o a algebra matricial

Anexo A.- Álgebra Matricial 1

Álgebra Matricial A.1 Notación y definiciones Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de símbolos o cantidades numéricas ordenadas en filas y columnas. El arreglo se encierra entre paréntesis cuadrados, de manera que si tiene n filas y m columnas la matriz se representa como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnjnnn

imij

mj

mj

mj

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

A

.......................................

.......................................

......

......

......

321

321

33333231

22232221

11131211

(A.1)

En que cada elemento, por ejemplo ija , tiene 2 índices, el primero indica la fila (i) y el segundo indica la columna (j) donde se ubica el elemento en la matriz. Una matriz con n filas y m columnas se define como una matriz de orden n x m. El símbolo A representa el arreglo completo y se subraya para indicar que se trata de una matriz. Matriz fila y Matriz columna Si n=1 la matriz A se reduce a una fila:

[ ]mj aaaaA 111211 ....= (A.2)

y se le llama matriz fila.


En forma análoga, si m = 1 la matriz A queda:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

1

12

11

:

:

n

i

a

a

aa

A (A.3)

Y se le llama matriz columna. A este tipo de matrices también se les da el nombre de vector: y usualmente se denominan en letras minúsculas ( a ). El orden de una matriz fila con m componentes es 1 x m y el de una matriz columna o vector con n componentes es n x 1. Matriz nula (matriz cero) Si todos los elementos de una matriz son iguales a cero, la matriz se llama matriz nula o matriz cero y se escribe 0 . En álgebra matricial la matriz cero cumple la misma función que el cero en el álgebra ordinaria. Matriz cuadrada Si m = n, la matriz A posee igual número de filas y columnas y se llama matriz cuadrada. Las matrices cuadradas ocupan un rol importante en el álgebra matricial pues solo ellas (si sus elementos cumplen ciertas condiciones) pueden tener inversas. Matriz diagonal Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos. Esto significa que 0=ija para ji ≠ y no todos los iia son nulos. Matriz identidad Es una matriz diagonal especial en que todos los elementos de una diagonal son iguales a uno. Normalmente se utiliza el símbolo nI para una matriz identidad de orden n:

[ ]ijn II = en que 1=iiI y 0=ijI para njni ,...,2,1 ,,...,2,1 ==


Matriz de permutaciones Es una matriz identidad en la que se han permutado (intercambiado) filas o columnas.

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11

11

4I

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

11

11

4P (A.4)

Matriz simétrica Es una matriz cuadrada en que los elementos sobre la diagonal principal son iguales a los elementos ubicados bajo dicha diagonal. Esto es:

jiij aa = njni ,...,2,1 , ,...,2,1 == Matriz Triangular (superior o inferior) Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada especial en que todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. En forma análoga se define la matriz triangular inferior, en la que los elementos sobre la diagonal son nulos. Llamando U (“upper”) a la matriz triangular superior y L (“lower”) a la matriz triangular inferior, estas son de la forma:

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

O

O

O

O

0U

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−=

O

O

O

O

0L (A.5)

Matriz de banda Matriz de banda o bandeada es una matriz cuadrada en la que sus elementos se agrupan alrededor de la diagonal principal.


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

OO

OO

OO

OOO

OOO

OOO

OO

OO

O

O

O

000..........00000

0....0

0......00......000......000

5756555453

4645444342

3534333231

24232221

131211

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

A (A.6)

Un caso especial lo constituyen las matrices de banda simétricas. En ese caso solo es necesario conocer los elementos de la diagonal y de la parte superior (o inferior) de la banda por lo que usualmente se almacena la mitad del ancho de banda. La matriz de rigidez es una estructura cuyos nudos han sido numerados en forma adecuada (poca diferencia de numeración de los nudos de cada elemento) es una matriz bandeada simétrica. Hipermatriz Es una matriz cuyos elementos son matrices:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

AAAA

A (A.7)

También se puede llamar a A simplemente matriz en cuyo caso 22211211 y ,, AAAA se denominan submatrices. La hipermatriz también se puede originar de una partición de una matriz. Por ejemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2221

1211

333231

232221

131211

AAAA

aaaqaaaaa

A (A.8)


en que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2212

121111 aa

aaA ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

23

1312 a

aA

[ ]323121 aaA = [ ]3322 aA =

Matriz hiperdiagonal Es una hipermatriz diagonal, esto es, una matriz diagonal en que los elementos de la diagonal son matrices:

{ }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

j

a

aa

a

adiagO

3

2

1

(A.9)

Igualdad Dos matrices son iguales si son del mismo orden (n x m) y todos sus elementos son idénticos:

BA = ijij ba = ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.10) Suma Una matriz C (n x m) se llama suma de dos matrices A (n x m) y B (n x m) si se cumple que:

BAC += ijijij bac += ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.11) Ejemplo:


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

254023

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

213261

B ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

067284

C

Resta En forma similar a la suma

BAC −= ijijij bac −= ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.12) Ejemplo: Con las matrices A y B del ejemplo anterior se tiene que C sería.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

441242

C

Trasposición de una matriz La matriz traspuesta de una matriz A es aquella formada a partir de la matriz A intercambiando sus filas y columnas:

TAB = ijij ab = mi ,...,2,1= , nj ,...,2,1= (A.13) Ejemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

232221

131211

aaaaaa

A ⇒ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2313

2212

2111

aaaaaa

AT

De este modo si la matriz A es de orden n x m, entonces la matriz TA es de orden m x n. Es de hacer notar que se cumplo la siguiente relación:

( ) AATT = (A.14)

Para matrices simétricas se cumple que:


AAT = (A.15)

Multiplicación de una matriz por un escalar Si λ es un número escalar cualquiera entonces y si C y A son dos matrices del mismo orden (n x m)

AC λ= ijij ac λ= ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.16) Multiplicación entre matrices Dos matrices A y B pueden ser multiplicadas entre sí solo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B . En este caso se dice que las matrices son conformadas para la multiplicación. En caso contrario la operación de multiplicación no está definida. La multiplicación de dos matrices A (n x p) y B (p, m) entrega una matriz C (n x m) cuyos elementos se calculan de la siguiente forma.

∑ ==

p

k kjikij bac1

ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.17) en que ika y kjb son elementos de la matriz A y B respectivamente. Ejemplo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

10191356426

1712

31

213654321

La multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, manteniendo el orden de la multiplicación:

( ) ( ) CBACBACBA == (A.18)


( ) CABACBA +=+ (A.19)

La multiplicación de matrices en general no es conmutativa. Si A y B son matrices rectangulares en que la operación A B esta definida, la operación B A ni siquiera está definida. Para matrices A y B , cuadradas en general.

ABBA ≠ (A.20)

Si A es una matriz cuadrada de orden n y I es la matriz identidad de orden n se cumple que

AAIIA == (A.21)

En el producto A B se pude decir que B está premultiplicada por A , o bien que A está post - multiplicada por B . La operación de multiplicación de matrices puede ser extendido a matrices particionadas en submatrices, siempre que estas sean conformadas para la multiplicación:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

BABABABABABABABA

BBBB

AAAA

BA

Traspuesta de un producto de matrices Si A y B son dos matrices conformes para la multiplicación (el producto A B está definido) entonces se cumple que:

( ) TTT ABBA = (A.22)

Por extensión:


( ) TTTTT ABCHHCBA ...... = (A.23)

Casos especiales de productos de matrices Si a y b son dos matrices columnas que usualmente se denominan vectores entonces existen 2 productos especiales entre ellos: a) Producto escalar: Si los 2 vectores a y b son del mismo orden n el producto baT es un número escalar:

∑ ====

n

i iiTT baabba

1λ (A.24)

Dos vectores a y b de orden n son ortogonales si se cumple que:

0=== abba TTλ (A.25)

La norma de un vector se obtiene mediante el producto escalar:

∑===

n

i iT aaaa

12 (A.26)

b) Producto diádico El producto de un vector a de orden n y la traspuesta de un vector b de orden m es una matriz (nxm) de la forma:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnnn

m

m

n

T

bababa

babababa

bbbb

a

aaa

ba

......

...

...

.

.

.

21

12

12111

321

3

2

1

(A.27)


El producto diádico no es conmutativo:

abba TT ≠ Determinante de una matriz El determinante de una matriz se define solo para matrices cuadradas y se escribe

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

......

...

...

11

22221

11211

= (A.28)

y se define formalmente como:

( )∑±= ...321 kji aaaA (A.29)

en que los índices de las filas aparecen en el orden normal (1, 2, 3, ....... n) mientras que los índices de las columnas i, j, k,... aparecen como permutaciones del orden normal. El signo positivo o negativo depende de si el orden i, j, k se obtuvo mediante un número par o impar de permutaciones del orden natural. La suma se extiende por n! permutaciones Ejemplo

211222112221

1211 aaaaaaaa

−=

Propiedades de los determinantes a) El determinante de una matriz es idéntico al de su transpuesta:

TAA = (A.30)


b) Al intercambiar 2 filas o columnas de una matriz A cambia el signo del determinante c) Si dos filas o dos columnas de una matriz son idénticas el determinante es cero d) Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero entonces su

determinante es cero. e) Al multiplicar los elementos de una fila o columna de una matriz A por un factor c

entonces el determinante es Ac . f) Al modificar una matriz A sumándole a una fila (o columnas) otra fila (o columnas)

multiplicada por un constante, no cambia el determinante. g) De las propiedades anteriores se deduce que si dos filas (o columnas) de una matriz A

son linealmente dependientes entonces su determinante es cero. h) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes:

BABA = (A.31)

Menores y Cofactores El primer “menor” de un determinante A correspondiente al elemento ija se define como el determinante de la matriz obtenida eliminando la fila i y la columna j de la matriz A . Por lo tanto si A es un polinomio de orden n, entonces el primer “menor” es de orden n–1. Esta definición puede ser extendida eliminando 5 filas y 5 columnas de la matriz, hablándose en dicho caso se in menor de orden n–5. El primer menor correspondiente al elemento ija se denomina ijM . Si el primer menor ijM se multiplica por ji+− )1( , el resultado se llama “cofactor” de ija y se designa como ijA :

ijji

ij MA +−= )1( (A.32)

Cálculo del determinante por cofactores Se puede demostrar que el determinante de una matriz A puede ser calculado utilizando los elementos de una fila (o columna) cualquiera y sus correspondientes cofactores.


∑=

=+++=n

jijijininiiii AaAaAaAaA

12211 ... (A.33)

o bien

∑=

=+++=n

iijijnjnjjjjj AaAaAaAaA

12211 ... (A.34)

Ejemplo

)()()( 221323123132133312213223332211

2322

131231

3332

131221

3332

232111

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

−+−−−

=+−=

En forma más general se pude comprobar que:

∑= ⎩

⎨⎧

≠=

=n

jkjij kisi

kisiAAa

1 0

(A.35)

∑= ⎩

⎨⎧

≠=

=n

jikij kjsi

kjsiAAa

1 0

(A.36)

Determinante de una matriz triangular De (A.33) y (A.34) se deduce fácilmente que para el caso de matrices triangulares superiores e inferiores se cumple que el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal:

∑=

==n

iiinnL

12211 ... llll (A.37)

∑=

==n

iiinn uuuuU

12211 ... (A.38)

En que L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. Matriz adjunta y matriz inversa Se define como matriz adjunta A de una matriz cuadrada A a la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, esto es:


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

n

AAA

AAAAAAAAAA

A

.......

....

....

...

ˆ

21

32313

22212

1312111

(A.39)

En que ijA representan a los cofactores de la matriz A de acuerdo a la definición (A.32) El producto de una matriz A por su adjunta A es:

AAB ˆ= (A.40)

En que de acuerdo a la fórmula (A.17) de la multiplicación de matrices, los lementos de la matriz B son:

∑=

=n

kjkikij Aab

1 (A.41)

En que los subíndices j,k de la matriz A aparecen permutados debido a su definición (A.39). Comparando (A.41) con (A.35) y (A.36) se deduce que:

⎩

⎨⎧

≠=

=jisijisiA

bij

0 (A.42)

Por lo tanto la matriz B es una matriz diagonal en que dichos elementos de la diagonal son iguales a A , esto es:

IAAAB == ˆ (A.43)

En que I es la matriz identidad de orden n (mismo orden de A ). Como A es un escalar,

la relación (A.43) se puede dividir por A quedando:


IAAA=

ˆ (A.44)

Definiendo una matriz 1−A :

AAAˆ

1 =− (A.45)

Se observa que

IAA =−1 (A.46)

La matriz 1−A se define como matriz inversa de la matriz A . Por lo tanto el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. De la definición (A.45) se observa que si 0=A no existe la inversa de la matriz A y en dicho caso se dice que la matriz es

singular. Si 0≠A existe la matriz inversa y se dice que la matriz es no singular o regular. Si se hubiera partido formando el producto AAB ˆ= se habría llegado al mismo resultado por lo tanto se cumple que:

11 IAAAA == −− Ejemplo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

321232123

A

8 ) 34(1)26(2) 49(3 =−+−−−=A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−−

=541414

145

)49()26()34()26()19()26(

)34()26()49( A

Por lo tanto


85

21

81

211

21

81

21

85

541484

145

81 1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=−A

Haciendo el producto 1−AA se comprueba que:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

85

21

81

211

21

81

21

85

321232123

Inversa de un producto de matrices En forma análoga a la transposición de un producto de matrices (A.23), también se cumple para la inversión de un producto de matrices: 11111 ... ) ... ( −−−−− = ABCHHCBA (A.47)

Matriz definida positiva Una matriz cuadrada A se llama “matriz definida positiva” si se cumple que para cualquier vector X :

0 >XAX T para todo 0 ≠X (A.48)

Ejemplo

[ ] 0 2)( 1

2221

21

2

1

221 >+++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡xxxx

xx

xxx βα

βα

Esta condición se cumple para todo 1x , 0 2 ≠x , sólo si 0 ==βα . En dicho caso la ecuación:


0 2 2

221 >=+ ctexx

representa la ecuación de una elipse en el plano 1x , 2x .

Se puede demostrar que si A es una matriz definida positiva, la función cteXAX T = es una función convexa, como en el ejemplo de la elipse. Las matrices definidas positivas tienen la importante propiedad de que son regulares (no singulares). La matriz de rigidez de una estructura K tiene dicha propiedad debido a que la energía de deformación de una estructura representada por:

0 21 >= rKrU T para todo 0 ≠r

en que r representa un desplazamiento cualquiera de la estructura y la energía de deformación U es siempre positiva (al deformar una estructura esta acumula energía). Rango de una matriz Se dice que una matriz A de orden mn× tiene rango r si contiene por lo menos una submatriz cuadrada de orden rr× cuyo determinante es distinto de cero, mientras que el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden )1()1( +×+ rr es cero. Es evidente que el rango r de una matriz A de orden mn× puede sser a lo sumo igual al menor de los valores de n y m. En el caso de la matriz de equilibrio de una estructura Ta con n filas y m columnas en que

mn≤ el rango r de dicha matriz es igual a n ya que todas las filas (corresponden a ecuaciones de equilibrio) son linealmente independientes. Una matriz cuadrada A de orden mn× tendrá un rango nr< sí y sólo sí el determinante de A es cero. Solución de Sistemas de Ecuaciones Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas nxxx ,..., 11 es de la forma:


nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

................

........

2211

22222121

11212111

(A.49) se representa matricialmente de la forma:

BxA = (A.50) en que A es la matriz de coeficientes

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....

...

...

21

22221

11211

(A.51)

el vector x es el vector de las incógnitas y B es el vector de la “parte derecha” del sistema de ecuaciones (en estructuras usualmente el “vector de cargas”)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

x.

2

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

bb

B.

2

1

(A.52)

El sistema de ecuaciones (A.50) tendrá solución sólo si el determinante de A no s cero, esto es, la matriz A tiene inversa. Premultiplicando (A.50) por la matriz 1−A se tiene que:

111 BAxBAxAA −−− =⇒= (A.53)


En general no es necesario invertir la matriz A para resolver el sistema de ecuaciones (A.50). Es mucho más rápido aplicar un algoritmo directo. El mas conocido es el algoritmo de Gauss. Algoritmo de Gauss Se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones (A.50) en el que la matriz A es cuadrada y no-singular. Es un algoritmo especialmente apropiado para cálculos manuales. Punto de partida es el sistema de ecuaciones detallado en (A.49). Primeramente se realiza un intercambio de filas para asegurar que el elemento 11a resultante sea el mayor elemento en valor absoluto en la primera columna. Si el elemento 11a resultante es cero significa que la matriz A es singular y se detiene el algoritmo. Con 0 11 ≠a , la primera fila se va multiplicando sucesivamente por los factores:

niaa

c ii ,...3,2

11

11 ==

y dicha fila modificada se resta de la correspondiente fila i. De ese modo aparece una nueva fila i modificada en que desaparece la primera columna, ya que:

niaa

aa ii ,...3, 2 0

11

1111 ==−

los demás elementos quedan

njniaa

bbbaa

aaa iii

ijijij

,...3, 2 , ,...3, 2

11

11

'

11

11

'

==

−=−=

De este modo el sistema de ecuaciones queda:


''3

'32

'2

'3

'33

'332

'32

'2

'23

'232

'22

11313212111

.... .... .... ....

....

....

....

nnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

=+++

=+++

=+++

=++++

Posteriormente se repite el proceso de eliminación a partir de la segunda fila. Nuevamente se intercambian las filas de manera que el elemento '

22a sea el mayor en valor absoluto de toda segunda columna (exceptuando el elemento de la primera fila). Nuevamente, si el elemento '

22a resultante es cero, la matriz A es singular y se detiene el algoritmo. Con 0 '

22≠a se repite el procedimiento anterior multiplicando sucesivamente la segunda fila por los factores

'22

'2

2 aa

c ii =

restando dicha fila modificada a las correspondientes filas i. De ese modo, a partir de la tercera fila desaparece la segunda columna ya que

niaa

aa ii ,...4, 3 0 '

22

'2'

22'2 ==−

La eliminación se continúa en forma similar hasta que finalmente la matriz A ha sido transformada en una matriz triangular superior. Denominando iju a los elementos de la matriz A modificados y id a os elementos de la parte derecha:


nnnn

nnnnnnn

nn

nn

nn

dxudxuxu

dxuxudxuxuxudxuxuxuxu

.... .... .... .... ....

1, 111, 1

33333

22323222

11313212111

=

=+

=++=+++=++++

−−−−−

La solución del sistema de ecuaciones de esta forma es elemental haciendo un cálculo desde atrás (últimas incógnitas) hacia delante (primeras incógnitas) en forma sucesiva:

11

211

1

1, 1

, 111

) (

...

)(

u

xudx

uxud

x

ud

x

n

rrr

nn

nnnnn

nn

nn

∑=

−−

−−−

−=

−=

=

Por otra parte, de acuerdo a (A.38), el determinante de A se obtiene como

nnuuuuAdet ... ) ( 332211= Algoritmo de Cholesky Se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones (A.50) cuando la matriz A es simétrica y definida positiva. Es un algoritmo especialmente apropiado para su programación. Como primer paso se realiza una “descomposición” de la matriz en un producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior, esto es:

LLA T = (A.54) en que L es una matriz triangular inferior.


Se puede demostrar fácilmente que los elementos de la matriz L se pueden calcular sucesivamente utilizando las siguientes expresiones:

j i

j i a

a

ij

jj

j

kjkikijij

i

kikiiii

<=

>−=

−=

∑

∑−

=

−

=

0

/) (

) (

1

1

2/11

1

2

l

llll

ll

(A.55)

El cálculo de L se hace por columnas (partiendo con j=1 e i=j,…n) Como segundo paso, teniendo que

BxLL T = (A.56) y definiendo:

yxLT = (A.57) se tiene que

ByL = (A.58) El sistema de ecuaciones (A.58) se resuelve fácilmente debido a que L es una matriz triangular inferior:

...n 2, 1,i yby ii

i

jjikii =−= ∑

−

=

ll /) (1

1

(A.59)

El paso anterior es un cálculo “hacia delante”, este es partiendo desde las primeras incógnitas hacia las últimas. El tercer paso corresponde a un cálculo “hacia atrás” de las incógnitas, esto es, partiendo de (A.57) se obtiene que:

...n 2, 1,i xyx ii

n

ijjjiii =−= ∑

+=

ll /) (1

(A.60)

en que se parte con i=n, siguiendo con i=n-1 hasta llegar a i=1.


Ejemplo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

51

2

1462640201

3

2

1

xxx

Primer paso: descomposición

19414

32/)06(/)(24

21/2/01/0/

1

232

2313333

2221313232

2212222

113131

112121

1111

=−−=−−=

=−=−=

==−=

======

==

lll

llll

ll

ll

ll

l

a

aa

aa

a

luego:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

132020001

L

Segundo paso, cálculo “hacia adelante”:

2/51/))2/1(3225(/)(

2/12/)101(/)(21/2/

3323213133

2212122

1111

=−−⋅−=−−=−=⋅−−=−=

===

lll

ll

l

yybyyby

by

Tercer paso, cálculo “hacia atrás”:

31/)2/52)4(02(/)(

42/)2/532/1(/)(2/51/2/5/

1133122111

2233222

3333

−=⋅−−⋅−=−−=−=⋅−−=−=

===

lll

ll

l

xxyxxyx

yx

Inversión de una matriz simétrica y definida positiva


Si A es una matriz simétrica y definida positiva, se puede utilizar el algoritmo de Cholesky para su descomposición:

LLA T = Luego se calcula la inversa de la matriz triangular inferior L . Llamando 1* −=LL se tiene que los elementos de la matriz inversa *L se calcula fácilmente de:

j i

j i

ij

ii

i

jkkjikij

iiii

<=

>−=

=

∑−

=

0

/) (

/1

*

1**

*

l

llll

ll

(A.61)

Considerando que para cualquier matriz A no singular se cumple que:

TT

T AA

AA )(

ˆ )( 11 −− == (A.62)

También se cumple para L :

TT LL )( )( 11 −− = (A.63) La inversa de la matriz A se obtiene según (A.47):

1111 ) () ( −−−− == LLLLA TT (A.64) Ejemplo Para la matriz A del ejemplo anterior


132020001

1462640201

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= LA

2/31/)2/13(/

21/)0312(/)(

01/10/

11/1/1 2/1/1 11/1/1

33*2232

*32

33*2132

*1131

*31

11*1121

*21

33*3322

*2211

*11

−=⋅−=⋅−=

−=⋅−⋅−=⋅−⋅−=

=⋅−=⋅−=

========

llll

llllll

llll

llllll

luego

12/3202/10001

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=−L

por lo tanto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=−

12/322/34/103

235

12/3202/10001

100

2/32/10201

1A

Problema estándar de valores propios Si A es una matriz cuadrada de orden n, el problema

xxA λ= (A.65) se denomina “problema estándar de valores propios” de la matriz A . El factor λ es un valor escalar llamado “valor propio” mientras que el vector x asociado a λ se llama “vector propio”. El problema (A.65) se puede escribir también como:

xIA 0 ) ( =−λ (A.66) Una solución no trivial a este problema es sólo posible si la matriz ) ( IA λ− es singular (en caso contrario la única solución posible es x 0 = ), por lo tanto se debe cumplir que


0 ) ( =− IAdet λ (A.67) Si se expande el determinante indicado en (A.67) para una matriz A de orden n se obtiene:

0 ... 22

11 =++++ −−

nnnn aaa λλλ (A.68)

La ecuación (A.68) se conoce como ecuación característica de A . Dicha ecuación posee n raíces nλλλ , ..., 21 que son los valores característicos o valores propios de la matriz A . Algunas propiedades de los valores propios son las siguientes:

a) Para cada valor propio iλ existe un vector propio ix correspondiente. Como el sistema de ecuaciones (A.66) es homogéneo y la matriz ) ( IA iλ− es singular, el vector ix no aparece determinado en forma única, sino que sólo se determina la relación entre sus componentes. Esto es, si ix es el vector propio correspondiente a iλ , el vector ixα (en que α es un escalar cualquiera 0 ≠ ) también representa al mismo vector propio.

b) La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la “traza” de la matriz

A

)(1

Atrazan

ii=∑

=λ (A.69)

en que la traza de la matriz A se define como la suma de los elementos de su diagonal:

∑=

=n

iiiaAtraza

1)( (A.70)

c) El producto de los valores propios de A es igual al determinante de A :

)( ... 3211

Adetn

n

ii ==∏

=λλλλλ (A.71)

d) Los vectores propios correspondientes a distintos valores propios son linealmente

independientes.


Ejemplo:

Sea ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3212

A

Los valores propios se determinan de la condición (A.67):

0 32

12 ) ( =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

λλ

λ det IAdet

la ecuación característica resulta ser

0452 =+− λλ las raíces de la ecuación son 1 1 =λ y 4 2 =λ Comprobación de (A.69)

2211

2

1541 aa

ii +==+=∑

=λ

Comprobación de (A.71)

4432 ) ( 412

1=−⋅==⋅=∏

=Adet

iiλ

Reemplazando 1 1 =λ en (A.66)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−00

132

112

21

11

xx

en que 11x y 21x son las componentes del vector propio 1x (el primer índice indica la componente, el segundo índice el vector propio) Las ecuaciones resultantes:


0220

2111

2111

=+=+

xxxx

Son linealmente dependientes y el único resultado que se obtiene es

1121 xx =− esto es, el vector 1x se puede escribir como

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

1 111 xx

en que 11x es un escalar cualquiera. En forma similar reemplazando 4 2 =λ en (A.66) se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−00

12

12

22

12

xx

en que 12x y 22x son las componentes del vector propio 2x , las ecuaciones resultantes

02 02

2111

2111

=−=+−

xxxx

Son también linealmente dependientes y el resultado que se obtiene es:

1222 2xx = esto es, el vector 2x se puede escribir como

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

122 xx

en que 12x es un escalar cualquiera. Problema general de valores propios


Si A y B son dos matrices cuadradas, el problema

xBxA λ= (A.72)

o su equivalente

xBA 0 ) ( =−λ (A.73) se denomina “problema general de valores propios”. La ecuación característica de este problema se obtiene de:

0 ) ( =− BAdet λ (A.74) Si cualquiera de las matrices A ó B es no singular, por ejemplo si B es no singular, la ecuación (A.73) se puede premultiplicar por 1−B resultando

xIAB 0 ) ( 1 =−− λ (A.75) que corresponde al problema estándar de valores propios de la matriz AB 1− . Por lo tanto, las propiedades a), b), c) y d) de los valores propios del problema estándar, también son válidas para el problema general. Sin embargo, numéricamente no es recomendable transformar el problema (A.73) en el problema (A.75), debido a que se destruyen posibles características adecuadas de la matriz A . Por ejemplo, si A es una matriz simétrica, la matriz AB 1− ya no lo es. Por otra parte, si la matriz A es una matriz de banda, la matriz AB 1− pierde la estructura de banda de la matriz A . Para matrices A y B simétricas existen las siguientes propiedades adicionales de los valores propios:

e) Si A y B son simétricas los valores propios iλ son todos números reales.

f) Si A y B son simétricas y A ó B es definida positiva, los valores propios iλ son todos positivos.


El programa SMIS contiene la operación EIGEN que determina los valores y vectores propios del problema general (A.72) xBxA λ= en que A es una matriz simétrica y B es una matriz diagonal. Este cálculo es típico en la determinación de las frecuencias propias y modos de vibrar de una estructura. En este caso, la matriz A corresponde a la matriz de rigidez de la estructura (simétrica y definida positiva) y B corresponde a la matriz de masas de la estructura cuando se utiliza el modelo de masas concentradas. Para utilizar la operación EIGEN para el caso en que A sea una matriz simétrica y definida positiva (por ejemplo la matriz de rigidez) y B una matriz simétrica cualquiera (por ejemplo la matriz de masas consistente de una estructura para el problema de frecuencias propias y modos de vibrar, o bien, la matriz de rigidez geométrica de la estructurapara el caso del problema del pandeo) es necesario realizar algunas operaciones previas para realizar la operación.

i) Se descompone la matriz A mediante el algoritmo de Cholesky:

LLA T =

y se reemplaza en (A.72) quedando:

xBxLL T λ= (A.76)

ii) Definiendo:

xLy T = (A.77) se tiene que:

yLx T-1 ) ( = (A.78) reemplazando (A.77) y (A.78) en (A.76) queda:

yLByL T-1 ) ( λ= (A.79) premultiplicando (A.79) por 1−L se tiene que:

yLBLyI T-1 ) ( 1−= λ (A.80)

iii) Definiendo:


T-1LBLA ) ( ~ 1−= (A.81)

y λλ /1 ~

= (A.82)

se tiene que

yyA ~ ~ λ= (A.83)

Esta ecuación representa el problema estándar de valores propios en que la matriz A~ definida en (A.81) es simétrica. Este problema puede ser resuelto por la operación EIGEN que resuelve (A.72). La matriz A en este caso corresponde a A~ mientras que B es la matriz unitaria.

Al resolver el problema (A.83) se obtienen los valores propios ~λ y vectores propios y . Para obtener los valores y vectores propios del problema original (A.72) se deben utilizar las relaciones (A.78) y (A.82):

λλ ~/1 = yLx T-1 ) ( =

o a algebra matricial

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