diagnÓstico del uso de proyecciones transversales de...
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL
ESCUELA DE CARTOGRAFÍA
DIAGNÓSTICO DEL USO DE PROYECCIONES
TRANSVERSALES DE MERCATOR EN ESCALAS
URBANAS
TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO Y AL GRADO DE LICENCIADO
EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS
PROFESOR GUÍA : Miguel Valladares Quiroz
AUTOR : Sebastián Alfredo Fuentes Santibáñez
SANTIAGO – CHILE 2006
2
Nota Obtenida : ___________________
_________________________________
(Firma y timbre de autoridad responsable)
3
A Claudia, Cristina, Flor, Mario, Juan Pablo y Alejandro
4
Agradecimientos:
A mi familia
A mi profesor Guía Miguel Valladares Quiroz
Al personal del sub departamento SIG del Servicio Agrícola Ganadero
A mis amigos Ana Tapia y David Castillo
Y a cuantos colaboraron de una u otra forma en el desarrollo de esta tesis
Gracias de Corazón
5
RESUMEN
La optima utilización de productos cartográficos como herramientas de análisis métrico
del terreno, está condicionada, por una parte por la deformación inherente a la escala de
representación, y por otra parte, por deformación propia de la proyección utilizada para
representar el terreno. En el contexto de la representación urbana, el desconocer el origen e
influencia de estas distorsiones puede derivar en la realización de mediciones erróneas y
desajustadas de la realidad.
La presente investigación busca definir el origen de las deformaciones métricas
producidas en diversas proyecciones transversales de Mercator, su significancia en relación a las
escalas de representación urbana y métodos para su corrección.
ABSTRACT
The optimal utilization of cartographic products as a tool of ground metric analysis, it’s
conditional, for first instance for the inherent deformation of representation scale, and on second
instance for the own deformation of the projection used to represent the ground. In the context of
the urban representation, to not known the origin and influences of this distortions may to
derivate in mistaken realizations of the measures and the may not fit the reality.
The followin investigation search to define the origin of metrical deformations producted
in several Transverse Mercator projections, his significance related to representation scale and
methods for his correction
6
ÍNDICE DE MATERIAS
1. Aspectos generales 12 1.1. Introducción 12 1.2. Hipótesis de trabajo 15
1.3. Objetivos 16 1.3.1. Objetivo general 16 1.3.2. Objetivos específicos 16
2. Errores y su cuantificación 17 2.1. Conceptos generales 18 2.1.1. Cifras significativas 18 2.1.2. Precisión 18 2.1.3. Exactitud 18 2.1.4. Equivocación 19 2.1.5. Errores sistemáticos 20
2.1.6. Errores aleatorios 20 2.2. Conceptos básicos de probabilidades 21
2.2.1. Distribución de errores aleatorios 22 2.2.2. Probabilidad de ocurrencia de errores aleatorios 25 2.2.3. Cuantificación de errores aleatorios 26 2.2.4. Indicadores de precisión 28
3. Referenciales geodésicos 29 3.1. Elipsoide de Revolución 31 3.1.1. Coordenadas cartesianas en el espacio 33 3.1.2. Coordenadas geodésicas 34 3.1.3. Relación matemática entre coordenadas 37 3.1.4. Geometría del elipsoide 38 3.1.5. Arcos sobre el elipsoide 42 3.1.6. Línea geodésica 45 3.2. Referencia vertical 46 3.2.1. Geoide 47 3.2.2. Cuasi Geoide 48 3.2.3. Tipos de altura 48 3.2.4. Relación entre tipos de altura 51 3.2.5. Solución a las incompatibilidades entre tipos de altura 52 3.3. Sistemas geodésicos de referencia 53 3.3.1. Sistemas locales 54 3.3.2. Sistemas globales 59
4. Proyecciones Cartográficas 62
7
4.1. Cálculo diferencial de elementos sobre el elipsoide 62 4.1.1. Elemento lineal 63 4.1.2. Elemento angular 63 4.1.3. Elemento superficial 63 4.2. Cálculo diferencial de elementos sobre el plano 64 4.2.1. Elemento lineal 65 4.2.2. Elemento angular 66 4.2.3. Elemento superficial 69 4.3. Módulos de deformación 70 4.3.1. Módulo de deformación lineal 70 4.3.2. Módulo de deformación angular 71 4.3.3. Módulo de deformación superficial 71 4.4. Elipse indicatriz de Tissot 72 4.4.1. Cálculo de semiejes según teorema de Apolonio 73
4.5. Clasificación de proyecciones 76 4.5.1. Según método de construcción 76 4.5.2. Según superficie de proyección utilizada 78 4.5.3. Según situación de la superficie de proyección 79 4.5.4. Según las propiedades que conserva 81 4.6. Proyecciones conformes 83 4.6.1. Uso de las proyecciones conformes 83 4.6.2. Condiciones de conformidad 84
5. Proyecciones transversales de Mercator 88 5.1. Generalidades 88 5.2. Transformación de coordenadas 90 5.2.1. Conversión de coordenadas geodésicas a rectangulares 90 5.2.2. Conversión de coordenadas rectangulares a geodésicas 93 5.3. Convergencia de meridianos 98 5.4. Diferencia arco-cuerda 99 5.5. Factor de magnificación de escala 101 5.5.1. En función de coordenadas geodésicas 101 5.5.2. En función de coordenadas rectangulares 102 5.6. El artificio de Tissot 102 5.7. Proyección Universal Transversal de Mercator 104 5.7.1. Generalidades 104 5.7.2. Falso Este 105 5.7.3. Falso Norte 105 5.7.4. Factor de escala en el meridiano central 106 5.8. Proyección Local Transversal de Mercator 108 5.8.1. Falso Este 109
8
5.8.2. Falso Norte 109 5.9. Proyecciones LTM y planos topográficos locales 110 5.10. Proyección Gauss Kruger 113 5.11. Proyección Modificada Transversa de Mercator 114 6. Metodología 116 6.1. Determinación de escalas de representación 117
6.2. Determinación de tolerancias 117 6.3. Determinación de proyecciones a utilizar 118 6.4. Determinación del área de estudio 119 6.5. Determinación de puntos muestrales 119 6.6. Proyección de la red de puntos muestrales 120 6.7. Determinación del factor de deformación de escala y
convergencia de meridianos 120 6.8. Determinación del coeficiente de correlación entre el factor de
deformación de escala y las coordenadas proyectadas 121 6.9. Determinación de magnitudes lineales de segmentos
proyectados y geodésicos 122 6.10. Determinación de escalas de representación según proyecciones
TM 123 6.10.1. Caso general 123 6.10.2. Caso particular 124
6.11. Relación entre proyecciones TM, elipsoide y superficie topográfica 126
7. Resultados 127 7.1. Determinación de escalas de representación 127 7.1.1. Criterios de representación urbana 128 7.2. Determinación tolerancias 129 7.3. Determinación de proyecciones a utilizar 130 7.3.1. Universal Transversal de Mercator 130 7.3.2. Gauss Kruger 130 7.3.3. Local Transversal de Mercator 132
7.3.4. Modificada Transversa de Mercator 133 7.3.5. Plano Topográfico Local 134 7.4. Determinación Área de estudio 138 7.5. Determinación de puntos muestrales 139 7.6. proyección de la red y determinación de factores de
deformación de escala y convergencia de meridianos 141 7.7. Determinación del coeficiente de correlación entre el factor
de deformación de escala y las coordenadas proyectadas 141 7.8. Determinación de magnitudes lineales de segmentos
9
geodésicos y proyectado 142 7.9. Determinación de escalas de representación según proyecciones
TM 144 7.9.1. Caso general 144 7.9.2. Caso particular 145
7.10. Relación entre proyecciones TM, elipsoide y superficie topográfica 147
7.10.1. Reducción plano TM – Elipsoide 148 7.10.2. Reducción Elipsoide – plano topográfico local 149 7.10.3. Reducción plano TM – plano topográfico local 151 7.10.4. Ejemplos de reducciones plano TM – Elipsoide 151 8. Análisis de resultados 155
8.1. Determinación del coeficiente de correlación entre el factor de deformación de escala y las coordenadas proyectadas 155 8.2. Determinación de magnitudes lineales de segmentos geodésicos y proyectados 156
8.3. Determinación de escalas de representación según tolerancias 158 8.3.1. Caso general 158 8.3.2. Caso particular 159
8.4. Relación entre proyecciones TM, elipsoide y superficie topográfica 162 8.4.1. Reducción Plano TM – Elipsoide 162 8.4.2. Reducción Elipsoide – Plano Topográfico Local 163
9. Conclusiones y recomendaciones 166 10. Anexos 169 Anexo Nº1 “Mapa de ubicación” 170 Anexo Nº2 “Red de puntos muestrales” 172 Anexo Nº3 “Mapa de ubicación red de puntos muestrales” 175
Anexo Nº4 “proyección de puntos muestrales, factor de deformación de escala y convergencia de meridianos” 177
Anexo Nº5 Determinación de arcos geodésicos y proyectados 192 Anexo Nº6 Diagrama de flujo metodología 197 11. Bibliografía 199
10
ÍNDICE DE FIGURAS
Fig Nº1 Precisión y exactitud 19 Fig Nº2 Curva de distribución normal 23 Fig Nº3 Curva de distribución normal estandarizada 24 Fig Nº4 Coordenadas cartesianas en el espacio 34 Fig Nº5 Coordenadas geodésicas 36 Fig Nº6 Radio de curvatura de la elipse meridiana 38 Fig Nº7 Normal principal 40 Fig Nº8 Línea geodésica 46 Fig Nº9 Altura elipsoidal 49 Fig Nº10 Alturas normales 50 Fig Nº11 Altura geométrica 51 Fig Nº12 Cuadrilátero geodésico diferencial 63 Fig Nº13 Cuadrilátero diferencial proyectado 64 Fig Nº14 Deformación angular respecto al eje X 67 Fig Nº15 Deformación angular respecto al eje Y 69 Fig Nº16 Determinación semiejes según teorema de Apolonio 74 Fig Nº17 Clasificación de proyecciones perspectivas 77 Fig Nº18 Superficies de proyección 79 Fig Nº19 Clasificación de proyecciones según superficie de proyección 80 Fig Nº20 Sistema cilíndrico transverso conforme 89 Fig Nº21 Latitud isométrica 95 Fig Nº22 Convergencia de meridianos 98 Fig Nº23 Diferencia arco-cuerda 100 Fig Nº24 Variación longitudinal del factor de deformación de escala 107 Fig Nº25 Plano Topográfico Local 110 Fig Nº26 Codificación de puntos muestrales 122 Fig Nº27 Puntos muestrales 140 Fig Nº28 Relación plano TM – Elipsoide 148 Fig Nº29 Relación Plano Topográfico Local – Elipsoide – Plano TM 150
11
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla Nº1 Tolerancia según escala de representación 129 Tabla Nº2 Disposición altimétrica Planos Topográficos Locales 136 Tabla Nº3 Factor de deformación de escala Planos Topográficos Locales 137 Tabla Nº4 Correlación Coordenadas TM – factor de deformación de escala 142 Tabla Nº5 Arcos geodésicos y proyectados 143 Tabla Nº6 Arcos de paralelo 144 Tabla Nº7 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso general 145 Tabla Nº8 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “a” 146 Tabla Nº9 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “b” 146 Tabla Nº10 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “c” 147
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CAPITULO 1
ASPECTOS GENERALES
1.1. INTRODUCCIÓN
El vertiginoso crecimiento de las ciudades chilenas observado desde mediados del siglo
XX y el progresivo avance tecnológico vinculado a las actividades que en ella se realizan han
derivado, por una parte en la creciente necesidad de representar de forma precisa y exacta el
territorio y por otra parte, en un cambio de paradigma en cuanto a la concepción del espacio y la
conceptualización de su representación, observándose por ejemplo, una evolución en el concepto
de escala, ya que, mientras antiguamente se aceptaba este término como una “relación constante
entre la distancia medida sobre un mapa o plano y la distancia correspondiente medida sobre el
terreno representado”, hoy se acepta que este concepto involucra tanto la relación gráfica entre
elementos representados en una carta o mapa y sus correspondientes en el terreno, como la
cantidad de información que puede contener un elemento gráfico, la que evidentemente no se
relaciona con el tamaño relativo del elemento representado.
Con lo anteriormente señalado, se hace evidente que para satisfacer las necesidades
cartográficas acordes a este cambio de paradigma, se hace necesaria una conceptualización clara
13
de las variables que intervienen en la representación del terreno y en la influencia de las
distorsiones y errores inherentes al proceso proyectivo, para lograr con esto la optima utilización
de la cartografía como herramienta precisa de representación del terreno.
A pesar de la innegabilidad de esta necesidad, la realidad Chilena revela que el manejo de
cartografía en ambientes públicos y privados, no considera de manera correcta las limitantes
cartográficas impuestas por la escala de representación y la proyección a utilizar, resultando en la
mayoría de los casos, la acumulación grosera e inconsciente de errores métricos que pueden
interferir negativamente en la correcta toma de decisiones en el contexto del ordenamiento
territorial.
Como solución a esta problemática, la presente investigación analizará la relación
existente entre la exactitud que entregan diferentes proyecciones Transversales de Mercator (TM
en adelante) a distintas escalas de representación para el caso particular de la representación a
escalas urbanas o de detalle.
El primer capítulo expone las generalidades del tema a estudiar, la hipótesis de trabajo y
los objetivos generales y específicos de la investigación.
El capitulo Nº2 repasa los conceptos básicos de la teoría de errores y su cuantificación
destacando el aporte de la estadística al campo de la cartografía.
El capítulo Nº3 explica las características y alcances relativos a los referenciales
geodésicos. El elipsoide como figura de referencia geodésica mediante sus características y
14
propiedades geométricas. Conceptos de referencia altimétrica donde se hace referencia al
concepto de geoide, cuasi-geoide, tipos de altura, incompatibilidades entre tipos de altura y
soluciones a estas incompatibilidades y finalmente el concepto de Datum destacándose los de tipo
clásico y moderno.
El capítulo Nº4 “Proyecciones Cartográficas” expone los conceptos básicos de geometría
diferencial sobre el plano y el elipsoide, los módulos de deformación, la indicatriz de Tissot y con
especial atención, las propiedades y fundamento matemático de las proyecciones conformes.
El capítulo Nº5 explica los aspectos conceptuales de las proyecciones Transversales de
Mercator mediante el desarrollo analítico de las transformaciones entre coordenadas Geodésicas
y TM, aspectos geométricos de las proyecciones TM y ejemplos de proyecciones TM utilizadas
alrededor del mundo.
El capitulo Nº6 expone los pasos metodológicos utilizados en esta investigación para
analizar los aspectos métricos de las proyecciones y la influencia del error que ellos producen.
El capitulo Nº7 presenta los resultados de esta investigación según los pasos
metodológicos seguidos.
El capitulo Nº8 presenta el análisis de los resultados obtenidos.
El capitulo Nº9 expone las conclusiones alcanzadas tras el análisis de los resultados.
15
1.2. HIPÓTESIS DE TRABAJO
Las proyecciones Transversales de Mercator ofrecen en su conjunto, diferentes grados de
exactitud, los cuales pueden resultar en ocasiones insuficientes para la representación del terreno
a escalas de detalle.
16
1.3. OBJETIVOS
1.3.1. Generales
• Realizar un análisis comparativo entre las deformaciones producidas por distintas
proyecciones Transversales de Mercator en escalas de detalle.
1.3.2. Específicos
• Establecer un criterio para la elección de una proyección Transversal de Mercator.
• Establecer indicadores de comparación entre diferentes proyecciones Transversales de
Mercator en función de las deformaciones que producen y de la escala de representación.
• Determinar la exactitud con que diferentes proyecciones Transversales de Mercator
representan los objetos a diferentes escalas de detalle.
• Establecer indicadores que relacionen el plano de proyección y la superficie topográfica.
• Determinar en la practica la influencia de los errores producidos por diferentes
proyecciones TM en mediciones indirectas realizadas en diferentes escalas de
representación.
17
CAPITULO 2
ERRORES Y SU CUANTIFICACIÓN
El enfoque geométrico de la cartografía es aquel que prioriza la utilización de productos
cartográficos para la representación precisa y exacta de los elementos facilitando con esto su
medición y análisis. Sin embargo, todo proceso de medición involucra una serie de errores
relativos al método, al dispositivo utilizado y a las limitaciones propias del ser humano que deben
ser cuantificadas y minimizadas para obtener así magnitudes probables o que se acerquen a la
realidad. En este ámbito, la estadística realiza un valioso aporte a la cartografía, ya que con la
identificación, cuantificación de errores y el cálculo de probabilidades de ocurrencia de estos, es
posible lograr un mejor desempeño de la disciplina cartográfica al permitir evaluar y estudiar las
características de un producto cartográfico y datos espaciales en general y así interpretar y
evaluar la exactitud que entrega un dato cualquiera como por ejemplo, el valor de una
coordenada. Si bien es cierto, la teoría de errores no producirá como resultado final, el que una
medición sea nominalmente igual a la realidad, si permitirá entre otras cosas conocer el la
magnitud del error probable asociado a un fenómeno o valor y con esto mejorar finalmente la
calidad de las representaciones cartográficas.
El presente capítulo interioriza al lector en los conceptos básicos asociados al estudio de
errores y en la cuantificación y métodos de manejo de los mismos.
18
2.1. CONCEPTOS GENERALES
2.1.1. Cifras significativas
Constituidas por el numero de dígitos provenientes de una determinación cierta más un
digito incierto. Por ejemplo, en una medición hecha con cinta métrica graduada al centímetro el
ultimo digito cierto será la unidad de centímetro y el digito incierto estará dado por la estimación
de la fracción del centímetro (usualmente la mitad).
2.1.2. Precisión
En términos simples, la precisión es el grado de refinamiento en la ejecución de una
operación y que por ende está vinculada con la calidad del instrumental utilizado (y la capacidad
de este de leer pequeñas variaciones de la magnitud a medir), del operador, el procedimiento y
los métodos involucrados. Este concepto se asocia directamente con el número de cifras
significativas con que se representa el fenómeno.
En un aspecto mas amplio, la precisión se asocia con la varianza de un conjunto de
observaciones, de manera que la baja varianza de un conjunto de “N” valores es indicador de una
alta precisión y viceversa.
2.1.3. Exactitud
Se relaciona directamente con la distancia existente entre un valor representativo de un
conjunto de “N” observaciones, y un valor patrón considerado la medida real.
19
Ya que en rigor no es posible determinar la magnitud verdadera y exacta de una medición,
se recurre con frecuencia a patrones verdaderos derivados de observaciones como por ejemplo, la
suma de los tres ángulos de un triangulo o el promedio de “n” observaciones.
Y
X
Exactitud
Precisión Figura Nº1 Precisión y Exactitud
Si para la figura Nº1, el eje Y representa el valor real de una magnitud, y un conjunto de
N mediciones se dispersa dentro de la zona coloreada, puede graficarse la exactitud como la
distancia que separa al conjunto de observaciones (representados por la zona coloreada) del valor
real “Y”, mientras que la precisión será inversamente proporcional a la magnitud de la dispersión
de las observaciones.
2.1.4. Equivocación
Son errores provocados generalmente por fallas en las lecturas, errores de digitación u
observaciones descuidadas. Usualmente son muy grandes y fáciles de determinar.
20
2.1.5. Errores sistemáticos
Siguen algún tipo de patrón y son generalmente constantes en magnitud y signo. En
mediciones cartográficas, estos errores son generados principalmente por instrumentos
desperfectos, errores en la determinación de escalas y cambios en las propiedades físicas de un
cuerpo a raíz de variaciones de temperatura o humedad o bien responden a hábitos o tendencias
del operador en los cuales reacciona de manera semejante ante condiciones similares. Los errores
sistemáticos pueden ser tratados eliminados cuando se conoce concretamente las causas de su
origen.
2.1.6. Errores aleatorios
Son los errores no considerados en los ítems anteriores y provienen de fuentes y causas
desconocidas y fuera del control del observador. Se caracterizan por:
• Igual probabilidad de ocurrencia entre errores positivos y negativos.
• Errores pequeños tienen mayor probabilidad de ocurrencia.
• Errores grandes tienen una baja probabilidad de ocurrencia.
La probabilidad de que un error aleatorio no exceda cierta magnitud, puede ser inferida
mediante procesos estadísticos para un número finito de variables aleatorias.
21
2.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES
En términos sencillos, puede definirse probabilidad como la frecuencia de ocurrencia de
un evento en relación al número de posibles ocurrencias. La probabilidad de ocurrencia de
cualquier evento, estará entre cero y uno, si la probabilidad es 0 el evento nunca ocurrirá,
mientras que si la probabilidad es 1 el evento ocurrirá con seguridad. De esto pueden deducirse
cuatro reglas básicas de probabilidad .
Si se considera P(A) como la probabilidad del evento “A” y P(B) como la probabilidad del
evento “B”, se obtiene.
a. la probabilidad de que un evento no ocurra o falle, es uno menos la probabilidad
de ocurrencia del evento
1 - P(A) = fallo del evento A
b. La probabilidad de que alguno de los eventos “A” o “B” ocurra, es igual a la suma
de ambas probabilidades
P(A o B) = P(A) + P(B)
c. La probabilidad de que ambos eventos “A” y “B” ocurran, es igual al producto de
sus respectivas probabilidades.
P(A y B) = P(A) · P(B)
22
2.2.1. Distribución de errores aleatorios
Existe una tendencia en la distribución de los valores de probabilidad de ocurrencia para
un fenómeno cualquiera, que puede ser representado según una curva denominada “curva de
distribución normal”, la que relaciona la magnitud del error (eje x) con la frecuencia de
ocurrencia de dicho error (eje y).
Cuando el numero de observaciones de un fenómeno estudiado tiende a infinito. La
probabilidad de ocurrencia de un fenómeno “x” queda representada según la función “modelo
probabilístico de distribución normal”.
2
2
2)(
21)( σ
μ
πσ
−−
=x
exP
Donde: x = Magnitud de errores
μ = Parámetro que representa el promedio de x
σ = Desviación estándar de la variable
e = Base de logaritmo natural
siendo:
n
xn
i i∑ =−
= 12)( μ
σ
Donde:
n = número de medidas
23
Para “n” observaciones, la función expresada anteriormente que reducida a:
2
2
2
21)( σ
πσ
x
exP−
=
ya que el promedio de los errores de las n observaciones será cero.
Así se puede llegar a la forma general de distribución normal de lo errores, representado
por la figura Nº2
Figura Nº2 Curva de Distribución Normal
El análisis de esta curva permite deducir las siguientes propiedades de la magnitud de
errores y de su distribución.
• De la forma de campana de la curva, se puede deducir que los errores pequeños ocurren
mas frecuentemente que los errores grandes, por lo tanto, a mayor error, menos
probabilidad de ocurrencia.
• La simetría de la curva indica que los errores de signo positivo y negativo, tienen la
misma probabilidad de ocurrencia.
μ−σ μ μ+σ x
f(x)
24
• La curva se extiende indefinidamente en forma asintótica respecto al eje X lo que indica
que errores de gran magnitud tendrán una muy baja probabilidad de ocurrencia.
Para el caso de mediciones finitas se emplea la curva de distribución normal estandarizada
(figura Nº3), que tiene por característica, el aproximarse a cualquier función de distribución de
error con una precisión tal que se hace innecesario definir una curva de errores por cada proyecto
involucrado. La utilización de esta curva estandarizada debe realizarse previa modificación de la
desviación estándar para pocas variables donde:
1
)( 2
−
−=
∑n
ddiσ
Con
di = Valor de una observación cualquiera
d = Valor mas probable (promedio) del conjunto de observaciones
Figura Nº3 Curva de Distribución Normal Estandarizada
−1
f(x)
0 1 C=x/σ2−2 3−3
0.4
25
La curva de distribución normal estandarizada cumple con poseer un promedio de errores
(μ) igual a cero y una desviación estándar igual a 1 lo que se interpreta como una precisión
unitaria.
El eje x esta tabulado según C = x/σ lo que permite representar un conjunto de
observaciones que posean una determinada desviación estándar y el eje Y representa frecuencias,
las que toman un valor máximo cercano a 0.4 obtenido reemplazando en la función, los valores
X = 0 y σ = 1
4.03989.021)( ≅==π
xP
2.2.2. Probabilidad de ocurrencia de errores aleatorios
Considerando las propiedades de la distribución de errores, puede establecerse que la
probabilidad que ocurra un error determinado será siempre cero ya que para pocas observaciones
el promedio de errores es siempre cero y se utilizan rangos de error simétrico en torno al error
nulo. No obstante, puede determinarse el rango de error en el cual está inserta una observación
delimitando la curva de distribución normal según dos abscisas simétricas con respecto al eje x=0
y calculando el área encerrada bajo la curva. Es decir, el número de observaciones expresado en
porcentaje, que presentarán un error comprendido dentro del rango establecido en abscisas, será
igual a la probabilidad, área encerrada bajo la curva entre dichas abscisas, expresada en
porcentaje; el resto de las observaciones presentará errores fuera de los límites señalados.
Así por ejemplo:
26
Si se considera un mismo tramo medido 10 veces sobre una carta y los resultados arrojan
mmd
5.138.1153
±==
σ
y se quiere conocer la probabilidad de que una medición cualquiera (de las realizadas)
contenga un error de a lo mas 1.5m (un sigma), basta con hacer
15.1
5.1±=
±==
σxC
Buscando el valor C=1 en la tabla de áreas bajo la curva se obtiene el valor 68.27%, por lo
que puede decirse que “existe un 68.27% de probabilidades que una medición cualquiera posea
un error máximo de 1.5m” o de otra manera “una medición cualquiera de las realizadas, posee un
error máximo de 1.5m con un sigma”
Por otra parte, para conocer el rango de error que contiene una confianza del 90%, basta
con plantear:
σ·Cx =
considerando : C=1.6449 (área para un 90% de confianza)
se obtiene mx 467.26449.1·5.1 ==
así, se podría decir que “para una confianza del 90%, el error máximo que se produce en
una de las 10 mediciones no debe ser superior a 2.467m”, es decir 9 de las 10 mediciones poseen
un error menor que 2.467 y solo una puede tener un error mayor que los 2.467m
27
2.2.3. Cuantificación de errores aleatorios
Como una forma de determinar la magnitud de los errores existentes en una medición o
conjunto de ellas. Se han determinado tres indicadores utilizados frecuentemente y expresados en
función de la desviación estándar (σ)
2.2.3.1. Error de una observación: determina la magnitud del error para una medición cualquiera,
de un conjunto de observaciones de igual precisión y corresponde a:
1
)( 2
−
−=
∑n
ddiσ
2.2.3.2. Error del valor mas probable: Corresponde al promedio de errores asociados a las
mediciones y se representa por:
)1(
)( 2
−
−=
∑nn
ddinσ o por su equivalente
nnσσ ±=
2.2.3.3. Error del resultado: Corresponde al error en el cual se involucra la combinación de
valores mas probables de varios elementos para dar como resultado una única magnitud.
El error de esa magnitud, será función del error de cada una de las partes involucradas, es
decir de cada uno de los valores mas probables con sus respectivos errores independientes. Por
ejemplo:
Sea R = f (a, b, c, . . .) una función cualquiera que involucra valores mas probables
de “a”, “b”, “c” etc. La desviación estándar corresponde a:
28
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ....
222
ccRb
bRa
aRr σ
δδσ
δδσ
δδσ
Si la función “f” corresponde a una suma, el resultado de estará dado por la suma
vectorial de los errores independientes, es decir:
( )21
2222 ... ncbar σσσσσ +++±=
Si la función “f” corresponde al promedio de los valores mas probables de cada
elemento o las medidas son ejecutadas con similar precisión, puede expresarse
según:
nimr ,σσ =
Si la función “f” corresponde a una multiplicación de los valores mas probables de
los elementos “a” y “b”, se obtiene:
bar σσσ ·=
29
2.2.4. Indicadores de Precisión
Comúnmente se utiliza una nomenclatura estandarizada para referirse a distintos tipos de
indicadores de precisión en función de la desviación estándar. Así, según el manual de carreteras
(MOP Vol Nº2 año 2001) se puede encontrar:
2.2.4.1. Error Estándar o Error medio cuadrático: equivale a una desviación estándar e implica
que la probabilidad de ocurrencia de un error de a lo más +/- 1σ sea de 68.27%.
E = +/- σ
2.2.4.2. Error Probable: o también llamado “error del 50%”, implica que existe igual probabilidad
de que el error cometido esté comprendido dentro de un rango o fuera de él.
E0 = +/- 0.6475 σ
2.2.4.3. Error del X%: Implica que el error cometido está comprendido dentro de un rango
determinado con una probabilidad o confianza del X%.
Ex%=+/- Cxσ
30
CAPITULO 3
REFERENCIALES GEODÉSICOS
La evolución de las necesidades del hombre y el consecuente avance de la tecnología, han
determinado la necesidad de entender las formas, dimensiones de la Tierra y procesos que en ella
se generan. Para esto, las herramientas y conocimientos cartográficos han constituido un pilar
fundamental para lograr su correcta representación. Sin embargo el vertiginoso avance del pensar
humano requiere también un veloz desarrollo en la disciplina cartográfica tendiente a lograr una
óptima representación del terreno y con ello alimentar una relación simbiótica con otras ciencias
y disciplinas.
Dadas las características elásticas de la Tierra, la representación de ella requiere que su
asimilación a una figura simplificada y susceptible de análisis matemático, la que constituirá el
llamado referencial geodésico. A lo largo de la historia, han sido diversos los intentos del hombre
por relacionar la Tierra a una figura regular que le permitiese estudiarla y representarla. Desde
Pitágoras quien en el siglo VI AC definió la esfericidad de la Tierra o Eratóstenes quien durante
el siglo III AC calculó las dimensiones de ella con gran exactitud, se tendió a considerar la Tierra
como una figura esférica perfecta. Sin embargo en 1687 el físico Isaac Newton por medio de su
“Ley de Gravedad Universal” señaló que la Tierra debería ser mas achatada en los polos que en
ecuador insinuándose con esto por primera vez al elipsoide de revolución como figura de
representación de la Tierra.
31
Posteriormente en 1740, Collin MacLaurin demostró científicamente la posibilidad de que
un elipsoide fuera una figura de equilibrio para una masa fluida en rotación. Tres años mas tarde
Clairaut definiría el achatamiento en función de la gravedad y de la velocidad de rotación. A
finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, científicos tales como Laplace, Bessel y Gauss
plantearían la necesidad de representar la Tierra mediante un modelo elipsoidal para satisfacer las
crecientes necesidades de precisión de posicionamiento.
Carl Friedrich Gauss en el año 1822 introdujo el concepto de “Geoide” y lo definió como
“una superficie en la que cualquiera de sus partes intersecta las direcciones de la gravedad en
ángulo recto y de la que es una parte la superficie oceánica en reposo en condiciones ideales”. A
finales del siglo XIX el geodesta Gabriel Stokes publicaría una solución al problema de
definición del Geoide mediante el establecimiento de la formula fundamental de Gravimetría, que
posteriormente seria desarrollada de manera mas rigurosa por Sergui Molodensky.
Con todos estos avances científicos, el hombre ya disponía de una idea bastante cercana
de la forma y dimensiones del planeta, sin embargo, el problema de la representación del mismo
estaba lejos de ser solucionado ya que por una parte, debe buscarse el relacionar los distintos
referenciales geodésicos y los métodos usados a lo largo de la historia y por otra parte se debe
relacionar la referencia planimétrica, la referencia vertical y los elementos a representar para dar
consistencia a una solución cartográfica acorde a las necesidades actuales.
32
3.1. ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
Elipsoide de revolución, es una figura matemática resultante de la rotación de una elipse
cualquiera en torno a su semieje menor generando de esta forma un cuerpo tridimensional.
Analíticamente es de la forma:
12 2
2
2
22
=++
bz
ayx
Si se considera a la Tierra como un cuerpo fluido homogéneo, se observará que debido al
movimiento de rotación del planeta, la masa de este tenderá a concentrarse en las bajas latitudes
en vez de en las cercanías de los polos formando así un elipsoide de revolución.
Matemáticamente se puede determinar utilizando un valor medio de gravedad y velocidad de
rotación, generándose con ellos, los valores semieje mayor “a” y acatamiento “f”. Un elipsoide de
referencia es por lo tanto el elipsoide que se usa como soporte analítico para las coordenadas de
puntos medidos en la superficie de la Tierra para su posterior representación y análisis. El
elipsoide de referencia puede ser de carácter local donde representará solo una parte del planeta o
de carácter global lo que implica que podrá representar con gran exactitud la forma global del
planeta.
Dentro los elipsoides de uso local utilizados en Chile , se pueden encontrar:
• Internacional de 1909 (Internacional de 1924; Hayford)
o a = 6.378.388m
33
o f = 1/297
• Elipsoide Sudamericano de 1969
o a = 6.378.160m
o f = 1/298.25
Dentro de los elipsoides de uso global, se puede encontrar:
• GRS-80
o a = 6.378.137m
o f = 1/298.257222101
Elipsoide utilizado en el Sistema de Posicionamiento Global (GPS)
3.1.1. Coordenadas cartesianas en el espacio
Un sistema coordenado cartesiano en el espacio, está definido como se muestra en la
figura Nº4, por tres ejes mutuamente perpendiculares “x” “y” y “z”. Un punto en el espacio, se
podrá localizar considerando la distancia perpendicular que lo separa de cada recta, formando así
un trío coordenado (x,y,z).
De esta manera, un sistema cartesiano puede soportar a un sistema geodésico
considerando que:
• El origen del sistema esta ubicado en el centro de masa de la Tierra
• El eje “x” es coincidente con el plano ecuatorial
34
• El eje “z” es coincidente con el eje de rotación terrestre
• El eje “y” es coincidente con el plano ecuatorial y forma un ángulo recto respecto
al eje “x” definiendo el sistema como dextrógiro (giro hacia la derecha)
Figura Nº4 Coordenadas Cartesianas en el Espacio
3.1.2. Coordenadas geodésicas
Al considerar la forma analítica de la Tierra como un elipsoide, es necesario determinar en
él ciertas líneas de referencia que permitan definir la posición de un punto sobre su superficie de
manera inequívoca.
Si el elipsoide de revolución rota en torno al semieje menor “b”, y en su punto medio se
levanta un plano normal a dicho semieje denominado plano ecuatorial, la intercepción de este
plano con el elipsoide, generará una línea de circulo máximo llamada ecuador, que dividirá al
elipsoide en dos mitades iguales denominadas hemisferio norte y hemisferio sur. La intercepción
x
Y
Z
X
Y
z
y
MeridianodeGreenwich
Plano Ecuatorial
Polo
35
de los infinitos planos paralelos al plano ecuatorial con el elipsoide, genera las líneas de circulo
menor llamadas paralelos.
Por otra parte, los infinitos plano que contengan al eje de rotación (planos meridianos)
definirán en su intersección con el elipsoide a las líneas llamadas meridianos. Convencionalmente
se ha establecido como origen de estos meridianos al que pasa por el observatorio de Greenwich
Inglaterra (figura Nº5)
3.1.2.1. Latitud Geodésica (φ)
Ángulo formado entre el plano ecuatorial y la normal a un punto cualquiera siguiendo la
dirección de un meridiano. Convencionalmente, se relaciona la línea de origen de las latitudes
con el eje Y=0 de un sistema cartesiano plano, para diferenciar las coordenadas de hemisferio
norte con las del hemisferio sur mediante los signos “+” y “-” respectivamente. De la misma
forma, se suele diferenciar las coordenadas mediante los prefijos “N” y “S” para los hemisferios
Norte y Sur respectivamente (Figura Nº5).
3.1.2.2. Longitud (λ)
Ángulo diedro formado por un plano meridiano de origen y el plano meridiano que
contiene al punto. Convencionalmente, se relaciona la línea de origen de las longitudes con el eje
X=0 de un sistema cartesiano plano, para diferenciar las coordenadas “Este” con las coordenadas
“Oeste” mediante los signos “+” y “-” respectivamente. De la misma forma, se suele diferenciar
36
las coordenadas mediante los prefijos “O” y “E” para los hemisferios según su si se localizan al
oeste o al este del meridiano de origen respectivamente. (Figura Nº5).
3.1.2.3. Altura geométrica o Elipsoidal (h)
Definida por la distancia normal entre el punto y la superficie del elipsoide (Figura Nº5).
De esta forma, las coordenadas geodésicas quedan definidas por latitud (φ) longitud (λ) y
altura geométrica (h).
Figura Nº5 Coordenadas Geodésicas
X
λ
λ
P1
O
Q
φY
Z
P
h
Mer
idia
node
Gre
enw
ich
Ecuador
37
3.1.3. Relación Matemática entre Coordenadas
Diversos procesos de cálculo vinculados a la transformación de coordenadas y de sistemas
geodésicos, requieren expresar las coordenadas geodésicas φ, λ y h en términos de coordenadas
cartesianas tridimensionales y estas en coordenadas geodésicas. Las relaciones entre estas
coordenadas pueden escribirse:
( ) λφ coscoshNX +=
( ) λφsenhNY cos+=
( )( ) φsenheNZ +−= 21
la transformación inversa viene dada por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=ψψφ 32
32
cos··'·
eadsenebZarctg
xyarctg=λ
Ndh −=φcos
Donde:
22 yxd +=
dbzaarctg
··
=ψ
38
3.1.4. Geometría del Elipsoide
3.1.4.1. Normales Principales
a. Radio de curvatura de la elipse meridiana:
Si se considera un punto “P” sobre el elipsoide, y siguiendo por el meridiano otro
punto “Q” situado a una distancia infinitesimal del primero, se obtendrá un arco
diferencial de meridiano que corresponde con el de un circulo que contiene a “P” y “Q”,
luego, existe un único radio que define al círculo que contiene al segmento diferencial.
Este radio se denomina Radio de curvatura de la elipse meridiana “M”. Usando la figura
Nº6 se puede determinar el valor de M en función de la latitud de un punto.
Figura XX Radio de Curvatura
Figura Nº6 Determinación del Radio de Curvatura de la Elipse Meridiana
Tomando la distancia diferencial ds a lo largo de un arco de meridiano, se puede decir
que:
dφ M
Z
X
ds
dxdz
39
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=+==
222 1)(
dzdxdzdzdxMdds φ
φ
φ
cos
)tan1( 2
dzdz
=
+=
ya que : φφφφ
sendxdz coscot)90tan( −=−=+=
entonces :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
φφ
φφ
ddzM
dzMd
cos1
cos
Ya que “z” puede escribirse en términos de la latitud como
)1(
)1(22
2
φ
φ
seneseneaz
−
−=
Derivando respecto de la latitud se obtiene:
40
2/322
2
)1(cos)1(φ
φφ sene
eaddz
−−
=
y usando ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
φφ ddzM
cos1 resulta finalmente
2/322
2
)1()1(
φseneeaM
−−
=
dicho valor también conocido como ρ
b. Normal Principal:
La normal principal o gran normal “N” se determina según el largo del segmento
comprendido entre un punto cualquiera sobre el elipsoide y su intersección con el eje
menor siguiendo la normal al punto. Usando la figura Nº7 se puede deducir el valor de la
normal principal a partir de parámetros elipsoidales y la latitud geodésica de un punto.
Figura Nº7 Determinación de la Normal Principal
N
φ
x
z
41
Tomando la ecuación de la elipse:
12
2
2
2
=+bz
ax
diferenciando se obtiene:
02222 =+
dxdz
bz
ax
zx
ab
dxdz ·2
2
−=
operando: xz
batg ·2
2
−=φ
como: 2
2
2
222 1
ab
abae −=
−=
entonces: 2
221
abe =−
y despejando, se tiene que: )1( 2eab −=
sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que :
xz
exz
eaatg ·
11·
)1( 222
2
−=
−=φ
despejando se obtiene: φtgexz )1( 2−=
luego, llevando la ecuación anterior y el valor de b a la ecuación principal de la elipse, se
obtiene: 1)1(
)1(22
2222
2
2
=−
−+
eatgex
ax φ
operando, se obtiene: 22222 )1( atgexx =−+ φ
42
y: φφ
φ
φφ 222
22
2
22
22
)1(coscos
cos)1(1 sene
asene
ax−+
=−+
=
y finalmente )1(
·cos22 φ
φ
seneax−
=
como φ·cosNx =
Entonces: Nx=
φcos
Con lo que se obtiene finalmente:
)·1( 22 φsene
aN−
=
3.1.5. Arcos Sobre el Elipsoide
3.1.5.1. Longitud de un arco meridiano
Si una fracción diferencial de arco meridiano se puede representar por la expresión
ds = M dφ, luego integrando esta expresión entre φ1 y φ2 se obtiene:
S = ∫2
1
φ
φφMd = a(1 – e2) φφ
φ
φdsene 2/322
1
2 )1( −∫ −
El valor (1 – e2 sen2 φ)-3/2 se reduce mediante serie de McLaurin, cuya forma general es:
43
...!3
)0('''!2
)0(''!1
)0(')0()(32
++++=fxfxxffxf
quedando:
...1635
815
231)1( 6644222/322 ++++=− − senesenesenesene φφφ
luego se reemplazan las potencias de senφ por ángulos múltiples para simplificar las integrales
siendo:
sen2φ = ½ - ½ cos2φ
sen4φ = 3/8 - ½ cos2φ + 1/8 cos4φ
sen6φ = 15/16 – 15/32 cos2φ + 3/16 cos4φ − 1/32 cos6φ
sen8φ = 35/128 – 7/16 cos2φ + 7/32 cos4φ − 1/16 cos6φ + 1/128 cos8φ
sen10φ = 63/256 – 105/256 cos2φ + 15/64 cos4φ − 45/512 cos6φ + 5/256 cos8φ - 1/512 cos10φ
Poniendo estas ecuaciones en la ecuación anterior y ordenando según los ángulos
múltiples se obtiene:
(1 – e2 sen2 φ)-3/2 = A – B cos2φ + C cos4φ − D cos6φ + E cos8φ - F cos10φ
Donde:
A = 1 + ¾ e2 + 45/64 e4 + 175/256 e6 + 11025/16384 e8 + 43659/65536 e10
B = ¾ e2 + 15/16 e4 + 525/512 e6 + 2205/2048 e8 + 72765/65536 e10
44
C = 15/64 e4 + 105/256 e6 + 2205/4096 e8 + 10395/16384 e10
D = 35/512 e6 + 315/2048 e8 + 31185/131072 e10
E = 315/16384 e8 + 3465/65536 e10
F = 693/131072 e10
Ahora se puede escribir la integral
∫ −−−2
1
2/3222 )1()1(φ
φφφ dseneea como
∫ −+−+−−=2
1
2 )10cos8cos6cos4cos2cos()1(φ
φφφφφφφ dFEDCBAeas
Separando la integral en partes, se obtiene:
s ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−−= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 ...8cos6cos4cos2cos)1(φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φφφφφφφφφφ dEdDdCdBAdea
Resolviendo las integrales se obtiene:
s ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−−= 2
12
12
12
12
12
12 10
108
86
64
42
2)1( φ
φφφ
φφ
φφ
φφ
φφ φφφφφφ senFsenEsenDsenCsenBAea
y finalmente se define la longitud de un arco de meridiano entre los puntos φ1 y φ2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
−+−−
−+−−−
−=
...)1010(10
)88(8
)66(6
)44(4
)22(2
)(
)1(
12
1212
121212
2
φφ
φφφφ
φφφφφφ
sensenF
sensenEsensenD
sensenCsensenBA
eaS
45
3.1.5.2. Longitud de un arco de paralelo (Sp)
Si se sitúa φ1 y φ2 sobre el mismo paralelo, su distancia sobre el elipsoide estará definida
en función de la separación angular entre ellos (Δλ) y el radio paralelo. Si se define el radio
paralelo “r” como φ·cosNr = , entonces λφ Δ= ··cosNSp
3.1.6. Línea Geodésica
Se entiende por “línea geodésica”, a aquella curva trazada sobre una superficie no plana,
que cumple con ser la distancia mas corta entre dos puntos cualquiera. En el elipsoide de
revolución posee una doble curvatura, y su aplicación en el campo de la Geodesia se remonta a
las investigaciones de Gauss, quien en 1827 definió las relaciones de esta curva con las secciones
normales1 permitiendo con esto, una alternativa mas adecuada para la resolución de triángulos
elipsoidales (Figura Nº8).
Analíticamente, se caracteriza mediante el teorema de Clairaut, que señala que a lo largo
de la geodésica el producto del radio del paralelo por el seno del azimut es una cantidad
constante. Ello implica que mientras el recorrido de la línea geodésica aumenta en latitud, la línea
geodésica debe aumentar su acimut hasta que este alcance los 90º y el radio de paralelo alcance
su mínimo valor para descender nuevamente hacia el ecuador, donde el acimut irá disminuyendo
hasta ser cero en la latitud 0º.
1 La sección normal se define como “Cualquier sección plana que contenga la normal que pasa por el punto” (Manual de carreteras Volumen 2 M.O.P sección 2.302.1
46
Geodésica
Secciones NormalesA
B
Figura Nº8 Línea Geodésica
3.2. REFERENCIA VERTICAL
Para definir el concepto de altura de un punto, primero es necesario establecer el tipo de
referencial que se usará como origen de ellas, el cual es adoptado arbitrariamente y se denomina
“Datum vertical”.
Clásicamente se ha adoptado como Datum vertical al nivel medio del mar, el cual es
determinado por una red de mareógrafos a partir de observaciones realizadas durante largos
periodos en distintos puntos del planeta. Sin embargo el gran dinamismo producido por las
mareas y los movimientos de la Tierra, así como las variaciones internas del agua en cuanto a
47
temperatura, corrientes oceánicas y salinidad hacen que esta determinación pueda variar en varios
metros entre distintos mareógrafos (SIRGAS, grupo de trabajo III).
Como una forma de superar los inconvenientes encontrados en la determinación del nivel
medio del mar se ha hecho necesario encontrar una figura de referencia de carácter global, que
manteniendo como condición que forme una superficie equipotencial, sea independiente del nivel
del mar observado.
3.2.1. Geoide
Se puede definir al Geoide como la figura formada por una superficie equipotencial del
campo de gravedad terrestre, que coincide con el nivel medio del mar en condiciones ideales. La
determinación exacta del geoide está en función de la cantidad de masa y distribución de ella al
interior de la Tierra. Produciéndose con esto, variaciones en el potencial de gravedad según
variaciones en la densidad de la tierra y por consiguiente una variación en la determinación del
Geoide. Luego, para determinar la forma y dimensiones de un geoide sería necesario conocer las
concentraciones de masa al interior de la Tierra y establecer en que medida influyen en el
potencial de gravedad. Como evidentemente esta es una tarea imposible, se recurre a formular
hipótesis geofísicas de concentración de masas lo que se traduce en variaciones del geoide a
partir de un cambio en la hipótesis de estimación de masas.
48
3.2.2. Cuasi-Geoide
Es una superficie no equipotencial que para su determinación no requiere de hipótesis
geofísicas de distribución de masa, sino que se basa en el modelamiento matemático del campo
de gravedad normal de un punto sobre la superficie física de la Tierra. Para su definición se
calcula la altura del lugar a medir, en función del potencial de gravedad existente en ese punto y
se asume como igual a lo largo del vector normal al punto. De esta forma se desprecian las
diferencias entre el vector generado por el modelo geofísico de distribución de masa y el vector
calculado para el punto.
3.2.3. Tipos de Altura
Se define altura de un punto, como la distancia vertical existente entre el punto y el Datum
vertical. En este sentido, la Geodesia clasifica distintos tipos de altura según su determinación o
consideración respecto al campo de gravedad terrestre, a su aplicación practica y al modelo
matemático o físico considerado en su definición.
A continuación, se exponen los tipos de altura relacionados con el presente estudio.
3.2.3.1. Alturas Elipsoidales (h)
Corresponde a la distancia que separa a la superficie física de la tierra y el elipsoide
medida sobre la normal a este último (figura Nº9). Corresponde al tipo de alturas entregado por
los sistemas de posicionamiento satelital.
49
O
P1
E
Q
P
h
Y
Z
X
Figura Nº9 Altura Elipsoidal (h)
3.2.3.2 Alturas Normales
La altura Normal, puede definirse como la distancia que separa un punto cualquiera con el
cuasigeoide siguiendo la dirección de la normal entre ellos. La determinación de esta altura no
requiere de la formulación de hipótesis acerca de la distribución de masas, y con esto, que la
exactitud de la altura se relacione únicamente con la exactitud del calculo del potencial de
gravedad en la superficie física terrestre (Figura Nº10).
50
W = WP
Cuasi-Geoide
Elipsoide
H(norm)
Superficietopográfica
P
ζ
Figura Nº10 Alturas Normales
La determinación de las alturas Normales puede realizarse a partir de las alturas
elipsoidales (GPS) y de la cuantificación de la anomalía de altura (ζ) u ondulación cuasi-geoidal
mediante
ζ−= hH norm)(
en donde la anomalía de altura puede obtenerse mediante cálculos gravimétricos o satelitales
3.2.3.3. Alturas Ortométricas
La altura Ortométrica corresponde a la distancia vertical entre la superficie Geoidal y la
superficie física de la tierra, siguiendo la dirección de la plomada (figura Nº11). Ya que como se
mencionó anteriormente, el potencial de gravedad no puede ser medido a lo largo de la línea de la
plomada, se estima su valor medio a partir de la gravedad observada en la superficie de la tierra y
propagándola mediante la utilización de alguna hipótesis de distribución de masa y densidad.
51
W = W P
Elipsoide
Superficietopográfica
P
GeoideW = W 0
H(ortom)
N
Figura Nº11 Altura Ortométrica
Las alturas Ortométricas pueden obtenerse a partir de las elipsoidales mediante
NhH ortom −=)(
Donde N corresponde a la ondulación geoidal o diferencia entre el geoide y el elipsoide
siguiendo la línea normal a las superficies equipotenciales.
3.2.4. Relación entre tipos de alturas
3.2.4.1. Alturas elipsoidales y Alturas físicas
El origen de las alturas elipsoidales es una figura analítica que corresponde a una
idealización de la forma de la Tierra, mientras que el origen de las alturas físicas se relaciona con
el comportamiento gravimétrico particular del lugar cuya altura se desee conocer. Por
consiguiente, las alturas de tipo físico solo se pueden relacionar con las elipsoidales modelando el
comportamiento de la gravedad local. Esto es conociendo la ondulación Geoidal o la Anomalía
de altura de lugar donde se encuentre el punto.
52
3.2.4.2. Alturas normales y Ortométricas
Martinec, 1993; 1998; Martinec et al., 1995; 1996; y Huang et al. 2001, han demostrado
en la actualidad, que es posible determinar la distribución de densidad con exactitudes suficientes
para arrojar errores subcentimétricos en la determinación de alturas para la mayoría de los
terrenos, por lo que las posibles limitantes acerca de la utilización de la determinación de alturas
Ortométricas, puede ser desestimada. Recomendándose incluso el uso combinado de estas alturas
para el ajuste de redes y establecimiento de puntos de nivelación.
3.2.5. Solución a las incompatibilidades entre tipos de altura
Como se observó anteriormente, las distintas alturas expuestas presentan
incompatibilidades o inconsistencias producto de la superficie a la cual están referidas que son
necesarias de corregir para su correcta utilización. Una forma de corregir estas discrepancias, es
calculando una red de puntos comunes donde sean conocidos los distintos tipos de altura antes
señalados y la situación geoidal/cuasigeoidal de los mismos. De esta forma podrán calcularse
parámetros o diferenciales de relación para diferentes alturas, logrando así una completa relación
entre observaciones de diversa índole (mas información al respecto en “Vinculación de las
alturas elipsoidales GPS al datum vertical clásico de Colombia”, L. Sánchez y W. Martinez;
“Algunos Aspectos Sobre Alturas Ortométricas y Normales”, P. Vanicek, M. Santos, R. Tenzer,
A. Hernández, año 2003)
53
En el contexto nacional, y considerando las características geomorfológicas del territorio
nacional, es urgente la determinación de un modelo Geoidal, que permita modelar con precisión,
el comportamiento gravitacional de nuestro territorio. Pese a que el Instituto Geográfico Militar,
en un esfuerzo por refinar el Datum vertical afín a los nuevos sistemas de referencia, se encuentra
realizando mediciones gravimétricas tendientes a generar un modelo Geoidal local, la solución
aun parece lejana.
Como solución para la determinación de un modelo Geoidal local, existen ciertos modelos
mundiales que permiten una precisión en la determinación de la ondulación Geoidal del orden de
los decímetros (R. Zepeda 2004) tales como el EGM96 (Earth Gravity Model 1996)
3.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA
La ubicación de puntos con coordenadas sobre la Tierra, requiere que estos estén referidos
a un mismo origen con el fin de evitar ambigüedades. Para determinar coordenadas precisas que
materialicen al sistema geodésico utilizado, se ha recurrido dos conceptualizaciones distintas. Por
una parte los sistemas geodésicos clásicos, que se materializan usando observaciones
astronómicas clásicas y mediciones gravimétricas locales. Y por otra parte, los sistemas
Geodésicos geocéntricos que incorporan variables tetradimensionales y modernos sistemas de
posicionamiento en su concepción.
54
3.3.1. Sistemas locales
Como una forma de solucionar el problema del origen de las coordenadas para los
levantamientos. La geodesia clásica ha creado soluciones particulares para espacios reducidos
sobre la Tierra, en los que se determina con métodos astronómicos la posición precisa de un par
de estaciones geodésicas que constituirán la base de los levantamientos. Una de las estaciones
precisas determinadas será el denominado “punto Datum” o estación de coordenadas geodésicas
precisas conocidas, que servirá como origen para las coordenadas geodésicas del sistema. Un
punto Datum debe definirse utilizando un sólido de revolución (comúnmente un elipsoide) y debe
estar relacionado directamente al geoide de manera que ambas figuras constituyan en conjunto la
referencia horizontal y vertical para los futuros levantamientos ligados al Datum. No obstante,
esta solución se considerará aceptable hasta una determinada distancia del punto Datum que
considere el error implícito en el levantamiento de la red geodésica constituyente del sistema y la
tolerancia de los proyectos referidos al Datum.
Un punto Datum Clásico debe contar con:
• Latitud astronómica conocida: Utilizando instrumentos ópticos adecuados, se observan las
diferencias de declinación de parejas de estrellas.
• Longitud Conocida: Observando el paso de estrellas por el meridiano del lugar
• Acimut inicial conocido: Mediante la observación de un ángulo acimutal entre una marca
terrestre y una estrella circumpolar a tiempo conocido.
55
• Ondulación Geoidal conocida: Mediante observaciones gravimétricas en el área cercana al
punto Datum, se modela el comportamiento del geoide y se determina la separación entre el
elipsoide y el geoide para el punto Datum.
• Meridiana y primer vertical conocidos: Las coordenadas obtenidas mediante observación
astronómica están referidas a la esfera celeste, por cuanto la latitud y longitud del punto
Datum es astronómica, para referir estas coordenadas al elipsoide es necesario establecer la
desviación de la vertical de la meridiana y del primer vertical.
Cumplidas estas condiciones, es posible asegurar una correcta adaptación entre el Geoide y el
Elipsoide.
Si bien un sistema clásico permite materializar redes clásicas de primer orden (del orden
de 1:100.000), su área de efectividad estará condicionada por la optima relación geométrica que
exista entre el elipsoide y el geoide. Debido a la falta de paralelismo entre ambas figura y a las
limitaciones propias de los métodos de posicionamiento clásico, la rigidez de la red que
materializa al sistema local irá empeorando hasta alcanzar en ocasiones, errores relativos de
varias decenas de metros para áreas lejanas al punto Datum.
3.3.1.1. Sistemas Locales Usados en Chile
En la actualidad, los productos cartográficos nacionales, son referidos principalmente a
dos sistemas locales, los cuales se materializan mediante redes clásicas de primer, segundo y
tercer Orden, constituyendo así, la referencia horizontal clásica nacional. La referencia vertical es
56
independiente de la horizontal y se determina según el nivel medio del mar calculado con una red
nacional de mareógrafos. Así, los sistemas locales usados en Chile corresponden a sistemas
bidimensionales en los cuales el posicionamiento horizontal y vertical no están necesariamente
relacionados en su concepción.
a. PSAD-56
Durante la década de los 40’s y parte de los 50`s, el ejercito de Estados Unidos en
cooperación con los países de América central y América del sur, construyó una red geodésica
desde México hasta el sur de Chile la que se constituyó en la vértebra del llamado Datum
Provisorio Sudamericano. El origen de este Datum se materializó en “La Canoa” Venezuela y su
determinación fue hecha mediante observaciones astrogeodésicas y observaciones gravimétricas
utilizadas para determinar la deflexión de la vertical. La figura de Referencia escogida fue el
Elipsoide Internacional de 1924 y la ondulación geoidal fue cero por definición.
La Heterogénea distribución de masas presentes en el continente sudamericano, ocasionan
un comportamiento Geoidal muy complejo e imposible de modelar con las escasas mediciones
gravimétricas realizadas en el marco del proyecto Psad-56. Debido a esto, la materialización de
dicho Datum cuenta con errores que lo imposibilitan para cubrir con aceptable precisión el
continente sudamericano y que generan por ejemplo, diferencias de hasta 300m entre el geoide y
el elipsoide para latitudes cercanas a los 40º S.
57
Por otra parte, la precisión del transporte de coordenadas no es mejor que 10PPM lo que
implica deformaciones para la representación del territorio nacional de hasta 50m en el valor de
la coordenada de un punto de primer orden respecto del origen del Datum.
Con estos antecedentes, el Instituto Panamericano de Geografía e Historia determinó que
el Datum Psad-56 no resultaba adecuado como marco geodésico para la cartografía regular de las
naciones sudamericanas por lo que se encargó el estudio de un Datum que se adecuara mas a las
necesidades de todos los países del subcontinente.
b. SAD-69
La comunidad científica americana presentó serias objeciones con respecto a la utilización
del Sistema PSAD-56 como referencia para el continente, ya que, por una parte, la posición del
punto Datum desfavorece la precisión que puede alcanzar los puntos mas alejados de él, y por
otra parte, se consideró que las observaciones gravimétricas tendientes a determinar la desviación
de la vertical eran insuficientes.
Debido a esto, el Instituto Panamericano de Geografía e Historia solicito la creación de un
grupo de trabajo que estudiara la creación de un Datum sudamericano que satisficiera las
necesidades de todos los países sudamericanos. Se propuso en la VIII reunión de consulta
celebrada en Cuba en 1958 que el punto Datum estuviera localizado entre los 15º y 27º sur y
entre los 45º y 63º Oeste y que el propósito de este proyecto fuera el “establecer un Datum
sudamericano unificado para las redes continentales de control de los levantamientos y para la
58
información de la Figura de la Tierra”. Durante la XI reunión de consulta de cartografía en la
ciudad de Guatemala en 1965 fue presentado un informe sobre el geoide a nivel continental que
sirvió como base para la creación de un nuevo sistema y como se establecería la conexión de las
redes nacionales a partir de los datos geoidales existentes, se evaluó el impacto de la utilización
de un nuevo Datum en términos de ondulación Geoidal y desvío de la vertical. De esta manera, se
buscó que el nuevo Datum respondiera a las necesidades de ondulación geoidal y desvío de la
vertical específicos logrando así que la ubicación escogida para el nuevo Datum estuviera en
función de valores deseados.
El elipsoide asociado a este Datum corresponde al Internacional de 1967 y sus valores son
a = 6.378.160m y f = 1/298.25. En primera instancia se consideraron dos posibles orígenes de
este sistema de referencia. Correspondientes a los orígenes de los Datum nacionales de Brasil
(Chua) y Argentina (Campo Inchauspe) a los que les fueron asignadas las alturas Geoidales 0m y
2m respectivamente. Finalmente se eligió el punto “Chua” como origen del sistema.
La utilización del Datum Sad-69 en Chile fue adoptada como oficial para la creación
mapas y planos a escala 1:25.000 y mayores y aquellas regiones ubicadas desde el paralelo 43º
30’ hacia el sur. Debido a la rigurosidad con la que fue establecido y al empleo de las emergentes
técnicas de posicionamiento moderno, el Datum Sad-69 es una solución mas consistente que el
Datum Psad-56 para la representación cartográfica a escalas medias y grandes. No obstante lo
anterior, se ha relegado a un segundo plano la utilización de este Sistema dentro de las
actividades cartográficas nacionales.
59
3.3.2. Sistemas globales
Son de origen geocéntrico lo que permite que el error del sistema no supeditado a la cercanía
del punto de origen. Su existencia se debe a la necesidad de un sistema geodésico acorde a las
precisiones entregadas por los modernos sistemas de posicionamiento (Interferometría de Base
Muy Larga, Medición Láser a Satélites, Sistemas de Posicionamiento Satelital, etc)
El sistema geocéntrico de mayor utilización es el ITRS (International Terrestrial Reference
System), el cual se define utilizando un eje cartesiano con origen en el centro de masas de la
Tierra, donde el eje Z es coincidente con el polo medio calculado originalmente por el BIH con
época 1984.0 y que es susceptible de vincular al polo instantáneo o verdadero para una
determinada época mediante una serie de parámetros calculados año a año por el International
Earth Rotation Service (IERS). Para una precisa y exacta determinación de los ejes cartesianos
que sustentan al sistema, las observaciones se vinculan a fuentes extragalacticas (Quasares,
Pulsares) lo que asegura la no inercialidad del sistema. Para la materialización del sistema ITRS
se recurre a múltiples estaciones alrededor del mundo, que por medio de técnicas combinadas
(Interferometria de base larga, observación a satélites artificiales, posicionamiento doppler, entre
otros) genera el llamado ITRF o (International Terrestrial Reference Frame) el cual representa la
materialización del sistema concebido.
60
3.3.2.1.WGS-84
Es un sistema de referencia creado por el Departamento de Defensa de Estados Unidos el
cual tiene por objetivo servir de base a las técnicas modernas de posicionamiento (en especial
GPS). Al estar orientado según los parámetros IERS es compatible con el ITRF y se vincula al
elipsoide WGS-84 (en la practica elipsoide GRS-80) el cual es utilizado por el sistema de
posicionamiento global (GPS).
3.3.2.2.SIRGAS
En un esfuerzo por crear un único referencial geodésico para América, que permita
terminar con las ambigüedades en la delimitación del territorio y como una forma de acercar el
trabajo mancomunado de las naciones americanas a las tecnologías de posicionamiento y
necesidades actuales, se creó con ayuda de organismos especializados de Estados Unidos y
Europa el Sistema de referencia Geocéntrico para las Américas, el cual es un sistema
tetradimensional compatible con las tecnologías de posicionamiento satelitario y que considera su
evolución a través del tiempo. Su materialización posee cerca de una veintena de estaciones
pertenecientes a la red ITRF lo que concluye en la compatibilidad del sistema con el marco ITRF
2000. La red geodésica nacional la constituyen alrededor de 400 vértices calculados en campañas
desarrolladas en 1995, en el año 2000 y en el 2003. Algunos de estos vértices son coincidentes
con las redes geodésicas clásicas, lo que posibilita la obtención de parámetros de transformación
entre sistemas de referencia clásicos y modernos.
61
Actualmente, el Instituto Geográfico Militar y diversas entidades públicas y privadas
usuarias de cartografía se encuentran en etapa de transición hacia la completa utilización de este
referencial Geodésico. Sin embargo, aun se observan ciertos impedimentos técnicos que
mantienen a nuestro país relegado a los últimos lugares de la implementación de este sistema
geodésico en el continente.
62
CAPITULO 4
PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS
Una proyección cartográfica es la correspondencia matemática biunívoca entre los puntos
localizados en la superficie de una esfera, elipsoide u otro cuerpo geométrico de referencia y sus
transformados en un plano de proyección. Sin embargo, antes de asumir esta definición como
cierta, habrá que tener claro en una primera instancia, que una proyección cartográfica siempre
introducirá algún tipo de distorsión o deformación en cuanto a las longitudes, áreas, ángulos o
acimutes que se puedan determinar por medio de ella. Debido a esto, la elección de la proyección
mediante la cual se representará la superficie de la Tierra debe realizarse priorizando la o las
característica geométricas que se deseen mantener para el proyecto en cuestión evitando con esto
perjudicar la exactitud con que una proyección cartográfica puede representar el terreno.
4.1. CÁLCULO DIFERENCIAL DE ELEMENTOS SOBRE EL ELIPSOIDE
Considérese un cuadrilátero ABCD formado por dos paralelos y dos meridianos
infinitesimalmente separados (Figura Nº12). El arco de meridiano AB y el arco de paralelo AD se
representan respectivamente por:
AB = M dφ ; AD = N cos φ dλ
63
Figura Nº 12 Cuadrilátero geodésico diferencial
Sobre él se pueden definir los siguientes elementos
4.1.1. Elemento lineal (dl)
La diagonal AC se describe según
( )2222 · λφ ∂+∂== rMdlAC
4.1.2. Elemento angular (θ)
El ángulo θ formado por AC y AD está implícito en
tgθ = Mdφ / rdλ
4.1.3. Elemento superficial (dS)
El área del cuadrilátero infinitesimal ABCD está representada por la función
λφφλφ ∂∂=∂∂= ··cos···· NMrMDS
dλ
dφ
A
B C
θ D
64
4.2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE ELEMENTOS SOBRE EL PLANO
El estudio de las deformaciones producidas en la representación plana de la superficie
terrestre requiere de ciertas conceptualizaciones que permitan cuantificar las magnitudes
deformadas para conocer así los valores reales que los elementos proyectados tienen respecto de
su geometría.
Considérese primeramente un cuadrilátero A1, B1, C1 y D1 sobre un plano rectangular
cuyos ejes X e Y son coincidentes con un meridiano y paralelo cualquiera (Figura Nº13). Las
deformaciones producidas en la proyección, pueden ser estudiadas usando las funciones
( )AAA fX φλ ,1
= e ( )AAA gY φλ ,1
=
Siendo “f” y “g” las funciones de paso que dependerán de la proyección utilizada.
Figura Nº13
dy
dxA1
B1
C1
D1
dl1
θ1
X
Y
65
4.2.1. Elemento lineal (dl1)
Las coordenadas del punto C1 con respecto a A1 serán
C1 XA1 + dx
YA1 + dy
Donde:
22111 dydxdlCA +==
Para expresar los elementos “x” e “y” en relación con “φ” y “λ” se diferencia la
expresión antes expuesta, resultando:
φδφδλ
δλδ dxdxdx +=
φδφδλ
δλδ dydydy +=
Luego, sustituyendo las expresiones anteriores para formar así el elemento lineal, se obtiene:
λφδλδ
δφδ
δλδ
δφδλ
δλδ
δλδφ
δφδ
δφδ ddyyxxdyxdyxdl ·22
222
22
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Los elementos entre corchetes corresponden a las Cantidades Gaussianas Fundamentales “E”,
“G” y “F” respectivamente.
66
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
δφδ
δφδ yxE
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
δλδ
δλδ yxG
δλδ
δφδ
δλδ
δφδ yyxxF +=
y corresponden a expresiones diferenciales que expresan la razón de cambio de
coordenadas rectangulares respecto a las componentes de las coordenadas geodésicas (φ,λ) y que
permiten describir sus deformaciones. Siendo:
E = Elemento diferencial sobre el meridiano
G = Elemento diferencial sobre el paralelo
F = Elemento diferencial en función de la latitud y la longitud
Luego, la diagonal A1 C1 queda expresada como:
λφλφ dFdGdEddl 2221 ++=
Sabiendo que para dos puntos sobre un mismo meridiano dλ = 0 y que para dos puntos
sobre un mismo paralelo dφ = 0, Luego
Distancia sobre el meridiano 2φEd=
Distancia sobre el paralelo 2λGd=
67
4.2.2. Elemento angular (θ1)
El acimut formado por A1C1 con el eje X corresponde a (Figura Nº13):
dxdytg =1θ
o también:
221
1dydx
dydldysen
+==θ
Debido a las deformaciones producidas, el lado A1D1 no forma un ángulo recto con el eje
Y, (Figura Nº14) luego es posible calcular el ángulo formado entre A1 D1 y A1 D’1 (donde D’1
es el homologo de D1 sobre el elipsoide) mediante:
11
11
''
1
1 DADD
tg DA =θ
Figura Nº14
A1
D1
D'1
dl1
θX
Y
68
Como A1 y D1 poseen la misma latitud y D1 es función de la variación de la longitud de A1,
entonces, D1D’1 es la variación en “y” al variar la longitud, por ende:
λδλδ dyDD =11 '
Análogamente se obtiene:
λδδ dyxDA =11 '
Sustituyendo, se obtiene:
δλδ
δλδθ xytg D
A :11 =
o
pp
DA dldy
dlDD
sen 11
1111 :
'λ
δλδθ == siendo 111 DAdl p =
Operando, se obtiene
G
ysen DA
111 δλ
δθ =
De similar forma se obtiene el ángulo formado entre A1B1 con el eje X (Figura Nº15)
δφδ
δφδφ
δφδφ
δφδθ xydxdytg B
A == :11
en función del seno:
Eydldysen MB
A1: 1
11 δφ
δφδφδθ ==
69
Figura Nº15
4.2.3. Elemento superficial (dS1)
Considerando las características lineales y angulares recién mencionadas, puede
describirse la superficie formada por A1 B1 C1 D1 mediante
)(* 22
1111111
DA
BAsenDABAdS θθ −=
Desarrollando sen(a – b) y sustituyendo por las cantidades Gaussianas fundamentales, se obtiene:
λφδλδ
δφδ
δλδ
δφδ ddGE
Gy
Ex
Gx
EydS ***1111
1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
Operando se obtiene:
δλφδλδ
δφδ
δλδ
δφδ *1 dyxxydS ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
Una vez definidas y explicadas las deformaciones existentes en un cuadrilátero
infinitesimal sobre el elipsoide, se está en condiciones de abordar las deformaciones que sufren
A1
B1 B'1
X
Y
dl1
θ
70
los elementos representados en cartografía y determinar así, las características fundamentales de
las proyecciones cartográficas.
4.3. MÓDULOS DE DEFORMACIÓN
Relación existente entre los elementos diferenciales calculados en el elipsoide y sus
imágenes en el plano, mediante las cuales es posible determinar las condiciones que deben
cumplir cada proyección para mantener sus características en cuanto a la preservación de
ángulos, distancias y superficies.
4.3.1. Modulo de deformación lineal
Corresponde a la relación entre una unidad diferencial calculada en el plano y su
homólogo en el elipsoide. De esta manera se puede expresar
dldl
L 1=
Si este valor “L” es igual a la unidad se tratará de una proyección automecoica o
equidistante en la que evidentemente no existirá diferencia en una distancia medida en el plano y
su correspondiente en el elipsoide.
71
4.3.2. Modulo de deformación angular
El ángulo que forman dos elementos lineales diferenciales en el elipsoide difiere del
ángulo que formaran sus imágenes en el plano debido a deformaciones que serán analizadas con
posterioridad. Esta diferencia de ángulos se conoce como “Modulo de deformación angular” y se
puede expresar como:
θθ −= 1A
Aquellas proyecciones en que se verifica que A = 0 se denominan proyecciones
conformes.
4.3.3. Modulo de deformación superficial
La razón entre la superficie de un cuadrilátero diferencial calculado sobre el elipsoide y su
imagen en el plano se denomina “Modulo de deformación superficial” y se expresa según:
dSdS
S 1=
Cuando S = 1 se trata de una proyección Equivalente
72
4.4. ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT
Para comprender las deformaciones que afectan, la representación plana de un área
urbana, habrá que considerar que en su extensión existirán infinitos valores de deformaciones
diferente entre si, los que habrán de ser racionalizados para determinar los valores máximos y
mínimos de estas deformaciones y la orientación de esta deformación para el área a estudiar.
Para solucionar esto, se recurre a la utilización de un concepto diferencial que representa
las características de la deformación asociada a un punto cualquiera, y que permite por repetición
a lo largo del área de estudio, la correcta caracterización de este.
Si tangente al centro de un circulo diferencial localizado sobre un elipsoide de revolución,
se sitúa un plano en el cual proyectar el circulo diferencial, la porción infinitesimal de meridiano
y de paralelo que antes fuesen rectas perpendiculares entre sí, ahora serán trazos que, habiendo
perdido su perpendicularidad, delata que un circulo trazado sobre un elipsoide se proyecta sobre
un plano como una elipse la que se denomina “Indicatriz de Tissot”.
El principio fundamental de esta indicatriz señala que para todo punto en la superficie de
un elipsoide, existen dos “direcciones principales” o perpendiculares entre sí, tales que en sus
imágenes también lo son. El estudio de las propiedades de esta elipse se basa en conocer la
orientación y la longitud de los trazos conformantes de las direcciones, para determinar así, las
deformaciones inherentes a un sistema proyectivo. Para esto se recurre a los teoremas de
73
Apolonio, que determinan los semiejes a y b de esta elipse indicatriz por medio de los trazos dsm
y dsp (proyecciones de dφ y dλ en el plano).
4.4.1. Cálculo de semiejes según teorema de Apolonio
Los semiejes “a” y “b” de la indicatriz corresponden a las direcciones principales
formadas en el elipsoide, es decir, corresponden a aquellos arcos diferenciales que habiendo
sufrido rotación durante la transformación, mantienen su perpendicularidad. Ahora, llamando “h”
al modulo de deformación lineal sobre el meridiano y “k” al modulo de deformación lineal sobre
el paralelo, se obtiene
221
··
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
==φφρφρ
φ yxddE
h
22
·cos1
··cos·
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
==λλφλφ
λ yxNdN
dGh
El teorema de Apolonio relaciona dos semidiámetros conjugados “m1” y “m2” con ángulo “A1”
formado entre ellos (Figura Nº16) con los semiejes a y b mediante
2222
21 bamm +=+ y basenAmm ··· 121 =
74
O
b
a
A1
m2m1
Figura Nº16 Determinación de Semiejes Según Teorema de Apolonio
Al aplicar el teorema de Apolonio a la elipse indicatriz se observará una diferencia en el
ángulo A1 con respecto a su proyección. Esta diferencia puede denotarse como “I” y
evidentemente será nula para las direcciones principales.
Considerando que los diferenciales de meridiano y paralelo sobre el elipsoide “dlm” y
“dlp” son unitarios y a su vez radios del circulo infinitesimal en dicho elipsoide, se puede
expresar:
h=dlm’ y k=dlp’
donde dlm’ y dlp’ corresponden a la proyección en el plano de los diferenciales de
meridiano y paralelo “dlm” y “dlp” respectivamente.
Aplicando los teoremas de Apolonio a estas direcciones principales, se obtiene:
2222 bakh +=+
y
baIkh ··cos· =
75
de esta manera puede deducirse la deformación de escala en un punto dado que tendrá como
máximo y mínimo a las direcciones principales “a” y “b” de la indicatriz.
La indicatriz de Tissot permite también derivar un estudio de las deformaciones angulares
que sufre un determinado punto al ser proyectado en un plano. Tal como se vio anteriormente, el
modulo de deformación angular es (θ1 – θ) para el caso de las direcciones principales y de
particularmente las proyecciones conformes esta deformación es nula, sin embargo, se representa
en función de “a” y “b” como
)·()()( 21
θθθθ
tgbatgabtg
+
−=−
En tanto la alteración superficial en función de las direcciones principales de la elipse
indicatriz corresponde a
badr
drbaS ··
···2
2
==π
π
Así, teniendo las expresiones
2222 khba +=+ y Sba 2··2 =
se puede determinar los valores “a” y “b” del la elipse indicatriz a partir de las coordenadas
geodésicas de un punto y sus transformadas en el plano, de manera que ambos valores serán los
valores extremos de las deformaciones.
Sumando y restando las expresiones anteriores y formando productos notables se obtiene:
Skhba 2)( 222 ++=+
y
76
Skhba 2)( 222 −+=−
donde reemplazando convenientemente S por el modulo de deformación superficial se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=+λφλφλλφφyxxy
rMyx
ryx
Mba
·211)(
22
2
22
22
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=−λφλφλλφφyxxy
rMyx
ryx
Mba
·211)(
22
2
22
22
luego ordenando y operando se obtienen las expresiones finales
222
·cos11
·cos11)( ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∂+
∂∂
=+λφφρλφφρy
Nx
dx
Nyba
222
·cos11
·cos11)( ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
−∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∂+
∂∂
=−λφφρλφφρx
Ny
dy
Nxba
4.5. CLASIFICACIÓN DE PROYECCIONES
4.5.1. Según método de construcción
4.5.1.1. Geométricas: se basan en los principios de la geometría plana y espacial que
determinan la posición de un punto en la superficie proyectada con respecto a un
punto de origen.
77
i. Perspectivas: Se originan a partir del trazado de rayos con origen en un “foco” que
proyectan la red de paralelos y meridianos sobre un plano tangente a la superficie
de referencia (Figura Nº17).
i.i. Ortográfica: Aquella en la cual los rayos yacen ortogonal al plano de
proyección. Por lo tanto se asume el foco a una distancia infinita del plano de
proyección.
i.ii. Estereográfica: El foco de esta proyección esta diametralmente opuesto al
punto de tangencia de la superficie de referencia con el plano de proyección.
i.iii. Gnomónica: Aquella en la cual el foco se localiza en el centro de la
superficie de referencia.
Foco Foco
Foco
Figura 17 Clasificación de proyecciones perspectivas
ii. Seudoperspectivas: En este tipo de proyecciones, se recurre a algún artificio
para obtener una característica especial de la proyección. Por ejemplo, aquellas
proyecciones perspectivas en que el foco se sitúa en el punto diametralmente
opuesto de cada elemento a proyectar
78
4.5.1.2. Analíticas: pierden el sentido geométrico en beneficio de la mantención de algunas
propiedades especiales.
4.5.1.3. Convencionales: a diferencia de las analíticas, estas se basan en convenciones
arbitrarias en función de las cuales determinan sus expresiones matemáticas
4.5.2. Según superficie de proyección utilizada
Se refiere a si la superficie en la cual se proyectan las coordenadas corresponde a un plano
o a una superficie desarrollable. Se pueden subdividir en:
4.5.2.1. Planas o azimutales: se considera el plano de proyección como tangente o secante al
Datum de referencia. Comúnmente son llamadas azimutales ya que mantienen el
azimut para los puntos coincidentes con el lugar de tangencia.
4.5.2.2. Desarrollables: parten de una superficie geométrica desarrollable que “envuelve” a la
figura de referencia, como es el caso de un cilindro, un cono (o muchos conos
sucesivos como el caso de la proyección policónica) o un poliedro para luego
extenderlo formando un plano final de proyección.
La Figura Nº18 representa las diversas situaciones de la superficie de proyección
utilizada.
79
PLANA CONICA POLIEDRICACILINDRICA
Figura Nº18 Superficies de proyección utilizadas
4.5.3. Según situación de la superficie de proyección
Esta clasificación se realiza en función de la posición espacial de la superficie de proyección
para el caso de las proyecciones planas o desarrollables. Las planas se clasifican en:
4.5.3.1. Polares: Centro de proyección en el polo y eje de rotación perpendicular al plano de
proyección.
4.5.3.2. Ecuatoriales: Centro de proyección coincidente con el ecuador y eje de rotación
paralelo al plano de proyección.
4.5.3.3. Oblicuas: Centro de proyección en un lugar distinto al polo y el ecuador, es decir el
eje de rotación permanece inclinado con relación al plano de proyección
Mientras que las proyecciones desarrollables se clasifican en:
4.5.3.4. Normal: Eje del cono coincidente con el eje de rotación
4.5.3.5. Ecuatorial: Eje del cilindro coincidente con el eje de rotación
80
4.5.3.6. Transversa: Eje del cono perpendicular al eje de rotación
4.5.3.7. Transversa o meridiana: Eje del cilindro perpendicular al eje de rotación
4.5.3.8. Oblicuas: Eje del cono o cilindro inclinado en relación al eje de rotación
La figura Nº19 representa las distintas proyecciones en función de la Situación de la superficie de
proyección
Figura Nº19 Clasificación de proyecciones según su superficie de proyección
81
4.5.4. Según las propiedades que conservan:
Las proyecciones cartográficas pueden clasificarse en función de alguna propiedad
especial que mantengan.
4.5.4.1. Equidistantes: Son aquellas que cumplen con manifestar nulas deformaciones lineales
manteniendo constante la relación entre una magnitud lineal medida en la proyección,
la magnitud lineal en la superficie de referencia. Posee un modulo de deformación
lineal “L” unitario y las elipses indicatrices de Tissot, poseen un semieje de magnitud
unitaria orientado sobre la línea de equidistancia .
La condición de equidistancia es válida para ciertas líneas en la proyección. Según el
sentido de ellas puede subclasificarse en:
i. Equidistante meridiana: la equidistancia se mantiene en el sentido de los
meridianos.
ii. Equidistante transversa: la equidistancia se mantiene en el sentido de los
paralelos.
iii. Equidistante azimutal u ortodrómica: la equidistancia se mantiene en la
dirección de los círculos máximos que pasan por el centro de proyección.
4.5.4.2. Equivalentes: Se conserva una relación constante entre las áreas de los elementos
representados y la superficie de referencia. El módulo de deformación superficial “S”
es unitario y las elipses indicatrices de Tissot trazadas, conservaran las áreas en
desmedro de la excentricidad de ellas.
82
4.5.4.3. Proyecciones conformes: Son aquellas que mantienen como ángulos rectos las
intersecciones de meridianos y paralelos. De esta manera, son conservadas las formas
de un elemento en condiciones restringidas de extensión. De particular interés para la
geodesia y cartografía, debido a la posibilidad que ofrece, de realizar con relativa
sencillez, precisas transformaciones angulares que permitan relacionar el plano de
proyección con la superficie elipsoidal. En ellas, las elipses indicatrices de Tissot se
proyectan como circunferencias de radios variables
4.5.4.4. Proyecciones afilácticas: no mantienen ángulos, ni áreas, ni escalas lineales, sin
embargo, mantienen alguna otra propiedad importante de destacar y que justifica su
construcción, por ejemplo, la proyección gnomónica, que no mantiene ninguna de las
características anteriormente señaladas, pero que justifica su construcción en el hecho
que las loxodrómicas se proyectan como líneas rectas, facilitando así la navegación
apoyada en cartografía. En estas proyecciones, el comportamiento de las indicatrices
de Tissot dependerá de la característica principal de la proyección.
83
4.6. PROYECCIONES CONFORMES
Una proyección conforme, es aquella en la cual se mantienen los ángulos entre el plano de
proyección y en el Elipsoide de Referencia. Para que una proyección sea conforme, se requiere
que sus paralelos y meridianos se intercepten en ángulo recto y que se mantenga la escala en
todas las direcciones alrededor del punto. Sabiendo que la deformación angular “A” será 0 en un
punto cualquiera ya que los ángulos en el plano y en el terreno serán iguales. Se obtiene entonces
A = ángulo en el plano – ángulo en el Datum horizontal = 0
Se asume esta condición para porciones pequeñas de terreno o mientras la exactitud
esperada lo permita.
4.6.1. Uso de proyecciones conformes
Para la representación de un área pequeña, el uso de un plano topográfico puede ser
suficiente ya que el error generado a partir de la no consideración de la esfericidad terrestre puede
diluirse en la precisión de los métodos de captura de la información. En el contexto del desarrollo
urbano, ante la falta de planificación en el crecimiento de las ciudades, la utilización de un plano
topográfico como referencial para la representación de una ciudad, puede provocar una gran
acumulación de errores y discrepancias internas, las que pueden perjudicar la representación de la
ciudad. En este sentido, la única alternativa satisfactoria para la correcta representación de un
área urbana es la utilización de una proyección cartográfica.
84
Como se señaló anteriormente las proyecciones cartográficas se pueden clasificar en
función de la propiedad que mantengan. En este sentido, debe destacarse que la representación de
áreas urbanas debe realizarse usando una proyección conforme ya que sus características
especiales permiten representar sin errores las formas de pequeños predios dentro de una carta,
hecho de gran importancia en la planificación territorial que involucra el loteo de terrenos de
pequeña extensión. Por otra parte, una proyección conforme satisface los requerimientos
generales de los trabajos geodésicos ya que corresponde a una función matemática repetible y
estudiable, representa correctamente los ángulos, hace posible la corrección en términos de
deformación lineal sin mayor problema y considera al elipsoide de revolución como superficie de
referencia. Así, una proyección conforme, se transforma al mismo tiempo en una herramienta de
representación cartográfica y en un instrumento matemático para cálculos geodésicos
4.6.2. Condiciones de Conformidad
Para que una proyección cartográfica sea conforme, se requiere que los incrementos
diferenciales de arcos de meridiano sean iguales a los de paralelos, es decir, que la indicatriz de
Tissot resultante posea valores a = b. Esto significa que para cada punto considerado, existirá
una única escala valida para todas las direcciones, pero distinta de un punto a otro, lo que
evidentemente señala la conformidad de la proyección.
85
Para cumplir con esto, se utilizan coordenadas intermedias llamadas “isométricas”, las que
permiten que Mδφ = rδλ. La longitud isométrica (λ) es correspondiente con la longitud geodésica
mientras que la latitud isométrica (q) se define según
∫ ∫ ∂=q
NMdq
0 0·sec
φφφ
como
2/322
2
)1()1(
φseneeaM
−
−= y
)1( 22 φsene
aN−
=
se tiene que
∫ +−
+−φφ
φφφφφφ
0 2222
222
)(coscos)1())(cos1( dsensene
sene
separando, se obtiene
∫∫ −−
φφ
φφφ
φφ
0 222
0 )1(cos
cos seneded
la primera integral se resuelve
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∫ 24
tanlncos0
φπφ
φφ d
resolviendo la segunda integral por sustitución y combinando ambos resultados se obtiene
finalmente
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
2
·1·1
24tanln
e
seneseneq
φφφπ
86
Ya que como se indicó en un principio, en las proyecciones conformes las alteraciones
angulares son nulas, la indicatriz de Tissot es un circulo se puede decir que:
rG
MEkhba =====
Lo que señala que puede deducirse la condición de conformidad igualando las cantidades
Gaussianas E = G en función de la latitud isométrica, es decir:
qyx
δδ
δλδ
= δλδ
δδ yqx
−=
Sabiendo que:
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
δφδ
δφδ yxE ;
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
δλδ
δλδ yxG y
δλδ
δφδ
δλδ
δφδ yyxxF +=
se hace
0=+=δλδ
δφδ
δλδ
δφδ yyxxF
despejando se obtiene:
qy
xqx
y
∂∂
∂∂
∂∂
−=
∂∂ λλ
tomando esta expresión y sustituyéndola en
2222
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛δλδ
δλδ
δδ
δδ yx
qy
qx
se obtiene luego de ordenar los miembros
87
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
2
2
22
qy
qx
qy
x
qy
qx
δδ
δδ
δδ
δλδ
δδ
δδ
como por definición
12
2
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
qy
x
δδ
δλδ
se obtiene
qyx
δδ
δλδ
±=
tomando la raíz positiva y sustituyéndola en
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛22
2
2
22
qy
qx
qy
x
qy
qx
δδ
δδ
δδ
δλδ
δδ
δδ
se obtiene finalmente:
δλδ
δδ yqx
−=
Finalmente, las “ecuaciones de Cauchy-Rieman” reveladoras de la condición de conformidad
son:
qyx
δδ
δλδ
= δλδ
δδ yqx
−=
88
CAPITULO 5
PROYECCIONES TRANSVERSALES DE MERCATOR
5.1. GENERALIDADES
Esta proyección fue concebida inicialmente por el científico Alemán Johann Heinrich
Lambert en 1772, pero su desarrollo analítico se adjudica a Carl Friederich Gauss. Es
rigurosamente conforme, por lo que los meridianos y paralelos se interceptan en ángulo recto
manteniendo así las formas de los elementos representados.
Una forma didáctica de graficarlo es mediante la utilización de un cilindro transverso al
eje de rotación y que envuelve al elipsoide terrestre (Figura Nº20). Para cubrir todo el elipsoide
se utilizan numerosos cilindros transversos lo que deriva en que cada cilindro tiene un campo
especifico de acción llamado “huso”, el que está definido por un meridiano central al cual
pertenece y por un ancho de huso expresado en grados de desarrollo longitudinal, en estricto
rigor, se trata entonces de un sistema de proyecciones que cubre el elipsoide y que dada la
posición de cada cilindro, se hace recomendable para territorios donde predomine la extensión
Norte-Sur (como es el caso particular de Chile) ya que como se demostrará a continuación, las
distorsiones en sentido Este-Oeste son mayores que en sentido Norte-Sur. Como todos los husos
89
del sistema de proyección tienen igual ancho, analíticamente todos se definen de igual manera.
Así, las funciones matemáticas para efectuar todo tipo de cálculos son idénticas en cada huso.
Por definición este sistema proyectivo tiene un campo de escala definido por un error
máximo, esto significa que los límites del huso estarán dados mientras el error asociado no
exceda cierta norma.
El meridiano central de cada huso, posee la particularidad de ser el único representado por
una línea recta y poseer igual valor de escala en todo su largo y los valores X de la proyección
tienen como origen dicho meridiano.
Figura Nº202
Alrededor del mundo, son numerosos los ejemplos de la utilización de proyecciones TM
con diferentes parámetros que los países del mundo han adoptado para normar la representación
de su territorio siendo las mas utilizadas “Universal Transversal de Mercator”, “Gauss-Kruger”,
2 Fuente http://www.igm.cl/Proyeccion_utm.html
90
“Local Transversal de Mercator” “Modificada Transversa de Mercator” todas estas, desarrolladas
durante el presente capítulo.
5.2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Si se considera que el mapeo conforme desde un plano complejo (λ, iq) en otro plano
complejo (x, iy) queda sujeto a la función
x + iy = f (λ +/- iq)
se observará que para deducir la función de traspaso desde ambos planos complejos, habrá que
determinar f(λ +/- iq) según las condiciones iniciales requeridas por la proyección deseada e
igualar posteriormente las partes real e imaginaria para obtener así las coordenadas reales de
mapeo x = x(λ, q) e y = y(λ, q).
5.2.1. Conversión de coordenadas geodésicas a rectangulares
La primera condición que debe satisfacer la función de mapeo conforme para el caso de la
proyección TM es la nula deformación en el meridiano central. Es decir, cuando λ = 0 debe
cumplirse x = 0, quedando la función analítica de la forma
φiSiqfiy == )(
recordando que:
91
∫=φ
φ φ0
MdS
y que
∫ ∫==φ φ
φφ
φφ0 0 ·cos
·sec dN
MdNMq
donde
φφ
·cosNMddq =
y
dqNdM ··cos· φφ =
se puede expresar entonces
)(··cos0
qfdqNS == ∫φ
φ φ
lo que permite calcular coordenadas que se encuentren únicamente sobre el meridiano central.
Ahora bien, para generalizar esta solución a puntos que se encuentren fuera del meridiano central,
donde el valor de la abscisa no será cero y el valor de la ordenada será diferente al del arco de
meridiano del punto considerado. Se expande la función x + iy = f (λ + iq) en torno al punto
z = iq según serie de Taylor quedando
...)('''!3
)(''!2
)(')()(32
++++=+=+ iqfiqfiqfiqfiqfiyx λλλλ
considerando la expresión
)()( qifiSiqf == φ y diferenciando respecto a “z”, se obtiene
[ ])()( qifdzdiqf
dzd
= o [ ]dzdqqif
dqdiqf )()(' =
92
como idqdz
= , )(')(' qifiqf = ; )('1 qfi
= , donde )()(' iqfdzdiqf ≡ y finalmente )()(' qf
dqdqf ≡
las derivadas de orden superior continúan:
)('')('' qifiqf −=
)(''')(''' qfiqf −=
)()( qifiqf iviv = etc.
Reemplazando estos valores se obtiene:
...!4
)('''!3
)(''!2
)(')(432
++−−+=+ ivifqfqifqfqifiyx λλλλ
igualando las partes real e imaginaria, se obtiene
...)(!4
)(''!2
)(42
++−= qifqifqifiy ivλλ
...)(!4
)(''!2
)(42
++−= qfqfqfy ivλλ
también
)(!5
)('''!3
)('53
qfqfqfx vλλλ +−=
donde las derivadas son:
φ·cos)(' Nqf =
φφφφφ
22
·cos)('' senNdqdsenN
ddNqf −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
(las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952)
93
reemplazando las derivadas en las funciones anteriores y operando, se obtiene:
[ ] [ ] ...24464135814185120cos1
6coscos 62642422242
5522
33+−+−+−++−++−+= ηηηηηηφληφλφλ tttttt
Nx
[ ]422342
49524
·cos2
·cos ηηφφλφφλφ ++−++= tsensenNS
Ny
con t = tgφ ; η2 = e’2 cos2 φ y λ corresponde a la diferencia de longitud en radianes con
respecto al meridiano central.
las expresiones anteriormente desarrolladas pueden continuarse hasta sucesivos términos
logrando así una exactitud mayor en la transformación. No obstante el tercer término asegura una
exactitud suficiente para la mayoría de los trabajos geodésicos.
Los ejes de este sistema de coordenadas estarán dados por la transformada del meridiano
central del huso para las ordenadas y la transformada del ecuador para las abscisas. Es decir 0º de
latitud geodésica y λ0 de longitud geodésica. De lo anteriormente expuesto, se deduce que a
cualquier punto con un incremento de longitud geodésica negativa con respecto al meridiano
central le corresponderá un valor negativo de X y que cualquier punto al sur del ecuador poseerá
una coordenada Y también negativa.
5.2.2. Conversión de coordenadas rectangulares a geodésicas
Partiendo de la función general de mapeo conforme (x + iy) = f1(λ + iφ) se puede abordar
la transformación inversa desde la función (λ + iφ) = f2(x + iy). Expandiendo dicha función a
cualquier punto (z) sobre el plano con coordenadas X0, Y0 se tiene:
)()( 00 qiiqiq Δ+Δ++=+ λλλ
94
...)(!2
)(''))((')( 2002002002 +Δ+Δ
++Δ+Δ+++=+ yixiyxfyixiyxfiyxfiqλ
...)(!2)(
''))((')( 202022 +Δ+Δ+=+ z
zfzzfzfiqλ
luego, seleccionando un punto sobre el meridiano central para ser evaluado con la serie
anteriormente expuesta se tiene
para λΔ=Δ=
=yxx
x;
00
y para 0;0
0
=Δ=Δ=
qyyy
Considerando estos argumentos e incorporándolos en la expresión anterior se obtiene:
...!2)('')(')( 2
222 +++=+ xiyfxiyfiyfiφλ
obsérvese que
)(
0
2 iyfiqyx
=
=
El concepto asociado a la expresión anterior, puede describirse mediante la Figura Nº21
donde se recurre a una latitud φ1 denominada latitud base, que corresponde a la proyección recta
del paralelo en el meridiano central tal y como explica la figura. La latitud base isométrica
corresponderá a q1 y se puede escribir
)(21 iyfiq =
95
ySφ
φ
φi Paralelo del punto
Paralelo que pasa por yMer
idia
no C
entra
l
Figura Nº21 Latitud Isométrica
ahora, evaluando f2(iy) y sus derivadas se obtiene:
)()()(
)()(
)(' 22 iyd
dSdSdqi
iydiqd
iydiydf
iyf q
q===
donde φiSiy =
y 11 qiSiSiy == φ
entonces operando, la derivada será
')('2 qiyf =
luego
vv
iviv
qiyf
iqiyf
qiyfiqiyf
=
=
−=−=
)(
)(
''')(''''')(''
2
2
2
2
ahora expresando la función de mapeo mediante la latitud base φ1 se obtiene:
96
...!5!4!3!2
511312111 +++−−+=+ x
qiqx
qx
iqxqiqiq
viviiiiiiλ
luego, separando las partes reales e imaginarias:
...!4!2
...!5!3
42
1
1
5
1
3
1
++−=
++−=
ivii
viiii
qxqxqq
qxqxxqλ
reemplazando las derivadas complejas por las reales se obtiene
)21(cos1cos1
cos1
223
2
ηφ
φ
φ
++=
=
=
tN
q
Nq
Nq
iii
ii
i
(las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952)
Finalmente, ordenando los términos se obtiene:
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−
−++++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
61
21
41
21
61
41
21
21
21
41
21
5
1
21
21
3
111
24443
8624285120
12161sec
ηηηη
ηηηφλ
tt
tttNxt
Nx
Nx
( ) ( ) ( )21
21
41
21
21
4
1
21
12
1
21
11 94351
241
2tt
Nxt
Nxt
ηηηηηφφ −−++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
con las definiciones de “t” y “η” iguales que en la transformación anterior.
La latitud base φ1 se puede obtener mediante el método iterativo “Newton-Rapson” que
utiliza la razón entre la función que representa el arco de meridiano que subtiende la latitud base
97
y su primera derivada iterativamente partiendo de un valor inicial arbitrario hasta que las
iteraciones arrojen un error menor a la tolerancia aceptada. La forma general de este método es
)(')(
11 φφφφ
ff
n −= −
como primer paso en la determinación de la latitud base debe escogerse un valor inicial
para el proceso iterativo (φτ). Ya que la latitud base es función del arco de meridiano central del
huso. Se considera la expresión
ay
=τφ como suficiente para una primera aproximación.
Como el valor φ1 es correspondiente con la magnitud del arco de meridiano entre el punto
φ1 y el ecuador entonces
yf =)(φ
recordando el capitulo III se puede escribir
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−−== − ...)8(
8)6(
6)4(
4)2(
2)1()( 2
)0( τττττφτ φφφφφφτ
senEsenDsenCsenBAeaSf
entonces la primera derivada se escribe
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+−−= ...)8(cos
8)6(cos
6)4(cos
4)2(cos
2)1()(' 2
τττττ φφφφφ EDCBAeaf
el procedimiento debe repetirse hasta que el valor de la coordenada φn-φn-1 < ε donde
ε = 10−12 . aproximadamente 2·10-7 segundos de arco. Esto asegura una precisión compatible con
cualquier proceso geodésico.
98
5.3. CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
Como sobre el elipsoide el azimut esta referido al norte geodésico, y en el plano
cartográfico las meridianos se presentan como línea cóncavas hacia el meridiano central, se
observarán diferencias angulares entre el meridiano que pasa por el punto y la línea recta del eje
“y”. A esta diferencia angular se le conoce como convergencia de los meridianos y será nula para
el meridiano central, ya que solamente este meridiano tiene la particularidad de proyectarse como
una línea recta, la que evidentemente será coincidente con el eje “y” del punto en cuestión.
Analíticamente, la convergencia de meridianos puede definirse como el ángulo formado
entre la tangente al meridiano en el punto y el eje Y que pasa por el mismo punto. O también
como el ángulo formado entre la tangente al paralelo en el punto y el eje X que pasa por el mismo
punto. como se observa en la Figura Nº22.
dx
dy
x
y
Paralelo
Meridiano
γ
φ
φ1
Sφ
OEcuador
Mer
idia
no C
entra
l
γ
Figura Nº22 Convergencia de Meridianos
99
Diferencialmente puede expresarse como:
xy
x
y
tg∂∂
=
∂∂∂∂
=
λ
λγ
y su desarrollo puede expresarse en función de coordenadas geodésicas como:
( ) ( ) ...2cos15
231cos3
245
4223
+−Δ
++−Δ
+Δ= φφφληηφφλφλγ tgsensensen
y en función de sus coordenadas planas
( ) ( ) ...'3'52''15
'2''1''3
''
425
5422
3
3++++−−+−= φφφηηφφφγ tgygtg
Nxtgtg
Nxtg
Nx
5.4. DIFERENCIA ARCO-CUERDA (ψ)
Se entiende como la diferencia entre el azimut geodésico proyectado “T” ( obtenido a
partir del azimut geodésico y la convergencia de meridianos) y el azimut plano “t” ( obtenido
directamente a partir de las coordenadas planas ). La diferencia de estos azimutes permite
relacionar las direcciones observadas o elipsoidales a direcciones de cuadricula o planas, y su
desarrollo puede observarse en la Figura Nº23.
100
NG NC
γ
A
t
T
ψ
ψ = Reducción Arco - Cuerda ( T - t )A = Azimut Geodésicot = Azimut PlanoT = Azimut Geodésico proyectadoγ = Convergencia de MeridianosNG = Norte GeodésicoNC = Norte Cartográfico1
2
. Figura Nº23 Diferencia Arco – Cuerda
)1·(··6
)·2)·(()( 2m
mm
BAABBA MN
xxyytT η++−
=−
)1·(··6
)·2)·(()( 2m
mm
ABABAB MN
xxyytT η++−
=−
Donde el subíndice “m” indica que la magnitud esta referida a la latitud media entre los
puntos “A” y “B”
101
5.5. FACTOR DE MAGNIFICACIÓN DE ESCALA
5.5.1. En función de coordenadas geodésicas
Como se expuso en el capitulo Nº4, la expresión general de la deformación de escala en
una proyección conforme es:
φ
λλ·cos
22
N
yx
k⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
ahora, usando la definición diferencial de la convergencia de meridianos:
2
2
2tan
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
λ
λγx
y
( )γλλλ
2222
tan1+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂ xyx
sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene:
φ
γλ
·cos
tan1 2
N
x
k+
∂∂
=
ya que el termino tanγ es muy pequeño, se puede desarrollar la raíz cuadrada en términos
de una serie, y posteriormente evaluando la derivada parcial, se obtiene:
)2448428131445(cos24
)1(cos2
1 624262242244
222
ηηηηηηφληφλ ttttk −−+−++−+++=
102
5.5.2. En función de coordenadas rectangulares
Tomando el recíproco de la función anteriormente utilizada. Es decir:
( )γ
λφ
2tan1
·cos1
+
∂∂
= xN
k
operando según la derivada parcial de la latitud isométrica, expresando la raíz cuadrada en
serie, y expandiendo N·cosφ en una serie de Taylor con punto de expansión en la latitud base φ
se obtiene:
4
1
61
21
41
21
61
41
21
2
1
21
2424244365
2111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
Nxtt
Nx
kηηηηηη
5.6. EL ARTIFICIO DE TISSOT
Como una forma de graficar las características de las proyecciones transversales de
Mercator, se suele hacer referencia a un cilindro cuyo eje es perpendicular al eje de rotación de la
Tierra, y que conforma el plano de proyección. Las diferentes posiciones relativas que tome este
cilindro en cuanto a su secancia o tangencia con respecto al elipsoide condicionaran el valor de la
deformación de escala que tendrá el cilindro en sus diferentes posiciones. Así, la proyección
Gauss-Krugger por ejemplo, supone un cilindro tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano,
en el cual se mantiene un factor de escala constante entre ambas figuras e igual a la unidad y que
aumenta de acuerdo a la distancia longitudinal que separe al punto en cuestión del meridiano de
103
tangencia hasta donde termine la faja o campo. Para otras proyecciones transversales (UTM,
LTM, etc) se considera a dicho cilindro secante, lo que geométricamente implica la generación de
dos líneas cóncavas hacia el meridiano central cuyo factor de escala es igual a 1, y que disminuye
hacia el meridiano central donde toma el valor nominal de la proyección (K0) y aumenta hacia el
borde del huso. Para conocer el comportamiento del factor de escala en esta condición de
secancia, se recurre al artificio de Tissot que implica lo siguiente.
El valor K0 correspondiente al valor nominal de escala, esto es, valido solamente para el
meridiano central de la proyección se deduce reduciendo a la mitad la deformación de los
extremos del huso. Por ejemplo:
En una proyección tangente, la deformación de escala en el borde del huso puede ser expresada
por:
(K’) = (1 + ε)
Entonces se puede hacer que
(K0) = (1 - ε/2)
lo que implica que en los extremos del huso, el factor de escala con el artificio de Tissot valdrá
(K) = K0 · (K’) = (1 - ε/2) · (1 + ε) = 1 + ε – ε/2 – ε2/2
ya que ε es un numero pequeño
(K) ≡ 1 + ε/2
por lo tanto, la deformación del borde de uso queda reducida a la mitad
104
5.7. PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR ( U T M )
5.7.1. Generalidades
La proyección UTM es obra del cuerpo de ingenieros del ejercito de Estados Unidos y fue
creada para homogenizar la representación cartográfica de países vinculados a los esfuerzos
militares de ese país.
Esta proyección, corresponde en rigor a una proyección TM a la que se le han impuesto
ciertos parámetros particulares. Es un sistema policilíndrico que abarca la totalidad del elipsoide
en sentido longitudinal y desde los 80ºS a los 84ºN en sentido latitudinal. Para controlar las
deformaciones producidas al alejarse del meridiano central, esta proyección está formada por 60
husos de 6º de ancho cada uno. El elipsoide asociado es el “Internacional de 1924”, y los Husos
se orientan desde los 180ºW aumentando hacia el Oeste, de tal manera que el meridiano de
Greenwich corresponde al borde o separación de los husos 30 y 31.
Como una forma de reducir las deformaciones producidas en los bordes de cada huso,
(lugar geométrico en que el plano de proyección está mas alejado del elipsoide) el meridiano
central no es equidistante (K0 = 0.9996), de manera que el cilindro que representa al plano
cartográfico es secante al elipsoide. Así, los factores de deformación de escala “K” tienen un
valor mínimo de k = 0.9996 en el meridiano central (1:2.500), nulo a lo largo de una línea
cóncava hacia el meridiano central que dista unos 180 Km de él (k = 1) y un valor máximo de k =
1.001 (1:1.000) en el borde del Huso.
105
El territorio nacional comprende los Husos 18 (MC = 75º W) y 19 (MC = 69º W) para
Chile Continental, el huso 17 para el archipiélago de Juan Fernández y el Huso 12 para la Isla de
Pascua.
5.7.2. Falso Este
Como una forma de evitar la existencia de coordenadas negativas dentro de un huso. Se
adoptó por convención el asignar un valor inicial al meridiano central que sea mayor que la
máxima diferencia en metros entre dicho meridiano y el borde de huso para la latitud 0º. Se optó
por el valor 500.000 metros, por lo que las coordenadas Este varían entre 166.000m y 834.000m
en el Ecuador y entre 443.000m y 557.000m aproximadamente para los límites latitudinales del
huso (80º)
5.7.3. Falso Norte
Dado que el origen latitudinal del sistema UTM se encuentra en el Ecuador. Se observa el
inconveniente de que todos los territorios del hemisferio sur tendrían coordenadas negativas,
como una forma de evitar la incomodidad inherente a trabajar con coordenadas negativas se
decidió asignar un valor de norte falso valido para el hemisferio, que sea superior a la máxima
distancia norte sur posible para la proyección. Así, se decidió asignar un valor de norte falso de
10.000.000m para el hemisferio sur y mantener el norte falso de 0m para el hemisferio norte.
106
5.7.4. Factor de Escala en el Meridiano Central
La proyección UTM confiere al meridiano central de cada huso un valor de escala menor
que la unidad y que se mantiene constante a través de este meridiano, esto con el fin de reducir
las deformaciones en los extremos del huso (como se vio en el apartado referente al artificio de
Tissot). El valor de este factor de escala se obtiene de reducir a la mitad la deformación asociada
a una proyección transversal de mercator en una latitud media de 40º en un huso de 6º, es decir
con un Δλ de 3º. Asi teniendo la función
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
Δ+= 22
2
0 1cos2
1 ηφλKK
Evaluada para φ = 40º y Δλ = 3º
K = 1.0008 ε = 0.0008
Entonces, reduciendo la deformación de los bordes a la mitad, se obtiene
e/2 = 0.0004
Finalmente, como la deformación en los bordes es 1 + ε/2 y la deformación en el
meridiano central es 1 – ε/2 se llega a
K’ mc = K0 = 0.9996
K’ (φ = 40º; Δλ = 3º) = 1.0004
De la definición dada anteriormente, se desprende que los valores de la deformación de
escala de un punto variarán desde 0.9996 en el MC hasta 1.000981069 (Figura Nº 24). entre estos
valores existe un punto de equidistancia tal que aunque no corresponde a un meridiano. Permite
comprender las variaciones en las deformaciones de escala como sigue:
107
• K = 0.9996, en el meridiano central
• 0.9996 < K < 1 entre las líneas de secancia
• K > 1, fuera de las líneas de secancia
Cilindro de Proyección
6º
K(max) = 1.00098K = 1
K0 = 0.9996
Figura Nº24 Variación del factor de deformación de escala para el meridiano central en latitud 0º
Al corresponder esta proyección a una versión particular de la proyección TM, los
algoritmos de transformación y el análisis matemático se realiza de la misma manera y solo se
debe considerar el factor de escala K0 (como se observa en la función de factor de escala).
Siendo:
Coordenada Norte UTM = 10.000.000 + 0.9996 · y
Coordenada Este UTM = 500.000 + 0.9996 · x
Correspondiendo los valores “x” e “y” a los desarrollados en el presente capítulo
108
5.8. PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR ( L T M )
La proyección LTM busca cubrir las necesidades cartográficas de proyección conforme de
alta precisión para proyectos de ingeniería. Al igual que la UTM corresponde a un sistema
cilíndrico transverso conforme secante, pero con parámetros particulares que la individualizan y
que permiten mediante la manipulación del ancho de huso y factor de escala, el incrementar la
exactitud en la representación de los elementos. Originalmente fue concebida como una
herramienta de apoyo a los proyectos de ingeniería donde debe representarse el terreno con gran
exactitud.
Para la definición de esta proyección se establece una precisión del meridiano central de
1/200.000, es decir K0 = 0.999995, y ya que las líneas de secancia se encuentran muy cerca del
meridiano central se determina un ancho de huso de 1º, en cuyos bordes existirá una exactitud
mínima de 1/30.000, no obstante, el ancho efectivo del huso puede estar dado por la precisión
esperada para la proyección. Así por ejemplo, para proyecto que requiera un control de orden
primario (1/100.000) basta con restringir el huso hasta unos 35 km o 18’52’’ donde se cuenta con
una precisión aproximada de 1/110.000.
Pese a que se recomienda que el meridiano central corresponda a grados enteros o
medio grados, en proyectos de ingeniería se debe considerar en una primera instancia, que el
meridiano central de la proyección sea coincidente con el área de estudio para lograr así un
109
cubrimiento total. Para áreas extensas o mayores precisiones, se recomienda usar múltiples fajas
que abarquen el total del área de estudio y/o que cumplan con la precisión señalada.
5.8.1. Falso Este
Como una forma de evitar la existencia de valores negativos en las coordenadas
proyectadas, se recurre a asignar un valor para el meridiano de origen, tal que sea mayor que la
máxima extensión posible en sentido Este-Oeste (1º de desarrollo longitudinal en el ecuador
corresponde a unos 111 km) de esta forma y para cubrir una posible extensión del huso mas allá
de 1º se opta por asignar un valor de 200.000m.
5.8.2. Falso Norte
Dada la cobertura latitudinal de la proyección LTM para el caso chileno (63º) se obtiene
una distancia máxima en sentido norte o sur de 6.988km con respecto al ecuador. Por esto, se
asigna un valor de 7.000.000 de metros como origen de las coordenadas Norte para el hemisferio
Sur y de 0 metros para el hemisferio Norte, lo que radica en la imposibilidad de existencia de
coordenadas negativas.
Al igual que todas las proyecciones Derivadas del desarrollo Transverso de Mercator, se
mantienen los algoritmos de transformación y de análisis planteados con anterioridad.
Coordenada Norte LTM = 7.000.000 + 0.999995 · y
Coordenada Este LTM = 200.000 + 0.999995 · x
110
5.9. PROYECCIONES LTM Y PLANOS TOPOGRÁFICOS LOCALES
La forma de relacionar coordenadas sobre el elipsoide, el plano de proyección y
posteriormente el terreno, implica arduas labores de cálculo y con esto la posibilidad cierta de
cometer errores de distinto tipo haciendo aún mas complicada la racionalización del espacio por
medio de cartografía. Como una forma de solucionar la discrepancia existente entre mediciones
en terreno y cartografía sobre un plano de proyección, se suele utilizar una proyección LTM tal
que el plano de proyección sea coincidente con el terreno. Para esto, se debe considerar un
cilindro que pase por el terreno topográfico constituyendo así un plano topográfico local (PTL).
Considerando la Figura Nº25
Distancia PTL
R
H(ptl)Distancia NMM Distancia Elipsoidal
Figura Nº25 Plano topográfico local y superficie de referencia
Puede determinarse un valor K relacionado con la altura del terreno sobre el elipsoide
(cercana a la altura sobre el nivel del mar) de modo que implique tangencia con un punto del
111
terreno. De esta forma se obtiene para ese punto la directa relación terreno-plano de proyección
facilitando así el transporte de coordenadas y las labores de replanteo.
Por semejanza de triángulos, observando la figura Nº25 se obtiene:
RhRKhptl
+=
Expresión que señala el factor de escala del meridiano central para el proyecto particular
que permite que el cilindro sea tangente al terreno (en desmedro de la relación de secancia o
tangencia entre el plano de proyección y elipsoide existentes para otras proyecciones TM).
Para efectos prácticos, los proyectos topográficos suelen utilizar Diversos planos
topográficos locales determinados según la inexactitud que provoca las diferencias de alturas
observadas en el terreno. La determinación del número y posición de los PTL se realiza
considerando la expresión
RhRKhptl
+=
Que puede expresarse como el factor de escala de un desnivel haciendo
RhRK hptl
Δ+=Δ
luego despejando Δh se obtiene la diferencia de altura que genera una imprecisión
determinada, por ejemplo:
Para un terreno cuyos valores altimétricos máximo y mínimo son 500 y 800 m
respectivamente, un radio arbitrario de 6378000m y que deben representarse con una precisión
mínima de 1:65.000 se obtiene
112
( ) hRRKhptl Δ=−·
como 1:65.000 implica un error de 1.000015385, reemplazando se obtiene una diferencia de
altura de 98.126m que, con signo positivo y negativo, corresponderá a la altura que abarcará un
PTL para cumplir con la precisión esperada. Finalmente, debe considerarse que cada PTL debe
estar a un desnivel máximo de 196.252m uno del otro y procurar que cubran la totalidad del área
a representar.
Un sistema de coordenadas PTL corresponde a un sistema topocéntrico de carácter local
concebido para representar pequeñas extensiones de terreno. Al ser una versión de la proyección
TM corresponde a un sistema plano-rectangular cuyo origen corresponde a coordenadas
geodésicas, lo que se traduce en la georreferencia del sistema por medio de:
• Posición: dada por las coordenadas geodésicas (φ,λ) del origen del sistema rectangular
(x,y).
• Orientación: Dada por un azimut geodésico del eje “y” del sistema local
• Altura del plano de referencia: Dada por la altura ho del plano de referencia
113
5.10. PROYECCIÓN GAUSS-KRUGER
La proyección Gauss-Kruger se considera la proyección base de las transversales de
Mercator. Corresponden en su concepción a la primera y única proyección cilíndrica transversa
conforme creada por Gauss durante el siglo XVIII y racionalizada posteriormente por Kruger.
Pese a su amplia utilización a nivel mundial, no existe (en conocimiento del autor) una normativa
o sugerencia acerca de su utilización a nivel mundial relacionada con las deformaciones que
provoca ni las escalas de representación que puede soportar.
El factor de escala en el meridiano central es 1, es decir corresponde a un cilindro
tangente al elipsoide. El ancho de huso se define generalmente en 3º aunque hay casos
documentados de países que utilizan una versión de esta proyección con un ancho de huso de 5º.
Los parámetros FN y FE son variables, y se definen según las necesidades particulares de
los países que las utilizan. Así por ejemplo, la republica Argentina utiliza el eje X para
representar el eje norte de la proyección al contrario del sistema cartesiano que vincula a la
dirección norte con el eje Y. El valor FN es igual en este caso, a la longitud del cuadrante
meridiano del elipsoide siendo así coincidente el origen del falso norte con el polo sur. Por otra
parte, las coordenadas Este (referidas al eje Y) se relacionan con el valor FE de 500.000m para
cada faja de cobertura anteponiendo un prefijo para señalar la faja. Así, es posible encontrar por
ejemplo
114
Norte (X) : 6.235.412
Este (Y) : 2.540.000
Donde la coordenada este señala en primera instancia que se refiere a la segunda faja del
sistema.
No obstante estas convenciones. La proyección Gauss-Kruger alrededor del mundo adopta
parámetros distintos según las necesidades o características de los usuarios siendo la nunca norma
el valor unitario del factor de escala en el meridiano central.
El principal inconveniente en la adopción de esta proyección como una solución mundial
para la cartografía sistemática, radica en la escasa cobertura del huso necesaria para mantener
aceptables precisiones. Teniendo por ejemplo, la necesidad de utilizar 120 husos de 3º para la
completa representación del planeta.
5.11. PROYECCIÓN MODIFICADA TRANSVERSA DE MERCATOR
Corresponde en rigor a cualquier proyección Transversa de Mercator desarrollada para
representar alguna región en particular con una situación geográfica singular y que difiera de
otras proyecciones transversales de Mercator institucionalizadas (UTM, Gauss-Kruger, etc).
Generalmente corresponde a una proyección cilíndrica secante por lo que el valor de
escala para el meridiano central tiende a ser menor que la unidad y se imponen parámetros
locales acerca del meridiano central, el ancho del huso y los valores de falso norte y falso este.
115
El caso de Canadá ejemplifica como ha de ajustarse una proyección TM para cumplir con
los requerimientos del país. Debido a las altas latitudes en las cuales se localiza ese país, el
sistema UTM y otros sistemas similares se tornan ineficaces. Para solucionar esto, se utiliza un
sistema TM con un ancho de huso de 3º y un factor de escala del meridiano central de 0.9999 lo
que mejora notablemente la precisión del meridiano central (1/10.000) y reduce la convergencia a
limites tolerables (1º30’’ a 82º de latitud).
116
CAPITULO 6
METODOLOGÍA
El estudio de las características particulares de una proyección cartográfica y de su
capacidad para representar de manera eficaz ciertos elementos requieren por una parte, la
definición de las exactitudes necesarias de alcanzar para los objetivos de cada proyecto y por otra
parte, el conocimiento claro de la extensión y localización del área a representar. En este sentido,
se deben establecer y considerar a la hora de ejecutar un proyecto cartográfico urbano, ciertos
parámetros y restricciones inherentes al sistema proyectivo y a la escala de representación, que
permitan representar de manera óptima el terreno.
A continuación se presenta una metodología de estudio de deformaciones para diferentes
proyecciones para el caso genérico de diversas proyecciones TM y de manera particular, en el
contexto de la representación urbana a través de un estudio de caso.
El anexo Nº6 presenta un diagrama de flujo de los pasos realizados en la presente
metodología.
117
6.1. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN
Antes de establecer las escalas de representación a estudiar, se hace necesario definir
concretamente el concepto de escala urbana. Para esto, se debe considerar los usos principales de
la cartografía como medio de representación del territorio para las actividades involucradas en el
desarrollo, catastro y planificación de una ciudad.
Con estos criterios y considerando diversos estudios sobre cartografía y documentos
técnicos de ingeniería vial y otras actividades usuarias de cartografía, se procede a determinar las
escalas urbanas de representación a utilizar.
6.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIAS
La determinación de la deformación asociada a un determinado producto cartográfico,
debe considerar la magnitud que involucra la resolución del ojo humano desnudo llevada a cada
escala de representación considerada en el presente estudio. De este modo, se obtiene un patrón
de comparación para cada escala de representación que permitirá verificar o refutar la idoneidad
de cada proyección cartográfica para diferentes escalas de representación.
118
6.3. DETERMINACIÓN DE PROYECCIONES A UTILIZAR
Debido a la variedad de proyecciones TM utilizadas en el mundo, y a la falta de una
normativa sobre su utilización, se hace necesario definir un set de proyecciones TM para analizar
en la presente investigación, que cumplan con la condición de ser utilizadas comúnmente por
diferentes países o instituciones.
Para esto, se investigó las principales instituciones usuarias y generadores de cartografía
en Chile (IGM, DIFROL, MOP, entre otras) y a algunos organismo generadores de cartografía
alrededor del mundo. De este modo, se genera un listado de proyecciones definidas según las
siguientes características:
• Elipsoide de Referencia
• Falso Norte (si corresponde)
• Falso Este (si corresponde)
• Factor de Escala del meridiano central (K0)
• Amplitud longitudinal del Huso
• Identificación del Huso (si corresponde)
119
6.4. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO
Como una de forma contextualizar el presente estudio en la situación cartográfica
nacional y buscando una mejor ejemplificación del problema métrico de la representación
cartográfica, se recurre a estudiar la representación plana de una ciudad tipo de tamaño grande a
las distintas escalas de representación señaladas y usando las proyecciones TM definidas. Como
criterio secundario de selección del área de estudio, se desea la disponibilidad de cartografía
digital con el fin de mostrar de manera gráfica los diferentes aspectos del presente estudio.
6.5. DETERMINACIÓN DE PUNTOS MUESTRALES
Buscando simplificar la racionalización de la presente investigación, se define una red de
puntos muestrales espacializados en el área de estudio con el objeto de determinar para cada uno
de ellos la distorsión que los afecta por medio del cálculo de las magnitudes que representan su
relación con el Datum de referencia y la superficie topográfica. La espacialización de ellos se
realiza usando coordenadas geodésicas referidas al elipsoide internacional de 1924 sobre los
meridianos y paralelos de manera obtener de forma sencilla patrones de comparación
distanciométrico.
120
Ya que la red de puntos muestrales corresponde a puntos teóricos no sometidos a la
influencia de los errores en su determinación, la distancia que los separe debe definirse de tal
manera que cubra la ciudad con una densidad tal que no constituya un impedimento técnico para
el cálculo de magnitudes en ellos.
6.6. PROYECCIÓN DE LA RED DE PUNTOS MUESTRALES
Una vez definidos y espacializados los puntos conformantes de la red muestral se procede
a proyectarlos en los distintos sistemas referidos con anterioridad. Utilizando los algoritmos
desarrollados en el capitulo V y una planilla de cálculos, se obtiene una tabla de coordenadas
geodésicas con sus coordenadas homólogas para cada proyección.
6.7. DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y
CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
Utilizando los algoritmos desarrollados en el capitulo V, se adjunta en la matriz de
coordenadas el valor del factor de escala y de la convergencia de meridianos para cada punto.
121
6.8. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE EL
FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y LAS COORDENADAS
PROYECTADAS
Para determinar el grado de dependencia del valor que representa el factor de escala
asociado a un punto con coordenadas proyectadas, se determina el coeficiente de correlación por
separado para cada una de las componentes Norte y Este. De esta manera, se puede determinar el
sentido de las distorsiones y la gradiente de ellas para el área de estudio en cada una las
proyecciones definidas.
La función “coeficiente de correlación”:
∑ ∑∑=
22 · NE
NERνν
νν
Donde v es la desviación estándar de la muestra
Luego se determina el coeficiente de determinación múltiple usando el cuadrado de la
función anterior para obtener así un indicador del porcentaje de explicación del valor K respecto a
las coordenadas que lo definen.
122
6.9. DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES LINEALES DE SEGMENTOS
PROYECTADOS Y GEODÉSICOS
Al representar la malla de puntos como una red de segmentos en el sentido de los
meridianos y de los paralelos, es posible calcular sin dificultad la longitud de cada segmento en el
caso geodésico y proyectado para su posterior comparación.
Para facilitar la localización de cada segmento se genera un código único que permita
localizarlo individualmente de manera sencilla y sin necesidad de recurrir a las coordenadas de
origen y término que lo definen. De esta forma se genera para los segmentos en sentido de los
meridianos un código único que empezando en la izquierda de la red y en sentido descendente de
la columna en cuestión se nombra a1, a2, a3, . . ., a9; para la columna siguiente, es decir a la
derecha de la recién codificada toma los nombres b1, b2, b3, . . .b9; etc
Para las filas creadas en la red, el código tiene sentido izquierda a derecha y comenzando
desde el de menor latitud se nombre 1a, 1b, 1c, . . . , 1i; para la fila siguiente los códigos son 2a,
2b, 2c, . . ., 2i; etc. Como se observa en la figura Nº26:
1a 1b
a1 2a 2b d1
a2 3a 3b d2
a3 4a 4b d3
Figura Nº26 codificación de la red de puntos muestrales
123
Luego de establecer el código para cada segmento, se determinan sus longitudes usando
las formulas contenidas en el capítulo III para el caso de los segmentos geodésicos y como rectas
sobre el plano para el caso de los segmentos proyectados. Dichas longitudes se incorporan al
código creado para constituir una tabla en la cual se almacenaran y realizaran las comparaciones
de las magnitudes calculadas para su posterior análisis. Se procede también a agrupar los
segmentos según corresponda para líneas continuas en sentido de los meridianos o paralelos que
cubran la totalidad del área de estudio
6.10. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN
PROYECCIONES TM
6.10.1. Caso General
Como una forma de conocer los límites de una proyección TM en cuanto a la escala de
representación que toleran, se determina la escala de representación máxima para los casos
extremos y nominales dentro del territorio nacional.
En una primera instancia se determina el valor máximo del factor de deformación Kp
dentro del territorio nacional para cada proyección definida considerando una latitud extrema
norte para el caso nacional (17ºN) en el borde de huso de cada proyección definida. Para este
124
valor Kp calculado, se asocia un valor de factor de escala susceptible de soportar considerando la
tolerancia asociada a cada escala de representación y la exactitud que ofrece el valor Kp.
De la misma manera, se asocia el valor K0 de cada proyección con la máxima escala de
representación capaz de soportar obedeciendo al criterio recién expuesto.
6.10.2. Caso Particular
Como una forma de expresar cartográficamente las deformaciones producidas al
representar el área de estudio en cada una de las proyecciones TM analizadas, se definen las
escalas cartográficas de mayor detalle que toleran las proyecciones definidas. Para esto se
analizan tres aspectos vinculados a los valores K definidos según la red de puntos muestrales
espacializada en el área de estudio.
Como un primer análisis se consideran las diferencias existentes en los factores de escala
máximo y mínimo para una determinara proyección en el área de estudio. Dicha diferencia de
factores de escala se traduce en cantidad de deformación multiplicándola por un valor
considerado como máximo de representación urbana obteniendo con esto una cantidad métrica de
deformación susceptible de relacionarse con una determinada escala de representación por medio
de la tolerancia vinculada a ellas.
En este sentido, sabiendo que las ciudades de mayor tamaño en el territorio nacional
exceptuando a Santiago, poseen longitudes máximas, a saber:
• Valparaíso / Viña del Mar = 18 Km
125
• La Serena / Coquimbo = 14 Km
• Antofagasta = 12 Km
• Arica = 9 Km
Se define el valor máximo de representación urbana en 20 km considerando con esto, un
escenario crítico de deformación.
Un segundo aspecto a considerar, consiste en determinar las deformaciones existentes
entre el Datum horizontal y el plano de proyección para el área de estudio. Se determinan las
diferencias existentes entre los valores K obtenidos de la red de puntos muestrales y el valor de
escala unitario (K = 1). Se determina la máxima diferencia entre ellos y se expresa métricamente
usando el valor máximo de representación urbana (20 km), para con esto determinar la cantidad
de deformación para el peor caso posible. Una vez obtenido este valor, se determina la escala
cartográfica de máximo detalle que tolere la deformación.
Un tercer análisis derivado del estudio de los valores K para el área en cuestión, dice
relación con la deformación que genera una proyección TM respecto de la superficie topográfica.
Para expresar esta deformación en función de la escala cartográfica, se calculan las máximas
diferencias generadas entre los valores Kh y Kp para el área de estudio. Posteriormente se
expresan estas diferencias en términos de distancia multiplicándolas por el valor máximo de
representación urbana (20km). Con este valor, se determina la escala cartográfica de máximo
detalle que tolera esta deformación.
126
6.11. RELACIÓN ENTRE PROYECCIONES TM, ELIPSOIDE Y SUPERFICIE
TOPOGRÁFICA
Como una forma de determinar la exactitud con que un producto cartográfico representa
al elipsoide de revolución y al plano topográfico. Se estudia la relación geométrica entre el
elipsoide y dichas superficies analizando el origen y el sentido de las deformaciones ocurridas. Se
determinan las condiciones generales de reducción entre referenciales y se incorpora un ejemplo
de determinación de distancias geodésicas a partir de coordenadas proyectadas utilizando las
condiciones de relación antes mencionadas, en donde se establecen además, la inexactitud
asociada a cada reducción.
127
CAPITULO 7
RESULTADOS
7.1. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN
Para el presente trabajo se determinaron escalas cartográficas de representación acordes a
las necesidades de ejecución y planificación de proyectos de diversa índole en espacios urbanos y
criterios de representación de elementos de importancia para el catastro, el desarrollo de
proyectos y la planificación urbana. Para esto, se recurrió en una primera instancia a fuentes
bibliográficas, las que correspondieron a “Manual de Carreteras” MOP capitulo 2.300 y
“Cartografía y levantamientos urbanos” de Theodore Blachut.
La primera publicación clasifica las escalas de representación en “escalas grandes” a
1:500, 1:1.000 y 1:2.000, las que tienen por objeto el facilitar estudios definitivos de proyectos de
construcción vial así como su ejecución. Las escalas intermedias corresponden a 1:2.000, 1:5.000
y 1:10.000 y tienen por objeto el facilitar el estudio preliminar y alternativas de proyectos.
La segunda publicación señalada sostiene la conveniencia de la representación urbana a
una escala de máximo detalle de 1:500 y mantiene como alternativas viables de representación
urbana las escalas 1:000, 1:2.000, 1:5.000 y 1:10.000. Siendo las dos últimas aptas para la
planificación del crecimiento urbano y regularización de terrenos.
128
7.1.1. Criterios de representación urbana
El uso de la cartografía como herramienta de representación para el desarrollo de
distintas actividades vinculadas a la vida en la ciudad y al crecimiento de la misma,
implica una diversificación de los elementos representables en un producto cartográfico y
consecuentemente, el detalle con que estos deben ser plasmados en un modelo de
representación plano. Es por esto, que debe considerarse antes de representar un espacio
urbano, que la escala elegida, sea compatible con el desarrollo de la actividad para la cual
fue creado el producto cartográfico. Por ejemplo, la planificación del crecimiento de una
ciudad necesitará apoyarse en cartas a escala 1:5.000 y 1:10.0003, el trazado de una
autopista urbana requerirá de una precisión compatible con escalas 1:1.0004 y cercanas
mientras que la representación de una red de tuberías dentro de una ciudad necesitará una
alta precisión no alcanzable por las escalas antes señaladas. En vista de esto, se
determinaron finalmente que las escalas a estudiar en la presente investigación
correspondan a:
• 1:10.000
• 1:5.000
• 1:2.000
• 1:1.000
• 1:500
3 Blachut, T. Cartografía y levantamientos urbanos. Año 1979 4 M.O.P. Manual de Carreteras Vol2. Año 2001
129
• 1:250
La elección de la escala 1:250 se sostiene fundamentalmente en la tolerancia
necesaria para los levantamientos de plantas urbanas, y en las necesidades de precisión de
actividades relacionadas con obras sanitarias y tendido de redes en general.
7.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIAS
Considerando el criterio descrito en la metodología y tomando como resolución del ojo
humano desnudo los 0.2mm5, las tolerancias para cada escala de representación se resumen en la
siguiente tabla.
Escala Tolerancia (m) 1:250 0,05 1:500 0,1
1:1000 0,2 1:2000 0,4 1:5000 1
1:10000 2
Tabla Nº1 Tolerancia según escala de representación
5 Lousiana State University Health Sciences Center, en http://www.medschool.lsuhsc.edu/pathology/pathist/HRLM_TEM/default.htm
130
7.3. DETERMINACIÓN DE PROYECCIONES A UTILIZAR
La elección del set de proyecciones a estudiar en la presente investigación tomó como
criterio central la utilización de diferentes proyecciones Transversales de Mercator alrededor del
mundo. Se eligieron cinco clases de proyecciones TM subdivididas en casos particulares
determinados según su posición con respecto al área de estudio o a la tolerancia permitida:
7.3.1. Universal Transversal de Mercator (UTM) : Caso particular de las proyecciones
Transversales de Mercator utilizado alrededor del mundo. Debido a la rígida
normativa en cuanto a la definición de esta proyección, fue estudiada sin ningún tipo
de modificaciones. Para este caso:
Huso : 19
• Ancho Huso : 6º
• K0 : 0.9996
• EF : 500.000
• NF : 10.000.000
• Elipsoide : Internacional de 1924
7.3.2. Gauss Kruger (GK): Caso particular de la proyección Transversal de Mercator
utilizada en varios países del mundo. Esta proyección fue estudiada por separado para
131
dos situaciones de representación del área de estudio. La primera con el meridiano
central cercano al área de estudio (GK1) y la segunda con el meridiano central alejado
del área de estudio (GK2) para estudiar así, las características de esta proyección en
situaciones de borde o sobrepaso de huso.
7.3.2.1. GK1
• Meridiano Central : 71º
• Ancho Huso : 3º
• K0 : 1
• EF : 300.000
• NF : 7.000.000
• Elipsoide : Internacional 1924
7.3.2.2. GK2
• Meridiano Central : 70º
• Ancho Huso : 5º
• K0 : 1
• EF : 300.000
• NF : 7.000.000
• Elipsoide : Internacional 1924
132
7.3.3. Local Transversal de Mercator (LTM) : Versión de la proyección Transversal de
Mercator a la cual se le imponen parámetros que permitan minimizar la diferencia de
ángulos y distancias medidas en terreno y las cantidades obtenidas en un sistema
plano LTM para áreas reducidas. Utilizada en Chile en el marco de proyectos de
ingeniería, esta proyección fue estudiada por separado para dos situaciones de
representación del área de estudio. En primer lugar considerando el meridiano central
local mas cercano al área de estudio (LTM1) y en segundo lugar con el meridiano
central lejos del área de estudio para estudiar así una extensión de la proyección fuera
de los límites establecidos (LTM2)
7.3.3.1. LTM1
• Meridiano Central : 71º30’
• Ancho Huso : 1º
• K0 : 0.999995
• EF : 200.000
• NF : 7.000.000
• Elipsoide : Internacional 1924
7.3.3.2. LTM2
• Meridiano Central : 71º
• Ancho Huso : 2º
• K0 : 0.999995
133
• EF : 200.000
• NF : 7.000.000
• Elipsoide : Internacional 1924
7.3.4. Modificada Transversa de Mercator (MTM) : Modificación de la proyección
Transversal de Mercator utilizada en algunos países europeos o norteamericanos para
la representación de escalas medias. Esta proyección fue estudiada por separado para
dos situaciones de representación del área de estudio. El primer caso corresponde a
una proyección MTM con su meridiano central alejado del área de interés, donde se
hace necesario extender el huso para la representación completa del área de estudio
(MTM1) mientras que el segundo caso corresponde a una proyección MTM con el
meridiano central mas cercano al área de estudio (MTM2)
7.3.4.1. MTM1
• Meridiano Central : 71º
• Ancho Huso : 1º
• K0 : 0.9999
• EF : 300.000
• NF : 7.000.000
• Elipsoide : Internacional 1924
134
7.3.4.2. MTM2
• Meridiano Central : 71º30’
• Ancho Huso : 2º
• K0 : 0.9999
• EF : 300.000
• NF : 7.000.000
• Elipsoide : Internacional 1924
7.3.5. Plano Topográfico Local (PTL) : Caso particular de la proyección Transversa de
Mercator, que busca relacionar la superficie topográfica con el plano de proyección
por medio de la tolerancia inherente a cada escala de representación y la situación
altimétrica de la superficie topográfica.
7.3.5.1. Determinación de los PTL según situación altimétrica
Como se vio anteriormente, la tolerancia para una escala de representación es función
de la magnitud que representa la mínima diferencia discriminable en el producto
cartográfico. Entonces para vincular esta tolerancia con un PTL es necesario definir
que diferencia de altura genera una deformación a lo sumo igual a la deformación
definida según la escala.
Según lo estudiado en el capítulo V basta con plantear:
RRKh −=Δ )·(
135
para obtener una diferencia de cota definida según la tolerancia esperada y el radio
medio del lugar en estudio.
En la ecuación anterior. K corresponde a la deformación de escala que existe entre
un punto en la superficie topográfica. Su cálculo se realiza por medio de la razón entre
la tolerancia para la escala en estudio y un valor que represente la cantidad máxima de
terreno a representar (50km en este caso). Por otra parte, el valor R corresponde al
radio medio Gaussiano o media geométrica entre el radio de curvatura y la gran
normal para una coordenada media del área de estudio.
Por ejemplo, para el caso de la escala 1:250 se obtiene K = 0.05m / 20.000, es decir
K = 1.0000025. como las deformaciones ocurren con signo positivo y negativo
(deformaciones positivas y deformaciones negativas), se asignan los valores
1.0000025 y 0.9999975 como valores máximo y mínimo para la tolerancia estipulada.
Entonces:
987.6369626)987.6369626·0000025.1( −=Δh
lo que equivale a 15.924 m.
Ahora considerando el valor K= 0.9999975 se obtiene
987.6369626)987.6369626·9999975.0( −=Δh
se obtiene el valor –15.924 m.
La interpretación practica de los valores obtenidos dice que un plano
topográfico local colocado a una altura “h0” tiene un rango de +15.924 y –15.924
a partir de la cota de origen. Por lo tanto el rango total para esta escala será de
136
2·15.924 = 31.848 m. Para simplificar la solución, es conveniente truncar el
resultado convenientemente a 30m.
Una vez determinado el rango de cada plano topográfico local se definen los
“N” planos que den cobertura al área de estudio.
Para esto se define una altura h0 para cada PTL según el campo calculado
anteriormente (Tabla Nº2).
Escala 1:250 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000
Δ h (Kh) 30m 60m 120m 250m 600m 1200m
PTL1 (m) 15 30 60 125 250 250
PTL2 (m) 45 90 180 375
PTL3 (m) 75 150 300
PTL4 (m) 105 210 420
PTL5 (m) 135 270
PTL6 (m) 165 330
PTL7 (m) 195 390
PTL8 (m) 225 450
PTL9 (m) 255
PTL10 (m) 285
PTL11 (m) 315
PTL12 (m) 345
PTL13 (m) 375
PTL14 (m) 405
PTL15 (m) 435
Tabla Nº 2 Disposición altimétrica de los Planos Topográficos Locales según tolerancia.
137
7.3.5.2.Determinación del factor de deformación de escala para cada PTL
Empleando las formulas desarrolladas en el capitulo V, y utilizando el valor Δh
coincidente con el definido anteriormente, se determinan los valores K para cada PTL
(Kptl) resultando (Tabla Nº3):
Tabla Nº3 Factor de deformación de escala según PTL
7.3.5.3.Determinación de los PTL según diferencias de longitud
Como caso particular de las proyecciones TM, un PTL es susceptible a dividirse en
husos de acuerdo a la diferencia longitudinal entre un punto y el meridiano central. Debe
estudiarse entonces las deformaciones producidas por el desarrollo longitudinal para un
PTL localizado a una altura Hptl y en un meridiano central determinado y procurar que
estas diferencias sean menores que la tolerancia requerida para la escala de
Escala
1:250 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000
PTL1 1,0000023549 1,0000047099 1,0000094197 1,0000196244 1,0000392488 1,0000392488
PTL2 1,0000070648 1,0000141296 1,0000282591 1,0000588731
PTL3 1,0000117746 1,0000235493 1,0000470985
PTL4 1,0000164845 1,0000329690 1,0000659379
PTL5 1,0000211943 1,0000423887
PTL6 1,0000259042 1,0000518084
PTL7 1,0000306140 1,0000612281
PTL8 1,0000353239 1,0000706478
PTL9 1,0000400337
PTL10 1,0000447436
PTL11 1,0000494534
PTL12 1,0000541633
PTL13 1,0000588731
PTL14 1,0000635830
PTL15 1,0000682929
138
representación. Definiendo un punto de coordenadas medias φ = -32.91808994028 y λ =
71.5721722554º se le asigna un valor K0(Khptl) igual a cualquiera de los K0 de los PTL
por ejemplo para la escala 1:250 K0(Kptl1)=1.0000023549. con este valor K0 se calcula
el valor K para un punto extremo φ = -32.91808994028 y λ = 71.46º, donde
K=1.00000371181. La diferencia observada entre ambos factores de escala genera una
deformación de 0.027m para una magnitud de 20km, con lo que bastaría un único PTL
por segmento altimétrico para el área de estudio. Cabe señalar que al verificarse esta
situación para la escala de mayor exactitud se verifica automáticamente para el resto de
las escalas de representación.
7.4. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO
Para concretar la presente investigación se decidió vincular un estudio de caso con una
ciudad tal que pueda considerarse como caso típico de un centro urbano de gran tamaño en el
contexto nacional. En vista de esto y de la existencia de cartografía a escala 1:5.000 que permite
una fácil representación del territorio, se decidió utilizar la ciudad de Valparaíso.
La ciudad de Valparaíso está localizada entre los 32º55’ y los 33º7’ de latitud Sur, y entre
los 71º28’ y los 71º39’ de longitud Oeste (véase en Anexo Nº1). Político-administrativamente, se
encuentra en la V Región del país, provincia de Valparaíso a unos 120 Km de la capital Santiago.
139
Económicamente, la actividad portuaria e industrial constituyen las principales fuentes de
ingreso de la ciudad y son el motor fundamental que regula el crecimiento de esta ciudad.
En términos cívicos y sociales, Valparaíso es la sede del poder legislativo de la nación y la
capital de la institucionalidad cultural del país. Así mismo, es la única ciudad Chilena declarada
por al UNESCO como Patrimonio de la Humanidad.
Topográficamente, Valparaíso está dominado por 44 cerros que albergan a mas del 95%
de sus habitantes, reflejando con esto, el acelerado crecimiento que ha tenido esta ciudad y la
necesidad de un ordenamiento territorial que permita a esta ciudad desarrollarse en armonía con
su entorno.
Para representar la ciudad, se utilizó una base cartográfica correspondiente al plan
regulador a escala 1:5.000 de las comunas de Valparaíso, y Viña del Mar en formato digital.
7.5. DETERMINACIÓN DE PUNTOS MUESTRALES
Como una forma de estudiar las deformaciones producidas en el área de estudio para las
proyecciones definidas anteriormente se creó una red de puntos muestrales espacializada en el
elipsoide internacional de 1924, con el objeto de medir en cada uno de ellos, los valores de
deformación K y determinar así la capacidad de cada proyección TM para representar el terreno a
escala urbana.
140
Se definió un espaciamiento entre puntos de 2.500m sobre el meridiano de manera que el
área de estudio fuera cubierta por unos 10 puntos para cada columna de la red asegurando con
esto una distribución homogénea y la representatividad de los puntos. En el caso de los paralelos,
se determinó también una distancia de 2.500m calculada sobre el paralelo de menor latitud. Así,
se obtuvo finalmente, una red de 100 puntos muestrales (véase en Anexo Nº2 y Nº3) definida
sobre el elipsoide y espacializada sobre los meridianos y paralelos lo que permite facilitar el
cálculo de magnitudes geodésicas.
Como una forma de facilitar la comprensión de los elementos geométricos derivados a
partir de esta red de puntos. Se creó una codificación en filas y columnas que permite referir cada
segmento formado por la union de dos puntos en sentido meridiano o paralelo a un único código.
(Figura Nº27)
Figura Nº 27 Puntos muestrales
141
7.6. PROYECCIÓN DE LA RED Y DETERMINACIÓN DE FACTORES DE
DEFORMACIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
La proyección de la red de puntos muestrales y el calculo de factor de deformación de
escala y convergencia de meridianos realizada para cada una de las proyecciones definidas, puede
apreciarse en el anexo Nº4
7.7. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE EL
FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y LAS COORDENADAS
PROYECTADAS
Utilizando las formulas descritas en el capítulo II para los valores K y las coordenadas
Norte y Este se adjunta una tabla que muestra el coeficiente de correlación “R” y el coeficiente de
correlación múltiple “R2” (Tabla Nº4)
142
R R2
GK1 Este -0,998723 0,997447 Norte 0,001969 0,000004 GK2 Este -0,999834 0,999669 Norte 0,005307 0,000028 LTM1 Este -0,906571 0,821870 Norte 0,000795 0,000001 LTM2 Este -0,998723 0,997447 Norte 0,001969 0,000004 MTM1 Este -0,998723 0,997447 Norte 0,001969 0,000004 MTM2 Este -0,906571 0,821870 Norte 0,000795 0,000001 UTM Este -0,999938 0,999877 Norte 0,008681 0,000075
Tabla Nº4 Correlación Coordenadas TM y factor de deformación de escala
7.8. DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES LINEALES DE SEGMENTOS
GEODÉSICOS Y PROYECTADOS
Las magnitudes calculadas para cada segmento de meridiano se repiten para una misma
diferencia de latitud. Luego, cada arco de meridiano estará formado por “N” segmentos de
meridiano los que se repiten para distintas longitudes. Considerando esto, se determina la
magnitud total del arco de meridiano como la suma de sus partes siendo esta de 22393.320m
(Tabla Nº5).
143
Cada segmento de arco paralelo conforma el arco total es idéntico para una misma latitud.
Entonces, es posible determinar la magnitud total de cada arco paralelo multiplicando por el
número de segmentos la magnitud de un segmento cualquiera.
Segmento Meridiano Magnitud (m)a1,b1. . .,j1 2488,111 a2,b2. . .,j2 2488,120 a3,b3. . .,j3 2488,129 a4,b4. . .,j4 2488,138 a5,b5. . .,j5 2488,147 a6,b6. . .,j6 2488,156 a7,b7. . .,j7 2488,165 a8,b8. . .,j8 2488,174 a9,b9. . .,j9 2488,183 Segmento Paralelo Magnitud (m)1a,1b. . .,1i 2098,598 2a,2b. . .,2i 2098,068 3a,3b. . .,3i 2097,539 4a,4b. . .,4i 2097,008 5a,5b. . .,5i 2096,478 6a,6b. . .,6i 2095,947 7a,7b. . .,7i 2095,416 8a,8b. . .,8i 2094,884 9a,9b. . .,9i 2094,352 10a,10b. . .,10i 2093,820
Tabla Nº5 Arcos Geodésicos y proyectados
144
La tabla Nº6 muestra la magnitud total de arcos de paralelo utilizando los segmentos antes
descritos para cada latitud estudiada.
Fila Latitud (º) Arco paralelo (m) 1 32,91808994 18887,382 2 32,94052439 18882,616 3 32,96295884 18877,847 4 32,98539329 18873,075 5 33,00782774 18868,300 6 33,03026220 18863,522 7 33,05269665 18858,741 8 33,07513110 18853,957 9 33,09756555 18849,170
10 33,12000000 18844,381
Tabla Nº6 Arcos de paralelo
La determinación de distancias proyectadas y la diferencia entre estas y los valores geodésicos se
aprecian en el anexo Nº5
7.9. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN
PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA
7.9.1. Caso general
Se calcularon los factores de deformación de escala para casos extremos de deformación
en el territorio nacional y para la situación nominal de cada proyección. Con esto se determinó la
escala cartográfica límite de representación para cada proyección (Tabla Nº7).
145
Valores típicos de distintas proyecciones TM para el territorio nacional Lat min = 17º; Lat max = 57º
Nombre K 0 Precisión (K0) K max Precisión (K max) Conv Mer max ‘’ Escala carto K0 Esc carto K maxLTM 1 0,999995 1/200.000 1,000030039 1/33.290 1.510 1:500 1:5.000 LTM 2 0,999995 1/200.000 1,000135166 1/7.400 3.019 1:500 No urbana GK 1 1 Optima 1,000315416 1/3.170 4.528 Máxima No urbana GK 2 1 Optima 1,000876530 1/1.140 7.548 Máxima No urbana UTM 0,9996 ½.500 1,000862069 1/1.160 9.057 No urbana No urbana
MTM 1 0,9999 1/10.000 0,999935035 1/15.392 1.509 1:10.000 1:10.000 MTM 2 0,9999 1/10.000 1,000040152 1/24.905 3.019 1:10.000 1:5.000
Tabla Nº7 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso general
7.9.2. Caso particular
Utilizando el valor K máximo obtenido desde la red de puntos muestrales proyectada, se
determinó el error máximo factible de ocurrir para una distancia de 20 km medidos en productos
cartográficos a diferentes escalas. La deformación obtenida se contrastó con la tolerancia
permitida para cada escala de representación pudiendo establecer con esto si dicha proyección
cumple o no con la tolerancia requerida para cada escala de representación.
La definición de escalas se llevó a cabo usando dos criterios centrales para el estudio de
los valores de deformación de escala calculados.
En primer lugar se determinó la máxima deformación generada a partir de la diferencia de
factores de escala existente entre los valores K calculados dentro del área de estudio. De esta
manera se determina la distorsión inherente al producto cartográfico sin considerar su relación
con el elipsoide ni la validez del factor de escala nominal de la proyección (Tabla Nº8).
146
Tabla Nº8 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “a”
Un segundo criterio de estudio en las deformaciones lo constituye la capacidad de la
proyección de representar al elipsoide con exactitud, para esto se determinó la máxima
deformación producida por la diferencia entre el valor de escala unitario (K=1) y el máximo (o
mínimo) valor de escala calculado en el área de estudio.
Deformación Escala CartográficaProyección Máxima (m) Asociada
GK1 0.945 1:5.000 GK2 5.958 No urbana
LTM1 0.100 1:500 LTM2 0.845 1:5.000 MTM1 1.546 1:10.000 MTM2 2.000 1:10.000 UTM 7.283 No urbana
Tabla Nº9 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “a”
En la tabla Nº9 se puede observar aquellas escalas de representación en las cuales se
puede considerar válida la relación directa entre el elipsoide y el plano de proyección. Es decir
donde se puede aceptar que:
Deformación Escala CartográficaProyección Máxima (m) Asociada
GK1 0.491 1:5.000 GK2 1.381 1:10.000
LTM1 0.056 1:500 LTM2 0.491 1:5.000 MTM1 0.491 1:5.000 MTM2 0.056 1:500 UTM 2.291 No urbana
147
Magnitud Elipsoidal = Magnitud Cartográfica · Escala de representación
Un tercer criterio a considerar, corresponde a la capacidad de un producto cartográfico de
representar la superficie topográfica. Siguiendo la metodología propuesta, se adjunta a
continuación una tabla que señala las deformaciones máximas existentes entre el plano de
proyección y la proyección cartográfica para una magnitud dada y la escala cartográfica que
tolera tal deformación (Tabla Nº10)
Deformación Escala CartográficaProyección Máxima (m) Asociada
GK1 0.912 1:5.000 GK2 5.911 No urbana
LTM1 1.466 1:10.000 LTM2 1.012 1:10.000 MTM1 2.912 No urbana MTM2 3.366 No urbana UTM 7.236 No urbana
Tabla Nº10
7.10. RELACIÓN ENTRE PROYECCIONES TM, ELIPSOIDE Y SUPERFICIE
TOPOGRÁFICA
Una proyección TM sitúa al producto cartográfico en un plano de proyección tal, que
posee una situación geométrica con respecto al Datum horizontal y al terreno, que no garantiza
una perfecta correlación en los elementos representados por medio de la cartografía, los definidos
en el elipsoide y los materializados en el terreno. Luego, para considerar válida la asociación
148
Carta / Elipsoide / Superficie Topográfica es necesario realizar una serie de reducciones o
correcciones así como determinar la tolerancia asociada a cada escala de representación.
7.10.1. Reducción Plano TM - Elipsoide
Observando la Figura Nº28:
Figura Nº28 Relación Plano TM – Elipsoide
Se aprecia que dentro del área de secancia, un segmento considerado en el plano de
proyección, sufrirá deformaciones negativas, lo que indica que una magnitud considerada en el
elipsoide será representada por una magnitud menor en el plano de proyección. Por otra parte,
para las áreas fuera de la secancia se observará una deformación positiva lo que señala que una
magnitud obtenida en el producto cartográfico representará una magnitud menor en el elipsoide.
No obstante lo anterior en aquellas zonas con un factor de escala unitario, es decir donde el plano
de proyección intercepta al elipsoide existirá una correspondencia libre de deformaciones entre
ambas superficies.
K > 1
K < 1
K = 1Plano de Proyección
Elipsoide
149
Para eliminar estas deformaciones, debe considerarse el valor del factor de escala K de
cada punto a reducir, o en su defecto un valor KP que represente la totalidad del elemento a
representar dentro de los márgenes establecidos por la tolerancia asociada a la escala de
representación.
Una vez definido el factor K adecuado para la reducción, debe considerarse el inverso de
él con el fin que se cumpla el contrasentido de la deformación. Posteriormente debe multiplicarse
este factor corrector por la magnitud deseada.
Es decir:
)(·)( 1 TMDistKgeoDist P−=
Obteniéndose con esto, una función que reduce las magnitudes desde un plano de
proyección al elipsoide de revolución.
7.10.2. Reducción Elipsoide – Plano Topográfico
Aunque como es sabido, la cartografía utiliza el elipsoide como superficie de referencia,
los elementos representados están materializados sobre la superficie topográfica, lo cual puede
hacer presumir (incorrectamente) a un lector inexperto en cartografía que cualquier magnitud
considerada en la carta estará relacionada directamente con la realidad. Debido a esto, al
pretender determinar una magnitud topográfica mediante cartografía, debe realizarse un proceso
de reducción de magnitudes que permita homologar una distancia TM con una distancia
Topográfica.
150
Como se vio en el capitulo V la relación entre la superficie topográfica y el elipsoide está
determinada según la altura del plano topográfico, el radio medio del área a representar y la
tolerancia de la magnitud a determinar. Al observar la figura Nº29
Figura Nº29 Relación Plano Topográfico Local – Elipsoide – Plano TM
Se aprecia que la relación entre ambas superficies estará dada por el factor Kh estudiado
en el capítulo V. Bastará con incorporar el factor corrector Kh a la magnitud elipsoidal para que
esta sea transformada al Plano Topográfico Local. Recordando los tipos de alturas estudiados en
el capitulo III se comprenderá que dicho factor Kh debe vincularse a la altura geométrica de la
superficie topográfica en vez de la altura Ortométrica presente en productos cartográficos, lo que
condicionará la correcta ejecución de la reducción, a la existencia de puntos con altura
geométrica conocida o en su defecto, valores de ondulación Geoidal que permitan vincular las
alturas Ortométricas con alturas Geométricas.
Elipsoide
Terreno Kh
Kp
Ptl
Plano de Proyección
151
En la presente investigación, se utiliza la altura Ortométrica en la determinación del factor
Kh asumiendo que el Elipsoide y el Geoide son cercanos en esta zona y que la diferencia entre
ambos tipos de altura es despreciable respecto al radio medio para el área de estudio.
7.10.3. Reducción Plano TM – Plano Topográfico Local
Considerando 7.10.1. y 7.10.2., puede introducirse de manera conjunta un nuevo
indicador que relacione directamente el plano de proyección y el plano topográfico local o “factor
de deformación de escala efectivo” (Ke). Siendo:
KpKhKhKpKe == − ·1
7.10.4. Ejemplos de Reducciones Plano TM – Elipsoide
A continuación se construyen dos ejemplos para la determinación de distancias
geodésicas usando coordenadas proyectadas. Un primer ejemplo determina una magnitud lineal
geodésica usando coordenadas proyectadas y factor de escala para dos puntos sobre el mismo
meridiano y un segundo ejemplo determina una magnitud lineal geodésica usando coordenadas
proyectadas y factor de escala para dos puntos sobre el mismo paralelo. Para ambos casos, se
establece un patrón de comparación distanciométrico mediante las coordenadas geodésicas de los
puntos a estudiar. Sin embargo, debe recordarse que este patrón solo sirve para determinar la
152
deformación del método propuesto y con esto validar o rechazar la posibilidad del cálculo
geodésico mediante cartografía.
Debido a la diversidad de modelos de determinación de distancia geodésica por medio de
coordenadas geodésicas y de la variedad de resultados diferentes que estos modelos ofrecen. No
se considera en este estudio la determinación de distancias para dos puntos con coordenadas
diferentes en su aspecto latitudinal y longitudinal.
Para el presente estudio, se considera la máxima deformación entre el plano de proyección
y el elipsoide a partir de la proyección UTM en el área de estudio, la que se utiliza como caso
extremo considerando que una eventual validación del método será inmediatamente extrapolable
al resto de las proyecciones definidas. Posteriormente, con los mismos ejemplos se desarrolla la
reducción de magnitudes desde el plano de proyección hasta el plano topográfico.
A:
Para dos puntos “A” y “B” teóricos definidos sobre el elipsoide sobre el mismo
meridiano. llevados a la proyección UTM definida anteriormente, se determinará la distancia
geodésica que los separa, a partir de las coordenadas proyectadas de ambos puntos y el valor K
medio obtenido de cada uno de los puntos que perteneciendo a la red de puntos muestrales es
cercano a la coordenada media correspondiente con la magnitud a determinar (Pto medio 1 y Pto
medio 2). Esto con el fin de estimar la deformación producida por la no rigurosidad en la
determinación de la coordenada media.
153
Este Norte K φ λ Pto A 270470.000 6332660.312 1.0002495767 33.1200000000 71.4600000000 Pto B 269945.770 6355053.119 1.0002525759 32.9180899403 71.4600000000 Pto medio 1 270236.656 6342612.744 1.0002509108 33.0302621957 71.4600000000 Pto medio 2 270178.408 6345100.834 1.0002512440 33.0078277446 71.4600000000 Pto medio exacto 270207.528 6343856.790 1.0002505560 33.0190449701 71.4600000000
La distancia geodésica calculada usando la longitud del arco de meridiano elíptico entre
los puntos A y B, corresponde al patrón de comparación distanciométrico del presente caso y su
magnitud es de: 22393.320m
La distancia proyectada entre los puntos A y B determinada según el teorema de Pitágoras
corresponde a: 22398.943m
Entonces, usando el valor K correspondiente al punto medio 1 se obtiene:
mmgeoD 324.22393943.22398·0002509108.1)( 1 == −
Por otra parte, usando el valor K correspondiente al punto medio 2 se obtiene:
mmgeoD 317.22393943.22398·0002512440.1)( 1 == −
La distancia reducida usando el punto medio exacto
mmgeoD 320.22393943.22398·0002510774.1)( 1 == −
Finalmente, la distancia reducida utilizando el promedio de los factores de deformación de
escala de los puntos muestrales ubicados sobre el meridiano 71.46ºW, resulta:
K Promedio = 1.0002510770
Distancia Reducida = K Promedio · Distancia Plana = 22393.320
154
B:
Para dos puntos “A” y “B” teóricos, definidos sobre el elipsoide en un mismo paralelo y
llevados a la proyección UTM definida anteriormente. Se obtiene un patrón distanciométrico de
18887.382m.
Este Norte K φ λ Pto A 269945.770 6355053.119 1.0002525759 32.9180899403 71.4600000000Pto B 251058.159 6354594.027 1.0003641421 32.9180899403 71.6619100597Pto medio 1 261551.427 6354853.556 1.0003010732 32.9180899403 71.5497378043Pto medio 2 259452.804 6354802.546 1.0003134695 32.9180899403 71.5721722554Pto medio exacto 260502.118 6354828.107 1.0003066913 32.9180899403 71.5609550299
La distancia proyectada entre los puntos A y B determinada según el teorema de Pitágoras
corresponde a: 18893.190m
Entonces, usando el valor K correspondiente al punto medio 1 se obtiene:
mmgeoD 503.18887190.18893·0003010732.1)( 1 == −
Por otra parte, usando el valor K correspondiente al punto medio 2 se obtiene:
mmgeoD 269.18887190.18893·0003134695.1)( 1 == −
La distancia geodésica usando el punto medio exacto
mmgeoD 397.18887190.18893·0003066913.1)( 1 == −
Finalmente, usando el promedio de los valores “K” obtenidos de cada uno de los puntos
muestrales ubicados sobre el paralelo 32.9180899403º S, se obtiene:
K Promedio = 1.0003077064
Distancia Reducida = K Promedio · Distancia Plana = 18887.378
155
CAPÍTULO 8
ANÁLISIS DE RESULTADOS
8.1. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE EL
FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y LAS COORDENADAS
PROYECTADAS
Observando los resultados expuestos en la tabla Nº4 se aprecia que en todas las
proyecciones analizadas existe una alta correlación entre el valor del factor de deformación de
escala K y la diferencia de coordenadas Este y por consiguiente una baja correlación entre el
valor del factor de deformación de escala y la coordenada Norte.
Las proyecciones LTM1 y MTM2, ambas con meridiano central cercano al área de
estudio (71º30’ W) presentan un porcentaje de explicación del factor de deformación de escala
según el valor de la coordenada Este del 82.2%. Las proyecciones GK1, LTM2 y LTM1, con
meridiano central en 71º W presentan un porcentaje de explicación del factor de deformación de
escala según el valor de la coordenada Este del 99.7% Mientras que las proyecciones UTM y
GK2, con meridiano central en los 69º W y 70º W respectivamente presentan un porcentaje de
explicación del factor de deformación de escala según el valor de la coordenada Este del 100.0%
156
Según lo expuesto en el capitulo 5, el factor de deformación de escala para una proyección
conforme puede ser deducido a partir de la expresión:
φλλ
·cos
22
N
yx
k⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=
Ya que la latitud expresada en radianes, es pequeña en comparación a la gran normal N
que la acompaña en el denominador de la expresión, y que λλ ∂
∂>
∂∂ yx , puede comprenderse sin
dificultad la alta relación entre el valor del factor de deformación de escala K y el valor de la
coordenada Este.
8.2. DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES LINEALES DE SEGMENTOS
GEODÉSICOS Y PROYECTADOS
De los resultados expuestos en el anexo Nº4 se puede observar que:
Para los casos en que el área de estudio se sitúa dentro de la zona de secancia de la
proyección, las deformaciones de las magnitudes lineales consideradas en el sentido de los
meridianos tienden a crecer hacia el meridiano central. Ello se entiende por el comportamiento
del factor de deformación de escala “K” que se relaciona fuertemente a la variación de la
coordenada este y que como se observó en el capítulo V posee un mínimo en el meridiano central
donde la deformación es máxima.
157
Para los casos en que el área de estudio se ubica fuera de la zona de secancia de la
proyección (K>1), las deformaciones de las magnitudes lineales consideradas en el sentido de los
meridianos tienden a crecer a medida que crece la distancia al meridiano central. Ello se explica
por que el factor de escala tiende a crecer en dimensión mientras se aleja la coordenada del
meridiano central.
Las variaciones de las deformaciones de magnitudes lineales consideradas en el sentido
de los paralelos tienden a mantenerse constantes y con valores menores que para las
deformaciones observadas en el sentido de los meridianos. Este hecho puede confirmarse si se
considera que:
Al corresponder un segmento de meridiano geodésico a una magnitud invariable según la
latitud, y como se observa en el anexo Nº4, a menor latitud, mayor distorsión, se evidencia que
las magnitudes calculadas sobre el paralelo en un plano TM poseerán mayores deformaciones en
su comparación con la magnitud geodésica primitiva.
Por otra parte. Ya que los arcos geodésicos de paralelo para un mismo Δλ, son
magnitudes variables según la latitud, y poseen igual sentido de variación que su transformada,
estas magnitudes poseerán deformaciones en su comparación con la magnitud Geodésica
primitiva menores que en el sentido de los meridianos, hecho que se confirma mediante las
desviaciones estándar de estas diferencias
158
8.3. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN
TOLERANCIAS
8.3.1. Caso general
Considerando la deformación nominal de cada proyección (K0) y la deformación máxima
considerable, es posible determinar que:
Las proyecciones GK1 y GK2 permiten nominalmente una óptima relación entre el
elipsoide y el plano de proyección al poseer un factor de escala en el meridiano central unitario
(K0=1). Pese a esto, las deformaciones máximas que hipotéticamente produce esta proyección
para el territorio nacional solo permiten la representación cartográfica para escalas 1:50.000 y
1:100.000 respectivamente ya que la situación tangencial de esta proyección aumenta las
deformaciones en las lejanías del meridiano central no haciendo recomendable su uso para la
representación urbana sin considerar la deformación para los casos particulares.
Las proyecciones LTM1 y LTM2 presentan una exactitud nominal compatible con escalas
1:500 lo que señala la idoneidad de estas proyecciones para la representación del espacio en
detalle en las cercanías del meridiano central. Sin embargo, estas proyecciones sometidas a una
situación crítica de borde de huso en bajas latitudes ofrecen exactitudes compatibles con escalas
1:5.000 y 1:20.000 respectivamente, lo que señala que la utilización de esta proyección debe estar
restringida a una cercanía al meridiano central que permita desarrollar exactitudes compatibles
con las necesidades cartográficas de cada proyecto en particular.
159
Las proyecciones MTM1 y MTM2 ofrecen para el meridiano central, exactitudes
compatibles con escalas de representación 1:10.000 lo que las hace adecuadas para ciertas
actividades relacionadas con la planificación urbana. Se observa que para estas proyecciones la
exactitud observada para el borde de huso en bajas latitudes no incrementa de sobre manera las
deformaciones, produciéndose para el caso de la MTM1 una mantención de la escala de
representación posible para el borde de huso (1:10.000) y para el caso de la MTM2 una mejora en
cuanto a la exactitud posible de alcanzar para esta proyección en el meridiano central (1:5.000)
La proyección UTM ofrece nominalmente exactitudes compatibles con la escala 1:50.000
y en el caso extremo exactitudes compatibles con la escala 1:100.000 lo que la hace totalmente
inadecuada para la representación urbana
8.3.2. Caso particular
En cuanto a la deformación ocurrida en el área de estudio debido a las diferencias de los
factores K es posible determinar que:
Aquellos casos en que el Huso de la proyección tiene su meridiano central dentro del
desarrollo longitudinal del área de estudio (en 71º30’W), se presentan deformaciones menores,
las que permiten representación cartográfica a una escala máxima 1:500. Para las demás
proyecciones se observa un incremento en las diferencias de factores de escala acorde a la
distancia que separa el área de estudio respecto al meridiano central. Así, las proyecciones con
meridiano central en 71ºW permiten representación cartográfica hasta escala 1:5.000 y las
160
proyecciones con meridiano central en 70ºW permiten una representación cartográfica de hasta
1:10.000. Por otra parte la proyección UTM no permite representación cartográfica a escala
urbana.
Atendiendo a esto, se observa que cada una de las proyecciones estudiadas, a excepción
de la UTM presenta algún grado de afinidad en cuanto a la representación a escala urbana y si
bien es cierto los resultados recién expuestos no son indicador de un óptima relación plano de
proyección – elipsoide – terreno, si indican las magnitudes de las deformaciones inherentes a
cada proyección las cuales habrá que considerar para casos en los cuales bastará una única
corrección al factor de deformación de escala para el área de estudio.
En cuanto a la deformación ocurrida entre el plano de proyección y el elipsoide dentro del
área de estudio, es posible determinar que:
La proyección LTM1 al corresponderse con un meridiano central cercano al área de
estudio (71º30’) y tener un factor de escala para el meridiano central cercano a uno, ve
aumentada su exactitud de representación del elipsoide entre el meridiano central y las zonas mas
alejadas de él. Así, puede considerarse que esta proyección para el caso local representa al
elipsoide con una exactitud compatible con la escala de representación 1:500
Las proyecciones GK1 y LTM2 presentan exactitudes en el área de estudio que las hacen
compatibles con escalas de representación 1:5.000 y menores. Esto se debe en el caso de la GK1
a su relativa cercanía con el meridiano central (45 km aproximadamente) que implica valores K
161
cercanos a la unidad. En el caso de la LTM2 la exactitud que entrega se explica por la cercanía
del área de estudio con la zona de secancia, lo que implica valores del factor de escala cercanos a
la unidad.
Las proyecciones MTM1 y MTM2 presentan exactitudes compatibles con escalas de
representación 1:10.000 debido fundamentalmente a su cercanía con el meridiano central y con la
línea de secancia, lo que permite que los valores calculados K se mantengan cercanos a la unidad.
En cuanto a la deformación ocurrida entre el plano de proyección y la superficie
topográfica, es posible determinar que:
La proyección GK1 posee los valores mas cercanos a la nula deformación entre el plano
de proyección y la superficie topográfica, por lo que presenta una exactitud compatible con la
escala de representación 1:5.000. Esta situación se explica básicamente por la escasa altitud que
alcanza el área de estudio (menor que 450 metros de altura ortométrica), lo que implica que los
valores Kh son cercanos en magnitud a los valores K presentes en esta situación.
Las proyecciones LTM1 y LTM2 poseen una exactitud que las hace compatibles con
escalas de representación 1:10.000 y menores. Esto, debido fundamentalmente por la relativa
cercanía en los valores K con los valores Kh máximos definidos para el área de estudio. Para este
caso particular, la proyección LTM1 provoca deformaciones negativas, Las que se manifiestan en
una representación subdimensionada de una porción de superficie topográfica, debido a la
condición de tangencia del cilindro TM para este caso. Por otra parte, la proyección LTM2
162
provoca deformaciones positivas, las que se manifiestan mediante una representación
sobredimensionada de una porción de superficie topográfica, debido a la condición de secancia
del cilindro TM para este caso.
Las proyecciones GK2, MTM1, MTM2 y UTM presentan deformaciones que sobrepasan
la tolerancia definida para las escalas urbanas de representación, debido a las notables diferencias
existentes entre los valores K observados en el área de estudio y los valores Kh definidos según la
situación altimétrica del terreno a representar.
8.4. RELACIÓN ENTRE PROYECCIONES TM, ELIPSOIDE Y SUPERFICIE
TOPOGRÁFICA
8.4.1. Reducción Plano TM – Elipsoide
Para validar la reducción de una magnitud considerada sobre un plano de proyección, será
preciso el considerar el error inherente al método de producción cartográfica e interpretarlo como
la tolerancia propia de cada escala cartográfica de representación. De esta forma, una reducción
solo tendrá sentido si la diferencia entre la magnitud primitiva y la magnitud reducida es mayor
que la tolerancia cartográfica definida para la escala de representación.
La determinación del factor reductor de una determinada magnitud, debe hacerse de tal
modo que este, modele óptimamente la relación geométrica existente entre las superficies
163
consideradas. En este sentido, la determinación del factor K utilizado en la reducción deberá
realizarse poniendo especial atención en el error que puede introducirse a partir de la
determinación de dicho factor.
8.4.2. Reducción Elipsoide – Plano Topográfico Local
Pese a la sencillez del cálculo del factor reductor que transforma magnitudes elipsoidales
en Topográficas, la obtención de las alturas Geométricas es un factor crítico para validar el
método de reducción de magnitudes, ya que sin ello es imposible modelar la relación geométrica
entre el elipsoide y el plano topográfico local. Pese a lo anterior, en la presente investigación se
asume la coincidencia del elipsoide con el geoide para de esta forma utilizar la altura Ortométrica
en reemplazo de la altura Geométrica.
Al momento de realizar una reducción de este tipo, debe considerarse que esta será valida
únicamente para un rango de alturas en función de la tolerancia aceptada para la escala de
representación y que por lo tanto, para diferentes alturas del terreno, existirán diferentes niveles
de exactitud para la reducción y que habrá que considerar siempre, el error máximo del rango de
alturas a representar, para todo el Plano Topográfico Local.
Ejemplos de Reducciones
Para el ejemplo “a” expuesto en 7.10.4. se observa que la reducción de una magnitud
desde el plano TM hasta el elipsoide considerada sobre un único meridiano y utilizando el factor
164
de deformación de escala del punto medio exacto entre los puntos observados, es coincidente
hasta el milímetro con la medida patrón.
Para la reducción hecha a partir del promedio de los factores de deformación de escala
tomados de la red de puntos muestrales, la igualdad entre las magnitudes transformadas y patrón
se mantiene también hasta el orden de los milímetros.
Para las reducciones hechas utilizando un factor corrector proveniente del factor K de
puntos distantes unos 1250m de la coordenada media exacta, se obtiene un error de 3mm entre la
magnitud reducida y la magnitud patrón.
Obsérvese que la variación de coordenadas Este que separa ambos puntos corresponde a
524.23m mientras que la variación de sus coordenadas Norte corresponde a 22392.807m.
Para el ejemplo “b” expuesto en 7.10.4. se observa la reducción de una magnitud desde el plano
TM hasta el elipsoide considerada sobre un único paralelo y utilizando el factor de deformación
de escala del punto medio exacto entre los puntos observados, existe un error de 15 milímetros
respecto de la medida patrón.
Para la reducción hecha a partir del promedio de los factores de deformación de escala
tomados de la red de puntos muestrales, el error de la reducción se reduce hasta los 4 milímetros.
Para las reducciones hechas utilizando un factor corrector proveniente del factor K de un
punto distante unos 1050m de la coordenada media exacta en el sentido del paralelo, se obtiene
un error aproximado de 115mm entre la magnitud reducida y la magnitud patrón.
165
Obsérvese que la variación de coordenadas este que separa ambos puntos corresponde a
524.23m mientras que la variación de sus coordenadas norte corresponde a 22392.807m.
166
CAPITULO 9
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
A partir de los Objetivos planteados en la presente investigación y atendiendo a los
resultados obtenidos es posible concluir que:
Diferentes proyecciones TM presentan efectivamente diferentes niveles de exactitud, lo
que condiciona la utilización de ellas en determinados márgenes dados por la tolerancia impuesta
por la escala de representación y por la situación espacial del área a proyectar.
Para el presente estudio, las deformaciones fluctúan entre los 0.147m y los 7.236m al
considerar el plano de proyección y el plano topográfico. Entre los 0.845m y los 5.958m si se
considera el plano de proyección y el elipsoide, y entre los 0.491m y los 2.291m al considerar las
deformaciones producidas por la variación de los factores K al interior del área de estudio.
La elección de la utilización de una determinada proyección, debe realizarse previo
estudio de las deformaciones existentes para el área a representar en cuanto a:
• La cantidad de deformación inherente a la proyección, definida según la máxima
diferencia de los valores K observados en el área a representar y su significancia
en la extensión a representar considerando la escala de representación.
167
• La máxima y mínima deformación existente entre la proyección y el elipsoide de
referencia.
• La máxima y mínima deformación existente entre la proyección y la superficie
topográfica.
La exactitud de representación de una proyección cartográfica debe definirse según la
escala de máximo detalle que permite representar una determinada proyección. Se recomienda
definir el tipo de relación optima que se espera del producto cartográfico en cuanto a la exactitud
referida al elipsoide de revolución, o superficie topográfica.
La óptima relación entre la superficie física de la Tierra y el plano de proyección debe
considerar, para aquellos productos cartográficos referidos un elipsoide, los máximos y mínimos
valores Kp y Kh presentes en el área a representar para con esto realizar las reducciones
necesarias mediante la formula referida en el capitulo Nº7. Para la generación de nuevos
productos cartográficos que deban referirse a la superficie física de la tierra, se debe optar por una
proyección TM con factor Kh referido a la exactitud esperada según la escala de representación
dependiendo de la situación altimétrica del área a representar y meridiano central variable.
Al utilizar una proyección cartográfica como instrumento de medición de los elementos
en él representado, debe considerarse la superficie de referencia del producto cartográfico y la
168
magnitud de deformación a la cual está sujeta la representación. debido a la alta correlación entre
el factor de deformación de escala y la variación de la coordenada Este, debe utilizarse el factor
de deformación promedio en la superficie a medir, para asegurar con esto, la exactitud de la
medición.
169
CAPITULO 10
ANEXOS
170
ANEXO Nº1 MAPA DE UBICACIÓN
171
172
ANEXO Nº 2 RED DE PUNTOS MUESTRALES
173
ID Latitud Longitud ID Latitud Longitud 1 -33.12000000000 -71.46000000000 51 -33.00782774460 -71.46000000000 2 -33.12000000000 -71.48243445108 52 -33.00782774460 -71.48243445108 3 -33.12000000000 -71.50486890216 53 -33.00782774460 -71.50486890216 4 -33.12000000000 -71.52730335324 54 -33.00782774460 -71.52730335324 5 -33.12000000000 -71.54973780432 55 -33.00782774460 -71.54973780432 6 -33.12000000000 -71.57217225540 56 -33.00782774460 -71.57217225540 7 -33.12000000000 -71.59460670648 57 -33.00782774460 -71.59460670648 8 -33.12000000000 -71.61704115756 58 -33.00782774460 -71.61704115756 9 -33.12000000000 -71.63947560864 59 -33.00782774460 -71.63947560864
10 -33.12000000000 -71.66191005972 60 -33.00782774460 -71.66191005972 11 -33.09756554892 -71.46000000000 61 -32.98539329352 -71.46000000000 12 -33.09756554892 -71.48243445108 62 -32.98539329352 -71.48243445108 13 -33.09756554892 -71.50486890216 63 -32.98539329352 -71.50486890216 14 -33.09756554892 -71.52730335324 64 -32.98539329352 -71.52730335324 15 -33.09756554892 -71.54973780432 65 -32.98539329352 -71.54973780432 16 -33.09756554892 -71.57217225540 66 -32.98539329352 -71.57217225540 17 -33.09756554892 -71.59460670648 67 -32.98539329352 -71.59460670648 18 -33.09756554892 -71.61704115756 68 -32.98539329352 -71.61704115756 19 -33.09756554892 -71.63947560864 69 -32.98539329352 -71.63947560864 20 -33.09756554892 -71.66191005972 70 -32.98539329352 -71.66191005972 21 -33.07513109784 -71.46000000000 71 -32.96295884244 -71.46000000000 22 -33.07513109784 -71.48243445108 72 -32.96295884244 -71.48243445108 23 -33.07513109784 -71.50486890216 73 -32.96295884244 -71.50486890216 24 -33.07513109784 -71.52730335324 74 -32.96295884244 -71.52730335324 25 -33.07513109784 -71.54973780432 75 -32.96295884244 -71.54973780432 26 -33.07513109784 -71.57217225540 76 -32.96295884244 -71.57217225540 27 -33.07513109784 -71.59460670648 77 -32.96295884244 -71.59460670648 28 -33.07513109784 -71.61704115756 78 -32.96295884244 -71.61704115756 29 -33.07513109784 -71.63947560864 79 -32.96295884244 -71.63947560864 30 -33.07513109784 -71.66191005972 80 -32.96295884244 -71.66191005972 31 -33.05269664676 -71.46000000000 81 -32.94052439136 -71.46000000000 32 -33.05269664676 -71.48243445108 82 -32.94052439136 -71.48243445108 33 -33.05269664676 -71.50486890216 83 -32.94052439136 -71.50486890216 34 -33.05269664676 -71.52730335324 84 -32.94052439136 -71.52730335324 35 -33.05269664676 -71.54973780432 85 -32.94052439136 -71.54973780432 36 -33.05269664676 -71.57217225540 86 -32.94052439136 -71.57217225540 37 -33.05269664676 -71.59460670648 87 -32.94052439136 -71.59460670648 38 -33.05269664676 -71.61704115756 88 -32.94052439136 -71.61704115756 39 -33.05269664676 -71.63947560864 89 -32.94052439136 -71.63947560864 40 -33.05269664676 -71.66191005972 90 -32.94052439136 -71.66191005972
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174
ID Latitud Longitud ID Latitud Longitud 41 -33.03026219568 -71.46000000000 91 -32.91808994028 -71.46000000000 42 -33.03026219568 -71.48243445108 92 -32.91808994028 -71.48243445108 43 -33.03026219568 -71.50486890216 93 -32.91808994028 -71.50486890216 44 -33.03026219568 -71.52730335324 94 -32.91808994028 -71.52730335324 45 -33.03026219568 -71.54973780432 95 -32.91808994028 -71.54973780432 46 -33.03026219568 -71.57217225540 96 -32.91808994028 -71.57217225540 47 -33.03026219568 -71.59460670648 97 -32.91808994028 -71.59460670648 48 -33.03026219568 -71.61704115756 98 -32.91808994028 -71.61704115756 49 -33.03026219568 -71.63947560864 99 -32.91808994028 -71.63947560864 50 -33.03026219568 -71.66191005972 100 -32.91808994028 -71.66191005972
175
ANEXO Nº 3
MAPA DE UBICACIÓN RED DE PUNTOS MUESTRALES
176
177
ANEXO Nº4
PROYECCIÓN DE PUNTOS MUESTRALES, FACTOR DE DEFORMACIÓN DE
ESCALA Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
178
GK1
ID Este Norte Def escala ID Este Norte Def Escala 1 238082.019 3356086.152 1.0000472485 51 248575.252 3356146.449 1.00003259102 238097.645 3353597.972 1.0000472245 52 248588.230 3353658.291 1.00003257443 238113.281 3351109.784 1.0000472004 53 248601.216 3351170.125 1.00003255784 238128.927 3348621.587 1.0000471763 54 248614.210 3348681.949 1.00003254125 238144.582 3346133.382 1.0000471522 55 248627.211 3346193.764 1.00003252466 238160.246 3343645.167 1.0000471281 56 248640.221 3343705.571 1.00003250797 238175.920 3341156.943 1.0000471040 57 248653.238 3341217.368 1.00003249138 238191.604 3338668.711 1.0000470798 58 248666.264 3338729.157 1.00003247479 238207.296 3336180.470 1.0000470557 59 248679.297 3336240.936 1.0000324580
10 238222.999 3333692.220 1.0000470316 60 248692.338 3333752.707 1.000032441411 240180.673 3356099.104 1.0000440999 61 250673.888 3356157.169 1.000029985212 240195.770 3353610.930 1.0000440774 62 250686.337 3353669.015 1.000029969913 240210.876 3351122.746 1.0000440549 63 250698.793 3351180.852 1.000029954714 240225.991 3348634.554 1.0000440325 64 250711.256 3348692.680 1.000029939415 240241.115 3346146.353 1.0000440100 65 250723.727 3346204.499 1.000029924116 240256.248 3343658.143 1.0000439875 66 250736.206 3343716.309 1.000029908817 240271.391 3341169.924 1.0000439650 67 250748.692 3341228.110 1.000029893518 240286.543 3338681.696 1.0000439424 68 250761.185 3338739.903 1.000029878219 240301.704 3336193.459 1.0000439199 69 250773.687 3336251.686 1.000029862920 240316.874 3333705.213 1.0000438974 70 250786.195 3333763.460 1.000029847521 242279.323 3356111.611 1.0000410598 71 252772.522 3356167.442 1.000027488022 242293.890 3353623.440 1.0000410389 72 252784.440 3353679.291 1.000027474023 242308.466 3351135.261 1.0000410180 73 252796.366 3351191.132 1.000027460024 242323.051 3348647.073 1.0000409970 74 252808.299 3348702.964 1.000027446025 242337.644 3346158.876 1.0000409761 75 252820.240 3346214.786 1.000027431926 242352.247 3343670.671 1.0000409552 76 252832.187 3343726.600 1.000027417927 242366.858 3341182.456 1.0000409342 77 252844.142 3341238.405 1.000027403928 242381.478 3338694.232 1.0000409132 78 252856.104 3338750.201 1.000027389829 242396.107 3336206.000 1.0000408923 79 252868.073 3336261.988 1.000027375830 242410.745 3333717.759 1.0000408713 80 252880.050 3333773.766 1.000027361831 244377.970 3356123.670 1.0000381283 81 254871.152 3356177.268 1.000025099332 244392.007 3353635.504 1.0000381089 82 254882.541 3353689.121 1.000025086533 244406.053 3351147.329 1.0000380895 83 254893.937 3351200.965 1.000025073734 244420.107 3348659.146 1.0000380700 84 254905.339 3348712.800 1.000025060935 244434.170 3346170.953 1.0000380506 85 254916.749 3346224.627 1.000025048136 244448.242 3343682.751 1.0000380311 86 254928.166 3343736.444 1.000025035337 244462.322 3341194.541 1.0000380117 87 254939.589 3341248.252 1.000025022538 244476.410 3338706.322 1.0000379922 88 254951.020 3338760.051 1.000025009739 244490.507 3336218.093 1.0000379727 89 254962.457 3336271.842 1.000024996940 244504.613 3333729.856 1.0000379533 90 254973.902 3333783.623 1.0000249841
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179
ID Este Norte Def escala ID Este Norte Def Escala 41 246476.612 3356135.283 1.0000353054 91 256969.779 3356186.648 1.000022819242 246490.120 3353647.121 1.0000352874 92 256980.638 3353698.505 1.000022807643 246503.636 3351158.950 1.0000352694 93 256991.504 3351210.352 1.000022795944 246517.160 3348670.771 1.0000352514 94 257002.377 3348722.190 1.000022784345 246530.692 3346182.582 1.0000352334 95 257013.256 3346234.020 1.000022772746 246544.233 3343694.385 1.0000352154 96 257024.142 3343745.840 1.000022761047 246557.782 3341206.178 1.0000351974 97 257035.034 3341257.652 1.000022749448 246571.338 3338717.963 1.0000351793 98 257045.933 3338769.454 1.000022737749 246584.904 3336229.739 1.0000351613 99 257056.838 3336281.248 1.000022726150 246598.477 3333741.506 1.0000351433 100 257067.751 3333793.033 1.0000227144
180
GK2
ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def escala 1 144530.048 3355054.983 1.0002978963 51 155024.740 3355214.869 1.00025903432 144569.298 3352566.440 1.0002977444 52 155061.338 3352726.383 1.00025890223 144608.571 3350077.890 1.0002975925 53 155097.958 3350237.889 1.00025877024 144647.869 3347589.331 1.0002974406 54 155134.601 3347749.386 1.00025863815 144687.190 3345100.764 1.0002972886 55 155171.266 3345260.875 1.00025850596 144726.535 3342612.189 1.0002971366 56 155207.953 3342772.356 1.00025837377 144765.904 3340123.606 1.0002969845 57 155244.663 3340283.828 1.00025824158 144805.296 3337635.014 1.0002968323 58 155281.394 3337795.292 1.00025810929 144844.713 3335146.414 1.0002966801 59 155318.148 3335306.748 1.0002579768
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188
MTM2
ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 1 284855.865 3356633.264 0.9999028267 51 295347.815 3356643.795 0.99990026682 284859.687 3354145.398 0.9999028253 52 295348.989 3354155.933 0.99990026663 284863.511 3351657.523 0.9999028238 53 295350.163 3351668.061 0.99990026654 284867.338 3349169.639 0.9999028224 54 295351.339 3349180.181 0.99990026635 284871.166 3346681.746 0.9999028210 55 295352.515 3346692.292 0.99990026626 284874.997 3344193.844 0.9999028195 56 295353.692 3344204.393 0.99990026617 284878.831 3341705.933 0.9999028181 57 295354.869 3341716.486 0.99990026598 284882.667 3339218.013 0.9999028166 58 295356.048 3339228.570 0.99990026589 284886.505 3336730.084 0.9999028152 59 295357.227 3336740.645 0.9999002657
10 284890.345 3334242.146 0.9999028137 60 295358.406 3334252.710 0.999900265511 286954.257 3356636.263 0.9999020976 61 303741.368 3356644.182 0.999900172512 286957.549 3354148.398 0.9999020966 62 303740.424 3354156.320 0.999900172413 286960.843 3351660.524 0.9999020955 63 303739.479 3351668.449 0.999900172414 286964.139 3349172.641 0.9999020944 64 303738.533 3349180.569 0.999900172315 286967.437 3346684.749 0.9999020934 65 303737.588 3346692.680 0.999900172216 286970.738 3344196.848 0.9999020923 66 303736.641 3344204.782 0.999900172117 286974.040 3341708.939 0.9999020912 67 303735.694 3341716.875 0.999900172018 286977.344 3339221.020 0.9999020902 68 303734.747 3339228.959 0.999900171919 286980.650 3336733.092 0.9999020891 69 303733.798 3336741.033 0.999900171820 286983.958 3334245.155 0.9999020880 70 303732.850 3334253.099 0.999900171721 289052.647 3356638.816 0.9999014771 71 297446.203 3356644.562 0.999900080422 289055.410 3354150.952 0.9999014764 72 297446.847 3354156.699 0.999900080323 289058.174 3351663.079 0.9999014756 73 297447.492 3351668.828 0.999900080324 289060.940 3349175.197 0.9999014749 74 297448.138 3349180.948 0.999900080325 289063.708 3346687.306 0.9999014741 75 297448.783 3346693.059 0.999900080226 289066.477 3344199.406 0.9999014733 76 297449.429 3344205.161 0.999900080227 289069.248 3341711.497 0.9999014726 77 297450.076 3341717.254 0.999900080128 289072.021 3339223.579 0.9999014718 78 297450.722 3339229.339 0.999900080129 289074.795 3336735.652 0.9999014711 79 297451.370 3336741.414 0.999900080130 289077.571 3334247.716 0.9999014703 80 297452.017 3334253.480 0.999900080031 291151.037 3356640.922 0.9999009651 81 301642.979 3356644.755 0.999900033332 291153.270 3354153.059 0.9999009646 82 301642.565 3354156.893 0.999900033333 291155.504 3351665.186 0.9999009641 83 301642.150 3351669.022 0.999900033234 291157.740 3349177.305 0.9999009636 84 301641.735 3349181.142 0.999900033235 291159.977 3346689.415 0.9999009631 85 301641.319 3346693.254 0.999900033236 291162.216 3344201.516 0.9999009627 86 301640.904 3344205.356 0.999900033237 291164.456 3341713.607 0.9999009622 87 301640.488 3341717.449 0.999900033238 291166.697 3339225.690 0.9999009617 88 301640.072 3339229.533 0.999900033239 291168.940 3336737.764 0.9999009612 89 301639.655 3336741.608 0.999900033140 291171.184 3334249.829 0.9999009607 90 301639.239 3334253.674 0.9999000331
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189
ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 41 293249.426 3356642.582 0.9999005617 91 299544.591 3356644.882 0.999900002642 293251.129 3354154.719 0.9999005614 92 299544.706 3354157.020 0.999900002643 293252.834 3351666.847 0.9999005611 93 299544.821 3351669.149 0.999900002644 293254.540 3349178.967 0.9999005608 94 299544.936 3349181.269 0.999900002645 293256.246 3346691.077 0.9999005605 95 299545.051 3346693.380 0.999900002646 293257.954 3344203.178 0.9999005602 96 299545.167 3344205.482 0.999900002547 293259.663 3341715.270 0.9999005599 97 299545.282 3341717.575 0.999900002548 293261.373 3339227.354 0.9999005597 98 299545.397 3339229.659 0.999900002549 293263.083 3336739.428 0.9999005594 99 299545.513 3336741.735 0.999900002550 293264.795 3334251.493 0.9999005591 100 299545.628 3334253.801 0.9999000025
190
UTM
ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 1 251058.159 6354594.027 1.0003641421 51 261551.427 6354853.556 1.00030107322 251121.046 6352105.805 1.0003637523 52 261611.658 6352365.426 1.00030071573 251183.970 6349617.576 1.0003633624 53 261671.926 6349877.288 1.00030035804 251246.933 6347129.340 1.0003629724 54 261732.229 6347389.143 1.00030000025 251309.934 6344641.097 1.0003625823 55 261792.570 6344900.991 1.00029964236 251372.974 6342152.847 1.0003621920 56 261852.947 6342412.832 1.00029928437 251436.051 6339664.590 1.0003618016 57 261913.361 6339924.665 1.00029892618 251499.167 6337176.326 1.0003614111 58 261973.811 6337436.491 1.00029856799 251562.321 6334688.055 1.0003610204 59 262034.297 6334948.310 1.0002982095
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191
ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 41 259452.804 6354802.546 1.0003134695 91 269945.770 6355053.119 1.000252575942 259513.566 6352314.398 1.0003131056 92 270003.877 6352565.059 1.000252243143 259574.365 6349826.242 1.0003127416 93 270062.019 6350076.991 1.000251910244 259635.201 6347338.079 1.0003123775 94 270120.196 6347588.916 1.000251577245 259696.073 6344849.909 1.0003120132 95 270178.408 6345100.834 1.000251244046 259756.983 6342361.732 1.0003116489 96 270236.656 6342612.744 1.000250910847 259817.929 6339873.548 1.0003112844 97 270294.939 6340124.647 1.000250577448 259878.912 6337385.356 1.0003109197 98 270353.257 6337636.543 1.000250244049 259939.932 6334897.158 1.0003105550 99 270411.611 6335148.431 1.000249910450 260000.989 6332408.952 1.0003101901 100 270470.000 6332660.312 1.0002495767
192
ANEXO Nº5 DETERMINACIÓN DE ARCOS GEODÉSICOS Y PROYECTADOS
193
Proyección GK1
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
GK1 a 22394.376 22393.320 -1.056 1 18888.029 18887.382 -0.647 b 22394.304 22393.320 -0.984 2 18883.264 18882.616 -0.648 c 22394.239 22393.320 -0.919 3 18878.494 18877.847 -0.647 d 22394.171 22393.320 -0.851 4 18873.719 18873.075 -0.644 e 22394.107 22393.320 -0.787 5 18868.947 18868.300 -0.647 f 22394.050 22393.320 -0.730 6 18864.168 18863.522 -0.646 g 22393.989 22393.320 -0.669 7 18859.387 18858.741 -0.646 h 22393.935 22393.320 -0.615 8 18854.601 18853.957 -0.644 i 22393.881 22393.320 -0.561 9 18849.815 18849.170 -0.645 j 22393.827 22393.320 -0.507 10 18845.025 18844.381 -0.644
Proyección GK2
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
GK2 a 22399.976 22393.320 -6.656 1 18892.354 18887.382 -4.972 b 22399.797 22393.320 -6.477 2 18887.584 18882.616 -4.968 c 22399.621 22393.320 -6.301 3 18882.809 18877.847 -4.962 d 22399.447 22393.320 -6.127 4 18878.034 18873.075 -4.959 e 22399.276 22393.320 -5.956 5 18873.255 18868.300 -4.955 f 22399.107 22393.320 -5.787 6 18868.473 18863.522 -4.951 g 22398.942 22393.320 -5.622 7 18863.690 18858.741 -4.949 h 22398.777 22393.320 -5.457 8 18858.902 18853.957 -4.945 i 22398.615 22393.320 -5.295 9 18854.109 18849.170 -4.939 j 22398.457 22393.320 -5.137 10 18849.319 18844.381 -4.938
194
Proyección LTM1
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
LTM1 a 22393.269 22393.320 0.051 1 18887.303 18887.382 0.079 b 22393.252 22393.320 0.068 2 18882.537 18882.616 0.079 c 22393.242 22393.320 0.078 3 18877.767 18877.847 0.080 d 22393.233 22393.320 0.087 4 18872.995 18873.075 0.080 e 22393.224 22393.320 0.096 5 18868.219 18868.300 0.081 f 22393.215 22393.320 0.105 6 18863.441 18863.522 0.081 g 22393.206 22393.320 0.114 7 18858.661 18858.741 0.080 h 22393.206 22393.320 0.114 8 18853.877 18853.957 0.080 i 22393.206 22393.320 0.114 9 18849.091 18849.170 0.079 j 22393.215 22393.320 0.105 10 18844.301 18844.381 0.080
Proyección LTM2
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
LTM2 a 22394.264 22393.320 -0.944 1 18887.937 18887.382 -0.555 b 22394.196 22393.320 -0.876 2 18883.169 18882.616 -0.553 c 22394.124 22393.320 -0.804 3 18878.399 18877.847 -0.552 d 22394.061 22393.320 -0.741 4 18873.627 18873.075 -0.552 e 22393.998 22393.320 -0.678 5 18868.850 18868.300 -0.550 f 22393.935 22393.320 -0.615 6 18864.071 18863.522 -0.549 g 22393.881 22393.320 -0.561 7 18859.292 18858.741 -0.551 h 22393.822 22393.320 -0.502 8 18854.508 18853.957 -0.551 i 22393.770 22393.320 -0.450 9 18849.721 18849.170 -0.551 j 22393.719 22393.320 -0.399 10 18844.930 18844.381 -0.549
195
Proyección MTM1
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
MTM1 a 22392.135 22393.320 1.185 1 18886.140 18887.382 1.242 b 22392.065 22393.320 1.255 2 18881.376 18882.616 1.240 c 22392.000 22393.320 1.320 3 18876.606 18877.847 1.241 d 22391.933 22393.320 1.387 4 18871.834 18873.075 1.241 e 22391.870 22393.320 1.450 5 18867.059 18868.300 1.241 f 22391.811 22393.320 1.509 6 18862.280 18863.522 1.242 g 22391.748 22393.320 1.572 7 18857.499 18858.741 1.242 h 22391.694 22393.320 1.626 8 18852.715 18853.957 1.242 i 22391.640 22393.320 1.680 9 18847.930 18849.170 1.240 j 22391.591 22393.320 1.729 10 18843.139 18844.381 1.242
Proyección MTM2
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
MTM2 a 22391.145 22393.320 2.175 1 18885.508 18887.382 1.874 b 22391.127 22393.320 2.193 2 18880.742 18882.616 1.874 c 22391.118 22393.320 2.202 3 18875.974 18877.847 1.873 d 22391.100 22393.320 2.220 4 18871.202 18873.075 1.873 e 22391.091 22393.320 2.229 5 18866.427 18868.300 1.873 f 22391.091 22393.320 2.229 6 18861.649 18863.522 1.873 g 22391.082 22393.320 2.238 7 18856.869 18858.741 1.872 h 22391.082 22393.320 2.238 8 18852.086 18853.957 1.871 i 22391.082 22393.320 2.238 9 18847.300 18849.170 1.870 j 22391.082 22393.320 2.238 10 18842.511 18844.381 1.870
196
Proyección UTM
Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m)
UTM a 22401.432 22393.320 -8.112 1 18893.193 18887.382 -5.811 b 22401.149 22393.320 -7.829 2 18888.416 18882.616 -5.800 c 22400.865 22393.320 -7.545 3 18883.641 18877.847 -5.794 d 22400.583 22393.320 -7.263 4 18878.860 18873.075 -5.785 e 22400.303 22393.320 -6.983 5 18874.076 18868.300 -5.776 f 22400.026 22393.320 -6.706 6 18869.290 18863.522 -5.768 g 22399.752 22393.320 -6.432 7 18864.501 18858.741 -5.760 h 22399.480 22393.320 -6.160 8 18859.710 18853.957 -5.753 i 22399.211 22393.320 -5.891 9 18854.914 18849.170 -5.744 j 22398.943 22393.320 -5.623 10 18850.117 18844.381 -5.736
197
ANEXO Nº6
DIAGRAMA DE FLUJO METODOLOGÍA
198
Determinación área de estudio
Determinación de puntos muestrales
Definición de proyecciones
Proyección de puntos muestrales
Determinación de factores “K”
Segmentos lineales y geodésicos
Coeficiente de correlación
Determinación de tolerancias
Escala de representación según
proyecciones TM
Caso general Caso particular
Deformación según diferencia de factores
“K”
Deformación según diferencia Elipsoide-
Plano TM
Deformación según diferencia PTL-plano
TM
199
CAPITULO 11
BIBLIOGRAFÍA
IPGH, Revista Cartográfica Nº70, Proyecciones Cartográficas Conformes, Enero-Junio 2000. Hosmer G, Geodesy, Segunda edición 1930, ed John Wiley & Sons, Inc, EE.UU, 461pp. Ministerio de Obras Públicas (MOP), Manual de Carreteras, Volumen II, Ingeniería básica aspectos geodésicos y topográficos, Santiago, Chile, 2001. Romero L, Maulén V, Sistema de proyección local transversal de Mercator y uso de planos topográficos locales aplicados a la ingeniería, Universidad de Santiago, Facultad de ingeniería, Departamento de ingeniería geográfica, Santiago, Chile, 2001. Borre, K, Elipsoidal geometry and conformal mapping, Edición revisada, Abril 2003. Martín Asin F, Geodesia y cartografía matemática, 1990, ed Parainfo, Tercera edición, Madrid, España. Blanchut, T, Chrzamowsky, A, Saastamoinen, J, Cartografía y Levantamientos Urbanos, 1979, ed. Springer-Verlag New York. Inc., New York, EE.UU. Izaurieta, R, Alcances relativos a la representación conforme del territorio nacional, racionalización de las operaciones cartográficas, Instituto Profesional de Santiago, Carrera de Cartografía, Santiago, Chile, 1982. Rapp, R, Geodesia Geométrica, Volumen I, Servicio Geodésico Interamericano DMA-IAGS, departamento de Ciencias Geodésicas, Universidad Estatal de Ohio, EE UU, 1981. Vanicek, P, Santos, M, Tenzer, R, Hernández-Navarro, A, Algunos aspectos sobre alturas ortométricas y normales, Revista Cartográfica Nº76-77, Enero-Diciembre 2003. Spiegel, M, Estadística, 1988, ed Mc Graw-Hill, segunda edición, Madrid, España.
200
Gripp, J, Estudio comparativo de deformaciones en diferentes regiones del sistema UTM y LTM, Paper profesional, Universidad federal de Vicosa, Departamento de ingeniería civil, Sector de ingeniería en agrimensura. Sabber, G, Satellyte Geodesy, Fundations, methods and applications, 2003, Nueva York, EE.UU. Zepeda, R, Geodesia Geométrica, Apuntes de clases, 2004, Santiago, Chile. http://www.posc.org/Epicentre.2_2/DataModel/ExamplesofUsage/eu_cs34h.html http://www.gpsglobal.com.br/Artigos/sisref.pdf