dinamika predavanja009 modalna analiza

8/20/2019 Dinamika Predavanja009 Modalna Analiza

http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-predavanja009-modalna-analiza 1/12

SUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODESUSTAVI S VIŠE STUPNJEVA SLOBODE

9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom9 Određ ivanje dinami č kog odziva superpozicijom

vlastitih oblika (modova)vlastitih oblika (modova) –– MODALNA ANALIZAMODALNA ANALIZA

Ako se vlastiti oblici (prirodni modovi) vibracijasustava s n stupnjeva slobode upotrijebe kaogeneralizirane koordinate s ciljem definiranjanjegova odziva, n jednadžbi gibanja postaje

neovisno. S takvim koordinatama svaka odneovisnih jednadžbi rješava se zasebno kao daodgovara pojedinom sustavu s jednim stupnjemslobode (SDOF).

Odziv sustava s n stupnjeva slobode (MDOF)metodom superpozicije oblika određuje sesumiranjem odziva pojedinih oblika.






Početni proračuni:

Formiranje matrice masa [m], matrice popustljivosti [a] ilimatrice krutosti [k] i vektora vanjskih sila {F(t)}

Određivanje vlastitih frekvencija i vektora oblika {u} (rješenjem

problema vlastitih vrijednosti):a) metoda karakterističnog polinoma ili determinante

• Problem vlastitih vrijednosti definiran je jednadžbom

[ ]{ } [ ]{ } { }

[ ] [ ]( ){ } { } [ ] [ ][ ][ ] [ ]( )

niT

ni

i

i

i ,...,2,1 ,2

,1

,...,2,1 , 0Iλ Ddet

maD ,0uIλ D

1 ,0uk λ um

i

2

===

=⇒=−

==−

==−

ω

π

λ ω

λ

ω λ &&







• Vektori oblika vibriranja su međusobno ortogonalni vektori u odnosuna matricu masa. Ukoliko njihov umnožak normiramo, tada kažemoda su vektori ortonormirani u odnosu na matricu masa i vrijedi:

• Modalna matrica (matrica transformacije) skup je vektora oblika:

{ } [ ]{ }{ } { }

{ } [ ]{ }iT

i

i

ii j

j

T

i

umu

1α

uαu

,0

,1umu

=

=

≠

==

ji

ji

[ ] { } { } { }[ ]n21 u...uuΦ =







b) metoda matrične iteracije• Polazimo od jednadžbe:

• Pretpostavimo prvi vektor pomaka {u}i

• Iteriramo dok rezultantni vektor pomaka ne bude jednak početnom

• Ortonormiramo vektore oblika

• Formiramo modalnu matricu

Provjera ortogonalnosti normiranih vektora oblika

[ ]{ } { } { }0uω

1uD

2 =−

[ ] [ ][ ]

=

1...00............

0...10

0...01

ΦmΦT [ ] [ ] [ ]

ω

ω

ω

=

2

n

2

2

2

1

T

...00............

0...0

0...0

Φk Φ







Transformacija sustava u sustav nezavisnih diferencijalnih jednadžbi pomoću modalne matrice [Φ]

Odabir odgovarajućeg vremenskog intervala numeričkeintegracije

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ } [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ][ ][ ] { } [ ] [ ][ ][ ] { } [ ] ( ){ }[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]2TTT

T1T1T1T

1T

Φk Φ 2ΦcΦ ,IΦmΦ

tFΦxΦΦk ΦxΦΦcΦxΦΦmΦ

ΦΦ /Φ /tFxk xcxm

ω=ξω===++

=++−−−

−

&&&

&&&

{ } [ ]{ } { } ( ){ }t f =ηω+ηξω+η2

2 &&&

10n

T t ≤∆






Proračuni za svaki pojedinačni vremenski korak:

Zasebni iterativni proračuni svake pojedinačne nezavisne jednadžbe nekom od numeričkih metoda (metoda inetrpolacijeuzbude, metoda konačnih diferenci, Newmarkova metoda)

Određivanje tzv. modalnih veličina (pomaka, brzina i ubrzanja)

Transformacija modalnih u stvarne pomake, brzine i ubrzanjacjelokupnog sustava

{ } { } { } 111 , , +++ ηηη iii &&&

[ ] { } { } { } [ ]{ }

[ ] { } { } { } [ ]{ }

[ ] { } { } { } [ ]{ }ηΦx ηxΦ

ηΦx ηxΦ

ηΦx ηxΦ

1

1

1

=⇒=

=⇒=

=⇒=

−

−

−

&&&&

&&&&&&&&




10.1 Metoda centralnih diferenci 10.1 Metoda centralnih diferenci

Poč etni prorač uni:

Formiranje matrice krutosti [k], matrice masa [m] i matrice

prigušenja [c]

Definiranje početnih uvjeta {x}0 i {x}0

Proračun početnog ubrzanja {x}0:

{ } [ ] ( ){ } [ ]{ } [ ]{ }( )001

0 0 x xF x kcm +−= −&&&

Odabir koraka integracije t, tako da je t<

tcr=Tn / π i

proračun konstanti integracije

( )20

1

t a ∆= t a ∆= 2

11 02 2aa =

23

1

aa =

Proračun pomaka {x}- t

{ } { } { } { }0300 xa xt x x t &&& +∆−=∆−

Formiranje efektivne matrice masa[ ] [ ] [ ]cmm 10 aaˆ +=




10.1 Metoda centralnih diferenci 10.1 Metoda centralnih diferenci

Za svaki korak integracije:

Proračun efektivnog vektora sila u trenutku vremena t

{ } { } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } t t t t t xaa xaF F ˆ ∆−−−−−= cmmk 102

Određivanje pomaka u trenutku vremena t+

t

[ ]{ } { } { } [ ] { }t t t t t t F ˆ ˆ xF ˆ xˆ 1−∆+∆+ =→= mm

Određivanje ubrzanja i brzina u trenutku t

{ } { } { } { }( ){ } { } { }( )t t t t t

t t t t t t

x xa x

x x xa x

∆+∆−

∆+∆−

+−=

+−=

1

0 2

&

&&

.




10.2 Newmarkova integracijska metoda10.2 Newmarkova integracijska metoda

Poč etni prorač uni:

Formiranje matrice krutosti [k], matrice masa [m] i matrice

prigušenja [c]

Definiranje početnih uvjeta {x}0 i {x}0

Proračun početnog ubrzanja {x}0:

{ } [ ] ( ){ } [ ]{ } [ ]{ }( )0010 0 x xF x kcm +−= −&&&

Odabir koraka integracije t, parametara iδ

te proračun

konstanti integracije

500 ,≥δ ( )2500250 δ+≥α , ,

( )20

1

t a

∆α=

t a

∆αδ=

1 t

a∆α

=

12 1

2

13 −

α=a

14 −αδ

=a

−αδ∆

= 22

5

t a ( )δ−∆= 16 t a t a ∆δ=7

Formiranje efektivne matrice krutosti

[ ] [ ] [ ] [ ]cmkk 10 aaˆ ++=




10.2 Newmarkova integracijska metoda10.2 Newmarkova integracijska metoda

Za svaki korak integracije:

Proračun efektivnog vektora sila u trenutku vremena t+

t

{ } { } [ ] { } { } { }( )

[ ] { } { } { }( )t t t

t t t t t t t

xa xa xa

xa xa xaF F ˆ

&&&

&&&

541

220

+++

+++= ∆+∆+

c

m

Određivanje pomaka u trenutku vremena t+

t

[ ]{ } { } { } [ ] { } t t t t t t t t F ˆ ˆ xF ˆ xˆ ∆+

−∆+∆+∆+ =→=

1kk

Određivanje ubrzanja i brzina u trenutku t+ t

{ } { } { }( ) { } { }

{ } { } { } { } t t t t t t

t t t t t t t

xa xa x x

xa xa x xa x

∆+∆+

∆+∆+

++=

−−−=

&&&&&&

&&&&&

76

320

.

dinamika predavanja009 modalna analiza

Documents