sistem persamaan linear 1,2 dan 3 variabel

of 32 /32
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam era informasi dan era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21 diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan datang (Semiawan, 1991 : 35). Dari itu semua, tidak dapat dipungkiri bahwa ilmu matematika terutama sistem persamaan linear dapat ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel. Sehingga sistem persamaan linear ini menjadi sangat penting untuk dipelajari terutama ketika seseorang sedang menempuh jenjang pendidikan di bangku sekolah, baik dari jenjang pendidikan sekolah dasar, sekolah menengah mupun sekolah tinggi.

Upload: stkiphamzanwadi

Post on 26-Nov-2023

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam era informasi dan era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh

persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi

(IPTEK), sangat membutuhkan manusia-manusia cerdas, terampil dan

profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1)

mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21 diperkirakan akan diwarnai

oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu memiliki warga yang bermutu

dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas manusia Indonesia,

patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya kemampuan berpikir

logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk itu, sistem

pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya

menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia Indonesia

yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan

datang (Semiawan, 1991 : 35).

Dari itu semua, tidak dapat dipungkiri bahwa ilmu matematika terutama

sistem persamaan linear dapat ditemukan hampir di semua cabang ilmu

pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua

garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering

ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan

banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel.

Sehingga sistem persamaan linear ini menjadi sangat penting untuk dipelajari

terutama ketika seseorang sedang menempuh jenjang pendidikan di bangku

sekolah, baik dari jenjang pendidikan sekolah dasar, sekolah menengah mupun

sekolah tinggi.

2

Itulah sebabnya makalah ini disusun dengan harapan dapat membantu

para pembaca dalam memahami sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

juga program linear terutama penyusun sendiri dan rekan-rekan yang sedang

menempuh jenjang pendidikan tinggi sebagai seorang calon guru dimasa

mendatang, supaya dapat menjadi guru yang baik yang sesuai dengan harapan

bangsa agar dapat mewujudkan bangsa Indonesia yang maju dan bersaing

dalam dunia IPTEK.

B. Rumusan Masalah

Apa itu system persamaan atau sistem pertidaksamaan linear dan

program linear serta bagaimana menyelesaikan soal program linear dan sistem

persamaan linear atau sistem pertidak samaan liniar, baik dari sistem

persamaan liniar satu varibel, sistem persamaan linear dua variable (SPLDV),

sistem pertidaksamaan linear dua variable (SPTLDV), sistem persamaan linear

tiga variavel (SPLTV) dan sistem pertidaksamaan linear tiga variable

(SPTLTV).

C. Tujuan dan Manfaat

Sesuai dengan rumusan masalah di atas maka tujuan dari penyusunan

makalah ini yaitu untuk membantu para pembaca terutama penyusun dan rekan-

rekan didalam memahami sistem persamaan atau system pertidaksamaan linear

dan program linear serta memahami bagaimana menyelesaikan soal program

linear dan sistem persamaan linear atau sistem pertidak samaan liniar, baik dari

sistem persamaan liniar satu varibel, sistem persamaan linear dua variable

(SPLDV), sistem pertidaksamaan linear dua variable (SPTLDV), sistem

persamaan linear tiga variavel (SPLTV) dan sistem pertidaksamaan linear tiga

variable (SPTLTV).

3

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Sistem persamaan Linear

Secara intuitif, persamaan linear adalah persamaan dimana variavel atau

peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.),

perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Jadi, sistem

persamaan linear merupakan sekumpulan pesamaan linear yang memuat

sejumlah hingga variable atau peubah bebas yang saling terkait.

Definisi: secara umum sebuah persamaan linear dalam 𝑛 variabel π‘₯1 ,π‘₯2 ,…..π‘₯𝑛 ,

dapat dinyatakan dalam bentuk :

π‘Ž1π‘₯1 + π‘Ž2π‘₯ 2 + …….π‘Žπ‘›π‘₯𝑛 = 𝑏

dengan π‘Ž1,π‘Ž2,β€¦π‘Žπ‘› dan 𝑏 konstanta real.

Contoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear :

a. π‘₯ + 3𝑦 = 7

b. οΏ½γ€± = 5π‘₯ + 3𝑧 + 1

Persamaan berikut bukan persamaan linear :

c. π‘₯2 + 3𝑦 = 5

d. 𝑦 βˆ’ sin π‘₯ = 0

Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam

𝑛 variabel π‘₯1,π‘₯2,… ,π‘₯𝑛 dinamakan sistem persamaan linear atau sistem

linear. Bentuk umum persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari

π‘š persamaan dan 𝑛 variabel π‘₯1,π‘₯2,…, π‘₯𝑛 dapat ditulis sebagai :

π‘Ž11 π‘₯1 + π‘Ž12π‘₯2 +… + π‘Ž1𝑛 π‘₯𝑛 = 𝑏1

π‘Ž21 π‘₯1 + π‘Ž22π‘₯2 +… + π‘Ž2𝑛 π‘₯𝑛 = 𝑏2

4

π‘Žπ‘š1 π‘₯1 + π‘Žπ‘š2π‘₯2 +… + π‘Žπ‘šπ‘› π‘₯𝑛 = π‘π‘š,

Dengan π‘Žπ‘–π‘— dan 𝑏1(1 ≀ 𝑖 ≀ π‘š, 1 ≀ 𝑗 ≀ 𝑛) adalah konstanta-konstanta

real.

Contoh :

a. SPL 2 persamaan 2 variabel :

π‘₯1 + 2π‘₯2 = 5

2π‘₯1 + 3π‘₯2 = 8

b. SPL 2 persamaan 3 variabel :

π‘₯1 βˆ’ π‘₯2 + π‘₯3 = 2

2π‘₯1 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ π‘₯3 = 4

c. SPL 3 persamaan 2 variabel :

π‘₯1 + π‘₯2 = 2

π‘₯1 βˆ’ π‘₯2 = 1

π‘₯1 = 4

B. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variable

1. Sistem Persaman Linear Satu Variable

Sistem persaman linear satu variable adalah persamaan yang hanya

memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan variabelnya

berpangkat satu.

Untuk penyelesaian dari persamaan linear satu variabel dapat

digunakan beberapa cara. Salah satu diantaranya dengan sifat kesamaan.

Perhatikan uraian persamaan berikut.

Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan dan pelajari contoh berikut.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel berikut

3π‘Ž βˆ’ 7 = 11

5

Penyelesaian.

3π‘Ž βˆ’ 7 = 11

3π‘Ž βˆ’ 7 + 7 = 11 + 7 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘˜π‘–π‘‘π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘šπ‘π‘Žπ‘• 7)

3π‘Ž

3=

18

3 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘˜π‘–π‘‘π‘Ž π‘π‘Žπ‘”π‘– π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› 3)

π‘Ž = 6

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = {6}

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari persamaan linear satu variable berikut

5𝑏 + 9 = 24

Penyelesaian

5𝑏 + 9 = 24

5𝑏 + 9 βˆ’ 9 = 24 βˆ’ 9 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘˜π‘–π‘‘π‘Ž π‘˜π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘”π‘– 9)

5𝑏

5=

15

5 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘˜π‘–οΏ½γ€±π‘Ž π‘π‘Žπ‘”π‘– 5)

𝑏 = 3

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = {3}

2. Pertitadsamaan Linear Satu Variabel

Pertidak samaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang

hanya memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan

variabelnya berpangkat satu. Pertidaksamaan ditandai dengan adanya

symbol dari pertidaksamaan yaitu :

- < (π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘˜π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘” π‘‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–)

- > (π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘π‘Ž 𝑙𝑒𝑏𝑖𝑕 π‘‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–)

- ≀ (π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘π‘Ž π‘˜π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘” π‘‘π‘Žπ‘Ÿπ‘– π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ π‘ π‘Žπ‘šπ‘Ž π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘›)

- β‰₯ (π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘π‘Ž 𝑙𝑒𝑏𝑖𝑕 π‘‘π‘ŽοΏ½ζ’π‘– π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ π‘ π‘Žπ‘šπ‘Ž π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘›)

6

Selain itu, ada hal yang perlu kita perhatikan dalam system

pertidaksamaan yaitu berubahnya tanda atau symbol pada saat pengoprasian

yaitu:

- Dari < π‘šπ‘’π‘›π‘—π‘Žπ‘‘π‘– >

- Dari ≀ π‘šπ‘’π‘›π‘—π‘Žπ‘‘π‘– β‰₯

Baik keduanya akan berubah tanda pada pengoprasian apabila dikalikan atau

dibagi dengan bilangan βˆ’ (negative).

Untuk lebih jelasnya, , coba perhatikan dan pelajari contoh berikut.

Contoh 1 :

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan satu variable berikut

2π‘Ž βˆ’ 3 β‰₯ 0

Penyelesaian

2π‘Ž βˆ’ 3 β‰₯ 0

2π‘Ž βˆ’ 3 + 3 β‰₯ 0 + 3 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘šπ‘π‘Žπ‘• 3)

2π‘Ž

2 β‰₯

3

2 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– 2)

π‘Ž β‰₯3

2

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = { π‘Ž β‰₯3

2}

Contoh 2 :

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan satu variable berikut

βˆ’2π‘₯ + 1 < 5

Penyelesaian

βˆ’2π‘₯ + 1 < 5

βˆ’2π‘₯ + 1 βˆ’ 1 < 5 βˆ’ 1 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘‘π‘–π‘˜π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘›π‘”π‘– 1)

7

Perhatikan kembali koefesien dari π‘₯ yaitu βˆ’2 π‘›π‘’π‘”π‘Žπ‘‘π‘–π‘“ maka aka berubah

tanda dari < π‘šπ‘’π‘›π‘—π‘Žπ‘‘π‘– >, sehingga

βˆ’2π‘₯

βˆ’2>

4

βˆ’2 (π‘˜π‘’π‘‘π‘’π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– βˆ’ 2)

π‘₯ > βˆ’2

Jai Himpunan Penyelesaiannya adalah : 𝐻𝑃 = {π‘₯ > βˆ’2}

C. Sistem Persamaan Linear Dua Variable (SPLDV)

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variable

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear

dua variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai

satu penyelesaian.

Bentuk umum SPLDV :

ax + by = c

px + qy = r

dengan x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut koeifisien

c , r disebut konstanta

Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut dinamakan

penyelesaian sistem persamaan linear.

Metode Penyelesain System Persamaan Linear Dua Variabel

a. Metode Substitusi

Yaitu metode yang dilakukan dengan cara mengganti salah satu

varabel dengan varibel yang lain.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan :

2π‘₯ = 3𝑦 = βˆ’1

π‘₯ = 𝑦 = βˆ’5

Jawab :

π‘₯ = 𝑦 = βˆ’1 β†’ 𝑦 = βˆ’1 βˆ’ π‘₯

8

π‘ π‘’π‘π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘ π‘–π‘˜π‘Žπ‘› π‘˜π‘’ 2π‘₯ + 3𝑦 = βˆ’1

2π‘₯ = 3 βˆ’1 βˆ’ π‘₯ = βˆ’1

2π‘₯ βˆ’ 3 βˆ’ 3π‘₯ = βˆ’1

βˆ’π‘₯ = 2 β†’ π‘₯ = βˆ’2

π‘ π‘’π‘π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘ π‘–π‘˜π‘Žπ‘› π‘˜π‘’ 𝑦 = βˆ’1 βˆ’ π‘₯

𝑦 = βˆ’1 βˆ’ βˆ’2 = 1

Jadi, 𝐻𝑃{(βˆ’2,1)}

b. Metode Eliminasi

Yaitu metode dengan menghilangkan salah satu variabel untuk

memperoleh nilai dari variabel yang lain.

Contoh :

a) Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian dari:

2π‘₯ + 3𝑦 = 16

3π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 13

Jawab :

2π‘₯ + 3𝑦 = 16 (Γ— 1)

3π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 13 (Γ— 3)

2π‘₯ + 3𝑦 = 16

9π‘₯ βˆ’ 3𝑦 = 39 +

11π‘₯ = 55

π‘₯ = 5

2π‘₯ + 3𝑦 = 16 (Γ— 3)

3π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 13 (Γ— 2)

6π‘₯ + 9𝑦 = 48

6π‘₯ βˆ’ 2𝑦 = 26 +

11𝑦 = 22

𝑦 = 2 Jadi, 𝐻𝑃{ 5,2 }

9

b) Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan:

4

π‘₯+

3

𝑦= 3

8

π‘₯βˆ’

6

𝑦= 2

Jawab :

Missal

1

π‘₯= 𝑝 π‘‘π‘Žπ‘›

1

𝑦= π‘ž, π‘ π‘’π‘•π‘–π‘›π‘”π‘”π‘Ž π‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘šπ‘Žπ‘Žπ‘› 𝑑𝑖 π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘  π‘šπ‘’π‘›π‘—π‘Žπ‘‘π‘– ∢

4𝑝 + 3π‘ž = 3

8𝑝 βˆ’ 6π‘ž = 2

8𝑝 + 6π‘ž = 6

8𝑝 βˆ’ 6π‘ž = 2 +

16𝑝 = 8

𝑝 =1

2

π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘˜ 1

π‘₯=

1

2β†’ π‘₯ = 2

4𝑝 + 3π‘ž = 3

8𝑝 βˆ’ 6π‘ž = 2

8𝑝 + 6π‘ž = 6

8𝑝 βˆ’ 6π‘ž = 2 βˆ’

12π‘ž = 4

π‘ž =1

3

π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘˜1

𝑦=

1

3β†’ 𝑦 = 3 jadi,𝐻𝑃{ 2,3 }

c. Metode Campuran Substitusi dan Eliminasi

Contoh :

Tentukan himpunan penyelsaian dari sistem persamaan:

2�㳄 βˆ’ 𝑦 = 8

π‘₯ + 2 = βˆ’1

10

Jawab :

2π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 8 Γ— 1 2π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 8

π‘₯ + 2 = βˆ’1 Γ— 2 2π‘₯ + 4𝑦 = βˆ’2 βˆ’

βˆ’5𝑦 = 10

𝑦 = βˆ’2

π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘˜ 𝑦 = βˆ’2 π‘ π‘’π‘π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘ π‘–π‘˜π‘Žπ‘› π‘˜π‘’ π‘₯ + 2𝑦 = βˆ’1 π‘šπ‘’π‘›π‘—π‘Žπ‘‘π‘– :

π‘₯ + 2 βˆ’2 = βˆ’1

π‘₯ βˆ’ 4 = βˆ’1 β†’ π‘₯ = 3

π‘—π‘Žπ‘‘π‘– 𝐻𝑃{ 3,2 }

d. Metode grafik

Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik

dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar

yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada

dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang

merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar

itu.

Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan

dua variabel berikut ini.

x + y = 3 (1)

2x βˆ’ y = βˆ’ 3 (2)

Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas

11

Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu

(mempunyai titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari

sistem persamaan linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.

2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variable

Sistem persamaan linear dua variabel adalah gabungan beberapa

pertidaksamaan linear dua variabel yang variabel-variabelnya saling

berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari sistem pertidaksamaan

tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih pertidaksamaan itu.

Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax + by > c

ax + by < c

ax + by β‰₯ c

ax + by ≀ c

Tanda ketidaksamaan dapat meliputi ≀, β‰₯, <, >.

12

Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya

berikut.

Contoh 1

Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y ≀ 10

2x + 3y ≀ 24

x β‰₯ 0,

y β‰₯ 0

Jawaban:

Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di

(10, 0) dan (0,10). Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu

X dan sumbu Y di (12, 0) dan (0,8).

Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang

memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.

Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan

seperti di bawah ini.

13

Contoh 2

Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y β‰₯ 8

5x + 3y β‰₯ 30

x β‰₯ 0,

y β‰₯ 0

Jawaban:

Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di

(8, 0) dan (0,8). Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan

sumbu Y di (6, 0) dan (0,10). Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem

petidaksamaan di atas sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan

merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut. Sehingga daerah

penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

14

Contoh 3

Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y ≀ 12

2x + 5y β‰₯ 40

x β‰₯ 0,

y β‰₯ 0

Jawaban:

Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu

Y di (12, 0) dan (0,12). Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap

sumbu X dan sumbu Y di (20, 0) dan (0, 8).

Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≀ 12 sehingga

daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan

x + y ≀ 12.

Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y β‰₯ 40

sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian

pertidaksamaan2x + 5y β‰₯ 40 . Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV

tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

15

Demikian penjelasan tentang Pertidaksamaan dan Sistem prtidaksamaan linear

dua variabel

D. Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang

terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.

Bentuk Umum SPLTV:

Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, R

Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z = d3

merupakan persamaan di R3. Ketiga bidang tersebut dapat saling berpotongan

di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan.

1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka

SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan

penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong

tersebut.

Dari gambar di atas terlihat, bahwa ketiga bidang bertemu (berpotongan)

di satu titik, yaitu titik (x1, y1, z1).

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

(x1, y1, z1)

a1x + b1y + c1z = d1

Titik potong

16

Jadi titik (x1, y1, z1) merupakan penyelesaian tunggal dari sistem

persamaan linear tiga variabel tersebut.

2) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka

SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu titik-

titik pada garis potong ketiga bidang tersebut.

Terlihat pada gambar di atas, bahwa ketiga bidang berpotongan pada satu

garis. Jadi titik-titik pada garis berpotongan merupakan penyelesaian dari

SPLTV tersebut. Dengan kata lain SPLTV tersebut mempunyai tak

hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai

lebih dari satu penyelesaian).

3) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV tersebut

dapat digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut ini.

Terlihat pada gambar di atas bahwa, ketiga bidang tidak mempunyai titik

atau garis potong. Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai anggota

dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah

himpunan kosong).

Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa

cara/metode antara lain:

1) Metode substitusi

2) Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan substitusi

3) Metode determinan

1. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV

dengan metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian

nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z,

atau z sebagai fungsi x dan y.

17

2) Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama

(1) ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh

SPLDV.

3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)

Contoh:

Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi

x + y + 2x = 9 ……….. (1)

2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)

3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)

Jawab:

- Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)

2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1

2y – 7 z = -17 ………………………………………………. (5)

Dan

3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0

3y – 11z = -27 ……………………………………………….(6)

Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.

2y – 7z = -17 ………………………………………………… (5)

3y – 11z = -27 ……………………………………………….. (6)

Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi

seperti pada SPLDV.

- Dari persamaan (5) diperoleh: y = 2

717 e …………………. (7)

- Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)

27112

7173

z

e

18

-51 + 21z – 22z = -54

-z = -3

z = 3

- Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7), diperoleh nilai

y = 2

- Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai x= 1.

- Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu (1,2,3)

atau

Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.

2. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV

dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV).

2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)

3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-

langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk

mendapatkan nilai variabel yang lainnya.

Contoh:

1) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + y + 2z = 9 ………………. (1)

2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)

3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

19

Jawab

- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

x + y + 2z = 9 | x 3 3x + 3y + 6z = 27

2x + 4y – 3z = 1 | x 2 4x + 8y – 6z = 2 +

7x + 11y = 29 ……………..(4)

- Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh

persamaan:

2x + 4y - 3z = 1 | x 5 10x + 20y - 15z = 5

3x + 6y – 5z = 0 | x 3 9x + 18y – 15z = 0 _

x + 2y = 5 ………….. (5)

- Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu:

7x + 11y = 29 …………… (4)

x + 2y = 5 …………….. (5)

- Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y

7x + 11y = 29 | x1 7x + 11y = 29

x + 2y = 5 | x7 7x + 14y = 35 _

-3y = -6

y = 2

- Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x

7x + 11y = 29 | x2 14x + 22y = 58

x + 2y = 5 | x11 11x + 22y = 55 _

3x = 3

x = 1

- Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling

sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z

x + y + 2x = 9

20

1 + 1 + 2z = 9

2z = 6

z = 3

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau (1, 2, 3)

Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}

2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

2x + y – z = 2 ……………… (1)

x – 2y + 3x = 1 ……………. (2)

3x – y + 2z = 3 …………….. (3)

3. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan

Jika bentuk umum SPLTV:

a1x + b1y + c1z = d1 …………………………………………………… (1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………………………………………………… (2)

a3x + b3y + c3z = d3 …………………………………………………… (3)

maka:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd

Dy =

333

222

111

cda

cda

cda

21

Dz =

333

222

111

dba

dba

dba

Penyelesaian SPLTV tersebut adalah: x = D

Dx

y = D

Dy

z = D

Dz

1) Jika D 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut

mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

2) Jika D = 0, Dx 0, Dy 0, Dz 0, maka SPLTV tersebut tidak

memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

3) Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut

mempunyai tak hingga banyak anggota dalam himpunan

penyelesaiannya.

Contoh:

1) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari

SPLTV: x + y + z = 1

x + 2y + 3z = 5

3x + 2y – z = -9

Jawab :

D =

2

2

1

3

1

1

123

321

111

- - - + + +

= [(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]

= 6

22

Dx =

2

2

1

9

5

1

129-

325

111-

- - - + + +

= [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] –

[(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)]

= 18

Dy =

9

5

1

3

1

1

193

351

11-1

- - - + + +

= [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] –

[(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)]

= -126

Dz =

2

2

1

3

1

1

923

521

1-11

- - - + + +

= [(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] –

[(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]

= 24

x = 36

18

D

Dx

y = 26

12

D

Dy

z = 46

24

D

Dz

HP = {(-3,-2,4)}

SPLTV punya satu anggota dalam HP

nya.

23

2) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari

SPLTV: x + 2y - z = 6

x + y + 2z = 7

2x + 2y + 4z = 5

Jawab :

D =

2

1

2

2

1

1

423

211

1-21

- - - + + +

= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] –

[(2)(2)(1) + (1)(2)(2) + (4)(1)(2)]

= 0

Dx =

2

1

2

5

7

6

425

217

1-26

- - - + + +

= [(6)(1)(4) + (2)(2)(5) + (-1)(7)(2)] –

[(9)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)]

= -45

Dy =

2

7

6

2

1

1

452

271

1-61

- - - + + +

= [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(5)] –

[(2)(7)(-1) + (5)(2)(1) + (4)(1)(6)]

= 27

24

Dz =

2

1

1

2

1

1

522

711

621

- - - + + +

= [(1)(1)(5) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] –

[(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (5)(1)(2)]

= 9

x = ~0

45

D

Dx(Tak terhingga)

y = ~0

27

D

Dy(Tak terhingga)

z = ~0

9

D

Dz(Tak terhingga)

E. PROGRAM LINIER

Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan

menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak

penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang

maksimum/minimum (penyelesaian optimum).

Soal No. 1

Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m

2

dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan.

Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp

2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan

pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....

A. Rp 176.000,00

B. Rp 200.000,00

C. Rp 260.000,00

SPLTV tak punya anggota

dalam HP nya.

25

D. Rp 300.000,00

E. Rp 340.000,00

Pembahasan

Membuat model matematika dari soal cerita di atas

Misal:

mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y.

Luas parkir 1760 m2:

4x + 20 y ≀ 1760 disederhanakan menjadi

x + 5y ≀ 440.......(Garis I)

Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:

x + y ≀ 200 ..............(Garis II)

Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran:

f(x, y) = 1000 x + 2000 y

Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2

Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan

terlebih dahulu,

Garis 1 x + 5y = 440

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 5(0) = 440

x = 440

Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + 5y = 440

y = 440/5 = 88

Dapat titik (0, 88)

Garis 2 x + y = 200

26

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 0 = 200

x = 200

Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =0

0 + y = 200

y = 200

Dapat titik (0, 200)

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2

Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun

eliminasi.

x + 5y = 440

x + y = 200

____________ _

4y = 240

y = 60

x + y =200

x + 60 = 200

x = 140

Titik potong kedua garis aalah (140, 60)

Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang

diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.

Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum: Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x

+ 2000 y

27

Titik (0,0) β†’ f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0

Titik (200,0) β†’ f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000

Titik (0, 88) β†’ f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000

Titik (140,60) β†’ f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000

Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000

Soal No. 2

Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu

sistem pertidaksamaan linear.

Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....

A . 88

B. 94

C. 102

D. 106

E. 196

Pembahasan

Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya:

Cara pertama dalam membuat persamaan garis

y βˆ’ y1 = m (x βˆ’ x1)

dengan

m = Ξ”y/Ξ”x

Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m =

28

20/βˆ’12 = βˆ’ 5/3

y βˆ’ 20 = βˆ’ 5/3 (x βˆ’ 0)

y βˆ’ 20 = βˆ’ 5/3 x

y + 5/3 x = 20

3y + 5x = 60

Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) :

m = 15/βˆ’18 = βˆ’ 5/6

y βˆ’ 15 = βˆ’ 5/6 (x βˆ’ 0)

y + 5/6 x = 15

6y + 5x = 90

Cara kedua dalam membuat persamaan garis

bx + ay = ab

Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:

20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi

5x + 3y = 60

Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:

15x + 18y = 270 sederhanakan lagi

5x + 6y = 90

Titik potong kedua garis:

29

6y + 5x = 90

3y + 5x = 60

_________ -

3y = 30

y = 10

3(10) + 5x = 60

5x = 30

x = 6

Titik potong kedua garis adalah (6, 10)

Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y

Titik (0, 0) β†’ f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0

Titik (12,0) β†’ f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84

Titik (0, 15) β†’ f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90

Titik (6, 10) β†’ f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102

Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102

Soal No. 3

Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B

per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2

unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3

unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp

250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00

per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa

banyak masing-masing barang harus dibuat?

A. 6 jenis I

B. 12 jenis II

C. 6 jenis I dan 6 jenis II

D. 3 jenis I dan 9 jenis II

E. 9 jenis I dan 3 jenis II

30

Pembahasan

Barang I akan dibuat sebanyak x unit

Barang II akan dibuat sebanyak y unit

Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model

matematikanya:

x + 3y ≀ 18

2x + 2y ≀ 24

Fungsi objektifnya:

f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik potong

x + 3y = 18 |x2|

2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 36

2x + 2y = 24

____________ _

4y = 12

y = 3

2x + 6(3) = 36

2x = 18

x = 9

Titik potong kedua garis (9, 3)

Berikut grafik selengkapnya:

31

Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y

Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0

Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000

Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000

Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000

Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat

9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.

32

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan pesamaan linear yang

memuat sejumlah hingga variabel atau peubah bebas yang saling terkait.

Sistem persamaan linear dikelompokkan menjadi tiga yaitu :

1. Sistem persamaan linear satu variabel

2. Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)

3. Sistem persamaan linear tiga variable (SPLTV)

Sistem persaman linear satu variable adalah persamaan yang hanya

memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya, dan variabelnya

berpangkat satu.

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua

variable yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai

satu penyelesaian.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang

terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.

Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan

menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai

banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh

hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum).

B. Saran

Untuk pembaca yang budiman, semoga tulisan ini bisa memberikan

manfaat yang besar namun mengingat keterbatasan kami yang masih banyak

maka dari itu kami mengharapkan kritik dan saran dari pembaca semua agar

bisa memberikan perubahan untuk kami berikutnya