dsp 2554 3

3

The Discrete-Time

Fourier Analysis

DSP3-1

Fourier Analysis การวเคราะหฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา

รศ.ดร. พระพล ยวภษตานนท

ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส

EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com

Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP

เปาหมาย

• นศ เรยนรการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกตางกบ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทท 5)

DSP3-2

(DFT) ในบทท 5)

• นศ เรยนรทฤษฎการสมสญญาณ

• นศ รจกความหมายของผลตอบสนองความถ



CESdSP

ทาไมจงตองแปลง DTFT ?

• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนน ซงคอ “หนวงเวลา” และการ “สเกลคา” ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณอนพท หลากรปแบบ

• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เรา

DSP3-3

• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใชการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพอทาเพอทาเพอทาเพอทาใหการวเคราะหงายขนกวาใหการวเคราะหงายขนกวาใหการวเคราะหงายขนกวาใหการวเคราะหงายขนกวา การทาการทาการทาการทา Convolution

• และผลจากการแปลง DTFT ทาใหทราบ “ผลตอบสนองความถ ของระบบ”



CESdSP

The Discrete-Time Fourier Transform

• การแปลงฟรเยร แบบไมตอเนองทางเวลา DTFT ของ x(n) คอ

( ) ( )j j n

n

X e x n eω ω∞

−

=−∞≡ ∑

DSP3-4

n=−∞

ω = ความถดจตอลหนวยเปน เรเดยน

ผลการแปลงในโดเมนความถ!ดจตอลน& สามารถแสดงในรป วงกลมหน!งหนวย



CESdSP

แกนจนตภาพ

ω

เรองของวงกลมหนงหนวย (unit circle)

je ω1. วงรอบของความถ!มคาซ&าทกๆ

2π เรเดยน

DSP3-5

แกนจรง

2. ความถ!ดจตอลมคาในชวง

0 ω π≤ <

2π เรเดยน

เรเดยน



CESdSP

1.วงรอบของความถมคาซ $าทกๆ เรเดยน

4

π n=0,8,..

n=1,9,..

2πn=2,10,..

DSP3-6

(2 ) 24 4

4

j jj

j

e e e

e

π ππ π

π

− + −−

−

= ×

=EEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

CESdSP

2. ความถดจตอลมคาในชวง ω π> 7

4

πω =

7 7 7(2 ) (2 )j n j n j n j n

π π π ππ π− − − −

0 ω π≤ <หาก เชน

( ) cos( )2

j n j ne ex n n

ω ω

ω−+

= =จะใหผลลพธซ&ากบคาในชวง คอ0 ω π≤ <

4

πω =

ตวอยาง

DSP3-7

7 7 7(2 ) (2 )

4 4 4 4

4 4

7cos( )

4 2 2

2

cos( )4

j n j n j n j n

j n j n

e e e en

e e

n

π π π ππ π

π π

π

π

− − − −

−

+ += =

+=

=EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

Unit Step Function

• ยนทสเตปฟงกชน1, 0

( )0, 0

nu n

n

≥=

<

11

DSP3-8

nn00

11



CESdSP

ตวอยางการแปลง DTFT I

• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n)

• วธทา

0

( ) ( ) 0.5

1

j j n n j n

n n

j

X e x n e e

e

ω ω ω

ω

∞ ∞− −

=−∞ == =∑ ∑

DSP3-9

0

1(0.5 )

1 0.5 0.5

jj n

j jn

ee

e e

ωω

ω ω

∞−

−=

= = =− −

∑

ผลรวมเรขาคณตแบบไมจากด (Infinite geometric sum):

0

1, 1

1n

n

a aa

∞

=

= <−

∑



CESdSP

ตวอยางการแปลง DTFT II

• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมอ และเปน 0 เมอ n เปนคาอนๆ

• วธทา

•

0 1n L≤ ≤ −

( )

1 1

0 0

( ) ( ) 0.5 0.5L L

j j n j n j n

n n n

X e x n e e eω ω ω ω

ω

∞ − −− − −

=−∞ = =

= = =∑ ∑ ∑

DSP3-10

• ( ) ( )( )

12

sin / 210.5 0.5

1 sin / 2

j Lj L

j

Lee

e

ωω

ω

ωω

− − −

−

−= =

−ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):

1

0

, 1

1, 1

1

Ln L

n

L a

a aa

a

−

=

=

= −≠ −

∑



CESdSP

MATLAB simulation

0 0.5 10.5

1

1.5

2

frequency in pi units

Magnitude Part

Mag

nitu

de

0Angle Part

0 0.5 10.5

1

1.5

2


Real Part

Rea

l

0Imaginary Part

•หาก x(n) มคาไมจากด เราจะใช MATLAB หา DTFT ของ x(n) โดยตรงไมได •แตเราจะใชสมการท!ไดจาก

DSP3-11

0 0.5 1−1

−0.5

0


Rad

ians

0 0.5 1−1

−0.5

0


Imag

inar

y

>>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points.>> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));

•แตเราจะใชสมการท!ไดจาก •power series

exp_3_1.eps



CESdSP

ตวอยางการแปลง DTFT III

• จงหาการแปลง DTFT ของ

• วธทา

•

( ) 1, 2,3, 4,5x n↑

=

( ) ( )j j nX e x n eω ω∞

−

=−∞

= ∑

DSP3-12

•2 32 3 4 5

n

j j j je e e eω ω ω ω

=−∞

− − −= + + + +

∑

สงเกต เคร!องหมาย วา n=0 อย ณ ตาแหนงของคา 2↑



CESdSP

• หากอนพทมจานวนจากด เราใช MATLAB คานวณ DTFT ไดโดยตรง

• การคานวณ จะกระทาในชวง โดยแบง M+1 คา

( )jX e ω [0, ]π

DSP3-13

M+1 คา

, 0, ...,k k MM

πω ≡ =

π0 M ชวงω



CESdSP

0 0.5 10

5

10

15


Magnitude Part

Mag

nitu

de

0

5Angle Part

Rad

ians

0 0.5 1−10

0

10

20


Real Part

Rea

l

0

5Imaginary Part

Imag

inar

y

3( / )

1

( ) ( ) ,j j M k l

l

X e x l eω

ω π−

=−

= ∑

•จาก เรากาหนดการหา คา n ในชวง -1 ถง 3•เราหา DTFT ของ x(n) ไดจาก

( ) 1, 2,3, 4,5x n↑

=

DSP3-14

>>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n)>> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector

0 0.5 1−5

0


Rad

ians

0 0.5 1−10

−5

0


Imag

inar

y

MATLAB code



CESdSP

ผลตอบสนองความถของระบบ

( )h n

•เมอทาการประสานจะได

0( ) j nx n e ω= 0( ) j nh n e ω∗

0 0 ( )( ) ( ) ( )j n j n ky n h n e h k eω ω∞

−= ∗ = ∑

DSP3-15

การแปลงฟรเยรทความถ

0 0

0 0

0

0

( ) ( ) ( )

( )

( ( ))

k

j k j n

k

j n

y n h n e h k e

h k e e

F h n e

ω ω

ωω ω

=−∞

∞−

=−∞

=

= ∗ =

=

=

∑

∑

0ωEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

เปนผลตอบสนองความถของระบบ h(n)

( ) ( )j j n

n

H e h n eω ω∞

−

=−∞

= ∑

ใชหาคาของเอาทพท y(n)

( )jH e ω

DSP3-16

( )jH e ω0( ) j nx n e ω=

หรอเขยนในรปโดเมนความถ!

( ) ( ) ( )j j jY e H e X eω ω ω=

0( ) ( ) j njy n H e e ωω=



CESdSP

Frequency Response from Poles and Zeros

• ขนาดผลตอบสนองความถเปน ขนาดจากซโร ไปยงวงกลมหนงหนวย หารดวย ขนาดจากโพลไปยงวงกลมหนงหนวย ณ ความถหนง

1 2

1 2

( )( )( )

( )( )

j j

j

j j

e z e zH e

e p e p

ω ωω

ω ω

− −=

− −

⋯

⋯1ω =

DSP3-17

1 2( )( )e p e p− − ⋯

π 0

AABB ขนาดท

1ω =

1( )j BH e

A=

1ω =



CESdSP

Example for Frequency Response

AABB AABB AA

สมมตวา โพล สมมตวา โพล = .= .8 8 ซโร ซโร ==0 0

ความถตาความถตา ความถกลางๆความถกลางๆ ความถสงความถสง

DSP3-18

AABB AABB AABB

BB > > AA BB = = AA B B < < AA1( )jH e ω = = มาก มาก = = กลางๆ กลางๆ = = นอย นอย

π 0 π 0 π 0

1( )jH e ω 1( )jH e ω



CESdSP

Plot of Magnitude

( )jH e ωAABB AABB AABBπ 0 π 0 π 0

DSP3-19

ต!า กลาง สง



CESdSP

ตวอยาง

• Example 4.4.1 หาผลลพทของระบบ โดยมอนพทเปน ลาดบ exponential

1( ) ( )

2

n

h n u n =

2( )n

jx n Ae

π

=

1( ) ( )

11

j j n

jn

H e h n ee

ω ω

ω

∞−

−=−∞

= =−

∑

DSP3-20

• ท ได

• ดงนน

11

2jn e ω−=−∞ −

0 2

πω = 26.62

1 2( )

1 512

j jH e ej

π−= =

+

26.626.6 222 2

( )5 5

nn jjjy n A e e Aeππ − −

= =



CESdSP

หาผลตอบสนองของ h(n)

1( ) ( )

11

2

j j n

jn

H e h n ee

ω ω

ω

∞−

−=−∞

= =−

∑

DSP3-21

11 1

12 2

j j

jj j

e e

ee e

ω ω

ωω ω−

= =− −

แสดงวา zero มตวเดยว คอ z1=0Pole ม p1=1/2



CESdSP

การหาผลตอบสนองความถจากสมการผลตาง (Frequency Response from Difference

Equations) • จากสมการผลตาง

1 0

( ) ( ) ( )N M

l ml m

y n a y n l b x n m= =

+ − = −∑ ∑

ให ( ) j nx n e ω= ดงน &น ( ) ( )j j ny n H e eω ω=

N M

DSP3-22

( ) ( )

1 0

( ) ( )N M

j j n j j n l j n ml m

l m

H e e a H e e b eω ω ω ω ω− −

= =

+ =∑ ∑ตด j ne ω

0

1

( )1

Mj m

mj m

Nj l

ll

b eH e

a e

ω

ω

ω

−

=

−

=

=+

∑

∑EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

ตวอยาง มระบบ LSI ท!อธบายไดดวย สมการผลตาง ของอนพทและเอาทพท

( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n= − +

จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เม!อ อนพทเปน

( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=วธทา

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com


DSP3-23

วธทา ( 1)

( ) 0.8 ( 1) ( )

( ) 0.8 ( )

( ) 0.8 ( )

1( )

1 0.8

j j n j j n j n

j j n j j n j j n

jj

y n y n x n

H e e H e e e

H e e H e e e e

H ee

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ωω

−

−

−

− − =

− =

− =

= ⇐−

ผลตอบสนองความถ

ท ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=

0 0.05ω π=

0.05 0.53770.05

1( ) 4.0928

1 0.8j j

jH e e

eπ

π−

−= =

−

ดงน0น



DSP3-24

1 0.8e−จงไดจากการแปลง “เฟสเซอร”

[ ]( ) 4.0928 cos(0.05 0.5377)

4.0928 cos 0.05 ( 3.42)

y n n

n

π

π

= −

= −ขนาด เฟส

0

1

x(n)

Input sequence

( )jH e ω( )x n ( )y n

( ) cos(0.05 )x n nπ=

ทดสอบ คา y(n) ทคานวณ

DSP3-25

0 20 40 60 80 100−1

n

0 20 40 60 80 100−5

0

5

n

y(n)

Output sequence

( ) cos(0.05 )x n nπ=

1( ) ( )

1 0.8 jy n x n

e ω−

= − ตางเฟส =3.42

4.092



CESdSP

การสมสญญาณ (Sampling)

• ทฤษฎการสมกลาววา “ความถของสญญาณสมจะตองมากกวา 2 เทาของ ความถสงสดของสญญาณ ( fmax)”

• หากความถสม = fs

...สญญาณสม

DSP3-26

• ดงนน

...1

s

Tf

=

max2sf f>EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

สเปคตรม (Spectrum) และ ผลของการสมสญญาณ

• สเปคตรมเปนการแสดงคาการกระจายของสญญาณในเชงความถ

• ผลของการสมทาใหเกด สเปคตรมแบบเปนคาบ (periodic)

• ความถ fmax หรอ f0 เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist Frequency)

DSP3-27

Frequency)

• ความถสมตาสดทจะไมเกด aliasing จะเรยกวา อตราไนควสต (Nyquist rate)

ความถ!

สเปคตรม

sf0 =Nyquist Frequencyf = Nyquist rate



CESdSP

อะไรคอแอลแอส (Aliasing) ?

• การเกดแอลแอส ในทาง dsp คอ “การเกดการซอนทบของสเปคตรม”

• สาเหตคอ การทความถสมนอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ 2f f<

DSP3-28

ไนควสต หรอ 02sf f<

sf0f

แอลแอส

ทางแก: 1 ใช Anti-aliasing filter ซ!งเปน วงจรกรองต!าผาน (Low pass filter)2 ทา Oversampling



CESdSP

ทฤษฎการสมและคนรปสญญาณ (Sampling and Reconstruction)

( )X jΩ

ผลตอบสนองของสญญาณตอเนองทางเวลา xa(t) คอ ( )aX jΩ

Ω = ความถ!แอนาลอก เปน เรเดยนตอวนาท ( )aX jΩ หาไดจากการแปลงฟรเยรของ ( )ax t

DSP3-29

แปลงฟรเยร

( )ax t

−Ω Ω

( )aX jΩ

0−Ω 0Ωt



CESdSP

แปลงฟเรยร

( )x n ( )jX e ω

•ผลของการสม ทาใหการแปลงฟรเยรเปน รายคาบ (periodic)

Tω = Ω

ความถ!แอนาลอกกบ ความถ!ดจตอล สมพนธกนดงน&

ดจตอล แอนาลอก



DSP3-30

แปลงฟเรยร

ω− ωt ππ−2π− 2π

0T−Ω0TΩ•สญญาณสม มความถ!= 1/T

ทฤษฎการสม

แปลง อมพลส เปน สญญาณ DT

( )as t

( )ax t ( )sx t ( ) ( )ax n x nT=

DSP3-31

( ) ( )an

s t t nTδ∞

=−∞

= −∑สญญาณสม:

สญญาณแอนะลอกท!ถกสม: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a an

x t s t x t x nT t nTδ∞

=−∞

= = −∑

สญญาณไมตอเน!อง (DT): ( ) ( )ax n x nT=



CESdSP

การแปลงฟรเยรสาหรบสญญาณแอนาลอก xa(t)

เม!อ คอ ความถ!แอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω

( ) ( ) j ta aX j x t e dt

∞− Ω

−∞

Ω ≡ ∫

1 ∞

ทฤษฎการสม (ตอ)

DSP3-32

1( ) ( )

2j t

a ax t X j e dπ

∞Ω

−∞

= Ω Ω∫

ทาการสม สญญาณ แอนาลอก ดวย ความถ! T วนาท

( ) ( )ax n x nT≡

และแปลงฟรเยร กไดเปน สญญาณไมตอเน!องทางเวลา ( )jX e ω



CESdSP

( )jX e ω เปน ผลรวมของ ทตางความถ ( )aX jΩ

( ) ( ) ( )j jn jna

n n

X e x n e x nT eω ω ω∞ ∞

− −

=−∞ =−∞

= =∑ ∑

การแปลง DTFT ของ x(n) ไดเปน

สมการแอลแอส (Aliasing formula)

DSP3-33

( )X e เปน ผลรวมของ ทตางความถ a

สมการแอลแอส (aliasing formula)

/

1 2( ) ( ) ( )j

s aTk

X e X j X j j kT T T

ωω

ω π∞

Ω==−∞

= Ω = −∑



CESdSP

0

Tπ

<Ω

เมอชวงเวลาในการสม

( )x n

ω− ω

( )jX e ω

t ππ−2π− 2π

0 / T−Ω0 / TΩ

เม!อชวงเวลาในการสม Tπ

>



DSP3-34

0

เม!อชวงเวลาในการสม 0

Tπ

>Ω( )x n

ω− ω

( )jX e ω

t ππ−2π− 2π

เกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได

ความถ!ในการสมสญญาณ Hertz

แบนดวทมากสดของสญญาณ(ความถ!ไนควสต)

00 2

fπ

Ω=

1sf

T=

Hertz

แบนดวทของสญญาณทใชได (คอไมเกดแอลแอส)

( )jX e ω

DSP3-35

ω− ω

( )X e

ππ−2π− 2π

0f sf 02sf f>

สญญาณสมตองมคามากกวาแบนดวท 2 เทา



CESdSP

ตวอยาง

• มสญญาณ x(t) ถกสมท! fs = 1kHz โดย

DSP chipTMS320

ตวสมสญญาณ

fs = 1 kHz

x(t) y(n)x(n)

( ) cos(2500 )x t tπ=

1, 250f Hz=

DSP3-36

• มสญญาณ x(t) ถกสมท! fs = 1kHz โดย

• จากความถ!แอนาลอกของ x(t) แปลงเปนความถ!ดจตอล

( ) cos(2500 )x t tπ=

32500 (10 ) 2.5Tω π π−= Ω = = เรเดยน

ตดใหอยในยาน 0 ω π≤ <

0.5ω π=EEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

• ทาใหได สญญาณไมตอเนองทางเวลา x(n) เปน

• แตเนองดวยความเปน “คาบ” ทกๆ

• มสญญาณความถแอนาลอกทกๆ เทาของ x(n)

( ) cos(0.5 )x n nπ=

2π/ TωΩ =2π

DSP3-37

ทใหสญญาณแบบเดยวกบ ใหสญญาณแบบเดยวกบ ใหสญญาณแบบเดยวกบ ใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)

31 1 1

32 2 2

33 3 3

( ) cos( ), 10 (0.5 ) 500

( ) cos( ), 10 (2 0.5 ) 2500

( ) cos( ), 10 (4 0.5 ) 4500

x t t

x t t

x t t

π π

π π π

π π π

= Ω Ω = =

= Ω Ω = + =

= Ω Ω = + =

f1= 250 Hzf2= 1250 Hzf3 =2250 Hz

และตอเน!อง ไปเร!อยๆEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

fs = 1 kHz 2250Hz

1250 Hz

DSP3-38

250 Hz

dsp_3_7.jpgEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

สเปคตรม เมอความถ สม Fs= 1 KHz

Fs=1 KHzfs= 1kHz

DSP3-39

250Hz 2250Hz1250Hz

จะเกดความถ!เงาหรอแอลแอสข&น ท! 250 และ 2250



CESdSP

เมอ fs มากข นแตยงนอยกวา 2 เทาของ 1250

Hz • เมอ fs =2 kHz จะได

( ) cos(0.25 )x n nπ=

•มสญญาณหลายความถ!แอนาลอกท!ใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)

DSP3-40

31 1 1

32 2 2

33 3 3

( ) cos( ), 2 *10 (0.25 ) 500

( ) cos( ), 2 *10 (2 0.25 ) 4500

( ) cos( ), 2 *10 (4 0.25 ) 8500

x t t

x t t

x t t

π π

π π π

π π π

= Ω Ω = =

= Ω Ω = + =

= Ω Ω = + =

f1= 250 Hzf2= 2250 Hzf3 =4250 Hz

•มสญญาณหลายความถ!แอนาลอกท!ใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)

ยงคงเกด แอลแอสEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

fs=2 kHz 4250Hz

2250 Hz



DSP3-41

250 Hz

dsp_3_6.jpg

สเปคตรม เมอความถ สม Fs= 2 KHz

fs= 2kHz

ความถ!

DSP3-42

fs ความถ!250Hz 2250Hz



CESdSP

หาก fs = 2500 Hz (2 เทาของ 1250 Hz)

• นนคอ fs = 2500 Hz จะได

• ได ความถทซาเปนจานวนเทา ของ 1250 Hz

( ) cos( )x n nπ=

DSP3-43

31 1 1

32 2 2

33 3 3

( ) cos( ), 2.5 *10 ( ) 2500

( ) cos( ), 2.5 *10 (2 ) 7500

( ) cos( ), 2.5 *10 (4 ) 12500

x t t

x t t

x t t

π π

π π π

π π π

= Ω Ω = =

= Ω Ω = + =

= Ω Ω = + =

f1= 1250 Hzf2= 2500 Hzf3 =6250 Hz



CESdSP

fs = 2500 Hz

6250Hz

2500 Hz

DSP3-44

1250 Hz

dsp_3_8.jpgEEET0485 Digital Signal Processing


CESdSP

สเปคตรมท!ความถ!สมตางๆ

fs

fs= 1kHz

fs= 2kHzความถ!250Hz 2250Hz

x(t)

x(t)



DSP3-45

fs= 2kHz

fs= 2.5kHzfs

fs

ความถ!

1250Hz

250Hz

x(t)

x(t)2250Hz

ตดสญญาณ fs ดวย Low pass filter fs= 2.5kHz

fs ความถ!1250Hz

x(t)

สามารถคนรปสญญาณได

Lowpass

DSP3-46

fs= 2.5kHz

fs ความถ!1250Hz

x(t)

สามารถคนรปสญญาณได



CESdSP

ใชวงจรกรองต!าผานอดมคต

การคนรปสญญาณ (Reconstruction)

( )jX e ω ( )jX e ω

กรองต!าผาน



DSP3-47

ππ−2π− 2π ππ−2π− 2π

( ) ( ) ( )

... ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) ...

sn

x t x n t nT

x t T x t x t T

δ

δ δ δ

∞

=−∞

= −

= + − + + + − +

∑

จากเร!องการสมเราได

แปลงกลบเปนอมพลส

กรองต!าผานอดมคต

( )x n ( )sx t ( )ax t



DSP3-48

อมพลส อดมคต

ตวแปลง D/Cอดมคต

( )x n ( )ax t

,( )

0,r

TTH j

T

π

π

Ω ≤Ω =

Ω >

ผลตอบสนองของวงจรกรองต!าผานอดมคต( )rH jΩ

T

πT

π−

T

( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยร sinc( / )t T



DSP3-49

( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยรsin( / )

( )/r

t Th t

t T

ππ

= sinc( / )t T=

,recon ( ) ( ) ( )

sin ( ) /( )

( ) /

a rn

n

x t x n h t nT

t nT Tx n

t nT T

ππ

∞

=−∞

∞

=−∞

= −

−=

−

∑

∑

การคนรปสญญาณ

สตรการทา Interpolation

sinc( / )t T

× dsp_3_1.jpg



DSP3-50

แตละจดของ x(n) ถกคณดวยsinc function ท!มการเล!อนตาแหนง

dsp_3_2.jpg

ผลการคณของแตละตาแหนง



DSP3-51

ผลรวมของการทา interpolation คอสญญาณคนรป



DSP3-52dsp_3_9.jpg

สรป

• การแปลง DTFT ทาให หาผลตอบสนองความถของระบบได

• เราสามารถหาผลลพธการประสานไดจากการทา DTFT

• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนราย

DSP3-53

• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนรายคาบ

• ความถการสมจะตองมากกวา 2 เทา ของ ความถแอนาลอกสงสด โดยคนรปสญญาณไดโดยการใชวงจรกรองตาผานกบสญญาณไมตอเนองทางเวลา



CESdSP

dsp 2554 3

Education