Über ein teilerproblem

uber ein Teilerproblem

Von ANDREAS SCHIERWAUEN in Jena

(Eingegangen am 21.10.1974)

1. Einleitung

In Verallgemeinerung der bekannten Teilerfunktionen wurden in [S] die fur naturliche Zahlen a, b und beliebige reelle Zahlen v , p erklarten Funktionen

dv,,(a, b, k)= C na'mbp (n, mEN")

D',@(a, b ; 4= ,r dv,,(a, b ; k)

namb =k

und ihre surnmatorischen Funktionen

i s k s z

eingefuhrt . Von besonderem Interesse ist die Funktion D(a, b ; x)=D,,,(a, b ; X) ,

deren Wachstumsverhalten hier untersucht werden soll. Bekanntlich gilt fur groBe x die Darstellung

(1) mit

B ( a , b ; ~ ) = h ( a , b ; X ) + O ( ~ ' ( ~ ~ ~ ) )

(C bedeute die EnLERsche Konstante; a = b #= 1 liefert gegenuber a = b = 1 nichts Neues). Die Bestimmung der Konstanten S(1, 1) ist bekannt als DIRICmETsches Teilerproblem, was im weiteren nicht interessieren 8011. Von RICHERT [6] wurde fur beliebige a, b (a-=b)

bewiesen, wobei fur b = 2a im Restglied noch der Faktor log x angebracht werden mufi. Fur den Spezialfall a = l , b = 2 , der von Bedeutung ist fur die Bestimmung der mittleren Anzahl der nichtisomorphen abelschen Gruppen n-ter Ordnung, sind schon Verbesserungen des RIcHERTschen Ergebnisses (2) bekannt .

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Mathematische Nachrichten Volume 72, Issue 1, pages 151–168, 1976

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152 Schierwagen, Vber ein Teilerproblem

Setzen wir jetzt

so zeigte KRATZEL [a] in ,bezug auf die Abschatzung von 8(a, b) nach unten

(4) 1

also 6(a, 6) z __- , was den1 LANDAuschen Resultat beim Teilerproblem 2 (a+b)

(a = b = 1) entspricht,. In der Arbeit ['i] hsbe jch (4) unter Verwendung einer Methode, die erstmals

von LANDAU bei der Untersuchung der Verteilung der Primzahlen angeweiidet und von HARDY [2] fur das Teilerproblein nutzbar gemacht wurde, durch

1 1 __ __ (5) d(2) = 0 + ( 2 2 ( a + b ) ) , d(2) =Q-(,?(a+b))

verscharfen konnen. Hier soll, auf der Grundlage der Arbeit [7], gezeigt werden, daB die Ergebnisse ( 5 ) durch

verbessert werden konnen. Daruber hinaus wird sich zeigen, daB die erste Aussage in (6) durch

1 __ (7) A ( % ) = Q + ( ( x log 5)2 (Ufb ) - log log 2)

prazisiert werden kann, allerdings unter bestiinmten Einschrankungen fur die Parameter a, b. Demgegeniiber gilt (6) fur beliebige a, b.

Die Beweise von (6) und (7) hangen wesentlich yon der Anwendung bestimmter Identitaten fur das Restglied d(x) in (3) ab, die von KRATZEL [5] in Verallgemeine- rung bekannter VoRoNoIscher Identi taten bejm Teilerproblem bewiesen wurden. Daneben werden die bekannten Satze von DIRICHLET und KRONECKER uber diophantische Approximation benutzt.

Ich mochte an dieser Stelle Herrn Prof. KRATZEL fur seine Hilfe und sein Interesse am Fortgang der Arbeit herzlich danken.

2. Eine erste Restgliedabschatzung

Ziel dieses Kapitels ist der Beweis der Abschiitzung (6), die genauer formuliert

Hauptsatz 1. Fiir beliebige positire ganze Zahlen a -= b g i l t in der Darsteiluny

werden soll als

Schierwagen, Uber ein Teilerproblem 153

far dus Restglied A ( x ) die Abschatxung

Der Beweis des Hauptsatzes 1 gliedert sich in drei und 3, wobei sich das Vorgehen an INGHAM [4] orientiert.

2.1. Wir beweisen zunachst

dabei ist

Schritte, die Satze 1, 2

k\

?(a, ,3), Z(U, p ) sind die obere und untere Grenze von z ( u ) im Interval1 [M, /?I, A ist eine pos%ive Konstunte und hi, h2 simd nur von a, b ubhangige positive Konstunten.

Ausgangspunkt fur den Beweis ist

Hilfssatz 1. Fur 1 I M cc und beliebige positive gunze Zuhlen u< b ist

a

dubei sei H ( x ) in [v., ,3] stetig differenzierbar und

Unter den genannten Voraussetzungen kann (10) aus der Beziehung X

154 Schierwagen, Uber ein Teilerproblem

hergeleitet werden, die von KRATZEL [5 ] fur beliebige a -= b (a, b E N * ) bewiesen wurde. Dabei ist

1 - - 1 -

eo(a, b ; x) = [sin 2ntb - sin 2n t

0

Nach [6] gilt

z 1 l - - (13.2) k J e o ( a , b ; k t ) d t = O ( ( k z ) a + b ) ,

1

und in [i] wurde bewiesen, da13

a b b a

Dabei ist iiberall hI =

Mit (13.1) und (13.2) folgt fur die in (12) auftretende Differenz 2

g i ( k z ) = kzp,(a, b ; k x ) - k J eo(a, b ; k t ) dt 1

insbesondere die Abschatzung

(14.1) g , (AX) = O( ( k x ) Xa+b)) .

Andererseits ist nach (13.3)

(14.9)

1 i--

g ; ( k z ) = k?z * &(a, b ; kx)

Wir multiplizieren nun (12) mit H'(z) und integrieren gliedweise (wegen (14.1) ist die Reihe absolut und gleichmaL3ig konvergent, weil nach [5] D (a, 6 ; x) =

= O (z * logz) und demnach ~- konvergiert). Partielle Inte-

gration in jedem Glied und nochinalige Anwendung von (12) mit z=z, x = p liefert

1 -- 1 -- a 1 (a , b ; k ) a ' b - i -Li - - ' b

k = i ki+'+b)

nk zusammen init (14.2) die Behauptung ( lo) , wenn wir nach (11) g , (ks ) = =.g (kx)

llh2 setzen. Dainit ist auch gezeigt, da13 die Reihe in (10) absolut konvergiert.

Schierwagen, aber ein Teilerproblem

Fur den Beweis von Satz 1 verwenden wir in Hilfssatz

155

1 den FEJPR-Kern

Setzen wir 272 (I-IxI) fur 1x1-=1 0 sonst. r(x) =

so ergibt sich ~ ( x ) als Spektralfunktion von K(y) : - T ( X ) = 1 K(y) eX%y .

Wahlen wir nun in (10) von Hilfssatz I K ,

Substitution x = ua+b durch, dam folgt

-_ (15)

und H ( z ) geeignet und fiihren die

o+q 1 --

(16) U - K(U (u-0)) u ' L I ( U ~ + ~ ) du

1 d l ( a , b ; k) o+g

-_ =-- a ' b J- u * K( u (u-w)) u ' g (kua+b) dzc

I .is=- 1C

w-r,

Y mit LO z 2q > 1. Verwenden wir (1 I), fuhren die Transformation u = w + - aus

und schreiben z(u)=u 2A(ua+b), so folgt aus (16) 1 U -_

Y I U - 2

DerO-Termin(17) is tO dennw+-zw-qz-w fur - U q s ; y ~ U q , und

156 Schieraagen, Uber ein Teilerproblern

sind beide konvergent. Werden nun die Integrationsgrenzen in der ersten Reihe auf der rechten Seite von (17) auf ( - C'J, a) ausgedehnt, so ist der Pehler im k-ten Integral

Die erste Abschatzung folgt trivial aus K ( y ) =O(y-'), die zweite ergibt sich mittels partieller Integration, wobei die recht grobe Abschatzung K'(y) =O(y-2), K ( y ) = =O(y-I) benut.zt wird, die hier aber vollig ausreicht. Der Gesamtfehler in der Reihe in (17) ist demnach

weil nach [5] D

anderte Integral gleich

(a, b ; x) = O (z * log z) gilt. Andererseits ist das k-te so ver- i--. I - -

a' b

i

indem wir (15) anwenden. Hiermit folgt aus (17) , da r ( x ) = O fur x z l , Ca

log x +o - +o __--- , (3 (&6 r U + b

wobei X = ( Tx:;) gesetzt wurde.

Da K ( y ) s 0, folgt nun C9

f (0)-7, w + q ) / K ( y ) d y z / K ( y ) ..(.+;)dy,

-TI] - 1Jo

wo f die eingangs aiigegebene Bedeutung hat. Verwenden wir das in (18), multiplizieren mit der positjven Zahl

Schierwagen, Uber ein Teilerproblein 157

und beachten, daD X z b q z 1 sein soll, so erhalten wir, wenn wir den Wert fur r(z)/r(O) einsetzen,

I

f b - 7 , w + 7 )

log x Das erste Pehlerglied ist 0 , so daD damit Un-

gleichung (8) von Satz 1 bewiesen ist. (9) wird aus (18) auf die gleiche Weise abgeleitet.

2.2 . Satz 2. Fur festes X>1 ist

+ I f a r k+o - 1 fa. kGO ( 2 a + b ) ' und T,(w) ist wie in Satz 1 erklart. wobei ck=

Wir beweisen zuerst (20). Eine ganze Zahl k (1 s k < X ) kann eindeutig in der Form k = va+bq dargestellt werden, wobei v und q ganz sind und q keine (a + b)-

ten Potenzen enthdt (1 s q - = X , 1 S V - = X ~ + ~ ) ; v jst genau dann gerade, wenn

k=0(2a+b). Nach [l] sind die Zahlen kax, und damit auch die qntb, linear un- abhangig in bezug auf die Menge der rationalen Zahlen. Dainit lassen sich nach dem Satz von KRONECKER zu gegebenem 6 > 0 beliebig grofie reelle Zahlen w' finden, so dal3 fur jedes q in 1 5 q-=X

1 ~. -

1 1

und demzufolge fur jedes k = v a f b q (1 5 k < X ) 1

2ZkU+ bwt - 7cv - 2nvmq = 2nv8, gilt, bzw. init o'=hiw

f - 2 7 ~ h , k ~ + ~ w - xv - 27cvm, = 2 ~ ~ 8 ~ .


Damit ist

1 - I

denn E ~ = ( - l)"-' und 16,1-=6, Hjeraus folgt

und init 6-0 ergibt sich (20). 1 - Fiir den Bewe is von (19) machen wir die Zahlen qn+'W' angenahert kongruent

0 modulo 1, d. h., mir erlialten unter den gleiclien Voraussetzungen wie oben

(m, ganz, jS,i c 6) 1

-.

qu+'m' - m, = a,, 1

--

2xh,kafbw - 25tvm, = 2 m 6 9'

Darsus folgt

Gehen wir damit in die Bezieliung fur T,(o) ein und lassen 6 gegen 0 streben, so ergibt sich (19).

2 . 3 . Satz 3. F.iir S +a i.st

wobei K , , K 2 sp%ter ZZG filrierede positice Konstanten s i d .

nach [ 5 ] , Hilfssatz 8 Der Beweis geschieht mittels partieller Suiniiiation, wobei wir benutzen, daB

1 1

I - ' , l - ctb ub (a , b ; S) =- L * log & + O ( E ) = ~ E * log x + ~ ( x ) . ( 2 3 ) D

u b

Die linke Seite von ( 2 1 ) ergibt danucli

das ist (21).

Schierwagen, tfber eiii Teilerproblein 159

Zur Herleitung von ( 2 2 ) benotigen wir

Hilfssatz 2.

dabei ist [y] wie iiblich die grobte ganxe Zahl zcnterhalb y. Nach Definition von ck ist die linke Seite von (24) gleich

dabei sei k = F b m fiir k r

asyinptotjschen Dnrstellung fiir C dl-!

( ~ ~ 1 ( 2 ) , V Z O , ganz), so gilt wegen der Multiplikativitat von d,,+(a, b ; k )

( 2 6 )

Der Beweis von Hilfssatz 2 ist somit zuriickgefuhrt auf die Herleitung einer , (a , b ; 2 a + b m ) . 1st nun m = 2'u.

P f b 9 n ' X a ' t

d , (a , 6 ; 2a fbm)=d , ,(u, b ; 2a+b+v) * d , (a , b ; u) . I-.- I-- I-- I-- I-- 1 -~

a' b a' b a ' b

Nun ist

d (a , b ; 2a+b+w)= 2 na-'mb-' 1 --,I - p p m b = ? a + b + v a h

(27)

(a , b ; 2') 1 - 1 1

- 2a+b--2 d a ' b

Ersetzen mir in ( 2 7 ) einerseits v durch v-b, andererseits v durch v - (v+ 1) CG

(v=O, 1, 2 , . . .) und vereinbaren, daB d (a, b ; 2') = O fur s<O, so folgt nach I-- 1 -- einigeii einfacken Rechnungen a' b

d l ( a , b ; 2a+b+v) 1-.-1--

a' b

1 (a, b ; p -@-a) 1 - 1 1 - 1

- - A 9a+b-?d , (a , b ; 2") + 2"-2d I-- I--

a' b a' b


und mit (26) ergibt sich

d i (u , b ; 2a+bm) 1 -- 1 --

a ’ 6 (28)

([:I +?)(a - l ) + b - 1 m - 2

Cehen wir rnit (28) in (25) ein und verwenden noch (23), so folgt sofort die Be- hauptung (24).

Damit lafit sich nun, vollig analog zur Herleitung von (21), die Beziehung (22) voii Satz 3 niittels abelscher Summation beweisen.

2.4. Der Beweis des Hauptsntzes 1 kann nun folgendernianen gefuhrt werden :

Wir nehmen in Satz 1 ein festes X =- 1, fuhren den Grenzubergang w -t.m durch

und wLIilen q = q ( w ) so, dalj q +- (0 -= q s I. co ) . Daniit lafit sich aus (8) ableiten,

dan

1

nach (19) von Satz 2. Die rechte Seite aber strebt nach (21) von Satz 3 fur S +-

gegen a, so daB also

lini T( 21) = _.

Il--

gilt. Nach der Definition von T ( U ) ist dies aquivalent mit

- -- d(z) lim - = 3 0 .

,$(a+b) 1 x-00 __

Entsprechend lafit sich aus ( S ) , (20) und (22)

A ( x ) - limp- -- -- I x-0. *T(a i b )

herleiten, so dalj Hauptsatz 1 in beiden Teilen bewiesen ist.


3. Weitere Verscharfung der Restgliedabschatzung

Das Ziel dieses Kapitels ist der Beweis von 2 a

Hauptsatz 2. Unter der Voraussetzung -<-< 1 (a, b positiv, gnnx) gilt in der 3 b Darstellung

D(a, b ; z)=c (F) z'+c (8) x'+d(x)

far das Restglied A ( x ) die Abschatzung

(29) 1 _ _ ~

A(%) =Q+( (z * log z )2(a+b) * log log x) . Fur den Bew eis dieser Abschatzung wird eine tieferliegende Identitat fur

A @ ) verwendet als beim Beweis des Hauptsatzes 1 . Diese Ident,itat entsteht aus der beim Nachweis von (6) angewendeten Reihe (12) durch formales Differenzieren. Sie hat die Form einer unendlichen Reihe uber verallgemeinerte Zglinderfunktionen ;

jhre Konvergenz wurde von KRATZEL [5] unter der Voraussetzung -<-< 1 bewiesen.

Das Vorgehen beim Beweis entspricht dem HARDYS in [ 2 ] , d. h., die Anwen- dung der Identitat fur das Restglied liefert zusainmen mit hophantiseher Approxi- mation und einer modifjzierten Form des PHRAGMIk-LIINDELoFSChen satzes die Abschatzung (29). Ein SZ--Resultat ist mit dieser Methode allerdings nicht zu gewinnen.

3.1. Nach [5] hat die erwiihnte Identitat in einer fur meine Zwecke geeigneten Form die Gestalt

2 a 3 b

2 a 3 b

dabei konvergiert die Reihe unter der Voraussetzung --= --= 1 fur jedes x>O;

auf jedem abgeschlossenen Interval1 ohne ganze Zahlen gleichmaBig, fur games x gegen den Mittelwert. R(s) ist eine Reihe, die fur alle x 0 absolut und gleich- m&ig konvergiert.

Sei nun

mit s = u + it. Diese Reihe ist zweifellos konvergent fur u s 0 ; und fur u. = 0 li113t

Sich ohne Schwierigkeiten zeigen, daB F ( s ) konvergiert fur t =k 2nhiqafb (q = il Math. Nachr. Bd. 72

i -


= 0, 1 ) 2 , . . .) und gleichmiiiDig konvergiert in jedem abgeschlossenen Interval1 ohne solche t-\\’erte. Der Hauptteil vond (x) in der Entwicklung (30) stimmt demnach niit,

iiberein. Da,mit ist der Beweis des Hauptsatzes 2 aquivalent mit dem Beweis von

bzw. mit dem Beweis von

(32) Re (P(it)) =Q+( (log t)’@+*) . log log t ) . Wjr werden (32) im wesentlichen in zwei Schritten beweisen.

t __

3.2. Zunachst zeigen wjr

Satz 4. 1

(33) wobei s = u + it, i~ w0, t =- 1 gelten soll.

Re ( F ( s ) ) =Q+((log t)?(a+*j log log t ) ,

Wir haben also die Existenz einer positiven, von t unabhi-ingigen Konstanten K mit der Eigenschaft nachzuweisen, da13 die Ungleichung

1 __ (34) Re (F(s))=-K (log t)’(a+b) * lo g 1% t

Losungen in jedem Gebiet 21 =-O) t r T satze.

1 hesitzt. Dazu beweisen wir zwei Hilfs-

1

9 spater z u bestiwmende Konstante sein sollen. ,Wit

Hilfssatz 3. Sei t i = - - , N=(Hg)a+b , u‘o g eine grope positive Zahl und H eine

1 ’ 4

gilt dann: Es gibt e i m relle Za.hl t , 0 < q < -1 ) so da/3

Schierwngen, Uber ein Teilerproblem 163

1 d 1 l ( a , b ; k ) ka+b - l--l-- -_ a' b

k 2(a+b)

-e 1 9 / S 2 1 < c 1 k=N+1

(37)

wobei K eine positive, von H unabhangige Konstante ist.

Zahl t mit 1 -= t (t)B und gsnze Zahlen p l , . . . , p N , so da13

Nach dem Satz von DIRICHLET existiert zu gegebenem q

Damit ist

fur k = l , . . . , N . Gehen wir mit (39) in (35) ein, so ergibt sich sofort die Un- gleichung (36). Die Abschatzung (37) folgt trivial, wenn wir zu den Betragen iibergehen.

Hilfssatz 4. Unter den T'oroussetzungen des Hilf..sattzes 3 gilt

(40)

(41)

S, =- K - 1;. log g , 1x21 -=kB * 1Js. log 9 9

dabei ist K eine positive, von H unabhangige Konstonte und kH kann mit geniigend groaem H beliebig klein gemocht werden.

Wenden wir auf die rechte Seite von (36) partielie Suinniation an, so folgt

Substituieren wir t = tgaib und beachten, da8 N = (Hg)"+b ist, ao erhalten wir &us (42) I

- a+ b

g

a + b U b

3, --


fur Hs-1 und g hinreichend grol3. Aus (36) und (43) folgt nun

S”j’ z- K 11;- log 9 , also (40).

Zum Beweis von (41) gehen wir analog vor: I

1 l ( a ) b ; k ) k a f b a’ b

- i - - l - - _ _ e g I iSZl-= c i-.-

E=N+l 2(a+b)

1

I 1 Do

H a + b c - ,,a + b

t g a + b + 1 at

- Do

f H - t a + b

+ J (log t 4- 1) dt+K, - l / g * l o g g e 1 - 1 eH t 2(a+b)

ab Ha+b

f H dabei sind K1, Kz, K3 positive Konstanten. Mit li,=K, -g ist demnach (41)

bewiesen. e

Aus Hilfssatz 4 und (35) lifit sich jetzt sofort

(44 1 ableiten, wenn nur H hinreichend groi3 und dainit F;, geniigend klein ist. (14) gilt

Re ( F ( s ) ) =-K . v g * log g

1

9 fur u= - (g-0, groB) und einen t-Wert t ( g ) entsprechend der Peststellung von


Hilfssatz3. Erinnernwiruns, da13 N = (Hg)a+bundt-= ergibtsichaus (44) 1 __

(45) Re (F(s))>-K . (log t)2(a+b) - log log t , wobei R nur von H abhangt.

Es bleibt nun noch zu zeigen, da13 Re (P(s)) in jedem Streifen u>O, 1 s t s T beschrankt ist und da13 die t-Werte, fur die (45) gilt, mit g gegen 00 streben mussen. Dazu bemerken wir, da13 nach (31)

ist,. Zusainmen mit der elementaren Abschatzung 1 -~

A(%) = O(xa+b) folgt aus (46)

wobei K , eine positive Iconstante und x= ~

(48) Re (3’(s))-=KtT,

so da13 Re ( F ( s ) ) fur 1 s t 5 T beschrankt ist. Urn andererseits in (45) t =t(g) =- T zu erreichen, mu13 g=g(T) passend gewahlt werden, so da13 u und t von 11 abhangig werden. (48) zeigt, da13 g mit

ist. Damit ist auch ( 2:h,

Kl/S* log g s Ki * T das Gewunschte leistet.

3.3. Um nun aus Satz 4 das Ziel dieses Kapitels, den Hauptsatz 2 bzw. die iiquivalente Beziehung ( 3 2 ) , ableiten zu konnen, benotigen wir einen Satz aus der allgemeinen Funktionentheorie, der es gestattet, ausgehend von den im Streifen 0 -= u < 1, t =- T 2 1 gefundenen Losungen der Unglejchung (34) gro13e t-Werte am Rande u=O zu finden, die (32) erfullen. Ware F ( s ) auf dem linken Rand holornorpli, konnten wir den Satz von PHRAOM~N-LINDELOF anwenden. I m vorliegenden Fall aber hat F ( s ) auf der imaginaren Achse Singularitaten, so dal3 hier eine Modifikation dieses Satzes zur Anwendung kommt, die von HARDY und LITTLEWOOD 131 stammt und die formuliert werden soll als

1. f ( 5 ) e k e holomorphe Funktion im offenen halbunendlichen Streifen 0 -= U S 1

2. If (u+it)l einen Grenzwert If(it)/ besitzen far u+O und jeden solchen t-Wert,

Hilfssatz 5. Es soll

t 2 to =- 0 sein,

und es sollen positive Konstanten A,, A,, p existieren, so dap


3. z u jedem T >to eine positive Zahl S = 6( T ) existiert derart, dap

4. 1 f(s)[ - A 2 auf dem Rand des Streifens, 5. f ( s ) = 0 ( e l P ) im Innern gilt.

! f(s)i 524

Dann existiert e ine positive Konstmite A . so dab

im Innern und aiif deqn Rccnd des Streifens gilt.

Den Beweis der Behauptung (32) fiihien wir indirekt, d. h., wir nehinen an, daB zu einer beliebigen Zdil b=-0 ein t o z 0 esistiert, so daIj

(49)

Sei jetzt

1 __ Re ( F ( i t ) ) < d * (log t ) ” ( n + b ) - log log t fiir tzt”.

I

f ( s ) = eF(8)(log g ) - K ( l o g 8 ) 2 ( a + 6 ) (50) I

wobei K z d sein soll und der Logarithmus iin Hauptblatt zu nelimen ist. Wir zeigen, da13 f ( s ) zusaininen mit der Annahme (49) allen Voraussetzungen des Hilfssatzes 5 in1 Streifen 0 -= zi 5 1, t z t,) z 2 genugt : Die Voraussetzungen 1. und 2 . sind offensichtlich erfiillt, und 4. ist in Gestalt der Annahme (49) realisiert, wenn wir beachten, da13 K >6 sein sollte und /log it1 - -log t fur grol3e t gilt.

In bezug auf die 3. Voraussetzung ist zu bemerken, daB Re ( P ( s ) ) fur 7 ~ ~ 0 ,

2 a 3 b

t > 0 und - -= - < 1 konvergiert. Demnach ist

wobei T > 2 gelten soll. Hieraus folgt fiir 0 < i c 5 1, t s 2

[Re ( F (rc+it))-Re (F(it))j

Schierwagen, tfber ein Teilerproblem 167

su ([TJ+I) Kz+2Kl,

wobei K1, K , positive Konstanten sind. Fur 2

/Re (F(s ) ) -Re (E(it))l -=2Ki+K2,

1 T t s T, 0 -= tc 5 - ist. also

was zur Folge hat: daB im gleichen Gebiet

l T

gilt, so daB die 3. Voraussetzung mit 6=- erfullt ist.

Bezuglich der 5. Voraussetzung stellen wir fest, daB nach (47) fiir ? c > O und t > O

Dann ist IRe (F(s))l<R,t .

1 f c S ) 1 = eRe(P(s)) . I (log s) -Wag b, 1( -= K , et

fur O-=U-= 1, t ~ 2 . Die 5. Voraussetzung ist demnach mit p = 1 erfullt.

satzes 5 genugt, so daB gilt

fur 0

Damit ist gezeigt, daB die Funktion f(~) allen Voraussetzungen des Hilfs-

f(4 = O ( l ) t c s 1, t z 2. Hieraus folgt

also

t51)

fur alle genugend groIjen t, wobei K'=-O, und K =-6 nach (50) ist. Nun ist aber, K allein der Bedingung K=-6 unterworfen, d. h., (51) inuBte fur beliebige positive Konstanten K richtig sein, was im Widerspruch zu Satz 4 steht. Damit ist die Annahme (49) als falsch erkannt, so dal3 die Beziehung (32) und mit ihr Haupt- satz 2 bewiesen ist.

1 __ Re (F(s))-=R * K' (log t ) 2 ( a f b ) - log log t

168 Schiermagen, c b e r ein Teilerproblem

Zusatz bei der Korrektur :

Der Beweis des Hauptsatzes 2 lafit sich auch ohne die bier benutzte Modifika- tion des Satzes von PHRAGN~N-LINDELOF fiihren. Dazu muJ3 das Beweisverfahren fiir Hauptsatz 1 etwas abgeandert werden, insbesondere die SBtze 2 und 3. Gleichzeitig wird es moglich, die im Hauptsatz 2 sngegebene Einschrankung fur die Parameter a, b fallenzulassen, so da13 (29) fur beliebige a, b E N * (a<.) gilt. Ein Beweis dieser Behsuptungen sol1 demnachst in einer Note vorgelegt werden.

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Friedrich -Schiller- Universitat Sektion Mathematik DDR - 69 J e w Universitatshochhaus

Über ein teilerproblem

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