monografía teglia
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Universidad Nacional de Rosario
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura
Escuela de Ingeniería Industrial
Decisiones Estadísticas y Control de la Calidad (I-4.25.1)
Tema: Gráficos de control
Tutora: Ferrerí, Noemí
Adscripto: Teglia, Agustín
2016
Índice
Resumen..................................................................................................................................................3
Introducción..............................................................................................................................................4
Gráficos Shewhart y especiales............................................................................................................5
Gráficos CUSUM.....................................................................................................................................6
Gráficos EWMA.......................................................................................................................................6
EJEMPLO 1.1....................................................................................................................................10
EWMA para otros parámetros.............................................................................................................12
Variabilidad.........................................................................................................................................12
Atributos..............................................................................................................................................13
Comparación EWMA-Shewhart..........................................................................................................13
Índices de capacidad............................................................................................................................16
Conclusión................................................................................................................................................18
Anexo.......................................................................................................................................................19
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Resumen
El control de la calidad se ha tornado en un área fundamental para todas las empresas que
deseen ser competitivas en los tiempos actuales. El aseguramiento de la misma promete
mantener a los clientes de la empresa leales a ella como así también bajar los costos de una
mala calidad. El siguiente trabajo pretende brindar una introducción al control estadístico de
procesos para el monitoreo de la calidad utilizando gráficos de control. Se hará una breve
mención a los gráficos de Shewhart para la media, una introducción a los gráficos CuSum,
suma cumulativa, y una descripción de los gráficos EWMA, media móvil ponderada
exponencialmente. El objetivo final de este trabajo pretende comparar los gráficos de
Shewhart y EWMA.
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Introducción
El objetivo particular de los gráficos de control es el del aseguramiento de la calidad. Antes de
poder describir dichos gráficos es preciso definir y/o describir lo que entendemos por calidad.
Generalmente podemos afirmar que es sencillamente la aptitud para el uso1. Como ejemplos
podemos citar la durabilidad de la batería de un celular, el filo de la hoja de un cuchillo y
demás. Desde el punto de vista del cliente, la calidad se refleja en que tan bien el producto o
servicio cumple con las expectativas previas del mismo. Es importante destacar que la calidad
no siempre fue un pilar fundamental de toda empresa.
En un principio la calidad se limitaba a rechazar productos defectuosos que se habían
producido, lo cual era demasiado caro en sí y además se aumentaban también los costos por
reprocesos. Se tomaban medidas para evitar las consecuencias de las desviaciones, no las
verdaderas causas de ellas.
Posteriormente se utilizaron métodos de muestreo pero persiguiendo el mismo objetivo,
rechazar productos defectuosos y que los mismos no llegaran al cliente.
Se produzco un gran avance cuando se llevo la calidad a la etapa de planificación y control de
los procesos. Con este enfoque, el objetivo pasó a ser encontrar la causa raíz de las
desviaciones para evitar, ahora si, fabricar productos fuera de especificación.
El enfoque más moderno es el de la Gestión de Calidad Total, con el cual se amplían los
objetivos de calidad a todos los departamentos de la empresa. De esta manera se involucran a
todos los recursos humanos desde la alta dirección hacia planificación y control de proceso,
dando lugar a una nueva forma de pensar la gestión de la calidad dentro de la compañía.
1 Montgomery, D. C. (1996). Introduction to statistical quality control. New York: Wiley.
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Gráficos Shewhart y especiales
En el uso de gráficos de control es importante definir cuando un proceso se encuentra fuera de
control, que indicios del mismo nos indican que, por ejemplo, la media del proceso ha
cambiado. Para ello, el criterio más ampliamente usado es el de un punto que cae fuera de los
límites de control. Otros criterios que se pueden tener en cuenta son: corrida no aleatoria de
puntos, muchos puntos más allá de dos desvíos, entre otros. Para el primer criterio, el cálculo
de la probabilidad de tipo II es bastante trivial, pero en los otros casos el cálculo es más
engorroso. Si nos quedamos con el criterio de que un punto afuera de los límites de control
significa que el proceso ha salido de control, notamos que se utiliza la información de una sola
muestra para determinar si el proceso está o no bajo control, en este caso la última. Desde ya
que se puede utilizar otros criterios de sensibilidad, por ejemplo límites de aviso, pero los
mismos le quitan simpleza a la interpretación de los gráficos de Shewhart. Además, dichas
reglas pueden disminuir la longitud de corrida promedio cuando el proceso se encuentra bajo
control, lo cual es completamente indeseable2
Por ello surge el interrogante, ¿Cómo incorporar información pasada del proceso y no perecer
en el intento? ¿Acaso la idea de un proceso industrial no es que se mantenga en el tiempo?
Para dar una respuesta a esas preguntas existen los gráficos con memoria.
Gráficos CUSUMLos gráficos CuSum, suma cumulativa, incorporan directamente la información de muestras
pasadas. Teniendo un valor objetivo, digamos μ0, se grafican las desviaciones que existen
entre el estadístico observado y el valor objetivo. Para ello se define el estimador:
C i=∑j=1
i
( x¿¿ j−¿ μ0)¿¿
donde C i es la suma cumulativa incluyendo la i-esima muestra. Estos gráficos son más
eficientes que los gráficos de Shewhart para detectar corrimientos pequeños en la media y
particularmente eficientes para muestras de tamaño 1. 2 Montgomery, D. C. (1996). Introduction to statistical quality control. New York: Wiley.
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Si el proceso se encuentra bajo control, la suma cumulativa describe una variable aleatoria
con media 0. Evidentemente, si la media del proceso crece, se evidenciara con una tendencia
creciente de la suma cumulativa y viceversa si la media del proceso decrece. Ante la aparición
de alguna de estas tendencias, se deberán buscar causas asignables.
Para explicitar límites de control para este gráfico se conocen dos variantes: CUSUM
algorítmico y la plantilla V.
Para construir estos gráficos, es necesario definir un valor “k” llamado “valor de referencia”,
que representa el mayor deslizamiento en la media del proceso que podría tolerarse, y a partir
del cual la suma acumulada se considera significativa y en consecuencia el proceso está fuera
de control. Para mayor información sobre estos gráficos remitirse a la bibliografía, ya que él
mismo no está involucrado en el objetivo de este trabajo.
Gráficos EWMA
Los gráficos EWMA incorporan información de las muestras pasadas, pero ponderándolas. En
el caso particular de EWMA para la media, utilizan la media actual y las anteriores; afectados
por un parámetro λ. Dicho parámetro establece que importancia o peso tienen las muestras
pasadas y la actual. Este gráfico es especialmente efectivo para detectar cambios pequeños
en la media del proceso. Cuando se desee detectar cambios más pequeños en la media, más
chico debe ser el valor de λ. Esto es porque los pesos de las mediciones más viejos serán
más pequeños cuanto más chico sea λ.
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Imagen tomada del libro Control Estadístico de Calidad y Seis Sixma, Humberto Gutiérrez
En estos gráficos claramente se ve como ponderan a través del tiempo a las muestras los
gráficos de Shewhart, CUSUM y EWMA.
Para definir los valores en los gráficos EWMA se define el estimador:
Zt=λ X t+(1−λ)Z t−1
donde 0<λ≤1 es una constante a determinar, y el valor inicial necesario para la primera
muestra en t=1 es
z0= x́
En el caso de contar con la media del proceso
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z0=μ0
Observación: si λ=1, el gráfico EWMA es en realidad el gráfico para el promedio ordinario de Shewhart.
Además se puede demostrar, que si las x i son variables aleatorias independientes, la varianza
de Z, cuando t aumenta, alcanza un valor límite
σ z2=σ
2
nλ2−λ
donde σ2
n es la varianza de las variables aleatorias independientes
x i
Para valores chicos de t, la varianza de Z resulta
σ z2=σ
2
nλ2−λ
[1−(1−λ )2 t]
Los límites de control superior e inferior son
LCS= x́+Lσ √ λ(2−λ )n
LCI= x́−Lσ √ λ(2−λ )n
donde L es un valor que se selecciona en función de la Probabilidad de Tipo I; en el caso de
gráficos 3σ , L=3 y α=0,0027
Si la media del proceso es conocida, se reemplaza x́por μ0.
Este tipo de gráficos, al igual que los CuSum, son especialmente efectivos cuando se toman
muestras de tamaño 1. Las formulas en sí no cambian sustancialmente:
Zt=λ X t+(1−λ)Z t−1
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z0=x
En el caso de contar con la media del proceso
z0=μ0
σ z2=σ2 λ
2−λ
Los límites de control superior e inferior son
LCS=x+Lσ √ λ(2−λ )
LCI=x−Lσ √ λ(2−λ )
EJEMPLO 1.1 (Tomado del libro “Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias, de
Jay Davore)
Una vez al día se escogen al azar 3 especímenes de aceite para motor del proceso de
producción y se analiza cada uno para determinar su viscosidad. La experiencia con este
proceso indica que cuando el mismo está bajo control, la viscosidad sigue una distribución
normal con parámetros 10,5 y 0,18 y unidades.
Población física: Especímenes de aceite para motor (∞)
Variable de interés: Viscosidad (variable cuantitativa continua)
Parámetro de interés: Viscosidad promedio (μ)
Ho) El proceso está bajo control => μ0=10,5
Ha) El proceso no está bajo control => µa≠10,5
Estadístico de prueba: Viscosidad promedio de la muestra (X )
Se toman subgrupos racionales de n=3 con frecuencia diaria de 1 muestra y se toma λ=0,2.
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DíaValor promedio
medido Estadístico
10
1 10,31 10,4622 10,43 10,4563 10,51 10,4664 10,35 10,4435 10,71 10,4976 10,5 10,4977 10,46 10,4908 10,49 10,4909 10,39 10,470
10 10,49 10,47411 10,45 10,46912 10,44 10,46313 10,4 10,45114 10,61 10,48315 10,49 10,48416 10,48 10,48317 10,44 10,47518 10,76 10,53219 10,47 10,51920 10,39 10,49321 10,59 10,51322 10,44 10,49823 10,41 10,48124 10,49 10,48225 10,39 10,464
Tabla 1: Medias muestrales y estadístico EWMA para viscosidad
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Analicemos ahora el gráfico. Lo primero que se nota es que los límites de control no son
segmento paralelos, los mismos son variables y van creciendo hasta estabilizarse en sus
valores correspondientes. Esto es debido a que el desvío estándar del estadístico EWMA es
variable con t. La otra particularidad que se destaca es que hay muchos puntos por debajo de
la línea central. Uno podría estar tentado a pensar que la media del proceso ha disminuido,
pero esto no es así. Hay que recordar que lo que esta graficado es el estadístico EWMA, ya
definido, y no la media muestral. Es por ello que la única señal de fuera de control será un
punto fuera de los límites de control. Es este tipo de gráficos no se tienen en cuenta los
patrones no aleatorios de variación, los mismos se tienen en consideración en la expresión del
estadístico. En conclusión, no hay evidencia para pensar que la media se haya modificado y el
proceso opera bajo control estadístico.
EWMA para otros parámetros
Variabilidad
Existen también gráficos EWMA para monitorear la variabilidad del proceso en un valor
especificado σ 0, y en ellos se utiliza como estadístico de prueba al error cuadrático medio
ponderado exponencialmente (EWMS), definido como:
St2= λ(X t−μ0)
2+(1−λ)S t−12
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Los límites de control para St se obtienen a partir de una Distribución Chi-Cuadrado con
aproximadamente v=2−λ2 grados de libertad y con un criterio probabilístico del 99% resultan:
LCS=σ 0√ X0,995 ;v2
v
LCI=σ 0√ X0,005 ;v2
v
Atributos
También se pueden elaborar gráficos EWMA para controlar atributos, por ejemplo el número de defectos, el cual se quiere mantener controlado en un valor μ0 . Como en los gráficos de Shewhart, se supone que el número de defectos sigue una Distribución de Poisson. El estadístico se define similarmente al anterior
Zt=λ X t+(1−λ)Z t−1
donde Xt es el número de defectos encontrados en la t-ésima unidad inspeccionada, Z0=μ0 y
0<λ≤1.
Los límites de control a largo plazo resultan:
LCS= x́+L√ λ μ0(2− λ )
[1−(1−λ )2]
LCI= x́−L√ λμ0(2−λ )
[1−(1−λ )2]
donde L es un valor que se selecciona en función de la Probabilidad de Tipo I.
Si la media del proceso es conocida, se reemplaza x́por μ0.
Comparación EWMA-Shewhart
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Para visualizar mejor las diferencias entre los gráficos EWMA y Shewhart se procederá a construir gráficos para datos aleatorios provenientes de una distribución normal simulados con MINITAB.
En la primera simulación se toman 45 valores con una normal estándar y 15 valores con una normal con media 1 y desvió 1 y se toman subgrupos de 3 elementos, con lo cual se introduce un aumento de la media después de la muestra 15. Se obtienen con MINITAB un gráfico 3σ de Shewhart para la media y un gráfico 3σ EWMA con λ=0,2.
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De los gráficos se desprende que el de Shewhart es insensible a un cambio de 1 desvío en la
media mientras que en el EWMA con un λ=0,2 se detecta ese corrimiento en la muestra
número 19, 4 muestras después de introducido el cambio. ¿Qué hubiera pasado si en vez de
0,2 hubiéramos tomado 0,1?
Ahora, con este cambio, no se detecta dicho corrimiento en la media, pero ¿por qué? Al disminuir el valor del parámetro, el gráfico se torna más sensible a cambios más chicos en el
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parámetro, es por ello que un cambio de 1 desvío no resulta lo suficientemente brusco para dar una señal fuera de control.
Se destaca que este tipo de gráfico añade una nueva variable a definir, λ.
Entonces naturalmente la pregunta es ¿Qué valor darle a λ?
Hay mucho debate en torno a esa pregunta pero Montgomery destaca que la configuración más eficiente en términos estadísticos es optar por λ situados entre 0,05 y 0,25, siendo los más utilizados 0,05, 0,1 y 0,2, y utilizar valores de L entre 2,6 y 2,8. De esta manera se obtienen muy buenos valores de LGP bajo control.
Si optamos por utilizar L=2,6 y λ=0,1se obtiene el siguiente gráfico.
Con estos valores, existe una señal de fuera de control en la última muestra. Utilizando L=2,6, el valor de alfa aumenta a 0,0094 con lo cual se produce una señal de falsa alarma cada 107 muestras, empeorando el desempeño del gráfico en este aspecto.
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Índices de capacidad
Hasta ahora hemos visto cómo corroborar que un proceso es estable a lo largo del tiempo, o sea que su distribución es conocida y los parámetros se mantienen aproximadamente constantes. Ahora, un proceso estable, ¿cumple con las especificaciones? No necesariamente, podría existir un proceso que por más estable que sea, su distribución no esté abarcada entre los límites de especificación, propios o fijados por un cliente. Aún así, para poder empezar a hacer un análisis de capacidad, primero el proceso debe estar estabilizado, sino nuestro indicador no sirve.
Se definirán dos indicadores de capacidad, uno en relación a la variabilidad y otro en relación al centrado.
C p=LES−LEI6σ
C pk=mín[ LES−μ3σ; μ−LEI3σ ]
donde, LES es el límite de especificación superior y LEI es el límite de especificación inferior.
Para interpretar dichos indicadores, decimos que un proceso es capaz siempre que Cp y Cpk sean por lo menos iguales a 1. Cuanto más alejado de la unidad, el proceso produce más proporción de unidades dentro de especificación. También notamos que el Cpk nos brinda mayor información que Cp, ya que nos brinda una idea si el proceso esta descentrado, mientras que Cp sólo mide capacidad versus variabilidad, es por ello que siempre se utilizan ambos indicadores juntos. Desde ya, que estos valores son estimaciones puntuales y ya sabemos que para poder concluir con más énfasis lo ideal es obtener intervalos de confianza para dichos indicadores.
Minitab nos da la opción de construir intervalos de confianza, tanto para Cp como para Cpk.
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Conclusión
Hemos visto que para implementar el CEP existen diversos gráficos de control. La cuestión es
cuál utilizar, eso dependerá mucho del tipo de proceso que se estudie y la magnitud del cambio
en el parámetro que se desee detectar. Para cambios grandes en el parámetro, digamos 1,5σ o
mayores, el gráfico de Shewhart parece ser la opción a elegir. Cuando se deseen detectar
corrimientos más chicos u obtener un desempeño superior que el gráfico Shewhart, los gráficos
EWMA son la opción recomendada. Manipulando los valores de L y λ, podemos elegir que tan
sensible es el gráfico a pequeños corrimientos y obtener muy buenos valores de LGP. La
simpleza del gráfico Shewhart sigue siendo atractiva para monitorear cambios en un parámetro,
ya que los EWMA agregan la definición del parámetroλ, pero vale la pena el esfuerzo de definir
este parámetro cuando estemos buscando detectar corrimientos pequeños en un parámetro.
Anexo
¿Cómo realizar gráficos EWMA con Minitab?
Estadísticas Gráficas de Control Diagramas de tiempo ponderado EWMA
Se mostrará la siguiente ventana:
En la misma, debemos indicarle al programa como debe leer los datos:
Todas las observaciones para una gráfica están en una columna
Las observaciones para un subgrupo están en una fila de columnas
Para el primer caso, debemos especificar el tamaño de los subgrupos, en el segundo el
programa entiende que el tamaño de los subgrupos es igual a la cantidad de columnas
ocupadas con datos.
Para el caso de EWMA para mediciones individuales, n será igual a 1.
En esa misma ventana se puede especificar el valor de λ, que por defecto es 0,2
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Si presionamos sobre el botón Opciones de EWMA se obtiene la siguiente pantalla:
En la misma podemos especificar los valores de los parámetros, si son conocidos, y se puede
modificar el valor de L, que por defecto es 3, presionando en la solapa Pruebas.
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Bibliografía
Montgomery, Douglas; “Introducción al Control Estadístico de la Calidad” 1ra.Edición; Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1991.
Gryna, Frank y otros; “Método Juran. Análisis y planeación de la calidad” 5ta.Edición. Mc Graw-Hill, México, 2007.
Apunte de cátedra, Decisiones Estadísticas y Control de la Calidad; “Gráficos De Control e Indicadores De Capacidad De Proceso”, Argentina, 2015
Francisco Eljach, Gustavo Penagos, Rita Patricia Peña-Baena Niebles; “Evaluación del uso de las cartas de control X, EWMA y CUSUM en un sistema de control de calidad para procesos no correlacionados”, Colombia, 2006.
Arvelo L. Angel Francisco, “Gráficos de Control”, Venezuela, 2006.
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