INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA CUÁNTICACUÁNTICA
Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica Parte 2: Mecánica Cuántica.
11
Parte 1: FUNDAMENTOS Parte 1: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSMATEMÁTICOS
Espacios vectoriales complejos de dimensión finita.Espacios vectoriales complejos de dimensión finita. Operadores lineales. Representación matricial. Operadores lineales. Representación matricial. Proyectores.Proyectores. AutovaloresAutovalores y y autovectoresautovectores.. Operador adjunto o Operador adjunto o hermíticohermítico conjugado.conjugado. Operador Operador autoadjuntoautoadjunto. Propiedades. . Propiedades. Operador inverso.Operador inverso. Operador unitario. Operador unitario. Producto tensorial.Producto tensorial.
22
Repaso: Espacio euclídeo tridimensional E3.
OPERACIONES BÁSICAS vOPERACIONES BÁSICAS
1) SUMA DE VECTORESEED d
v
321
3231
EvvSUMAla
EvyEvDados
3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
3
3,Evr
y
32211 Evrvr
• COMBINACIONES LINEALES
33
32211 Evrvr
3) PRODUCTO ESCALAR1v1v
2v
| || | cosv v v v 1 2 1 2
1 2 2 1
| || | cos( )
v v v vv v v v conmutativo
1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad
2| | 0
| |
v v v
1 2 1 1 2 2| |
( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz
44
( . )desig Cauchy Schwarz
BASE ORTONORMALijji ee
3e vijji
erererv 332211
2e ii evrsiendo
1e 332211 eaeaeaa
3
332211 ebebebb
31
332211 ii
ibababababa
55
3
1
2
iiaaa
ESPACIOS DE HILBERTESPACIOS DE HILBERT Estudiaremos espacios vectoriales Estudiaremos espacios vectoriales
lineales complejos de dimensión finita lineales complejos de dimensión finita (para el desarrollo de la información (para el desarrollo de la información (p(pcuántica).cuántica). Los escalares son números complejosLos escalares son números complejos Los escalares son números complejos.Los escalares son números complejos. Usaremos la notación “braUsaremos la notación “bra--ket” de Dirac.ket” de Dirac. Cada vector estará representado por un Cada vector estará representado por un
“ket”:“ket”:ket :ket :
66
SUMA DE VECTORES
V
V
spropiedade
V )()(
V
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
complejonúmeroCcV
( )propiedadesc c c
Vc ( )
( )
( ) ( )
c d c d
cd c d
( ) ( )
77
PRODUCTO ESCALAR (producto interno)
yDados (producto interno) C
Propiedades
linealidaddcdc
symmetryskew
)(
dpositivida0
)(
Norma de un vector
Vector normalizado (norma unidad)=vector unitario
" "vector dual o bra
88
A cada V C
A partir de las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:
cc
Demostración:
ccccc ][
DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZDESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
2||
Ejercicio 1: demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Ayuda: Úsese que el producto escalar de un vector por sí mismo es definido positivo, y defínase el vector
99
;c siendo c defínase el vector
INDEPENDENCIA LINEAL
V
0...0.....
,.......,
2111
1
mmm
m
ccccc
V
DIMENSIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL = número máximo (n) de vectores linealmente independientes BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientesBASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes (conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores de la base.
BASE ORTONORMAL
n,.......,, 21
njiijji
n
,....2,1,;
, ,, 21
;n
i i i ia a
1010 1
1 2, , ..........,i
na a a
Expresión del producto escalar y la norma a partir de las componentes.
i
n
iii
n
ii bya
11
n
iii
n
ii aba
1
2
1||;
Demostración:
iiijjijijijjii babababa
Demostración:
ijijiji
,,
iii aaa 2||
ii
iii ||
1111
OPERADORES LINEALESAOperador ˆ linealidad
A
AOperadorˆ AbAabaA ˆˆ)(ˆ
0
operador identidad I
operador nulo N
0 , 0
p
vector nulo
ˆˆˆ
BABAC
BACoperadoresdesumaˆˆ)ˆˆ(ˆ
ˆˆˆ
BABAC )(
operadoresdeproducto
)ˆ(ˆˆˆ;ˆˆˆ BABABAC
ope ado esdep oducto
1212!ˆˆˆˆ¡ ABBAOJO
REPRESENTACIÓN MATRICIAL
Un operador está representado en cierta base a partir de una matriz cuadrada
A
AOperadorˆ
ˆnBase ,.......,, 21
j
n
jja
1
n
nnn
AAbAA ˆˆˆ
?¿;1
ii
n
ii bb
jj
ijjij
jiijj
j aAAabAaA
111
AA ˆ jiij AA
b1
a1
nAAA .. 11211
b.2
a.2
nAAA.....
.. 22221
1313
nb.
na.
nnnn AAA .......
21
VunitariovectorPROYECTORES
P
Pˆ
ˆPropiedades P
Pˆ
ˆ)1
PP
PSiˆˆ)3
00)22
PP)3
PROYECTORES SOBRE ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES
l
k
llP
1
ˆ PP ˆˆ 2 l1
RELACIÓN DE CIERREla suma de los proyectores asociados a los vectores de una base ortonormal es i l l id tid d
14141
n
i ii
I
igual a la identidad:
nBase ,.......,, 21
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
A
C
Vector propio o autovector
Valor propio o autovalor
• La ecuación de autovalores siempre tiene solución.
p p
Ecuación característica11 12 1. . nA A AA A A
21 22 2. .
det det . . . . . 0. . . . .
nA A Ap A I
1 2 . .n n nnA A A
es una función polinomial de grado n. Tiene n raíces complejas (autovalores). p
• La ecuación característica depende sólo del operador, no de su representación matricial en una base dada. Por tanto, los autovalores de un operador no dependen de su representación matricial.
1 2, , ..........., n
1515
• Los autovectores de un operador lineal, correspondientes a autovalores distintos, son linealmente independientes.
dada. Por tanto, los autovalores de un operador no dependen de su representación matricial.
OPERADOR ADJUNTO O HERMÍTICO CONJUGADO
A ˆˆAA AA ˆˆA
ˆ ˆˆ ˆ( )A B A B Representación matricial: traspuesta conjugadaPROPIEDADES(Ejercicio 2: demostrar estas propiedades de los operadores adjuntos)
( )ˆ ˆˆ ˆ( )ˆ ˆ( )
AB B A
A A
Representación matricial: traspuesta conjugada
(Ejercicio 3: demostrar la propiedad siguiente:)
Tij jiA A A A
ˆ ˆA A OPERADOR AUTOADJUNTO (O HERMÍTICO)
operadores adjuntos) ( )A A ij ji
Tij ji iiA A A A A A R
PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS1ª. Sus autovalores son números reales
PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:
Demostración:Demostración:
A ˆ ;A R
R1616
AAAA ˆˆˆˆ R
2ª. Los vectores propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre síson ortogonales entre sí.
Demostración: ˆi i iA ˆ
j i i j iA
ˆj i i j iA • Los auotovectores de un operador hermítico en j i i j i
ˆ
Los auotovectores de un operador hermítico, en el caso no degenerado, forman un conjunto ortonormal de vectores.
E l d d t bié ibli j i j iA • En el caso degenerado, también es posible
construir un conjunto ortonormal de autovectores del operador.
j i j i j i • Por tanto, siempre es posible encontrar, a partir
de los vectores propios de un operador hermítico, una base ortonormal del espacio de Hilbert.
( ) 0 0j i j i j i
1717
OPERADOR INVERSO A 1ˆB A operador inversoˆ ˆˆ ˆ ˆ.Def BA AB I 1ˆ ˆA A
El i d d i t í ól í l d t i t d l
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
El inverso de un operador existe sí y sólo sí el determinante de la matriz que lo representa es no nulo.
OPERADOR UNITARIO U ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.Def UU U U I
1ˆ ˆUn operador es unitario cuando su 1ˆ ˆU U Un operador es unitario cuando su adjunto es igual a su inverso:
Propiedades: p
A) El producto de dos operadores unitarios es unitario.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆU V U V U V V U I
B) El producto escalar es invariante bajo transformaciones unitarias. En consecuencia, un
operador unitario no modifica la norma de un vector (ejercicio 4: demostración de esta propiedad).
1818
De este modo, los operadores unitarios actúan en el espacio de Hilbert de una manera análoga a las rotaciones en el espacio euclideo, las cuales mantienen el módulo de un vector, y el ángulo entre dos vectores.
PRODUCTO TENSORIAL
Espacio H1 Dimensión m
Espacio H Dimensión n
Ket
Ket
Espacio H2 Dimensión n Ket
ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2 21 HHH Dimensión mn Ket
Si a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puedeSi a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar un vector (producto tensorial de ambos vectores) perteneciente a
H, entonces H es el producto tensorial de H1 y H2
PROPIEDADES:
21,,)( HHCccci 21,,)( HHCccci 212121 ,)( HHii i
2121)( iii
Notación ,
c11
BASES ORTONORMALES
11Hi
2Hj
21 HHji
cc
.
.13
12
22Hj
jlikklij nccccnccccijc nn
m
i
n
jij 2..........2322211..........131211 22322211131211
1 1
KET EN H
n
cccc
22
21
1
mncmcmcmc mnmmm
i j
..........321..................................................... 321
1 1
nc
c
.
.
2
23
mn
KK Kc
1 jniK )1(
cc
.
.32
31
OPERADORES
nc
.
.
.3
OPERADORES
A H ˆ H BA ˆˆ HH
m
m
cc.
2
1
A 1H B 2H BA 21 HH
mnc..
jBiAcjicBA ijijˆˆˆˆ
ij ijdrs jjij
ijij
ij
ij
ij j
jBsiArcijˆˆ ij ijrsd sjriijd rsdj
ijij
ijij j
ijsjriij rs
ij
ijsjrirs cBAd
BABABA
A es una matriz
B t i
mm
ij
Representación matricial
BABABABABABA
BAm
m
............
ˆˆ22221
11211 B es una matriz
AijB es una matriz
nnnn
ˆˆ
BABABA mmmm ...
......
21BA es una matriz mnmn
