departamento de física aplicada iii -...

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Ingeniería de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 1. Septiembre de 20081.1. Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2(c) φ = (z cos ϕ)/ρ (d) φ = cotg θ − tg θ

1.2. Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

(a) A = r (b) B = − y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

(c) C = 2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz (d) D = r tg θ uθ

1.3. Dados los vectoresA = uρ − uz B = 5ur + 12uθ

evaluados en el punto de coordenadas cartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule

(a) A + B

(b) A·B(c) A× B

1.4. Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

(a) φ = A·r (b) φ = r2 (c) φ = A·r + r2 d) φ = r2/(A·r)donde A es un vector constante y r es el vector de posicion.

1.5. Describa graficamente las superficies equiescalares de los campos

(a) φ = x2 + y2 (b) φ = arctg

(√x2 + y2

z

)(c) φ = x√

x2+y2

1.6. Para los campos escalares

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2

calcule su gradiente en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

1.7. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuestre que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentre ∇φ si (a) φ = ln |r|, (b) φ = rn, (c) φ = 1/|r − r0|.1.8. Halle el valor de la integral ∮

AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.2

1.9. Para los campos vectoriales

(a) A = r (b) B = −yux + xuy

(c) C = −xux − yuy + 2zuz (d) D = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilındricasy esfericas. ¿Cuales son irrotacionales y cuales solenoidales?

1.10. Para el campo vectorialA = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz

calcule su flujo a traves de las siguientes superficies cerradas:

(a) Un cubo de arista a, con un vertice en el origen y aristas aux, auy y auz.

(b) Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0y z = h.

(c) Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

Halle el flujo por integracion directa y por aplicacion del teorema de Gauss.

1.11. Para el campo vectorialA = (x − y)ux + (x + y)uy + zuz

calcule su circulacion a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

(a) Un cuadrado de lado 2a, con vertices ±aux ± auy.

(b) Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas.

(c) Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas.

Halle la circulacion por integracion directa y por aplicacion del teorema de Stokes.

1.12. Demuestre que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B·∇)r = B (B ×∇)·r = 0 (B ×∇) × r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestre que

∇(B·r) = B ∇·(B × r) = 0 ∇× (B × r) = 2B

1.13. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r �= 0)∫

δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebe que:

a) ∇·(

rr3

)= 4πδ(r) b) ∇2

(1

|r − r0|)

= −4πδ(r − r0)

1.14. Calcule el laplaciano de los campos escalares

(a) φ = (x2 + y2 + z2)/2 (b) φ = (2z2 − x2 − y2)/2(c) φ = ρ3 cos ϕ (d) φ = r3 sen θ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


1.15. Halle el laplaciano del campo vectorialA = rnr

1.16. Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY , se cumple que∣∣∣∣∮Γr× dr

∣∣∣∣ = 2S

donde r es el vector de posicion y S el area encerrada por Γ.

A partir de aquı, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio

12

∮r × dr = S

donde S es un vector cuyas componentes son las areas de las proyecciones de la curva sobre losplanos coordenados.

1.17. El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresion, en cilındricas, v =(C/ρ)uϕ.

(a) Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que esta definido.

(b) Halle un potencial escalar del que derive este campo.

(c) ¿Cuanto vale la circulacion del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en tornoal eje z? ¿Que consecuencias tiene esto para el potencial escalar?

1.18. De las siguientes expresiones

(a) ∇(∇·φ) (b) ∇× (∇φ) (c) ∇·(∇·φ) (d) ∇× (∇× φ)(e) ∇·(∇×A) (f) ∇× (∇·A) (g) ∇× (∇× A) (h) ∇·(∇·A)(i) ∇·(∇φ) (j) ∇(∇·A) (k) (∇·∇)A (l) (A·∇)φ

(m) (φ∇)·A (n) (A·∇) × A (o) (A·∇)A (p) (A×∇) × A

(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indique cuales son absurdas. De las quetienen sentido, senale las que son identicamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valorpara los campos

φ = xyz A = x2ux + xzuy − xyuz

1.19. De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuales son irrotacionales y cuales armonicos

(a) A = yzux + xzuy + xyuz (b) B = ρuϕ

(c) C = rur − ρuρ (d) D = 2r2 − 3ρ2

(e) E = z/ cos θ (f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa



Campos Electromagneticos. Boletın 2. Octubre de 20082.1. Supongamos un proton y un electron situados a una distancia de un radio de Bohr

(a) Calcule la fuerza electrica entre las dos partıculas.

(b) Halle la fuerza gravitatoria entre ellas.

(c) Calcule el cociente entre las fuerza electrica y la gravitatoria.

(d) Suponga que en lugar a una distancia de un radio de Bohr el proton se encuentra en el centrode la Tierra y el electron en el centro de la Luna (a 384000 km), ¿como cambian las fuerzaselectrica y gravitatoria? ¿Y el cociente entre ellas? De acuerdo con este resultado, ¿como seexplica que la fuerza dominante en el sistema Tierra-Luna sea la gravedad?

2.2. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Halle la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

Suponga que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden es20 cm. Admita asimismo que los angulos de desviacion pueden medirse como mucho con unaprecision de 1◦. ¿Cual es la carga mınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la cargamaxima?

2.3. Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vertices de un triangulo equilatero de lado a =1 cm.Determine la fuerza sobre cada carga cuando:

(a) q1 = q2 = q3 = 1μC.

(b) q1 = q2 = q3 = −1μC.

(c) q1 = q2 = 1μC, q3 = −1μC.

(d) q1 = q2 = 1μC, q3 = −2μC.

2.4. Una carga puntual q1 = 108nC se encuentra situada en el origen de coordenadas. En x = 25mm,y = z = 0 se halla una segunda carga q2. En x = 16mm, y = 12mm se encuentra una terceracarga q3.

Calcule el valor que deben tener q2 y q3 si, ocupando las posiciones indicadas, se desea que seanula la fuerza sobre una carga q4 = 10nC situada en x = 9mm, y = −12mm, z = 0.

Q/2 Q/2

mg

l�

�Q

�q

�q

�

�

�

Problema 2.2 Problemas 2.5

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


2.5. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en unanillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determine la ecuacion para losangulos del triangulo que forman las tres cargas. ¿Cual es la solucion para los casos Q � q, Q = qy Q � q?

2.6. Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo electrico similar al producido por doslıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ, situadas a una distancia D una de la otra.

Se trata de hallar la fuerza por unidad de longitud con que se atraen los dos hilos. Para ello, calcule:

(a) El campo electrico en cualquier punto del espacio, creado por un segmento rectilıneo de lon-gitud L, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme λ.

(b) A partir del resultado anterior, halle el campo en cualquier punto debido a una lınea de cargauniforme infinitamente larga.

(c) Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud L del otro hilo.

2.7. Dos varillas rectilıneas de longitud L estan situadas paralelamente a una distancia D. Las varillasposeen cargas ±Q distribuidas uniformemente.

(a) Halle aproximadamente el campo electrico en un punto P equidistante de ambas varillas, parael caso D � L.

(b) Calcule, tambien de forma aproximada, el valor del campo en el mismo punto P , para el casoD � L.

(c) Calcule el valor exacto del campo electrico en dicho punto P , para un valor arbitrario de D.

(d) Compare los valores exactos y aproximados para el caso Q = 1mC, L = 2cm, y

• D = 2mm• D = 40 cm

2.8. Calcule la fuerza entre dos varillas colineales, de longitudes L1 y L2, que almacenan respectiva-mente cargas Q1 y Q2, cuando sus extremos mas proximos distan una cantidad a.

2.9. Halle el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considere en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

2.10. Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados unadistancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2 posee una distribucion de carga uniforme σ0,mientras que la del otro es −σ0. Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

•P

D

L

+Q -Q

L1

L2

a

Q2

Q1 R

1

R2

Problema 2.7 Problema 2.8 Problema 2.9

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


2.11. Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.

(a) Calcule el campo electrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.(b) Halle la fuerza que experimenta un dipolo p situado en el interior de esta nube de carga.

2.12. Halle el flujo del campo electrico debido a una carga puntual q a traves de un disco cuyo eje pasapor el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio R y la distancia de la carga al plano del disco es h.

(a) Utilizando coordenadas cilındricas(b) Usando coordenadas esfericas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie que

subtienda el mismo angulo solido).

2.13. En un volumen en forma de esfera (de radio 3R) en la que se han hecho dos huecos (tambienesfericos, uno de radio 2R y otro de radio R) se distribuye uniformemente una carga Q.

(a) Calcule el campo electrico en el punto P , de tangencia de los dos huecos.(b) Halle el potencial electrico en el mismo punto P .(c) Calcule los dos primeros momentos multipolares del sistema, tomando como origen de coor-

denadas el centro de la esfera grande.

2.14. En el plano xy se encuentra una distribucion de carga lineal, formando un anillo, de radio R y conuna distribucion de carga no uniforme dada, en coordenadas cilındricas, por

λ = λ0 cos ϕ′ ϕ′ ∈ (−π, π]

(a) Halle el potencial electrico producido por el anillo en los puntos del eje Z.(b) Calcule el campo electrico producido por el anillo en el mismo eje.(c) Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cual

serıa el valor y la orientacion de dicho dipolo?

2.15. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy. Halle el flujo del campoelectrico a traves de un triangulo con vertices en los puntos aux, auy y auz.

2.16. Halle el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demues-tre que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2.17. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyende manera uniforme cargas de +1nC y −1 nC respectivamente. Estos discos se disponen paralela-mente en z = ±a/2. Determine

(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1m.

Q

Z•P

x

y

z

�

q�

q�

q

Problema 2.13 Problema 2.15

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


(c) Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a.Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es aproximadamente el error cometidoen el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2.18. Calcule el potencial electrico en el centro de una esfera cargada uniformemente en volumen conuna carga total Q0.

2.19. Determine el potencial electrico creado en todos los puntos del espacio por una lınea recta infinita,cargada con una densidad uniforme λ0, estando el origen de potencial situado a una distancia a dela lınea. ¿Por que no puede tomarse el infinito como origen de potencial?

A partir de este resultado, calcule el potencial creado por dos lıneas infinitas de carga, con densi-dades uniformes +λ0 y −λ0, situadas paralelamente a una distancia 2a, tomando como origen depotencial un punto equidistante de ambas lıneas.

2.20. Calcule la energıa electrostatica almacenada en cada una de las cuatro configuraciones del proble-ma 2.3.

2.21. Para la configuracion del problema 2.4, calcule el trabajo necesario para llevar la carga q4 desde elinfinito hasta su posicion final.

2.22. Cuatro cargas puntuales se situan en los vertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadasen vertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.

Calcule el trabajo para reunir esta distribucion de cargas.

Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vertice opues-to, ¿que trabajo hay que realizar para esta operacion?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vertice vecino, ¿cual sera en este caso,el trabajo realizado?

2.23. En el espacio vacıo se ha detectado un campo electrostatico con simetrıa esferica respecto de unpunto fijo O, cuya funcion de campo viene dada por la expresion E(r) = E(r)ur, con

E(r) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E0r

a0 ≤ r < a

E0 a < r < b

E0

(a

r

)2

b < r

siendo r la distancia desde O al punto donde se evalua el campo y E0, a y b son constantesconocidas.

(a) Determine como es la distribucion de carga electrica que da lugar al campo descrito.

(b) Calcule la carga total de dicha distribucion.

(c) Obtenga el valor del potencial electrico en O (r = 0).

(d) ¿Cuanto vale la energıa electrostatica del sistema?

2.24. El potencial electrico en todos los puntos del espacio viene dado por la ecuacion

φ = V0e−k|y| cos(kx)

con k y V0 constantes.

(a) Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Calcule la densidad de carga que crea este campo electrico.

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


2.25. Calcule la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

(c) ¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpretaeste resultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

(d) El llamado radio clasico del electron se obtiene describiendo esta partıcula como una pequenaesfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema equivale a la masa del electron de acuerdo con la leyE = mc2, halle el valor numerico del radio que debe tener el electron.Repita ahora el calculo para el caso de un proton. ¿Es logico el resultado que se obtiene?

2.26. Un anillo circular de radio a, almacena una carga Q distribuida uniformemente. En el centro delanillo se encuentra un dipolo puntual p, alineado segun el eje de la espira.

(a) Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira.

(b) Halle la energıa que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira.

(c) Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

(d) Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

2.27. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se colocaun segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientacion, en el punto auz.

(a) Halle la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este esta orientadocomo p2 = puz.

(b) Calcule el valor numerico de esta fuerza si los dos dipolos son moleculas de agua (p = 6.14 ×10−30C·m) situadas a una distancia de 1 nm.

(c) Repita el calculo si p2 = pux.

2.28. Halle los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Describael campo y el potencial electrico a gran distancia de ellas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ0.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σs = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

2.29. Se tiene un casquete hemisferico de radio interior R y exterior 2R. Este casquete posee una densi-dad de carga uniforme ρ0.

(a) Calcule el valor del potencial electrico en el punto O, centro del casquete.

(b) Calcule el trabajo para mover una carga puntual q desde un punto A situado en el borde delcasquete, al punto B, situado diametralmente opuesto.

(c) Halle el valor del campo electrico en el punto O.

(d) Considerando O como el origen de coordenadas, halle la expresion del potencial electrico enpuntos alejados del casquete, hasta el segundo orden de aproximacion.

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa



Campos Electromagneticos. Boletın 3. Diciembre de 20083.1. Una esfera metalica de radio a se encuentra a potencial V0 respecto al infinito. No hay mas con-

ductores en el sistema. Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos del espacio,ası como la carga almacenada en la esfera conductora.

3.2. Se tiene un sistema de dos conductores. Uno de ellos es una esfera metalica maciza de radio a.El otro es una fina corteza esferica metalica, de radio b, concentrica con la anterior. Calcule elpotencial en todos los puntos del espacio en los casos siguientes.

(a) La esfera interior se encuentra a potencial V1 y la exterior a potencial V2.

(b) La esfera interior almacena una carga Q1 y la exterior una carga Q2.

(c) La esfera interior almacenada una carga Q1 y la exterior se encuentra a un potencial V2.

Calcule asimismo la energıa almacenada en el sistema de dos esferas, para las tres situacionesindicadas.

3.3. Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios a y b (a < b), muy alejadas entre sı (deforma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductorideal. El conductor almacena una carga Q.

(a) ¿Cuanta carga se va a cada esfera? ¿En cual de las dos es mayor la carga almacenada?

(b) ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo electrico en lasuperficie?

3.4. Un cilindro macizo de gran longitud L y radio a se encuentra rodeado de una corteza cilındricaconcentrica, la misma longitud L, radio interior b y exterior c, tambien metalica.

La corteza exterior se encuentra permanentemente a tierra.

Determine la distribucion de potencial y de campo electrico entre los dos cilindros cuando el cilindrointerior se encuentra a potencial V1. Calcule la carga almacenada en el cilindro interior.

Desprecie los efectos de borde.

3.5. Dos placas conductoras cuadradas de lado L se situan paralelamente a una distancia a la una dela otra (a � L). Los potenciales de ambas placas son V1 y V2, respectivamente. Calcule el valoraproximado de

(a) El potencial en los puntos entre ambas placas.

(b) El campo electrico en el espacio intermedio.

ba

V1 V2

abc

V0

V1V2

L

a


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


(c) La carga almacenada en la caras de las placas enfrentadas a la otra placa.


3.6. Dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, se encuentran situadas a una distancia a launa de la otra. La placa inferior se pone a una tension V1, mientras que la superior se encuentra atension V2. El espacio entre las placas esta ocupado por una capa de un material cargado con unadensidad uniforme ρ0.

(a) Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos entre las placas.

(b) Calcule la energıa electrica almacenada en el sistema.

(c) Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

3.7. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga encada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energıa almacenada en el sistema.

3.8. Se tiene un sistema de cuatro conductores tal como se indica en la figura. Uno de ellos (conductor“4”) es un prisma cuadrado hueco de lado 43 mm y longitud 50 mm. Este conductor se encuentrasiempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores. El conductor “1” es un paralelepıpedo de lados41 mm, 20 mm y 50 mm. Los conductores “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado 20 mmy altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

(a) Teniendo en cuenta la pequenez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamen-te, las cargas que almacenan los conductores 1, 2 y 3, cuando sus tensiones son V1 = 10V,V2 = 20V y V3 = −10V.

(b) Para la configuracion anterior, calcule la energıa electrostatica almacenada en el sistema.

(c) Si el conductor 1 se encuentra a tension V0 = 100 V, el 2 aislado y descargado y el 3 a tierra,¿cuales son las cargas y los potenciales de los tres conductores? ¿Y la energıa electrostaticaalmacenada en el sistema?

(d) Si, en el estado del apartado anterior, se desconecta el conductor 3 de tierra y se conecta alconductor 2, ¿como cambia la energıa almacenada?

V0

20mm1mm

20mm

41m

m

43mm

Pro

fundid

ad:

50m

m

1

4

2

3

1

2 3

4


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


3.9. Considere el sistema de cuatro conductores de la figura. Esta formado por dos cables coaxiales (delongitud indefinida) situados paralelamente. De esta forma, los conductores 1 y el 2 son simetricoscon el 4 y el 3, respectivamente.

En este sistema, ¿que coeficientes de capacidad e induccion son nulos? ¿Cuales positivos? ¿Cualesnegativos? ¿Cuales iguales entre sı?

Suponga que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4(estos cables atraviesan, sin hacer contacto, los conductores 2 y 3). ¿Como queda la nueva matrizde capacidades a partir de la matriz del sistema original?

3.10. Se tiene un sistema formado por cuatro placas conductoras, todas ellas cuadradas y de lado L,situadas paralelamente. Las distancias entre placas consecutivas son, respectivamente, a, 3a y 2a(a � L).

Las placas exteriores se encuentran a tierra en todo instante.

(a) Inicialmente la segunda placa almacena una carga Q, mientras que la tercera esta aislada ydescargada. determine el potencial al que se encuentra cada placa, ası como la carga quealmacena cada una.

(b) Para el caso anterior, determine el campo electrico en todos los puntos entre las placas.

(c) Si ahora se conectan las dos placas intermedias, ¿como cambian las cargas y los potencialesde las distintas placas? ¿Y los campos electricos entre las placas?

(d) Determine la variacion de energıa entre el estado anterior y el posterior a la conexion.

3.11. Se tiene un sistema de dos conductores formado cada uno de ellos por una esfera de radio a y unacorteza esferica de radio 2a, de espesor despreciable, unidas por un cable muy largo. Cada cortezarecubre concentricamente a la esfera del otro conductor. Los dos subsistemas estan muy alejados,de forma que el campo de cada uno de ellos produce una influencia despreciable en el otro.

(a) Determine la matriz de coeficientes de capacidad del sistema, ası como las capacidades yautocapacidades del circuito equivalente.

(b) Si el conductor 1 se encuentra a potencial V0 y el 2 esta aislado pero almacena una carga Q0,¿que carga almacena el conductor 1? ¿A que potencial se encuentra el conductor 2?

(c) Determine la energıa almacenada en el sistema para el caso anterior.

(d) Suponga que el conductor 2 se conecta a tierra, ¿como cambian las cargas y potenciales delos dos conductores? ¿Cuanto varıa la energıa almacenada en el sistema? ¿En que caso laenergıa no cambia?

a 2a3a

Q

1 2 3 4

V0

Q0


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


3.12. Una esfera de radio R posee una carga Q1 distribuida en su volumen de modo que la densidadvolumetrica es ρ(r) = Ar. A su alrededor se dispone una corteza esferica metalica concentrica, deradio interior R y exterior 2R. Esta corteza esta aislada y descargada.

(a) Calcule la constante A en funcion de la carga de la esfera y de su radio.

(b) Calcule el campo electrico en todo el espacio y el potencial al que se encuentra el conductor.

(c) Halle la energıa electrostatica almacenada en el sistema.

(d) Se conecta la corteza conductora a una fuente de tension V0. ¿Como es la nueva distribucionde campo en todo el espacio? ¿Cuanto vale la nueva energıa almacenada?

3.13. Se tienen tres superficies esfericas conductoras concentricas, de radios R, 2R y 4R. La superficieintermedia y la exterior estan descargadas, mientras que la interior almacena una carga Q.

(a) Halle la distribucion de potencial electrico en todo el espacio.

(b) Calcule la energıa de la distribucion.

(c) Se conectan entre sı las superficies interior y exterior. ¿Cual es la carga y el potencial de cadaesfera tras la conexion? ¿Y el nuevo valor de la energıa?

(d) Se desconectan bruscamente las esferas y se conecta la exterior a tierra. ¿Cual es el nuevovalor de las cargas, los potenciales y la energıa almacenada? ¿Se conserva la energıa en estosprocesos?

3.14. Suponga el sistema de la figura, formada por una corteza esferica (conductor “1”) de radio interiorb y exterior c. En su interior hay dos conductores practicamente semiesfericos (“2” y “3”), de radioa y separados una pequena distancia w. Despreciando los efectos de borde,

Halle los coeficientes de capacidad e induccion del sistema.

3.15. Dos placas conductoras planas y paralelas cuadradas, de lado L, se encuentran separadas unadistancia 2b (2b � L). Entre ellas, y equidistante de ambas se encuentra un prisma conductor deanchura 2a, tambien de seccion cuadrada de lado L.

El bloque posee una carga total Q0. Entre las placas se establece una diferencia de potencial V0

(a) Calcule la carga en cada uno de los condensadores que forma el bloque con las placas.

(b) Halle la energıa almacenada en el sistema.

(c) Calcule el valor del campo en cada uno de los espacios intermedios entre bloque y placas.

2R

R

V0

ρ

Q

R 2R4R

a

b

c

w

1

2 3


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


(d) Halle la presion electrostatica sobre las caras del bloque, ası como la fuerza total sobre este.(e) Calcule los valores numericos de los resultados anteriores para L = 2cm, a = 2mm, b =

3mm, V0 = 100V, Q0 = 10nC.

3.16. Se trata de hallar el campo electrico necesario para elevar en el aire una partıcula metalica quereposa sobre un plano a tierra. La partıcula conductora la podemos modelar como un hemisferio deradio a. Existe un campo electrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera, es uniformey normal al plano conductor, E∞ = E0uz.

(a) El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partıcula es de la forma

φ = −E0z +A cos θ

r2(z > 0, r > a)

siendo r la distancia al centro de la semiesfera. Determine el valor de A que hace que sesatisfagan todas las ecuaciones y condiciones de contorno.

(b) Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.(c) Calcule la presion electrostatica en la superficie de la partıcula. A partir de esta presion, halle

la fuerza electrica sobre la partıcula, empleando la relacion dF = p dS.(d) Si la partıcula es de aluminio y su radio vale a = 1mm, ¿que campo es preciso para levantar

esta partıcula?

3.17. Cuatro placas cuadradas de lado L = 2cm, conductoras, se encuentran en la disposicion cuadradaindicada en la figura.

Entre las cuatro placas, centrado, se encuentra un cubo conductor, de arista L = 2cm, situado auna distancia a = 1mm de cada placa. El cubo esta descargado en todo momento. Si las cuatroplacas se conectan a sendos generadores que fijan tensiones V1 = −10V, V2 = 20V, V3 = 30V,V4 = 40V

(a) Halle la carga almacenada en cada una de las placas cuadradas.(b) Calcule la energıa electrostatica del sistema.(c) Calcule el valor del campo en cada uno de los condensadores que se forman.(d) Halle la presion electrostatica en cada cara del cubo enfrentada a una placa, ası como la fuerza

electrostatica total sobre el cubo.

Despreciense los efectos de borde y los debidos a las caras del cubo no enfrentadas a una placa.

2b

L

Q0

V02a

Eg

V1

V2

V3

V4

Q=0a=1mm

L=20mm


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa



Campos Electromagneticos. Boletın 4. Febrero de 20094.1. El estudio de las propiedades dielectricas de los gases puede servir para medir el tamano de los

atomos.

Para ello, suponga que se modela un atomo de numero atomico Z como compuesto de una cargapuntual Ze (el nucleo) y una nube esferica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un atomode este tipo se le aplica un campo externo uniforme E0, ¿cuanto vale el momento dipolar inducidoen el atomo por la separacion de los centros de carga?

Para un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos por unidad de volumen,¿cuanto valdra la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividadrelativa εr = 1.000065, mientras que para el neon εr = 1.000123, y para el argon εr = 1.0051659.Segun esto, ¿cual es el tamano de un atomo de cada uno de estos gases nobles?

4.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte.

(a) Halle por integracion directa el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

(b) ¿Cuales son los valores de E, D y P dentro y fuera de la esfera?

(c) ¿Cuanto valen las densidades de carga equivalentes a la polarizacion?

4.3. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tra un dielectrico que presenta polarizacion remanente, de forma que en el

P = P0

siendo P0 un vector uniforme, en la direccion perpendicular a las placas. El dielectrico es perfecta-mente aislante.

(a) Inicialmente las placas estan descargadas. Si se conectan mediante un voltımetro, ¿cuantomedira este?

(b) Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuanta carga se alma-cena en cada placa metalica?

4.4. Calcule como cambian los resultados del problema 4.3 si la polarizacion del dielectrico no es cons-tante, sino que depende del campo como

P = P0 + ε0χeE

4.5. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polariza-cion radial

P = P0ur

(a) Calcule la distribucion de cargas equivalente a esta polarizacion.

(b) Determine los campos D y E en todo el espacio.

4.6. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Halle la capacidad de este condensador y construya el circuito equivalente.

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


4.7. Repita el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendiculara las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

4.8. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Halle:

(a) La permitividad relativa del medio.(b) El modulo del campo en el interior del material.(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.(d) El salto en la componente tangencial de D.

4.9. La ruptura dielectrica se produce cuando el campo electrico entre dos conductores supera un valorcrıtico Ec, saltando una chispa en el vacıo, o quemando el dielectrico que pueda haber en medio.Esto limita la carga que se puede almacenar en las placas de un condensador.

(a) Suponga que entre dos placas planas y paralelas de seccion circular de diametro D = 26 cm,entre las cuales se encaja una lamina de metacrilato de grosor a = 2mm, cuya permitividades εr = 3.40 y el campo de ruptura es Ec = 30kV/mm. Halle la maxima carga que puedealmacenar este condensador.

(b) Suponga que, en el caso anterior las placas no estan en contacto con el metacrilato, sino quehay un espacio de 1 mm a cada lado lleno de aire, cuyo campo de ruptura es 3 kV/mm, ¿cuales en ese caso la carga maxima?

(c) Si lo que tenemos es un cable coaxial de radio interior a = 1mm y exterior b = 3mm, entrelas cuales hay una goma con campo de ruptura Ec = 12kV/mm, ¿cual es la mayor diferenciade potencial que se puede establecer entre el nucleo y el conductor exterior?

4.10. Una corteza esferica de radio interior a y exterior b esta hecha de dielectrico polarizado segun la ley

P =k

rur

No hay mas cargas en el sistema

(a) Calcule las densidades de carga de polarizacion en el sistema. ¿Cuanto vale la carga total depolarizacion?

(b) Halle los campos D y E en todo el espacio.(c) Determine el valor del potencial electrico en todo el espacio.

a

V0

��

��

b

a

V0

��

�

a

V0

��

��

��

��

b


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


4.11. Sobre una placa metalica plana, de seccion S (que supondremos en z = 0), se coloca una capade dielectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se situa una lamina metalica, deseccion S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segundacapa de dielectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por ultimo, el sistema se cierra con una segundalamina metalica de seccion S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3,¿Cuanto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos deborde (suponiendo E = Euz) y los posibles campos exteriores al sistema.

4.12. Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de estetipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. Lapermitividad del material varıa de ε1 a ε2 en la forma

ε(z) =ε1ε2a

ε1z + ε2(a − z)

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

(a) ¿Cuanto valen los campos D, E y P en todos los puntos del material?

(b) ¿Cual es la densidad de carga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?

(c) Halle la energıa almacenada en el sistema


4.13. El espacio entre dos placas metalicas circulares de 26 cm de diametro, situadas paralelamente a unadistancia 2 mm esta vacıo.

Entre las placas se establece una diferencia de potencial de 20 V

(a) ¿Cuanto vale la energıa almacenada en el sistema?

(b) Suponga que, una vez cargado el condensador se desconecta la fuente y se introduce entre lasplacas una lamina de metacrilato (εr = 3.3) de 2 mm de espesor. ¿Cuanto cambia la energıaalmacenada en el sistema? ¿Como se explica la diferencia?

(c) Suponiendo que el proceso anterior se hubiera efectuado sin desconectar la fuente, ¿cual serıaen ese caso la variacion en la energıa? ¿Cuanto trabajo realizarıa la fuente de tension?

4.14. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

��

��

E=100 V/m

�

�

a

b

S0

S

��

��

a

V0

�( )z


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90◦ alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Como varıa la energıa almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

4.15. Se tiene un condensador esferico, formado por dos superficies metalicas de radios a y b. Paramantenerla en su posicion, la esfera central esta sujeta por dos cunas dielectricas solidas, de permi-tividad ε1. Las cunas tienen forma de sectores esfericos, valiendo el semiangulo θ0 = π/3 para lasdos cunas. El resto del espacio entre las esferas queda vacıo.

Halle la capacidad de este condensador.

4.16. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material dielectrico (de permitividad ε) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Halle el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplique el resulta-do del problema 4.2.

4.17. Una esfera metalica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuen-tra en el vacıo.

(a) Indique la energıa almacenada en el sistema

(b) Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de undielectrico de permitividad ε. Determine la nueva energıa almacenada en el sistema. ¿Comose explica el cambio en la energıa?

(c) Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generadorque fija su potencial en un valor V0, ¿cual es la energıa antes y despues del recubrimiento?¿Como se interpreta el cambio en este caso?

4.18. En un sistema formado por dos esferas metalicas concentricas de radios a y c, entre las cuales seencuentran dos medios dielectricos, con una interfaz ecuatorial, existe una fuerza de atraccion entrelos electrodos, que esta ausente si solo hay un medio dielectrico que llene todo el espacio entre lasplacas. Se trata de calcular esta fuerza.

�0

�V�

�0

Problema 4.14

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


(a) Determine la densidad de carga libre en la superficie del electrodo interior.

(b) Halle el valor del campo electrico en los mismos puntos.

(c) La fuerza sobre un elemento de superficie conductora es

dF =12σlE dS

Integrando esta fuerza elemental, determine la fuerza neta sobre el electrodo interior. ¿Haciadonde va dirigida? ¿Cual es el origen de esta fuerza?

(d) De forma analoga, calcule la fuerza sobre el electrodo exterior. ¿Se verifica la tercera ley deNewton?

�1

�0

� �0= /3

ab

��

��

a

c


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa



Campos Electromagneticos. Boletın 5. Febrero de 20095.1. Por el interior de una tuberıa cilındrica de radio a fluye un lıquido con una velocidad, dependiente

de la distancia al eje, ρ, como

v = v0

(1 − ρ2

a2

)uz

El lıquido posee una densidad de carga uniforme ρ0, de forma que la densidad de corriente esJ = ρ0v. En el exterior del tubo no hay corriente.

(a) Calcule la intensidad de corriente que atraviesa una seccion por la tuberıa.

(b) Si se desea que por la superficie del tubo circule una corriente superficial K, de forma que lacorriente total sea nula, ¿cuanto debe valer K?

5.2. Halle la velocidad de arrastre de los electrones en un cable de plata de 0.5 mm2 de seccion por elcual circula una corriente de 100 mA.

5.3. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.Calcule el campo electrico en todos los puntos del espacio.

5.4. Sea un tubo cilındrico, de radio interior a y exterior b, y longitud L, de un material de conductividadσ. Calcule la resistencia electrica

(a) Entre las dos bases.

(b) Entre la cara interior y la exterior.

5.5. Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminio revestidode cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio de radio a (suponga a = 2mm), rodeado poruna capa de cobre, de radio exterior b (sea b = 3mm).

(a) Calcule la resistencia de cable de esta clase de longitud L = 10km.

(b) Determine la corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencialV0 = 100V al cable anterior.

ab

L

ab

L

A

V0

a

�


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


5.6. Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados entierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

(a) Suponga en primer lugar solo un electrodo hemisferico de radio a, perfectamente conduc-tor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario,determınese la distribucion de potencial en el suelo. Admıtase que el potencial depende ex-clusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calculese laresistencia entre el electrodo y el infinito. Supongase que el suelo posee conductividad igualen todos sus puntos.

(b) Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sı. Sise conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tension V0, ¿quecorriente circula de un electrodo al otro?

(c) Si para una tension de 100V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de0.63A, ¿cuanto vale la conductividad del suelo?

5.7. La resistividad del aire en la atmosfera decrece exponencialmente con la altura como

σ−1 = r = r1e−α1z + r2e−α2z + r3e−α3z

dondei ri (1012 Ω·m) αi(km−1)1 46.9 4.5272 22.2 0.3753 5.9 0.121

El campo electrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Estecampo es practicamente constante y va siempre en la direccion vertical.

A partir de estos datos halle

(a) El valor del campo electrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera(z = 100 km).

(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.

(c) La distribucion de cargas en la atmosfera.

(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.

(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria

(f) Estime el tiempo que tardarıa la atmosfera en descargarse si no existiera un mecanismo gene-rador

5.8. Tras una rotura de un cable de cobre (de resistividad r1) de seccion S y gran longitud, se procedea unir los dos pedazos mediante una soldadura. Como consecuencia de la presencia de oxido laresistividad del cable aumenta hasta un valor r2 en una region alrededor del punto de contacto,pudiendose describir matematicamente segun la ley

r(x) = r1 +r2 − r1

1 + (x/a)2

a=0.1mm

b=0.5mm

L=1cm

h=0.5cm

Problema 5.9

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


(a) Calcule el aumento de la resistencia total del cable. Aplıquese al caso S = 1mm2, r1 =1.7 × 10−8 Ω·m, r2 = 1.1 × 10−6 Ω·m, a = 2mm.

(b) Si la potencia maxima por unidad de volumen que soporta el hilo antes de fundirse es p =700W/m3, determine la intensidad de corriente maxima que puede circular por el cable antesde la soldadura y despues de ella.

5.9. Para construir un fusible se intercala un hilo de plomo (σ = 4.84 × 105 S/m) en el camino de unhilo de cobre de 0.5 mm de radio. La pieza de plomo esta formado por un hilo de 0.1 mm deradio y 1 cm de longitud, unido al cobre por dos troncos de cono, tambien de plomo, de 0.5 cm delongitud.

(a) La condicion de fusion la da el que en un intervalo de tiempo de 1 s, en la pieza de plomo sedisipe una energıa de 700 mJ/mm3. Calcule la intensidad maxima que puede circular por elhilo de cobre para que no se alcance este lımite.

(b) Calcule la resistencia de la pieza de plomo, admitiendo que el sistema se comporta como unconductor filiforme de seccion variable.

5.10. Se tiene un sistema de cuatro electrodos tal como se indica en la figura. Uno de ellos (electrodo“0”) es un prisma cuadrado hueco de lado interior 43 mm y longitud 50 mm. Este electrodo seencuentra siempre a tierra.

En su interior se encuentran tres conductores perfectos. El electrodo “1” es un paralelepıpedo delados 41 mm, 20 mm y 50 mm. Los electrodos “2” y “3” son sendos prismas cuadrados de lado20 mm y altura 50 mm. la distancia entre superficies conductoras vecinas es de 1 mm.

Todo el espacio entre los distintos electrodos (pero no el exterior al conductor 0) se encuentra llenode un material ohmico de conductividad σ = 10−4 S/m

(a) Teniendo en cuenta la pequenez relativa de las diferentes distancias calcule, aproximadamen-te, la matriz de coeficientes de conductancia en este sistema.

(b) Halle las corrientes que llegan a los conductores 1, 2 y 3, cuando se encuentran conectados ageneradores que fijan sus tensiones en V1 = 10V, V2 = 20V y V3 = −10V.

(c) Para la configuracion anterior, calcule la potencia disipada en el sistema.

(d) Si el electrodo 2 se encuentra a tension V0 = 100 V, el 1 se deja desconectado y el 3 se pone atierra, ¿cuales son las corrientes que llegan a cada conductor y las tensiones de cada uno? ¿Ysi tambien se desconecta el 3?

20mm1mm

20mm

41m

m

43mm

Pro

fundid

ad:

50m

m

1

0

2

3

1

2

3

2a

a

b

b


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


5.11. Se tiene un circuito impreso en forma de “H” de un material de conductividad σ, con cuatroterminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y eltabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a � b) mientras que eltramo central posee anchura 2a, segun indica la figura. El espesor de toda la pista es c.

(a) Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij , correspondiente a los tres termi-nales libres. Desprecie la pequena contribucion de las esquinas donde confluyen los brazos.

(b) A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias Gij y elabore un circuito equivalenteal sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.

(c) Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial V0

y los otros a tierra.

(d) En la configuracion anterior se corta la conexion a tierra del electrodo 2. En el nuevo estadoestacionario, ¿se consume mas o menos potencia que antes de la desconexion? ¿Cuanto?

5.12. Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio a de conductivi-dad σ1 se encuentra inmersa en un medio de conductividad σ2 que se extiende hasta el infinito. Enel interior de la esfera actua una fuerza no electrostatica por unidad de carga E′ = E′

0uz, constantey uniforme.

(a) Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y elpotencial electrico en todo el espacio.

(b) Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma

φ1 = Ar cos θ (r < a)

y en el exterior de ella

φ1 =B

r2cos θ (r > a)

calcule las constantes A y B.

(c) Halle la potencia desarrollada por el campo electrico en el interior y el exterior de la esfera.

(d) Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (z = 0, r < a)determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.

(e) ¿A que tienden los resultados cuando σ1 � σ2? ¿Y cuando σ1 � σ2?

5.13. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

(a) Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası como laenergıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determine la evolucion de la carga en las placas a partirde ese momento.

(c) Halle la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.

(d) Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

5.14. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε y conductividad σ. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b vacıa.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?

Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?

(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

5.15. Un medio ohmico de permitividad ε, conductividad σ y seccion S/2 rellena parcialmente el espacioentre dos placas planas y paralelas perfectamente conductoras, ambas de seccion S y separadasuna distancia a. La otra mitad del espacio entre las placas queda vacıo.

Inicialmente el sistema se halla en estado estacionario, con una diferencia de potencial V0 entre lasplacas

(a) Determine los campos E, J y D en el sistema, ası como las densidades (volumetricas y super-ficiales) de carga libre y de polarizacion.

(b) Calcule la energıa electrica almacenada y la potencia que se disipa en el sistema en este estadoestacionario.

En t = 0 se desconecta el generador, quedando el circuito abierto

(c) Determine los campos E, J y D y las distribuciones de carga en el sistema cuando, pasado untiempo largo, se alcanza de nuevo un estado estacionario.

(d) Determine la evolucion temporal de estos campos y cargas para todo t > 0.

(e) ¿Cuanta energıa se disipa en el proceso?

5.16. Entre dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, y separadas una distancia a, se en-cuentra un medio ohmico de permitividad ε y conductividad σ.

Ambas placas estan conectadas a sendos generadores de tension variable.

(a) Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tension de la placa 1 se varıagradualmente de 0 a V0 en un tiempo T como V1(t) = V0t/T . Determine la corriente quellega a esta placa durante este tiempo.

(b) Para el periodo anterior, calcule la energıa disipada en el medio ohmico, ası como la energıaaportada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen,¿a que se debe su diferencia?

(c) Una vez que la placa 1 se encuentra a tension V0, el potencial de la placa 2 comienza a elevarsehasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo T para alcanzar el valor lımite. ¿Cuantacorriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?

(d) Durante este segundo periodo, ¿cuanta energıa se disipa en el medio? ¿Cuanta aporta cadagenerador? ¿Se verifica el balance energetico?

��

��

V0

a

b

ε

σ=00

ε, σ

a

V0

t=0


Depar

tamen

to d

e Fís

ica A

plica

da III

Univer

sidad

de Se

villa


5.17. Dos esferas metalicas, perfectamente conductoras, de radio a, se encuentran muy alejadas la una dela otra (de forma que no se influyen entre sı). Las dos esferas se encuentran conectadas medianteun cable de resistencia R. Una de las esferas se encuentra conectada a un generador de tension V0,a traves de un interruptor que inicialmente se encuentra abierto. Ambas esferas estan inicialmentedescargadas.

(a) Suponga que el interruptor se cierra durante un periodo de tiempo muy corto (el imprescin-dible para que se cargue la esfera conectada a el) y se vuelve a abrir. Justo tras este intervalo¿como es la distribucion de cargas y potenciales en las esferas? ¿Cuanto vale la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema?

(b) Si se deja transcurrir un periodo de tiempo largo, ¿como queda la distribucion de cargas ypotenciales? ¿Cual es la energıa electrostatica almacenada en el sistema en el estado final?

(c) Determine la evolucion en el tiempo de las cargas y potenciales en cada esfera, ası como lacorriente que circula por el cable.

(d) Halle la energıa disipada en el cable durante el periodo transitorio y verifique que se satisfaceel balance energetico.

(e) Suponga ahora que, en el proceso anterior, el generador no se desconecta, sino que se dejapermanentemente conectado a la primera esfera. En ese caso, ¿como varıa la carga en cadaesfera? ¿Y la corriente por el cable? ¿Y la energıa disipada y la energıa almacenada?

5.18. Una esfera de radio a se despolariza segun la ley

P(r, t) = ke−λtrur

Determine las densidades de carga de polarizacion, ası como la densidad de corriente de polariza-cion. ¿Se verifica la ley de conservacion de la carga para ρp y σp?

5.19. Suponga que se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conduc-tividad σ. Si se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega auno de ellos vale I0. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

5.20. Suponga que en los problemas 5.13, 5.14 y 5.15 y 5.17, en lugar de una senal escalon aplicamosuna tension alterna V = V0 cos(ωt).

Para cada una de estas configuraciones:

(a) ¿Cuanto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cual es la impedancia del sistema? ¿Y elcircuito equivalente?

(b) ¿Cuanto vale la energıa aportada por el generador en un periodo? ¿En que se emplea estaenergıa?

RV0

aa

Problema 5.17

departamento de física aplicada iii -...

Documents