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TOPOGRAFIA Unidade II Planimetria

Disciplina: Topografia Profª MSc. Ana Carolina da C. Reis

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Apresentação

2.1 Ângulos, azimutes, rumos e conversões

2.2 Fundamentos e Métodos

2.3 Poligonais

2.4 Cálculo de áreas

TOPOGRAFIA

Profª MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

2.1 ÂNGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSÕES


RUMOS Rumo de uma linha é o ângulo horizontal entre a direção norte-sul e a linha, medido a partir do norte ou do sul na direção da linha, porém, não ultrapassando 90° ou 100 grd.

N

S

E W

30°

Diz que os rumos das linhas são:

A-1 = N 70° E A-2 = S 45° E A-3 = S 30° W A-4 = N 60° W

1

2

3

4



N

S

E W

D

Está errado dizer que o

rumo de CD é N 110° E;

O correto é S 70° E.



AZIMUTES Azimute de uma linha é o ângulo que essa linha faz com a direção norte-sul, medido a partir do norte ou do sul, para a direita ou para a esquerda e variando de 0 a 360° ou 400grd.

N

S

Diz que os azimutes da linha são:

Azimute à direita do norte = 240° Azimute à esquerda do norte = 120°

Azimute à direita do sul = 60° Azimute à esquerda do sul = 300°

2

Azimute à esquerda do Sul

1

Azimute à direita do Norte

Azimute à direita do Sul

Azimute à esquerda do

Norte

Chama-se: sentido à direita aquele que

gira como os ponteiros do relógio (sentido horário) e;

sentido à esquerda, o contrário (sentido anti-horário).

No hemisfério sul, e portanto no Brasil, usa-se sempre medir o azimute a partir do norte, sendo mais comum ainda no sentido horário, ou seja à direita;

No hemisfério norte em alguns

países usa-se medi-los a partir do sul.


N

S

E W

2

BRASIL: usa-se Azimute à direita do

Norte

1

Como são muito raras as ocasiões em que será usado outro tipo de azimute, quando não for expressamente afirmado o contrário, azimute será sempre à direita.


EXERCÍCIOS 1. Transformar rumos em azimutes à direita do norte.


Linha Rumo 1 - 2 N 42° 15' W 2 - 3 S 0° 15' W 3 - 4 S 89° 40' E 4 - 5 S 10° 15' E 5 - 6 N 89° 40' E 6 - 7 N 0° 10' E 7 - 8 N 12° 00' W

Azimute à direita

317° 45' 180° 15' 90° 20'

169° 45' 89° 40' 0° 10'

348° 00'

RESPOSTA:


EXERCÍCIOS 2. Transformar rumos em azimutes à esquerda do norte.


Linha Rumo 1 - 2 S 15° 05' W 2 - 3 N 0° 50' W 3 - 4 N 89° 50' W 4 - 5 S 12° 35' E 5 - 6 S 7° 50' E 6 - 7 N 89° 00' E 7 - 8 N 0° 10' E

Azimute à esquerda

164° 55' 0° 50'

89° 50' 192° 35' 187° 50' 271° 00' 359° 50'

RESPOSTA:


O objetivo da planimetria é descrever geograficamente determinada região

da superfície terrestre;

As formas de representação são os desenhos (plantas e mapas), sendo as

unidades gráficas pontos, segmentos de reta e polígonos.

2.2 FUNDAMENTOS E MÉTODOS


Cabe ao topógrafo identificar os pontos mais importantes para a definição

da área a ser levantada;

Determinar a posição (coordenadas) de um ponto na superfície terrestre

significa relacioná-lo (referenciá-lo) a um outro ponto de posição conhecida;

A maneira mais comum de obter a posição de um ponto no campo é medir a

direção (azimute ou rumo) e o comprimento do segmento de reta;

Levanta-se utilizando-se ângulos e distâncias (sistema polar) e então

transformar para um sistema de coordenadas retangulares.


A obtenção das coordenadas de um ponto é feita a partir de um outro que

serve de referência;

Os elementos topográficos devem estar sempre ‘amarrados’ a uma rede de

referência. Para um melhor entendimento do levantamento topográfico deve-se

recorrer a NBR 13.133/94.


0

1

Y (N)

X (E)

𝒅𝟎𝟏= distância horizontal entre os vértices 0 e 1; 𝑨𝟎𝟏 = Azimute na direção 0-1; ΔX = Projeção da distância 𝑑01 sobre o eixo X; ΔY = Projeção da distância 𝑑01 sobre o eixo Y.

ΔX

ΔY ∆𝒀 = 𝒅𝟎𝟏 . cos 𝑨𝟎𝟏

∆𝑿 = 𝒅𝟎𝟏 . sen 𝑨𝟎𝟏


Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções

Conhecendo as coordenadas planimétricas de dois pontos é possível calcular

o azimute da direção formada entre eles:


0

1

2

4

3

1° QUADRANTE

2° QUADRANTE 3° QUADRANTE

4° QUADRANTE ΔX = + ΔY = +

ΔX = + ΔY = - ΔX = -

ΔY = -

ΔX = - ΔY = +

X = 90°

0 ~ 360°

Y

270°

180°

0

1

Y (N)

X (E)

ΔX

ΔY

𝑨𝟎𝟏 = arctg 𝜟𝑿

𝜟𝒀

∆𝑿 = 𝑿𝟏 - 𝑿𝟎

∆𝑿 = 𝒀𝟏 - 𝒀𝟎

1. Calcular o azimute da direção 1-2 conhecendo-se as coordenadas.

2.2 EXERCÍCIOS

1

2

Y (N)

X (E)

ΔX

ΔY

W

S

𝑋1 = 459,234 m 𝑌1 = 233,786 m 𝑋2 = 778,546 m 𝑌2 = 451,263 m

RESPOSTA → 𝑨𝟏−𝟐 = 55° 44’ 24’’

2. Calcular o azimute da direção 2-3 sendo.

2.2 EXERCÍCIOS

2

3

Y (N)

X (E) W

S

𝑋2 = 459,234 m 𝑌2 = 233,786 m 𝑋3 = 498,376 m 𝑌3 = 102,876 m

RESPOSTA → 𝑨𝟐−𝟑 = 16° 38’ 24’’ (1° QUADRANTE) 𝑨𝟐−𝟑 = 163° 21’ 36’’ (2° QUADRANTE)


2.2 EXERCÍCIOS

3

4

Y (N)

X (E) W

S

𝑋3 = 459,234 m 𝑌3 = 233,786 m 𝑋4 = 285,550 m 𝑌4 = 99,459 m

RESPOSTA → 𝑨𝟑−𝟒 = 52° 16’ 48’’ (1° QUADRANTE) 𝑨𝟑−𝟒 = 232° 16’ 48’’ (3° QUADRANTE)


2.2 EXERCÍCIOS

4

5

Y (N)

X (E) W

S

𝑋4 = 459,234 m 𝑌4 = 233,786 m 𝑋5 = 301,459 m 𝑌5 = 502,591 m

RESPOSTA → 𝑨𝟒−𝟓 = 30° 24’ 36’’ (1° QUADRANTE) 𝑨𝟒−𝟓 = 329° 35’ 24’’ (4° QUADRANTE)

2.3 POLIGONAIS

POLIGONAÇÃO Constitui-se de uma série de alinhamento consecutivos, dos quais a extensão e a direção são medidas no campo. É o ato de estabelecer no campo os vértices de poligonais e realizar as medidas necessárias. A partir dos vértices da poligonal são levantados os pontos de detalhes necessários para a completa descrição da área.

Representação da projeção da distância D em X e em Y.


POLIGONAIS SEGUNDO A NORMA 13.133/94

Principal → poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de

primeira ordem;

Secundária → apoia-se na principal e determina os pontos de segunda

ordem;

Auxiliar → poligonal usada para coletar os pontos de detalhes julgados

importantes.

As poligonais levantadas poderão ser fechadas, enquadradas ou abertas.

2.3 POLIGONAIS


POLIGONAIS FECHADA

2.3 POLIGONAIS

Poligonal fechada: parte e retorna ao mesmo ponto. Vantagem de verificar o erro de fechamento angular e linear.

POLIGONAIS ENQUADRADA

2.3 POLIGONAIS

Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas conhecidas e chega em dois pontos com coordenadas conhecidas. Permite a verificação do erro de fechamento angular e linear.


POLIGONAIS ABERTA

2.3 POLIGONAIS

Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se determinar. Não é possível determinar erros de fechamento.


Para o levantamento de uma poligonal é necessário ter no mínimo um ponto

com coordenadas conhecidas e uma orientação;

Se forem utilizadas como apoio topográfico a rede geodésica é necessário

que pelo menos dois pontos sejam comuns.

2.3 POLIGONAIS

Um dos elementos necessários para a definição de uma poligonal são os

ângulos formados por seus lados. Determina-se os ângulos externos e

internos da poligonal.

2.3 POLIGONAIS


2.3 POLIGONAIS


A soma dos ângulos EXTERNOS é dada pela fórmula:

2.3 POLIGONAIS

𝑺𝒆 = (n + 2) . 180° , onde ‘n’ é o número de lados.

𝐀 + 𝐁 + 𝐂 + 𝐃 = 𝟒 + 𝟐 . 𝟏𝟖𝟎° EXEMPLO →

A soma dos ângulos INTERNOS é dada pela fórmula:

2.3 POLIGONAIS

𝑺𝒊 = (n - 2) . 180° , onde ‘n’ é o número de lados.

a + 𝐛 + 𝐜 + 𝐝 = 𝟒 − 𝟐 . 𝟏𝟖𝟎° EXEMPLO →

ERRO ANGULAR DE FECHAMENTO DA POLIGONAL

Num polígono qualquer, a diferença entre a somatória das deflexões num

sentido e no outro deve ser igual a 360°;

Concluída a poligonal, soma-se as deflexões à direita e à esquerda, subtraindo

uma somatória da outra.

2.3 POLIGONAIS

É a diferença entre o valor medido no campo e os valores teóricos obtidos pelas fórmulas geométricas “Si” para os ângulos internos e “Se” para os ângulos externos.

A diferença entre o valor encontrado e 360° é, portanto, o erro angular cometido.


ERRO ANGULAR DE FECHAMENTO DA POLIGONAL

2.3 POLIGONAIS

𝜺𝒂 = p . 𝒎

Onde ‘P’ é o perímetro e m’ é o número de ângulos medidos na poligonal.

Deflexão → é o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior do caminhamento e o novo alinhamento. Esses ângulos podem ter

sentido à direita ou a esquerda, conforme a direção do novo alinhamento. Varia entre 0° e 180°.

AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - AZIMUTES

2.3 POLIGONAIS

𝑨𝒛 𝟐−𝟑 = 𝑨𝒛 𝟏−𝟐 + â lido – 180°

𝑨𝒛 𝟑−𝟒 = 𝑨𝒛 𝟐−𝟑 – (180° – â)

𝑨𝒛 𝟑−𝟒 = 𝑨𝒛 𝟐−𝟑 + â – 180°

𝐝𝐃 → 𝐬𝐨𝐦𝐚 − 𝐬𝐞 𝐚𝐨 𝐀𝐳 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫

𝐝𝐄 → 𝐬𝐮𝐛𝐭𝐫𝐚𝐢 − 𝐬𝐞 𝐝𝐨 𝐀𝐳 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫

â 𝐥𝐢𝐝𝐨 − 𝟏𝟖𝟎° → deflexão à direita 180° − â lido → deflexão à esquerda

𝑨𝒛 𝟐−𝟑 = 𝑨𝒛 𝟏−𝟐 + dD 𝑨𝒛 𝟑−𝟒 = 𝑨𝒛 𝟐−𝟑 + dE

𝐀𝐳 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐢𝐧𝐭𝐞 → 𝐀𝐳𝐢𝐦𝐮𝐭𝐞 𝐚𝐧𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 + â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨 𝐡𝐨𝐫𝐢𝐳𝐨𝐧𝐭𝐚𝐥 𝐬𝐞𝐧𝐭𝐢𝐝𝐨 𝐡𝐨𝐫á𝐫𝐢𝐨 𝐧𝐨 𝐯é𝐫𝐭𝐢𝐜𝐞 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐢𝐧𝐭𝐞 − 𝟏𝟖𝟎°

2.3 POLIGONAIS

𝐀𝐳𝐢 , 𝐢+𝟏 = 𝐀𝐳𝐢−𝟏 , 𝐢 + ∝𝐢 - 180°

i variando de 0 a (n-1), onde n é o número de estações/pontos/vértices da poligonal; Se i+1 > n, então i = 0; Se i-1 < n, então i = n.

AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

2.3 POLIGONAIS

QUADRANTE NE



2.3 POLIGONAIS

QUADRANTE SO


2.3 POLIGONAIS

QUADRANTE NO


2.3 POLIGONAIS

QUANDO RESUMO PARA O CÁLCULO DO RUMO



2.3 POLIGONAIS

OBSERVAÇÕES

No quadrante NE, 𝑹𝟐−𝟑 = 𝑹𝟏−𝟐 − 𝒅𝑬 , se dE > 𝑹𝟏−𝟐 o resultado é negativo;

Portanto, 𝑹𝟐−𝟑 será o módulo do valor encontrado e estará no quadrante NO.


2.3 POLIGONAIS

OBSERVAÇÕES

No quadrante SE, 𝑹𝟐−𝟑 = 𝑹𝟏−𝟐 − 𝒅𝑫 , se dD > 𝑹𝟏−𝟐 o resultado é negativo;

𝑹𝟐−𝟑 estará no quadrante SO.


2.3 POLIGONAIS

OBSERVAÇÕES

No quadrante SO, 𝑹𝟐−𝟑 = 𝑹𝟏−𝟐 + 𝒅𝑫; 𝑹𝟏−𝟐 + dD > 90°.


EXERCÍCIOS

1. De posse dos ângulos horizontais lidos da poligonal abaixo, calcule os

azimutes verdadeiros, deflexões e rumos.

2.3 POLIGONAIS

EXERCÍCIOS

2. Dados os ângulos horizontais abaixo, obtidos visando-se a ré com 0°00’ e

sentido horário, calcule as deflexões.

a. 105º30’15’’ b. 320º22’05’’ c. 248º11’00’’

d. 45º36’40’’ e. 276º00’50’’ f. 51º46’30’’

g. 192º57’10’’ h. 322º26’25’’ i. 81º41’20’’

j. 77º38’00’’ k.66º10’00’’ l. 246º05’30’’

2.3 POLIGONAIS

Resp. →

EXERCÍCIOS

3. Calcular o rumo ou azimute do alinhamento 2-3 conhecendo-se o rumo ou azimute do

alinhamento 1-2 e a deflexão de 2 para 3.

a. R12=57º32’SO d23=142º30’D b. R12=29º07’NE d23=75º28’E

c. R12=43º13’NO d23=179º04’D d. R12=08º21’SE d23=49º27’E

e. R12=54º37’SO d23=102º51’D f. Az12=19º06’ d23=91º14’D

g. Az12=321º24’ d23=164º30’E h. Az12=251º40’ d23=143º50’D

i. Az12=49º16’ d23=101º48’E j. Az12=152º08’ d23=63º18’D

2.3 POLIGONAIS

Resp. →

EXERCÍCIOS

4. Calcular os azimutes do polígono 0-1-2-3-4-5-6-0, conhecendo-se o azimute

inicial e os ângulos horizontais. Caso exista erro angular de fechamento, qual o

seu valor.

2.3 POLIGONAIS

Resp. →

EXERCÍCIOS

5. Com os dados de campo fornecidos pela caderneta abaixo, calcular as

deflexões e os rumos ou azimutes do polígono 0-1-2-3-4-5-6-0, sabendo-se que o

vértice anterior (ré) foi visado 0°00’00’’.

2.3 POLIGONAIS

EXERCÍCIOS

5. (CONTINUAÇÃO)

2.3 POLIGONAIS

Resp. →

CÁLCULO DAS COORDENADAS PRINCIPAIS

Após todos os ângulos terem sidos corrigidos e os azimutes calculados é possível

iniciar o cálculo das coordenadas parciais dos pontos.

VERIFICAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR

A partir do ponto de partida, calculam-se as coordenadas dos demais

pontos até retornar ao ponto de partida;

A diferença entre as coordenadas fornecidas e calculadas resultará no

chamado erro planimétrico ou linear;

2.3 POLIGONAIS

𝑿𝒊 = 𝑿𝒊−𝟏 + 𝒅𝒊−𝟏 ,𝒊 . sen (𝑨𝒛𝒊−𝟏 ,𝒊)

𝒀𝒊 = 𝑿𝒊−𝟏 + 𝒅𝒊−𝟏 ,𝒊 . cos (𝑨𝒛𝒊−𝟏 ,𝒊)


O erro planimétrico pode ser decomposto em uma componente na direção “x”

e outra na direção “y”.

2.3 POLIGONAIS


A seguir é apresentado um resumo da sequência de cálculo e ajuste de uma

poligonal fechada.

Determinação das coordenadas do ponto de partida;

Determinação da orientação da poligonal;

Cálculo do erro de fechamento angular;

Distribuição do erro de fechamento angular;

Cálculo dos azimutes;

Cálculo das coordenadas parciais (x, y);

Cálculo do erro de fechamento linear;

Cálculo das coordenadas definitivas (xc, yc).

2.3 POLIGONAIS

EXERCÍCIO

1. Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para levantamento de uma

poligonal, determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. São

dados.

2.3 POLIGONAIS

EXERCÍCIO

2. Dada a caderneta de campo abaixo, complete as informações que estão

faltando, tais quais: azimutes, projeções, correções da projeção e coordenadas

finais.

2.3 POLIGONAIS

PE PV Âng. Int. Medido

Âng. Corrigido

Azimute Distância Projeções Correções

Coordenadas Finais

∆X ∆Y Cx Cy X Y

-- 1 1000 1000

1 2 112°00‘15'' 211°58'50'' 147,058

2 3 75°24‘35'' 110,404

3 4 202°05‘05'' 72,372

4 5 56°50‘10'' 186,583

5 1 93°40‘20'' 105,451

GRÁFICO

A área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas e a área final será

determinada pelo somatório de todas as áreas das figuras.

2.4 CÁLCULO DE ÁREA

Cálculo de área: é uma atividade comum dentro da topografia. Os processos de cálculo podem ser definidos como: analíticos, gráficos, computacionais e mecânicos.

COMPUTACIONAL

Forma bastante prática para o cálculo das áreas;

Baseado no emprego de algum programa gráfico do tipo CAD, no qual são

desenhados os pontos que definem as áreas levantadas, e o cálculo é feito por

métodos analíticos pelo programa.


MECÂNICO

Utiliza-se um equipamento chamado de planímetro.



ANALÍTICO

A área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a partir de

coordenadas dos pontos que definem a feição, realizar os cálculos desejados;

O cálculo da área de poligonais, pode ser realizado a partir da fórmula de

Gauss.


ANALÍTICO

Exemplo de cálculo da área de um trapézio qualquer.


ANALÍTICO

A área do trapézio será:


Desta forma a área 1 será calculada por:

Da mesma forma a área 2 será calculada :

A área da poligonal será dada por:

Desenvolvendo tem-se:

ANALÍTICO


Rescrevendo a equação, eliminando-se o sinal negativo obtém-se:

Genericamente a equação pode ser escrita:

Ou,

EXERCÍCIO

1. Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a área da

mesma.



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