diferensial vektor 1
TRANSCRIPT
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Review Dasar-dasar Vektor
satuan vektor masing-masingdengan n bersesuaia yang
yang ektor komponen vadalah dan , *
satuanvektor dinamakan ˆdan ,ˆ ,ˆVektor *
321
321
aaaa
eee
332211ˆˆˆ eaeaeaa
Ungkapan Vektor:
Vektor Satuan
(1) Jumlah vektor satuan menunjukkan dimensi dari vektor
(2) Bersifat linear dan independen
Di dalam sistem koordinat Kartesian (x, y, z)
0... kecuali 0......... 212211 NNN cccececec
kbajbaibaba
aaakajaiaa
zzyyxx
zyxzyx
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
),,(ˆˆˆ
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Nilai/Besar vektor
||/ˆsatuan vektor
or besar vektadalah || 222
aaa
aaaaaa zyx
Perkalian Vektor(1) Perkalian Skalar(2) Perkalian Vektor
ba
ba
(1) Perkalian Skalar:
abb
abba
vektor pada vektor proyeksiadalah cos
0 cos
a
b
O
cosb
Vektor satuan dalam Kartesian
Bersifat ortogonal:
ˆdan ˆ ,ˆ kji
0ˆˆˆˆˆˆ
1ˆˆˆˆˆˆ
ikkjji
kkjjii
Contoh: Kerja: rFW
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Berlaku Hukum Komutatif dan Distributif:
cabacba
abba
)(
Perkalian Skalar dengan komponen vektor
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
x zzyyx
zyxzyx
bababa
kbjbibkajaiaba
Cont: Tentukan sudut antara vektor
dan
kjia ˆ3ˆ2ˆ
kjib ˆ4ˆ3ˆ2
7atau rad 12.09926.02914
20cos
29432 14321
20433221 cos
222222
ba
baab
ba
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Perkalian Vektor
dan adaplurut terhak adalah teg Arahnya
sin||||adalah Nilainya
ba
baba
a
b
ba
Sifat-sifat perkalian vektor:
baba
aa
cbacba
baab
cbcacba
dengan sejajar adalah 0
0
)()(
)(
)(
Cont: Momen gaya atau Torka
sin||||||dan FrFr
F
r
O
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Vektor satuan dalam koordinat kartesian:
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
0ˆˆˆˆˆˆ
zyx
zyx
xyyxzxxzyzzy
bbb
aaa
kji
kbabajbabaibababa
jkiik
ijkkj
kijji
kkjjii
)()()()()(
)(
cababcbcaacbbac
aaa
ccc
bbb
bbb
aaa
ccc
ccc
bbb
aaa
cba
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Diferensial Vektor
kdu
udaj
du
udai
du
uda
u
uauua
du
uad
kuajuaiuaua
zyx
u
zyx
ˆ)(ˆ)(
ˆ)(
)()(lim
)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
KartesianKoordinat dalamVektor
0
)(ua
)( uua
)()( uauuaa
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dv
dt
tvdta
kvjvivkdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rdtv
ktzjtyitxtr
zyx
zyx
ˆˆˆˆˆˆ)()(
ˆˆˆˆˆˆ)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)()(
percepatan kecepatan, posisi, :Fisika dalamContoh
2
2
2
2
2
2
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Di dalam koordinat Polar
).dan (berubah arahnya
tetapikonstan, nilai memiliki ˆdan ˆ (2)
arahdan nilai dalamkonstan adalah ˆdan (1)
ee
ji
x
y
i
j
ee
ejdt
di
dt
d
dt
edjie
ejdt
di
dt
d
dt
edjie
ˆˆsinˆcosˆ
ˆcosˆsinˆ
ˆˆcosˆsinˆ
ˆsinˆcosˆ
)2(ˆ)(ˆ
)ˆˆ()()(
ˆˆˆ
ˆ)()(
percepatandan kecepatan tentukan ,ˆ)()( posisi vektor diketahui :Cont
..2
..
ee
eedt
dtvta
eedt
ede
dt
dtrtv
ettr
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Ungkapan diferensial vektor (dalam bentuk perkalian vektor)
TFrFrvmv
vmdt
drvm
dt
rdvmr
dt
d
dt
Ld
vmrLFrT
bdu
ad
du
bdaba
du
d
bdu
ad
du
bdaba
du
d
adu
d
du
ada
du
d
)()(
adalah sudut momentum , torka:Cont
)( (3)
)( (2)
)( (1)
du
ada
du
adaaa
du
daaa
du
ds
ds
ad
du
sadusssaa
02)(konstanadalah jika *
)()(dan )( vektor jika *
2
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Operator Vektor
rtentu vektor teˆ; ˆ
kurvalintasan panjang , Jika
,)( Jika
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
menjadi dari padaPerubahan
ˆˆˆ grad),,(skalar medan Untuk
kartesiankoordinat dalam di ˆˆˆ del
ttds
rd
ds
d
su
du
rd
du
durr
ddzz
dyy
dxx
dzkdyjdxiz
ky
jx
ird
rdrr
zk
yj
xizyx
zk
yj
xi
Gradient medan skalar
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
|cos||ˆ
ads
d
Cont: Diketahui medan skalar pada titik (1,2-1), tentukan rata2 perubahannya terhadap jarak pada arah vektor:
Tentukan nilai rata-rata medan terbesar yang mungkin diperoleh
yzyx 2kjia ˆ3ˆ2ˆ
20||)(ˆ2ˆ4 :arah Pada (2)
14
10)64(
14
1ˆ )ˆ3ˆ2ˆ(
14
1
||ˆ )1(
)1,2,1( titik pada ˆ2ˆ4ˆˆ)(ˆ2
max
2
ds
dki
ads
dkji
a
aa
kikyjzxixy
Rata-rata perubahan medan terhadap arah vektor a yang berada pada lintasan s
)( arah padajarak rhadaplistrik temedan perubahan rata-rata :Cont
ˆ
:sbb dinyatakandapat
ar arah vekto padajarak terhadap(skalar)medan perubahan rata-Rata
ErdEdr
za
ya
xaa zyx
bidang. normal erhadap turunan t,ˆarah padaperubahan rata-rata || (3)
titik.semua pada ),,(permukaan normal vektor ˆ; ˆ (2)
tentu titik terdi ialequipotenspermukaan pada sialtor tangenadalah vek (1)
ˆ0ˆ
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(
dan 0(konstan) ),,( Jika
nn
czyxnnn
t
ttds
rd
ds
dzk
ds
dyj
ds
dxi
zk
yj
xi
ds
dz
zds
dy
yds
dx
xds
d
ds
dczyx
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Divergensi medan vektor
unit volumper fluidaaliran rata-rata
fluida dalamelemen kecepatan adalah ),,( :Cont
ibleincompress kontinyu, ,Solenoidal 0 If
V
zyxV
a
z
a
y
a
x
aaadiv zyx
Operator diferensial skalar
zxyxz
zxy
zyx
232
32
2
2
2
2
2
2
22
62
skalar medan dariLaplacian Tentukan :Cont
dari Laplace operasi
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Curl Vektor
]ˆˆ)(ˆ[2
)20(ˆ)22(ˆ)20(ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ :Cont
fkonservati al,Irrotation 0 If
ˆˆˆ
ˆ)(ˆ)(ˆ)(
222222
222222
2222222
2222222
kyzxjzyxxzizy-
zyxkyzxxzjzyi
zxzyzyx
zyx
kji
a
kzxjzyizyxa
a
aaazyx
kji
ky
a
x
aj
x
a
z
ai
z
a
y
aaacurl
zyx
xyxxyz
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
Latihan
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
1)- 2,- (1, titik pada
3skalar medan dari Hitung 232 zy-yx(x,y,z)
k z j y ixr ˆˆˆdengan
r
1 (b)dan rln (a)untuk Hitung
1.
2.
3.
1) 1,- (1, titik pada Atentukan
ˆˆ2ˆmedan Diketahui 2232
kz xy jzy izxA
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
4.
hitunglah ,2 Diketahui (b)
bahwaBuktikan (a)
423
2
zyx
01
bahwaBuktikan 2
r6.
1) 1,- (1, titik pada )A( A,medan sigerak/rotaarah Tentukan
ˆ2ˆ2ˆmedan Diketahui 423
kyzjyzxixzA 7.
3
: bahwaBuktikan
r
5.
Fisika Matematika I
DIFERENSIAL VEKTOR
jyixyF
jyxixyF
ˆˆ b.
ˆ)33(ˆ6 a.
bukanatau f)konservati(medan alirrotasion
berikut medan tor apakah vekTentukan
2
22
1
8.
F
kcjbxibyaxF
:memenuhi yang
skalar potensialCarilah
ˆˆˆ2
:fkonservatiberikut Fmedan bahwaBuktikan 9.
Beberapa hubungan pada kalkulus diferensialvektor:
baababbaba
aaa
baabba
aaa
abbaabbaba
baba
baba
)()()()()( (9)
)( (8)
)()()( (7)
)( (6)
)()()()()( (5)
)( (4)
)( (3)
)( (2)
)( (1)