matemáticas 2. serie para la educación secundaria: desarrollo del pensamiento matemático

I

Matemáticas Segundo grado

Serie

Desarrollo del pensamiento matemático

Ricardo Arnoldo Cantoral UrizaRosa María Farfán Márquez

Gisela Montiel EspinosaApolo Castañeda AlonsoMario Sánchez Aguilar

Francisco Javier Lezama AndalónGustavo Martínez-Sierra

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOAMADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO

SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Publisher de la división: Jorge Rodríguez Hernández

Director editorial: José Ashuh Monayer

Editora externa: Martha Maldonado Rosales

Supervisor de producción: Gustavo Rivas Romero

Diseño de interiores: Código X, S.C.

Formación tipográfica: Ricardo Viesca

Con la colaboración de:

Martha Maldonado Rosales (DME, Cinvestav – IPN); Raciel Vázquez Aguilar (DME, Cinvestav – IPN); José Ricardo Mendez Neri (DME, Cinvestav

– IPN); Gabriela López Ballesteros (DME, Cinvestav – IPN); Juan Gabriel Molina Zavaleta (Prome, Cicata – IPN); Carlos Oropeza Legorreta

(Prome, Cicata – IPN); Hipólita Patricio Bustos (Cimate, Facultad de Matemáticas, UAG); Iván Maldonado Rosales (Facultad de Letras Españolas,

Universidad Veracruzana).

Matemáticas Segundo grado

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2007, respecto a la primera edición por:McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Punta Santa Fe, Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 970-10-6080-6

1234567890 09865432107

Impreso en México Printed in Mexico

II

III

Estimada alumna, estimado alumno:

El aprendizaje de las matemáticas puede llegar a convertirse en una

aventura pues

• Hay que buscar “caminos”.

• Encontrar diversas soluciones a un mismo problema.

• Colaborar con otros para llegar a resultados.

• Saber comunicarse cada vez con mayor precisión para que el

mensaje sea efi caz.

• Mantener el entusiasmo.

Con ayuda de este libro, aprenderás nociones y procedimientos matemá-

ticos que servirán de base para tu formación académica y ciudadana. Para

ello seguirás construyendo conocimientos y desarrollarás competencias y

habilidades que te ayudarán en tu vida futura tales como:

• Plantear y resolver diversos problemas.

• Obtener información a partir de datos.

• Comunicarte con efi cacia.

• Manejar diversas técnicas, como el cálculo mental y el empleo de

procedimientos abreviados.

• Utilizar con provecho los avances tecnológicos.

• Pensar y actuar de manera independiente y autónoma.

• Colaborar con tus compañeros, compañeras, profesor (profesora)

en empresas colectivas de manera solidaria.

• Además, las matemáticas te serán de gran utilidad para desenvol-

verte en la vida; por ejemplo, para inventar juegos cada vez mas

desafi antes, para cuidar tu salud, proteger el medio ambiente y de-

fender tus derechos como ciudadano.

Dado que el objetivo último de toda enseñanza es el logro de los apren-

dizajes de los alumnos, nos esforzamos por hacer de este libro un ins-

trumento para tu aprendizaje, un medio que te permita articular los

conceptos con sus procedimientos y que te ayudará a vincular lo que

trabajaste en preescolar, primaria y primer año de secundaria, con

aquello que ahora estudiarás en tu segundo año de secundaria. Todo

con el fi n de desarrollar tu propio pensamiento matemático.

Mensaje a las alumnas y a los alumnos

IV

Tu libro de Matemáticas 2, Serie: Desarrollo del pensamiento matemático, se es-

tructura en 36 lecciones (en la última harás una síntesis), en donde la vinculación

entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los que se tratan en

otras asignaturas es un asunto de suma importancia. El contenido del programa

se articula en tres ejes:

• Sentido numérico y pensamiento algebraico.

• Forma, espacio y medida.

• Manejo de la información.

En cada lección nos hemos valido del empleo de tus conocimientos y de tus prácticas

cotidianas. Nos hemos apoyado en tus conocimientos para construir otros nuevos.

Todas las actividades y ejercicios que te hemos propuesto en el libro, tienen por

objetivo que cuando las realices logres construir ideas matemáticas y con ello de-

sarrolles algún aspecto de tu pensamiento matemático.

Te deseamos el mayor de los éxitos en este curso.

Los autores y las autoras.

Estimada profesora, estimado profesor:

Este libro, Matemáticas 2, Serie: Desarrollo del pensamiento matemático, tiene

como propósito ser un auxiliar didáctico para la educación matemática en las

aulas de secundaria. Con ustedes compartimos el reto de despertar el interés en

los jóvenes estudiantes para que de manera cada vez mas autónoma y creativa

resuelvan situaciones problemáticas; éstas son el fundamento de la enseñanza de

las matemáticas. Para lograr este fi n, diseñamos una propuesta didáctica probada

en el salón de clases, la cual lleva a la refl exión, a la aplicación de conocimientos

que progresivamente se van adquiriendo, a la toma de decisiones, así como al

trabajo individual autónomo y al trabajo en equipo solidario. Todas las activida-

des y ejercicios que proponemos en el libro, tienen por objetivo el construir ideas

matemáticas y con ello desarrollar algún aspecto del pensamiento matemático de

nuestros estudiantes.

En el diseño didáctico tratamos todos los temas del programa vigente de forma tal

que no se limitaran a una temática específi ca y permitiesen el tránsito por un mar

de ideas matemáticas que están presentes en diversos ámbitos del conocimiento

humano: biología, física, español, geografía, demografía y temas de salud. Para in-

troducir un nuevo concepto matemático o para desarrollar competencias y habili-

dades en algún ámbito particular, nos apoyamos en conocimientos y prácticas co-

V

tidianas de los estudiantes, es decir “construimos nuevos conocimientos

a partir de otros ya estables”. La novedosa estructura que hemos dado a

cada una de las lecciones permite distinguir claramente cada etapa del

aprendizaje, en donde los problemas se presentan clasifi cados y en la

última lección ofrecemos una síntesis del curso completo ayudando a

los profesores y profesoras en su importante labor docente.

El libro está organizado en 35 lecciones distribuidas atendiendo a los

indicativos de la SEP que fueron señaladas en la Reforma Integral de

la Enseñanza Secundaria, en donde se señala que la vinculación entre

contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los que se

tratan en otras asignaturas es de suma importancia. El contenido del

programa se articula en tres ejes fundamentales:

• Sentido numérico y pensamiento algebraico.

• Forma, espacio y medida.

• Manejo de la información.

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este eje alude a los fi nes

más relevantes del estudio de la aritmética y del álgebra: por un lado,

encontrar el sentido del lenguaje matemático, ya sea oral o escrito; por

otro, tender un puente entre la aritmética y el álgebra, en el entendido

de que hay contenidos del álgebra en la primaria que se profundizan y

consolidan en la secundaria.

Forma, espacio y medida. Trata los tres aspectos esenciales alrededor de

los cuales gira el estudio de la geometría o la medición en la educación

básica. Es claro que no todo lo que se mide tiene que ver con formas o

espacio, pero sí la mayor parte, las formas se trazan o se construyen, se

analizan sus propiedades y se miden.

Manejo de la información En estos programas se ha considerado que

la información puede provenir de situaciones deterministas, defi nidas

—por ejemplo, por una función lineal—; o aleatorias, en las que se puede

identifi car una tendencia a partir de su representación gráfi ca o tabular.

Les deseamos el mejor de los éxitos en su importante tarea.

Los autores y las autoras.

VI

Lección15

99Lección 15 Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides

Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides

En esta lección aprenderás a calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides, mediante la aplicación de las fórmulas correspon-dientes.

El cálculo del volumen de los cuerpos es muy importan-

te para el estudio de algunas de sus propiedades. Por

ejemplo, la densidad de un cuerpo se define como la

cantidad de masa contenida en un determinado volu-

men, en términos matemáticos: m

v.

En la imagen se muestra una bola de billar que a pesar de su

tamaño, flota en un recipiente lleno de mercurio. Eso se debe

a que la densidad de la bola de billar es menor comparada con la

del mercurio.

AutoevaluaciónTodas las respuestas anótalas en tu cuaderno.

1. Calcula el volumen de:

a) Una pirámide que tiene 8 cm de altura y una base cuadrada de lado 4.5 cm.

b) Un prisma que tiene una altura de 45 pies y una base triangular de 120 pies

cuadrados.

c) Un sólido rectangular que tiene de longitud 6 pulgadas, de ancho 3 pulga-

das y de altura 1 pie.

d) Un cubo con una arista de 7 metros.

2. Encuentra las magnitudes que se te indican:

a) La altura de una pirámide rectangular, si su volumen es igual a 30 cm3 y el

área de su base es de 9 cm2.

b) La longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es de 216 pies cúbicos.

c) El área de la base pentagonal de un prisma, cuya altura es de 0.5 metros y el

volumen es igual a 10 m3.

100 Bloque 2 Matemáticas 2

3. Calcula el volumen de la siguiente figura:

Para aprenderActividad 1. Prisma con el mismo volumen

Anota las respuestas en tu cuaderno.

1. Los egipcios construyeron muchas pirámides, sabemos que la pirámide del Jafra

(Kefrén) mide por lado 214.5 metros y que tiene un volumen de 2 200 823.625 m3.

¿Cómo puedes determinar la altura de la pirámide?

2. ¿Qué altura tendría un edificio con el mismo volumen y la misma base?

3. Comparar a escala ambos edificios.

Actividad 2. Cálculo de volúmenes

1. Trabajando en equipo con tus compañeros. Completar la tabla efectuando los

cálculos para los elementos que faltan, de los prismas indicados en ésta.

AL: Área lateral h: Altura a: Apotema

AT: Área total B: Base L: Lado

V: Volumen r: Radio

e

e

e

eee

h

Base del prisma B h V AL AT

Elementos del polígono

L a r

Hexágono 12 4

Triángulo 4 1

Cuadrado 49 735

Lección7


Relaciones de proporcionalidad.El factor inverso

En esta lección, aprenderás a calcular el factor inverso de una relación pro-porcional, a partir de factores de proporcionalidad enteros o fracciona-rios.

Pitágoras fue un matemático que nació en la isla de Samos, Grecia, en el año 580

antes de nuestra era. Hasta nuestros días, miles de millones de hom-

bres y mujeres han escuchado su nombre en un teorema, que de tanto

memorizar ha tomado tono de canción: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En su tiempo, las aportaciones de la escuela pitagórica

eran un secreto tan bien guardado que se penalizaba severamente a

quien divulgara sus hallazgos.

Pero además del teorema de Pitágoras, el descubrimiento de la pro-

porción numérica, responsable de la armonía musical, ha sido de los

hallazgos más comentados, quizá por el beneficio auditivo que apor-

tó. Pitágoras examinó las propiedades de una cuerda de lira, el instru-

mento más destacado de la música helénica antigua. Con sólo tocar

la cuerda se generaba una nota o tono patrón que estaba producido

por la longitud de la cuerda. Si se presionaba la cuerda en un punto

determinado, se provocaban otras vibraciones y tonos. Los tonos ar-

mónicos sólo se realizaban en ciertos puntos muy concretos. Así, si

se apretaba la cuerda justo en el punto medio de su longitud, el toque

generaba un tono de una octava más alto que el original y se mantenía

en armonía con él. Del mismo modo, presionando la cuerda en pun-

tos que eran justo un tercio, un cuarto o un quinto de su longitud, se

originaban otras notas armónicas. En cambio, si se trababa la cuerda

en un punto que no constituía una fracción simple de su longitud to-

tal, se producía un tono disonante con los anteriores.

Autoevaluación1. En Argentina se construyó una maqueta del famoso barco Titanic a una escala

de 1:570. La maqueta tiene una longitud de 49 centímetros y un ancho de 5 cen-

tímetros. ¿Cuál era la longitud y el ancho del Titanic original?

Representación de Pitágoras, explicando las proporciones musicales. Fragmento de “La escuela de Atenas” Autor: Rafael. Estilo: Renacimiento italiano. Ubicación: Estancias vaticanas, Roma, Italia.

Conoce tu libro

Para aprenderActividades diseñadas a fi n de adquirir los

nuevos conocimientos de la lección.

AutoevaluaciónCon la fi nalidad de que identifi ques tus principales

difi cultades en el tema, además permite que el profesor

o profesora planifi que con dicha información la clase.

Entradacon un tema alusivo y los objetivos de aprendizaje

para la lección.

VII

9Lección 1 Problemas multiplicativos

Los métodosMultiplicación

El producto de dos cantidades con diferente signo es negativo:

( 3) (4) 12

El producto de dos cantidades con el mismo signo es positivo:

Caso 1. Ambos negativos

( 3) ( 4) 12

Caso 2. Ambos positivos

3 4 12

División

El cociente de dos cantidades con diferente signo es negativo:

( 10) (2) 5

El cociente de dos cantidades con el mismo signo es positivo:


( 6) ( 2) 3


6 2 3

Para hacerEjercicios fundamentales

1. Completa las siguientes tablas, examinando la regla que sigue.

2

3

4 36

5

6 54

7

8

9

36

54

69 23

72

81 27

84

93

96 32


Los conocimientosComo observamos en las actividades anteriores, en la multiplicación de números

con signo hay que poner especial atención al signo del resultado.

3 ( 5) 15

05

101520

5

5

5En el caso de las temperaturas, el des-

censo de una temperatura se registra

con un valor negativo.

Como puedes observar, la temperatura disminuye 5 grados en cada medición, por

lo que al final se tiene una temperatura de –15. Nota que al invertir el orden de los

factores no cambia el sentido del problema obteniéndose el mismo resultado:

5 3 15

En el caso de la sucesión de multiplicaciones, los resultados siguen un orden:

( 5) 2 10

( 5) 1 5

( 5) 0 0

( 5) ( 1) 5

( 5) ( 2)Resultados con signo positivo

( 5) ( 3)

( 5) ( 4)

Cuando ambos factores tienen signo negativo, el resultado es positivo, el signo

“ ” no se escribe para un número positivo.

El caso de la división es semejante al de la multiplicación.

(4) ( 2) 2Resultados con signo negativo

(2) ( 2) 1

(0) ( 2) 0

( 2) ( 2) 1Resultados con signo positivo

( 4) ( 2) 2

En una división obtenemos resultado negativo si alguno de los miembros de la

división (el divisor o el dividendo) es negativo, y positivo si ambos miembros son

negativos o positivos.

77Lección 11 Significado y uso de las operaciones

1. Primero se realizan las operaciones dentro de los paréntesis.

2. Después se efectúan las potencias o raíces.

3. Luego las multiplicaciones y divisiones.

4. Por último, se llevan a cabo las sumas y restas.

Ejemplo:

( )( )

2 6 1 35 7

412 1 3

12

412 1 9 20

Observa que cuando no hay paréntesis la jerarquización se sigue respetando. Es

decir, primero se hacen las potencias o raíces, luego las multiplicaciones y divisio-

nes y por último las sumas y restas.


1. Realiza los siguientes cálculos:

a) 3 + 5 × 4

b) (3 + 5) × 4

2. Utiliza los números del cuadrado y completa los signos de agrupación con

suma, resta, multiplicación o división (+, –, × o ÷) y paréntesis, de tal manera

que, al emplear los números que se encuentran en el cuadrado, puedas encon-

trar algunos de los que están contenidos en el círculo. Escribe las soluciones en

tu cuaderno.

3. Analiza con atención la siguiente expresión:

25 + 32 – 15 – 12 + 2 × 5 = 160

¿Hay algún un error? Compruébalo con tu calculadora y comenta el resultado con

tus compañeros.

–4–10

1

8

3

4

6

–17 –4 –31 12

24 –16 4 32

–16 –1 0 –13

–24 8 –30 10

Los conocimientosSección en donde se sintetizan los conocimientos

adquiridos de la lección.

Los métodos

En la que encontrarás un desglose de los métodos

a estudiar con detalle; incluimos

ejemplos ilustrativos.

Para hacerEste apartado está dedicado a la resolución de

diversos problemas a fi n de poner en práctica

los conocimientos adquiridos en la lección.

Hacemos una clasifi cación de los mismos en:

Ejercicios fundamentales, Ejercicios que permiten

consolidar los conocimientos de cada lección,

Ejercicios de profundización y Problemas de

síntesis. Se señalan con rojo aquellos que tienen

respuesta al fi nal del libro.

Contenido

VIII

Bloque 1 2

Lección 1 Problemas multiplicativos 4

Lección 2 Problemas aditivos 12

Lección 3 Operaciones combinadas 19

Lección 4 Medición de ángulos 26

Lección 5 Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas 31

Lección 6 Rectas y ángulos 37

Lección 7 Relaciones de proporcionalidad. El factor inverso 44

Lección 8 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad múltiple 51

Lección 9 Diagramas y tablas 58

Lección 10 Gráfi cas 65

Bloque 2 72

Lección 11 Signifi cado y uso de las operaciones 74

Lección 12 Problemas multiplicativos. Expresiones algebraicas 79

Lección 13 Cubos, prismas y pirámides 87

Lección 14 Fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides 92

Lección 15 Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides 99

Lección 16 Relaciones de proporcionalidad. Comparación de razones 105

Lección 17 Medidas de tendencia central y de dispersión 114

Bloque 3 120

Lección 18 Patrones y fórmulas 122

Lección 19 Ecuaciones de primer grado 130

Lección 20 Relación funcional 136

Lección 21 Suma de los ángulos interiores de un polígono 145

Lección 22 Cubrimientos del plano 150

Lección 23 Gráfi cas. Relaciones lineales I 155

Lección 24 Gráfi cas. Relaciones lineales II 165

Lección 25 Gráfi cas. Relaciones lineales III 174

1

Bloque 4 182

Lección 26 Potenciación y radicación 184

Lección 27 Criterios de congruencia para triángulos 191

Lección 28 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo 198

Lección 29 Noción de probabilidad I 205

Lección 30 Gráfi cas y comportamientos 212

Lección 31 Gráfi cas y rectas 222

Bloque 5 230

Lección 32 Ecuaciones 232

Lección 33 Movimientos en el plano 238

Lección 34 Gráfi cas. Ecuaciones lineales 245

Lección 35 Noción de probabilidad II 254

Lección 36 Una síntesis necesaria 259

Bibliografía 273

Bloque 1Bloque 1

2

Las paralelas… ¿para qué?

Una pregunta reiterada alude al para qué de los conceptos ma-temáticos. Por ejemplo y para el caso de las paralelas podríamos decir que: Los sistemas de riego tradicionales del campo requie-ren, en muchos casos, de dotaciones de agua muy superiores a las necesidades reales de los cultivos. Para mejorar la efi cacia de estos riegos tradicionales, se pueden tomar algunas medidas preventivas. Por ejemplo, en los cultivos de frutales no es preciso mojar toda la superfi cie; asimismo, la realización de surcos para-lelos a las líneas de árboles permite reducir las dosis de riego en forma sencilla y económica.

Como resultado del estudio de este bloque se espera que los alumnos:

• Resuelvan problemas que implican efectuar sumas, restas multiplicacio-nes y/o divisiones de números con signo.

• Justifi quen la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

• Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.

• Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjun-tos de cantidades.

• Interpreten y construyan polígonos de frecuencia.

3

Lección1


Problemas multiplicativosEn esta lección aprenderás a resolver problemas que impliquen operaciones con multiplicaciones y divisiones de números con signo.

Melanocetus johnsonii

Llamado comunmente pez sapo por el órgano que brota de su nariz, el cual tiene bacterias bioluminiscentes que le sirven

para atraer presas; vive en profundidades de hasta –1 000 metros del ni-vel del mar, es un pez voraz y puede tragar otros peces de más del doble de su tamaño.

La mayoría de la biodiversidad abisal, es decir, la de los abismos del océa-no, se encuentra concentrada en formaciones conocidas como montañas submarinas, éstas se elevan hasta 1 000 metros o más sobre el lecho mari-

no, pero no suelen rebasar el nivel del mar. ¿Has visto en el cine este singular pez?

Autoevaluación1. Coloca en cada cuadro el número que corresponda:

�8x � � �56 �4 � (�4) � (�4) � (�4) � 4 � = �72

� �9

2. Evalúa 4x para diferentes valores de x

Valor para x Valor obtenido

4

2

0

21

22

3. Encuentra los valores de a, b y c. Sigue estas tres pistas:

a � c � b bc2 ��3 a � b � 4

4. Completa los espacios en blanco de la siguiente tabla. Multiplica cada reglón por cada una de las columnas.

x 1 �3 �6

�12 �12

�5 30

�12


5. Utiliza las operaciones de suma (�), resta (�), multiplicación (�) y división (�) para obtener, a partir de los seis números, el resultado que se indica:

1 3 4 6 10 100 � 101 1 2 �1 4 0 5 � 5 5 �3 2 �4 1 2 � 30

Para aprenderActividad 1. En las profundidades

Un grupo de biólogos marinos desciende a una fosa marina en un batiscafo para estudiar a las criaturas de las profundidades. El batiscafo es un pequeño vehículo sumergible diseñado para soportar altas presiones de agua y llegar al fondo del océano.

Este vehículo marino desciende a una veloci-dad de 45 metros por minuto y asciende a 50 metros por minuto.

1. ¿Cuánto tiempo hará el vehículo para lle-gar al fondo de una fosa marina que está a �7 700 metros del nivel del mar? Anota la respuesta en tu cuaderno.

2. Después de dos minutos el batiscafo está a �90 metros del nivel del mar. ¿A cuántos metros del nivel del mar estará después de 38 minutos? ¿Y después de una hora? Anota las respuestas en tu cuaderno.

Actividad 2. Sucesiones

Completa los resultados en la siguiente sucesión de multiplicaciones:

(3) � (3) � 9

(3) � (2) � 6

(3) � (1) � 3

(3) � (0) � 0

(3) � (�1) �

(3) � (�2) �

(3) � (�3) �

(3) � (�4) �


Analiza los resultados y explica cómo se comportan. ¿Siguen algún patrón?

Ahora, completa la siguiente sucesión de multiplicaciones:

(�3) � (3) � �9

(�3) � (2) � �3

(�3) � (0) � 0

(�3) � (�1) � 3

(�3) � (�2) �

(�3) � (�2) �

(�3) � (�3) �

(�3) � (�4) �

Analiza los resultados y explica cómo se comportan. ¿Hay alguna diferencia con la secuencia anterior?

¿Podrías calcular el resultado de (�5) � (5) � ? Construye una sucesión para obtener el resultado.

¿Cuál es el resultado de (�18) � (�6)? Lo podemos resolver con una sucesión como la anterior.

24 � (�6) � �4

18 � (�6) � �3

12 � (�6) � �2

6 � (�6) � �1


0 � (�6) �

�6 � (�6) �

�12 � (�6) �

�18 � (�6) �

Actividad 3. Una investigación biológica

Un grupo de biólogos obtuvieron muestras de nieve del Polo Sur y encontraron microorganismos que viven en este lugar, los cuales soportan temperaturas de hasta –30 grados Celsius. Los recipientes con las muestras fueron llevados a un labora-torio para analizarlas, reproduciendo las condiciones climá-ticas de origen.

Una cámara de refrigeración en el laboratorio está a 0° Cel-sius y disminuye 5 grados cada minuto. ¿Qué temperatura alcanzará después de 6 minutos?

5

0

�5

�10

�15

�20

�25

�30

–5

–5

–5

–5

–5

–5

Disminuir 25 Celsius después de6 minutos, lo expresamos como

(�5) � (6) � �30

Otra cámara de enfriamiento está a 0 Celsius y disminuye 2 Celsius cada minuto. Después de 24 minutos, ¿cuál será su temperatura?

Completa el registro de temperaturas.

Minutos transcurridos Temperatura

0 01 �2

�647 �14

15�38

20�48

⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭


Los conocimientosComo observamos en las actividades anteriores, en la multiplicación de números con signo hay que poner especial atención al signo del resultado.

3 � (�5) � �15

0

�5

�10

�15

�20

�5

�5

�5En el caso de las temperaturas, el des-censo de una temperatura se registra con un valor negativo.

Como puedes observar, la temperatura disminuye 5 grados en cada medición, por lo que al fi nal se tiene una temperatura de –15. Nota que al invertir el orden de los factores no cambia el sentido del problema obteniéndose el mismo resultado:

�5 � 3 � �15

En el caso de la sucesión de multiplicaciones, los resultados siguen un orden:

(�5) � 2 � �10

(�5) � 1 � �5

(�5) � 0 � 0

(�5) � (�1) � 5

(�5) � (�2) � Resultados con signo positivo

(�5) � (�3) �

(�5) � (�4) �

Cuando ambos factores tienen signo negativo, el resultado es positivo, el signo “�” no se escribe para un número positivo.

El caso de la división es semejante al de la multiplicación.

(4) � (�2) � �2 Resultados con signo negativo

(2) � (�2) � �1

(0) � (�2) � 0

(�2) � (�2) � 1 Resultados con signo positivo

(�4) � (�2) � 2

En una división obtenemos resultado negativo si alguno de los miembros de la división (el divisor o el dividendo) es negativo, y positivo si ambos miembros son negativos o positivos.

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

⎫⎬⎭

⎫⎬⎭

⎫⎬⎭


Los métodosMultiplicación

El producto de dos cantidades con diferente signo es negativo:

(�3) � (4) � �12

El producto de dos cantidades con el mismo signo es positivo:


(�3) � (�4) � 12


3 � 4 � 12

División

El cociente de dos cantidades con diferente signo es negativo:

(�10) � (2) � � 5

El cociente de dos cantidades con el mismo signo es positivo:


(�6) � (�2) � 3


6 � 2 � 3


1. Completa las siguientes tablas, examinando la regla que sigue.

�2

�3

�4 �36

�5

�6 �54

�7

�8

�9

�36

�54

�69 23

�72

�81 27

�84

�93

�96 32


2. La temperatura registrada en la Antártica, el 15 de junio de 2006, fue de �56 (56 grados bajo cero). Se espera que por día descienda 2 grados centígrados más. Si se cumplen los pronósticos, ¿cuál será la temperatura el 25 de junio del mismo año?

3. Resuelve los siguientes ejercicios:

a) ( ) ( ) ( )− − =7 5 4� �

b) 1

2

3

4

2

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=� �

c) − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=51

8

2

3� �

d) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=3

4

5

2

1

5� �

e) −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

÷ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=2

5

3

2

f ) − ÷ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=34

9

2

7�

4. Jugando con la calculadora. Las pantallas son generadas por una calculadora; la palabra “Número” es el nombre de una memoria de la calculadora que alma-cena un valor numérico. Para cada pantalla escribe qué número se guardó en la memoria de la calculadora y produce el resultado mostrado.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)NOTA: En muchas calculadoras, el signo “� ” lo considera por omisión. Si escribes 3x, la calculadora lo reconoce como “3 x” o “tres por la cantidad llamada x”.


Ejercicios para consolidar los conocimientos

Utiliza tu cuaderno para anotar las respuestas.

1. Evalúa cada expresión.

xy x y÷ − = − =( ),5 2 3si y

x

x5

200, si = −

ab�2

, si a � �1 y b � �4

2. Un grupo de escaladores se ha propuesto alcanzar la cumbre del Everest. Su plan de ascenso inicia en Katmandú, capital de Nepal, que está a 1 350 metros sobre el nivel del mar y tiene una temperatura promedio de 30 Celsius. En los registros de ascenso, por cada medio kilómetro que suben la temperatura disminuye 4 Celsius. ¿A cuántos metros está el lugar donde la temperatura re-gistrará 0 Celsius?

En promedio, ¿a qué temperatura está la cima del monte Everest?

A una altura de 6 850 metros sobre el nivel del mar, ¿cuál es el promedio de temperatura?

¿A qué altura la temperatura promedio es de �30 Celsius?

El sitio llamado Valle de la Muerte, en la cordillera del Himalaya, está aproxima-damente a 8 300 metros sobre el nivel del mar y es un paso obligado para subir al Everest. ¿Puedes estimar cuál es su tem-peratura promedio?

Elabora una tabla que relacione las altu-ras y las temperaturas promedio.

3. Un caracol asciende desde el fondo de un pozo, que está constituido por 10 anillos; cada uno tiene un metro de altura. El caracol sube dos metros por el día y por la noche desciende la mitad de lo que subió. Al tercer día de su recorrido sube un metro durante el día y desciende metro y medio. ¿A qué altura se en-cuentra el caracol al décimo día? ¿Qué signifi cado tiene tu resultado?

Ejercicio de síntesis

Se tiene la siguiente operación: a bb

aba+ = − + . ¿Cuál es el valor de a b+ , si

a = −2

5 y b =

−3

7? Anota la respuesta en tu cuaderno.

Lección2 Problemas aditivos

3n

4b

b

12 Bloque 1 Matemáticas 212 Bloque 1 Matemáticas 2

En esta lección aprenderás a resolver problemas que implican adición y sus-tracción de expresiones algebraicas.

Una anécdota

Hablaremos acerca de un matemático llamado Carl Gauss, quien nació en el

siglo XVIII, en lo que hoy día conocemos como Alemania. Cuenta la histo-

ria que un día, estando en la escuela, su maestro de matemáticas solicitó a

la clase que encontrara la suma de TODOS los números comprendidos

entre 1 y 100. El maestro pensó que con esta actividad tendría ocupado

al grupo un buen tiempo y así podría terminar algunos deberes. Para su

sorpresa, Gauss levantó casi inmediatamente la mano para dar la respuesta

correcta. El niño explicó que la solución la había encontrado usando ál-

gebra. Gauss tenía apenas 10 años de edad.

¿Podrías calcular esa suma? ¿Cuánto tiempo tardarías?

Autoevaluación1. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras:

2. Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla de sumas:

+ 2x 4 x

–3x

0 6

21 3x

3. Un octaedro es un cuerpo geométrico en el espacio con-

formado por 8 triángulos regulares. Calcula el perímetro

de un octaedro cuyas aristas (lados de los triángulos)

miden a.

13Lección 2 Problemas aditivos

Para aprenderActividad 1. Ladrillos y paredes

Las figuras que se muestran enseguida están formadas por ladrillos de la forma

Si todos los ladrillos son iguales, encuentra el perímetro de cada figura. Anota en

tu cuaderno las respuestas.

Actividad 2. La medida del enebro

Paco, Karla, Ana, Lucía y Pedro pasean por el bosque. En su recorrido encuentran

un árbol con hojas muy especiales, un enebro, pero ellos no lo conocen. A Paco se

le ocurre que pueden utilizar las hojas que están en el piso para medir sus alturas.

Éstas quedan como sigue:

Karla: 90 hojas.

Ana: Lo que mide Karla más 5 hojas.

Lucía: Lo que mide Ana menos 6 hojas.

Paco: Lo que mide Ana menos lo que mide Lucía más 12 hojas.

Pedro: Lo que mide Ana menos lo que mide Paco más 15 hojas.

Si representamos la medida de cada hoja con r, ¿cómo quedarían las alturas de los

niños?

Actividad 3. Adivina, adivinador

Realiza el siguiente truco con algunos de tus amigos:

a) Piensa en un número que esté entre 1 y 15.


b) A este número súmale 15 y escribe el resultado.

c) Aparte, a 15 réstale el número que pensaste y anota el resultado.

d) Suma los dos resultados que escribiste.

e) El resultado es 30.

¿Puedes explicar cuál es el truco para adivinar el resultado?

Actividad 4. ¡Da lo mismo!

Piensa en tres números consecutivos y anótalos en tu cuaderno. Realiza las si-

guientes cuentas y escribe los resultados:

a) Suma los tres números.

b) Multiplica por 3 el número de en medio.

c) Multiplica por 3 el primer número y súmale al resultado 3.

¿Por qué en las tres cuentas da lo mismo?

¿Qué ocurre con otros 3 números consecutivos?

Los conocimientosLa multiplicación de dos números naturales es una suma reiterada de tantos su-

mandos de un factor como indique el otro factor. De este modo:

5 3 5 5 5 15× = + + = 5 sumado 3 veces

O bien

5 3 3 3 3 3 3 15× = + + + + = 3 sumado 5 veces


Asimismo, la suma reiterada o repetida de un número cualquiera n puede escri-

birse como producto. Por ejemplo:

5 × = + + + +n n n n n n

n sumado 5 veces

7 × = + + + + + +n n n n n n n n

n sumado 7 veces

En el lenguaje del álgebra, cuando se escribe el producto 7 × n no se acostumbra

escribir el símbolo del producto, sino “yuxtaponer” los símbolos; así, tenemos que

7 × n se escribe como 7n y 5 × n se anota como 5n.

De manera inversa, es posible reducir una expresión que contiene sumas y restas

de expresiones algebraicas si las “agrupamos” en una expresión. Por ejemplo:

3 2 5n n n n n n n n+ = + + + + = n sumado 3 veces + n sumado 2 veces = n sumado 5 veces

5 3 2n n n n n n n n n n n− = + + + + − − − = n sumado 5 veces - n sumado 3 veces = n sumado 2 veces

Así, para la Actividad 4 podemos proceder de la siguiente manera: si tenemos que

n simboliza un número natural cualquiera, sus consecutivos pueden representarse

con n + 1 y n + 2. La suma de tres números consecutivos puede ser representada

como sigue:

n n n n+ + + + = +1 2 3 3

o bien,

n n n n n n n+ + + + = + + + + + = +1 2 1 1 1 3 1( )

Lo cual explica por qué con las tres formas de solución se obtiene lo mismo.

Como puedes observar, los resultados constan de un número multiplicado por

una letra. A este tipo de expresiones les llamamos monomios.

Un monomio consta de

4x

parte

literal

coeficiente

El coeficiente es un número que puede ser fraccionario, entero, decimal, etc.; la

parte literal puede estar constituida por una o más letras que, a su vez, pueden es-

tar elevadas a alguna potencia o representar un cociente. Algunos ejemplos son:

31

31 25 5x x x x, , . , −

A la expresión formada por dos o más monomios relacionados por un signo de

adición o de sustracción le llamamos polinomio. Un polinomio que consta de dos


términos recibe el nombre de binomio. Un polinomio que consta de tres términos

se le conoce como trinomio. A los polinomios de más de tres términos se les llama

polinomios de n términos. Formemos polinomios a partir de los ejemplos de los

monomios:

3

1

3x x+

binomio

1 25 5. ( )x x− − binomio

31

31 25x x x+ − . trinomio

3

1

31 25 5x x x x+ − + −. ( )

polinomio de cuatro términos

Los métodosPara reducir expresiones algebraicas que contienen sumas y restas debemos sumar

o restar los coeficientes de cada una de ellas, utilizando las reglas para sumar nú-

meros enteros. Al resultado final le colocaremos la parte literal que tengan ambos

monomios:

3 2 5n n n+ =

Sumamos 3 + 2 = 5 y colocamos la parte literal que tienen ambos

5 3 2n n n− =

Restamos 5 – 3 = 2 y colocamos la parte literal que tienen ambos


1. En la figura coloca los siguientes valores:

a 3a 4a 6a

–5a 8a –3a –2a 9a

De tal manera que en forma vertical y horizontal la

suma sea 7a.


2. El lado de cada uno de los siguientes hexágonos mide a. Calcula el perímetro

de la siguiente figura.

3. Efectúa el siguiente “truco” con algunos de tus amigos:

a) Piensa un número.

b) Súmale 5.

c) Réstale el número que pensaste.

d) El resultado da 5.

Explica el “truco” para adivinar el resultado.


Escribe en tu cuaderno las respuestas.

1. Argumenta por qué la siguiente proposición es verdadera: la suma de dos núme-ros consecutivos siempre es un número impar.

2. Argumenta por qué la siguiente proposición es verdadera: la suma de tres núme-ros consecutivos siempre es múltiplo de 3.

3. ¿Es cierto que la suma de cuatro números consecutivos es múltiplo de 4?

4. Realiza el siguiente “truco” con algunos de tus amigos:

a) Piensa en un número que esté entre 1 y 20.

b) Súmale a ese número 20 y escribe el resultado.

c) Ahora réstale a 20 el número que pensaste y anota el resultado.

d) Suma los dos resultados.

e) El resultado es 40.

Explica el “truco” para adivinar el resultado.


Ejercicios de síntesis

1. Observa la siguiente lista de números: 5, 9, 13, 17… Si se continuara escribiendo

números en esa lista, ¿se tendría que anotar el 877? Haz el ejercicio en el espacio

siguiente:

2. Un dodecaedro es un cuerpo geométrico en el espacio, conformado por 12 pen-

tágonos regulares. Calcula el perímetro de un dodecaedro cuyas aristas (lados

de los pentágonos) miden a.

Lección3

19Lección 3 Operaciones combinadas

Operaciones combinadas

En esta lección aprenderás a reconocer y obtener expresiones alge-braicas equivalentes, a partir del empleo de modelos geométricos.

María Agnesi fue una destacada matemática italiana que vivió en-

tre 1718 y 1799. Se dedicó a profundidad al estudio del álgebra y

la geometría; en 1745 publicó Instituciones analíticas, sin duda su

obra más importante en la que introduce el uso de los modelos

geométricos para explicar relaciones de magnitud.

Ella fue la primera mujer que impartió clases de matemáticas en

una universidad.

Autoevaluación1. Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura:

2. Los lados de un rectángulo se alargan en 2 unidades. Obtén el nuevo perímetro.

¿Cuánto aumentó respecto al perímetro original?

3. Calcula el área de la figura:

5

x

a

b

2

20

x – 2

3

5

x

3


4. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

5. Se tiene un hexágono regular de lado a y apotema b. Calcula el perímetro y el

área del polígono.

Para aprenderActividad 1. Perímetros

Dibujamos un cuadro de un 1 metro por lado,

¿Recuerdas cómo obtenemos el perímetro? Al sumar todos los lados de la figura:

P = L + L + L + L

P = 1 m + 1 m + 1 m + 1 m = 4 m

Trazamos un rectángulo junto a este cuadrado.

x x

x

6a

4a 3.5a

2a

1 m

1 m

1 m

1 m

x

1 m

a

b


Las dimensiones de este nuevo rectángulo son: 1 m de ancho y x de largo.

a) Calcula el nuevo perímetro de las dos figuras unidas.

b) Si x = 2.5 m, ¿cuál es el perímetro?

c) Encuentra el valor de x, en el caso donde el perímetro es de 12 m.


Actividad 2. Áreas

Nuevamente dibujamos un cuadrado y calculamos su área.

A = L � L

A = 1 m � 1 m

A = 1 m2

Cuando el coeficiente de la expresión algebraica es 1, sólo escribimos la literal.

Junto a este cuadrado trazaremos un rectángulo cuyas dimensiones son m de an-

cho y x de largo.

Podemos obtener el área total de dos formas:

La primera consiste en calcular el área de cada figura y después sumar los resul-

tados,

A = x � m A = m � m

A = xm A = m2 + A = xm + m2

La segunda es dando un valor único a los lados de la figura,

A = m � (x + m) A = mx + m2

a) Para el caso de x = 4, ¿cuál es el área que se obtiene?

b) Para el caso de m = 7, ¿cuál es el área que se obtiene?

c) Si el área obtenida es A = 2m2, ¿cuál es el valor de x?


1 m

1 m

m m

xmm

mx + m

m

x⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ⎫⎬⎭


Los conocimientosEn la Actividad 1 calculamos el perímetro de un cuadrado sumando el valor de

cada uno de los lados.

En la figura los lados miden lo mismo, por lo que el valor de cada lado se repite

cuatro veces.

P = m + m + m + m = 4 m

Pero en la siguiente figura hay dos magnitudes diferentes, que se repiten dos veces:

P = m + m + x + x = 2 m + 2x

En el primer caso, los cuatro términos son semejantes. En el segundo, sólo dos de

ellos son semejantes.

Llamamos términos semejantes a aquellas expresiones que tienen las mismas lite-

rales y los mismos exponentes, aunque sus coeficientes sean diferentes. Recuerda

que sólo los términos semejantes se pueden sumar y restar entre sí.

ß 4x es un término semejante con 15x

ß 4x no es término semejante con –4x2

En la Actividad 2 calculamos el área de un cuadrado con la fórmula A = L · L

A = m2

Si hacemos que uno de los lados del cuadrado se incremente en 2 unidades, en-

tonces se verá así:

Para obtener el área, multiplicamos m · (m + 2)

Distribuimos el factor m en ambos términos de la suma (m + 2)

A = m · (m + 2)

m

m

x

m

m

m

m

m + 2


A = (m � m) + ( m � 2)

A = m 2 + 2m

Los métodosDos o más términos se pueden sumar o restar siempre y cuando sean semejantes.

a + a + a = 3a

Para el caso del producto, recuerda las leyes de los exponentes: el exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

a � a � a = a3

Al multiplicar expresiones como:

3m � 4x

Se multiplican los coeficientes y se deja indicada la multiplicación de m y de x

3m � 4x = 12mx


1. Calcula el área de la figura, a partir de las cuatro áreas que la componen.

2. En el plano de un departamento, la cocina es cuadrada y mide

(x + 6) de lado, la recámara tiene el mismo ancho que la cocina

y su largo excede en 2x unidades su ancho.

a) Calcula el área y el perímetro de la cocina.

b) Calcula el área y el perímetro de la recámara.

a

b

b

a

ComedorCocina Baño

Sala Recámara


3. Calcula el área y el perímetro de las regiones sombreadas.


1. Encuentra el perímetro y el área de los paralelogramos ABEF, BCDE y ACDF.

2. Calcula el perímetro de la figura.

a) Calcula el área del triángulo que se indica.

b) Calcula el área del polígono.

F E D

a + 1

a + 1A B Ca – 1

n2x

x

y

m



1. De la siguiente figura, calcula el área de los triángulos y también la del rectán-

gulo.

a) Con los resultados obtenidos, calcula el área del trapecio.

b) De lo anterior, ¿podrías deducir una fórmula para calcular el área de un

trapecio?

2. En la figura, AEFD es un cuadrado de área a2 y EBCF es tal que EB = b. ¿Cuál es

el área y el perímetro del paralelogramo ABCD?

a b a

a + b

D F C

A E B

Lección4


Medición de ángulosEn esta lección aprenderás a medir ángulos, a dibujarlos, a clasificarlos y a realizar operaciones básicas entre ellos.

La torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa. Fue cons-

truida para que permaneciera en posición vertical, pero comenzó a incli-

narse tan pronto como se inició su construcción, en agosto de 1173. La

altura de la torre mide 55 metros desde la base —tiene 294 escalones—, su

peso se estima en 14 mil 700 toneladas y su inclinación actual es de aproxi-

madamente 10%.1

Autoevaluación 1. Utiliza tu transportador para encontrar la medida de los siguien-

tes ángulos.

2. Relaciona las columnas:

Ángulo recto ( )

Ángulo llano ( )

Ángulo agudo ( )

Ángulo obtuso ( )

3. Resuelve las siguientes operaciones y traza el ángulo resultante en tu cuaderno:

a) 51° 34′ 41″ + 39° 12′ 35″

b) 142° 18′ 33″ – 34° 49′ 39″

c) 41° 38′ 50″ � 2

1 Información tomada de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Pisa

a) b)

c)d)

27Lección 4 Medición de ángulos

Para aprender

Actividad 1. ¡Ángulos con un mismo vértice!

1. En el triángulo ABC marca todos los ángulos que tengan por vértice el punto H.

2. ¿Cuántos ángulos hay con vértice H?

3. Con un transportador, encuentra la medida de todos los ángulos con vértice H.

4. Suma de dos en dos los ángulos. Clasifícalos, según los resultados obtenidos.

5. ¿Qué caracteriza a los ángulos cuya suma da la misma cantidad?


Actividad 2. ¡Ángulos y relojes!

1. ¿Qué hora es cuando el ángulo entre las manecillas del reloj es de:

a) 60° b) 120° c) 150°?

2. ¿Qué ángulo forman las manecillas cuando el reloj marca las siguientes horas?

A

B

C

D

E

H

12

3

12

6

12

8


Los conocimientosÁngulo: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen, llama-

do vértice. Las semirrectas se llaman lados.

Ángulo agudo: Es el que mide menos de 90°.

Ángulo recto: Es el que mide 90°.

Ángulo obtuso: Es el que mide más de 90° y menos de 180°.

Ángulo llano (plano): Es el que mide 180°.

Los métodosPrimero, consideremos que la forma de sumar o restar ángulos es igual a la de

medir las horas, sólo que ahora, en lugar de una hora, tendremos un grado; los

minutos y segundos permanecerán igual.

Supongamos que son las 3:40 horas exactas y que mi despertador suena a las 4:30

horas con 20 segundos. La pregunta es, ¿cuánto tiempo falta para que suene el

despertador?

Actividad 3. ¡Ángulos y brújulas!

1. En colaboración con tus compañeros, indica qué ángulo se forma entre los si-

guientes pares de direcciones:

a) N y S

b) E y SE

c) N y SE

d) E y N

e) SE y SO

f ) S y NE

N

NE

E

SE

S

SO

O

NO

Llano o plano

Obtuso

Recto

Agudo

Referencia

29Lección 4 Medición de ángulos

Sólo tenemos que hacer una resta:

_ 4 h 30 min 20 s Como tenemos que restar por separado los segundos,

3 h 40 min 0 s los minutos y las horas, no podemos restar 40 minutos

20 s a 30 minutos, entonces convertimos una hora en minu-

tos y la colocamos en la columna de los minutos, que-

dándonos:

_ 3 h 90 min 20 s

3 h 40 min 0 s

0 h 50 min 20 s

Ahora, si queremos sumar dos o tres ángulos, o restarlos, tenemos que usar grados en lugar de horas, recordando que un minuto tiene 60 segundos y, a su vez, un

grado tiene 60 minutos.

NOTA: Al multiplicar un ángulo por un escalar (2, 3, 4,…, n) es como sumar ese

número de veces ( )2 1 1 1⋅ = +θ θ θ .


1. Dada la siguiente figura, identifica: a) dos ángulos obtusos; b) un ángulo recto;

c) un ángulo llano y d) un ángulo agudo con vértice en D.

2. Calcula: a) las dos terceras partes de un ángulo recto; b) 25% de un ángulo llano

y c) un décimo de las dos quintas partes de un ángulo de 45°.

3. Observa el ángulo ∠ AOB ilustrado a la derecha.

a) Traza el segmento de recta O ′A′.

b) Con centro en O, traza un arco que corte en C y D a los lados OA y OB, res-

pectivamente.

c) Con centro en O′ y radio OC, traza el arco QR que corte a O ′A′ en C ′.d) Con centro en C ′ y radio CD, traza el arco ST que corte a QR en D′.

e) Traza el segmento de recta O ′B′ que pase por D′.

El ángulo ∠ A′ O′ B′ es una reproducción del ángulo ∠ AOB.

A

B C

D

12

3

A

B

O




1. Utiliza la figura de la izquierda para calcular: a) ∠ COA; b) ∠ EOB; c) ∠ AOE.

2. Observa la siguiente fi gura y da un valor aproximado de la magnitud del ángulo formado por: a) la manecilla de las horas y el segundero, ∠ HCS; b) el minutero y la manecilla de las horas, ∠MCH; c) el segundero y el minutero, ∠MCS.

3. Utiliza la aplicación de la página web del Proyecto Descartes (http://descartes.

cnice.mecd.es/1y2_eso/Tiempo_y_angulos_d3/estimacion_angulos.htm) para

ejercitarte en la estimación de las magnitudes de ángulos.

Ejercicios de profundización

1. Construye sin transportador ángulos de a) 60°; b) 45°; c) 30°; d) 22° 30′; e) 75°; f ) 120°. Utiliza tu cuaderno.

2. a) ¿Cuántos grados gira la manecilla de las horas en 30 minutos? b) ¿Cuántos

grados gira el minutero después de doce minutos? c) ¿Cuántos grados ha girado

el segundero después de 38 segundos?


Cuál es la magnitud del ángulo formado por la manecilla de las horas y el minute-

ro cuando son: a) las 7:00; b) las 9:30; c) las 5:15.

Nota: Utiliza la aplicación de la página web del Proyecto Descartes (http://descar-

tes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Tiempo_y_angulos_d3/angulosreloj.htm) para verifi-

car tus resultados.

Ejercicio con tecnología

Resuelve las siguientes restas de ángulos y verifica tus soluciones utilizando la

aplicación (en inglés, applet), contenida en la página web del Proyecto Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo6.htm).

a) 56° 20′ 40″ – 37° 42′ 15″

b) 125° 15′ 30″ – 24° 50′ 40″

c) 33° 33′ 33″ – 17° 43′ 34″

1

2

3

456

78

9

10

11 12

C

HM

S

B

C

DE

O

A

a = 90°b = 35°

c = 45°d = 50°

Lección5

31Lección 5 Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas

Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas

En esta lección aprenderás a distinguir las líneas paralelas, perpendiculares y oblicuas; además, conocerás los ángulos que se forman cuando dos líneas rectas se interceptan (intersecan).

Los sistemas de riego de campo tradicionales re-

quieren, en muchos casos, de dotaciones de agua

superiores a las necesidades reales de los cultivos.

Para mejorar la eficacia de estos riegos, se pueden

tomar algunas medidas preventivas. Por ejemplo, en

los cultivos de frutales no es preciso mojar toda la

superficie; asimismo, la realización de surcos para-

lelos a las líneas de árboles permite reducir las dosis

de riego en forma sencilla y económica.

Autoevaluación1. Determina cuál de los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares

y oblicuas.

2. Relaciona las columnas:

Líneas perpendiculares ( ) a) Dos o más líneas, equidistantes entre sí, y que por más que se prolonguen no pueden encontrarse.

Líneas oblicuas ( ) b) Son dos ángulos no adyacentes formados por dos líneas rectas que se intersecan.

Líneas paralelas ( ) c) Al intersecarse, forman un ángulo que no es recto.Ángulos opuestos por el vértice ( ) d) Al intersecarse, forman un ángulo recto.

A

B

C

D

A

BC

D

A

B

C

D

E

F


3. En las siguientes figuras, determina el valor de a.

Para aprenderActividad 1. ¡Puntos y rectas!

Tenemos la recta AB y el punto C externo a dicha recta.

Utiliza tus escuadras y compás, y responde las siguientes preguntas:

a) Traza una recta que pase por el punto C y que corte la recta AB. ¿El punto de

corte deberá estar forzosamente entre los puntos A y B?

b) Traza una recta que pase por el punto C y que no corte la recta AB. ¿Cómo pue-

des estar seguro de que no cortará la recta AB? ¿Cuántas rectas se pueden trazar

que pasen por C y no corten a la recta AB?

c) Traza los segmentos CA y CB.

a 70°a

155°

A B

C


d) Ahora localiza dos puntos, R1 y R

2, en la recta AB, tales que las longitudes de los

segmentos CR1 y CB sean menores que la del segmento CR

2.

e) ¿Es posible encontrar en la recta AB un punto R tal que el segmento CR sea

menor que los segmentos trazados anteriormente? Explica tu respuesta en tu

cuaderno.

Actividad 2. ¡Rectas y rectas!

Las letras a, b y c denotan rectas en el plano.

Ilustra las siguientes afirmaciones en tu cuaderno:

a) Si a es paralela a b y b paralela a c, ¿cómo son a y c?

b) Si a es paralela con b y b oblicua con c, ¿cómo son a y c?

c) Si a es perpendicular con b y b oblicua con c, ¿cómo son a y c?

d) Si a es perpendicular con b y b perpendicular con c, ¿podrían ser oblicuas a y c?

e) Si a es oblicua con b y b oblicua con c, ¿podrían ser a y c oblicuas? ¿Podrían ser

a y c paralelas? ¿Podrían ser a y c perpendiculares?

Los conocimientosLíneas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y sólo si

se intersecan, formando un ángulo recto.

Líneas paralelas: Dos rectas son parale-

las si y sólo si yacen en el mismo plano

y no se intersecan.

Líneas oblicuas: Dos rectas son oblicuas siempre que no sean para-

lelas ni perpendiculares.

Ángulos opuestos por el vértice: Dos ángulos

son opuestos por el vértice si y sólo si las pro-

longaciones de los lados de uno forman los

lados del otro.

a1 y a

2 a

3 y a

4

m

l

m

l

m

l

a3

a1

a2

a4


Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes siempre que sean consecutivos y

los lados no comunes se encuentran sobre una misma recta. Los ángulos adyacen-

tes son suplementarios.

Los métodosSabemos que dos ángulos complementarios suman 90° y que dos ángulos suple-

mentarios suman 180°.

Para encontrar el valor de un ángulo que se desconoce, despejamos ese valor en

las relaciones siguientes:

Ángulos complementarios Ángulos suplementarios

ba

x

y

b

55°b

143°


1. Si en la siguiente figura el ángulo a mide

40°, ¿cuál será el valor de cada uno de los

ángulos b, c y d?

b + 55° = 90°

b = 90° – 55°

b = 35°

b + 143° = 180°

b = 180° – 143°

b = 37°

d

b a

c


2. Calcula el ángulo complementario de:

a) 30° b) 18° 50′ 15″ c) 33° 33′

3. Calcula el suplemento de:

a) 25° b) 56° 10′ 50″ c) 27° 18′ 17″


1. ¿Cuál es la magnitud del ángulo formado entre dos paralelas?

2. La suma de un par de ángulos opuestos por el vértice es 70°, ¿cuál es la magni-

tud de cada uno de sus ángulos adyacentes?

3. Si en la siguiente fi gura, ∠COE = 165° y las rectas AD y CF son perpendiculares, ¿cuál es la magnitud de los ángulos ∠AOB y ∠EOF ?


1. ¿Cuál es el ángulo que es: a) igual a su complemento; b) el doble de su suple-

mento; c) la mitad de su complemento; d) 25% de su suplemento? Anota las

respuestas en tu cuaderno.

2. Si el ángulo a es adyacente al ángulo b, y el ángulo b es adyacente al ángulo c, en-

tonces ¿a y c son complementarios? Justifica tu respuesta, utiliza tu cuaderno.

3. El ángulo a es adyacente al ángulo b, y el ángulo c es complemento del ángulo a.

Si c) 62° 15′ 25″, ¿cuál es la magnitud del ángulo b?

A

BC

D

EF

O

165º

a

bc



1. Observa la siguiente figura. ¿Cómo son las bisectrices de los ángulos adyacen-

tes? Justifica tu respuesta, utiliza tu cuaderno.

2. Da argumentos para justificar lo siguiente: si los lados de un ángulo son respec-tivamente paralelos a los lados de otro, ¿los ángulos son congruentes o son suple-mentarios? Anota la respuesta en tu cuaderno.

Lección6

37Lección 6 Rectas y ángulos

Rectas y ángulosEn esta lección aprenderás cuánto vale la suma de los ángulos internos de un triángulo y de un cuadrilátero. También conocerás las características que tie-nen los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra en forma transversal.

Cuando se tiene un conjunto de líneas rectas paralelas y

son cortadas transversalmente por otra recta, aparecen

relaciones matemáticas entre los ángulos que se for-

man. Si en el espacio contenido entre las rectas parale-

las se colocan de manera alternada cuadrados blancos y

negros no alineados, se producen efectos visuales inte-

resantes… ¿Son paralelos los segmentos de la figura?

Autoevaluación1. En las primeras figuras AB||CD, y en la tercera (AB||CD||EF) encuentra el valor

de los ángulos a y b, en cada caso.

2. Resuelve las operaciones que se indican:

α β γ+ + = α β γ δ+ + + = α β γ δ+ − − =

E

BA

DC

F

130°

ba

EB

A

D

C70°

80°

ba

A B

C D

E FA

G

75°

a

b

da

gbb

a g

da

gb


Para aprenderActividad 1. ¡Un criterio finito para establecer un comportamiento infinito!

En la siguiente figura hay dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Encuen-

tra el punto medio del segmento AB, al que denominaremos O; con un papel de

china, calca la figura. Sin quitar de encima el papel con la figura calcada, apoya la

punta de tu lápiz sobre el punto O y haz girar el papel hasta que el punto A en la

figura original coincida con el B en la copia y viceversa.

Analiza y escribe en tu cuaderno qué ángulos de la copia coinciden con los de la

figura original. Si coinciden, son iguales. Indica qué ángulos tienen esta caracte-

rística.

Ahora, para los ángulos �1, �2, �3 y �4 escribe todas las posibles relaciones con

los restantes ángulos. Por ejemplo:

�1 + �2 = 180° ¿Por qué?

�1 = �4 ¿Por qué?

�1 + �3 = 180° ¿Por qué?

�1 + �6 = 180° ¿Por qué?

�1 + �7 = 180° ¿Por qué?

Actividad 2. ¡Una invariante del triángulo!

Tenemos el triángulo ABC. Efectúa lo

que se te indica:

a) Auxiliándote de una regla, extiende el seg-

mento AB en ambas direcciones.

b) Traza por el punto A una recta paralela al

segmento CB.

�3

�1

�4

�2

�7

�5

�8

�6

A

B

B

A

C


c) Haciendo una analogía con la Actividad 1, indica qué ángulo, entre los que se

forman en el vértice A, coincide con el ángulo B (interno) del triángulo.

d) De manera análoga, indica qué ángulo, entre los que tienen por vértice A, coin-

cide con el ángulo C (interno) del triángulo.

e) ¿Qué propiedad tienen los tres ángulos con vértice A?

f) ¿Qué se puede concluir sobre los ángulos internos del triángulo?

Los conocimientosLa secante es una línea transversal que corta dos o más rectas.

Dos rectas paralelas cortadas por una secante como se muestra en la figura, for-

man ocho ángulos:

Cuatro internos, que son: �s 3, 4, 5 y 6.

Cuatro externos, que son: �s 1, 2, 7 y 8.

Ángulos alternos internos: Son ángulos internos no adyacentes y opuestos a la se-

cante. En la figura, los ángulos �s 3 y 5, así como los �

s 4 y 6, son alternos internos.

Ángulos alternos externos: Son ángulos externos no adyacentes y opuestos a la se-

cante. Los pares �s 1 y 7 y �

s 2 y 8 son alternos externos.

Ángulos correspondientes: Son dos ángulos no adyacentes, situados en el mismo

lado de la secante. En la figura se muestran cuatro pares: �s 1 y 5, �

s 4 y 8, �

s 2 y 6

y �s 3 y 7.

1 2

3 4

5 6

7 8


Ángulos conjugados o colaterales: Son dos ángulos internos, o dos externos, situa-

dos del mismo lado de la secante. Son conjugados internos los ángulos �s 3 y 6 y

�s 4 y 5, mientras que los �

s 2 y 7 y �

s 1 y 8, conjugados externos.

Además, se tienen las siguientes relaciones:

• Los ángulos alternos internos son iguales.

• Los ángulos alternos externos son iguales.

• Los ángulos correspondientes son iguales.

• Los ángulos conjugados internos y externos son suplementarios.

Los métodosLas relaciones anteriores son útiles para calcular el valor de ángulos no conocidos.

Por ejemplo:

1. Si L || M, ¿cuál es el valor del ángulo x?

Primer método: El ángulo b mide 67°, al ser opuesto por el vértice al ángu-

lo a. Como los ángulos b y x son correspondientes entre paralelas, entonces

x = b = a = 67°.

Segundo método: Los ángulos a y x son alternos externos; por tanto, son iguales.

Así, x = 67°.

Resuelve con un tercer método en tu cuaderno.

2. Si J || K, ¿cuánto mide el ángulo h?

Primera forma: Los ángulos m y n son adyacentes; por ende, m + n = 180°. Así,

n = 180° – m. Es decir, n = 180° – 120° = 60°. Ahora, los ángulos h y n son corres-

pondientes entre paralelas. Por lo tanto, ____________________.

L a = 67°

b

M

x

K

m = 120°J

n

h


Segunda forma: Los ángulos m y h son conjugados externos; por tanto, son igua-

les. Así:

¿Existirá una tercera forma? De ser así, enúnciala en tu cuaderno.

Nota: Para hacer operaciones con ángulos de figuras triangulares, se sabe que la

suma de sus ángulos internos es 180°. Para realizar operaciones con ángulos de

figuras cuadrangulares, se sabe que la suma de sus ángulos internos es 360°.


1. En la siguiente figura, AB||CD y a = 46°. Calcula el valor de los ángulos b, c, d,

e, f, g y h.

2. Dada la siguiente fi gura, escribe en las líneas lo que falta.

a) a = 35°; b = ____ ; g = ____; l =138°

b) a = 42°; b = 65°; g = ____; l = ____

c) a =____; b = 28°; g = 60°; l = ____

a + b + c + d = 360°c

C

Aa

Dd

Bb

a + b + c = 180°

Aa

B

b

cC

a

db

ce

hf

g

a

b

gl


3. En el ejercicio anterior, ¿qué relación encuentras entre los ángulos interiores, a y

b, con el ángulo exterior l? ¿Se cumplirá esta relación en cualquier trián gulo?


1. Sea ABCD un paralelogramo, de tal forma que ∠ABC = 137°. ¿Cuánto miden

los ángulos ∠BCD, ∠CDA y ∠DAB?

2. ¿Será cierto que la suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero es igual

a 360°?

Si tu respuesta es positiva, ofrece una argumentación. Para ello, apóyate en que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3. En la siguiente fi gura, PO||TR, comprueba que los ángulos interiores, ∠P y ∠R, son suplementarios.


1. Demuestra que los ángulos agudos de todo triángulo rectángulo son comple-

mentarios. Para ello, bastará utilizar el hecho de que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°.

2. Utiliza las relaciones de los ángulos entre rectas paralelas y la reproducción de

ángulos que hiciste en la Lección 4 para construir una paralela a AB que pase

por Q.

C

A

D

B

O

T

P

R

A B

Q



Un periscopio es un instrumento óptico que permite observar objetos que no es-

tán alineados con su línea visual. Consiste en un tubo con espejos paralelos en los

extremos, como se muestra en la siguiente figura. Un rayo de luz entra por la parte

alta, se refleja dos veces y sale por la parte inferior. Debido a que el ángulo de re-

flexión es igual al ángulo de incidencia, ∠1 = ∠2 y ∠3 = ∠4, ¿puedes explicar por

qué el rayo de luz abandona el periscopio en la misma dirección con la que entra?

En otras palabras, ¿por qué ME y UH son siempre paralelas? Anota las respuestas

en tu cuaderno.


Con la aplicación que se encuentra disponible en la página web http://descartes.

cnice.mecd.es/1y2_eso/Triangulos/triaa.htm, dibuja en tu cuaderno dos triángu-

los con las siguientes características. Observa cuánto vale la suma de los ángulos

internos en cada caso:

a) A= 90°, AB = 4, AC = 3

b) A= 90°, AB = 4, A = 45°

M

R

TH

4E

O

U

3V

2

1

Lección7


Relaciones de proporcionalidad.El factor inverso

En esta lección, aprenderás a calcular el factor inverso de una relación propor-cional, a partir de factores de proporcionalidad enteros o fraccionarios.

Pitágoras fue un matemático que nació en la isla de Samos, Grecia, en el año 580

antes de nuestra era. Hasta nuestros días, miles de millones de hombres y mujeres

han escuchado su nombre en un teorema, que de tanto memorizar ha

tomado tono de canción: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En su tiempo, las aportaciones de la escuela pitagórica eran un secreto

tan bien guardado que se penalizaba severamente a quien divulgara

sus hallazgos.

Pero además del teorema de Pitágoras, el descubrimiento de la pro-

porción numérica, responsable de la armonía musical, ha sido de los

hallazgos más comentados, quizá por el beneficio auditivo que apor-

tó. Pitágoras examinó las propiedades de una cuerda de lira, el instru-

mento más destacado de la música helénica antigua. Con sólo tocar

la cuerda se generaba una nota o tono patrón que estaba producido

por la longitud de la cuerda. Si se presionaba la cuerda en un punto

determinado, se provocaban otras vibraciones y tonos. Los tonos ar-

mónicos sólo se realizaban en ciertos puntos muy concretos. Así, si

se apretaba la cuerda justo en el punto medio de su longitud, el toque

generaba un tono de una octava más alto que el original y se mantenía

en armonía con él. Del mismo modo, presionando la cuerda en pun-

tos que eran justo un tercio, un cuarto o un quinto de su longitud, se

originaban otras notas armónicas. En cambio, si se trababa la cuerda

en un punto que no constituía una fracción simple de su longitud to-

tal, se producía un tono disonante con los anteriores.

Autoevaluación1. En Argentina se construyó una maqueta del famoso barco Titanic a una escala

de 1:570. La maqueta tiene una longitud de 49 centímetros y un ancho de 5 cen-

tímetros. ¿Cuál era la longitud y el ancho del Titanic original?

Representación de Pitágoras, explicando las proporciones musicales. Fragmento de “La escuela de Atenas” Autor: Rafael. Estilo: Renacimiento italiano. Ubicación: Estancias vaticanas, Roma, Italia.

45Lección 7 Relaciones de proporcionalidad. El factor inverso

2. Al medir un poste con una cuerda de 1/2 metro de longitud, Raúl y Pedro des-

cubren que la longitud del poste es igual a 45 cuerdas. ¿Cuánto mide, en centí-

metros, el poste?

3. Si la cuerda del ejercicio anterior midiera 1/6 de metro de longitud, ¿a cuántas

cuerdas equivaldría la longitud del poste?

4. Debes construir una tortuga títere con algunas piezas de papel. Para incluir las

imágenes en el libro, se redujeron 20%. ¿Qué dimensiones tendrá cada pieza y,

aproximadamente, qué tamaño tendría el títere?

Para aprender¿Cuántos somos y dónde estamos?

Nuestro país cuenta con una extensión territorial de 1 959 248 kilómetros cua-drados, dividida en 31 estados y un Distrito Federal. Según el XII Censo de Po blación y Vivienda, realizado en 2000 por el INEGI,1 97 483 412 habitantes compartimos este territorio.

Si repartiéramos a la población equitativamente en cada kilómetro cuadrado, tendríamos que en cada uno vivirían aproximadamente 49 habitantes. A esta relación entre el espacio y el número de personas que lo habitan se le llama densidad de población.

Para calcular este dato, se establece una relación proporcional:

97 483 412 habitantes son a 1 959 248 km2, como x habitantes son a 1 km2.

1 Instituto Nacional de Estadística Geográfica e Informática, información para niños, página de internet Cuéntame: http://cuentame.inegi.gob.mx/poblacion/densidad.asp


O, usando una expresión matemática:

97 483 412

1 959 248 1km

habitantes

km2 2=

y el cálculo para obtener la densidad de población se obtiene con la regla de tres.

Esto es,

habitanteshabitantes] km2

= ×[ [ ]97 483 412 1

19559 24849 75

kmhabitantes

2= .

Sin embargo, como no podemos dividir a una persona, aproximamos el cálculo a

49 habitantes.

Podríamos pensar entonces que en 2 kilómetros cuadrados habitan 98 personas,

lo cual se calcula multiplicando 2 por el factor de proporcionalidad 49

1

habitantes

km2 ,

249

198km

hab

kmhab2

2× =


En general, si quisiéramos calcular el número de habitantes en determinados kiló-

metros cuadrados, debemos multiplicar esta última cantidad por el factor 49

1

hab

km2 .

Sin embargo, estamos partiendo del supuesto que el reparto de población es equi-

tativo en el territorio nacional.

La siguiente tabla contiene el número de habitantes que hay en algunos estados

de la República Mexicana. Considera que el reparto de población en el territorio

mexicano es equitativo y calcula el territorio (en kilómetros cuadrados) que le

correspondería a cada estado. Construye tus razones proporcionales usando el

factor 49

1

hab

km2 .

Entidad Superficie (km2) Población Entidad Superficie

(km2) Población

Baja California 2 487 367 Nayarit 920 185

Baja California Sur 424 041 Nuevo León 3 834 141

Coahuila 2 298 070 Puebla 5 076 686

Chiapas 3 920 892 Quintana Roo (a)(b) 874 963

Distrito Federal 8 605 239 Sinaloa 2 536 844

Durango 1 448 661 Sonora 2 216 969

Guanajuato 4 663 032 Tabasco 1 891 829

Guerrero 3 079 649 Tamaulipas 2 753 222

Hidalgo 2 235 591 Tlaxcala 962 646

México 13 096 686 Yucatán 1 658 210(a) No incluye la super cie de la isla Cozumel, que es de 498 km2.(b) No incluye la super cie de la isla Mujeres, que es de 5 km2.

• ¿Cuál es el factor proporcional que, al multiplicar por el número de habitantes,

te proporciona los kilómetros cuadrados que tendría cada estado? Anota la res-

puesta en tu cuaderno.

• Según tus cálculos, ¿cuál de los estados tiene mayor extensión territorial?

• ¿Coinciden tus resultados con el mapa que se encuentra al inicio de esta sec-

ción? Discute con tus compañeros y tu profesor lo que observas.

Los conocimientosEn la situación inicial de esta lección calculamos el factor de proporción, que nos

permitía estimar la población que habitaba en una extensión territorial dada. Pos-

teriormente, calculaste otro factor para completar en la tabla la extensión territo-

rial que deberían tener algunos estados de la República, de acuerdo con la pobla-

ción que habita en ellos, partiendo del supuesto que el reparto es proporcional.


Por ejemplo, para calcular la extensión territorial que le correspondería al estado

de San Luis Potosí, que tiene una población de 2 299 360 habitantes, establecemos

la razón de proporcionalidad:

49

1

2 299 360habitantes

km

habitantes

km2 2

= ,

de donde nos queda,

kmhab] [ km ]

habkm2

22= × =[

.2 299 360 1

4946 925 71 .

Veracruz tiene 6 908 975 habitantes, así que le correspondería una extensión te-

rritorial de:

kmhab] [ km ]

habkm2

22= × =[

.6 908 975 1

4946 925 71

Esto suena lógico, si lo comparamos con San Luis Potosí, que tiene casi la tercera

parte de la población y aproximadamente la tercera parte de territorio. Nota que

el número de habitantes se multiplica por 1 kilómetro cuadrado y se divide entre

49 habitantes para encontrar la extensión territorial que le corresponde a ambos

estados:

1 km

49 hab

2

es ahora el factor proporcional y se le denomina factor inverso, por ser el

inverso del factor de proporcionalidad 49

1

hab

km2 .

Los métodosPara obtener la población que le corresponde a una extensión determinada, mul-

tiplicamos por el factor proporcional 49

1

hab

km2 , mientras que para determinar la

extensión territorial que debe tener un estado, dada su población, multiplicamos

por el factor inverso 1 km

49 hab

2

.

extensiónterritorial

habitantes del estad= [ oo] [ km ]

habhabitantes del estado

1 km2× = ×1

49

22

49 hab

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

49

1

hab

km2× 1 km

49 hab

2

×

2 kilómetros cuadrados

98 habitantes


En general, si multiplicamos a la cantidad A por un factora

b y obtenemos una can-

tidad B, podemos obtener la cantidad A multiplicando B por el factor inversob

a.

Para hacer

Ejercicios fundamentales


La imagen que mostramos a un lado se obtuvo al reducir un

mapa del Distrito Federal. La condición que nos dieron fue

que por cada 5 centímetros del mapa original la imagen ten-

dría un centímetro.

1. ¿Qué escala usamos en la reducción?

2. ¿Qué factor proporcional te daría las dimensiones de la

imagen?

3. Usa el factor inverso para calcular las dimensiones del mapa

original.

4. Para comprobar tus cálculos, bosqueja el mapa original y ob-

serva que esta imagen respete la escala con la que fue hecha.

Ejercicio para consolidar los conocimientos

Completa las siguientes tablas con los factores de proporcionalidad y los factores

inversos que les corresponden a cada relación entre cantidades.

5

7

× ×

3

6

4

× ×

3

2

7

× ×

8

6

× ×


Ejercicio de profundización

La señora Sánchez ha mandado a hacer un sombrero a

la tienda “Échale Compadre”. El sombrero es para Luis,

su hijo, quien saldrá en el próximo festival escolar del

16 de septiembre. Luis cursa el segundo año de secun-

daria y tiene una altura y complexión promedio.

Para hacer su pedido, la señora Sánchez llevó a la tien-

da esta foto. Ayúdale a determinar las dimensiones que

debe tener el sombrero, tomando en cuenta que:

• Debe guardar una escala con el de la foto.

• Debe entrar la cabeza de Luis (mide la cabeza de algún compañero como refe-

rencia y aproxima la medida de la foto).

Comenta con tus compañeros tus observaciones.


En la fotografía, la altura del jarrón de talavera es 1

8 de

la altura real del jarrón.

Calcula, aproximadamente, las dimensiones del jarrón

original:

• La altura, de la base a la punta de la tapa.

• La parte más ancha.

• El diámetro de la base.


Lección8 Relaciones de

proporcionalidad. Proporcionalidad múltiple

En esta lección aprenderás a resolver ejercicios de propor-cionalidad múltiple, distinguiendo el tipo de relación que guardan las cantidades.

Los objetos tienen tres dimensiones (alto, ancho y profundo).

Uno de los grandes retos de todo pintor radica en cómo con-

seguir la ilusión de profundidad en un cuadro si tiene sólo dos

dimensiones. La solución es considerada como un engaño al

sentido de la vista, pues resulta fácil confundir a nuestros ojos

y hacerles ver efectos engañosos.

En la antigüedad y durante la Edad Media no se sabía represen-

tar la distancia ni la profundidad. Todo aparece en el mismo

plano, los colores no están gradados, los contornos son claros

y marcados y no hay fondo. Durante el gótico se elabora una

perspectiva teológica: los personajes son más grandes cuanta

mayor significación poseen.

Es en el Renacimiento cuando los pintores florentinos comien-

zan a investigar la perspectiva como una ciencia, con sus leyes y

sus principios matemáticos. Artistas como Mantegna, Ghiberti,

Massaccio y otros establecieron ciertos principios observables

para reproducir la distancia. Estos principios fueron posteriormente perfecciona-

dos por Leonardo, Miguel Ángel, Giorgione y Rafael.

Aquí te mostramos una pintura hecha en el siglo pasado por el famoso artista

Salvador Dalí (1904-1989), donde se pueden notar claramente algunos objetos de

apariencia tridimensional.

AutoevaluaciónAnota todas las respuestas en tu cuaderno.

1. Con 16 zanahorias llenamos 6 vasos de jugo y 4 vasos hacen 1

4 de litro, ¿cuántas

zanahorias necesitas para obtener 6 litros de jugo? ¿Cuántos vasos llenarías?

2. Un libro tiene 120 páginas de 27 líneas, cada una mide 16 centímetros de largo.

Si se reimprime el libro con 36 líneas de 15 centímetros de largo por página,

¿cuántas páginas tendrá? Explica tu respuesta.

La Madonna dePort Lligat, 1950,

96 × 144 cm.

51Lección 8 Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad múltiple


3. En una casa de estudiantes el gasto mensual es de 20 000 pesos, alojando a 20

estudiantes. ¿Cuánto se gastaría durante 35 días alojando a 45 estudiantes, vi-

viendo en iguales condiciones? Explica tu respuesta.

4. Si 15 máquinas fabrican 2 500 metros de tejido en 10 días, ¿cuántas máquinas

serían necesarias para producir 7 000 metros en 14 días?

Para aprenderActividad 1. Galletas y proporcionalidad

Una estrategia exitosa de la industria galletera en los últimos años ha

sido vender sus productos en paquetes pequeños. Las galletas Citlal-

tzin (palabra náhuatl que significa estrellita) son de forma rectangular

y vienen en dos sabores: vainilla y cacao. La Citlaltzin de vainilla es

una galleta sencilla con grosor de 0.5 centímetros y la Citlaltzin de

cacao tiene un relleno de crema y su grosor es de 1 centímetro.

Como las galletas son rectangulares, su caja tiene la forma de prisma rectangular

(Figura 1); el tamaño depende de las medidas de la galleta.

Tamaños de las Citlaltzin de vainilla

• 4 centímetros × 4 centímetros


Tamaños de las Citlaltzin de cacao




Cada paquete debe tener 20 galletas, sin importar el sabor. Calcula el volumen de cada tipo de caja, según los tamaños de las galletas. Recuerda que el volumen de un prisma rectangular se calcula con la fórmula volumen = largo × ancho × altura,

donde el largo lo determinará el número de galletas multiplicado por su grosor,

que depende del sabor.

Figura 1

Dimensiones de la caja

Caja tipo Largo Ancho Altura Volumen

Citlaltzin de vainilla

A 4 4B 8 4

Citlaltzin de cacao

C 4 3D 8 6E 6 4


Todas las respuestas anótalas en tu cuaderno.

• La caja A tiene la mitad de largo que la caja B, pero el mismo ancho y la misma

altura. ¿Tiene entonces la mitad de volumen?

• La caja C tiene la mitad de largo y la mitad de ancho que la caja D, pero la mis-

ma altura. ¿En qué proporción es mayor o menor el volumen de una respecto a

la otra?

• El largo de la caja E es 3

2 del largo de la caja A. La medida del ancho es igual en

ambas cajas, pero la altura de la caja E es el doble que la de la caja A. ¿En qué

proporción es mayor o menor el volumen de una con respecto a la otra?

• El largo de la caja D es igual al de la caja B, el ancho de B es 3

2 el de D y la altura

de D es el doble de la de B. ¿En qué proporción es mayor o menor el volumen de

una con respecto a la otra?

• La caja D tiene el doble de largo que la A, el ancho de D es 3

2 el de A y la altura

de D es el doble de la de A. ¿En qué proporción es mayor o menor el volumen de

una con respecto a la otra?

• Piensa en dos cajas más, E y F, donde F tenga el doble de largo, ancho y alto que

E. ¿En qué proporción es mayor el volumen de F?

Los conocimientosEn la situación inicial de esta lección, trabajamos en la variación de tres can-

tidades que afectaban a la variación de un volumen. En este caso, se trataba

de un prisma, cuyo volumen se calcula con la fórmula

Volumen = largo × ancho × altura

Ya que el volumen es el producto de las tres dimensiones es proporcional a

cada una de ellas. Si duplicamos una dimensión, duplicamos el volumen:

Si reescribimos los volúmenes:

Prisma a) Va ( ) ( ) ( )= × × =1 2 3 6

Prisma b) Vb ( ) ( ) ( )= × × × =2 1 2 3 12

Si ahora duplicamos también el ancho del prisma b, tenemos:

altura

largoancho

Prisma Largo Ancho Altura Volumena 1 2 3 1 × 2 × 3 = 6b 2 2 3 2 × 2 × 3 = 12



Al consignar de nuevo los volúmenes:

Prisma a) Va ( ) ( ) ( )= × × =1 2 3 6

Prisma b) Vb ( ) ( ) ( )= × × × × =2 1 2 2 3 24

Ahora, duplicamos dos dimensiones (largo y ancho) y el volumen de b es 4 veces

el de a. Finalmente, si duplicamos también la altura, queda:

Al reescribir los volúmenes:

Prisma a) Va ( ) ( ) ( )= × × =1 2 3 6

Prisma b) Vb ( ) ( ) ( )= × × × × × =2 1 2 2 2 3 48

Si duplicamos ahora todas las dimensiones del prisma, el volumen de b es 8 veces

el del prisma a. Si hacemos una fórmula para calcular el volumen de b, tomando

en cuenta las dimensiones de a, tendríamos:

Vb = 2 × (largo del prisma a) × 2 × (ancho del prisma a) × 2 × (altura del prisma a)

Los métodos Caso 1

El ejemplo que hemos trabajado en la lección nos mostró la relación que guardan

las dimensiones de un prisma con su volumen, al variar cada una de ellas en forma

individual y simultánea. Podemos concluir que el factor proporcional al que crece

el volumen es igual a la multiplicación de los factores a los que aumenta cada di-

mensión del prisma. En el caso de nuestro ejemplo:

8 (veces el volumen de a) = 2 (veces el largo del prisma a) × 2 (el ancho del pris-

ma a) × 2 (la altura del prisma a).

8 = 2 × 2 × 2

Caso 2

También puedes encontrar cantidades que se relacionan proporcionalmente, en

forma muy distinta a la presentada en el ejemplo del volumen del prisma. Supón

que 35 puercos consumen 63 kilogramos de alimento en 26 días y Doña Martha

ha comprado 52 puercos y 72 kilogramos de alimento. ¿Cuántos días durará el

alimento?



Para resolver el problema, organicemos la información de la siguiente manera:

35 puercos ⇒ 63 kilogramos ⇒ 26 días

Averigüemos primero lo que come un puerco en 26 días:

1 puerco ⇒ 63 × 1

35 kilogramos ⇒ 26 días

Si aplicamos el factor proporcional 1

35 a la cantidad de puercos, lo hacemos tam-

bién a la cantidad de alimento que consumen, no al número de días. Ahora, calcu-

lemos lo que un puerco consume en un día:

1 puerco ⇒ 63 × 1

35 × 1

26 kilogramos ⇒ 1 día

Ahora, aplicamos el factor proporcional 1

26 a la cantidad de días y a la cantidad de

alimento que consume el puerco. De este modo, tenemos lo que come un puerco

en un día. Si Doña Martha compró 52 puercos, aplicamos 52 como factor propor-

cional al número de puercos y a la cantidad de alimento. Obtenemos así lo que

comerían 52 puercos en un día:

52 puercos ⇒ 52 × 63 × 1

35 × 1

26 = 3.6 kilogramos ⇒ 1 día

Pero como Doña Martha ha comprado 72 kilogramos de alimento, si establece-

mos la razón proporcional

3 6 72. kilogramos

1 día

kilogramos

días= ,

y aplicando una regla de tres, tenemos que =kilogramos] [1 día]

kilogramos]

[

[ .

72

3 62

×= 00 días

En el Caso 2 no se multiplican todas las cantidades por los factores proporciona-

les; sólo aquellos que guardan relación con la cantidad que se busca.

Para hacerEjercicio fundamental

1. Observa la pirámide que aparece a la derecha.

La fórmula para calcular su volumen es:

V b a h= ×⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

×1

3

1

2

altura de la pirámide

altura deltriángulo

base deltriángulo


esto es, 1

3 del área de la base por la altura de la pirámide.

b = base del triángulo

a = altura del triángulo

h = altura de la pirámide

Completa la tabla con las cantidades faltantes. Recuerda que la primera pirámide

será la referencia para las siguientes.

Nota: f es el factor proporcional al que aumentan o disminuyen las dimensiones y

el volumen de la pirámide.

Pirámide 1 Pirámide 2

b1 a1 h1 V1 fb b2 fa a2 fh h2 fV V2

2 cm 3 cm 5 cm 2 2 2

Pirámide 3 Pirámide 4

fb b3 fa a3 fh h3 fV V3 fb b4 fa a4 fh h4 fV V4

12

13

14

32

43

2


Los rarámuri o tarahumaras. En la Sierra Madre Occidental han vivido por cientos

de años los rarámuri (los de los pies ligeros) o tarahumaras. Los hombres son esbel-

tos, con músculos fuertes y han sido reconocidos como los mejores corredores de

resistencia. Entre varias aldeas se organiza una competencia deportiva donde los

hombres hacen carrera de bolas. Los recorridos de la carrera llegan a ser de hasta

200 kilómetros y duran dos o más días. Un jugador de cada equipo arranca pa-

teando una bola hecha con madera de encino, y corre seguido de sus partidarios,

turnándose la pelota hasta llegar a la meta; la ruta se traza de antemano por los ve-

ricuetos de las montañas. Los atletas son muy reconocidos en las comunidades.

Fuente: Revista México desconocido.ITESM Campus Chihuahua

Mayo de 1997

(www.chi.itesm.mx/chihuahua/historia/raramuri.html)

Por lo regular, un corredor recorre 120 kilómetros, andando 8 horas diarias du-

rante 5 días. ¿Cuántas horas diarias tendría que caminar para recorrer 216 kilóme-

tros en 12 días? Explica la respuesta en tu cuaderno.


La mamá de Sonia tiene la receta de un pastel que rinde para 4 personas. Se nece-

sitan 200 gramos de harina, 150 gramos de mantequilla y 120 gramos de azúcar.


Sonia ha invitado a sus amigos a festejar su cumpleaños, pero aún no sabe si todos

asistirán. Ayúdale a la mamá de Sonia a llenar la tabla con la cantidad de ingre-

dientes que se necesitarían para el número de personas que se indica:

Número de personas

Mezclagramos

4 200 gramos 150 gramos 120 gramos 370 gamos

6

8

La cantidad en cada ingrediente aumenta de forma proporcional. ¿Puede decirse

lo mismo de la mezcla? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.


El volumen de la pirámide cuadrangular B es de 120 unidades cúbicas y su altura

es el doble de la altura de la pirámide A. Determina las dimensiones de ambas

pirámides.

Pirámide A Pirámide B

Lección9


Diagramas y tablasEn esta lección aprenderás a anticipar resultados en problemas de conteo con base en la identificación de regularidades, y a verificar los resultados mediante

arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros recursos.

El tratamiento de la información es importante para que los estu-

diantes desarrollen conocimientos, habilidades y actitudes que

les permitirán convertirse en ciudadanos atentos a lo

que ocurre en su entorno. De ahí que resulta necesa-

rio considerar tanto las aplicaciones de las matemáti-

cas en diversas áreas del conocimiento y la actividad

humana como la dimensión formativa y su utilidad

en el mundo real.

La sociedad genera a ritmo creciente gran cantidad de datos que se

presentan por medio de tablas o gráficas. Es por ello que las personas ne-

cesitan aprender a describir esta información en conocimiento válido para com-

prenderla y poder tomar decisiones a través de tablas o gráficas. Al término de esta

sección, el estudiante será capaz de reconocer y resumir los hechos importantes

que se presentan mediante tablas y argumentarlos.

Como viste en tu libro de primer año, los diagramas y las tablas sirven para orga-

nizar la información y comunicar ideas con base en ellas. Cuando tratamos con

grandes cantidades de datos es pertinente disponerlos en tablas y diagramas; de

este modo, es posible inferir y obtener conocimientos más fácilmente. Las tablas y

los diagramas nos ayudan a anticipar resultados en cierto tipo de problemas cuan-

do somos capaces de localizar algunas de sus regularidades.

La combinatoria nos da una herramienta para poder contar de un modo inteli-

gente. Es decir, cómo contar de un modo breve y sin tener que enumerar todos los

casos, lo cual podría tomarnos años o incluso siglos.

Por ejemplo, cuántas rectas quedan determinadas por los dos puntos que se mues-

tran a continuación:

Imagina que trazas una recta que una al punto A con el punto B. ¿Podrías cons-

truir otra recta que los una?

¿Qué ocurriría si fuesen tres puntos como los siguientes? (cuando los puntos no

están sobre la misma recta se llaman no colineales).

A B

A

B

C

59Lección 9 Diagramas y tablas

Número de rectas que se pueden trazar por:

Observa la lista de números que se obtuvieron para determinar el número de rec-

tas posibles: 1, 3, 6, 10… ¿Puedes reconocer alguna regularidad en ella? Discute

con tus compañeros.

Autoevaluación 1. A Acapulco, un puerto del Pacífico mexicano, llegan barcos llenos de carga y

cruceros con turistas. El puerto puede recibir a la vez a dos barcos grandes

(posiciones A y B); si llegan al mismo tiempo los buques Queen Mary II y Ce-lebrity I pueden tomar las posiciones disponibles, pero si llegara un barco más,

digamos que arriba el King Cuatete I, ¿de cuántas maneras sería posible colocar

a dos de ellos en el puerto? Explica tu respuesta en tu cuaderno.

2. Si tienes tres pantalones, uno blanco, uno beige y otro azul, y dos camisas, una

blanca y una negra, ¿de cuántas maneras podrías combinar tu atuendo? Orga-

niza tu información en un diagrama de árbol.

3. Si, además de la ropa que tienes en el problema anterior, te regalan una camisa

más de color amarillo, ¿cuántas combinaciones tendrías ahora? Organiza la in-

formación en una tabla.

Para aprender¿Cuántas y cuántos estudian en las universidades mexicanas?

México se divide en 31 estados y un Distrito Federal. En

cada una de esas entidades federativas hay escuelas nor-

males, universidades, tecnológicos y, en algunos de ellos,

importantes centros de investigación avanzada.

Según datos de la ANUIES

en 2003, se sabe que la pre-

sencia de la mujer en la

educación superior aumenta año con año. Por

ejemplo, en 1970 había casi 5 hombres por una

mujer, mientras que en 2003 había casi una mujer

por cada hombre.

Puntos no colineales

2 puntos 3 puntos 4 puntos 5 puntos 6 puntos 7 puntos …

1 recta 3 rectas 6 rectas 10 rectas ¿Cuántas rectas?

¿Cuántas rectas? …


Actividad 1. Proporciones

En la siguiente tabla, completa la información faltante en la última columna:

Actividad 2. De los datos a… la información

Discute con tus compañeras y compañeros el significado de los números que ob-

tienes en la columna H/M. Compártelo con tus maestros.

Los conocimientosLos chistes son formas divertidas de comunicación. A veces se utilizan para exal-

tar virtudes o defectos, o para dar a las historias una cierta comicidad. El chiste

que aparece a continuación sirve para diseñar diagramas de árbol y organizar la

información. Una vez que lo contemos, haremos un diagrama con la información

presentada:

Dos posibilidades o… “Los enredos de Ricardo”

Al salir del trabajo, Ricardo, cansado de su larga jornada, se encuentra en un problema cir-

cunstancial. Irse en taxi o en autobús: ésa es la pregunta. Ante eso, pensó:

— ¿Me voy en taxi o en autobús? Si me voy en taxi, la verdad no me importa mucho, pero si

me voy en autobús hay dos posibilidades: Que me siente al lado de alguien o que me siente

solo.

Si me siento solo, tampoco me importa, pero si me siento acompañado hay dos posibilida-

des: Que sea hombre o que sea mujer.

Si es hombre, no me importa... pero si es mujer... hay dos posibilidades: Que platiquemos

durante el trayecto o que nos quedemos callados.

Si no hablamos, no pasa nada... pero si platicamos, hay dos posibilidades: Que seamos ami-

gos o que me olvide.

Si me olvida, no hay problema... pero si nos volvemos amigos quizá seamos novios o sólo

amigos...

Si no quiere tener nada que ver conmigo, no importa, pero ¿y si sí?: Que tal si nos casamos

o sólo sea un romance pasajero.

Población escolar de licenciatura, serie histórica 1970- 2003

Año Población total Hombres Mujeres Proporción de Hombres respecto de Mujeres H/M

1970 208 944 172 873 36 071 172 873 / 36 071 ≈ 4.8

1980 731 147 513 275 217 872

1990 1 078 191 643 388 434 803

2000 1 585 408 837 101 748 307

2003 1 865 475 956 507 908 968

Fuente: ANUIES. Anuario Estadístico 2003: Licenciatura en Universidades e Institutos Tecnológicos. Resúmenes y series históricas (http://www.bies.planeacion.unam.mx/html/educacion/luit_rsh03.pdf).


Si es un simple romance, no me importa, lo superaré, pero ¿y si nos casamos? Seguro ten-

dremos una hija o un hijo. ¿A qué se dedicaría? ¿Estudiaría una licenciatura en Física o va a

preferir la Arquitectura?

Si estudia Física, no me importa, pero ¿y si me construye una casa? Seguro tendrá dos pisos y

grandes ventanales por toda la casa. Pero si en una de esas me asomo y sin querer me caigo,

tendría entonces otras dos posibilidades: Que me rompa una pierna o que sólo me lastime.

Si sólo me lastimo no hay problema, pero ¿y si me rompo la pierna? Hay dos posibilidades:

….

—NO, mejor... me voy en taxi.

Completa ahora en tu cuaderno el diagrama de árbol, siguiendo la trama del

chiste…

El campeonato mundial de futbol de Alemania 2006

Las tablas son medios para organizar la información. Estamos acostumbrados a

tratar con ellas: en los resultados deportivos, en las calificaciones de la clase, en las

dietas de las clínicas, en las cartas de las fondas, etcétera.

El 17 de junio del 2006, la tabla de clasificaciones del grupo D del campeonato

mundial de fútbol mostraba los siguientes resultados:


Grupo D

Equipo JJ V E P GF GC Pts

Portugal 2 2 0 0 3 0 6

México 2 1 1 0 3 1 4

Angola 2 0 1 1 0 1 1

Irán 2 0 0 0 1 5 0

JJ : Juegos Jugados, V: Victorias, E: Empates, P: Perdidos, GF: Goles a favor, GC:

Goles en contra, Pts: Puntos.

En esa fecha faltaba por jugar un partido para cada equipo: Portugal vs. México e

Irán vs. Angola. Si consideramos que al ganar un equipo obtiene 3 puntos, al em-

patar 1 y al perder 0 puntos, ¿cuáles son todas las posibilidades en las que el equi-

po mexicano clasificaría a la siguiente ronda? Recuerda que las diferencias de go-

les (GF-GC) también importan al momento de empatar en el número de puntos.


Los métodosUn diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta

de un cierto número de pasos, donde cada uno tiene un número limitado de ma-

neras de ser llevado a cabo. Para obtener un diagrama de árbol, debemos tener una

lista de todas las opciones posibles. Se colocan en secuencia uno detrás de otro y

se abren tantas ramas como opciones tengamos. Por ejemplo, un médico general

clasifica a sus pacientes de acuerdo con distintas variables: su sexo (masculino

o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea

(Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol determina en cuántas cla-

sificaciones pueden estar los pacientes de este médico. Elabora este diagrama en

tu cuaderno.

Dado un paciente, hombre o mujer. Si fue mujer, puede tener la sangre tipo A, B,

AB u O; si tuvo la tipo A, puede tener la presión Normal, Alta o Baja… ¿Cuántas

opciones tendremos después de combinar para un hombre todas las alternativas

posibles? ¿Cuántas para la paciente mujer? ¿Encuentras un patrón o regularidad

en la cantidad de opciones?

Las tablas se utilizan para concentrar, organizar y ordenar los datos que extraes de

distintas fuentes de información. Se forman de filas y de columnas. En la siguiente

tabla, por ejemplo, se observa que las ganancias en la venta del producto A crecen

más rápido que las del B.

1970 1980 1990 2000Ganancias de la venta del producto A 134 140 160 300Ganancias de la venta del producto B 250 251 255 258


2. Amalia tiene que elegir un taller y un deporte en el colegio. Los talleres son

costura, dibujo y mecanografía, mientras que los deportes son básquetbol, fút-

bol y voleibol. ¿Cuántas posibilidades de elección hay para Amalia? Explica tu

respuesta y anótala en tu cuaderno.

3. Tenemos una tabla en la parte inferior que organiza las posibles combinaciones

de A y B: obsérvala y analízala. Completa después una tabla para encontrar las

combinaciones posibles con tres elementos: A, B y C. ¿Cuántas combinaciones

se pueden hacer con dos elementos? ¿Cuántas con tres? Utiliza tu cuaderno

para responder.

4. Un restaurante ofrece tres tipos de guisado, dos de sopa y cuatro de postre. Un

menú económico consiste de dos platillos: un guisado y una sopa, o bien un

guisado y un postre. ¿Cuántas posibilidades de elección hay?


En un artículo académico se dice: “Ahora bien, el cambio más acelerado en cuan-

to a la incorporación de las mujeres en la educación superior a nivel nacional se

observa en realidad en el periodo de 1969 a 1999-2000, incrementándose de 17 a

50%, respectivamente. De este modo, en 30 años se triplicó la población de muje-

res en la educación superior”.


1. A continuación tenemos cuatro estrellas. ¿Cuántas combinaciones se pueden

hacer con ellas? Explica la respuesta y anótala en tu cuaderno.

Empezando con A y con BAA BAAB BB


En tu cuaderno construye una tabla sobre la cantidad de mujeres, si suponemos

que en 1969 hubiera 10 000 estudiantes. En otra fila supón que el número de es-

tudiantes en ese año fuese de 20 000, y en la tercera fila coloca el dato de suponer

que el número de alumnos fuese de 15 000.

Bustos Romero, Olga (2005). Recomposición de la matrícula universitaria en México a favor de

las mujeres. Repercusiones educativas, económicas y sociales. En Feminización de la matrícula de educación superior en América Latina y el Caribe. México: UDUAL/IESALC-UNESCO (disponible

en la página de internet http://www.anuies.mx/e_proyectos/pdf/generos_educ.pdf).


¿Cuántas combinaciones se pueden formar con dos elementos distintos, A y

B? ¿Cuántas combinaciones se pueden formar con tres elementos distintos, A, B

y C? ¿Cuántas combinaciones con cuatro elementos distintos? ¿Cuántas con diez?



Construye en tu cuaderno una tabla o un diagrama de árbol a partir de las siguien-

tes historias:

Historia A: En la colonia donde vivo se organizó una campaña para sembrar ár-

boles en las calles. Todos participamos en la siembra y lo haremos en su cuidado.

El lunes plantamos 24 árboles, el martes 30, el miércoles 23 y el jueves 34.

Historia B: En la clase de ciencias vimos que las dietas deben ser balanceadas si

quiero comer una sopa de verduras y debo elegir entre un guisado de albóndigas

o de espinazo, y un postre, que debo escoger entre tres opciones, plátano, naran-

ja o guayaba.

Lección10

65Lección 10 Gráfi cas

GráficasEn esta lección aprenderás a interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.

Las grá cas estadísticas, también conocidas como representaciones grá cas de los resultados que se muestran en una tabla estadística, son de formas variadas, aunque en cada tipo de grá ca se cumple un cierto propósito. Seguro has visto que en la televisión o en periódicos y revistas de tu localidad se encuentra una gran variedad de grá cas estadísticas. Normalmente éstas se usan para mostrar con mucha nitidez algún rasgo que se quiere destacar. Los diagramas de barras, los diagramas de sectores, los histogramas y los polígonos de frecuencias son algunas de ellas.

Por ejemplo, en la lección anterior vimos cómo ha crecido la población estudiantil en la educación superior mexicana, y quisimos destacar el hecho de que la participación de la mujer ha ido en aumento. Dijimos, según datos de la ANUIES, que en 1970 había casi 5 hombres por una mujer, mientras que en el 2003 había casi una mujer por cada hombre.

36 071

217 872

434 803

748 307

908 968

Gráfica estadística

Tabla estadística

Año Hombres Mujeres1970 172 873 36 0711980 513 275 217 8721990 643 388 434 8032000 837 101 748 3072003 956 507 908 968


Autoevaluación1. Construye en tu cuaderno una gráfica de barras con las edades del recuadro, las

cuales pertenecen a estudiantes de segundo grado de la escuela secundaria Juan

García Jiménez, al empezar el año escolar.

a) ¿Qué edad tiene el estudiante más pequeño?

b) ¿Cuál es la edad de la mayoría de los estudiantes?

2. ¿Cuál de las siguientes gráficas describe la información de manera regular?

a) b)

c) d)

3. Describe en tu cuaderno el proceso para hacer una gráfica de frecuencias y

aplícalo para determinar el peso en kilogramos de los estudiantes de un grupo

de tercer grado de secundaria, contenidos en el recuadro.

Para aprender¿Cuántos hijos por familia?

La gráfica de la página siguiente presenta un diagrama de barras, cuyas longitudes

expresan la frecuencia con que una familia tiene un cierto número de hijos. El

número de hijos se enuncia en el eje horizontal. Se presentan los resultados de una

13, 12, 13, 15, 14, 14, 13, 14, 12, 13, 13, 13, 13, 12, 11,

13, 14, 12, 15, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 12, 14, 13, 13,

14, 13, 15, 14, 13, 13, 13, 13, 13, 12, 13, 14, 14, 13, 13.

45, 52, 55, 40, 48, 41, 40.5, 42, 56, 58, 55, 42, 55.5, 57, 58,

40.5, 52, 56.5, 60, 52, 58, 44, 43.4, 46, 55, 40.5, 55, 48, 57.


muestra de 43 familias, cuyos números de hijos oscilan entre 0 y 8 (el eje horizon-

tal representa al número de hijos por familia).

De esta gráfica de barras, se puede leer o interpretar que en la muestra seleccio-

nada hay once familias con un hijo, mientras que no hay familias con siete hijos.

El número de familias sin hijos es de 8, y sólo hay una familia de ocho hijos. Si

sumamos los valores de las alturas de las barras obtenemos como resultado 43.

Observemos esto en detalle:

• Altura de la primera columna: 8

• Altura de la segunda columna: 11

• Altura de la tercera columna: 9

• Altura de la cuarta columna: 6

• Altura de la quinta columna: 3

• Altura de la sexta columna: 3

• Altura de la séptima columna: 2

• Altura de la octava columna: 0

• Altura de la novena columna: 1

Por tanto, la suma es 43, que representa al número total de familias en la muestra.

Los conocimientosEl tipo de gráficas que mostramos en la sección anterior permiten reunir en una

sola imagen gran cantidad de información. Se diseñan de la siguiente manera:

sobre los valores de las variables elegidas (en nuestro ejemplo, el número de hijos

por familia) se levantan barras estrechas de longitudes proporcionales a las fre-

cuencias correspondientes. La frecuencia es el número de veces que aparece ese

dato en nuestra muestra. De tal modo, es fácil construir diagramas de barras si ya

contamos con una tabla estadística de frecuencias.

Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se repite un mismo dato.

Frecuencia relativa: Es el cociente de la frecuencia absoluta de un dato entre el

número total de datos que se registraron en una tabla. Consiste en una medida de

comparación entre dos cantidades.

Marcas de clase: Es el promedio entre el límite inferior y el superior de un intervalo

de clase.

Ejemplifiquemos esto con una situación hipotética. En la clase de segundo año del

turno matutino de la Escuela Secundaria Benito Juárez, los estudiantes obtuvieron en

su promedio de Matemáticas los resultados que se muestran en la página siguiente:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 1 2 3 4 5 6 7 8


En esta tabla notamos que el número 10 aparece cuatro veces, por lo que su fre-

cuencia absoluta es 4; la calificación de 9 se presenta nueve veces, de ahí que su

frecuencia absoluta sea 9; la de 8 aparece cinco veces, y su frecuencia es 5, y la de 7

se encuentra dos veces (frecuencia 2). Por tanto, podemos trabajar sobre una tabla

estadística de frecuencias como la siguiente:

Calificaciones

Notas obtenidas por los estudiantes de la secundaria 7 8 9 10

Número de veces que se obtiene la nota de arriba 2 5 9 4

La tabla estadística se puede representar mediante un diagrama de barras. En este caso, se colocan en el eje vertical las calificaciones y en el eje horizontal la fre-cuencia (número de veces que aparece una cierta calificación). Las barras fueron representadas horizontalmente y muestran el número de veces que se obtiene la calificación respectiva:

Luis Arturo Alejandra Fernando Iliana Amanda Coral Victoria Emilia Antonio

9 9 8 10 9 8 9 10 9 8

León Lisa Olivia Edna Ramiro Nayeli Emma Sandra Leticia Rosa

10 7 8 9 9 9 7 8 9 10

Calificaciones de matemáticas


Esto mismo puede ser representado en un polígono de frecuencia:

Los métodosPara obtener un polígono de frecuencia, necesitamos haber construido una tabla

de frecuencias. Como a veces se cuenta con muchos datos, una manera cómoda es

agruparlos en rangos o intervalos de valores. Ahora mostraremos el método que

empleamos para construir el tipo de gráfica estadística, conocido como polígono de frecuencia.

Cuando los datos se encuentran agrupados en rangos o intervalos, la información

se puede presentar mediante un polígono de frecuencia. Si se representan las fre-

cuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados, se obtiene el polígono de

frecuencias.

Por ejemplo, de una tabla de valores se toman los de una gran cantidad de alum-

nos –en este caso, las calificaciones de toda una generación escolar– y se organizan

en intervalos, de modo que, en vez de graficar la nota de cada alumno en lo par-

ticular, se grafica el número total de alumnos que posee una cierta nota o que se

encuentran en un rango de notas.

Quien construye la gráfica tiene que establecer los intervalos. Por ejemplo, una

forma de diseñar rangos o intervalos sería tomar las calificaciones: podrían en-

contrarse antes que 6.5, las que están de 6.5 y 7.4, las que se ubican entre 7.5 y 8.4,

las que se localizan entre 8.5 y 9.4 y las que están entre 9.4 y 10. De este modo,

tendremos menos datos en nuestra gráfica de polígono de frecuencias y estaremos

en condiciones de obtener información relevante sobre el desempeño de la gene-

ración de alumnos.

Secundaria Benito Juárez

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Frecuencias

Calificaciones

7 8 9 10


Imaginemos que después de organizar la información en rangos o intervalos logramos los siguientes

resultados:

Escala de intervalos o rangos escogidosMenores

a 6.5De 6.5 a

7.4De 7.5 a

8.4De 8.5 a

9.4De 9.4 a

10

Número de alumnos con notas comprendidas en esos intervalos 321 407 689 304 245

Frecuencia

1

2

3

4

5

6

Se coloca un punto sobre la primera cla-

se de valores (menores a 6.5) y sobre él

se coloca el punto de altura 321 en la es-

cala que hayamos escogido, se continúa

de este modo y se termina uniendo los

puntos con segmentos de recta, como se

presenta a continuación. De este modo,

tendríamos el siguiente gráfico de polí-

gonos de frecuencia:


Toma un dado, tíralo treinta veces y ve registrando en tu cuaderno cuántas veces

te sale 1, 2, 3… hasta 6.

• Calcula la frecuencia absoluta y relativa con la que cayó cada cara del dado

en los 30 lanzamientos.

• Representa los resultados anteriores mediante un polígono de frecuencias.


Efectúa una pequeña encuesta con tus compañeros de clase. Registra en tu cua-

derno con qué letra inicia su apellido paterno.

Resultados de calificaciones por rangoCantidad de estudiantes

Rango de calificacionesmenores a 6.5 6.5-7.4 7.5-8.4 8.5-9.4 9.5-10

800

700

600

500

400

300

200

100

0

Escuela Secundaria Benito Juárez


a) Elabora una tabla con la información que obtuviste.

b) ¿Qué letra fue la más frecuente?

c) Construye el polígono de frecuencia que represente gráficamente los datos.

d) Realiza ahora una tabla de frecuencias para los apellidos de tus compañeros.

¿Qué apellido es el que más se repite?


El XII Censo de Población y Vivienda, llevado a cabo en el 2000 por el INEGI, re-

portó cuántos niños vivían en nuestro país, distinguiéndolos por edad y género.

Observa la gráfica de la página siguiente y anota en tu cuaderno las respuestas a

las preguntas:

• ¿Cuál es la edad que presenta un

mayor número de niños?

• ¿Cuál es la edad que presenta un

mayor número de niñas?

• ¿Cuál es la edad en la que hay un

menor número de niños?

• ¿Cuál es la edad en la que hay un

menor número de niñas?

• ¿En qué punto de la gráfica te en-

cuentras tú? (recuerda que los da-

tos se tomaron en el 2000).


Los datos que se muestran en la tabla representan el número de pasajeros que

transportó la organización de taxistas “Los Avioncitos” (por la velocidad con la

que conducen) durante una semana:

Fuente: Instituto Nacional de Estadística Geográfica e Informática, información para niños, página de internet Cuéntame (http://cuentame.inegi.gob.mx/po-blacion/densidad.asp)

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Pasajeros 828 932 865 990 1 200 895 535

a) Representa estos datos en una gráfica poligonal .

b) Describe cómo varía (aumenta o disminuye) el número de pasajeros cada día de

la semana.

c) ¿Qué factores consideras que son significativos para que alguien elija usar o no

los taxis “Los Avioncitos”?


Edad

2 500 000

2 000 000

1 500 000

1 000 000

500 000

0

Pobl

ació

n

0 añ

os

1 añ

o

2 añ

os

3 añ

os

4 añ

os

5 añ

os

6 añ

os

7 añ

os

8 añ

os

9 añ

os

10 a

ños

11 a

ños

12 a

ños

13 a

ños

14 a

ños

niñasniños

72

Bloque 2

Un acertijo matemático… el euro perdido

Pedro, Antonio y Luis juntaron sus ahorros para asistir al mundial de fútbol en Alemania. Cuando llegaron a hospedarse al hotel, pagaron 30 euros por una habitación. Al poco rato, el encargado decide hacer-les un descuento y le pide al maletero que les devuelva 5 euros. El em-pleado devuelve 1 euro a cada huésped y él se queda con 2 monedas. Si finalmente cada uno de los amigos pagó 9 euros por la habitación y el maletero se quedó con 2, ¿dónde quedó el euro restante.

73


• Evalúen, con o sin calculadora, expresiones numéricas con paréntesis y expresiones algebraicas, dados los valores de las literales.

• Resuelvan problemas que impliquen operar o expresar resul-tados mediante expresiones algebraicas.

• Anticipen diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

• Resuelvan problemas en los que sea necesario calcular cual-quiera de los términos de las fórmulas para obtener el volu-men de prismas y pirámides rectos. Establezcan relaciones de variación entre dichos términos.

• Resuelvan problemas que implican comparar o igualar dos o más razones.

• Resuelvan problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central.

Lección11


Significado y usode las operaciones

En esta lección aprenderás a utilizar la jerarquía de las operaciones y los parén-tesis en problemas de cálculo.

El euro perdido

Pedro, Antonio y Luis juntaron sus ahorros para asistir al mundial de fútbol en Alemania. Cuando llegaron a hospedarse al hotel, pagaron 30 euros por una habitación. Al poco rato, el encargado decide hacerles un descuento y le pide al maletero que les devuelva 5 euros. El emplea-do devuelve 1 euro a cada huésped y él se queda con 2 monedas. Si finalmente cada uno de los amigos pagó 9 euros por la habitación y el maletero se quedó con 2, ¿dónde quedó el euro restante?

Autoevaluación1. Resuelve los siguientes cálculos:

a) 2 7 5+ × =( )

b) ( )2 6 7 2 1+ × + + =

c) [( ) ]2 6 1 3 5 2× + + × + =

2. Completa con signos de suma o resta (+ o –) y signos de agrupación, de tal ma-nera que se cumpla la igualdad:

2 3 ( 5 3 ) 2 1 + 5 3 + 3 = 2

3. ¿Es correcto el resultado de la siguiente expresión?

( ) ( )6 4 3 5 1 8× − × + =

Para aprenderActividad 1. ¡El orden de las operaciones sí afecta al resultado!

Resuelve las operaciones siguientes, atendiendo a las reglas mencionadas:

3 5 4+ × = _______ Si primero hago la suma y después el producto.

3 5 4+ × = _______ Si primero hago el producto y después la suma.

¿Por qué salen resultados distintos? ¿Cuál es el correcto? Contesta en tu cua-derno.

75Lección 11 Signifi cado y uso de las operaciones

4 8 4− ÷ = _______ Si primero hago la resta y después la división.

4 8 4− ÷ = _______ Si primero hago la división y después la resta.

¿Por qué se tienen resultados distintos? ¿Cuál es el correcto? Contesta en tu cua-derno.

4 24+ = _______ Si primero hago la suma y después calculo la cuarta poten-cia.

4 24+ = _______ Si primero calculo la cuarta potencia y después hago la suma.

¿Por qué obtuvimos resultados distintos? ¿Cuál es el correcto? Contesta en tu cua-derno.

Actividad 2. ¡Brrr, qué frío!

Andrea fue de vacaciones a Canadá a visitar a su tía Leonor. Una mañana sintió mucho frío y corrió a ob-servar el termómetro para saber a qué temperatura estaban: 32°. Andrea pensó que el termómetro estaba descompuesto, pero su tía le explicó que en ese país la temperatura se mide en grados Fahrenheit, una es-cala diferente a la que se utiliza en México. Para con-vertir de una escala a otra se utilizan las siguientes fórmulas:

x °C °F °= −5

932( ) x °F °C= +9

532

De grados Celsius a Fahrenheit De grados Fahrenheit a Celsius

Ayuda a Andrea a convertir las siguientes temperaturas a la escala adecuada:

33 °F = _____________ °C 6 °C = _____________ °F

15 °C = _____________ °F 0 °F = _____________ °C

Actividad 3. Listas y fórmulas

En las tablas de la página siguiente, cada uno de los elementos de la columna B se generó al aplicar una fórmula a los elementos correspondientes de la columna A. La fórmula para calcular los elementos de B en la primera tabla fue A × 2 + 3, mientras que en la segunda tabla se empleó A × 3 + 1.


A B A B

1 5 1 4

2 7 2 7

3 9 3 10

4 11 4 13

5 13 5 16

6 15 6 19

7 17 7 22

8 19 8 25

9 21 9 28

a) Pedro, un alumno de otra escuela, dice que la fórmula A × 5 + 2 produce los mismos resultados que A × 7. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? Coméntalo con tus compañeros.

b) Juana, una amiga de otro grupo, asegura que la fórmula A × 2 + 1 produce los mismos resultados que A × 3. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? Coméntalo con tus compañeros.

Los conocimientosAl realizar operaciones matemáticas nos encontramos con situaciones donde el orden en que efectuemos las operaciones cambia el resultado. Por ejemplo, ¿qué resultado da 2 + 3 × 5? Algunos dirán que 25, pero la respuesta correcta es 17.

La cuestión es que el 3 tiene un + a la izquierda y un × a la derecha; por ello, una de las dos operaciones debe realizarse antes que la otra: a esto se le llama prio-ridad o jerarquía de las operaciones. Éstas son reglas que debemos seguir para obtener las mismas soluciones a los mismos cálculos. El orden de prioridad de las operaciones, de mayor a menor, es: primero, potencias y raíces; segundo, multi-plicaciones y divisiones; tercero, sumas y restas.

Por ejemplo: 5 + 3 × 22 = 5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17.

Sin embargo, no debemos olvidar que los paréntesis tienen prioridad sobre to-das las operaciones: primero se hacen los cálculos contenidos entre los paréntesis y después se sigue la prioridad antes mencionada. Así, A × 5 + 2 es diferente que A × (5 + 2), ya que esta última expresión equivale a A × 3 (primero se efectúan los cálculos contenidos en los paréntesis y luego la multiplicación).

Los métodosPara trabajar con cálculos que involucren varias operaciones, hay que respetar la prioridad de las operaciones:

77Lección 11 Signifi cado y uso de las operaciones

1. Primero se realizan las operaciones dentro de los paréntesis.

2. Después se efectúan las potencias o raíces.

3. Luego las multiplicaciones y divisiones.

4. Por último, se llevan a cabo las sumas y restas.

Ejemplo:

( )( )

2 6 1 35 7

412 1 3

12

412 1 9 20× − + × + = − + × = − + =

Observa que cuando no hay paréntesis la jerarquización se sigue respetando. Es decir, primero se hacen las potencias o raíces, luego las multiplicaciones y divisio-nes y por último las sumas y restas.



a) 3 + 5 × 4

b) (3 + 5) × 4

2. Utiliza los números del cuadrado y completa los signos de agrupación con suma, resta, multiplicación o división (+, –, × o ÷) y paréntesis, de tal manera que, al emplear los números que se encuentran en el cuadrado, puedas encon-trar algunos de los que están contenidos en el círculo. Escribe las soluciones en tu cuaderno.

3. Analiza con atención la siguiente expresión:

25 + 32 – 15 – 12 + 2 × 5 = 160

¿Hay algún un error? Compruébalo con tu calculadora y comenta el resultado con tus compañeros.

–4–10

1

8

3

4

6

–17 –4 –31 12

24 –16 4 32

–16 –1 0 –13

–24 8 –30 10




1. ¿Cuánto es la mitad de dos más dos?

2. ¿Es correcta la operación 2 + 3 × 4 = 20?


a) 5 3 5× + =( )

b) 11 3 2− × =

c) 12 5 3 2× ÷ × =

d) 3 2 53 × + =

e) 4 8 3 2 8 52( ) ( )− + + =

4. Completa la siguiente tabla:

x = –2 x = 0

2 1 7( )x + + =

2 1 7x + + =

5. Resuelve la siguiente operación:

[( )/ ]2 6 2 2 6+ + − =


1. A Patricia y Carlos les han puesto el siguiente problema: el doble de un número más seis es treinta. ¿Cuál es el número? Patricia dice que la respuesta es 9, Carlos afirma que 12. ¿Quién tiene la razón? Coméntalo con el grupo.

2. Completa con signos de suma o resta (+ o –) y signos de agrupación, de tal ma-nera que se cumplan las igualdades:

a) 2 1 5 33

2

1

23 (5 3) 2 + + =

b) 1

4[3 5

1

22)+ + =1

3

4

1

4

1

3

3

2

1

3−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥x

Lección12 Problemas multiplicativos.

Expresiones algebraicas

y

2

x

1

x

5

4x

x

En esta lección aprenderás a resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

Los colectores solares fotovoltaicos son dispositivos que produ-

cen energía eléctrica a partir de la luz del Sol, y están constitui-

dos por celdas rectangulares fabricadas de materiales como el

silicio.

La energía del Sol se puede utilizar en los hogares para propor-

cionar energía eléctrica, agua caliente y calefacción. En el sector

agrícola, para los invernaderos solares, los secaderos agrícolas y

plantas de purificación o desalinización de aguas. En la investi-

gación científica, es usada en hornos, satélites, vehículos moto-

rizados, plantas de tratamiento de agua, etc.

Autoevaluación1. En un rectángulo, el lado mayor es el doble que el lado menor. Expresa el área

del rectángulo en términos de sus lados. Si el lado menor vale 2x, ¿cuál es el área

del rectángulo? Explica tu respuesta y anótala en tu cuaderno.

2. Determina el perímetro de la región sombreada.

a) Encuentra el perímetro de cada

uno de los cuatro rectángulos.

b) Encuentra el área de cada uno de

los cuatro rectángulos.

c) ¿Cuál es el área total de la figura?

Anota todas las respuestas en tu cua-

derno.

3. Observa las dimensiones de los siguientes rectángulos.

79Lección 12 Problemas multiplicativos. Expresiones algebraicas


Determina el área y el perímetro para las siguientes figuras que se forman.

Para aprenderActividad 1. Paneles solares

Los abuelos de Tomás tienen una granja y decidieron comprar paneles

solares para reducir el costo en el consumo de electricidad. Este equipo

consta de 36 celdas fotovoltaicas que tienen forma rectangular. El largo de

cada celda es 2 veces mayor que el del ancho.

a) ¿Cuál es el área de este panel?

b) ¿Cuál es el área de la sexta parte de la superficie del panel?

c) ¿Cuántas celdas representan la sexta parte?

d) Otro tipo de celdas, las de tipo V, tienen una dimensión de 3x por 2x. ¿Cuál

sería el área de un panel con el mismo número de celdas como el que tienen los

abuelos de Tomás?

e) ¿Cuántas veces cabe el panel de los abuelos de Tomás en un panel del tipo V?

Figura 1 Figura 2 Figura 3

x

2x


Actividad 2. Otras figuras

Observa la siguiente sucesión de figuras y calcula sus áreas.

a1 = _x2 a

2 = ____ a

3 = ____ a

4 = ____

Modificamos las magnitudes. Ahora, el lado mide x + 1.

x + 1

a1 = 1 + 2x + x2 a

2 = _________ a

3 = __________ a

4 = ___________

¿Observaste cómo encontramos el área? Usamos el algoritmo de la multiplicación

y multiplicamos al 1 por 1 y por x.

x + 1

x + 1

x + 1

Después, multiplicamos a la x por 1 y por x

x + 1

x + 1

x + 1

x2 + x

y así obtenemos el resultado final:

x + 1

x + 1

x + 1

x2 + x x2 + 2x + 1

•

•

•

x


Actividad 3. Más cuadrados… ¡ahora uno mágico!

El siguiente cuadrado mágico es muy singular. Realiza la suma de la expresión de

cada casilla en forma horizontal, vertical y diagonal. ¿Qué expresión obtienes para

cada caso? Escríbelas en tu cuaderno.

x + 7 x x + 5

x + 2

x + 4 x + 6

x + 3 x + 8 x + 1

Multiplica cada expresión por 5. ¿El nuevo cuadrado es mágico? ¿Qué resultados

obtienes al sumar en forma horizontal, vertical y diagonal? Explica las respuestas

en tu cuaderno.

Ahora, multiplica cada expresión del cuadrado mágico inicial por (2x + 2) ¿El

nuevo cuadrado es mágico? ¿Qué resultados obtienes al sumar en forma horizon-

tal, vertical y diagonal? Utiliza tu cuaderno para anotar las respuestas.

Divide por 2x a cada expresión del cuadrado que construiste. ¿También es mági-

co? ¿Qué resultados obtienes al sumar en forma horizontal, vertical y diagonal?

Explica las respuestas en tu cuaderno.

En el último cuadrado que elaboraste asignamos x = 3. Evalúa en cada casilla y

obtén un valor numérico. ¿Tu cuadrado es mágico? Explica y argumenta con tu

grupo qué sucede al multiplicar, dividir y evaluar los binomios de cada casilla.

Los conocimientosEn la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio

por cada término del polinomio. Dicho en otras palabras, se distribuye el mono-

mio para cada término del polinomio.

2x (1 + 2x - 4y) = ( 2x · 1) + ( 2x · 2x) - (2x · 4y ) = 2x + 4x2 – 8xy

También se puede usar el algoritmo tradicional de la multiplicación. Alineamos

los términos en forma vertical y se multiplica el monomio por cada término del

polinomio.

1 + 2x – 4y 2x 2x + 4x2 – 8xy


Para multiplicar un polinomio por un polinomio se pueden usar ambos métodos.

Si se emplea la distribución de términos, queda:

(x + 1) · ( x + 3 ) = x2 + 3x + x + 3 = 3 + 4x + x2

Si el producto lo obtenemos usando el algoritmo de la multiplicación (como hi-

cimos en la Actividad 2), alineamos verticalmente los polinomios y se multiplica

cada término de un polinomio por cada término del otro. El resultado correspon-

de a la primera fila.

x + 1

x + 3

3x + 3 Primera fila

Ahora, toca el turno al otro término para formar la segunda fila. Las expresiones

que se van obteniendo en otras filas se deben alinear verticalmente con sus respec-

tivos términos semejantes.

x + 1

x + 3

3x + 3 Primera fila

x2 + x Segunda fila

x2 + 4x + 3

Recuerda que al efectuar el producto los signos son importantes. Cuando se multi-plican dos expresiones con signo diferente, el producto es negativo; cuando se multi-plican dos expresiones con el mismo signo, el producto es positivo.

Los métodosMultiplicación de un monomio por un polinomio

a es un monomio,

c + d es un polinomio de dos términos o binomio,

Multiplicar (c + d)a equivale a tomar c + d y sumarla a veces.

Si multiplicamos (x + y) � 3, el procedimiento es:

(x + y) + (x + y) + (x + y) = ( x + x + x ) + (y + y + y ) = 3x + 3y

3 veces

Así

(x + y) � 3 = 3x + 3y

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

2x

4

3x

5

Multiplicación de un polinomio por un polinomio

Se multiplican todos los términos del primer factor (multiplicando) por cada uno

de los términos del segundo factor (multiplicador). Observa los signos que tienen

cada uno de los términos, ya que al multiplicar dos expresiones con signo diferente, el producto es negativo; al multiplicar dos expresiones con el mismo signo, el produc-to es positivo.

Multiplicar (x – 2) por (x + 1)

x – 2

x + 1

1 · x + 1 (–2)

x(x) + x (–2)

x2 – 2x – 2


1. Encuentra el área sombreada de las siguientes figuras:

2. Considera el cuadrilátero ABCD y tres triángulos (delineados con los colores

rojo, azul y verde) inscritos en él.


A

D

B

C

x + 1

a

a) Encuentra el área del triángulo delineado con azul.

b) Determina el área del triángulo delineado con verde.


2

2

x + 1

x + 4

c) Obtén el área del triángulo delineado con rojo.

d) Encuentra el área del cuadrilátero ABCD.e) ¿Qué tienen en común las áreas de los tres triángulos?

f) ¿Qué relación guardan las áreas de los triángulos respecto al área del cua-

drilátero?

g) ¿Puedes establecer algún resultado, tocante a las áreas, en relación a un cua-

drilátero y un triángulo inscrito en él?

Responde las preguntas en tu cuaderno.


Utiliza tu cuaderno para anotar tus respuestas.

1. Considera el siguiente rectángulo.

a) Encuentra el área del rectángulo sombreado en azul.

b) Determina el área de la región sombreada (la amarilla y la azul).

c) Encuentra el área de la región que está sin sombrear.

2. En las siguientes tablas, cada uno de los elementos de la columna lista 2 se gene-

ró al aplicar una fórmula a los elementos de la lista 1. ¿Cuál es la fórmula para

cada caso?

Represéntalo en tu cuaderno.

lista 1 lista 2 lista 1 lista 2 lista 1 lista 2 lista 1 lista 2


Si a los elementos de lista 1 se les aplicaran las operaciones de la fórmula 7 lista 1-6, ¿cuáles serán los elementos de lista 2?


1. Piensa en un número y súmale 3. Multiplica el resultado por 2; a éste réstale 2;

a la cantidad obtenida divídela entre 2; a este resultado súmale 1 y, por último,

resta el número que pensaste. ¿El resultado es 3? Encuentra la justificación al-

gebraica y anótala en tu cuaderno.

2. Encuentra un entero positivo a tal que la suma

a + 3a +5a + 7a + 9a + 2(a + 2a + 3a + 4a)

sea un número con todas sus cifras iguales (Sugerencia: piensa cómo se com-

portan los múltiplos de 5).

3. El cuadrado ABDE y el triángulo isósceles BCD (BC=CD) tienen igual períme-

tro. Si el polígono ABCDE mide 72 centímetros de perímetro, ¿cuál es la longitud

de CD?

A

E D

C

B

lista 1 lista 2

Lección13 Cubos, prismas

y pirámidesEn esta lección aprenderás las características de un prisma, un cubo y una pirá-mide, lo cual te permitirá distinguir estos tres cuerpos geométricos.

La luz blanca o visible puede descomponerse en luces monocromáticas, siempre

que atraviese algún obstáculo que obligue a las diferentes ondas que constituyen la

luz blanca a viajar a velocidades diferentes, por

ejemplo un prisma transparente. El resultado

es el arco iris o espectro de la luz blanca.

La descomposición de la luz blanca en los dife-

rentes colores que la componen, data del siglo

XVIII, debido al físico, astrónomo y matemáti-

co Isaac Newton.

La luz blanca se descompone en estos colores

principales: Rojo, anaranjado, amarillo, verde,

azul y violeta.1

En la imagen se presenta un timbre postal con-

memorativo de las Islas Maldivas que muestra

a Isaac Newton sosteniendo un prisma y reali-

zando el proceso de descomposición de la luz.

Autoevaluación1. Relaciona las columnas:

Cuerpo geométrico formado por

seis caras. Cada cara es un cua-

drado.

Sus lados triángulares se unen en

un mismo vértice

Dos de sus caras son polígonos

paralelos y las caras restantes son

paralelogramos

1 Información tomada de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_de_la_luz_blanca.

( )

( )

( )

a)

b)

c) d)

87Lección 13 Cubos, prismas y pirámides


2. Enseguida se te presentan vistas parciales de algunos cuerpos geométricos. De-

termina si estas imágenes corresponden a un prisma, a un cubo, a una pirámide

o a más de una de esas figuras.

Para aprenderActividad 1. Cortes entre planos

Dada una figura plana, ésta define al plano en que está contenida. Por eso en algu-

nos casos, podemos decir que un rectángulo o un cuadrado o polígono constitu-

yen un segmento plano. Podemos representar al plano de la siguiente manera.

1. Traza un plano que sea perpendicular a P ¿Cuál sería el criterio para garantizar

que dichos planos son perpendiculares?

2. Traza un plano que sea paralelo a P y otro que sea oblicuo a P ¿Qué caracteriza-

rían a dichos planos?

3. ¿Qué figura se obtiene cuando se cortan dos planos?

4. ¿De cuantas maneras distintas se pueden cortar tres planos?

5. En tu cuaderno dibuja tres planos cuya intersección sea un punto.

Actividad 2. Explicación

Las siguientes figuras constituyen poliedros, ahora trata de explicar qué es un po-

liedro.

Plano P


1. Para cada poliedro, señala a dos vértices, dos aristas y dos caras.

2. Para cada poliedro sugiere un segmento que defina la base del mismo, ¿hay una

sola base?

3. Para cada poliedro, propón un segmento que defina la altura del mismo. Justi-

fica tu respuesta en tu cuaderno.

Actividad 3. Experiencia

En tu cuaderno:

1. Dibuja un cubo y un prisma triangular.

2. Dibuja una pirámide triangular, cuyas caras sean iguales.

Los conocimientosUn prisma es un poliedro que satisface estas condiciones:

1. Hay un par de caras congruentes sobre planos paralelos (bases).

2. Todas las demás caras son paralelogramos.

Un paralelepípedo es un prisma cuyas

bases son paralelogramos.

Un cubo es un paralelepípedo cuyas caras son todos cuadrados, sus tres dimen-

siones son iguales: a = b = c.

Una pirámide es un poliedro en el

cual todas las caras menos una, tie-

nen un vértice común. Ese vértice

común es el vértice de la pirámide, y

la cara que no contiene al vértice es la

base de la pirámide.

Base

Altura

a

b

c

h

a

aa

a


Los métodosPara la construcción de un cubo podemos desple-

gar sus caras sobre un plano.

Cualquier prisma también puede mostrarse por completo sobre un plano. Como

se ilustra en la figura de la izquierda.

La construcción de una pirámide, se realiza del

mismo modo que los anteriores.

Una ventaja es que todos estos poliedros tienen caras planas y al querer trazarlos sobre un papel no hacemos uso de líneas curvas.


Utiliza una cartulina para elaborar las siguientes figuras.

1. Construye un cubo utilizando la siguiente

figura como modelo.

2. Construye un poliedro de seis caras en el que cada uno de los lados de su base y su altura midan 8 cm, respectivamente. ¿Qué tipo de poliedro has construido?

3. Construye una pirámide de base pentagonal y altura igual a 8 cm. Cada lado de

la base igual a 5 cm.

4. Los poliminós son las figuras que se obtienen al unir cuadrados por sus lados.

Así, existen dominós, triminós, tetraminós, etc.

Dominós Triminós Tetraminós

(Sólo existe uno) (Existen dos) (Existen cinco)

¿Cuántos hexaminós existen? ¿Cuántos de éstos pueden formar un cubo?



1. ¿Cuántas caras tiene un prisma de base pentagonal?

2. ¿Cuántas aristas tiene una pirámide de base cuadrangular?

3. ¿Puedes construir paralelepípedos con más (o menos) de seis caras?


1. ¿Cuál es el área total de la superficie de un cubo de lado igual a 5 cm? Realiza

las operaciones en tu cuaderno.

2. Calcula el área total de la superficie de una pirámide de base octagonal y altura

igual a 1 m. Cada lado del octágono es igual a 1.25 m. Realiza las operaciones

en tu cuaderno.


Completa la siguiente tabla y responde lo que se te pide.

Poliedro N° de caras

N° de vértices

N° de aristas

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

¿Qué relación existe entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro?

Ejercicios con tecnología

Manipula el applet para generar prismas que se incluye en la página del proyecto

Descartes y después contesta a la pregunta que se plantea:

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/prismas.htm

¿La altura de un prisma mide lo mismo que las aristas laterales del prisma?

Tetraedro Hexaedro o cubo

Octaedro Dodecaedro

Lección14


Fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides

En esta lección aprenderás a identificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides.

En la enseñanza del Álgebra algunas veces se hace uso de representaciones geomé-

tricas con la intención de facilitar a los estudiantes el entendimiento de los con-

ceptos estudiados. En el caso del desarrollo de la expresión (a + b)n algunas veces

se hace uso de conceptos como área de un cuadrado o volumen de un cubo para

ilustrarlo. Por ejemplo, la ilustración1 que se presenta, muestra una representación

geométrica de la expansión de (a + b)3.

Autoevaluación1. Indica la fórmula para calcular el volumen de cada uno de los siguientes sóli-

dos:

1 Tomada de Flusser, P. & Francia, G.A. (2000). Derivation and visualization of the binomial theorem. Interna-tional Journal of Computers for Mathematical Learning 5, 3-24.

a

aa

b

h

93Lección 14 Fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides

2. A continuación se muestran una pirámide y un prisma. La base y la altura de

estas dos figuras son idénticas. Si el volumen del prisma es igual a 9 unidades

cúbicas ¿cuál es el volumen de la pirámide?

Para aprenderActividad 1. Movimiento con planos

1. Con un mazo de cartas, describe de qué manera puedes aplicar una o más fuer-

zas, para producir los efectos que se muestran.

Descripción Descripción Descripción

______________ _______________ _______________

______________ _______________ _______________

______________ _______________ _______________

2. Tomando el mismo mazo de cartas y aplicando otras fuerzas, genera tres nuevas

figuras y dibújalas en tu cuaderno.

bh

a

bc


Actividad 2. El volumen del prisma


1. En las diversas figuras de la Actividad 1, ¿hubo un cambio en la altura del mazo

de cartas?

2. ¿En cuál de las figuras te resultó más fácil determinar el volumen del mazo? Da

una expresión para calcular dicho volumen.

3. Para cada una de las figuras generadas ¿crees que haya un cambio en su volu-

men? Discute con tus compañeros tu respuesta.

4. Si el mazo de cartas es pentagonal (si lo hubiera), ¿cómo calcularás el volumen

de este prisma?

Actividad 3. Pirámide y su relación con el volumen del prisma


El volumen de la siguiente pirámide es de 1⁄3 b · h, donde b es el área de la base de

la pirámide cuadrangular de lado a.

1. ¿Qué sucede si tomamos tres veces el volumen de la pirámide?

2. Si variamos la base o la altura de la pirámide, ¿cuál de ellas provoca mayor efec-

to en la variación del volumen? Explora numéricamente el hecho.

Los conocimientosDecimos que para un cubo la fórmula para obtener

su volumen es:

Área del cuadrado = lado × lado

Volumen del cuadrado = área del cuadrado × altura

= 1 × 1 × 1 = 13

aa

aha

⎫⎪⎬⎪⎭ ⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

1 cm a

1 cm

1 cm


Para calcular el volumen de un prisma, se multiplica el área de la base por la altura,

de este modo:

Área de la base =Perímetro apotema

2

×

Volumen del prisma =Perímetro apotema

2a

× × lltura

El volumen de la pirámide recta se obtiene dividiendo entre tres al producto de su

área basal con su altura, es decir:

Volumen de la pirámide =Área de la base i aaltura

3

Los métodosPara formar un prisma se toma un polígono como base y éste lo despla-

zamos cierta altura.

De este modo el volumen que ocupará el prisma generado con este mo-

vimiento, será igual al área del polígono generador por la altura despla-

zada. Es decir:

V A hprisma base= i

aa

aha

Base

Altura

base

h = altura


Las pirámides P1 y P3 tienen bases con áreas iguales, el área del triángulo ABC es

igual al área del triángulo DEF. La altura es la misma para ambas, DA = FC = h.

Por lo tanto, el volumen de P1 es igual al volumen de P3.

Las bases de las pirámides P1 y P2 son, respectivamente, los triángulos DAB y

DEB. BD es la diagonal del paralelogramo ABED y ambos triángulos forman el

paralelogramo, por lo tanto tienen la misma área. La altura de las dos pirámides es

BC. Así, el volumen de P1 es igual al volumen de P2.

Hemos visto que las tres pirámides tienen el mismo volumen, pero también las

tres forman al prisma ABCDEF. Por lo tanto el volumen de una pirámide trian-

gular debe ser un tercio del volumen del prisma. Es decir:

VA h

pirámidebase=i

3

Nota: Este resultado es válido para cualquier pirámide. Basta con dividir sus bases en triángulos y aplicar a cada prisma generado la idea anterior. (Ejercicio de síntesis).


1. Construye en tu cuaderno un prisma triangular, realiza la trisección de éste y

verifica el resultado expuesto anteriormente.

El volumen de una pirámide se obtiene a partir del siguiente principio:

Los prismas y las pirámides de igual área en sus bases e igual altura,tienen el mismo volumen.

Consideremos el prisma ABCDEF, y las pirámides P1=ABCD, P2=BCDE y

P3=DEFC. Como se ilustra a continuación.

FD

E

A

B

C

DF

E

A

B

C

DF

E

A

B

C

DF

E

A

B

CP1

P2

P3h

b

h

b

h

b

h

b


2. Calcula el área de los siguientes polígonos:

a) b) c)

AB = 8 cm IM = 0.04 km LI = 0.06 km BC = 6.16 cm MJ = 0.035 km KM = 0.028 km CA = 4.68 cm HL = 0.03 km KL = 0.035 km

3. Considerando que un cubo es un prisma con base cuadrada de lado L y de altu-

ra L, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen?

4. ¿Cuál es la expresión que corresponde al volumen de una prisma de base penta-

gonal si su altura mide h unidades, cada lado de la base b unidades y su apotema

a unidades? ¿Cuál sería la expresión para una pirámide con las mismas caracte-

rísticas? Elabora las respuestas en tu cuaderno.



1. Si el volumen de un prisma de base triangular es 86 cm3, ¿Cuál es el volumen de

la pirámide con la misma base y misma altura?

2. Si el volumen de un cubo de lado a es a3, ¿cuál es el volumen de un cubo de lado

2a? ¿y de un cubo de lado a

2?

3. Si tienes diferentes paralelepípedos con longitudes, a = 3 cm; b = 4 cm y c =

6 cm, como se ilustra en las siguientes figuras, ¿Cuánto mide el área de la base

de cada uno de ellos? ¿cuál de los tres tiene mayor volumen? ¿Cómo puedes

expresar el volumen de un paralelepípedo cualquiera?

h = 3.6a = 4.83 cm

� = 4 cm

A B

C

J K

H

L

I

M

b = 4 cm

c = 6 cm

a = 3 cm c = 6 cm

b = 4 cma = 3 cm

a = 3 cm

b = 4 cm

c = 6 cm




1. Muestra que la fórmula para calcular el área de un polígono regular se puede

utilizar para calcular el área de un cuadrado.

Idea: La apotema de un polígono regular (mayor de tres lados), está definida

como la distancia que existe entre su centro y el punto medio de cualquiera de

sus lados.

2. Si consideras a una circunferencia como un polígono, su apotema sería el radio,

¿se puede aplicar la fórmula para calcular el área de los polígonos a una circun-

ferencia? Justifica.


Muestra que la fórmula para calcular el volumen de una pirámide de base triangu-

lar es válida para cualquier pirámide.


Reúnete en equipo y efectúen la actividad ‘Volumen de pirámides’ contenida en la

página web del proyecto descartes:

http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_4.htm

Utiliza los conocimientos adquiridos en esta actividad para contestar la pregunta

2 de la sección Autoevaluación.

Lección15


Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides

En esta lección aprenderás a calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides, mediante la aplicación de las fórmulas correspon-dientes.

El cálculo del volumen de los cuerpos es muy importan-

te para el estudio de algunas de sus propiedades. Por

ejemplo, la densidad de un cuerpo se define como la

cantidad de masa contenida en un determinado volu-

men, en términos matemáticos: ρ = m

v.

En la imagen se muestra una bola de billar que a pesar de su

tamaño, flota en un recipiente lleno de mercurio. Eso se debe

a que la densidad de la bola de billar es menor comparada con la

del mercurio.


1. Calcula el volumen de:

a) Una pirámide que tiene 8 cm de altura y una base cuadrada de lado 4.5 cm.

b) Un prisma que tiene una altura de 45 pies y una base triangular de 120 pies

cuadrados.

c) Un sólido rectangular que tiene de longitud 6 pulgadas, de ancho 3 pulga-

das y de altura 1 pie.

d) Un cubo con una arista de 7 metros.

2. Encuentra las magnitudes que se te indican:

a) La altura de una pirámide rectangular, si su volumen es igual a 30 cm3 y el

área de su base es de 9 cm2.

b) La longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es de 216 pies cúbicos.

c) El área de la base pentagonal de un prisma, cuya altura es de 0.5 metros y el

volumen es igual a 10 m3.


3. Calcula el volumen de la siguiente figura:

Para aprenderActividad 1. Prisma con el mismo volumen


1. Los egipcios construyeron muchas pirámides, sabemos que la pirámide del Jafra

(Kefrén) mide por lado 214.5 metros y que tiene un volumen de 2 200 823.625 m3.

¿Cómo puedes determinar la altura de la pirámide?

2. ¿Qué altura tendría un edificio con el mismo volumen y la misma base?

3. Comparar a escala ambos edificios.

Actividad 2. Cálculo de volúmenes

1. Trabajando en equipo con tus compañeros. Completar la tabla efectuando los

cálculos para los elementos que faltan, de los prismas indicados en ésta.

AL: Área lateral h: Altura a: Apotema

AT: Área total B: Base L: Lado

V: Volumen r: Radio

e

e

e

eee

h

Base del prisma B h V AL AT

Elementos del polígono

L a r

Hexágono 12 4

Triángulo 4 1

Cuadrado 49 735


Los conocimientosEl área de la base por la altura nos genera el volumen de un prisma.

Volumen del prisma = Área de la base � altura

V A hb= �

Si se requiere conocer la altura del prisma y se conoce el volumen y el área de la

base basta realizar el despeje respectivo en la expresión anterior. Así, la altura del

prisma estaría dada por la expresión:

Altura del prisma =Volumen del prisma

Área dde la base

hV

Ab

=

De este modo, si quisiéramos calcular el área de la base del prisma y se conocen el

volumen y la altura, lo podemos hacer utilizando la siguiente expresión:

Área de la base =Volumen del prisma

Altura ddel prisma

AV

hb =

Equivalencias

Unidad Galón(US)

Metroscúbicos Litros

Galón (US) 1.0 0.00378 3.785

Metros cúbicos 284.17 1.0 1 000

Litros 0.26417 0.001 1.0

Los métodos1. Calculemos el área de una de las caras de un cubo, si sabemos que tiene una

capacidad de 25 litros.

Solución: Debemos obtener el valor de uno de los lados, pero antes tenemos

que saber el volumen de éste.

Si 1 litro = 0.001 m3, entonces el cubo tiene una capacidad de 0.025 m3.

V L L V L L mcubo cubo= → = → = =3 3 0 025 0 2924. .


Ahora obtenemos el área:

A Am

mAbase

cubobase

3

base

V

L= → = → =0 025

0 29240 0

.

.. 8855 2m

2. Tenemos una pileta en forma triangular con una capacidad de 150 galones de

agua. Si d es igual a 1 metro. ¿Cuál es el área en metros cuadrados de cada una

de las caras laterales de la pileta?

Solución:

150 galones = 150 × 3.785 litros = 567.8 litros

567.8 litros = 567.8 × 0.001 m3 = 0.567 m3

V A AV

prisma base base

prismaalturaaltura

= → =�

Am

mA mbase

3

base2= → =0 567

10 567

..

3. Calcular la altura de una pirámide cuadrangular de cristal si sabemos que se

fabricó con 100 cm3 de cristal y tiene un área en la base de 10 cm2.

Solución: Despejamos la altura de la fórmula de volumen, y tenemos:

VA V

Apirámidebase pirámide

b

alturaaltura =

3= →�

3 aase

altura =3(100)

10altura→ = 30m


1. Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo recto rectangular de

8 cm de ancho, 12 cm de largo y 6 cm de profundidad. Utiliza tu cuaderno.

2. De las siguientes expresiones, despeja la variable que se te indica:

a) x y y= +3 ; b) y x x=16 2 ;

d


c) x y x2 2 1+ = ; d) t p p= −3 3;

e) VA h

A h= ×3

; , f ) VR

h R h= × ×π3

; ,


Utiliza tu cuaderno para resolver.

1. ¿Cuánto mide la arista de un tetraedro regular de 144 cm2 de área?

2. Si la arista de un tanque de forma cúbica es de 12 dm, y se quiere otro tanque

que tenga un tercio de su capacidad, ¿cuánto medirá la arista del tanque peque-

ño; y qué relación hay entre la superficie total de ambos tanques?

3. El campanario de una iglesia tiene la forma de una pirámide hexagonal. La base

mide 1.22 m en cada lado y su altura es de 9.4 m. ¿Cuántas tejas se necesitarán

para cubrir el techo del campanario, si la superficie de cada teja es de 15 cm por

10 cm. Supón que no hay pérdida al acoplarlas.



1. ¿Qué porcentaje se le ha quitado a cada uno de los prismas de las siguientes

figuras?

2 cm2 cm

3 cm

4.5 cm4.5 cm

5 cm

6 cm

4 cm

8 cm3 cm

15 cm


2. Un recipiente de un decímetro cúbico puede contener a lo más un litro de líquido.

a) ¿Cuántos litros contiene un cubo de lado igual a 12 cm?

b) ¿Cuántos litros contiene una pirámide de base cuadrangular, si cada uno de

sus lados mide 12 m y su altura es de 8 m?



1. Muestra que la fórmula para calcular el área de un polígono regular se puede

utilizar para calcular el área de un cuadrado.

Idea: La apotema de un polígono regular, está definida como la distancia que

existe entre su centro y el punto medio de cualquiera de sus lados.

2. Si tuvieras que llenar de líquido dos recipientes de igual perímetro de base, uno

de base cuadrangular y uno de base hexagonal; ambos con la misma altura,

¿cuál contendría más líquido?

Idea: La apotema de un hexágono es igual a la mitad del producto de la longitud

de su lado con la raíz cuadrada de tres.


Enseguida se muestra una tabla que en una columna contiene los valores de las

aristas de diferentes cubos. En otra columna muestra algunos de los valores co-

rrespondientes al volumen de dichos cubos. Una versión gratuita de Classpad se

puede consultar en la web: http://classpad.net.

a) Completa la tabla.

b) Con ayuda de una hoja de cálculo (ver figura 1), grafica los valores Arista

contra Volumen y contesta las siguientes preguntas:

i. ¿Qué tipo de gráfica se genera (cuadrática, cúbica)?

ii. ¿Por qué se genera ese tipo de gráfica?

Arista Volumen

0 cm

1 cm

2 cm 8 cm3

3 cm

4 cm

5 cm 125 cm3

6 cm

Figura 1.

Lección16

105Lección 16 Relaciones de proporcionalidad. Comparación de razones

Relaciones de proporcionalidad. Comparación de razones

En esta lección aprenderás a diferenciar las razones equivalentes de las no equivalentes y, de estas últimas, identificarás cuál es mayor o menor.

Bienvenido al mundo de la nanotecnologíaLa nanotecnología designa a un conjunto de técnicas que se utilizan para manipu-

lar la materia a la escala de átomos y moléculas. Nano es un prefijo que indica una

medida, no un objeto. A diferencia de la biotecnología, donde bio significa que se

manipula la vida, la nanotecnología habla solamente de una escala.

Nano, que significa enano en griego, es la manera de referirse con brevedad al

nanómetro, la millonésima parte de un milímetro: una distancia tan pequeña que

sería gracioso compararla con algo tangible. En el artículo “Promesas de la na-

notecnología” que publicó la revista National Geographic en Español en junio

del 2006 (volumen 18, número 6), se muestran algunos ejemplos y sus me-

didas nano para que el lector tenga una idea más real de su significado:

• Un cabello humano tiene aproximadamente 80 000 nanómetros de ancho.

• La uña del meñique tiene aproximadamente 10 000 000 nanó-metros de ancho.

• Shaquille O’Neal, un famoso jugador de básquetbol, mide

2 160 000 000 nanómetros.• Un nanómetro es a un centímetro lo que un centímetro a 100 kilómetros.• Un nanómetro es una décima del grosor de la capa de color de unos lentes

de sol.

• La cabeza de un alfiler tiene un millón de nanómetros de ancho.• Un billete tiene 100 000 nanómetros de grosor.

Autoevaluación1. Encierra en un círculo las fracciones que se te piden:

a) Fracciones mayores a 5

7

30

42

4

10

9

17

1

2

8

9

11

13

35

49→ ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

, , , , , ,

b) Fracciones menores a 6

11

3

4

2

3

18

33

13

22

2

5

24

44

2

9→ ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

, , , , , ,


c) Fracciones equivalentes a 12

50

6

25

3

11

24

40

36

72

1

9

5

12

14

52→ ⎧

⎨⎩

⎫⎬⎭

, , , , , ,

2. Determina si las siguientes razones son equivalentes (=), si la primera es mayor

que la segunda (>) o si la primera es menor que la segunda (<).

a) 2

3

3

12 b)

4

27

7

18 c)

14

35

2

5 d)

9

19

18

38

e) 51

60

17

20 f)

6

7

5

6 g)

45

27

10

6

Para aprender¿Cuántos somos y dónde estamos? (segunda parte)

Entidad federativa Población

Estados con menor población

Baja California Sur 424 041

Colima 542 627

Campeche 690 689

Estados con mayor población

Veracruz 6 908 975

Distrito Federal 8 605 239

México 13 096 686

Estados Unidos Mexicanos 97 483 412

Desde el primer año de secundaria has tra-

bajado con datos y gráficas como la que

hemos presentado en la tabla anterior. La

gráfica muestra los porcentajes de la pobla-

ción nacional que le corresponden a ciertos

estados de la República Mexicana. En Baja

California Sur, Colima y Campeche hay

menor población, mientras que Veracruz, el

Distrito Federal y el Estado de México son

los más poblados.

El Distrito Federal tiene 8 605 239 de los

97 483 412 habitantes del país, lo que pode-

mos expresar con 1a razón:

8 605 239

97 483 412


Dado que Baja California Sur tiene 424 041 habitantes, su población es menor a la

del Distrito Federal:

424 041 8 605 239<Y, por tanto, sus razones no son equivalentes

424 041

97 483 412

8 605 239

97 483 412<

Entonces, en la gráfica el porcentaje que le corresponde a Baja California Sur

está representado por una sección más pequeña que la concerniente al Distrito

Federal.

Con una calculadora, determina los porcentajes que le tocan a cada estado de la

República en la gráfica, usando la razón proporcional:

población total

100%

población del Estado

%=

Y completa la siguiente tabla:

Color Porcentaje Estado que representa

13%

9%

7%

0%

1%

1%

a) ¿Qué representa el 69% en la gráfica?

b) ¿Por qué en la gráfica hay una zona con el 0%, si todos los estados tienen

habitantes?

Los conocimientosEn la actividad de Para aprender comparaste el número de habitantes de un estado

de la República con el de otro. Tal comparación coincidía con la de las razones de

población de dichas entidades. Por ejemplo:

Número de habitantes en Colima < Número de habitantes en Veracruz

en razones respecto a la población total:

542 627

97 483 412

< 6 908 975

97 483 412


La coincidencia se debe a que ambas cantidades (habitantes en cada estado) están en razón de la población total. Pero, por ejemplo, Chihuahua tiene 84 086 habi-tantes, mayores de 5 años, que hablan una lengua indígena, mientras que Nayarit sólo tiene 37 206. Esto es, Nayarit tiene un número menor de habitantes que ha-blan una lengua indígena; sin embargo, al establecer estos números respecto de la población en cada estado, tenemos que:

Habitantes que hablan una lengua indígena

en Chihuahua > en Nayarit

pero en razones respecto a la población de cada estado:

84 086

3 052 907

< 37 206

920185

Por tanto, Nayarit tiene una porción mayor de

habitantes que hablan una lengua indígena.

Los métodos Una razón se puede interpretar como una fracción:

a

b→ numerador

denominador

Si los denominadores de dos razones son iguales, la mayor será aquella con mayor

numerador:

3

5

4

53 4< <, porque .

Sin embargo, si los denominadores no son iguales este criterio no tiene validez.

Por ejemplo, tomemos el siguiente rectángulo:

Para tener 4

7 del rectángulo, primero dividimos entre 7 y luego tomamos 4 partes:

Para tener 3

5del rectángulo, primero dividimos entre 5 y luego tomamos 3 partes:

Observamos que la porción de 3

5 es ligeramente más grande que la de

4

7.


Si dividimos cada séptimo en 5 y cada quinto en 7, podemos comparar dos por-

ciones divididas en partes iguales; en este caso, 35. Nos queda:

4

7

20

35=

3

5

21

35=

Entonces por1

35

4

7

3

5< , .

En síntesis, se busca que ambas razones tengan el mismo denominador:

5

5

4

7

3

5

7

7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟� � ,

que se interpreta como multiplicar ambas razones por la unidad. Por multiplica-

ción de fracciones, tenemos

4 5

7 5

3 7

5 7��

��

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

Y así podemos comparar los numeradores, pues tenemos el mismo denominador

para ambas razones:

20

35

21

35< .

Y por la equivalencia de razones:

4

7

3

5< .


Don Raúl quiere repartir un terreno entre sus sobrinas Marcela, Silvia y Gabriela.

Al principio pensó en dividirlo en tres partes iguales, pero después se le ocurrió

darles una proporción equivalente a la razón de la edad de cada una respecto a la

edad de Don Raúl. Si A Marcela le dio 1

3 del terreno, a Silvia

1

4y a Gabriela

5

12,

¿a quién le dio la mayor parte del terreno?


Si Don Raúl tiene 60 años, ¿qué edad tiene cada una?

¿Quién es la más grande?

Si el terreno está dividido en 36 pequeñas parcelas, ¿cómo las distribuirías para

respetar el reparto de Don Raúl? Usa la cuadrícula como si fuera el terreno y di-

buja, con diferentes colores, la parte del terreno que le correspondería a cada una

de las sobrinas.


La profesora de Margarita organizó un día de campo con sus 10 alumnos. Uno de

ellos llevó un pequeño pastel, pero Margarita había comido tanto que le cedió su

parte a Pepe. Cuando Pepe le dijo a la profesora que entonces a él le tocaban dos pe-

dazos de pastel, la profesora le respondió: había pensado cortar el pastel en 10 partes iguales, pero si Margarita no quiere pastel, entonces voy a cortarlo en 9 partes.

Aquí tenemos las dos opciones que tiene la profesora para dividir el pastel: en 9 o

en 10 partes iguales. Colorea, en cada uno, la porción que le tocaría a Pepe.

Pastel cortado en partes Pastel cortado en partes



A simple vista, ¿qué forma de cortar el pastel le conviene más a Pepe?

Establece la razón que representa lo que le tocaría a Pepe en cada caso.

En realidad, ¿cuál de las dos formas le beneficia más a Pepe? ¿Se confirma lo

que supusiste al principio?


Al doblar una tira en dos, obtenemos dos medios 2

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

Si ahora doblamos otra tira del mismo tamaño que la anterior en cuatro, quedan

cuatro cuartos.

Colorea las secciones de la tira en la derecha para que la porción coloreada sea

equivalente a la sombreada en la tira de la izquierda y establece las razones que le

corresponden a cada una.

=

=

=

=

=

=


=

=

=

Identifica las razones y responde:

• ¿Cuántos cuartos equivalen a un medio?

• ¿Cuántos octavos equivalen a un medio?

• ¿Cuántos octavos equivalen a un cuarto?

• ¿Cuántos sextos equivalen a dos tercios?

• ¿Cuántos novenos equivalen a dos tercios?

• Cuatro décimos ¿tiene un equivalente en quintos?

• ¿Cuántos octavos equivalen a un medio?

• ¿Cuántos sextos equivalen a un tercio?

• ¿Cuántos novenos equivalen a un tercio?

Identifica las razones y determina si la primera razón es mayor, menor o igual que

la segunda:

a) 3 4

5 6

d) 2 2

4 3

b) 3 2

10 5

e) 2 3

4 10

c) 2 3

3 5

f ) 6 4

10 5


Relaciona las columnas donde se estén representando razones equivalentes, indi-

cando la que le concierne a cada figura.


a ( )

b ( )

c ( )

d ( )

Lección17


Medidas de tendencia centraly de dispersión

En esta lección aprenderás a interpretar y calcular las medidas de tendencia central en un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.

El Domesday Book, elaborado en 1086, fue un meticuloso censo de

las tierras de Inglaterra (no estaban incluidos, entre otros terri-

torios, los condados de Essex, Suffolk y Norfolk). En México, el

INEGI realiza cada cierto tiempo encuestas para saber cuántos

somos, qué hacemos y dónde vivimos; de este modo, dispone

de datos que se ocupan para mejorar la vida de nuestra socie-

dad. Las estadísticas y sus medidas son formas útiles en el co-

nocimiento de la realidad que nos circunda.

AutoevaluaciónUtiliza tu cuaderno para anotar las respuestas

1. Determina la moda de las edades que tienen los estudiantes de tercer grado de

la secundaria Tierra y Libertad que aparecen en el recuadro.

2. ¿Cuál es la moda y la mediana de las edades de tus compañeros de grupo? Antes

de resolver el ejercicio, elabora una lista con las edades de todas y todos.

3. En el primer examen bimestral de Matemáticas II, los estudiantes de segundo

de secundaria obtuvieron las siguientes calificaciones. ¿Cuál es el promedio del

grupo?

4. ¿Cuál fue el promedio de tu grupo en el primer examen bimestral de la materia

Lengua Extranjera II? Consúltalo con tus compañeras y compañeros. Encuen-

tra también el valor del rango; para ello, ocupa las calificaciones del grupo.

15, 14, 14, 15, 14, 14, 13, 14, 15, 13, 14, 13, 13, 15, 14, 14, 15, 13, 14, 14, 14, 13, 14, 15, 13, 14, 15, 14, 14, 14, 14, 13, 15, 14, 13.

8, 8.5, 7, 8, 9, 7, 6, 8.5, 6, 7, 6.5, 7, 7, 7.5, 8, 6.5, 8, 7, 6, 8.5, 7, 7, 8.5, 7, 10, 7, 7, 6.5, 8.5, 7, 6, 6, 6, 8, 7, 9, 8, 6, 7.5, 8, 9, 6, 7.5, 8, 6.5

115Lección 17 Medidas de tendencia central y de dispersión

Para aprenderActividad 1. El promedio

La mamá de Ramón, un estudiante de tercer grado de secundaria, está

preocupada porque el profesor de Matemáticas III no ha entregado las

calificaciones todavía. Ella necesita la calificación de Ramón para saber

si su hijo podrá ingresar a la preparatoria. Sin embargo, su promedio

de las otras ocho materias es de 7.8 y para que Ramón sea aceptado en

la preparatoria le piden un promedio mínimo de 8.

¿Qué calificación necesita Ramón en Matemáticas III para ser aceptado

en la preparatoria? Explica tu respuesta en tu cuaderno.

Los conocimientosLa moda es la medida que atañe a la frecuencia con la que se presenta un dato o

unos datos con mayor incidencia; por eso, se considera la posibilidad de que exista

más de una moda para un conjunto de datos. Imagínate que tienes una lista de

números en la que dos de ellos aparece la misma cantidad de veces y son más que

las ocasiones en que se presentan los demás. La notación más frecuente para la

moda es Mo, aunque también la puedes indicar con palabras. Esta medida puede

presentarse tanto para datos cualitativos como para cuantitativos.

Cuando un conjunto de datos tiene una moda, la muestra se llama unimodal; cuan-

do tiene dos modas se le conoce como bimodal; cuando la muestra contiene más

de dos datos repetidos es multimodal, y cuando ningún dato tiene una frecuencia

mayor a uno —no aparece repetido— la muestra es amodal.

Ejemplos: la moda de la lista 1, 2, 7, 5, 4 , 5, 6, 7, 5, 7, 3, 1, 5, 3 es 5, pues

aparece con mayor frecuencia en la lista (cuatro veces).

La media o promedio de un conjunto de números es igual a la suma de todos

ellos, dividida entre el número total de números del conjunto. Se puede represen-

tar con el símbolo x, lo cual se lee como “equis barra”.

Ejemplo: el promedio de las calificaciones de Ramiro se obtiene de su

lista de calificaciones: 8, 10, 9, 7, 8, 10. Como se trata de seis datos, tene-

mos:

x = + + + + + =8 10 9 7 8 10

68 6.

La mediana de un conjunto de valores es aquel valor que divide al conjunto en dos

partes iguales, de forma que el número de valores mayores o iguales a la mediana

es igual al de los valores menores o iguales a éstos. Su aplicación se ve limitada, ya

que sólo considera el orden jerárquico de los datos y no hace mención a alguna


propiedad propia de los datos, como sí ocurre con la media. Para obtener la me-

diana, que se denota como Me, lo primero que se requiere es ordenar los datos en

forma ascendente o descendente; cualquiera de los dos criterios conduce al mismo

resultado.

Ejemplo: la mediana de la lista 50, 15, 42, 20, 25 se obtiene como sigue. Pri-

mero, los números se ordenan en forma creciente: la lista queda como 15,

20, 25, 42 y 50. A continuación, se localiza al número que queda a la mitad,

en este caso el 25, pues deja dos números antes de él y dos después.

Sin embargo, si la lista no tiene un número central, se toma el número entre los

dos centrales.

Ejemplo: en la lista 5, 5, 7, 7, 11, 13, 24, 31, el 7 y el 11 son los números cen-

trales; por tanto, 9 es la mediana.

Para medir la dispersión de los datos en una lista, una forma es restar del valor

máximo (el más grande de la lista) el valor mínimo (el más pequeño de la lista).

Esto da como resultado un número al que llamaremos rango.

El rango de un grupo de datos, conocido también como amplitud, es la diferencia

entre el valor mayor y el menor de los datos. Tal medida permite identificar la

variación máxima entre dos datos del conjunto que se analiza.

Ejemplo: en una lista que presenta los pesos en gramos de un cierto pro-

ducto, se obtuvo la tabla 125, 135, 148, 150, 152, 158, 250, 500. El rango, en

este caso, es 500 – 125 = 375.

Los métodosLa media ( x ) se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre

el número total de datos en la lista.

La moda (Mo) se localiza contando las frecuencias de cada dato y eligiendo a

aquel o aquellos que más veces aparezcan en la lista.

La mediana (Me) se determina ordenando un conjunto de valores de manera cre-

ciente o decreciente; la mediana será aquel valor que divida al conjunto en dos

partes iguales.

El rango de un grupo de datos es la diferencia entre el valor mayor y el menor de

los datos.


1. Un CD (disco compacto) contiene 12 canciones; la duración de cada una se

muestra en la página siguiente:


C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12

3:18 2:58 5:05 4:15 4:33 3:46 4:31 5:09 3:30 3:46 5:13 4:11

¿Cuál es el promedio de duración de una canción del CD?

Nota: los tiempos están en minutos y segundos; entonces, primero tienes que

convertir minutos a segundos o segundos a minutos. Tú decides. Resuelve en tu

cuaderno.

2. De las edades de los grupos A y B, determina qué grupo tiene mayor dispersión;

es decir, mayor rango.

Grupo A

Linda Tomás Ángel Jesús David Antonia Paola Alma

30 32 1 4 12 34 23 5

Grupo B

Saúl Rufino Alexis Diana Juan Dulce Luis Santa

8 42 10 7 6 20 23 15

3. Determina la media los números pares e impares de la siguiente lista: 5, 4, 8, 7,

3, 9, 4, 5, 10, 8. ¿Cuál es la moda para los números pares?

4. El promedio de peso de 8 toros seleccionados al azar del rancho ga-

nadero Arroyo Grande debe ser de al menos 520 kilogramos, afirma el

señor Constantino, dueño del rancho.

Sin embargo, ya se han seleccionado 7 toros y sus pesos han sido 505,

515, 518, 530, 513, 510 y 532 kilogramos. ¿Cuánto debe pesar el último

toro para que se cumpla lo que afirmó el señor Constantino con respec-

to al peso promedio de los 8 toros?


1. Rosa es una niña muy inteligente de cinco años de edad que estudia el segundo

año de preescolar. El 15 de septiembre, su profesora Nadia les pide a los niños

del grupo de Rosa que pinten la bandera de México; al terminar la actividad, la

profesora asigna las siguientes calificaciones: 8, 9, 9, 10, 9, 10, 9, 8, 10, 9, 9, 9,

9, 9, 8. Si la calificación que obtuvo Rosa es mayor que el promedio del grupo,

¿cuál fue?

2. Determina cuál es la moda de los siguientes colores: verde, rojo, blanco, amari-

llo, azul, blanco, rojo, morado, blanco, verde, rojo, blanco, naranja, negro, verde,

amarillo, blanco, verde, gris, rojo.

a) Representa los colores mediante un polígono de frecuencia.


b) Pregunta a tu profesor y a tus compañeros de grupo cuál es su color favorito.

c) Elabora una lista y representa los resultados de los colores mediante un po-

lígono de frecuencia

d) ¿Cuál es la moda de los colores favoritos del grupo?

Escribe las respuestas en tu cuaderno.


1. La familia Bustos Ruiz tiene 4 hijos y el promedio de sus edades es de 18 años.

La familia Jarquín Espíndola tiene 7 hijos y el promedio de sus edades es de 38.

Si formaran una sola familia ¿cual sería el promedio de sus edades? Razona tu

respuesta con tus compañeros.

2. Anteriormente, cuentan las abuelitas, las personas se casaban más jóvenes que

hoy día. Miremos esta historia. La señorita Adulfa y el joven Odilón se cono-

cieron en un parque cuando tenían 14 años de edad. Durante un mes fueron

amigos y en tres meses se hicieron novios. Los papás de Salomón fueron a pedir

a la señorita Adulfa… y en seis meses se casaron. Al año de casados nació su

primer hijo y a partir de ahí tuvieron un hijo cada dos años. En total, tuvieron

cuatro hijos: dos hombres (Eudoxio y Cándido) y dos mujeres (Gudelia y Rosa).

Los hijos crecieron muy rápido y luego luego se casaron… Pasaron los años y

Eudoxio tiene ahora cinco hijos (Eudoxio, Guadalupe, Odilón, Noé y Ulises)

y dos hijas (Flora y Magdalena) cuyo promedio de edad es de 28 años. Cán-

dido tiene tres hijos (Pineda, Cándido y Víctor) y su edad promedio es de 32

años. Gudelia tiene cinco hijos (Fernando, Silvino, Silvestre, Juan y José Luis)

y dos hijas (Silvina y Diana), con la edad promedio de 34. Rosa tiene dos hijos

(Mecho y Tomás) y dos hijas (Linda y Rosa Paola), pero desafortunadamente

ella no pudo estar presente en el momento de recrear la historia; por tanto, no

disponemos de datos para saber la edad promedio de sus hijos.

Formen equipos de tres y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la edad promedio de los hijos de Rosa, si se sabe que la edad pro-

medio de todos los nietos de Adulfa y Salomón es de 31 años?

b) ¿Qué nombre aparece con mayor frecuencia en la familia de Adulfa y

Odilón?


1. David Alejandro, para ir del puerto de Acapulco a la colonia Portales de la Ciu-

dad de México, viajó durante tres horas a una velocidad promedio de 90 km/h,

y durante dos horas y media viajó a una velocidad promedio de 45 km/h.

a) ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido?

b) ¿Qué distancia recorrió David Alejandro de Acapulco a la colonia Por-

tales?


2. Pregunta a cinco de tus compañeros de grupo cuántos hermanos tienen y cuál

es el promedio de las edades de sus hermanos.

a) Representa los resultados de los promedios en un polígono de frecuencia.

b) Con los datos que obtuviste, di cuál es la mediana de los promedios.

c) ¿Qué puedes decir sobre el rango con base en los cinco promedios?

Elabora y explica tus respuestas en tu cuaderno.

Bloque 3

Las relaciones matemáticas de la naturaleza Las margaritas tienen generalmente 34, 55 ó 89 pétalos, las piñas de los

árboles tienen 8 diagonales en un sentido y 13 en el otro, los girasoles

tienen 21 espirales en un sentido y 34 en el otro. Lo sorprendente es

que todos estos números forman parte de la sucesión numérica de

Fibonacci, llamada así en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa

que la estudió por primera vez en 1202. En la lección 18 de este bloque

construirás esta muy particular expresión.

120


• Elaboren sucesiones de números con signo a partir de una

regla dada.

• Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de

la forma: ax + b = cx + d; donde los coeficientes son números

enteros o fraccionarios, positivos o negativos.

• Expresen mediante una función lineal la relación de depen-

dencia entre dos conjuntos de cantidades.

• Establezcan y justifiquen la suma de los ángulos internos de

cualquier polígono.

• Argumenten las razones por las cuales una figura geométrica

sirve como modelo para recubrir un plano.

• Identifiquen los efectos de los parámetros m y b de la función

y = mx + b, en la gráfica que corresponde.

121

Lección18


Patrones y fórmulasEn esta lección aprenderás a construir sucesiones de números con signo a par-tir de una regla dada.

Las margaritas tienen generalmente 34, 55 o 89 pétalos, las piñas de los árboles

cuentan con 8 diagonales en un sentido y 13 en el otro, los girasoles tienen 21 es-

pirales en un sentido y 34 en el otro. Lo sorprendente es que todos estos números

forman parte de la sucesión numérica de Fibonacci, llamada así en honor al mate-

mático italiano Leonardo de Pisa que la estudió por primera vez en 1202.

Autoevaluación1. Los números de Fibonacci son: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,

987, 1597, 2584….

¿Cómo se obtiene el siguiente término de esta sucesión? Explica tu respuesta.

2. Escribe los siguientes tres términos de cada sucesión.

1, –1, 1, –1, 1 , ___ , ___ , ___

1, 4, 9, 16, ___ , ___ , ___

x + 1 , x + 2, x + 3, ___ , ___ , ___

–4, –1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ___ , ___ , ___

1

4,

1

2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ___ , ___ , ___

3. A Juan le gusta jugar a las canicas, pero tiene tan mala suerte para el juego que

siempre pierde. La primera vez que jugó perdió 2 canicas, en la segunda ocasión

perdió 4 canicas y el último día que jugó perdió 8 canicas. Si el patrón anterior

se sigue conservando, ¿podrías anticipar cuántas canicas perderá en el siguien-

te juego? Establece una fórmula que explique la forma y la cantidad de canicas

que pierde Juan. Anota la respuesta en tu cuaderno.

1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13 8

1

2

3

4

5

6

7

123Lección 18 Patrones y fórmulas

4. Escribe los primeros 10 números que se generan a partir de la regla 2(1 – n),

donde n es un número entero positivo.

5. Dada la siguiente sucesión de números: –2, –4, –6, –8, –10, –12,…, determina

el número que está ubicado en la posición 21.

Para aprenderActividad 1. Diagonales

Observa la siguiente sucesión de figuras:

Ésta es una sucesión de polígonos y en cada uno de ellos se han trazado diagona-

les. Observa que las diagonales van de uno de los vértices internos a otro.

a) Dibuja las dos figuras siguientes de la sucesión.

b) ¿Cuántas diagonales tendrá el polígono de 14 lados?

c) Algunas estudiantes de secundaria propusieron la siguiente fórmula para en-

contrar el número de diagonales en un polígono Dn n

n = −( )3

2 ¿es correcta esta

fórmula?


Nota: la letra n corresponde al número de lados del polígono.

Actividad 2. Otro problema con puntos

Observa la siguiente sucesión de figuras,

a) Dibuja las dos figuras que siguen a estas etapas.

b) Construye una tabla que relacione cada figura con el número de puntos de cada

una de ellas. Utiliza tu cuaderno.


c) Escribe debajo de cada figura el número de puntos que contiene.

d) ¿Cuántos puntos tiene la figura que ocupa el lugar 10? Represéntala en tu cua-

derno.

e) Obtén una fórmula que te permita determinar cuántos puntos tendrá cualquier

figura.

Actividad 3. Números pentagonales

Observa la siguiente sucesión de figuras de forma pentagonal.

a) Dibuja la figura que sigue a la tercera etapa.

b) Construye una tabla que relaciones las figuras con el número de puntos de cada

una de ellas. Represéntala en tu cuaderno.


d) ¿Cuántos puntos aumenta en cada etapa?

Los conocimientosUna sucesión es una secuencia de números que siguen una regla, la cual se expresa

a través de una fórmula.

Por ejemplo la sucesión

2, 4, 6, 8, 10,….

Tiene como fórmula o término general a 2n, donde n es un número entero positivo

que se asocia con el lugar que ocupa cada término de la sucesión.

Cuando se nos da el término general es muy sencillo obtener los términos de la

sucesión, por ejemplo, dado el término general 2n + 1, obtener cinco términos de

la sucesión.

n = 1 2(1) +1 3n = 2 2(2) +1 5n = 3 2(3) +1 7n = 4 2(4) +1 9n = 5 2(5) +1 11


Los métodosPor el contrario, cuando se pide encontrar el término general o la regla de una

sucesión, puede resultar ser una tarea muy complicada. Puedes usar la siguiente

estrategia.

Observa las siguientes figuras construidas con puntos:

Primero determinamos las diferencias; la diferencia entre 5 y 12 es 7, la que hay

entre 12 y 22 es 10, etc.

Términos de la sucesión: 5 12 22 35

Primera diferencia: 7 10 13

Segunda diferencia: 3 3

Vamos a detener el cálculo de las diferencias cuando encontremos valores cons-

tantes. En este caso sólo hasta la segundas diferencia se obtienen valores constan-

tes, es decir, el fenómeno es de segundo orden.

Usaremos una expresión de segundo grado, es decir, una expresión cuyas incógni-

tas tienen como exponente máximo al 2.

ax2 + bx + c

Le asignamos valores a la x, y evaluamos la expresión:

si x = 1 si x = 2 si x = 3

a(1)2 + b(1) + c a(2)2 + b(2) + c a(3)2 + b(3) + c

a + b + c 4a + 2b + c 9a + 3b + c

Obtenemos las diferencias tal y como lo hicimos con la sucesión:

a + b + c 4a + 2b + c 9a + 3b + c 3a + b 5a + b 2a

Al final formamos las ecuaciones para encontrar la regla general, relacionando el

primer término de la sucesión, la primera y la segunda diferencias de cada arreglo

de diferencias que hicimos.

Figura: 1 2 3 4

Número de puntos: 5 12 22 35


5 12 22 35 a + b + c 4a + 2b + c 9a + 3b + c

7 10 13 3a + b 5a + b

3 3 2a

a + b + c = 5

3a + b = 7

2a = 3

Ahora resolvemos

a b c= = =3

2

6

2

1

2, ,

Y por último formamos la regla de la sucesión, sustituyendo los valores que en-

contramos en la expresión: ax2 + bx + c

El término general de la sucesión es: 3

2

6

2

1

22n n+ + o bien:

3 6 1

2

2n n+ +

Prueba para n = 1, n = 2, n = 3 y comprueba que ésta es la regla.


1. Observa la siguiente sucesión de figuras triangulares.

Dibuja otras etapas de figuras triangulares y completa la siguiente tabla

Figura Círculos

1 3

2

10

4

5

36


Sin necesidad de dibujar una nueva figura podemos saber cuántos círculos ten-

drá la siguiente. Explica en tu cuaderno cuál es el comportamiento que siguen

las figuras triangulares.

Obtén una fórmula general que te permita determinar el número de círculos de

cualquier figura.

2. Encuentra una expresión general para la siguiente sucesión. Responde en tu

cuaderno.

3. Considera un segmento cuya longitud es una unidad. Divide en tres partes

iguales al segmento y elimina una de las terceras partes, de hecho, la que queda

en medio. Luego a las partes que queden se dividen nuevamente entres partes

iguales y se quita la parte de en medio (que es una tercera parte) ¿qué porción

del total se quitó? ¿Qué porción del total se elimina en la cuarta división? ¿Si

continuaras el proceso, podrías establecer una fórmula (regla) que explique la

forma en que se van eliminando las “terceras partes”?


Primer paso

Segundo paso…

y así sucesivamente

Nota. Las porciones pintadas en azul son las que se van eliminando. Si se sigue

con el proceso descrito anteriormente se generará un conjunto (sólo puntos), a

ese conjunto se le llama el conjunto de Cantor.

4. Para cada una de las sucesiones encuentra la regla que las genera.

a) –1, –3, –5, –7, –9, …

b) − − − − −1

2

1

4

1

6

1

8

1

10, , , , , . . .

c) − − − − −1

3

1

9

1

27

1

81

1

243, , , , , . . .

d) 1

2

2

3

3

4

4

5

5

6, , , , ,…

e) 0, 3, 10, 15, 26, 35, 50,…

f) –3, –6, –9, –12, –15, –18,...

0 1


5. Encuentra los primeros diez números que generan las siguientes reglas (fórmu-

las), recuerda que la n representa un número natural, es decir, n = 1, 2, 3, 4, 5,…,

10 para este caso.

a) n + 3

b) 2 (1 – n)

c) 11

n−

d) 2

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

e) ( )−1

2

n

n

6. Completa la siguiente tabla.

30 1

31 3

32 9

33

34

35

a) Inventa un modelo geométrico que relacione la información de la tabla.

b) Expresa la fórmula que determina el comportamiento de la tabla.

c) Determina qué número se obtiene en la etapa 300.


7. Observa las siguientes figuras.

a) Dibuja la figura que sigue a la cuarta etapa.

b) Escribe debajo de cada figura el número de puntos que contiene.

c) Construye una tabla que relacione las figuras con el número de palillos.

d) Determina la regla de la sucesión.




1. La temperatura en la cima del Monte Everest varía desde –15°C hasta –30°C.

Supongamos que para el primero de julio del presente año se anuncia un frente

frío el cual provocará que la temperatura en la cima baje cada vez 1.5° más. Si el

día que entra el frente frío la temperatura es de 17°C, el segundo día la tempera-

tura será de –18.5°C y seguirá disminuyendo de la misma manera cada día. ¿Si

el descenso de temperatura se mantiene, qué temperatura se tendrá al décimo

día? Proporciona una regla general que muestre la variación de la temperatura

la cual permita hallar la temperatura para cualquier día (siempre y cuando el

descenso de temperatura permanezca). Responde en tu cuaderno.

2. Juguemos con la sucesión de Fibonacci. Piensa un número entero, para que sea

más divertido que no sea cero, y construye a partir de éste una sucesión de Fi-

bonacci (utiliza la regla que encontraste en el ejercicio anterior), de hecho sólo

necesitas los primeros diez términos. Suma esos diez números. Ahora multipli-

ca el séptimo término de tu sucesión por 11 y compáralo con la suma anterior

¿Qué obtuviste? Demuestra que la suma de los primeros 10 términos de la su-

cesión de Fibonacci es igual al séptimo término de la sucesión multiplicado por

11. Responde en tu cuaderno.


Un automóvil quiere ascender por una calle cuya longitud es de 80 metros. La

calle tiene la particularidad de que está tan inclinada que provoca que los autos

pierdan velocidad a medida que suben. Si al iniciar su ascenso el automóvil lleva

una velocidad de 40 km/h, pero por cada 5 metros que recorre su velocidad se dis-

minuye en 5km/h y suponiendo además que al automóvil le fallan los frenos y por

tanto no se puede detener. ¿Qué velocidad llevará después de 5 metros recorridos?

¿Llegará el momento en que la velocidad del automóvil sea cero? Proporciona una

regla que explique la disminución de velocidad del automóvil a medida que as-

ciende ¿Llegará el momento en que la velocidad del automóvil sea negativa, qué

significado tendría? Contesta las preguntas en tu cuaderno.

Lección19


Ecuaciones de primer gradoEn esta lección aprenderás problemas que impliquen el planteamiento y la re-solución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f.

El cráter Barringer, ubicado en el estado de Arizona en

Estados Unidos, fue formado por el impacto de un gigan-

tesco meteorito hace unos 50 000 años. Este cráter tiene

aproximadamente 1 km de diámetro. Otros cráteres como

el cráter de Chicxulub ubicado en la península de Yucatán

tiene unos 180 km de diámetro, se especula que el meteo-

rito que produjo ese cráter fue el causante de la extinción

de los dinosaurios.


1. La mitad de la suma de tres números enteros consecutivos es 21. ¿Qué números son?

2. Al sumar las edades de Toño y Alejandro se obtienen 41 años, Alejandro es 8

años menos que Toño. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

3. Juan Carlos pagó en el supermercado $87 por una revista, una caja de galletas

y una caja de crayones. La caja de crayones costó $5 más que la revista y $20

menos que la caja de galletas. ¿Cuánto pagó por cada artículo?

4. Un tinaco se llenó el domingo por la noche. El lunes se vacía

1

2 del total, el

miércoles 20 litros. El jueves tenía

1

6 de la capacidad total del tinaco. ¿Cuál es la

capacidad del tinaco?

5. Calcula los ángulos de un triángulo sabiendo que el primero es la mitad del otro

y que el tercero es la cuarta parte de la suma de los dos primeros.

Para aprenderActividad 1. Un meteorito

“Hoba West” es el meteorito más grande

que se ha encontrado en la Tierra. Mide

3 metros de largo. Cayó hace miles de

años en lo que hoy es Namibia, un país

ubicado en el suroeste de África.

131Lección 19 Ecuaciones de primer grado

El contenido mineral del meteorito es, 2

3 del peso total es de hierro, 15 toneladas

son de níquel, 1

8 del peso total es cobalto, el resto,

1

18 del peso son otros metales

como aluminio y plomo. ¿Cuál es el peso del meteorito?

Actividad 2. Un problema de mezclas

En la tienda escolar se mezclaron 3 litros de agua de limón concentrado con 3 li-

tros de agua de limón natural. El precio del litro de agua de limón natural es el

doble que el otro. La mezcla que se obtuvo, un total de 6 litros, se vendió a 9 pesos

el litro.

Llamamos x al precio (desconocido).

¿Cuál es el precio (en términos de x) del litro de agua de limón concentrado?

¿Cuál es el precio (en términos de x) del litro de agua del limón natural?

¿Cuál es el precio en pesos del litro de agua de limón concentrado?

¿Cuál es el precio en pesos del litro de agua de limón natural?

Cuál sería el precio del litro de agua de limón concentrado y natural, si el precio

del litro de agua de limón natural fuera el triple que el concentrado.

Anota todas las respuestas en tu cuaderno.

Actividad 3. Más limones

Cinco canastas contienen 376 limones, la primera tiene 7 limones más que la se-

gunda, 2 más que la tercera, 5 menos que la cuarta y 10 más que la quinta, ¿cuán-

tos limones tienen cada canasta?


Si el total de limones fuera 136, ¿cuántos limones tendría cada canasta?

Si el total de limones fuera x, ¿cuántos limones tendría cada canasta? (recuerda

expresarlo en términos de x).

Los conocimientosUna ecuación de primer grado es una igualdad que se establece entre dos miem-

bros, en el que el exponente máximo de la incógnita es 1, aunque no es común

colocar al 1 como exponente.

Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de las incógnitas, de

modo que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta. Por ejem-

plo, para la ecuación:

x + 2 = 6

el valor que debe tomar la x = 4, así se verifica la igualdad.

4 + 2 = 6

Si la x toma otro valor, por ejemplo 5, entonces no se verifica la

igualdad.

Al resolver una ecuación es necesario ordenar, simplificar, reducir tér-

minos semejantes. Al manipular los términos no debes olvidar que una

ecuación es una igualdad, la cual se debe mantener permanentemente.

Es útil imaginar a una ecuación como una balanza en equilibrio.

Si agregas o quitas un término de algún miembro de la ecuación en-

tonces se pierde el equilibrio, es necesario mantener siempre esta x + 2 = 10

x + 2 = 10


condición de equilibrio agregando o quitando términos en ambos miembros de

la ecuación.

En el ejemplo anterior, la ecuación se cumple cuando el valor de la x es 8, este re-

sultado lo obtuvimos por estimación, sin embargo cuando nos encontramos con

ecuaciones más complejas ya no es posible determinar directamente su valor y es

necesario transponer los términos de un miembro a otro y viceversa con el obje-

tivo de colocar de un lado de la igualdad todos los valores numéricos y en el otro

la incógnita.

La transposición de términos se basa en las propiedades de la igualdad, las cuales

mencionamos a continuación:

Propiedad de la suma

Si a los dos miembros de la ecuación se les suma o resta un número o una expre-

sión se obtiene otra ecuación que es equivalente a la inicial. Por ejemplo

x + 4 = 20

Si sumamos 50 a la ecuación

x + 4 + 50 = 20 + 50

x + 54 = 70 La igualdad se mantiene en esta nueva ecuación, la cual es equivalente a la

inicial.

Propiedad de producto

Si a los dos miembros de la ecuación se les multiplica o divide por un número dis-

tinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Por ejemplo

x + 4 = 20

Si multiplicamos a la ecuación por 4

4 (x + 4) = 4 ( 20)

4x + 16 = 80

En el caso de la división, a la ecuación:

x + 4 = 20

Si dividimos a la ecuación por 4

x + =4

4

20

4

1

41 5x + =

En ambos casos obtenemos una ecuación equivalente a la inicial.


Los métodosAl resolver una ecuación considera lo siguiente:

• Si existen, hay que quitar los denominadores.

• Si los hay, quitar los paréntesis.

• Reducir términos semejantes (agrupar).

• Despejar incógnita.

• Comprobar la solución.

Al transponer los términos de un miembro al otro, considera que:

• Al sumar o restar un término ambos miembros de la ecuación, la igualdad

no se modifica y se genera otra ecuación equivalente a la inicial.

• Al multiplicar o dividir por un número (diferente de cero) ambos miembros

de la ecuación, la igualdad no se modifica y se genera otra ecuación equiva-

lente a la inicial.

Orientaciones didácticas

Una vez que los alumnos encuentran sentido a las ecuaciones, porque con esta

herramienta pueden solucionar una gran variedad de problemas, es importante

que consoliden la técnica para resolverlas. Conviene que al principio los alumnos

se apoyen en las propiedades de la igualdad. Posteriormente podrán usar la trans-

posición de términos, con objeto de hacer más eficiente la resolución de ecuacio-

nes. Se sugiere utilizar el modelo de la balanza como un apoyo concreto para dar

sentido a las propiedades de la igualdad.


1. En un rectángulo de 56 cm de perímetro, la altura es 7 cm mayor que la base.

¿Cuál es el área del rectángulo?

2. La suma de un número entero y su consecutivo es 53. ¿Cuál es el número?

3. En una granja hay conejos y gallinas. En total, 30 cabezas y 80 patas. ¿Cuántas

gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

4. La suma de dos números es –1.5 y su producto es –1. ¿Cuáles son estos dos

números?

5. Se quiere mezclar combustible de $0.60 con otro de $0.35, de modo que resulte

un combustible con un precio de $0.50 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase

deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?


6. El denominador de una fracción excede al numerador en 7, si el numerador se

aumenta en 2 el valor de la fracción es 2

3. Encuentra la fracción.

Escribe en tu cuaderno todas las respuestas.


1. En un triángulo equilátero, el perímetro es 108 cm. ¿Cuál es la medida de sus

lados?

2. Tres amigos hacen un viaje en automóvil y cada uno maneja durante una parte

del trayecto. Uno de ellos maneja durante el primer quinto del recorrido, otro

durante un tercio de lo que falta y el tercero, 720 km. ¿Qué distancia recorrieron

en total?

3. Calcular los lados de un rectángulo si se sabe que su área es 3 y su perímetro 7.


1. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuán-

tos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y

una araña 8).

2. Un reloj atrasa 1

4 de minuto durante el día, pero, debido al cambio de tempe-

ratura, adelanta 1

3 de minuto durante la noche. ¿Al cabo de cuántos días habrá

adelantado 2 minutos, sabiendo que hoy al atardecer marca la hora exacta?

Lección20


Relación funcionalEn esta lección aprenderás a reconocer cantidades que varían una en función de la otra y a representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica.

Gottfried Leibniz (1646-1716) fue un filósofo, matemático y político alemán

nacido en Leipzig en 1646, quien descubrió junto con Sir Isaac Newton

el cálculo diferencial, una potente herramienta matemática para com-

prender los fenómenos de la naturaleza. Se le adjudica a Leibniz el

haber utilizado por primera vez las palabras “variable”, “constante” y

“función”, esta última proviene del latín functio que significa “acto

de realizar”.

Autoevaluación1. Un automóvil tarda 3 horas en recorrer 150 km ¿qué distancia

recorrerá en el mismo tiempo a una velocidad de 30, 45, 60,

90, 120, 150, 180 km por hora? Anota la respuesta en tu cua-

derno.

2. El precio de un vehículo se deprecia de la siguiente forma: en el primer año valía

100 mil pesos, en el segundo 90 mil pesos, el tercer año valía 80 mil pesos, en el

cuarto 70 mil pesos, en el quinto 60 mil pesos y así sucesivamente.

a) Representa de manera gráfica la relación entre el precio (p) y los años que

transcurren.

b) Propón una función que represente los datos proporcionados.

c) Si el vehículo se sigue depreciando de la misma manera, ¿cuánto valdrá en

el séptimo año?

d) ¿En algún momento el vehículo valdrá cero pesos? Interpreta la gráfica que

obtuviste en a).


3. Elige de las siguientes gráficas, las que cumplen con la propiedad de ser relacio-

nes funcionales. En tu cuaderno argumenta tus respuestas para cada respuesta.

–3 –2 –1 1 2 3

1

2

3

–1

–3 –2 –1 1 2 3

1

2

3

–1

137Lección 20 Relación funcional

4. Grafica en tu cuaderno las siguientes expresiones:

y = x + 1.5

y = 3

y = 5x – x

y = x2

y = –2x + 1

5. Dada la función f(x) = 4x + 2, calcula f(1); f(2); f(0) y ubica en un plano carte-

siano esos puntos.

Para aprenderActividad 1. En la montaña rusa

1. En la fotografía de la página siguiente, el carrito de la montaña rusa inicia su

descenso.

Inicia en el punto a, su velocidad se incrementa cuando se acerca a b, el carrito

aumenta su máxima velocidad cada vez.

Cuando llega al punto e su velocidad es como la que tuvo en el punto a.

–3 –2 –1 1 2 3

1

2

3

–1

–3 –2 –1 1 2 3

1

2

3

–1

–3 –2 –1 1 2 3

1

2

3

–1

–3 –2 –1 1 2 3

1

2

3

–1


a) ¿En qué parte de la montaña rusa, el carrito alcanza su velocidad

máxima?

b) ¿Cómo es la velocidad en el punto d?

c) Completa la siguiente tabla:

Posición del carrito Velocidad

a

b

c

d

e Poca

d) Con la información de la tabla, bosqueja en tu cuaderno una grá-

fica de la velocidad del carrito sobre la Montaña Rusa.

e) La forma de la gráfica ¿tiene la forma de la Montaña Rusa?

Actividad 2. Cochecito

Un automóvil con motor a diesel consume 1 litro cada 15 km. Comienza su reco-

rrido con el tanque lleno, que tiene una capacidad de 40 litros.

Distancia recorrida (km) Litros que quedan en el tanque

0 40

15 39

30 38

a) Encuentra la función que da los litros que quedan en el tanque en función

de los kilómetros recorridos.

b) Construye su gráfica en tu cuaderno.

b

a

c

e

d


Completa ahora, la tabla que relaciona la distancia recorrida con los litros con-

sumidos de gasolina.

Distancia recorrida (km) Litros consumidos

0 0

15 1

30 2

c) Encuentra la función que da los litros que se consumen en función de los

kilómetros recorridos.

d) Construye su gráfica en el mismo plano en la que graficaste la anterior.

e) Explica ampliamente el comportamiento de cada una de las gráficas. Así

como lo que significa (en el contexto del problema) el punto donde se cru-

zan ambas gráficas.

Actividad 3. En el laboratorio

En una práctica de laboratorio se han llenado algunos recipientes con un ácido

acético para un experimento. Consideremos para todos los casos que el llenado

del recipiente es de forma constante.

Primero un tubo de ensaye que tiene forma cilíndrica. Al trazar una gráfica del

nivel del agua en función del tiempo tenemos lo siguiente.

altura

tiempo

0


A otro recipiente también se le va a llenar de ácido. Bosqueja una gráfica que re-

fleje el nivel del agua respecto al tiempo.

Los compañeros de otro grupo construyeron la siguiente gráfica.

¿Qué forma tiene el recipiente, en el que al llenarlo de ácido generó esta gráfica?

Explica tu respuesta en tu cuaderno.

Los conocimientosEn la Actividad 2 realizamos el llenado de tablas en las que relacionamos una can-

tidad (el kilometraje) en función de otra (el combustible). Llamamos al primer

grupo de cantidades (kilometraje) como dominio y al segundo grupo (combustible)

imagen o contradominio. La relación que estudiamos en la Actividad 2, es una fun-ción porque a cada elemento del dominio le corresponde uno del contradominio.

Las funciones pueden expresarse a través de notación algebraica, mediante una

relación numérica (expresada en tablas), mediante una gráfica sobre un plano co-

ordenado o verbalmente en donde se denote el vínculo que se establece entre los

elementos del dominio y los del contradominio. Una condición importante en el

altura

tiempo

0

altura

tiempo

0


estudio de las funciones se refiere a la posibilidad de transitar entre estas distintas

formas en las que se expresa una función; por ejemplo ir de lo verbal a las tablas

de valores, después a la gráfica y viceversa.

Los métodosPor ejemplo la función 2)( += xxf , la podemos llevar a una gráfica mediante

una tabla que relacione elementos del dominio con el contradominio.

x y

0 2

1 3

2 4

–1 1

–2 0

–3 –1

Para elaborar nuestra tabla sólo hemos elegido 7 números. Podemos elegir más

valores para obtener más puntos en el plano y lograr más precisión en el trazo.

Representamos en el plano coordenado los puntos que obte-

nemos de la tabla: (0, 2); (1, 3); (2, 4); (–1, 1); (–2, 0); (–3, –1).

Cada pareja está formada por un elemento del dominio y

su respectivo valor de contradominio.

Observa que la gráfica corta al eje y en 2, este dato se puede extraer directamente

de la expresión algebraica de la función: el término independiente lo indica.

f (x) = x + 2

Indica el lugar donde

la gráfica corta al eje y

Graficamos ahora las funciones f (x) = 2x y f (x) = 3x.

La gráfica en rojo es f (x) = 2x y la gráfica en azul es f (x) = 3x,

observa que si el coeficiente de la x crece, entonces la gráfica

tiene mayor inclinación. Observa también que este caso, las

funciones no presentan término independiente, por lo que

las gráficas pasan por el origen del plano coordenado.

y

x

y

x



1. La cantidad v recaudada por la venta de un producto y el total de producto

vendido q guardan una relación función, que es precisamente el precio del pro-

ducto.

a) Hallar una expresión que relacione la cantidad recaudada por la venta de un

producto, cuyo precio es 15 pesos, y la cantidad de productos.

b) Calcular la cantidad recaudada de un producto cuyo precio es 35 pesos y del

cual se han vendido 47 productos.


2. En la siguiente tabla se muestran las toneladas de producción de aguacate en

periodos de cinco años.

Año 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

Producción en miles de toneladas 15 20 25 30 35 40 50

Grafica los datos en un plano coordenado. Utiliza tu cuaderno.

3. ¿La expresión y = 3 es una función? ¿Es una función lineal? ¿Qué cantidad

tendrías que sumar para que la gráfica pase por el origen del plano? Explica las

respuestas en tu cuaderno.

4. En la página siguiente, relaciona las expresiones de la izquierda con las gráficas

de la derecha.


1. Completa la siguiente tabla evaluando la función. Construye la gráfica de las

tres funciones en un mismo plano coordenado. Utiliza tu cuaderno.

x = –1 x = 0 x = 1 x = 2 x = 7

2x = 5

y = 2 x

y = 2x – 2

y = 2x + 3

¿Qué tipo de gráficas se generan de las funciones anteriores? ¿Tienen algo en

común? Analiza las representaciones gráficas y comenta con tus compañeros.


f (x) = 2x – 2

f (x) = x + 2

f (x) = 2x + 2

f (x) = x – 2

f (x) = 2x


2. Don Justino ha comprado un departamento que le costó 120 000 pesos. Según

los informes económicos, el precio del departamento se revaloriza a un prome-

dio anual de 2.5%. ¿Cuánto lo tendrá que vender si quiere tener una ganancia

de 12 000 pesos?


Para cocer medio kilo de verduras se requiere agregarle 20 gramos de sal.

a) Escribir una ecuación que muestre la relación entre la cantidad de verdura

y la cantidad de sal necesaria para un cocimiento de este tipo.

b) ¿Cuántos kg de verdura necesita para ocupar 1 kg de sal?

c) Construye la gráfica de la función. Utiliza tu cuaderno.

Lección21 Suma de los ángulos

interiores de un polígono

A B

En esta lección aprenderás cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

La palabra polígono proviene de las palabras

griegas poly (muchos) y gonos (ángulos). Los po-

lígonos han influenciado en las formas arquitec-

tónicas de diferentes épocas; por ejemplo, en la

imagen se muestra el Castel del Monte, un casti-

llo del siglo XIII que se localiza en el sureste de

Italia. Esta fortaleza se compone de un octágono,

rodeado por ocho bastiones octagonales.

Autoevaluación1. Encuentra la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos, utiliza

tu cuaderno para ilustrarlo y anotar las respuestas:

a) Pentágono d) Decágono

b) Octágono e) Heptágono

c) Triángulo

2. Enuncia e ilustra en tu cuaderno el polígono cuya suma de sus ángulos interio-

res sea igual a:

a) 720° c) 540°

b) 360° d) 1 800°

3. A continuación, se presentan dos pentágonos. Uno es dos veces más grande que

el otro. ¿En cuál de los dos casos la suma de los ángulos interiores es mayor?

145Lección 21 Suma de los ángulos interiores de un polígono


Para aprenderActividad 1. Diagonales y ángulos internos

1. Marca los ángulos internos en cada uno de los siguientes polígonos.

2. En un polígono, se llama diagonal al segmento de recta que une dos vértices no

consecutivos. Traza todas las diagonales posibles en los siguientes polígonos:

3. Dibuja un polígono cualquiera. Señala un vértice y traza todas las diagonales

posibles que pasen por él.

4. Si se trata de un triángulo, ¿cuántas diagonales pasan por un vértice?

¿Y si es un pentágono?

¿Y en el caso de un decágono?

5. En el siguiente hexágono

a) Traza las diagonales que pasan por el vértice rojo.

b) Observa que se han generado triángulos. Marca los

ángulos internos de cada uno.


c) Marca los ángulos internos del hexágono.

d) Ahora, ¿cuántos son los ángulos internos del hexágono?

e) A partir de lo discutido hasta ahora, ¿podrías generar un criterio para deter-

minar la suma de los ángulos internos de un polígono? Explica la respuesta

en tu cuaderno.

Actividad 2. Un valor que cambia cuando el númerode lados aumenta

Determina el valor de cada uno de los ángulos internos en los siguientes polígonos:

¿Qué se requiere para calcular los ángulos internos del polígono?

Los conocimientosPara todo polígono, se consideran dos tipos de ángulos: los

internos y los externos, como se puede apreciar en la figura

de la derecha.

El número de triángulos que pueden trazarse desde un vérti-

ce es igual al número de lados menos 2.

Si se sabe que la suma de los ángulos internos en todo triángulo es igual a 180º,

entonces la suma de los ángulos internos en un polígono es:

(n – 2) × 180°

Dado que en un polígono regular tanto sus lados como sus ángulos son iguales, se

deduce que el valor de uno de los ángulos internos es:

( )n

n

− ×2 180°

Ángulo externo

Ángulo interno


Los métodosPara determinar el número de triángulos que se forman en un polígono, se aplica

la siguiente regla:

Si n es el número de lados del polígono, entonces tenemos (n – 2) triángulos.

Lo mismo sucede para determinar el número de diagonales que van de un vértice

a los demás. La regla para obtenerlo es:

Si n es el número de lados del polígono, entonces tenemos (n – 3) diagonales.

La fórmula general para determinar el ángulo interno de un polígono regular que-

da así:

Si n es el número de lados del polígono: Ángulo interno = ( )n

n

− ×2 180°

Observemos el siguiente ejemplo. Para calcular el ángulo interno y el externo de

un eneágono o nonágono, donde el número de lados es igual a 9, entonces:

Ángulo interno = ( ) ( )n

n

− × = − × = × = =2 180 9 2 180

9

7 180

9

1260

9140

° ° ° °°

Ángulo externo = 180° – Ángulo interno = 180° – 140° = 40°.


1. Comprueba en tu cuaderno que la fórmula para trazar las diagonales a partir de

un vértice es válida para un triángulo.

2. Ilustra en tu cuaderno cuántas diagonales se pueden trazar a partir de un mis-

mo vértice en un:

a) Hexágono

b) Heptágono

c) Eneágono

d) Undecágono

3. Utiliza los resultados anteriores. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar a partir

de un vértice en un polígono de n lados?

4. ¿Cuál es el número de diagonales totales que se pueden trazar en un polígono

de n lados?



1. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar exactamente 35 diagonales?

2. Cuál es el valor de cada uno de los ángulos interiores en un:

a) Triángulo equilátero c) Octágono regular

b) Pentágono regular d) Icoságono regular

Escribe las respuestas en tu cuaderno.

3. En la figura de la derecha, ∠A = ∠D =

112°; ∠B = 155°; ∠C = ∠F = 105°. ¿Cuál

es el valor del ángulo E?

4. ¿Cuál es el valor de cada uno de los ángu-los interiores en la estrella pitagórica?


1. Si el ángulo exterior de un polígono regular mide 45°, ¿cuál es el número de sus

diagonales totales?

2. Un ángulo central en un polígono regular es aquel que se forma al unir el centro de éste con dos vértices consecutivos. ¿Qué polígono tiene sus ángu-

los centrales iguales a 45°?


1. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del polígono cuya apo-

tema es la mitad de la longitud de su lado? Ilustra y escribe las respuestas en tu

cuaderno.

2. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior es dos veces la magnitud de su

ángulo interior? Ilústralo.

E

FD

CA

B

Ángulocentral

Lección22 Cubrimientos del plano

En esta lección aprenderás a identificar las formas geomé-tricas que permiten cubrir el plano.

Se llama teselación o embaldosado a la división del plano en

sectores de manera idéntica. El ejemplo más simple es el em-

baldosado del suelo con losetas triangulares, cuadradas o hexa-

gonales, únicos polígonos regulares que lo permiten.

La obra del artista gráfico Maurits Cornelius Escher (1898-

1972) incluye teselaciones de figuras irregulares, como “Sime-

tría No. 20”, que se muestra en la imagen.

Autoevaluación1. Señala las figuras con las que es posible construir un mosaico regular.

2. Observa las siguientes figuras. ¿De qué tipo de mosaicos se tratan?


Para aprenderActividad 1. ¿Cuándo podemos construir mosaicos?

1. En cada uno de los siguientes mosaicos, escribe el nombre del polígono utiliza-

do como unidad básica.

________________ ________________ _______________

2. ¿Es factible crear mosaicos empleando pentágonos regula-

res como el que se muestra?

Justifica tu respuesta en tu cuaderno.

3. ¿Es posible crear un mosaico utilizando rombos como el

que aparece a continuación?

4. ¿Qué hace que en algunos casos, con una determinada fi-

gura, se pueda crear un mosaico y en otros no?

a) ¿La longitud de los lados?

b) ¿El número de sus lados?

c) ¿La medida de sus ángulos internos?

Actividad 2. Creando mosaicos

1. Diseña en tu cuaderno un mosaico con la unidad básica que se indica.

a) b) c)

2. En los siguientes mosaicos, identifica la unidad básica sobre la que se construyó.

151Lección 22 Cubrimientos del plano

Los conocimientosCuando juntamos varios polígonos iguales, éstos pueden cubrir un plano sin dejar

espacios. Por ejemplo, imaginemos un piso que debe ser cubierto con losetas cua-

dradas, como en la imagen de abajo; notamos que no hay espacios entre la unión

de aristas. Ahora, imaginemos que las losetas son triángulos; de igual forma, lle-

namos el piso sin dejar espacios. En el caso de un pentágono no se puede realizar

tal cubrimiento, pero sí con el hexágono.

Podemos decir, entonces, que el cubrimiento de un plano con polígonos regulares depende del número de lados que tengan.

Al mosaico que se encuentra constituido por polígonos iguales, de tal forma que

los polígonos en los puntos medios o en los centros son iguales, se le denomina

mosaico cuasirregular.

También se puede cubrir un plano por medio de una composición repetitiva de

polígonos; a este tipo de arreglo se le conoce como mosaico semirregular.

Los métodosLas siguientes figuras pueden ser teseladas1 y realizar con ellas cubrimientos de

un plano.

Ángulo interior 60º

360º : 60º = 6

y se podrá teselar el plano, concurriendo seis triángulos en cada vértice.

1Teselar: Una teselación (o embaldosamiento) es un conjunto de fi guras geométricas cerradas que recubren una superfi cie sin dejar huecos y sin montarse unas sobre otras.

60°



360º/90º = 4

y se podrá teselar el plano, concurriendo cuatro cuadrados en cada vértice.


360º/120º = 3

y se podrá teselar el plano, concurriendo tres hexágonos en cada vértice.

Con base en la información anterior, ¿se puede teselar un plano con pentágonos

regulares?


360º/108º = 3 y sobran 36º

No se puede teselar el plano con pentágonos regulares.


1. Reproduce la siguiente figura sobre un cartón, recórtala y forma teselaciones.

90°

120°

108°

36°

153Lección 22 Cubrimientos del plano


2. Para que te diviertas y ejercites en las teselaciones del plano, utiliza la aplicación

disponible en la página de internet:

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/descartespuzzle/

puzzledescartes/puzzlematicas/poliminos/poli_inicio.htm.


1. ¿Se puede teselar el plano con un trapecio cualquiera?

2. Un polígono regular puede teselar el plano, siempre que su ángulo interior sea un divisor de 360°. ¿Con qué polígonos regulares puede teselarse el plano?

3. ¿Se puede teselar el plano con un dodecágono?


Las matemáticas de las abejas

Las siguientes figuras tienen el mismo perímetro:

a) ¿Cuál es el área de cada una?

b) ¿Cuáles pueden teselar el plano?

c) Si quisieras teselar el plano con celdas, gastando la misma cantidad de material

y obteniendo la mayor área posible, ¿con cuál de las figuras anteriores lo harías?

Comprenderás por qué las celdas de los panales de las abejas tienen esa forma.

Utiliza tu cuaderno para responder a las preguntas.


Muestra en tu cuaderno que se puede teselar el plano con un paralelogramo cual-

quiera.

Figuras con perímetro igual a 12 unidades

Lección23 Gráficas.

Relaciones lineales IEn esta lección, aprenderás a graficar relaciones lineales a partir de una tabla de datos o una fórmula.

El filósofo matemático y científico francés René

Descartes es uno de los pensadores más im-

portantes e influyentes en la historia. Descartes

trabajó para fusionar el álgebra y la geometría

euclideana, lo cual incidió en el desarrollo de

geometría analítica, el cálculo y la

cartografía. Se le considera como

el fundador de la geometría

analítica y se le atribuyen las

coordenadas cartesianas.

Descartes expuso el sistema

de coordenadas cartesianas

en 1637, a través de dos li-

bros. En la segunda parte

del Discurso sobre el mé-todo, introduce la nueva

idea de especificar la posición de un punto u objeto en una

superficie, utilizando dos ejes intersectados como guías de

medida.

Autoevaluación1. Una maquina empaca 1 kilogramo de alimento canino en

1

2 minuto. Determina

qué gráfico le corresponde a la producción de: a) una máquina, b) dos máqui-

nas y c) tres máquinas.

( ) ( ) ( )

y60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x••

••

••

••

••

••

••

••

••

••y60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x•• •

• •• •

• •• •

• •• •

••

• • •

y60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

155Lección 23 Gráfi cas. Relaciones lineales I

2. A partir de las gráficas, completa la tabla.

Tiempo(minutos)

Producción

a) Una máquina b) Dos máquinas c) Tres máquinas

1

5

10

3. Construye una expresión para la producción de cada caso:

1 máquina

2 máquinas

3 máquinas

4. ¿Cuál es la producción en cada caso al minuto 30 y a la hora de empezar a em-

pacar? Resuelve en tu cuaderno.

Para aprender

Actividad. Consumo de agua

El reporte anual de consumo de agua indica que en 2005 la población de Coacalco,

Estado de México, consumió 30 decámetros cúbicos de agua en 5 meses. Completa

la tabla con la información del consumo mensual en el 2005.

2005

Mes Núm. de meses Consumo (dam3)

Enero 1

Febrero 2

Marzo 3

Abril 4

Mayo 5 30

Junio 6

Julio 7

Agosto 8

Septiembre 9

Octubre 10

Noviembre 11

Diciembre 12

Anualmente, hay un incremento de 5% en el consumo de agua. Completa la tabla

de proyección para el consumo de agua en el 2006.


2006

Mes Núm. de meses Consumo (dam3)

Enero 1

Febrero 2

Marzo 3

Abril 4

Mayo 5 31.5

Junio 6

Julio 7

Agosto 8

Septiembre 9

Octubre 10

Noviembre 11

Diciembre 12

En el siguiente gráfico, mostramos el gasto de agua mensualmente en el 2005 y las

proyecciones hacia el 2006 y 2007. Indica el color que le corresponde a cada año.

A partir de la gráfica, determina aproximada-mente el consumo de agua para los tiempos

que se te piden:

Consumo de agua(dam3)

Tiempo 2005 2006 2007

6 meses y medio

7 meses y medio

8 meses y medio

9 meses y medio

10 meses y medio

11 meses y medio

a) 2005

b) 2006

c) 2007

( ) rojo

( ) negro

( ) azul


Consumo de Agua

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10 12 14

Meses

Dec

ámet

ros

Cúb

icos

de

Agu

a

90

Consumo de agua

Total

Dec

ámet

ros

cúbi

cos

de a

gua

80

70

60

50

40

30

20

10

0

0 2 4 6 8 10 12 14

Los conocimientosSe llama función a la relación o correspondencia de dos o más cantidades, que

puede expresarse mediante un enunciado, una fórmula, una tabla de números,

una gráfica, entre otras.

En esta lección trabajaremos con la función lineal, cuya expresión algebraica esy mx b= + , donde m y b son constantes cualesquiera —enteras, fraccionarias o

decimales—, x es la variable independiente porque puede tomar diversos valores,

mientras que y es la variable dependiente porque depende del valor que tome x.

En una función, a cada valor de la variable independiente se le relaciona sólo un

valor de la variable dependiente.

En la actividad Consumo de agua, tenemos una relación funcional entre el tiempo

(variable independiente) y el consumo de agua (variable dependiente). Aquí, el

consumo de agua depende del tiempo transcurrido.

Los métodosObserva la siguiente tabla:

x y y expresada en operaciones

1 6 = 6 × 1

2 12 = 6 × 2

3 18 = 6 × 3

4 24 = 6 × 4

5 30 = 6 × 5

6 36 = 6 × 6

7 42 = 6 × 7

8 48 = 6 × 8

9 54 = 6 × 9

10 60 = 6 × 10

11 66 = 6 × 11

12 72 = 6 × 12

Para graficar los datos de la tabla, primero construimos un plano compuesto por

dos ejes: el horizontal, para marcar los valores de la variable independiente x, y el

vertical, para indicar los valores de la variable dependiente y.

Valo

res

de y

Valores de x


Este par de ejes recibe el nombre de plano cartesiano. Cada eje debe graduarse a

una escala conveniente para mostrar los datos que nos interesan. Por ejemplo, en

nuestra tabla de datos la variable x toma valores de 1 a 12, así que podemos gra-

duar el eje horizontal con los 12 valores. La variable y toma valores de 6 a 72, de

ahí que sea conveniente usar otra escala; por ejemplo, una donde cada graduación

sobre el eje vertical valga 10 unidades.

Cada pareja de datos (x, y) o par ordenado, como se le llama regularmente, se in-

dica con un punto sobre el plano, justo en lugar de intersección del valor de x y el

de y. Por ejemplo, el par ordenado (5, 30) se indica:

4 24 = 6 × 4

5 30 = 6 × 5

6 36 = 6 × 6

En el plano, este par ordenado (5, 30) recibe el nombre de coorde nada.

La expresión general que describe la relación entre la variable x y la variable y es la

función 6y x= ; sin embargo, consiste en una poderosa herramienta porque des-

cribe en el plano valores infinitos. Esto se debe a que x, la variable independiente,

puede tomar cualquier valor (entero, fraccionario y decimal) y, en consecuencia,

la variable dependiente y adquiere valores infinitos.

80

70

60

50

30

20

10

0

40

54321 6 7 8 9 10 11 12

••

••

••

••

••

••


80

60

40

20

0 2 6 8 10 124

x

y

••

••

••

••

••

••


Esta gráfica se trazó en la misma ventana que la gráfica anterior, donde sólo se

graficaron los datos de la tabla; es decir, la variable independiente x va desde 0 a

12, y la dependiente y de 0 a 80. Sin embargo, como ya habíamos mencionado, en

la función 6y x= la variable independiente puede tomar cualquier valor. Por ello,

la gráfica de la función ocupa también el tercer cuadrante del plano, donde la va-

riable independiente es negativa.

Además, las variables pueden tomar valores mayores y menores a los que se apre-

cian en las gráficas previas.


Los gráficos de la izquerda

muestran la distancia que

han recorrido tres amigos

en una hora. Carmen viaja

en automóvil, Manuel con-

duce una bicicleta y Natalia

va a pie. Indica qué gráfico

le corresponde a cada uno.

100

0 5

x

y

10 15510–15

50

–50

–100

••••

••••••••

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

minutos

dist

anci

a

70 000

•

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

minutos

dist

anci

a


Obtén información a partir de la gráfica:

a) Aproximadamente, ¿qué distancia ha recorrido cada uno a la media hora?

Carmen

Manuel

Natalia

b) Indica la coordenada del punto que le corresponde a cada uno: Carmen

(30, ___), Manuel (30, ___) y Natalia (30, ___)

c) Al minuto cuarenta y dos y medio (42 minutos, 30 segundos), ¿qué distancia

ha recorrido cada uno? Indica en el gráfico el punto y su coordenada: Car-

men (42.5, ___), Manuel (42.5, ___) y Natalia (42.5, ___).


1. Antonio viajó en su automóvil de Querétaro a Acapulco el viernes pasado, a

una velocidad constante de 100 km/h, y su recorrido duró aproximadamente

6 horas. A su regreso aumentó la velocidad e hizo 5 horas de trayecto.

a) Indica qué gráfico corresponde al recorrido de ida y cuál al de regreso

i. Querétaro-Acapulco

ii. Acapulco-Querétaro

( ) azul

( ) verde

b) ¿A qué velocidad manejó Anto-

nio a su regreso?

c) Señala en la gráfica el punto que

indique la mitad del recorrido

Querétaro-Acapulco. ¿Qué co-

ordenada le corresponde?

d) Usando la gráfica, aproxima la

distancia recorrida de Antonio a

su regreso en 1, 2, 3, 4 y 5 horas.2. Construye la expresión algebraica

para encontrar la distancia que ha recorrido Antonio en su trayecto de ida:

3. Enuncia la expresión algebraica para determinar la distancia que ha recorrido Antonio en su trayecto de regreso:

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0 1 2 3 4 5 6

kilómetros recorridos

Horas


4. Usando las dos expresiones, completa la tabla siguiente.

Querétaro-Acapulco Acapulco-Querétaro

Tiempo(horas)

Distancia (kilómetros) Distancia (kilómetros)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6


Se da mantenimiento a una alberca olímpica cada dos semanas. La capacidad de

la alberca es de 3 125 litros, que salen por un conducto a razón de 1

2 litro por se-

gundo.

• ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse por completo la alberca para poder lim-piarla?

• Completa la tabla de datos, donde se relaciona el tiempo que transcurre y la cantidad de agua que sale de la alberca.

Minutos Litros que quedan

1 30

2

5

10

15

25

40

60

100

100km

h

km

h


• Grafica estos puntos en el plano cartesiano.

• Ahora, completa la tabla de datos, donde se relaciona el tiempo que trans-curre con la cantidad de agua que va quedando en la alberca. Grafica estos puntos en el plano cartesiano.


La siguiente tabla indica la intensidad de luz de un foco, según el voltaje que reci-

be. En la gráfica sólo hemos colocado dos puntos cuyas coordenadas son (1, 0.5) y

(15, 7.5). Dichos puntos corresponden a la relación 1 voltio produce una intensidad de luz de 0.5 amperes y 15 voltios producen una intensidad de 7.5 amperes.

Minutos Litros que quedan

1 3 095

2

5

10

15

25

40

60

100

• Propón la función que describa cada caso y grafícalas sobre los planos previos.


• Une los dos puntos de la gráfica con una recta.

• Coloca en la gráfica todos los puntos que indica la tabla. ¿Coinciden con la

recta?

• Toma de guía la gráfica y encuentra los amperes que corresponden a voltajes de la tabla de la derecha:

• Utiliza ahora la regla de tres para encontrar los valores anteriores. Si necesi-

tas espacio responde en tu cuaderno.

¿Hay mucha diferencia con los que aproximaste usando la gráfica?

Voltaje (Voltios) Intensidad de luz (Amperes)

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

10.5

11.5

12.5

13.5

14.5

Voltaje(Voltios)

Intensidadde luz

(Amperes)

1 0.5

2 1

3 1.5

4 2

5 2.5

6 3

7 3.5

8 4

9 4.5

10 5

11 5.5

12 6

13 6.5

14 7

15 7.5

Intensidad de Luz

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Voltios

Am

pere

s

8

•

5

6

5

4

3

2

1

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Voltios

Am

pere

s

Intensidad de la luz

Lección24

165Lección 24 Gráfi cas. Relaciones lineales II

Gráficas. Relaciones lineales II

En esta lección identificarás el efecto que tiene en la gráfica el parámetro m en la función y = mx.

¿Matematizando la naturaleza?

Autoevaluación1. Relaciona las gráficas que aparecen en el plano con la fórmula que les corres-

ponde.

L1

L1

Escribe en el paréntesis el color que le toca a:

( ) 0.5y x=

( ) 6y x=

( ) 2y x= −

( )1

2y x=

x

y

12

–12

1–1


2. Determina las funciones que se graficaron en el siguiente plano:

Para aprenderVamos a desarrollar esta actividad usando la herramienta tecnológica (Class-

Pad) la cual puedes obtener de manera gratuita en la dirección de internet: http//

claspadd/net. Mostraremos todas las imágenes de la calculadora, por si no tienes

la herramienta a la mano.

Tomamos y = x como la función principal sobre la cual haremos un análisis del

efecto que tiene sobre la gráfica m en y = mx. En la calculadora, ingresamos la

función y = x (Pantalla 1) y definimos una ventana de visualización adecuada.

La ventana de visualización indica la parte del plano cartesiano que veremos en la pantalla y donde, para nuestro ejemplo, la variable independiente x va de –10 a 10, y la variable dependiente y, de = –10 a 10.

Pantalla 1 Pantalla 2


Observa que en la gráfica:

• La función ocupa el primer y el tercer cuadrantes del plano, cruzando por el

origen (0, 0).

• Conforme el valor de x crece, también lo hace el valor de y.Ahora vamos a graficar y = mx, entendiendo tal función como la multiplicación

de la función y = x por la constante m. Para poder comparar, dejaremos ambas

gráficas. Ponemos a m como un parámetro de valor inicial 1, definimos y = mx en

el editor de ecuaciones e incorporamos un dinamismo a m para que vaya varian-

do, de 1 en 1, desde m = –5 hasta m = 5.

En la calculadora se observa el cambio de función en movimiento. Aquí mostra-

mos distintas gráficas para analizar el efecto de m.

1

2 5

y x

y x

== −

1

2 3

y x

y x

== −

1

2 1

y x

y x

== −

1

2 0 0

y x

y x

== =

1

2

y x

y x

==

1

2 2

y x

y x

==

1

2 4

y x

y x

==


Completa la tabla con la información que se te pide. Explica con tus palabras y

realiza bosquejos de la gráfica.

Valor de mDescripción de su efecto en y = mx respecto de

y = x

Ejemplos gráficos(incluye y = x como referencia)

m > 0

m = 0


Los conocimientosEn la función lineal y mx= , el parámetro m recibe el nombre de pendiente y gráfi-

camente notamos que modifica la inclinación de la recta de y x= porque la hace

creciente o decreciente, dependiendo su signo. Este crecimiento o decrecimiento

es mayor o menor, según su valor numérico.

Los métodosPara graficar la función lineal y mx= , cuando m toma diferentes valores puedes

tomar a la recta de la función y x= como referencia:

m < 0

1 < m < 0

1. Si vas a graficar y mx= , donde m tenga

valores mayores que 0, pero menores que 1,

tu recta quedará en esta zona del plano.


m = 1

3. Si vas a graficar y mx= , donde

m = –1, la recta de y x= se invierte: donde

era negativa ahora será positiva, y donde era

positiva ahora será negativa.

m < –1

4. Si vas a graficar y mx= , donde m sea menor

que –1, tu recta quedará en esa zona del

plano.

m > 1

2. Si vas a graficar y mx= , donde m tenga valo-

res mayores que 1, tu recta quedará en esta

zona del plano.

Para graficar una función lineal con precisión, por ejemplo, 6y x= − , identifica la

zona en la que quedaría la recta. En este caso es la zona del plano 4; ahora, calcula

el valor de y para una x dada y localiza el punto.


Si x = 1, entonces y= –6 x (1) = –6.

Graficamos, entonces, el punto

(1, –6)

Y finalmente, giramos la recta de

y = x hasta que pase por dicho

punto.

¿Coincide con la zona que identi-

ficaste previamente?


Completa las tablas con los valores que se te piden:

x y1 = 0.5 ¥ x y2 = 2 ¥ x y3 = 4 ¥ x y1 = 10 ¥ x

1 0.5 2 4 10

2 4 20

3 1.5 12

4

5

6

7

8

9

10


Del ejercicio anterior, bosqueja las gráficas de y1, y2, y3, al igual que y4 en el si-

guiente plano, con diferentes colores, y describe ampliamente cuáles son las dife-

rencias entre ellas.



1. Con base en la tabla y la gráfica que se muestran a continuación, elabora las

fórmulas que les corresponden a cada función y anótalas en tu cuaderno:

2. Indica en un plano la zona dónde estaría la gráfica de y mx= , si –1 < m < 0.



Relaciona la tabla de cada función con su respectiva gráfica y fórmula.

1

2y x=

10y x=

3y x= −

0.5y x= −

Lección25


Gráficas. Relaciones lineales IIIEn esta lección identificarás el efecto que tiene en la gráfica el parámetro b sobre la función y = mx + b.

Rectas en la ciudad. ¿La distancia más corta entre dos puntos?

Autoevaluación1. Deduce las fórmulas de las funciones que corresponden a las siguientes rectas:

2. Grafica las funciones 3 2y x= − , 2 3y x= − + , 1

12

y x= − + , 3

52

y x= − + y 1

72

y x= − . Realiza tus gráficas en un graficador, usando varias ventanas y

describe las diferencias que notas en tu cuaderno.

Para aprenderVamos a continuar esta actividad empleando la misma herramienta tecnológica

de la lección anterior, ClassPad. Mostraremos todas las imágenes de la calculadora

por si no tienes acceso a una igual.

175Lección 25 Gráfi cas. Relaciones lineales III

Tomamos y mx= , dejando a m como constante para que sea una referencia en el

análisis de los efectos que tiene sobre la gráfica el parámetro b en y mx b= + . En

la calculadora ingresamos la función y x= (m = 1) y definimos una ventana de

visualización adecuada.

Recuerda que la ventana de visualización indica la parte del plano cartesiano que

observaremos en la pantalla.

Ahora, vamos a graficar y x b= + , entendiéndola como la suma de la función

y x= por la constante b; para poder comparar, dejaremos ambas gráficas.

Ponemos a b como un parámetro de valor inicial 0, definimos y x b= + en el edi-

tor de ecuaciones e incorporamos un dinamismo a b a fin de que vaya variando,

de 1 en 1, desde b = –5 hasta b = 5.

En la calculadora se nota el cambio de función en movimiento. A continuación, presentamos distintas gráficas para analizar el efecto de b; si bien en la pantalla aparece el valor de m, no afecta porque no se colocó en la función como un pa-rámetro.

1

2 5

y x

y x

== −

1

2 3

y x

y x

== −

1

2 1

y x

y x

== −

Pantalla 1Pantalla 2


Completa la tabla con la información que se te pide. Explica con tus palabras y

realiza bosquejos de gráfica.

1

2 0

y x

y x x

== + =

1

2 2

y x

y x

== +

1

2 5

y x

y x

== +

1

2 2

y x

y x

== +

Valor de mDescripción de su efecto en y = x + b respecto de

y = x

Ejemplos gráficos(incluye y = x como referencia)

b > 0


b = 0

b < 0

Los conocimientosEn la función lineal y mx b= + , el parámetro b recibe el nombre de ordenada al origen, ya que el punto donde cruza al eje y se desplaza conforme b cambia. Gráfi-

camente, vemos que la recta de y x= se desplaza verticalmente.


Los métodosPara graficar la función lineal y mx b= + , debes tomar en cuenta que la variable

independiente x primero se multiplica por el parámetro m (la pendiente). Por ello,

necesitas considerar si crece o decrece, cuánto crece y en qué zona del plano se

localiza (revisa tu lección anterior).

Ya que le diste a la recta la inclinación adecuada, desplaza toda la recta b en unida-

des hacia arriba si es positiva, o en unidades hacia abajo si la recta b es negativa.

m = 1 y b > 0 m = 1 y b < 0

m = −1 y b > 0 m = −1 y b < 0

Para graficar una función lineal y mx b= + con precisión, por ejemplo, 6 3y x= − + , seguimos la dinámica de la lección anterior para graficar 6y x= − . Identifica la zona en la que quedaría la recta, calcula el valor de y (en 6y x= − ) para una x dada y localiza el punto. Después, desplaza la recta b 3 unidades hacia arriba por-que es un número positivo.


Si x = 1, entonces y = –6x (1) = –6. Grafi camos,

entonces, el punto (1, –6)

Giramos la recta de y x= hasta que pase

por dicho punto

Finalmente, desplazamos toda la recta 3 unidades hacia arriba, de tal suerte que si 6y x= − cruzaba

al eje y en (0, 0), 6 3y x= − + cruzará este eje en (0, 3)

(1, –6) (1, –6)

(0, 3)

(0, 0)

(1, –3)

(1, –6)



Del ejercicio anterior, bosqueja las gráficas de y1, y2, y3, y4, y5 y y6 en un mismo

plano con diferentes colores. Explica ampliamente en tu cuaderno cuáles son las

diferencias entre las gráficas.


1. Con base en la tabla y la gráfica que se muestran a continuación, elabora las

fórmulas que correspondan a cada función:

y1 =

y2=


Completa las tablas con los valores que se te piden:

x y1 = x y2 = x + 3 y3 = x – 2 y4 = x – 1.5 y5 = 2x y6 = 2x – 5

1 0.5 2 4 102 4 203 1.5 12456789

10


12

2y x= +

2 1.5y x= −

y1 =

y2 =

2. Bosqueja las rectas de:

a) 5y x= +

b) 5y x= −

c) 2y x= − +

d) 3y x= − −

e) 2 5y x= − +

f) 2 2y x= − −

g) 0.5 0.5y x= − −


Relaciona la gráfica de cada función con su fórmula. Te damos una pista: la recta

más delgada representa a la función y x= .

32

2y x= −

0.5 2y x= +

Bloque 4

¿Cómo tomar decisiones?

En la lección 30 de este bloque discutimos la siguiente situación que

ilustra cómo la toma decisiones requiere de un estudio científico en

donde las matemáticas tienen un papel fundamental.

La directora general y la asociación de padres de familia de la escuela

“Héroe Desconocido” están considerando la posibilidad de hacer obli-

gatorio el transporte escolar para todos los alumnos, como una medi-

da para contribuir a la disminución de la contaminación acústica (por

ruido) en la zona. Con la finalidad de tomar la decisión adecuada, se

ha solicitado a las autoridades se recolecten datos sobre la contamina-

ción acústica, medida en decibeles, que hay cada hora en dicha zona,

así como sobre el tránsito vehicular promedio en los mismos periodos.

La pregunta es: De hacer obligatorio el transporte escolar para todos

los alumnos, ¿se estaría contribuyendo a la disminución de la conta-

minación por ruido en la zona?

Los datos son los siguientes:

182

Hora Vehículos

6:00 a. m. 13

7:00 a. m. 25

8:00 a. m. 77

9:00 a. m. 55

10:00 a. m. 26

11:00 a. m. 39

12:00 p. m. 52

13:00 p. m. 65

14:00 p. m. 70


• Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los

exponentes y de la notación científica.

• Resuelvan problemas geométricos que implican el uso de las

propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectri-

ces en triángulos.

• Interpreten y relacionen la información proporcionada por

dos o más gráficas de línea que representen diferentes carac-

terísticas de un fenómeno o situación.

• Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad

de dos eventos independientes.

• Relacionen adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con

su representación gráfica formada por segmentos de recta.

183

Lección26


Potenciación y radicaciónEn esta lección aprenderás a elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Además, interpretarás el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo y emplearás la notación científica para hacer cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

En el mundo existe una gran diversidad de sapos, pero el más pequeño de todos

es un sapo llamado Sminthillus limbatus, que se puede sentar cómoda-

mente en una de tus uñas. Mide aproximadamente 0.012 metros.

Pero también tenemos que el animal más grande sobre el planeta

es la ballena azul, que llega a pesar tanto como 30 elefantes:

aproximadamente 225 000 000 de gramos.

Autoevaluación1. Escribe en forma simplificada las siguientes multiplicaciones:

3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 =

0.00000000000000075 =

225 000 000 =

2. Calcula el valor de x para que la igualdad se cumpla:

Valor para x

3 3 34 12x × =

4

4

1

4

6

x=

2 2 25 5× =x

( )( )3 10 2 10 6 104 2× × = ×x

51

59− =

x

185Lección 26 Potenciación y radicación

3. Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprésalo en potencia de la

misma base:

a) 5 5 5 5 5

2 5

× × × ××

b) 3 3 3 3

3 3

× × ××

c) Si aa a a a a

a a aπ0

× × × ×× ×

=

Para aprender Actividad 1. Tabla de producto de potencias

Llena la siguiente tabla con productos de potencias de dos.

Potencias 2 4 8 16 32

2 4 8

4

8

16

32

¿Qué regularidades notas?

Actividad 2. De dos formas

Hay dos maneras para calcular el producto de dos potencias de dos:

• Multiplicar con el valor de cada una de las potencias

• Sumar los exponentes y calcular el valor de la potencia

2 24 8 32

2 2 322 3

2 3 5× =

× == =

⎧⎨⎩

°+•

Resuelve las siguientes multiplicaciones con los procedimientos anteriores:

2 21 5× =⎧⎨⎩

°•

2 22 4× =⎧⎨⎩

°•

2 24 3× =⎧⎨⎩

°•


Actividad 3. Exponente cero

¿Cuánto vale 20?

Utiliza tu respuesta para realizar los cálculos:

2 20 2× =⎧⎨⎩

°•

2 28 0× =⎧⎨⎩

°•

2 20 7× =⎧⎨⎩

°•

¿Cuánto tiene que valer 20 para que en ambas cuentas salga el mismo resultado?

Actividad 4. Exponente negativo

¿Cuánto vale 2–3?

Emplea tu respuesta para efectuar los cálculos siguientes:

2 23 3− × =⎧⎨⎩

°•

2 23 4− × =⎧⎨⎩

°•

2 23 5− × =⎧⎨⎩

°•

¿Cuánto tiene que valer 2–3 para que en ambas cuentas dé lo mismo?

Actividad 5. División de potencias

Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprésalo en potencia de la

misma base.

a) 2 2 2 2 2 2

2 2

× × × × ××

=

b) 3 3 3 3 3

3 3

× × × ××

=

c) Si aa a a a a a a a

a a a a aπ0

× × × × × × ×× × × ×

=

¿Qué puedes concluir a partir de tus resultados?


Los conocimientos Exponentes cero y negativos

Como recordarás, la potencia de un número resulta tras la sucesiva multiplicación

de un número por sí mismo. Así, 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 puede escribirse 58

o 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Además, en la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes: a)

la base, que es el número que se multiplica por sí mismo y b) el exponente, que es

el número que indica las veces que la base aparece como factor. Una potencia se

escribe poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su dere-

cha, se anota el exponente, con un tamaño más pequeño.

35 = 32

El significado anterior de potencia y exponente ya no se sigue cuando los exponen-tes son cero o un número negativo; por ejemplo, la expresión 20 no tiene sentido

como multiplicación repetida… ¿qué significa multiplicar 0 veces el 2 por sí mis-

mo? Sin embargo, las expresiones 20 o 23 tienen un valor determinado. Veamos

cuáles son.

El valor de 20 es tal que cumple las dos maneras para calcular el producto de dos

potencias de dos (Actividad 2):

• Multiplicar con el valor de cada una de las potencias

• Sumar los exponentes y calcular el valor de la potencia (“multiplicación de

potencias de igual base”)

Por ejemplo, tenemos que:

2 24 8 32

2 2 322 3

2 3 5× =

× == =

⎧⎨⎩

°+•

El valor de 20 debe ser tal que:

2 22 8

2 2 80 3

0

0 3 3× =

×= =

⎧⎨⎩

°+•

Esto es, 20 × 8 = 8, por lo cual 20 debe ser igual a 1(20 = 1).

En general, tenemos que a0 = 1, con a ≠ 0.

Exponente

BaseQuinta potencia de 2


Asimismo, el valor de 2–3 es tal que cumple: 2 22 32

2 2 43 5

3

3 5 2

−−

− +× =×

= =⎧⎨⎩

°•

Es decir, que 2–3 × 32 = 4, por lo cual 24

32

1

8

1

20 1253

3

− = = = = . .

En general, tenemos que a–3 es tal que cumple: a aa

a a

a−−

− +× =×

=⎧⎨⎩

°3 53 5

3 5 2•

Esto es, a–3 × a5, de ahí que aa

a a− = =3

2

5 3

1 o a

a− =3

3

1, con a ≠ 0.

En general, tenemos que aa

n

n

− = 1, con a ≠ 0.

Los métodosMultiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de

base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos: an × am = an+m.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y expo-

nente igual a la resta de los exponentes respectivos: a

aa

n

m

n m= − .

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1: a0 = 1, si se cumple

que a ≠ 0.

Potencia de exponente 1

Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a: a1 = a.

Potencia de exponente negativo

La potencia de base a distinta de 0 y exponente negativo (–n) es igual 1 1

aa

an

n

n: − = ,

si se cumple que a ≠ 0.


Para hacer Ejercicios fundamentales

1. Completa la siguiente tabla, que relaciona a un número con nueve de sus po-

tencias.

–4 –3 –2 –1 1 0 1 2 3 4

1 1 1

2 2 4

3 3 9

4 4 16

5 5 25

6 6 36

2. Calcula el valor de x para que la igualdad se cumpla:

Valor para x

3 3 34 10x × =

5

5

1

25

6

x=

2 2 27 7× =x

( )( )3 10 2 10 6 104 2× × = ×x

41

48−

x


1. Juan, un compañero de otra escuela secundaria, le dice a su maestro que 20 = 0 por-

que el 2 no se multiplica ninguna vez y queda cero. ¿Qué opinas de su afirmación?

2. Pedro, un compañero de otra escuela secundaria, asegura a su maestro que

2–3 = (–2)(–2)(–2) porque el –2 se multiplica tres veces. ¿Qué te parece su ar-

gumento?

3. Observa que 24 = 16 y 42 = 16. Para dos números naturales a y b, ¿ab = ba siempre

es cierto?



1. ¿Cuál es la mitad de 22006?

2. Encuentra el valor de x para que se cumpla la igualdad 2(3x–18) = 1.

3. Recorta una tira de cartulina que tenga 10 centímetros de ancho y un metro de

largo. Dobla la tira a lo largo, luego a la mitad, de ahí a la mitad, después a la

mitad y otra vez a la mitad. Supón que puedes ir dividiendo a la mitad tantas

veces como quieras…

a) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el tercer doblez?

b) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el cuarto doblez?

c) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el doblez número n?

Lección27

191Lección 27 Criterios de congruencia para triángulos

Criterios de congruenciapara triángulos

En esta lección aprenderás a identificar los elementos necesarios para determi-nar la congruencia entre dos o más triángulos.

El triángulo es una figura geométrica

ampliamente estudiada desde tiempos

remotos. El análisis de sus propiedades

ha ocupado un lugar en el continuo

desarrollo de la matemática, desde las

primeras construcciones teóricas de

los griegos hasta la teoría del caos y los

fractales. La ilustración muestra el pro-

ceso de generación del Triángulo de Sierpinski, un fractal que se construye

tomando y uniendo de manera indefi-

nida los puntos medios de los lados de

un triángulo cualquiera.

Autoevaluación1. A continuación, se presentan tres grupos de triángulos. Selecciona, de cada uno,

los triángulos congruentes y menciona el criterio de congruencia involucrado.

Grupo 1 Grupo 2

Grupo 3

I

II

III

II

4

3

43

43

IIII

II

4

3

4

8 8

8

7 7

7

I

III

II10

10

10

70°

70°

70°

30°

30°

30°


2. En las siguientes figuras, establece qué se necesita para demostrar, por el prin-

cipio de congruencia indicado, que el triángulo I es congruente con el II.

Criterio LLL Criterio ALA

Criterio LAL

Para aprenderActividad 1. ¡Movimiento sin movimiento!

1. Dados los siguientes triángulos, busca una manera para comprobar que al me-

nos dos de ellos son iguales.

2. Describe lo que hiciste para efectuar tal comprobación. Explícala en tu cua-

derno.

3. Cuando dos triángulos son iguales, se les llama congruentes. ¿Qué elementos

del triángulo pusiste en juego para hacer la comprobación anterior? Anota en

tu cuaderno la respuesta.

I

B

II

A D C

IB

IIA

D

C

E30°

30°

I

B

II

A D

C1 2

3 4


Actividad 2. Construir criterios para analizar congruencia

Con tu regla y compás, realiza lo que se indica.

a) Dados los siguientes segmentos:

intenta construir en tu cuaderno al menos dos triángulos distintos. Justifica tu

respuesta.

b) Dados los siguientes ángulos, 25°, 45° y 110°, ¿hay varios triángulos con tales

ángulos o sólo uno? Dibuja en tu cuaderno según sea el caso y argumenta tu

respuesta.

c) ¿Se puede construir un único triángulo que contenga un lado de 4 centímetros y

ángulos de 70° y de 80°? Dibuja en tu cuaderno y justifica tu respuesta.

d) ¿Es posible construir un único triángulo que tenga un lado de 3 centímetros, otro de 5 centímetros y un ángulo de 60°? Analiza todas las posibilidades y de-

muestra tu solución en tu cuaderno.

e) En el siguiente paralelogramo, traza una diagonal.

Los dos triángulos que se generan son congruentes. Con base en lo discuti-

do anteriormente, ofrece argumentos que demuestren la congruencia entre los

triángulos y anótalos en tu cuaderno.

f) En la siguiente composición de triángulos, hay tres marcados en color rojo.

Verifica si son o no congruentes. Justifica tu respuesta.

Los conocimientosDos figuras son congruentes cuando se puede hacer que coinci-

dan en todas sus partes. La palabra congruente se deriva de las

raíces latinas cum, que significa “con”, y grure, que significa

“concordar” o “convenir”.

D

E

F

A B

C


Por tanto, si dos triángulos son congruentes, sus lados y sus ángulos correspon-

dientes son iguales.

Por ejemplo, en la figura anterior se tienen dos triángulos. La forma para repre-

sentar que son congruentes entre sí es Δ ABC ≅ Δ DEF, y se lee como “el triángulo

ABC es congruente al triángulo DEF”.

Los métodosPara determinar si dos triángulos son congruentes, podemos apoyarnos en cuatro

criterios:

Criterio LAL (lado-ángulo-lado): Dos triángulos son con-

gruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo com-

prendido entre ellos también es congruente.

Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo): Dos triángulos son congruentes si tie-

nen dos ángulos congruentes y el lado

común a ellos también es congruente.

Criterio LLL (lado-lado-lado): Dos triángulos son con-

gruentes si tienen congruentes sus respectivos lados.

Criterio LLA (lado-lado-ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida también es con-

gruente.

Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia.

Observación: Cuando el ángulo congruente es el opuesto al lado de menor medi-

da entre los que son congruentes, el criterio LLA no siempre determina una con-

gruencia.

Ejemplo: En el rectángulo ABDE, C es el punto medio de BD.

C1) AB = DE; ∠B = ∠D = 90° y BC = DC.

Por el criterio LAL, los triángulos ABC y EDC son con-

gruentes.

C2) El triángulo AEC es isósceles. Así, ∠CAE = ∠CAE;

por tanto, ∠BAC = ∠CED.

G

I

H

L

KJ

A

C

B

F

ED

A

E

C

F

DB

M

O

N

R

QP

A

B C D

E


DE = AB y ∠B = ∠D = 90°. Por el criterio ALA, los triángulos ABC y EDC son

congruentes.

C3) En el rectángulo AB = DE; BC = CD y AC = CE. Según el criterio LLL, los

triángulos ABC y EDC son congruentes.

C4) En el rectángulo AB = DE y AC = CE, el par de lados mayor entre los lados

iguales está formado por y AC = CE. En ambos casos, el ángulo opuesto es recto.

De tal forma, por el criterio LLA, los triángulos ABC y EDC son congruentes.


1. De las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son verdaderas?

a) En triángulos congruentes, a ángulos iguales se oponen lados iguales.

b) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

c) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respecti-

vos son congruentes.

2. Dados los siguientes triángulos, establece cuáles son congruentes, enciérralos

en un círculo:


1. En la siguiente figura, ABCDE es un pentágono regular y O es su centro.

100°

20°10 cm

T3

100°

20° 10 cm

T1

100°

20°

10 cm

T2

100°

20°

10 cm

T4

A

B

C D

EO


a) Demuestra que los triángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA son congruen-

tes. Utiliza tu cuaderno.

b) ¿Se cumple este resultado para todo polígono regular?

2. En la siguiente figura, el triángulo ABC es isósceles, B el punto medio de DC y

y C el punto medio de BE. ¿Son congruentes los triángulos ADB y AEC? Argu-

menta tu respuesta. Utiliza tu cuaderno.


1. Si dos triángulos rectángulos tienen respectivamente iguales uno de sus ángulos

agudos y su hipotenusa

a) ¿Son congruentes?

b) ¿Qué criterio utilizas para responder la pregunta anterior?

2. En la siguiente figura, O es el punto medio de AC y BD; AB = 3 OA; OB = 95%

AB y OC = 3 centímetros.

a) ¿Qué criterio seguirías para mostrar que los triángulos ABO y CDO son

congruentes?

A

B CD E

C

A B

O

D


b) ¿Cuál es la magnitud de los lados DC y OD?


1. Una cuerda de una circunferencia es el segmento de recta limitado por dos pun-

tos de ésta. Utiliza tu cuaderno para anotar las respuestas.

AB, CD y EF son cuerdas de la circunferencia

a) Demuestra que si dos cuerdas son paralelas y ambas se encuentran a la misma distancia del centro, entonces miden lo mismo.

Idea: Analiza los triángulos formados por el centro de la circunferencia y

los extremos de las cuerdas.

b) Comprueba que, si se unen los puntos medios de los lados de un triángulo

equilátero, los cuatro triángulos formados son congruentes.

Idea: Utiliza los criterios para ángulos entre paralelas y la magnitud de los

lados, así como los ángulos interiores de un triángulo equilátero.

A

B

C

D

F

E

Lección28


Alturas, medianas, mediatricesy bisectrices en un triángulo

En esta lección aprenderás a identificar las líneas más importantes dentro del triángulo y algunas de sus propiedades.

Entre las líneas especiales que se pueden trazar en un triángulo está la bisectriz.

Las bisectrices son usadas para colocar soportes en edificios y en otras estructuras;

por ejemplo, los andamios. En la imagen aparece una torre en cuya estructura in-

terior se pueden apreciar los soportes, situados justo en las bisectrices de los trián-

gulos que la constituyen.

Autoevaluación1. En los triángulos A, B, C y D localiza los siguientes puntos:

a) En el triángulo A, ubica el ortocentro.

b) En el triángulo B, el baricentro.

c) En el triángulo C, el circuncentro.

d) En el triángulo D, el incentro.

Triángulo A Triángulo B

Triángulo C Triángulo D

2. Relaciona las columnas.

a) Segmento de recta que divide en dos partes iguales

un ángulo de un triángulo.

( ) Incentro

b) Utilizando como centro este punto, se puede tra-

zar una circunferencia tangente a los tres lados del

triángulo.

( ) Circuncentro

199Lección 28 Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

c) Segmento perpendicular al lado de un triángulo

que se traza desde el punto medio.

( ) Mediatriz

d) Punto donde se cruzan las medianas de un trián-

gulo.

( ) Equilátero

e) Utilizando como centro este punto, se puede trazar

una circunferencia que circunscriba al triángulo.

( ) Baricentro

f) Tipo de triángulo en el cual su circuncentro y su

incentro coinciden.

( ) Bisectriz

( ) Isósceles

Para aprenderActividad 1. Mediatrices en el triángulo

Utiliza tu compás y escuadras:

a) Para cada figura, traza la mediatriz de cada uno de los segmentos que las com-

ponen.

b) En la figura 2, al prolongar las mediatrices se cortan. Marca ese punto con la

letra O. Indaga qué relación hay entre O y los puntos A, B y C. Justifica tu res-

puesta y anótala en tu cuaderno.

c) Traza el segmento BC y su correspondiente mediatriz. ¿Qué relación hay entre

esta nueva mediatriz y las dos anteriores? Anota la respuesta en tu cuaderno.

Actividad 2. Bisectrices en el triángulo

1. En el siguiente triángulo, para cada uno de los puntos que se señalan en su

interior ¿es factible trazar, con centro en cada uno de esos puntos, una circun-

ferencia que toque (no que corte) a dos lados del triángulo? Inténtalo y explica

qué pasa.

CC

B BAA AA BB

Figura 2Figura 2Figura 1Figura 1

C

B

A


2. En la siguiente circunferencia, traza rectas perpendiculares a los radios por A, B

y C. Si se prolongan dichas tangentes obtendremos un triángulo. ¿Qué relación

hay entre el centro O de la circunferencia y los lados de dicho triángulo? Anota

la respuesta en tu cuaderno.

Actividad 3. Alturas en el triángulo

Para cada uno de los triángulos que se muestran, traza todas las alturas posibles.

Describe en tu cuaderno lo que pasa con las alturas en cada uno de los triángulos.

Actividad 4. Centro de gravedad

En los siguientes triángulos, traza para cada lado el segmento que una el punto

medio de cada lado con el vértice opuesto. Describe en tu cuaderno qué pasa con

dichos segmentos.

Actividad 5. Triángulos especiales

En el siguiente triángulo isósceles: C

BA

C

B

A

a) Traza la bisectriz al ángulo C, la altura co-

rrespondiente al lado AB, la mediatriz al

lado AB y el segmento que une el vértice C

con el punto medio de AB.


b) ¿Qué pasaría si repites lo mismo para los tres lados de un triángulo equilá-

tero?

Los conocimientosSe llama altura de un triángulo al segmento perpendicular trazado desde el vérti-ce opuesto a la base o a su prolongación. Al punto de intersección de las tres altu-

ras de un triángulo se le denomina ortocentro.

Se llama mediana de un triángulo al segmento rectilíneo que une un vértice

con el punto medio del lado opuesto. Al punto de intersección de las tres

medianas de un triángulo se le denomina baricentro.

Se llama mediatriz de un triángulo a la recta perpendicular a un lado cual-

quiera en su punto medio. Al punto de intersección de las tres mediatrices de

un triángulo se le denomina circuncentro. También es considerado como el

centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Se llama bisectriz interior de un triángulo a la semirrecta que, partiendo del

vértice, divide al ángulo correspondiente en dos ángulos iguales. Al punto de

intersección de las tres bisectrices de un triángulo se le denomina incentro.

También es considerado como el centro de la circunferencia inscrita al trián-

gulo.

Los métodosA continuación, se describen los métodos para encontrar el ortocentro, el

baricentro, el circuncentro y el incentro:

Construcción del ortocentro

a) Traza las alturas sobre cada uno de los lados del triángulo.

b) Al punto O, que es la intersección de las alturas, se le conoce como ortocentro.

BA

O

C

altu

ra

ortocentro

mediana baricentro

circuncentro

mediatriz

bisectr

iz incentro


Construcción del baricentro

a) Traza las medianas de cada uno de los lados del triángulo.

A

Ma

Mc

D OMdC

b) Al punto O, que es la intersección de las medianas, se le conoce como baricentro.

Construcción del circuncentro

a) Traza las mediatrices de cada uno de los lados.

b) Al punto C, que es la intersección de las mediatrices, se le conoce como circun-

centro.

c) Utiliza el centro C y como radio la distancia a uno de los vértices; esto permite

trazar también la circunferencia circunscrita.

Construcción del incentro

a) Traza las bisectrices de cada ángulo.

b) Al punto I, que es la intersección de las bisectrices, se le conoce como in-

centro.

c) Si utilizamos el centro C y como radio la distancia al punto T, podemos trazar

también la circunferencia inscrita.

A

C

B

T

I

A

CB

D



En tu cuaderno demuestra que:

a) La diagonal de todo cuadrado es bisectriz.

b) La altura de un triángulo isósceles divide a éste en dos triángulos congruentes.

c) Las alturas correspondientes a los catetos de un triángulo rectángulo coinciden

con los catetos.

d) Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.

e) El ortocentro de un triángulo rectángulo se localiza en el vértice de su ángulo

recto.


1. En la siguiente figura, AL es paralela a BM; BC y AC son bisectrices de los án-

gulos MBA y BAL, respectivamente. ¿Cuál es el valor del ángulo x?

2. En la siguiente figura, CD es la altura. ¿Cuáles son los

valores respectivos de los ángulos x y w?

3. Para la siguiente figura, C es el centro de la circunferencia y AB es tangente a

ésta en A. Calcula el valor del ángulo u.

L

C

M

A

B

x

110°C

DA

B

x

60°

40°

w

C

A

Bu

70°



1. Justifica que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo.

Idea: Utiliza el inciso b) del Ejercicio Fundamental.

2. Localiza el centro de la siguiente circunferencia:


En tu cuaderno anota las respuestas.

1. Comprueba que la altura trazada a la base de un triángulo isósceles es mediana,

mediatriz y bisectriz.

Idea: Utiliza el inciso b) del Ejercicio Fundamental.

2. Demuestra que las bisectrices de los ángulos exterior e interior de un triángulo

son perpendiculares.

Lección29

205Lección 29 Noción de probabilidad I

Noción de probabilidad IEn esta lección aprenderás a distinguir eventos independientes en diversas si-tuaciones de azar, así como a determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.

Fiesta regional del estado de Guerrero, “Recordando los Capitanes”.Las mujeres y los hombres se cubren el rostro con una máscara.

La señora Juana, presidenta de la fiesta Recordando los Capitanes, tiene una bolsa con 50 máscaras

de diferentes tamaños, para hombres y muje-

res, y las va a regalar. Si la probabilidad de sa-

car una máscara para mujer es de 1/5, ¿cuán-

tas máscaras para hombre tiene Doña Juana

en su bolsa? ¿Qué es más probable: sacar

una máscara para hombre o una para mu-

jer? Explica razonadamente tus respues-

tas y comenta con tus compañeras y

compañeros tus impresiones.

Autoevaluación

1. En la Universidad Autónoma del Estado, una facultad tiene cuatro áreas o espe-

cialidades, a las que llamaremos A, B, C y D. En cada área hay el siguiente nú-

mero de jóvenes, mujeres y hombres: en A, 40 chicas y 15 chicos; en B, 5 chicas

y 18 chicos; en C, 10 chicas y 12 chicos, y en D, 16 chicas y 22 chicos.

• Si un estudiante elegido al azar resulta ser chico, ¿cuál es el área de la facul-

tad a la que con mayor probabilidad pueda pertenecer?

• ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea mujer?

2. En un grupo de baile infantil, que conforman Andrea, Silvia, Carla, Axel, José

Ángel, Jesús Emmanuel, Andrés, Noe y Fernando, se van a rifar dos boletos

para ir al cine a ver una película de caricaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que

los boletos los gane alguna niña? ¿Cuál es la probabilidad de que los obtengan

una niña y un niño?


Para aprender¿Por qué es importante el estudio de la probabilidad?

La probabilidad es una rama de las matemáticas que permite resolver problemas

en situaciones donde interviene el azar; con ella, puedes construir modelos aleato-

rios y desarrollar procedimientos para calcular y estimar probabilidades. Como

viste en tu libro de Primer año, una de las mayores ventajas de la probabilidad es

su capacidad de aplicación a diversas áreas del conocimiento como la física, la

química, la biología o la sociedad.

Los modelos probabilísticos han ayudado a comprender cierta clase de fenómenos

de la ciencia, la naturaleza o la sociedad. En actividades tan cotidianas como la

predicción del clima, el estudio de propagación de epidemias o la interpretación

de encuestas se usa la probabilidad; por ejemplo, para estimar cuál será el partido

político que tiene más probabilidad de ganar, o para identificar el producto que

tiene mayor probabilidad de consumo. Así, la probabilidad sirve para hacer pre-

dicciones, interpretar información y tomar decisiones.

Actividad 1. ¡Una encuesta!

Se realizó una encuesta a 42 estudiantes de segundo año de

secundaria para saber si quien reuniría el dinero del grupo

sería un hombre o una mujer. De los 42 encuestados,

30 prefirieron a una mujer, 10 a un hombre y 2 se abstu-

vieron.

Al seleccionar al azar a un estudiante de este grupo, ¿cuál

es la probabilidad de que prefiera a un hombre como teso-

rero? ¿Qué es más probable: que el tesorero sea un hombre

o una mujer?

Actividad 2. ¿Cuál es tu color favorito?

Un estudiante pregunta a cada compañera y compañero de su grupo algunos da-

tos: nombre, edad y color favorito, y los registra en una tabla. Numera a los estu-

diantes; el 1 es quien lleva a cabo la encuesta.

Estudiante Nombre Edad Color favorito Sexo

1

2

…


a) ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante de tu grupo le guste el color

azul?


b) En tu grupo, ¿qué es más probable: que a una mujer le guste el color rosa o que

a un hombre le guste el color azul?

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar en tu grupo a estudiantes de 12 o más

años de edad?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de tus compañeros tenga 13 años de edad?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga dos nombres?

f) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un nombre de la tabla, pertenez-

ca a una mujer?

g) ¿Qué es más probable: que el nombre de una compañera termine en vocal o que

sea el de un compañero?

El concepto intuitivo de probabilidad, por medio del cual una persona toma deci-

siones sin la certeza de que ocurran todos los supuestos, es la base del estudio

sistemático que permite incrementar el grado de confianza que pueda tener una

decisión. La probabilidad, entendida como el número de resultados de éxito entre

en número total de resultados posibles, puede ser objetiva o subjetiva. La primera

es resultado de cálculos numéricos sobre datos concretos, mientras que la segunda

es subjetiva porque sólo refleja la percepción de quien la emite. Con el nombre de

probabilidad frecuencial denominamos, en tu curso de Primer año, a la probabili-

dad objetiva.

La probabilidad de eventos equiprobables supone que todos los eventos tienen la

misma probabilidad de ocurrir. Ésta es la relación entre el número de eventos se-

ñalados como exitosos respecto al total de eventos posibles. Veamos un ejemplo:

si en una caja se tienen 30 duraznos y 150 peras, la probabilidad de que al tomar

una fruta sea durazno es:

Probabilidad =Número de eventos exitosos

Númmero total de eventos= = ≈30

180

1

60 16.

La fórmula básica de probabilidad es la siguiente:

Probabilidad =Número de eventos exitosos

Tottal de eventos=

n

N

Eventos independientes

Los eventos son independientes cuando no se ven afectados por otros, como

muestra el siguiente ejemplo:

El día en que Humberto cobró un dinero, su cartera tenía cuatro billetes de 20

pesos, cinco de 50 pesos y dos de 500 pesos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al

extraer al azar un billete, sea de 50 pesos?


Solución

Como en este caso los eventos son independientes, la probabilidad total es la suma

de las probabilidades individuales. Por tanto, tenemos once billetes: cada uno tie-

ne un onceavo de probabilidad de ser escogido, pero como hay cuatro de 20, la

probabilidad de sacar uno de 20 es de 4

11; uno de 50, de 5

11, y uno de 500, de 2

11.

De modo que la probabilidad de extraer de la cartera un billete de 50 pesos es de 5

11 ≈ 0.45.

El rango de valores de las probabilidades

Las probabilidades tienen una escala de 0 a 1: la menor es 0 y la máxima 1. En tal

margen se asigna un número a algunas expresiones relacionadas con el azar. Los

eventos imposibles tienen probabilidad 0 y los seguros probabilidad 1; de ahí, se

asignan valores entre 0 y 1 a las probabilidades de los otros eventos, como en el

ejemplo anterior, cuya probabilidad fue de 0.45.

Los conocimientosComo podrás recordar, en Primer año viste que:

Frecuencia relativa =Número de veces que apparece un resultado

Número total de observacciones

La probabilidad empírica mide y describe, de manera aproximada, qué tan proba-

ble es un evento (lo que ocurre). Se obtiene mediante la experimentación (repetir

la experiencia):

Probabilidad empírica =Frecuencia absoluta

TTotal de observaciones

El señor Tomás Patricio y la señora Antonia Jacinto tienen un hijo y una hija. El hijo

se llama David, estudia el sexto grado de primaria y cada mañana escoge del closet

su par de calcetines que usa para ir a la escuela. Éstos son de tres colores distintos:

blancos, negros y azules; sin embargo, todos tienen la misma textura. David se le-

vanta muy temprano y toma un par de calcetines, sin que pueda distinguir de qué

color son, porque no enciende la luz para no despertar a su hermana Rosa, quien

estudia el preescolar y entra más tarde a la escuela, pero a la hora del recreo se fija de

qué color son sus calcetines. Si cada día tiene en su closet el mismo número de cal-

cetines porque se lavan a diario (es decir, siempre tiene cuatro de cada uno).

Contesta en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que David use un día lunes calcetines blancos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al siguiente día use calcetines negros o azules?

Recuerda que siempre tiene la misma cantidad de cada uno.


Si sabes que los calcetines favoritos de David son los de color azul:

a) ¿Qué crees que David pueda hacer para usar con más frecuencia este color?

b) ¿Qué podría hacer para que un día, con toda seguridad, saque su color favo-

rito?

Explica cómo cambiarían las probabilidades de sacar calcetines de cierto color si

se presentan los siguientes casos, suponiendo que David inicialmente tenía dos

pares de cada color y:

• La señora Antonia compra cinco pares de calcetines de color blanco y le

regala tres pares a David.

O bien

• David le regala dos pares de calcetines a su primo Luis.

Los métodosFormen equipos de tres integrantes y realicen el siguiente ejercicio: cada estudian-

te tira dos dados 12 veces y registra la suma de su resultado en la tabla. Con base

en esa información, contesten las siguientes preguntas en su cuaderno:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 en los resultados de cada uno de los es-

tudiantes del equipo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga 12 en los resultados de cada estudiante?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga 6 en los resultados de cada estudiante?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga 9 en el resultado de cada estudiante?

Número de tirada

Resultadosestudiante

1

Número de tirada

Resultadosestudiante

2

Número de tirada

Resultados estudiante

3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8 8

9 9 9

10 10 10

11 11 11

12 12 12



Anota en tu cuaderno todas las respuestas.

1. Al lanzar una moneda al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?

2. Un repartidor de medicinas sabe que cada vez que visita a un cliente tiene 70%

de probabilidad de concretar una venta y 30% de no concretarla. Si gana 200

pesos por cada venta realizada y en un día tiene cita con cuatro clientes, ¿cuánto

podría ganar?

Puedes simular tal situación colocando diez tarjetitas en una bolsa de color; en

siete de ellas escribe SV (sí vende) y en las tres restantes NV (no vende). Tomar

una tarjeta equivale a visitar un cliente; consigna el resultado en una tabla y

regresa la tarjeta a la bolsa. Repite el proceso 25 veces y escribe cuál es la proba-

bilidad empírica de SV y NV, con base en los datos de la tabla.

3. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un par?

4. La profesora Emilia colecciona flores. Si tiene trece azucenas, media docena de

alcatraces y una docena de claveles, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccio-

nar dos flores una de ellas sea un alcatraz?

5. Una máquina productora de huaraches generalmente produce cinco pares de-

fectuosos por cada cien Si se eligen al azar seis artículos, ¿cuál es la probabilidad

de que estén defectuosos?

6. Martha tiene en su alcancía 12 monedas: cuatro de $1, cinco de $2 y tres de $5.

Llegan sus primos y saca tres monedas para comprarles una paleta a cada uno.

• ¿Qué monedas tienen mayor probabilidad de salir?

• Representa los posibles resultados mediante un diagrama de árbol y en-

cuentra sus probabilidades.



Formen equipo de tres compañeros y resuelvan los siguientes ejercicios:

1. Al tirar un par de dados, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 4?

2. Al lanzar dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que caigan dos soles?

3. Para la rifa de un ventilador, en la comunidad se vendieron 150 boletos nume-

rados a $10 cada uno.

a) ¿Qué es más probable: que gane un número de tres o de dos cifras?


b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga el premio un número impar?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número múltiplo de 5?

d) ¿Qué es más probable: que resulte ganador un número par o un número

impar?

e) ¿Cuál es la probabilidad de un número que termine en cero?

f) ¿Cuál es el resultado de sumar la probabilidad de que gane un número par y un

impar?


Al entrevistar a 20 estudiantes de un mismo grupo de tercero de secundaría sobre

cuál fue su materia favorita en segundo año, respondieron que Ciencias. Con base

en esta palabra, “Ciencias”, suponiendo que eliges una letra al azar de las que com-

ponen la palabra:

• ¿Cuál es la probabilidad de elegir una letra mayúscula?

• ¿Qué es más probable: seleccionar una vocal o una consonante?

• ¿Cuál es la probabilidad de sacar una letra minúscula?

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea una letra c?

• ¿Cuál es la probabilidad de elegir a la consonante y la vocal que aparece con

más frecuencia?

Lección30


Gráficas y comportamientos

En esta lección, aprenderás a relacionar gráficas de diferentes fenómenos y a argumentar la dependencia que puede existir entre ellas.

Ayuda alimentaria para salvar y mejorar vidas humanas

El Programa Mundial de Alimentos (PMA) de las Naciones Uni-das es el organismo de asistencia humanitaria más grande del mundo. Su ayuda alimentaria de urgencia permite a las personas sobrevivir en medio de todo tipo de crisis que se producen sobre la tierra.

El suministro de alimentos nutritivos en las escuelas es un modo sencillo de aumentar las tasas de matriculación, asistencia y alfa-betización entre los niños pobres del mundo. El PMA cree firme-mente que utilizar la ayuda alimentaria para atraer a los niños po-bres a la escuela y retenerlos es fundamental para que se conviertan en adultos instruidos y autosuficientes.

• Hoy día, cerca de 300 millones de niños pobres en todo el mun-do no van a la escuela o no reciben ninguna comida durante la jornada escolar. La mayoría de ellos son niñas.

• La investigación confirma que la educación básica consti-tuye la inversión más eficaz para mejorar el crecimiento eco-

nómico y crear sociedades alfabetizadas, autosuficientes y sanas. Un es-tudio de la UNESCO demostró que en los países que tenían una tasa de alfabetización de adultos aproximada a 40%, el Producto Nacional Bru-to (PNB) medio per cápita era de 210 dólares anuales, mientras que en los que había una tasa de alfabetización de 80%, por lo menos, el PNB per cápita era de 1000 dólares o más. Según un análisis del Banco Mun-dial sobre 13 países, un nivel mínimo de educación primaria de cua-tro años aumentaba la productividad de los agricultores entre 8.7 y 10%.

• Algunos estudios de Naciones Unidas demuestran que las niñas llegan a ca-sarse incluso a los 11 años y pueden tener hasta siete hijos antes de cumplir los 18 años. En cambio, las niñas que van a la escuela se casan más tarde, distancian más los embarazos y, en promedio, procrean la mitad de hijos.

• Las investigaciones demuestran que, entre 1970 y 1995, la educación y la condición general de la mujer influyó en la reducción de más de 50% de la malnutrición infantil en los países en desarrollo. La mejora de la instruc-ción de las mujeres contribuyó más que cualquier otro factor.

Fuente: http://www.fao.org/worldfoodsummit/spanish/fsheets/wfp.pdf

213Lección 30 Gráfi cas y comportamientos

AutoevaluaciónObserva cuidadosamente las siguientes gráficas:

1. Población en edad escolar entre los 3 y 24 años, desde 1950 a 2005.

2. Población masculina en edad escolar entre los 3 y 24 años, desde 1950 a 2005.

3. Población femenina en edad escolar entre los 3 y 24 años, desde 1950 a 2005.

50 000 000

45 000 000

40 000 000

35 000 000

30 000 000

25 000 000

20 000 000

15 000 000

10 000 000

5 000 000

0

1950 1960 1970 1990 2000 2005

20 a 24 años16 a 19 años13 a 15 años6 a 12 años3 a 5 años

25,000,000

20,000,000

15,000,000

10,000,000

5,000,000

0

1950 1960 1970 1990 2000 2005


25,000,000

20,000,000

15,000,000

10,000,000

5,000,000

0

1950 1960 1970 1990 2000 2005



En tu cuaderno resuelve lo que se te indica.

• Analiza el crecimiento de la población en general y por género.

• Describe con detalle, usando cantidades aproximadas como ejemplo, por qué consideras que el crecimiento de la población femenina en edad escolar es equi-valente, menor o mayor al de la masculina.

• Realiza un análisis global y por intervalos de edad. Discute con tu profesor o profesora y tus compañeros y compañeras las causas principales por las que puedan ser o no crecimientos equitativos.

Para aprenderUna compañía transportadora de granos supervisa a 3 conductores al azar cada 2 meses. El supervisor viaja como copiloto y lleva el registro de la distancia recorri-da cada hora en la ruta México-Villahermosa. Las supervisiones se llevaron a cabo durante 3 días lunes: la primera semana le tocó a Juan, la segunda a Luis y la ter-cera a Carlos.

El reporte del supervisor muestra el siguiente registro gráfico con los tiempos-dis-tancias que recorrió cada conductor hasta completar su ruta.

Discute con tus compañeros y compañeras y tu profesor o profesora las siguientes preguntas:

• ¿Salieron todos a la misma hora?

• ¿Qué distancia había recorrido cada uno 3 horas después de su partida?

• ¿Qué distancia llevaba transitada cada uno a las 10:00 a. m.?

• ¿Quién de ellos hizo una o más paradas en el trayecto?

• ¿Cuántos kilómetros tiene la ruta México-Villahermosa?

Recorrido México-Villahermosa

800700600500400300200100

0

Dis

tanc

ia (

en k

m)

6 a.

m.

7 a.

m.

8 a.

m.

9 a.

m.

10 a

.m.

11 a

.m.

12 a

.m.

1 p.

m.

2 p.

m.

3 p.

m.

4 p.

m.

5 p.

m.

6 p.

m.

7 p.

m.

Hora del día

Juan (rosa), Luis (verde), Carlos (azul)


• ¿Quién de ellos completó la ruta en menos tiempo?

• Muestra en la gráfica dónde cada conductor cambió de velocidad (distancia/tiempo)

Por política de la compañía, los conductores deben disminuir su velocidad cuando esté lloviendo; se aplica un estímulo económico a quien respete dicha norma. El contador revisa los registros del supervisor y los contrasta con el registro de preci-pitación pluvial (agua que cae durante las lluvias) en el tramo carretero México-Villahermosa para verificar que, en efecto, se hayan cumplido las normas de velo-cidad y autorice el estímulo económico correspondiente.

Observa que:

• Cada gráfica se corresponde en color para cada registro (por ejemplo, a la rosa, del recorrido de Juan, le atañe la de la precipitación pluvial, también en rosa, del primer lunes de supervisión).

• El tiempo, en ambos registros, se tomó en los mismos intervalos.

Retoma los intervalos que identificas-te anteriormente, donde cambia la ve-locidad cada conductor, y comprueba si en efecto la disminuyeron cuando llovía. ¿Quién o quiénes son merece-dores del estímulo?

Construye una posible gráfica (tiem-po-distancia) para la ruta de cada con-ductor, que respete la norma de velo-cidad.

Precipitación pluvial en el tramo carretero

200018001600140012001000

800600400200

0Can

tida

d de

lluv

ia (

mm

)

6 a.

m.

7 a.

m.

8 a.

m.

9 a.

m.

10 a

.m.

11 a

.m.

12 a

.m.

1 p.

m.

2 p.

m.

3 p.

m.

4 p.

m.

5 p.

m.

6 p.

m.

7 p.

m.

Hora del día

Primer lunes de supervisión (rosa), Segundo lunes de supervisión (verde), Tercer lunes de supervisión (azul)

Recorrido México-Villahermosa

800700600500400300200100

0

Dis

tanc

ia (

en k

m)

6 a.

m.

7 a.

m.

8 a.

m.

9 a.

m.

10 a

.m.

11 a

.m.

12 a

.m.

1 p.

m.

2 p.

m.

3 p.

m.

4 p.

m.

5 p.

m.

6 p.

m.

7 p.

m.

Hora del día


Los conocimientosLas gráficas que representan fenómenos o situaciones reales establecen una rela-ción entre dos variables (por ejemplo, tiempo-distancia, hora-precipitación, ven-ta-ganancia). Así, para hacer corresponder a dos gráficas deben tener una variable en común: la variable independiente.

Las gráficas anteriores se construyeron con una marca (cuadrado, triángulo, círcu-lo o cruz) en la coordenada que relaciona las variables involucradas (tiempo-dis-tancia o tiempo-precipitación). La recta que une cada marca con la siguiente indica un comportamiento, ya sea de crecimiento o decrecimiento; dependiendo de la si-tuación y los datos, podrían considerarse como puntos o datos entre cada marca.

Por ejemplo, si Juan, el conductor del ejercicio que viste en la sección Para apren-der, maneja sin hacer paradas y mantiene una velocidad constante, la recta que une la coordenada (6:00 a. m., 0 km) con la coordenada (7:00 a. m., 100 km) pue-de representar las distancias que ha recorrido entre las 6:00 y las 7:00 a. m.

Sin embargo, en el gráfico de precipitación no se puede decir que la cantidad de agua que llueve aumenta o disminuye en forma constante ni que pudiera represen-tarse en la recta, pues no sabemos si entre cada toma hubo lluvia.

Los métodosAl analizar la relación de dos fenómenos o comparar dos comportamientos que atañan a un mismo fenómeno se debe verificar que ambos estén definidos por la misma variable independiente.

Para iniciar, comparemos las coordenadas. Por ejemplo, en las siguientes gráficas estamos cotejando el número de automóviles que se produjeron en 1996 con el de unidades vendidas. La diferencia entre producción y venta puede ayudar a una empresa a identificar la eficiencia de sus campañas de publicidad o sus ofertas de crédito, por ejemplo, en tanto la diferencia disminuya. La venta de un año es im-portante para tomar decisiones sobre la producción del siguiente.


Producción

2 000 000

1 800 000

1 600 000

1 400 000

1 200 000

1 000 000

800 000

600 000

400 000

200 000

01994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

1 200 000

1 000 000

800 000

600 000

400 000

200 000

01994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Venta

Comparando la coordenada

Producción

2 000 000

1 800 000

1 600 000

1 400 000

1 200 000

1 000 000

800 000

600 000

400 000

200 000

01994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

1 200 000

1 000 000

800 000

600 000

400 000

200 000

01994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Venta

Comparando el (de)crecimiento

Para un análisis cuantitativo más preciso se usan directamente los datos. En nues-tro ejemplo, serían los incrementos de producción y en ventas, las diferencias entre producción y ganancia cada año, etcétera.



La directora general y la asociación de padres de familia de la escuela “Héroe Des-conocido” están considerando la posibilidad de hacer obligatorio el transporte escolar para todos los alumnos, como una medida para contribuir a la disminu-ción de la contaminación acústica (por ruido) en la zona. Con la finalidad de to-mar la decisión adecuada, se ha solicitado a las autoridades se recolecten datos sobre la contaminación acústica, medida en decibeles, que hay cada hora en dicha zona, así como el tránsito vehicular promedio en los mismos periodos.

Los datos sobre la contaminación se presentaron con la siguiente gráfica:

El número de automóviles que circulan a esas horas se reporta en la siguiente tabla:

Contaminación acústica

8070605040302010

0

Dec

ibel

es

6 h. 7 h. 8 h. 9 h. 10 h. 11 h. 12 h. 13 h. 14 h.

Hora del día

Circulación de vehículos cada hora

908070605040302010

0

Nùm

ero

de v

ehíc

ulos

6 h. 7 h. 8 h. 9 h. 10 h. 11 h. 12 h. 13 h. 14 h.

Hora del día

Hora Vehículos

6:00 a. m. 13

7:00 a. m. 25

8:00 a. m. 77

9:00 a. m. 55

10:00 a. m. 26

11:00 a. m. 39

12:00 p. m. 52

13:00 p. m. 65

14:00 p. m. 70


Construye la gráfica correspondiente a la circulación vehicular y comenta las res-puestas a las siguientes preguntas con tus compañeros.

a) ¿Encuentras relación entre la contaminación acústica y el número de automó-viles que circulan en la zona durante el horario escolar?

b) ¿Coincide el nivel más alto de contaminación acústica con las horas de mayor tránsito vehicular?

c) De hacer obligatorio el transporte escolar para todos los alumnos, ¿se estaría contribuyendo a la disminución de la contaminación por ruido en la zona?

d) ¿Qué decisión deben tomar la directora y la asociación de padres de familia?

e) ¿Aproximadamente a qué hora es la entrada y la salida de la escuela?


En las últimas décadas, el automóvil apareció de forma masiva en las ciudades, lo cual ha incrementado los problemas de contaminación atmosférica debido a los gases contaminantes que se emiten por los tubos de escape. Los principales conta-minantes lanzados por los automóviles son monóxido de carbono (CO), óxidos de nitrógeno (NOx), hidrocarburos no quemados (HC) y compuestos de plomo.

Según el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI), en la Zona Metropolitana del Valle de México la presencia de partículas CO y NOx ha variado de la siguiente forma:

Año CO(toneladas al año)

NOx(toneladas al año)

1994 1 679 889 192 391

1996 1 832 091 204 795

1998 1 960 801 205 726

2000 2 035 425 193 451

2002 1 941 223 186 169

Monóxido de carbono

2 100 0002 000 0001 900 0001 800 0001 700 0001 600 0001 500 000

Tone

lada

s

1994 1996 1998 2000 2002

Año


De acuerdo con el reporte de la Asociación Mexicana de la Industria Automotriz AC, las ventas de todo el país en estos años fueron las siguientes:

Año Unidadesvendidas

1994 593 292

1996 325 154

1998 643 360

2000 853 775

2002 977 558

Sin embargo, las tablas anteriores reportan:

• Contaminantes de varias fuentes, denominadas puntuales, de área, móviles y vegetación y suelos. Los automóviles ocupan un porcentaje significativo dentro de la categoría de fuentes móviles.

• Las ventas de automóviles en todo el país.

Construye la gráfica sobre las ventas de automóviles y discute con tus compañeros si, bajo el supuesto que las ventas en la Zona Metropolitana del Valle de México representan el porcentaje más grande, los automóviles son la causa principal de la contaminación del aire en esta zona.1


A partir de los datos del ejercicio anterior, construye la gráfica que represente la presencia de partículas de óxido de nitrógeno (NO2) en el aire.

Óxidos de nitrógeno

210 000

205 000

200 000

195 000

190 000

185 000

Tone

lada

s

1994 1996 1998 2000 2002

Año

Si ahora analizas la relación de esta gráfica con la de ventas de automóviles, que hiciste en el ejercicio anterior, ¿podrías confirmar que los automóviles son la cau-sa principal de la contaminación del aire en esta zona? Explica ampliamente en tu cuaderno por qué.

1Fuentes: Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (http://www.inegi.gob.mx/); Asociación Mexicana de la Industria Automotriz AC (http://www.amia.com.mx/).

Venta de automóviles

1 200 0001 000 000

800 000600 000400 000200 000

0

Uni

dade

s

1994 1996 1998 2000 2002

Año



Construye la gráfica que muestre el número de familias visitadas durante la cam-paña de promoción integral de la salud.

Año Familiasvisitadas

1985 2 300

1986 3 100

1987 5 279

1988 5 350

1989 5 600

Usa la siguiente gráfica para completar, aproximadamente, la tabla con el número de adultos alfabetizados en el quinquenio 1985-1989.

AñoAdultos

alfabetizados de 1985 a 1989

1985

1986

1987

1988

1989

¿Consideras que la campaña tuvo un efecto positivo en la alfabetización de adultos en el periodo reportado? Responde en tu cuaderno.

Número de familias visitadasdurante la campaña de promoción integral de la salud

6 000

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

0

Núm

. de

fam

ilias

visi

tada

s

1985 1986 1987 1988 1989

Año

Adultos alfabetizados en el quinquenio 1985-1989

4 000

3 000

2 000

1 000

0

Núm

. de

adul

tos

alfa

beti

zado

s

1985 1986 1987 1988 1989

Año

Lección31


Gráficas y rectasEn esta lección, aprenderás a construir funciones lineales definidas por inter-valos y sus gráficas o segmentos de recta.

Dios le concedió ser niño una sexta parte de su vida, y una duodécima parte de ella, más tarde cubrió de vello sus meji-llas; encendió en él la antorcha del ma-trimonio tras una séptima parte, y cin-co años más después le concedió un hijo. ¡Ay!, un chico de nacimiento tardío y enfermizo al que el frío destino se llevó cuando alcanzó la edad de la mitad de la vida total de su padre. Éste consoló su aflicción con la ciencia de los números durante los cuatro años siguientes, tras los cuales su vida se extinguió.

Este acertijo se refiere al matemático Diofante de Alejandría, de quien no se sabe

su lugar y fecha de nacimiento con exactitud, pero se calcula que fue entre el 150

antes de nuestra era y el 364 después de nuestra era.

Autoevaluación Las gráficas de la página siguiente representan cuatro recorridos de Mario hacia la

escuela.

• ¿Qué gráfica representa el día que llegó más temprano?

• ¿Qué gráfica representa el día con menos distracciones en el camino?

• ¿Qué gráfica representa el recorrido de regreso a casa?

• ¿Qué gráfica representa el recorrido con más variaciones en la velocidad a la

que caminó?

• ¿Qué gráfica representa el recorrido con menos variaciones en la velocidad a la

que caminó?

ß ¿A qué distancia se encuentra la escuela?

223Lección 31 Gráfi cas y rectas

600

500

400

300

200

100

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

600

500

400

300

200

100

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

600

500

400

300

200

100

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

600

500

400

300

200

100

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Recorrido 1 Recorrido 2

Recorrido 3 Recorrido 4

Para aprenderUna presa tiene 3 compuertas. Cada una deja salir 500 metros cúbicos de agua por segundo. Completa la tabla con la cantidad de agua que ha

salido en los tiempos indicados, si las tres compuertas están abiertas.

Localiza en el plano las coordenadas que correspondan a los datos de

tu tabla (segundo/cantidad de agua).

Segundo Agua (m3)

0

1

6

12

20

Volumen de agua

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5 000

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


A los 30 segundos de haber iniciado el flujo de agua se cierra la Compuerta 1, por

lo cual, a partir del segundo 31, disminuye la cantidad de agua que sale.

Completa la tabla con la cantidad de agua que ha salido en los tiempos indicados.

Apóyate en el reporte gráfico del flujo de agua que brota cada segundo.

Recuerda que después de los 45 000 m3 de agua (30 segundos) dos compuertas

permiten el paso de agua y cada una deja salir 500 m3.

A los 60 segundos de haber iniciado el flujo de agua se cierra ahora la Compuerta

2, de ahí que, a partir del segundo 61, la cantidad de agua disminuye aún más.

Completa la tabla con la cantidad de agua que ha salido en los tiempos indicados.

Básate en el reporte gráfico del flujo de agua que sale cada segundo.

Recuerda que después de los 75 000 m3 de agua (60 se-gundos) solo una compuerta permite el paso de agua y

deja salir 500 m3.

Segundos Agua(m3)

0

10

20

30

35

40

45

50

55

Segundos Agua(m3)

0

10

20

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

Volumen de agua

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Volumen de agua100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 68 70 75 80 85 90


Observa que cada 30 segundos el comportamiento del volumen de agua crece en

forma constante, describiendo un segmento de recta. Tanto los segmentos de rec-

ta como los datos pueden asociarse con una expresión algebraica, que en la Lección 23 (Gráficas. Relaciones Lineales I) dedujiste a partir de datos.

• Determina la expresión algebraica que describe el volumen de agua que sale de

la presa cuando hay 3 compuertas abiertas (desde el segundo 0 hasta el 30).

Si usas un programa para graficar la función que encontraste, tendrías algo como

lo siguiente:

-2x10ˆ4

4x10ˆ4

2x10ˆ4

x

y

-30 -20 -10 0 10 20 300

Lo anterior se debe a que la función está definida para todos los valores de x y éstos

sobrepasan los de nuestra variable independiente (de 0 a 30 segundos). Por ello, la fun-

ción debe definirse para los valores específicos de nuestra variable independiente:

y = 1 500 x , para 0 ≤ x ≤ 30

• Grafica ahora la recta que representa esta función, definida en un intervalo.

Volumen de agua

100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 68 70 75 80 85 90


Los conocimientosEn la Lección 23 aprendiste a construir expresiones algebraicas que describen la

relación entre dos variables. En el ejercicio de la sección Para aprender, las varia-

bles que se relacionan son el tiempo y el volumen de agua, pero cada 30 segundos se presentan cambios.

Dichos periodos reciben el nombre de intervalos y, en consecuencia, las relaciones

reciben el nombre de funciones definidas por intervalos.

Para definir los intervalos usaremos los signos < (menor que), > (mayor que), ≤ (me-nor o igual que) y ≥ (mayor o igual que). El intervalo de nuestro ejemplo se lee:

0 ≤ x ≤ 30, todos los valores mayores o igual a cero y menores o igual a 30.

Los métodosEn el ejercicio de la sección Para aprender hay tres relaciones diferentes entre el

tiempo y el volumen de agua:

• Cuando el agua sale por tres compuertas, a razón de

1 500 metros cúbicos por segundo (500 de cada com-

puerta), del segundo 0 al 30.

Expresión algebraica: y = 1 500 x,

para 0 ≤ x ≤ 30

• Cuando el agua sale por dos compuertas, a razón de

1 000 metros cúbicos por segundo (500 de cada com-

puerta), del segundo 31 al 60.


para 31 < x ≤ 60

• Cuando el agua sale por una sola compuerta, a ra-

zón de 500 metros cúbicos por segundo, del segundo

61 al 90.

Expresión algebraica: y = 500 x,

para 61 < x ≤ 90

Sin embargo, al graficar estas relaciones en un solo plano tendríamos:

5x10ˆ4

4x10ˆ4

3x10ˆ4

2x10ˆ4

10ˆ4

10 20 30 40 50 60 70 80 90x

y


Esto sucede porque, en la función y = 1 000 x, definida para 31 < x ≤ 60, no esta-

mos tomando en cuenta que ya han salido 45000 metros cúbicos de agua, mientras

que en la función y = 500 x, definida para 61 < x ≤ 90, no estamos consideran-

do que ya han salido 75 000 metros cúbicos de agua. Entonces, las fórmulas son:

• Cuando el agua sale por tres compuertas, a razón de 1 500

metros cúbicos por segundo (500 de cada compuerta), del

segundo 0 al 30.


para 0 ≤ x ≤ 30

• Cuando el agua sale por dos compuertas, a razón de 1 000

metros cúbicos por segundo (500 de cada compuerta), del

segundo 31 al 60.

Expresión algebraica:

y = 1 000 x + 45 000,

para 31 < x ≤ 60

• Cuando el agua sale por una sola compuerta, a razón de

500 metros cúbicos por segundo, del segundo 61 al 90.Expresión algebraica:

y = 500 x + 75 000,

para 61 < x ≤ 90

Y la gráfica queda así:

Volumen de agua

100 000

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 68 70 75 80 85 90


Retoma el ejercicio de la presa con las tres compuertas para la salida de agua. Aho-

ra, cada compuerta permite la salida de 300 metros cúbicos por segundo. Construye

la tabla y la gráfica que represente el volumen de agua que surge de la presa, desde

que se abren las compuertas hasta el segundo 90.



Retoma el planteamiento de la presa. Describe lo que sucede con el flujo de agua,

según el gráfico siguiente:

Volumen de agua

120 000

100 000

80 000

60 000

40 000

20 000

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

Responde en tu cuaderno.

• ¿Qué volumen ha fluido del segundo 90 al 120?

• ¿Qué significa lo anterior en términos del problema?

Segundos Agua(m3)

0

10

20

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

Volumen de agua60 000

50 000

40 000

30 000

20 000

10 000

00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 68 70 75 80 85 90



La pequeña presa “Xico” deja salir el agua a razón de 50 metros cúbicos por minuto

a través de la Compuerta 1 y 150 metros cúbicos por minuto a través de la Com-

puerta 2. Cada 5 minutos se cierra una compuerta y pasados los 10 minutos, cuan-

do se han cerrado ambas, permanecen así durante 5 minutos, para abrirse en for-

ma simultánea y repetir el ciclo.

Construye en tu cuaderno las tablas y gráficas que le corresponden al volumen de

agua si las compuertas se cierran en el siguiente orden:

• Caso 1: Compuerta 1 → Compuerta 2

• Caso 2: Compuerta 2 → Compuerta 1


Don Marcos, el ingeniero responsable de la presa “Xico”, lleva ahora un registro

del volumen de agua que queda dentro de la presa. Antes de abrir por primera vez

cualquier compuerta la presa tiene 1 500 000 metros cúbicos de agua.

Responde en tu cuaderno los siguientes puntos.

• Construye la tabla y la gráfica que le correspondería a los Casos 1 y 2 del Ejer-cicio de profundización con la nueva condición (se mide el volumen que queda

en la presa).

• ¿En qué momento quedaría vacía la presa?

• ¿Cuántas veces se repite el ciclo en el que quedan cerradas ambas compuertas?

Bloque 5

¡Repartir no es tan fácil!

Problemas como el siguiente dieron origen al estudio de la probabilidad que

estudiamos en la lección 35 de este bloque… ¿tú qué solución darías?

Una tradición pirata consistía en que, una vez obtenido el botín, lo repartían

entre cada uno de los piratas. Como entre ellos había jerarquías, resultaba difícil

decidir qué proporción le correspondía a cada uno. Una estrategia que solían

emplear era la siguiente: entre los piratas elegían al más viejo de todos y le

pedían que diseñara una manera de reparto. El pirata lo hacía y luego se sometía

su propuesta de reparto a votación; si no ganaba por mayoría simple, era arroja-

do al mar plagado de tiburones. Después elegían al siguiente más viejo y repetían

el proceso, hasta decidirse por alguno de los métodos propuestos. ¿Te gustaría

ser el pirata más viejo?

230


• Resuelvan problemas que implican el uso de sistemas de dos

ecuaciones lineales con dos incógnitas

• Determinen el tipo de transformación (traslación, rotación y/

o simetría) que se aplica a una figura para obtener la figura

transformada.

• Identifiquen y ejecuten simetrías axiales y centrales y caracte-

ricen sus efectos sobre las figuras.

• Resuelvan problemas que implican calcular la probabilidad

de dos eventos que son mutuamente excluyentes.

231

Lección32 Ecuaciones

En esta lección, aprenderás a representar con literales los valores desconocidos de un problema y las usarás para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Andrea y Pablo fueron a la granja de su abuelo para ayudarlo a contar los

animales que tenía. Al llegar a uno de los corrales, donde se encontraban

pollos y borregos, los niños idearon una estrategia para poder contar rápida-

mente la cantidad de animales: Andrea contó 60 cabezas y Pablo 170 patas.

Los niños supieron rápidamente que el abuelo tenía 35 pollos y 25 borregos

en ese corral. ¿Podrías decir cuantos patos y conejos había en otro corral, si

los niños contaron 40 cabezas y 110 patas?

Autoevaluación

1. Calcula el valor de x y de y para que las dos igualdades se cumplan.

a) 3x + 4y = 6

2x + y = –1 b)

5x + 4y = 10

6x + 2y = 12

2. Encuentra lo que se te pide:

a) Dos números cuya suma sea 2 y que al sumar sus simétricos resulte –2.

b) Los lados del rectángulo que tiene por perímetro 14 m y por área 12m2.

3. Resuelve los siguientes problemas:

a) Hace 5 años, la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro

de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi

hermano?

b) En una bolsa hay 16 monedas con un valor total de $125.00. Las monedas

son de 5 y 10 pesos. ¿Cuántas monedas hay de cada valor?

Para aprenderActividad 1. Aumento en la población

Una semana antes de que Andrea y Pablo llegaran a visitar a su abuelo, él compró

7 vacas y 4 caballos por $50 000.00; después, adquirió 8 caballos y 9 vacas por


233Lección 32 Ecuaciones

$90 000.00. ¿Cuál fue el precio de cada vaca y de cada caballo? Resuelve en tu cua-

derno.

Si después de todo lo que gastó el abuelo le quedó la cantidad de $4 000.00, ¿po-

dría comprar 6 vacas y 5 caballos más? ¿Qué le alcanzaría para comprar?

Actividad 2. El hogar de los animales

Un corral rectangular cuyo largo es el doble de su ancho está rodeado por una

barda. Entre la barda y el corral hay un metro de jardín alrededor de todo el perí-

metro del corral. Si el perímetro del corral es de 78 metros, ¿cuáles son sus dimen-

siones? Represéntalo en tu cuaderno.

Actividad 3. Puntos para el examen

Al comenzar los estudios de bachillerato se les hace un examen a los estudiantes

con 30 preguntas sobre matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente

se dan 5 puntos y por cada incorrecta o no contestada se quitan 2 puntos. Un

alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

Elabora las operaciones necesarias en tu cuaderno.

Los conocimientosAlgunos tipos de problemas donde intervienen dos incógnitas se resuelven a par-

tir de un sistema de dos ecuaciones. Así, el problema de la Actividad 1 es el si-

guiente:



$90 000.00. ¿Cuál fue el precio de cada vaca y de cada caballo?

Puede ser resuelto de la siguiente manera:

Comenzamos por identificar las incógnitas de este problema; entonces, llamamos

x al precio de una vaca, mientras que y al de un caballo. Podemos ver que ahora

tenemos dos incógnitas: x, y. Después, escribimos en lenguaje simbólico lo expre-

sado por el problema y obtenemos:

• El gasto de 7 vacas (7x) y 4 caballos (4y) por $50 000 puede expresarse como

7x + 4y = 50 000 (Ecuación 1)

• El gasto de 8 caballos (8y) y 9 vacas (9x) por $90 000 puede expresarse como

9x + 8y = 90 000 (Ecuación 2)

Ahora, la solución del problema consiste en encontrar un valor para x y otro para

y que satisfaga las Ecuaciones 1 y 2, de manera simultánea. Como quizá hayas no-

tado, hay muchos valores tanto de x como de y que pueden ser sustituidos en la

Ecuación 1 para obtener la igualdad. El problema radica en encontrar aquellos


valores que también puedan ser sustituidos en la Ecuación 2. Veamos una manera

para descubrirlos.

Una forma para encontrar diferentes valores tanto de x como de y en la Ecuación 1 es

despejar y, con el fin de asignar algunos valores a x para llenar una tabla de datos:

Despejando y de 7x + 4y = 50 000, tenemos:

4y = 50 000 – 7x

y = 50 000 – 7x4

xPrecio deuna vaca

y = 50 000 – 7x 4

Precio de un caballo

1 00050 000 7 1000

443000

410 750

− × = =

2 00050 000 7 2 000

436 000

49 000

− × = =

3 00050 000 7 3000

429 000

47250

− × = =

4 00050 000 7 4 000

422 000

45500

− × = =

5 00050 000 7 5 000

415 000

43750

− × = =

6 00050 000 7 6 000

48 000

42 000

− × = =

7 00050 000 7 7 000

41000

4250

− × = =

Asimismo, en la Ecuación 2 despejamos y; luego, asignamos algunos valores a x

para llenar una tabla de datos:

Despejando y de 9x + 8y = 90 000, tenemos:

8y = 90 000 – 9x

12 y = 90 000 – 9x

8


xPrecio deuna vaca

y = 90 000 – 9x 8

Precio de un caballo

1 000 10 125

2 000 9 000

3 000 7 875

4 000 6 750

5 000 5 625

6 000 4 500

7 000 3 375

8 000 2 250

9 000 1 125

10 000 0

Si observas las tablas de valores, puedes comprobar que los pares de valores(x = 2 000, y = 9 000), son soluciones simultáneas de ambas ecuaciones. Este par

de valores es la respuesta al problema dado: el precio de una vaca es de $2 000 y el

de un caballo $9 000.

En el problema planteado anteriormente hallamos el valor de 2 incógnitas que

llamamos x y y; es decir, hemos resuelto un sistema de 2 ecuaciones con 2 incóg-

nitas. Para indicar que se trata de un sistema, encerramos las dos ecuaciones con

una llave:

7x + 4y = 50 000

9x + 8y = 90 000

Los métodos Método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, hay que despejar una

misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes,

con lo cual se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las

siguientes:

i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación de una incógnita

que resulta.

iii. Se calcula el valor de la otra incógnita, sustituyendo la encontrada en una de

las ecuaciones despejadas del primer paso.

⎧⎪⎨⎪⎩


Ejemplo: Resolver el sistema

3x + 2y = 90

2x + 2y = 170

i. Despejando y en cada una de las ecuaciones, resulta el sistema

yx

yx

= −

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

90 3

270 2

2

ii. Al igualar las expresiones obtenidas, tenemos que 90 3

2

70 2

2

− = −x x Resolvien-

do la ecuación de una incógnita:

90 3

2

70 2

2

− = −x x

2 90 3 2 70 2

180 6 140 4

6 4 140

× − = × −− = −

− + = −

( ) ( )x x

x x

x x 1180

2 40

40

220

20

− = −

= −−

=

=

x

x

x

iii. Sustituyendo x = 20 en la primera ecuación, queda

yx= − = − × = − = =90 3

2

90 3 20

2

90 60

2

30

215

y = 15

Finalmente, la solución del sistema es x = 20 y y = 15.


Resuelve en tu cuaderno lo que se te pide.

1. La suma de dos números es 40 y su diferencia es 10. Encuentra dichos números.

2. Dos ángulos son complementarios y la diferencia entre ellos es 40°. ¿Cuál es el

valor de cada uno?

⎧⎪⎨⎪⎩


3. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18° mayor que el otro.

¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

4. Dos ángulos son suplementarios y su diferencia es 70°. Encuentra el valor de

tales ángulos.

5. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

3 2 3

2 5

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩

c)

2 2 8

8 8 32

x y

x y

− =− + = −

⎧⎨⎩

b)

4 3 10

2 70

x y

x y

− =+ = −

⎧⎨⎩

d)

5 4 2

5 4 7

x y

x y

− =+ =

⎧⎨⎩


Resuelve en tu cuaderno lo que se te pide.

1. Se obtuvieron $9 000.00 en la venta de 500 boletos para el circo. El boleto de

adulto tenía un costo de $20.00 y el de niño de $15.00. ¿Cuántos boletos de adul-

to y de niño se vendieron?

2. En una papelería compré 4 lápices y 6 plumas por 32 pesos; un amigo compró

2 lápices y 10 plumas (de la misma marca) en 44 pesos. ¿Cuál es el costo de un

lápiz y de una pluma?

3. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 80 pesos y

otros a 120, con los que han obtenido 1 920 pesos. ¿Cuántos libros han vendido

de cada precio?


1. Se quiere mezclar un vino de 600 pesos el litro con otro de 350 pesos el litro, de

modo que resulte un vino que tenga un precio de 500 pesos el litro. ¿Cuántos

litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

2. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 kiló-metros por hora. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una

velocidad de 120 kilómetros por hora. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distan-

cia de la ciudad?

Lección33


Movimientos en el planoEn esta lección, aprenderás a construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, así como la rotación y la traslación de figuras.

El rehilete es un juguete mexi cano muy popular. Consiste en una estrella

giratoria, hecha de papel o de plástico, que está sujeta a un pequeño palo

de madera. Como puedes observar en las imágenes, la forma de la

estrella del rehilete puede constituirse a partir de rotaciones de

una figura más simple; por ejemplo, con una de sus puntas.

Autoevaluación1. Identifica el tipo de simetría que se presenta en las siguientes figuras:

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

239Lección 33 Movimientos en el plano

2. Aplica las transformaciones que se te indican para cada una de las siguientes

figuras:

a) Rotación de 45° b) Simetría central

c) Simetría axial d) Traslación (1.5 cm a la izquierda)

y rotación de 50°

3. ¿Qué transformaciones se deben aplicar a la figura A para obtener la figura B?

Para aprenderActividad 1. ¡Un criterio para la rotación!

Juan se fue a dormir a la medianoche. Se levantó cuando en el reloj sonaban las 7 de la mañana.

a) Traza la posición de las manecillas del reloj cuando se acostó Juan y cuando se

levantó.

A

B


b) Describe cuál ha sido el movimiento de cada una de las manecillas del reloj

(minutero y horaria) durante ese tiempo.

c) Describe cuál ha sido el movimiento de cada una de las manecillas del reloj

como una rotación.

Actividad 2. ¡Diseños con traslaciones!

El siguiente diseño es originario de América del Sur. Data de la época precolom-

bina.

Como podrás observar, se construye a partir de una figura básica. Identifica cuál

es, qué movimiento da origen al diseño y continúalo en tu cuaderno.

Actividad 3. Simetría axial, simetría central, rotación

A continuación, aparece una representación del cero maya que se encuentra en

algunos monumentos.

Indica cuáles son los posibles movimientos que podrías aplicar a esta representa-

ción para que no sufra modificaciones. Para cada uno de esos movimientos traza

e indica los ejes de simetría, el centro de simetría o el centro de rotación, según

corresponda. Utiliza tu cuaderno para ello.

Actividad 4. Simetría axial

a) En tu cuaderno traza un rectángulo ABCD y aplícale una simetría axial con eje

en la recta que contiene su diagonal BD.

b) ¿Concuerda A con D?

c) ¿Cómo debe ser el rectángulo para que coincida A con D?


Actividad 5. Simetría central, simetría axial

a) Aplica al cuadrado DEJI una simetría central de centro I.

¿Con qué cuadrado se superpone? Cada uno de los vértices,

¿en qué punto se transforma?

b) Aplica al cuadrado DEJI una simetría axial de eje CM.

¿Con qué cuadrado se superpone? Cada uno de los vértices,

¿en qué punto se transforma?

Actividad 6. Más de simetría central, simetría axial, traslación y rotación

Con base en el dibujo de la Actividad 5, responde en tu cuaderno las siguientes

preguntas, indicando el eje, el centro de simetría o el centro de rotación, según sea

el caso.

a) Indica qué movimiento puedes aplicar al cuadrado BCHG para que se super-

ponga con el cuadrado FGLK.

b) ¿Es ese movimiento el único que genera tal efecto?

c) Repite los incisos a) y b), pero haciendo superponer el cuadrado BCHG con el

cuadrado ABGF.

d) Repite los incisos a) y b), pero haciendo superponer el cuadrado BCHG con el

cuadrado BCHG.

e) Repite los incisos a) y b), pero haciendo superponer el cuadrado BCHG con el

cuadrado CDIH.

f) Repite los incisos a) y b), pero haciendo superponer el cuadrado BCHG con el

cuadrado DEJI.

Los conocimientosRotación: Dado un punto O y un ángulo orientado a, la rotación

de centro O y ángulo a es un movimiento que transforma un pun-

to A en otro A', tal que OA = OA'. El ángulo AOA' tiene igual am-

plitud y sentido que el ángulo a.

Traslación: Dado un segmento orientado AB, la traslación es un movimiento

que hace corresponder a cada punto P un punto P', que comprueba AB = PP'.

A B C D E

F G H I J

K L M N

A’

B’

AA

O

a

P´

P


Simetría axial: Dada una recta r, la simetría axial del eje r consiste en un movi-

miento que hace corresponder a cada punto P otro punto P', lo cual verifica que la

recta r es la mediatriz del segmento PP'.

Simetría central: Dado un punto O, la simetría central de centro O es un movi-

miento que hace corresponder a cada punto P otro punto P', verificando que O

representa el punto medio del segmento PP'.

Los métodosLa siguiente tabla muestra cómo encontrar los resultados de una transformación

en el plano.

Construcción Imagen de una figura

Rotación

Traslación

Simetría axial

Simetría central

r

P

P

O

P

P

a

P

PO

A

BP

P

P

P r

P

O

P

a

C

A

BP

r

O



¿Cuántos tipos de simetría puedes localizar en cada una de las siguientes figuras?

a) b) c)

d) e) f )


1. Dadas las siguientes figuras, realiza lo que se te pide:

a) Simetría axial b) Rotación de 45° c) Simetría central

d) Rotación de 180° y traslación (1.5 cm a la izquierda)

e) Simetría axial f ) Traslación (2 cm a la derecha) y rotación de 60°


2. Repite los incisos d) y f), haciendo las transformaciones de las figuras en un

orden inverso al establecido.

3. ¿Qué puedes deducir del ejercicio anterior? Escribe tu explicación en tu cuaderno.


¿Qué transformaciones (o simetrías) le debes realizar a las siguientes figuras para

completar la figura que se te pide? Puede haber más de una solución.

a) Un rectángulo b) Un hexágono c) Un triángulo isósceles


Jugando con tetraminós. Construye un rectángulo con 10 unidades de base y 4

de altura, efectuando transformaciones en los tetraminós A, B, C, D, E, F y G.

Reglas:

a) Cada cuadrito mide una unidad de lado.

b) Los tetraminós colocados sobre la base no deben moverse.

c) Los tetraminós restantes sólo pueden rotarse 90°, 180° o 270° en sentido contra-

rio a las manecillas del reloj.

d) Los tetraminós sólo pueden trasladarse en unidades enteras (arriba, abajo, de-

recha o izquierda).

e) Describe cada una de las transformaciones requeridas para cada pieza.

Base

A

B

BA

E

D

F

G

C

C

Lección34

Lección34

245Lección 34 Gráfi cas. Ecuaciones lineales

Gráficas. Ecuaciones lineales

En esta lección, aprenderás a representar gráficamente un sistema de ecuacio-nes lineales y a solucionarlo.

La liebre y la tortuga

En el mundo de los animales vivía una liebre muy orgullosa,

porque ante todos decía que era la más veloz. Por eso, constante-

mente se reía de la lenta tortuga.

—¡Mira la tortuga! ¡Eh, tortuga, no corras tanto que te vas a can-

sar de ir tan de prisa! —decía la liebre riéndose de la tortuga.

Un día decidieron hacer una carrera entre ambas. Todos los animales se reunieron

para verlo. Se señaló cuál iba a ser el camino y la llegada. Una vez que estuvo todo

listo, comenzó la carrera entre grandes aplausos.

La liebre corría veloz como el viento mientras la tortuga iba despacio, pero sin

parar. Enseguida, la liebre se adelantó muchísimo. Se detuvo al lado del camino y

se sentó a descansar.

Cuando la tortuga pasó por su lado, la liebre aprovechó para burlarse de ella una

vez más. Le dejó ventaja y nuevamente emprendió su veloz marcha. Varias veces

repitió lo mismo, pero, a pesar de sus risas, la tortuga siguió caminando sin dete-

nerse. Confiada en su velocidad, la liebre se tumbó a dormir bajo un árbol. Pero,

pasito a pasito, la tortuga avanzó hasta llegar a la meta.

Cuando la liebre se despertó, corrió con todas sus fuerzas pero llegó tarde. La tor-

tuga había ganado la carrera.

¡Aunque la liebre alcanzó una velocidad máxima mayor, su velocidad prome-dio fue menor que la de la tortuga!

Autoevaluación 1. Relaciona el sistema de ecuaciones con la gráfica que le corresponde.

( )a) y + 3x = –1 3y + 3x = 3


( )b) y + 4x = 6 y – 2x = 0

( )c) 3y – 6x = 6 y + x = 1

( )d) y – 2x = 10 2y – 4x = –10

2. Marca con una “X” Sí o No el sistema de ecuaciones tiene solución. Argumenta

en tu cuaderno detalladamente tu respuesta.

Para aprenderEn el siguiente plano se muestran las distancias que han recorrido Francisco y

Monserrat el pasado sábado.1 A partir de las gráficas, completa la tabla con la dis-

tancia aproximada que llevan en el tiempo que se te pide.

1 Este tipo de ejercicios, donde graficabas más de una recta en un mismo plano, se vieron en la Lección 23. Te recomendamos que le des un repaso.

[Sí] [No] [Sí] [No] [Sí] [No]

[Sí] [No] [Sí] [No] [Sí] [No]


• ¿Quién salió primero?

• ¿Quién llegó primero?

• ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en todo su recorrido?

• ¿Quién va a mayor velocidad?

• Supón que ambos van por la misma ruta. A las 2 horas y media Monserrat ha re-

corrido aproximadamente 80 kilómetros y Francisco sólo 55, pero a las 3 horas y media Monserrat lleva 115 kilómetros, aproximadamente, y Francisco 150. ¿En

qué momento se encontraron y Francisco rebasó?

• ¿Qué interpretación tiene en la gráfica la hora-distancia del encuentro?

Grafica en los siguientes planos los recorridos de Francisco y Monserrat, si:

• Van a la misma velocidad (25 km/h), pero Francisco sale tres horas después.

Hora Distancia recorrida

Francisco Monserrat

1

2

3

4

5

6

7

200190180170160150140130120110100

908070605040302010

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo en horas

Dis

tanc

ia e

n ki

lóm

etro

s

Francisco Monserrat

200190180170160150140130120110100

908070605040302010

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10


• ¿Qué condiciones son necesarias para que, al registrar el recorrido de ambos, se

tenga la siguiente gráfica? Responde en tu cuaderno.

200190180170160150140130120110100

908070605040302010

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Francisco

Monserrat

Los conocimientosSe llama sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a un conjunto de dos o

más ecuaciones lineales. La solución del sistema se compone por los valores, para

ambas incógnitas, que satisfacen a todas las ecuaciones involucradas.

Para graficar cada ecuación, deben expresarse como funciones, mientras que, de

todas las coordenadas en las que están definidas, aquella donde se intersecan to-

das las rectas es la solución del sistema.

4x – 3y = 99

3x + y = 58

Sistema de ecuaciones

y = 13

x = 15

Solución del sistema

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

y

x

Rectas del sistema

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

y

x

Solución gráfi ca


Los sistemas de ecuaciones pueden tener una única solución, múltiples o no tenerla

ninguna.

• Una única solución(una intersección)

• Rectas que cruzan por un punto

• Múltiples soluciones(múltiples intersecciones)

• Rectas que ocupan el mismo espacio[ ] recta 1

[ ] recta 2

• Sin solución(sin intersecciones)

• Rectas paralelas

Los métodosUna vez que has planteado tus ecuaciones como funciones, se grafican en el plano

igual que en las Lecciones 23 y 24 (Gráficas. Relaciones Lineales I y II). Entonces, se

localiza la coordenada donde cruzan las rectas y se aproxima a su valor.

80

70

60

50

40

30

20

10

01

y

x2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

solución (5, 30)

Como método gráfico, es muy probable que la solución sea aproximada. Por ello,

resulta conveniente dominar los procedimientos algebraicos exactos.


Para hacer Ejercicio fundamental

A continuación, mostramos dos gráficos tiempo-distancia, que hacen referencia a

lo recorrido por dos automóviles.

800

600

400

200

y

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ambos llevan la misma velocidad, pero uno salió 1 hora más tarde (auto B).

• Indica en la gráfica qué recta pertenece al auto A y cuál al B.En las Lecciones 23 y 24 aprendiste que, en una gráfica tiempo-distancia, la veloci-

dad está relacionada con la inclinación de la recta, y la inclinación con el paráme-

tro m en la función y = mx.

Anota las respuestas a las siguientes preguntas en tu cuaderno.

• ¿Cuál de las dos rectas se expresa con una función de la forma y mx= ?

• ¿Qué valor aproximado tiene m?

• ¿Qué valor debiera tomar m para intersecar a la otra recta en 4x = ? Es decir,

qué velocidad debiera tomar el auto, cuyo recorrido representa dicha recta, para

coincidir con el otro automóvil transcurridas 4 horas del recorrido.


Sergio compró 4 sobres de estampas y 3 redes de canicas y pagó por ellos $99.00.

Su hermano, Ernesto, pagó $58.00 por 3 sobres de estampas y 1 red de canicas.

En tu cuaderno establece un sistema de ecuaciones que te permita encontrar el

valor de cada sobre y cada red de canicas. Anota las funciones con las que puedas

graficar en un plano las rectas y localiza la coordenada solución del sistema.



A continuación te mostramos 3 planos; en cada uno están representados sistemas

de ecuaciones con 3 rectas y 2 incógnitas. Indica si tienen o no solución y, en caso

de tenerla, cuál es (aproximadamente, a partir del gráfico).

8

6

y

x0

2

4

–2

–4

–6

–8

0 2 4 6 8–2–4–6–8

¿Tiene solución?[Sí] [No]

¿Cuál es?

x = ____y = ____

¿Tiene solución?8

6

y

x

2

4

–2

–4

–6

–8

2 4 6 8–2–4–6–8 00

[Sí] [No]

¿Cuál es?

x = ____y = ____

8

6

y

x0

2

4

–2

–4

–6

–8

2 4 6 8–4–6–8 –2 0

¿Tiene solución?

[Sí] [No]

¿Cuál es?

x = ____y = ____



Expresa las ecuaciones como funciones y grafícalas en el plano. Si el sistema tiene

solución grafica, proporciona su valor aproximado (no debes resolver los sistemas

usando procedimientos algebraicos).

Sistema de ecuaciones Funciones Gráficas

x + y = 8y – x = 6

x + 2y = 3

2x + 4y = 6


x – y = 10

y – x = 4

4x + y = 4

x + 9y = 8

–2x + 7y = 4

Noción de probabilidad IIEn esta lección, aprenderás a distinguir eventos que son mutuamente excluyentes en diversas situaciones de azar. Además, determinarás la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

Hagamos el juego justo…

Flor y Verónica juegan a los dados. Flor

gana 4 botones si el dado cae en 3, 4, 5 o 6.

Si resulta 1 o 2, Verónica obtiene una cierta

cantidad de botones. ¿Cuánto debe ganar

Verónica cuando le sale 1 o 2 para que el

juego sea justo?

Respuesta: _________ botones. ¿Por qué?

Discute con tus compañeros sobre diversas

ideas para la resolución. Formen equipos de

tres personas.

AutoevaluaciónResponde en tu cuaderno.

1. Considera el experimento de tirar un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de

que caiga un 1?, ¿cuál de que salga un 6?, ¿cuál de que resulte un 1 o un 6?

2. Considera el experimento de tirar simultáneamente dos dados al aire. ¿Cuál es

la probabilidad de que la suma de los números de las caras sea un número par?

¿Cuál de que sea impar?

3. Considera el experimento de tirar un dado al aire dos veces seguidas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera tirada dé un número par y en

la segunda un impar?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera tirada se obtenga un número

mayor que 3, o bien que en la segunda se tenga uno menor que 4?

Para aprenderEn la fiesta de cumpleaños de Olimpia, la joven del tercer año, se reunieron sus

compañeros. Además de bailar y platicar, leyeron poesía y jugaron a los dados; este

Lección35


Niños jugando a los dados (1665-75)Bartolomé MurilloÓleo sobre lienzo, 146 x 108 cmAlte Pinakotehk, Munich

255Lección 35 Noción de probabilidad II

juego consistía en ganar una apuesta. Por ejemplo, se decía, tenemos dos eventos:

que caiga par o impar. ¿Quién apuesta a que salga par?

Actividad 1. Tirando dados…

Supongamos que tenemos un dado como el que se muestra a continuación.

Cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir; es decir, de que salgan los nú-

meros 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Como vimos, su probabilidad se calcula de la siguiente

manera:

P =Número de resultados favorables al evento

Númeroo de resultados posibles

En nuestro caso, si llamamos P(1) a la probabilidad de que aparezca el número 1,

tenemos P(1) = 1

6; del mismo modo, P(2) =

1

6, P(3) =

1

6, P(4) =

1

6, P(5) =

1

6 y

P(6) = 1

6. Ahora bien, con base en lo anterior se quiere saber: ¿cuál es la probabi-

lidad de que, al tirar un dado, dé 2 o 4? Discute con tus compañeros si la probabi-

lidad de obtener un 2 o un 4 es la misma que la de que salga un 5 o un 6.

Actividad 2. Jugando de nuevo a los dados…

Considera el experimento de la actividad anterior y discute con tus compañeros,

en equipos de tres personas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par?

¿Es la misma probabilidad de obtener un número impar que uno par?

Actividad 3. Otra opción con los dados…

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar los dados el resultado sea mayor que 2?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor que 2?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2?

Suma las tres cantidades que obtuviste en los tres incisos. Discute el resultado con

tus compañeros.

Los conocimientos La probabilidad de obtener un número mayor que 3 al tirar un dado es 0.5, pues

los números mayores que 3 son 4, 5 y 6; es decir, la mitad de los números posibles


en una tirada del dado. La probabilidad de obtener un número menor que 3 es 1

3,

ya que las opciones posibles son 1 o 2.

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo. En este caso, al tirar un dado puede ocurrir sólo uno de

estos dos eventos: Evento A, que caiga 4, 5 o 6; Evento B, que caiga 1 o 2. No pue-

den ocurrir los dos a la vez.

Hemos llamado A al evento de que, al tirar el dado, salga un 4, 5 o 6, mientras que

B al de que se obtenga como resultado un 1 o 2. Así, cuando estemos interesados

en encontrar la probabilidad de que una cosa u otra sucedan, y estos sean dos

eventos mutuamente excluyentes, podemos expresar tal probabilidad haciendo

uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes.

Supongamos que tenemos los dos eventos, A y B. Llamemos P (A o B) a la proba-

bilidad de que ocurra A o B. Entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B)

En nuestro caso, es P(A) = 1

2; P(B) =

1

3. De ahí que P(A o B) = 0.5 + 0.33 = 0.83,

o expresado en términos de fracciones: P(A) = 1

2, P(B) =

1

3. Así que:

P A B( )o = +1

2

1

3

Existe un caso interesante. Para cualquier evento A, tenemos que este sucede o no

sucede; no hay otra opción. De modo que los eventos A y no A (llamemos así al

evento de que no ocurra el evento A) son mutuamente excluyentes y, además, son

todos los casos posibles. Entonces:

P(A) + P (no A) = 1,

Y de ahí, tenemos que:

P(A) = 1 – P(no A)

Los métodos• Si llamamos P(A) a la probabilidad de que ocurra el evento A, n al número de

resultados favorables del evento y N al número total de resultados posibles del

experimento, resulta:

P An

N( ) =

• Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces se tiene la relación

siguiente: P(A o B) = P(A) + P(B).

• De lo cual se sigue que P(A) + P(no A) = 1.

257Lección 35 Noción de probabilidad II

Para hacer Ejercicios fundamentales


1. El comité de fiestas del municipio organizó una rifa con 5000 núme-

ros, numerados del 1 al 5 000. Si tu familia compra un boleto, ¿cuál es

la probabilidad de que gane la rifa? ¿Cuál de que no la gane? ¿Cuál de

que gane la rifa si compra diez boletos? ¿Cuál si comprara 2 500 bole-

tos? ¿Cuál si no compra boletos? ¿Cuál si compra todos los boletos?

2. Las edades de los miembros del grupo se distribuyen de la siguiente

manera. Hay un 15% que tiene 12 años, un 70% 13 años y el resto

más de 13 años. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a un

miembro del grupo tenga 12 años? ¿Cuál es la probabilidad de que

no tenga 12 años? ¿Cuál de que tenga 12 o 13 años?

3. En las últimas elecciones presidenciales en México hubo un empa-

te técnico, es decir, la diferencia entre los dos candidatos punteros

fue muy pequeña, menor a un punto porcentual. Suponiendo que

36 de cada 100 personas votó por amarillo, 36 de cada 100 por azul

y 20 de cada 100 por rojo, ¿cuál es la probabilidad de que un ciuda-

dano que votó, tomado al azar, no haya sufragado por ninguna de

esas tres opciones? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya votado

por azul?


1. Vamos a ver quién suma más puntos. Jueguen en parejas y aborden la siguiente

situación. Supongamos que uno de ustedes tiró cinco veces un dado: la suma de

los puntos en sus tiradas fue de 14. ¿Qué probabilidad tiene el otro compañero(a)

de obtener más puntos que el primero al tirar el dado cinco veces y sumar sus

puntos? Discutan este acontecimiento.

2. Un mismo problema que el anterior, pero ahora el primer jugador sumó 18

puntos en vez de 14 en las cinco tiradas. ¿Qué probabilidad tiene el otro jugador

de obtener más puntos que el primero al tirar el dado cinco veces y sumar sus

puntos? Discutan la situación.


En el salón de Hipólita se organizó una rifa. Se prepararon papelitos con un núme-

ro escrito; cada uno tenía sólo un número de los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30


Luego, cada alumno eligió un papel y leyó su número. ¿Cuál es la probabilidad de

que gane el premio alguien que tiene un número par? ¿Cuál de que gane al-

guien que tiene un número primo? ¿Cuál de que gane alguien que tenga un múl-

tiplo de cuatro?

Contesta las preguntas en tu cuaderno.


En el coro de la escuela secundaria hicieron una encuesta para saber quién prefería

bailar salsa, quién quebradita y quién slam. Encontraron que a todos les gusta-

ba bailar y que todos preferían un estilo de baile. Un total de 13 estudiantes esco-

gieron bailar salsa, 10 quebradita y 17 slam. La maestra del coro selecciona al azar

a un estudiante y queremos saber cuál es la probabilidad de los siguientes eventos:


a) Que la persona escogida prefiere bailar slam.

b) Que la persona elegida baila quebradita.

c) Que la persona elegida prefiere bailar salsa.

d) Que la persona elegida no prefiere bailar quebradita ni salsa.

e) Que la persona elegida no baila slam.

f ) Que la persona elegida no baila ni slam ni quebradita.

g) Que la persona no baila quebradita.

259

Lección36

Lección 36 Una síntesis necesaria 259

Una síntesis necesariaSeamos conscientes al brindar por el comienzo, de que sólo es posible

comenzar si se ha terminado y terminar en el idioma de la vida es aprender, ya que los sucesos son lecciones. Para comenzar, terminar;

para terminar, confiar...

—Poema de Isabella Di Carlo Surraco

PresentaciónCon ayuda de este libro, aprendiste a tratar con

nociones y procedimientos matemáticos que la

humanidad fue construyendo lentamente a lo

largo de siglos. Has trabajado con conceptos

fundamentales que servirán de base para tu for-

mación académica y ciudadana y has construido

conocimientos y desarrollado competencias y

habilidades que te ayudarán en tu vida futura.

Dado que el objetivo último de toda enseñanza

es el logro de los aprendizajes de los alumnos,

nos esforzamos por hacer de este libro un ins-

trumento para tu aprendizaje, un medio que te

permitiera articular los conceptos con sus pro-

cedimientos y que te ayudara a vincular lo que

trabajaste en preescolar, primaria y primer año

de secundaria, con aquello que ahora estudiaste

en tu segundo año de secundaria. Todo con el

fin de desarrollar tu propio pensamiento mate-

mático.

Sabemos que lo lograste y que ahora estás mejor

preparada o preparado para seguir adelante. Como viste, los temas que trataste

con tu profesor o con tu profesora en esta clase de matemáticas, no se limitaron a

una temática específica, pues transitaste por un mar de ideas matemáticas que

están presentes en diversos ámbitos del conocimiento humano: biología, física,

geografía, demografía y temas de salud. Para introducir un nuevo concepto mate-

mático o para desarrollar competencias y habilidades en ese ámbito, nos hemos

valido del empleo de tus conocimientos y de tus prácticas cotidianas. Nos he-

mos apoyado en tus conocimientos para construir otros nuevos.

Todas las actividades y problemas que te hemos propuesto en el libro, tienen por

objetivo que cuando las realices logres construir ideas matemáticas y con ello de-

sarrolles algún aspecto de tu pensamiento matemático; es por ello que seguramente


muchas de las actividades propuestas te han costado mucho esfuerzo que sin duda

valdrá la pena.

El libro está organizado con base en tus necesidades de aprendizaje, por ello las

lecciones están distribuidas atendiendo a los indicativos de la SEP que fueron se-

ñaladas en la Reforma Integral de la Enseñanza Secundaria, donde se señala que

la vinculación entre contenidos del mismo eje, de ejes distintos o incluso con los

que se tratan en otras asignaturas es un asunto de suma importancia. El contenido

del programa se articula en tres ejes:

• Sentido numérico y pensamiento algebraico.• Forma, espacio y medida.• Manejo de la información.

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Este eje alude a los fines

más relevantes del estudio de la aritmética y del álgebra: por un lado, encontrar el

sentido del lenguaje matemático, ya sea oral o escrito; por otro, tender un puente

entre la aritmética y el álgebra, en el entendido de que hay contenidos del álgebra

en la primaria que se profundizan y consolidan en la secundaria.

Forma, espacio y medida. Trata los tres aspectos esenciales alrededor de los

cuales gira el estudio de la geometría o la medición en la educación básica. Es claro

que no todo lo que se mide tiene que ver con formas o espacio, pero si la mayor

parte, las formas se trazan o se construyen, se analizan sus propiedades y se

miden.

Manejo de la información. El título Manejo de la información tiene un sig-

nificado muy amplio. En estos programas se ha considerado que la información

puede provenir de situaciones deterministas, definidas —por ejemplo, por una

función lineal—; o aleatorias, en las que se puede identificar una tendencia a par-

tir de su representación gráfica o tabular… SEP, RIES —Matemáticas, p. 11.

Pensamiento numérico y algebraicoLección 1: Problemas multiplicativos

En esta lección estudiaste en diversos problemas la multiplicación de números con

signo. Cuando resolviste la Actividad 2 observaste que en la sucesión de operacio-

nes los resultados presentaron un comportamiento muy particular: que en la

multiplicación de dos números con el mismo signo el resultado siempre es positi-

vo. En la Actividad 3 resolviste un problema de temperaturas en el que se concluyó

que la multiplicación de dos números con signo distinto da como resultado un

valor negativo.

261Lección 36 Una síntesis necesaria

Un problema de aplicación

La temperatura registrada en la Antártica, el 15 de junio de 2006, fue de –56° (56

grados bajo cero). Se espera que por día descienda 2 grados centígrados más la tem-

peratura. Si se cumplen los pronósticos, ¿cuál será la temperatura el 25 de junio

del mismo año?

Lección 2: Problemas aditivos

En esta lección aprendiste a resolver problemas en los que se usa la adición y sus-

tracción de expresiones algebraicas, por ejemplo en la Actividad 1, realizaste su-

mas de estas expresiones para encontrar el perímetro de figuras geométricas y en

la Actividad 2 resolviste el planteamiento de medidas con el enebro al realizar

operaciones de adición y sustracción. Al igual que en las operaciones con núme-

ros, la multiplicación puede expresarse como una suma reiterada de tantos su-

mandos como lo indique uno de los factores. Si llevamos una expresión de suma

reiterada a la forma de multiplicación entonces reducimos la expresión.


El lado de cada uno de los hexágonos siguientes mide a. Calcula el perímetro de la

siguiente figura.

Lección 3: Operaciones combinadas

En esta lección aprendiste a reconocer y obtener expresiones algebraicas equiva-

lentes a partir del empleo de modelos geométricos. En la Actividad 1 y Actividad

2 estudiaste el cálculo de perímetros y áreas de figuras geométricas cuyas dimen-

siones estaban expresadas en forma de monomios o polinomios. En estas activida-

des realizaste la simplificación de términos semejantes.


Determina el área y perímetro de las regiones sombreadas.

x

x

m


Lección 11: Significado y uso de las operaciones

En esta lección aprendiste a utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis

en problemas y cálculos. En la Actividad 1 observaste que el resultado de una ope-

ración es diferente cuando inicias resolviendo las multiplicaciones indicadas que

si la inicias realizando las sumas indicadas, esta situación se soluciona si utiliza-

mos la jerarquía de las operaciones; resolviendo primero potencias y raíces, des-

pués multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.


Analiza con atención la siguiente expresión:

25 + 32 −15 −12 + 2 × 5 = 160

¿Hay algún un error? Compruébalo con tu calculadora y comenta el resultado con

tus compañeros.

Lección 12: Problemas multiplicativos

En esta lección estudiaste problemas que involucran multiplicación de expresio-

nes algebraicas, como en la Actividad 2 donde calculaste el área de figuras geomé-

tricas o en la Actividad 3 donde observaste que el cuadrado mágico se mantiene

cuando a cada expresión se multiplica por un mismo valor. Al multiplicar un mo-

nomio por un polinomio observaste que se puede realizar utilizando el mismo

procedimiento que utilizas para multiplicar números.


Piensa en un número y súmale 3. Multiplica el resultado por 2; a éste réstale 2; a la

cantidad obtenida divídela entre 2; a este resultado súmale 1 y, por último, resta el

número que pensaste. ¿El resultado es 3? Escribe la justificación algebraica.

Lección 18: Patrones y fórmulas

Una sucesión es una secuencia de números que siguen una regla, la cual se puede

expresar a través de una formula. En la Actividad 1 estudiaste un caso geométrico

en el que se generó una sucesión de polígonos con sus diagonales. En la Actividad

2 y en la Actividad 3 estudiamos el caso de los números cuadrados y número pen-

tagonales. También aprendiste un método para encontrar el término general o la

regla de una sucesión.


Observa las siguientes figuras


a) Dibuja la figura que sigue a la cuarta etapa.

b) Construye una tabla que relacione las figuras con el número de palillos.


d) Determina la regla de la sucesión.

Lección 19: Ecuaciones de primer grado

En esta lección estudiaste la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma:

ax bx c dx ex f+ + = + + en situaciones diversas, en la Actividad 1 en un problema

de peso, en la Actividad 2 en un caso de mezclas. Una ecuación es una es una

igualdad que se establece entre dos miembros, resolver una ecuación es encontrar

el valor o los valores de las incógnitas, para ello es necesario ordenar, simplificar,

reducir términos semejantes, sin embargo al manipular los términos no debes ol-

vidar que la igualdad se debe mantener permanentemente. Es útil imaginar a una

ecuación como una balanza en equilibrio.


Se quieren mezclar combustible de $0.60 con otro de $0.35, de modo que resulte

combustible de un precio de $0.50 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben

mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

Lección 20: Relación funcional

En esta lección estudiaste algunas relaciones de cantidades que varían una en fun-

ción de la otra, mediante una tabla o una expresión algebraica. En la Actividad 1

completaste una tabla en la que se expresa la velocidad de un carrito de la monta-

ña rusa, en la Actividad 2 una situación con un automóvil y su consumo de com-

bustible. Aprendiste que estas relaciones numéricas pueden expresarse en una

gráfica y que es posible transitar entre estas distintas formas en las que se expresa

una función; por ejemplo ir de lo verbal a las tablas de valores, después a la gráfica

y viceversa.


La cantidad v recaudada por la venta de un producto y el total de productos vendi-

dos q guardan una relación función, que es precisamente el precio del producto.

a) Hallar una expresión que relacione la cantidad recaudada por la venta de un

producto, cuyo precio es 15 pesos, y la cantidad de productos.

b) Calcular la cantidad recaudada de un producto cuyo precio es 35 pesos y del

cual se han vendido 47 productos.

Lección 26: Potenciación y radicación

En esta lección aprendiste a utilizar y justificar procedimientos para calcular pro-

ductos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de


una potencia. También aprendiste a interpretar el significado de elevar un número

natural a una potencia de exponente negativo y empleaste la notación científica para

hacer cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.


Recorta una tira de cartulina que tenga 10 centímetros de ancho y un metro de

largo.

Dobla la tira a lo largo, luego a la mitad, de ahí a la mitad, después a la mitad y

otra vez a la mitad. Supón que puedes ir dividiendo a la mitad tantas veces como

quieras…

a) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el tercer doblez?

b) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el cuarto doblez?

c) ¿Qué parte del total representa la tira generada por el doblez número n?

Lección 32: Ecuaciones

En esta lección aprendiste a resolver problemas que implican el planteamiento y la

resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado. ¿Lograste descifrar los mé-

todos para resolver? La novedad en este apartado es que intervienen dos literales

y dos ecuaciones, las cuales están estrechamente relacionadas, sus valores se reve-

lan al aplicar los métodos discutidos en las actividades de la lección.




$90 000.00. ¿Cuál fue el precio de cada vaca y de cada caballo?

Forma, espacio y medidaEn este libro las ideas que trabajaste alrededor de este eje se relacionan con:

1. Formas geométricas. Estudio de ángulos, paralelismo, perpendicularidad, figu-

ras planas y cuerpos geométricos.

2. Transformaciones. Estudio de movimientos en el plano, considerando la sime-

tría central, traslaciones y rotaciones.

3. Medida. Medida de ángulos y cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos.

Estos temas los trabajaste en las lecciones 4, 5, 6, 13, 14, 15, 21, 22, 27, 28 y 33. En

éstas, pudiste conocer y aplicar las propiedades de las figuras geométricas, además

de construir argumentos para validar sus propiedades. También te fue posible ob-

servar e identificar propiedades invariantes bajo traslaciones y rotaciones así como

anticipar la naturaleza de la variación cuando se modifican medidas en las figuras


y cuerpos geométricos. Todos estos aspectos mencionados los pudiste aplicar al

enfrentar la resolución de diversos problemas.

Lección 4. Medición de ángulos

En esta lección aprendimos a realizar a medir, clasificar y a efectuar operaciones

básicas con ángulos tales como suma, resta y multiplicación. Para hacer estas ope-

raciones básicas, las medidas de los ángulos se expresaron en grados, minutos y

segundos.


¿Cuál es la medida del ángulo que forman las manecillas de un reloj cuando éste

marca las 9:00 horas?

Lección 5. Rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas Lección 6. Rectas y ángulos

En estas lecciones determinaste mediante construcciones, las posiciones relativas

de dos rectas en el plano y realizaste diferencias entre rectas paralelas, perpendi-

culares y oblicuas. En la Actividad 1 de la lección 6, pudiste manejar las relacio-

nes de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una

transversal.


Dibuja un par de rectas paralelas por una transversal y en grupos reducidos inter-

cambia preguntas relacionadas con los ángulos que se forman.

Lección 13. Cubos, prismas y pirámides

En esta lección describiste las características de cubos, prismas y pirámides. En la

sección Para hacer, pudiste ampliar la noción de paralelismo, perpendicularidad

y oblicuo entre planos y así construir desarrollos con planos para generar cubos,

prismas y pirámides rectos, así como revisar las diferentes vistas de un cuerpo

geométrico.


Explica a un compañero las diferencias que existen en las características que defi-

nen a los cubos, prismas y pirámides.

Lección 14. Fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides

Lección 15. Cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides

Trabajamos en el cálculo de volúmenes de cubos, prismas y pirámides aplicando

las fórmulas correspondientes. También se efectuamos problemas que relacionan

la capacidad de un cuerpo para almacenar un líquido (en litros por ejemplo) y su

volumen total.



La formula para calcular el volumen de un cilindro circular recto de radio r y al-

tura h es V = πr2h. Si el volumen de un cilindro de este tipo es igual a 300 m3 y su

radio es igual a 4 m ¿Cuál es el valor de su altura?

Lección 21. Suma de los ángulos inferiores de un polígono Lección 22. Cubrimientos del plano

En estas lecciones aprendiste a interpretar fórmulas para calcular la suma de los

ángulos interiores de cualquier polígono. En la Actividad 1 de la lección 22 cono-

ciste algunas de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y

realizar los recubrimientos respectivos.


Busca en diferentes construcciones arquitectónicas si existen planos cubiertos e

identifica la unidad básica sobre la cual se construyeron cada uno de los mosaicos.

Lección 27. Criterios de congruencia para triángulos

En esta lección determinaste los criterios de congruencia de triángulos a partir de

construcciones con información determinada que involucran en cada caso lados y

ángulos. En los Problemas de autoevaluación pudiste hacer uso de los diversos

criterios, y justificar cuando se tiene la información indispensable para establecer

la congruencia.


Dentro del salón de clase busca tres objetos que pudieran ser señalados como con-

gruentes y explicita lo que los caracteriza. Ahora reúnete en grupos reducidos

para construir físicamente triángulos que sean congruentes.

Lección 28. Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

Aquí se identificaron las líneas más importantes del triángulo y algunas de sus

propiedades; por ejemplo, ahora sabemos que el punto donde se cortan las media-

trices de un triángulo se llama circuncentro, y éste es el centro de una circunferen-

cia que circunscribe al triángulo considerado.


¿Cuál es el tipo de triángulo en el cual su circuncentro y su incentro coinciden?

Lección 33. Movimientos en el plano

En esta lección determinaste las propiedades de la rotación y de la traslación de

figuras. En los Problemas para consolidar la teoría pudiste construir y reconocer

diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de fi-

guras.



Busca en la naturaleza ejemplos de simetría axial y central e identifica sus propie-

dades respectivas. ¿En dónde puedes identificar la rotación y la traslación de figu-

ras? da algunos ejemplos.

Manejo de la informaciónLección 7. Relaciones de proporcionalidad. El factor inverso

Aprendiste a calcular el factor inverso de una relación proporcional. Por ejemplo,

a partir del modelo a escala obtienes las medidas del objeto real.


Esta foto se tomó a un cuadro, típico Nayarita, hecho con estambre. La foto mide

aproximadamente 6 centímetros de largo por 3 de ancho. La relación que guarda

la foto con el cuadro es de 1 a 10, ¿Cuáles son las dimensiones del cuadro?

Lección 8. Relaciones de proporcionalidad. Proporcionalidad múltiple

Aprendiste a resolver ejercicios de proporcionalidad múltiple, distinguiendo la re-

lación entre las cantidades (dos o tres en forma simultánea).


Por enviar un paquete de revistas, que pesa 5 kilos, a Pachuca (60 kilómetros de

distancia) me han cobrado $ 500.00. ¿Cuánto costará enviar un paquete de 15 kilos a 200 kilómetros de distancia?

Lección 9. Diagramas y tablas

Aprendiste a anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identifi-

cación de regularidades y a verificar los resultados mediante arreglos rectangula-

res, diagramas de árbol u otros recursos.


Al puerto de Acapulco, en el Pacífico mexicano, llegan barcos llenos de carga y

cruceros con bastantes turistas. El puerto puede recibir a la vez a dos barcos gran-

des (en las posiciones A y B); si llegan al mismo tiempo los buques Queen Mary II y Celebrity I pueden tomar las posiciones disponibles, pero si llegara un barco

más, digamos que arriba el King Cuatete 0, ¿de cuántas maneras sería posible co-

locar a dos de ellos en el puerto?

Lección 16. Relaciones de proporcionalidad. Comparación de razones

Aprendiste, numérica y gráficamente, por qué una razón es igual, mayor o menor

a otra.



Colorea las secciones de la tira en la derecha, para que la porción coloreada sea

equivalente a la porción sombreada en la tira en la izquierda y establece las razo-

nes que le corresponden a cada una.

=

=

=

Lección 17. Medidas de tendencia central y de dispersión

Aprendiste a interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjun-

to de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la

media aritmética.


La mamá de André, un estudiante de tercer grado de secundaria, está preocupada

porque el profesor de Matemáticas no ha entregado las calificaciones todavía y ella

necesita tener la calificación de su hijo pues quiere saber si podrá ingresar a la

preparatoria. El promedio de las otras ocho materias es de 7.8 y para que sea acep-

tado en la preparatoria le piden un promedio mínimo de ocho. ¿Qué calificación

debe tener André en Mate III para ser aceptado?

Lección 23. Gráficas. Relaciones lineales I

Aprendiste a graficar relaciones lineales a partir de una tabla de datos o de una formula.


Se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en

entrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos:

Tiempo en minutos Distancia en kilómetros

0 0

15 6

30 12

45 18

60 24


Grafica esta información ubicando el tiempo en horas en

el eje de las abscisas y la distancia recorrida en el eje de las

ordenadas. Si se sabe que el ciclista mantiene su veloci-

dad constante por un lapso de 2 horas, determina el nú-

mero de kilómetros recorridos después de las 2 horas.

Lección 24. Gráficas. Relaciones lineales II Lección 25. Gráficas. Relaciones lineales III

Aprendiste a identificar el efecto que tienen en la gráfica

los parámetros m y b en la función y = mx + b.


Deduce los valores de los parámetros m y b que corresponden a las siguientes

rectas.

Valor de los parámetros Gráficas

m =b =

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

y

x

m =b =

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

y

x


Lección 29. Noción de probabilidad I

Aprendiste a distinguir eventos independientes en diversas situaciones de azar, así

como a determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurren-

cia de dos o más eventos independientes.


Un vendedor de medicinas sabe que cada vez que visita a un cliente tiene 60% de

probabilidad de concretar una venta y 40% de no concretarla. Si gana 200 pesos

por cada venta realizada y en un día tiene cita con cuatro clientes, ¿cuánto podría

ganar? Puedes simular tal situación colocando diez tarjetitas en una bolsa de co-

lor; en seis de ellas escribe SV (sí vende) y en las cuatro restantes NV (no vende).

Tomar una tarjeta equivale a visitar un cliente; escribe el resultado en una tabla y

regresa la tarjeta a la bolsa. Repite el proceso 20 veces y calcula cuál es la probabi-

lidad, con base en los datos de la tabla, de SV y NV.

Lección 30. Gráficas y comportamientos

Aprendiste a relacionar gráficas de diferentes fenómenos y a dar argumentos sobre

la relación de dependencia que puede existir entre ellas.


En el Hospital de la Buena Salud se realizó un estudio en el que se controló la can-

tidad de sal que un grupo pacientes ingirió durante seis pequeñas comidas. Trein-

ta minutos después de cada comida se midió la presión arterial de todos ellos y se

obtuvo el promedio. Los datos obtenidos en el estudio son los siguientes.

Horario de mediciónde la presión arterial Gramos de sal

7:00 1.8

10:00 2.2

13:00 3.5

16:00 4.0

19:00 4.3

22:00 5.0

Presión arterial promedio

125120115110105100

9590

Pres

ión

arte

rial

07:30 10:30 13:30 16:30 19:30 22:30

Hora


¿Consideras que la cantidad de sal consumida por los pacientes tuvo un efecto en

su presión arterial?

Lección 31. Gráficas y rectas

Aprendiste a construir funciones lineales definidas por intervalos y sus gráficas o

segmentos de recta.


En la siguiente gráfica se muestran los datos obtenidos de un experimento que

trata sobre la relación tiempo-distancia. Redacta un problema que genere tales

datos.

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Dis

tanc

ia(k

ilóm

etro

s)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Tiempo(minutos)

Lección 34. Gráficas. Ecuaciones lineales

Aprendiste a representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales y a en-

contrar la solución.


Agrega una tercera recta a la gráfica siguiente para que el sistema representado:

1. No tenga solución.

2. Tenga única solución.

3. Tenga infinidad de soluciones.

En cada caso explica si es posible y cómo, y si no es posible explica por qué.


Lección 35. Noción de probabilidad II

Aprendiste a distinguir eventos que son mutuamente excluyentes en situaciones

de azar. Además, determinaste la forma en que se puede calcular la probabilidad

de su ocurrencia.


Adriana y Carina juegan a los dados. Adriana gana 6 botones si el dado cae en 3,

4, 5 o 6. Si resulta 1 o 2, Carina obtiene una cierta cantidad de botones. ¿Cuántos

botones debe ganar Carina cuando le sale 1 o 2 para que el juego sea justo?

Bibliografía

273Bibliografía

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