MecanicadeFluidos-2009Ejercicios resueltos1. El campo de velocidades de un uido esta dado por:v = (a, b sin(t), 0)dondea yb son constantes. Calcule y graque:a) La lnea de corriente que pasa por el origen, at = 0,t =2,t =yt =32.b) La trayectoria de la partcula, que -a tiempot = 0- estaba en el origen de coordenadas.c) Lalneadehumodetodaslaspartculasquepasaronporel origendecoordenadas, at=0,t =2,t =yt =32.Respuesta:a) Lneas de corriente:El campo de velocidades es uniforme (independiente de la posicion), en otras palabras todos losvectores velocidad son paralelos, las lneas tangentes a un campo uniforme seran entonces rectasparalelas entre s. At = 0, v = (a, 0, 0) y la lnea que pasa por el origen sera el ejex. At =2,v(a, b, 0), la lnea que pasa por el origen es:y =bax. At =es nuevamente el ejex, y at =32sera la rectay = bax.b) Podemos calcular la funcion de historia cinematica integrando la ecuacion diferencial:

(x, t)t= v(

, t)Particularizando para nuestro campo vectorial (uniforme, dependiente det):

(x, t)t= (a, b sin(t), 0)En componentes:xt= ayt= b sin(t)zt= 0Integrando, teniendo en cuenta la condicion inicial:

(x, 0) = x, se obtiene:x= x +aty= y +b[1 cos(t)]z= zPara la partcula que nos interesa: (x, y, z) = (0, 0, 0), su trayectoria se obtiene con la formula: p(t) =

((0, 0, 0), t) = ((at,b[1 cos(t)], 0)c) Lneas de humo.Como primer paso debemos identicar las partculas que, en alg un momento pasaron por el origen:evaluando la funcion de historia cinematica en un instante que llamaremos, el resultado es elpunto (0, 0, 0):

( p, ) = (0, 0, 0)Reeplazando la expresion obtenida arriba:px +a = 0py +b[1 cos()] = 0pz= 0despejando:px= apy= b[1 cos()]pz= 0Para obtener la lnea de humo debemos obtener la posicion de estas partculas en el momento deinteres,t: h =

( p, t). Reemplazando:hx= a +at = a(t )hy= b[1 cos()] +b[1 cos(t)] =b[cos() cos(t)]pz= 0 = 0Las lneas de humo requeridas se obtienen reemplazandot por los instantes denidos:t = 0:

h() = (a,b[cos() 1], 0)t =2:

h() = (a(2 ),b cos(), 0)t =:

h() = (a( ),b[cos() + 1], 0)t =32:

h() = (a(32 ),b cos(), 0)(0, 0)t=pi/wt=3pi/2wt=pi/2wt=02pi/w