1.vektor (1)

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

1/34

KULIAH

MATEMATIKA TEKNIK

1. VEKTOR Dosen

SYISKA YANA, ST., MT.

Departemen Teknik Eektro, !ak"tas Teknik

Uni#ersitas S"matera Utara

Me$an, In$onesia

Semester %enap

TA &'1&(&'1)

1 Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

2/34

Silabus

1. Vektor2. Matrik

3. Bilangan komplek

. !ersamaan "i#erensial or"e 1

$. !ersamaan "i#erensial or"e 2

%. Trans#ormasi lapla&e

'. Deret #o(rier

). Trans#ormasi #o(rier


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

3/34

Referensi

*nt+ony ro#t , -Engineering Mat+emati&s, a#o(n"ation #or ele&troni&, ele&tri&al,&omm(ni&ations an" systems engineers, 3r" e"ition,!renti&e /all, 2001

+on Bir", /ig+er Engineering Mat+emati&#t+ e"ition,Elseier 4t"., 200%


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

4/34

Evaluasi

T(gas 205 6pokok 7a+asan 18)9 :(i; 105 62 kali9

UTS 3$5 61839

U*S 3$5 68)9

!enilaian !*!

Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

5/34

1. VEKTOR

1.1 Pengantar Vektor1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar

1.3 Komponen Cartesian

1.4 Medan Skalar dan Medan Vektor

1.5 Produk Skalar

1.6 Produk Vektor

1.7 Vektor n Dimensi

$ Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

6/34

1.1 Pengantar Vektor

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

7/34

1.2 Konsep Dasar Vektor dan Skalar

Vektor = k(antitas sik yang memiliki 7esar"an ara+

Skalar = k(antitas sik yang +anya memiliki7esar

' Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

8/34


Sim7ol ektor "itan"ai "engan a ata( Vektor @ "ari * ke B se"angkan "ari B ke * Sim7ol a A sim7ol ektor

Sim7ol aA sim7ol skalar

) Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

9/34


1.2.1 Vektor Cegati# Vektor –a a"ala+ ektor a "engan ara+

yang 7erlaanan, tapi memiliki 7esar yangsama "engan ektor a

A 8a

1.2.2 D(a ektor yang sama D(a ektor "ikatakan sama >ika memiliki

7esar "an ara+ yang sama. !er+atikan gam7ar 1 679, ektor "an

a"ala+ sama ala(p(n 7er7e"a posisi

Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

10/34


1.2.3 !en>(mla+an Vektor Dalam pen>(mla+an "(a ektor 7erlak(

+(k(m segitiga

!er+atikan am7ar 2, "itam7a+ ,

"imana (>(ng "iposisikan pa"a(>(ng titik B ses(ai ara+ pana+, translasiti"ak meng(7a+ ara+ "an 7esar .


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

11/34


Dari am7ar 2 "iperole+ =

onto+ 1 =

Se7(a+ ken"araan otomatis "i s(at(per(sa+aan 7er#(ngsi memin"a+kankomponen8komponen peralatan listrik "aritempat * ke peker>a "i tempat , il(strasipa"a am7ar 3.

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

12/34


!erpin"a+an "ari B ke "inyatakan "engan U>(ng "ari menyent(+ (>(ng , 7erlak(

+(k(m segitiga "an "iperole+ =

Dan a"ala+ res(ltant "ari "an AC BC AB =+


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

13/34


onto+ 2 = !en>(mla+an "(a gayaaya F1 se7esar 2 C 7ergerak ertikal ke7aa+ "an F2 se7esar 3 C 7ergerak +ori;ontalke kanan 6am7ar 9


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

14/34


Ges(ltan F1 "an F2 "iperole+ "engan translasiF1 pa"a (>(ng F2 se+ingga "iperole+ =

G A ektor >(mla+ "ari F2 "an F1 "engans("(t se7esar =

Besar ektor G a"ala+ =

R F F =+ 21

2

3tan =θ

N 1332 22 =+


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

15/34


1.2. !eng(rangan Vektor!eng(rangan ektor 7erarti pen>(mla+anektor "engan ektor negati# misalnya a8b"iperole+ "ari a H 68b9.

onto+ = !er+atikan am7ar $

1$ Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

16/34


1.2.$ !erkalian ektor "engan skalar Diketa+(i k "an l a"ala+ skalar positi#

aA ektor a, 7 A ektor 7

kaA ektor a "engan pan>ang ka "an ara+

yang sama l7 A ektor 7 "engan pan>ang l7 "an ara+

yang sama

1% Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

17/34


Unt(k sem7arang nilai k "an l, ektor a "an7,maka =

1.2.% Unit Vektor

Vektor yang memiliki pan>ang 1 sat(an"ise7(t (nit ektor

ika a memiliki pan>ang 3 maka (nit ektorpa"a ara+ a a"ala+ 61?39a.

Unit ektor A â

( )

( )

( ) ( )akllak

lakaalk

kbka bak

=

+=++=+

1' Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

18/34


!an>ang a A a, se+inga (nit ektor a"ala+ =

EIer&ises '.2

skalar a1dana

a

aâ

=

=

1) Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

19/34


!er+atikan am7ar '. Titik ! "engan koor"inat

6I,y9, garis J! mer(pakan

ektor r

!an>ang J! a"ala+ r ika IAK "an yA> maka =

Vektor K "an > a"ala+ ektor ort+ogonal 6tegakl(r(s θ=900 )

yj xi MP OM OP r

yj MP dan xiOM

+=+==

==


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

20/34


Mengg(nakan teorema p+ytagoras "apat"i+it(ng pan>ang r =

Dapat >(ga "it(lis "alam 7ent(k =

onto+ = D(a titik * "an B memiliki koor"inat6$,9 "an 683,29. Tent(kan posisi ektor * "anB, ektor *B "an *B

22 y xr +=

( ) barisvektor y xOP r

kolomvektor y

xOP r

→==

→

==

,


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

21/34


!enyelesaian =

−−

=

−

−=

−=

=+

=+

2

8

4

5

2

3 AB

ab AB

b ABa

OB ABOA

−=+−=

=+=

2

323

4

545

jib

jia


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

22/34


Vektor nol = sem(a komponen ektor 7ernilai 0,skalarA0 "an pan>ang A0.

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

23/34


Vektor a, 7 "an & "ikatakan linier "epen"ent6ter+(7(ng linier9

Sala+ sat( "ari ektor "apat "inyatakanse7agai kom7inasi linier "ari 2 ektor lainnya

Sek(mp(lan n ektor 6a1,a2,L..,an9 linier"epen"ent >ika =

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

24/34


onto+ =

=

−−

−

−

0

0

0

21

1

13

1

3

2

1

2

9

1

5

3

:karenadependentlinieradalah

21

1

13

9

1

5

3

2

1

:Vektor


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

25/34


onto+ me"an skalar = S(+( r(anganS(+( "ise7(a+ r(angan yang "i(k(r pa"asem7arang titik ! se7esar Φ. Tinggi s(+("alam r(angan tergant(ng pa"a posisi titik

meng(k(r s(+(. ika "i(k(r "isekitar ra"iatormaka s(+( yang ter(k(r akan le7i+ tinggi "aripa"a s(+( yang "i(k(r "i sekitar >en"ela.Se+ingga "apat "inyatakan 7a+a Φ

mer(pakan #(ngsi posisi Φ(x,y,z). Φ "apat >(gase7agai #(ngsi akt(.

Temperat(r ? s(+( a"ala+ skalar, se+ingga"apat "i7(at skala pa"a titik ! 6I,y,;9 "alam

r(angan.2$ Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

26/34


onto+ me"an ektor = Fl(i"aFl(i"a pa"a se7(a+ titik akan 7erpin"a+"engan ke&epatan "an ara+ tertent(. Elemen"ari (i"a a"ala+ ke&epatan 6mer(pakan

se7(a+ ektor9, se+ingga "iperole+ se7(a+#(ngsi ektor 6me"an ektor9 =

I,y "an ; mer(pakan #(ngsi skalar I,y "an ;

( )

k v jvivv

vvvv

z y x

z y x

++=

= ,,

2% Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

27/34

1.5 Produk Skalar (perkalian skalar)

!erkalian skalar "ari ektor a "an 7 =

EIer&ises '.$

2' Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

28/34

1.6 Produk Vektor (perkalian vektor)

/asil perkalian ektor a "an 7 a"ala+ =

*t(ran perkalian ektor =

onto+ =a. ika =

r unit vektoˆˆsin =⇒=× eebaba θ

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) skalar :k

distributi

ko!utati aktid

kbabkabak

cabacba

abba

abba

×=×=××+×=+×

×−=×

×≠×

( ) ( ) ( )k baba jbabaibababa

k b jbibbk a jaiaa

122113312332

321321

: buktikan

dan

−+−−−=×++=++=

2) Syiska Yana, DTE FT USU 2013

8/19/2019 1.VEKTOR (1)

29/34


7. ika =!enyelesaian =

a.

Syarat =

bak jibk jia

×++=++=antentuk ,23dan32

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k k ba jk baik ba

k jba j jbai jbak iba jibaiiba

k b jbibk ak b jbib jak b jbibia

k b jbibk a jaiaba

×+×+××+×+×+×+×+×=

+++++×+++×=++×++=×

332313

322212312111

321332123211

321321

jk ii jk k i j

jik ik jk ji

k k j jii

−=×−=×−=×=×=×=×

=×=×=× 0

( ) ( ) ( )k baba jbabaibababa 122113312332 −+−−−=×


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

30/34


7.( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )k ji

k ji

k k jk ik k j

j ji jk i jiii

k jik k ji jk jii

k jik jiba

+−−= −+−−−=

×+×+×+××+×+×+×+×=

++×+++×+++×=++×++=×

"53492#1

13233311

2131122232

23323232

2332


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

31/34


!enyelesaian mengg(nakan "eterminanVektor a "an 7 "it(liskan "alam 7ent(k matrik=

Unt(k memperole+ komponen i maka =

321

321

bbbaaa

k ji

2332

321

321

baba

bbb

aaa

k ji−=

+−+


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

32/34


komponen > =

komponen k =

( )1331

321

321

baba

bbb

aaa

k ji−−=

+−+

1221

321

321

baba

bbb

aaak ji −=

+−+


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

33/34


onto+ = Tent(kan perkalian ektor "ari =

!enyelesaian =

EIer&ises '.%

k jibk jia ++=++= 2dan"32

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

k ji

k ji

k ji

k ji

ba

++−=

−+−−−=−+−−−=

=×

511

34"2143

13221"122"13

121

"32


8/19/2019 1.VEKTOR (1)

34/34

1.7 Vektor n Dimensi

Vektor yang sering "i7a+as a"ala+ ektor 2"imensi "an 3 "imensi. Vektor n "imensi yait(ektor N3 "imensi.

onto+ = ektor "imensi

onto+ = ektor ar(s mes+

=

=

1

30

1

dan

4

21

3

ba

{ }

=

4

3

2

1

4321 :vektor,

I

I

I

I

I I I I I

3 Syiska Yana DTE FT USU 2013

1.vektor (1)

Documents