The  Fractal  Market  Hypothesis:  

A  Critical  Evaluation  of  Efficient  Theory  and  a  New  Framework  for  Financial  Analysis  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Benjamin  Weimer  Honors  Senior  Thesis  Wakefield  School  May  1,  2015  

 

 

 

 

Benjamin  Weimer                                                                                1  

Table  of  Contents  

 

Introduction                     2  

An  Overview  of  Financial  Evolution               3  

The  Efficient  Market  Hypothesis               13  

The  Crumbling  Foundation  of  Efficiency             17  

Chaos  in  Context                   25  

A  Fractal  Primer                   30

The  Fractal  Market  Hypothesis               35  

Conclusion                     41  

Appendix  A                     43  

Annotated  Bibliography                 46  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Benjamin  Weimer                                                                                2  

Introduction  

  In  today’s  economy,  trillions  of  dollars  change  hands  every  day.  Most  of  this  

money  is  not  exchanged  for  goods  or  services  like  in  a  traditional  economy.  These  

trillions  of  dollars  are  exchanged  for  ticker  symbols  and  intangible  stakes  in  a  

company.  These  trillions  of  dollars  are  exchanged  in  commodities  markets,  stock  

markets  and  currency  markets  where  the  investor  has  nothing  tangible,  nothing  

they  can  hold.  The  global  economy  is  dominated  by  these  markets;  they  control  how  

one  currency  compares  to  another,  the  amount  of  funding  a  company  can  receive,  

and  how  much  tonight’s  seafood  dinner  will  cost.  These  markets  affect  the  lives  of  

every  person  in  untold  ways,  yet  the  investors,  governments  and  banks  that  

comprise  these  markets  use  flawed  tools  that  have  been  in  use  since  the  1950s  to  

understand  them.  These  participants  recognize  that  their  tools  are  imprecise  and  

flawed,  yet  they  refuse  to  replace  them  because  these  tools  are  easy  to  use  and  built  

into  the  very  bedrock  of  the  economy.  This  outdated  toolbox  is  the  Efficient  Market  

Hypothesis.  

  The  Efficient  Market  Hypothesis  is  a  framework  for  economic  thought  that  

has  been  in  development  since  the  early  1900’s.  At  that  time,  we  did  not  have  

computers,  or  even  calculators.  The  world  did  not  know  of  Chaos  Theory  or  Fractal  

Geometry;  these  would  come  later  in  the  century.  Based  on  the  resources  available  

then  and  mathematical  tools  at  their  disposal,  the  Efficient  Market  Hypothesis  was  

the  pinnacle  of  economic  thought.  Yet  today  we  have  new  tools,  we  have  new  forms  

of  Mathematics;  we  have  advanced  computers  and  technology  that  the  creators  of  

the  Efficient  Market  Hypothesis  could  never  have  imagined.    

Benjamin  Weimer                                                                                3  

  Even  with  this  new  technology,  many  investors  and  economists  cling  to  the  

crumbling  toolbox  of  Efficiency.  With  new  and  more  modern  tools  however,  a  new  

model  for  financial  thought  has  been  developed,  the  Fractal  Market  Hypothesis.  This  

approach  is  built  on  the  concepts  of  Chaos  Theory  and  Fractal  Geometry,  two  

branches  of  Mathematics  that  have  revolutionized  all  fields  of  science  from  Biology  

to  Physics  to  Sociology.  Now  it  is  economics’  turn.  The  Fractal  Market  Hypothesis  

repairs  the  flaws  in  the  Efficient  Market  Hypothesis  by  altering  the  assumptions  and  

mechanics  to  match  the  market  we  observe,  not  an  abstraction  of  that  market.  By  

studying  the  fractal  nature  of  markets,  one  can  understand  how  they  function,  why  

they  crash  and  attempt  to  predict  their  movements.  The  Fractal  Market  Hypothesis  

is  the  future  of  finance  and  will  reshape  our  understanding  of  financial  systems  for  

everyday  investors,  governments  and  banks  alike.  

 A  Survey  of  Financial  Evolution  

Over  the  years,  the  tools  and  attitudes  of  finance  have  evolved  drastically.  

While  we  still  have  an  economic  system  based  upon  the  theories  of  Adam  Smith  in  

The  Wealth  of  Nations,  our  system  has  radically  evolved  and  with  it  so  too  have  our  

tools  for  investing.  We  have  gradually  moved  away  from  subjective  analysis  toward  

a  more  mathematically  rigorous  approach.  Our  movement  toward  quantitative  

financial  methods  has  been  a  circuitous  journey  through  Mathematics,  Physics  and  

Economics.  Today,  as  a  result  of  this  journey,  the  Efficient  Market  Hypothesis  is  the  

very  bedrock  of  all  financial  theory.  

In  early  March  of  1900  at  the  University  of  Paris,  a  young  man  was  preparing  

to  present  his  Mathematics  doctoral  dissertation  entitled,  “Théorie  de  la  

Benjamin  Weimer                                                                                4  

Speculation”  (Mandelbrot  43).  This  young  man  was  Louis  Bachelier,  a  quiet  student  

from  the  fringes  of  France.  His  dissertation  was  the  product  of  three  years  studying  

trading  in  the  French  Bond  Markets  (Weatherall  21).  At  the  time  in  academia,  

Mathematics  was  a  very  cliquish  and  elitist  field,  with  many  mathematicians  

preferring  math  for  mathematics’  sake  rather  than  pursuing  any  kind  of  application  

for  their  mathematical  principles.  As  a  result,  the  head  of  Bachelier’s  defense  

committee,  Henri  Poincaré1,  remarked  that  “Bachelier  has  evidenced  an  original  and  

precise  mind;  however,  the  topic  is  somewhat  remote  from  those  our  candidates  are  

in  the  habit  of  treating”  (Bernstein  20).  The  committee  felt  they  would  be  hard  

pressed  to  grant  Bachelier  a  doctorate  in  Mathematics  for  a  dissertation  they  felt  

was  not  even  math,  so  instead  of  the  highest  grade  of  “tres  honorable”  that  would  

have  guaranteed  Bachelier  a  professorship  at  one  of  France’s  elite  “École”  

universities,  he  received  the  less  noteworthy  “mention  honorable”  and  he  and  his  

paper  were  forgotten  for  nearly  sixty  years  (Mandelbrot  45).  

  Although  Poincare  and  the  French  Mathematical  establishment  did  not  see  

anything  revolutionary  about  Bachelier’s  theory,  what  he  had  presented  to  them  

was  one  of  the  first  ever  works  on  quantitative  finance  whose  central  theme  would  

one  day  revolutionize  the  field.  Bachelier’s  central  thesis  is  that  the  market  cannot  

be  beaten  as  “the  mathematical  expectation  of  the  speculator  is  zero”  (Bachelier).    

What  Bachelier  claims  is  that  when  an  investor  buys  a  bond  in  the  market,  he  is  

making  a  fair  bet,  which  is  analogous  to  the  flip  of  a  coin  where  there  is  an  equal  

likelihood  of  getting  heads  or  tails  or  in  the  market,  an  equal  likelihood  of  a  bond  

                                                                                                                         1  Poincaré  was  a  French  Mathematician  who  made  essential  contributions  to  a  

Benjamin  Weimer                                                                                5  

rising  in  price  or  falling  in  price  (Weatherall  21).    Bachelier  prefaces  this  by  stating  

that,  of  course,  the  prices  on  the  French  Bond  Markets  react  directly  to  newly  

available  information,  but  without  any  kind  of  revelations  or  new  information  the  

movement  of  the  markets  is  essentially  random.  Since  movements  are  inherently  

random  and  information  cannot  be  predicted,  the  most  likely  estimate  for  any  

prediction  of  future  price  is  the  same  as  the  price  right  now  (Bernstein  21).  Of  

course,  future  prices  may  potentially  diverge  from  today’s  price.  In  order  to  make  

long-­‐term  probabilistic  predictions,  Bachelier  employs  a  standard  Gaussian  

distribution,  more  commonly  referred  to  as  a  Bell  Curve.  Using  the  Bell  Curve,  

Bachelier  asserts  that  although  the  process  is  random,  an  educated  investor  can  

predict  the  likely  magnitudes  of  these  random  fluctuations  as  their  variance  grows  

proportionally  to  the  square  root  of  time  (Mandelbrot  49).  Bachelier  grounds  these  

claims  in  the  simple  observation  that  when  a  bond  is  sold  on  the  market,  the  seller  is  

predicting  it  will  fall  and  the  buyer  is  predicting  the  bond  will  rise.  Therefore,  the  

only  way  a  bond  can  be  sold  is  if  two  people  disagree  on  its  value,  thus  all  

information  regarding  the  bond  is  already  factored  into  the  market,  so  there  is  no  

way  that  one  individual  can  know  more  than  the  market  as  a  whole.  Thus  

fluctuations  are  inherently  random  (Bernstein  21).  

  More  than  fifty  years  later,  an  unknown  graduate  student  at  the  University  of  

the  Chicago  published  a  paper  titled,  “Portfolio  Selection”  in  the  March  1952  edition  

of  the  Journal  of  Finance  (Bernstein  41).  This  paper,  as  was  Bachelier’s,  was  

relatively  unpopular  for  a  number  of  years,  well  into  the  1960’s,  by  which  time  its  

author,  Harry  Markowitz,  had  completed  his  doctoral  dissertation  on  the  subject  

Benjamin  Weimer                                                                                6  

and  gone  on  to  write  a  book  on  the  matter.  What  made  “Portfolio  Selection”  a  

landmark  paper  was  the  concept  of  a  Portfolio  (Mandelbrot  61).  Prior  to  Markowitz,  

the  financial  dogma  was  to  invest  large  chunks  of  money  into  individual  assets  

anticipating  their  value  to  rise.  The  concept  behind  this  view  was  quite  simple,  

investors  believed  that  they  should  be  able  to  obtain  vast  troves  of  information  on  a  

single  company  and  thus  would  be  more  able  to  predict  the  behavior  of  that  single  

stock  than  they  would  of  a  whole  bundle  of  stocks  they  knew  less  about  (Bernstein  

48).  One  of  the  most  influential  pre-­‐Markowitz  financial  counselors,  Gerald  Loeb,  

argues  in  his  book,  The  Battle  for  Investment  Survival,  that  “Once  you  obtain  

confidence,  diversification  is  undesirable.”  He  even  goes  on  to  assert  that  

“Diversification  is  an  admission  of  not  knowing  what  to  do  and  an  effort  to  strike  an  

average.”  Loeb  believes  that  diversification  is  in  some  way  an  admission  of  

uncertainty  with  regard  to  your  investment  (Loeb).  

  What  the  pre-­‐Markowitz  financial  community  fails  to  understand,  however,  

is  the  concept  of  risk.  Prior  to  Markowitz,  financial  advisor’s  believed  that  the  only  

way  individuals  could  lose  money  was  if  they  failed  to  predict  the  movement  of  a  

stock  which  in  turn  meant  that  they  had  failed  to  gather  enough  information  to  

understand  its  movement.  Markowitz  disproved  this  assertion  by  exploring  the  

integral  nature  of  risk  (Bernstein  49).  What  Markowitz  asserts  is  that  failure  is  

inevitable  due  to  the  random  nature  of  stocks.  What  was  so  revolutionary  about  the  

portfolio  concept  was  that  Markowitz  was  able  to  quantify  the  old  adage  of  “don’t  

put  all  your  eggs  in  one  basket.”  Markowitz  showed  in  his  landmark  paper  that  few  

financial  advisors  had  ever  been  able  to  consistently  beat  the  market,  and  even  

Benjamin  Weimer                                                                                7  

those  who  had  would  inevitably  turn  a  loss  eventually  (Bernstein  48).  Markowitz  

bases  these  claims  on  the  research  by  Alfred  Cowles.  Cowles  examined  the  returns  

of  numerous  financial  institutions  over  a  forty-­‐year  period  and  found  that  fewer  

than  45%  showed  returns  larger  than  the  market  for  any  given  year  (this  is  worse  

than  if  predictions  were  statistically  random)  (Bernstein  69).  Thus,  Markowitz  

argues  that  the  only  way  to  generate  a  consistent  and  reliable  profit  is  to  build  a  

diversified  portfolio  in  order  to  limit  overall  risk.  

  Markowitz’s  diversification  strategy  is  not  only  built  on  owning  a  large  

diverse  number  of  stocks;  he  advocates  owning  stocks  in  as  many  diversified  

industries  as  possible  (Bernstein  50).  Markowitz  provides  the  following  example  in  

his  “Portfolio  Selection”  paper:  

A  portfolio  with  sixty  different  railway  securities,  for  example,  would  not  be  as  well  diversified  as  the  same  size  portfolio  with  some  railroad,  some  public  utility,  mining,  various  sorts  of  manufacturing,  etc.  The  reason  is  that  it  is  generally  more  likely  for  firms  within  the  same  industry  to  do  poorly  at  the  same  time  than  for  firms  in  dissimilar  industries  (Markowitz)    

What  Markowitz  describes  here  is  the  concept  of  co-­‐variance,  which  is  defined  as  

any  factor  that  could  affect  the  price  of  a  stock  that  is  shared  between  two  or  more  

stocks  in  the  portfolio.  For  Markowitz,  calculating  covariance  is  the  most  important  

aspect  of  portfolio  selection  as  it  is  essentially  for  the  investor  to  choose  stocks  that  

are  as  independent  from  each  other  as  possible.  This  way  the  stocks  will  not  move  

together,  so  the  portfolio  would  be  less  risky  overall.  Markowitz  describes  this  by  

saying,  “The  riskiness  of  a  portfolio  depends  on  the  covariance  of  its  holdings,  not  on  

the  average  riskiness  of  the  separate  investments.”  Thus  by  calculating  covariance,  

Benjamin  Weimer                                                                                8  

an  investor  can  find  the  best  portfolio  for  a  given  level  of  risk.  Markowitz  describes  

this  as  the  Efficient  Frontier,  the  line  on  which  all  optimal  portfolios  will  fall  

(Bernstein  48–54).  

  Markowitz’s  theory  was  revolutionary  in  the  world  of  finance,  but  it  wasn’t  

immediately  adopted  by  investors  because  the  calculations  were  immensely  

complex.  In  order  to  analyze  only  fifty  stocks,  Markowitz  requires  1,225  separate  

calculations  and  by  the  time  the  number  of  stocks  reaches  2,000,  Markowitz  

requires  more  than  2  million  calculations.  Without  computers,  these  calculations  are  

nearly  impossible  (Bernstein  64).  That  is  why  Markowitz  is  often  considered  the  

father  of  Modern  Portfolio  Theory;  however,    it  was  not  until  much  later  and  after  

much  simplification  that  the  theory  finally  garnered  widespread  acceptance  

(Mandelbrot  63).  

  Before  this  simplification  was  conceived,  close  to  ten  years  had  passed,  and  

in  that  time  the  world  of  quantitative  finance  had  remained  almost  silent,  except  for  

an  unlikely  researcher  who  would  publish  an  exposition  on  the  randomness  of  

markets  entitled  “Brownian  Motion  in  the  Stock  Market.2”  M.  F.  M.  Osbourne  was  an  

Astrophysicist  working  in  the  Naval  Research  Laboratory  in  Washington  State.  He  

had  dual  PHD’s  in  Astronomy  and  Physics  from  the  University  of  California,  but  he  

had  no  background  in  anything  related  to  finance  or  economics  (Bernstein  103).  

With  the  approach  of  a  physicist,  Osbourne  tackled  stock  prices  from  a  new  angle,  

one  focused  solely  on  the  prices  and  fluctuations  themselves  without  putting  these  

                                                                                                                         2  Brownian  Motion  is  a  type  of  random  motion  that  describes  the  movement  of  dust  particles  as  they  jitter  in  the  air.  Einstein  describes  this  in  his  paper,  “Investigations  on  the  Theory  of  Brownian  Motion.”  

Benjamin  Weimer                                                                                9  

changes  into  the  context  of  a  greater  financial  theory  (Weatherall  39).  In  his  original  

paper,  Osbourne  came  to  a  few  very  profound  conclusions.  The  first  of  these  is  that  

the  absolute  price  of  a  stock  has  very  little  meaning  in  and  of  itself.  Instead,  the  

changes  in  price  are  what  really  impact  the  investor  (Bernstein  104).    Osbourne  

justifies  this  observation  when  he  states  that,  “The  sensation  of  profit  between  a  $10  

and  an  $11  price  for  a  given  stock,  is  equal  to  that  of  a  change  from  $100  to  $110  for  

another  stock”  (Osbourne).  What  this  meant  for  Osbourne  was  that  unlike  Bachelier,  

who  was  modeling  stock  prices,  Osbourne  simply  modeled  price  changes  because  

these  are  what  really  get  the  attention  of  the  investor.    

  Osbourne’s  second  major  conclusion  falls  perfectly  in  line  with  Bachelier  as  

Osbourne  asserts  that  prices  represent  decisions  in  a  single  moment.  Thus,  the  

agreed  upon  price  is  a  combination  of  the  buyer’s  optimism  and  the  seller’s  

pessimism.  Osbourne  concludes  that  the  price  reflects  all  available  information  in  

the  market  and  therefore  the  market  is  just  as  likely  to  rise  X  percent  as  it  is  to  fall  

by  the  same  percentage  (Bernstein  105).    

  Osbourne’s  final  conclusion  was  that  the  range  over  which  prices  fluctuate  

will  “increase  as  the  square  root  of  the  time  interval”  (Osbourne).  This  directly  

confirmed  Bachelier’s  Gaussian  assumption.  What  is  perhaps  most  astonishing  

about  Osbourne’s  paper  is  his  lack  of  experience  in  the  world  of  finance  (Weatherall  

44).  When  Osbourne  published  his  paper,  independently  corroborating  the  works  of  

Bachelier  and  Markowitz,  he  had  no  economics  knowledge;  in  fact  his  original  paper  

contained  only  two  citations,  one  for  a  book  on  Statistical  Astronomy  and  the  other  

Benjamin  Weimer                                                                                10  

for  a  book  titled,  “The  Mathematical  Theory  of  Non-­‐Uniform  Gases”(Bernstein  103-­‐

104).  

  Osbourne’s  paper  gained  widespread  recognition  as  a  groundbreaking  work  

that  asserted  the  randomness  of  markets.  It  was  cited  a  few  years  later  by  Stanford  

Professor  William  Sharpe  who  published  one  of  the  first  simplifications  of  

Markowitz’s  Portfolio  Theory  in  his  landmark  paper,  “A  Simplified  Model  for  

Portfolio  Analysis”  (Bernstein  75).  The  ingenious  part  of  Sharpe’s  theory  was  that  he  

was  able  to  simplify  the  complex  calculations  in  Markowitz’s  original  theory  into  a  

few  simple  computations.  The  way  Sharpe  did  this  was  by  identifying  all  the  

possible  sources  of  co-­‐variance  in  Markowitz’s  theory.  Sharpe  found  that  all  of  these  

sources  had  one  thing  in  common,  their  reliance  on  the  market  itself  (Bernstein  80).  

He  was  thus  able  to  identify  a  single  underlying  factor  behind  all  the  sources  of  

covariance  and  that  was  the  market  index.    Sharpe  asserts  that  when  an  investor  

purchases  any  given  asset  they  are  not  only  assuming  the  risk  associated  with  that  

stock,  they  are  also  assuming  the  risk  of  the  market  itself  (Bernstein  81).  By  only  

comparing  an  asset  to  the  market  rather  than  to  every  other  individual  asset,  Sharpe  

found  that  more  than  90%  of  the  variability  in  asset  price  could  be  accounted  for  by  

variations  in  a  market  index  such  as  the  S&P  500.  This  theory’s  debut  coincided  with  

the  release  of  the  first  IBM  desktop  computers.  With  the  simplified  model,  a  series  of  

calculations  that  would  have  taken  33  minutes  with  the  full  Markowitz  model  could  

now  be  performed  in  less  than  30  seconds.  This  made  the  model  far  more  accessible,  

with  many  fewer  calculations  and  far  less  required  computer  time  (Bernstein  83).  

Benjamin  Weimer                                                                                11  

  Sharpe  made  another  gigantic  leap  in  quantitative  finance  using  his  

simplified  model  and  a  seemingly  obvious  idea  everyone  before  him  had  

overlooked.  Sharpe  introduced  the  concept  of  holding  cash  into  his  model  and  found  

that  this  caused  profound  results.  At  first  glance  this  seems  trivial,  but  the  

introduction  of  an  asset  that  had  zero  risk  and  a  guaranteed  return  had  a  great  

effect.  With  the  concept  of  cash  introduced,  Sharpe  sought  to  calculate  the  optimal  

portfolio,  and  he  found  that  there  was  only  one  truly  optimal  portfolio  (Bernstein  

84).  Before  this  time,  Markowitz  had  described  the  Efficient  Frontier  that  contained  

optimized  portfolios  for  various  risk  levels.  Sharpe  found  only  one  portfolio  that  had  

the  highest  profit  to  risk  ratio  given  the  ability  to  withhold  cash.  A  conservative  

investor  could  therefore  invest  in  this  portfolio,  but  keep  most  of  his  money  in  cash.  

A  more  ambitious  investor,  on  the  other  hand,  could  invest  in  the  same  portfolio;  

however,  if  she  was  not  satisfied  with  the  risk  level  she  could  “borrow  funds  in  

order  to  purchase  even  greater  amounts  of  a  portfolio  than  her  funds  will  allow.3”  

This  overturned  the  notion  previously  held  that  a  portfolio  had  to  be  custom  

tailored  to  each  client.  Instead  the  data  showed  that  there  was  only  one  “perfect”  

portfolio.  Perhaps  the  most  startling  of  Sharpe’s  revelations  was  that  that  perfect  

portfolio  was  the  market  itself.  Investing  in  a  portfolio  that  perfectly  reflected  the  

market  was  the  most  efficient  of  all  portfolios  (Bernstein  86).  

  Bachelier,  Markowitz,  Osbourne  and  Sharpe  were  the  pioneers  of  efficient  

markets,  but  their  ideas  were  often  ignored  because  none  of  them  had  real  

experience  trading  in  the  pits  of  Wall  Street.  The  only  way  for  their  ideas  to  gain                                                                                                                            3  This  is  an  investment  strategy  known  as  leverage  in  which  an  investor  borrows  money  in  order  to  advance  their  market  position.  

Benjamin  Weimer                                                                                12  

main  stream  acceptance  would  be  to  construct  a  bridge  connecting  the  theoretical  

with  the  practical,  introducing  these  revolutionary  conceptual  ideas  to  the  day  to  

day  world  of  investment  banking.  That  bridge  would  come  with  Paul  Samuelson.  

Samuelson  was  a  professor  at  the  Harvard  School  of  Economics,  famous  for  his  

textbook,  Economics,  published  in  1948.  Samuelson  left  Harvard  though  for  a  

chairman  position  at  the  fledgling  Sloan  School  of  Management  at  MIT  (Bernstein  

112).  Samuelson  built  on  the  foundation  laid  by  his  predecessors’  work  on  the  

randomness  of  markets,  but  first  he  sought  to  explore  the  true  theory  of  value.  More  

specifically,  Samuelson  explores  the  link  between  an  asset’s  price  and  its  intrinsic  

value.  He  concluded  that  there  really  is  no  such  thing  as  inherent  value,  and  the  best  

estimate  of  the  illusive  value  is  the  price  itself,  once  again  agreeing  with  Bachelier  

(Bernstein  117).  Samuelson  went  on  to  claim  that  all  available  information  about  

the  future  is  already  factored  into  the  price  of  a  stock.  With  regard  to  this  he  wrote,  

   We  would  expect  people  in  the  marketplace,  in  pursuit  of  avid  and  intelligent  self-­‐interest,  to  take  account  of  those  elements  of  future  events  that  in  a  probability  sense  may  be  discerned  to  be  casting  shadows  before  them  (Because  past  events  cast  “their”  shadow  after  them,  future  events  can  be  said  to  cast  their  shadows  before  them).  (Samuelson)    

Samuelson  in  many  ways  reiterated  the  claims  of  his  predecessors,  but  his  main  role  

in  the  development  of  quantitative  finance  is  that  of  an  ambassador  linking  the  

theoretical  and  practical  -­‐-­‐  the  ivory  towers  to  the  banks  on  Wall  Street.  Samuelson’s  

book,  Foundations  of  Economic  Analysis,  was  the  first  work  in  theoretical  

quantitative  finance  to  reach  a  widespread  audience  on  Wall  Street  (Bernstein  124).  

Benjamin  Weimer                                                                                13  

  Samuelson,  et  al.  complimented  each  other  in  their  research,  yet  they  still  

stood  alone  as  individual  pieces  of  a  much  greater  whole.  It  was  not  until  Eugene  

Fama  entered  the  field  that  they  were  united  into  a  unified  theory  (Bernstein  126).  

Fama’s  dissertation,  “  The  Behavior  of  Stock  Market  Prices”  was  a  hugely  

disseminated  piece,  published  in  its  full  70-­‐page  glory  in  the  Journal  of  Business  in  

January  1965.    Fama  presented  evidence  for  the  advances  that  came  before  him  in  a  

more  approachable  manner  than  ever  before.  His  later  works  united  these  disparate  

theories  into  the  bedrock  of  modern  financial  theory,  the  Efficient  Market  

Hypothesis.  

The  Efficient  Market  Hypothesis  

  Eugene  Fama’s  Efficient  Market  Hypothesis  has  come  to  be  known  as  the  

bedrock  of  modern  finance.  It  has  enjoyed  intellectual  dominance  as  a  result  of  its  

overwhelming  simplicity  and  application  (Malkiel  2).  The  whole  concept  of  efficient  

markets  is  grounded  on  a  basic  premise  first  introduced  by  Louis  Bachelier.  This  

premise  is  that  the  current  price  of  an  asset  reflects  all  available  information  

regarding  the  current  value  of  that  asset,  as  well  as  any  information  regarding  its  

anticipated  movements.  Fama  brilliantly  articulated  this  central  tenets  of  the  

Efficient  Market  Hypothesis  when  he  wrote,    

In  an  efficient  market,  competition  among  the  many  intelligent  participants  leads  to  a  situation  where,  at  any  point  in  time,  actual  prices  of  individual  securities  already  reflect  the  effects  of  information  based  both  on  events  that  have  already  occurred  and  on  events  which,  as  of  now,  the  market  expects  to  take  place  in  the  future.  In  other  words,  in  an  efficient  market  at  any  point  in  time  the  actual  price  of  a  security  will  be  a  good  estimate  of  its  intrinsic  value.  (Fama  386)  

Benjamin  Weimer                                                                                14  

 Fama  described  a  concept  known  as  Informational  Incorporation.  This  is  the  process  

by  which  new  information  gets  incorporated  into  an  asset’s  price.  As  new  

information  regarding  earnings,  corporate  expansion,  new  products  entering  the  

markets,  etc.  reaches  investors,  the  market  will  adjust  to  account  for  these  events  

(Birau  1531).  The  individuals  who  Fama  refers  to  above  as  “intelligent  participants”  

became  known  as  “hungry  piranhas.”  These  piranhas  are  constantly  gobbling  up  

new  information  as  if  it  was  fresh  meat  (Patterson  84).  The  fact  that  intelligent  

investors  are  constantly  squabbling  to  react  first  to  new  information  is  what  renders  

the  market  wholly  efficient.  Any  moneymaking  opportunities  or  “inefficiencies”  are  

quickly  and  almost  instantaneously  decimated  in  this  race  to  react  (Malkiel  5).  

  The  view  of  an  immediate  and  direct  response  to  new  information  imbues  

certain  qualities  on  the  market  participants.  It  assumes  that  individual  investors  are  

rational  and  that  all  investors  have  access  to  the  same  information  in  approximately  

the  same  time  frame.  This  “piranha”  interpretation  of  the  Stock  Market  was  later  

described  by  complexity  theorist  Brian  Arthur  as  an  equilibrium  model.  In  this  

model  the  market  exists  in  a  state  of  equilibrium  and  once  new  information  is  

present,  the  market  jumps  to  a  new  equilibrium  state  in  a  similar  fashion  to  the  way  

electrons  jump  between  energy  levels  in  an  atom  (Arthur  2).    

  The  expression  of  markets  using  an  equilibrium  model  has  an  interesting  

consequence  for  predicting  future  market  behavior.  This  has  become  another  

central  pillar  of  the  Efficient  Market  Hypothesis;  market  events  are  statistically  

independent.  This  is  to  say  that  “yesterday’s  change  does  not  influence  today’s,  nor  

Benjamin  Weimer                                                                                15  

tomorrow’s”  and  as  a  result  market  changes  are  purely  stochastic  (Mandelbrot  11).  

This  is  built  on  Bachelier’s  concept  of  a  fair  bet.  However,  it  was  not  fully  

incorporated  into  the  Efficient  Market  Hypothesis  until  Maurice  Kendall4  conducted  

a  statistical  time-­‐series  analysis  examining  the  behavior  of  weekly  changes  in  

“nineteen  indices  of  British  industrial  stock,  and  in  spot  prices  for  cotton  and  wheat”  

(Fama  390).  After  this  in  depth  analysis,  Kendall  concluded  that:  

The  series  looks  like  a  wandering  one,  almost  as  if  once  a  week  the  Demon  of  Chance  drew  a  random  number  from  a  symmetrical  population  of  fixed  dispersion  and  added  it  to  the  current  price  to  determine  next  week’s  price.  (Kendall)  

 What  Kendall  described  is  an  entirely  random  system  in  which  there  appears  to  be  

no  connection  or  motivation  for  price  changes  to  occur.  Thus,  one  change  is  not  

dependent  on  the  last  (Fama  390).  

  Based  on  the  two  central  assumptions  of  informational  incorporation  and  

statistical  independence,  as  well  as  the  more  basic  assumptions  of  human  rationality  

and  universal  dispersal  of  information,  two  distinct  models  have  been  created  to  

explore  the  implications  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.  The  first  of  these  models  

is  the  ‘Fair  Bet’  Model,  or  the  Mandelbrot-­‐Samuelson5  Model  (Fama  389).  Within  

this  model,  the  concept  of  a  fair  bet  is  introduced  to  explore  the  future  behavior  of  

the  market.  This  was  once  again  preempted  by  Bachelier  and  Sharpe,  but  was  not  

rigourized  mathematically  until  Paul  Samuelson  in  1965.  This  model  essentially                                                                                                                            4  Maurice  Kendall  was  a  renowned  statistician  from  the  London  School  of  Economics.  5  ‘The  Mandelbrot  -­‐  Samuelson  Model’  was  described  independently  by  Mandelbrot  in  “Forecasts  of  Future  Prices,  Unbiased  Markets,  and  Martingale  Models”  in  1966  and  by  Samuelson  in  “Proof  That  Properly  anticipated  Prices  Fluctuate  Randomly”  in  1965.  

Benjamin  Weimer                                                                                16  

uses  a  mathematical  simulation  of  a  coin  flip  to  dictate  whether  the  price  of  a  

security  will  go  up  or  down,  and  then  employs  a  Gaussian  Distribution6  to  describe  

the  magnitude  of  each  of  these  subsequent  changes  (Fama  391).  This  model  is  also  

occasionally  referred  to  as  the  Expected  Return  Model.    As  the  name  implies,  the  

model  can  also  be  described  using  the  expected  return  for  a  given  asset.  As  

Bachelier  observed  for  a  fair  bet    “the  mathematical  expectation  of  the  speculator  is  

zero”  (Bachelier).  This  goes  hand  in  hand  with  the  concept  of  a  fair  bet,  as  in  a  truly  

fair  bet,  the  speculator  should  win  50%  of  the  time  and  lose  50%  of  the  time.  

Therefore,  by  the  law  of  large  numbers  she  should  expect  an  average  return  of  zero  

in  the  long  run  (Patterson  53).  

  The  second  model  of  efficient  markets  is  known  as  the  Random  Walk  Model,  

and  was  pioneered  by  M.F.M.  Osbourne  at  the  Naval  Research  Laboratory  in  

Washington  State  (Osbourne).  This  model  is  often  viewed  as  a  special  case  of  the  

more  general  fair-­‐bet  model;  however,  Fama  argued  emphatically  in  his  1970  paper  

that  the  Random  Walk  Model  is  a  more  rigorous  representation  of  the  nature  of  

markets  (Fama  392).  Fama  explained  the  difference  in  the  two  models  when  he  

noted  that  “The  basic  model  of  market  equilibrium  is  the  ‘fair  bet’  expected  return  

model,  with  a  random  walk  arising  when  additional  environmental  conditions  are  

such  that  distributions  of  one-­‐period  returns  repeat  themselves  through  time”  

(Fama  396).  Essentially,  what  Fama  suggested  was  that  a  random  walk  occurs  when  

the  market  is  in  equilibrium  for  extended  periods,  and  the  random  movements  

begin  to  occur  more  evenly.  A  random  walk  dictates  small  random  changes  that  

                                                                                                                         6  Bell  Curve  

Benjamin  Weimer                                                                                17  

arise  at  relatively  even  intervals.  Since  this  model  is  a  special  case  of  the  ‘Fair-­‐Bet’  

Model,  it  applies  during  a  smaller  variety  of  market  behavior  than  the  Expected  

Return  Model.  

  The  moral  of  efficient  market  literature  is  that  the  market  is  so  efficient  in  

processing  new  information  that  there  is  no  way  for  any  single  investor  to  

consistently  “beat  the  market”  (Weatherall  156).  Due  to  the  fact  that  all  available  

information  is  already  incorporated  into  the  asset’s  price  and  all  pertinent  

information  is  available  to  all  participants,  the  Efficient  Market  Hypothesis  holds  

that  markets  cannot  be  beaten.  In  modern  finance,  the  control  group  in  any  study  is  

a  well-­‐diversified  portfolio  that  reflects  the  entirety  of  the  market7.  This  portfolio  is  

simply  bought  and  held.  What  the  Efficient  Market  Hypothesis  theorists  purport  is  

that  there  is  no  single  investment  strategy  that  has  consistently  and  unilaterally  

beaten  the  simple  “buy  and  hold”  strategy.  Thus,  information  is  readily  incorporated  

and  market  behavior  is  truly  random,  therefore  it  holds  that  markets  must  be  

efficient  (Malkiel  7).  

 The  Crumbling  Foundation  of  Efficiency  

  Today,  the  Efficient  Market  Hypothesis  is  the  bedrock  of  all  financial  analysis.  

It  is  the  underlying  model  used  by  hedge  funds  and  investment  banks  around  the  

world  to  manage  assets  and  is  used  by  insurance  companies  and  businesses  

everywhere  to  manage  risk  and  estimate  profits.  The  Efficient  Market  Hypothesis  

owes  its  universal  acceptance  to  its  astounding  simplicity  and  seemingly  unanimous  

                                                                                                                         7  This  is  the  strategy  behind  Index  Fund  investing.  

Benjamin  Weimer                                                                                18  

applicability.  This  was  most  certainly  the  case  in  the  1950’s  and  1960’s,  but  with  the  

introduction  of  the  computer  and  new  more  advanced  techniques  of  analysis  there  

has  been  a  flood  of  new  data  and  information  that  refutes  and  even  rejects  many  of  

the  central  tenets  of  the  Efficient  Market  Hypothesis  (Malkiel  3).  This  new  evidence  

has  fallen  into  three  general  groupings  that  encompass  a  wide  array  of  market  

phenomenon.    These  are  Market  Crashes,  Market  Trends  and  Patterns,  and  

Psychological  Factors  and  Principles.  

Market  Crashes  

  Perhaps  the  most  significant  and  often  overlooked  evidence  against  the  

Efficient  Market  Hypothesis  is  the  phenomenon  of  market  crashes  or  bubbles.  A  

stock  market  bubble  occurs  when  the  market  participants  drive  the  price  of  an  asset  

on  the  market  far  above  its  true  value  (Mandelbrot).  Once  the  market  realizes  that  

these  assets  are  wildly  overpriced,  the  bubble  abruptly  pops  resulting  in  

tremendous  financial  losses  and  often  causing  a  ripple  effect  felt  throughout  the  

economy.  Perhaps  the  most  well  known  of  these  bubbles  was  the  crash  that  

occurred  on  October  20,  1987.  This  day  is  often  referred  to  in  financial  literature  as  

“Black  Monday”  as  the  Dow  Jones  Industrial  Average  plummeted  by  “508  points  or  

22.6%.  This  drop  far  exceeded  the  12.8%  decline  on  the  notorious  day  of  October  

28,  1929,  which  is  generally  considered  the  start  of  the  Great  Depression”  (Metz).  

  The  Efficient  Market  Hypothesis  relies  on  a  predictive  tool  known  as  a  

normal  or  Gaussian  distribution.  This  model  describes  a  situation  in  which  68%  of  

market  changes  fall  within  one  standard  deviation  of  the  mean,  95%  fall  within  two  

standard  deviations,  and  99.7%  within  three  standard  deviations  of  the  mean.  What  

Benjamin  Weimer                                                                                19  

is  so  exceptional  about  ‘Black  Monday’  is  that  it  was  a  27-­‐standard-­‐deviation  event  

(Patterson  54).  That  means  that  the  odds  of  such  an  event  occurring  are  1  in  10  to  

the  160th  power.  Scott  Patterson  put  this  into  perspective  when  he  mused  that  “even  

if  one  were  to  have  lived  through  the  entire  20  billion  year  life  of  the  universe  and  

experienced  this  20  billion  times  (20  billion  big  bangs),  that  such  a  decline  could  

have  happened  even  once  in  this  period  is  a  virtual  impossibility”  (Patterson  54).  

  The  fact  that  such  a  decline  occurred  surely  does  not  refute  the  entirety  of  

the  Efficient  Market  Hypothesis;  however,  similar  events  occur  much  more  

frequently  than  the  normal  model  would  have  you  believe.  In  fact  these  market  

crashes  and  price  corrections  occur  with  some  frequency.  A  major  example  is  the  

recent  2008  subprime  mortgage  bubble,  which  prompted  David  Viniar,  the  CEO  of  

Goldman  Sachs,  to  note  that  “we  are  seeing  things  that  were  25-­‐standard-­‐deviation  

events,  several  days  in  a  row8”  (Patterson  238).  Other  commonly  cited  crashes  

include  the  LTCM  meltdown  in  19989,  the  Dot-­‐Com  Bubble,  the  Asian  Economic  

Crisis  of  1997,  the  Russian  Summer  of  1998,  and  the  China  Bubble  of  2008.  

According  to  the  Efficient  Market  Hypothesis,  each  of  these  events  is  a  statistical  

impossibility,  yet  they  all  occurred  (Mandelbrot).    

  Based  on  the  existence  of  crashes  and  their  inevitable  frequency,  it  is  clear  

that  the  normal  model,  which  essentially  precludes  the  possibility  of  any  large  

fluctuation,  does  not  fit  the  true  observable  nature  of  markets.  Crashes  raise  other  

concerns  with  regard  to  efficient  markets.  Patterson  noted  that  an  “offshoot  of  

market  efficiency  is  that,  it  essentially  makes  it  impossible  to  argue  that  a  market  is                                                                                                                            8  An  estimated  probability  of  1  in  10  to  the  60th  power  (Mandelbrot  4)  9  Estimated  probability  of  1  in  500  Billion  (Mandelbrot  4)  

Benjamin  Weimer                                                                                20  

mispriced  –  ever”  (84).  This  goes  all  the  way  back  to  Paul  Samuelson  who  wrote  that  

the  best  estimate  of  an  asset’s  value  was  the  current  market  price  of  its  stock  

(Samuelson).  If  market  prices  are  driven  not  by  a  company’s  value,  but  by  some  sort  

of  investor  stampede,  then  it  is  possible  for  a  single  rational  investor  to  more  

accurately  predict  the  future  price  of  a  stock  than  the  market  itself,  undermining  the  

very  foundation  of  market  efficiency.  

Market  Trends  and  Patterns  

  The  Efficient  Market  Hypothesis  dictates  that  all  market  changes  and  

fluctuations  are  entirely  random.  This  is  as  an  embodiment  of  a  principle  known  as  

statistical  independence  which  states  that  today’s  price  is  not  affected  by  

yesterday’s  price  and  consequently  does  not  affect  tomorrow’s  price.  This  is  one  of  

the  basic  assumptions  required  in  order  to  the  employ  the  normal  distribution  and  

was  introduced  by  Louis  Bachelier  in  his  original  thesis.  This  assumption  has  long  

been  taken  for  granted  in  numerous  kinds  of  statistical  modeling,  largely  because  it  

drastically  simplifies  the  calculations  required  to  analyze  the  data.  However,  there  is  

ample  evidence  to  reject  this  assumption  outright,  recognizing  a  widely  accepted  

economic  phenomenon  known  as  momentum.  

  In  finance,  momentum  works  just  as  it  does  in  physics,  like  a  particle,  once  

the  price  of  an  asset  starts  to  move,  it  often  continues  to  move  in  the  same  direction.  

Momentum  was  first  brought  into  mainstream  financial  theory  in  the  1990’s  when  

“Campbell  Harvey  of  Duke  University  studied  stock  exchanges  in  sixteen  of  the  

world’s  largest  economies.  He  found  that  if  an  index  fell  in  one  month,  it  had  slightly  

greater  odds  of  falling  again  in  the  next  month,  or,  if  it  had  risen,  greater  odds  of  

Benjamin  Weimer                                                                                21  

continuing  to  rise”  (Mandelbrot  98).  Harvey  also  found  that  if  a  stock  continued  to  

fall  for  two  months  there  was  an  even  greater  chance  that  it  would  fall  in  the  third  

month  and  so  on.  This  result  seems  almost  trivial  and  common  sense,  but  it  has  

vividly  profound  consequences  for  market  efficiency.  This  means  that  there  is  a  

connection  between  yesterday’s  price  and  today’s,  and  today’s  price  and  tomorrow’s  

price.  As  a  result,  markets  are  not  nearly  as  random  as  we  once  thought.  Harvey  was  

not  alone  with  these  findings.  In  1999,  researchers  Andrew  Lo  and  Craig  MacKinley  

found  short-­‐run  serial  correlations  between  successive  moves  in  the  same  direction  

that  allowed  them  to  reject  the  random  walk  assertion  of  the  Efficient  Market  

Hypothesis  (Lo  and  Mackinley).  Andrew  Lo,  Harry  Mamaysky  and  Jiang  Wang  then  

confirmed  this  result  using  different  methods  in  2000  (Lo  et  al.)    

  Thus,  momentum  plays  a  large  role  in  dictating  the  value  of  various  assets  in  

the  stock  market.  Momentum  is  at  play  in  the  construction  of  bubbles  and  at  play  in  

the  duration  of  extended  bull  markets.  However,  momentum  isn’t  the  only  force  at  

work  that  creates  non-­‐random  patterns  in  the  stock  market.  There  are  a  number  of  

“effects”  that  have  been  observed  as  characteristic  of  the  market.  The  most  widely  

recognized  of  these  is  the  P/E  effect  (Price  to  Earnings  Ratio).  Mandelbrot  

eloquently  described  this  effect  when  he  wrote:    

    Financial  Analysts  often  compare  a  stock  price  to  other  numbers  to  

help  decide  whether  it  is  expensive  or  cheap.  The  most  common  tool  is  the  price/earnings  ratio:  the  stock  price  divided  by  the  company’s  per  share  earnings.  Orthodox  theory  calls  this  a  waste  of  time;  P/E  should  be  meaningless.  In  fact,  several  studies  have  found,  stocks  with  high  P/E  ratios  tend  to  perform  worse  than  stocks  with  low  ratios.  

Benjamin  Weimer                                                                                22  

That  is,  of  course,  just  common  sense:  A  stock  for  which  you  overpay  from  the  start  is  less  likely  to  give  you  a  profit  (101).  

 

  The  P/E  effect  demonstrates  a  very  simple  flaw  in  the  fabric  of  the  Efficient  

Market  Hypothesis;  prices  cannot  truly  be  random  if  they  are  assumed  to  reflect  the  

value  of  the  asset  they  describe.  If  investors  are  rational,  they  will  anchor  the  prices  

on  characteristics  and  data  that  can  be  measured,  meaning  that  simple  calculation  

such  as  P/E  represents  an  anchor  around  which  future  prices  are  likely  to  center.  

  There  are  other  simple  effects,  which  can  be  seen  in  the  market  that  manifest  

in  other  forms.  One  of  these  is  the  January  Effect,  which  quite  simply  is  “a  clear  

tendency  of  the  market  to  rally  every  January”  (Malkiel  12).  This  essentially  

demonstrates  that  markets  tend  to  stagnate  in  December  for  a  large  comeback  after  

the  first  of  the  year.  This  effect  is  quite  simple  and  purely  common  sense  as  it  

follows  closely  with  tax  deadlines  and  periods  of  high  consumer  activity,  but  it  

demonstrates  another  measurable  inefficiency  in  the  market.  The  presence  of  these  

effects  and  trends  along  with  clear  evidence  for  momentum  proves  that  markets  are  

not  wholly  random  and  that  independence  cannot  be  taken  for  granted.  Without  the  

assumptions  of  independence  and  randomness,  the  theory  of  Efficient  Markets  has  

no  grounding,  and  thus  can  be  wholly  rejected.  

Psychological  Factors  and  Principles  

  Perhaps  the  most  basic  of  all  the  underlying  assumptions  of  the  Efficient  

Market  Hypothesis  is  human  rationality.  The  Efficient  Market  Hypothesis  assumes  

that  humans  are  capable  of  always  making  rational  and  logical  decisions.  Research  

conducted  by  Daniel  Kahneman,  a  Senior  Scholar  at  Princeton  University  and  the  

Benjamin  Weimer                                                                                23  

father  of  Behavioral  Economics,  argued  the  contrary.  While  humans  are  capable  of  

rational  decisions,  our  brains  employ  cognitive  biases  and  simplifying  heuristics  to  

surmount  many  of  the  challenges  we  face  on  a  daily  basis.  The  first  of  these  

psychological  biases  is  known  as  the  Anchoring  Effect.  The  Anchoring  Effect  occurs  

when  people  consider  a  particular  value  for  an  unknown  quantity  before  estimating  

that  value.  What  this  means  is  that  if  a  person  is  exposed  to  a  random  number  

before  estimating  a  quantity,  their  answer  is  measurably  more  likely  to  be  anchored  

near  the  random  value.  This  has  an  interesting  affect  on  stock  market  valuations.  

While  at  face  value  it  appears  that  stock  prices  reflect  only  an  asset’s  estimated  

worth,  Kahneman  found  that  the  future  price  is  disproportionately  affected  by  the  

current  price,  even  if  the  current  price  does  not  reflect  the  true  value  of  the  

company.  Once  again,  this  shows  that  the  ‘intelligent’  participants  are  not  wholly  

rational  and  that  price  changes  are  in  no  way  independent  (Kahneman  119).  

  Another  of  these  simplifying  heuristics  explored  by  Kahneman  is  the  

Availability  Heuristic.  This  heuristic  is  that  when  faced  with  a  difficult  decision  or  

question,  our  minds  often  subconsciously  substitute  an  easier  question  or  problem  

in  place  of  the  more  difficult  one.  Kahneman  uses  an  anecdotal  example  to  explore  

the  effects  of  the  Availability  Heuristic:  

Many  years  ago  I  visited  the  chief  investment  officer  of  a  large  financial  firm,  who  told  me  that  he  had  just  invested  some  tens  of  millions  of  dollars  in  the  stock  of  the  Ford  Motor  Company.  When  I  asked  how  he  had  made  that  decision,  he  replied  that  he  had  recently  attended  an  auto  show  and  had  been  impressed.  “Boy,  do  they  know  how  to  make  a  car!”  was  his  explanation  (12)  

 

Benjamin  Weimer                                                                                24  

  Here  Kahneman  highlighted  the  Availability  Heuristic  in  action.  A  

presumably  high-­‐ranking  investor  relies  on  his  anecdotal  experience  rather  than  

using  any  kind  of  data  to  manage  his  massive  investment.  The  investor  simply  

substituted  the  question  of  ‘Should  I  invest  in  Ford?’  with  ‘Do  I  like  Ford?’  This  sort  

of  substitution  takes  place  in  the  human  decision  making  process  all  the  time,  and  

often  unconsciously.  There  are  numerous  other  simplifying  heuristics  that  our  

minds  employ  to  tackle  the  difficult  decisions  that  we  must  face  on  a  regular  basis,  

particularly  when  it  comes  to  investments.  Thus,  Kahneman  argued  that  it  is  unfair  

to  assume  that  market  participants  are  rational,  when  many  of  the  decisions  that  

they  make  are  nonsensical  and  illogical  (Kahneman  7).  

  Today,  there  is  overwhelming  evidence  to  refute  the  Efficient  Market  

Hypothesis.  Market  crashes  and  bubbles  make  it  clear  that  the  normal  model  does  

not  accurately  describe  the  nature  of  markets.  Effects  and  trends  disprove  the  

assumptions  of  randomness  and  statistical  independence,  and  behavioral  economics  

contradicts  the  concept  of  universal  human  rationality.  With  the  pillars  and  

foundation  of  the  Efficient  Market  Hypothesis  crumbling,  it  is  time  for  the  financial  

community  to  turn  to  a  new  model,  one  that  will  accurately  reflect  the  true  behavior  

of  markets  while  also  taking  into  account  the  prevalence  of  market  crashes,  periodic  

trends  in  prices  and  a  lack  of  general  rationality.  In  fact,  such  a  theory  exists  and  is  

gaining  steam  in  some  circles  within  the  financial  world.  This  theory  is  known  as  the  

Fractal  Market  Hypothesis.  

 

 

Benjamin  Weimer                                                                                25  

Chaos  in  Context  

  The  Fractal  Market  Hypothesis  is  an  emerging  alternative  to  the  Efficient  

Market  Hypothesis.  While  the  latter  is  based  upon  the  laws  and  rules  of  traditional  

statistics  and  calculus,  the  Fractal  Market  Hypothesis  is  based  on  the  laws  of  non-­‐

linearity,  Chaos  and  Complexity  theories.  In  relatively  calm  periods  of  market  

behavior  both  the  Fractal  Market  Hypothesis  and  Efficient  Market  Hypothesis  

produce  similar  predictions  with  regard  to  direction  and  magnitude  of  possible  

changes.  The  real  disparities  among  the  theories  are  exposed  as  markets  become  

more  turbulent  (Mandelbrot).  As  the  equilibrium  upon  which  the  Efficient  Market  

Hypothesis  is  grounded  begins  to  erode,  the  fluctuations  and  movements  of  the  

market  become  non-­‐continuous  and  in  essence  chaotic.  Unlike  the  Efficient  Market  

Hypothesis,  the  Fractal  Market  Hypothesis  is  designed  to  describe  the  extreme  

behavior,  which  was  simply  regarded  as  an  outlier  under  traditional  theory.  The  

Fractal  Market  Hypothesis  is  able  to  account  for  this  vast  variety  of  behavior  

because  of  its  foundation  in  Chaos  Theory  and  Fractal  Geometry.  

  Leonard  Smith,  a  Chaostician  at  the  London  School  of  Economics,  defined  

Chaos  Theory  simply  as,  “the  study  of  the  way  tiny  changes  in  the  way  things  are  

now  can  have  enormous  consequences  in  the  future”  (Smith  1)  Essentially,  Chaos  

argues  that  minute  and  seemingly  infinitesimal  changes  now  will  grow  

exponentially  in  the  future.  This  principle  is  most  vividly  typified  by  the  question  of  

the  butterfly.  Since  the  birth  of  Chaos  Theory,  the  Butterfly  Effect  has  served  as  the  

quintessential  question  behind  the  whole  of  the  theory.  Can  the  flap  of  a  butterfly  

Benjamin  Weimer                                                                                26  

wing  in  Oklahoma  cause  a  typhoon  in  the  Philippines?  The  simple  answer  is  that  we  

don’t  know,  how  could  we  (Gleick)?  

  Chaos  Theory  really  began  to  gain  widespread  acceptance  in  the  early  1950’s  

as  meteorology  was  becoming  more  of  a  quantitative  science  (Gleick).  Today,  Chaos  

and  the  related  theory  of  Complexity  have  become  major  factors  in  all  fields  of  

science,  and  we  see  the  profound  results  of  Chaos  every  single  day.  We  have  all  been  

frustrated  when  the  weatherman  assures  us  that  Saturday  will  be  a  clear  and  sunny  

day,  but  it  turns  out  to  be  a  dreary,  rainy  day.  How  can  the  weatherman,  with  their  

multimillion-­‐dollar  models,  be  wrong  more  often  that  they  are  right?  It  is  simply  

because  of  Chaos.  Today’s  weather  models  take  into  account  as  many  as  10,000,000  

variables  from  air  pressure  and  surface  temperature  to  ionization  levels  in  the  

upper  stratosphere.  With  all  this  data,  how  can  they  be  wrong?  Well,  each  of  these  

variables  can  only  be  measured  to  a  finite  certainty,  for  the  sake  of  example,  say  

nine  decimal  places.  Every  number  from  the  10th  decimal  on  now  becomes  what  we  

call  uncertainty.  As  the  model  progresses  this  uncertainty  grows  exponentially  so  

our  weather  predictions  for  tonight  are  going  to  be  relatively  accurate  and  the  same  

for  tomorrow,  but  as  we  move  further  and  further  out  in  time,  this  uncertainty  

grows  rapidly  until  our  model  no  longer  has  the  power  to  predict  with  any  accuracy.  

Thus,  because  we  cannot  measure  the  movement  of  air  caused  by  the  flap  of  every  

butterfly’s  wing  we  can  never  make  truly  accurate  long-­‐term  predictions  about  the  

weather  (Smith  45).    

  Chaos  Theory  is  a  powerful  tool  for  predicting  weather  and  modeling  

turbulent  fluids,  but  it  is  also  uniquely  applicable  to  the  analysis  of  prices  in  the  

Benjamin  Weimer                                                                                27  

context  of  financial  exchanges  for  a  myriad  of  reasons.  The  first  of  these  is  simply  

that  the  price  of  a  stock  only  changes  when  someone  wants  to  purchase  it.  That  is  

fairly  simple  and  something  we  take  for  granted,  yet  the  Efficient  Market  Hypothesis  

views  the  movement  of  stocks  as  a  continuous  curve,  moving  fluidly  from  one  price  

to  the  next.  Logically  this  is  absurd.  Prices  do  not  move  continuously  from  one  price  

to  the  next,  they  move  in  leaps  and  bounds.  Prices  jump  from  one  value  to  the  next.  

In  Chaos  Theory,  the  assumption  of  continuity  that  underlies  calculus  and  modern  

statistical  analysis  techniques  is  shunned  (Birau  1530).    Instead,  Chaotic  Systems  

are  what  is  called  a  deterministic  non-­‐linear  system.  This  means  that  each  set  of  

present  conditions  determines  the  next  set  and  so  on.  This  is  to  say  that  the  next  

value  in  a  system  is  determined  solely  by  the  current  price  and  some  random  

fluctuation.  Thus,  prices  can  jump  and  fluctuate  between  disparate  values  just  as  

they  do  in  reality  (Birau  1530).    

  Another  integral  feature  of  a  chaotic  system  is  the  ability  of  the  system  to  

evolve  or  to  react  to  its  own  changes.  Jonathan  Blackledge  described  this  brilliantly  

when  he  wrote,  

In  complex  systems,  the  elements  constantly  adapt  to  the  aggregate  pattern  they  co-­‐create.  As  the  components  react,  the  aggregate  changes,  as  the  aggregate  changes  the  components  react  anew  (12).    

What  Blackledge  described  is  a  system  in  which  the  individual  parts  that  constitute  

a  greater  whole  each  react  independently  to  the  reality  of  the  whole  that  they  

together  create.  At  first  a  system  such  as  this  is  hard  to  visualize,  but  there  is  no  

better  example  of  this  kind  of  behavior  than  the  financial  markets  themselves.  A  

Benjamin  Weimer                                                                                28  

Financial  Market  is  in  essence  an  aggregate,  it  is  a  price  generating  and  data  

churning  machine  comprised  of  innumerable  components.  These  components  are  

the  market  participants  (Ongkrutaraska  2).  These  are  the  Hedge  Funds,  the  

Investment  Banks,  and  the  personal  investors  who  work  in  tandem  to  generate  the  

numbers  and  the  prices,  which  are  associated  with  Financial  Markets.  These  

participants  do  not  share  some  kind  of  higher  consciousness;  rather  they  each  think  

independently,  forming  their  own  strategies  and  placing  buy  and  sell  orders  based  

solely  on  the  market  in  the  present.  They  are  in  essence  reacting  to  the  market,  of  

which  they  are  a  part  (Arthur).      

  Attempts  to  model  the  whole  of  a  system  based  on  the  behavior  of  the  

individual  components  is  called  agent-­‐based  modeling,  in  which  each  participant  or  

component  becomes  an  “agent”.  Attempts  have  been  made  to  model  financial  

markets  in  such  a  manner;  however,  even  with  three  or  four  types  of  agents,  the  

models  collapse  as  the  behavior  becomes  immensely  complex  (Farmer).  This  vividly  

mirrors  the  market  itself  as  it  is  constantly  evolving,  developing  new  and  innovative  

strategies  and  re-­‐evaluating  prices  constantly.  Unlike  the  traditional  efficient  

models,  which  treat  the  market  as  a  stagnant  entity  based  on  enumerated  principles  

and  governed  by  discernable  laws,  the  Fractal  Market  Hypothesis  allows  for  this  

constant  evolution  and  change.  Rather  than  adhering  to  the  false  assumption  of  

equilibrium,  the  Fractal  Market  Hypothesis  accounts  for  the  tumultuousness  and  

uncertainty  that  plagues  our  world.    

  One  way  in  which  Chaos  Theory  is  able  to  account  for  this  vast  uncertainty  

and  variation  is  through  the  employment  of  modified  distributions.  The  Efficient  

Benjamin  Weimer                                                                                29  

Market  Hypothesis  is  built  around  the  Normal  Model  because  it  is  convenient  and  

because  there  is  a  vast  array  of  statistical  tools  to  analyze  this  distribution.  

However,  we  have  seen,  most  notably  in  the  form  of  market  crashes,  that  this  

distribution  does  not  accurately  reflect  the  reality  of  the  markets  as  major  changes  

and  events  occur  much  more  frequently  than  is  purported  by  the  models.  

Mandelbrot  proposed  a  different  chaotic  distribution  known  as  the  Levy-­‐Stable  

Distribution  (Weatherall  70).  This  distribution  is  pictured  below  superimposed  

upon  a  Normal  Distribution  curve.    

 

  As  one  can  tell  from  the  image,  the  Levy-­‐Stable  distribution  is  more  pinched  

in  the  middle,  meaning  that  this  model  predicts  more  small  changes  than  the  normal  

model  does.  Additionally,  the  Levy-­‐Stable  distribution  has  wider  tails  as  one  moves  

further  from  the  center.  These  are  the  most  important  features  of  the  distribution  as  

these  allow  more  events  to  occur  within  the  tails  of  the  model.  Thus,  the  likelihood  

Benjamin  Weimer                                                                                30  

of  extreme  changes  or  crashes  occurring  is  greater  in  a  system  governed  by  the  

Levy-­‐Stable  model  than  one  governed  by  the  Normal  Distribution.  This  more  

accurately  reflects  the  reality  of  the  market.  Weatherall  noted  that,  “The  differences  

between  Osbourne’s  model  and  Mandelbrot’s  can  hardly  be  dismissed,  but  they  

become  important  only  in  the  context  of  extreme  events”  (72).  Thus,  the  fat  tails  are  

the  key  feature  that  differentiates  these  two  models.  Unlike  the  normal  distribution,  

there  is  not  a  plethora  of  statistical  tools  that  one  can  utilize  to  analyze  a  Levy-­‐stable  

distribution.  Therefore,  we  must  turn  back  to  Chaos  Theory  for  the  tools  necessary  

to  analyze  this  kind  of  chaotic  and  “wild  uncertainty”  (Mandelbrot).  There  is  only  

one  mathematical  tool  capable  of  capturing  the  true  complexity  and  beauty  of  Chaos  

in  a  simple  form.  These  are  fractals,  the  tools  of  Chaos,  capable  of  portraying  such  

complex  systems  and  capable  of  modeling  and  describing  our  financial  markets  in  

their  full  complexity.  

A  Fractal  Primer  

  Fractals  are  complex  mathematical  objects  comprised  of  infinite  degrees  of  

complexity.  Mandelbrot,  often  considered  the  father  of  Fractal  Geometry,  defined  a  

fractal  as  “a  geometric  shape  that  can  be  separated  into  parts,  each  of  which  is  a  

reduced-­‐scale  version  of  the  whole”  (Mandelbrot).  Essentially,  what  Mandelbrot  

wrote  is  that  a  fractal  is  a  shape  or  pattern  that  can  be  regarded  as  self-­‐similar.  This  

is  to  say  that  each  part  is  a  reflection  of  the  whole.  Mathematically  speaking,  the  

construction  of  Fractals  is  incredibly  simple.  Each  fractal  begins  with  an  initial  

condition;  this  is  a  shape  or  an  object  that  represents  the  base  of  the  fractal.  Then  a  

Benjamin  Weimer                                                                                31  

simple  process,  or  a  generator,  is  repeatedly  applied  to  the  initial  condition  in  order  

to  create  the  fractal.  An  example  is  shown  below.  

 

In  the  picture  above  there  are  four  unique  fractals;  the  image  on  the  left  is  the  initial  

condition,  which  is  a  basic  shape  from  which  each  fractal  is  derived.  As  you  move  to  

the  right  you  can  see  additional  iterations  of  the  generator.  In  the  first  example,  we  

begin  with  a  hexagon,  and  our  generator  is  to  replace  each  smooth  edge  with  three  

sides  of  a  hexagon  after  each  iteration.  In  a  true  fractal,  this  pattern  of  iteration  

would  continue  indefinitely  so  that  if  you  were  to  take  a  microscope  to  the  edge  of  

the  resulting  shape,  no  matter  how  far  one  zoomed  in  the  same  pattern  would  

emerge.  This  property  is  known  as  self-­‐similarity.  The  beauty  of  self-­‐similarity  can  

be  most  vividly  seen  in  the  fourth  fractal  example  in  the  above  picture  (Weatherall  

55).  If  you  were  to  separate  the  three  largest  triangles  in  the  resulting  fractal  on  the  

right,  each  piece  would  be  perfectly  identical  to  the  whole.  This  is  shown  below.  

Benjamin  Weimer                                                                                32  

 

As  one  can  see  in  the  above  image,  if  one  were  to  replace  the  original  shape  on  the  

left  with  any  one  of  the  resulting  pieces  on  the  right,  there  would  be  no  difference.  It  

would  be  perfectly  identical  to  the  whole  due  to  the  fractal’s  self-­‐similarity.  

  Fractals  do  not  only  exist  in  these  simplistic  drawings  previously  presented.  

Fractals  exist  in  nature  and  are  observed  on  a  daily  basis.  Perhaps  the  most  

noteworthy  example  of  fractals  in  nature  is  the  shape  of  coastlines.  Self-­‐Similarity  is  

not  always  as  perfect  or  as  strict  as  it  was  in  the  triangles  above,  self-­‐similarity  

applies  to  all  kinds  of  phenomena  (Weatherall  55).  In  the  case  of  a  coastline,  the  

coast  itself  can  be  viewed  on  numerous  scales.  When  viewed  from  space,  the  coast  

appears  rough;  it  contains  inlets  and  peninsulas,  rocky  shores  and  beaches.  As  we  

look  closer,  say  from  an  airplane,  we  see  that  these  inlets  have  inlets  of  their  own,  

and  the  peninsulas  are  not  straight  edged,  but  jagged  like  the  coast  itself.  Then  as  we  

stand  on  the  coast,  we  can  examine  even  further  and  note  that  even  these  tiny  inlets  

are  comprised  of  rocks,  some  protruding  and  the  water  sneaking  between  others.  

Even  as  we  stand  on  the  shore,  we  see  the  same  level  of  roughness  in  the  coastline  

that  we  see  from  space.  Therefore  the  coastline  is  self-­‐similar,  thus  fractal.  The  same  

Benjamin  Weimer                                                                                33  

principle  applies  to  mountain  ranges,  clouds  and  even  the  bark  of  trees.  Fern  leaves,  

forests,  even  the  distribution  of  galaxies  in  the  universe  are  governed  by  fractal  

patterns  (Mandelbrot).  

  Objects  and  shapes  are  not  the  only  things  that  can  be  represented  by  

fractals.  Time  series10  can  also  display  fractal  patterns;  in  fact,  one  of  the  very  first  

widely  accepted  examples  of  a  fractal  pattern  was  described  by  Harold  Edwin  Hurst  

in  his  research  on  the  Nile  River  (Weron  and  Weron  289).  Armstrong  wrote  “in  

1951,  Hurst  defined  a  method  to  study  natural  phenomena  such  as  the  flow  of  the  

Nile  River.  He  discovered  this  process  was  not  random,  but  patterned”  (Armstrong  

et  al.).  Hurst  spent  sixty-­‐five  years  in  the  Nile  valley  attempting  to  answer  a  question  

that  had  plagued  Egyptians  since  the  time  of  the  pharaoh,  why  does  the  Nile  flood?  

There  have  been  countless  explanations  from  the  will  of  the  gods  to  snow  melt  in  

the  southern  mountains.  Hurst  answered  this  by  instead  asking  a  simpler  question;  

how  does  it  flood?  To  find  an  answer,  Hurst  examined  the  records  that  plotted  the  

past  flooding  of  the  Nile.  He  also  examined  flood  records  for  other  rivers  around  the  

world  and  concluded  that  the  flooding  was  not  random.  Instead  it  followed  a  “biased  

random  walk  or  fractional  Brownian  motion”  (Ongkrutaraksa).  This  means  that  

each  year  was  not  independent,  if  there  was  a  big  flood  last  year  it  impacted  the  

probability  of  a  flood  this  year,  and  a  drought  last  year  influenced  the  probability  of  

a  drought  this  year.  Hurst  “defined  a  constant,  K,  which  measures  the  bias  of  the  

fractional  Brownian  Motion”  (Armstrong  et  al.).  Mandelbrot  later  changed  this  

constant  to  H  in  memory  of  Hurst.  Essentially  this  variable  dictates  the  amount  of                                                                                                                            10  A  time  series  is  a  sequence  of  data  points,  typically  consisting  of  successive  measurements  made  over  a  time  interval  (Imdadullah).  

Benjamin  Weimer                                                                                34  

“memory”  a  time  series  has.  An  H  value  of  .5  describes  a  truly  random  process,  

where  each  change  is  independent  of  the  previous  ones.  An  H  value  less  than  one  

indicates  what  is  known  as  anti-­‐persistency,  or  a  complete  lack  of  dependence,  

meaning  the  time  series  fluctuates  violently.  Worapot  Ongkrutaraksa11  noted  that  

on  the  other  hand  if  H  is  between  .5  and  1  “then  the  series  is  fractal.  The  distribution  

of  the  biased  random  walks  is  called  the  fractal  distribution”  (Ongkrutaraksa).  This  

means  that  there  is  “Long  Range  Dependence,”  therefore  if  there  was  a  large  flood  

last  year,  there  is  a  higher  probability  of  a  flood  this  year  and  inversely,  if  there  was  

a  drought,  there  is  a  higher  probability  of  a  drought  occurring  again.  In  essence,  the  

value  of  H,  or  the  Hurst  Exponent,  describes  the  smoothness  of  a  fractal  object  

created  by  the  series  (Armstrong  et  al.).  

  Fractals  are  geometric  and  mathematical  objects  that  display  roughness  and  

self-­‐similarity.  They  can  be  used  to  create  patterns  and  model  the  roughness  of  a  

coastline.  They  can  also  be  applied  to  modeling  Time-­‐Series,  gauging  the  forces  of  

dependence  and  creating  more  accurate  models  than  those  generated  by  a  true  

Random  Walk  Model.  This  analysis  can  be  applied  to  the  persistence  of  floods,  or  to  

the  future  movements  of  financial  assets  on  the  stock  market.  Fractals  allow  us  to  

examine  complex  chaotic  systems  in  their  full  intricacy.  Rather  than  wildly  

simplifying  our  calculations  to  fit  the  standard  tools  of  mathematics,  Fractals  allow  

us  to  more  accurately  represent  the  reality  of  a  system,  allowing  us  to  adapt  our  

models  to  reality,  rather  than  adapting  reality  to  our  models.  

                                                                                                                         11  Worapot  Ongkrutaraksa  is  lecturer  of  finance  at  Curtin  University  of  Technology  in  Perth,  Australia,  where  he  teaches  financial  statements  analysis  and  financial  modeling  (Ongkrutaraksa).  

Benjamin  Weimer                                                                                35  

The  Fractal  Market  Hypothesis       In  order  to  understand  the  Fractal  Market  Hypothesis,  one  must  first  

examine  the  how  and  why  of  markets?  How  do  markets  function  and  why  do  they  

form?  The  first  is  pretty  simple,  markets  form  so  that  the  individual  participants  or  

investors  can  openly  trade  and  exchange  stocks.  But  why  do  we  really  need  

markets?  Individuals  could  still  trade  stocks  without  the  NASDAQ  or  the  NYSE,  but  

no  one  would  know  how  much  a  stock  was  truly  worth,  and,  more  importantly,  if  

you  wanted  to  sell  an  asset,  you  would  not  always  be  able  to  find  a  buyer.  Inversely,  

if  you  wanted  to  buy  an  asset  you  would  not  always  be  able  to  find  a  seller.  What  

markets  do  is  create  a  liquid  selling  environment.  They  create  an  environment  

where  a  buyer  can  find  a  seller  and  vice  versa  (Peters  39).    

  Liquidity  is  immensely  important  to  the  functioning  of  markets  as  it  ensures  

that  stocks  can  be  traded  efficiently.  Liquidity  guarantees  that  investors  with  

different  investment  horizons  are  able  to  trade  seamlessly  with  each  other  and  that  

they  are  able  to  get  as  close  to  a  fair  price  as  possible  (Peters  41).  In  fact,  stocks  with  

high  liquidity,  meaning  stocks  that  are  trading  frequently  and  in  high  volumes,  often  

perfectly  mirror  the  estimated  value  and  profitability  of  the  company  whose  asset  it  

represents.  Market  ‘anomalies’  such  as  panics  and  stampedes  occur  during  times  of  

low-­‐liquidity.  This  means  that  there  is  an  imbalance  between  the  buyers  and  the  

sellers.  When  there  are  more  buyers  than  sellers,  supply  and  demand  dictates  that  

the  price  will  rise,  and  inversely,  if  there  are  more  sellers,  the  price  will  fall.  The  

worst  market  crashes  throughout  history  have  been  caused  by  this  imbalance,  a  

Benjamin  Weimer                                                                                36  

large  volume  of  individuals  wish  to  sell  an  asset  while  no  one  is  buying  it  back  

(Peters  42).  

  Oddly,  the  Efficient  Market  Hypothesis  mentions  nothing  of  liquidity.  It  

simply  says  that  prices  are  always  fair  in  times  of  both  high  and  low  liquidity.  As  a  

result  this  theory  is  unable  to  explain  stampedes  and  crashes,  the  very  behavior  that  

defines  the  market.  The  problem  with  this  view  as  Edgar  Peters12  noted  is  that,  

“when  lack  of  liquidity  strikes,  participating  investors  are  willing  to  take  any  price  

they  can,  fair  or  not”  (42).  It  is  essential  for  a  capital  market  model  to  account  for  

liquidity  because  markets  are  not  always  stable;  they  do  not  always  possess  that  

high  liquidity  which  is  assumed  in  the  Efficient  Market  Model.  

  Liquidity  in  the  markets  is  caused  by  investors  with  different  investment  

horizons.  Not  all  investors  have  the  same  time  scale;  a  pension  fund  may  have  an  

investment  horizon  of  twenty  years  while  a  day  trader  at  his  laptop  may  only  be  in  

the  market  for  five  or  ten  minutes.  It  is  important  to  note  that  not  all  investors  are  

homogenous.  Peters  noted  that  “some  traders  must  trade  and  generate  profits  every  

day.  Some  are  trading  to  meet  liabilities  that  will  not  be  realized  until  years  in  the  

future.  Some  are  highly  leveraged.  Some  are  capitalized”  (42).  Because  each  investor  

is  different,  they  have  different  goals  and,  as  a  result,  they  each  value  information  

differently.  The  day  trader  will  look  primarily  at  the  ticker  data  and  the  charts,  

looking  for  minute  trends  and  small  changes.  For  him,  the  goal  is  to  make  the  buy  at  

the  daily  low  and  to  sell  at  the  daily  high.  A  pension  fund  on  the  other  hand  is  not  as                                                                                                                            12  Edgar  Peters  is  a  Senior  Manager  of  Systematic  Asset  Allocation  for  PanAgora  Asset  Management  Inc.  He  is  also  the  author  of  Chaos  and  Order  in  the  Capital  Markets  and  Fractal  Market  Analysis.  These  books  are  two  of  the  most  influential  books  on  the  subject  of  Chaos  Theory  and  the  Fractal  Market  Hypothesis  (Peters).  

Benjamin  Weimer                                                                                37  

concerned  about  the  tiny  fluctuation.  They  would  instead  use  economic  indicators,  

earnings  reports,  tax  returns,  and  studies  of  the  economy  as  a  whole.  Each  investor  

values  his  own  brand  of  information,  uniquely  suited  to  his  personal  goals  and  

investment  objectives  (Peters  46).    

  In  1992,  the  mean  price  change  for  a  five-­‐minute  period  on  the  Dow  Jones  

Average  was  -­‐.000284  percent  with  a  standard  deviation  of  .05976  percent  (Peters  

42).  If  a  five  standard  deviation  drop  occurred  or  a  loss  of  .298516  percent  occurred,  

the  investor  with  a  five-­‐minute  investment  horizon  would  be  at  a  loss  and  if  this  

continued,  he  would  be  ruined.  A  more  long-­‐term  investor  with  a  weeklong  

investment  horizon  might  consider  this  drop  a  buying  opportunity.  For  this  investor,  

the  mean  change  is  .22  percent  with  a  standard  deviation  of  2.37  percent13.  For  this  

investor,  that  change  is  insignificant,  but  also  presents  an  opportunity  as  he  has  

sufficient  time  to  recover.  For  an  investor  with  an  even  longer  horizon,  this  event  

may  not  even  register  as  noteworthy  (Weron  289).    

  Liquidity  is  created  because  as  our  five-­‐minute  day  trader  panics  over  his  

loss,  the  weekly  investor  can  swoop  in  and  buy  his  shares  because  the  weekly  

investor  values  the  information  differently.  To  them,  this  is  not  a  major  change;  it  is  

simply  a  routine  fluctuation.  Weron14  wrote  that    

When  all  investors  with  different  horizons  are  trading  simultaneously  the  market  is  stable.  The  stability  of  the  markets  relies  not  only  on  a  random  diversification  of  the  investment  horizons  of  the  participants  

                                                                                                                         13  Based  on  data  gathered  over  a  ten  year  period  from  1983  to  1993  (Peters)  14  Rafael  Weron  is  an  economics  professor  and  senior  lecturer  at  the  Wroclaw  University  of  Technology.  He  has  done  extensive  research  in  the  fields  of  operations  research  and  agent-­‐based  modeling  (Weron)  

Benjamin  Weimer                                                                                38  

but  also  on  the  fact  that  the  different  horizons  value  the  importance  of  the  information  flow  differently  (292).  

    The  structure  of  the  market  is  considered  fractal  because  it  exhibits  the  self-­‐

similarity  discussed  previously.  Different  investment  horizons  all  exist  on  different  

scales,  yet  they  are  nearly  identical  to  each  other.  This  is  shown  visually  in  Appendix  

A.  For  each  time  horizon,  the  distributions  of  the  magnitudes  of  price  changes  are  

roughly  identical.  Certainly,  they  do  not  strictly  adhere  to  the  Levy-­‐stable  

distribution,  but  they  are  remarkably  close  (Blackledge  12).  Birau  stated  that  this  

concept  “is  not  a  rootless  abstraction  but  a  theoretical  reformulation  of  a  down-­‐to-­‐

earth  bit  of  market  folklore  –  namely  that  movements  of  markets  all  look  alike  when  

a  market  is  enlarged  or  reduced  so  that  it  fits  the  same  time  and  price  scale”  (1531).  

Birau  made  the  simple  observation  that  price  charts  when  stripped  of  their  scale  

and  title  all  look  identical.  It  is  nearly  impossible  to  tell  the  difference  between  a  

chart  of  today’s  fluctuation  and  a  chart  for  the  last  ten  years  of  movement.  This  is  

called  scale  invariance;  regardless  of  the  scale,  the  market  still  exhibits  the  same  

chaotic  structure  (Birau  1531).  

  This  fractal  nature  is  vastly  important  to  how  markets  function.  The  

variances  in  the  investment  horizons  are  what  creates  the  liquidity.  A  major  event  

on  a  short  time  horizon  is  contained  because  the  investors  on  a  longer  horizon  are  

able  to  purchase  the  asset,  creating  liquidity  and  restoring  order  to  the  market.  This  

fractal  structure  is  what  maintains  the  stability  of  the  market.  Weron  noted  

“instability  occurs  when  the  market  loses  its  fractal  structure  and  assumes  a  fairly  

uniform  investment  horizon”  (291).  This  is  what  causes  market  crashes,  the  most  

Benjamin  Weimer                                                                                39  

common  cause  of  which  are  periods  of  economic  or  political  crisis  during  which  “the  

long-­‐term  outlook  becomes  highly  uncertain”  (Peters  46).  During  these  periods,  the  

information  important  to  short-­‐term  investors  and  day-­‐traders  is  the  same  as  what  

is  important  to  banks  and  pension  funds.  These  long-­‐term  investors  are  forced  to  

rely  on  this  short-­‐term  information  because  the  long-­‐term  outlook  is  unknown.  

They  are  forced  to  utilize  the  only  information  available  to  them,  and  often  that  is  

minute-­‐by-­‐minute  data  fueled  largely  by  rumor  and  speculation.  When  the  fractal  

structure  collapses  into  a  single  time  horizon,  there  is  no  more  liquidity.  With  

everyone  trading  with  the  same  information,  they  are  all  valuing  the  stock  using  the  

same  criteria;  all  selling  at  the  same  time  without  an  investor  with  a  longer  time  

horizon  to  step  in  and  buy  in  order  to  restore  order  (Peters  48).  

  Another  result  of  the  fractal  structure  is  a  phenomenon  known  as  global  

determinism  and  local  randomness.  In  the  case  of  a  natural  fractal  object  such  as  a  

tree,  we  can  see  that  each  branch  is  a  scaled  down  representation  of  the  whole,  and  

each  smaller  branch  is  similar  to  the  larger  branches,  and  the  twigs  are  similar  to  

these  branches.  Yet  unlike  a  mathematical  fractal  such  as  the  ones  on  page  31,  the  

smaller  components  are  not  perfect  representations  of  the  whole.  This  is  because  

they  are  subject  to  random  variation.  There  are  uncontrollable  factors  that  dictate  

the  shape  of  each  branch,  yet  the  whole  remains  the  same.  Christmas  trees  in  

particular  are  all  roughly  the  same  shape  and  a  young  child  will  often  draw  one  by  

placing  a  large  triangle  on  top  of  a  smaller  rectangle.  This  is  roughly  the  shape  of  the  

real  thing,  yet  the  branches  and  leaves  of  every  tree  are  unique;  each  one  is  

different,  yet  as  a  whole  each  one  displays  the  same  general  shape  and  orientation.  

Benjamin  Weimer                                                                                40  

  The  same  concept  applies  in  the  context  of  financial  markets.  On  a  smaller  

time-­‐horizon,  technical  analysis  reigns  supreme.  Investors  examine  charts,  following  

these  patterns  and  following  other  investors.  As  a  result,  for  these  shorter  time  

horizons,  technical  factors  and  liquidity  become  vastly  important  and  crowd  

behavior  dominates.  As  the  investment  horizon  grows,  these  factors  become  less  

important  and  are  replaced  by  fundamental  and  economic  factors,  such  as  earnings  

reports  and  the  state  of  the  economy.  Thus,  as  the  time-­‐horizons  extend  outward,  

the  market  becomes  more  deterministic,  no  longer  dominated  by  irrational  crowd-­‐

behavior,  but  rather  “rising  and  falling  as  earnings  rise  and  fall”  (Peters  48).    

  The  fractal  structure  of  various  investment  horizons  means  that  information  

is  not  immediately  incorporated  into  an  asset’s  value  as  the  Efficient  Market  

Hypothesis  purports,  but  rather  information  is  assimilated  differently  on  different  

investment  horizons.  Individuals  value  information  differently  and  thus  different  

individuals  may  incorporate  the  same  information  in  different  ways.  Markets  are  

not  in  equilibrium  like  the  Efficient  Market  Hypothesis  would  have  you  believe,  but  

rather  they  are  complex  and  constantly  evolving  systems.  They  are  not  comprised  of  

a  cloned  rational  investor,  but  rather  composed  of  a  heterogeneous  mixture  of  long-­‐

term  and  short-­‐term  investors  (Weron  291).  They  are  not  always  liquid,  but  rather  

liquidity  is  a  variable  that  itself  can  change.  The  Fractal  Market  Hypothesis  is  a  

model  of  Capital  Markets  that  can  describe  financial  markets  in  their  observable  

form  rather  than  simplifying  the  markets  to  fit  our  models.  The  fractal  structure  is  

vividly  apparent  upon  an  in  depth  analysis  of  observable  market  behavior,  and  is  

essential  to  how  markets  function.  The  Fractal  Market  Hypothesis  is  a  model  that  

Benjamin  Weimer                                                                                41  

allows  us  to  generate  tools  to  truly  describe  markets,  not  to  describe  abstractions  of  

markets,  which  is  all  the  Efficient  Market  Hypothesis  is  capable  of  doing.  

Conclusion  

  The  Fractal  Market  Hypothesis  uses  the  attributes  of  physical  fractals  such  as  

self-­‐similarity  and  scale  invariance  to  model  our  financial  markets  as  we  see  them.  

Today’s  flawed  and  outdated  model  of  finance  is  long  past  overdue  for  a  

replacement.  The  Efficient  Market  Hypothesis  was  the  pinnacle  of  its  day,  but  that  

day  has  long  since  passed.  The  Fractal  Market  Hypothesis  with  its  ability  to  account  

for  changes  in  liquidity  and  to  understand  the  market  at  times  of  non-­‐equilibrium  is  

the  model  of  the  future.  The  Fractal  Market  Hypothesis  is  not  widely  used  today  

because  the  computations  are  complex  and  the  added  intricacy  is  largely  

unnecessary  on  your  average  trading  day.  But  our  world  has  become  more  

connected,  a  terrorist  attack  in  Saudi  Arabia  can  shake  the  world’s  commodity  

markets  or  a  strike  in  Detroit  can  cause  the  stock  market  to  falter.  We  live  in  an  age  

of  growing  uncertainty,  an  age  where  political  turmoil  and  economic  upheaval  are  

common  place.    In  this  age  of  interconnectedness  and  crisis,  market  ‘anomalies’  are  

becoming  more  and  more  common.  The  tails  of  the  Bell  Curve  are  growing  fatter.  

  With  this  constant  threat  of  crisis  and  defeat,  the  financial  community  needs  

a  model  that  can  account  for  this  turbulence  in  the  market.  Bankers  need  a  model  

that  will  allow  them  to  make  short-­‐term  and  long-­‐term  decisions,  economists  need  a  

model  that  truly  explains  and  represents  the  markets,  and  government  regulators  

need  a  model  that  will  allow  them  to  understand  the  interactions  between  different  

Benjamin  Weimer                                                                                42  

investors  so  that  they  can  predict  and  mitigate  crashes  and  financial  disasters.  The  

Fractal  Market  Hypothesis  is  the  basis  for  that  model.  The  Fractal  Market  

Hypothesis  is  a  theoretical  framework  upon  which  a  new  generation  of  tools  will  be  

created.  Today,  very  few  investors  use  these  tools,  yet  the  supply  is  growing.  

Researchers  such  as  Didier  Sornette15  have  crafted  equations  capable  of  predicting  

crashes  before  they  happen.  Jonathon  Blackledge  and  his  associates  have  created  a  

tool  to  trade  currencies  based  on  a  fractal  approach16  and  Edgar  Peters  has  

published  code  that  allows  anyone  to  find  the  fractal  characteristics  of  a  financial  

time  series17.  Fractals  are  the  future  of  finance.    

  As  technology  advances  and  computers  become  quantum  and  we  create  

networks  capable  of  mimicking  human  thought,  our  economic  models  have  

stagnated.  In  the  1950’s,  the  Efficient  Market  Hypothesis  brought  with  it  a  

revolution.  It  is  time  for  our  financial  models  to  mirror  our  real  financial  system  and  

the  Fractal  Market  Hypothesis  is  the  model  that  will  do  just  that.  Another  revolution  

is  coming  to  finance,  one  fueled  by  chaos  and  driven  by  fractal  geometry.  

 

 

 

                                                                                                                         15  Why  Stock  Markets  Crash:  Critical  Events  in  Complex  Financial  Systems  by  Didier  Sornette  16  “Currency  Trading  Using  the  Fractal  Market  Hypothesis”  by  Jonathan  Blackledge  and  Kieran  Murphy  17  Rescaled  Range  Analysis  or  R/S  Analysis  in  Fractal  Market  Analysis  

Benjamin  Weimer                                                                                43  

Appendix  A:  Frequency  of  Fluctuations  on  Different  Investment  Horizons  based  on  Standard  Deviation  

 

Benjamin  Weimer                                                                                44  

 

Benjamin  Weimer                                                                                45  

 

Benjamin  Weimer                                                                                46  

 Annotated  Bibliography    

Armstrong,  Seiji,  Huy  Luong,  Alon  Arad,  and  Kane  Hill.  "Fractal  Financial  Market  Analysis."  Fractal  Financial  Market  Analysis.  The  Australian  National  University,  Canberra.  Lecture.  

    This  source  is  the  transcript  of  a  brief  presentation  given  at  The  Australian  National  

University.  The  presentation  gives  a  very  brief  introduction  to  the  history  of  Fractal  Market  Analysis  in  addition  to  variety  equations  that  are  used  to  analyze  large  data  sets  mathematically.  This  source  provided  Insight  into  the  more  technical  side  of  FMH  and  will  be  immensely  useful  in  gaining  more  insight  into  the  technicalities  of  FMH.  The  equations  detailed  in  this  lecture  are  elaborately  explained  and  largely  simplified  from  other  technical  sources  out  there.    Arthur,  Brian  A.  "Complexity  Economics:  A  Different  Framework  for  Economic       Thought."  SFI  Working  Paper  43.4  (2013).  Print.    This  source  explores  the  applications  of  complexity  theory  to  economic  analysis  Through  the  use  of  agent  based  modeling,  Arthur  attempts  to  simulate  a  market  system  and  shows  that  even  in  the  form  of  his  simplifies  market  models,  fractal  patterns  emerge.  This  paper  is  from  the  Santa  Fe  Institute,  the  world’s  foremost  research  think  tank  on  Complexity  and  Chaos  Theories.  This  paper  will  be  important  in  exploring  the  significance  of  complexity  theory  to  economic  thought  broadly  and  will  be  used  extensively  throughout  my  paper..    Bachelier,  Louis.  "The  Theory  of  Speculation."  Thesis.  University  of  Paris,  1900.  

Print.    

  This  is  the  original  thesis  published  by  Louis  Bachelier  that  outlines  the  very  basis  for  the  Efficient  Market  Hypothesis.  This  thesis  goes  in  depth  on  the  specifics  of  the  early  efficient  theory  including  the  proofs  for  a  Gaussian  distribution  and  all  of  Bachelier’s  original  observation  regarding  the  French  bond  markets.  This  source  will  be  immensely  important  in  the  early  stages  of  the  paper  as  I  attempt  to  provide  historical  context  behind  the  evolution  of  the  theories.    Bernstein,  Peter  L.  Capital  Ideas:  The  Improbable  Origins  of  Modern  Wall  Street.  New  

York:  John  Wiley  &  Sons,  2005.  Print.    This  book  provides  an  in-­‐depth  history  of  modern  financial  theory  from  Bachelier  to  our  current  day  financial  theories.  This  book  details  the  research  of  Bachelier,  

Benjamin  Weimer                                                                                47  

Samuelson,  Markowitz,  Paulson  and  Fama.  This  book  explains  how  the  theories  have  evolved  over  time,  integrating  eclectic  and  disparate  fields  of  study  into  the  comprehensive  theory  of  capital  markets.  This  source  will  be  used  extensively  in  the  beginning  of  the  paper  detailing  the  evolution  throughout  time  of  the  theories.    Birau,  Felicia  R.  "The  Fractal  Market  Hypothesis."  Diss.  U  of  Craiova,  2010.  

Challenges  of  the  Knowledge  Society,  Economics  (2010):  1530-­‐533.  Print.      

  This  source  is  a  working  paper  published  by  a  post-­‐graduate  researcher  at  the  University  of  Craiova  which  provides  a  detailed  description  of  FMH  and  an  in  depth  analysis  of  its  underlying  assumptions  and  advantages  compared  with  EMH.  This  source  provides  a  technical  overview  of  FMH,  and  begins  to  explore  the  complex  mathematical  concepts  underlying  the  model.    Blackledge,  Jonthan.  "Financial  Modelling  Using  the  Fractal  Market  Hypothesis."  

European  Union  Economic  Summit.  Dublin.  5  Mar.  2010.  Lecture.    

  This  source  is  another  lecture  given  by  Jonathan  Blackledge  at  the  European  Union  Economic  Summit.  Blackledge  is  considered  by  many  to  be  the  world’s  leading  expert  in  Fractal  Finance  today.  This  presentation  is  an  immensely  detailed  mathematical  description  of  FMH  that  includes  all  of  the  Fractal  equations  for  various  styles  of  analysis.  Furthermore,  Blackledge  explains  many  of  the  stranger  mathematical  phenomena  in  an  easily  understood  format.    Blackledge,  Jonathan.  The  Fractal  Market  Hypothesis:  Applications  to  Financial  

Forecasting.  Warsaw:  Centre  for  Advanced  Studies,  2010.  Print.      This  source  is  a  working  paper  published  by  Blackledge,  one  of  the  preeminent  researchers  in  the  FMH  field,  It  explores  in-­‐depth  the  entirety  of  the  FMH  model  from  its  underlying  assumptions  to  empirical  data  to  the  mathematical  derivation  of  the  model  itself.  This  source  provides  one  of  the  most  in-­‐depth  descriptions  of  FMH,  how  it  works,  how  its  derived  and  how  it  can  employed  in  the  context  of  the  option  derivative  markets.    Fama,  Eugene  F.  "Efficient  Capital  Markets:  A  Review  of  Theory  and  Empirical  

Work."  The  Journal  of  Finance  25.2  (1970):  383-­‐417.  Jstor.  Web.  4  Oct.  2014.  

    Eugene  Fama  is  considered  to  be  the  father  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.  His  

work  was  instrumental  in  uniting  the  research  that  came  before  him  into  one  grand  

Benjamin  Weimer                                                                                48  

and  unified  theory.  This  paper  is  one  of  his  later  reflections  on  the  basis  of  and  evidence  for  the  Efficient  Market  Hypothesis.  In  this  paper,  Fama  attempts  to  bring  together  all  of  his  past  research  along  with  that  of  his  predecessors  to  lay  out  what  exactly  is  the  Efficient  Market  Hypothesis.  This  source  is  used  extensively  in  discussing  the  evolution  and  assumptions  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.    Farmer,  J.  Doyne.  "Toward  Agent-­‐Based  Models  for  Investment."  AIMR  Conference  

Proceedings  2001.7  (2001):  61-­‐71.  Print.    This  source  is  a  paper  written  by  Doyne  Farmer,  the  founder  of  the  Prediction  Company,  one  of  the  most  advanced  Fractal  Based  Investment  firms  in  the  world.    Farmer  explores  the  applications  of  Fractal  Agent  Based  Modeling  for  Stock  Market  Analysis.  Agent-­‐Based  Modeling  is  a  tool  used  to  understand  complex  interactions  within  ecosystems  by  creating  individual  participants  based  on  varying  parameters  and  studying  how  they  interact  within  the  model.  According  to  Farmer,  his  work  with  Financial  Agent  Based  Models  has  provided  support  for  the  basic  tenants  of  FMH  and  has  refuted  much  of  EMH  by  essentially  precluding  the  existence  of  a  market  equilibrium  point.    Goel,  Akshat.  Distribution  Comparison.  Digital  image.  Fractal  Finance:  A  Rogue  

Mathematician’s  Search  for  Answers.  Triplehelixblog.com,  9  Apr.  2012.  Web.  

 This    was  a    source  I  read  early  on  in  order  to  gain  a  basic  understanding  of  the  Dynamics  of  the  Fractal  Market  Hypothesis.  This  is  a  blog  post  that  attempts  to  explain  Fractal  Finance  in  Laymen’s  terms  and  does  so  brilliantly.  In  the  paper,  I  didn’t  cite  this  article  because  it  was  simply  a  jumping  off  point  for  discovering  much  of  the  more  detailed  works  I  explicitly  cited.  I  did  use  this  source  in  the  final  paper  to  source  the  comparison  graphic  of  the    Levy-­‐stable  distribution    versus  the  Normal  Distribution    Gleick,  James.  Chaos:  Making  a  New  Science.  New  York,  NY,  U.S.A.:  Penguin,  1988.  

Print.    This  book  is  often  considered  to  be  the  definitive  book  on  Chaos  Theory.    It  is  largely  an  introduction  to  the  concepts,  dynamics  and  applications  of  Chaos  Theory.    This  book  was  extremely  important  in  the  section  discussing  Chaos  Theory  and  as  a  result  is  cited  extensively.  Chaos  Theory  is  the  conceptual  foundation  upon  which  fractals  are  built  and  as  a  result  is  integral  to  understanding  the  implications  of  the  Fractal  Market  Hypothesis.    Chaos  is  often  mis-­‐perceived  as  a  wildly  random  and  

Benjamin  Weimer                                                                                49  

confused  state,  this  book  helps  to  differentiate  between  randomness  and  chaos,  especially  in  the  context  of  Financial  Markets.    Hung,  Jane.  Betting  with  the  Kelly  Criterion.  Working  paper.  2010.  Print.    In  this  paper,  Jane  Hung  explores  the  various  applications  of  the  Kelly  Betting  Criterion  to  Quantitative  Finance.  The  Kelly  Criterion  is  a  mathematical  formula  for  calculating  the  percentage  of  your  capital  to  bet  based  on  the  perceived  odds  of  winning.  This  betting  strategy  was  first  employed  in  finance  by  Ed  Thorp  and  was  later  also  used  in  his  Blackjack  card-­‐counting  strategy.  Understanding  the  derivation  of  the  Kelly  Criterion  is  essential  to  understanding  the  applications  of  Statistical  Arbitrage  within  the  context  of  EMH.    Imdadullah,  Muhammad.  "Time  Series  Analysis  and  Forecasting."  Basic  Statistics  and  

  Data  Analysis.  N.p.,  27  Dec.  2013.  Web.  09  Apr.  2015.    This  article  is  a  basic  introduction  to  Time-­‐series  in  the  context  of  Finance.  This  source  provides  a  brief  statistical  overview  regarding  the  workings  and  uses  of  Time-­‐series  and  Time-­‐series  analysis.  In  the  final  thesis,  this  source  is  only  used  to  provide  a  definition  of  Time-­‐series    in  a  footnote    in  order  to  explain  the  concept  of  Fractal  Time.    Kahneman,  Daniel.  Thinking,  Fast  and  Slow.  London:  Penguin,  2012.  Print.    Thinking  Fast  and  Slow  is  a  psychology  book  by  Nobel  Laureate  Daniel  Kahneman.  In  this  book  he  details  his  decades  of  research  in  areas  such  as  prospect  theory,  decision  theory  and  the  two  system  model  of  human  thought.  Daniel  Kahneman  is  considered  by  many  to  be  the  founder  of  behavioral  finance.  Many  of  the  psychological  phenomena  described  in  the  book  undercut  the  basic  rationality  assumption  of  EMH  such  as  the  anchoring  effect  and  the  endowment  effect.  This  book  provides  a  barrage  of  psychological  ammunition  to  diminish  the  integrity  of  EMH.    Kendall,  Maurice  G.  "The  Analysis  of  Economic  Time-­‐Series,  Part  1:  Prices."  Journal  

  of  the  Royal  Statistical  Society  96  (1953):  11-­‐25.  Print.    This  is  a  statistical  analysis  article  that  describes  the  random  character  of  markets.  This  article  is  noteworthy  because  it  is  one  of  the  first  articles  to  examine  financial  indices  as  Time-­‐series.  This  paved  the  way  for  many  later  articles  and  studies  using  the  same  methodology.  This  article  is  quoted  in  discussing  the  Efficient  Market  

Benjamin  Weimer                                                                                50  

Hypothesis  because  Kendall’s  work  was  some  of  the  first  empirical  work  to  show  the  randomness  of  markets  and  is  widely  cited  in  discussions  of  Efficient  Market  Theory  and  its  evolution.    Kurzweil,  Ray.  How  to  Create  a  Mind:  The  Secret  of  Human  Thought  Revealed.  New  

York,  NY:  Penguin,  2013.  Print.    This  book  is  not  related  to  finance;  however,  it  describes  the  emerging  science  of  behavioral  computing  and  describes  how  Neural  Networks  function.  A  Neural  Network  is  a  computer  system  that  harnesses  the  power  of  parallel  processing  to  deliver  unparalleled  performance.    This  kind  of  computer  system  is  immensely  fast  and  capable  of  performing  multiple  computing  tasks  simultaneously.  Neural  Networks  will  be  essential  to  make  Fractal  Market  Analysis  more  practical  as  the  required  calculations  require  immense  computing  power.      Lo,  Andrew  W.,  and  Craig  A.  MacKinlay.  A  Non-­‐random  Walk  down  Wall  Street.  

Princeton,  NJ:  Princeton  UP,  1999.  Print.    This  paper  discusses  a  statistical  technique  used  to  calculate  short-­‐term  serial  correlations  in  the  market.  Essentially,  this  paper  provides  evidence  that  the  markets  are  not  as  random  as  once  believed.  This  is  utilized  in  my  paper  as  it  highlights  a  major  chink  in  the  armor  of  the  Efficient  market  Hypothesis.    Lo,  Andrew  W.,  Harry  Mamaysky,  and  Jiang  Wang.  "Foundations  of  Technical  

Analysis:  Computational  Algorithms,  Statistical  Inference,  and  Empirical  Implementation."  The  Journal  of  Finance  55.4  (2000):  1705-­‐770.  Print.  

 This  is  a  second  paper  that  details  statistical  methods  used  to  show  short  and  long-­‐term  dependence  in  the  market.  This  source  corroborates  the  information  provided  in  the  previous  article  by  Lo  and  Mckinley,  strengthening  the  critique  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.    Loeb,  Gerald  M.  The  Battle  for  Investment  Survival.  New  York:  Simon  and  Schuster,  

1965.  Print.    This  source  is  an  early  book  about  investing  written  before  the  widespread  acceptance  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.  Loeb  describes  an  investment  philosophy  in  which  an  investor  places  huge  amounts  of  money  into  a  single  asset  that  they  can  know  a  lot  about.    This  is  used  to  provide  a  contrasting  view  to  

Benjamin  Weimer                                                                                51  

Efficient  Market  Theory  which  stresses  the  need  to  diversify  ones  portfolio  in  order  to  manage  and  control  overall  risk.      Malkiel,  B.,  “The  Efficient  Market  Hypothesis  and  Its  Critics”,  Princeton  University,  

CEPS  Working  Paper  No.  91,  2003    This  source  is  a  survey  of  historical  research  on  the  topic  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.  Malkiel  presents  all  the  arguments  for  the  Efficient  Market  as  well  as  a  survey  of  the  evidence  against  this  theory.  I  use  this  source  extensively  as  Malkiel  details  numerous  arguments  against  the  Efficient  Market  as  well  as  introduces  the  authors  and  researchers  behind  each  of  these  theories.    Mandelbrot,  Benoit  B.  "How  Fractals  Can  Explain  What's  Wrong  with  Wall  Street."  

Scientific  American  (1999).  Print.    

  This  article  in  Scientific  American  was  a  kind  of  Manifesto  for  Mandelbrot  in  which  he  laid  down  the  beginnings  of  his  Fractal  Finance  Theory.  This  article  was  originally  published  in  1987  right  on  the  heels  of  the  Black  Monday  debacle.  Mandelbrot  points  out  the  various  flaws  in  the  current  system,  which  allowed  such  a  dramatic  market  meltdown  to  occur.  Mandelbrot  describes  the  fundamental  flaws  in  Modern  Portfolio  Theory  that  prevented  risk  management  tools  from  accounting  for  the  kind  of  precipitous  drop  that  occurred  on  Black  Monday.    Mandelbrot,  Benoit  B.,  and  Richard  L.  Hudson.  The  (mis)behavior  of  Markets:  A  

Fractal  View  of  Risk,  Ruin,  and  Reward.  New  York:  Published  by  Basic,  2004.  Print  

 This  book  written  by  Benoit  Mandelbrot  was  his  first  study  of  the  applications  of  Fractal  Geometry  to  refute  the  tenants  of  Modern  Financial  Theory.  In  this  book,  Mandelbrot  outlines  the  essential  flaws  in  EMH  with  exceedingly  compelling  evidence.  He  then  explains  how  a  fractal  model  can  fill  these  empirical  voids  and  the  many  implications  a  multi-­‐fractal  model  would  have  on  our  financial  system.  The  format  and  information  presented  in  this  book  mirrors  the  intended  layout  of  my  thesis  although  is  written  for  a  different  target  audience.    Markowitz,  Hary  M.  "Portfolio  Selection."  Journal  of  Finance  VII.1  (1952):  77-­‐91.  

Print.    This  is  another  groundbreaking  paper  that  contributed  to  the  Efficient  Market  Hypothesis.  This  was  the  first  paper  to  propose  investing  in  portfolios  rather  than  

Benjamin  Weimer                                                                                52  

individual  assets  which  led  to  the  development  of  more  robust  economic  and  investment  theories.  Additionally,  this  paper  contributed  to  the  Efficient  Market  Hypothesis  by  offering  equations  that  can  be  used  to  calculate  covariance  between  stocks.  This  is  essentially  the  extent  to  which  the  prices  of  the  two  assets  are  connected.  This  was  later  developed  into  a  central  tenant  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.    Metz,  Tim,  Alan  Murray,  Thomas  E.  Ricks,  and  Beatrice  E.  Garcia.  "The  Crash  of  '87:  

Stocks  Plummet  508  Amid  Panicky  Selling."  The  Wall  Street  Journal.  Dow  Jones  &  Company,  20  Oct.  1987.  Web.  04  Oct.  2014.    

   This  source  is  a  newspaper  article  from  the  week  immediately  following  the  1987  crash,  which  explains  the  events  surrounding  the  crash,  and  provides  specific  details  of  the  crash  itself  such  as  percentage  losses  and  point  deficits.  This  data  will  be  important  as  the  1987  crash  is  a  definitive  piece  of  evidence  against  EMH,  and  this  article  sheds  light  on  the  events  surrounding  said  crash.    Ongkrutaraksa,  Worapot.  "Fractal  Theory  and  Neural  Networks  in  Capital  Markets."  

Research  Working  Paper:  Kent  State  University  (1995).  Print.    This  working  paper  by  Worapot  Ongkrutaraska  explores  the  applications  of  Neural  Networks  to  process  Fractal  Models  for  Financial  Analysis.  Neural  Networks  are  computer  systems  that  utilize  parallel  processing  in  an  attempt  to  mirror  neuronal  connections  within  the  human  brain.  Ongkrutaraska  finds  that  computing  capabilities  of  Neural  Networks  partnered  with  the  modern  science  of  machine  learning  create  a  very  powerful  tool  for  financial  analysis.    Ongkrutaraksa,  Worapot.  "Financial  Economic  Papers."  Oocities.org.  N.p.,  n.d.  Web.  9  

Apr.  2015.    

  This  source  is  the  personal  website  of  Worapot  Ongkrutaraksa.  I  use  this  source  only  to  gain  a  little  biographical  information  about  the  research  in  order  to  provide  greater  context  for  his  work.  This  source  is  only  used  once  throughout  the  work  in  a  footnote  providing  detail  on  Ongkrutaraksa’s  past  and  research.    Osbourne,  M.  F.  M.  "Brownian  Motion  in  the  Stock  Market."  Operations  Research  VII  

(1959):  145-­‐73.  Print.    

  This  is  the  original  journal  article  in  which  M.F.M  Osbourne  published  his  research  about  fiancnial  markets.  In  this  paper,  the  first  connections  are  drawn  between  

Benjamin  Weimer                                                                                53  

Brownian  motion  and  financial  time-­‐series.  This  became  extremely  influential  as  the  concept  of  Brownian  motion  became  a  central  tenant  of  later  efficient  market  literature.  This  source  is  used  to  discuss  the  evolution  of  the  Efficient  Market  Hypothesis,  as  it  is  one  of  the  groundbreaking  papers  on  the  subject.    Patterson,  Scott.  The  Quants:  How  a  Breed  of  Math  Whizzes  Conquered  Wall  Street  

and  Nearly  Destroyed  It.  New  York:  Random  House,  2010.  Print.      

  This  source  is  a  book  written  by  a  Wall  Street  Journal  reporter  who  attempts  to  explore  the  history  of  quantitative  finance  in  a  way  that  people  without  finance  degrees  can  understand  while  also  exploring  the  role  that  financial  engineers  played  in  the  more  recent  market  crashes.  This  book  provides  a  good  deal  of  background  information  and  context  to  understand  the  principles  and  assumptions  of  EMH  and  FMH,  and  it  provides  a  useful  history  of  the  field,  highlighting  significant  works.    Peters,  Edgar  E.  Fractal  Market  Analysis:  Applying  Chaos  Theory  to  Investment  and  

Economics.  New  York:  J.  Wiley  &  Sons,  1994.  Print.    This  book  is  one  of  the  most  influential  works  on  the  subject  of  the  Fractal  Market  Hypothesis.  It  provides  an  in-­‐depth  discussion  of  the  Hypothesis  as  well  as  a  myriad  of  techniques  and  strategies  to  apply  Fractal  Analysis.  In  the  paper,  I  heavily  utilize  the  information  regarding  the  Fractal  Market  Hypothesis.  The  author  lays  out  the  various  characteristics  and  assumptions  of  the  hypothesis  in  a  very  straightforward  and  succinct  manner,  which  is  similar  to  the  manner  I  lay  out  my  argument  in  this  paper.    Applications  of  the  theory  fall  outside  of  the  scope  of  this  paper  and  thus  were  omitted.      Samuelson,  Paul  A.  The  Collected  Scientific  Papers  of  Paul  A.  Samuelson.  Cambridge,  

MA:  M.I.T.,  1966.  Print.    

  This  source  is  an  anthology  of  works  by  Paul  Samuelson,  which  includes  a  myriad  of  papers  and  some  of  his  most  influential  books.  Samuelson  was  instrumental  in  developing  the  Efficient  Market  Hypothesis,  as  he  was  one  of  the  first  researchers  on  the  subject  who  was  able  to  reach  a  widespread  audience.  Additionally,  Samuelson  helped  to  develop  the  theory  of  informational  incorporation  by  exploring  the  connection  between  an  assets  price  and  its  inherent  value.  This  source  is  used  extensively  in  exploring  the  history  and  evolution  of  the  Efficient  Market  Hypothesis.    Smith,  Leonard  A.  Chaos:  A  Very  Short  Introduction.  Oxford:  Oxford  UP,  2007.    Print.  

Benjamin  Weimer                                                                                54  

 This  book  is  a  very  brief  introduction  to  the  theory  of  Chaos.  It  presents  chaos  theory  and  its  partner  theory  of  complexity  in  a  concise  and  easily  understood  manner.  The  source  is  a  brilliant  overview  of  the  forces  at  play  in  a  chaotic  system  and  describes  in  detail  the  characteristics  and  principles  that  govern  chaos.  This  source  was  extremely  useful  to  me  as  I  attempted  to  outline  the  basic  structures  of  chaos  in  the  context  of  Fractal  Market  Theory.    Wallace,  David  Foster.  Everything  and  More:  A  Compact  History  of  Infinity.  New  York:     Atlas  Book,  2003.  Print.  

This  book  by  David  Foster  Wallace  is  a  brief  history  of  and  critical  examination  of  the  modern  concept  of  infinity.  It  explores  how  our  current  concept  has  evolved  since  the  time  of  Plato  and  Aristotle  based  on  the  works  of  Zeno  and  Cantor.  It  also  explores  the  principles  of  Number  Theory,  which  allow  this  modern  concept  to  be  derived.  This  source  is  used  early  on  in  the  paper  in  a  footnote  that  provides  a  little  biographical  information  about  a  19th  century  mathematician  named  Poincare.  

Weatherall,  James  Owen.  The  Physics  of  Wall  Street:  A  Brief  History  of  Predicting  the  Unpredictable.  Boston:  Mariner,  2014.  Print.  

 This  source  is  a  book  that  attempts  to  explore  the  history  of  Quantitative  Finance  from  its  conception  in  the  late  1800’s.  Unlike  Patterson’s  book,  this  source  focuses  more  on  chaos  based  models,  most  notably  FMH  and  other  chaotic  models  which  employ  fat-­‐tailed  distribution.  This  book  serves  to  provide  a  great  deal  of  background  information  and  context,  while  also  providing  a  simplification  of  FMH  and  other  complex  models  which  is  useful  for  explaining  to  an  audience  without  a  working  knowledge  in  finance.    Weron,  Aleksander,  and  Rafal  Weron.  "Fractal  Market  Hypothesis  and  the  Two  

Power-­‐laws."  Chaos,  Solitons,  and  Fractals  11  (2000):  289-­‐96.  Print.    This  source  is  a  working  paper  written  by  Aleksander  and  Rafal  Weron  that  explores  the  implications  of  FMH  on  Time-­‐series  analysis.  Using  normal  statistical  tools,  time  is  intended  to  be  viewed  as  linear;  however,  with  a  multi-­‐fractal  model,  time  is  no  longer  perceived  to  be  linear.  Instead,  time  is  more  elastic,  speeding  up  in  times  of  high-­‐volatility  and  slowing  down  when  volatility  is  low.  This  paper  explores  the  implications  of  this  intuitive  assumption  and  how  it  is  able  to  more  accurately  account  for  perceived  market  activity.  

Benjamin  Weimer                                                                                55  

Williams,  R.  Tee.  "Efficiency  and  the  Fractal  Market  Hypothesis."  Personal  interview.  18  Nov.  2014.  

Mr.  Williams  was  my  thesis  advisor  through  the  writing  of  this  paper.  During  this  interview  he  provided  guidance  in  designing  and  fleshing  out  my  topic  as  well  as  finding  other  research  and  tools.  This  interview  is  not  directly  cited  in  the  body  of  my  thesis,  yet  many  of  the  resources  found  with  the  help  of  Mr.  Williams  are  cited  and  used  extensively  throughout  the  work.      

Images    

Page  31    -­‐  http://2.bp.blogspot.com/d_8f4FKZK6I/U6u8mvg6bI/AAAAAAAAAFE/          HbjBn4jaqow/s1600/fractal.gif    Page  32  -­‐http://webs.um.es/jmz/DiseGrafSimula/alumnos_08_09/german_ros/      index.  files/_ejs_library/images/image022.jpg    Pages  43-­‐45  –  Fractal  Market  Analysis:  Applying  Chaos  Theory  to  Investment  and  

Economics  by  Edgar  Peters