6

7. 6y 00 y 0 y D 0

7

8. y 00 2y 0 C 2y D 0

8

9. y00

C 4y0

C 5yD 0

9

10. y 00 y D 0

10

Resolver los siguientes PVI.

11. y 00 C 16y D 0; cony.0/D 2&y 0.0/ D 2

11

12. y 00Cy 02y D 0; cony.0/ D 0&y 0.0/ D 1

12

13. y 006y 0C9y D 0; cony.0/D 0&y 0.0/ D 2

13

14. y 00C4y 0C5yD 0; cony.0/D 1&y 0.0/ D 0

14

15. y 00C4y 0C3yD 0; cony.0/D 2&y 0.0/ D 0

15


d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d


45/317

CAPTULO


4.4.2 ED lineales homogneas con coeficientes constantes de orden n 3

En la seccin anterior hemos obtenido las soluciones de la ED lineal homognea con coeficientes constantesde orden dos, es decir:

ay 00 C by 0 C cy D 0:

Las soluciones fueron determinadas proponiendo una solucin de la forma exponencial y D erx, con rconstante, y resolviendo luego la ecuacin caracterstica:

ar 2 C br C c D 0:

Los tres diferentes tipos de solucin de esta ecuacin algebraica determinaron los tres diferentes tipos desolucin general para la ecuacin diferencial.De manera anloga se resuelve la ecuacin diferencial lineal homognea de ordenn 3W

any.n/ C an1y

.n1/ C C a3y.3/ C a2y

00 C a1y0 C a0y D 0;

donde los coeficientesan; an1; ; a3; a2; a1; a0son constantes y dondean 0.Se propone que una solucin sea de la formay D erx, por lo tanto:

y D erx ) y 0 D r erx ) y 00 D r2erx ) y.3/ D r3erx ) : : : ) y.n/ Dr nerx:

Al sustituir en la ecuacin diferencial, se obtiene la ecuacin auxiliar o caracterstica:

anrn C an1r

n1 C C a3r3 C a2r

2 C a1rC a0 D 0:

El polinomio auxiliar o caracterstico de gradon:

p.r/ D anrn C an1r

n1 C C a3r3 C a2r

2 C a1r C a0

tiene nraces. Esta ltima afirmacin se sustenta en el teorema Fundamental del lgebra, en el que seasegura que: todo polinomio de gradon 1con coeficientes reales o complejos tiene exactamente nraces


1


46/317


reales o complejas, considerando sus multiplicidades. Cada una de las races genera una solucin de laecuacin diferencial.Cuando una raz r se repite k-veces, se dice que tiene multiplicidad k , y una raz es de multiplicidad unocuando slo aparece una vez. As, la suma de las multiplicidades de las races ser igual al grado ndelpolinomio caracterstico.

Ilustramos mediante los siguientes ejemplos las relaciones entre ED lineales con coeficientes constantes, suspolinomios caractersticos y las multiplicidades de sus races.

Ejemplo 4.4.1 Encuentra una ED que tenga como polinomio caracterstico

p.r/ D .r 1/2.rC 3/.r 2/3:

H Las races del polinomiop.r/son

r D 1(cuandor 1 D 0) y, por repetirse2veces, tiene multiplicidad2.

r D 3(cuandor C 3 D 0) y tiene multiplicidad 1.

r D 2(cuandor 2 D 0) y, por repetirse3veces, tiene multiplicidad3.

La suma de las multiplicidades en este caso es 6 D2 C 1 C 3, que es precisamente el grado del polinomiocaracterstico

p.r/ D .r 1/2.rC 3/.r 2/3 D r6 5r5 C r4 C 37r3 86r 2 C 76r 24:

Este polinomio es el polinomio auxiliar asociado a la ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientesconstantes

y.6/ 5y.5/ C y.4/ C 37y.3/ 86y 00 C 76y 0 24yD 0;

que es de orden6.

Ejemplo 4.4.2 Encuentra una ED que tenga como polinomio caracterstico

p.r/ D r3.r2 1/.r2 C 1/:

H p.r/tiene las races siguientes:

r D 0(cuandor 3 D 0), y tiene multiplicidad3.

r D 1(cuandor 2 1 D 0), con multiplicidad1cada una.

r D i (cuandor 2 C 1 D 0; o bienr2 D 1), con multiplicidad1cada una.

La suma de las multiplicidades es7, esto es,3 C 1 C 1 C 1 C 1, que es precisamente el grado del polinomiocaracterstico

p.r/ D r3.r2 1/.r2 C 1/ Dr 7 r3;

el cual es el polinomio auxiliar asociado a la ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes cons-tantesy.7/ y.3/ D0;

que es de orden7.

El mayor problema que encontraremos al resolver la ecuacin diferencial lineal homognea de ordenn 3est en encontrar las races del polinomio caracterstico de gradon:

p.r/ D anrn C an1r

n1 C C a3r3 C a2r

2 C a1r C a0;


47/317

Ecuaciones diferenciales ordinarias 4 3

ya que, en general, no se tiene una frmula para encontrar sus races, como s se tiene para la ecuacin desegundo grado.Un resultado que ayuda en esta problemtica es el teorema del Residuo, el cual nos permite afirmar que:SiP.r/es un polinomio (caracterstico) yr Dr1es una raz de P.r/, entonces.r r1/es un factor de P.r/.Esto es,P.r/ D .r r1/Q.r/; dondeQ.r/es el polinomio que resulta de dividir P.r/entrer r1. Es claroque, siP.r/es de gradon, entoncesQ.r/es de gradon 1.

En lgebra superior se demuestra que, sir D

es una raz racional del polinomio

p.r/ D anrn C an1r

n1 C ::: C a2r2 C a1r C a0;

entonces, debe ser un divisor de a0y debe ser un divisor del coeficiente an. De esta manera, para un

polinomio comop.r/ D r3 r2 C r 1, sus posibles races racionales son de la forma r D

, dondees un

divisor dea0 D1yes un divisor dea3 D1. Esto es, los posibles valores de son 1y deson 1; porello, las posibles races racionales del polinomio p.r/son r D 1. Ahora bien, para determinar si algunode estos valores es una raz del polinomio, se requiere saber si p.r/ D 0. Mediante clculos numricospodemos ver quer D 1es una raz dep.r/, ya quep.1/ D 0.

Ejemplo 4.4.3 Encuentre las races del polinomioP.r/ Dr 3 r2 C r 1.

H

Por serr D 1una raz deP.r/, se puede afirmar que.r 1/es un factor deP.r/.Realizando la divisin de polinomios

P.r/

r 1D

r3 r2 C r 1

r 1;

encontramos que P.r/

r 1 D r2 C 1, por lo cualP.r/ D .r 1/.r2 C 1/. De esto se desprende que

r3 r2 C r 1D 0 ) .r 1/.r2 C 1/ D 0:

Por lo tanto las races deP.r/son:r D 1 &r D i .

Ejemplo 4.4.4 Encuentre las races del polinomioP.r/ Dr 3 C r2 4r 4.

H Mediante clculos numricos podemos ver queP.r/ D 0, parar D 2. Se afirma entonces quer D2 esuna raz deP.r/, por lo cual.r 2/es un factor deP.r/.

Realizando la divisin P.r/

r 2, obtenemos:

r3 C r2 4r 4

r 2 D r2 C 3r C 2;

por lo que se puede afirmar quer3 C r2 4r 4 D .r 2/.r2 C 3rC 2/.

Y debido a quer2

C 3r C 2 D .rC 1/.r C 2/, tenemos:r3 C r2 4r 4 D 0 ) .r 2/.r C 1/.r C 2/ D0:

Por lo tanto las races deP.r/son:r D 2;r D 1;r D 2.

Otro resultado del lgebra indica que todo polinomio con coeficientes reales se puede expresar como pro-ducto de polinomios lineales y polinomios cuadrticos irreducibles (con coeficientes tambin reales). Di-chos polinomios cuadrticos no pueden factorizarse mediante polinomios lineales con coeficientes reales.En consecuencia:


48/317


El polinomio caractersticoP.r/de gradon 3puede expresarse como un producto de factores quepueden ser lineales o bien cuadrticos irreducibles.

Los factores lineales generan races realesr .

Los factores cuadrticos irreducibles siempre generan parejas de races complejas conjugadasr D i.

Podemos entonces utilizar las soluciones obtenidas en la ED lineal homognea de orden 2, a efecto deconstruir un conjunto fundamental de soluciones de la ED lineal homognea de ordenn 3. Tenemos:

Si res una raz real de multiplicidadk, entonces en el conjunto fundamentalde soluciones se incluirnlas soluciones

ferx; xerx; x2erx; : : : ; xk1erxg:

Si r D ies un par de solucionescomplejas conjugadas de multiplicidad m, entonces en el conjuntofundamental de soluciones se incluirn las soluciones

ex cos x;xex cos x;x2ex cos x ; : : : ; xm1ex cos x

I

ex sen x;xex sen x;x2ex sen x ; : : : ; xm1ex sen x

:

Y como en el caso de la ED lineal homognea de orden 2, la solucin general de la ED lineal homognea deordenn 3ser una combinacin lineal de soluciones de estos tipos.

Ejemplo 4.4.5 Obtener la solucin general de la ecuacin diferencialy 000 C y 00 4y 0 4yD 0.

H Proponiendo como soluciny D erx, se obtiene la ecuacin caracterstica

r3 C r2 4r 4D 0;

que, como vimos en el ejemplo4.4.4anterior, se puede expresar as:

.r 2/.r C 1/.r C 2/ D0;

ecuacin que se cumple cuando:

r 2 D 0

r C 1D 0

r C 2D 0

)

r1 D 2I

r2 D 1I

r3 D 2:

Tenemos entonces3races reales, las que generan 3soluciones exponenciales

y1 D e2x; y2 D e

x & y3 D e2x;

las cuales forman un conjunto fundamental de soluciones.Por lo tanto, la solucin general de la ecuacin diferencial es

y D c1e2x C c2e

x C c3e2x;

dondec1; c2&c3son constantes arbitrarias.

Ejemplo 4.4.6 Resolver la ecuacin diferencial y.3/ y 00 C y 0 y D 0.


r3 r2 C r 1 D 0;


.r 1/.r2 C 1/ D 0I


49/317


ecuacin que se cumple cuando:r 1 D 0

r2 C 1 D 0)

r D 1

r2 D 1)

r D1I

r D i:

Tenemos una raz realr1 D 1, la cual genera una solucin exponencial: y1 D ex

.Tambin se tiene un par de races complejas conjugadas r D i D 0 1i , las cuales dan origen a lassoluciones: y2 D e0x cos 1x D cos x & y3 D e0x sen 1x D sen x.Entonces, el conjunto fundamental de soluciones est conformado por las funciones: ex; cos x& sen x.Por lo tanto, la solucin general de la ecuacin diferencial dada es

y D c1ex C c2cos x C c3sen x;

conc1; c2&c3constantes arbitrarias.

Ejemplo 4.4.7 Obtener la solucin general de la ED y.6/ 5y.5/ C y.4/ C 37y.3/ 86y 00 C 76y 0 24yD 0.


r6 5r5 C r4 C 37r3 86r 2 C 76r 24 D 0;


.r 1/2.rC 3/.r 2/3 D 0;

ecuacin que se cumple cuando:

.r 1/2 D0

r C 3 D 0

.r 2/2 D0

)

r 1 D 0

r C 3 D 0

r 2 D 0

)

r1 D 1I

r2 D 3I

r3 D 2:

Que son races reales de diversas multiplicidades.La raz realr1 D 1de multiplicidad2genera dos soluciones: y1 D ex &y2 D x ex.La raz realr2 D 3de multiplicidad1da origen a slo una solucin: y3 D e3x.La raz realr3 D 2de multiplicidad3genera tres soluciones: y4 D e2x; y5D xe2x &y6 D x2e2x.Por lo tanto, la solucin general de la ecuacin diferencial dada es

y D c1ex C c2xe

x C c3e3x C c4e

2x C c5xe2x C c6x

2e2x )

) y D .c1 C c2x/ex C c3e

3x C .c4 C c5x C c6x2/e2x:

Ejemplo 4.4.8 Resolver la ecuacin diferencial y.7/ C 8y.5/ C 16y.3/ D 0.

H Proponiendo como soluciny D erx

, se obtiene la ecuacin caractersticar7 C 8r5 C 16r 3 D0;

que se puede expresar as:r3.r4 C 8r2 C 16/ D 0 ) r3.r2 C 4/2 D 0;

ecuacin que se cumple cuando:r3 D 0

.r2 C 4/2 D 0)

r D0

r2 C 4 D0)

r D0

r2 D 4)

r D 0I

r D 2i :


50/317


La raz realr D0tiene multiplicidad3y genera tres soluciones:

y1 D e0x D1I y2 D xe

0x D x&y3 D x2e0x Dx2.

El par de races complejas conjugadasr D 0 2i , de multiplicidad2, generan4soluciones:

y4 D e0x cos 2x D cos 2xI y5 D e0x sen 2x D sen 2xI y6 D x cos 2x&y7 D xsen 2x.

Por lo tanto, la solucin general de la ecuacin diferencial dada es

y D c1.1/ C c2x C c3x2 C c4cos 2x C c5sen 2x C c6xcos 2x C c7x sen 2x;

o bieny D c1 C c2x C c3x

2 C .c4 C c6x/ cos 2x C .c5 C c7x/ sen 2x:

Ejercicios 4.4.2 ED lineales homogneas con coeficientes constantes de ordenn 3.Soluciones en la pgina 7Obtener la solucin general de las ED siguientes:

1. y 000 C 7y 00 C 10y 0 D 0.

2. y 000 2y 00 C y 0 D 0.

3. y 000 3y 00 C 3y 0 1 D 0.

4. y.4/ y 00 D 0.

5. y.4/ C y 00 D 0.

6. y.6/ y 00 D 0.

7. y 000 C y 00 2y D 0.

8. y 000 C 3y 00 C 3y 0 C 1 D0.

9. y.4/ C y 000 3y 00 5y 0 2y D 0.

10. y.4/ 16yD 0.

11. y.4/ C 2y 00 C y D 0.

12. y.7/ 2y.5/ C y.3/ D0.

13. 16y.4/ y D 0.

14. y.3/ 8yD 0.

15. y.5/ C 8y.3/ D0.

16. y.8/ 2y.4/ C y D 0.


51/317


Ejercicios 4.4.2 ED lineales homogneas con coeficientes constantes de ordenn.Pgina 6

1. y D c1C c2e2x C c3e5x .2. y D c1C c2ex C c3xex .3. y

Dc1e

x

Cc2xe

x

Cc3x

2ex .

4. y D c1C c2x C c3ex C c4ex .5. y D c1C c2x C c3cos x C c4senx.6. y D c1C c2x C c3ex C c4ex C c5cosx C c6senx.7. y D c1ex C c2ex cos x C c3ex sen x.8. y D c1ex C c2xex C c3x2ex .9. y D c1ex C c2xex C c3x2ex C c4e2x.

10. y D c1e2x C c2e2x C c3cos2x C c4sen2x.11. y D c1cosx C c2senx C c3xcosx C c4xsenx.12. y

Dc1

Cc2x

Cc3x

2

Cc4e

x

Cc5xe

x

Cc6e

x

CC c7xex .13. y D c1e

x2C c2e

x2C c3cos

x

2C c4sen

x

2.

14. y D c1e2x C ex c2cos.p

3x/ C c3sen.p

3x/.

15. y D c1Cc2xCc3x2Cc4cos.2p

2x/Cc5sen.2p

2x/.

16. y D c1cosx C c2senx C c3xcosx C c4xsenx CC c5ex C c6xex C c7ex C c8xex .


52/317

1

ED lineales homogneas con coeficientes constantes de ordenn 3.

Obtener la solucin general de las ED siguientes:

1. y 000 C 7y 00 C 10y 0 D 0

16

2. y 000 2y 00 C y 0 D 0

17

3. y 000 3y 00 C 3y 0 1 D 0

18

4. y.4/ y 00 D 0

19

5. y.4/ C y 00 D 0

20

6. y.6/ y 00 D 0

21

7. y 000 C y 00 2y D 0

22

8. y 000 C 3y 00 C 3y 0 C 1 D 0

23

9. y.4/C y 000 3y 00 5y 0 2y D 0

24

10. y.4/ 16y D 0

25

11. y.4/C 2y 00 C y D 0

26

12. y.7/ 2y.5/C y.3/ D 0

27

13. 16y.4/ y D 0

28

14. y.3/ 8y D 0

29

15. y.5/C 8y.3/ D 0

30

16. y.8/ 2y.4/C y D 0

31


d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d


53/317

CAPTULO


4.5 Obtencin de una ecuacin diferencial

Hasta ahora el problema tratado ha sido:

Obtener la solucin general de una ED lineal homognea con coeficientes constantes.

En esta seccin trataremos con el problema inverso:

Obtener una ED lineal homognea de coeficientes constantes a partir de su solucin general.

Para obtener la solucin general de una ED lineal homognea con coeficientes constantes, recurdese quetuvimos que llevar a cabo los pasos siguientes:

1. Proponer como solucin a una funcin exponencial.

2. Obtener la ecuacin caracterstica asociada a la ecuacin diferencial.

3. Calcular las races de la ecuacin.

4. Identificar un conjunto fundamental de soluciones

5. Finalmente escribir la solucin general.

Por otro lado, para el problema inverso de obtener una ED lineal homognea de coeficientes constantes,

a partir de su solucin general, es de imaginarse que hay que llevar a cabo los pasos anteriormente men-cionados, pero en sentido opuesto. Esto es, dada la solucin general de una ecuacin diferencial:

1. Identificar un conjunto fundamental de soluciones.

2. Ubicar las races del polinomio caracterstico.

3. Escribir el polinomio auxiliar o bien la ecuacin auxiliar.

4. Y finalmente proponer una ecuacin diferencial.


1


54/317

2

ecuaciones diferenciales ordinaria (parte ii)

Documents