dinamika aco.doc
DESCRIPTION
dinamikaTRANSCRIPT
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
1.Pendahuluan
Pada perencanaan suatu struktur bangunan, direncanakan berbagai
beban kerja. Suatu struktur dikatakan aman dan kuat jika mampu
menahan segala beban-beban di atasnya baik bersifat permanen maupun
sementara. Ada kalanya sebuah struktur harus direncanakan dengan
dimensi tertentu. Misalnya balok direncanakan dengan dimensi yang kecil
agar ruang antara struktur semakin besar tetapi masih aman dan kuat
serta memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Untuk
mencapai nilai keamanan dan kekuatan tersebut, maka bangunan
didimensi sedemikian rupa hingga memiliki kekuatan melebihi beban
yang akan dipikulnya. Salah satu alternatif teknis untuk mencapai nilai
keamanan dan kekuatan suatu bangunan adalah dengan menambah
kekakuan pada konstruksi.
Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan
struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada
bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak
lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang, dapat
diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga
diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadiakibat adanya gaya-gaya
yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid(balok silang)
akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya
defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan
dan keamanan konstruksi.
Pada analisis struktur grid (balok silang) dengan jumlah batang yang
berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid diperoleh lendutan yang
memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Hal ini terjadi
karena penambahan jumlah batang berpengaruh terhadap lendutan yang
terjadi. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga
(Finite Element Method ) dan selanjutnya dianalisa dengan program
komputer yaitu program Matlab dan SAP 2000 untuk mempercepat
perhitungan. Dari hasil perhitungan terlihat bahwa semakin banyak
jumlah grid (balok silang), maka berat sendiri juga akan semakin besar
yang berpengaruh terhadap besarnya lendutan yang terjadi.
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
Namun karena struktur dibuat dalam bentuk elemen grid (balok
silang) sehingga lendutan yang terjadi akan semakin kecil serta
memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan.
2.Rumus Umum
Bila system struktur sebidang dibebani sesuai dengan arah normal
bidang tersebut, maka struktur itu dikatakan sebagai struktur grid. Alasan
utama dalam meninjau kerangka sebidang yang dibebani sesuai arah
bidang ataupun sesuai arah normal dari bidang sebagai kondisi khusus
adalah terjadinya reduksi langsung dari koordinat nodal yang diketahui
dari sebuah elemen balok, yang juga merupakan reduksi dari jumlah
perpindahan yang tak diketahui dari sebuah system struktur.
Jadi, dalam menyelesaikan masalah struktur grid sebidang sebagai
sebuah kondisi khusus, kita hanya perlu meninjau tiga komponen dari
perpindahan nodal pada setiap ujung dari satu bentuk anggota grid.
Perpindahan nodal yang mungkin terjadi dalam system koordinat
local ataupun umum, ditentukan sesuai dengan gambar. Dapat dilihat
bahwa perpindahan translasi sepanjang arah sumbu z dari sumbu-sumbu
local dan sepanjang sumbu z dari system sumbu utama adalah identik
karena kedua sumbu ini menjadi satu.
Namun, pada umumnya komponen rotasi pada koordinat nodal untuk
kedua system koordinat ini akan berbeda satu sama lainnya. Jadi,
diperlukan sebuah transformasi koordinat untuk mentransformasikan
matriks-matriks elemen dari koordinat local ke koordinat umum.
Koordinat Titik Lokal
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
Gambar (a)Komponen dari perpindahan nodal untuk sebuah anggota grid
Koordinat Titik UmumGambar (a)
Komponen dari perpindahan nodal untuk sebuah anggota grid
Analisa dinamis dengan metode kekakuan untuk struktur grid, yaitu
untuk kerangka sebidang yang dibebani oleh beban normal, memerlukan
penentuan koefisien kekakuan torsi dan koefisien massa untuk suatu
bentuk umum dari anggota suatu grid.
Penurunan koefisien ini pada dasarnya identik dengan penurunan
koefisien kekakuan serta massa untuk pengaruh aksial pada sebuah
elemen balok. Adanya kesamaan antara kedua penurunan ini disebabkan
oleh bentuk matematis yang sama dari persamaan diferensial kedua
masalah ini. Untuk masalah aksial, persamaan diferensial untuk fungsi
perpindahan diberikan oleh persamaan di bawah ini :
Keterangan :
Φ = Perpindahan angular (perputaran Sudut)
T = Momen Torsi
G = Modulus elastisitas geser
J = Konstanta torsi dari penampang melintang (momen inersia polar
untuk penampang lingkaran)
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
=
Untuk perpindahan Torsi
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
Gambar (b)Koordinat Torsi nodal untuk sebuah elemen balok
Fungsi perpindahan untuk pengaruh torsi adalah sama dengan fungsi
yang sesuai, yang memberikan perpindahan akibat pengaruh aksial, jadi
dengan cara yang sama dengan persamaan (a) dan persamaan (b) serta
berdasar pada koordinat nodal pada gambar (b), kita dapatkan
persamaan di bawah ini :
Koefisien pengaruh kekakuan untuk pengaruh torsi, dapat dihitung
dari persamaan :
φ’1(x) dan φ’2(x) adalah penurunan fungsi perpindahan φ1(x) dan φ2(x)
terhadap x. koefisien matrik massa sepadan untuk pengaruh torsi,
diberikan oleh :
Dimana I adalah momen inersia massa polar per satuan panjang
sepanjang elemen balok.
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
u1 (x) = 1 -
…………. (a)
u2 (x) =
…………. (b)
….. (e)
….. (f)
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
Penggunaan persamaan (e) dan (f) untuk sebuah balok berseragam,
menghasilkan matriks kekakuan dan matriks massa sebagai berikut :
3.Solusi Persamaan
Matriks kekakuan torsi, dikombinasikan dengan matriks kekakuan
lentur untuk mendapatkan matriks kekakuan dari sebuah bentuk umum
anggota satu struktur grid. Persamaan kekakuan untuk satu anggota
seragam dari satu grid dalam system koordinat local seperti yang
dijelaskan gambar (a) adalah :
Matriks Kekakuan Lokal :
=
Atau dalam bentuk ringkasnya
Matriks Massa Lokal :
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
= (Matriks Kekakuan)
= (Matriks Massa)
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
=
Atau dalam bentuk ringkasnya , dimana adalah matriks
massa untuk satu anggota seragam yang umum dari sebuah struktur
grid.
Matriks kekakuan dan matriks massa pada persamaan di atas adalah
matriks dalam system koordinat local. Matriks-matriks tersebut perlu
ditransformasikan dalam bentuk system koordinat umum sebelum
disusun menjadi matriks-matriks struktur yang sesuai.
Gambar (c)Komponen Momen, Nodal dalam Koordinat Lokal
Dan Koordinat Umum
Nodal 1 :
P1 =
P2 =
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
P3 =
Nodal 2 :
P4 =
P5 =
P6 =
Sehingga dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai : ,
dimana dan adalah vector dari gaya-gaya nodal dari satu anggota
grid dalam koordinat local serta umum, dan adalah matriks
transformasi yang digunakan untuk mentransformasi komponen
perpindahan nodal dalam system koordinat umum ke dalam system
koordinat local.
Hubungan ini diberikan dalam notasi : , sehingga matriks
kekakuan elemen dari system koordinat umum yaitu : ,
karena adalah matriks orthogonal, maka didapatkan atau
.
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
4.Contoh Soal
Dik : Dalam gambar di bawah ini terlihat sebuah struktur grid pada
bidang horizontal yang terdiri dari dua elemen balok prismatic
dengan tiga derajat kebebasan.
L = 60 inI = 100 in4
J = 200 in4
= 10 lb det2/in2
E = 30 x 106 psiG = 12 x 106 psiF3 = 5000 lb
Dit : Tentukanlah frekuensi natural dan pola perubahan bentuknya.
Gunakan formula massa sepadan.
Jawab :Matriks kekakuan untuk elemen 1 ataupun elemen 2 dari grid
dalam koordinat local oleh persamaan adalah :
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
Matriks transformasi untuk elemen dengan θ = 0° adalah
matriks satuan , jadi : , dan
untuk elemen dengan θ = 90° dapat dilihat matriks berupa :
Jadi, :
Matriks system adalah :
Dengan cara yang sama, kita dapatkan dari persamaan untuk
matriks massa yaitu :
Frekuensi natural dan pola perubahan bentuk didapatkan dari
solusi eigen problem : ,Yang memberikan
eigenvalues (frekuensi natural kuadrat) :
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya
Tugas Dinamika StrukturSemester VI
Kemudian :
Dan eigenvector (Matriks Pola) :
Eigenvector dinormalkan dengan membagi kolom-kolom
matriks polar dengan factor :
Eigenvector yang telah dinormalkan disusun pada kolom-kolom
matriks modal, jadi :
Fakultas TeknikUniversitas Brawijaya