digitalizacion de la materia
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DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA
Nombre: Daniel Felipe Arcila Valencia
Matrícula: 706372
Tutor: Sono Daniel David
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma decimal.
Ejemplos:
5=5,0
−8=−8,0
12=0,5
√3=1,7
23=0,6
35=0,6
Subconjuntos Importantes de los Reales
Los números naturales o de conteo ¿ {1,2,3 ,…}
Los enteros no negativos ¿ {0,1,2,3 ,… }
Los enteros ¿ {…,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3 ,… }
Racionales{ab } a y b son enteros y b ≠ 0
División para cero 3 casos
CUALQUIERNÚMERODIFERENTE DECERO
CUALQUIERNÚMERO≠0
=RespuestaÚnica
123
=4≡3×4=12
≠00
=NoExiste
120
=t ×0=12
00=indeterminación
00=3√1,3≡ 3√1,3×0=0
Respuesta Infinita
R = Reales
Q = Racionales
Q´ = Irracionales
Z = Enteros
F = Fraccionarios
N = Naturales
Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.
Ejemplos:
92=4,5
−38
=−0,375
149
=1 , 5̂
23=0 , 6̂
12=0,5
136
=2,1666667
Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico.
Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.
Ejemplos:
√2 =1,4142…
√3 = 1,73205…
π = 1,14159…
e = 2,718…
Observación y notación de intervalos
El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar dos números reales cualesquiera.
Símbolo Definición Se Lee
a>b a-b es positivo a es mayor que b
a<b a-b es negativo a es menor que b
a≥b a-b es positivo o es 0 a es mayor o igual que b
a≤b a-b es negativo o cero A es menor o igual que b
Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.
Recta numérica
Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.
-∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
Recta numérica real
Intervalos acotados de números reales
Notación de Intervalo
Tipo de Intervalo Notación de Desigualdad
Gráfico
[a,b] Cerrado a≤x≤b a b
(a,b) Abierto a<x<b a b
[a,b) Semi abierto a≤x<b
(a,b] Semi abierto a<x≤b
Los números a,b son extremos de cada intervalo.
Intervalos no acotados de números reales
Notación de Intervalo Notación de Desigualdad Gráfico
[a, -∞) x≥a
(a,+∞) x>a
(-∞, +b] x≤b
(-∞, +b) X<b
Guía N°1
(-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3 -1 < x ≤ 3
-∞ +∞
(-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8
-3 8
X ≤ -7 x es menor o igual a -7
(-∞;-7]
-∞ +
Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas.
Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.
Ejemplos:
−2 x−x2+x−1
√x−1x2−1
5 x13− 5
x2 +5x−3
Términos:
Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)
Jerarquía de Operaciones de mayor a menor
Potenciación y radicación
Multiplicación y división
Suma y resta
Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.
Propiedades de los números reales
Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.
1.- Propiedad Conmutativa
Suma: u+v = v+u
Multiplicación: uv=vu
2.- Propiedad Asociativa
Suma: (v+v)+w= u+(v+w)
3- Propiedad de la Identidad
Suma: u+o=u
4.- Propiedad del Inverso:
Suma: u+(-u)
Multiplicación: u. 1u = 1, u ≠ 0
5.- Propiedad Distributiva
Multiplicación sobre la suma:
U(v+w)=uv+uw
(u+v)w=uw+vw
Multiplicaciones sobre la resta
u(v-w)=uv-uw
(u-v)=uw-vw
Propiedad del inverso activo
Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.
Propiedad:
Propiedad Ejemplo
–u(-u) = u(-u) * v = u * (-v) = -(u*v)(-u) * (-v) = u* v(-1) * (u) = -u– (u+v) = (-u) + (-v)
-(-2) = 2
(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12
(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10
-1* (10) = -10
-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16
Exponentes Enteros:
Si a es un número real y n es un número entero o positivo.
Exponente (an=a .a .a .a . a . a…….a)
N veces a
an=b Potencia n de a
base
Ejemplos:
23=2×2×2=8
¿
¿
−32=−3×3=−9
¿
−43=−4×4×4=−64
¿
Exponente 0
Definición: Si a es un número real diferente de 0.
a0=1
Ejemplos:
−270=1
70=1
00=noexiste
Exponente Negativo
Definición: Si a es un número real y n un número entero.
a−n= 1
an
Ejemplos:
2−3= 1
23=1
8
(−2)−2= 1
(−2)2=1
4
7−3= 1
73= 1
343
8−2= 1
82= 1
64
Principales Teoremas de Exponentes
Teoremas
an+am=an∗m
an
am=an−m
(a+b)n=an×bn
¿
¿
Guía N°2
Identifique la base. No calcule el valor
1311=13
153=15
Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son cero.
x2 . y7
x5 . y3 =y7−3
x5−2 =y4
x3
(x−3 . y3)−4
¿¿
[ 20a7b6
ab3 ] [ 2b2
4a3b8 ]=20.24
×a7−1−3b6+2−3−8=404
a3b−3=10 a3b−3=10a3
b3
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se dice que un número x está escrito en notación científica si x=b×10n donde
1≤b<x
Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños.
Ejemplos:
Gúgol = 10100=1×10100
Gúgolplex = 1gúgol=110100
Gúgol dúplex = 1gugol plex=11010100
8,571×103
0,000128=1,28×10−4
0,0000000955015=9,55015×10−8
Exponente Fraccionario
amn=
n√an
Ejemplos:
234 =
4√23=4√8
√2=212
Radicación
Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente: n√a=b≡a=bn
n√a=a1n
Ejemplos:
3√8=2≡23=8
√25=5≡52=25
72=49≡√49=7
210=1024≡ 10√1024=2
Definición de elementos de un radical
Índice De LaRaíz n√a=b Raíz n-sima de a
Cantidad Subradical
3√64=4→Raíz cúbica de64
Simplificación de Radicales
Fundamento 1
n√a .b=n√a . n√b
Ejemplo.
√18=√2. 32=√2 .√3=3√2
Factorización Numérica
18 2
9 3
3 1
1 2.32
Fundamento 2:
n√an√b
=n√ ab
Ejemplo:
3√43√2
=√ 42=√2
Guía N°3
Evaluar las siguientes raíces.
√64=8
√ 22516
=√225√16
=154
-√ 4100
=√ 125
=−√1√25
=−15
√6 xyz6 √5 x2 y3 z5
= z3 √6 xy . xy z2 √5 yz
= xy z5 √3x y2 z
= x y2 z5√30 xz
Guía N°4
√ 150a2b
c2=√6×52a2b
c=5a√6b
c
√ x+√ y+x+15√ x=16√x+√ y+x=16√ x+x+√ y
Racionalización de denominadores
En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.
Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la función.
Fundamento:
ab=a . c
b . c
25=20.10
50.10=0,4
( x+ y ) (x− y )=x2−xy+xy− y2=x2− y2
Guía N°5
1√7
= 1√7
× √7√7
= √7
(√7 )2 =
√77
√ 100x
=√100√ x
=√100√x
×√x√x
=10√x¿¿¿
5√ x
√x+5√ y=
5√ x(√ x+5√ y )
=(√x+5√ y)(√x+5√ y)
=5√x (√x+5√ y)
(√ x)2 =
5x−25√xyx−25 y
Simplifique laexpresión
3√192−10√18−8√48=3.22√3−10.2 .3√3−8.2√3
=24 √3−60√3−32√3
=−68√3
√63 x2
√20 y3= √32 .7 x2
√22 .5 y3=¿¿
POLINOMIOS
Expresiones Algebraicas
Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.
Ejemplos:
3 x2+2x−5
−2 x3−1
12x2−x+√3
5x−1
x2−3
4 x−2+9 x−1
5 x3
3√ x− 1
x23
+6
√x2−42x+1
Polinomios:
Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta o multiplicación.
Ejemplos:
3 x . x+2x−5
– 2x . x . x−1
12x . x−x+√3
Forma general de un polinomio en la variable.
Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.
an xn+an−1 x
n+1+an−2 xn+2+…+a0
Grado: n
Variable: x
Término Independiente: a0
Coeficiente Líder: an
Tipos de Polinimios
Monomios:
Los polinomios que tienen un termino igual.
Binomios:
Los polígonos que tienen dos términos igual.
Trinomios:
Los polinomios que tienen 3 términos o igual.
Polinomios:
Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.
Guía N°6
f ( x )=−8 x9+6 x−7
Grado: 9
Coeficiente Líder: -8
f ( x )=−14−6+8 x2−13 x3+7 x4
Grado: 4
Coeficiente Líder: 7
Término Independiente: -14
Variable: x
q3−q−q4+q5−q2×q4+3
Grado: 5
Coeficiente Líder: 1
Término Independiente: 3
Variable: q
Operaciones con Polinomios
Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal)
(5 x−6 )× (−3x+10 )=5x−6−3 x+10=2x+4=2 (x+2)
( 18x2+ 2
5x3−1
6x+7)+(−5
8x4−1
5x3+ 1
3x−9)
Guía n°6
Sume colocando un polinomio debajo del otro:
45x2−1
4x−1
2 y 1
2x2+ 1
2x+ 3
5
45x2−1
4x−1
2y
12x2+ 1
2x+ 3
5
1310
x2+ 14x+ 1
10
Multiplicación de Polinomios
a (b+c )=(ab )+(ac)
(b+c )a=(ab )+(ac )
3.(−a )b=(−ab)
4.a (−b )=−(ab)
5. (– a ) (−b )=ab
6.(a ) (b )=ab
Ejemplo:
Guía N°6
(−8 x2 y ) (−4 x4 y6 )=32x6 y7
( x+10 ) ( x−12 )=x2−12 x+10 x−120=x2−2 x−120
Regla
Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.
Productos Notables
Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer directamente sin realizar la multiplicación.
Algunos Productos Notables
(a+b ) (a−b )= (a−b ) (a+b )=a2−b2
Demostración
(a+b ) (a−b )=a2+ab−ab−b2=a2−b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una variable.
Ejercicios Guía N°7
( x+13 ) ( x−13 )=x2−13 x+13 x−162=x2−169
Escriba el polinomio a b
a
a2+2ab+b2
b
y
Escriba aquí la ecuación.
3y 20
3 y2+20 y
14. (7 x+ 17 )(7 x−1
7 )=49x2− 149
15. ¿
16. (7 x+ 17)
2
=49x2+(2.7 x .17 )+ 1
49
17.(4,1+5)2= (4−1 r )2+2 ( 4,1r ) ( s)+s2=16.81r 2+8.2rs+s2
FACTORIAZACIÓN DE POLINOMIOS
Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en productos.
Ejemplo:Factorizar: x2+ xy=x (x+ y)
Factor común:
Proceso:
Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”.
Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada término para el factor común.
GUÍA N°8
30 x+15=15(2x+1)
12 x6 y9+36 x4 y6−28 x2 y2=4 x2 y2(3x 4 y7+9x2 y4−7)
x2 ( x−9 )−( x−9 )=( x−9 )(x2−1)
FACTOR
A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.
En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado.
Nota:
La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio.
Determine el factor común por agrupación
15. x2+3x+4 x+12
Forma a Forma b
¿(x¿¿2+3 x )+(4 x+12)¿ (x2+4 x )+(3 x+12)
¿ x (x+3 )+4( x+3) x (x+4 )+3 (x+4)
¿ ( x+4 )(x+3) ¿ ( x+3 )(x+4 )
18. xy−10+2 y−5x
( xy+2 y )+(−10−5 x)
¿ y ( x+2 )−5(x+2)
( x+2 )( y−5)
TRINMIO DE LA FORMA x2+bx+c
Procedimiento:
Se escriben dos paréntesis [(.
Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es “x”.
En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.
Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio.
Ejercicios:
x2−x−6=( x−3 )(x+2)
x2−x−35=¿
El polinomio es primo por que no existen factores.
a2−2ab−35b2=(a−7b )(a+5b)
TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
Procedimiento:
Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.
Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma x2+bx+c
Simplificar la respuesta
Ejemplos:
42. 15 x2+26 x+8
¿15(15 x2+26 x+8)
15
¿¿¿
¿(15x+20 )(15x+6)
15
¿5 (3 x+4 ) 3(5 x+2)
15
¿ (3 x+4 )(5 x+2)
Demostración:
15 x2+6x+20 x+8
¿15 x2+26 x+8
41. 3 x2+13 x−20
¿3(3 x2+13 x−20)
3
¿(3 x)2+13 (3 x )−60
3
¿¿
Solución:
El polinomio es primo no existen factores.
48. 21 x3−161x2+98 x
¿7 x (3 x2−23 x+14 )
¿7 x [(3 x )2−23 (3 x )+42]
3
¿7 x (3 x−21 )(3 x−2)
3
¿7 x .3(x−17)(3x−2)
3
¿7 x ( x−7 )(3 x−2)
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Fundamento:
x2− y2=( x− y )(x+ y)
Ejemplo:
52. x2−4= (x+2 )(x−2)
57. 75 X2−48=3(25 x¿¿2−16)=3 (5 x−4 )(5 x+4)¿
59. 98a2−32b2=2 (7a2−4 b )(7 a2+4b)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
a3−b3=(a−b )(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b )(a2−ab+b2)
Ejemplo Guía N°9
u3+v3=(u+v )(u2−uv+v2)
u3−v3=(u−v )(u2−uv+v2)
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE CORRESPONDE UN EJERCICIO
Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.
Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades separadas con signos + o -)-
Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de x3, suma o diferencia de potencia al cuadrado.
Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma ax2+bx+c .
Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.
Guía N°9
343−t2= (7−t )(49+7 t+t 2)
16k3m−40k2m2−25k m3=km(16k 2−40km+25m2)=km(4 k−5m)2
54 x4−250 x y3=2 x ( 27 x3−125 y3 )=2 x (3 x−5 y )(9 x2+15 xy+25 y2)
xy+10 x−8 y−80=( xy−8 y )+ (10x−80 )= y ( x−8 )+10 ( x−8 )=¿( x−8 )( y+10)
xy−5 yz+7 z−35 z= (xy+7 x )− (5 yz−35 z )=x ( y+7 )−5 z ( y+7 )=¿( y+7 ) ( x−5 z )
8 x2+10x+12 x+15=(8 x2+10 x )+ (12x+15 )=2x (4 x+5 )+3 (4 x+5 )=¿(4 x+5 ) (2 x+3 )
EXPRESIONES RACIONALES
Son expresiones de la forma polinomiopolinomio .
Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.polinomio1polinomio2
Ejemplos:
x2−1( x+2 )(x−2)
2x+1x−3
x2+x+1x2−1
2x4−3 x3−1x+5
VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN
Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0 a 1 o más denominaciones.
Ejemplos:
x2−1x−2
D=R−(2)
En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”
2x+1x−3
En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”. D=R−(3)
x2+X+1x2−1
= x2+X+1(X+1 )(X−1)
D=R−(1;−1)
2 X4−33−1X+5
En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos x≠−5
Ejercicios propuestos por los estudiantes:
Guía 6:
(8 X+10 )−(Z+3 )=8 Z+10−Z−3=7 Z+7
Guía 7:
( x+5 ) (2x+5 )=4 x2+20 x+25
5
2x
Guía 8:
20 x2 y2+3 x y2−9 y2¿ y2 (20x2+3 x−9 )¿ y2.20 (20 x2+3x−9 )20
¿y2. (20 x )2+3 (20 x )−180
20
¿y2. (20 x+15 ) (20 x−12 )
20¿y2.5 (4 x+3 ) 4 (5 x−3 )
20y2 (4 x+3 ) (5 x−3 )
Guía 9:
1000 y3−343=(10 y−7 )(100 y2+70 y+49)
54 x4−250 xy3¿2 x (27 x3−125 y3 )¿2 x (3 x−5 y )(9 x2+15 yx+25 y2)
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Fundamento:
P (X )D(X )
.T (X )T (X )
=P(X )D(X )
Ejemplo Guía N 10:
10x
4x2 10x
25
y3−343y−7
=( y−7 )( y2+14 y+49)
y−7
OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
Multiplicación:
Fundamento: P (X )D(X )
.T (X )Q(X )
=P (X )T (X)D (X )Q(X )
4 P−4P
.4 p2
9 p−9=
4 ( p−1 )p
.4 p2
9 ( p−1 )=16 p
9
3 z3
4.
32z2 =24 z
DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
P (X )D(X )
:T (X )Q(X )
=P (X )D (X )
.Q(X)T (X )
2 X2
3:X3
21=2 X2
3.
21X3 =
14X
Z2+6Z+8Z2+7Z+12
:Z2+2Z
Z2+12 Z+27=
(Z+4 )(Z+2)(Z+4 )(Z+3)
.(Z+9 )(Z+3)Z (Z+2)
=Z+9Z
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES
Fundamento:
ac+bc=a±b
c
ab+ cd=ad ±cb
bd
Proceso:
Para sumar y restar
Se factoran los denominadores.
Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el producto de ellos.
Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.
Sumar y Restar
316
−1516
=3−1516
=−34
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS
Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.
Pasos simplificados:
Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que quede una fracción en cada uno de ellos.
Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.
Ejemplo:
15+ 1
612+
13
=
6+530
3+26
=1125
−12
−12
−3
314− 4
1−0.5
=
−12
−723
−14
− 412
=
−12
−7231
−314
=
−17
−1231
=3184
NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son operaciones de la forma: a+bi; con a, b (Números Reales) y la expresión “i” que cumple lo siguiente: i=√−1 ; i2
Ejemplos:
1) α= 2+3i2) β= -1+5i
3) ε= -3+12 i
4) 7i5) 4
Igualdad de números complejos
a+bi= c+di ≡ a=c; b=d
Ejemplos guía numero 13:
Ejercicio 18
2+3i=x+yi ≡ 2=x; 3=y x=2; y=3
Ejercicio 19
6+yi=x-6i ≡ 6=x; y=-6 x=6; y=-6
Ejercicio 20
(-2-7i)-3= x-(-1+yi) ⇔ -5=x+1; -7=-y -5-7i=x+1-yi x=6; y=7
Operaciones con números complejos
Suma y Resta de números complejos: Para sumar o restar números complejos se simplifica términos semejantes.
1) (9-5i)+(8+9i)=9+5i+8+9i=17+4i
2) (-7+5i)-9=-7+5i-9=-16+5i
3) (5-i)+(6-√−6)=5-i+6-√6 i
=11-(1+√6¿
Multiplicación de números complejos: Se multiplica como el binomio de dos productos de cual es quiera.
1) 4i(3-8i)= 12i - 32i2
=12i -32(-1)=32+12i
2) (3+6i)(4+9i)= 12 +27i+24i+54i2
=12+51i+54(-1)=-42+51i
División de números complejos: Se debe multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Conjugado ≡ α= a+bi; ἆ= a-bi
Ejemplo:
29) 6−7 i5+2 i =
6−7 i5+2 i ¿
5−2 i5−2 i=
30−12 i−35 i+14
25−10 i+10 i−4 i2 =−47 i
29
Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables); y números (constantes); relacionados mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación).
Ejemplos:
1) 2 x3−x2=x−1
2) x2+1 3) 7 y2−x2
Términos: Los términos son cantidades separadas por signos (+ o -).
Ecuaciones y Desigualdades
Ecuaciones Lineales: Son ecuaciones de la forma ax+b=0, donde a y b son números reales y a≠0.
ax + b = 0 →
↓
Ejemplo:
1) 5 x−3=0
2) 3m+12=0
3) 7 y2−x2
Resolución de un Ecuación de 1er. Grados:
Fundamento:
1) x+a=0≡x=−a
1er. Termino
2do. Termino
2) x−a=0≡x=a
3) ax=1≡x=1/a
4) x /a=1≡ x=a
- Se realizan las operaciones que tenga la expresión hasta expresarla en la forma ax+b=0
Ejercicios guía 14
Determine si el valor dado es solución de la ecuación. Responda SI o NO
1) 8 x−10=14 ; x=3
¿8 x=24≡ x=3
2) 10k−6=4 ; x=3 ¿10 x=10≡k=1
Despejar de la formula dada la incógnita indicada.
17) C=2π r ; Despejar r
C2π
=r
Inecuaciones de 1er Grado en una variable
Son desigualdades de la forma ax+b<0; ax+b≥0
ax + b > 0 →
↓
Fundamentos:
1er. Miembro
2do. Miembro
1) x+a>0≡ x>−a
2) x−a>0≡x>a
3) ax>1 ;(a>0)≡x>1/a
4) ax>1 ;(a<0)≡x<1/a
5)xa>1 ;(a>0)≡ x>a
6)xa>1 ;(a<0)≡ x<a
7) −a>−b≡a<b
Ejemplos:
1) 3x−2>0
2) 3 x−2<0
3) −2 x+4≥0
4) x<5
Resolución de Inecuaciones de 1er Grado con 1 variable.
1) Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta dejarla en la forma ax+b¿0.
2) Se despeja x
Ejemplos:
1) 3x−2>0
3x ¿2
X ¿23
Solución = (23 ;+ ∞)
S=
-∞ 2/3 +∞
2) -2x+4≥0
-2x ←4
X ¿2
Solución = (-∞; 2]
S=
-∞ 2 +∞
Inecuaciones con valor Absoluto
Fundamento
1) |x|≤a≡−a≤ x≤a
2) |x|≥a≡x≥a o x≤−a
Ejemplo:
Resolver: |2 x−3|≤5
=−5≤|2x−3|≤5
¿−5≤|2 x−3|≤5
¿−5+3≤|2x|≤5+3
¿−2≤|2 x−3|≤8
2da. Inecuacion
1era. Inecuacion
¿−22≤|x|≤ 8
2
¿−1≤ x≤ 4
Solución = [-1; 4]
S=
-∞ - 1 4 +∞
|b−7|>2≡|b−7|>5
¿b−7>2∪b<5
¿b>12∪b<2
Solución = (-∞,2)∪ (12 ,+∞ )
S=
-∞ -2 12 +∞
Guía 16
Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.
3) x2=−6 x+16
=x2+6 x−16=0
= (x+8) (x-2) = 0
X1= -8 X2=2
S= {-8,2}
Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de raíz cuadrada.
9) 5 x2=20
=x2=4
=√ x2=±√4
X1= 2 X2=-2
S= {2,-2}
Resolver las ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado perfecto.
17) x2+4 x=3
x2+4 x+4=3+4
=√(x+2)2=±√7
¿ x+2=±√7
= x=−2±√7
X1= −2±√7 X2=2±√7
S= {−2±√7 ,2±√7}
Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando la formula general
21) x2+3x−10=0
A= 1
B= 3
C= -10
x=−b±√b2+4 ac2a
x=−3±√32+4(1)(−10)
2(1)
x=−3±√492
x=−3±72
X1= −3+7
2=4
2=2 X2=
−3−72
=−102
=−5
S= {2 ,−5}
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA EN 2 VARIABLES
Fundamento:1) Forma de la ecuación:
y=a x2+bx+c
- La grafica siempre es una parábola.2) sí “a” es “+” entonces la parábola se abre hacia arriba.
3) sí “a” es “-“ la parábola se abre hacia abajo
- La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente formula
Xy=−b2a
Ejercicios Guía 17
1) y=x2+6 x+8 “a” es “+” la parábola se abre hacia arriba.A=1 y=a x2+bx+cB=6 y=(−3)2+6(3)+8C=8 y=−1
Xy=−62
= 3 V=(−3 ,−1)
Interceptos con el eje “x”
y=0
0¿ x2+6 x+8 ≡ 0=(x+4)(x+2)
X 1=−4 X 2=−2
Ejercicios Guía 17
3¿ y=−x2+2 x+8 “a” es “-” la parábola se abre hacia abajo.A=1 y=a x2+bx+cB=6 0=(−1)2+2(1)+8C=8 0=9
Xy=−22
= -1 V=(1,9)
Interceptos con el eje “x”
y=0
0¿−x2+2x+8 ≡ 0=(x−4)(x+2)
X 1=4 X 2=−2
VALOR ABSOLUTO
Definición:
El valor absoluto de un número real “a” se representa left lline a right rlin” y se obtiene de la siguiente forma
|a|={a , si a≥0 ;−a , si a≤0 }
Ejemplo:
1¿|5|=5
¿5=5∨
2¿|−7|=−(−7)
¿7=7∨
- Resuelta la ecuación determine si no tiene soluciones
Ejercicios Guía 17
X 1=7
S= {7 ,−7 }
10¿|x|=7
X 2=−7
Comprobación
- |7|=7
- |−7|=− (−7 )
X 1=|4 x|+8=5≡X 1= 34
13¿|4 x|+8=5
X 2=|4 x|+8=−5≡ X2=−134
S= {34,−13
4}
NOTA: El valor absoluto se debe comprobar necesariamente.
SOLUCION DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
x−2=3≡ x=5
|x−2|=3
x−2=−3≡ x=−1
S= {5 ,−1}
Comprobación
- |x−2|=3≡|5−2|=3≡3=3
- |x−2|=3≡|−1−2|=3≡3=3
SOLUCION GRAFICA “IGUALAMOS A “Y” “
y=|x−2| y=3
x y-2 30 32 34 35 36 3x y-2
y=|−2−2|=¿ 4
-1
y=|−1−2|=¿ 3
0 y=|0−2|=¿ 2
1 y=|1−2|=¿ 1
2 y=|2−2|=¿ 0
3 y=|3−2|=¿ 1
4 y=|4−2|=¿ 2
5 y=|5−2|=¿ 3
6 y=|6−2|=¿ 4
Ejercicios
Guía 18
1.8x= 5
2 x+22
8x=5+44 x
2 x
16 x=5 x+44 x2
0=44 x2−11 x0=11 x ( 4 x−1 )
0=4 x−1x=14S={1
4 }x≠0 restricción
5). 2
x+1+ 3x−1
= 6( x+1 ) ( x−1 )
2 ( x−1 )+3 ( x+1 )( x+1 ) (x−1 )
= 6( x+1 ) ( x−1 )
2 x−2+3 x+3=65 x+1=65 x=5x=1S= {∅ }x≠1 ,−1 restricción
ECUACIONES RACIONALES
Se debe excluir los valores divisores para “x” que dan cero en el ejercicio.
INECUACIONES POLINOMIALES: Son ecuaciones de la forma P ( x )>0o P (x )<0 ,P ( x )≥0o P ( x )≤0 ; donde P(x) es un polinomio.
Ejemplo:
(X+5) (X+3) ¿0
(2X-3) (X+2)(X+1)(X-4) ≤0
x3−x2−3 x+3≥0
SOLUCION DE UNA ECUACION POLINOMIAL:
Método Abreviado: El método se aplica a inecuaciones polinomiales comparados con cero, en las que todas las variables tienen coeficientes positivos.
PROCEDIMIENTO:
Se ubica en la recta numérica dados los valores que hacen cero a cada factor de 1er grado, con lo que la recta numérica queda dividida en intervalos.
5). 2
x+1+ 3x−1
= 6( x+1 ) ( x−1 )
2 ( x−1 )+3 ( x+1 )( x+1 ) (x−1 )
= 6( x+1 ) ( x−1 )
2 x−2+3 x+3=65 x+1=65 x=5x=1S= {∅ }x≠1 ,−1 restricción
Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el “+”, “-“.
Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la inecuación sea ¿0 ,<0 cuando es ≤ ,≥ se incluyen los extremos de los intervalos.
NOTA: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares, no influyen en la respuesta y pueden ser omitidos.
Ejercicios Guía 20
F ( x )=0
F ( x )>0
F ( x )<0
a¿F ( x )=(x+5)(x+3)(x−2)2
( x+5 )=0
X1= −5
( x+3 )=0
X2= −3
(x−2)2=0
x3=2
S={−5 ,−3,2 }
b¿F ( x )=(x+5)(x+3)(x−2)2>0
X1= −5
X2= −3
X 3=2
S=
-∞ -5 -3 +∞S=¿∞,-5) U (3, +∞)
c ¿F ( x )<0 S=¿5,-3)
4) f ( x )=( 2x2+6 ) ( x−6 )2 ( x+9 )2
2 x2+6=0√ ( x−6 )2=0√ (x+9 )2=02 x2=−6 x=6 x=−9x2=−3√ x2=√−3x=√−3
( x+9 )3>0 ( x+9 )3<03√ ( x+9 )3>0
3√ ( x+9 )3<0x+9>0 x+9<0x>−9 x←9
S= (−9 ;∞ )S=(−∞ ;−9 )
EJERCICIOS GUIA 25
1) Divida el número 60 en 2 partes como tales que 18
de la primera más 13
de la
segunda sumen 10
Datos 18x+ 1
3(60−x )=10
Número = 60 18x+ 60−x
3=10
Primera parte = x-48 3x+8 (60−x )
24=10
Segunda parte = 60-x 3 x+480−8 x=240
5 x=240
x=48
18
( 48 )+ 13
(12 )=10
6+4=1010=10
EJERCICIOS GUIA 30
1.
y=x+1
Soluciónx+1≥0 y ≥0x≥−1Sol¿
2)
y=x2−1
Soluciónx2−1≥0√ x2≥1x≥±1Sol1 : [ 1;+∞ )Sol2 :¿ST [ 1;+∞ )∪¿
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Línea recta
Ángulo de inclinación de una recta: Es el menor ángulo positivo entre la recta y el eje “X” (sentido anti horario positivo “+”)
Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y se representa con la letra “m”
m=tan θ
m=Y 2−Y 1
X2−X1
Ejercicios
Guía 31
Hallar la pendiente de la recta que pase por los puntos:
5. (5,4 ) y (8,5)
m=5−48−5
m=13
6. (4 ,−7 ) y (−1,−8)
m=−8+7−1−4
m=15
Ecuación de la recta punto y pendiente: Se conoce un punto P1=(X1 ,Y 1) y la pendiente m.
Datos
P1=( X1 , Y 1 )
m=Y 2−Y 1
X2−X1
m=Y−Y 1
X−X1
m (X−X1 )=Y−Y 1
Y−Y 1=m¿)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto:
P= (−2,−1 )m=2
Y +1=2 ( x+2 )Y +1=2x+4Y +1−2x−4=0−2 x+ y−3=02 x− y+3=0−→ Ecuación de la
recta
Ecuación de la recta dados dos puntos:
Procedimiento:
- Hallar m- Aplicar la fórmula de punto y pendiente
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:
(−1 ,−2 ) y (3,1 )
m=1+23+1
m=34
Y−Y 1=m¿)
y+2= 34
( x+1 ) y+2=3 x+34
4 y+8=3 x+3−3 x−3+4 y+8=0
3 x−4 y−5=0→Ecuación de larecta
X -2 0 2Y −11
4−54
14
Ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen:
mb
} mP1=(0 , b)
Y−Y 1=m ( X−X1 )y−b=m ( x−0 )y=mx+b
y=mx+b
Ejercicios
Guía 31
Determine la pendiente y el corte con el eje “Y” para la recta de la ecuación dada
17) y=−13
x+2m=−13
x=0
Interceptoscon el ejeY (0,2)
22) – x+6 y=18y= x+186
y=16x+3
m=−16
x=0
Interceptoscon el ejeY (0,3)
Rectas paralelas y perpendiculares:
Paralelas
l1|¿|l2θ1=θ2tanθ1=tan θ2m1=m2
Perpendiculares
l1∨l2=m1m2=−1m1=−1m2
Coordenadas del punto medio: Dado el segmento P1P2, entre los puntos P1=(x1,y1) , y P2=(x2,y2), las coordenadas del punto medio P=(x,y) , están dadas por :
X = x1+x22
Y = y1+ y 22
Ecuación de la Circunferencia:
r2=¿
Ecuacion de la parábola:
¿
Ejercicios Guia 35
5¿ y=2¿
y+5=2¿
12
( y+5 )=¿
h=3
k=−5
4 p=12
p=18
Función Exponencial:
Def: La función exponencial f es toda función de la forma f(x)= a·bx donde a es indiferente de 0 , b > 0 y diferente de 1.
La constante “a” es el valor inicial de F (valor en x igual a “0”) y b es la base
f(x)= a·bx
Valor inicial
1) b > 1
La función es creciente
Si x aumenta la y también
1) b < 1
La función es decreciente
Si x aumenta la y disminuye
Funciones logística
1¿ f ( x )= 9
1+2(0.6)x
X 0 10y 3 8.9
Y= 9 punto de la asíntota
Funciones logarítmica
Es la Funcion inversa de la función exponencial y se define de la siguiente forma: y=log a x=a
y¿=x ¿
y=log a x=ay¿=x ¿
Ejemplos:
1)log 28=3 ; 23=8
2)log 21
8=−3 ; 2−3=1/8
LEYES DE LOS LOGARITMOS