Distribución normal

Ejercicios.

Ejercicio: escala de autoestima.

En una muestra de 500 mujeres que reciben asistencia queremos saber cómo la pobreza afecta a su autoestima. Medimos la autoestima con una escala de actitud de 20 puntos (variable continua). Suponemos que la distribución sigue una curva normal. La media autoestima: 8. Desviación típica: 2. 

• Nos preguntan: ¿Cuál es la probabilidad de que una destinataria de asistencia seleccionada al azar obtenga una puntuación de 10.5 o menos en la escala de autoestima?

• Para poder responder en primer lugar debemos tipificar la variable, para ello usamos la siguiente fórmula:

Media de la distribución normal.

Desviación típica de la distribución normal.

Valor que queremos tipificar.

Valor tipificado

• Así, tipificamos 10,5: Z=(10,5-8)/2 = 1,25.• ¿Por qué tipificamos? Para ver el valor Z (valor de

la distribución normal tipificada) que le corresponde a 10,5.

La distribución normal que tiene de media 0 y de desviación típica 1 es la distribución normal tipificada, a la cual se le han calculado todos los valores de probabilidad asociados a cualquier valor de la variable. Para ver esos valores de probabilidad tenemos unas tablas de la normal:

• Con las tablas de la normal se ven los valores Z asociados a un porcentaje de significación, que debe ser de un 95%. En las filas se mira el número entero y el primer decimal del valor Z que buscamos y en las columnas el segundo decimal. Así:

• Ahora ya hemos calculado:P(Z≤1,25)=0,8944. • Como 1,25 es 10,5 tipificado, podemos decir que:P(X≤10,5)= 0,8944. Pero ¿por qué sabemos que el valor encontrado es menor o igual a Z? Muy fácil, la tabla, como nos indica en su leyenda superior, nos da las probabilidades desde el valor nuestro hacia la izquierda, es decir, desde menos infinito hasta el valor Z nuestro. Correspondiéndose con la probabilidad de que obtengamos el valor Z o menos.

El área sombreada de la figura nos indica el valor que hemos obtenido con la tabla, el área debajo de la curva normal que va desde Z (1,25 en nuestro caso) hasta menos infinito como indica la flecha roja, y que se corresponde con 0,8944 (sobre 1 que es el área completa que hay bajo la curva).

Otras formas de resolverlo:• Si no tienes la tabla que he adjuntado en este

documento debes hacer uso de otras como:

• En esta nueva tabla no nos da la probabilidad desde menos infinito hasta un valor, sino que nos da la probabilidad desde la media (0) hasta el valor Z que estemos usando (si miramos la columna B) y la probabilidad desde el valor Z hasta el más infinito (si miramos la columna C).

• Sabiendo esto podemos calcular de varias maneras la probabilidad asociada al valor Z (1,25).

1. Sabemos que la distribución normal es simétrica con respecto a la media, por lo que el valor de la probabilidad desde menos infinito hasta la media (0) es de 0,5 (la mitad) ya que si el área bajo la curva es 1, el área de la mitad de la curva es 0,5:

Pero aún nos falta un trocito de curva por averiguar su valor, tal y como nos indica la flecha roja, aún no sabemos la probabilidad desde la media hasta Z. Para ello hacemos uso de la tabla de la que os he hablado antes, mirando la columna B de la misma:

• Y ahora solo tendríamos que sumar:

P(-∞<Z≤0)=0,5.P(0≤Z≤1,25)=0,3944P(Z≤1,25)= P(-∞<Z≤0) + P(0≤Z≤1,25) = 0,5+0,3944= 0,8944Ya que:

+ =

P(-∞<Z≤0)=0,5.

P(0≤Z≤1,25)=0,3944 P(Z≤1,25)=0,8944

2. La última manera de resolver el problema es usando la misma tabla anterior pero la columna C. Esta columna nos da la probabilidad desde más infinito hasta el valor de Z (1,25). Como sabemos que toda el área bajo la curva es igual a 1:P(-∞≤Z≤+∞)=1P(1,25≤Z≤+∞)=0,1056P(Z≤1,25)= P(-∞≤Z≤+∞)-P(1,25≤Z≤+∞)==1-0,1056= 0,8944.

P(-∞≤Z≤+∞)=1 P(1,25≤Z≤+∞)=0,1056

•Gráficamente sería:

• No olvidar que después debemos “destipificar” la Z y convertirla en la X, que es 10,5.

- =

P(-∞≤Z≤+∞)=1 P(1,25≤Z≤+∞)=0,1056P(Z≤1,25)=0,8944

Respuesta

La probabilidad de que una destinataria de asistencia seleccionada al azar obtenga una puntuación de 10.5 o menos en la escala de autoestima es:• P(X≤10,5)=0,8944.