econometria_revisao algebra matricial
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8/16/2019 Econometria_Revisao Algebra Matricial
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Revisão de Álgebra Matricial
Profa. Patricia Maria Bortolon
Fonte: BOLDRINI, C. e WETZLER, F.; Álgebra Linear. 3ª. ed. São Paulo. Editora Harbra, 1986
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Álgebra Matricial
•
Da Matemática do 1º. Grau:
2
1
:(2)Em
1
33
143
42)1(
:(1)Em
1:(2)De
)2(1
)1(42
y
x y
x
x
x
x x
x y
x y
x y
y = -2x + 4
y = x + 1
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Eq1
Eq2
Linear (Eq1)
Linear (Eq2)
-
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Álgebra Matricial
Indivíduo Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
1 1,70 70 23
2 1,75 60 45
3 1,60 52 25
4 1,81 72 30
• Após estudar 300 artigos teóricos e empíricos lanço a
seguinte hipótese sobre a relação entre essasvariáveis:
Peso = β 0 + β
1 Altura + β
2 I dade
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Álgebra Matricial
•
Posso escrever as seguintes equações com os dadosdas pessoas que tenho:
• As incógnitas são β0, β1,β2• E se tivéssemos estudando o que afeta a rentabilidade
sobre o PL das empresas?
723081,1
522560,1
604575,1
702370,1
210
210
210
210
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Álgebra Matricial
Empresa ROE Ativo (milhões R$) D/E
Vale 26,8 214.662 27,0Petro 11,5 519.970 20,1
BRFoods 5,9 27.751 29,6
Gol 7,3 9.064 60,2
• Suponha que após ler 300 artigos teóricos e empíricosvocê possa lançar a seguinte hipótese:ROE = β
0 + β
1 Ativo + Β
2 D/E
• Você escolhe 4 empresas para compor a amostra:
Vale, Petro, BRFoods e Gol e utiliza os dados de2010:
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Álgebra Matricial
•
Posso escrever as seguintes equações com os dadosque tenho:
3,72,60064.9
9,56,29751.275,111,20970.519
8,2627662.214
210
210
210
210
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Álgebra Matricial
•
Exemplos:
Amxn = m indica o no. de linhas e n o no. de colunas
aij = é o elemento localizado na i-ésima linha e j-ésimacoluna
Na matriz A => a11=2 a23=3
Na matriz B => b23=4 b13=11
11
4
7
9
0
5
8
1
1
3
5
1
3
6
22X32X3 BA
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Álgebra Matricial
•
Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Coluna: vetor coluna = Amx1
– Matriz Linha: Vetor linha = A1xn
y
x
3
4
1
00103
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Álgebra Matricial
•
Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Diagonal: aij = 0 i ≠ j em uma matriz quadrada
nxn
– Matriz Identidade ou Unidade: quando em uma matrizquadrada aii = 1 e aij = 0 i ≠ j
600
020
001
100
010
001
-
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Álgebra Matricial
•
Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Triangular Superior: aij = 0 p/ i > j em uma matriz
quadrada
– Matriz Triangular Inferior: aij = 0 p/ i < j em uma matrizquadrada
600
420
531
631
048
001
-
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Álgebra Matricial
•
Tipos Especiais de Matrizes: – Matriz Simétrica: quando m = n e aij = a ji
645
423
531
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Operações com Matrizes
•
Adição – As matrizes precisam ser de mesma ordem
– Amxn = [aij] e Bmxn = [bij]
– C = A + B = [aij + bij]mxn
– Propriedades da soma:1. Comutatividade: A + B = B + A
2. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C
3. A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula m x n
14
8
9
3
7
3
4
3
5
3
1
1
0
0
2
1e
9
5
8
4
7
3
6
2
C
BA
-
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Operações com Matrizes
• Subtração – Segue o mesmo princípio da soma
• Multiplicação por escalar: – Seja k um escalar e A = [aij]mxn – k . A = [k . aij]mxn – Exemplo:
– Propriedades:1. k (A + B) = k A + k B2. (k 1 + k 2) A = k 1A + k 2A3. 0.A = 04. k 1(k 2A) = (k 1k 2)A
62
204
31
102e2
A
A
k
k
-
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Operações com Matrizes
•
Transposição – Uma matriz transposta é obtida trocando-se as linhas e
colunas da matriz original. Uma matriz Amxn ficará Anxm.Denota-se A’
–
Exemplo:
21'2
1
23
31'23
31
431
102'
41
30
12
32
23
CC
BB
AA
x
x
-
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Operações com Matrizes
•
Transposição – Propriedades:
1. Uma matriz é simétrica se, e somente se, A’ = A
2. A’’ = A
3. (A + B)’ = A’ + B’4. (k A)’ = kA’5. (AB)’ = B’A’
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Exemplo de Aplicação
•
Suponha que você está tentando prever o retorno deuma carteira. Analistas fizeram as previsões deretorno de 3 ações para 3 estados da economia.
• Se você estiver planejando investir 30% em Vale,30% em Petro e 40% em Gol, que retornos terá emcada estado?
Estado da
Natureza
Vale Petro Gol
BOOM 5% 4% 6%
ESTÁVEL 3% 3% 2%
RECESSÃO 2% 1% 0%
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Exemplo de Aplicação
•
Retornos esperados: – BOOM: 30% x 5% + 30% x 4% + 40% x 6% = 5,1%
– ESTÁVEL: 30% x 3% + 30% x 3% + 40% x 2% = 2,6%
– RECESSÃO: 30% x 2% + 30% x 1% + 40% x 0% = 0,9%
• O que fizemos foi uma multiplicação de matrizes:
131333 %9,0
%6,2
%1,5
%40
%30
%30
%0%1%2
%2%3%3
%6%4%5
x x x
-
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Multiplicação de Matrizes
Amxn x Bnxp = Cmxp• Cada elemento cij é o somatório dos produtos dos
elementos da i-ésima linha de A pela j-ésima colunade B
• O no. de colunas de A e o no. de linhas de B precisamser iguais
2323
22
23 75
44
22
4.3)1(50.31.5
4.2)1(40.21.4
4.1)1(20.11.2
4011
35
24
12
x x
x
x
-
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Multiplicação de Matrizes
•
Propriedades:1. Em geral AB ≠ BA
Note, ainda, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0
2. AI = IA = A (o que justifica o nome da matrizidentidade)
3. A(B+C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
1611
21222
1611
e
000
000
000
Então
321
642
321
e
012
123
111
Sejam
BAAB
BA
-
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Multiplicação de Matrizes
•
Propriedades:4. (A+B)C = AC + BC (distributividade à direita)5. (AB)C = A(BC) (associatividade)
6. (AB)’ = B’A’ (observe a ordem)
7. 0.A = 0 e A.0 = 0
-
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Representando algumas operaçõesmatemáticas na forma matricial
•
Somatório:
n
i
inn
n
i
in
n
nx
n
nx
n
n
ii
x x x x x x x
x x x x
x
x
x
x
x
x
x x x x
1
2121
1
21
2
1
1
2
1
1
211
1
1
1
'Ou
111'Então
1
1
1
,
1x
x1
1x
-
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Representando algumas operaçõesmatemáticas na forma matricial
•
Somatório de quadrados:
n
i
in
n
n
n
n
i
i
x x x x
x
x
x
x x x
x x x x
1
222
2
2
1
2
1
21
22
2
2
1
1
2
'Então
xx
-
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Representando algumas operaçõesmatemáticas na forma matricial
•
Somatório de produtos cruzados:
xy
yx
'
'Então
1
2211
2
1
21
2211
1
n
i
iinn
n
n
nni
n
i
i
y x y x y x y x
y
y
y
x x x
y x y x y x y x
-
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Sistemas de Equações Lineares
•
A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz
)''2(3/1).'2(
4570
22301341
)'3(
)'2()'1(
4570
2230134
)(
)'3()3(1).1(
)'2()2(2).1(
5231
4452
1341
)3(
)2(
)1(
523
4452
134
)(
321
321
321
321
321
321
x x x
x x x x x x
II
x x x
x x x
x x x
I
-
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Sistemas de Equações Lineares
•
A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz
)3(3).'''3(
3/23/100
3/23/2103/113/101
)'''3(
)'''2()'''1(
3/23/100
3/23/203/113/10
)(
)'''3()''3(7).''2(
)'''1()''1(4).''2(
4570
3/23/210
1341
)''3(
)''2(
)''1(
4570
3/23/20
134
)(
321
321
321
321
321
321
iv
x x x
x x x x x x
IV
x x x
x x x
x x x
III
-
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Sistemas de Equações Lineares
•
A cada sistema de equações que precisa ser resolvido podemos associar uma matriz
2100
2010
3001
)3(
)2(
)1(
2100
200
300
)(
)2()2(3/2).3(
)1()1(3/1).3(
21003/23/210
3/113/101
)3()2(
)1(
21003/23/20
3/113/10
)(
321
321
321
321
321
321
v
v
v
viviv
viviv
iv
iv
iv
x x x
x x x
x x x
VI
x x x
x x x
x x x
V
-
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Sistemas de Equações Lineares
•
Ou ainda:
• Observações: – As operações realizadas preservam as igualdades
– ( x1 , x2 , x3) é solução do sistema I e também do II, III, IV, Ve VI
–
Operações possíveis:• Multiplicar uma equação por no. ≠ 0• Adicionar uma equação a outra
• Permutar duas equações
2
23
3
2
1
x
x x
-
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Sistemas de Equações Lineares
•
Conceitos: – Um sistema de equações lineares com m equações e nincógnitas é:
– Com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n – Uma solução é uma n-upla de números ( x1 , x2 , ..., xn) que
satisfaça simultaneamente estas m equações
mnmnmm
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
2211
22222121
11212111
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Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos: – O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial:
A x X = B
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
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Sistemas de Equações Lineares
• Conceitos: – Matriz Ampliada:
– A matriz ampliada do sistema VI é:
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
21
222221
111211
2100
2010
3001
2100
200
300
321
321
321
x x x
x x x
x x x
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Sistemas de Equações Lineares
• Sistemas de equações lineares equivalentes: se todasolução de um sistema é também solução de outro
• Para resolver o sistema inicial reduzimos a matrizampliada a uma matriz-linha reduzida à forma escada.
•
Definição:a) 1º. elemento não nulo de uma linha não nula é 1 b) Cada coluna que contém o 1º. Elemento não nulo de
alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais azero
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulasd) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas, e se o 1º. elemento
não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então,k 1 < k 2 < ... < k r
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Sistemas de Equações Lineares
• Posto: é o no. de linhas não nulas da matriz-linhareduzida à forma escada linha equivalente
• Nulidade: é o no. n – p onde n é o no. de colunas.
• Exemplos:
sredundanteequações2há
1 Nulidade
2Posto
000
000
9/1109/1401
8164
151
241312
1 Nulidade
3Posto
8/11100
4/1010
8/7001
1121
5301
0121
B
A
-
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Sistemas de Equações Lineares
• Também dizemos que as duas primeiras equações são“independentes” e as demais “dependentes”
• Uma linha é dependente de outra se ela puder ser escrita comosoma de produtos destas outras linhas por constantes
• O mesmo que dizer que esta linha é uma combinação linear das outras
• POSTO = no. de equações independentes
sredundanteequações2há
1 Nulidade
2Posto
000
000
9/110
9/1401
8164
151
241
312
1 Nulidade
3Posto
8/11100
4/1010
8/7001
1121
5301
0121
B
A
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Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
a x = b1. a ≠ 0 => solução única => x = b/a2. a = 0 e b = 0 => 0 x = 0 => qualquer no. real é solução
3. a = 0 e b ≠ 0 => 0 x = b => não existe solução
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Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 1:
1
3
110
301
631
512
63
52
2
1
21
21
x
x
x x
x x-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6 8 10
Posto do sistema reduzido = 2
Posto da matriz ampliada = 2
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Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 2:
000
2/52/1
000
2/52/11
1536
512
1536
52
21
21
21
21
x x
x x
x x
x x
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6
Admite infinitas soluções. Conjunto de soluções definidos por pares x1 e x2 quesatisfaçam x1 = 5/2 – ½ x2O posto tanto da matriz de coeficientes quanto da matriz ampliada é 1.Grau de liberdade do sistema: é a nulidade da matriz de coeficientes. Neste caso
2 – 1 = 1
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Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
Exemplo 3:
100
02/1
100
02/11
1036
512
1036
52
21
21
21
21
x x
x x
x x
x x
Não tem solução = incompatível = impossívelO posto da matriz de coeficientes é 1 e o da matriz ampliada é 2.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-
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Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Então, um sistema pode admitir:1. Uma única solução = possível = compatível = determinado
2. Infinitas soluções = possível = indeterminado
3. Nenhuma solução = impossível = incompatível
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Sistemas de Equações Lineares
Soluções de um sistema de equações lineares
• Teorema:1. Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução
se, e somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao
posto da matriz de coeficientes2. Se além disso p = n, a solução será única
3. Se, entretanto, p < n , podemos escolher n – p incógnitas, eas outras p incógnitas serão dadas em função destas n – p =
graus de liberdade
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Determinante e Matriz Inversa
• Propriedades:1. Se todos os elementos de uma linha ou coluna são nulos
então det A = 02. Uma matriz com determinante igual a zero é chamada
matriz singular, se ≠ 0 é uma matriz não singular
3. det A = det A’4. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante
o det fica multiplicado por esta constante5. Trocadas as posições de duas linhas o determinante troca
de sinal6. Se duas linhas da matriz são dependentes o determinante énulo
7. det (A.B) = det A . det B
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Determinante e Matriz Inversa
• Menor: o menor do elemento aij
é o determinante dasubmatriz resultante da retirada da linha i e da coluna
j
• Co-fator = é um menor sinalizado
32233322
3332
2322
1111
333231
232221
131211
édemenoro aaaaaa
aa M a
aaa
aaa
aaa
A
ij
ji
ij M c )1(
-
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Determinante e Matriz Inversa
• Matriz de Co-fatores: é a matriz onde cada elementoaij é substituído por seu co-fator, denotada por cof(A)ou
• Matriz Adjunta: é a transposta de uma matriz de co-
fatores
• Teorema:
A
')'( AcofAadjA
nIdetAadjAAAA )().('.
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Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa:
• Observações:
2. Nem toda matriz tem inversa
3. Se A tem inversa, podemos escrever:
AA-1 = Indet(A.A-1) = det (In)
det A . det A-1 = 1
Se A tem inversa:i. det A ≠ 0ii. det A-1 =
Adet
1
-
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Determinante e Matriz Inversa
• Matriz Inversa:
• Observações:
4. (A-1)’ = (A’)-1, isto é, a transposta da inversa de Aé a inversa da transposta
Teorema:Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, esomente se det A ≠ 0
Neste caso:
)(1
adjAdetA
A 1
Exemplo: pag. 744 Gujarati
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Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares:
• Se o no. de equações é igual ao no. de incógnitas:
mnmnmm
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
2211
22222121
11212111
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
A x X = B
Matriz de coeficientes
Matriz de incógnitas
Matriz de termosindependentes
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Determinante e Matriz Inversa
• A inversa e a resolução de sistemas lineares:
• Supondo det A ≠ 0 e portanto, que exista A-1:A-1(AX) = A-1B
(AA-1)X=A-1B
InX = A-1B
X = A-1B
mmnmm
n
n
n b
b
b
aaa
aaa
aaa
x
x
x
2
1
1
21
22221
11211
2
1
-
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Valor Esperado
• Variável Aleatória Discreta
• Variável Aleatória Contínua
• Propriedades
x
x xf X E )()(
dx x xf X E )()(
)().()(:tesindependensãoYeXSe
)()(
)(
Y E X E XY E
b X aE baX E
bb E
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Variância
• Variável Aleatória Discreta
• Variável Aleatória Contínua
x
x x f X E X )()()var( 22
dx x f X X )()()var( 2
-
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Variância
• Propriedades
),cov()var()var()var(
:entãotes,independensãonãoYeXSe
)var()var()var(
)var()var()var(
)var()var()var(
:entãotes,independensãoYeXSe)var()var(:então,constantessãoeSe
0)var(
)()(
22
2
222
Y X Y X Y X
Y b X abY aX
Y X Y X
Y X Y X
X abaX ba
b
X E X E
-
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R t V iâ i d C t i F
-
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Retorno e Variância de Carteiras na FormaMatricial
• Retorno esperado da carteira
• Variância da carteira
• Distribuição de probabilidade da carteira
C C B B A A x p x p x x x R E ,,
BC C B AC C A AB B A
C C B B A A x p x p
x x x x x x
x x x R
222
var 222222,2
,
),(~ 2,,, x p x p x p N R
R t V iâ i d C t i
-
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Retorno e Variância de Carteiras naForma Matricial
•
Representação Matricial
2
2
2
,
1
1
1
,,
C BC AC
BC B AB
AC AB A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
x
x
x
R
R
R
x
1μR
-
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R t V iâ i d C t i
-
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Retorno e Variância de Carteiras naForma Matricial
•
Para o caso em que N = 2:
2
212
12
2
1
212
211
2221122
2211
2
11
2
221122
22112
11
2211
22
11'
1212
)var(),cov(
),cov()var(
.
R R R
R R R
R E R R E
R R E R E
R R R
R R R E
R R R
R E E x x μR μR
R t V iâ i d C t i
-
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Retorno e Variância de Carteiras naForma Matricial
•
Retorno da carteira:
• Retorno esperado da carteira:
xR
R x
'
)(',
C C B B A A
C
B
A
C B A x p
R x R x R x
R
R R
x x x R
xμ
μx
'
)(',
C C B B A A
C
B
A
C B A x p
x x x
x x x
R t V iâ i d C t i
-
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Retorno e Variância de Carteiras naForma Matricial
•
Variância da carteira:
BC B B AC C A AB B A
C C B B A A
C
B
A
C BC AC
BC B AB
AC AB A
C B A
x p
x x x x x x
x x x
x
x
x
x x x
E
E
222
')')(('
)')((')'var(
222222
2
2
2
2
,
xxxμR μR x
xμR μR xR x