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Disertación de las Matemáticas de la Música en las obras Clave Bien
Temperado de Bach y K.516.f de Mozart
Carlos Eduardo Cardona Buitrago
Casa de la Cultura Ricardo Nieto de Palmira, Colombia
Noviembre de 2013
Cuando pensamos en música muchas veces no nos damos cuenta que detrás
de todos esos sonidos hay una fundamentación matemática que ha permitido
que la música sea más universal y perfecta, uno de los primeros teóricos de la
música fue Pitágoras quien desarrollo el concepto de circulo de quintas y fue el
primero que intento desarrollar un sistema de afinación el cual fue utilizado
hastael Barroco, este sistema no era perfecto y en muchas de las veces
cuando se trataba de interpretar una canción en otra escala esta sonaba
desafinada y esto ocurría porque las proporciones que él usaba tomaba
números enteros y despreciaba los números irracionales, como es sabido
Pitágoras fue el primero en describir los números irracionales como la
hipotenusa de un triángulo rectángulo y que en su época y en su escuela era
considerado como de alta traición enseñar los números irracionales ya que
rompían las formas perfectas de los dioses y se pagaba con la muerte hablar
de esto a los no iniciados en las matemáticas de Pitágoras.
La historia cuenta que Pitágoras una vez paso por una herrería y escucho
como el herrero martillaba con dos mazos, uno tenía el doble de peso del otro
por lo que logro notar que el sonido que producía uno al martillar era el doble
del otro pero con el mismo tono por lo que desarrollo un experimento con un
instrumento de una sola cuerda y empezó a estudiar sus proporciones así
1:1
2⁰ DO 1⁰ DO
2:1
Xi: Son las octavas de la escala musical
𝑋 : Media aritmética
𝑋 𝑔: Media geométrica
𝑋𝑎 : Media armónica
Xi X1 X2
Octavas 1⁰ 2⁰
𝑋 = 𝑋𝑖𝑛
𝑖=1
n
𝑋 = 𝑋𝑖2
𝑖=1
2 =
𝑋1+𝑋2
2 =
1+2
2 =
3
2
𝑋 𝑔 = 𝑋𝑖𝑛𝑖=1
𝑛
𝑋 𝑔 = 𝑋𝑖2𝑖=1
2= 𝑋1 ∗ 𝑋2
2 = 1 ∗ 2
2 = 2
2
𝑋𝑎 =𝑛
1
𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑋𝑎 =2
1
𝑋𝑖
2
𝑖=1
= 2
1
1+
1
2
= 2 3
2
= 4
3
2⁰ DO 1⁰ DO 22
3
2
4
3
FA FA# SOL
𝑋𝑎 𝑋 𝑋 𝑔
Hallando la Media Aritmética se dio cuenta que esta representaba la proporción
que hay entre las quintas del circulo de quintas o sea que de C a G hay una
razón de3
2 , la media geométrica era F# y la media armónica F pero esta
proporción no le permitía encontrar las razones exactas de las doce notas de la
escala cromática así que miremos la siguiente tabla y el teorema que le sigue
para descubrir como desarrollo su sistema de afinación
Teorema
En doce quintas hay siete octavas (3/2)12
(2)7
Para hallar los factores de las razones entre las notas hay que encontrar los
exponentes m y n de la proporción (3/2)𝑚
(2)𝑛 para esto utilizamos la regla de tres
simple directa y escogemos el número entero del resultado
Factor para C pues 1
Factor para C#
C# es la quinta número 7 del circulo de quintas de Pitágoras como se puede
ver en la tabla de arriba entonces decimos doce quintas son siete octavas si
C# es la quinta número 7 ¿cuantas octavas habrán? aquí aplicamos la regla de
tres
0 C
1 G
2 D
3 A
4 E
5 B
6 F#
7 C#
8 G#
9 D#
10 A#
11 E#
12 B# == C
CIRCULO DE QUINTAS
12 7
7 X ; X = (7*7)/12 = 4,083333 escogemos la parte entera o sea 4
“he aquí el error de Pitágoras despreciaba los decimales”
Factor de C# (3/2)7
(2)4=
37
211
Factor para D
El factor lo hallamos dividiendo la media aritmética por la media armónica
𝑋 = 𝑋𝑖𝑛
𝑖=1
n
𝑋𝑎 =𝑛
1
𝑋𝑖
𝑛
𝑖=0
Factor para D = 𝑋
𝑋𝑎 =
3
24
3
= 9
8
Factor para D#
Para hallar este factor volvemos a utilizar la regla de tres y decimos en doce
quintas hay siete octavas si D# es la quinta número 9 ¿cuantas octavas
habrán?
12 7
9 X ; X = (9*7)/12 = 5,25 tomamos la parte entera o sea 5
Factor de D# (3/2)9
(2)5=
39
214
Factor para E
Para hallar este factor tenemos que tener en cuenta que 9
8 es la proporción
entre tonos entonces entre D y E deberá de ser 9
8x
9
8 =
81
64 =
34
26
Factor de E = 34
26
Factor para F
Otra vez utilizamos la regla de tres y miramos que la quinta número once es E#
o sea F entonces decimos si en doce quintas hay siete octavas en 11 quintas
¿cuantas octavas habrán?
12 7
11 X ; X = (11*7)/12 = 6,416666 tomamos la parte entera o sea 6
Factor de F = (3/2)11
(2)6 =
311
217
Factor para F#
Miramos el que F# es la quinta número 6 entonces
12 7
6 X ; X= (6*7)/12 = 3,5 tomamos la parte entera o sea 3
Factor de F# = (3/2)6
(2)3 = 36
29
Factor de G
Como vimos arriba la media aritmética es la proporción que hay entre quintas y
la primera quinta desde C es G por lo tanto
𝑋 = 𝑋𝑖2
𝑖=1
2 =
𝑋1+𝑋2
2 =
1+2
2 =
3
2
Factor de G = 3
2
Factor G#
G# es la octava quinta entonces
12 7
8 X ; X = (8*7)/12 = 4,66666 tomamos la parte entera o sea 4
Factor de G# = (3/2)8
(2)4 =
38
212
Factor de A
Como el factor de G es 3
2 y la proporción entre quintas es
9
8 entonces el factor
de A será 3
2 X
9
8 =
27
16 =
33
24
Factor de A = 33
24
Factor de A#
Como podemos ver A# es la décima quinta entonces
12 7
10 X ; X = (10*7)/12 = 5,83333 tomamos la parte entera o sea 5
Factor de A# = (3/2)10
(2)5 = 310
215
Factor de B
B es la “quinta” quinta valga la redundancia por lo tanto
12 7
5 X ; X = (5*7)/12 = 2,916666 tomamos la parte entera o sea 2
Factor de B = (3/2)5
(2)2 =
35
27
Con esto hemos encontrado los factores que nos permitirá hallar las
frecuencias de las diferentes notas en la escala pitagórica, resumamos esto en
la siguiente tabla teniendo en cuenta que la frecuencia de cada nota de la
escala cromática pitagórica se hace multiplicando la frecuencia de la tónica por
el factor de cada nota para nuestro caso tomaremos C con frecuencia de
261,6256 Hz
PITAGORAS
TONO FACTOR FRECUENCIA
C 1 261,6256
C#
37
211
279,382416
D
9
8
294,3288
D#
39
214
314,305218
E
34
26
331,1199
F
311
217
353,59337
F#
36
29
372,509888
G
3
2
392,4384
G#
38
212
419,073623
A
33
24
441,4932
A#
310
215
471,457826
B
35
27
496,67985
Al utilizar este método los teóricos de la música durante varios siglos llegaron a
la conclusión que había una quinta del lobo que no correspondía a la media
aritmética por lo que cuando se iba interpretar una canción en otra escala esta
canción sonaba desafinaba por lo que un fraile y matemático llamado
Mersenne en 1627 escribió un texto llamado Armonía Universal donde utilizo
un método de afinación que al parecer tomo de un príncipe de la dinastía Ming
llamado ZhuZaiyu (1536-1614) quien era músico y matemático y que utilizo una
progresión geométrica con la potencia de 12
Ahora miremos el desarrollo que le dio Mersenne para hallar la frecuencia de la
escala cromática que le permito a Bach escribir CLAVE BIEN TEMPERADO
Este método es mucho más sencillo.
Sea X la frecuencia y X12 la frecuencia de las doce notas de la escala
cromática pero como queremos hallar sobre su segunda octava entonces
X12 = 2 por lo tanto X = 212
El factor del primer C es uno de C# es 212
1, la de D es 2
12
2, la de D# es
212
3, y así sucesivamente por lo tanto
La serie en términos generales
Fn+1 = Fn*X para n = 1,2,3…..
F1=Fo*X
F2 = F1*X = Fo∗ X2
F3 = F2*X= Fo∗ X3
Generalizando tenemos
Fk = Fo*X𝑘 para K = 0,1,2, 3…..
Con esto construyamos la escala temperada como podemos ver en la siguiente
tabla
Escala Temperada
TONO FACTOR FRECUENCIA
C 1 261,6256
C# 212
1
277,182668
D 212
2
293,664807
D# 212
3
311,127025
E 212
4
329,627601
F 212
5
349,228278
F# 212
6
369,994472
G 212
7
391,995488
G# 212
8
415,304753
A 212
9
440,000058
A# 212
10
466,163823
B 212
11
493,883367
Como podemos ver en A la frecuencia es 440Hz que es la que actualmente
utilizamos desde la época de Bach lo que le permitió a él escribir sus canciones
en todas las escalas partiendo desde C mayor siguiendo por C# y así
sucesivamente y con las relativas menores también sin desafinarse.
Este fue un enorme avance para la música, a partir de aquí vinieron los
grandes maestros con sus grandiosas obras, mi intención ahora es mostrar
como en el clasicismo también se utilizaron las matemáticas en la música, para
ello estudiaremos una de las obras de Mozart conocida como juego de dados
donde él utilizo la teoría de probabilidades para escribir obra una que podría
ser interpretada durante veinticuatro horas al día todos los días y durar más de
mil años.
Lo que hizo Mozart fue muy sencillo escribió ciento setenta y tres compases y
los organizo en dos tablas de ocho columnas y once filas, las columnas
representan el lanzamiento de dados primer, segundo lanzamiento y así
sucesivamente la fila representa el número que sale cuando lanzamos los
dados la intercepción de las filas y las columnas me da un número que es uno
de los compases escritos por Mozart lo que hay que hacer es buscar ese
compas y este será el primer compas de nuestra canción volvemos a lanzar los
dados y buscamos en la tabla de nuevo hasta que tengamos todos los
compases de nuestra canción
Veamos las tablas:
Así por ejemplo hacemos nuestro primer lanzamiento y los dados nos muestra
el número 6 que corresponde al compás 148 escrito por Mozart ese será el
primer compas
Lanzamos otra vez y nos sale el numero 12 buscamos en las tablas y tenemos
el compás 130
De esta manera hemos escrito una canción inédita de Mozart de dos compases
Entonces podemos escoger de once números en dieciséis lanzamientos de la
siguiente forma
1116 = 4,594972986x1016maneras de escribir compases con lo cual podríamos
durar más de mil años componiendo temas inéditos de Mozart.
Finalmente podría decir que las matemáticas en la música se han utilizado en
la creación de obras que han transformado la humanidad usando conceptos
complejos o sencillos como los que hizo Mozart en su Obra Juego de Dados
K.516.f o como Bach que estandarizo las escalas bien temperadas para los
músicos de las generaciones venideras.