derivacion matricial

Parte I

Guion de clase de Matematicas II(Economıa)

Profesores, Grupo de investigacionCOSDE:

Francisco Velasco MorentePurificacion Nadal Morales

Luis Gonzalez AbrilCristobal Chamizo GuerraFrancisco Begines Begines

Rosario Gonzalez Rodrıguez

1

Capıtulo 1

Introduccion al Analisis

1.1 El espacio metrico Rn

Definicion 1.1.1 Un espacio1 metrico es un conjunto M no vacıo, de objetos (que llamare-mos puntos) dotado de una funcion d : M×M → R, (que llamaremos la metrica del espacio)que satisface las cuatro propiedades siguientes, cualesquiera que sean los puntos x, y, z ∈ M :

1. d(x, x) = 0.

2. d(x, y) > 0 si x 6= y.

3. d(x, y) = d(y, x).

4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Definicion 1.1.2 Definicion de norma en general.

Definicion 1.1.3 Definicion de espacio vectorial normado.

Ejemplo 1.1.1 ‖.‖1 , ‖.‖2 y ‖.‖∞ = max1≤i≤n

|xi|

Nota 1.1.1 Todo espacio vectorial normado es metrico con d(x, y) = ‖x− y‖

Nota 1.1.2 Cualquier e.v. con un producto escalar es metrico.

Proposicion 1.1.1 El espacio euclıdeo Rn cumple que ‖d(x, y)− d(y, z)‖ ≤ d(x, z)

1Estas notas de clase abarcan mas materia de la impartida en clase y no deben ser consideradas comoapuntes de clase. Ademas puede que no sigan el orden del temario. Los apuntes se imparten en la clase.Rogamos disculpen los posibles errores tipograficos que se iran arreglando.

2

1.2. CONCEPTOS TOPOLOGICOS EN RN 3

1.2 Conceptos topologicos en Rn

Definicion 1.2.1 Bola abierta y cerrada en Rn .

Nota 1.2.1 Dar las dos notaciones siguientes:

B(a, r) = {x ∈ Rn/d(x, a) < r} = {x ∈ Rn/‖x− a‖ < r}.Ejemplo 1.2.1 Dar las bolas con las tres normas definidas anteriormente.

Definicion 1.2.2 Si S ⊂ M , un punto a ∈ S se llama punto interior de S si alguna de lasbolas BM(a, r) esta contenida en S. El interior de S (int(S)), es el conjunto de los puntosinteriores de S.

Definicion 1.2.3 Cada conjunto que contiene una bola con centro en a, se denomina en-torno de a.

Definicion 1.2.4 Un conjunto S de Rn es abierto si es el vacıo o todos sus puntos soninteriores.

Proposicion 1.2.1 Propiedades.

1. Φ,Rn son abiertos.

2.⋃i∈I

Ai es abierto si los {Ai}i∈I son abiertos.

3.n⋂

i=1

Ai es abierto si los {Ai}ni=1 son abiertos.

Definicion 1.2.5 Un conjunto S de Rn es cerrado si su complementario Rn−S es abierto.

Proposicion 1.2.2 Propiedades.

1. Φ,Rn son cerrados.

2.⋂i∈I

Fi es cerrado si los {Fi}i∈I son cerrados.

3.n⋃

i=1

Fi es cerrado si los {Fi}ni=1 son cerrados.

Nota 1.2.2 Hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados (a, b]

Definicion 1.2.6 Sea S un subconjunto de Rn, y sea x ∈ Rn; no necesariamente de S.Entonces se dice que x es adherente a S si toda n-bola B(x) contiene un punto de S, por lomenos.

4 Grupo COSDE espacio Rn

Ejemplo 1.2.2 Si x ∈ S, entonces x es punto adherente.S = (1, 3] ∪ 5, entonces los puntos 1, 2, 5 son adherentes.

Definicion 1.2.7 El conjunto de todos los puntos adherentes de un conjunto dado S sellama adherencia de S y se designa por S.

Definicion 1.2.8 Si S ⊂ Rn y x ∈ Rn, entonces x se llama punto de acumulacion de S sicada n-bola B(x) contiene por lo menos un punto de S distinto de x.

Ejemplo 1.2.3 S = (1, 3] ∪ 5, entonces los puntos 1, 3 son p.a. pero el punto 5 no.

Definicion 1.2.9 Si x ∈ S pero x no es punto de acumulacion de S, se dice que x es unpunto aislado de S.

Definicion 1.2.10 El conjunto de todos los puntos de acumulacion de un conjunto S sellama conjunto derivado de S y se designa por S

′.

Proposicion 1.2.3 Un conjunto S de Rn es cerrado ⇔ contiene todos su puntos adherentes(S ⊂ S) .

Demostracion⇒ Sea S cerrado y x adherente a S. Vamos a probar que x ∈ S p.r.a.a.x /∈ S ⇒ x ∈ (Rn − S), abierto, ⇒ existe alguna bola B(x) ⊂ (Rn − S). Luego B(x) nocontiene puntos de S, en contra con la definicion de que x es adherente a S.⇐ Sea x ∈ (Rn − S), ⇒ x /∈ S, luego x no es adherente a S. Por lo tanto, existe una B(x)que no corta a S, por consiguiente B(x) ⊂ Rn − S. Por lo que Rn − S es abierto y S escerrado ¤

Como S ⊂ S ya que todo punto de S es adherente a S, por el teorema anterior, tenemosque:

Consecuencia 1.2.1 S es cerrado ⇔ S = S.

Ahora, por el teorema anterior, S es cerrado ⇔ S = S = S⋃

S′ ⇔ S

′ ⊂ S, con lo que setiene:

Proposicion 1.2.4 Un conjunto S ⊂ Rn es cerrado ⇔ contiene todos sus puntos de acu-mulacion.

Definicion 1.2.11 Un conjunto S ∈ Rn esta acotado si esta contenido totalmente en unan-bola B(a, r) para algun r > 0 y algun a ∈ Rn.

Teorema 1.2.1 Teorema de Bolzano-Weierstrass. Si un conjunto acotado S de Rn

contiene una infinidad de puntos, entonces existe por lo menos un punto de Rn que es unpunto de acumulacion de S.

Definicion 1.2.12 El conjunto S ⊂ Rn es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

1.3. FUNCIONES VECTORIALES: LIMITES Y CONTINUIDAD 5

Teorema 1.2.2 S ⊂ Rn es compacto ⇔ todo subconjunto infinito de S tiene un punto deacumulacion.

Definicion 1.2.13 Sea S un subconjunto de un espacio metrico M . Un punto x de M sellama punto frontera de S si cada bola BM(x, r) contiene por lo menos, un punto de S y,por lo menos, un punto de M − S. El conjunto de todos los puntos frontera de S se llamafrontera de S y se designa por ∂S.

Como ∂S = S⋂

M − S, se tiene que ∂S es cerrado en M .

1.3 Funciones vectoriales: lımites y continuidad

Sea f : A ⊂ Rn → T ⊂ Rm.

1.4 Funciones: distintos tipos

Definicion 1.4.1 f : Rn −→ Rm

1. n = m = 1 : Funcion real de variable real.

2. n = 1; m ≥ 1 : Funcion vectorial de variable real.

3. n ≥ 1; m = 1 : Campo escalar.

4. n ≥ 1; m ≥ 1 : Campo vectorial.

Definicion 1.4.2 Dominio de la funcion.

Ejemplo 1.4.1 Encontrar los siguientes dominios:

1. f(x, y) =√

3− x2 +√

3− y2

2. f(x, y, z) =√

1− x2 − y2 − z2

Definicion 1.4.3 Lımite de una funcion en un punto (punto de acumulacion).

Si p es un punto de acumulacion de A y si b ∈ T , la notacion

limx→p

f(x) = b

significa lo siguiente:Para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que dT (f(x), b) < ε siempre que x ∈ A, x 6=p, y dS(x, p) < δ. Dar la definicion por normas

Ejemplo 1.4.2 Calcular el lımite de la funcion f(x, y) = xyx2+y2 en el punto (0, 0) en los

siguientes conjuntos:


1. A = {y = ax, a 6= 0}.2. A = {y = ax2, a 6= 0}.3. A = {y2 = ax, a 6= 0}.4. A = R2 con x = rcos(α); y = rsen(α).

Proposicion 1.4.1 El lımite de una funcion en un punto, si existe, es unico.

Definicion 1.4.4 : Lımites direccionales y reiterados en R2.

Nota: Los lımites limx⇒a

f1(x) = limx⇒a

(limy⇒b

f(x, y)); limy⇒b

f2(y) = limy⇒b

(limx⇒a

f(x, y)) se llaman lımites

reiterados.

Teorema 1.4.1 Sea f : R2 −→ R y (a, b) ∈ R2. Para cada x ∈ R, denotemos por f1(x) =limy⇒b

f(x, y), y para cada y ∈ R, denotemos por f2(y) = limx⇒a

f(x, y). Suponiendo que estos

lımites existen, se cumple: si existen f1(x) y f2(y) y lim(x,y)⇒(a,b)

f(x, y) = L, entonces existen

los lımites limx⇒a

f1(x), limy⇒b

f2(y) y se tiene que limx⇒a

f1(x) = limy⇒b

f2(y) = lim(x,y)⇒(a,b)

f(x, y) = L.

1. Dada la funcion f(x, y) = x2−y2

x2+y2 , si (x, y) 6= 0 y f(0, 0) = 0 probar que los lımites reite-

rados pueden existir y ser distintos, por lo que no existira el lımite doble lim(x,y)⇒(a,b)

f(x, y).

2. Dada la funcion f(x, y) = xyx2+y2 , si (x, y) 6= 0 y f(0, 0) = 0 probar que los lımites

reiterados pueden existir, ser iguales y sin embargo, no existir lim(x,y)⇒(a,b)

f(x, y).

3. Dada la funcion f(x, y) = y si x > 0, f(x, y) = −y si x ≤ 0 probar que puede existirlim

(x,y)⇒(a,b)f(x, y) sin que exista alguno de f1(x) o f2(y).

4. Dada la funcion f(x, y) = xsen( 1yy probar que puede existir lim

(x,y)⇒(a,b)f(x, y) sin que

exista alguno de f1(x) o f2(y).

Teorema 1.4.2 Sea fi : A ⊂ Rn −→ R 1 ≤ i ≤ m y sea f = (f1, f2, . . . , fm) : Rn −→ Rm.Sea a un punto de acumulacion de A y b ∈ Rm, entonces: lim

x⇒ax∈A

f(x) = b ⇔ limx⇒ax∈A

fi(x) =

bi ; (1 ≤ i ≤ m)

Algebra de lımitesSean f, g : A ⊂ Rn → T ⊂ Rm, a ∈ A, un punto de acumulacion, de tal manera que existenlimx⇒ax∈A

f(x); limx⇒ax∈A

g(x), entonces se verifican las siguientes propiedades:

1. limx⇒ax∈A

(λf(x) + µg(x)) = λlimx⇒ax∈A

f(x) + µlimx⇒ax∈A

g(x)

1.5. FUNCIONES CONTINUAS 7

2. Supongamos que m = 1limx⇒ax∈A

(f(x)g(x)) = limx⇒ax∈A

f(x)limx⇒ax∈A

g(x)

3. Supongamos que m = 1

limx⇒ax∈A

f(x)

g(x)=

limx⇒ax∈A

f(x)

limx⇒ax∈A

g(x)

Lımites infinitos

1. Sea A ⊂ Rn no acotado, entonceslimx⇒∞x∈A

f(x) = b ⇔ ∀ε > 0,∃K > 0/si x ∈ A, y ||x|| > K ⇒ ||f(x)− b|| < ε

2. limx⇒∞x∈A

f(x) = ∞⇔ ∀H > 0,∃K > 0/si x ∈ A, y ||x|| > K ⇒ ||f(x)|| > H

3. Sea a ∈ A punto de acumulacion, entonceslimx⇒ax∈A

f(x) = ∞⇔ ∀H, ∃δ > 0/si 0 < ||x− a|| < δ, y x ∈ A ⇒ ||f(x)|| > H

1.5 Funciones continuas

Definicion 1.5.1 Sean (S, dS) Y (T, dT ) espacios metricos y sea f : S → T una funcion deS en T . La funcion f se dice continua en un punto p de S si para cada ε > 0, existe unδ > 0 tal que

dT (f(x), f(p)) < ε, siempre que dS(x, p) < δ.

Si f es continua en todos los puntos del subconjunto A, se dice que es continua en A.

Teorema 1.5.1 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : f(A) ⊂ Rm −→ Rk. Sea a un punto deacumulacion de A y f continua en a, f(a) punto de acumulacion de f(A) y g continua enf(a), entonces gof es continua en a.

Teorema 1.5.2 Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm entonces: f es continua en a ∈ A ⇔ fi escontinua en a.(Dejar como ejercicio).

Ejemplo 1.5.1 Estudiar la continuidad de las funciones:

1. f(x, y) = ( x2yx2+y2 , cos(2x + y), ex+2y) si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0.

2. f(x, y) = x2y2

x2y2+(x−y)2si (x, y) 6= (0, 0) y f(0, 0) = 0.


1.5.1 Acotacionesx2

x2+y2 ≤ 1 y2

x2+y2 ≤ 1

|x|√x2+y2

≤ 1 |y|√x2+y2

≤ 1

|sen(x)| ≤ |x| si x → 0 |xy| ≤ 12(x2 + y2)

ax2

bx2+cy2 ≤ ab

si a, b, c > 0 ay2

bx2+cy2 ≤ ac

si a, b, c > 0

1.6 Curvas de nivel

Definicion 1.6.1 Sea f : A ⊂ Rn −→ V ⊂ R, definimos la curva de nivel de valor c alconjunto Sc = {x ∈ A/f(x) = c}. Si n = 2 se llama curva de nivel. Si n = 3 se llamasuperficie de nivel.

Ejemplo 1.6.1 Ver los conjuntos de nivel siguientes:

1. Encontrar las curvas de nivel de f(x, y) = x2 + y2.

2. Encontrar las superficies de nivel de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

1.7 Continuidad uniforme

Definicion 1.7.1 Definicion de funcion uniformemente continua en un conjunto.

Proposicion 1.7.1 Si f es uniformemente continua en el conjunto A, entonces es continua.

Teorema 1.7.1 Teorema de Heine: Sea A ∈ Rn compacto. Si f es continua en A, entoncesf es uniformemente continua.(No dem.)

Ejemplo 1.7.1 Sea S = (0, 1], f : S −→ R ; f(x) = 1x, esta funcion es continua en S y no

es uniformemente continua.

Tomemos ε = 10 y supongamos que ∃0 < δ < 1 que cumple la condicion: x = δ, y = δ11

,entonces |x− y| = 10δ

11< δ, y sin embargo |f(x)− f(y)| = |1

δ− 11

δ| = 10

δ> 10, luego f(x) no

es uniformemente continua.

Ejemplo 1.7.2 Sea S = (0, 1], f : S −→ R ; f(x) = x2,

|f(x)− f(y)| = |x2 − y2| = |x− y||x + y| < 2|x− y|, pues x + y < 2.Si |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < 2δ = ε, por lo que f(x) si es uniformemente continua.

Capıtulo 2

Diferenciabilidad

2.1 Campos escalares

1. Aproximacion de una funcion real de variable real.

2. Diferencial de una funcion real de variable real: (df(a) : R −→ R); df(a)(h) = f ′(a)h.

Proposicion 2.1.1 La diferencial es una aplicacion lineal.

Definicion 2.1.1 Definicion general de la diferencial de una funcion real de variable real.

Definicion 2.1.2 Definicion de la diferencial de un campo escalar: (Df(a)(v)).

La funcion f : S ⊂ Rn −→ R es diferenciable en a ∈ int(S), si existe una funcion linealTa : Rn −→ R tal que:

f(a + v) = f(a) + Ta(v) + ‖v‖Ea(v),

donde Ea(v) ⇒ θ cuando v ⇒ θ y Ea : Rn −→ R ; (Df(a)(v) = Ta(v))

Definicion 2.1.3 Definicion de derivada direccional. (‖v‖ = 1). ( Dvf(a) o f ′(a, v) indis-tintamente). Si (‖v‖ 6= 1) se le dice derivada respecto al vector v.

Dvf(a) = limh→0

f(a + hv)− f(a)

h, si es que existe el lımite.

Definicion 2.1.4 Definicion de derivada parcial. f ′(a, ei) = (Dif(a))

Ejemplo 2.1.1 Sea la funcion f : R3 −→ R f(x1, x2, x3) = (3x1 − x2 + 5x23)

2. Calcularutilizando la definicion: ∂f

∂xien el punto x = (1, 1, 1).

Definicion 2.1.5 Vector gradiente de un campo escalar f : Rn −→ R ((∇f(x))t = ( ∂f∂x1

, ∂f∂x2

, . . . , ∂f∂xn

)).

∇f : Rn −→ Rm es un campo vectorial.

Proposicion 2.1.2 Propiedades del gradiente:

9

10 Grupo COSDE Diferenciabilidad

Sean f, g : Rn −→ R, se tiene entonces:

1. Si f = cte , entonces ∇f(x) = θ.

2. ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g.

3. ∇(f.g) = g.∇f + f.∇g.

4. ∇(f/g) = g.∇f−f.∇gg2 si g(x) 6= 0.

Proposicion 2.1.3 Si f : Rn −→ R es diferenciable en x = a, entonces Df(a)(v) =Dvf(a)(v).

Proposicion 2.1.4 Si f : Rn −→ R es diferenciable en x = a, entonces Df(a)(v) =(∇f(a))tv.

Ejemplo 2.1.2 Resolver los dos ejemplos siguientes

1. Calcular la diferencial de f : R3 −→ R dada por f(x, y, z) = xy2z3 en el puntoa = (1, 1, 1) y el vector vt = (1, 3, 2).

2. Calcular aproximadamente Ln(0.093 + 0.993), utilizando la funcion f(x, y) = Ln(x3 +y3) en el punto a = (0, 1) y vt = (0.09,−0.01).

f(a + v) ≈ f(a) + Ta(v), luego f(0, 1) = 0; Ta(v) = ∇f(a).v = (0, 3)

(0.09−0.01

)= −0.03.

2.2 Diferenciabilidad y continuidad

Proposicion 2.2.1 Sea f : Rn −→ R diferenciable en el punto x = a, entonces es continuaen dicho punto.

Teorema 2.2.1 Teorema del valor medio. Sea f : R −→ R. Si f es continua en [a, b] y

diferenciable en (a, b) entonces ∃c ∈ (a, b)/g′(c) = g(b)−g(a)b−a

.

Definicion 2.2.1 Se define el segmento de Rn de extremos a y b al conjunto L[a, b] = {x ∈Rn/x = λa + (1− λ)b, con 0 ≤ λ ≤ 1}.

Teorema 2.2.2 Teorema del valor medio para campos escalares. Sea f : A ⊂ Rn −→ R , a yb puntos de A. Si f es diferenciable en el segmeto L(a, b), entonces ∃c ∈ L(a, b)/f(b)−f(a) =(∇f(c))t(b− a).

Ejemplo 2.2.1 Sea f : R3 −→ R dada por f(x, y, z) = xyz el punto a = (1, 1, 0) y el puntob = (1, 0,−1), encontrar el punto c que verifique el teorema del valor medio.

2.3. DIFERENCIAL DE CAMPOS VECTORIALES 11

f(b) = f(1, 0,−1) = 0; f(a) = f(1, 1, 0) = 0; b − a = (1, 0,−1)t − (1, 1, 0)t = (0,−1,−1)t;∇f(x, y, z) = (yz, xz, xy); ∇f(x, y, z)(b − a) = −xz − xy, luego ha de ser −xz − xy = 0.Ahora x ∈ L[a, b], luego x = λa + (1− λ)b = λ(1, 1, 0)t + (1− λ)(1, 0,−1)t ⇒ x = 1; y = λ;z = λ− 1.Como xz + xy = 0, substituyendo, tenemos −1(1 − λ) + λ = 0 ⇒ λ = 1/2. Luego x =12(1, 1, 0)t + 1

2(1, 0,−1)t = (1, 1

2,−1

2)t.

Teorema 2.2.3 Condicion suficiente de diferenciabilidad. Supongamos que una de las de-rivadas parciales ( ∂f

∂xi) (1 ≤ i ≤ n) existe en el punto a y que las restantes n − 1 derivadas

parciales existen en una cierta bola B(a) y son continuas en a. Entonces f es diferenciableen a.

Proposicion 2.2.2 Propiedades de las diferenciales. Sean f, g : Rn −→ R diferenciables ena , entonces:

1. f + g es diferenciable en x = a y D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a).

2. λf es diferenciable en x = a y D(λf)(a) = λDf(a).

3. f.g es diferenciable en x = a y D(f.g)(a) = f(a).Dg(a) + Df(a).g(a).

4. Si g(a) 6= 0 ,f/g es diferenciable en x = a y D(f/g)(a) = g(a).Df(a)−f(a).Dg(a)g(a)2

.

2.3 Diferencial de campos vectoriales

f : Rn −→ Rm

Definicion 2.3.1 Definicion de derivada direccional.( Dvf(a) o f ′(a, v) indistintamente).

Definicion 2.3.2 Definicion de derivada parcial.(f ′(a, ei) = Deif(a) = Dif(a)).

Proposicion 2.3.1 Sea f : S ⊂ Rn −→ Rm; ∃f ′(a, v) = Dvf(a) ⇔ ∃f ′i (a, v) = Dvfi(a)(1 ≤i ≤ m) y se tiene que f ′(a, v) = (f

′1(a, v), f

′2(a, v), . . . , f

′m(a, v)), es decir:

Dvf(a) = (Dvf1(a), Dvf2(a), . . . , Dvfm(a))

Definicion 2.3.3 Definicion de diferenciabilidad de un campo vectorial.

La funcion f : S ⊂ Rn −→ Rm es diferenciable en a ∈ int(S), si existe una funcion linealTa : Rn −→ Rm tal que:

f(a + v) = f(a) + Ta(v) + ‖v‖Ea(v),

donde Ea(v) ⇒ θ cuando v ⇒ θ y Ea : Rn −→ Rm ; (Df(a)(v) = Ta(v)).

Proposicion 2.3.2 f es diferenciable ⇔ fi lo son.

Corolario 2.3.1 Si f es diferenciable en a ∈ So ⊂ Rn entonces Ta(v) = Df(a)(v).


Corolario 2.3.2 Si f es diferenciable en x = a, entonces es continua en dicho punto.

Teorema 2.3.1 f : S ⊂ Rn −→ Rm diferenciable en a ∈ So y si v =n∑

i=1

viei entonces

Df(a)(v) =n∑

i=1

vi[Dif1(a), Dif2(a), . . . , Dkfm(a)].

Consecuencia 2.3.1

Ta(v) = Df(a)(v) =

∇f t1(a)

∇f t2(a)..

∇f tm(a)

v.

Ejemplo 2.3.1 Encontrar la matriz jacobiana de f : R2 −→ R3, dada por: f(x, y) =

xyx−yx+y

ln|x|

.

Teorema 2.3.2 Si f : Rn → R es diferenciable, la derivada direccional toma el maximovalor en la direccion del gradiente.

Demostracion

Dvf(a) = ∇f(a)v = ‖∇‖cos(α) =

‖∇f(a)‖ si α = 0 ⇒ v = ∇f(a)0 si α = π

2o 3

2π

−‖∇f(a)‖ si α = π ⇒ v = −∇f(a)¤

Consecuencia 2.3.2 Dvf(a) ∈ [−‖∇f(a)‖, ‖∇f(a)‖]

Ejemplo 2.3.2 Determinar la direccion en que se minimiza la derivada direccional de lafuncion f(x1, x2, x3) = x2

1 + 4x22 + 9x2

3 en el punto (1, 2,−1)

Ejemplo 2.3.3 Determinar las direcciones de desplazamiento a partir del punto (2,−1, 1)que deja invariable el valor del campo f(x1, x2, x3) = 2x2

1 − x22 + x2

3

Teorema 2.3.3 Regla de la cadena : Sea f : Rn −→ Rm diferenciable en a ∈ Rn y g :Rm −→ Rp diferenciable en f(a), entonces gof : Rn −→ Rk es diferenciable en a y severifica que D(gof)(a) = D[g(f(a))].Df(a).

2.4. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 13

2.4 Derivadas de orden superior

Definicion 2.4.1 Sea f : Rn → Rm, entonces Djf : Rn → Rm. Si Djf posee derivadasparciales, estas se llamaran derivadas parciales de segundo orden y las representamos por:

Dijf(x) = Di(Djf(x)) =∂2f(x)

∂xixj

Definicion 2.4.2 Sea f : Rn → R, llamamos matriz Hessiana de f a:

H(f(x)) =

∂2f(x)

∂x21

∂2f(x)∂x2∂x1

. . . ∂2f(x)∂xn∂x1

∂2f(x)∂x1∂x2

∂2f(x)

∂x22

. . . ∂2f(x)∂xn∂x2

......

∂2f(x)∂x1∂xn

∂2f(x)∂x2∂xn

. . . ∂2f(x)∂x2

n

Definicion 2.4.3 Diferencial de orden superior de un campo escalar.

Sea f : Rn → Rm, A ⊂ Rn abierto que contiene al punto a ∈ Rn. Supongamos que f esdiferenciable en A.

Recordemos que L(Rn,Rm) es el e.v. de las aplicaciones lineales. Si x ∈ A, entoncesDf(x) es una aplicacion lineal, luego Df(x) ∈ L(Rn,Rm).

Sea, entonces :Df : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm)

x → Df(x).

Llamamos a esta funcion diferencial primera de la funcion f .Dotamos a L(Rn,Rm) de la siguiente norma ‖u‖ = sup

‖x‖n≤1

‖u(x)‖m.

Definicion 2.4.4 Si la aplicacion Df es diferenciable en el punto a ∈ A, decimos que lafuncion admite diferencial segunda en el punto a y esta diferencial segunda es la diferencialen a de la funcion Df y la representamos por D2f(a).

Si Df es diferenciable en a es porque existe una aplicacion lineal Ta : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm)y una funcion ρ : E(0) ⊂ Rn → L(Rn,Rm), tal que:

1. Df(a + h)−Df(a) = Ta(h) + ρ(h)

2. limh→0

ρ(h)

‖h‖ = 0

Ahora (1) es una aplicacion lineal en cada miembro, luego Df(a + h)(v) − Df(a)(v) =Ta(h)(v) + ρ(h)(v), pero Df(a)(v) = Dvf(a); Df(a + h)(v) = Dvf(a + h) y ademas:Ta : A ⊂ Rn → L(Rn,Rm)

h → Ta(h).

Ta es lineal en h, pero Ta(h) ∈ L(Rn,Rm), luego:Ta(h) : Rn → Rm

v → Ta(h)(v), por lo que Ta(h) es lineal en v.


Es decir, Ta(h)(v) es lineal en h y v, por lo que es una aplicacion bilineal, luego Ta(h)(v) =Ta(h, v).Por lo que tendremos que:

Dvf(a + h)−Dvf(a) = Ta(h, v) + ρ(h)(v)

Tomemos h = tw ⇒ Dvf(a + tw) − Dvf(a) = Ta(tw, v) + ρ(tw)(v), y dividiendo por t,tenemos:

Dvf(a + tw)−Dvf(a)

t= Ta(w, v) +

ρ(tw)(v)

t

y tomando lımites cuando t → 0

D2wvf(a) = Ta(w, v) = D2f(a)(w, v).

Consecuencia 2.4.1 D2f(a) es una aplicacion bilineal.

Si m = 1, entonces f : Rn → R y si {e1, e2, . . . , en} es la base canonica, se tiene queTa : Rn × Rm → R, la forma bilineal viene dada por la matriz Ta(ei, ej) = Dijf(a) que es la

matriz Hessiana. Luego D2f(a)(v, w) =n∑

i,j=1

Dijf(a)viwj.

Analogamente D3f(a)(u, v, w) =n∑

i,j,k=1

Dijkf(a)uivjwk

Teorema 2.4.1 Teorema de Schwarz: Si las derivadas parciales Drf , Dkf y Dk,r soncontinuas en una bola B(a), entonces existe Dr,kf(a)y es igual a Dk,rf(a).

Definicion 2.4.5 Definicion de Matriz Hessiana.

2.5 Derivacion matricial

La definicion de la diferenciacion de escalares respecto a matrices es tal que el orden de lamatriz resultante debe de ser del mismo orden que la matriz respecto a la cual se deriva.Asıconsideremos el escalar xtAy, donde A ∈Mm×n, entonces:

∂xtAy

∂x=

∂xtAy∂x1

∂xtAy∂x2...

∂xtAy∂xn

= Ay,

2.5. DERIVACION MATRICIAL 15

ya que

xtAy = (x1, x2, . . . , xn)

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

y1

y2...

yn

= (x1, x2, . . . , xn)

n∑j=1

a1jyj

n∑j=1

a2jyj

...n∑

j=1

amjyj

=

(m∑

i=1

ai1xi,

m∑i=1

ai2xi, . . . ,

m∑i=1

ainxi)

y1

y2...

yn

=

m∑i=1

n∑j=1

xiaijyj. Notemos que ∂xtAy∂xi

=n∑

j=1

aijyj,

por lo que

∂xtAy

∂x=

∂xtAy∂x1

∂xtAy∂x2...

∂xtAy∂xm

=

n∑j=1

a1jyj

n∑j=1

a2jyj

...n∑

j=1

amjyj

= Ay.

Analogamente∂xtAy

∂y=

∂(xtAy)t

∂y=

∂(ytAtx)

∂y= Atx.

∂xtAy

∂A=

∂xtAy∂a11

. . . ∂xtAy∂a1n

∂xtAy∂a21

. . . ∂xtAy∂a2n

......

...∂xtAy∂am1

. . . ∂xtAy∂amn

=

x1y1 x1y2 . . . x1yn

x2y1 x2y2 . . . x2yn...

......

...xmy1 xmy2 . . . xmyn

= xty.

Por convencion, la derivada de un vector respecto a un vector es una matriz, ( en realidades la matriz jacobiana).

Ejemplo 2.5.1 Si y = Ax, donde A ∈Mm×n, entonces

∂y

∂xt=

∂y1

∂x1. . . ∂y1

∂xn∂y2

∂x1. . . ∂y2

∂xn...

......

∂ym

∂x1. . . ∂ym

∂xn

.


Ejemplo 2.5.2 La derivada de una matriz con respecto a un escalar da una matriz delmismo orden.

∂B

∂bij

=

∂b11∂bij

. . . ∂b1n

∂bij∂b21∂bij

. . . ∂b1n

∂bij

......

...∂bm1

∂bij. . . ∂bmn

∂bij

=

0 . . . 0 . . . 0...

......

0 . . . 1 . . . 0...

......

0 . . . 0 . . . 0

.

Ahora si la matriz B es simetrica, entonces hay dos elementos bij = bji por lo que

∂B

∂bij

=

0 . . . 0 . . . 0 . . . 0...

......

...0 . . . 0 . . . 1 . . . 0...

......

...0 . . . 1 . . . 0 . . . 0...

......

...0 . . . 0 . . . 0 . . . 0

.

Ejemplo 2.5.3 Derivada de una matriz inversa respecto a un elemento bij viene dada por

∂B−1

∂bij

= −B−1 ∂B

∂bij

B−1.

Para verlo solo es necesario comprobar que:

∂I

∂bij

= 0 =∂B−1B

∂bij

= B−1 ∂B

∂bij

+∂B−1

∂bij

B.

Ejemplo 2.5.4 Consideremos la forma bilineal xtAy simetrica, entonces xtAy = ytAx, porlo tanto:

∂xtAx

∂x= 2Ax

Sea P = (Pij) una matriz.

Proposicion 2.5.1

∫ b

a

(λP (t) + µQ(t))dt = λ

∫ b

a

P (t)dt +

∫ b

a

Q(t)dt ∀λµ ∈ R, P,Q ∈Mm×n.

Definicion 2.5.1 Una funcion matricial P = (pij) es continua en t si cada elemento pij escontinua en t.

Definicion 2.5.2 P′(t) = (p

′ij(t)) si existe p

′ij(t) ∀i, j.

Proposicion 2.5.2 Se verifican las siguientes propiedades:

2.6. APROXIMACION DE FUNCIONES POR POLINOMIOS 17

1. (P + Q)′= P

′+ Q

′P,Q ∈Mm×n.

2. (P.Q)′= P

′Q + PQ

′P ∈Mm×n, Q ∈Mn×r.

3. (Q−1)′= −Q−1Q

′Q−1; Q no singular.

4. (PQ−1)′= −PQ−1Q

′Q−1 + P

′Q−1.

5. (P k)′=

k−1∑j=0

P jP′P k−j−1.

6. Si F (t) = P [g(t)] ⇒ F′(t) = g

′(t)P

′(g(t)), siendo F y g derivables.

Demostracion

1. (pij + qij)′= p

′ij + q

′ij.

2. (pij.qij)′= p

′ij.qij + pij.q

′ij.

3. Si A = cij con cij ∈ R, entonces c′ij = 0, luego A

′= Θ, por lo tanto:

Θ = I′= (QQ−1)

′= Q

′Q−1 + Q(Q−1)

′, y de aquı sigue lo pedido.

4. Se hace teniendo en cuenta los dos apartados anteriores.

5. Por induccion, suponemos que (P k)′=

k−1∑j=0

P jP′P k−j−1, entonces:

(P k+1)′= (PP k)

′= P

′P k + P (P k)

′= P 0P

′P k +

k−1∑j=0

P j+1P′P k−j−1 =

k−1∑

h=0

P hP′P k−h,

ya que si hacemos j + 1 = h, tenemos quek−1∑j=0

P jP′P k−j−1 =

k−1∑

h=1

P hP′P k−h.

6. Utilizando la regla de la cadena. ¤

2.6 Aproximacion de funciones por polinomios

Definicion 2.6.1 Aproximacion de funciones reales de variable real.

Definicion 2.6.2 Polinomio de Taylor de una funcion real de variable real.

Proposicion 2.6.1 Sea f : R −→ R y f ∈ Cn(E(a)) , entonces limx⇒af(x)−Pn(x)

(x−a)n = 0.

Definicion 2.6.3 Resto de Taylor.


Teorema 2.6.1 Teorema de Taylor: Sea f : [a, b] ⊂ R −→ R, f ∈ Cn(E(a)),∃fn+1(a),

entonces ∃c ∈ (a, b)/f(b)− f(a)−n∑

k=1

1

k!fk(a)(b− a)k − fn+1(c)

(n + 1)!(b− a)n+1 = 0.

Definicion 2.6.4 Formula de Taylor. Resto de Lagrange y de Cauchy.

Ejemplo 2.6.1 de aproximacion.

Definicion 2.6.5 Formula de Maclaurin.

Formula de Taylor para un campo escalar.

Teorema 2.6.2 Sea f : Rn −→ R , f admite todas sus derivadas parciales de orden < men el conjunto abierto S ∈ Rn. Sea a, b ∈ S/L(a, b) ⊂ S, entonces ∃z ∈ L(a, b)/f(b)− f(a)

=m−1∑

k=1

1

k!fk(a; b− a) +

1

m!fm(z, b− a).

Nota 2.6.1 Nosotros utilizaremos:

f(b) = −f(a) +∇f(a)(b− a) +1

2!(b− a)tHf(x)(b− a) + R2(z).

Serıa aconsejable hacer un ejercicio hasta la diferencial tercera.

Capıtulo 3

Funciones implıcitas

3.1 Introduccion

Definicion 3.1.1 Definicion de funcion implıcita y explıcita

Ejemplo 3.1.1 x2 + y2 = r2 ; xy = 1 ; x + y2 + excosy = 0; x2 + y2 + 1 = 0

3.1.1 Funciones implıcitas de una variable

Teorema 3.1.1 Dada g(x, y) = C y a = (a1, a2) ∈ R2 tales que:

1. g(a1, a2) = C

2. g es continua en un entorno de a

3. ∃ ∂g∂x

, ∂g∂y

y son continuas en un entorno de a.

4. ∂g(a)∂y

6= 0

Entonces ∃E(a1) y una funcion unica f : E(a1) ⊂ R⇒ R tal que:

1. a2 = f(a1)

2. g(x, f(x)) = C∀x ∈ E(a1)

3. f(x) es continua y derivable en a1

3.1.2 Derivacion de funciones implıcitas de una variable

g(x, f(x)) = C ⇒ gx + gydf(x)dx

= 0; gxx + gxyy′ + (gyx + gyyy

′)y′ + gyy′ = 0

Ejemplo 3.1.2 Derivar

1. g(x, y) = cos(x + y) + y = 0

2. Determinar la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) dada por g(x, y) ≡x2 + x3 − y+4 = 0 en (−1, 0)

19

20 Grupo COSDE funciones implıcitas

3.1.3 Campos escalares definidos implıcitamente

Sea g : Rn ⇒ R con g(x) = 0. ¿ Podra encontrarse la funcion xj = f(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn)?

Teorema 3.1.2 Dada g(x) = C , x ∈ Rn y a = (a1, . . . , an) ∈ Rn tales que:

1. g(a) = C

2. g es continua en un entorno de a

3. ∃ ∂g∂xi

para1 ≤ i ≤ n y son continuas en un entorno de a.

4. ∂g(a)∂xj

6= 0

Entonces ∃ E(a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , an) y una funcion unica f : E(a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , an)⊂ Rn−1 ⇒ R tal que:

1. aj = f(a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , an)

2. g(x1, . . . , xj−1, f(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn), xj+1, . . . , xn) = 0; ∀(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn)∈ E(a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , an)

3. f es continua y derivable en (a1, . . . , aj−1, aj+1, . . . , an)

Definicion 3.1.2 Si ∂g(a)∂xi

= 0 para 1 ≤ i ≤ n, se dice que a es un punto singular o crıtico

Ejemplo 3.1.3 : g(x, y, z) ≡ x2 + y2 + z2 = 1. Calcular x = f(y, z) en los puntos (1, 0, 0)y (−1√

3, 1√

3, 1√

3).

3.1.4 Derivacion de campos escalares definidos implıcitamente

Sea g(x1, . . . , xj−1, f(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn), xj+1, . . . , xn) = C, entonces ∂f∂xi

=∂g∂xi∂g

∂xj

gxixi+ gxixj

x′j + (gxjxi

+ gxjxjx′j)x

′j + gxj

x′j = 0

Ejemplo 3.1.4 1. Sea g(x, y, z) ≡ z3−3xyz = C. Comprobar que z = f(x, y) y calcular∂f∂x

; ∂f∂y

2. Sea g(x, y, z) ≡ xyz − (x + y + z) = C. Comprobar que y = f(x, z) y calcular ∂f∂x

; ∂f∂z

en el punto (2, 0, 2).

3. Sea g(x, y, z) ≡ xey + yex + zex = C. Comprobar que z = f(x, y) y calcular:

∂f∂x

; ∂f∂y

3.2. CAMPOS VECTORIALES DEFINIDOS IMPLICITAMENTE 21

3.2 Campos vectoriales definidos implıcitamente

Sea h : Rn ⇒ Rm con n ≥ m y h(x) = CCasos posibles

1. n = m. Sistema de tantas ecuaciones como incognitas que pueden tener o no solucion.

2. n > m. Hay mas incognitas que ecuaciones. Sea x ∈ Rn / x = (xB, xNB), con xB ∈ Rm

y xNB ∈ Rn−m. Fijemos xNB. Si el sistema resultante posee solucion, tendremos que :xB = Φ(xNB), con h(Φ(xNB), xNB) = C, siendo Φ : Rn−m ⇒ Rm.

Teorema 3.2.1 Sea h : Rn ⇒ Rm con n ≥ m y h(x) = C, a ∈ Rn tal que:

1. hi : Rn ⇒ R son continuas con derivadas parciales continuas en un entorno de a.

2. hi(a) = Ci ⇔ h(a) = C

3.

J(h)

x1, x2, . . . , xm

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂h1(a)∂x1

. . . ∂hm(a)∂x1

∂h1(a)∂x2

. . . ∂hm(a)∂x2

......

...∂h1(a)∂xm

. . . ∂hm(a)∂xm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0

Se tiene entonces que: ∃E(aNB) y m funciones Φi(xNB), tales que:

1. aB = Φ(aNB)

2. La funciones Φi(xNB) son continuas y con derivadas parciales continuas.

3. h(Φ1(xNB), . . . , Φ(xNB)) = C ∀xNB ∈ E(aNB)

Ejemplo 3.2.1 1. Sea Ax = b con A ∈ Mmxn, con m < n, x ∈ Rn, b ∈ Rm y r(A) = m.Sea A1 submatriz de rango m de A, entonces:(A1, A2)(xB, xNB) = b ⇒ xB = A−1

1 b− A−11 A2xNB

2. Aplicarlo al ejemplo numerico siguiente: x + y + z = 0 ; 2x + 3y + 2z = 0

3. Dado el sistema: x + xy + xyz = 160 , x2 + y2 + xyz = 225. Comprobar que (x, z) =(f1(y), f2(y)) en un entorno del punto (10, 5, 2)

3.2.1 Derivacion de campos vectoriales definidos implıcitamente

Hacerlo derivando implıcitamente.

22 Grupo COSDE funciones implıcitas

3.3 Dependencia funcional

Sea h : Rn ⇒ Rm, con hi diferenciables con derivadas parciales continuas y D = Dominiode(h)

Definicion 3.3.1 Las funciones {hi}mi=1 son funcionalmente dependientes en D si ∃F :

Rm ⇒ R que no se anula en ningun subconjunto abierto de Rm y tal que para cada x ∈ DF (h1(x),h2(x), . . . , hm(x)) = 0

Teorema 3.3.1 Sea hi : D ∈ Rn ⇒ R 1 ≤ i ≤ m de clase l, en el conjunto D abierto.Entonces las funciones {hi}m

i=1 son dependientes en D ⇔ rango de ( J(h)x1,x2,...,xn

< m

Corolario 3.3.1 Si m = n las funciones {hi} son dependientes si | J(h)x1,x2,...,xn

| = 0

Ejemplo 3.3.1 Estudiar la dependencia funcional de:

1. h1 = x2 + y2 + z2 , h2 = x3 + y3 + z3

2. h1 = xy , h2 = exy + 1

3.4 Funciones homogeneas

Definicion 3.4.1 f : S ⊂ Rn ⇒ R es homogenea de grado m si ∀x ∈ S, ∀t ∈ R con t > 0y tx ∈ S, se tiene que f(tx) = tmf(x)

Ejemplo 3.4.1 Determinar el grado de homodeneidad de :

1. f(x) =√

2x + y

2. f(x) =√

x + ysen(xy)

3. q(k, l) = AKαLβ

Proposicion 3.4.1 1. Si f y g son homogeneas de grado m, entonces f + g tambien loes.

2. Si f es homogenea de grado m, entonces h(x) = λf(x) tambien.

3. El conjunto de las funciones homogeneas de grado m es un e.v.

4. sea f de grado m y g de grado n, entonces:

(a) f.g es de grado m + n

(b) fg

es de grado m− n si fg

esta definida.

5. f(x) es de grado m ⇔ f(x)xm

i= Φ(x1

xi, . . . , xi−1

xi, xi+1

xi, . . . , xn

xi)

6. Si f es homogenea de grado m y ∃g(x) = ∂pf(x)∂xp

i, entonces g(x) es homogenea de grado

m− p.

Teorema 3.4.1 Teorema de Euler: Sea f diferenciable, se cumple entonces:f es homogenea de grado m ⇔ ∇f(x).x = mf(x)

Capıtulo 4

Optimizacion clasica

4.1 Calculo de extremos de funciones reales de variable

real

Teorema 4.1.1 Sea f : R −→ R tal que f ′(a) = f ′′(a) = . . . fn−1(a) = 0 y fn(a) 6= 0 yfn(x) continua, entonces:

1. Si fn(a) > 0 y n par , se tiene que a es un mınimo local.

2. Si fn(a) < 0 y n par , se tiene que a es un maximo local.

3. Si n es impar , se tiene que a es un punto de inflexion.

4.1.1 Introduccion a la optimizacion en varias variables

Definicion 4.1.1 Problemas de programacion matematica general.

ming(x)≤b ;h(x)=k

x∈Rn

f(x)

donde f : Rn −→ R, g : Rn −→ Rm h : Rn −→ Rp

Definicion 4.1.2 Conjunto factible, puntos factibles y direcciones factibles.

Definicion 4.1.3 Optimos o extremos de un problema de programacion matematica. (mınimo y maximo local y global)

4.1.2 Programacion matematica sin restricciones

Condicion necesaria de primer orden de optimalidad local

Teorema 4.1.2 Sea f : Rn −→ R, con derivadas parciales continuas en Rn, se tiene enton-ces que:Si a es un mınimo local de f se cumple que ∂f(a)

∂xi= 0 para 1 ≤ i ≤ n

23

24 CAPITULO 4. OPTIMIZACION CLASICA

Definicion 4.1.4 Definicion de punto crıtico, o estacionario.

Condicion necesaria de segundo orden de optimalidad local

Teorema 4.1.3 Sea f : Rn −→ R continua y con derivadas parciales segundas continuasen Rn. Si a es un mınimo local de f entonces:

1. ∇f(a) = 0

2. la matriz hessiana de f es semidefinida positiva.

Definicion 4.1.5 Definicion de punto de silla.

Condicion suficiente de optimalidad local

Teorema 4.1.4 Sea f : Rn −→ R con f ∈ C2, siendo ∇f(a) = 0 , se tiene entonces:

1. Si la hessiana de f definida positiva, entonces a es un mınimo local de f .

2. Si la hessiana de f definida negativa, entonces a es un maximo local de f .

3. Si la hessiana de f indefinida, entonces a es un punto de silla de f .

4. Si la hessiana de f semidefinida positiva, entonces se realiza un estudio local de f endicho punto.

4.1.3 Optimizacion con restricciones de igualdad

ming(x)=bx∈Rn

f(x)

Definicion 4.1.6 funcion lagrangiana L(x, λ) = f(x)− λ(g(x)− b)

Definicion 4.1.7 Definicion de optimo relativo condicionado

Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Teorema 4.1.5 Sea A = {x ∈ Rn/g(x) = b}el conjunto factible de un problema de opimi-zacion con restricciones de igualdad. Supongamos que a ∈ A, y que existe una bola B(a) talque f(x) ≤ f(a) ∀x ∈ (A

⋂B(a)) o tal que f(x) ≥ f(a) ∀x ∈ (A

⋂B(a)). Supongamos,

ademas, que el determinante de orden m det[Djgi(a)] 6= 0. Entonces existen m numerosreales λ1, λ2, . . . , λm tales que satisfacen las n ecuaciones de ∂

∂xiL(a, λ) = 0, es decir, se

cumple que ∇f(a)−m∑

i=1

λi∇gi(a) = 0 (no dem)

Consecuencia: Si la lagrangiana tiene un extremo relativo en (a, λ), entonces f tiene unextremo condicionado en a.

Condiciones suficientes de segundo orden

4.1. CALCULO DE EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 25

Teorema 4.1.6 Si a factible, verifica ∇f(a)−m∑

i=1

λi∇gi(a) = 0 y el hessiano de la lagran-

giana Hf(x)−m∑

i=1

λiHgi(x) = 0, es definido positivo, respecto a los vectores d que pertenecen

al plano tangente a g(x) en el punto a, es decir (∇gi(x).d = 0) para (1 ≤ i ≤ m), entoncesel punto a es un mınimo local estricto del problema. Analogo con un maximo local.

Capıtulo 5

Sucesiones y series funcionales. Seriesde potencias

Definicion 5.0.8 Convergencia puntual de sucesiones de fuciones

Sea fn : R → R y consideremos la sucesion {fn}. Para cada x ∈ R podemos formar lasucesion {fn(x)}. Sea S el conjunto de los x para los cuales converge esta sucesion.Sea

f : R → Rx → f(x) = lim

n→∞fn(x), si x ∈ S

se llama sucesion lımite de la sucesion {fn}, y se dice que {fn} converge puntualmente haciaf en el conjunto S.

Definicion 5.0.9 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones.

Definicion 5.0.10 Sucesion de funciones uniformemente acotada

Teorema 5.0.7 Sea {fn} ⇒ f uniformemente en S y cada fn esta acotada en S, entonces{fn} es uniformemente acotada.

Teorema 5.0.8 Sea {fn} ⇒ f uniformemente en S y cada fn es continua en S, entoncesla funcion lımite tambien es continua.

Corolario 5.0.1 Si a es p.a. de S, entonces limx⇒alimn⇒∞fn(x) = limn⇒∞limx⇒afn(x)

Condicion de Cauchy para la convergencia uniforme

Teorema 5.0.9 Sea {fn}∞n=1 : S ⊂ Rn ⇒ R, entonces:{fn} ⇒ f uniformemente en S ⇒ para cada ε > 0 , ∃N / ∀n,m > N se tiene que |fm(x)−fn(x)| < ε ∀x ∈ S.

26

5.1. SERIES INFINITAS DE FUNCIONES 27

5.1 Series infinitas de funciones

Definicion 5.1.1 Sea {fn} una sucesion de funciones definidas en S. Consideremos para

cada x ∈ S Sn(x) =n∑

k=1

fk(x), para n = 1, 2, . . .. Si existe una funcion f tal que fn ⇒ f

uniformemente en S, se dice que la serien∑

k=1

fk(x) converge uniformemente en S y se escribe

∞∑

k=1

fk(x) = f(x) uniformemente en S

Teorema 5.1.1 Condicion de Cauchy para la convergencia uniforme de series

La serie infinita∞∑

k=1

fk(x) converge uniformemente en S ⇔ para cada ε > 0 ∃Nε / ∀n > N

se tiene que : |n+p∑

k=n+1

fk(x)| < ε para cada p = 1, 2, . . . y cada x ∈ S

Teorema 5.1.2 Criterio M de Weierstrass:Sea {Mn} una sucesion de numeros no negativos tales que 0 ≤ |fn(x)| ≤ Mn para n = 1, 2, . . .

y cada x ∈ S. Entonces∞∑

k=1

fk(x) converge uniformemente en S si∞∑

k=1

Mk converge.

Teorema 5.1.3 Sea∞∑

k=1

fk(x) = f(x) uniformemente en S. Entonces si cada fn es continua

en x = a, se tiene que f tambien es continua en a.

5.1.1 Convergencia uniforme y diferenciacion

Teorema 5.1.4 Supongamos que cada termino de {fn} es una funcion real con derivadafinita en cada punto de un intervalo abierto (a, b). Supongamos que para un punto x0, por lomenos, de (a, b) la sucesion {fn(x0)} converge. Supongamos ademas que existe una funciong tal que f

′n ⇒ g uniformemente en (a, b). Entonces:

1. Existe una funcion f tal que fn ⇒ f uniformemente en (a, b).

2. Para cada x de (a, b) la derivada f′(x) existe y es igual a g(x).

5.2 Convergencia uniforme e integracion de Riemann

Teorema 5.2.1 Supongamos que cada termino de la sucesion {fn} es una sucesion real talque fn ∈ R[a, b] para cada n = 1, 2, . . . . Supongamos que fn → f uniformemente en [a, b] y

definamos gn(x) =

∫ x

a

fn(t)dt si x ∈ [a, b], n = 1, 2, . . . . Entonces tenemos:

28 Grupo COSDE sucesiones y series funcionales. Series de potencias

1. f ∈ R[a, b].

2. gn → g uniformemente en [a, b] en donde g(x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Nota 5.2.1 Esta propiedad se enuncia a menudo diciendo que una sucesion uniformementeconvergente se puede intefrar termino a termino.

Teorema 5.2.2 Supongamos que∞∑

n=1

fn(x) = f(x) (uniformemente en [a, b]), en donde cada

fn es una funcion real tal que fn ∈ R[a, b]. Entonces tenemos:

1. f ∈ R[a, b].

2.

∫ x

a

∞∑n=1

fn(t)dt =∞∑

n=1

∫ x

a

fn(t)dt

Nota 5.2.2 Este teorema se enuncia diciendo que una serie uniformemente convergentepuede ser integrada termino a termino.

5.3 Series de Potencias

Definicion 5.3.1 Se llama serie de potencias en (x−a) a la serie infinita∞∑

n=0

an(x−a)n. A

toda serie de potencias se le asocia un intervalo, llamado intervalo de convergencia, tal quela serie es absolutamente convergente en todo x del interior de este intervalo y divergente entodo x exterior a el. El centro del intervalo es a y su radio se llama radio de convergencia.

Teorema 5.3.1 Dada∞∑

n=0

an(x− a)n, sea λ = limn⇒∞

n√|an|, r = 1

λ, en donde r = 0 si λ = ∞

y r = ∞ si λ = 0. Entonces la serie converge absolutamente si |x − a| < r y diverge si|x−a| > r. Ademas la serie converge uniformemente en todo subconjunto compacto interioral intervalo de convergencia.

Nota 5.3.1 limn⇒∞

| an

an+1

| = r

Teorema 5.3.2 Supongamos que la serie de potencias∞∑

n=0

an(x − a)n converge para cada

x ∈ B(a, r). Entonces la funcion f definida por la ecuacion

f(x) =∞∑

n=0

an(x− a)n, si x ∈ B(a, r), (5.1)

es continua en B(a, r).

5.3. SERIES DE POTENCIAS 29

Teorema 5.3.3 Supongamos que∞∑

n=0

an(x − a)n converge para cada x ∈ B(a, r). Entonces

la funcion f definida por medio de la ecuacion

f(x) =∞∑

n=0

an(x− a)n, si x ∈ B(a, r) (5.2)

tiene una derivada f′(x) para cada x ∈ B(a, r) dada por

f′(x) =

∞∑n=1

nan(x− a)n−1. (5.3)

Las series dadas en (5.2) y en (5.3) tienen el mismo radio de convergencia. A causa de la con-vergencia uniforme, el teorema (5.2.2), nos dice que podemos integrar una serie de potenciastermino a termino en cada subintervalo cerrado contenido en el intervalo de convergencia.Entonces, para cada x ∈ (a− r, a + r) tenemos:

∫ x

a

f(t)dt =∞∑

n=0

an

∫ x

a

(t− a)ndt =∞∑

n=0

an

n + 1(x− a)n+1.

La serie obtenida por medio de la integracion tiene el mismo radio de convergencia.La funcion suma posee derivada de orden cualquiera en el intervalo de convergencia y

esta se obtiene derivando la serie termino a termino.

Ejemplo 5.3.1 Calcular

derivacion matricial

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s es cerrado s

x s x rn s

s tiene

s es adherente

s ints

s distinto

o o denicin

si s rn y x rn