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  • INTRODUCCIN A LA MECNICA INTRODUCCIN A LA MECNICA CUNTICACUNTICA

    Fundamentos matemticos. Los Postulados de la Mecnica Cuntica Los Postulados de la Mecnica Cuntica.

    11

  • FUNDAMENTOS MATEMTICOSFUNDAMENTOS MATEMTICOSFUNDAMENTOS MATEMTICOSFUNDAMENTOS MATEMTICOS

    La Mecnica Cuntica se desarrolla en La Mecnica Cuntica se desarrolla en espacios vectoriales denominados espaciosespacios vectoriales denominados espaciosespacios vectoriales denominados espacios espacios vectoriales denominados espacios de Hilbert.de Hilbert.P b tP b t Para comenzar, repasaremos brevemente Para comenzar, repasaremos brevemente las ideas fundamentales relativas al espacio las ideas fundamentales relativas al espacio eucldeo tridimensional eucldeo tridimensional EE3.3.

    22

  • v

    OPERACIONES BSICAS

    vOPERACIONES BSICAS

    1) SUMA DE VECTORESEED d

    321

    3231

    EvvSUMAla

    EvyEvDados

    3, EvyRrDado 2) MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

    3

    3,Evr

    y

    32211 Evrvr

    COMBINACIONES LINEALES

    33

    32211 Evrvr

  • 3) PRODUCTO ESCALAR1v1v

    2v

    | || | cosv v v v 1 2 1 21 2 2 1

    | || | cos( )

    v v v vv v v v conmutativo

    1 2 3 1 2 1 3( ) ( )v rv sv r v v s v v linealidad

    2| | 0

    | |

    v v v

    1 2 1 1 2 2| |

    ( )v v v v v vdesig Cauchy Schwarz

    44

    ( . )desig Cauchy Schwarz

  • BASE ORTONORMALijji ee

    3e

    vijji

    erererv 3322112e

    ii evrsiendo

    1e 332211 eaeaeaa

    3

    332211 ebebebb

    31

    332211 ii

    ibababababa

    55

    3

    1

    2

    iiaaa

  • ESPACIOS DE HILBERTESPACIOS DE HILBERT Estudiaremos espacios vectoriales Estudiaremos espacios vectoriales

    lineales complejos de dimensin finita lineales complejos de dimensin finita (para el desarrollo de la informacin (para el desarrollo de la informacin (p(pcuntica).cuntica). Los escalares son nmeros complejosLos escalares son nmeros complejos Los escalares son nmeros complejos.Los escalares son nmeros complejos. Usaremos la notacin braUsaremos la notacin bra--ket de Dirac.ket de Dirac. Cada vector estar representado por un Cada vector estar representado por un

    ket:ket:ket :ket :

    66

  • SUMA DE VECTORES

    V

    V

    spropiedade

    V )()(

    V

    MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR

    complejonmeroCcV

    ( )propiedadesc c c

    Vc ( )

    ( )

    ( ) ( )

    c d c d

    cd c d

    ( ) ( )

    77

  • PRODUCTO ESCALAR yDados

    CPropiedades

    linealidaddcdc

    symmetryskew

    )(

    dpositivida0

    )(

    Norma de un vector

    Vector normalizado

    braodualvector ""

    CVdA

    braodualvector

    88

    CVcadaA

  • A partir de las propiedades del producto escalar, se puede demostrar que:

    cc

    Demostracin:

    ccccc ][

    DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZDESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

    2||

    99

  • INDEPENDENCIA LINEAL

    V

    0...0.....

    ,.......,

    2111

    1

    mmm

    m

    ccccc

    V

    DIMENSIN DEL ESPACIO VECTORIAL = nmero mximo (n) de vectores linealmente independientes BASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientesBASE DEL ESPACIO VECTORIAL: n vectores linealmente independientes (conjunto completo de vectores). Cualquier vector puede expresarse como combinacin lineal de los vectores de la base.

    BASE ORTONORMAL

    n,.......,, 21

    njiijji

    n

    ,....2,1,;

    , ,, 21

    iiin

    ii aa ;

    1

    1010

    i1

  • Expresin del producto escalar y la norma a partir de las componentes.

    i

    n

    iii

    n

    ii bya

    11

    n

    iii

    n

    ii aba

    1

    2

    1||;

    Demostracin:

    iiijjijijijjii babababa

    Demostracin:

    ijijiji

    ,,

    iii aaa 2|| i

    ii

    ii ||

    1111

  • OPERADORES LINEALESAOperador linealidad

    A

    AOperador AbAabaA

    )(

    Iidentidadoperador

    0Nnulooperador

    BABAC

    BACoperadoresdesuma)(

    BABAC )(

    operadoresdeproducto

    )(; BABABAC

    ope ado esdep oducto

    1212! ABBAOJO

  • REPRESENTACIN MATRICIAL

    Un operador est representado en cierta base a partir de una matriz cuadrada

    A

    AOperador

    nBase ,.......,, 21 j

    n

    jja

    1

    n

    nnn

    AAbAA

    ?;1

    ii

    n

    ii bb

    jj

    ijjij

    jiijj

    j aAAabAaA

    111

    AA jiij AA

    b1

    a1 nAAA .. 11211

    b.2

    a.2

    nAAA.....

    .. 22221

    1313

    nb.

    na.

    nnnn AAA .......

    21

  • VunitariovectorPROYECTORES

    P

    P

    Propiedades P

    P

    )1

    PP

    PSi)3

    00)22

    PP)3

    PROYECTORES SOBRE ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES

    l

    k

    llP

    1

    PP 2 l1

    RELACIN DE CIERREla suma de los proyectores asociados a los vectores de una base ortonormal es i l l id tid d

    14141

    n

    i ii

    I

    igual a la identidad:

    nBase ,.......,, 21

  • AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

    aA

    a

    Vector propio o autovector

    Valor propio o autovalorp p

    Los autovalores de un operador no dependen de su representacin matricial.

    La ecuacin de autovalores siempre tiene solucin

    Los autovectores de un operador lineal, correspondientes a autovalores distintos, son linealmente independientes

    p p p

    p

    E i t ti 0....

    d22221

    11211

    AaAAAAaA

    n

    n

    Ecuacin caracterstica 0

    ............det

    21

    aAAA nnnn

    1515Tiene n races complejas (autovalores) naaa .,..........,, 21

  • OPERADOR ADJUNTO O HERMTICO CONJUGADO

    A AA AA A

    ( )A B A B PROPIEDADES

    ( ) ( ) ( )

    AB B A

    A A

    Representacin matricial: traspuesta conjugada ij jiA A

    AA OPERADOR AUTOADJUNTO (O HERMTICO)

    ( )A A

    PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:

    1. Sus autovalores son nmeros reales

    PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS:

    Demostracin:Demostracin:

    aA RaA ;

    R1616

    AAAA Ra

  • 2. Los vectores propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre sson ortogonales entre s.

    Demostracin:iii aA ijiij aA

    ijiij aA ijiij

    ijiji aA

    ijijij aa

    00)( ijijij aa Siempre es posible encontrar, a partir de los vectores propios de

    1717

    un operador hermtico, una base ortonormal del espacio de Hilbert.

  • OPERADOR INVERSO A 1 AB IBAAB

    OPERADOR UNITARIO

    U

    UU U U I U

    Es decir: 1 U U Un operador es unitario cuando su adjunto es igual a su inverso

    Propiedades: p

    A) El producto de dos operadores unitarios es unitario.

    B) El producto escalar es invariante bajo transformaciones

    1818

    ) p junitarias.

  • REPASO DE LOS FUNDAMENTOS MATEMTICOS (con grficos no riguroso para mejor comprensin)

    Bases ortonormales en el espacio de Hilbert

    (con grficos no riguroso- para mejor comprensin)

    0|;1|| 212211 uuuuuu |2| u2|

    p

    0|;1|| 212211 vvvvvv

    1| u

    1|

    1| uEjemplo grfico en el espacio E2

    |'|'|||

    Las componentes de un ket dependen de la base ortonormal en la que se exprese. Tomando n=2:

    22112211 |'|'||| vcvcucucNMEROS

    COMPLEJOS!

    19191| Supondremos que el ket est normalizado COMPLEJOS!

  • Operadores en Operadores en H H : matrices 2 X 2: matrices 2 X 2

    '||A 111211'ccaa

    2| u '| '|| A

    2

    1

    2

    1

    2221

    1211

    'ccaa

    |A Valores propios y vectores propios Valores propios y vectores propios

    1 1 1 | |A a

    |

    |A

    Si el operador es hermtico:

    2 2 2 | |A a 1| u

    1. Sus valores propios son nmeros reales (supondremos que no hay degeneracin): 1 Los correspondientes vectores propios al ser ortogonales

    2121 ,, aaRaa 1. Los correspondientes vectores propios, al ser ortogonales,

    constituyen una base ortonormal de H.

    1| | | |c c 1 1 2 2| | |c c

    20202|

  • EjerciciosEjerciciosEjerciciosEjercicios1.1. Encontrar la condicin para que el Encontrar la condicin para que el

    vectorvector1)(0)cos(cos 2121 sensen

    est normalizado. est normalizado. est o a adoest o a ado

    1,0 es la base computacional es la base computacional (espacio de Hilbert de dimensin 2). (espacio de Hilbert de dimensin 2).

    2. Demostrar la desigualdad de Cauchy2. Demostrar la desigualdad de Cauchy--SchwarzSchwarz

    2||

    Ayuda: sese que el producto escalar de un vector por s mismo es

    csiendoc ;

    Ayuda: sese que el producto escalar de un vector por s mismo es definido positivo, y defnase el vector

    2121

    ;

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