abzählbare physik 8 : ergänzung

8 Ergänzung

Rudolf Germer Die abzählbare Physik 1

8. Ergänzende Bemerkungen 8.0. Eine Vorbereitung, bisherige Ideen zu sortieren 8.1. Ursache und Wirkung in unterschiedlichen Koordinatensystemen 8.2. Magnetischer Monopol und elektrischer Fluß 8.3. Gerichtete Größen 8.3.1. Bemerkungen zur Tabelle 8-3-1 : Physikalische Größen und elementare oder extreme Einheiten 8.3.1.1. Verschiedene Impedanzen 8.3.1.2. Mechanische Analogien 8.4. Ein Impuls auf der Leitung im Minkowskiraum 8.4.1. Die mechanische Analogie Das Wahrnehmen im Zusammenhang mit dem Mechanismus „Ursache und Wirkung“ hängt vom Standpunkt des Betrachters ab und wird in 8.1. am Beispiel eines Impulses auf einer reflektierenden Leitung diskutiert. Aus der Existenz gequantelter elektrischer Ladungen und magnetischer Flußquanten lassen sich weitere gequantelte Größen folgern, magnetische Ladungen und elektrische Flußquanten. Einige in den vorherigen Kapiteln betrachtete physikalische Größen treten je nach Koordinatensystem gerichtet oder ungerichtet auf, in 8.3.wird dies zusammengestellt und verglichen. Bei der Beschreibung eines Impulses auf einer Leitung im Minkowski-raum 8.4. sind Rauschen und magnetische Ladungen zu erkennen. Es gibt zwei Größen mit der Einheit von Geschwindigkeiten, deren geometrischer Mittelwert die Ausbreitung des Lichtes beschreibt. Sie folgen aus den Quotienten räumlicher und zeitlicher Bereiche, die die Beziehungen zwischen den elektromagnetischen Quanten charakterisieren.

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8.0. Eine Vorbereitung, bisherige Ideen zu sortieren Nachdem der Leser nun mit dem Problem des Messens, dem Informationsgehalt und der Größe Zeit vertraut ist, soll versucht werden, diese Gedankenwelt genauer zu strukturieren. Im physikalischen Ablauf kann man teilweise Beobachtungen machen, bei denen es Ursachen gibt, die Wirkungen auslösen. Einige Beispiele sollen zeigen, in welchen Systemen dies möglich ist und in welchen nicht. Neben den bisher in diesem Beitrag häufig verwendeten Quanten gibt es weitere, die zum Erfassen einer größeren Struktur zunächst eingeführt werden sollen. Dies sind der magnetische Pol und das elektrische Flußquant. Die vorher gezeigten neuen Ideen nutzten zur Darstellung ungewohnte Koordinatensysteme. In diese projiziert man jeweils nur einen Teil der Welt. Wenn nur einzelne Koordinatenachsen wechseln, soll betrachtet werden, wie diese Systeme untereinander zusammenhängen. Wir sind gewohnt, einzelne Größen und deren Ableitungen zu betrachten, zum Beispiel Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Solche Kombinationen elektromagnetischer und mechanischer Größen werden zusammengestellt. In Kapitel 5 wurde das lokalisierte Photon betrachtet. Zum Analysieren einer sich ausbreitenden elektromagnetischen Welle ist es vernünftig, sich zunächst auf eine Dimension zu beschränken, wie es mit einem Impuls auf einer elektrischen Leitung möglich ist. Ein solcher Impuls verändert seine Koordinaten in Raum und Zeit mit Lichtgeschwindigkeit. Es liegt daher nahe, als Basis zunächst Koordinaten des Minkowskiraums zu wählen. Hier begegnen uns dann mit einer passenden dritten Koordinatenachse alle vier elektromagnetischen Quanten in Form projizierter Flächen wieder. Außerdem treten als Verknüpfung zwischen räumlicher und zeitlicher Ausdehnung zwei Geschwindigkeiten auf, die sich um den Faktor 2α von der Lichtgeschwindigkeit unterscheiden. Weiterhin wird einsichtig, warum aufgrund der Menge an Information Grenzen der Präzision bei der physikalischen Beschreibung und das Rauschen nötig sind. Ein Vergleich der zeitlichen mit den räumlichen Koordinaten gestattet es, auch den Impuls des Photons einfach darzustellen. Mit diesem Kapitel sind jetzt die letzten Voraussetzungen zusammengetragen, um im folgenden Kapitel den elektromagnetischen Quader einzuführen.

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8.1. Ursache und Wirkung in unterschiedlichen Koordinatensystemen Die klassische Vorstellung, nach welchen Gesetzen das Geschehen in der Welt abläuft, enthält die Idee, daß es Ursachen gibt und daraus folgende Wirkungen. So ist der sich in Bild 8UW-11 ablösende Wassertropfen sicher kein trivial zu beschreibendes Phänomen, aber mit Schwerkraft, im Laufe der Zeit wachsender Tropfenmasse und sich ändernder Oberflächenspannung als aus einer gegenwärtigen Situation und Folge des Einflusses von Naturgesetzen zu verstehen.

Bild 8UW-1 Ablösen eines Wassertropfens

Bild 8UW-2 Fallende Wassertropfen. Man erkennt die vom Ablösen angeregten Schwingungen der Tropfen und sieht eine „Wurfparabel“ durch die Erdanziehung.

1 Bild 8UW-1 bis 8UW-4 stammen aus den ersten ( 1984/85 ) mit einer CCD-Zeitlupenvideokamera aufgenommenen Sequenzen, die Auflösungsgrenze betrug damals einige 10 kHz Bildfolgefrequenz, 3MHz wurden 1994 erreicht, Bild 8UW-5. R.Germer Verfahren zum Aufnehmen und Speichern von Bildern in schneller Folge, DE 3628147, US 086 965, Japan Sho-62-204 303,

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Die fallenden Tropfen in Bild 8UW-2 können bis auf ihre Eigenschwingungen mit Schulphysik erklärt werden und das Auftreffen auf die Wasseroberfläche in Bild 8UW-3 erfordert zwar eine Beschreibung mit nichtlinearer Physik, aber jede Bewegung der Materie hat auch hier ihre Ursache in der Vorgeschichte und fundamentaler Kräfte.

Bild 8UW-3 Auftreffen eines Wassertropfens auf eine dünne Wasserschicht

Bild 8UW-4 Zerlegen eines Wasserstrahls im Schwerefeld. Der Strahl zieht sich zu Tropfen zusammen, an der Abrißstelle wird der Reststrahl moduliert, nahe bei einander liegende Tropfen können sich während des freien Falls vereinigen.

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Selbst ein so unregelmäßiges Verhalten wie bei einem Wasserstrahl, der bei Bild 8UW-4 in einzelne Tropfen zerfällt, ist zwar nicht mehr im Detail vorherzusagen, aber als deterministisch chaotisches System Folge von Ursachen. Wenn also die makroskopische Welt Wirkungen auf Grund von Ursachen zeigt, wie kann sie aus mikroskopischen Elementen zusammengesetzt deren Gesetzen folgen, die mit den Wahrscheinlichkeiten des quantenmechanischen Bildes zu beschreiben sind ? In den vorherigen Kapiteln sind einige Punkte angesprochen, die mit einer solchen Frage zusammenhängen. Kombiniert mit der Vorstellung von Ursache und Wirkung ist wohl eine zeitliche Folge des Geschehens, also vorher die Ursache und nachher die Wirkung.

Bild 8UW-5 Eine Luftgewehrkugel in der Einschußphase Die in Bild 8UW-5 fliegende Luftgewehrkugel erzeugt das Loch in der Zielscheibe. Damit verbunden ist allerdings eine ganze Folge von Ursachen und Wirkungen. Das Gewehr wird gespannt und geladen, der Abzug betätigt, die Kugel im Lauf beschleunigt, der Flug erfolgt im Schwerefeld bei Luftreibung, sie trifft auf die Scheibe, während die Kugel durch die Scheibe dringt wird diese wegen der mechanische Belastung zerstört. In einem Gedanken- und Koordinatensystem, das die aktuelle Zeit t enthält, ist eine solche Beschreibung logisch. Die Energie des im Luftgewehr komprimierten Gasvolumens wird auf die Masse der Kugel übertragen und ein Teil dieser kinetischen Energie dient dann, um die Zielscheibe zu perforieren. Sind solche Vorstellungen aber auch in einem System mit der Dauer T als Koordinate enthalten ?

Bild 8UW-6 Impuls und seine Reflexion bei einer am Ende kurzgeschlossenen Leitung Als einfaches physikalisches Bindeglied zwischen Ursache und Wirkung soll nun eine Leitung mit reflektierendem kurzgeschlossenem Ende betrachtet werden, in die zur Zeit t1 ein Impuls geleitet wird. Dieser Impuls durchläuft die Leitung und erscheint invertiert in

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Bild 8UW-6 zur Zeit t2 wieder am Eingang der Leitung. Dieser zeitlich verzögerte Impuls tritt als Resultat einer „Wirkung“, als Folge des eingespeisten Impulses, der „Ursache“, auf. Die Leitung stellt die Beziehung zwischen beiden her, die Länge der Verzögerungszeit Δt = t2 – t1 und das Invertieren sind durch ihre Eigenschaften bestimmt. Bei diesem Experiment ist es nicht möglich, den Impuls 2 der Leitung zu entnehmen und damit einen vorherigen Impuls 1 zu erzeugen, ein Gedankenspiel, das nach dem Betrachten von Ursache und Wirkung in Zusammenhang mit einem invertierten Koordinatensystem in Kapitel 1 und 2 noch nicht auszuschließen gewesen wäre, wenn zwischen Eingang und Ausgang nur ein wechselseitiger Zusammenhang bestünde, der unabhängig von der Zeit wäre. Die Differenz Δt = t2 – t1 in der aktuellen Zeit ist gerichtet und kann nicht umgekehrt werden, vorher und nachher sind nicht vertauschbar. Mit einer Fouriertransformation kann dieses Geschehen in den Frequenzraum übertragen werden, wie für Bild 8UW-7 geschehen. Der einlaufende Impuls ist aus harmonischen Schwingungen mit raum-zeitlichen Perioden überlagert, der auslaufende Impuls ebenfalls.

Bild 8UW-7 Fouriertransformation eines Impulses und seiner Reflexion. Die interferierenden Wellen sind räumlich ( links ) und zeitlich (rechts ) unendlich ausgedehnt. Diese Wellen sind einzeln in Raum ( links ) und Zeit ( rechts ) unendlich ausgebreitet und erst ihre Überlagerung bildet in der Raumzeit konzentrierte Amplituden. In dieser Vorstellung existieren die Wellen, die den Impuls zur Zeit t2 bilden, bereits unendlich lange und damit auch schon zur Zeit t1. Und damit sollte auch schon die Verzögerungszeit der Leitung bekannt sein, bevor sie gemessen wird. Mit der hier verwendeten Größe „Zeit“ ist alles schon bekannt. Diese Welt wäre vorherbestimmt und ohne freie Entscheidung, wenn die dort verwendete Zeit unsere Zeit t wäre. Dieser Fourierraum ist aber geprägt mit den Periodendauern T der Schwingungen und Wellen, die ablaufende Zeit t bleibt in diesem Typ Koordinatensystem, wie in den vorherigen Kapitel zu sehen war, versteckt. Mit der Fouriertransformation bleibt die Information unserer Alltagswelt zwar erhalten und Ursache und Wirkung gehen daher nicht verloren, wer den Begriff der ablaufenden Zeit auf den Zeitbegriff des Fourierraums einfach überträgt, begeht aber wohl einen Fehler. Augenscheinlich werden nicht nur die physikalischen Objekte der realen Welt transformiert, sondern auch Begriffe und Beziehungen müssen entsprechend angepaßt übertragen werden. Beispiele der Transformation von Information wurden schon in Kapitel 7 gezeigt.

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Ein weiterer Gedanke ist in dieser Vorstellung zu kritisieren. Es wird nämlich angenommen, daß die Welt analog sei und beliebige Amplituden und Phasenlagen der Wellen existieren können. In den Koordinatensystemen der vorherigen Kapitel mit einer Achse Frequenz gab es aber digitale Strukturen der übrigen Koordinaten. Dies übertragen bedeutet, daß einige Amplituden im Fourierraum nur mit begrenzter Auflösung definiert sind und dann Details innerhalb der kleinsten Stufenhöhe nicht definiert sind. Auf die Wellen im Fourierraum angewendet bedeutet das, daß Wellen und Interferenzen, die zu kleineren Amplituden als einer digitalen Schwelle führen, nicht definiert und daher sinnlos sind. Die sich auslöschenden Wellenanteile des obigen δ - Impulses zu Zeiten vor der konstruktiven Interferenz mit ihren Amplituden unterhalb der Schwelle gehören in den Bereich der Beliebigkeit. Damit ist es möglich, jederzeit eine Änderung des Geschehens auszulösen, ohne in Konfrontation zu vorher existierenden Wellenanteilen zu gelangen, da deren Definitionsbereich nicht berührt wird. In dem eingangs verwendeten Koordinatensystem { I ; U ; t } treten Ursache und Wirkung in Erscheinung. Die Integration einer der Koordinaten zu den Koordinatensystemen { Q ; U ; t } oder { I ; Φ ; t } läßt die Information der Ursache von Ladung oder Magnetfluß verschwinden. Obwohl diese Koordinatensysteme die ablaufende Zeit t am klarsten enthalten, sind ursächliche Zusammenhänge nur noch beim Untersuchen des zeitlichen Verlaufs zu rekonstruieren, erforderlich ist also eine zusätzliche Kenntnis der Vergangenheit. In den oben gezeigten verschiedenen zeitlichen Abläufen mit Wassertropfen und der Luftgewehrkugel ist jedes einzelne Bild ungeeignet, Ursachen auszumachen. Erst die zeitliche Folge der Bilder ermöglicht, die gezeigten Zusammenhänge zu erkennen. Für das in diesem Beitrag häufig verwendete Koordinatensystem { Q ; Φ ; f } gilt, da dort die aktuelle Zeit nicht vorkommt, daß Phänomene mit „Ursache“ und „Wirkung“ darin unter Umständen nicht zu beschreiben sind oder jedenfalls nicht offensichtlich in Erscheinung treten. Der Zusammenhang der Koordinaten eines solchen Systems mit dem zweimal abgeleiteten in den Schwingungs- und Wellengleichungen läßt allerdings erwarten, daß die Information über „Ursache“ und „Wirkung“ versteckt enthalten ist, wie oben für den Fourierraum diskutiert wurde. Die bekannten Schwingungsgleichungen mit X = I, U, Q... für den elektrischen Schwingkreis d²X / dt² + X / LC = 0 [ 3-30 ], [ 3-31 ] enthalten z.B. für X = Q allein im rechten Term ( der räumliche Information enthält ) „Ursache und Wirkung“ nicht offensichtlich, wohl aber in Kombination mit der linken zweiten Ableitung, die die zeitliche Änderung der Größen beschreibt.

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8.2. Magnetischer Monopol und elektrischer Fluß Im folgenden soll noch versucht werden, Eigenschaften des magnetischen Flußquants auf einfache Art zu modellieren. Nach Kapitel 1 könnte man zunächst vermuten, das dies mit zwei elementaren Ladungen gelingt. Beim Betrachten einer stromführenden Leitung erkennt man allerdings, daß dies ohne Auftreten eines elektrischen Feldes nicht möglich ist. Bild 8UW21 zeigt eine solche Leitung. Innerhalb eines für diese Überlegung an den Enden kurzgeschlossenen Abschnitts der Länge a soll ein Kreisstrom fließen, so daß der magnetische Fluß darin dem Flußquant Φo entspricht. Dann können an dem Strom virtuelle Ladungen paarweise beteiligt sein, so daß insgesamt Ladungsneutralität herrscht. Wäre in jedem beteiligten Teil der Leitung ( oben und unten ) jeweils eine von zwei entgegengesetzten Ladungen, so bestünde zwischen den Teilen der Leitung ein elektrisches Feld, da ja ein Teil positiv und der andere negativ geladen wäre. Will man dieses elektrische Feld vermeiden, so sind in jedem Teilstück ein Ladungspaar erforderlich, insgesamt müssen also mindestens vier Elementarladungen an diesem Strom beteiligt sein.

Bild 8UW21 Magnetfluß des Kreisstroms in einem an den Enden kurzgeschlossenen Leitungsstück a. Nun kann man in Bild 8UW22 einen virtuellen kreisförmigen Strom betrachten, auf dem Umfang des Kreises mit dem Radius r fließt der Strom I = ΔQ / Δ T = 4e/ ΔT. Die Kreisfläche ist Ak = πr² und mit der Flußdichte nach Biot Savard

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B ( 0 ) = I * µo * r² / 2 ( r² ) 3/2 = I * µo / 2r [ 8-21 ] ist der magnetische Fluß dann Φ = B * π r² = π r * I * µo / 2. [ 8-22 ]

Bild 8UW22 Virtueller Kreisstrom als Ursache des magnetischen Flußquants Der Strom soll aus vier elementaren Einheiten der Ladung gebildet werden, die für einen Umlauf die Zeit T benötigen. Um ein gemeinsames Magnetfeld zu erzeugen, müssen diese Ladungen dann bei unterschiedlicher Polarität in entgegengesetzter Richtung fließen. Für den Kreisstrom gilt dann I = 4e / T. Nimmt man an, daß die Ladungen keine Ruhemasse haben und sich daher mit Lichtgeschwindigkeit v = c bewegen können, gilt für die Umlaufzeit bei einem Umfang = 2 π r = v * T = c * T, mit dem Strom I = 2e * c / ( π r ) [ 8-23 ] und für den magnetischen Fluß dann Φ = B * π r² = π r * I * µo = 2 π r * e * µo / T = π c * T * e * µo / ( T * π ) = c * e * µo = e * µo / ( µo * εo )1/2 = e * ( µo / εo )1/2 = e * Z0 = 2Φ0 * 2α [ 8-24 ] entsprechend dem schon bekannten Zusammenhang [ 3-3 ], [ 5-10 ] 2Φ0 = h/e = e * RK [ 5-8 ]

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Dieser magnetische Fluß ist also unabhängig von der Wahl der Größe des Stromkreises und entspricht dem magnetischen Flußquant Φ0 multipliziert mit einem Faktor 4α, der die Feinstrukturkonstante enthält, nur die konkrete Umlaufzeit T und damit die Stromstärke I = 4e / T hängen von einer möglichen Vorgabe des Radius r ab. Wie schon oben beim Betrachten von Photonen und Impedanz betrachtet, werden für den kleinsten magnetischen Fluß im Vakuum 34 oder 68 Ladungsquanten benötigt, um das erste Unschärfeminimum zu erreichen. Die Quellenstärke magnetischer Monopole ( „magnetische Ladung“ ) ist nach Dirac2 g = (n/2) * h * c / ( 2π e ) [ 8-25 ] Für einen elektrischen Fluß ergibt sich entsprechend der im Gerthsen3 gefundenen sinnvollen Definition ΦE = Q / εo [ 8-26 ] mit der Folge, daß es auch ein elektrisches Flußquant mit der Größe ΦE0 = e / εo [ 8-27 ] geben sollte. Ein Einheitenvergleich zwischen elektrischen und magnetischen Größen ergibt für diesen elektrischen Fluß ΦE = Q / εo [ As * Vm / As ] die Einheit [ Vm ]. Die Einheit der elektrischen Ladung Q ist [ As ], die Einheit des magnetischen Flusses ΦM ist [ Vs ]. Dann ergibt sich für die Einheit einer magnetischen Ladung QM aus Symmetriegründen und auch aus dem Gaußschen Satz nach Integration über die Zeit für QM die Einheit [ Am ]. Die magnetische Quellenstärke nach Dirac [ 8-25 ] läßt sich durch Φo ausdrücken und hat diese Einheit, g = (n/2) * h * c / ( 2π e ) = n * Φo * c / 2π [ Am ] [ 8-28 ] Die in der Literatur erwartete Größe des magnetischen Monopols g = e / 2α [ As ] ergibt multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c ebenfalls eine solche erwartete Einheit. QM = e * c / 2α [ As * m/s ] [ 8-29 ] und eingesetzt ergibt sich der Zusammenhang mit dem elementaren magnetischen Flußquant QM = e * c * 4 * ( Φo / µo

½ ) / 2 ( e / εo

½ ) = h / ( e * µo ) = 2 Φo / µo . [ 8-210 ] Gegenübergestellt zeigen sich elementare elektrische und magnetische Ladungen und Flüsse also entsprechend der folgenden Tabelle 8-2. Die magnetische Ladung kann man dann auch gequantelt mit QM0 = Φo / µo [ 8-211 ] erwarten. 2 P. A. Dirac, Quantized Singularities in the Electromagnetic Field, Proc.Roy.Soc.Lond. A133, 60–72 (1931) 3 Dieter Meschede: Gerthsen Physik, 24. Auflage, Springer, 2010, ISBN 978-3-642-12893-6, S. 318

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Tabelle 8-2 Elektrische und magnetische Ladungs- und Flußquanten Ladung Fluß elektrisch e = ΦE0* εo = h / 2 Φo

= 1,602*10-19 [ As ] ΦE0 = e / εo = h / (2Φo* εo)=hc²/QM = 1,810*10-8 [ Vm ]

magnetisch QM = 2Φo / µ o= h / (e*µo)=hc²/ΦE = 3,2911*10-9 [ Am ]

2 Φo = QM * µo = h / e = 4,136*10-15 [ Vs ]

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8.3. Gerichtete Größen Beim Beschreiben der Welt werden in der Physik oft gerichtete Größen verwendet - Vektoren. Unsere auf drei geometrische Dimensionen und die Zeit beschränkte raum-zeitliche Vorstellung führt dazu, daß Orts- und Impulsvektoren oft in den gleichen drei Koordinaten wahrgenommen werden, obwohl der Phasenraum eigentlich sechs ( mit Drehbewegungen zwölf ) Achsen aufweist, da Ort und Impuls unabhängig voneinander betrachtet werden können, also orthogonale Koordinaten haben. Wenn man mehr Dimensionen berücksichtigt, werden häufig komplexe Zahlen verwendet. Die Kreuzprodukte polarer Vektoren führen in einen weiteren Vektorraum, den der axialen Vektoren. Die Einheiten der Wirkung h und von einem Drehimpuls L sind die gleichen. Ein Drehimpuls zeichnet eine Richtung als Kreuzprodukt zweier Vektoren aus. Für die Plancksche Konstante gilt als Kombination der mechanischen Größen aus Kapitel 5, [ 5-45 ] und [ 5-46 ] , wenn als Koordinatensystem ein Phasenraum mit den orthogonalen Achsen des Ortes und des Impulses gewählt wird, daß sie ebenfalls ein Vektorprodukt ist. h = 2 Θ x Π [ 5-45 ] Bei Photonen liefert die Kombination von Wellenlänge λ und Impuls p ähnliches, h = λ x p [ 5-1 ] Auch hier müssen für die Vektoreigenschaft von h die Koordinaten von Wellenlänge λ und Impuls p als linear unabhängig angenommen werden, auch wenn sie bei der normalen auf drei Dimensionen beschränkten Darstellung in die gleiche Richtung zeigen. In dem Koordinatensystem { Q; Φ; f }, in dem die Ladungen und Flußquanten Quellen räumlich gerichteter Felder sind, bilden die Flächen der Wirkung als Kreuzprodukt Vektoren in Richtung der Frequenzachse. Weder die Zeit t noch die Raumkoordinaten x, y, z sind in diesem Koordinatensystem zu finden, h zeigt in Richtung der Frequenz f. h = 2e x Φ o [ 2-1 ] Im Zusammenhang mit Schwingungsquanten ergibt sich h = E / f = E * T [ 1-1a ] h als Produkt der ungerichteten skalaren Größe E mit der inversen Frequenz 1 / f oder Periodendauer T. Die Wirkung hat dabei die gleiche Richtung wie die Zeitkomponente „Dauer“. E als Volumen in den Koordinatensystemen { U ; I ; t } und { Q; Φ; f } hat keine ausgezeichnete Richtung. In den Koordinatensystemen { U ; Q ; t } und { Φ ; I ; t } bildet die Energie E eine Fläche ( Q * U oder Φ * I ) und damit einen axialen Vektor in Richtung der aktuellen Zeitachse t, die Wirkung H ist dafür als Volumen im diesen dreidimensionalen Räumen ein ungerichteter Skalar, wie Bild 8UW32 noch einmal zeigen wird. Spannt man mit einer Energieachse E und einer Zeitachse t eine Ebene auf, so sind die darin gebildeten Flächen H = ∫ E * dt = N * h Wirkungen mit ihrem Vektor senkrecht zur Ebene { E; t }. In Bild 8UW31 sind verschiedene darin darstellbare Photonen gezeigt. Die Fläche

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jedes Photons hat die Größe h, genauso wie im Koordinatensystem { Q; Φ } . Die Länge auf der Zeitachse entspricht der Periodendauer T, die höchste Frequenz hat das blaue Photon. Das tieffrequentere grüne hat vier Perioden auf fünf der blauen. Zur Differenzfrequenz gehört das rote Photon, das oben auch als Flächendifferenz zwischen den Summen von fünf blauen und vier grünen Photonen erscheint. In Kapitel 4, Bild 4RC-15, war das zeitliche Entladen eines Kondensators in dieser Koordinatenebene { E; t } dargestellt, ebenfalls mit h als markanter Fläche.

Bild 8UW31 Verschiedene Photonen in der {E;t}-Ebene. Auf vier Perioden des roten Photons kommen fünf des höherfrequenten blauen. Diese Zeitdauer entspricht einer Periode der Differenzfrequenz, des grünen Photons, das oben als Flächendifferenz auftaucht. Die Eigenschaft, daß die betrachteten Größen in unserer Beschreibung einmal als Zahl ( Skalar ), ein anderes Mal als gerichtete Größe ( Vektor ) auftauchen, ist wohl kaum eine Eigenschaft der Größen selbst, sondern ist bedingt durch unsere Beschreibung, das Reduzieren der Art und Anzahl der Koordinatenachsen auf das gerade betrachtete System. In diesem Sinn untersuchen wir jeweils Teil- oder Unterräume der vieldimensionalen Natur. Wenn in einer Erweiterung der vorliegenden Arbeit auch Drehimpulse, Spin u.ä. berücksichtigt werden, sollte die Chance genutzt werden, diesen vieldimensionalen Raum besser zu verstehen. Ort und Impuls, Strom und Spannung werden häufig als komplexe Größen beschrieben, um ihre linear unabhängigen Anteile zu trennen. Ist auch bei der Zeit ein Aufspalten z.B. in einen reellen Teil der Dauer und einen imaginären des zeitlichen Ablaufs oder umgekehrt sinnvoll ? Bild 8UW32 oben, das schon in Kapitel 1 beim Aufladen eines Kondensators auftauchte, soll andeuten, was hier anvisiert wird : Die Fläche ( in der Ebene { I; t } ) unter der Stromkurve I(t) entspricht der auf dem Kondensator aufgebrachten Ladung Q = ∫ Idt , die Fläche ( in der Ebene { U; t } ) unter der

Spannungskurve U(t) als zeitliches Integral einem Magnetfluß Φ = ∫Udt . Beide Größen sind

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Bild 8UW32 Beim Aufladen eines Kondensators entsprechen die Flächen unter der Stromkurve der aufgebrachten Ladung Q und unter der Spannungskurve einem magnetischen Fluß Φ. Diese Größen bilden die Basis eines anderen Koordinatensystems und gehören als axiale Vektoren einem anderen Raum an, der in den vorherigen Kapiteln durch die Achse Frequenz f ergänzt wurde. Darunter sind verschiedene Kombinationen von Koordinatensystemen, die römische Numerierung entspricht den Ebenen im Quantenquader von Kapitel 9.

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als Produkte von Vektoren axiale Vektoren, die einem anderen Vektorraum angehören, der außerdem für diese Achsen digital skaliert ist. Im System { Q; Φ; f } wurde bisher die dritte Dimension mit der Frequenzachse f , wie hier nach unten weisend angedeutet, ergänzt. Uns bekannt sind die Transformationen Q = C * U und Φ = L * I , wobei L = Φ / I und C = Q / U die raumzeitliche Feldverteilung charakterisieren, deren Ursache Ladungen und Flüsse sind, also nicht nur einen zahlenartigen Umrechnungsfaktor darstellen. Schon in Bild 3LC-16 waren beim Schwingkreis Parallelen zwischen den unterschiedlich skalierten Achsen angedeutet. Daß ein Umrechnen der Achsen U -> Q und I -> Φ nicht nur Zahlenakrobatik ist, erkennt man am Wechsel der Bedeutung der dazugehörigen Zeitachse, die unterschiedliche Inhalte repräsentiert, nämlich Anteile der in Kapitel 6 diskutierten Formen des „Ablaufs“ und der „Dauer“. Die Koordinatensysteme darunter sind die in Kapitel 1 besprochenen Varianten mit einer Numerierung in Bezug auf die römisch gezählten Flächen des elektromagnetischen Quaders von Kapitel 9 V : { U ; I ; t }, III : { U ; Q ; t },{ Φ ; I ; t } und I : { Q; Φ; f }. Neben den Koordinatenachsen sind ihre Winkelhalbierenden stellvertretend für die durch sie charakterisierte Steigung mit ihrer Bedeutung eingetragen, die axialen Produktvektoren der Flächen mit breiten Linien gekennzeichnet und die skalaren Volumen mit violetten Buchstaben benannt. Die Größen „Leistung P“, „Energie E“ und „Wirkung H“ haben als axiale Vektoren die gleiche Orientierung wie die zugehörige zeitliche Achse und lassen sich als Ableitung der darüber liegenden Volumen, die Skalare sind, deuten. Im untersten Bild I tauchen die Achsen des obersten V als axiale Vektoren auf und umgekehrt. Dies entspricht dem schon erwähnten typischen Bezug bei der Analyse von Wellen und Schwingungen von Auslenkung zur Beschleunigung, zwischen einer Funktion und ihrer zweiten Ableitung nach der Zeit. Dem Leser sei es an dieser Stelle überlassen, die entsprechenden Koordinatensysteme mit mechanischen Größen zu ergänzen, also Kraft, Geschwindigkeit, Strecken und Impulse statt Ladung und Magnetfluß.

Bild 8UW33 Energie harmonischer Oszillatoren mit der Frequenz E / h = f = 1/T gemessen mit einem externen Zeitmaßstab, der Uhrzeit t.

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Bei dieser Gelegenheit sollte man Bild 8UW31 noch einmal betrachten. Bei dieser Darstellung sind Flächen in der { E; t }-Ebene wieder die gequantelten Wirkungen H = N * h wie auch in Darstellungen mit den Ebenen { Q; Φ } und { x; p } . Allerdings wird hier eine mögliche dritte Koordinate wohl kaum sinnvoll einen zeitlichen Bezug haben. In der Darstellung von Bild 8UW33 wird die dritte Dimension benutzt, verschiedene Anzahlen von Wirkungsquanten zu differenzieren, entsprechend einem, zwei oder drei Photonen oder anderer Schwingungsquanten eines harmonischen Oszillators. Die Grafik zeigt in der Ebene 1h den Zusammenhang zwischen Energie E und zeitlicher Länge t = T einer Periode von Schwingungsquanten. Die Rechtecke mit den Kanten E und T sind für die verschiedenen N * h - Ebenen durch die Hyperbeln E = n * h / T charakterisiert. Mit h als Maß für die „Information“ ist dies dann die dritte Koordinate. Man kann nun die Größe der Energie E = h * f durch das Planck’sche Wirkungsquantum h teilen und wandelt damit die Energieachse in eine Frequenzachse mit der Einheit [ Perioden pro Sekunde ] um, Bild 8UW34. Die Flächen bekommen damit die Einheit [ s * Hz] , also als s * 1/s eine dimensionslose Zahl, allerdings mit der physikalischen Bedeutung einer Anzahl : von Perioden oder von Schwingungsquanten. Bei gleicher Zeit t = T bedeutet eine größere Anzahl von Quanten, in Bild 8UW33, verbunden mit entsprechender Ausdehnung der Flächen in f - Richtung, entweder die Möglichkeit, energiereichere Quanten höherer Frequenz zu bilden oder die Information über die Schwingung bereits in kürzerer Zeit dank der größeren Anzahl von Feldkombinationen zur Verfügung zu haben, die in Kapitel 3 bei den angeregten Zuständen in zunehmender Anzahl auftraten.

Bild 8UW34 Energie harmonischer Oszillatoren mit der Frequenz E / h = N * f0 = N / T0 . Da die obere Schranke von t das Alter der Welt T0 ist, existiert eine tiefste Frequenz f0, die dann die Auflösung der Frequenzachse skaliert.

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Die Zeitachse t ist durch das Alter der Welt seit dem Urknall begrenzt und nicht etwa unendlich, daraus folgt eine niedrigste Frequenz f0 und eine entsprechend kleine, begrenzte Auflösung der Frequenzbestimmung. Dies entspricht einer digital gestuften Frequenzachse mit f = N * f0 , Frequenzen sind also nicht genauer meßbar oder definiert als auf Grund des Alters der Welt zu bestimmen ist. Als Folge davon ergibt sich auch eine Stufung der Zeitachse T, nicht linear, sondern hyperbolisch. Man beachte die Ähnlichkeit und ihre Grenzen in Bezug zu der in Kapitel 6 besprochenen Zeitauflösung bei gedämpften Systemen. Die folgenden Tabellen 8-x fassen physikalische Größen zusammen, wie sie in den Koordinatensystemen von Bild 8UW32 verwendet werden. Dabei wird immer eine Größe mit zwei dazugehörigen Ableitungen zusammengefaßt. In einer rechten Spalte sind dann die Werte elementarer Größen notiert oder extreme Werte, wie sich z.B. beim Strom I = dQ / dt = e / T0 aus Elementarladung e und maximalem zeitlichen Abstand, dem Alter T0 des Weltalls, ergeben. Die „magnetische Ladung“ QM wurde in 8.2. schon erwähnt. Daß sie hier im Zusammenhang mit Ableitungen nach dem Ort und nicht nach der Zeit auftaucht, ist vielleicht ein Hinweis darauf, warum man eine zeitliche Ableitung dQM / dt = IM als „magnetischen Strom“ bisher nicht beobachten konnte. Mit der räumlichen Ableitung des elektrischen Stroms, der magnetischen Feldstärke H, sind wir dagegen vertraut. Die aus dem geschätzten Alter der Welt und der Lichtgeschwindigkeit abgeleitete größte Länge L0 weicht eine gute Größenordnung von der Länge ab, die sich ergibt, wenn man den minimalen elektrischen Strom mit der aus der magnetischen Ladung abgeleiteten Größe vergleicht oder sie aus der minimalen Spannung und dem elektrischen Flußquant ableitet. Diese Differenzen verschwinden, wenn anstelle der elektromagnetischen Lichtgeschwindigkeit die aus rein elektrischen oder magnetischen Bezügen abgeleiteten „Geschwindigkeiten“ eingesetzt werden. Elementarladung, magnetisches Flußquant, Lichtgeschwindigkeit und Vakuumimpedanz sind Konstanten, anders liegen die Verhältnisse bei mechanischen Problemen, wo Impedanz und Schallgeschwindigkeiten materialabhängig sind. Als Bespiel wurde für die Tabelle 8-2 das in Kapitel 5 erwähnte ZnS mit seinem LO-Phonon verwendet. Die frequenzunabhängigen Amplituden von Schwingungen weichen davon je nach der speziellen Schallimpedanz natürlich ab.

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8.3.1. Bemerkungen zur Tabelle 8-3-1 : Physikalische Größen und elementare oder extreme Einheiten Die gegenübergestellten Koordinatensysteme von Bild 8-9 laden dazu ein, die dort vorhandenen physikalischen Quanten mit ihren jeweils zeitlich oder örtlich abgeleiteten Größen einander gegenüberzustellen. Auch von den „analogen“ Größen gibt es kleinste oder größte Werte, die nicht nur die Genauigkeit bei Messungen begrenzen, sondern auch diesen Bereich des physikalisch definierten einschränken. Tabelle 8-1 Physikalische Größen und elementare oder extreme Einheiten Physikalische Größe Einheit elementare oder kleinste Einheit 1 elektrische Ladung Q = C * U [ As ] n*e 1,6020E-19 e 2 Strom IE = dQ / dt [ A ] dn/dt * e 3,6758E-37 Imin = e / To 3 Stromänderung I' = dI / dt [ A / s ] 8,4340E-55 e / To² 4 5 6 Magnetfluß Φ = L*I [ Vs ] m * Φο 2,0678E-15 Φο 7 Spannung UM = dΦ / dt [ V ] dm/dt * Φο 9,4892E-33 2Φο / Το 8 Spannungsanstieg U' = dU / dt [ V / s ] 2,1773E-50 Φο / To² 9 10 11 magnetische Ladung QM = IM * x [ Am ] m *2Φo /µo 3,2911E-09 Qm=2Φo /µo 12 Strom IM = dQM/dx=Φ/L [ A ] dm/dx*2Φo /µo 3,6758E-37 Imin = e / To 13 magn. Feldstärke H = dI/dx [ A / m ] 2,8133E-63 I / Lo 14 15 16 elektrischer Fluß Φε = Q/ε0 [ Vm ] n * e / ε0 1,8095E-08 Φεο = e / εο 17 Spannung UE=dΦΕ/dx = Q/C [ V ] dn/dx * e / ε0 1,3849E-34 Φεο / Lo 18 elektrische Feldstärke E = dU / dx [ V / m ] 1,0600E-60 Φεο / Lo² 19 20 41 Alter des Weltalls To [ s ] 4,3583E+17 42 kleinste Frequenz fo = 1/To [ Hz ] 2,2945E-18 43 größte Länge c * To = Lo [ m ] 1,3066E+26 44 Länge aus I-vergleich Loi = Qm / Imin [ m ] 8,9534E+27 45 Länge aus U-vergleich Lou=To* Φε/Φο [ m ] 3,8138E+24

46 kleinstes Schwingungsquant Emin= h*fo [J] = [VAs] 2,2650E-29 Die Größen Strom und Spannung tauchen in der Tabelle 8-3-1 jeweils zweimal auf, als räumliche oder zeitliche Ableitung elementarer Quanten. Um ihre kleinsten möglichen Werte abzuschätzen, benötigt man eine größte Zeitspanne und entsprechend eine größte Länge. Als Zeitspanne macht das Alter des Weltalls Sinn, für die Länge könnte man den Weg wählen, den das Licht in dieser Zeit zurücklegt. Wenn man aber zwei Gleichungssysteme ( für I und für U ) hat, liegt es nahe, damit zwei Unbekannte zu bestimmen. Die räumlichen und die

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zeitlichen Bezüge sind jeweils, um die Bezüge leicht weiterverfolgen zu können, unterschiedlich farblich markiert. Zeile 2 enthält den Strom IE, dessen minimale Stärke sich aus der Elementarladung und dem maximalen zeitlichen Abstand zweier Elektronen ergibt IE = dQ / dt ; Imin = e / T0 [ 81-1 ] und Zeile 12 den Strom IM als räumliche Ableitung, wobei die Größe L0I die maximal mögliche Länge sein soll, QM ist die „magnetische Ladung“, IM = dQM / dx ; Imin = Qm / L0I [ 81-2 ] ergeben mit Qm =2Φ0 /µ0 als der kleinsten Einheit Imin = e / T0 = 2Φ0 / (µ0 L0I ) [ 81-3 ] eine Geschwindigkeit vI als Verhältnis von vI =L0I / T0 = ( 2Φ0 / µ0 ) * ( 1 / e ) = RK / µ0 = vM [ 81-4 ] Zeile 7 zeigt entsprechend für die Spannung und ihren minimalen Wert magnetisch UM = dΦ / dt ; Umin = 2Φ0 / T0 [ 81-5 ] und Zeile 17 elektrisch UE = dΦΕ / dx ; Umin = ΦΕ0 / L0U [ 81-6 ] Sie ergeben mit dem elementaren elektrischen Flußquant ΦΕ0 = e / ε0 U = 2Φ0 / T0 = e / ( ε0 * L0U ) [ 81-7 ] eine Geschwindigkeit vU als Verhältnis von vU = L0U / T0 = ( e / ε0 ) * ( 1 / 2Φ0 ) = 1 / ( RK * ε0 ) = vE [ 81-8 ] Dieses Gleichungssystem läßt sich nicht nach L0U = L0I = L0 und T0 auflösen, sondern ergibt aus den Naturkonstanten zwei Größen des Typs Geschwindigkeit, vU= vE und vI= vM, eine wesentlich größer und die andere entsprechend kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c, die sich dann als geometrischer Mittelwert beider zeigt. Diese doppelte Bezeichnung der Geschwindigkeiten soll den Bezug dieser Größen jeweils zu Spannung und Strom und den elektromagnetischen Naturkonstanten andeuten. An dieser Stelle soll vermieden werden, gedanklich schon einen eindeutigen Bezug festzulegen, denn schon nach wenigen Zeilen wird noch ein weiterer Bezug, nämlich zu Ladungen Flüssen, auftauchen. vM * vE = ( 2Φ0 / µ0 ) * ( 1 / e ) * ( e / ε0 ) * ( 1 / 2Φ0) = QM / 2Φ0 * ΦE0 / e = QM / e * ΦE0 / 2Φ0 ( vM * vE )1/2 = c [ 81-9 ]

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Das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten ist das Quadrat der doppelten Feinstrukturkonstante. vE / vM = e / ( ε0 * 2Φ0 ) / ( 2Φ0 / (µ0 * e) ) = ( e * ΦΕ0 ) / h * h / ( QM* 2Φ0 ) = ( µ0 / ε0 ) * ( e² / 4Φ0² ) = Z0² / RK² = 4 α² [ 81-10 ] Die Symmetrie der Gleichungen ist sicher ein Anlaß zur Freude, dies gibt den Anlaß zur Frage : haben diese „Geschwindigkeiten“ einen physikalischen Sinn ? vE = 4,3754 * 106 m/s ist fast zwei Größenordnungen kleiner als die Lichtgeschwindigkeit mit c = 2,9979 * 108

m/s und um den gleichen Faktor größer ist die Geschwindigkeit vM = 2,0541 * 1010 m/s. vM = dxI / dtI = ( 2Φ0 / µ0 ) * ( 1 / e ) = RK / µ0 = QM / e = c / 2α = vQ = 2,0541 * 1010 m/s. [ 81-4a ] vE = dxU / dtU = ( e / ε0 ) * ( 1 / 2Φ0 ) = 1 / ( RK * ε0 ) = ΦΕ0 / 2Φ0 = 2 α * c = vΦ = 4,3754 * 106 m/s [ 81-8a ] Bei mechanischen Wellen kann man die Gruppengeschwindigkeit vs ( s. [ 5-53 ] ) anschaulich auf die Trägheit der bewegten Massen M und die Stärke von koppelnden Kräften K zurückführen. vs² ~ K / M [ 5-53 ] Je größer die Trägheit und je schwächer die Kopplung, desto langsamer breitet sich eine Welle aus. Typisch für die Masse ist, daß sie sich einer zeitlichen Änderung widersetzt. M = F / ( d²x/dt² ) = p / ( dx/dt ) = 2Ekin / ( dx/dt )² [ 81-11 ] Die Rückschnellkraft F = s * x einer Feder entspricht ebenfalls einem Widersetzen, allerdings gegen eine räumliche Änderung. s = dF / dx = dEpot / ( x * dx ) [ 81-12 ] Im elektromagnetischen Fall kennt man eine Art Trägheit als das Widerstreben gegen eine Änderung. Die Größe eines Kondensators behindert das Anwachsen der Spannung, wenn Ladung hinzugefügt wird. Die Spule widersetzt sich einer Stromänderung durch das induzierte elektrische Feld als Folge sich ändernder Magnetflüsse. Auf eine elektrische Ladung wirken ortsabhängige Kräfte durch elektrische Felder FER= e * E und geschwindigkeitsabhängige Kräfte FEV = e * v x B durch Magnetfelder. Auf den Pol eines Magneten wirken entfernungsabhängige Kräfte FMR durch Magnetfelder und auf seine Bewegung Kräfte FMV durch elektrische Felder. FER = e * E = ΦE0 * ε0*E = ΦE0* D [ 81-13 ] FEV = e * v x B = ΦE0 * ε0 * v x µ0*H = ΦE0 /c²* v x H [ 81-14 ]

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mit e * E = ΦE0* D und mit QM * B = Φ * H FMR = Φ * H = QM * B [ 81-15 ] FMV = QM /c² * v x E = Φ ∗ ε0 * v x E = Φ * v x D [ 81-16 ] Wenn man jetzt jeweils eine raumbezogene und eine geschwindigkeitsbezogene Kraft gleichgesetzt, also das Gleichgewicht, das typisch für die Wellenausbreitung ist, ansetzt, dann erhält man als Ergebnis die Geschwindigkeiten vM und vE. Insofern kann man die Geschwindigkeiten vM und vE als zeitliche Integrale der Beschleunigung bei vergleichbarer Trägheit als ein Maß für die koppelnden magnetischen bei vM oder elektrischen Kräfte bei vE sehen, wenn man die diesbezüglichen Naturkonstanten mit dem Klitzingwiderstand kombiniert. In der elektromagnetischen Welle treten sie gemeinsam auf und liefern den Mittelwert dieser Geschwindigkeit, die Lichtgeschwindigkeit c = 1 / (µ0 * e)1/2 = ( vM * vE )1/2. [ 81-9 ], ihr Quotient ist durch die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante gekennzeichnet vE / vM = 4 α², [ 81-10 ], was deren bekannter Interpretation entspricht. In anderer Kombination zusammengefaßt liegt die Deutung der Geschwindigkeiten als Verhältnisse elektromagnetischer Ladungen und Flüsse nahe. vM = RK / µ0 = Qm / e = vQ [ 81-4a ] vE = 1 / ( RK * ε0 ) = ΦΕ0 / 2Φ0 = vΦ [ 81-8a ] Damit vergrößert sich die Sammlung elementarer Größen und ihrer Beziehungen zueinander, die in Kapitel 9 zu einem elektromagnetischen Quader zusammengefaßt werden können.

8 Ergänzung


8.3.1.1. Verschiedene Impedanzen Aus der Tabelle 8-3-1 lassen sich mit den Spannungen aus Zeilen 7, UM und 17, UE und den Strömen von Zeilen 2, IE und 12, IM Impedanzen Z = U / I in vier unterschiedlichen Kombinationen berechnen : UM / IE = ( 2Φ0 / T0 ) / ( e / T0 ) = 2Φ0 / e = RK [ 81-17 ] UE / IE = ( ΦΕ0 / L0U ) / ( e / T0 ) = ( ( e / ε0 ) / L0U ) / ( e / T0 ) = 1 / ε0 * T0/ L0U = ( 1 / ε0 ) / vΦ = RK [ 81-18 ] UM / IM = ( 2Φ0 / T0 ) / ( 2Φ0 / (µ0 L0I ) ) = ( µ0 L0I / T0 ) = µ0 * vQ = RK [ 81-19 ] UE / IM = ( ΦΕ0 / L0U ) / ( 2Φ0 / (µ0 L0I ) ) = ( e / 2Φ0 ) * (µ0 / ε0) * ( L0I / L0U ) = 1/ RK ∗ Z0² * vQ / vΦ = RK [ 81-20 ] wegen ( L0I / L0U ) = vQ / vΦ = RK²/ Z0² Alle vier Quotienten ergeben als Impedanz den Klitzingwiderstand RK, das Verhältnis zweier Magnetflußquanten zur Elementarladung, der damit seinen elementaren Charakter wieder zeigt. In Gleichung [ 81 – 15 ] zeigen die Quotienten im Zähler einen Zusammenhang mit lokalisierten Objekten während im Nenner mit ausgedehnten Feldern verbundene Größen zu finden sind.

8 Ergänzung


8.3.1.2. Mechanische Analogien Tabelle 8-3-2 Die mechanische Analogie

21 Länge / Amplitude x [ m ] 9,8713E-12 (h/2Zm)1/2 22 Geschwindigkeit v = dx / dt [ m / s ] 2,2650E-29 23 Beschleunigung b = d²x / dt² [ m / s² ] 5,1969E-47 24 25

26 Impuls p = m * v [ Ns ] = [ kg m / s ] 3,3562E-23 (Zm*h/2)1/2 27 Kraft F = dp / dt [ N ] = [ kg m / s² ] 7,7008E-41 28 Kraftstoß''=Kraftänderung F' = dK / dt [ N/s ] = [ kg m / s³ ] 1,7669E-58 29 30

31 Xkin = v * x [ m² /s ] 32 Geschwindigkeit v [ m / s ] 33 Frequenz, 1/Dauer dv / dx = d / dt [ 1 / s ] 34 35

36 Energie Epot = F * x [ Nm ] = [ kg m² / s² ]

37 Kraft F = dEpot / dx [ N ] = [ kg m / s² ] 38 Feder dF / dx [ N/m ] = [ kg / s³ ] 39 40 Entsprechend den Gruppen in den Zeilen 1-3, 6-8, 11-13 und 16-18 gibt es mechanische Analogien, die als mechanische Größen in den Zeilen 21-23, 26-28, 31-33 und 36-38 eingetragen sind. Q -> Zeile 21 x = n * Θ [ 81-21 ] IE -> Zeile 22 vt = Θ * dn / dt [ 81-22 ]

Φ -> Zeile 26 p = m * v = m * 2Π [ 81-23 ] UM -> Zeile 27 Ft = dp / dt = Π * dm/dt [ 81-24 ] QM -> Zeile 31 Xkin = v * x [ 81-25 ] IM -> Zeile 32 vx = E / p [ 81-26 ] ΦΕ -> Zeile 36 Epot = F * x = n* Θ * 2 Π * dm / dt = h * n * dm / dt [ 81-27 ] UE -> Zeile 37 Fx = dEpot / dx = d ( n * Θ * 2 Π * dm / dt ) /dx = = dn/dx* Θ * 2 Π * dm / dt + n * Θ * 2 Π * d²m / dt * dx = h * ( dn/dx* dm/dt + n * d²m / dt*dx ) [ 81-28 ] Mit der Analogie x <-> Q und p <-> Φ gelten folgende Zusammenhänge, bei denen als neue Größen die potentielle Energie Epot analog zum elektrischen Fluß ΦΕ auftaucht und die Größe Xkin analog zur magnetischen Ladung QM. Um die Ähnlichkeit der Gleichungen zu

8 Ergänzung


vervollständigen, sind zwei Größen nötig, die den Naturkonstanten ε0 und µ0 des elektromagnetischen Falles entsprechen. Der Einfachheit halber sollen sie ε und µ genannt werden, m ist die Masse. Wegen QM = Φ /µ0 und ΦΕ = Q / ε0 sollte gelten Xkin = v * x = p * x / m [ 81-29 ] v * x = p / µ [ 81-210 ] µ = m * v / ( v * x ) = m / x [ 81-211 ] µ = ( 2 Π / Θ ) * dt/dx [ 81-212 ] und wegen ΦΕ0 = e / ε0 wie im harmonischen Oszillator bei der Auslenkung x = n * Θ mit der gespannten Feder gilt Epot = F * x = n * Θ / ε [ 81-213 ] also F = 1 / ε, ε = 1 / F, [ 81-214 ] Das Produkt der beiden Faktoren ist dann mit E = m * c² µ ∗ ε = m /x * x/Epot = m / Epot = m / m *c² = 1 / c² [ 81-215 ] Dieses Ergebnis entspricht dem elektromagnetischen Fall. Allerdings wäre anstatt einer Kombination der Masse mit der Auslenkung µ = m / x die Kombination der Kraft F mit der Auslenkung x entsprechend einer Federkonstante F/x physikalisch einfacher vorzustellen. Der Quotient der beiden Faktoren entspricht dem Quadrat einer zu erwartenden mechanischen Impedanz. µ / ε = m * F / x [ N² s² / m² ] [ 81-216 ] Mit der inversen Analogie x <-> Φ und p <-> Q vertauschen auch ε und µ ihre Bedeutung, aber im Prinzip ändert sich nichts.

8 Ergänzung


8.4. Ein Impuls auf der Leitung im Minkowskiraum Um die Gedanken der speziellen Relativitätstheorie mit einzubeziehen, ist es sinnvoll, das Ausbreiten von Photonen auf eine räumliche Dimension zu beschränken. Man denke sich daher eine Leitung, in die ein Strom I ( t ) geleitet wird, also eine zeitliche Folge von Elektronen während einer Dauer Timp. Die Raumkoordinate der Leitung sei x, das raum-zeitliche Geschehen mit der Zeit t sei in der für die zweidimensionale, zur Erläuterung der speziellen Relativitätstheorie bekannten Ebene { x ; ct } dargestellt. Dies System wird mit einer dritten Achse, dem Strom I ergänzt { x ; ct ; I }. In diesem Koordinatensystem breitet sich ein Signal auf der Leitung auf der Lichtgeraden mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Ein solches Signal besteht nicht aus den originalen, in die Leitung gegebenen Elektron-Lochpaaren, sondern aus den von ihnen ausgelösten elektromagnetischen Feldern. In Bild 8UW-41 ist ein solcher Impuls auf der blauen, diagonalen Linie der Lichtausbreitung dargestellt. Der zeitliche Abstand Te aufeinanderfolgender Elektronen hängt von der Stromstärke ab. In der Abbildung sind Impulse gleicher Ladungsmenge Q aber mit einer um den Faktor zwei unterschiedlichen Stromstärke gezeigt, bei doppeltem Strom I2 = 2 I1 ist die Impulsdauer Timp1 = 2Timp2 dann halb so lang. Die Projektion dieses Impulses auf die Zeit-Strom-Ebene ergibt eine zur Ladung Q = I * t proportionale Fläche. Eine entsprechende Projektion ( im Bild gelb ) auf die Ebene von Raum- und Stromachse enthält ergänzende Information, ist aber bei der gegenwärtigen physikalischen Sichtweise eine mit der Einheit [ Am ] in der Technik als magnetische Polstärke geläufige Größe, die im vorherigen Abschnitt als magnetische Ladung auftrat. Sie entspricht einer zweimal räumlich ( über eine Fläche ) integrierten magnetischen Feldstärke.

Bild 8UW-41 Impulse auf einer Leitung mit gleicher Ladung Q verteilt auf unterschiedliche Impulsdauern Timp1 = 2Timp2. Die Ebene repräsentiert den Minkowski-Raum , raumartige Ereignisse sind im hellgelben Bereich, zeitartige im hellblauen Bereich, Licht breitet sich auf der blauen Diagonale, der Lichtlinie, aus. In dieser Darstellung müßten korrekterweise die Ladungen und die Zeiten noch mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert werden.

8 Ergänzung


Die elektrische Ladung Q = n * e liegt gequantelt vor, Strom-, Raum- und Zeitachse repräsentieren beliebige analoge Werte. Im Bild 8UW-42 ist ein solcher Impuls außer im Koordinatensystem { x ; ct ; I } auch in der Projektion eines dagegen bewegten Koordinatensystems { x’ ; ct’ ; I } gezeigt. Die projizierten Flächen erscheinen einem Betrachter des Bildes wegen der Impulsdauern T und T’ unterschiedlich groß, in der Metrik der jeweiligen Koordinatensysteme sind die Achsen aber von gleichem Maß, wie die Konstruktion im Bild links oben zeigt. Dies entspricht gleich großen, den Ladungen Q entsprechenden Flächengrößen, die Ladung bleibt bei Lorentz-Transformationen ja auch unverändert. Würde man anstelle der Stromachse eine Achse Spannung wählen, ergäbe sich ein der Ladung entsprechendes Bild für den Magnetfluß. Bei den üblichen Impedanzen technischer Leitungen gäbe es allerdings nur ein Magnetflußquant pro 50 – 250 Elektronen.

Bild 8UW-42 Die Ladung Q eines Impulses in verschiedenen Koordinatensystemen { x ; ct ; I } oder { x’ ; ct’ ; I }

8 Ergänzung


Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie wird die Achse der Zeit meist mit der Lichtgeschwindigkeit c multipliziert und man erhält dadurch für sie ebenfalls als Einheit die Länge des Meters [m]. Dies soll bei den folgenden Abbildungen nicht geschehen, sondern die Zeitachse wird unverändert mit dem Zeitmaßstab Sekunde [s] verwendet werden. Dann gibt die Geschwindigkeit c an, über welche Raum- und Zeitbereiche ein sich mit c fortbewegenden Objektes während einer Messung der Dauer T ausgedehnt erscheint. Wenn die Materialkonstanten ε und µ beide eins sind, breitet sich ein elektromagnetischer Impuls auf einer Leitung mit Lichtgeschwindigkeit c aus. In Bild 8UW-43 ist der Strom eines solchen Impulses beim Ausbreiten gezeigt, die dritte Achse ist daher der „Strom“ I(t) [A]. Die Grafik eines auf der Lichtgeraden laufenden Rechteck - Impulses zeigt die zeitliche Änderung seiner Stromverteilung und sein Ausbreiten auf einer Leitung. Seine Projektionen auf die Ebene aus Zeit- und Strom -Achse liefert die als Quelle der transportierten elektrischen Felder wirkende Ladung QE [As]. Diese ist in Bruchteile der Elementarladungen e gequantelt. Die Projektionen auf die Ebene Raum mal Strom liefert eine Größe mit der Einheit [Am], deren Länge sQ ist. Diese Fläche hat die Einheit der oben erwähnten magnetischen Ladung QM. Der gedachte Stromimpuls auf der Leitung soll eigentlich nach der ersten Vorstellung eine konstante Amplitude I(t) für seine zeitliche Dauer Timp aufweisen. Die Projektion auf die Ladungsebene ließe dann eine zeitlich konstante Folge elementarer Ladungsstöße erwarten. Eine solche Folge mit konstantem Zeitabstand TQ zwischen den einzelnen Ladungen e wäre aber gleichbedeutend einem Wechselstromanteil mit der Frequenz f = 1 / Te. Die zu einem einzelnen Rechteck - Impuls gehörende Frequenzverteilung weist keine diskrete Frequenz auf, sondern sein Spektrum erstreckt sich gleichmäßig und kontinuierlich über einen definierten Frequenzbereich. Ein solches Spektrum läßt sich nur erreichen, wenn die Zeitintervalle zwischen den einzelnen Ladungen sehr ungleichmäßig sind. Die Folge davon ist ein Rauschen in der Strom-Amplitude des Rechtecksignals, da die projizierten Flächen der Ladung e ja alle gleich sind. Dies ist in Bild 8UW-43 gezeigt, die Flächen der Ladungen e sind alle gleich, ihre Breite und Höhe dagegen schwankt unregelmäßig. Ein gleichartiges Verhalten zeigen Photonen, die bei konstanter Lichtamplitude unregelmäßig aufeinander folgen.

Bild 8UW-43 Gemittelter Impuls auf einer Leitung, Quelle sind die im mittleren Zeitabstand Te eingespeisten Elektronen e. Die Lichtlinie ist L. In der Realität sind die Flächen der Ladung e gleich groß, ihr zeitlicher Abstand schwankt aber um den Mittelwert von Te und entsprechend rauscht die Stromstärke I ( t ), wie bei den beiden im Bild vordersten Elektronen angedeutet.

8 Ergänzung


Die Projektion des Impulses auf die { x ; t } – Ebene entspricht der in 8.5 behandelten magnetischen Ladung QM, deren Grundeinheit Qm = 2 Φo / µo [ 8-15 ] dort an den magnetischen Fluß Φ0 gekoppelt erscheint. Auch diese, den elektrischen Ladungen e entsprechenden Flächenelemente, wären dann von einheitlicher Größe. Magnetische Monopole wurden im Experiment als elementare Quanten mit Masse noch nicht beobachtet. In der masselosen Form, wie auch die elektrische Elementarladung in den vorherigen Kapiteln im Zusammenhang mit Photonen auftaucht, sollten sie entsprechend Bild 8UW-43 und in ihrem Bezug zu den magnetischen Flußquanten, siehe Tabelle 8-2 in Kapitel 8.5., in elektromagnetischen Wellen und bei Photonen zumindest als Polstärken zu beobachten sein. Im Bild 8UW-14 ist anstatt des Stroms I(t) als dritte Achse die Spannung U(t) des Impulses gewählt. Dann sind die Projektionen des Impulses auf die { U x t } – Ebene magnetische Flüsse ΦM [Vs] und auf die Ebene von Raum x und Spannung U elektrische Flüsse ΦE [Vm]. Mit den gequantelten Magnetflüssen Φ0 sind wir inzwischen vertraut und können auf das Rauschen der Spannung entsprechend der des Stroms wegen der gequantelten Ladung von Bild 8UW-13 schließen. Dem Rauschen kann man auch noch eine andere Ursache zuordnen, nämlich einen Mangel an Information. Da einzelne Quanten nur begrenzte Information transportieren können, kann auch die Größe Spannung in diesem Fall nur ungenau von einzelnen Flußquanten übertragen werden, erst die Mittelung über viele Werte liefert genaue Ergebnisse.

Bild 8UW-44 Spannung eines Rechteckimpulsen auf einer Leitung Wie ist nun der Zusammenhang dieser gequantelten Flächen mit den Flächen entlang der Raumachse, die ja ebenfalls wegen ihrer Relation zu den bekannten Quanten gequantelt sein sollten ? In Kapitel 8.3. traten zwei Geschwindigkeiten auf, die mit den hier verwendeten Größen zusammenhängen. vQ = dxI / dtI = c / 2α = vM = QM / e [ 81-4a ] vΦ = dxU / dtU = 2 α * c = vE = ΦΕ0 / 2Φ0 [ 81-8a ]

8 Ergänzung


Das Differenzieren des Begriffes „Zeit“ in den Unterschied von „Dauer“, der im Zusammenhang mit den gequantelten Koordinatensystemen dominierte und dem der „ablaufenden Zeit“ zum Sortieren der Folge von Ereignissen im analogen Bereich muß hier ins Gedächtnis gerufen werden, insbesondere auch der Fakt, daß die „ablaufende Zeit“ mit ihren Ereignissen eine Abfolge von „Dauern“ konstanter Zustände ist, in denen man keine Änderung beobachten kann. Außerdem tauchte beim Betrachten des Schwingkreises in Kapitel 3 im energieärmsten Schwingungsfall zeitliche Differenzen zwischen der Periodendauer und der Summe der Zeiten mit elektromagnetischen Feldern auf, es existierten „Umschaltzeiträume“ ohne energietragende Felder, in denen die Energiedifferenz anderer Zeiträume kompensiert wurde. In den vorherigen Bildern wurde die Ausbreitungsgeschwindigkeit mit der Lichtgeschwindigkeit angenommen, so wie es die praktische Erfahrung zeigt. Das Bild 8UW-43 enthält allerdings die Größen der magnetischen und elektrischen Ladung und sollte durch die Geschwindigkeit vQ zu verbinden sein, daß Bild 8UW-44 enthält magnetische und elektrische Flüsse und daher eine Nähe zur Geschwindigkeit vΦ. Mit diesen Gedanken im Hinterkopf soll nun das Ausbreiten der Welle auf der Leitung untersucht werden. Dabei gibt es nach unserer klassischen Vorstellung elektrische oder magnetische Felder, die sich bei ihren Änderungen gegenseitig bedingen und abwechseln. Anlehnend an Kapitel 3 existieren solche Felder mit Dauern, die von der Energie abhängen, die Wirkung h = E * T steht als Konstante im Hintergrund, zu großen Energiedifferenzen E gehören kurze Zeiten T. Zwischen solchen Zeitdauern konstanter Felder ( konstant in dem Sinne, daß im Rahmen der „Genauigkeit“ keine Änderung feststellbar und im Sinne von „Information“ auch nicht besser definiert ist ) gibt es das „Ereignis“, die Änderung der Feldkombinationen zu einem sortierbaren Zeitpunkt. Wie in Kapitel 6 ausgeführt, hat dieser Zeitpunkt allerdings eine endliche Dauer. Im energieärmsten Fall wechseln sich elektrische und magnetische Felder ab. Wenn sich ein Objekt bewegt oder eine Welle sich ausbreitet, dann wird entsprechend der Geschwindigkeit in diesem Zeitbereich zwischen zwei Ereignissen oder Messungen eine Weglänge zurückgelegt. Zu jeder Zeitdauer T ( in der keine Änderung der beobachteten Parameter stattfindet ) gehört eine räumliche Länge s oder Ausdehnung, beide Größen sind über die Geschwindigkeit v = s / T miteinander verknüpft. Bezogen auf gleiche zeitliche Dauern sind diese Längen für elektrische und magnetische Felder unterschiedlich, für die Dauer T gilt bezogen auf die Ladungen sQ = TQ * vQ [ 84-1 ] und im Gegensatz dazu bezogen auf die Flüsse sΦ = TΦ * vΦ [ 84-2 ] In abwechselnder Folge der Felder ergibt sich dann die Lichtgeschwindigkeit c als Mittel des Raumbereiches, der während einer großen Zeitspanne im Mittel erfaßt wird. Dieser Gedanke mag zunächst einleuchtend erscheinen, allerdings beobachtet man diese Abfolge von Feldern bei einer elektromagnetischen Welle nur, wenn sie als stehende Welle lokalisiert wird. Im Falle einer laufenden Welle sind elektrische und magnetische Felder in Phase, treten also gleichzeitig am gleichen Ort auf. Dann ist die Zuordnung entsprechend obigen Gleichungen für ein Abwechseln von Ladungen Q und Flüssen Φ mit den dazugehörigen Geschwindigkeiten und deren Nebeneinander wohl sinnvoller. Dieses Zuordnen von Dauern und Längen über die Größe Geschwindigkeit soll nun auf den Fall angewendet werden, daß als gequantelte Größen Ladungen und Flüsse vorliegen.

8 Ergänzung


Bild 8UW-45 zeigt im Fall der Ladungen, den elektrischen e und magnetischen QM , verknüpft über die Geschwindigkeit vQ, wie solche Beziehungen ausfallen. Je nach Größe des Stroms steht den einzelnen Elektronen mehr oder weniger Zeitdauer zur Verfügung und entsprechende räumliche Längen auch den magnetischen Ladungen. Der Quotient „Geschwindigkeit“ vQ ist nach Gleichung [ 81-4a ] hier lokal wesentlich größer als die Lichtgeschwindigkeit c. Die gezeigten Objekte (Volumen) entsprechen nicht den Projektionen der Ladungen, da in der Zeichnung berücksichtigt ist, daß in das Produkt der beiden Flächen ( entsprechend Energie und Wirkung ) der Strom I quadratisch eingeht. Die Objekte sind eigentlich vierdimensionale Größen ( Kreuzprodukte von Kreuzprodukten ), wir können davon hier aber nur drei Dimensionen darstellen. vΦ / c = ( ΦΕ0 / 2Φ0 ) / c = c * ( e / QM ) = c / vQ = 2 α [ 84-3 ] Die gezeigten Quader demonstrieren für den Strom des Impulses, welche räumlichen Längen von Magnetpolen den Zeitabständen zwischen elektrischen Ladungen zugeordnet werden.

Bild 8UW-45 Ladungspaket eines Stromimpulses auf einer Leitung Bild 8UW-46 zeigt die entsprechende Abbildung mit den elektrischen und magnetischen Flüssen als Seitenflächen und mit der dritten Achse Spannung U(t). Diesmal ist der Quotient „Geschwindigkeit“ vΦ um den Faktor 2 α kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Diese Größe zeigt, worauf der zeitliche Abstand von Magnetflußquanten zu dem räumlichen von elektrischen Flußquanten abgebildet wird. Wesentlich für die Größe dieser Geschwindigkeitsquotienten ist die Impedanz der Leitung, da sie angibt, wie viele elektrische Quanten den magnetischen entsprechen. Im Fall des Klitzingwiderstandes sind das zwei magnetische Flußquanten pro Elektron. Hier wurde bisher angenommen, daß die Vakuumimpedanz vorliegt. Dann gibt es etwa vierunddreißig

8 Ergänzung


Elektronen pro Magnetischem Flußquant. Die Zeichnungen beziehen sich daher auf dem Klitzing-Widerstand, etwas anderes wäre nicht maßstabsgerecht darzustellen.

Bild 8UW-46 magnetische und elektrische Flussquanten eines Impulses auf einer Leitung

Bild 8UW-47 Sich abwechselnde Ladungs- und Flußquanten eines Impulses auf einer Leitung

8 Ergänzung


In realen elektromagnetischen Wellen existieren nach den bisherigen Ideen dieses Buches aufeinanderfolgende Zeitspannen TQ und TΦ mit den Feldern, die für kurze Zeiträume im Rahmen der vorhandenen Information als konstant definiert sind. Das Zuordnen zwischen Raum (Länge) und Zeit (Dauer) über die Geschwindigkeiten vΦ und vQ gilt nur für diese kurzen Zeiträume und ist im Rahmen der begrenzten Genauigkeit von definierter Zeit so anschaulich zu machen. Man kann sich vielleicht vorstellen, daß die Felder abwechselnd aufeinanderfolgen, wie es Bild 8UW-47 zeigt. Die aus diesen Werten gemittelte Geschwindigkeit ist dann die bekannte Lichtgeschwindigkeit c. Aber auch dieses Bild hat nur didaktischen Wert. Bei der fortlaufenden Welle wechseln sich die magnetischen und elektrischen Felder eben nicht nur ab, sondern sind nebeneinander vorhanden. Durch eine Messung entscheidet der Experimentator dann zwar, was davon detektiert wird, bis zu diesem Zeitpunkt existieren aber die gedanklich erwarteten Objekte gleichzeitig. So wie es das Bild 8UW-48 nebeneinander zeigt, sind parallel die ladungsmäßigen oder flußmäßigen Objekte vorhanden. Die Genauigkeit von Zeitintervallen und Längenintervallen ist, abhängig von der Energie, begrenzt. Dies ist nicht ein Problem der Meßgenauigkeit, sondern der vorhandenen Informationsmenge. Von daher sind die im Bild 8UW-47, 8UW-48 gezeigten Überlappungen zwingend. Der linke und der mittlere Teil des Bildes sind gleichzeitig vorhanden und es gibt ein Zuordnung von Ladungen und Flüssen, wie sie rechts zu sehen ist. Die Art der Messung entscheidet, was davon zum Zeitpunkt der Beobachtung gesehen wird. Zum Zeitbereich eines magnetischen Flußquants gehören dann eben mehrere Elektronenladungen und zur Ausdehnung eines Magnetpols mehrere elektrische Flußquanten.

Bild 8UW-48 Die nebeneinander existierenden Ladungs- und Flußquanten eines Impulses auf einer Leitung Klassisch erwarten wir, daß die Schwankungen des Stroms entsprechende Änderungen der Induktionsspannung in den stromtragenden Induktivitäten erzeugen. Die Zahl der magnetischen Flußquanten pro Elektron ist abhängig von der Impedanz der den Impuls tragenden Leitung. Diese Impedanz ist bei wenigen Elektronen und Flußquanten nur sehr ungenau definiert ( Kapitel 2.3. ) und damit auch deren Verhältnis. Die Folge davon ist, daß das der Impedanz entsprechende Verhältnis den Grenzwert für langandauernde Messungen liefert, in kurzen Zeiten bei wenigen Quanten pro Messung aber erheblich andere Verhältnisse von der Menge der Elektronen zu der der Flußquanten beobachtet werden sollten. Bei kleinen Zahlen ist also nicht mit einer festen Anzahl „magnetischer Ladungen“ QM pro elektrischer Ladung e zu rechnen. Die Grenzen des Informationstransportes pro Ladungseinheit zeigen sich in der Unsicherheit, der Schwankung des Zeitintervalls Te zwischen den einzelnen Ladungspaketen. Solche Zeitspannen zu messen ( und zu definieren ), erfordert eine externe

8 Ergänzung


„Uhr“, den Bezug zur Außenwelt, die interne Zeit, die sich aus der Folge der Zeitintervalle ergibt, hat wohl eine andere Bedeutung. Die Projektionen des Impulses auf die Zeitachse t liefern im Fall des Stromes die Quanten der Ladung e und im Fall der Spannung die magnetischen Flußquanten Φ0. Diese Größen sind dem Leser inzwischen sicher vertraut, es gibt aber nun zwei andere Größen, die hier gleichrangig erscheinen, die Projektionen auf die Raumachse x. Dies sind beim Strom die magnetische Ladung QM und bei der Spannung der elektrische Fluß ΦΕ. Auch diese Größen sind entsprechend den Gleichungen ΦE0 = e / εo [ 8-27 ] und QM0 = Φo / µo . [ 8-211 ] gequantelt. Für das Ausbreiten einer Welle im Vakuum mit der Impedanz Z0 wäre eine maßstabsgerechte Zeichnung schlecht zu überblicken. Auf den Zeitraum TΦ zweier magnetischer Flußquanten 2Φ0 kämen etwa achtundsechzig Elektronen ( genau 1 / (2α) ). Auf die den Flußquanten 2Φ0 entsprechende magnetische Polstärke QM kämen genauso viele elektrische Flußquanten ΦΕ0. Wie Bild 8UW - 48 rechts zeigt, gibt es also pro Elektron e ein elektrisches Flußquant ΦΕ0 und entsprechendes für die magnetischen Größen. Die raumzeitliche Verknüpfung ist dann in beiden Fällen durch die Lichtgeschwindigkeit c gegeben. Es sei auf jeden Fall darauf hingewiesen, daß die Achsen dieses Koordinatensystems räumliche Positionen zueinander und eine zeitliche Abfolge darstellen. Die den elektromagnetischen Quanten zugeordneten Bereiche bedeuten aber zeitlich Dauern und räumlich Längen, innerhalb derer Unterschiede und Abfolge nicht definiert sind.

8 Ergänzung


8.4.1. Die mechanische Analogie Mechanisch kennen wir “ actio “ gleich „ reactio “ , Kraft und Gegenkraft stehen im Gleichgewicht. Beim Schwingen des Masse-Feder-Systems sind es die Größen der rückschnellenden Federkraft und der Massen-Trägheit. Die Masse widersetzt sich einer zeitlichen Änderung, die Feder einer räumlichen. Es gibt also eine zeitliche und eine räumliche Trägheit. Das Resultat beider ist dann die Geschwindigkeit von Schallwellen. Im elektromagnetischen Fall beobachten wir doppelt so viele widersetzende Größen wie in der Mechanik. Am besten bekannt sind die Kräfte auf eine elektrische Ladung, zum Beispiel ein einzelnes Elektron. Auf solch ein Elektron wirken elektrische Felder räumlich und magnetische Felder nur bei Bewegung, also zeitlich. Die Kräfte sind räumlich FER = e * E [ 81-13 ] und auf Bewegungen bezogen FEV = e * v x B [ 81-14 ] Analog dazu gibt es allerdings Kräfte auf Magnete, räumlich das Anziehen oder Abstoßen durch Magnetfelder und zeitlich auf die Bewegung im elektrischen Feld, also statisch FMR = QM * B = 2Φ0 * H [ 81-15 ] und dynamisch FMV = QM /c² * v x E = 2Φ0 * v x D [ 81-16 ] Im mechanischen Fall wird die Geschwindigkeit vs, mit der sich Schallwellen ausbreiten können, durch die Massenverteilung und die Kräfte zwischen diesen aufgrund von Auslenkung bestimmt. Größere Massen M und weichere Federn f, ng führen zu langsameren Schallwellen. Zeitliche und räumliche Trägheitskräfte sind im Gleichgewicht. Ähnliches sollten wir bei elektromagnetischen Wellen erwartet, da es die analogen Kräfte gibt. Die Kombination von zeitlichen und räumlichen Trägheiten muß in einer Geschwindigkeit resultieren, es sind hier im elektromagnetischen Fall also zwei Geschwindigkeitswerte zu erwarten, wie sie schon in Kapitel 8 gefunden wurden. Setzt man statisch und dynamisch die Gleichungen [ 81-13 ] und ins Gleichgewicht[ 81-16 ], so ergibt sich FER = e * E = FMV = 2Φ0 * v x ε0 E e / ε0 = ΦE = 2Φ0 x v [ 84-17 ] und damit die schon bekannte Geschwindigkeit v = ΦE / 2Φ0 = vΦ [ 84-18 ] Setzt man die Kräfte der Gleichungen [ 81-14 ] und [ 81-15 ] gleich, so gilt FEV = e * v x B = FMR = QM * B [ 84-19 ]

8 Ergänzung


und für die Geschwindigkeit entsprechend v = QM / e = vQ [ 84-20 ]

Die beiden neuen Geschwindigkeiten vΦ und vQ lassen sich also sehr einfach auf eine mechanische Analogie zurückführen und die in Kapitel 8 gewählte Darstellung wird damit bestätigt. Gleichgewicht der Kräfte in anderen Kombinationen passend für andere Situationen ergeben ebenfalls durchaus interessante Beziehungen, so liefert das Gleichsetzen von [ 81-13 ] mit [ 81-14 ] E = v x B [ 84-21 ] das Gleichsetzen von [ 81-15 ] mit [ 81-16 ] H = v x D [ 84-22 ] das Gleichsetzen von [ 81-13 ] mit [ 81-15 ] RK = E / H [ 84-23 ] das Gleichsetzen von [ 81-14 ] mit [ 81-16 ] RK = B / D = ( µo / εo ) * ( H / E ) [ 84-24 ] für Fälle, die an dieser Stelle aber nicht weiter diskutiert werden sollen. In Kapitel 5 wurden Photonen mit Bild 5Ph3 in dem Koordinatensystem { Q ; Φ ; f } dargestellt, das aus elektrischer Ladung, magnetischem Fluß und der Frequenz gebildete Volumen stellte die Energie eines Photons dar. Es liegt nahe, parallel dazu als Basis des Koordinatensystems eine Ebene zu nehmen, die vom elektrischen Fluß ΦΕ0 und der magnetischen Ladung QM0 aufgespannt wird. Flächen darin haben die Einheit eines Wirkungsquantums multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit zum Quadrat, h*c² [VAm²]. Die dritte Achse sollte nun auf eine Raumkoordinate bezogen sein, gewählt wird hier 1/λ die reziproke Wellenlänge des Photons, die Wellenzahl. Bild 8 - 49 zeigt nun wieder ein Volumen für das Photon, dies stellt nun nicht wie vorher die Energie sondern den Impuls des Photons multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit dar. p = h * f / c = h / λ [ 5-27 ] V = h * c² / λ = p * c² [ 84-4 ]

8 Ergänzung


in dem vorher benutzt Koordinatensystem mit elektrischer Ladung und magnetischem Flußquant liefert diese raumbezogenes dritte Achse den Impuls des Photons direkt.

Bild 8UW49 Das Volumen ist der Impuls des Photons im Koordinatensystem multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit { QM ; ΦE ; 1/λ }. Damit sind nun eine Reihe von Größen mit elementarem Charakter aufgetaucht, deren Zusammenhang mit den Naturkonstanten im folgenden Kapitel dargestellt wird.

abzählbare physik 8 : ergänzung

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