logika matematika

Transparansi Kuliah Transparansi Kuliah Pertama Matematika Pertama Matematika

DiskritDiskritTransparansi ini diadopsi dari bahan kuliah Matematika Diskrit Transparansi ini diadopsi dari bahan kuliah Matematika Diskrit

di Jurusan Teknik Elektro ITBdi Jurusan Teknik Elektro ITB

Matematika Diskrit Kuliah-1 2

Textbook:Textbook: Kenneth H. Rosen, Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Discrete Mathematics and

its Applications, its Applications, Mc.Graw Hill, 5Mc.Graw Hill, 5thth Ed. Ed.

Isi :Isi :1.1. Penalaran Matematika: logika, metoda dan Penalaran Matematika: logika, metoda dan

pembuktian.pembuktian.2.2. Analisis Kombinatorial: counting, Analisis Kombinatorial: counting,

analisis cmbanalisis cmb3.3. Struktur Diskrit: representasi dan Struktur Diskrit: representasi dan

keterkatian objek diskritketerkatian objek diskrit4.4. Algoritma: spesifikasi, verifikasi, Algoritma: spesifikasi, verifikasi,

kompleksitaskompleksitas5.5. Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu

Komputer, jaringan, kimia, botany, Komputer, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, bisnis, internet.linguistik, geografi, bisnis, internet.


Rencana PenilaianRencana Penilaian

• Kegiatan Akademik Terstruktur (KAT)Kegiatan Akademik Terstruktur (KAT)… %… %

• Ujian Tengah Semester (UTS) Ujian Tengah Semester (UTS) … %… %

• Ujian Akhir Semester (UAS)Ujian Akhir Semester (UAS) … % … %


Silabus Kuliah (1)Silabus Kuliah (1)1.1. Logika, himpunan dan Logika, himpunan dan

fungsifungsi2.2. Algoritma, Teori Bilangan Algoritma, Teori Bilangan

dan matriksdan matriks3.3. Penalaran Matematika, Penalaran Matematika,

Induksi dan RekursiInduksi dan Rekursi4.4. Dasar-dasar Dasar-dasar CountingCounting UTS (?)UTS (?)


Silabus Kuliah (2)Silabus Kuliah (2)7.7. Teori Peluang DiskritTeori Peluang Diskrit8.8. Advanced CountingAdvanced Counting9.9. RelasiRelasi10.10. GraphGraph11.11. TreeTree dan aplikasinya dan aplikasinya12.12.Aljabar BooleAljabar Boole UAS UAS


Tentang HandoutTentang HandoutHandout ini adalah terjemahan dan modifikasi Handout ini adalah terjemahan dan modifikasi dari dari CS320-Discrete MathematicsCS320-Discrete Mathematics oleh Marc Pomplun oleh Marc Pomplun ((http://www.cs.umb.edu/~marc/). Publikasi di Publikasi di internet telah dilakukan seijin Pof. Marc.internet telah dilakukan seijin Pof. Marc.

This Lecture Notes is Indonesian translation This Lecture Notes is Indonesian translation and modification of Marc Pomplun’s and modification of Marc Pomplun’s CS320-CS320-Discrete MathematicsDiscrete Mathematics ( (http://http://www.cs.umb.eduwww.cs.umb.edu/~marc//~marc/)). . Publication in my website has been Publication in my website has been permitted by Prof. Marc.permitted by Prof. Marc.

http://www.cs.umb.edu/~marc/







Mengapa matematika Mengapa matematika diskrit ?diskrit ?

•Komputer (dijital) beroperasi secara Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit.bit.

•Dengan demikian, baikDengan demikian, baik– Struktur (rangkaian) dan jugaStruktur (rangkaian) dan juga– Operasi (eksekusi algoritma)Operasi (eksekusi algoritma)Dapat dijelaskan dengan matematika Dapat dijelaskan dengan matematika diskritdiskrit


Perangkat MatematikaPerangkat MatematikaPerangkat Perangkat yang berguna dalam matematika yang berguna dalam matematika diskrit:diskrit:

•Logika Matematika (Logic)Logika Matematika (Logic)•Teori Himpunan (Set Theory)Teori Himpunan (Set Theory)•Fungsi (Functions)Fungsi (Functions)•Deretan (Sequences)Deretan (Sequences)


LogikaLogika• Berguna untuk melakukan penalaran matematikaBerguna untuk melakukan penalaran matematika• Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.

• Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada proposisi.proposisi.

• Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai bisa bernilai benar benar (true/T)(true/T) atau atau salahsalah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.(false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.

• Kita katakan bahwa Kita katakan bahwa nilai kebenarannilai kebenaran (truth (truth value)value) dari sebuah proposisi adalah dari sebuah proposisi adalah benarbenar atau atau salahsalah..

• Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai sebagai 11 dan dan 00


““Gajah lebih besar daripada tikus.”Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini sebuah Apakah ini sebuah pernyataan?pernyataan?

YAYA

Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi? YAYA

Apakah nilai Apakah nilai kebenaran dari kebenaran dari proposisi ini?proposisi ini?

BENARBENAR

Proposisi atau PernyataanProposisi atau Pernyataan


““520 < 111”520 < 111”


YAYA



SALAHSALAH



““y > 5”y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.nilainya belum ditentukan.


YAYAApakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi?TIDAKTIDAK


Pernyataan jenis ini kita sebut Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai sebagai fungsi proposisifungsi proposisi atau atau kalimat terbukakalimat terbuka..


““Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”


YAYA



SALAHSALAH



““Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAKTIDAK

TIDAKTIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.menjadi proposisi.

Ini adalah sebuah Ini adalah sebuah permintaan.permintaan.


Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi?



““x < y jika dan hanya jika y > x.”x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ?Apakah ini pernyataan ? YAYAApakah ini proposisi ?Apakah ini proposisi ? YAYA

Apakah nilai Apakah nilai kebenaran dari kebenaran dari proposisi ini ?proposisi ini ?

BENARBENAR

… … karena nilai karena nilai kebenarannya tidak kebenarannya tidak bergantung harga bergantung harga spesifik x maupun y.spesifik x maupun y.



Penggabung ProposisiPenggabung Proposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan.menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti huruf; seperti pp, , qq, , rr, , ss;; dan dan memperkenalkan operator-operator memperkenalkan operator-operator logika. logika.


Operator logikaOperator logikaKita akan membahas operator-operator Kita akan membahas operator-operator berikut:berikut:• Negasi Negasi (NOT)(NOT)• Konjungsi (AND)Konjungsi (AND)• Disjungsi Disjungsi (OR)(OR)• Eksklusif OR Eksklusif OR (XOR)(XOR)• Implikasi (jika – maka)Implikasi (jika – maka)• Bikondisional (jika dan hanya jika)Bikondisional (jika dan hanya jika)Tabel logika (tabel kebenaran/ Tabel logika (tabel kebenaran/ truth tabletruth table) ) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas menggabungkan operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.gabungan.


Negasi (NOT)Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang: Operator Uner, Lambang:

PP PPBenarBenar SalahSalahSalahSalah BenarBenar


Konjungsi (AND)Konjungsi (AND)Operator Biner, Lambang: Operator Biner, Lambang:

PP QQ PPQQBenarBenar BenarBenar BenarBenarBenarBenar SalahSalah SalahSalahSalahSalah BenarBenar SalahSalahSalahSalah SalahSalah SalahSalah


Disjungsi (OR)Disjungsi (OR)Operator Biner, Lambang: Operator Biner, Lambang:

PP QQ PPQQBenarBenar BenarBenar BenarBenarBenarBenar SalahSalah BenarBenarSalahSalah BenarBenar BenarBenarSalahSalah SalahSalah SalahSalah


Eksklusif Or (XOR)Eksklusif Or (XOR)Operator Biner, Lambang: Operator Biner, Lambang:

PP QQ PPQQBenarBenar BenarBenar SalahSalahBenarBenar SalahSalah BenarBenarSalahSalah BenarBenar BenarBenarSalahSalah SalahSalah SalahSalah


Implikasi (jika - Implikasi (jika - maka)maka)

Operator Biner, Lambang: Operator Biner, Lambang:

PP QQ PPQQBenarBenar BenarBenar BenarBenarBenarBenar SalahSalah SalahSalahSalahSalah BenarBenar BenarBenarSalahSalah SalahSalah BenarBenar


Bikondisional (jika dan Bikondisional (jika dan hanya jika)hanya jika)

Operator Biner, Lambang: Operator Biner, Lambang:

PP QQ PPQQBenarBenar BenarBenar BenarBenarBenarBenar SalahSalah SalahSalahSalahSalah BenarBenar SalahSalahSalahSalah SalahSalah BenarBenar


Pernyataan dan OperasiPernyataan dan OperasiPernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat

digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

PP QQ PP QQ ((P)P)((Q)Q)BenaBenarr

BenaBenarr

SalaSalahh

SalaSalahh SalahSalah

BenaBenarr

SalaSalahh

SalaSalahh

BenaBenarr BenarBenar

SalaSalahh

BenaBenarr

BenaBenarr

SalaSalahh BenarBenar

SalaSalahh

SalaSalahh

BenaBenarr

BenaBenarr BenarBenar


Pernyataan dan OperasiPernyataan dan Operasi

PP QQ PPQQ (P(PQ)Q) ((P)P)((Q)Q)BenaBenarr

BenaBenarr

BenaBenarr SalahSalah SalahSalah

BenaBenarr

SalaSalahh

SalaSalahh BenarBenar BenarBenar

SalaSalahh

BenaBenarr


SalaSalahh

SalaSalahh


Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat

digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.


Pernyataan-pernyataan yang Pernyataan-pernyataan yang ekivalenekivalen

PP QQ (P(PQ)Q) ((P)P)((QQ))

(P(PQ)Q)((P)P)((QQ))

BenarBenar BenarBenar SalahSalah SalahSalah BenarBenar

BenarBenar SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar

SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar BenarBenar

SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar

Pernyatan Pernyatan (P(PQ) dan (Q) dan (P)P)((Q) adalah ekivalen secara Q) adalah ekivalen secara logis, karena logis, karena (P(PQ)Q)((P)P)((Q) selalu benar.Q) selalu benar.


Tautologi dan Tautologi dan KontradiksiKontradiksi

Suatu Suatu tautologitautologi adalah pernyataan yang adalah pernyataan yang selalu selalu bernilai benarbernilai benar

Contoh: Contoh: • RR((R)R) (P(PQ)Q)((P)P)((Q)Q)

Jika SJika ST sebuah tautologi, kita tulis S T sebuah tautologi, kita tulis S T. T.JIka SJIka ST sebuah tautologi, kita tulis S T sebuah tautologi, kita tulis S T.T.


Suatu Suatu kontradiksikontradiksi adalah pernyataan adalah pernyataan yang yang selalu bernilai salahselalu bernilai salah..

Contoh: Contoh: • RR((R)R) (((P(PQ)Q)((P)P)((Q))Q))Negasi dari sebarang tautologi adalah Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.adalah sebuah tautologi.

KontradiksiKontradiksi


LatihanLatihanKita tahu tautologi berikut: Kita tahu tautologi berikut:

(P(PQ) Q) ((P)P)((Q)Q)

Latihan di kelas : Latihan di kelas : Tunjukkan bahwa Tunjukkan bahwa (P(PQ) Q) ((P)P)((Q).Q).

Kedua tautologi ini disebut sebagai Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De Morganhukum De Morgan


Proposisi dan FungsiProposisi dan FungsiFungsi proposisi (kalimat terbuka) :Fungsi proposisi (kalimat terbuka) :

Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih.lebih.

Contoh : Contoh : xx - 3 > 5. - 3 > 5.Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(P(xx), dimana P adalah predikat dan ), dimana P adalah predikat dan xx adalah variabel. adalah variabel.

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari P(2) ?dari P(2) ?

SalahSalahSalaSalahhBenaBenarr

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?dari P(8) ?Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?dari P(9) ?


Fungsi ProposisiFungsi ProposisiTinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: didefinisikan:

x + y = z.x + y = z.

Disini, Q adalahDisini, Q adalah predikatpredikat dan x, y, and dan x, y, and z adalahz adalah variabelvariabel..

Apakah nilai kebenaran dari Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ?Q(2, 3, 5) ?

BenaBenarrApakah nilai kebenaran dari Apakah nilai kebenaran dari

Q(0, 1, 2) ?Q(0, 1, 2) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(9, Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?-9, 0) ?

SalaSalahhBenaBenarr


Kuantifikasi UniversalKuantifikasi UniversalMis. P(x) suatu fungsi proposisi.Mis. P(x) suatu fungsi proposisi.

Kalimat yg dikuantifikasi secara universal Kalimat yg dikuantifikasi secara universal ::

Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar.P(x) adalah benar.

Dengan kuantifier universal Dengan kuantifier universal ::x P(x) “untuk semua x P(x)” x P(x) “untuk semua x P(x)” atau atau ““untuk setiap x P(x)”untuk setiap x P(x)”

(Catatan: (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisisebuah proposisi, bukan , bukan fungsi proposisifungsi proposisi.).)


Contoh : Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.G(x): x adalah seorang yang pandai.G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti dari Apakah arti dari x (S(x) x (S(x) G(x)) ? G(x)) ?

““Jika x adalah mahasiswa IT, maka x Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai”adalah seorang yang pandai”atauatau““Semua mahasiswa IT pandai.”Semua mahasiswa IT pandai.”

Kuantifikasi UniversalKuantifikasi Universal


Kuantifikasi Kuantifikasi EksistensialEksistensial

Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensialKalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial::

Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x) benar.benar.

Dengan peng-kuantifikasi eksistensial Dengan peng-kuantifikasi eksistensial ::x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”

“ “Ada sedikitnya sebuah x sedemikian Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x).”hingga P(x).”

(Catatan: (Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan merupakan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi fungsi proposisiproposisi.).)


Contoh : Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT.P(x): x adalah seorang dosen IT.G(x): x adalah seorang yang pandai.G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti Apakah arti x (P(x) x (P(x) G(x)) ? G(x)) ?

““Ada x sedemikian hingga x adalah seorang Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.”dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.”atauatau““Sedikitnya satu orang dosen IT adalah Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.”seorang yang pandai.”

Kuantifikasi Kuantifikasi EksistensialEksistensial


KuantifikasiKuantifikasiContoh lain :Contoh lain :Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.riil.

Apakah arti dari Apakah arti dari xxy (x + y = 320)y (x + y = 320) ? ?

““Untuk setiap Untuk setiap xx ada ada yy sehingga sehingga x + y = 320x + y = 320.”.”

Apakah pernyataan ini Apakah pernyataan ini benar ?benar ?Apakah ini benar untuk Apakah ini benar untuk bilangan cacah?bilangan cacah?

YaYa

TidakTidak


DisproofDisproof dengan dengan counterexamplecounterexample

CounterexampleCounterexample dari dari x P(x) adalah x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. sebuah objek c sehingga P(c) salah.

Pernyataan seperti Pernyataan seperti x (P(x) x (P(x) Q(x)) Q(x)) dapat di-dapat di-disproofdisproof secara sederhana secara sederhana dengan memberikan dengan memberikan counterexamplecounterexample-nya.-nya.

Pernyataan: “Semua burung bisa Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”terbang.”Disproved Disproved dengandengan counterexample counterexample: : PenguinPenguin..


NegasiNegasi

((x P(x)) ekivalen scr logis dengan x P(x)) ekivalen scr logis dengan x x ((P(x)).P(x)).

((x P(x)) ekivalen scr logis dengan x P(x)) ekivalen scr logis dengan x x ((P(x)).P(x)).

Lihat Table 3 dalam Section 1.3.Lihat Table 3 dalam Section 1.3.

Latihan soal pada Exercises 5 dan 9, Section Latihan soal pada Exercises 5 dan 9, Section 1.3.1.3.

logika matematika

Documents