DISTRIBUCIÓN NORMAL

ESTADISTICA I

MALENY ROCIO TRIANA ORTEGA PROCESOS INDUSTRIALES ÁREA MANUFACTURA

COMO SER MEJOR APLICANDO UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

“UNA COMPETENCIA ES LA INTEGRACIÓN

DE HABILIDADES, CONOCIMIENTOS Y ACTITUDES EN UN

CONTEXTO ESPECÍFICO “

¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN?

Es un método variable que se utiliza para medir una aproximación de un hecho.

DISTRIBUCIÓN NORMAL(CONCEPTO)

CONOCIDA COMO DISTRIBUCIÓN DE GAUSS ES UNA DE LAS DISTRIBUCIONES QUE MAS SE UTILIZA EN LA ESTADISTICA

ES TAMBIÉN UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA LA MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA NORMAL PUEDE TENER CUALQUIER VALOR Y LA VARIANZA CUALQUIER VALOR POSITIVO.

DENOMINADA CURVA NORMAL, ES LA CURVA CON FORMA DE CAMPANA LA CUAL DESCRIBE DE MANERA APROXIMADA MUCHOS FENOMENOS

QUE OCURREN EN LA NATURALEZA, LA INDUSTRIA Y LA INVESTIGACION

OBJETIVOS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

• ENTENDER EL CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

• CONOCER LAS CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

• SABER DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA OBSERVACIÓN SE ENCUENTRE ENTRE DOS PUNTOS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

• SABER DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA OBSERVACIÓN ESTÉ POR ENCIMA (O POR DEBAJO) DE UN CIERTO VALOR UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

• APRENDER A COMPARAR OBSERVACIONES QUE SE ENCUENTRAN EN DIFERENTES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

• SER CAPAZ DE UTILIZAR LA DISTRIBUCIÓN NORMAL PARA APROXIMAR LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

FORMULA

COMO DEBE SER UNA GRÁFICA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Y LA CURVA NORMAL QUE LA REPRESENTA, TIENEN LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS:

• LA CURVA NORMAL TIENE FORMA DE CAMPANA Y UN SOLO PICO EN EL CENTRO DE LA DISTRIBUCIÓN. DE ESTA MANERA, LA MEDIA ARITMÉTICA, LA MEDIANA Y LA MODA DE LA DISTRIBUCIÓN SON IGUALES Y SE LOCALIZAN EN EL PICO. ASÍ, LA MITAD DEL ÁREA BAJO LA CURVA SE ENCUENTRA A LA DERECHA DE ESTE PUNTO CENTRAL Y LA OTRA MITAD ESTÁ A LA IZQUIERDA DE DICHO PUNTO.

• LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ES SIMÉTRICA ALREDEDOR DE SU MEDIA.

• LA CURVA NORMAL DESCIENDE SUAVEMENTE EN AMBAS DIRECCIONES A PARTIR DEL VALOR CENTRAL. ES ASINTÓTICA, LO QUE QUIERE DECIR QUE LA CURVA SE ACERCA CADA VEZ MÁS AL EJE X PERO JAMÁS LLEGA A TOCARLO. ES DECIR, LAS “COLAS” DE LA CURVA SE EXTIENDEN DE MANERA INDEFINIDA EN AMBAS DIRECCIONES.

GRÁFICA

INTERPRETACIÓN GRÁFICA

REPRESENTA LAS SITUACIONES QUE OCURREN EN DIFERENTES ASPECTOS TALES COMO LA NATURALEZA , LA INDUSTRIA Y TEMAS DE INVESTIGACIÓN IMPORTANTES .NOS PRESENTA LA FUNCIONALIDAD DEL HECHO Y LAS PROBABILIDADES ACERCADAS AL TEMA . NOS SIRVE PARA CONOCER LAS SITUACIONES QUE OCURREN EN TIEMPO REAL.LA VARIABILIDAD DE HECHOS ,TEMAS QUE TRANSCURREN , LA TENDENCIA QUE CADA UNA PUEDE ARROJAR DENTRO DE UNA POBLACIÓN.

La probabilidad de que una variable aleatoria (v. a.) X tome un valor determinado entre dosnúmeros reales a y b coincide con el área encerrada por la función

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA

CONTINUA

UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA ES AQUELLA QUE PUEDE ASUMIR UN NÚMERO INFINITO DE VALORESDENTRO DE UN DETERMINADO RANGO.POR EJEMPLO, EL PESO DE UNA PERSONA PODRÍA SER 80.5, 80.52, 80.525,... DEPENDIENDO DE LAPRECISIÓN DE LA BÁSCULA.

EJEMPLO DE ELLO PUEDE SER

LAS MEDICIONES FÍSICAS EN ÁREAS COMO LOS EXPERIMENTOS METEOROLÓGICOS, ESTUDIOS DE LA PRECIPITACIÓN

PLUVIAL Y MEDICIONES DE PARTES FABRICADAS A MENUDO SE EXPLICAN MAS QUE ADECUADAMENTE

CON UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

EJEMPLO DE ELLO PUEDE SER

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Se observó que no existe una sola distribución de probabilidad normal, sino una “familia” de ellas. Como sabemos, cada una de las distribuciones puede tener una media (μ) o una desviación estándar distinta (σ).

Por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado y sería imposible proporcionar una tabla de probabilidades para cada combinación de μ y σ.

EJERCICIOS

46 -18 6,092E-0848 -15,125 1,0798E-0650 -12,5 1,4907E-0552 -10,125 0,0001602654 -8 0,0013418556 -6,125 0,0087499658 -4,5 0,0444359960 -3,125 0,1757477362 -2 0,5413411364 -1,125 1,2986098766 -0,5 2,4261226468 -0,125 3,5299876170 0 472 -0,125 3,5299876174 -0,5 2,4261226476 -1,125 1,2986098778 -2 0,5413411380 -3,125 0,1757477382 -4,5 0,0444359984 -6,125 0,0087499686 -8 0,0013418588 -10,125 0,0001602690 -12,5 1,4907E-0592 -15,125 1,0798E-0694 -18 6,092E-08

X (x-µ)²/2σ² F(x)

MEDIA µ 70VARIANZA σ 4

varianza 1/σ?2π 0,09973557

(x-µ)²/2σ² -28952,9179

DISPERSIÓN

-1

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100

DISPERSIÓN

PROBLEMAS EJEMPLOSUN PRODUCTO DE UNA EMPRESA SE DISTRIBUYE DE MANERA NORMAL CON UN PESO PROMEDIODE 90 G Y UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 6.4 G. CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN LOTE DE PRODUCTOS SELECCIONADOS ALEATORIAMENTE TENGA :

A) ENTRE 80 Y 90GB) ENTRE 80 Y 95 GC) ENTRE 75 Y 85 GD) MÁS DE 97.5 GE) MENOS DE 77.5 G

Z=90-80/6.4= 1.56 =0.4406 O BIEN 44.06%ENTRE 80 Y 90 g

ENTRE 80 Y 95 g

Z¹=80-90/6.4=1.56 =0.4406 Z²=95-90/6.4=0.78 =0.28230.4406+0.2823 = 72.29%

ENTRE 75 Y 85 g

Z¹=75-90/6.4=2.34 =0.4904 Z²=85-90/6.4=0.78 =0.28230.4904-0.2823=0.2081 0 BIEN 20.51%

MÁS DE 97.5 g

DISPERSIÓN

-1

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100

DISPERSIÓN

Z=97.5-90/6.4= 1.170.5-0.3790=0.121 0 BIEN 12.1%

MENOS DE 77.5 g

Z=77.5-90/6.4= 12.5/6.4=1.92=0.4926= 0.0274= 2.74%

EJEMPLOLAS ALTURAS DE 1000 ESTUDIANTES SE DISTRIBUYEN NORMALMENTE CON UNA MEDIA DE 174.5 CM Y UNA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 6.9 CM ¿CUÁNTOS DE ESTOS ESTUDIANTES SE ESPERARÍA QUE TUVIERAN ALTURAS?

A) MENORES DE 160 CMB) MAYORES 171.5 CM Y 182 CMC) MAYORES DE 165 CMD) ENTRE 174.5 CM Y 180 CME) ENTRE 180 CM Y 195 CMF) MENORES DE 185 CM

G)¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CINCO ESTUDIANTES , AL MENOS 3 MIDAN 180 CM ?H) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE TRES ESTUDIANTES , NINGUNO MIDA MENOS DE 160 CM?

A) MENORES DE 160 cm

Z=X-MEDIA /DESVIACIÓN ESTÁNDARZ=100-174.5/6.9=14.5/6.9=2.10

0.4821-0.5000= 0.0179 =18 ESTUDIANTES

B) MAYORES 171.5 cm Y 182 cm

Z¹=174.5-175.1/6.9=0.4347 0.1664

BIEN 16 ESTUDIANTES

C) MAYORES DE 165 cm

Z=165-174.5/6.9=-9.5/6.9=-1.370.4147+0.5000=0.9147 QUE ES

IGUAL A 915 ESTUDIANTES DENTRO DE ESTE RANGO

D) ENTRE 174.5 cm Y 180 cm

E) ENTRE 180 cm Y 195 cm

F) MENORES DE 185 cm

Z=185-174.5/6.9=10.5/6.9=1.521.52=0.4357

0.4357+0.5000=0.9357 935.7 BIEN 936 ESTUDIANTES

DENTRO DEL RANGO

G)¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE CINCO ESTUDIANTES , AL MENOS 3 MIDAN 180 cm ?H) ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE TRES ESTUDIANTES , NINGUNO MIDA MENOS DE 160 cm?

G)5/215 3/5 = 3/215= 1.3%H)982/1000.981/999.980/998

=974075160/997002000=0.9494%

EJERCICIOUNA ESTACIÓN DE RADIO ENCONTRÓ QUE EL TIEMPO DE SINTONÍA QUE EMPLEAN LOS RADIOESCUCHA SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL , EL TIEMPO PROMEDIO QUE UNA PERSONA SINTONIZA ESA ESTACIÓN ES DE 15 MINUTOS CON UNA DESVIACIÓNESTÁNDAR DE 3.5 MINUTOS ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN RADIOESCUCHA SINTONICE LA ESTACIÓN POR :

¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCHO RADIOESCUCHA , AL MENOS 7 RADIOESCUCHAS SINTONICEN LA ESTACIÓN POR MÁS DE CINCO MINUTOS?

5 -15/3.5= -2.85=(0.4978)0.5000+0.4978

=0.9978 = BIEN O IGUAL A 99.78%

EJERCICIOLOS FOCOS TIENEN UN PROMEDIO DE VIDA DE 500 HRS , CON UNA DESVIACIÓN ESTANDAR DE 100 HRS .EL TIEMPO DE VIDA DE UN FOCO PUEDE APROXIMARSE POR MEDIO DE UNA CURVA NORMAL ,UN PARQUE DE DIVERSIONES COMPRA E INSTALA 10,000 DE ESTOS . ENCUENTRA EL NUMERO DE FOCOS QUE PUEDE ESPERARSE QUE DUREN LAS SIGUIENTES CANTIDADES DE TIEMPO;

A) POR LO MENOS 500 HRSB) ENTRE 500 HRS Y 650 HRSC) ENTRE 650 Y 780 HRS

A) POR LO MENOS 500 HRS

B) ENTRE 500 HRS Y 650 HRS

C) ENTRE 650 Y 780 HRS

CONCLUSIÓN

EL SABIO , EL TORPE Y EL QUE DEPLANO NO SABE NADA ES AQUEL QUIEN INTENTA REALIZAR LAS COSAS AUNQUE TENGA ERRORES.