dien dong luc hoc luong tu

Điện động lực học lượng tử 1

Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 2

1. Phƣơng trình Dirac ..................................................................................................................3

2. Các nghiệm của phƣơng trình Dirac .....................................................................................6

3. Hiệp biến song tuyến tính.................................................................................................... 12

4. Photon .................................................................................................................................... 15

5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực học lƣợng tử ................................................... 18

6. Ví dụ ....................................................................................................................................... 22

7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết ....................................................................................... 27

8. Tiết diện va chạm và thời gian sống .................................................................................. 31

9. Sự tái chuẩn hóa.................................................................................................................... 38

KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................... 45



MỞ ĐẦU

Trong quang học cổ điển, ánh sáng đƣợc truyền đi theo mọi phƣơng và sự giao thoa

của chúng tuân theo nguyên lý Fermat. Tƣơng tự, trong Điện động lực học lƣợng tử

(QED- quantum electrodynamics), ánh sáng (hay bất kì một hạt nào nhƣ một electron

hoặc một proton) có thể truyền đi theo phƣơng bất kì bởi các gƣơng hoặc thấu kính.

Ngƣời quan sát (ở một vị trí đặc biệt) nhận thấy một cách đơn giản kết quả toán học của

mọi hàm sóng tăng cƣờng, nhƣ là một tổng các tích phân đƣờng. Giải thích theo cách

khác, các quĩ đạo đƣợc quan niệm là phi vật chất, các cấu trúc toán học là tƣơng đƣơng

với chúng, trong giới hạn có thể. Tƣơng tự nhƣ quĩ đạo của cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối

tính, các cấu trúc khác nhau đóng góp vào sự phát triển của Trƣờng lƣợng tử mô tả rõ sự

tất yếu hoàn thiện các phƣơng trình chuyển động cổ điển. Do đó theo hình thức luận

QED, ánh sáng có thể truyền nhanh hơn hoặc chậm hơn c, nhƣng sẽ truyền với vận tốc

trung bình c.

Trong QED, lý thuyết nhiễu loạn lƣợng tử miêu tả các hạt tích điện tƣơng tác thông

qua trao đổi các quang tử. Biên độ của các tƣơng tác này có thể tính đƣợc bằng lý thuyết

nhiễu loạn; các công thức hoàn chỉnh có một cách biểu diễn hình tƣợng đáng lƣu ý nhƣ là

các biểu đồ Feynman. QED là lý thuyết mà các biểu đồ Feynman đƣợc áp dụng đầu tiên.

Các biểu đồ này đƣợc phát minh ra trên cơ sở của Lagrangian trong cơ học. Dùng biểu đồ

Feynman, có thể biểu diễn mọi quĩ đạo khả dĩ từ điểm đầu cho đến điểm cuối. Mỗi quĩ

đạo đƣợc gắn với một biên độ xác suất, và biên độ thực mà ta quan sát là tổng của các

biên độ trên các quĩ đạo khả dĩ. Các quĩ đạo với pha không đổi đóng góp nhiều nhất (do

sự giao thoa với các sóng ngƣợc pha) — kết quả này cũng giống nhƣ sự giao thoa sóng

của hai nguồn phát sóng đứng yên trong cơ học.

Mô hình cũ của điện động lực học lƣợng tử chỉ bao gồm trao đổi quang tử riêng lẻ,

nhƣng Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger và Richard Feynman nhận ra rằng tình

huống lại phức tạp hơn rất nhiều vì tán xạ điện tử-điện tử có thể bao gồm trao đổi một vài

quang tử. Một điện tích điểm trần trụi không tồn tại trong bức tranh của họ. Điện tích

luôn tạo ra một đám các cặp hạt-phản hạt ảo ở xung quanh nó, do đó, mô men từ hiệu

dụng của nó thay đổi và thế năng Coulomb cũng bị biến đổi tại các khoảng cách ngắn.

Các tính toán từ mô hình này đã tái tạo lại các dữ liệu thực nghiệm của Kusch và Lamb

với một độ chính xác ngạc nhiên và mô hình điện động lực học lƣợng tử mới đƣợc coi là

một lý thuyết chính xác nhất đã từng có. Tomonaga, Schwinger và Feynman cùng nhận

giải Nobel vật lý năm 1965. Phát triển này của điện động lực học lƣợng tử lại có một tầm

quan trọng vĩ đại nhất cho cả việc miêu tả các hiện tƣợng vật lý năng lƣợng cao.

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_principle

http://en.wikipedia.org/wiki/Electron

http://en.wikipedia.org/wiki/Proton

http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_Light

http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_diagram

http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_diagram

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Sin-Itiro_Tomonaga&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Julian_Schwinger&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=%C4%90i%E1%BB%87n_t%C3%ADch_%C4%91i%E1%BB%83m&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B4_men_t%E1%BB%AB_hi%E1%BB%87u_d%E1%BB%A5ng&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B4_men_t%E1%BB%AB_hi%E1%BB%87u_d%E1%BB%A5ng&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/1965



1. Phương trình Dirac

Mẫu ―ABC‖ tuy là một lý thuyết trƣờng lƣợng tử hoàn toàn phù hợp nhƣng nó

không mô tả đƣợc thế giới thực vì các hạt A,B,C có spin bằng 0 , trong khi đó các quark

và lepton mang spin 1/2, và các trung tử mang spin bằng 1. Việc tính đến spin có thể là

khá phức tạp về mặt số học; đó là lý do tại sao ta đƣa ra phép tính Feynman trong ngữ

cảnh của một lý thuyết ―đồ chơi‖ hoàn toàn không có những rắc rối trên. Trong cơ học

lƣợng tử phi tương đối tính các hạt đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Schrödinger, còn trong

cơ học lƣợng tử tương đối tính các hạt có spin bằng 0 đƣợc mô tả bằng phƣơng trình

Klein – Gordon, các hạt có spin 1/2 bởi phƣơng trình Dirac và các hạt có spin 1 bởi

phƣơng trình Proca. Tuy nhiên một khi các qui tắc Feynman đã đƣợc thiết lập thì phƣơng

trình trƣờng cơ bản mất dần hiệu lực về căn bản. Nhƣng với các hạt có spin 1/2, kí hiệu

của qui tắc Feynman đã giả định về sự tƣơng tự với phƣơng trình Dirac. Thế nên trong ba

phần tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu lý thuyết Dirac trong theo đúng nghĩa của nó.

Ta đã thiết lập đƣợc phƣơng trình Schrödinger bằng việc bắt đầu với hệ thức năng

xung lƣợng cổ điển

áp dụng cách mô tả lƣợng tử :

và để toán tử thu đƣợc tác dụng lên hàm sóng cho kết quả :

(Phƣơng trình Schrödinger)

Phƣơng trình Klein – Gordon có thể thu đƣợc bằng chính phƣơng pháp này, bắt

đầu với mối liên hệ năng – xung lƣợng tương đối tính

Hoặc

(từ nay ta sẽ bỏ qua thế năng, và ta chỉ xử lý các hạt tự do ). Đáng ngạc nhiên là cách mô

tả lƣợng tử (7.2) không đòi hỏi sự biến đổi tƣơng đối tính; theo kí hiệu vectơ bốn chiều :



Với

Tức là :

Thay (1.5) vào (1.4) và để đạo hàm tác động lên hàm sóng , ta thu đƣợc :

Hay :

(Phƣơng trình Klein – Gordon )

Schrödinger rõ ràng đã khám phá ra phƣơng trình này trƣớc cả phƣơng trình phi

tƣơng đối tính mang tên ông; nó thậm chí còn bị phủ nhận về căn bản vì bị cho là không

tƣơng thích với ý nghĩa thống kê của hàm sóng [tức (2) là xác suất tìm thấy hạt ở

điểm (x,y,z)]. Nguồn gốc của sự khó khăn này là do phƣơng trình Klein – Gordon là

phƣơng trình bậc hai theo thời gian t (phƣơng trình Schrödinger là phƣơng trình bậc nhất

theo t). Vì thế Dirac bắt đầu tìm kiếm một phƣơng trình phù hợp với công thức năng –

xung lƣợng tƣơng đối tính bậc nhất theo thời gian. Nhƣng năm 1934 Pauli và Weisskopf

đã chỉ ra rằng ý nghĩa thống kê tự nó đã có vấn đề trong lý thuyết lƣợng tử tƣơng đối tính,

và hoàn trả phƣơng trình Klein – Gordon trở lại đúng vị trí tuyệt vời của nó, trong khi

vẫn duy trì phƣơng trình Dirac cho các hạt có spin 1/2.

Chiến lƣợc cơ bản của Dirac là ―đặt thừa số‖ cho hệ thức năng – xung lƣợng

(1.4). Việc này sẽ trở nên dễ dàng nếu ta chỉ có p0 (tức nếu p = 0) :

Ta đƣợc hai phƣơng trình bậc nhất :

hoặc

Phƣơng trình nào trong số hai phƣơng trình này đều đảm bảo rằng pp - m

2c

2=0.

Nhƣng sẽ là một vấn đề khác khi ba thành phần còn lại của p đƣợc tính đến, trong

trƣờng hợp đó ta sẽ đi tìm biểu thức dƣới dạng :



với k và

là tám hệ số cần đƣợc xác định. Khai triển vế phải của (7.12), ta đƣợc :

Để không có số hạng nào phụ thuộc tuyến tính vào pk, ta chọn k =

, sau cùng ta

cần tìm hệ số k sao cho :

tức là

Ta thấy rằng có thể chọn 0 = 1,

1 =

2 =

3 = 1, nhƣng dƣờng nhƣ không có cách

nào tránh khỏi ―các số hạng chéo‖. Ở điểm này, Dirac đã có một ý tƣởng sáng giá: nếu

là các ma trận thay vì các con số thì sẽ nhƣ thế nào ? Khi các ma trận là không giao hoán,

ta có thể tìm thấy một tập hợp sao cho :

với

Hay ngắn gọn hơn là:

với g

là ma trận Minkowski, và dấu móc nhọn thể hiện một phản giao hoán tử.

Ta có thể tự giải quyết vấn đề này một cách bình thƣờng. Điều này có thể thực hiện đƣợc,

mặc dù ma trận nhỏ nhất là 4 4. Có một số tập hợp tƣơng đƣơng các ―ma trận gamma‖;

ta sẽ sử dụng qui ƣớc chuẩn ― Bjorken và Drell ‖ :

Trong đó i (i = 1,2,3) là các ma trận Pauli đã chỉ ra, 1 biểu thị cho ma trận đơn vị cấp 2

2, 0 biểu thị cho ma trận cấp 2 2 của các số 0.



Nhƣ một phƣơng trình ma trận cấp 4 4, hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối

tính cho ra thừa số :

Bây giờ ta thu đƣợc phƣơng trình Dirac khi tách ra một số hạng (vấn đề không phải là số

nào, mà đây là một cách chọn theo qui ƣớc):

Thực hiện sự thay thế thông thƣờng p i (phƣơng trình 7.5), và cho kết

quả tác dụng lên hàm sóng :

( Phƣơng trình Dirac)

Lƣu ý rằng là một ma trận cấp 4 4 :

Ta gọi đó là ― lƣỡng Spinor‖ hay ― Spin Dirac ‖ (Mặc dù nó gồm 4 thành phần nhƣng đó

không phải là vectơ 4 chiều. Trong phần 3 ta sẽ chỉ ra nó thay đổi nhƣ thế nào khi ta thay

đổi hệ quán tính; nó sẽ không phải là một phép biến đổi Lorenzt thông thƣờng).

2. Các nghiệm của phương trình Dirac

Bây giờ ta sẽ đi tìm các nghiệm đơn giản của phƣơng trình Dirac. Trƣớc hết giả sử

rằng độc lập đối với vị trí :

Cùng với (7.5), phƣơng trình này mô tả một trạng thái có xung lƣợng lƣợng bằng

không( p = 0 ). Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành :

Hoặc :



Trong đó

mang hai thành phần phía trên, và

mang hai thành phần phía dƣới. Do đó

Và các nghiệm là :

Ta xem thừa số

nhƣ là sự phụ thuộc thời gian đặc trƣng của một trạng thái lƣợng tử với năng lƣợng E.

Đối với một hạt đứng thì E = mc2, do đó A trong trƣờng hợp p = 0 chính xác là cái mà

ta mong đợi. Nhƣng với B thì sao ? Dƣờng nhƣ nó mô tả một trạng thái với năng lƣợng

âm (E = -mc2 ). Đây là một thất bại lớn và là điều đầu tiên mà Dirac cố tránh bằng cách

giả thiết về một ―biển vô hạn‖ không nhìn thấy đƣợc của các hạt có năng lƣợng âm, nó

lấp đầy các trạng thái không mong muốn. Thay vì làm thế, bây giờ ta giải thích các

nghiệm ―năng lƣợng âm‖ bằng cách đƣa ra các phản hạt với năng lƣợng dƣơng. Theo đó,

ví dụ nhƣ A mô tả các electron thì B sẽ mô tả các positron. Mỗi hàm sóng là một

spinor hai thành phần, đúng với hệ có spin 1/2. Tóm lại, phƣơng trình Dirac với p = 0

thừa nhận bốn nghiệm độc lập (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa )



lần lƣợt mô tả một electron với spin hƣớng lên, một electron hƣớng xuống, một positron

với spin hƣớng lên và một positron với spin hƣớng xuống.

Tiếp theo ta đi tìm nghiệm sóng phẳng dƣới dạng :

hoặc theo kí hiệu gọn hơn :

(với a là hằng số chuẩn hóa, tuy không phù hợp với mục đích biểu diễn của ta nhƣng cần

thiết sau này để giữ cho đơn vị phù hợp). Ta hi vọng tìm thấy một lƣỡng spin u(p) sao

cho (x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc này p (E/c,p) chỉ đơn giản là một tập hợp

của bốn tham số tùy ý, nhƣng vì chúng biểu diễn cho năng lƣợng và xung lƣợng nên đơn

giản nhất là ta gán cho chúng các kí tự thích hợp ngay từ khi bắt đầu). Do sự phụ thuộc

vào x xác định bởi số mũ

Thay biểu thức này vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có :

hoặc

Phƣơng trình này đƣợc biết đến nhƣ là ―phƣơng trình Dirac trong không gian xung

lƣợng ‖. Lƣu ý rằng đó là một phƣơng trình thuần túy đại số và không có đạo hàm. Nếu u

thỏa mãn phƣơng trình (2.12) thì (ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac

(1.20).

Ta có :

Do đó :



Trong đó chỉ số dƣới A biểu thị cho hai thành phần phía trên và B biểu thị cho hai thành

phần phía dƣới. Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có

Thay uB vào uA ta đƣợc :

Nhƣng do

Nên

với 1 là ma trận đơn vị cấp 2 2.

Vậy

Và do đó

Tức là để thỏa mãn phƣơng trình Dirac, E và p (ở phƣơng trình 2.10) phải tuân

theo hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính. Phƣơng trình theo E ở (2.20) cho ta hai

nghiệm:

Nghiệm dƣơng ứng với các trạng thái hạt, nghiệm âm ứng với các trạng thái của

phản hạt.

Quay lại phƣơng trình (2.15) và sử dụng (2.17), vấn đề trở nên đơn giản khi xây

dựng bốn nghiệm độc lập của phƣơng trình Dirac (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa)



đặt

thì

đặt

thì

đặt

thì

đặt

thì

Với (1) và (2) ta phải dùng dấu cộng ở phƣơng trình (2.21), nếu không uB sẽ bất

định khi p 0, đây là điều dễ hiểu với hàm sóng các hạt. Với (3) và (4) ta buộc phải

dùng dấu trừ, đó là các trạng thái của phản hạt. Thông thƣờng ta chuẩn hóa các spinor

này theo cách sao cho

Với dấu cộng kí hiệu cho liên hợp chuyển vị (hay ―liên hợp Hermit‖)

Do đó

Vậy bốn nghiệm là :

(với )



(với )

Và hằng số chuẩn hóa là

Có thể đoán nhận đƣợc u(1)

mô tả một electron với spin hƣớng lên, u(2)

với spin

xuống và cứ nhƣ thế, nhƣng không phải nhƣ vậy. Với các hạt Dirac, các ma trận spin là:

với

và có thể dễ dàng kiểm tra rằng u(1)

, chẳng hạn, không phải là một trạng thái riêng của z.

Tuy nhiên, nếu ta hƣớng trục z theo chiều chuyển động thì (trƣờng hợp này px = py = 0)

thì u(1)

, u(2)

,u(3)

và u(4)

là các spinor riêng của Sz; u(1)

và u(3)

là spin hƣớng lên, u(2)

và u(4)

là các spin hƣớng xuống.

Nhƣ đã nói ở phần trƣớc thì E và p (trong biểu thức 2.10) là các tham số toán học

tƣơng ứng năng lƣợng và xung lƣợng trong vật lí, và điều này hoàn toàn đúng cho các

trạng thái của electron, u(1)

và u(2)

. Tuy nhiên, E ở u(3)

và u(4)

không thể biểu thị cho năng

lƣợng của positron; tất cả các hạt tự do, nhƣ electron và positron, đều mang năng lƣợng

dƣơng. Nghiệm năng lƣợng âm phải đƣợc giải thích lại nhƣ các trạng thái phản hạt với

năng lƣợng dƣơng. Để biểu diễn các nghiệm này dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng

của positron, chúng ta đảo các dấu của E và p :

[cho nghiệm (3) và (4)]

Chú ý rằng chúng giống với các nghiệm cũ trong phƣơng trình Dirac; ta chỉ đơn

giản là chấp nhận một qui ƣớc khác về dấu cho các tham số, để phù hợp hơn với ý nghĩa

vật lí của chúng. Ngƣời ta thƣờng sử dụng kí tự cho các trạng thái của positron, đƣợc

biểu diễn dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng :



(với )

Từ đó ta sẽ không đề cập đến u(3)

và u(4)

nữa; các nghiệm ta sẽ dùng là u(1)

, u(2)

(biểu diễn hai trạng thái spin của một electron với năng lƣợng E và xung lƣợng p) và

(1)

, (2)

(biểu diễn hai trạng thái spin của positron với năng lƣợng E và xung lƣợng p).

Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng

dƣới dạng

Thì tuân theo phƣơng trình với dấu của p ngƣợc lại :

Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac.

Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí

nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc.

3. Hiệp biến song tuyến tính

Ta đã đề cập đến trong phần 1 rằng các thành phần của một spinor Dirac không

biến đổi nhƣ một vectơ bốn chiều khi ta chuyển từ hệ quán tính sang một hệ khác. Vậy

chúng chuyển đổi nhƣ thế nào ? Ta sẽ không nói cụ thể ở đây mà chỉ trích dẫn ra kết quả:

Nếu ta đến một hệ đang dịch chuyển với tốc độ v theo phƣơng x thì qui tắc biến đổi sẽ là



với S là ma trận cấp 4 4

với

và .

Giả sừ ta muốn xây dựng một đại lƣợng vô hƣớng không có một spinor . Ta thử

biểu thức

Nhƣng đó lại không phải là một vô hƣớng, ta có thể kiểm tra bằng cách áp dụng qui tắc

biến đổi đã có:

Thật vậy:

Dĩ nhiên, tổng các bình phƣơng của các yếu tố của vectơ bốn chiều là bất biến, ta

cần các dấu trừ ― - ‖ cho các thành phần không gian. Với một phép thử-và-lỗi nhỏ ta sẽ

khám phá ra rằng trong trƣờng hợp các spinor, ta cần các dấu trừ cho thành phần thứ 3 và

thứ 4. Do đó ta sẽ đƣa ra phép hiệp biến vectơ bốn chiều để giữ nguyên các kí hiệu về

dấu, bây giờ ta sẽ trình bày hàm liên hiệp:

Ta thừa nhận đại lƣợng

là bất biến tƣơng đối tính. Với S+

0S =

0, và do đó :

Ta đã phân biệt đƣợc vô hƣớng và giả vô hƣớng theo các tính chất của chúng theo

các phép biến đổi chẳn lẽ, P: (x,y,z) (-x,-y,-z) . Các giả vô hƣớng thay đổi dấu, còn các

vô hƣớng thì không. Vậy là vô hƣớng hay giả vô hƣớng? Trƣớc hết ta cần biết spinor.

Dirac biến đổi nhƣ thế nào theo P. Một lần nữa, ta sẽ không thiết lập nó mà chỉ trích dẫn

kết quả :



Theo đó

Vì thế ( ) là bất biến theo phép biến đổi chẵn- lẽ, nó là một vô hƣớng. Nhƣng ta cũng

có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có :

với

Theo phép biến đổi chẵn lẽ

[lƣu ý là (0)

2 = 1].

0 ở ngƣợc phía với

5 nhƣng ta có thể đảo vị trí của chúng bằng cách

lƣu ý rằng nó phản giao hoán với 1,

2 và

3 (phƣơng trình 7.15) và tự giao hoán với

chính nó (3

0 = -

0

3,

2

0 = -

0

2,

1

0 = -

0

1,

0

0 =

0

0)

do đó

Tƣơng tự, 5 cũng phản giao hoán với các ma trận khác:

Trong bất kì trƣờng hợp nào thì

do đó nó là một giả vô hƣớng.

Nhƣ vậy, có 16 tích có dạng i*j (lấy một thành phần của * và một thành

phần của ) khi i, j chạy từ 1 đến 4. Mƣời sáu tích này có thể cộng lại với nhau theo

những tổ hợp tuyến tính khác nhau để xây dựng nên các đại lƣợng với các tính chất dịch

chuyển dễ nhận thấy, nhƣ là :

= vô hƣớng (1 thành phần)

= giả vô hƣớng (1 thành phần)

= vectơ (4 thành phần)

= giả vectơ (4 thành phần)

= tenxơ phản xứng (6 thành phần)



Với

Nó cho ta 16 số hạng, đây là tất cả những gì ta hi vọng có thể làm đƣợc theo cách

này. Ta không thể thiết lập một tensor đối xứng song tuyến tính trong * và , và nếu ta

đang tìm một vectơ thì chỉ là một đơn cử (nghĩ theo cách khác đó chính là: 1, 5

, ,

5 và

cấu thành một cơ sở của không gian của mọi ma trận cấp 4 4, bất kì

một ma trận 4 4 nào đều có thể viết dƣới dạng phụ thuộc tuyến tính của 16 số hạng này.

Đặc biệt nếu gặp phải tích của năm ma trận chẳng hạn, thì ta có thể chắc chắn rằng nó có

thể đƣợc rút gọn thành tích của không nhiều hơn hai thành phần). Bây giờ ta chú ý đến

các kí hiệu ở (7.68). Đặc tính tensor của các hiệp biến song tuyến tính, và thậm chí là tính

chất của chúng theo toán tử chẳn lẽ đƣợc chỉ ra dễ dàng : giống nhƣ một vectơ

bốn chiều, và nó thực sự là một vectơ bốn chiều. Nhƣng tự nó không hẳn là một

vectơ bốn chiều, nó là một tập hợp của 4 ma trận cố định (1.17), chúng không đổi khi ta

dịch chuyển qua một hệ quán tính khác, sự thay đổi là của .

4. Photon

Trong điện động lực cổ điển điện trƣờng và từ trƣờng (E và B) đƣợc thiết lập bởi

mật độ điện tích và mật độ dòng J, đƣợc xác định bởi các phƣơng trình Maxwell :

Trong kí hiệu tƣơng đối tính, E và B lập thành một tensor phản xứng bậc hai,

―tensor cƣờng độ trƣờng‖ F

( tức là F01

= Ex, F12

= - Bz, vv…), trong khi đó và J cấu thành một vectơ 4 chiều :

Hệ các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất [(i) và (iv)] bây giờ có thể đƣợc

viết gọn lại:



Từ sự phản xứng của tenxơ F

(F

= - F

) , ta thấy rằng J là không phân kì.

Hoặc theo kí hiệu vectơ 3 chiều, .J = - / t ; đây là một phƣơng trình liên tục

diễn tả sự bảo toàn của điện tích trong trƣờng.

Giống nhƣ với các phƣơng trình Maxwell thuần nhất, (iii) tƣơng đƣơng với cách

phát biểu rằng B có thể đƣợc viết dƣới dạng tích hữu hƣớng của thế vectơ A :

Khi đó (ii) trở thành

cũng tƣơng đƣơng với phát biểu rằng 1/ /E c A t có thể đƣợc viết nhƣ là một

gradient của thế vô hƣớng V :

Theo kí hiệu tƣơng đối tính, phƣơng trình (4.3) và (4.5) trở thành :

với

Dƣới dạng thế vectơ 4 chiều, các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất (4.4)

cho :

Trong điện động lực cổ điển, các trƣờng là các thực thể vật lí, các thế là các công

thức toán học hữu ích đơn giản. Do biểu thức của thế năng luôn tự phù hợp với hệ các

phƣơng trình Maxwell : với các biểu thức (4.3) và (4.4), (ii) và (iii) luôn đƣợc thỏa mãn,

nên V và A ta đã định nghĩa nhƣ trên là có thể hợp lý. Nhƣng ở phƣơng trình (4.8) sự

không thích hợp của biểu thức thế năng là ở chỗ V và A không đƣợc xác định một cách

đơn nhất. Thực vậy, từ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng các thế mới

(với là hàm bất kì của vị trí và thời gian) cũng không xác định đơn nhất vì

A A A A . Sự thay đổi các thế mà không ảnh hƣởng đến trƣờng đƣợc

gọi là phép biến đổi định cỡ. Ta có thể khai thác sự định cỡ tự do này để buộc các điều

kiện bổ sung cho thế:



Đó chính là điều kiện định cỡ Lorentz, với điều kiện này phƣơng trình Maxwell (7.80)

đƣợc đơn giản hóa hơn nữa:

Trong đó

đƣợc gọi là toán tử D’Alember.

Tuy nhiên, điều kiện Lorentz không xác định đơn nhất A. Các phép biến đổi định

cỡ khác có khả năng hơn, nó không làm nhiễu loạn phƣơng trình (4.10) và chỉ ra rằng

hàm định cỡ thỏa mãn phƣơng trình sóng:

Nhƣng nó không chỉ rõ cách để loại bỏ phần không rõ ràng còn lại trong A, nên ta

có thể hoặc là (1) chấp nhận sự bất định, nghĩa là chấp nhận một số bậc tự do không rõ

ràng, hoặc (2) buộc một điều kiện bổ sung, nó phá vỡ tính hiệp biến Lorentz của lý thuyết

này. Cả hai phƣơng pháp này đều đƣợc sử dụng trong việc hình thành điện động lực học

lƣợng tử mà ta sẽ tiếp tục nghiên cứu. Trong không gian tự do, nơi mà J = 0 , ta chọn

Điều kiện định cỡ Lorentz lúc này là

Cách chọn này (phép định cỡ n Coulomb) là khá đơn giản, nhƣng bằng cách chọn

một thành phần (A0) với cho phƣơng pháp đặc biệt ta bị giới hạn ở một hệ quán tính cụ

thể (hoặc nó buộc ta thực hiện một phép biến đổi chuẩn trong trong mối tƣơng quan với

mọi phép biến đổi Lorentz duy trì điều kiện chuẩn Coulomb).

Trong điện động lực lƣợng tử A trở thành hàm sóng của photon. Photon tự do

thỏa mãn phƣơng trình (4.11) với J = 0

ta thấy rõ đó cũng chính là phƣơng trình Klein – Gordon cho hạt không khối lƣợng. Nhƣ

trƣờng hợp phƣơng trình Dirac, ta tìm các nghiệm sóng phẳng với xung lƣợng

p = (E/c,p):

trong đó là véctơ phân cực – đặc trƣng cho spin của photon – và a là thừa số chuẩn

hóa. Thay biểu thức (7.88) vào phƣơng trình (7.87), ta thu đƣợc điều kiện trên p :

do đó

đó phải là hạt không khối lƣợng.

Thêm vào đó, có bốn thành phần, nhƣng chúng không hoàn toàn độc lập. Điều

kiện Lorentz (4.10) đòi hỏi rằng



Hơn nữa, theo phép định cỡ Coulomb ta có:

tức là véctơ phân cực ba chiều thẳng góc với phƣơng lan truyền, ta nói một photon tự do

bị phân cực ngang. Vì thế phép định cỡ Coulomb còn đƣợc biết nhƣ là phép đĩnh cỡ

ngang. Nhƣ vậy, có hai véctơ ba chiều độc lập tuyến tính vuông góc với p; ví dụ, nếu p

hƣớng theo trục z thì ta có thể chọn

Do đó thay vì phải có bốn nghiệm độc lập với mỗi xung lƣợng đã cho(quá nhiều

đối với hạt có spin bằng 1), thì ta chỉ còn lại hai. Nhƣ vây, liệu có phải photon có ba trạng

thái spin hay không ? Câu trả lời là không : các hạt có khối lƣợng với spin s thì có 2s + 1

cách định hƣớng spin khác nhau, nhƣng một hạt không khối lƣợng thì chỉ có hai cách,

không tính spin của nó ( ngoại trừ s = 0 thì chỉ có một cách). Dọc theo phƣơng dịch

chuyển chúng chỉ có thể có ms= + s hoặc ms= - s , nói cách khác, độ xoắn của nó chỉ

có thể là + 1 hoặc -1.

5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực lượng tử

Trong phần 2 ta đã tìm thấy rằng các electron và positron tự do có xung lƣợng

p = (E/c,p) với năng lƣợng E = (m2c

4 + p

2c

2)1/2

đƣợc mô tả bởi hàm sóng

với s =1,2 cho hai trạng thái spin. Các spinor u(s)

và (s) thỏa mãn các phƣơng trình Dirac

trong không gian xung lƣợng :

và các liên hiệp của chúng,

thỏa mãn :

Chúng trực giao

chuẩn hóa

và đủ, theo nghĩa là



Một tập tƣờng minh thông thƣờng (u(1)

,u(2)

,u(3)

,u(4)

) đƣợc đƣa ra trong các phƣơng trình

(2.24) và (4.28). Thông thƣờng, ta sẽ tính trung bình các spin của electron và positron, và

trong trƣờng hợp đó, vấn đề không còn là spin hƣớng lên hay hƣớng xuống nữa; những gì

ta thật sự cần là tính đủ của chúng. Với một số bài tập trong đó spin đã đƣợc xác định thì

ta phải dùng các spinor thích hợp cho trƣờng hợp này.

Trong khi, một photon tự do có xung lƣợng p = (E/c,p) với năng lƣợng E = pc

đƣợc mô tả bởi hàm sóng

trong đó s = 1,2 cho hai trạng thái của spin (hoặc sự phân cực) của photon. Véctơ phân

cực s

thỏa mãn điều kiện Lorentz trong không gian xung lƣợng :

Chúng trực giao, theo nghĩa là

và chuẩn hóa

Theo phép định cỡ Coulomb

và véctơ phân cực ba chiều tuân theo hệ thức đủ

Một cặp tƣờng minh thông thƣờng ( (1)

, (2)

) đƣợc đƣa ra ở biểu thức (4.20).

Để tính biên độ M liên hệ với sơ đồ Feynman cụ thể, ta tiến hành nhƣ sau :

1. Kí hiệu : gán cho các xung lƣợng bốn chiều đi vào và đi ra là p1, p2, …, pn, các

spin tƣơng ứng là s1, s2,…, sn; các nội xung lƣợng bốn chiều là q1, q2,…, qn . Đặt các dấu

mũi tên cho các tuyến nhƣ sau : mũi tên ở các ngoại tuyến Fermion chỉ ra nó là một

electron hay một positron; các mũi tên ở các nội tuyến Fermion đƣợc gán sao cho ―hƣớng

của dòng‖ qua sơ đồ đƣợc bảo toàn (tức là mọi đỉnh phải có một mũi tên đi vào và một

mũi tên đi ra ). Các mũi tên ở các ngoại tuyến photon hƣớng ra phía trƣớc, với các nội

tuyến photon thì sự lựa chọn là tùy ý ( xem hình 1).



Hình 1 Một sơ đồ Điện động lực lƣợng tử điển hình, với

các ngoại tuyến đã đặt tên (các nội tuyến không đƣợc

chỉ ra ở đây.)

2. Các ngoại tuyến : Các ngoại tuyến đóng góp các thừa số nhƣ sau:

Đến

Các electron

Đi

Đến

Các Positron

Đi

Đến

Các Photon

Đi

3. Các thừa số đỉnh : Mỗi đỉnh đóng góp vào một thừa số

Hằng số ghép cặp không thứ nguyên ge liên hệ với điện tích của positron :

4. Hàm truyền : Mỗi nội tuyến đóng góp một thừa số nhƣ sau:



Các electron và positron :

Các photon :

5. Sự bảo toàn năng lượng và xung lượng : Với mỗi đỉnh, viết một hàm delta dƣới

dạng :

với k1, k2, k3 là các xung lƣợng bốn chiều đi vào các đỉnh (nếu các mũi tên hƣớng ra

ngoài thì k sẽ là xung lƣợng bốn chiều của các tuyến đó nhƣng mang dấu trừ, ngoại trừ

các positron bên ngoài). Thừa số này buộc phải tuân theo sự bảo toàn của năng lƣợng và

xung lƣợng tại đỉnh.

6. Tích phân theo các nội xung lượng: Với mỗi nội xung lƣợng q, viết một thừa số:

và lấy tích phân.

7. Khử hàm Delta : Kết quả sẽ chứa thừa số

tƣơng ứng với sự bảo toàn năng – xung lƣợng toàn cục. Khử số hạng này thì những gì

còn lại là – iM.

Nhƣ trƣớc đây, quy trình thực hiện là viết ra tất cả sơ đồ đóng góp vào quá trình

đang khảo sát (đến bậc mà ta mong muốn), tính biên độ (M ) cho mỗi sơ đồ, và cộng

chúng lại thành biên độ toàn phần, sau đó chèn biên độ này vào công thức thích hợp của

tiết diện va chạm hoặc thời gian sống, nếu có thể. Đây chỉ là một thủ thuật mới : sự phản

xứng hóa của các hàm sóng fermion đòi hỏi ta phải chèn thêm dấu trừ trong biên độ liên

kết mà chỉ khác nhau khi ta hoán đổi các ngoại fermion giống nhau.Vấn đề không phải là

ta gắn dấu trừ vào sơ đồ nào vì dù sao sau đó tổng cũng sẽ đƣợc bình phƣơng; nhƣng lại

có một dấu trừ tương đối giữa chúng.

8. Sự phản xứng : Tính đến dấu trừ giữa các sơ đồ mà chỉ khác nhau khi hoán đổi hai

electron (hay positron) vào (hoặc ra), hoặc của một electron vào với một electron ra (hoặc

ngƣợc lại)

Việc điều khiển các vòng lặp fermion sẽ đƣợc thảo luận ở phần cuối chƣơng.



6. Ví dụ Bây giờ ta đang ở trong hoàn cảnh tái thiết lập nhiều phép tính cổ điển trong điện

động lực lƣợng tử. Để không đi lạc vào chi tiết, ta bắt đầu với một danh mục các quá

trình quan trọng nhất :

BẢNG 1. DANH MỤC CÁC QUÁ TRÌNH CƠ BẢN

CỦA ĐIỆN ĐỘNG LỰC LƢỢNG TỬ

Quá trình bậc hai

Đàn hồi

Tán xạ electron – muon ( e + e + )

(Tán xạ Mott (M >> m) tán xạ Rutherford

(v << c))

Tán xạ electron – electron (e- + e

- e

- + e

-)

(Tán xạ Møller)

Tán xạ electron – positron( e- + e

+ e

- + e

+ )

(Tán xạ Bhabha)

Phi đàn hồi

Hủy cặp (e- + e

+ + )

Sinh cặp ( + e- + e

+ )

Tán xạ Compton ( + e- + e

- )



Quá trình bậc ba quan trọng nhất :

Mômen từ dị thƣờng của electron

Hình 2 Tán xạ electron – muon

Trƣờng hợp đơn giản nhất là tán xạ electron – muon, ở đây chỉ có một sơ đồ đóng góp

vào bậc hai.

Ví dụ 7.1 Tán xạ electron – muon

Áp dụng các quy tắc Feynman, ta tiến hành dịch lùi theo mỗi tuyến fermion

(hình 2):

Lƣu ý rằng các chỉ số không – thời gian trong hàm truyền photon phù hợp với các

chỉ số của các thừa số đỉnh tại những điểm kết thúc khác nhau của tuyến photon. Lấy tích

phân theo q và khai căn hàm delta, ta đƣợc :



Mặc dù xuất hiện sự phức tạp nhƣng với bốn spinor và tám ma trận thì đây vẫn

chỉ là một con số, ta có thể tính toán một khi các spin đƣợc xác định rõ.

Ví dụ 7.2 Tán xạ electron – muon

Trong trƣờng hợp này có một sơ đồ thứ hai , trong đó electron thoát ra với xung

lƣợng p3 và spin s3 đến từ các electron có xung lƣợng p2 và spin s2 thay vì từ các electron

p1, s1 (Hình 3). Ta thu đƣợc biên độ này từ biểu thức (5.8) một cách đơn giản bằng cách

thay p3, s3 p4, s4 . Theo qui tắc 8, hai sơ đồ đều bị trừ đi, do đó biên độ tổng hợp là

Hình 3 Biểu đồ ―xoắn‖ cho tán xạ electron-electron

Ví dụ 7.3 Tán xạ electron – positron

Một lần nữa, lại có hai sơ đồ. Sơ đồ thứ nhất tƣơng tự với sơ đồ electron – muon

(hình 4).

Lƣu ý rằng quá trình giật lùi dọc theo đƣờng phản hạt giống nhƣ quá trình đi tới

tại cùng thời điểm, thứ tự luôn là hàm spinor liên hiệp / ma trận gamma / hàm spinor. Do

đó biên độ cho biểu đồ này là

Sơ đồ còn lại biểu thị sự hủy ảo của electron và positron, sau đó là sự sinh cặp

(hình 5) :



Biên độ cho sơ đồ này là

Hình 5

Xây dựng biểu đồ thứ

hai với tán xạ electron -

positron

Hình 4

Tán xạ elctron – positron

Bây giờ ta sẽ cộng thêm chúng vào, hay trừ đi ? Hoán đổi positron vào và electron

ra trong sơ đồ thứ hai (hình 5) và sau đó vẽ lại nó theo một cấu hình tùy biến hơn

ta lại đƣợc biểu đồ đầu tiên ( hình 4). Theo qui tắc 8, ta cần một dấu trừ :



Ví dụ 7.4 Tán xạ Compton

Xét một ví dụ liên quan đến hàm truyền electron và sự phân cực photon, trong

trƣờng hợp tán xạ Compton, + e +e. Một lần nữa lại có hai sơ đồ, nhƣng chúng

không khác khi hoán đổi các fermion, và biên độ đƣợc cộng thêm vào. Sơ đồ đầu tiên

(hình 6) cho ta

Lƣu ý rằng chỉ số không – thời gian trong mỗi véctơ phân cực photon phù hợp với

chỉ số của ma trận tại các đỉnh nơi photon đƣợc sinh ra hay bị hấp thụ. Cũng cần lƣu ý

hàm truyền electron phù hợp thế nào khi ta lùi theo tuyến fermion. Ở đây ta đƣa ra một

dạng viết tắt tiện lợi là ―a sổ‖ [dấu / là dấu sổ hoặc xuyệt trái].

Hình 7.6 Tán xạ Compton

Rõ ràng biên độ ứng với sơ đồ :

Cùng lúc đó, sơ đồ thứ hai (hình 7.7) cho ta

Và biên độ tổng hợp là M = M1 + M2



7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết

Trong một số thí nghiệm, các spin electron (hay positron) đến và đi đƣợc xác định

rõ, và sự phân cực photon đã đƣợc đƣa ra. Do đó, việc tiếp theo ta cần làm là chèn các

spinor thích hợp và các véctơ phân cực vào biểu thức M, và tính M2, đại lƣợng ta thật

sự cần để xác định tiết diện va chạm và thời gian sống. Tuy nhiên, thƣờng thì ta không

chú ý đến spin. Một thí nghiệm điển hình bắt đầu với một chùm hạt có spin định hƣớng

ngẫu nhiên, và sau đó đơn giản là đếm số hạt tán xạ theo một hƣớng đã chọn. Trong

trƣờng hợp này tiết diện va chạm phù hợp là trung bình của các cấu hình spin ban đầu i,

và tổng các cấu hình spin sau cùng f. Về nguyên tắc, ta có thể tính M( if )2 cho mọi

tổ hợp khả dĩ và sau đó tính tổng và trung bình:

trung bình tính trên các spin ban đầu,

tổng lấy trên các spin sau cùng

Hình 7 Sơ đồ thứ hai cho tán xạ Compton

Trong thực tế, sẽ dễ hơn để tính 2

M một cách trực tiếp mà không xét đến các

biên độ riêng lẻ.

Ví dụ nhƣ biên độ tán xạ electron – muon (7.104). Bình phƣơng hai vế, ta có :

(để tránh nhầm lẫn, ta dùng cho các chỉ số không – thời gian thứ hai). Số hạng thứ nhất

và thứ ba (hoặc thứ hai và thứ tƣ) có thể viết dƣới dạng tổng quát:

với (a) và (b) đại diện cho các spin và mômen tƣơng ứng, và 1, 2 là hai ma trận 44.

Mọi quá trình khác miêu tả ở phần 6, tán xạ Møller, tán xạ Bhabha và tán xạ Compton,

cũng nhƣ sự sinh và hủy cặp, đƣa ta đến các biểu thức với cấu trúc tƣơng tự. Để bắt đầu

ta lấy liên hiệp phức(cũng là liên hợp Hermit, vì đại lƣợng trong dấu ngoặc là một ―ma

trận‖ 11):



Với , và , do đó :

với

Do đó

Bây giờ ta tính tổng trên các hƣớng spin của hạt (b). Sử dụng hệ thức đủ (4.7), ta

có:

Với Q là kí hiệu tạm thời cho ma trận 44

Tƣơng tự cho hạt (a):

Viết ma trận tích một cách rõ ràng (lấy tổng i và j từ 1 4)

với Tr biểu thị cho vết của ma trận (tổng các phần tử trên đƣờng chéo)

Tóm lại :

các spin

Biểu thức này có thể không giống một sự đơn giản hóa, nhƣng lƣu ý rằng vế trái

không chứa hàm spinor; khi ta tính tổng trên các spin, nó trở về ma trận tích và thu đƣợc

vết. Ta gọi biểu thức (7.6) là ― thủ thuật Casimir‖ khi Casimir là ngƣời đầu tiên sử dụng

nó. Nếu thay u [ở phƣơng trình (7.6)] bởi , khối lƣợng tƣơng ứng ở vế phải đổi dấu.



Ví dụ 7.5

Trong trƣờng hợp tán xạ electron – muon [biểu thức (6,5)], 2 = 0 và do

đó

. Áp dụng thủ thuật Casimir hai lần, ta tìm đƣợc:

với m là khối lƣợng của electron, M là khối lƣợng của muon. Thừa số 1/4 đã đƣợc tính

đến do ta muốn tính trung bình trên các spin ban đầu; vì có hai hạt, mỗi hạt có hai cách

định hƣớng spin, trung bình là 1/4 của tổng.

Thủ thuật Casimir rút gọn mọi vấn đề về một bài toán là tính vết của một số ma

trận tích phức tạp. Biểu thức số học này đƣợc hỗ trợ bởi một số lý thuyết mà ta đƣa ra

dƣới đây. Trƣớc hết ta nên nhắc lại ba điều tổng quát về vết của ma trận: nếu A và B là

hai ma trận bất kì, và là một số bất kì

Từ mục 3 ta thấy rằng Tr(ABC) = Tr(CBA) = Tr(BCA), nhƣng trong trƣờng hợp

tổng quát chúng không bằng vết của các ma trận theo một thứ tự khác:

Tr(ACB)=Tr(BCA)=Tr(CBA). Theo cách đó ta có thể tách các ma trận khỏi một đầu của

một tích của chúng và chuyển vòng ra phía trƣớc, nhƣng phải giữ nguyên thứ tự. Nên lƣu

ý rằng

và nhắc lại hệ thức phản giao hoán cơ bản của các ma trận (cùng với một qui tắc ứng

với các tích ―sổ‖)

Từ đây suy ra một dãy các ―định lý thu gọn‖:

Và cuối cùng, có một tập các ―định lý vết‖:

10. Vết của một tích của một số lẻ các ma trận bằng 0.



vì 5 = i0123

là tích của một số chẵn ma trận , từ qui tắc 10 suy ra

Tr(5)=Tr(5)= 0. Khi 5 đƣợc nhân với một số chẵn ma trận , ta tìm đƣợc

với

-1, nếu là một phép hoán vị chẵn của 0123,

= +1, nếu là một phép hoán vị lẻ,

0, nếu hai chỉ số bất kì trùng nhau.

Ví dụ 7.6

Tính vết của tán xạ electron – muon [biểu thức (7.13)]

Giải: Theo qui tắc 10, số hạng trong móc vuông bằng không. Số hạng cuối có thể đƣợc

tính khi dùng qui tắc 12, và qui tắc 13 cho số hạng đầu.

Do đó

Vết thứ hai (ở biểu thức 7.13) cũng tƣơng tự, với mM, 12, 34 và các chỉ số

Hy Lạp ở dƣới. Từ đó



8. Tiết diện va chạm và thời gian sống

Bây giờ ta quay lại với lĩnh vực quen thuộc. Một khi đã tính M2 (hoặc

M2), ta đặt nó vào công thức tiết diện va chạm:

Trong trƣờng hợp tổng quát:

Cho hai vật thể tán xạ trong CM (Center of Mass: hệ quy chiếu khối tâm):

Hoặc trong phạm vi phòng thí nghiệm (LF: Laboratry Frame, ngƣợc với hệ quy

chiếu khối tâm):

Ví dụ 7.7 Tán xạ Mott và tán xạ Rutherford

Một electron (khối lƣợng m) tán xạ với một muon có khối lƣợng lớn hơn (M>>m).

Giả sử sự bật trở lại của M có thể bỏ qua, tìm tiết diện tán xạ sai phân trong phạm hệ quy

chiếu phòng thí nghiệm (M đứng yên).

Giải: Tiết diện va chạm đƣợc cho bởi



Do bia đứng yên, ta có (xem Hình 8):

với E là năng lƣợng electron tới (và tán xạ), p1 là xung lƣợng tới, p3 là xung lƣợng tán xạ,

(chúng có độ lớn bằng nhau p1=p3=p, và góc giữa chúng là : p1.p3 =p2.cos). Do

đó:

Hình 8 Electron tán xạ từ bia

Trước Sau

Thay vào biểu thức (7.15), ta có:

và do đó ( lƣu ý rằng )

Đây chính là công thức Mott. Với một phép xấp xỉ tốt, nó cho ta tiết diện va chạm sai

phân đối với tán xạ electron – proton. Nếu electron tới là phi tƣơng đối tính thì

p2<<(mc)

2, phƣơng trình (7.11) trở thành công thức Rutherford:



Còn sự phân rã thì nhƣ thế nào ? Thật ra, trong QED (Quantum ElectroDynamics)

thuần túy, nếu một fecmion đơn đi vào thì cũng chính fecmion đó đi ra, một tuyến

fecmion không thể kết thúc trong phạm vi một sơ đồ; cũng nhƣ không có một cơ chế nào

trong QED cho phép biến đổi một fermion (chẳng hạn một muon) thành một fermion

khác (chẳng hạn một electron). Để chắc chắn, phải tồn tại sự phân rã điện từ trƣờng của

các hạt đối lập, ví dụ nhƣ 0+; nhƣng thành phần điện từ trong quá trình này không

là gì khác ngoài sự hủy cặp quark – phản quark, q + q + . Đó thực sự là một biến cố

tán xạ, mà trong đó sự va chạm của hai hạt xảy ra trong một trạng thái giới hạn. Ví dụ rõ

nhất về quá trình này là sự phân rã của Positronium: e+ + e

- + , mà sẽ xét trong ví

dụ sau đây. Ta sẽ phân tích trong hệ quy chiếu Positronium đứng yên (hay trong phạm vi

hệ quy chiếu CM của cặp electron-positron). Chúng thông thƣờng dịch chuyển khá chậm,

thực tế, với mục đích đi tính biên độ ta nên giả sử chúng đứng yên. Nói cách khác, đây là

một trong những trƣờng hợp mà ta không thể tính trung bình trên các spin ban đầu, do

các hệ tổ hợp đều có cấu hình đơn nhất [singlet] – các spin đối song – hoặc theo cấu hình

tam đẳng [triplet]– các spin song song – và công thức cho tiết diện va chạm (và do đó

thời gian sống) là hoàn toàn khác nhau trong hai trƣờng hợp.

Ví dụ 7.8 Sự hủy cặp

Tính toán biên độ M cho e+ + e

- + , giả sử electron và positron đứng yên và

đang ở cấu hình spin đơn nhất.

Giải : Có hai sơ đồ đóng góp nhƣ đƣợc chỉ ra ở Hình 9. Các biên độ là (để đơn giản ta sẽ

bỏ các dấu liên hợp phức tạp ở ):

và lấy tổng

Với các hạt ban đầu đứng yên, các photon đi ra ―lƣng đối lƣng‖ [tƣơng tự nhƣ mặt

đối mặt] và ta có thể chọn trục z trùng với tuyến photon, từ đó



và do đó

Các biên độ có phần đơn giản hóa khi ta khai thác qui tắc 5’ từ phần 7:

Nhƣng 3 chỉ có các thành phần không gian (theo phép định cỡ Coulomb), trong khi đó

p1 chỉ thuần về thời gian, do đó p1.3 =0, và từ đó

Tƣơng tự:

nhƣng p3.3 = 0 do điều kiện Lorentz (7.90), do đó

Vì thế

Nhƣng (p1 - mc)u(1) = 0, do u(1) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (7.34), vì thế

Hình 9 Hai đóng góp cho sự hủy cặp

Làm tƣơng tự:

Kết hợp các kết quả lại, ta tìm đƣợc:

Bây giờ



do đó sự diễn tả trong dấu ngoặc bình phƣơng đƣợc viết lại

Nhƣng

và do đó

Ta đã biết (từ sự đối xứng)

Nó chỉ ra rằng

(ta cũng có thể thiết lập trực tiếp từ qui tắc 5’) và

với

. Vì thế

Đến đây, ta vẫn chƣa nói gì đến spin của electron và positron. Nhớ rằng ta đang

quan tâm đến trạng thái đơn nhất:

Về mặt kí hiệu

M thu đƣợc từ biểu thức (8.13) với spin hƣớng lên cho electron

và spin xuống cho positron



Sử dụng các spinor này, ta tìm thấy

Do đó

Trong khi, với M ta có

Từ đó nó chỉ ra rằng

Do đó biên độ cho sự hủy của môt cặp e+e

- tĩnh trong hai photon thoát ra theo

phƣơng z là

(lƣu ý rằng M = - M , cấu hình tam đẳng ( + ) 2 bằng 0, khẳng định lại quan

sát trƣớc đây của chúng ta lúc trƣớc rằng sự phân rã của hai photon bị cấm trong trƣờng

hợp này).

Sau cùng, ta phải tính các vectơ phân cực photon tƣơng thích. Lƣu ý rằng với spin

hƣớng lên(ms = +1) ta có

trong khi đó với spin hƣớng xuống (ms = -1)

Nếu photon chuyển động dọc theo phƣơng +z, các spin này lần lƣợt tƣơng ứng với

vòng phân cực bên trái và vòng phân cực bên phải. Vì thành phần z của mômen góc toàn

phần phải bằng 0, các spin photon phải sắp ngƣợc chiều nhau: hoặc . Trong trƣờng

hợp đầu ta có

do đó

Trong trƣờng hợp thứ hai, 3 và 4 đƣợc hoán vị cho nhau, vì thế

Rõ ràng, ta cần sự kết hợp phản xứng ( - ) 2 , điều đó tƣơng ứng với spin

toàn phần bằng 0, khi kết hợp hai hạt có spin 1/2 thì ta thu đƣợc ngay điều này. Một lần



nữa, khi biên độ bằng (M - M) 2 thì các mũi tên sẽ đặc trƣng cho sự phân cực

photon.

Sau cùng,

[ta đặt lại liên hiệp phức của các véctơ phân cực, đó đơn giản là việc đảo các dấu ở biểu

thức (8.25) và (8.26)].

Có nhiều vấn đề xuất phát từ đây. Đầu tiên ta có thể tính tổng các tiết diện va

chạm cho sự hủy electron-positron. Trong hệ CM, tiết diện va chạm sai phân là ở chỗ

Ở đây

và khi sự va chạm là phi tƣơng đối tính

với v là tốc độ electron (hoặc photon) tới (ta lấy v=0 khi tính M nhƣng rõ ràng ta không

thể sử dụng nó ở đây. Đó có phải là một mâu thuẫn? Không thực sự vậy. Ta nghĩ điều

này theo hƣớng sau: M(cũng là E1, E2,pf và pi) có thể đƣợc khai triển theo lũy thừa

của v/c. Nhƣ vậy ta đã tính đƣợc số hạng đầu trong mỗi phép khai triển). Gộp tất cả lại, ta

đƣợc:

Khi không có sự phụ thuộc góc, tiết diện va chạm toàn phần là

Sau cùng, ta sẽ xác định thời gian sống của positronium ở trạng thái đơn nhất.

Thời gian sống của positron liên hệ một cách rõ ràng với tiết diện va chạm đối với sự hủy

cặp (8.32), nhƣng mối liên hệ chính xác là gì? Ta đã có



ta thấy rằng tổng số biến cố tán xạ trên một đơn vị thời gian bằng thời gian chiếu sáng tiết

diện va chạm toàn phần:

Nếu là số hạt tới trong một đơn vị thể tích, và nếu chúng chuyển động với tốc độ

v thì cƣờng độ sáng (Hình 10) là:

Với một nguyên tử duy nhất, mật độ electron là (0)2 và N biểu thị cho xác

suất phân rã trên một đơn vị thời gian, tức tốc độ phân rã. Do đó

Biểu thức (8.32) và (8.35) là các công thức ta có thể sử dụng để xác định thời gian

sống của positron, =1/

Hình 10 Số hạt trong hình trụ là Av dt,

do đó độ chiếu sáng (trên một đơn vị diện

tích trong một đơn vị thời gian) là v.

9. Sự tái chuẩn hóa

Trong phần 6 ta đã xét quá trình tán xạ electron-muon đƣợc mô tả ở bậc thấp nhất

bởi sơ đồ

và biên độ tƣơng ứng



với

Sau đây là một số phép hiệu chỉnh bậc bốn, mà tiêu biểu nhất là biểu đồ phân cực

―chân không‖

Tại đây, photon ảo nhất thời tách thành một cặp electron – positron, dẫn đến sự

thay đổi điện tích hiệu dụng của electron. Mục đích của chúng ta bây giờ là chỉ ra công

việc này một cách định lƣợng.

Biên độ trong biểu đồ này là

Nó bao gồm một số sự thay đổi của hàm truyền photon:

với [so sánh (8.37) và (8.39)]:

Tuy nhiên, tích phân này là phân kì. Ta thấy rằng

khi

(đó là một phân kì bậc hai). Thật ra, do sự ƣớc lƣợc trong biểu thức số học, nó chỉ còn lại

ln k (―sự phân kì theo lôga‖). Giống nhƣ các tính chất của các biểu đồ mạch kín trong

phép tính vi tích phân Feynman, một lần nữa, phƣơng pháp sẽ là hấp thụ sự vô định vào

sự tái chuẩn hóa khối lƣợng và hằng số kết hợp.



Tích phân dạng (8.41) mang hai chỉ số không – thời gian, khi chúng ta lấy tích

phân theo k, vector bốn chiều duy nhất là q, vì thế I phải có dạng tổng quát g( ) +

qq( ), với thành phần trong dấu ( ) bao gồm một số hàm của q2. Do đó ta viết lại:

Số hạng thứ hai không có đóng góp gì vào M, vì q phù hợp với ở biểu thức

(8.39), cho ta

mặt khác, từ phƣơng trình (4.22)

và do đó

Từ đó ta sẽ bỏ qua số hạng thứ hai ở biểu thức (7.176). Nhƣ số hạng đầu, tích phân

(8.41) giản ƣớc về dạng

Tích phân đầu cô lập một cách rõ ràng với sự phân kì theo lôga. Để giải quyết nó,

ta tạm thời đặt ra giới hạn M (không nên nhầm lẫn với khối lƣợng của muon) và ta sẽ cho

nó tiến đến vô cùng ở cuối phép tính:

Tích phân thứ hai

là hoàn toàn hữu hạn. Tuy nhiên, tích phân không thể giản ƣớc thành các hàm các hàm cơ

bản. Nhƣng cũng đủ đơn giản để đánh giá một cách số học (Hình 11), và các biểu thức

giới hạn cho x lớn và x bé là đơn giản:

Trong bất kì trƣờng hợp nào

Lƣu ý rằng ở đây q2 có giá trị âm. Nếu xung lƣợng ba chiều của electron tới trong

CM là p, và góc tán xạ là , thì



Do đó – q2/m

2c

2 v

2/c

2 , và trƣờng hợp giới hạn trong biểu thức (9.4) lần lƣợt tƣơng ứng

với tán xạ phi tƣơng đối tính và tán xạ siêu tƣơng đối tính.

Biên độ của tán xạ electron – muon gồm cả sự phân cực chân không, và vì thế

Bây giờ ta đến bƣớc quyết định, ở bƣớc này ta sẽ can thiệp vào sự vô cùng (có

chứa giới hạn M) bằng cách đƣa ra hằng số ghép cặp ―tái chuẩn hóa‖

Viết lại (9.7) dƣới dạng của gR, ta có

Hình 11 Đồ thị của f(x) (phƣơng trình 9.3)

Đƣờng liên tục là kết quả tính số; đƣờng đứt nét

bên dƣới là lnx (gần đúng f(x) với x lớn); đƣờng

thẳng ở trên là x/5 (gần đúng f(x) với x bé).

(phƣơng trình (9.7) hợp lý với bậc ge4, do đó cũng không có vấn đề gì khi ta sử dụng ge

hoặc gR trong dấu ngoặc nhọn). Có hai lƣu ý quan trọng ở kết quả này:

1. Sự vô cùng đã bị loại bỏ: không còn M trong biểu thức (9.9). Mọi liên quan đến

giới hạn đều bị hấp thụ vào hằng số cặp. Mọi biểu thức bây giờ chỉ viết dƣới dạng của gR,

thay vì ge. Nhƣng điều đó có thuận lợi: gR, chứ không phải ge, là những gì ta thật sự đo

đƣợc trong phòng thí nghiệm (trong hệ đơn vị Heaviside-Lorentz đó là điện tích của

electron hoặc muon, và ta xác định nó hoàn toàn bằng thực nghiệm nhƣ hệ số của sự hút

hoặc đẩy giữa hai hạt). Trong phép phân tích lý thuyết, nếu chỉ tìm thấy biểu đồ ba mức



(bậc thấp nhất), ta sẽ đi đến giả thiết rằng điện tích cũng giống nhƣ hằng số kết hợp ―tối

thiểu‖ ge. Nhƣng ngay khi tính đến ảnh hƣởng của các bậc cao hơn ta thấy rằng chính là

gR, không phải ge, tƣơng ứng với điện tích cần đo. Điều đó có nghĩa là kết quả ban đầu

của ta là sai? Không. Thực ra đó là do khi giải thích sơ bộ ge nhƣ là điện tích ta đã không

chủ ý tính đến thành phần phân kì trong các sơ đồ bậc cao hơn.

2. Ở đây vẫn còn số hạng hiệu chỉnh không – thời gian, và một lƣu ý quan trọng đó

là nó phụ thuộc vào q2. Ta cũng có thể thu đƣợc nó vào hằng số cặp, nhƣng ―hằng số‖

bây giờ là một hàm của q2; ta gọi nó là hằng số ghép cặp ―chạy‖:

hoặc dƣới dạng ―hằng số‖ cấu trúc bền (

)

Điện tích hiệu dụng của electron (và muon) do đó phụ thuộc vào sự chuyển biến

xung lƣợng trong va chạm. Sự dịch chuyển xung lƣợng cao hơn đồng nghĩa với phép gần

đúng chính xác hơn, hay nói cách khác điện tích hiệu dụng của mỗi hạt phụ thuộc chúng

tách rời nhau bao xa. Đó là một hệ quả của sự phân cực chân không _ nó che chắn mỗi

điện tích. Bây giờ ta có một công thức tƣờng minh cho cái mà ở Động lực học hạt cơ

bản chỉ là một cách mô tả thuần túy định tính. Thế nhƣng Millikan và Rutherford, thậm

chí cả Coulomb lại không chú ý đến hiệu ứng này. Nếu điện tích của electron không phải

là một hằng số, thì tại sao nó không làm rối tung mọi thứ từ điện học đến hóa học? Câu

trả lời là trong trƣờng hợp phi tƣơng đối tính, sự thay đổi là cực kì nhỏ. Thậm chí trong

một va cham trực diện ở (1/10)c , số hạng hiệu chỉnh ở biểu thức (9.11) chỉ khoảng

6106. Do đó để đạt đƣợc mục đích thì (0)=1/137 là thích hợp nhất. Tuy nhiên, có thể

nhận thấy số hạng thứ hai ở (9.11) có đóng góp vào độ lệch Lamb. Hơn nữa, ta sẽ gặp

phải cùng vấn đề trong sắc động lực học lƣợng tử, với khoảng cách ngắn (do sự giam

hãm quark) miền tƣơng đối tính là khu vực đƣợc quan tâm nhất.

Chúng ta tập trung vào một quá trình bậc bốn đặc biệt (phân cực chân không),

nhƣng tất nhiên còn một vài quá trình khác. Chúng là ―những sơ đồ thang‖:



Chúng hữu hạn và không biểu diễn các vấn đề đặc trƣng. Nhƣng cũng có ba sơ đồ phân

kì:

(và dĩ nhiên còn ba sơ đồ nữa mà trong đó photon ảo bên ngoài kết hợp với muon). Hai

sơ đồ đầu tái chuẩn hóa khối lƣợng electron; biểu đồ thứ ba làm xác định mômen từ của

nó. Thêm vào đó, cả ba biểu đồ đều tách biệt nhau, đều đóng góp vào sự tái chuẩn hóa

điện tích của electron. May thay, phần đóng góp còn lại triệt tiêu lẫn nhau do đó biểu

thức (9.8) vẫn nghiệm đúng (do sự hiệu chỉnh phụ thuộc vào khối lƣợng hạt mà các dòng

photon ảo kèm theo, và nếu chúng không khử đƣợc ta sẽ sử dụng một sự tái chuẩn hóa

khác cho muon hơn là cho electron. Đồng nhất thức Ward (tên của sự khử này) đảm bảo

rằng sự tái chuẩn hóa bảo toàn đẳng thức điện tích, bất kể khối lƣợng của hạt tải nhƣ thế

nào). Và thậm chí còn có các sơ đồ bậc cao hơn.

Những sơ đồ này giới thiệu các số hạng cao hơn trong biểu thức (9.11), bậc 2, 3

vv…, nhƣng ta sẽ không tiếp tục theo đuổi vấn đề này, vì những ý tƣởng cơ bản bây giờ

đều đã đƣợc trình bày rõ.



KẾT LUẬN

Điện động lực học lƣợng tử là một lý thuyết đúng đắn đƣợc khẳng định từ lúc mới

ra đời cho đến tận bây giờ vẫn không mất đi giá trị của nó. Tiểu luận đã phần nào trình

bày đƣợc những đặc điểm chủ yếu của lý thuyết này, đƣa ra một số ví dụ cụ thể để thấy

đƣợc tính thực tiễn của thuyết. Vai trò của Điện động lực học lƣợng tử trong Lý thuyết

trƣờng lƣợng tử là không thể phủ nhận, hiện nay nó vẫn đang tiếp tục phát triển và hoàn

thiện hơn.

Là một sinh viên chuyên ngành vật lý lý thuyết, thiết nghĩ việc tìm hiểu những vấn

đề về lý thuyết trƣờng cũng là chuẩn bị những hành trang cần thiết để bƣớc vào thế giới

khoa học của vật lý. Qua bài tiểu luận này tôi đã từng bƣớc tiếp cận đƣợc thêm với Lý

thuyết trƣờng lƣợng tử, thấy đƣợc các ứng dụng cơ bản của Lý thuyết trƣờng.

Tri thức nhân loại luôn rộng lớn hơn từng ngày và trình độ con ngƣời thì vẫn còn

nhiều hạn chế. Với thời gian và năng lực bản thân có hạn, trong khuôn khổ bài tiểu luận

này tôi chƣa thể trình bày hết đƣợc nhiều khía cạnh khác của Điện động lực học lƣợng tử

mà các nhà khoa học trên thế giới đang ngày đêm nghiên cứu; và một điều trăn trở nữa

của tôi đó là mong muốn trình bày bài tiểu luận này trên phần mềm Latex, nhƣng do thời

gian có hạn nên tôi chƣa thể hoàn thành ý định của mình, âu đó cũng là cánh cửa mở thúc

dục các bạn sinh viên khóa sau tiếp tục tìm hiểu. Mong rằng đây có thể là một tài liệu

tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên khóa sau đam mê tìm hiểu về Điện động lực học

lƣợng tử, rất mong các bạn đóng góp ý kiến và tiếp tục hoàn thiện hơn về đề tài này.



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Trần Công Phong, Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Đại học Huế, 2004.

2. J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics and Relativistic

Quantum Fields (New York: McGraw-Hill, 1964).

3. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, Tập 2 (New York: Wiley, 1975), mục

6.5.

4. A. Pais, Inward Bound (New York: Oxford, 1986), trang 375.

5. J. M. Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Tập 2 (New

York: Springer-Verlag, 1975), mục 12.6.

6. J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Reading, MA: Addsion-Wesley,

1967), trang 216.

7. F. Halzen and A. D. Martin, Quarks and Leptons, (New York: Wiley, 1984),

Chƣơng 7.

dien dong luc hoc luong tu

Documents