dÜzce Ünİversİtesİ teknolojİ fakÜltesİ elektrİk elektronİk...

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EET107 ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ

Dr. Uğur HASIRCI

KONTROL SİSTEMLERİ 1

Elektrik Mühendisliği

• Elektrik Makinaları

• Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri)

• Kontrol Sistemleri

Elektronik Mühendisliği

• Devreler ve Sistemler

• Haberleşme Sistemleri

• Elektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga Tekniği

• Elektronik(Yarıiletken Teknolojisi, Analog-Sayısal Elektronik, Lazer Elektroniği, Güç Elektroniği vs.)



Dr. Uğur HASIRCI

2

KONTROL SİSTEMLERİBir sistemi “kontrol ” etmek, herhangi bir insan müdahalesi olmaksızın, osistemin çevresel şartlar ne olursa olsun önceden belirlenmiş bir takımperformans kriterlerini yerine getirecek şekilde çalışmasını sağlamakdemektir.

Örneğin şekildeki gibi vinç motoru olarakkullanılan bir elektrik motorunun hızının kontroledildiğini düşünelim. Bu motorun hızının kontroledilmesi demek, kaldırdığı cismin çok hafif olmasıdurumunda da, çok ağır olması durumunda dacismi aynı hızla kaldırması demektir.

KONTROL SİSTEMLERİ



Dr. Uğur HASIRCI

3

Herhangi bir anda motorun milinde çok büyük biryük olabilir. Bu da motorun hızında bir düşüşeneden olabilir. Böyle anlarda kontrol sistemi,motora uygulanan gerilimi artırarak motorunhızını artırır ve yeniden arzu edilen değere(örneğin 1500 devir/dakika) getirir. Bu örnekte;Kontrol Edilen Sistem : MotorKontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan GerilimKontrol Çıkış Değişkeni : Motorun Hızıdır.

Esasen bu tanım ve örnek, doğrudan “OtomatikKontrol” kavramının tanımıdır. Yani kontrolsistemi, motorun hızını (insan etkisi olmadan)otomatik olarak ayarlar.




Dr. Uğur HASIRCI

4

Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiğinidüşünelim. Uzaya fırlatılan bir uydunun, yerdeki bir referans noktası ilebelirli bir açı yapacak konumda olması istenir (örneğin θ=45°). Eğerherhangi bir harici etki sebebiyle uydu hareket eder ve açı 45 derecedenfarklı bir değer alırsa, kontrol sistemi uyduya uygulanan momenti (tork -T) ayarlayarak, uydunun yeniden referans noktası ile aynı açıyı yapmasınısağlar. Bu örnekte;Kontrol Edilen Sistem : UyduKontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan TorkKontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon.




Dr. Uğur HASIRCI

5

Bu örneklerden de anlayacağımız üzere, bir kontrol sisteminde en temelögeler, şu şekilde ifade edilebilir.


• Kontrol Edilen Sistem• Kontrol Girişi (Giriş Değişkeni)• Kontrol Çıkışı (Çıkış Değişkeni)

Bu ögeler, blok diyagram şeklinde aşağıdaki gibi gösterilebilir:



Dr. Uğur HASIRCI

6

Kontrol sistemlerine örnekler vermeye devam edelim. Yeni nesilotomobillerdeki “Cruise Control – Hız Sabitleme” fonksiyonu, kontrolsistemlerine ilişkin çok iyi bir örnektir. Sürücü, otomobil belirli bir hızdaiken (örneğin 90 km/saat) hız sabitleme düğmesine basar ve bu andanitibaren otomobil yokuş da çıksa, düz yolda da gitse, yokuş da inse, aşırırüzgara da maruz kalsa (yani çevresel şartlar ne olursa olsun), sürekli 90km/saat hızla gider. Sürücü ise hız ayarlamaya ilişkin hiçbir şey yapmaz,otomobildeki hız kontrol sistemi, otomobilin hızını sürücünün istediğideğerde otomatik olarak tutar.




Dr. Uğur HASIRCI

7

Oda sıcaklığını ayarladığımız değerde sabit tutan klimalar dakontrol sistemleri açıklamak için oldukça kullanışlı birörnektir. Oda sıcaklığı kullanıcı tarafından kumanda ileörneğin 22 dereceye sabitlenir ve bu andan itibarendışarıdaki hava soğuk da olsa sıcak da olsa, temiz havagelmesi için cam da açılsa her türlü çevresel şartlardaklimanın içindeki kontrol sistemi, oda sıcaklığını 22 derecedetutar.




Dr. Uğur HASIRCI

8

Esasen tabiatta çok sayıda “doğal” kontrol sistemi de vardır.Örneğin insan vücudundaki pankreas bir doğal kontrolsistemidir. Zira insan kanındaki şeker konsantrasyonu artıncapankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerjiyedönüştürür ve kandaki şeker konsantrasyonunu normaldeğerine getirir. Kandaki şeker azalınca da bunu tekrarnormal değerine getirir. Bütün bunları otomatik olarakyapar.




Dr. Uğur HASIRCI

9

Bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematikselmodelinin ortaya konulması gerekir. Tabiattaki tüm dinamiksistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Daha sonra budiferansiyel denklem modeli, kontrolör tasarımı için çok dahakullanışlı bir forma dönüştürülür. Bu dönüşüm için iki yaklaşım sözkonusudur:1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen

diferansiyel denklem, “Laplace Dönüşümü” yoluyla frekansdomeninde ifade edilir.

2. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemimodelleyen diferansiyel denklem, “Durum-Uzay Dönüşümü”yoluyla zaman domeninde ifade edilir.

Şimdi sırasıyla Diferansiyel Denklemler, Laplace Dönüşümü veDurum Uzay Dönüşümünden bahsedelim.




Dr. Uğur HASIRCI

10

Diferansiyel DenklemlerTanım: y=f(x) şeklinde bilinmeyen bir fonksiyon ve onun çeşitlimertebelerden türevlerini içeren denklemlere Diferansiyel Denklemlerdenir.

Diferansiyel denklemler genel olarak,


2 3

2 3, , , , ,............., 0

n

n

dy d y d y d yF x y

dx dx dx dx

Burada y değişkeni, x’e bağlı olarak değerler aldığı için “bağımlıdeğişken” olarak adlandırılır. x değişkeni ise rastgele değer alabildiği için“bağımsız değişken” olarak adlandırılır.



Dr. Uğur HASIRCI

11

Mertebe: Bir diferansiyel denklemin mertebesi, o denklemdeki enyüksek türevin mertebesidir.

Örneğin diferansiyel denkleminde;

Bağımsız değişken: x

Bağımlı değişken: y

Denklemin mertebesi: 2.


Bağımsız değişken: t

Bağımlı değişken: x

Denklemin mertebesi: 1.


2

2

d y dyx

dx dx

5dx

xtdt



Dr. Uğur HASIRCI

12

Derece: Bir diferansiyel denklemin derecesi, o denklemdeki en yüksekmertebeden türevin üssüdür.


Bağımsız değişken: x

Bağımlı değişken: y

Denklemin mertebesi: 4Denklemin derecesi: 3.


3 54 2

4 24 0

2

d y d y dy x

dx dx dx



Dr. Uğur HASIRCI

13

Bir Diferansiyel Denklemin Çözümü: Bir diferansiyel denklemin çözümü,o denklemi sağlayan bir fonksiyondur.

Örne ğin fonksiyonunun,diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım (buradac1 ve c2 sabit sayılardır);


1 2( ) sin3 cos3y x c x c x 9 0y y

1 2 1 2

1 2

( ) sin3 cos3 ( ) 3 cos3 3 sin3

( ) 9 sin3 9 cos3

y x c x c x y x c x c x

y x c x c x

için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyeldenklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:

( )y x

1 2 1 29 0 9 sin3 9 cos3 9 sin3 cos3 0y y c x c x c x c x

Denklem sağlandığı için, fonksiyonu, verilendiferansiyel denklemin bir çözümüdür denir.

1 2( ) sin3 cos3y x c x c x



Dr. Uğur HASIRCI

14

Örneğin fonksiyonunun, diferansiyeldenkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım;


2( ) 1y x x 4 2 1y y

2( ) -1 ( ) 2y x x y x x

için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyeldenklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:

( )y x

?24 42 2

4 4 2 4 2

1 2 1 1

16 2 1 17 2 1 1

y y x x

x x x x x

Denklem sağlanmadığı için, fonksiyonu, verilen diferansiyeldenklemin bir çözümü değildir denir.

2( ) 1y x x



Dr. Uğur HASIRCI

15

Not: Bir diferansiyel denklemi çözmek demek, o denklemisağlayan fonksiyonu bulmak demektir. Bazı diferansiyeldenklemlerin çözümü olmayabilir. Eğer bir çözüm varsa bile,bütün diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için genelbir yöntem/algoritma henüz geliştirilememiştir. Belli bazı türdenklemler için, o denklem türüne özgü çözüm yöntemlerigeliştirilmiştir ve halen de geliştirilmektedir.




Dr. Uğur HASIRCI

16

Doğrusallık (Lineerlik): Eğer bir diferansiyel denklemde,

1. Bağımlı değişken ve onun tüm türevlerinin üssü 1 ise,2. Herhangi bir terimde bağımlı değişken ve onun türevlerinin

çarpımı yoksa,3. Herhangi bir terimde, bağımlı değişkenin sinüs fonksiyonu,

üstel fonksiyon gibi doğrusal olmayan fonksiyonları yoksa,

bu diferansiyel denklem lineerdir (doğrusaldır) denir. Bu şartlardanherhangi biri sağlanmıyorsa, o diferansiyel denklem nonlineer (doğrusalolmayan) denklemdir.




Dr. Uğur HASIRCI

17

Ör: Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin bağımsız değişkenini,bağımlı değişkenini, mertebesini, derecesini ve doğrusal olup olmadığınıbelirtiniz.

1.


2

2

d y dyx

dx dx

Bağımsız değişken: xBağımlı değişken: yMertebesi: 2Derecesi: 1Doğrusallık: 3 şartı da sağlıyor, doğrusal (lineer).

2

0y y x Bağımsız değişken: xBağımlı değişken: yMertebesi: 1Derecesi: 2

2.

Doğrusallık: İlk terimde bağımlı değişkenin karesi var. Nonlineer.



Dr. Uğur HASIRCI

18KONTROL SİSTEMLERİ

Bağımsız değişken: tBağımlı değişken: zMertebesi: 2Derecesi: 1

1sin( )y y

x Bağımsız değişken: x

Bağımlı değişken: yMertebesi: 3Derecesi: 1

4.

Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin doğrusal olmayan bir fonksiyonu var. Nonlineer.

3. 0dz

z z tdt

Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin ile türevinin çarpımı var. Nonlineer.



Dr. Uğur HASIRCI

19KONTROL SİSTEMLERİ

Bağımsız değişken: xBağımlı değişken: yMertebesi: 3Derecesi: 1

3x dye y x

dx Bağımsız değişken: x

Bağımlı değişken: yMertebesi: 1Derecesi: 1

6.

Doğrusallık: Doğrusal

5.

Doğrusallık: Bağımsız değişkenin nonlineer terimleri, denklemi nonlineer yapmaz. Bu nedenle bu denklem lineerdir.

1sin( )y x

x



Dr. Uğur HASIRCI

20

Şimdi sistemlerin diferansiyel denklem modellerine örnekler verelim.Önce şekilde görülen seri RL devresine bakalım. Bu devreyi sistemyaklaşımı içinde incelersek,

Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v)Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i)

olacaktır. Şimdi Kirchhoff’un Gerilimler Yasasını kullanarak devredenklemini yazalım:


diL Ri v

dt

vGörüldüğü gibi bu sistemi modelleyendiferansiyel denklemin bağımsız değişkenit, bağımlı değişkeni i, mertebesi vederecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için,bu denklem ile modellenen sistem delineer bir sistemdir.

i



Dr. Uğur HASIRCI

21

Başka bir örnek olarak, şekildeki gibi Kütle-Yay-Damper sistemini ele alalım.Esasen bu sistem, otomobillerdeki süspansiyon sisteminin bir modelidir. m

kütleli bir otomobil, herhangi bir çukurdan/tümsekten geçtiğinde belli bir F

kuvvetine maruz kalır. Bu kuvveti otomobilin içindeki yolcuların daha azhissetmesi için gerilme katsayısı k olan bir yay ve sönümlüme katsayısı c olanbir damper, bu kuvveti söndürmeye çalışırlar. Araba ise düşey eksende x kadaryer değiştirir. Bu sistemde

Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan Kuvvet (F)Sistem Çıkış Değişkeni: Yer değiştirme (x)


F



Dr. Uğur HASIRCI

22

Bu sistemin diferansiyel denklem modelini oluşturalım. Newton’un ikincikanununa göre;


F

2

2

2

2

F ma

d xF cx kx m

dt

d x dxm c kx F

dt dt

Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyendiferansiyel denklemin bağımsız değişkenit, bağımlı değişkeni x, mertebesi 2 vederecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için,bu denklem ile modellenen sistem delineer bir sistemdir.



Dr. Uğur HASIRCI

23

Aslında burada elde ettiğimiz model, belirli kabullerle (varsayımlarla)elde edilen bir modeldir. Yani modeli oluştururken, analizi ve tasarımızorlaştıracak bir takım unsurlar ihmal edilir. Somut örnek vermekgerekirse, bu Kütle-Yay-Damper sisteminde, hem damperin hem deyayın daha gerçekçi kuvvet denklemleri kullanılırsa, bu sistemin dinamikmodeli


F

3

0 1mx cx x k x k x F

şeklinde olur. Görüldüğü gibi bu sistemimodelleyen daha gerçekçi diferansiyeldenklem lineer değil nonlineerdir.Dolayısıyla bu sistem bir doğrusalolmayan (nonlineer) sistemdir.



Dr. Uğur HASIRCI

DEVRE TEORİSİ 24

Daha önce Devre Teorisi dersinde bu konudan kısacabahsetmiştik ve aslında tabiatta lineer sistem olmadığını, hersistemin belli bir ölçüden sonra nonlineer davranış gösterdiğini,ancak belirli yaklaşım ve ihmallerle doğrusal olmayan bazısistemlerin, doğrusal bir sistem gibi modellenebileceğini veböylelikle sistemin analizinin kolaylaşacağını söylemiştik.

Şimdi bir sistemin doğrusal olup olmadığını nasıl test ettiğimizihatırlayalım:



Dr. Uğur HASIRCI

DEVRE TEORİSİ 25

Süperpozisyon TeoremiSüperpozisyon prensibi, bir sistemin lineer (doğrusal) olup olmadığını test etmek içinkullanılır. Öncelikle süperpozisyon prensibinden başlayalım: Herhangi bir sisteme x1

girişi uygulandığında sistemin tepkisi (çıkış) y1, farklı bir x2 girişi uygulandığında isesistem çıkışı y2 olsun. olmak üzere, sisteme ax1 girişi uygulandığında sistemçıkışı ay1, ve sisteme ax1+bx2 girişi uygulandığında sistem çıkışı ay1+by2 oluyorsa, busistem lineerdir denir.

,a b

Sistemx1 y1

Sistemx2 y2

Sistemax1

Sistemax1+ bx2

ay1

ay1+ by2

Toplamsallık ilkesi

Çarpımsallık ilkesi



Dr. Uğur HASIRCI

DEVRE TEORİSİ 26

Süperpozisyon prensibine uyan sistemler lineer sistemlerdir. Ancak pratikte tabiattalineer sistem yoktur! Mekanik, elektriksel, biyolojik, sosyal, kültürel vs. bütün sistemlergerçekte lineer olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Lineer sistemler, tabiattaki gerçeksistemlerin analizinin daha kolay yapılabilmesi için üretilmiş teorik modellerdir. Ziralineer sistemlerin analizi oldukça basittir ve günümüze kadar lineer sistemlerin analizi vetasarımı için çok sayıda güçlü ve kullanışlı yöntem geliştirilmiştir. Lineer olmayansistemlerin analizi ve tasarımı ise görece daha zordur. Günümüzde hala lineer olmayansistemlerin analizi ve tasarımı için güçlü, kullanışlı, sihirli yöntemler geliştirilememiştir.Herhangi bir sistemin lineer ya da lineer olmayan modellerden hangisi seçilerek elealınacağı, tasarımcının vermesi gereken önemli bir karardır. Kimi basit sistemlerde, sistemmodelinin lineer olmayan kısmının ihmal edilmesi çok fazla bir hataya sebep olmaz.Ancak daha karmaşık sistemlerde (örneğin bir hava taşıtı) sistem modelinin doğrusalolmayan kısımlarının ihmal edilmesi ya da analitik/nümerik/istatistik yöntemlerle sistemmodelinin lineerleştirilmesi, uçağın okyanusa çakılmasına neden olur ki tarihte örneklerivardır. Bütün bu açıklamalardan, lineer sistem modellerinin ve lineer analizyöntemlerinin işe yaramaz olduğu sonucu çıkmaz!



Dr. Uğur HASIRCI

27

Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematikselmodelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerinDiferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklemmodelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir formadönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım sözkonusudur:1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen

diferansiyel denklem, “Laplace Dönüşümü” yoluyla frekans domenindeifade edilir. Bu yaklaşım sadece doğrusal sistemlere uygulanabilir.

2. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyendiferansiyel denklem, “Durum-Uzay Dönüşümü” yoluyla zamandomeninde ifade edilir. Bu yaklaşım hem doğrusal, hem de doğrusalolmayan sistemlere uygulanabilir.

Şimdi sırasıyla Laplace Dönüşümü ve Durum Uzay Dönüşümündenbahsedelim. KONTROL SİSTEMLERİ



Dr. Uğur HASIRCI

28

Laplace DönüşümüMatematiksel açıdan, bir sistemi kontrol etmek demek, o sistemi modelleyendiferansiyel denklemin çözümünü belli bir değere/bölgeye zorlamak demektir.Örneğin otomobillerin Kütle-Yay-Damper ile modellenen süspansiyonsisteminde, araba bir çukur ya da tümsekten geçtiğinde x yerdeğiştirmesininmümkün olduğunca az (hatta sıfır) olması istenir. Benzer şekilde RL devresindede akımın, istenilen belli bir değeri alması istenir. Ancak diferansiyeldenklemlerden bahsederken de vurgulandığı gibi, bir diferansiyel denkleminçözümünü bulmak, her zaman çok kolay olmamaktadır.


F

i



Dr. Uğur HASIRCI

29

Fransız matematikçi ve astronom Pierre Simon Laplace, 1809 yılındadaha sonra kendi adıyla anılacak olan Laplace Dönüşümü yönteminiönermiştir. Bu yöntem, diferansiyel denklemlerin çözümüne alternatifbir yöntem önermekte ve türev/integral içeren diferansiyel denklemleri,birer cebirsel denkleme dönüştürmektedir. Böylece denklemin çözümüçok daha kolay olmaktadır.


Laplace dönüşümü sadece lineer diferansiyeldenklemlere uygulanabilir. Dolayısıyla,tabiattaki sistemlerin sadece lineer olanları budönüşüm yoluyla analiz edilebilir.



Dr. Uğur HASIRCI

30

Laplace Dönüşümü: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkenizaman olan) bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü F(s) ile gösterilirve şu şekilde hesaplanır:


Burada Laplace dönüşüm operatörü, s ise s=ϭ+jω şeklinde ϭ reelbileşenine ve ω imajiner (frekans) bileşenine sahip bir kompleks sayıdır.

Şimdi bazı temel fonksiyonların Laplace dönüşümünü hesaplayalım.

0

( ) ( ) ( ) stf t F s f t e dt

L

L



Dr. Uğur HASIRCI

31

Ör: f (t)=C (C sabit)


Yani C gibi bir sabitin Laplace Dönüşümü C/s dir.

0 0

00

( ) ( ) ( )

1

st st

st st

t

f t C F s f t e dt Ce dt

CC e dt C e

s s

L L

C

Cs

L



Dr. Uğur HASIRCI

32

Ör: f (t)=t


Yani f (t)=t fonksiyonunun Laplace Dönüşümü

0 0

2

0 0

( ) ( ) ( )

1 1

st st

st st

t

f t t F s f t e dt te dt

t e e dts s

L L

2

1t

sL

1 stst

dt dut u

e Ve dt dVs



Dr. Uğur HASIRCI

33

Kontrol sistemlerinde yaygın olarak karşılaşılan bazı temel fonksiyonlarınLaplace dönüşümü, “Laplace Dönüşüm Tablosu” adı verilen tablolardaözetlenmiştir.


F(s)



Dr. Uğur HASIRCI

34

Laplace Dönüşümü Teoremleri:1. Türev Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zamanolan) bir f(t) fonksiyonunun zamana göre türevini almak, o fonksiyonunLaplace Dönüşümü olan F(s) ile s’in çarpımına eşittir.


Burada f(0), f(t) fonksiyonunun t=0 anındaki değeridir.

( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

L

2. İntegral Teoremi:

0

1( ) ( )

t

f t F ss

L



Dr. Uğur HASIRCI

35

3. Son Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkenizaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sonsuza giderken alacağıdeğer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s

sıfıra giderken limitine eşittir.


0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

4. Başlangıç Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsızdeğişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sıfıra giderken (yanibaşlangıçta) alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s)ile s ile çarpımının, s sonsuza giderken limitine eşittir.

0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s



Dr. Uğur HASIRCI

36

Laplace Dönüşümünün Özellikleri:


1 2 1 2

1 2 3

( ) ( ) ( sabit)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) (0) (0) ......

( ) ( )

nn n n n

n

at

Af t AF s A

f t f t F s F s

df t s F s s f s f s f

dt

e f t F s a

L

L

L

L



Dr. Uğur HASIRCI

37

Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü,


1

( ) ( )( 1)

f t F ss s

L

olarak veriliyor. Buna göre f(t) fonksiyonunun zaman sonsuza giderkenalacağı değeri bulunuz.C: Son Değer Teoremine göre;

0 0

1lim ( ) lim ( ) lim 1

( 1)t s sf t sF s s

s s

Bu sonucun sağlaması kolaylıkla yapılabilir. Zira soruda verilen F(s),zaman domenindeki f(t)=1-e-t fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür vezaman sonsuza giderken bu fonksiyonun alacağı değer 1 dir.



Dr. Uğur HASIRCI

38

Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü,


2( ) ( )

1

sf t F s

s

L

olarak veriliyor. Buna göre e-3tf(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümünübulunuz.C: Laplace dönüşümünün özelliklerinden sonuncusuna göre;

Bu sonucun sağlamasını yapabilir misiniz?

3

2

( ) ( )

3( ) ( 3)

3 1

at

t

e f t F s a

se f t F s

s

L

L



Dr. Uğur HASIRCI

39

Ör: Daha önce kütle-yay- damper sisteminin diferansiyel denklemini


F

( )mx cx kx F t

olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak,sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfırkabul ediniz.

C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ms X s csX s kX s F s

ms cs k X s F s



Dr. Uğur HASIRCI

40

Ör: Daha önce şekildeki RL devresinin diferansiyel denklemini


diL Ri v

dt

v

i

olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemikullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıçkoşullarını sıfır kabul ediniz.

C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa

( ) ( ) ( )

( ) ( )

LsI s RI s V s

Ls R I s V s

dÜzce Ünİversİtesİ teknolojİ fakÜltesİ elektrİk elektronİk...

Documents