Download - Dimenzioniranje Presjeka PBAB-87 Zad 1-19
Osnove betonskih konstrukcija Ak. 2012/2013
PBAB'87
PBAB '87
PRAVILNIK ZA BETON I ARMIRANI BETON
1987. godina
Osnove betonskih konstrukcija Ak. 2012/2013
PBAB'87
Osnove betonskih konstrukcija Ak. 2012/2013
PBAB 87
D I M E N Z I O N I R A NJ E P R E S J E K A
P B A B ' 87
Osnove betonskih konstrukcija Ak. 2012/2013
PBAB 87
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB '87 1
Zadatak 1.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g p
g
p
M M 0
N 300 kNvlak
N 200 kN
= =
= ⎫⎪ −⎬= ⎪⎭
Presjek: kvadratni 40/40 cm
Materijal:
MB 30 → b 2 2
N kNf 20,5 2,05mm cm
= = - računska tlačna čvrstoća
RA 400/500 → av 2 2
N kNf 400 40mm cm
= = - granica razvlačenja
_______________________________________________________________
Traži se: pot Aa _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimna vlačna sila:
u g g p pN N N 1,6 300 1,8 200 840 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Potrebna površina vlačne armature:
2ua,pot
av
N 840A 21,0 cmf 40
= = =
Usvojena armatura:
8 19φ ( )2aA 22,68 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 8O19
2 O8
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB '87 2
Zadatak 2.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 30 kNm
M 20 kNm
N 300 kNvlak
N 200 kN
=
=
= ⎫⎪ −⎬= ⎪⎭
Presjek: kvadratni 40/40 cm
Materijal:
MB 30 → b 2 2
N kNf 20,5 2,05mm cm
= = - računska tlačna čvrstoća
RA 400/500 → av 2 2
N kNf 400 40mm cm
= = - granica razvlačenja
_______________________________________________________________ Ekscentricitet sile
M 30 20 d 40e 0,1m 10 cm 20 cmN 300 200 2 2
+= = = = < = =
+ (ekscentrični vlak, mali
ekscentricitet) Traži se: pot Aa1 i potAa2 _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p p
u g g p p
M M M 1,6 30 1,8 20 84 kNm
N N N 1,6 300 1,8 200 840 kN
= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
uu
u
M 84e 0,1m 10 cmN 840
= = = =
Zau1
Zau2
Tb
12
a1a2
Nu
Mu Zau1
Zau2
Nu
Tb Tb
Aa1
Aa22
1
u
Pretpostavka: 1 2d d 5 cm= =
a1 1d 40y d 5 15 cm2 2
= − = − =
a2 2d 40y d 5 15 cm2 2
= − = − =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB '87 3
( ) ( )2
au1 a1 a2 u a2 u
a2 uau1 u
a1 a2
M 0
Z y y N y e
y e 15 10Z N 840 140 kNy y 15 15
=
⋅ + = ⋅ −
− −= ⋅ = ⋅ =
+ +
∑
( ) ( )1
au2 a1 a2 u a1 u
a1 uau2 u
a1 a2
M 0
Z y y N y e
y e 15 10Z N 840 700 kNy y 15 15
=
⋅ + = ⋅ +
+ += ⋅ = ⋅ =
+ +
∑
Kontrola:
au1 au2 u
H 0
Z Z N
140 700 840
840 840
=
+ =
+ =
=
∑
Potrebna površina vlačne armature:
2au1a1,pot
av
Z 140A 3,50 cmf 40
= = =
2au2a2,pot
av
Z 700A 17,50 cmf 40
= = =
Usvojena armatura:
Aa1: 3 14φ ( )2aA 4,62 cm=
Aa2: 5 22φ ( )2aA 19,01cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 5O22
3 O8/20
2 3O14
1 vil 1,pret
2 vil 2,pret
1,4d a 2,5 0,8 4 cm d 5 cm2 2
2,2d a 2,5 0,8 4,4 cm d 5 cm2 2
φ= + φ + = + + = ≠ =
φ= + φ + = + + = ≠ =
a1 1
a2 2
d 40y d 4 16 cm2 2d 40y d 4,4 15,6 cm2 2
= − = − =
= − = − =
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB '87 4
( ) ( )2
au1 a1 a2 u a2 u
a2 uau1 u
a1 a2
M 0
Z y y N y e
y e 15,6 10Z N 840 148,9 kNy y 16 15,6
=
⋅ + = ⋅ −
− −= ⋅ = ⋅ =
+ +
∑
( ) ( )1
au2 a1 a2 u a1 u
a1 uau2 u
a1 a2
M 0
Z y y N y e
y e 16 10Z N 840 691,1kNy y 16 15,6
=
⋅ + = ⋅ +
+ += ⋅ = ⋅ =
+ +
∑
Kontrola:
au1 au2 u
H 0
Z Z N
148,9 691,1 840
840 840
=
+ =
+ =
=
∑
2au1a1,pot
av
Z 148,9A 3,72 cmf 40
= = =
2au2a2,pot
av
Z 691,1A 17,28 cmf 40
= = =
Usvojena armatura:
Aa1: 3 14φ ( )2aA 4,62 cm=
Aa2: 5 22φ ( )2aA 19,01cm=
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 5
Zadatak 3.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g p
M 80 kNm
M 50 kNm
N N 0
=
=
= =
Presjek: pravokutni 30/50 cm
Materijal:
a) MB 30 b) MB 30 c) MB 20
RA 400/500 GA 240/360 RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
a) MB 30 RA 400/500
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimni moment:
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u uM M 218 kNm N 0= = =
Pretpostavka: d2,pret = 5 cm – udaljenost težišta vlačne armature do vlačnog ruba
pret 2,preth d d 50 5 45cm= − = − = - pretpostavljena statička visina presjeka
2au
au au2 2b
M 218 10m 0,175 m 0,338b h f 30 45 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,175 → ωMa = 0,195
εa = εau = 10 ‰
εb = 3,24 ‰ (područje 2b)
Potrebna površina vlačne armature:
2ba,pot Ma
av
f 2,05A b h 0,195 30 45 13,49 cmf 40
= ω ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Usvojena armatura:
5 19φ ( )2aA 14,18 cm=
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 6
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 5O19
2 2O12
3 O8/20
2 vil
2 pret
1,9d a 2,5 0,8 4,25 cm2 2
h d d 50 4,25 45,75 cm h 45 cm
φ= + φ + = + + =
= − = − = > =
b) MB 30 GA 240/360
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
( )au u uM M 218 kNm N 0= = =
Pretpostavka: d2,pret = 5 cm – udaljenost težišta vlačne armature do vlačnog ruba
pret 2,preth d d 50 5 45cm= − = − = - pretpostavljena statička visina presjeka
2au
au au2 2b
M 218 10m 0,175 m 0,338b h f 30 45 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,175 → ωMa = 0,195
εa = εau = 10 ‰
εb = 3,24 ‰ (područje 2b)
Potrebna površina vlačne armature:
2ba,pot Ma
av
f 2,05A b h 0,195 30 45 22,49 cmf 24
= ω ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Usvojena armatura:
6 22φ ( )2aA 22,81cm=
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 7
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 6O22
2 2O12
3 O8/20
2 vil
2 pret
d a 1,0 2,5 0,8 2,2 1,0 6,5 cm
h d d 50 6,5 43,5 cm h
= + φ + φ + = + + + =
= − = − = <
Ponovljeni proračun Pretpostavka: d2,pret = 8 cm
pret 2h d d 50 8 42cm= − = − =
2au
au au2 2b
M 218 10m 0,200 m 0,338b h f 30 42 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,200 → ωMa = 0,226
εa = 9,01 ‰
εb = εbu = 3,50 ‰ (područje 3a)
Potrebna površina vlačne armature:
2ba,pot Ma
av
f 2,05A b h 0,226 30 42 24,32 cmf 24
= ω ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Usvojena armatura:
5 25φ ( )2aA 24,54 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 5O25
2 2O12
3 O8/20
MB 30
GA 240/360
a = 2,5 cm
MB 30
GA 240/360
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 8
2 vil
2 pret
d a 1,5 2,5 0,8 2,5 1,5 7,3 cm
h d d 50 7,3 42,7 cm h
= + φ + φ + = + + + =
= − = − = >
c) MB 20 RA 400/500
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
( )au u uM M 218 kNm N 0= = =
Pretpostavka: d2,pret = 5 cm – udaljenost težišta vlačne armature do vlačnog ruba
pret 2,preth d d 50 5 45cm= − = − = - pretpostavlja statička visina presjeka
2au
au au2 2b
M 218 10m 0,256 m 0,338b h f 30 45 1,4
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,256 → ωMa = 0,304
εa = 5,84 ‰
εb = εbu = 3,5 ‰ (područje 3a)
Potrebna površina vlačne armature:
2ba,pot Ma
av
f 1,4A b h 0,304 30 45 14,36 cmf 40
= ω ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Usvojena armatura:
4 22φ ( )2aA 15,21cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 4O22
2 2O12
3 O8/20
2 vil
2 pret
2,2d a 2,5 0,8 4,4 cm2 2
h d d 50 4,4 45,6 cm h
φ= + φ + = + + =
= − = − = >
MB 20
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 9
Zadatak 4.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 80 kNm
M 50 kNm
N 150 kNtlak
N 100 kN
=
=
= − ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: pravokutni 30/50 cm
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
u g g p pN N N 1,6 ( 150) 1,8 ( 100) 420 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavka: d2,pret = 5 cm
Udaljenost težišta vlačne armature od težišta presjeka:
a 2,pretd 50y d 5 20 cm2 2
= − = − =
Ultimni moment vanjskih sila u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y 218 ( 420) 0,20 302 kNm= − ⋅ = − − ⋅ =
2au
au au2 2b
M 302 10m 0,243 m 0,338b h f 30 45 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,243 → ωMa = 0,285
εa = 6,45 ‰
εb = εbu = 3,50 ‰ (područje 3a)
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 10
Potrebna površina vlačne armature:
2b ua,pot Ma
av av
f N 2,05 420A b h 0,285 30 45 19,72 10,5 9,22 cmf f 40 40
−= ω ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + = − =
Usvojena armatura:
5 16φ ( )2aA 10,05 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 5O16
2 2O12
3 O8/20
2 vil
pret
1,6d a 2,5 0,8 4,1cm2 2
h 50 4,1 45,9 cm h
φ= + φ + = + + =
= − = >
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 11
Zadatak 5.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 80 kNm
M 50 kNm
N 150 kNvlak
N 100 kN
=
=
= ⎫⎪ −⎬= ⎪⎭
Presjek: pravokutni 30/50 cm
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
u g g p pN N N 1,6 150 1,8 100 420 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavka: d2,pret = 8 cm
Udaljenost težišta vlačne armature od težišta presjeka:
a 2,pretd 50y d 8 17 cm2 2
= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y 218 420 0,17 146,6 kNm= − ⋅ = − ⋅ =
pret 2,preth d d 50 8 42cm= − = − = - pretpostavljena statička visina presjeka
2au
au au2 2b
M 146,6 10m 0,135 m 0,338b h f 30 42 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,135 → ωMa = 0,146
εa = εau = 10 ‰
εb = 2,50 ‰ (područje 2b)
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 12
Potrebna površina vlačne armature:
2b ua,pot Ma
av av
f N 2,05 420A b h 0,146 30 42 9,43 10,5 19,93 cmf f 40 40
= ω ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + = + =
Usvojena armatura:
3 25 2 19φ + φ ( )2aA 14,73 5,67 20,4 cm= + =
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 3O25
3 2O12
4 O8/20
2 2O19
2 vil
2 pret
d a 1,0 2,5 0,8 2,5 1,0 6,8 cm
h d d 50 6,8 43,2 h
= + φ + φ + = + + + =
= − = − = >
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 13
Zadatak 6.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g p
M 80 kNm
M 50 kNm
N N 0
=
=
= =
Presjek: pravokutni 25/40 cm
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimni moment:
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u uM M 218 kNm N 0= = =
Pretpostavka: d2,pret = 7 cm
pret 2,preth d d 40 7 33cm= − = − =
2au
au au2 2b
M 218,0 10m 0,390 m 0,338b h f 25 33 2,05
∗⋅= = = > =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 2-struko armiran presjek
_______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i 'a,potA
b bu( 3,5ε = ε = ‰ ; a 3,0ε = ‰) _______________________________________________________________
Dimenzioniranje 2-struko armiranih presjeka pomoću ''mau'' tabela
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: 2 2
au au bM m b h f 0,338 0,25 33 2,05 188,6 kNm∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 14
au au auM M M 218 188,6 29,4 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje
spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au aua,pot a,pot a
1 avz av
2
M MA A A
h d fk h f
188,6 29,4 18,41 2,53 21,0 cm0,776 0,33 40 0,33 0,04 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + =
− ⋅⋅ ⋅
= + = + =⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1,pret = 4 cm
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 29,4A 2,53 cmh d f 0,33 0,04 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A>
Usvojena armatura:
Vlačna - 3 25 2 22φ + φ ( )2aA 14,73 7,60 22,33 cm= + =
Tlačna - 3 12φ ( )2aA 3,39 cm=
Dimenzioniranje 2-struko armiranih presjeka bez uporabe tabela
Traži se:
a,potA i 'a,potA
b bu( 3,5ε = ε = ‰ ; a 3,0ε = ‰)
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimni moment:
u g g p pM M M 1,6 80 1,8 50 218 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u uM M 218 kNm N 0= = =
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅
au bu
bu x b
z2
au x b z b x z
M P z
P k b h f
z k h
M k b h f k h b h f k k
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 15
Koeficijent punoće presjeka:
b 2ε ≥ ‰ → b
b
3 2 3 3,5 2 0,80953 3 3,5⋅ ε − ⋅ −
α = = =⋅ ε ⋅
b = 0,25 m
Pretpostavka: d2,pret = 7 cm
pret 2,preth d d 40 7 33cm= − = − =
Tlačna računska čvrstoća betona:
b 2 2
N kNf 20,5 2,05mm cm
= =
Koeficijent položaja neutralne osi:
bx
b a
3,5k 0,5383,5 3,0
∗ ε= = =ε + ε +
Koeficijent kraka unutrašnjih sila:
z p xk 1 k k 1 0,416 0,538 0,776∗ ∗ ∗= − ⋅ = − ⋅ =
b 2ε ≥ ‰ → ( ) ( )
2 2b b
pb b
3 4 2 3 3,5 4 3,5 2k 0,4162 3 2 2 3,5 3 3,5 2
∗ ⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε ⋅ ⋅ ε − ⋅ ⋅ ⋅ −
2auM 0,25 33 2,05 0,8095 0,538 0,776 188,6 kNm∗ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
au auM 188,6 kNm M 218 kNm∗ = < = → 2-struko armiran presjek
au au auM M M 218 188,6 29,4 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje
spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au aua,pot a,pot a
1 avz av
2
M MA A Ah d fk h f
188,6 29,4 18,41 2,53 21,0 cm0,776 0,33 40 0,33 0,04 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + =
− ⋅⋅ ⋅
= + = + =⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1 = 4 cm
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 29,4A 2,53 cmh d f 0,33 0,04 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A>
Usvojena armatura:
Vlačna - 3 25 2 22φ + φ ( )2aA 14,73 7,60 22,33 cm= + =
Tlačna - 3 12φ ( )2aA 3,39 cm=
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 16
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 3O25
3 3O12
4 O8/20
2 2O22
2 vil
2 pret
1 vil
d a 1,0 2,5 0,8 2,5 1,0 6,8 cm
h d d 40 6,8 33,2 h
12d a 2,5 0,8 3,9 4,0 cm2 2
= + φ + φ + = + + + =
= − = − = >
φ= + φ + = + + = ∼
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 17
Zadatak 7.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 100 kNm
M 80 kNm
N 80 kNtlak
N 60 kN
=
=
= − ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: pravokutni 30/40 cm
Materijal:
MB 40
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 100 1,8 80 304 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
u g g p pN N N 1,6 ( 80) 1,8 ( 60) 236 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavka: d2,pret = 7 cm
a 2,pretd 40y d 7 13 cm2 2
= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y 304 ( 236) 0,13 304 236 0,13 334,7 kNm= − ⋅ = − − ⋅ = + ⋅ =
pret 2,preth d d 40 7 33cm= − = − =
2au
au au2 2b
M 334,7 10m 0,402 m 0,338b h f 30 33 2,55
∗⋅= = = > =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 2-struko armiran presjek
Traži se:
a,potA i 'a,potA
b bu 3,5ε = ε = ‰ ; a 3ε = ‰
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 18
Dimenzioniranje 2-struko armiranih presjeka pomoću ''mau'' tabela
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: 2 2
au au bM m b h f 0,338 0,30 33 2,55 281,6 kNm∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
au au auM M M 334,7 281,6 53,1kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje
spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au u aua,pot a,pot a
av 1 avz av
2
M N MA A Af h d fk h f
281,6 236 53,1 27,49 5,9 4,74 26,33 cm0,776 0,33 40 40 0,33 0,05 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + +
− ⋅⋅ ⋅
−= + + = − + =
⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1 = 5 cm
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 53,1A 4,74 cmh d f 0,33 0,05 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A>
Usvojena armatura:
Vlačna - 4 25 2 22φ + φ ( )2aA 19,63 7,60 27,23 cm= + =
Tlačna - 4 14φ ( )' 2aA 6,16 cm=
Dimenzioniranje 2-struko armiranih presjeka bez uporabe tabela
Traži se:
a,potA i 'a,potA
b bu 3,5ε = ε = ‰ ; a 3ε = ‰
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 100 1,8 80 304 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
u g g p pN N N 1,6 ( 80) 1,8 ( 60) 236 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Pretpostavka: d2,pret = 7 cm
d 40y d 7 13 cma 22 2= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y 304 ( 236) 0,13 304 236 0,13 334,7 kNm= − ⋅ = − − ⋅ = + ⋅ =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 19
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže
au bu
bu x b
z
2au x b z b x z
M P z
P k b h f
z k h
M k b h f k h b h f k k
∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅
Koeficijent punoće presjeka:
b 2ε ≥ ‰ → b
b
3 2 3 3,5 2 0,80953 3 3,5⋅ ε − ⋅ −
α = = =⋅ ε ⋅
b = 0,30 m
pret 2,preth d d 40 7 33cm= − = − =
Tlačna računska čvrstoća betona:
b 2
kNf 25,5 MPa 2,55cm
= =
Koeficijent položaja neutralne osi:
bx
b a
3,5k 0,5383,5 3,0
∗ ε= = =ε + ε +
Koeficijent kraka unutrašnjih sila:
z p xk 1 k k 1 0,416 0,538 0,776∗ ∗ ∗= − ⋅ = − ⋅ =
b 2ε ≥ ‰ → ( ) ( )
2 2b b
pb b
3 4 2 3 3,5 4 3,5 2k 0,4162 3 2 2 3,5 3 3,5 2
∗ ⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε ⋅ ⋅ ε − ⋅ ⋅ ⋅ −
2auM 0,30 33 2,55 0,8095 0,538 0,776 281,5 kNm∗ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
au auM 281,5 kNm M 334,7 kNm∗ = < = → 2-struko armiran presjek
au au auM M M 334,7 281,5 53,2 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje
spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au u aua,pot a,pot a
av 1 avz av
2
M N MA A Af h d fk h f
281,5 236 53,2 27,48 5,9 4,75 26,33 cm0,776 0,33 40 40 0,33 0,05 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + +
− ⋅⋅ ⋅
−= + + = − + =
⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1,pret = 5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 20
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 53,2A 4,75 cmh d f 0,33 0,05 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A>
Usvojena armatura:
Vlačna - 4 25 2 22φ + φ ( )2aA 19,63 7,60 27,23 cm= + =
Tlačna - 4 14φ ( )' 2aA 6,16 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 4O25
3 4O14
4 O8/20
2 2O22
2 vil
2 pret
1 vil 1,pret
d a 1,0 2,5 0,8 2,5 1,0 6,8 cm
h d d 40 6,8 33,2 h
14d a 2,5 0,8 4,0 d2 2
= + φ + φ + = + + + =
= − = − = >
φ= + φ + = + + = <
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 21
Zadatak 8.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 100 kNm
M 80 kNm
N 80 kNvlak
N 60 kN
=
=
= ⎫⎪ −⎬= ⎪⎭
Presjek: pravokutni 30/40 cm
Materijal:
MB 40
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 100 1,8 80 304 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
u g g p pN N N 1,6 80 1,8 60 236 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavka: d2,pret = 8 cm
a 2,pretd 40y d 8 12 cm2 2
= − = − =
pret 2,preth d d 40 8 32 cm= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y 304 236 0,12 275,7 kNm= − ⋅ = − ⋅ =
2au
au au2 2b
M 275,7 10m 0,352 m 0,338b h f 30 32 2,55
∗⋅= = = > =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 2-struko armiran presjek
Traži se:
a,potA i 'a,potA
b bu 3,5ε = ε = ‰ ; a 3ε = ‰
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 22
Dimenzioniranje 2-struko armiranih presjeka pomoću ''mau'' tabela
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: 2 2
au au bM m b h f 0,338 0,30 32 2,55 264,8 kNm∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
au auM 264,8 kNm M 275,7 kNm∗ = < = → 2-struko armiran presjek
au au auM M M 275,7 264,8 10,9 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au u aua,pot a,pot a
av 1 avz av
2
M N MA A A
f h d fk h f
264,8 236 10,9 26,66 5,9 0,97 33,53 cm0,776 0,32 40 40 0,32 0,04 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + + =
− ⋅⋅ ⋅
= + + = + + =⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1,pret = 4 cm
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 10,9A 0,97 cmh d f 0,32 0,04 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A>
Usvojena armatura:
Vlačna - 4 25 4 22φ + φ ( )2aA 19,63 15,20 34,83 cm= + =
Tlačna - 2 12φ ( )' 2aA 2,26 cm=
Dimenzioniranje 2-struko armiranih presjeka bez uporabe tabela
Traži se:
a,potA i 'a,potA
b bu 3,5ε = ε = ‰ ; a 3ε = ‰
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 100 1,8 80 304 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
u g g p pN N N 1,6 ( 80) 1,8 ( 60) 236 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Pretpostavka: d2,pret = 8 cm
a 2d 40y d 8 12 cm2 2
= − = − =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 23
pret 2,preth d d 40 8 32 cm= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y 304 236 0,12 275,7 kNm= − ⋅ = − ⋅ =
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže
au bu
bu x b
z
M P z
P k b h f
z k h
∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
2au x b z b x zM k b h f k h b h f k k∗ ∗ ∗ ∗ ∗= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅
Koeficijent punoće presjeka:
b 2ε ≥ ‰ → b
b
3 2 3 3,5 2 0,80953 3 3,5⋅ ε − ⋅ −
α = = =⋅ ε ⋅
b = 0,30 m
Tlačna računska čvrstoća betona:
b 2 2
N kNf 25,5 2,55mm cm
= =
Koeficijent položaja neutralne osi:
bx
b a
3,5k 0,5383,5 3,0
∗ ε= = =ε + ε +
Koeficijent kraka unutrašnjih sila:
z p xk 1 k k 1 0,416 0,538 0,776∗ ∗ ∗= − ⋅ = − ⋅ =
b 2ε ≥ ‰ → ( ) ( )
2 2b b
pb b
3 4 2 3 3,5 4 3,5 2k 0,4162 3 2 2 3,5 3 3,5 2
∗ ⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε ⋅ ⋅ ε − ⋅ ⋅ ⋅ −
2auM 0,30 32 2,55 0,8095 0,538 0,776 264,7 kNm∗ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
au auM 264,7 kNm M 275,7 kNm∗ = < = → 2-struko armiran presjek
au au auM M M 275,7 264,7 11,0 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au u aua,pot a,pot a
av 1 avz av
2
M N MA A A
f h d fk h f
264,7 236 11,0 26,65 5,9 0,98 33,53 cm0,776 0,32 40 40 0,32 0,04 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + + =
− ⋅⋅ ⋅
= + + = + + =⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1,pret = 4 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 24
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 11A 0,98 cmh d f 0,32 0,04 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A>
Usvojena armatura:
Vlačna - 4 25 4 22φ + φ ( )2aA 19,63 15,20 34,83 cm= + =
Tlačna - 2 12φ ( )' 2aA 2,26 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 4O25
3 2O12
4 O8/20
2 4O22
1 vil 11,2d a 2,5 0,8 3,9 cm pret d 4 cm
2 2φ
= + φ + = + + = < =
2 vil
2 pret
d a 1,0 2,5 0,8 2,5 1,5 7,3 cm d d
h d d 40 7,3 32,7 cm h
= + φ + φ + = + + + = −
= − = − = >
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 25
Zadatak 9.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 300 kNm
M 250 kNm
N 760 kNtlak
N 540 kN
=
=
= − ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: pravokutni 30/80 cm
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 300 1,8 250 930 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,6 760 1,8 540 2188 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Pretpostavka: d2,pret = 7 cm
Udaljenost težišta vlačne armature od težišta presjeka:
a 2d 80y d 7 33 cm2 2
= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u u aM M N y 930 2188 0,33 1652 kNm= − ⋅ = − − ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavljena statička visina presjeka:
pret 2,preth d d 80 7 73 cm= − = − =
2au
au au2 2b
M 1652 10m 0,504 m 0,338b h f 30 73 2,05
∗⋅= = = > =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 2-struko armiran presjek
Traži se:
a,potA i 'a,potA
( a 3ε = ‰ i b bu 3,5ε = ε = ‰)
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 26
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: 2 2
au au bM m b h f 0,338 0,30 73 2,05 1107,7 kNm∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
au auM 1107,7 kNm M 1652,0 kNm∗ = < = → 2-struko armiran presjek
au au auM M M 1652,0 1107,7 544,3 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au u aua,pot a,pot a
av 1 avz av
2
M N MA A Af h d fk h f
1107,7 ( 2188) 544,3 48,89 54,7 20,62 14,81cm0,776 0,73 40 40 0,73 0,07 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + + =
− ⋅⋅ ⋅
−= + + = − + =
⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1,pret = 7 cm
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 544,7A 20,62 cmh d f 0,73 0,07 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A< → simetrično armiranje presjeka
Traži se:
a1,potA = a2,potA ( )a1 a2A A= i
a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰)
Dimenzioniranje pomoću interakcionih dijagrama (''mu - nu'' postupak)
Pretpostavka: a 0 ε < ‰ → g p1,9 ; 2,1γ = γ =
u g g p pM M M 1,9 300 2,1 250 1095 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,9 760 2,1 540 2578 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
1 2d d 7 0,0875d d 80= = =
uu 2 2
b
uu
b
M 1095Relativni moment m 0,278b d f 0,3 80 2,05
N 2578Relativna normalna sila n 0,524b d f 30 80 2,05
⎫= = = ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎬⎪= = = ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎭
→ a 1,7ε ∼ ‰ >0 ‰
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 27
1 2
u
u
d d 0,075d d
m 0,278
n 0,524
⎫= = ⎪⎪⎪= ⎬⎪
= ⎪⎪⎭
→ a 1,8ε ∼ ‰ → 0,395μ =
1 2
u
u
d d 0,100d d
m 0,278
n 0,524
⎫= = ⎪⎪⎪= ⎬⎪
= ⎪⎪⎭
→ a 1,8ε ∼ ‰ → 0,42μ =
a1,8 1,8 1,8 0
2+
ε = >∼ ‰
Pretpostavka: a 2,0 ε = ‰ → g p1,7 ; 1,9γ = γ =
u g g p pM M M 1,7 300 1,9 250 985 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,7 760 1,9 540 2318 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
1 2
u
u
d d 0,075d d
m 0,25
n 0,471
⎫= = ⎪⎪⎪= ⎬⎪
= ⎪⎪⎭
→ a 2,0ε ∼ ‰ → 0,305μ =
1 2
u
u
d d 0,100d d
m 0,25
n 0,471
⎫= = ⎪⎪⎪= ⎬⎪
= ⎪⎪⎭
→ a 2,1ε ∼ ‰ → 0,32μ =
a a,pret2,0 2,1 2,05
2+
ε = ε∼ ∼
0,305 0,32 0,31252+
μ = =
2ba,pot
av
f 20,5A b d 0,3125 30 80 38,44 cmf 400
= μ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
2a1,pot a2,.pot a,pot
1 1A A A 38,44 19,22 cm2 2
= = ⋅ = ⋅ =
Usvojena armatura: 6 22± φ ( )2a1 a2A A 22,81cm= =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 28
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 6O22
2 2O12
3 O8/20
1 6O22
1 2 vil 1d d a 1,0 2,5 0,8 2,2 1,0 6,5 cm pret d 7 cm= = + φ + φ + = + + + = < =
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 29
Zadatak 10.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 300 kNm
M 250 kNm
N 1000 kNtlak
N 800 kN
=
=
= − ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: pravokutni 30/80 cm
Materijal:
MB 40
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
Ultimne presječne sile:
u g g p pM M M 1,6 300 1,8 250 930 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,6 1000 1,8 800 3040 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Pretpostavka: d2 = 7 cm
Udaljenost težišta vlačne armature od težišta presjeka:
a 2d 80y d 7 33 cm2 2
= − = − =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u u aM M N y 930 3040 0,33 1933,2 kNm= − ⋅ = − − ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavljena statička visina presjeka:
pret 2,preth d d 80 7 73 cm= − = − =
2au
au au2 2b
M 1933,2 10m 0,474 m 0,338b h f 30 73 2,55
∗⋅= = = > =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 2-struko armiran presjek
Traži se:
a,potA i 'a,potA
( a 3ε = ‰ i b bu 3,5ε = ε = ‰)
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 30
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: 2 2
au au bM m b h f 0,338 0,30 73 2,55 1377,9 kNm∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
au auM 1377,9 kNm M 1933,2 kNm∗ = < = → 2-struko armiran presjek
au au auM M M 1933,2 1377,9 555,3 kNm∗Δ = − = − = - razlika momenata koju uravnotežuje spreg sila u tlačnoj i dodatnoj vlačnoj armaturi.
Potrebna površina vlačne armature:
( )
( )
au u aua,pot a,pot a
av 1 avz av
2
M N MA A Af h d fk h f
1377,9 ( 3040) 555,3 60,81 76,0 21,03 5,84 cm0,776 0,73 40 40 0,73 0,07 40
∗∗
∗
Δ= + Δ = + + =
− ⋅⋅ ⋅
−= + + = − + =
⋅ ⋅ − ⋅
Pretpostavljeno: d1,pret = 7 cm
Potrebna površina tlačne armature:
( ) ( )' 2aua,pot
1 av
M 555,3A 21,03 cmh d f 0,73 0,07 40Δ
= = =− ⋅ − ⋅
'a,pot a,potA A< → simetrično armiranje presjeka
Traži se:
a1,potA = a2,potA ( )a1 a2A A= i
a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰)
Dimenzioniranje pomoću interakcionih dijagrama (''mu - nu'' postupak)
Pretpostavka: a 0ε < ‰ → g p1,9 ; 2,1γ = γ =
u g g p pM M M 1,9 300 2,1 250 1095 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,9 1000 2,1 800 3580 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Pretpostavka 1 2d d 7 cm= =
1 2d d 7 0,0875d d 80= = =
uu 2 2
b
uu
b
M 1095Relativni moment m 0,224b d f 0,3 80 2,55
N 3580Relativna normalna sila n 0,585b d f 30 80 2,55
⎫= = = ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎬⎪= = = ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎭
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 31
1 2
u
u
d d 0,075d d
m 0,224n 0,585
⎫= = ⎪⎪
= ⎬⎪= ⎪⎭
→ a 1,4ε ∼ ‰ → 0,285μ =
1 2
u
u
d d 0,100d d
m 0,224n 0,585
⎫= = ⎪⎪
= ⎬⎪= ⎪⎭
→ a 1,3ε ∼ ‰ → 0,31μ =
a1,4 1,3 1,35 0
2+
ε = >∼ ‰
Pretpostavka: a 1,5 ε = ‰ → g p1,75 ; 1,95γ = γ =
u g g p pM M M 1,75 300 1,95 250 1012,5 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,75 1000 1,95 800 3310 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
uu 2 2
b
uu
b
M 1012,5m 0,207b d f 0,3 80 2,55
N 3310n 0,541b d f 30 80 2,55
⎫= = = ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪⎬⎪= = = ⎪⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎭
1 2
u
u
d d 0,075d d
m 0,207n 0,541
⎫= = ⎪⎪
= ⎬⎪= ⎪⎭
→ a 1,5ε ∼ ‰ → 0,22μ =
1 2
u
u
d d 0,100d d
m 0,224n 0,585
⎫= = ⎪⎪
= ⎬⎪= ⎪⎭
→ a 1,5ε ∼ ‰ → 0,26μ =
a a,pret1,5 ‰ε = ε∼
0,22 0,26 0,242+
μ = =
Potrebna površina armature:
2ba,pot
av
f 2,55A b d 0,24 30 80 36,72 cmf 40
= μ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
2a1,pot a2,.pot a,pot
1 1A A A 36,72 18,36 cm2 2
= = ⋅ = ⋅ =
Usvojena armatura: 6 20± φ ( )2a1 a2A A 18,85 cm= =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 32
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 6O20
2 2O12
3 O8/20
1 6O20
1 2 vil 1d d a 1,0 2,5 0,8 2,0 1,0 6,3 cm pret d 7 cm= = + φ + φ + = + + + = < =
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 33
Zadatak 11.
Dimenzionirati kratki centrično pritisnuti stup.
Statički utjecaji:
g
p
N 600 kNtlak
N 300 kN
= − ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: kvadratni 30/30 cm
Materijal:
MB 40
RA 400/500
_______________________________________________________________
Traži se: Aa,pot _______________________________________________________________
a 0ε < ‰ → g p1,9 ; 2,1γ = γ =
Ultimna tlačna sila:
u g g p pN N N 1,9 600 2,1 300 1770 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Tlačna sila koju može preuzeti betonski presjek u stanju granične nosivosti:
bu b bN A f 30 30 2,55 2295 kN= ⋅ = ⋅ ⋅ =
u buN N< → minimalno armiranje presjeka min 0,3%μ = ( )bu bfσ <
Minimalna površina uzdužne armature:
a,min 2min a,min min b
b
A 0,3A A 30 30 2,7 cmA 100
μ = → = μ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Usvojena armatura:
4 12φ ( )2aA 4,52 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 4O12
2 O8/20
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 34
Zadatak 12.
Dimenzionirati kratki centrično pritisnuti stup.
Statički utjecaji:
g
p
N 600 kNtlak
N 300 kN
=− ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: kvadratni 25/25 cm
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se: Aa,pot _______________________________________________________________
a 0ε < ‰ → g p1,9 ; 2,1γ = γ =
Ultimna tlačna sila:
u g g p pN N N 1,9 600 2,1 300 1770 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Tlačna sila koju može preuzeti betonski presjek u stanju granične nosivosti:
bu b bN A f 25 25 2,05 1281,25 kN= ⋅ = ⋅ ⋅ =
>u buN N
Tlačna sila koju u stanju granične nosivosti treba preuzeti uzdužna armatura:
au u buN N N 1770 1281,25 488,75 kN= − = − =
Potrebna površina uzdužne armature:
2aua,pot
av
N 488,75A 12,22 cmf 40
= = =
Usvojena armatura:
4 20φ ( )2aA 12,57 cm=
Geometrijski stupanj armiranja presjeka:
a0 min
b
A 12,57 100 2,01% 0,6 %A 25 25
μ = = ⋅ = > μ =⋅
( )bu bfσ ≥
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 4O20
2 O8/20
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 35
Zadatak 13.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g p
M 120 kNm
M 100 kNm
N N 0
=
=
= =
Presjek: pravokutni b/d = 30/d cm
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
h (d) i
a,potA _______________________________________________________________
b bu
a
3,5 ‰najmanja statička visina
3 ‰
ε = ε = ⎫⎪→⎬ε = ⎪⎭
a 3ε = ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
u g g p pM M M 1,6 120 1,8 100 372 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u uM M 372 kNm N 0= = =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
au au
z z
m m 0,338
k k 0,776
∗
∗
= =
= = - granica 1-struko armiranih presjeka
au auau pot2
au bb
M M 372m h 42,3 cmm b f 0,338 0,3 2,05b h f
= → = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
Potrebna površina vlačne armature: 2
2aua,pot
z av
M 372 10A 28,3 cmk h f 0,776 42,3 40
⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Usvojena armatura:
6 25φ ( )2aA 29,45 cm=
2 vild a 1 2,5 0,8 2,5 1 6,8 cm= + φ + φ + = + + + =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 36
pot pot 2d h d 42,3 6,8 49,1cm= + = + =
Usvojeno: d = 50 cm
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 6O25
2 2O12
3 O8/20
Dimenzioniranje bez uporabe tabela
b bu
a
3,5 ‰najmanja statička visina
3 ‰
ε = ε = ⎫⎪→⎬ε = ⎪⎭
Najveći moment koji može preuzeti 1-struko armiran presjek u stanju granične
ravnoteže: * *
au bu* *bu B x b*
z
2 auau x z b pot
x z b
M P z
P b x f b k h f
z k h
MM k k b h f hk k b f
∗
∗
∗
∗∗ ∗ ∗
∗ ∗
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ = α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ → =α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Koeficijent punoće presjeka:
b 2ε ≥ ‰ → b
b
3 2 3 3,5 2 0,80953 3 3,5⋅ ε − ⋅ −
α = = =⋅ ε ⋅
Koeficijent položaja neutralne osi:
bx
b a
3,5k 0,5383,5 3,0
∗ ε= = =ε + ε +
Koeficijent kraka unutrašnjih sila:
z p xk 1 k k 1 0,416 0,538 0,776∗ ∗ ∗= − ⋅ = − ⋅ =
b 2ε ≥ ‰ → ( ) ( )
2 2b b
pb b
3 4 2 3 3,5 4 3,5 2k 0,4162 3 2 2 3,5 3 3,5 2
∗ ⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε ⋅ ⋅ ε − ⋅ ⋅ ⋅ −
b = 0,30 m
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 37
b 2 2
N kNf 20,5 2,05mm cm
= =
pot372h 42,3 cm
0,8095 0,538 0,776 0,3 2,05= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Potrebna površina vlačne armature: 2
2aua,pot
z av
M 372 10A 28,3 cmk h f 0,776 42,3 40
⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Usvojena armatura:
6 25φ ( )2aA 29,45 cm=
2 vild a 1 2,5 0,8 2,5 1 6,8 cm= + φ + φ + = + + + =
pot pot 2d h d 42,3 6,8 49,1cm= + = + =
Usvojeno: d = 50 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 38
Zadatak 14.
Sračunati moment koji presjek može preuzeti u stanju granične otpornosti na osnovu
zadanih podataka.
1 5O19
2 2O12
3 O8/20
_______________________________________________________________
Traži se: Mu i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Postupak pomoću ''mau'' tabela
Udaljenost težišta vlačne armature do vlačnog ruba:
2 vil1,9d a 2,5 0,8 4,25cm
2 2φ
= + φ + = + + =
Statička visina presjeka:
2h d d 50 4,25 45,75cm= − = − =
b a ava Ma Ma au
av b
f A f 14,18 40A b h 0,202 m 0,1808f b h f 30 45,75 2,05
= ω ⋅ ⋅ ⋅ → ω = ⋅ = ⋅ = → =⋅ ⋅
2 2auau au au b2
b
Mm M m b h f 0,1808 0,3 45,75 2,05 232,7 kNmb h f
= → = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
Postupak bez uporabe tabela
Pbu
Zau
Mu
Tb
Pretpostavka: a av au avfε > ε → σ =
a av x bA f b k h f 0⋅ − α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
au bu
au au a
bu b x b
a au x b
H 0
Z P 0
Z A
P b x f b k h f
A b k h f 0
=
− =
= σ ⋅
= α ⋅ ⋅ ⋅ = α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ σ − α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∑
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 39
2 vil1,9d a 2,5 0,8 4,25 cm
2 2φ
= + φ + = + + =
2h d d 50 4,25 45,75 cm= − = − =
Pretpostavka: bb
b
3 22‰ 3,5 ‰3⋅ ε −
< ε ≤ → α =⋅ ε
bx
a b
k ε=ε + ε
b ba av b
b a b
3 2A f b h f 03⋅ ε − ε
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ε ε + ε
( )2aA 14,18 cm 5 19= φ
b 30 cm=
( )( )
2b
2av
f 2,05 kN cm MB30
f 40 kN cm RA 400 / 500
=
=
( )
( ) ( )
b
a b
ba b
a b
a b b
a b
a b
3 214,18 40 30 45,75 2,05 03
3 2567,2 937,875 0
567,2 567,2 2813,625 1875,75 0
567,2 2246,425 1875,75 0 : 567,2
3,9606 3,307 0
⋅ ε −⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ε + ε
⋅ ε −− ⋅ = ⋅ ε + ε
ε + ε
⋅ ε + ⋅ ε − ⋅ ε + =
⋅ ε − ⋅ ε + =
ε − ⋅ ε + =
Pretpostavka: b bu 3,5 ‰ε = ε =
a 3,9606 3,5 3,307 0ε − ⋅ + = →
a au10,56 ‰ 10 ‰ε = > ε =
Pretpostavka: a au 10 ‰ε = ε =
b
bub
10 3,9606 3,307 0
3,5 ‰3,36 ‰
2‰
− ⋅ ε + = →
≤ ε =⎧⎪ε = ⎨>⎪⎩
2 u buM 0 M P z= → = ⋅∑
bu b x bP b x f b k h f= α ⋅ ⋅ ⋅ = α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
b
b
3 2 3 3,36 2 0,80163 3 3,36⋅ ε − ⋅ −
α = = =⋅ ε ⋅
bx
a b
3,36k 0,251510 3,36
ε= = =ε + ε +
zz k h 0,8961 45,75 41cm= ⋅ = ⋅ = 2 2b b
p 2 2b b
3 4 2 3 3,36 4 3,36 2k 0,41316 4 6 3,36 4 3,36⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ +
= = =⋅ ε − ⋅ ε ⋅ − ⋅
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 40
z p xk 1 k k 1 0,4131 0,2515 0,8961= − ⋅ = − ⋅ =
buP 30 0,2515 45,75 0,8016 2,05 567,2 kN= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
uM 567,2 0,41 232,55 kNm= ⋅ =
Ili:
1 au uM 0 Z z M= → ⋅ =∑
au a avZ A f 14,18 40 567,2 kN= ⋅ = ⋅ =
zz k h 0,896 45,75 41cm= ⋅ = ⋅ =
uM 567,2 0,41 232,55 kNm= ⋅ =
Kontrola:
au bu au buH 0 Z P 0 Z P 567,2 567,2= → − = → = → =∑
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 41
Zadatak 15.
Sračunati (bez uporabe tabela) presječne sile (Mu, Nu) koje presjek može preuzeti u
stanju granične otpornosti na osnovu zadanih podataka.
21
A'a
εb
εa'
εa
σbu
σau
σau'
Aa
____________________________________________
Traži se: Mu i Nu Pbu
Zau
Mu
Tb
12
N (vlak)u
Pau
1
au a avZ A f 19,01 40 760,4 kN= ⋅ = ⋅ =
bb
b
3 2 3 2,8 22‰ 0,7623 3 2,8⋅ ε − ⋅ −
ε > → α = = =⋅ ε ⋅
bx
a b
2,8k 0,21910 2,8
ε= = =ε + ε +
bu x bP k b h f 0,762 0,219 30 45 2,05 461,8 kN= α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
2h d d 50 5 45 cm= − = − =
'b a
1x x dε ε
= →−
' 1a b
x d 9,85 5 2,8 1,379 ‰x 9,85− −
ε = ⋅ ε = ⋅ =
xx k h 0,219 45 9,85 cm= ⋅ = ⋅ =
' 'au a a
1,379E 210000 289,6 MPa1000
σ = ε ⋅ = ⋅ =
' 'au a auP A 6,03 28,96 174,6 kN= ⋅ σ = ⋅ =
MB 30
RA 400/500
b/d = 30/50 cm
d1 = 5,0 cm
d2 = 5,0 cm
εa = εau = 10 ‰
εb = 2,8 ‰
Aa = 19,01 cm2
Aa' = 6,03 cm2
( )
au bu au u
u au bu au
au a au a av a av
bu b x b
' 'au a au
H 0
Z P P N 0
N Z P P
Z A A f
P b x f b k h f
P A
= →
− − − =
= − −
= ⋅ σ = ⋅ ε > ε
= α ⋅ ⋅ ⋅ = α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ σ
∑
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 42
u au bu auN Z P P 760,4 461,8 174,6 124,0 kN= − − = − − = - dobro pretpostavljen predznak sile.
( )( )
1
u au 1 bu u a
u au 1 bu u a
M 0
M P h d P z N y 0
M P h d P z N y
= →
− ⋅ − − ⋅ − ⋅ = →
= ⋅ − + ⋅ + ⋅
∑
b 2‰ε > →
2 2b b
p 2 2b b
3 4 2 3 2,8 4 2,8 2k 0,46 4 6 2,8 4 2,8⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ +
= = =⋅ ε − ⋅ ε ⋅ − ⋅
z p xk 1 k k 1 0,4 0,219 0,912= − ⋅ = − ⋅ =
zz k h 0,912 45 41,04 cm= ⋅ = ⋅ =
( )uM 174,6 0,45 0,05 461,8 0,4104 124,0 0,20 284,2 kNm= ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
u
u
N 124,0 kN vlak
M 284,2 kNm
= −
=
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 43
Zadatak 16.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g p
M 500 kNm
M 300 kNm
N N 0
=
=
= =
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _____________________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _____________________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
u g g p pM M M 1,6 480 1,8 320 1344 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u uM M 1344 kNm N 0= = =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavka: d2,pret = 11 cm
pret 2,preth d d 80 11 69cm= − = − = - pretpostavljena statička visina presjeka
Pretpostavimo da neutralna os pada u ploču ''T'' presjeka (x < dpl), tj. da je pritisnuta
zona betona pravokutnog oblika širine b = 90 cm: 2
auau au2 2
b
M 1344 10m 0,153 m 0,338b h f 90 69 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
' 'T'' – presjek:
b = 90 cm
bo = 30 cm
d = 80 cm
dpl = 12 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 44
mau = 0,153 → kx = 0,22
Kontrola položaja neutralne osi: '
x plx k h 0,220 69 15,2 cm d 12 cm ''T '' presjek= ⋅ = ⋅ = > = → −
Dimenzioniranje presjeka ''T'' oblika tlačne betonske zone
0
b 90 3,0 5b 30
= = < → postupak reducirane širine
pl
x,pret b
0
d 12 0,174h 69
k 0,220 0,95
b 90 3,0b 30
⎫= = ⎪
⎪⎪= → λ =⎬⎪⎪= = ⎪⎭
- faktor redukcije
Širina zamjenjujućeg pravokutnog presjeka:
i bb b 0,95 90 85,5 cm= λ ⋅ = ⋅ =
2au
au au2 2i b
M 1344 10m 0,161 m 0,338b h f 85,5 69 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅- 1-struko armiran presjek
( )au x x,pret pretm 0,161 k 0,229 k 0,220 h h= → = > = <
x,pret b
0
d 12 0,174h 69k 0,25 0,89
b 90 3,0b 30
⎫= = ⎪
⎪⎪= → λ =⎬⎪⎪= = ⎪⎭
i bb b 0,89 90 80,1cm= λ ⋅ = ⋅ =
2au
au au2 2i b
M 1344 10m 0,172 m 0,338b h f 80,1 69 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅- 1-struko armiran presjek
( )x x,pret pret
Maau
a
b
k 0,241 k 0,250 h h
0,191m 0,172
10 ‰
3,18 ‰
⎧ = < = >⎪⎪ω =⎪= → ⎨ε =⎪⎪ε =⎪⎩
Potrebna površina vlačne armature:
2ba,pot Ma
av
f 2,05A b h 0,191 80,1 69 54,1cmf 40
= ω ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Usvojena armatura:
12 25φ ( )2aA 58,92 cm=
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 45
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 12O25
2 2O12
3 O10/20
2 2O12
2 vil
2 pret
2,5d a 3,0 2,5 1,0 2,5 3,0 10,25 cm2 2
h d d 80 10,25 69,75 cm h 11cm
φ= + φ + φ + + = + + + + =
= − = − = > =
MB 30
RA 4000/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 46
Zadatak 17.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g p
M 600 kNm
M 500 kNm
N N 0
=
=
= =
Presjek: 0
pl
b 200 cm
b 30 cm''T ''
d 10 cm
d 80 cm
=⎧⎪
=⎪⎨
=⎪⎪
=⎩
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _____________________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _____________________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
u g g p pM M M 1,6 600 1,8 500 1860 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
( )au u uM M 1860 kNm N 0= = =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
Pretpostavka: d2,pret = 11 cm
pret 2h d d 80 11 69cm= − = − = - pretpostavljena statička visina presjeka
Pretpostavimo da neutralna os pada u ploču ''T'' presjeka (x < dpl), tj. da je pritisnuta
zona betona pravokutnog oblika širine b = 200 cm: 2
auau au2 2
b
M 1860 10m 0,095 m 0,338b h f 200 69 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,095 → kx = 0,157
Kontrola položaja neutralne osi: '
xx k h 0,157 69 10,8 cm d 10 cm ''T '' presjek= ⋅ = ⋅ = > = → −
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 47
Dimenzioniranje presjeka ''T'' oblika tlačne betonske zone
0
b 200 6,7 5b 30
= = > → postupak dimenzioniranja ''T''- presjeka uz zanemarenje
napona tlaka u betonu rebra presjeka
Krak unutrašnjih sila:
pld 10z h 69 64 cm2 2
= − = − =
Potrebna površina vlačne armature:
2aua,pot
av
M 1860A 72,66 cmz f 0,64 40
= = =⋅ ⋅
Usvojena armatura:
12 28φ ( )2aA 73,89 cm=
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 12O28
2 2O12
3 O10/20
2 2O12
2 vil
2 pret
2,8d a 3,0 2,5 1,0 2,8 3,0 10,7 cm2 2
h d d 80 10,7 69,3 cm h 69 cm
φ= + φ + φ + + = + + + + =
= − = − = < =
Kontrola tlačne betonske zone
bu b
aubu
2b pl
bubu b2 2
b
f
M 1860P 2906,25 kNz 0,64
A b d 200 10 2000 cm
P 2906,25 kN kN1,45 f 2,05A 2000 cm cm
σ ≤
= = =
= ⋅ = ⋅ =
σ = = = < =
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 48
Zadatak 18.
Dimenzionirati AB presjek na osnovu zadanih podataka.
Statički utjecaji:
g
p
g
p
M 1600 kNm
M 1000 kNm
N 600 kNtlak
N 400 kN
=
=
= − ⎫⎪ −⎬= − ⎪⎭
Presjek: 0
pl
b 250 cm
b 40 cm''T ''
d 12 cm
d 120 cm
=⎧⎪
=⎪⎨
=⎪⎪
=⎩
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _______________________________________________________________
Traži se:
a,potA i
b a au( 10ε ε = ε = ‰) ili a b bu( 3,5ε ε = ε = ‰) _______________________________________________________________
Pretpostavka: a 3ε ≥ ‰ → g p1,6 ; 1,8γ = γ =
u g g p pM M M 1,6 1600 1,8 1000 4360 kNm= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
( ) ( )u g g p pN N N 1,6 600 1,8 400 1680 kN= γ ⋅ + γ ⋅ = ⋅ − + ⋅ − = −
Ultimni moment u težištu vlačne armature:
au u u aM M N y= − ⋅
Tb
22
a
T
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 49
Pretpostavka: d2 = 11 cm
i iT
i
A a 250 12 114 108 40 54y 78,6 cmA 250 12 108 40⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= = =⋅ + ⋅
∑∑
a T 2,prety y d 78,6 11 67,6 cm= − = − =
( )auM 4360 1680 0,676 5495,7 kNm= − − ⋅ =
Dimenzioniranje pomoću ''mau'' tabela
pret 2h d d 120 11 109cm= − = − =
Pretpostavimo da neutralna os pada u ploču ''T'' presjeka (x < d), tj. da je pritisnuta
zona betona pravokutnog oblika širine b = 250 cm: 2
auau au2 2
b
M 5495,7 10m 0,090 m 0,338b h f 250 109 2,05
∗⋅= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - 1-struko armiran presjek
mau = 0,090 → kx = 0,152
Kontrola položaja neutralne osi: '
xx k h 0,152 109 16,6 cm d 12 cm ''T '' presjek= ⋅ = ⋅ = > = → −
0
b 250 6,25 5b 40
= = > → postupak dimenzioniranja ''T''- presjeka uz zanemarenje
napona tlaka u betonu rebra presjeka
Krak unutrašnjih sila:
d 12z h 109 103 cm2 2
= − = − =
Potrebna površina vlačne armature:
2au ua,pot
av av
M N 5495,7 1680A 133,39 42 91,39 cmz f f 1,03 40 40
−= + = + = − =
⋅ ⋅
Usvojena armatura:
15 28φ ( )2aA 92,36 cm=
Kontrola tlačne betonske zone
bu b
aubu
2b pl
bubu b2 2
b
f
M 5495,7P 5335,6 kNz 1,03
A b d 250 12 3000 cm
P 5335,6 kN kN1,78 f 2,05A 3000 cm cm
σ ≤
= = =
= ⋅ = ⋅ =
σ = = = < =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 50
Raspored armature u poprečnom presjeku
1 15O28
3 2O12
2 O10/20
3 2O12
3 2O12
2 vil
2 pret
2,8d a 3,0 2,5 1,0 2,8 3,0 10,7 cm2 2
h d d 120 10,7 109,3 cm h 109 cm
φ= + φ + φ + + = + + + + =
= − = − = > =
MB 30
RA 400/500
a = 2,5 cm
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 51
Zadatak 19.
Sračunati moment koji može preuzeti 1-struko armirani AB presjek i potrebnu količinu
armature na osnovu zadanih podataka.
Presjek: 0
pl
b 120 cm
b 30 cm
''T '' d 10 cm
d 70 cm
h 60 cm
=⎧⎪
=⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪
=⎩
Materijal:
MB 30
RA 400/500 _____________________________________________________________________
Traži se: ∗auM i a,potA∗
_____________________________________________________________________ b bu
a
3,5 ‰
3 ‰
ε = ε =
ε =
bx
a b
3,5k 0,5383,0 3,5
∗ ε= = =
ε + ε +
xx k h 0,538 60 32,3 cm d 10 cm∗ ∗= ⋅ = ⋅ = > = → ''T''- presjek
A) Rastavljanje ''T''- presjeka na pravokutne presjeke
A.1
0
0
Presjek 1 Presjek 2
pl
0 0
pl
pl
Presjek 1
0
εb
εa
fbu
Pbu(1)
Zau(1)
1
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 52
b buau x z
a
MB30
3,5 ‰m 1,20 ; k 0,538 ; k 0,776
3 ‰∗ ∗ ∗
ε = ε = ⎫⎪ → = = =⎬ε = ⎪⎭
* 2 2au(1) au bM m b h f 0,338 1,2 65 2,05 3513 kNm∗ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
1 zz k h 0,776 65 50,44 cm∗ ∗= ⋅ = ⋅ =
au(1)bu(1)
1
M 3513P 6964,7 kN0,5044z
∗∗
∗= = =
Presjek 2
εb1
εa
Pbu(2)
Zau(2)
1
0
0
σbuεb2
fav
2
plb2 b1 bu b
x d 35 103,5 2,5 ‰ f35x
∗
∗
− −ε = ε ⋅ = ⋅ = → σ =
( ) ( )bu(2) 0 pl 2 bP b b x d f∗ ∗= − ⋅ − ⋅ α ⋅
b2b2 2
b2
3 2 3 2,5 22‰ 0,7333 3 2,5⋅ ε − ⋅ −
ε > → α = = =⋅ ε ⋅
( ) ( )bu(2)P 120 30 35 10 0,733 2,05 3381kN∗ = − ⋅ − ⋅ ⋅ =
2 pl 2z h d a 65 10 9,77 45,2 cm∗ ∗= − − = − − =
( ) ( )2 p2 pla k x d 0,391 35 10 9,77 cm∗ ∗ ∗= ⋅ − = ⋅ − =
b22 2b2 b2
p2 2 2b2 b2
2‰
3 4 2 3 2,5 4 2,5 2k 0,3916 4 6 2,5 4 2,5
∗
ε > →
⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε − ⋅ ε ⋅ − ⋅
au(2) bu(2) 2M P z 3380,96 0,452 1528,2 kNm∗ ∗ ∗= ⋅ = ⋅ =
Vrijednosti ultimnih djelovanja za ''T''- presjek:
bu(T) bu(1) bu(2)P P P 6964,7 3381 3583,7 kN∗ ∗ ∗= − = − =
au(T) au(1) au(2)M M M 3513 1528,20 1984,8 kN∗ ∗ ∗= − = − =
au(T)T
bu(T)
M 1984,8z 0,554 m3583,7P
∗∗
∗= = =
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 53
Potrebna površina vlačne armature:
au(T) 2a,pot
T av
M 1984,8A 89,6 cm0,554 40z f
∗
∗= = =⋅⋅
A.2
0
pl
0
0Presjek 1Presjek 2
0
pl
Presjek 1
εb
εa
fbu
P*bu(1)
Z*au(1)
1
0
b buau x z
a
MB30
3,5 ‰m 0,338 ; k 0,538 ; k 0,776
3 ‰∗ ∗ ∗
ε = ε = ⎫⎪ → = = =⎬ε = ⎪⎭
2* 2 2
au(1) au 0 b 2
0,3 65M m b h f 0,338 0,3 65 2,05 878,25 kNm1,2
∗ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
1 zz k h 0,776 65 50,44 cm∗ ∗= ⋅ = ⋅ =
au(1)bu(1)
1
M 878,25P 1741,2 kN0,5044z
∗∗
∗= = =
Presjek 2
εb1
εa
P*bu(2)
Z*au(2)
2
σ =bu
εb2
fav
fb
σ =au
0
pl
0
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 54
plb2 b1 bu b
x d 35 103,5 2,5 ‰ f35x
∗
∗
− −ε = ε ⋅ = ⋅ = → σ =
( ) ( )bu(2) 0 pl bP b b d f 120 30 10 2,05 1845 kN∗ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =
pl2
d 10z h 65 60 cm2 2
∗ = − = − =
au(2) bu(2) 2M P z 1845 0,6 1107 kNm∗ ∗ ∗= ⋅ = ⋅ =
Vrijednosti ultimnih djelovanja za ''T''- presjek:
bu(T) bu(1) bu(2)P P P 1741,2 1845 3586,2 kN∗ ∗ ∗= + = + =
au(T) au(1) au(2)M M M 878,25 1107 1985,25 kN∗ ∗ ∗= + = + =
au(T)T
bu(T)
M 1985,25z 0,554 m3586,2P
∗∗
∗= = =
Potrebna površina vlačne armature:
au(T) 2a,pot
T av
M 1985,25A 89,6 cm0,554 40z f
∗
∗= = =⋅⋅
B) Rješenje zadatka pomoću jednadžbi za proračun ''T''- presjeka
Moment savijanja kojeg može preuzeti ''T''- presjek 1-struko armiran:
2au(T) b x z(T)M b h f k k∗ ∗ ∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ λ
b1
b21
b2
2 2b2 b2
p1 2 2b2 b2
3,5 ‰
3 2 3 3,5 2 0,80953 3 3,5
3 4 2 3 3,5 4 3,5 2k 0,4166 4 6 3,5 4 3,5
∗
ε = →
⋅ ε − ⋅ −α = = =
⋅ ε ⋅
⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε − ⋅ ε ⋅ − ⋅
b1
b22
b2
2 2b2 b2
p2 2 2b2 b2
2,5 ‰
3 2 3 2,5 2 0,7333 3 2,5
3 4 2 3 2,5 4 2,5 2k 0,3916 4 6 2,5 4 2,5
∗
ε = →
⋅ ε − ⋅ −α = = =
⋅ ε ⋅
⋅ ε − ⋅ ε + ⋅ − ⋅ += = =
⋅ ε − ⋅ ε ⋅ − ⋅
p(T)k∗
∗∗
ϕ=
λ
Osnove betonskih konstrukcija
PBAB 87 55
pl pl pl01 p1 2 p2
x x x
d d dbk 1 1 k 1
b k h k h k h
30 100,8095 0,416 0,733 1 1120 0,538 65
10 100,391 1 0,1150,538 65 0,538 65
∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ϕ = α ⋅ − α ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ + ⋅ − =⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦
pl01 2
x
db 30 101 1 0,8095 0,733 1 1 0,417b 120 0,538 65k h
∗∗
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞λ = α − α ⋅ − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
p(T)
z(T) p(T) x
0,115k 0,27580,417
k 1 k k 1 0,2758 0,538 0,8516
∗∗
∗
∗ ∗ ∗
ϕ= = =
λ
= − ⋅ = − ⋅ =
2 2au(T) b x z(T)M b h f k k 1,2 65 2,05 0,538 0,8516 0,417 1985,7 kNm∗ ∗ ∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ λ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Potrebna površina vlačne armature:
2au(T) au(T) 2
a,pot(T) av z(T) av
M M 1985,7 10A 89,68 cm0,8516 65 40z f k h f
∗ ∗
∗ ∗
⋅= = = =
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅