pertemuan pertama kompleks

KONTRAK PEMBELAJARAN

1. Manfaat Mata Kuliah

Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat berfikir secara logis dan bernalar (baik secara intuitif

maupun analitis) dan membuktikan pernyataan matematika terutama pada lapangan kompleks secara formal. Setelah

mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat memiliki pengetahuan dasar analisis matematika pada bidang

analisis kompleks, khususnya tentang fungsi kompleks, Fungsi analitik, turunan,residu dan pole. Selain itu mahasiswa

diharapkan mampu bernalar (baik secara intuitif maupun analitis) dan mengekspresikan hasil penalarannya secara

tertulis, sistematis dan rigorous.

2. Deskripsi Perkuliahan

Fungsi kompleks adalah adalah salah satu mata kuliah wajib dengan bobot 3 sks pada prodi Matematika. Pokok

bahasan mata kuliah ini terdiri atas Struktur bilangan kompleks, sifat-sifat modulus dan mencari akar persamaan

kompleks, Fungsi kompleks elementer, Fungsi analitik, Syarat Caucy –Rieman, Integral fungsi Kompleks, Integral

tidak sejati, deret fungsi kompleks, Residu dan Pole.

Nama Mata Kuliah : Fungsi kompleks

Kode Mata Kuliah : 338H1103

Pengajar : Muh. Nur, S.Si., M.Si; Dr. Mawardi, M.Si

Semester : IV/2013-2014

Hari Pertemuan/Jam : Senin/ 07.30-10.00

Tempat Pertemuan : Pb.

3. Sasaran Pembelajaran

Diharapkan, di akhir perkuliahan, anda mampu:

1) Mahasiswa memahami dengan baik tujuan,organisasi materi, keterkaitan matakuliah dengan matakuliah lain, strategi

pembelajaran, kriteria penilaian, tugas dan tanggung jawabnya dalam kelompok kerja.

2) Mahasiswa menunjukan asal –usul dan sifat lapangan(field)) bilangan kompleks , mencari akar-akar kompleks

dengan hukum De Moivre.

3) Mahasiswa memahami dengan baik konsep fungsi kompleks elementer, Mendapatkan contoh paling sedikit 2 fungsi

elementer.

4) Mahasiswa memahami konsep fungsi analitik dan mendapatkan paling sedikit 4 contoh fungsi analitik.

5) Mahasiswa memahami dengan baik konsep fungsi kompleks yang memenuhi syarat Cauchy Rieman dan

mendapatkan paling sedikit 4 contoh fungsi kompleks.

6) Mahasiswa memahami konsep integral fungsi kompleks dan mendapatkan paling sedikit 4 contoh integral fungsi

kompleks.

7) Mahasiswa memahami konsep integral fungsi kompleks tidak sejati dan mendapatkan paling sedikit 4 contoh

integral fungsi kompleks tidak sejati.

8) Mahasiswa memahami konsep deret fungsi kompleks dan mendapatkan paling sedikit 4 contoh deret laurent.

9) Mahasiswa memahami konsep residu dan Pole dan mendapatkan paling sedikit 4 contoh untuk dicari nilai residu

dan plolenya.

4. Materi/Bacaan Perkuliahan

Bahan ajar mata kuliah ini, adalah:

James Ward Brown and Ruel V. Churchil, Complex Variables and Applications eighth edition, McGraw-Hill, 2009.

1) Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Compleks Analysis, Princeton, New Jersey 2002.

2) Rami Shakarchi, Problem And Solutions for Compleks Analysis, Springer 1999.

3) Sumber belajar lainnya, dalam bentuk artikel atau pun jurnal-jurnal.

5. Kriteria Penilaian

Nilai Mutu Interval Nilai

A 4,00 86 – 100

A- 3,75 81 – 85

B+ 3,50 76 – 80

B 3,00 71 – 75

C+ 2,75 66 – 70

C 2,00 51 – 60

D 1,00 45-50

6. Jadwal Perkuliahan

Minggu Pokok Bahasan Bacaan

I Kontrak Belajar -

II

Struktur bilangan kompleks, sifat-sifat

modulus dan mencari akar persamaan

kompleks

- James Ward Brown and Ruel V. Churchil, Complex

Variables and Applications eighth edition, McGraw-Hill,

2009.

- Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Compleks Analysis,

Princeton, New Jersey 2002.

- Rami Shakarchi, Problem And Solutions for Compleks

Analysis, Springer 1999.

III

Fungsi kompleks elementer

(Presentasi Kelompok Tugas 1+Diskusi)



2009.




Analysis, Springer 1999

IV Lanjutan Fungsi kompleks elementer

+ Kuis 1

- Modul ajar Teknik Demografi Statistika.

- Hal Caswell, Applied Mathematical Demography, 2005.

Third Edition. John Wiley & Sons Inc., USA.

- A.H. Pollard, Demographic Techniques, 1984. Pergamon

Press Pty Ltd. Australia.

V

Fungsi Analitik



2009.





VI



2009.


Fungsi Analitik Lanjutan+ Kuis 2 Princeton, New Jersey 2002.


Analysis, Springer 1999..

VII

Syarat Caucy –Rieman



2009.





VIII Ujian Tengah Semester

IX

Integral fungsi Kompleks+ Diskusi



2009.





X

Integral fungsi Kompleks Lanjutan+ Diskusi



2009.





XI Integral tidak sejati

(Presentasi Kelompok Tugas 3+Diskusi)



2009.







2009.

XII Lanjutan Integral tidak sejati + Kuis - Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Compleks Analysis,




XIII

Deret fungsi kompleks + Diskusi



2009.





XIV Deret fungsi kompleks Lanjutan+ Diskusi



2009.





XV Residu dan Pole



2009.





XVI Ujian Akhir Semester

BAB 1

BILANGAN KOMPLEKS

1.1. Penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah pasangan terurut , dimana . Bilangan real ditampilkan sebagai

pada axis real. Adapun yang berkorespondensi pada axis dinamakan bilangan imajiner sejati.

Pada , adalah bagian real dari sedangkan adalah bagian imajiner dari . Himpunan

bilangan kompleks dinyatakan dengan lambang .

Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama bilamana bagian realnya sama dan bagian imajinernya juga sama.

Dengan kata lain, misalkan dan adalah dua buah bilangan kompleks, jika dan hanya

jika dan .

Operasi penjumlahan dan Perkalian adalah , .

Sehingga

Ini menandakan bahwa = , akibatnya jika didefinisikan sebagai , maka diperoleh

Bilangan dinamakan satuan imajiner. Dengan menggunakan notasi , himpunan bilangan kompleks dapat

dituliskan sebagai { }

Akibatnya operasi penjumlahan dan perkalian dua buah bilangan kompleks dalam bentuk adalah

, dan . Adapun dengan menggunakan operasi perkalian ini,

untuk setiap

1.2. Sifat Aljabar bilangan kompleks

Adapun sifat-sifat lapangan seperti diperlihatkan pada tabel berikut ini:

Sifat Aljabar Operasi Penjumlahan (+) Operasi perkalian

Hukum Komutatif

Hukum Assosiatif

Unsur Kesatuan Terdapat sedemikian

sehingga untuk setiap

.

Terdapat

sedemikian

sehingga

untuk setiap .

Unsur Invers Untuk setiap terdapat

sedemikian sehingga

Untuk setiap

, terdapat

sedemikian

sehingga

.

Hukum Distributif

Hukum Komutatif terhadap penjumlahan, unsur kesatuan terhadap penjumlahan dan sifat unsur invers terhadap

perkalian dibuktikan pada contoh berikut ini. Sisanya ditinggalkan sebagai latihan (lihat No 1 soal latihan).

Ex 1: Buktikan bahwa untuk setiap berlaku persamaan .

Misalkan dan . Dengan menggunakan operasi penjumlahan diperoleh

( ) ( ) .

Ex 2 Buktikan terdapat sedemikian sehingga untuk setiap .

Misalkan , akan ditentukan sehingga ( )

Kesamaan dua bilangan kompleks menghasilkan dan . Dengan menggunakan sifat unsur

kesatuan pada bilangan real diperoleh dan . Jadi terdapat yang memenuhi

untuk setiap .

Contoh 3 Buktikan Untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga .

Misalkan , , akan ditentukan sehingga

Dengan kesamaan dua bilangan kompleks menghasilkan sistem persamaan linear

{

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear diatas dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh

Jadi (

) memenuhi

Contoh 4 Dengan menggunakan sifat lapangan bilangan kompleks, buktikan bahwa untuk setiap .

Dari sifat lapangan bilangan kompleks, untuk setiap terdapat sedemikian sehingga .

Dengan mengganti peranan oleh , maka terdapat lagi sedemikian sehingga . Akibatnya

dengan menambahkan kedua ruas dengan diperoleh .

Contoh 5 Dengan menggunakan sifat lapangan bilangan kompleks, buktikan bahwa

a.

b.

Disini akan dibuktikan bagian a. Bagian b ditinggalkan sebagai latihan, diketahui bahwa sehingga (

) . Dengan menggunakan hukum distributif diperoleh . Dengan menambahkan kedua ruas

diperoleh

Mungkin timbul pertanyaan tentang bagaimana operasi pengurangan dan pembagaian pada bilangan kompleks.

Dengan menggunakan operasi penjumlahan dan perkalian serta dengan menggunakan sifat lapangan bilangan kompleks

diperoleh operasi pengurangan dua buah bilangan kompleks dan yakni .

Sedangkan operasi pembagian bilangan kompleks dituliskan

.

Contoh 6. Jika , buktikan bahwa

.

Dari definisi operasi pembagian diatas terhadap z diperoleh

. Dengan mengambil , maka diperoleh

. Sehingga terbukti

.

Contoh 7 Buktikan bahwa

.

Dari definisi operasi pembagian diatas diperoleh

. Sebelum dilanjutkan , terlebih dahulu dibuktikan

. Perhatikan bahwa

akibatnya diperoleh

. Sehingga

(

) (

)

Contoh 8. Tentukan semua yang memenuhi persamaan .

Perhatikan bahwa

Maka dari persamaan diperoleh

Dengan kesamaan dua bilangan kompleks dipeoleh SPL

{

Dari persamaan kedua diperoleh atau

. Jika digantikan ke persamaan pertama maka

diperoleh dengan , hal ini mustahil terjadi. Oleh karena itu berlaku kemungkinan

. Dengan

mensubtitusi kepersamaan pertama diperoleh

, sehingga

√ . Jadi nilai

yang memenuhi persamaan adalah

√ dan

√ .

Latihan 1.1

1. Buktikan bahwa himpunan bilangan kompleks terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bersifat lapangan.

2. Ekspersikan bilangan kompleks berikut dalam bentuk dimana adalah bilangan real.

a. e.

b. f. √

c. g.

d.

3. Ekspersikan bilangan kompleks berikut dalam bentuk dimana adalah bilangan real.

d.

e.

f.

4. Tunjukkan bahwa

5. Buktikan bahwa setiap dua bilangan memenuhi persamaan .

6. Gunakan dan , buktikan bahwa .

7. Dengan mengggunakan dan . Buktikan bahwa

8. Dengan menggunakan sifat lapangan dari bilangan kompleks, tunjukkan bahwa

a. .

b.

c. jika dan hanya jika atau .

d. Jika maka paling sedikit satu dari tiga faktornya adalah 0.

pertemuan pertama kompleks

Documents