PERSAMAAN GARIS LURUS

Disusun(Text ,Gambar dan

Animation)Oleh : R.SITIO

• Pada f(x) = ax + c , dapat dirobah penulisannya menjadi y = ax + c.

• y = ax + c disebut Persamaan garis lurus Dua Variabel atau Persamaan Linier Dua Variabel.

• Bentuk Persamaan Garis Lurus ada beberapa jenis , misalnya :1. by = ax + c2. ax + by = c3. ax + by + c = 04. ax = c5. by = c

I. PENGERTIAN PERSAMAAN GARIS LURUS

II. GRAFIK PERSAMAAN GARIS LURUSSoal pengantar :

Harga :3 pensil + 2 buku = Rp 4.800

Dari pernyataan diatas :(i). Seandainya pensil gratis berapakah harga 1 buku?

(ii). Andaikan buku yang gratis berapa harga 1 pensil?

Catatan : Gratis berarti harganya Rp 0,-

Tentukan harga satu buku pada

masing-masing titik yang hitampada grafik dikanan ini!

0400

800

1200

1600

2000

400800

1200

1600

2000

24002800

Grafik : 3p + 2b = 4.800

pensil

buku

(0,2400)

(1600,0)

(800,1200)

• Grafik y = ax + c adalah merupakan garis lurus dan berpotongan dengan sumbu y dititik (0,c)

Contoh 1 :Gambarlah grafik : y = 2x + 6

Jawab :Perpotongan dengan sumbu

y adalah di titik (0,6)Jika y = 0 maka :0 = 2x + 6-2x = 6x = -3 Titik potong dengan sumbu X di titik (-3,0)

1 2 4 53 X

Y

0-2 -1-3-4-5

21

34567(0,6)

-2-1

-3

(-3,0)

y = 2x + 6

Contoh 2 :Gambarkan grafik garis yang persamaannya x + y = 5Jawab :Untuk titik ke 1 :

x = 0x + y = 5

↔ 0 + y = 5↔ y = 5Untuk titik ke 2 :

x = 4↔ 4 + y = 5↔ y = 5 – 4↔ y = 1

(0,5)

(4,1) X0-2 -1-3 1 2 4 53 76

21

3456Y

-2-1

-3

(0,5)

(4,1)

Contoh 3 :Gambarkan grafik garis yang persamaannya 2x – y = 6Jawab :Titik ke 1 :

x = 02x – y = 6

↔ 0 – y = 6↔ y = -6Titik ke 2 :

y = 0↔ 2x – 0 = 6↔ 2x = 6↔ x = 3

(0,-6)

(3,0)

X0-4 -3 -2

-1 2 31 54

(0,-6)

(3,0)12

Y3

-2-3

-1

-5-4

-6-7

Grafik 2x – y = 6

Soal-soalGambarlah grafik dari :1. x = -32. y = 53. y = x + 34. x + 2y = -45. 2y = 6x – 9 6. 5x – 2y = -107. 3x + 4y – 12 = 0

III. PERSAMAAN YANG EKIVALEN•Dua Persamaan yang ekivalen adalah persamaan yang maksud dan artinya sama tetapi beda penulisannya.

Contoh 1 :Harga : 3 pensil + 4 buku = Rp 15.000 ,Harga : 6 pensil + 8 buku = Rp ………Jadi Persamaan : 3 pensil + 4 buku = Rp 15.000 ekivalen dengan 6 pensil + 8 buku = Rp 30.000

Atau ditulis dengan singkat seperti berikut ini : 2p + 4b = 15.000 ekivalen dengan 6p + 8b = 30.000

30.000Dikali 2 , hasilnya

Contoh 2 :Rumus menghitung keliling persegi panjang adalah : K = 2p + 2l

Bila diketahui lebar dan Keliling , bagaimana rumus menentukan

panjangnya?Jawab :↔ K = 2p + 2l↔ 2p + 2l = K↔ 2p = K – 2l ↔ p = ½ (K – 2l)

Dari jawaban itu dapat dilihat bahwa :

1). K = 2p + 2l 2). 2p + 2l = K 3). 2p = K – 2l 4). p = ½ (K – 2l)

Semua merupakan persamaan yang Ekivalen

Contoh 3 :Diketahui persamaan : 4x – 8y = 20Manakah persamaan dibawah ini yang ekivalen denganpersamaan tersebut? a.2x – 4y = 10 b. x – 2y = 20 c. x – 2y = 5d.12x – 24y = 60 e. 4x + (-8y) = 20 f. 20 =

4x + (-8y)g.-4x + 8y = -20 h. -4x – 8y = 20 i. -x + 2y =

-5j.4x = 20 – 8y k. 4x = 20 + 8y l. 8y + 20 =

4xm.8y = 20 – 4x n. 8y = 4x – 20 o. x – 5 = 2yp. x = 2y + 5 q. y = 4x – 20 r. y =

0,5x – 2,5

Yang Ekivalen dengan 4x – 8y = 20 adalah persamaan :

a.2x – 4y = 10 c. x – 2y = 5d.12x – 24y = 60 e. 4x + (-8y) =

20f. 20 = 4x + (-8y) g.

-4x + 8y = -20i. -x + 2y = -5 k. 4x

= 20 + 8yl. 8y + 20 = 4x n.

8y = 4x – 20 o.x – 5 = 2y p. x = 2y + 5

r. y = 0,5x – 2,5

IV. GRADIEN A. PENGERTIAN GRADIEN•Gradien adalah suatu bilangan yang menyatakan kemiringan suatu garis.

•Jika Gradien Positif , maka garisnya miring ke kanan dan bila Gradien Negatif , maka garisnya miring ke kiri.

•Gradien suatu garis tergantung kepada persamaan garis atau gambar garis tersebut.

•Menentukan gradien suatu garis lurus bila diketahui persamaannya adalah sebagai berikut :1. Jika persamaannya y = mx + c , Gradiennya = m2. Jika persamaannya by = ax + c , Gradiennya = 3. Persamaannya ax + by = c 4. Persamaannya ax + by + c = 0

ababGradiennya =

B. MENENTUKAN NILAI GRADIEN SUATU GARIS LURUS(i). Menurut PersamaannyaContoh 1 :Tentukanlah Gradien Garis jika persamaannya :a. y = 3x + 1 b. y = 3x – 1 c. 2y = 8x d. ½y = -4x – 1 Jawab :a. Gradien = m = 3b. Gradien = m = 3c. Gradien = m = 8/2 = 4d. Gradien = m = -4 : ½

= -8

Contoh 2 :Tentukan gradien garis jika persamaannya :a. 5x + 2y = 8 b. y – 7x = 4 c. 4x – 3y +

2 = 0Jawab :Cara I : Dengan merubah bentuk persamaannyaa. 5x + 2y = 8 ↔ 2y = 8 – 5x ↔ 2y = -5x + 8 ↔ y = -21/2x + 4 Maka Gradien = m = -21/2b. y – 7x = 4 ↔ y = 4 + 7x ↔ y = 7x + 4 Maka Gradien = 7

c. 4x – 3y + 2 = 0↔ -3y = -4x – 2

↔ y = 4/3x – 2/3

Maka Gradien = m = 4/3

Cara II : Menggunakan Rumusa. 5x + 2y = 8

a = 5 , b = 2 Gradien = m = - a/b

= - 5/2

= -21/2

b. y – 7x = 4 -7x + y = 4 a = -7 , b = 1 Gradien = m = - a/b

= - (-7)/1

= 7

c. 4x – 3y + 2 = 0 a = 4 , b = -3Gradien = m = - a/b

= - 4/-3

= 4/3

(ii). Menentukan Gradien Garis Lurus dari GrafiknyaBila persamaan suatu garis : y = 2x – 6 , maka grafiknya adalah seperti gambar di kanan iniGradien garis itu = m = 2Gradien menurut Grafik :Kita tentukan 2 titik sembarang

pada garis tersebut , misalnya titik

A dan B , lalu dikanan A , tepat

dibawah B kita buat titik C.Maka Panjang AC = 3 = Komponen x

dan panjang CB = 6 = komponen y

Jadi Gradiennya adalah :m =

X0 3

(0,-6)

(3,0)

Y

-6

3

6

A

B

C

Bagaimana kita menunjukkangradien itu pada Grafiknya ?Jawabannya adalah sbb. :

63 = 2

Untuk Menentukan Gradien Suatu Garis yang grafiknyadiketahui adalah : Gradien = m = Contoh 1 :Perhatikan gambar dikanan ini!

Tentukan gradien masing-

masing garis tersebut!Jawab :mg = 4/1 = 4ml = 5/-2 = -21/2

Mk = 2,5/-1 = -21/2

g

l k

x

y

1

4-2

5

Komponen yKomponen x

0

Dua garis sejajar selalu mempunyai gradien yang sama.

Contoh 2 :a. Tentukanlah Gradien masing-masing garis dibawah ini! b. Tentukan hasil dari : mPQ x mRS !Jawab :a. (i). mAB =

(ii). mCD =

(iii). mKL =

(iv). mMN =

(v). mPQ =

(vi). mRS =

b. mPQ x mRS =

= -1

A BC DK

L

M

N

P

Q

R

S

-2

3

3

2

23 3-2= -32

32x (- )2

3

04 = 007 = 050 = …?30 = …?

Catatan :• Gradien suatu garis tidak dipengaruhi olehpanjang garis tersebut tetapi tergantung kepada kemiringannya

• Setiap Garis yang Mendatar (Horizontal) Gradiennya selalu 0 (nol).

• Setiap Garis yang Vertikal Gradiennya tidak terdefinisikan.

• Jika Dua Garis Saling Tegak Lurus , maka Hasil Kali Gradien Kedua garis itu selalu = -1

C. PENGGUNAAN GRADIEN(i). Untuk Menggambar Grafik.

Contoh 1 : Gambarlah grafik garis y = 2x + 6Jawab :y = 2x + 6Maka Gradiennya = m = 2Jika y = 0 ↔ 0 = 2x + 6↔ -2x = 6↔ x = -3 Jadi garis itu melalui titik (-3,0)

1 2 4 53 X

Y

0-2 -1-3-4-5

21

34567

-2-1

-3

12(-3,0)

y = 2x + 6

Contoh 2 :Gambarlah grafik dari : x + y = 5

Jawab :Jika x = 4↔ x + y = 5↔ 4 + y = 5↔ y = 5 – 4 ↔ y = 1Garis itu melalui (4,1)Gradiennya = - 1 -2 -1 X0 1 2 4 53 6

21

3456Y

-2-1

-3(4,1)

3

Contoh 3 :

Bahan untuk diskusi kelompok :Dengan terlebih dahulu membuat sketsanya

(gambarnya) ,tentukanlah gradien garis yang melalui titik :a. (2,1) dan (5,10) b. (1,0) dan (0,5)c. (12,3) dan (22,1) d. (0,0) dan (1,2)Kemudian berdasarkan jawaban yang didapat buatlah suatu kesimpulan , yaitu suatu aturan atau rumus menentukan gradien garis yang melalui dua titik.

Jika suatu garis melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) , makaGradien garis itu dapat ditentukan dengan cara :

Gradien = m =

y2 – y1x2 – x1

(ii). Menentukan persamaan garisContoh 1 :Diketahui suatu garis dengan gradien = 2 dan melalui titik (0,4).

Tentukanlah persamaan garis itu!Jawab :Misalkan persamaan itu : y = mx + c → Gradien = m dan berpotongan dengan sb y

di titik (0,c)Gradien = m = 2 dan melalui titik (0,4) Maka persamaangaris itu adalah : y = 2x + 4

Jika suatu garis melalui titik (x1 ,y1) dan gradien = m , maka persamaan garis itu dapat dientukan dengan rumus : y – y1 = m(x – x1)Contoh 2 :

Tentukanlah Persamaan garis yang melalui titik (2,1)

dan (3,5)!

Jawaban Contoh 2 :

Garis melalui titik (2,1) dan (3,5)

Maka : x1 = 2 , y1 = 1 x2 = 3 , y2 = 5

Gradien = m = = m = 4

y – y1 = m(x – x1)y – 1 = 4(x – 2)y – 1 = 4x – 8y = 4x – 7

y2 – y1x2 – x1 5 – 13 – 2

Jadi persamaan garis itu Adalah : y = 4x – 7

Contoh 3 :Tentukanlah persamaan garis yang grafiknya dibawah ini!

Jawab :Misalkan garis itu : y = mx + cGaris melalui titik (0,6) , maka c = 6

Gradien = m = - 3/2

Maka persamaan garis itu adalah :

y = - 3/2x + 6 atau 2y = -3x + 12

Cara lain adalah :

X

y

-2 -1

1 2 4 530

21

34567

-2

-1

6x

+ = 244y↔ 3x + 2y = 12

-2 -1 X0 1 2 4 53 6

21

3456Y

-2-1

x + y = 5

(4,1)x + y < 5

x + y > 5

• 2,5x – 5y = -12,5• 5x – 10y = -25• X – 2y = -5 • Y = 0,5x + 2,5• 2y = x + 5-3 11 3-4y = -2x + (-9 – 1)

-4y = -2x – 10

(-3,1)

(1,3)