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Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales

Ejemplos de ecuacionesdiferenciales en lanaturaleza

Caída de un cuerpo

Reacciones químicas deprimer orden

Ley de enfriamiento deNewton

Ecuaciones de primer

orden

Ecuaciones de variablesseparables

Ecuaciones homogéneas

Ecuaciones lineales deprimer orden

Matemáticas

Ecuaciones diferenciales

Salvador Sánchez-Pedreño Guillén

Departamento de Matemáticas

Universidad de Murcia

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




1 Introducción a las ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales en la naturaleza

2 Ecuaciones de primer ordenEcuaciones de variables separablesEcuaciones homogéneasEcuaciones lineales de primer orden

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Introducción a las

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Caída de un cuerpo




orden




Nociones generales

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Introducción a las

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Caída de un cuerpo




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Nociones generales

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es unaecuación donde intervienen una variable x (“variableindependiente”), una función y = y(x) (“variabledependiente”) y algunas de sus primeras derivadas:

f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Nociones generales


f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0

Se llama orden de una ecuación diferencial ordinaria alorden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

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diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Nociones generales


f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0


Resolver o integrar la ecuación es hallar las funcionesy(x) que cumplen la ecuación; es decir, la incógnita dela ecuación es la función y(x).

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Nociones generales


f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0



Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Nociones generales


f (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0



Aunque las ecuaciones diferenciales se puedan resolverpor métodos numéricos, algunos tipos de ecuacionestienen soluciones que se pueden expresar en términosde funciones elementales.

Las ecuaciones diferenciales más sencillas son las de laforma siguiente (cálculo de primitivas) y ′ = f (x)

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO de primer orden

y ′(x) = 4x + e2x . ¿Cuáles de ellas verifican y(0) = 1?

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



Solución. Es una ecuación de primer orden.

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x

Matemáticas

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Sánchez-Pedreño

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



Solución. Es una ecuación de primer orden.Por la forma de la ecuación, las soluciones sonprecisamente las primitivas de la función 4x + e2x , que sepueden dar en términos de un parámetro C en la forma

y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo




y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo




y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1

2+ C , lo que

se conoce como condición inicial de la ecuación

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo




y(x) = 2x2 +1

2e2x + C

Esta expresión corresponde a la denominada solucióngeneral de la ecuación.Si, ahora, exigimos la condición 1 = y(0) = 1

2+ C , lo que

se conoce como condición inicial de la ecuación,entonces C = 1

2y por tanto la única solución que cumple

esa condición extra es

y(x) = 2x2 +1

2e2x +

1

2

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Introducción a las

ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo

Encontrar todas las soluciones de la EDO

(1 + x2)2 y ′′(x) + 2x = 0. ¿Cuáles de ellas verifican

y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

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Caída de un cuerpo




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Ejemplo



y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



y(0) = 2 e y ′(0) = 0?

Solución. Se trata de una ecuación de segundo orden.La ecuación la podemos reescribir como

y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



y(0) = 2 e y ′(0) = 0?


y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x)

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



y(0) = 2 e y ′(0) = 0?


y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

Si consideramos la nueva función u(x) = y ′(x), laecuación se transforma en

u′(x) = − 2x

(1 + x2)2

y,así, u(x) es una primitiva de la función dada

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



y(0) = 2 e y ′(0) = 0?


y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2


u′(x) = − 2x

(1 + x2)2

y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir

y ′(x) = u(x) =1

1 + x2+ C

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo



y(0) = 2 e y ′(0) = 0?


y ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2


u′(x) = − 2x

(1 + x2)2

y,así, u(x) es una primitiva de la función dada, es decir

y ′(x) = u(x) =1

1 + x2+ C

Tomando de nuevo primitivas obtenemos

y(x) = arctan(x) + Cx + D

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Caída de un cuerpo




orden




Si, ahora, exigimos que se cumplan las condicionesiniciales y(0) = 2 e y ′(0) = 0 se obtiene fácilmente D = 2y C = −1, por lo que la única solución que cumple esascondiciones iniciales es

y(x) = arctan(x)− x + 2

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Introducción a las

ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden






Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






Como sugieren los ejemplos anteriores, una EDO de ordenn puede tener una infinidad de soluciones, que se expresanmediante n parámetros en la solución general de laecuación,Si se imponen n condiciones iniciales (por ejemplo, si sefijan los valores de y(x0), y

′(x0), y′′(x0), . . . , y

(n−1)(x0))entonces la ecuación tiene una única solución particularpara esas condiciones iniciales.

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.

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Caída de un cuerpo




orden




Según Newton y Leibniz, los problemas físicos se puedenformular en términos de ecuaciones diferenciales.Veamos a continuación, a modo de ejemplo, cómo lasecuaciones diferenciales aparecen en el estudio defenómenos naturales.

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Caída de un cuerpo




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Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.

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Caída de un cuerpo




orden




Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre.

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Caída de un cuerpo




orden




Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t)

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Caída de un cuerpo




orden




Caída libre

Supongamos que un cuerpo de masa m cae libremente,tan sólo bajo la acción de la gravedad, desde una posicióninicial y0 y con una velocidad inicial v0.En este caso, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo esmg , donde g es la aceleración debida a la gravedadterrestre. Si y(t) mide la distancia hacia abajo del cuerpoen función del tiempo t, entonces su aceleración seráy ′′(t), y la segunda Ley de Newton nos da

my ′′(t) = mg o sea y ′′(t) = g

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Introducción a las

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Caída de un cuerpo




orden




Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g

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Introducción a las

ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Si llamamos v(t) = y ′(t) a la velocidad del cuerpo en elinstante t, la ecuación se transforma en v ′(t) = g y portanto

y ′(t) = v(t) = gt + C ,

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




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y ′(t) = v(t) = gt + C ,

de donde

y(t) =1

2gt2 + Ct + D

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Caída de un cuerpo




orden





y ′(t) = v(t) = gt + C ,

de donde

y(t) =1

2gt2 + Ct + D

De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





y ′(t) = v(t) = gt + C ,

de donde

y(t) =1

2gt2 + Ct + D

De la condición v(0) = v0 se deduce que C = v0 y dey(0) = y0 se deduce que D = y0.Por tanto la posición del cuerpo en cada instante vienedada por

y(t) =1

2gt2 + v0t + y0

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Caída de un cuerpo




orden




Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo.

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Caída retardada

Supongamos ahora que el aire ejerce sobre el objeto unaresistencia a la caída que es, en cada instante,proporcional a la velocidad del cuerpo. Si k es laconstante de proporcionalidad de la resistencia del aire, lasegunda ley de Newton nos dice que

my ′′(t) = mg − k y ′(t) o sea y ′′(t) = g − a y ′(t)

(con a = k/m).

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Caída de un cuerpo




orden




Caída retardada



(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t),

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Caída retardada



(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en

v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)

g − av(t)= 1

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Caída retardada



(con a = k/m).Para integrar esta ecuación de segundoorden volvemos a hacer v = y ′(t), que transforma laecuación en

v ′(t) = g − av(t) óv ′(t)

g − av(t)= 1

Tomando primitivas obtenemos

−1

alog(g − av) = t + C

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Caída de un cuerpo




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De donde,

g − av = e−at−aC = De−at ó v =1

a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




De donde,


a

(

g −De−at)

(con D = e−aC ).Por tanto y(t) es un primitiva de esta última función, esdecir

y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




De donde,


a

(

g −De−at)


y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E

La condición sobre la posición inicial nos dice que

y0 = y(0) =D

a2+ E ,

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




De donde,


a

(

g −De−at)


y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E


y0 = y(0) =D

a2+ E ,

y v0 = y ′(0) = g−Da

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




De donde,


a

(

g −De−at)


y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E


y0 = y(0) =D

a2+ E ,

y v0 = y ′(0) = g−Da

, de donde

D = g − av0 y E = y0 −g − av0

a2

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




De donde,


a

(

g −De−at)


y(t) =1

a

(

gt +1

aDe−at

)

+ E =g

at +

D

a2e−at + E


y0 = y(0) =D

a2+ E ,

y v0 = y ′(0) = g−Da

, de donde

D = g − av0 y E = y0 −g − av0

a2

y así finalmente

y(t) = y0 +g

at +

g − av0

a2(e−at − 1)

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Reacciones químicas de primer orden

Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden





Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0)

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Son reacciones en las que una sustancia se descompone aun ritmo que es proporcional en cada instante a lacantidad de sustancia presente.Si x = x(t) es la cantidad de sustancia presente en elinstante t (con cantidad inicial x(0) = x0) y k > 0 es laconstante de proporcionalidad (o de rapidez), la ecuaciónque rige el proceso es

−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden






−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)

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Introducción a las

ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden






−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene

log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






−dx

dt= kx ó

1

x

dx

dt= −k

(puesto que dx/dt es el índice de crecimiento de x ,−dx/dt nos da el índice de descomposición.)Tomando primitivas en ambos miembros se tiene

log x = −kt + C ⇒ x = Ae−kt (con A = eC )

De la condición inicial x(0) = x0 se deduce que A = x0,de modo que

x(t) = x0e−kt

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Caída de un cuerpo




orden




Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k

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Caída de un cuerpo




orden




Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Para controlar estas reacciones, basta con determinar elvalor de la constante de rapidez k , y esto se consiguemidiendo la vida media de la sustancia, es decir, eltiempo T que tarda una cierta cantidad de sustancia enreducirse a la mitad.Para ese valor T se tiene x(T ) = x0/2, lo que sustituidoen la ecuación da

x0

2= x0e

−kT o sea kT = log 2 ó k =log 2

T

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Caída de un cuerpo




orden





x0

2= x0e


T

Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden





x0

2= x0e


T

Si la vida media es muy larga, como ocurre a menudo,basta con ver, por ejemplo, para qué valor T1 la cantidadinicial se reduce a sus 9 décimas partes, y entonces

k =log(10/9)

T1

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Caída de un cuerpo




orden




Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden





La ley de enfriamiento de Newton establece que lavariación de temperatura de un cuerpo es proporcional encada instante a su diferencia de temperatura con elambiente.Es decir, si x = x(t) mide la temperatura de un cuerpo enel instante t y TA es la temperatura ambiente, se tiene

dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden






dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k

para cierta constante k que depende del cuerpo.Tomando primitivas en ambos miembros de la segundaexpresión se tiene

log(x−TA) = kt+C ó x(t) = TA+Bekt (con B = eC )

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k



Si la temperatura inicial (t = 0) es x0

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k



Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k



Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






dx

dt= k (x − TA) ó

1

x − TA

dx

dt= k



Si la temperatura inicial (t = 0) es x0 entoncesx0 = x(0) = TA + B , o sea B = x0 − TA y así finalmente

x(t) = TA + (x0 − TA)ekt

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo

Un termómetro se saca de una habitación a la terraza,

donde la temperatura es de 10oC. Un minuto después

marca 22oC y otro minuto más tarde marca 16oC. ¿Cuál

era la temperatura en la habitación?

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo





Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo





Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo





Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16

Matemáticas

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo





Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0).

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo





Solución. Midiendo el tiempo en minutos y latemperatura en grados centígrados, y empezando a contarel tiempo al sacar el termómetro, los datos nos dicen queTA = 10, x(1) = 22 y x(2) = 16 y nos están pidiendox(0). Al sustituir los datos en la ecuación tenemos

22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo






22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo






22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k

Dividiendo 6 = (x0 − TA)e2k entre 12 = (x0 − TA)e

k ,

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo






22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k


k , seobtiene ek = 1/2

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo






22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k


k , seobtiene ek = 1/2 y entonces12 = (x0 − TA)e

k = (x0 − TA)/2

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo






22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k



k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo






22 = 10 + (x0 − TA)ek ó 12 = (x0 − TA)e

k

16 = 10 + (x0 − TA)e2k ó 6 = (x0 − TA)e

2k



k = (x0 − TA)/2, de donde(x0 − TA) = 24 y así x(0) = 34, es decir, la temperaturaen la habitación era de 34oC.

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orden




Ecuaciones de primer orden

Las ecuaciones de primer orden son ecuaciones del tipo

f (x , y , y ′) = 0

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden






f (x , y , y ′) = 0

Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma

y ′ = g(x , y)

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden






f (x , y , y ′) = 0

Diremos que está escrita de forma explícita, o con laderivada despejada, si se escribe en la forma

y ′ = g(x , y)

Veamos cómo se integran en algunos casos sencillos.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ecuaciones de variables separables

Llamamos ecuación de variables separables a una quepuede llevarse a la forma

y ′ = g(y)f (x)

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diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ = g(y)f (x)

Algunos de los ejemplos eran de este tipo. Basta contomar primitivas en ambos miembros:

∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ = g(y)f (x)


∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).

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Caída de un cuerpo




orden






y ′ = g(y)f (x)


∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ = g(y)f (x)


∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x)

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ = g(y)f (x)


∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ = g(y)f (x)


∫

y ′(x)

g(y(x))dx = C +

∫

f (x) dx

(las dos constantes de integración se reúnen en C ).Una vez calculadas las primitivas, tenemos la solucióngeneral de la ecuación. En principio tenemos y(x) dadade forma implícita, en una expresión de la formaG (y(x)) = F (x); pero en muchos casos es posibledespejarla.Si queremos obtener la solución particular para una ciertacondición inicial y(x0) = y0, basta con sustituirla en lasolución general para determinar el valor de C en ese caso.

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Ejemplo

Obtener la solución general de la ecuación y ′ = xex−y .

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


Solución. Separando las variables

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Ejemplo


Solución. Separando las variables y tomando luegoprimitivas se obtiene

dy

dx= xex−y = xexe−y ⇒

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Ejemplo



dy


⇒ eydy = xexdx ⇒ ey = (x − 1) ex + C

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Ejemplo



dy



(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).

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orden




Ejemplo



dy



(la segunda primitiva se calcula fácilmente por partes).Despejando y en función de x obtenemos

y = log ((x − 1)ex + C )

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Ejemplo

Hallar la solución particular de (1 + ex )yy ′ = ex con

y(x0) = y0.

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Ejemplo


y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


y(x0) = y0.

Solución. Separando las variables, tomando primitivas ydespejando y se obtiene

yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


y(x0) = y0.


yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

que es la solución general.

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


y(x0) = y0.


yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D

que es la solución general. La condición inicial implica que

y0 = y(x0) =√

2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2

0 − 2 log(1 + ex0)

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


y(x0) = y0.


yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D


y0 = y(x0) =√

2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2

0 − 2 log(1 + ex0)

y sustituyendo este valor de D en la solución general

Matemáticas

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


y(x0) = y0.


yy ′ =ex

1 + ex⇒ y2

2= log(1 + ex ) + C ⇒

⇒ y(x) =√

2 log(1 + ex ) + D


y0 = y(x0) =√

2 log(1 + ex0) + D ⇒⇒ D = y2

0 − 2 log(1 + ex0)

y sustituyendo este valor de D en la solución generalobtenemos la solución particular

y(x) =

√

y20 + 2 log

(

1 + ex

1 + ex0

)

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Funciones homogéneas

Una función f (x , y) es homogénea si verifica

f (tx , ty) = f (x , y) para cualquier t > 0

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Caída de un cuerpo




orden







Por ejemplo:

f (x , y) = xey no es homogénea pues txety 6= xey .

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden







Por ejemplo:


f (x , y) =x2 + y2

x + yno es homogénea pues

f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2

tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden







Por ejemplo:


f (x , y) =x2 + y2


f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2

tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).

f (x , y) =

√

x2 + y2

x + ysí es homogénea pues

f (tx , ty) =

√(tx)2+(ty)2

tx+ty= f (x , y).

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden







Por ejemplo:


f (x , y) =x2 + y2


f (tx , ty) = (tx)2+(ty)2

tx+ty= t f (x , y) 6= f (x , y).

f (x , y) =

√

x2 + y2

x + ysí es homogénea pues

f (tx , ty) =

√(tx)2+(ty)2

tx+ty= f (x , y).

f (x , y) =2x5 − 7x4y + 29x2y3 + xy4

x5 + 2x2y2 − xy4 + 6y5sí es

homogénea, pues en f (tx , ty) aparece t5 como factorcomún en el numerador y en el denominador.

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orden




Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces

u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)

Matemáticas

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Una EDO de primer orden es homogénea si podemosllevarla a la forma y ′ = f (x , y) donde f (x , y) es unafunción homogénea.Para integrarla, basta con hacer el cambio de variableu = y/x , que la convierte en una ecuación de variablesseparables.En efecto: y = ux , nos da y ′ = u′x + u (observemos queu es la nueva variable independiente).Entonces

u′x + u = f (x , ux) = f (1, u)

luego

u′ =f (1, u) − u

x

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orden




Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial xy ′ − y =√

x2 + y2.

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


x2 + y2.

Solución. Despejando y ′ queda

y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


x2 + y2.


y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)

que es homogénea pues

f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


x2 + y2.


y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)


f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación

Matemáticas

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


x2 + y2.


y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)


f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)

Haciendo el cambio de variable indicado y sustituyendo enla ecuación obtenemos

u + u′x =ux +

√x2 + u2x2

x= u +

√

1 + u2 ⇒

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


x2 + y2.


y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)


f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)


u + u′x =ux +

√x2 + u2x2

x= u +

√

1 + u2 ⇒

⇒ du

dx= u′ =

√1 + u2

x⇒ du√

1 + u2=

dx

x⇒

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


x2 + y2.


y ′ =y +

√

x2 + y2

x= f (x , y)


f (tx , ty) =ty +

√

t2x2 + t2y2

tx=

ty + t√

x2 + y2

tx= f (x , y)


u + u′x =ux +

√x2 + u2x2

x= u +

√

1 + u2 ⇒

⇒ du

dx= u′ =

√1 + u2

x⇒ du√

1 + u2=

dx

x⇒

⇒ arg senh(u) = log x + C

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Entonces

u = senh(log x + C ) =e log x+C − e− log x−C

2=

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Entonces


2=

u =xeC − 1

xeC

2=

xK − 1xK

2

donde hemos llamado K = eC .

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden




Entonces


2=

u =xeC − 1

xeC

2=

xK − 1xK

2

donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Entonces


2=

u =xeC − 1

xeC

2=

xK − 1xK

2

donde hemos llamado K = eC .Por último, deshacemos el cambio para recuperar lavariable y = ux :

y = ux = xxK − 1

xK

2=

K

2x2 − 1

2K

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Caída de un cuerpo




orden




Ecuaciones lineales de primer orden

Llamamos ecuaciones lineales de primer orden a las dela forma

y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación

y ′ + f (x) y = 0 (‡)

(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden






y ′ + f (x)y = g(x) (†)

donde f (x), g(x) son funciones arbitrarias.Un caso especialmente sencillo se produce cuandog(x) = 0. Entonces la ecuación

y ′ + f (x) y = 0 (‡)

(que se llama ecuación lineal homogénea asociada a (†))es de variables separables:

y ′ = −f (x)y ⇒ y ′

y= −f (x)

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Caída de un cuerpo




orden




Si F (x) es una primitiva de f (x) entonces

log(y) = −F (x) + C ,

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





log(y) = −F (x) + C ,

y si ponemos K = eC la solución general de la ecuaciónlineal homogénea (‡) es

y(x) = Ke−F (x)

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden





log(y) = −F (x) + C ,


y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†)

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





log(y) = −F (x) + C ,


y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantes

Matemáticas

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Sánchez-Pedreño

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Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





log(y) = −F (x) + C ,


y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es

y(x) = K (x) e−F (x)

donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†).

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





log(y) = −F (x) + C ,


y(x) = Ke−F (x)

Este caso sencillo (‡) nos da la clave para resolver el casogeneral (†), pues se tiene:Método de variación de las constantesCon las notaciones anteriores, la solución general de unaecuación lineal de primer orden (†) es

y(x) = K (x) e−F (x)

donde la función K (x) se obtiene sustituyendo esaexpresión en la ecuación lineal homogénea (†). Es decir, lasolución general de (†) es como la de (‡) pero cambiandola constante K por una función K (x), cuyo valor hay quedeterminar.

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).

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ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Queremos que K (x) e−F (x) sea solución dey ′ + f (x)y = g(x), siendo F ′(x) = f (x).La derivada de y(x) = K (x) e−F (x) es

y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)

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ecuaciones

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Caída de un cuerpo




orden





y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)

y al sustituir estas expresiones en (†) se obtiene

g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒

⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)


g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒

⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)

Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x)

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





y ′(x) = K ′(x) e−F (x) + K (x) e−F (x)(−f (x)) =

= K ′(x) e−F (x) − f (x) y(x)


g(x) = y ′(x) + f (x) y(x) = K ′(x) e−F (x) ⇒

⇒ K ′(x) = g(x) eF (x)

Por tanto K (x) es una primitiva de g(x) eF (x), por lo quefinalmente

y(x) =

(∫

g(x) eF (x) dx + C

)

e−F (x)

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar.

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Esta es una fórmula general para resolver (†), pero no essencilla de recordar. En los ejemplos repetiremos estospasos:

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden





Obtener la solución general de y ′ + f (x)y = 0 entérminos de una constante K .

Buscar la solución general de y ′ + f (x)y = g(x)cambiando la constante K por una función K (x) ysustituyendo en la ecuación para determinar quién esK (x).

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo

Hallar la solución particular de la ecuación y ′ = ex + y

con y(1) = 5e.

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex .

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.

Solución. La ecuación es lineal, pues podemos reescribirlacomo y ′ − y = ex . Primero resolvemos la correspondienteecuación homogénea y ′ − y = 0 separando las variables:

dy

dx= y ⇒ dy

y= dx ⇒ log y = x+C ⇒ y = Kex

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.


dy

dx= y ⇒ dy


Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex .

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.


dy

dx= y ⇒ dy


Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex . Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

ex = y ′−y = K ′(x) ex+K (x) ex−K (x) ex = K ′(x) ex ⇒⇒ K ′(x) = 1 ⇒ K (x) = x + C

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Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.


dy

dx= y ⇒ dy




y por tanto la solución general es y(x) = (x + C ) ex

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.


dy

dx= y ⇒ dy





Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.


dy

dx= y ⇒ dy





Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


con y(1) = 5e.


dy

dx= y ⇒ dy





Sustituyendo ahora la condición inicial5e = y(1) = (1 + C ) e, obtenemos C = 4, luego lasolución pedida es y(x) = (x + 4) ex .

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo

Hallar la solución general de la ecuación y ′ = 2x (y + ex2

).

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).

Solución. La ecuación es lineal, pues podemosreescribirla como y ′ − 2xy = 2xex

2

.

Matemáticas

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Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).


2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).


2

. Comenzamosresolviendo y ′ − 2xy = 0 separando las variables:

dy

dx= 2xy ⇒ dy

y= 2x dx ⇒ log y = x2 + C

⇒ y = Kex2

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).


2


dy

dx= 2xy ⇒ dy


⇒ y = Kex2

Buscamos entonces la solución general de la formay = K (x) ex

2

.

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).


2


dy

dx= 2xy ⇒ dy


⇒ y = Kex2


2

. Derivando y sustituyendo en la ecuación seobtiene:

2x ex2

= y ′−2xy = K ′(x) ex2

+K (x) ex2

2x−2x K (x) ex2

=

= K ′(x) ex2

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Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).


2


dy

dx= 2xy ⇒ dy


⇒ y = Kex2


2


2x ex2

= y ′−2xy = K ′(x) ex2

+K (x) ex2

2x−2x K (x) ex2

=

= K ′(x) ex2

luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C

Matemáticas

Salvador

Sánchez-Pedreño

Guillén

Introducción a las

ecuaciones

diferenciales


Caída de un cuerpo




orden




Ejemplo


).


2


dy

dx= 2xy ⇒ dy


⇒ y = Kex2


2


2x ex2

= y ′−2xy = K ′(x) ex2

+K (x) ex2

2x−2x K (x) ex2

=

= K ′(x) ex2

luego K ′(x) = 2x y así K (x) = x2 + C , de modo que lasolución general es

y(x) = (x2 + C ) ex2

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