math planet issue 2: analysis

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ

Math Planet

Συγγραφείς άρθρων

Στυλιανός ΣαχπαζηςΑθανάσιος Μπεσλικας

Σύνταξη σε LATEXΝικόλαος Κουγιουλης

Τεύχος 2 - Δεκέμβριος 2014

Περιεχόμενα

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 32 ΤΟ ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ STOLZ 43 ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ 13

1

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Καλώς ορίσατε στο θαυμαστό κόσμο του MATHPLANETΤο MATHPLANET επιστρέφει με το δεύτερο τεύχος του γεμάτο

ξανά σελίδες που στοχεύουν στην ανάδειξη της μαθηματικής ομορφιάςκαι την προώθηση της αγάπης για τα ΜαθηματικάΣτα άρθρα που ακολουθούν θα συναντήσετε μια πληθώρα αποδείξε-

ων και προβλημάτων που με μεράκι βρήκαμε και λύσαμε Προτού όμωςπροχωρήσετε στην ανάγνωσή τους να τονίσουμε τα ακόλουθα

(1) Δεν κυνηγάμε κανένα συμφέρον καθώς η προσπάθεια μας είναικαθαρά και μόνο με κατεύθυνση αυτό που αγαπάμε τα ΜΑΘΗ-ΜΑΤΙΚΑ

(2) Θέλουμε τη συμμετοχή σας Μπορείτε να γίνετε μέλη του περιοδι-κού μας και να συνεισφέρετε με δικά σας προβλήματα προτάσειςλύσεις η δημοσίευση των οποίων υπεισέρχεται στην κρίση τωνΥπευθύνων Σύνταξης

΄Οπως γράψαμε και στον πρόλογο της προηγούμενης κυκλοφορίας κάθετεύχος αποφασίστηκε να έχει διαφορετική θεματολογία Το παρόν τεύχοςείναι αφιερωμένο στην Ανάλυση τον κλάδο των Μαθηματικών που γεν-νήθηκε τον 18ο αιώνα και από τότε μέχρι σήμερα δε παύει να ενθουσιάζειτους οπαδούς των θεωρητικών Μαθηματικών Κάθε άλλο παρά αδικαιο-λόγητος θα μπορούσε να είναι αυτός ο ενθουσιασμός τους αφού η Ανά-λυση ανέκαθεν χαρακτηριζόταν από τις laquoουρανοκατέβατεςraquo ιδέες που τηθεμελίωσαν και ανέπτυξαν Στο παρόν τεύχος θα μελετήσουμε ένα πολύόμορφο θεώρημα για ακολουθίες το οποίο στη βιβλιογραφία μας ανα-φέρεται ως laquoΛήμμα του Stolz και θα μας βοηθήσει να υπολογίσουμετα όρια διάφορων σειρών Επίσης θα διερευνήσουμε την αναπαράστασηως άπειρα γινόμενα διάφορων συναρτήσεων και σημαντικών αριθμητικώντιμών με τη χρήση της γνωστής ταυτότητας του Euler για τους μιγαδι-κούς αριθμούς Επίσης θα μελετήσουμε μερικές έννοιες της συνάρτησηςΖήτα του RiemannΝα τονίσουμε ακόμη ότι οι συγγραφείς των άρθρων είναι μέλη του

Math Planet Μόνο τα μέλη μπορούν να δημοσιεύουν το δικό τους άρ-θρο Φυσικά κάθε άρθρο ελέγχεται από τους υπεύθυνους σύνταξης οιοποίοι στη συνέχεια εάν κριθεί απαραίτητο τροποποιούν ΄Η και απορ-ρίπτουν το άρθρο Τόσο για την τροποποίηση ή και την απόρριψη ενόςάρθρου έχει προηγηθεί η ενημέρωση του από τους Υπεύθυνους Σύνταξης΄Ενα μέλος συνδράμει στην εκτύπωση του τεύχους στο οποίο υπάρχει άρ-θρο του Εάν επιθυμείτε να γίνετε μέλος του περιοδικού μας αρκεί να μαςστείλετε e-mail στην παρακάτω διεύθυνση

mathplanetAUTHyahoogr3

2 ΤΟ ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ STOLZ

4

ΤΟ ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ STOLZ

ΣΤΕΛΙΟΣ ΣΑΧΠΑΖΗΣ

Περίληψη Συχνά στον τομέα της Ανάλυσης τίθενται ζητήματα σχε-τικά με την σύγκλιση μιας ακολουθίας ή μίας σειράς αλλά και τηνεύρεση του αριθμού στον οποίο συγκλίνουν Η διαπίστωση της σύγ-κλισης είναι σχετικά απλή όμως η εύρεση του ορίου ενδέχεται ναείναι μια διαδικασία αρκετά umlεπίπονηuml Για παράδειγμα με χρήση τουκριτηρίου του Leibniz εύκολα συμπεραίνουμε ότι η σειρά

infinsum

n=1

minus(1)n+1

2nminus 1

συγκλίνει Ωστόσο ο υπολογισμός της δεν είναι απλή ιστορία καιαυτό επιβεβαιώνεται από το αποτέλεσμα

infinsum

n=1

(minus1)n+1

2nminus 1=π

4

Μπορεί να υπολογιστεί από τη σειρά Fourier κατάλληλα επιλεγμένηςσυνάρτησης ή με ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων αλ-λά όχι με κάποια στοιχειώδη τεχνική ΄Αλλο παράδειγμα η ακολουθίαannisinN με

an =

(1 +

1

n2

)(1 +

2

n2

)(1 +

n

n2

)

για την οποία αποδεικνύεται ότι

limnrarrinfin

an =radice

αλλά ο πιο κλασσικός τρόπος υπολογισμού προϋποθέτει τη γνώσητης ανισότητας

exminusx2

2 le 1 + x le ex x ge 0

Διόλου απλόΕξαιτίας λοιπόν αυτής της σύγχησης σκοπός του άρθρου είναι ναγράψουμε για το λήμμα του Stolz και να δούμε πόσο πολύ μαςβοηθάει να αντιμετωπίζουμε με ευκολία ορισμένες umlσκληροτράχυλεςrsquoπεριπτώσεις ορίων Επίσης συχνά παραλείπεται η παράδοσή του σταπρώτα εξάμηνα των μαθηματικών σχολών άρα μας δίνεται μια καλήευκαιρία να το umlγνωρίσουμεuml

1

5

2 ΣΤΕΛΙΟΣ ΣΑΧΠΑΖΗΣ

ΤΟ ΛΗΜΜΑ

Είναι η εκδοχή του κανόνα LrsquoHospital στην περίπτωση των ακολου-θιών

Λήμμα 01 ΄Εστω annisinN ακολουθία πραγματικών αριθμών bnnisinNακολουθία πραγματικών αριθμών γνησίως αύξουσα με

limnrarrinfin

bn = +infin

limnrarrinfin

an+1 minus anbn+1 minus bn

= l isin R cup +infinτότε

limnrarrinfin

anbn

= l

Απόδειξη Η απόδειξη του Λήμματος δεν θα παρατεθεί καθώς μπορείτενα την βρείτε στο [3] της βιβλιογραφίας

Πως όμως μας χρησιμεύει το λήμμα αυτό και σε ποιές περιπτώσεις Μαςχρησιμεύει όταν αναζητούμε το όριο μιας ακολουθίας που ο n-οστός όροςτης ισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής ή ο παρονομαστής(ήκαι οι δύο) είναι αθροίσματα ορίων ακολουθιών Το πως μας χρησιμεύειθα το καταλάβουμε από τα παραδείγματα που ακολουθούν

Παράδειγμα 01 (Θεώρημα Stolz-Cesaro)΄Εστω η ακολουθία πραγματικών αριθμών annisinN με an rarr aΑποδείξτε ότι

sumni=1 ain

nrarrinfinrarr a

Απόδειξη Θεωρούμε την ακολουθία SnnisinN με Sn =sumn

i=1 ai και τηνbnnisinN με bn = n Είναι εύκολο να δούμε πως bn και limnrarrinfin bn =+infin Επίσης

limnrarrinfin

Sn+1 minus Sn

bn+1 minus bn= lim

nrarrinfinan+1

(n + 1)minus n= lim

nrarrinfinan+1 = a

΄Αρα από το Λήμμα του Stolz έχουμε limnrarrinfinSn

n= a το οποίο ήταν και

το ζητούμενο Παρατήρηση Στο [1] της βιβλιογραφίας υπάρχει μια εναλλακτική α-

πόδειξη του Θεωρήματος αυτού στην οποία δεν χρησιμοποιείται το λήμμα΄Οπως θα παρατηρήσετε και μόνοι σας είναι πιο σύνθετη(με εψιλοντικούς

6

ΤΟ ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ STOLZ 3

ορισμούς ορίων)Πριν προχωρήσουμε στο επόμενο παράδειγμα θα χρειαστεί να υπενθυ-μίσουμε μια βασική ανισότητα που θα μας χρειαστεί

lnx le xminus 1 x isin R

Παράδειγμα 02 Να υπολογιστεί το όριο

limnrarrinfin

ln1k + ln2k + + lnnk

1k + 2k + + nk k gt 1

Απόδειξη Θεωρούμε τις ακολουθίες annisinN bnnisinN με an =sumn

i=1 lnik

και bn =sumn

i=1 ik Προφανώς bn και limnrarrinfinbn = +infin Επίσης

0 le an+1 minus anbn+1 minus bn

=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)

Εφόσον k gt 1 έχουμε limnrarrinfin 0 = 0 και limnrarrinfink

(n+1)kminus1 = 0 Ε-

πομένως σύμφωνα με το κριτήριο του εγκλεισμού και την (1) έπεταιότι limnrarrinfin

an+1minusanbn+1minusbn = 0 Τώρα με χρήση του λήμματος προκύπτει πως

limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n

Απόδειξη Θεωρούμε τις ακολουθίες annisinN bnnisinN με an =sumnminus1

i=1 ii+1

και bn =sumnminus1

i=2 iiminus1 Είναι προφανές ότι bn και limnrarrinfinbn = +infin Ε-πιπλέον έχουμε πως

limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1

(n + 2)n+1 = limnrarrinfin

nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7


Μέχρι αυτό το σημείο είδαμε μόνο πόσο γρήγορα το λήμμα του Stolzumlαποτελειώνειrsquo μια συγκεκριμένη κατηγορία ορίων Ωστόσο δεν ξεκαθα-ρίσαμε ότι σπάνια υπάρχει διαφορετική μέθοδος χειρισμού τους και πωςόταν υπάρχει είναι πολύ δύσκολο να την σκαρφιστεί κάποιος Ας δούμελοιπόν τι θα αναγκαζόμασταν να κάνουμε στα δύο τελευταία παραδείγ-ματα αν είχαμε άγνοια του λήμματος

Πρώτα θα δώσουμε δυο ανισότητες που θα μας χρειαστόυν

Ανισότητα 01 (Ανισότητα του Jensen) Αν f A rarr R κυρτήσυνάρτηση τότε

nsum

i=1

f(xi) ge n middot f(x1 + + xn

n

) x1xn isin A n isin N

Ανισότητα 02 (Ανισότητα του Chebyshev) Αν ισχύει(1) a1 ge a2 ge ge an και b1 ge b2 ge ge bn ή(2) a1 le a2 le le an και b1 le b2 le le bn τότε

1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)

Παράδειγμα 04 (΄Αλλος τρόπος παραδείγματος 01)

Απόδειξη Η συνάρτηση f (0infin)rarr R με τύπο f(x) = xk k gt 1 είναιαπειροδιαφορίρισμη και ισχύει f primeprime(x) = k (k minus 1)xkminus2 gt 0 στο (0infin) άραη f κυρτή Επομένως σύμφωνα με την Ανισότητα του Jensen έχουμε

nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n

)rArr 1k+2k++nk ge 1

nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)

Επίσης και η συνάρτηση g (0infin) rarr R με τύπο g(x) = minuslnx είναιαπειροδιαφορίσιμη και gprimeprime(x) = 1

x2 gt 0 Δηλαδή και αυτή είναι κυρτή καιμε χρήση της ανισότητας του Jensen παίρνουμε

nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr

minus (ln1 + ln2 + + lnn) ge minus 1

nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8


k (ln1 + ln2 + + lnn) le k

nmiddotln(n + 1

2

)rArr ln1k++lnnk lt kmiddotn + 1

2n(2)

αφού όπως είδαμε πιο πάνω lnx le x minus 1 le x Συνδυάζοντας τις (1)και (2) έπεται πως

0 le ln1k + ln2k + + lnnk

1k + 2k + + nkle k middot 2kminus1

(n + 1)kminus1(3)

Αφού όμως k gt 1 limnrarrinfin 0 = limnrarrinfinkmiddot2kminus1

(n+1)kminus1 = 0 Συνεπώς η (3) μαζίμε το κριτήριο παρεμβολής μας δίνουν

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0

Πρωτού ξεκινήσουμε με την δεύτερη λύση του 3ου παραδείγματος ας

θυμηθούμε πως η ακολουθία(

1 +1

n

)n

nisinNείναι αύξουσα και συγκλίνει στον e ΄Αρα ο e είναι το supremum τηςακολουθίας και κατά συνέπεια

(1 + 1

n

)n le eΕπίσης η ακολουθία (

1 +1

n

)n+1

nisinNείναι φθίνουσα και συγκλίνει στον e άρα όμοια είναι το infinum της καιισχύει

(1 + 1

n

)n+1 ge eΤώρα μπορούμε να ξεκινήσουμε τη λύση

Απόδειξη (΄Αλλος τρόπος λύσης παραδείγματος 02) ΄Εχουμε(1 + 1

n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1

nminus1)nminus1 le erArr (nminus 1)n ge eminus1nnminus1 (nminus 1)

Πολλαπλασιάζοντας τις ανισότητες κατά μέλη βλέπουμε ότι (nminus1)n(n+1)n

geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2

12middot 32 + + nminus1

n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)

Παρατηρούμε και ότι nminus1nge nminus2

nminus1 ge ge 23ge 1

2και (n + 1)n ge nnminus1 ge

ge 32Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Chebyshev λαμβάνουμε

9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1

nminus 1middot(nminus 1

n+ +

1

2

)middot

middot 1

nminus 1middot((n + 1)n + + 32

)(2)

Από τις (1) και (2) λαμβάνουμε

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nge eminus2middot

nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)

Η ακολουθία

nn+1

nisinN συγκλίνει στο 1 και άρα από το Θεώρημα Stolz-

Cesaro (βλέπε παράδειγμα 01) συμπεραίνουμε πωςsumnminus1

i=1i

i+1

nminus 1

nrarrinfinrarr 1rArrnminus1n

+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1

Επιπλέον είναι προφανές ότι(

1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1

Δηλαδή ϕnnrarrinfinrarr eminus2 (4) Από τη 2η ανισότητα που τονίσαμε πριν αρχίσου-

με να δίνουμε την λύση παίρνουμε(1 + 1

nminus1)n ge e rArr (nminus 1)n le eminus1nn και

(1 + 1

n

)n+1 ge e rArr 1(n+1)n

leeminus1 middot n+1

nn+1

Τις πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και προκύπτει ότι (nminus1)n(n+1)n

le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21

+ + (n + 1)n middot n+1n

21 + 32 + + (n + 1)n(5)

Σε αυτό το σημείο μπορεί να διαπιστώσει κανείς τις ακόλουθες διατάξεις21ge 3

2ge ge n+1

n minus21 ge minus32 ge ge minus (n + 1)n Η ανισότητα του

Chebyshev μας δίνει τώρα την ανισότητα

minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21

++(n + 1)nmiddotn + 1

nle 1

nminus 1middot(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)

Από τις σχέσεις (5) και (6) λαμβάνουμε

10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n

nrarrinfinrarr 1 λόγο του Θεωρήματος των Stolz-Cesaro βγαίνει

ότι και21++n+1

n

nminus1nrarrinfinrarr 1

Δηλαδή και znnrarrinfinrarr eminus2 (8) Επομένως από τις σχέσεις (3)(4)(7) και

(8) αλλά και το κριτήριο του εγκλεισμού έπεται ότι

limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2

Σχόλιο Καταλαβαίνουμε λοιπόν πως το Λήμμα του Αυστριακού μαθη-

ματικού είναι μεγάλης αξίας μιας και απλουστεύει σε μεγάλο βαθμό τηνεπίλυση κάποιων ασκήσεων

Αναφορές

1 Σωτήρης Κ Ντούγιας Απειροστικός Λογισμός Πανεπιστημιακά Μαθηματικά Κε-ίμενα

2 Ιστότοπος mathematicagr3 WJKaczor MTNowak Problems in Mathematical Analysis I Real Numbers

Sequences and Series Student Mathematical Library AMS (American Mathe-matical Society)

11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ

΄Ασκηση 01 ΄Εστω η συνάρτηση f Rrarr R δύο φορές παραγωγίσιμημε (f (0))2 + (f prime (0))2 = 4 και |f(x)| le 1 forallx isin R Αποδείξτε ότιexistx0 isin R f(x0) + f primeprime(x0) = 0

΄Ασκηση 02 Αποδείξτε πωςinfinsum

n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N

΄Ασκηση 03 Βρείτε τη συνάρτηση f Rrarr R με δυναμοσειρά

f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)

΄Ασκηση 04 ΄Εστω η ακολουθία annisinN με limnrarrinfin ((a1 + 1)(an + 1)) =g 0 lt g ltinfin Να αποδείξετε ότι

infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g

΄Ασκηση 05 Υπολογίστε τις παρακάτω σειρές(1)

infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)

ΤμήμαΜαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 541 24 ΘΕΣ-ΣΑΛΟΝΙΚΗ

12

3 ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

13

ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΜΠΕΣΛΙΚΑΣ

Περίληψη Σε αυτό το άρθρο θα μελετήσουμε μερικά άπειρα γινόμε-να με διαφορετικό τρόπο από τους συνηθισμένους Δεν θα αναφερ-θούμε στο κλασσικό Θεώρημα του Weierstrass που χρησιμοποιο-ύμε στη Μιγαδική Ανάλυση αλλά θα τα δημιουργήσουμε με τη χρήσημιας ταυτότητας που θα δείξουμε με δικό μας τρόπο βασιζόμενοι σεθεμελιώδεις έννοιες της Μιγαδικής Ανάλυσης Στα [1] και [2] τηςβιβλιογραφίας θα βρείτε αποδείξεις που παρατείθενται στο τέλος τουάρθρου αναπόδεικτα και στο [3] τα βασικά στοιχεία που δίνουμε γιατη συνάρτηση Ζήτα που θα χρειαστούν στην επίλυση των προβλη-μάτων

Ταυτότητα 01 Ισχύει ότι z = |z| eiArg(z) όπουArg(z) = arctan(Im(z)Re(z)

)

Απόδειξη Από την ταυτότητα του Euler έχουμε ότι

eiArg(z) = cos (Arg(z)) + isin (Arg(z))rArr

eiArg(z) = cos(arctan

(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr

eiArg(z) =x+ iyradicx2 + y2

=z

|z|

Πρόταση 01 ΄Εστω an μια ακολουθία και έστω ότι ηsuminfin

n=1 an συγ-κλίνει με

suminfinn=1 an = λ isin R και ai 6= (2k+1)π

2 τότε ισχύει ότι

eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14

2 ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΜΠΕΣΛΙΚΑΣ

Απόδειξη Θεωρούμε την ακολουθία μιγαδικών αριθμών zn = 1+itan(an)Από την προηγούμενη ταυτότητα έχουμε ότι z = |z| eiArg(z) κάτι πουισχύει για όλους τους όρους της ακολουθίας που ορίσαμε πιο πάνω Ε-ύκολα μπορούμε να ισχυριστούμε πως

infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1

eiArg(z) rArrinfinprod

n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1

1 + itan(an)radic1 + tan2(an)

= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

Την παραπάνω πρόταση μπορούμε εύκολα να την επεκτείνουμε και για

δυναμοσειρές που συγκλίνουν σε κάποια συνάρτηση ή και για ακολουθίεςσυναρτήσεων Σε κάθε περίπτωση όμως πρέπει να ληφθούν υπόψην οιπαραπάνω περιορισμοί

Στο σημείο αυτό του άρθρου μας θα παραθέσουμε μια απόδειξη για έναπολύ ενδιαφέρον άπειρο γινόμενο της παραπάνω μορφής

Πόρισμα 01 Ισχύει ότι

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z

Απόδειξη Από την παραπάνω πρόταση έχουμε ότι

eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an

Επιλέγουμε την ακολουθία αριθμώνan = z

2n

nisinN όπου

z2nisin R minus

(2k + 1)π2 k isin Z

γιατί σε κάθε άλλη περίπτωση θα είχαμε tan

(π2

)

που δεν ορίζεταιΕπομένως έχουμε από την (1)

exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15

ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ 3

exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z

Να τονίσουμε πως το παραπάνω αποτέλεσμα βασίζεται στο γνωστό γι-νόμετο του Viete που όμως ισχύει χωρίς περιορισμό ως προς τη γωνίαΤο συμπέρασμα που εξάγουμε από το παραπάνω είναι ότι η Πρόταση 01λειτουργεί ως ταυτότητα Στο σημείο αυτό του άρθρου μας θα παρα-θέσουμε μερικές προτάσεις που θα σας φανούν χρήσιμες στην επίλυσητων προβλημάτων που ανατίθενται στο τέλος του άρθρου Επίσης θακάνουμε μια ξεχωριστή αναφορά στην συνάρτηση Ζήτα του Riemannκαι θα αποδείξουμε μια ενδιαφέρουσα πρόταση για μια σειρά πρώτων α-ριθμών Τις αποδείξεις από τις προτάσεις που ανατίθενται μπορείτε είτενα τις επιλύσετε ως ασκήσεις είτε να τις βρείτε στην βιβλιογραφία του άρ-θρου Να τονίσουμε πως η απόδειξη της πρώτης ταυτότητας δεν υπάρχειμε αυτή τη μορφή στη βιβλιογραφία μας καθώς και οι προτάσεις 01 και04 δεν έχουν βρεθεί μέχρι προτείνος σε κάποιο βιβλίο

Στο σημείο αυτό του άρθρου μας θα παραθέσουμε μερικά γνωστά θεω-ρήματα και προτάσεις πάνω στα άπειρα γινόμενα και θα δώσουμε επίσηςκάποια βασικά στοιχεία της συνάρτησης Ζήτα ζ(x) που θα σας φανούνιδιαιτέρως χρήσιμα στην επίλυση των προβλημάτων που θα σας αναθέσου-με

Πρόταση 02 Ισχύει η ανισοτική σχέση

a1 + a2 + + aN leNprod

k=1

(1 + ak) le ea1+a2++aN

Απόδειξη Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση

Πρόταση 03 Τοprodinfin

n=1 an συγκλίνει αν και μόνον εάν ηsuminfin

n=1 log(an)συγκλίνει

Απόδειξη Η απόδειξη παραλείπεται

16


Ορισμός 01 Ως συνάρτηση Ζήτα (για τους πραγματικούς αριθμούς)ορίζεται η παρακάτω συνάρτηση

ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)

Απόδειξη Από τον προηγούμενο ορισμό έχουμε ότι

ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)

Αφαιρόντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε ότι(1minus 1

2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+

Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για τους επόμενους όρους τουαθροίσματος παίρνουμε το αποτέλεσμα που θέλουμε που είναι γνωστόως umlΓινόμενο του Euler uml

Πρόταση 04 Η παρακάτω σειρά συγκλίνει και μάλιστα ισχύει

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1= γ + log

(2π

A12

)

όπου γ η σταθερά των Euler-Mascheroni και A η σταθερά τωνGlaisher-Kinkelin [3]

Απόδειξη Γνωρίζουμε ότι ζ(x) =suminfin

n=11nx x gt 1 Παραγωγίζοντας

κάθε όρο του αθροίσματος έχουμε ότι

ζ prime(x) = minusinfinsum

n=1

logn

nxrArr ζ prime(x) =

infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr

ζ prime(x) =infinsum

n=1

log

((1

n

) )rArr ζ prime(x) = log

( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17


exp ζ prime(x) =infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

(1)

Επίσης από τον ορισμό της συνάρτησης Ζήτα του Euler έχουμε ότι

ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)hArr log(ζ(x)) = log

( prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx))hArr

log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)

Παραγωγίζοντας και την παραπάνω ισότητα έχουμε ότι

ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr ζ prime(x) = ζ(x) middotsum

p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr

ζ prime(x) = ζ(x) middotsum

p πρωτoς

logp

px minus 1

exp ζ prime(x) = exp

ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)

Από την (1) και (2) αν θέσουμε όπου x = 2 λαμβάνουμε

exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp

px minus 1=infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)(3)

Το άπειρο γινόμενο της (2) μπορεί να υπολογιστεί και μάλιστα ισχύειότι

infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2

6(γ + log2π minus 12logA)

(4)

Γίνεται έτσι εύκολα αντιληπτό από τις (3) και (4) ότι

exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές

[1] Joseph Bak Donald Newman Μιγαδική Ανάλυση Leader Books[2] Ιστότοπος httpmathworldwoframcom[3] WJKaczor MTNowak Problems in Mathematical Analysis I Real Num-

bers Sequences and Series Student Mathematical Library AMS (AmericanMathematical Society)

Ασκησεις

΄Ασκηση 01 Αποδείξτε ότιinfinprod

n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2

΄Ασκηση 02 Αποδείξτε ότι

infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4

΄Ασκηση 04 Αποδείξτε την ανίσωση της πρότασης 02

΄Ασκηση 05 Αποδείξτε ότι για κάθε συνάρτηση που έχει ανάπτυγμαδυναμοσειράς με κέντρο x0 ισχύει

infinprod

n=1

1 + itan (an (xminus x0))sec (an (xminus x0))

= eif(x)


19

Περιεχόμενα

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 32 ΤΟ ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ STOLZ 43 ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ 13

1

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ










4




infinsum

n=1

minus(1)n+1

2nminus 1


infinsum

n=1

(minus1)n+1

2nminus 1=π

4


an =

(1 +

1

n2

)(1 +

2

n2

)(1 +

n

n2

)


limnrarrinfin

an =radice


exminusx2



1

5


ΤΟ ΛΗΜΜΑ



limnrarrinfin

bn = +infin

limnrarrinfin



limnrarrinfin

anbn

= l




sumni=1 ain

nrarrinfinrarr a



limnrarrinfin

Sn+1 minus Sn

bn+1 minus bn= lim

nrarrinfinan+1

(n + 1)minus n= lim

nrarrinfinan+1 = a





6





limnrarrinfin


1k + 2k + + nk k gt 1


i=1 lnik

και bn =sumn



=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)





limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n


i=1 ii+1



limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1


nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19

1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ










4




infinsum

n=1

minus(1)n+1

2nminus 1


infinsum

n=1

(minus1)n+1

2nminus 1=π

4


an =

(1 +

1

n2

)(1 +

2

n2

)(1 +

n

n2

)


limnrarrinfin

an =radice


exminusx2



1

5


ΤΟ ΛΗΜΜΑ



limnrarrinfin

bn = +infin

limnrarrinfin



limnrarrinfin

anbn

= l




sumni=1 ain

nrarrinfinrarr a



limnrarrinfin

Sn+1 minus Sn

bn+1 minus bn= lim

nrarrinfinan+1

(n + 1)minus n= lim

nrarrinfinan+1 = a





6





limnrarrinfin


1k + 2k + + nk k gt 1


i=1 lnik

και bn =sumn



=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)





limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n


i=1 ii+1



limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1


nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


4




infinsum

n=1

minus(1)n+1

2nminus 1


infinsum

n=1

(minus1)n+1

2nminus 1=π

4


an =

(1 +

1

n2

)(1 +

2

n2

)(1 +

n

n2

)


limnrarrinfin

an =radice


exminusx2



1

5


ΤΟ ΛΗΜΜΑ



limnrarrinfin

bn = +infin

limnrarrinfin



limnrarrinfin

anbn

= l




sumni=1 ain

nrarrinfinrarr a



limnrarrinfin

Sn+1 minus Sn

bn+1 minus bn= lim

nrarrinfinan+1

(n + 1)minus n= lim

nrarrinfinan+1 = a





6





limnrarrinfin


1k + 2k + + nk k gt 1


i=1 lnik

και bn =sumn



=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)





limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n


i=1 ii+1



limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1


nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19




infinsum

n=1

minus(1)n+1

2nminus 1


infinsum

n=1

(minus1)n+1

2nminus 1=π

4


an =

(1 +

1

n2

)(1 +

2

n2

)(1 +

n

n2

)


limnrarrinfin

an =radice


exminusx2



1

5


ΤΟ ΛΗΜΜΑ



limnrarrinfin

bn = +infin

limnrarrinfin



limnrarrinfin

anbn

= l




sumni=1 ain

nrarrinfinrarr a



limnrarrinfin

Sn+1 minus Sn

bn+1 minus bn= lim

nrarrinfinan+1

(n + 1)minus n= lim

nrarrinfinan+1 = a





6





limnrarrinfin


1k + 2k + + nk k gt 1


i=1 lnik

και bn =sumn



=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)





limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n


i=1 ii+1



limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1


nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


ΤΟ ΛΗΜΜΑ



limnrarrinfin

bn = +infin

limnrarrinfin



limnrarrinfin

anbn

= l




sumni=1 ain

nrarrinfinrarr a



limnrarrinfin

Sn+1 minus Sn

bn+1 minus bn= lim

nrarrinfinan+1

(n + 1)minus n= lim

nrarrinfinan+1 = a





6





limnrarrinfin


1k + 2k + + nk k gt 1


i=1 lnik

και bn =sumn



=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)





limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n


i=1 ii+1



limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1


nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19





limnrarrinfin


1k + 2k + + nk k gt 1


i=1 lnik

και bn =sumn



=ln (n + 1)k

(n + 1)k=

kln (n + 1)

(n + 1)kle kn

(n + 1)klt

k

(n + 1)kminus1(1)





limnrarrinfinanbn

= 0

limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0


limnrarrinfin

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)n


i=1 ii+1



limnrarrinfin


= limnrarrinfin

nn+1


nn+1

(n+1)n+1

(n+2)n+1

(n+1)n+1

= limnrarrinfin

n

n + 1middot 1(

1 + 1n

)n middot1

(1 + 1

n+1

)n+1

= 1 middot 1

emiddot 1

e= eminus2

7





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19





nsum

i=1


n



1

n

nsum

i=1

aibi ge(

1

n

nsum

i=1

ai

)(1

n

nsum

i=1

bi

)



nsum

i=1

f(i) ge 1

nmiddotf(

1 + 2 + + n

n


nmiddot(

n(n+1)2

n

)K

rArr

rArr 1k + 2k + + nk ge (n + 1)k

2kn(1)



nsum

i=1

g(i) ge 1

nmiddot g(

1 + 2 + + n

n

)rArr


nmiddot ln(

n(n+1)2

n

)rArr

8



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19



nmiddotln(n + 1

2


2n(2)




(n + 1)kminus1(3)



limnrarrinfin


1k + 2k + + nk= 0



1 +1

n

)n


(1 + 1

n


1 +1

n

)n+1


(1 + 1

n



n

)n leerArr 1

(n+1)nge eminus1 1

nn και(1 + 1



geeminus2 nminus1

n

01 + 12 + 23 + + (nminus 1)n

21 + 32 + 43 + + (n + 1)nge eminus2


n(n + 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n(1)





9


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


1

nminus 1middot(

1

2middot 32 + +

nminus 1

n(n + 1)n

)ge 1


n+ +

1

2

)middot

middot 1


)(2)


01 + 12 + + (nminus 1)n


nminus1n

+ + 12

nminus 1middot(

1minus 2

21 + 32 + + (nminus 1)n

)= ϕn (3)


nn+1



i=1i

i+1

nminus 1


+ + 12

nminus 1

nrarrinfinrarr 1


1minus 221+32++(n+1)n

)nrarrinfinrarr 1




(1 + 1

n



nn+1


le eminus2 n+1n

΄Αρα

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21 middot 21


21 + 32 + + (n + 1)n(5)


2ge ge n+1



minus 1

nminus 1middot(

21 middot 2

1+ + (n + 1)n middot n + 1

n

)ge minus 1

nminus 1middot

(21 + 32 + + (n + 1)n

)(2

1+ +

n + 1

n

)rArr

rArr 21middot21


nle 1


)(2

1+ +

n + 1

n

)(6)


10


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)nle eminus2

21

+ + n+1n

nminus 1= zn (7)

Καθώς n+1n



n




limnrarrinfin

01 + 12 + + (nminus 1)n

21 + 32 + + (n + 1)n= eminus2



Αναφορές




11


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


ΑΣΚΗΣΕΙΣ



n=1

1

n(n + 1)(n + 2)(n + k)=

1

k middot k k isin N


f(x) = 1 +x3

3+

x6

6+ =

infinsum

k=0

x3k

(3k)


infinsum

n=1

an(a1 + 1)()an + 1)

= 1minus 1

g


infinsum

n=1

nminus 1

n

(2)infinsum

n=1

2nminus 1

2 middot 4(2n)

(3)infinsum

n=2

1n2(

1minus 122

)(1minus 1

n2

)


12


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


13





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19





)




(yx

))+ isin

(arctan

(yx

))

eiArg(z) =1radic

1 +(yx

)2 + iyxradic

1 +(yx

)2 rArr


=z

|z|





eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)

1

14



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19



infinprod

n=1

zn|zn|

=infinprod

n=1


n=1

zn|zn|

= exp

i

infinsum

i=1

Arg (zn)

rArr

infinprod

n=1

zn|zn|

= exp

iinfinsum

i=1

arctan(tan(an))

infinprod

n=1


= exp

i

infinsum

n=1

an

eiλ =

infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)





sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) x 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z


eiλ =infinprod

n=1

(1 + itan(an)

|sec(an)|

)(1) λ =

infinsum

i=1

an


2n

nisinN όπου

z2nisin R minus



(π2

)


exp

i

infinsum

i=1

arctan(tan

( z2n

)) infinprod

i=1

1

cos(z2n

)

=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

15


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


exp

iinfinsum

i=1

z

2n

z

sin(z)=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr zeiz

sinz=infinprod

i=1

(1 + itan

( z2n

))rArr

sinz =zeizprodinfin

n=1

(1 + itan

(z2n

)) z 6= 0z

2n6= (2k + 1)

π

2 k isin Z





k=1







16



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19



ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx x isin (1infin)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1

1minus pminusx)


ζ(x) =infinsum

n=1

1

nx= 1 +

1

2x+

1

3x+ (1)rArr

1

2xζ(x) =

1

2x+

1

4x+ +

1

2nx+ (2)


2x

)ζ(x) = 1 +

1

3x+

1

5x+



sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)






n=1

logn


infinsum

n=1

log(1n

)

nxrArr


n=1

log

((1

n


( infinprod

n=1

(1

n

) 1nx

)rArr

17



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19



n=1

(1

n

) 1nx

(1)


ζ(x) =prod

p πρωτoς

(1


( prod

p πρωτoς

(1


log(ζ(x) =sum

p πρωτoς

log

(1

1minus pminusx)


ζ prime(x)

ζ(x)=

sum

p πρωτoς

pminusxlogp


p πρωτoς

pminusxlogp

1minus pminusx rArr


p πρωτoς

logp

px minus 1


ζ(x)

sum

p πρωτoς

logp

px minus 1

(2)


exp ζ(x) =sum

p πρωτoς

logp


n=1

((1

n

) 1n2

)(3)


infinprod

n=1

((1

n

) 1n2

)= exp

π2


(4)


exp

π2

6

sum

p πρωτoς

logp

p2 minus 1

= exp

π2


rArr

sum

p πρωτoς

logp


(2π

A12

)

18


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19


Αναφορές



Ασκησεις


n=1

(1 +

1

p2n

)=

15

π2


infinprod

n=1

sec(

1p2n

)

1 + itan(

1p2n

)

1i

le π2

15


n=1

n2 + 2iradicn2 + 4

= e3iπ4



infinprod

n=1


= eif(x)


19

math planet issue 2: analysis

Documents