topografia unidade 2 planimetria

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  • TOPOGRAFIA Unidade II Planimetria

    Disciplina: Topografia Prof MSc. Ana Carolina da C. Reis

    [email protected]

  • Apresentao

    2.1 ngulos, azimutes, rumos e converses

    2.2 Fundamentos e Mtodos

    2.3 Poligonais

    2.4 Clculo de reas

    TOPOGRAFIA

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • 2.1 NGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSES

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

    RUMOS Rumo de uma linha o ngulo horizontal entre a direo norte-sul e a linha, medido a partir do norte ou do sul na direo da linha, porm, no ultrapassando 90 ou 100 grd.

    N

    S

    E W

    30

    Diz que os rumos das linhas so:

    A-1 = N 70 E A-2 = S 45 E A-3 = S 30 W A-4 = N 60 W

    1

    2

    3

    4

  • 2.1 NGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSES

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

    N

    S

    E W

    D

    Est errado dizer que o

    rumo de CD N 110 E;

    O correto S 70 E.

  • 2.1 NGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSES

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

    AZIMUTES Azimute de uma linha o ngulo que essa linha faz com a direo norte-sul, medido a partir do norte ou do sul, para a direita ou para a esquerda e variando de 0 a 360 ou 400grd.

    N

    S

    Diz que os azimutes da linha so:

    Azimute direita do norte = 240 Azimute esquerda do norte = 120

    Azimute direita do sul = 60 Azimute esquerda do sul = 300

    2

    Azimute esquerda do Sul

    1

    Azimute direita do Norte

    Azimute direita do Sul

    Azimute esquerda do

    Norte

    Chama-se: sentido direita aquele que

    gira como os ponteiros do relgio (sentido horrio) e;

    sentido esquerda, o contrrio (sentido anti-horrio).

  • No hemisfrio sul, e portanto no Brasil, usa-se sempre medir o azimute a partir do norte, sendo mais comum ainda no sentido horrio, ou seja direita;

    No hemisfrio norte em alguns

    pases usa-se medi-los a partir do sul.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

    N

    S

    E W

    2

    BRASIL: usa-se Azimute direita do

    Norte

    1

    Como so muito raras as ocasies em que ser usado outro tipo de azimute, quando no for expressamente afirmado o contrrio, azimute ser sempre direita.

    2.1 NGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSES

  • EXERCCIOS 1. Transformar rumos em azimutes direita do norte.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

    Linha Rumo 1 - 2 N 42 15' W 2 - 3 S 0 15' W 3 - 4 S 89 40' E 4 - 5 S 10 15' E 5 - 6 N 89 40' E 6 - 7 N 0 10' E 7 - 8 N 12 00' W

    Azimute direita

    317 45' 180 15' 90 20'

    169 45' 89 40' 0 10'

    348 00'

    RESPOSTA:

    2.1 NGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSES

  • EXERCCIOS 2. Transformar rumos em azimutes esquerda do norte.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

    Linha Rumo 1 - 2 S 15 05' W 2 - 3 N 0 50' W 3 - 4 N 89 50' W 4 - 5 S 12 35' E 5 - 6 S 7 50' E 6 - 7 N 89 00' E 7 - 8 N 0 10' E

    Azimute esquerda

    164 55' 0 50'

    89 50' 192 35' 187 50' 271 00' 359 50'

    RESPOSTA:

    2.1 NGULOS, AZIMUTES, RUMOS E CONVERSES

  • O objetivo da planimetria descrever geograficamente determinada regio

    da superfcie terrestre;

    As formas de representao so os desenhos (plantas e mapas), sendo as

    unidades grficas pontos, segmentos de reta e polgonos.

    2.2 FUNDAMENTOS E MTODOS

  • 2.2 FUNDAMENTOS E MTODOS

    Cabe ao topgrafo identificar os pontos mais importantes para a definio

    da rea a ser levantada;

    Determinar a posio (coordenadas) de um ponto na superfcie terrestre

    significa relacion-lo (referenci-lo) a um outro ponto de posio conhecida;

    A maneira mais comum de obter a posio de um ponto no campo medir a

    direo (azimute ou rumo) e o comprimento do segmento de reta;

    Levanta-se utilizando-se ngulos e distncias (sistema polar) e ento

    transformar para um sistema de coordenadas retangulares.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • A obteno das coordenadas de um ponto feita a partir de um outro que

    serve de referncia;

    Os elementos topogrficos devem estar sempre amarrados a uma rede de

    referncia. Para um melhor entendimento do levantamento topogrfico deve-se

    recorrer a NBR 13.133/94.

    2.2 FUNDAMENTOS E MTODOS

    0

    1

    Y (N)

    X (E)

    = distncia horizontal entre os vrtices 0 e 1; = Azimute na direo 0-1; X = Projeo da distncia 01 sobre o eixo X; Y = Projeo da distncia 01 sobre o eixo Y.

    X

    Y = . cos

    = . sen

  • 2.2 FUNDAMENTOS E MTODOS

    Representao de uma poligonal e suas respectivas projees

  • Conhecendo as coordenadas planimtricas de dois pontos possvel calcular

    o azimute da direo formada entre eles:

    2.2 FUNDAMENTOS E MTODOS

    0

    1

    2

    4

    3

    1 QUADRANTE

    2 QUADRANTE 3 QUADRANTE

    4 QUADRANTE X = + Y = +

    X = + Y = - X = -

    Y = -

    X = - Y = +

    X = 90

    0 ~ 360

    Y

    270

    180

    0

    1

    Y (N)

    X (E)

    X

    Y

    = arctg

    = -

    = -

  • 1. Calcular o azimute da direo 1-2 conhecendo-se as coordenadas.

    2.2 EXERCCIOS

    1

    2

    Y (N)

    X (E)

    X

    Y

    W

    S

    1 = 459,234 m 1 = 233,786 m 2 = 778,546 m 2 = 451,263 m

    RESPOSTA = 55 44 24

  • 2. Calcular o azimute da direo 2-3 sendo.

    2.2 EXERCCIOS

    2

    3

    Y (N)

    X (E) W

    S

    2 = 459,234 m 2 = 233,786 m 3 = 498,376 m 3 = 102,876 m

    RESPOSTA = 16 38 24 (1 QUADRANTE) = 163 21 36 (2 QUADRANTE)

  • 3. Calcular o azimute da direo 3-4 sendo.

    2.2 EXERCCIOS

    3

    4

    Y (N)

    X (E) W

    S

    3 = 459,234 m 3 = 233,786 m 4 = 285,550 m 4 = 99,459 m

    RESPOSTA = 52 16 48 (1 QUADRANTE) = 232 16 48 (3 QUADRANTE)

  • 4. Calcular o azimute da direo 4-5 sendo.

    2.2 EXERCCIOS

    4

    5

    Y (N)

    X (E) W

    S

    4 = 459,234 m 4 = 233,786 m 5 = 301,459 m 5 = 502,591 m

    RESPOSTA = 30 24 36 (1 QUADRANTE) = 329 35 24 (4 QUADRANTE)

  • 2.3 POLIGONAIS

    POLIGONAO Constitui-se de uma srie de alinhamento consecutivos, dos quais a extenso e a direo so medidas no campo. o ato de estabelecer no campo os vrtices de poligonais e realizar as medidas necessrias. A partir dos vrtices da poligonal so levantados os pontos de detalhes necessrios para a completa descrio da rea.

    Representao da projeo da distncia D em X e em Y.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • POLIGONAIS SEGUNDO A NORMA 13.133/94

    Principal poligonal que determina os pontos de apoio topogrfico de

    primeira ordem;

    Secundria apoia-se na principal e determina os pontos de segunda

    ordem;

    Auxiliar poligonal usada para coletar os pontos de detalhes julgados

    importantes.

    As poligonais levantadas podero ser fechadas, enquadradas ou abertas.

    2.3 POLIGONAIS

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • POLIGONAIS FECHADA

    2.3 POLIGONAIS

    Poligonal fechada: parte e retorna ao mesmo ponto. Vantagem de verificar o erro de fechamento angular e linear.

  • POLIGONAIS ENQUADRADA

    2.3 POLIGONAIS

    Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas conhecidas e chega em dois pontos com coordenadas conhecidas. Permite a verificao do erro de fechamento angular e linear.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • POLIGONAIS ABERTA

    2.3 POLIGONAIS

    Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se determinar. No possvel determinar erros de fechamento.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • Para o levantamento de uma poligonal necessrio ter no mnimo um ponto

    com coordenadas conhecidas e uma orientao;

    Se forem utilizadas como apoio topogrfico a rede geodsica necessrio

    que pelo menos dois pontos sejam comuns.

    2.3 POLIGONAIS

  • Um dos elementos necessrios para a definio de uma poligonal so os

    ngulos formados por seus lados. Determina-se os ngulos externos e

    internos da poligonal.

    2.3 POLIGONAIS

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • 2.3 POLIGONAIS

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • A soma dos ngulos EXTERNOS dada pela frmula:

    2.3 POLIGONAIS

    = (n + 2) . 180 , onde n o nmero de lados.

    + + + = + . EXEMPLO

  • A soma dos ngulos INTERNOS dada pela frmula:

    2.3 POLIGONAIS

    = (n - 2) . 180 , onde n o nmero de lados.

    a + + + = . EXEMPLO

  • ERRO ANGULAR DE FECHAMENTO DA POLIGONAL

    Num polgono qualquer, a diferena entre a somatria das deflexes num

    sentido e no outro deve ser igual a 360;

    Concluda a poligonal, soma-se as deflexes direita e esquerda, subtraindo

    uma somatria da outra.

    2.3 POLIGONAIS

    a diferena entre o valor medido no campo e os valores tericos obtidos pelas frmulas geomtricas Si para os ngulos internos e Se para os ngulos externos.

    A diferena entre o valor encontrado e 360 , portanto, o erro angular cometido.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • ERRO ANGULAR DE FECHAMENTO DA POLIGONAL

    2.3 POLIGONAIS

    = p .

    Onde P o permetro e m o nmero de ngulos medidos na poligonal.

    Deflexo o ngulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior do caminhamento e o novo alinhamento. Esses ngulos podem ter

    sentido direita ou a esquerda, conforme a direo do novo alinhamento. Varia entre 0 e 180.

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - AZIMUTES

    2.3 POLIGONAIS

    = + lido 180

    = (180 )

    = + 180

    deflexo direita 180 lido deflexo esquerda

    = + dD = + dE

    +

  • 2.3 POLIGONAIS

    , + = , + - 180

    i variando de 0 a (n-1), onde n o nmero de estaes/pontos/vrtices da poligonal; Se i+1 > n, ento i = 0; Se i-1 < n, ento i = n.

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    QUADRANTE NE

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    QUADRANTE SO

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    QUADRANTE NO

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    QUANDO RESUMO PARA O CLCULO DO RUMO

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    OBSERVAES

    No quadrante NE, = , se dE > o resultado negativo;

    Portanto, ser o mdulo do valor encontrado e estar no quadrante NO.

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    OBSERVAES

    No quadrante SE, = , se dD > o resultado negativo;

    estar no quadrante SO.

  • AZIMUTES E RUMOS DOS LADOS DA POLIGONAL - RUMOS

    2.3 POLIGONAIS

    OBSERVAES

    No quadrante SO, = + ; + dD > 90.

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • EXERCCIOS

    1. De posse dos ngulos horizontais lidos da poligonal abaixo, calcule os

    azimutes verdadeiros, deflexes e rumos.

    2.3 POLIGONAIS

  • EXERCCIOS

    2. Dados os ngulos horizontais abaixo, obtidos visando-se a r com 000 e

    sentido horrio, calcule as deflexes.

    a. 1053015 b. 3202205 c. 2481100

    d. 453640 e. 2760050 f. 514630

    g. 1925710 h. 3222625 i. 814120

    j. 773800 k.661000 l. 2460530

    2.3 POLIGONAIS

    Resp.

  • EXERCCIOS

    3. Calcular o rumo ou azimute do alinhamento 2-3 conhecendo-se o rumo ou azimute do

    alinhamento 1-2 e a deflexo de 2 para 3.

    a. R12=5732SO d23=14230D b. R12=2907NE d23=7528E

    c. R12=4313NO d23=17904D d. R12=0821SE d23=4927E

    e. R12=5437SO d23=10251D f. Az12=1906 d23=9114D

    g. Az12=32124 d23=16430E h. Az12=25140 d23=14350D

    i. Az12=4916 d23=10148E j. Az12=15208 d23=6318D

    2.3 POLIGONAIS

    Resp.

  • EXERCCIOS

    4. Calcular os azimutes do polgono 0-1-2-3-4-5-6-0, conhecendo-se o azimute

    inicial e os ngulos horizontais. Caso exista erro angular de fechamento, qual o

    seu valor.

    2.3 POLIGONAIS

    Resp.

  • EXERCCIOS

    5. Com os dados de campo fornecidos pela caderneta abaixo, calcular as

    deflexes e os rumos ou azimutes do polgono 0-1-2-3-4-5-6-0, sabendo-se que o

    vrtice anterior (r) foi visado 00000.

    2.3 POLIGONAIS

  • EXERCCIOS

    5. (CONTINUAO)

    2.3 POLIGONAIS

    Resp.

  • CLCULO DAS COORDENADAS PRINCIPAIS

    Aps todos os ngulos terem sidos corrigidos e os azimutes calculados possvel

    iniciar o clculo das coordenadas parciais dos pontos.

    VERIFICAO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR

    A partir do ponto de partida, calculam-se as coordenadas dos demais

    pontos at retornar ao ponto de partida;

    A diferena entre as coordenadas fornecidas e calculadas resultar no

    chamado erro planimtrico ou linear;

    2.3 POLIGONAIS

    = + , . sen ( ,)

    = + , . cos ( ,)

  • VERIFICAO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR

    O erro planimtrico pode ser decomposto em uma componente na direo x

    e outra na direo y.

    2.3 POLIGONAIS

  • VERIFICAO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR

    A seguir apresentado um resumo da sequncia de clculo e ajuste de uma

    poligonal fechada.

    Determinao das coordenadas do ponto de partida;

    Determinao da orientao da poligonal;

    Clculo do erro de fechamento angular;

    Distribuio do erro de fechamento angular;

    Clculo dos azimutes;

    Clculo das coordenadas parciais (x, y);

    Clculo do erro de fechamento linear;

    Clculo das coordenadas definitivas (xc, yc).

    2.3 POLIGONAIS

  • EXERCCIO

    1. Dada a caderneta de campo abaixo, utilizada para levantamento de uma

    poligonal, determinar as coordenadas dos pontos que formam a mesma. So

    dados.

    2.3 POLIGONAIS

  • EXERCCIO

    2. Dada a caderneta de campo abaixo, complete as informaes que esto

    faltando, tais quais: azimutes, projees, correes da projeo e coordenadas

    finais.

    2.3 POLIGONAIS

    PE PV ng. Int. Medido

    ng. Corrigido

    Azimute Distncia Projees Correes

    Coordenadas Finais

    X Y Cx Cy X Y

    -- 1 1000 1000

    1 2 1120015'' 21158'50'' 147,058

    2 3 752435'' 110,404

    3 4 2020505'' 72,372

    4 5 565010'' 186,583

    5 1 934020'' 105,451

  • GRFICO

    A rea a ser avaliada dividida em figuras geomtricas e a rea final ser

    determinada pelo somatrio de todas as reas das figuras.

    2.4 CLCULO DE REA

    Clculo de rea: uma atividade comum dentro da topografia. Os processos de clculo podem ser definidos como: analticos, grficos, computacionais e mecnicos.

  • COMPUTACIONAL

    Forma bastante prtica para o clculo das reas;

    Baseado no emprego de algum programa grfico do tipo CAD, no qual so

    desenhados os pontos que definem as reas levantadas, e o clculo feito por

    mtodos analticos pelo programa.

    2.4 CLCULO DE REA

  • MECNICO

    Utiliza-se um equipamento chamado de planmetro.

    2.4 CLCULO DE REA

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis

  • ANALTICO

    A rea avaliada utilizando frmulas matemticas que permitem, a partir de

    coordenadas dos pontos que definem a feio, realizar os clculos desejados;

    O clculo da rea de poligonais, pode ser realizado a partir da frmula de

    Gauss.

    2.4 CLCULO DE REA

  • ANALTICO

    Exemplo de clculo da rea de um trapzio qualquer.

    2.4 CLCULO DE REA

  • ANALTICO

    A rea do trapzio ser:

    2.4 CLCULO DE REA

    Desta forma a rea 1 ser calculada por:

    Da mesma forma a rea 2 ser calculada :

    A rea da poligonal ser dada por:

    Desenvolvendo tem-se:

  • ANALTICO

    2.4 CLCULO DE REA

    Rescrevendo a equao, eliminando-se o sinal negativo obtm-se:

    Genericamente a equao pode ser escrita:

    Ou,

  • EXERCCIO

    1. Dadas as coordenadas dos pontos de uma poligonal, calcular a rea da

    mesma.

    2.4 CLCULO DE REA

    Prof MSc. Ana Carolina da Cruz Reis