2. distribuciÓn normal multivariante introducción normal bivariante normal multivariante ...
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2. DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE
Introducción Normal bivariante Normal multivariante Distribución 2
Muestreo en poblaciones normales Distribución de Wishart Lema de Fisher multivariante Teorema central del límite
1
NORMAL MULTIVARIANTE
Introducción: distribución normal univariante
2
),,(~ 2NX
con función de densidad2
2)(
2
1
2
1)(
x
exf
)()(
2 XVXE
02
x
donde
68%
95%
-2 - + +2
Normal multivariante
3NORMAL MULTIVARIANTE
),,(~ pNX positiva, definida ;1
p
donde
con función de densidad:
p
p
x
XXxf
)()'(
2
1exp
)2(
1)( 1
2/12/
Normal bivariante
Ejemplo
4NORMAL MULTIVARIANTE
2p
2211
1212
2212
1211
2
1 ;;
Desarrollar ),( 21 xxf
Normal bivariante
5NORMAL MULTIVARIANTE
),,(~ 2 NX ,;2212
1211
2
1
donde
con función de densidad
22
22
11
1112
2
22
22
2
11
11212
2122211
21 2)1(2
1exp
)1(2
1),(
xxxx
xxf
6EJEMPLOS
7EJEMPLOS
Normal bivariante
8NORMAL MULTIVARIANTE
Propiedades
12 =0 f(x1 ,x2)=f(x1)f(x2) X1, X2 independientes
(,e) autovalor y autovector de (1/ ,e) autovalor y autovector de -1
Normal bivariante
Representación gráfica
9NORMAL MULTIVARIANTE
21221 )()'(),( cxxcxxf x1
x2
f(x1,x2)
c2
x1
x2
y2y1
e2e1c2
c1
de esautovector , de sautovalore ,
21
21ee
Normal bivariante
Ejemplo
Hallar las elipses de densidad constante para
10NORMAL MULTIVARIANTE
),(~ 2 Nx
1112
12112211 ;
Normal multivariante
Propiedades
11NORMAL MULTIVARIANTE
: . ; ),(~ )( 1
Entonces
a
a
aNXi
p
p
variante- normal normal ',
)','(~' 1
pXXaa
aaaNXap
Normal multivariante
12NORMAL MULTIVARIANTE
qpqq
p
qxpp
aaa
aaa
ANXii
21
11211
; ),(~ )(
),(~;
)',(~
1
dNdX
d
d
d
AAANAX
q
p
q
Normal multivariante
13NORMAL MULTIVARIANTE
2221
1211
)2(
)1(
)2(
)1(
;
);,(~ )(
X
XXNXiii p
),(~
),(~
:
22)2()2(
11)1()1(
NX
NX
Entonces
Normal multivariante
14NORMAL MULTIVARIANTE
0 ,
,~
0) ,cov( , )(
12)2()1(
2221
1211
)2(
)1(
)2(
)1(
12)2()1()2()1(
ndientesson indepeXX
NX
X
XXntesindependieXXiv
15NORMAL MULTIVARIANTE
Ejemplo
)
200
031
014
,(3
NX
Normal multivariante
Normal multivariante
16NORMAL MULTIVARIANTE
2
1
)2(
)1(
21)2(
)1(
222)2(
111)1(
0
0,~
),(~
),(~ )(
q
q
NX
X
entes independiNX
NXv
Normal multivariante
17NORMAL MULTIVARIANTE
xNxXX
NX
X Seavi
)),((~|
0
,~ )(
211
221211221
22121221
22
2221
1211
)2(
)1(
)2(
)1(
18NORMAL MULTIVARIANTE
Ejemplo
Dada (X1, X2), obtener la distribución de X2 condicionada por X1 =x1
Normal multivariante
Normal multivariante
19NORMAL MULTIVARIANTE
(vii) Distribución de combinación lineal de normales
.))(,(~ Entonces
. ; ),(~
indep. ,...,,
1
2
1
111
21
n
ii
n
iiip
n
iiinnipi
n
ccNU
XcXcXcUNX
XXX
Normal multivariante
20NORMAL MULTIVARIANTE
0' entes independison Vy Uo, Por tant
)()'(
)'()(, :entonces
además, Si,
1
2
1
2
1
12
1
cb
bcb
cbc
b
cN
V
U
XbV
n
ii
n
ii
n
iii
n
iii
p
n
iii
(viii) Distribución conjunta de normales
21NORMAL MULTIVARIANTE
Ejemplo
1
0
0
0
1
1
1
0
3
1
0
2
.)
2532
391
214
,(,,,
4321
34321
indepNXXXX i
Normal multivariante
22NORMAL MULTIVARIANTE
Ejemplo
nteindependieelinealmentncombinacióunaDariv
ntesindependieXbXciii
bconXb
Xcii
cconXci
n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
)(
?,)(
0
2
1
0
)(
1
2
0
1
)(
11
1
1
1
Normal multivariante
Distribución 2
23NORMAL MULTIVARIANTE
.1 ,)1,0(
,
)1,0( ,
2
1
2
12
121
,...,nientes independiNZdonde
Z
NZdondeZ
i
n
n
ii
Distribución 2
24NORMAL MULTIVARIANTE
2p,
Propiedades
1)()'(: )(
)()'( )(
:Entonces .0y ),( Sea
2,
1
21
pp
X
p
p
xxxPii
XXi
NX
Muestreo en poblaciones normales
25NORMAL MULTIVARIANTE
Estimadores de máxima verosimilitud para y
...,,,);,(~ 21 diiXXXNX np
Muestreo en poblaciones normales
26NORMAL MULTIVARIANTE
Derivando parcialmente con respecto a todas lasvariables e igualando a cero, se obtiene:
n
n
inii SS
n
nXXXX
n
X
1
1
1)')((
1ˆ
Muestreo en poblaciones normales
27NORMAL MULTIVARIANTE
Propiedades
).,0(~ Z
Zdonde
)()(
)(
)()1( )(
y Sy )(
2i
i
21
21
21
21
2
21
2
1
22
n
Ny
ZZ
ZZ
XXSnii
Xi
n
n
n
n
ii
estadísticos suficientes para
En una dimensión,
son normales independientes
Distribución de Wishart
28NORMAL MULTIVARIANTE
m
iiim
pi
ZZW
NZ
1
')( :entonces
),0(~Sean independientes,
Wishart con m grados de libertad
Propiedades
)'(~')(~
)(
)(~ indep. )(~
)(~ )( 2121
22
11
CCWCACC
WAii
WAAWA
WAi
mpxp
m
mmm
m
Lema de Fisher multivariante
29NORMAL MULTIVARIANTE
1
11
1
y )(
)(~)1( )(
)1
,(~ )(
:Entonces
i.i.d. ,, );,(~
n
nn
p
np
SXiii
WSniin
NXi
XXNX
son independientes
Teorema Central del Límite
30NORMAL MULTIVARIANTE
i.i.d. ,,;; con Dado 1 nXXVXEXX
(i) es asintóticamente normal X
)1
,(
),0()(2/1
nNX
NXn
p
p
d
(ii) es consistente: X X c.s.n
(iii)
(iv)
S Pn
21 )()'( pXSXn dn