bab 1 vektor,diferensial, dan integral

5/26/2018 Bab 1 Vektor,Diferensial, Dan Integral

1/47

05/15/14 Fisika II 1

Keep running

BAB I : VEKTOR

A

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Sebuahbesaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal

(misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam

handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang

dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu

besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah

perpindahan.


2/47


Keep running

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penumlahan vektor Ryang menyatakan perpindahan a ke b dan

vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan

vektor Tyang menyatakan perpindahan a ke c.

!ara menumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan

uung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua,vektor S. "aka resultan vektornya, vektor T, adalah

menghubungkan pangkal vektor pertama dan uung vektor kedua.

b

c

a

R S

T

T# R$ S


3/47


Keep running

BESAR VEKTOR RESULTAN

%ika besar vektor R dinyatakan oleh & dan besar vektor S

dinyatakan oleh S, maka besar vektor Tsama dengan '

cos&SS&* +=

Sudut menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan

vektor S

RS

T

T# R$ S

(+.+)


4/47


Keep running

PENURANAN VEKTOR

ntuk pengurangan vektor, misal A - B dapat dinyatakan sebagaipenumlahan dari A $ (B). /ektor B atau negatif dari vektor Badalahsebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapiarahnya berla0anan.

AB -B

DD# A- B


5/47


Keep running

!ONTOH

Sebuah mobil bergerak ke tara seauh 1 km, kemudian

bergerak ke Barat seauh 21 km dan bergerak ke Selatan seauh

+1 km. *entukan arak perpindahan mobil itu 3

21 km

S

+1 km

1 km

B


6/47

05/15/14 Fisika II "

Keep running

!ONTOH

%a0ab ' 21 km

+1 km

1 km

+1 km

21 km

A

B

C

D=A+

B+C

%ika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan

kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakanvektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panang vektor Dadalah '

m+4+1+121 =+


7/4705/15/14 Fisika II #

Keep running

VEKTOR SATUAN

/ektor satuan didefenisikan sebagai '&

Rr=

/ektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah

satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor

dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektorsatuan. /ektor satuan rmenyatakan arah dari vektor R.

*erdapat vektor satuan standar dalam koordinat 5artesian di

mana araharah dari masingmasing sumbu dinyatakan dalam

vektor satuan.

6/ektor satuan imenyatakan arah sumbu 7 positif6/ektor satuanjmenyatakan arah sumbu 8 positif6/ektor satuan kmenyatakan arah sumbu 9 positif

(+.)


8/4705/15/14 Fisika II $

Keep running

PENULISAN VEKTOR SE!ARA ANALITIS

:

y

; &&&& ++=/ektor Rdinyatakan oleh ' R# &;i $ &yj$ &:kBesar vektor Radalah '

R

&y

&:

&;

Vektor dalam 2 Dimensi

/ektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan

dalam bentuk penumlahan dari vektor komponen masingmasing

sumbu koordinat.


9/4705/15/14 Fisika II %

Keep running

!ONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (,) ke titik (,


10/4705/15/14 Fisika II 10

Keep running

!ONTOH

o+

;

y+ =42

=tan

&

&tan =

==

(,)

(,


11/4705/15/14 Fisika II 11

Keep running

PENJUMLAHAN VEKTOR !ARA ANALITIS

%ika diketahui sebuah vektor A# ;Ai$ yAjdan vektor B# ;Bi$

yBj, maka penumlahan vektor A $ B # (;A $ ;B)i $ (yA $ yB)j.

Atau secara umum ika menumlahkan n buah vektor berlaku '

R# (;1$ >$;i$ >$;n)i$ (y1 $ >$yi$ >$yn)j

;A;B

yA

yB

A

B

;A$ ;B

A$B

A

B

yA$ yB

(+.=)


12/4705/15/14 Fisika II 12

Keep running

!ONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A# =i$ j

B# i2j

*entukan '

a. A$ Bdan A$ Bb. ABdan AB

%a0ab '

a. A$ B# =i$ j$ i2j

#


13/47

05/15/14 Fisika II 13

Keep running

SOAL

+. yatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 2 satuan dan

arahnya @1o dari sumbu 7 positif secara analitis dan tentukan

vektor satuannya3

. Sebuah benda bergerak dari titik (+,)m ke titik (


14/47

05/15/14 Fisika II 14

Keep running

SOLUSI

R# &;i $ &yj

Diketahui '

&;# & cos # 2 cos @1o# satuan&y# & sin # 2 sin @1o# satuan

Dengan demikian R# i $ jsatuan

/ektor satuan '

r# cos @1o$ sin @1o# C i$ C j

@1o

7

8

R

=

=

+.

=


15/47

05/15/14 Fisika II 15

Keep running

SOLUSI

m


16/47

05/15/14 Fisika II 1"

Keep running

SOLUSI

2. a. A$ B- C = i $ 2j 4i j =


17/47

05/15/14 Fisika II 1#

Keep running

PERKALIAN SKALAR

Perkalian skalar atau uga sering disebut perkalian titik dari dua

buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku '

A. B# AB cos (+.2)

%ika diketahui A# a; i $ ayj$ a:k dan B# b; i $ byj$ b:k,maka'

A. B = a;b;$ ayby$ a:b: (+.


18/47

05/15/14 Fisika II 1$

Keep running

PERKALIAN SKALAR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah '

i. i#j.j# k. k# +

i.j#j. k# k. i# 1

Perhatikan animasi di

samping ini 3


19/47

05/15/14 Fisika II 1%

Keep running

!ONTOH

ABcos

B.A=

Diketahui dua buah vektor, A# =i$ 2jdan B# 2ij.*entukansudut antara vektor Adan B 3

%a0ab '

A

B

ntuk menentukan sudut antara

vektor Adan Bdapat menggunakan

persamaan (+.2).

A . B# (=i$ 2j) .(2ij)# =.2 $ 2.() # 2

Besar vektor A#


20/47

05/15/14 Fisika II 20

Keep running

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor

menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku '

AB# C (+.@)

Besar vektor Cadalah '

! # AB sin (+.4)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk

oleh vektor A dan vektor B. ntuk menentukan arah vektor C

dapat diperhatikan gambar di ba0ah ini. Diketahui bah0a hasil A

B tidak sama dengan B A. alaupun besar vektor hasil

perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berla0anan.

B

B

A

A

C = A B

C = B A

C# C


21/47

05/15/14 Fisika II 21

Keep running

PERKALIAN VEKTOR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah '

ii#jj# kk# 1 ij# k Ejk# iE ki#j

ji# k E kj# iE ik# j

Perhatikan animasi di

samping ini 3


22/47

05/15/14 Fisika II 22

Keep running

PERKALIAN VEKTOR

ntuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah

vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. %ika urutan

perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat arimenyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor Ake vektor B.

Fbu ari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

ntuk memahami aturan ini perhatikan animasi di ba0ah ini '


23/47

05/15/14 Fisika II 23

Keep running

!ONTOH

Diketahui dua buah vektor.A# =i$ 2j B# 2ij $k*entukan ' a. AB

b. Buktikan AB #BA%a0ab '

AB # (=i$ 2j) (2ij $k) # =.2(ii) $ =.()(ij) $ =.+(ik)$ 2.2(ji) $ 2.()(jj) $ 2.+(jk) # +.1 - @k $ =(j) $ +@(k) -.1 $ 2i # 2i- =j- k

a.

B A # (2i j $ k) (=i $ 2j) # 2.=(ii) $ 2.2(ij) $().=(ji) $ ().2(jj) $ +.=(ki) $ +.=(kj) # +.1 $ +@k- @(k)- .1 $ =j$ 2(i)# 2i $ =j $ k # AB

terbukti

b.


24/47

05/15/14 Fisika II 24

Keep running

SOAL

+. *entukan sudut yang dibentuk oleh vektor A # i $ j - k dan

vektorB == i- 2 k3

. *entukan panang proyeksi dari vektor A# 2 i $ j- k terhadap

arah vektor B = i $ =j- 2 k 3

=. Diberikan tiga buah vektor ' A# + i $ j- k

B# 2 i $ j$ = k

C = j- = k

*entukan '

a. A. (BC) b. A. (B$ C) c. A(B$ C)2. Buktikan vektor R# = i $ j 2 k danS # i $ j$ k adalah

tegak lurus 3


25/47

05/15/14 Fisika II 25

Keep running

SOLUSI

@+)(+A =++=

"enurut persamaan (+.


26/47

05/15/14 Fisika II 2"

Keep running

SOLUSI

BC#(2i $ j$ =k)(j- =k) # (i j) - +(i k) - @(j k) $ @(k j) # k$ +j +i

A.(BC) # (i $ j- k).(+i$ +j $k) # + $ 2 - # 2

=. a.

B$ C# 2i $ 2j. ilai A.(B$ C) # (i $ j- k).(2i $ 2j) # +b.

A(B$ C) # (i $ j- k)(2i $ 2j) # i- 2j- 2kc.

Dua buah vektor tegak lurus ika membentuk sudut ?1o.

"enurut persamaan (+.2) dan (+.


27/47

05/15/14 Fisika II 2#

Keep running

BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi

matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S # f(;+, ;, . . . , ;n) (+.)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan ;i menyatakan

variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya

interaksi antar dua partikel bermuatan G ditentukan oleh besar

muatan pertama H+, besar muatan kedua H, arak antar partikel r+,

dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

amun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan

fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan

materi di sini, ditinau besaran yang hanya bergantung pada satu

variabel saa.


28/47

05/15/14 Fisika II 2$

Keep running

BESARAN FISIS

*inau sebuah fungsi y # f(;) di ba0ah ini di mana nilai y hanya

ditentukan oleh satu variabel, yaitu ;.

Dari grafik di samping

diketahui y+

# f(;+

), y

#

f(;), y=# f(;=), dan y2#

y+.

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat

digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

y

;;+ ; ;= ;2

y+

y

y=


29/47

05/15/14 Fisika II 2%

Keep running

BESARAN FISIS

Di ba0ah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi ; sebagai fungsi

0aktu. Posisi sebuah partikel dalam arah ; sebagai fungsi 0aktu.

t (detik) ; (meter)

1 ?

+ 2 +

= 1

2 +

< 2

@ ?

4 +@

bab 1 vektor,diferensial, dan integral

Documents

ika besar vektor r dinyatakan

entukan arak perpindahan

kbesar vektor radalah

erdapat vektor satuan

vektor r danvektor srstt