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www.fmat.cl 1 LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE 2012 CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS RECOPILACIONES ENSAYOS

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1

LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRE

2012

CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS RECOPILACIONES ENSAYOS

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INDICE

Contenido Página

1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3

2 Números racionales, operatoria, propiedades 14

3 Potencias, propiedades, aplicaciones 30

4 Operatoria algebraica 38

5 Simbología 56

6 Razones y proporciones. propiedades 61

7 Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones 71

8 Raíces, propiedades, aplicaciones 84

9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones 94

10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 112

11 Ecuación de segundo grado, propiedades, aplicaciones 119

12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 122

13 Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones 125

14 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de Pitágoras, teorema de Euclides 150

15 Congruencia de triángulos, criterios, aplicaciones 172

16 Semejanza de triángulos, criterios, aplicaciones 176

17 Cuadriláteros, propiedades, aplicaciones 187

18 Polígonos, propiedades 202

19 Ángulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones 204

20 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo, aplicaciones 216

21 Poliedros, volumen, aplicaciones 221

22 División interior y exterior 230

23 Trigonometría, razones, aplicaciones 233

24 Probabilidad, propiedades, aplicaciones 244

25 Estadística, gráficos, aplicaciones 267

26 Transformaciones isométricas, propiedades, aplicaciones 283

27 Teorema de Tales, propiedad, aplicación 301

28 Evaluación de suficiencia de datos 309

29 Respuestas 334

30 Recopilación 1 340

31 Recopilación 2 350

32 Recopilación 3 364

33 Recopilación 4 377

34 Recopilación 5 388

35 Recopilación 6 410

36 Recopilación 7 436

37 Ensayo 1 459

38 Ensayo 2 481

39 Ensayo 3 505

40 Ensayo 4 531

41 Ensayo 5 552

42 Ensayo 6 577

43 Ensayo Admisión 2011 601

44 Ensayo 8 628

45 Ensayo 9 653

46 Ensayo 10 676

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3

RESUMEN PSU MATEMATICA

I. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,…} se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero,

obtenemos lN0 = {0, 1, 2,…} llamado “conjunto de los números cardinales”. NÚMEROS ENTEROS (Z)

Los elementos del conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan “números enteros”

Algunos subconjuntos de Z son:

Z+ = {1, 2, 3,…} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2,…} enteros no negativos

Z- = {-1, -2, -3,…} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3,…} enteros no positivos

1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121,

144, 169, 196, 225, 256, … 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …

MÚLTIPLO Y DIVISOR

En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b

y de c o bien b y c son divisores o factores de a.

REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: Por Cuando

2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o

bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez.

7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o

bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero.

11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.

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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …

TEOREMA FUNDAMENTAL Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de

aquellos números que cumplen con la propiedad de ser factores de números primos

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

Se descomponen los números en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.

2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

OPERATORIA EN Z ADICIÓN i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos

conservando el signo común. ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta

el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.

MULTIPLICACIÓN i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.

ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.

OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un número y el 0

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DEFINICIÓN: n

0nsin

0nsi,n

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Si D: d = c, entonces D = d • c + r r //

D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente

r = resto OBSERVACIONES:

1. 0 ≤ r < d 2. La división por cero no está definida.

PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

1. Resolver los paréntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIÓN DE ORDEN EN Z

Si a y b son números enteros, entonces diremos que: i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.

iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).

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6

EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resulta

A) – 2

B) 2

C) 4 D) – 4

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =

A) m + n + 1

B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1

D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n

EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de

–nm –(n + m)?

A) -11

B) -5 C) 5

D) 7 E) -7

EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de

golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?

A) 11

B) 20

C) 21 D) 0

E) 7

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7

EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y

horas más tarde depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el banco?

A) $ 8p B) $ 10p

C) $ 12p D) $ 16p

E) $ 14p

EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la suma de los tres

números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?

A) 5

B) 7 C) 8

D) 9

E) 16

EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá

un número impar de círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos

figuras consecutivas es 2

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

x 4 20

4 9

8 13

24 16 55

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8

EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de

$10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de

monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero

III) En el monedero hay $600

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-9: Se define baba b y a # b = 2a - 4b, para a y b

números enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:

A) 82 B) 66

C) 60 D) 38

E) 22

EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta

A) 41x - 2

B) 61x + 25 C) 41x - 109

D) 41x + 109 E) 41x - 21

EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o

$ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?

A) De 1 forma B) De 2 formas

C) De 4 formas D) De 3 formas

E) De 6 formas

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9

EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a partir de hoy?

A) Viernes B) Sábado

C) Lunes D) Miércoles

E) Jueves

EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar

exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?

A) $280

B) $200 C) $120

D) $100

E) $ 40

EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1),

$(n-2) y $(n -3), respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres artículos T?

A) 6n - 14

B) 6n – 6 C) 5n – 14

D) 3n – 14 E) 3n - 6

EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r

son enteros positivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es

divisible por q?

A) p = nq + r

B) q = np + r C) q = np

D) p = nq

E) q

11

q

p

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10

EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje

corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje

corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?

A) 8

B) 6 C) 9

D) 10 E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a

A) -12

B) -7 C) -2

D) 4 E) 12

EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y

N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?

A) 7 B) 5

C) 4 D) 3

E) 1

EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero,

como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:

5

6

2

000.1)E

6

000.1)D

2

000.1)C

2

000.16)B

12

000.1)A

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11

EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es

siempre: I) divisible por 3

II) divisible por 6

III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s):

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es

0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma del menor y el mayor es 0

II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor

III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20

bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una, ¿cuántas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?

A) 1

B) 8 C) 16

D) 26

E) 80

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12

EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en

el cuadrante sólo pueden colocarse los números 1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir sólo una vez cada número

A) 8 B) 7

C) 6 D) 5

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numérica entre a y b es c.

esto se expresa como:

anterioreslasdeNinguna)E

cab)D

cba)C

cba)B

cba)A

EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un cartón de una caja en que aparece una operación, en el cual tienen que

reemplazar la letra X por el número que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartón con el menor resultado gana. Si

se sacan los siguientes cartones:

P Q R S T

¿Quién gana cuando dictan – 3?

A) Q B) P

C) R

D) S E) T

X-1 1 - X X + 1 1 – (-X) -X

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13

EJEMPLO PSU-26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un número entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos

es divisible por 3.

B) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o ambos son impares.

C) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible por 6, es divisible por 3.

D) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6. E) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible

por 6, es divisible por 12.

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14

II. NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales son todos aquellos números de la forma b

a con a y b

números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra Q.

0byZb,a/b

aQ

2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si d

c,

b

a Q, entonces:

OBSERVACIONES

1. El inverso aditivo (u opuesto) de b

a es -

b

a, el cual se puede escribir también

como b

ao

b

a

2. El número mixto Ac

b se transforma a fracción con la siguiente fórmula:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si d

c,

b

a Q, entonces:

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de b

a es 0acon,

a

b

b

a1

bd

bcad

d

c

b

a

bd

bcad

d

c

b

a

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15

RELACIÓN DE ORDEN EN Q

OBSERVACIONES

1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a. igualar numeradores.

b. igualar denominadores. c. convertir a número decimal. 2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

NÚMEROS DECIMALES

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.

Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por

la parte entera y el período.

Ejemplo: 0,444.... = 0,4

c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la parte entera, un anteperíodo y el período.

Ejemplo: 24,42323... = 24,423

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES

1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria

respectiva. Así por ejemplo: 0,19 3,81

+ 22,2 26,20

2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales

tengan los números en conjunto.

Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3

963

642 7,383

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16

3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede

transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10. Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100

224: 120 y se dividen como números enteros

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como

cifras decimales tenga dicho número.

Por ejemplo: 3,24 = 100

324

2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el

número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período.

Por ejemplo: 2,15= 99

2215

3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas

las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Por ejemplo: 5,34 = 90

53534

APROXIMACIONES Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una

aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. REDONDEO

Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito

que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 4,748 y 9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.

TRUNCAMIENTO Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a

la derecha dela última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 2,5698 resulta 2,56.

ESTIMACIONES Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas

por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).

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17

EJEMPLO PSU-1: 5

5,0

05,0

A) 0,5

B) 0,05 C) 0,005

D) 50

E) 500

EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a =3

2, b =

6

5 y c =

8

3de

menor a mayor es

A) a < b < c

B) b < c < a C) b < a < c

D) c < a < b E) c < b < a

EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 =

A) 0 B) -20

C) 60 D) 75

E) 250

EJEMPLO PSU-4: 5

3

8

9

A) 0,15

B) 0,5 C) 0,52

D) 0,525

E) 2

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18

EJEMPLO PSU-5: Si a 6

5se le resta

3

1resulta:

9

2)E

3

4)D

3

2)C

2

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-6:

25,08

3

1

75,08

3

1

3

8)E

4)D

3

16)C

3

16)B

3

15)A

EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces r

rt =

A) 80,89 B) 80,9

C) 88,9 D) 89

E) Ninguno de los valores anteriores

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19

EJEMPLO PSU-8: En la igualdad R

1

Q

1

P

1 , si P y R se reducen a la

mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe

A) duplicar.

B) reducir a la mitad. C) mantener igual.

D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte.

EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención.

Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool

II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a

internet

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: x

1

x

1

x

1

3

3

x

3)E

x3

1)D

x

3)C

x

1)B

3)A

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20

EJEMPLO PSU-11: Si RH2

1P , entonces H-1 es igual a:

P2

R)E

P

R2)D

R

P2)C

P2

R)B

R

P2)A

EJEMPLO PSU-12: 2

1

6

1

3

1

4

1)E

3

2)D

9

1)C

15

2)B

12

5)A

EJEMPLO PSU-13:

8,366,2

8,326,2

8,9

6,7)E

4,19

28,2)D

4,19

5)C

4,19

5)B

3

1)A

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21

EJEMPLO PSU-14:

4

11

2

3

1

3)E

1)D

6

11)C

3

1)B

2

3)A

EJEMPLO PSU-15:

2)5,0(

5,0100

50

A) 10 B) 1

C) 0,1 D) 0,25

E) 0,75

EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha

caminado 7.850 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?

A) 4,45 km

B) 4,55 km C) 5,55 km

D) 5,45 km E) 6,62 km

EJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la

relación correcta entre las fracciones:a

3p

1a

3t

1a

3r

A) p <t < r B) r < p < t

C) t < r < p D) r < t < p

E) p < r < t

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22

EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un

licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

18

)b2a3(5$)E

18

b2a3$)D

)b3a2$()C

5

ba$)B

3

ba$)A

EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad,

llenado hasta los 3

12 litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?

3

21)E

3

13)D

2

32)C

3

22)B

3

12)A

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23

EJEMPLO PSU-20: 3

2

4

1

3

1

21

4)E

12

1)D

5

1)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-21: Se define a b =ab

1, entonces a (b c) es igual

a:

ab

c)E

c

ab)D

a

bc)C

bc

a)B

abc

1)A

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24

EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí

y distintos de cero. Si P =b

a + d y Q =

c

a + d, ¿cuál(es) de las siguientes

igualdades es (son) siempre verdadera(s)? I) P - Q 0

II) b

c

Q

P

III) P · Q = 22

dbc

a

A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-23:

11

11

11

1

2

1)E

5

3)D

1)C

5

2)B

2

5)A

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25

EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier

cronometró 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de

diferencia al llegar a la meta III) Arturo llegó primero

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se

necesitan 200 gramos de azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe multiplicar n para obtener

cuántos gramos de azúcar se necesitan?

A) 33,3

B) 200 C) 1.200

D) 6 E) 0,03

EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si

d

a

b

aS , entonces 1S es:

)db(a

bd)E

a2

db)D

a

db)C

bd

abad)B

a2

bd)A

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26

EJEMPLO PSU-27: 2)2,0( =

A) 5 B) 10

C) 25

D) 25

1

E) 5

1

EJEMPLO PSU-28.

3

2

7

33

anterioreslasdeNinguna)E

21

5)D

21

5)C

21

68)B

21

58)A

EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de 4

3de

litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de 4

11 de litro, todas llenas

también. ¿Cuál es el número de botellas de medio litro con las que se puede envasar todo el líquido?

A) 5

B) 9 C) 10

D) 19 E) 20

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27

EJEMPLO PSU-30. Sea n un número entero, ¿cuál de las afirmaciones

siguientes es (son) siempre verdadera(s)?

2

1

2n

3n)III

impropiafracciónunaes2n

3n)II

racionales2n

3n)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y II

E) Ninguna de las anteriores.

EJEMPLO PSU-31. Se define la operación [m, n, r] r2

n8m2 , ¿cuál es

el valor de

3

5,

4

3,

2

1?

1)E

5

6)D

5

24)C

3

2)B

2

3)A

EJEMPLO PSU-32. ?n

))n(n(n

A) – 2n B) – n

C) n D) 1

E) – 1

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28

EJEMPLO PSU-33. ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 7

52 ?

A) 19

B) 17 C) 14

D) 10 E) 5

EJEMPLO PSU-34. El número racional 7

10es igual a:

10

1:

7

1)E

7

37)D

4

3

3

7)C

7,010,0)B

7,010)A

EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y

éste, a su vez, regala 2 dulces, ¿con cuántos dulces queda el hermano de Juan?

22

aCon)E

42

aCon)D

32

aCon)C

2aCon)B

12

aCon)A

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29

EJEMPLO PSU-36. Dada la fracción mn

tm , con m > 0 y t > 0.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fracción aumenta en 2. II) Si el numerador de la fracción se duplica y su denominador se

divide por 2, entonces la fracción queda igual. III) Si el denominador de la fracción se divide por 3, entonces la

fracción se triplica.

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37. Se define la operación bab#a en los números

reales. ¿En cuál(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a 8?

I) 4 # 2

II) 16 # 2

1

III) 8 # 0

A) Solo en III B) Solo en I y en II

C) Solo en I y en III

D) Solo en II y en III E) En I, en II y en III

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

30

III. POTENCIAS EN Z

DEFINICIÓN

PROPIEDADES

1. n0 = 0, si n Z+

2. n1 = 1

3. Si n es par, n)1( = 1

4. Si n es impar, n)1( = -1

Signos de una potencia: na =

imparesny0asiNegativo

paresny0asiPositivo

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS Sean a y b Z, m y n Z+

1.- Multiplicación de potencias de igual base

2.- División de potencias de igual base

3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente

4.- División de potencias de distinta base e igual exponente

DEFINICIÓN

OBSERVACIÓN:

00 no está definido

POTENCIA DE UNA POTENCIA

POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

31

POTENCIAS DE BASE 10

010 = 1 110 =10

1=0,1

110 = 10 210 =100

1=0,01

210 = 100 310 =1000

1=0,001

310 = 1000

Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:

1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ n10 , en que 1 ≤ k < 10 y n Z.

2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n,

en que p es el menor entero y n Z.

3. Un número está inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena,

unidad, décima, centésima...) abcde = a ⋅ 210 + b ⋅ 110 + c ⋅ 100 + d ⋅ 110 + e ⋅ 210

EJEMPLO PSU-1:

1

11

5

43

12

5)E

7

5)D

5

7)C

12

35)B

35

12)A

EJEMPLO PSU-2:

0003,06

0000002,00009,0

A) 10-15 B) 10-12

C) 10-7 D) 10-6

E) Ninguno de los valores anteriores

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

32

EJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51 610 ;

N = 45,1 510 y P = 451 710 , de menor a mayor, es

A) M, N, P

B) P, M, N C) N, M, P

D) P, N, M E) M, P, N

EJEMPLO PSU-4:

3

2a2

1

6

6

5

5

6

a2

1)E

a8

1)D

a2

1)C

a8)B

a8)A

EJEMPLO PSU-5: Si x22 = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?

A) 6

B) 2

9

C) 3

D) 2

3

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-6: 432 224

6)E

8)D

6

1)C

4

1)B

8

1)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

33

EJEMPLO PSU-7: 23 )a3()a2( =

A) 72a2 B) 72a5

C) 6a5

D) 36a6 E) 36a5

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 62 ?

A) 25

B) 23 C) 16

D)

3

2

1

E)

6

2

1

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?

n22n

nnn2

n2nn

a2)a2()III

aaa)II

aaa)I

A) Solo I

B) Sólo II C) Solo III

D) Solo I y III E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como

resultado 41?

32

00

24

27)III

7676)II

52)I

A) Solo I y II B) Solo I y III

C) Solo II y III D) I, II, III

E) Ninguna de ellas

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34

EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión n1n21

n

263

184

es

A) n2

B) 4 n2

C) 2

D) 6 E) 36

EJEMPLO PSU-12:

000.000.20

00006,0106,3 6

15

7

6

5

4

1008,1)E

1008,1)D

1008,1)C

1008,1)B

1008,1)A

EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 44nnnn 24444 , el valor de n es:

22)D

21)C

11)B

2

11)A

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-14: (0,2) – 2

=

A) 5

B) 10 C) 25

D) 25

1

E) 5

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

35

EJEMPLO PSU-15:

52

156

ba

ba

9)E

ba)D

ba)C

ba)B

7

9)A

33

204

108

EJEMPLO PSU-16: Si x399 . Entonces x=

A) 2

B) 3 C) 4

D) 6 E) 27

EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20

minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:

A) 5.000 33 bacterias

B) 5.000 34 bacterias

C) 5.000 39 bacterias

D) 5.000 360 bacterias

E) 5.000 3180 bacterias

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?

64)4()III

144)II

64

14)I

x1

3x

x

A) Sólo III

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

36

EJEMPLO PSU-19: Si 3102,5p y q = 3102 , ¿cuál(es) de las

siguientes igualdades se cumple(n)?

2,3qp)III

1004,1qp)II

102,7qp)I5

3

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-20: Si P33 xx , entonces xx 99 es igual a:

A) P2

B) P2 + 2 C) P2 – 2

D) P2 – 1

E) 3P

EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los números:

:son5R:3Q;2P 222333444

A) Q, R, P

B) Q, P, R C) P, R, Q

D) R, P, Q E) P, Q, R

EJEMPLO PSU-22. ¿Cuál es el valor de la expresión ?721 025

A) 5

B) 6 C) 10

D) 12 E) 16

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37

EJEMPLO PSU-23. 23)s3t2( =

62

62

5

62

3

st24)E

st6)D

ts6)C

st36)B

ts36)A

EJEMPLO PSU-24. ¿Por qué factor hay que multiplicar 2x para obtener

2x ?

anterioresfactoreslosdeningunoPor)E

xPor)D

xPor)C

1Por)B

xPor)A

4

1

4

EJEMPLO PSU-25. ¿Qué valor tiene x en la ecuación ?525 3

3x

2

7)E

8)D

2

9)C

2

15)B

2

17)A

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38

IV. ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores

numéricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre paréntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos y mantener su factor literal.

USO DE PARÉNTESIS En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.

Los paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los

signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando

los signos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis. Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su

vez se encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los paréntesis desde adentro hacia fuera.

OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos semejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir,

a (b c) = (a b) c

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

39

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio y se reducen los términos semejantes, si los hay.

PRODUCTOS NOTABLES:

∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2

∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

(a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac

∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

40

EJEMPLO PSU-1: La expresión 44 ba se puede escribir como

A) 4)ba(

B) 22 )ba()ba(

C) )ba)(ba( 33

D) )ba)(ba( 2222

E) )ba)(ba( 33

EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a ⋅ b =

)pn(4)E

4

pn)D

4

pn)C

4

pn)B

2

pn)A

22

44

EJEMPLO PSU-3: La expresión 2y

aay:

y

xxy es igual a:

a

xy)E

y

)1y(xa)D

y

ax)C

xy

a)B

0)A

3

2

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41

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?

ab2ba

)ab()III

)ba(

ba)II

a23

3a2)I

22

2

2

22

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: El doble de ))b(a(

A) 2a + 2b

B) a - b + 2 C) a + b + 2

D) a + b E) -2a - 2b

EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo?

A) 2x + y

B) 4x + 2y C) 7x + 4y

D) x + 2y E) x + 2y

EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de

sus lados mide (x - 3), el otro lado mide

A) (x + 8) B) 2(x + 8)

C) 2(x - 4) D) 2(x - 3)

E) 2(x + 4)

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42

EJEMPLO PSU-8: Si b

1aentonces,36

b

1bay9

b

1a

2

22

A) -9 B) 6

C) 4 D) 3

E) 1

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son)

divisor(es) de la expresión algebraica 2x2 − 6x − 20 ?

I) 2 II) (x − 5)

III) (x + 2) A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide

2

z, entonces ¿cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área

que el triángulo?

A) 4

z

B) 22

z

C) z

D) 2

z

E) 4

z2

EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2x2 − 3) =

A) − 45 B) − 75

C) 15 D) 75

E) 105

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43

EJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0,

entonces x

y

y

x

2)E

xy

y2x2)D

1)C

xy

yx)B

xy

yx)A

22

EJEMPLO PSU-13: )3w2)(3w2(2)2w3( 2

A) 2w – 12w - 14

B) 2w – 12w + 22

C) 2w – 12w -5

D) 2w – 12w + 13

E) 2w – 12w + 14

EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9

B) 16 C) 18

D) 10

27

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de

k2 + k – 6?

A) k + 1 B) k + 2

C) k – 6 D) k – 3

E) k – 2

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44

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2

II) El área de la región achurada es (a + b)2

III) El área de AEFD es b2 + ab

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo se expresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes

opciones puede representar a sus lados?

A) (x – 1) y (x – 5)

B) (x + 2) y (x – 3) C) (x – 1) y (x + 6)

D) (x + 1) y (x – 6) E) (x – 2) y (x – 3)

EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión xxyyxyx 222 , ¿cuál(es) de

las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella?

I) xy + 1 II) x + 1

III) y + 1 A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

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45

EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión

equivalente a 22n3n 33 es:

)3n(2

)3n(2

)3n(2

)3n(

)3n(2

38)E

316)D

34)C

32)B

32)A

EJEMPLO PSU-20: a:]aa)aa(aa[a

A) –a2 B) –a

C) a D) 2a

E) a - 2

EJEMPLO PSU-21:

4a2

6a2

6a3

4a5

10a

2a3)E

)2a(3

3a2)D

)2a(3

5a2)C

)2a(3

5a2)B

)2a(3

13a2)A

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46

EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=

4

3

2

m

1)E

m

1)D

m

1)C

m

1)B

1)A

EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)

A) 1 - a

B) a C) 0

D) –a2 E) a2

EJEMPLO PSU-24: Si 29bay10ba 22 , entonces el valor de

(a – b)2 es:

A) 9

B) 19 C) 29

D) 49 E) No se puede determinar el valor

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2)nm( – 4mn?

A) (m – n)2 B) m2 – 2 + n2

C) m2 – 4mn + n2 D) 2m – 4mn + 2n

E) 2m – 2mn + 2n

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47

EJEMPLO PSU-26: Sea m 0, al simplificar la expresión

m2

mrm resulta:

2

mr1)E

2

rm)D

2

r1)C

2

r)B

0)A

EJEMPLO PSU-27: Al sumar t

x con m se obtiene

2t

x

, entonces ¿cuál

es el valor de de m?

)2t(t

2)E

)2t(t

x2)D

2t

x)C

)2t(t

x2)B

0)A

EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2

– (30 + 5)(30 – 5) =

A) 0 B) 50

C) 300

D) 350 E) 450

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48

EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b).

El primero le costo $a y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?

A) $ a B) $ 7a

C) $ (3a – b) D) $ (3a + 2b)

E) $ (a + 2b)

EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su

antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es:

A) 6 B) 7

C) 8 D) 14

E) Ninguno de los anteriores

EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es 2

x3 y el largo es el

doble del ancho. ¿Cuánto mide su perímetro?

x6)E

x9)D

2

x9)C

x3)B

2

x9)A

2

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49

EJEMPLO PSU-32: Si x6

1cy

x4

1b,

x2

1a , entonces la expresión

x – (a + b + c) equivale a:

x12

7)E

x12

11)D

12

x11)C

x12

7x)B

x12

11x12)A

2

2

EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al área achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas del cuadrado de

lado a y el lado de b.

III. a(a + b) > a2 + b

2

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas

cuatro cuadrados de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?

A) 8 – x B) 64 – 4x2

C) 64 – x2 D) 8 – x2

E) 64 – x4

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50

EJEMPLO PSU-35: Si )ba(b#ay)ba(ba 222 , ¿a cuánto

equivale la expresión )p#m(5)pm(3 ?

A) -2m2 + 8p2 B) -2m2 + 6mp + 8p2

C) 8m2 + 6mp – 2p2 D) -2m2 + 3mp + 8p2

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual

a:

A) -10

B) 10 C) 13

D) -25 E) 25

EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces

I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales.

II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.

III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio

del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.

B) sólo II. C) sólo III.

D) sólo I y II. E) sólo I y III

EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n33

nn2 es igual a:

A) 6

B) 9 C) 14

D) 17 E) 18

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51

EJEMPLO PSU-39:

yx

3

2yx

3

2

22

22

22

22

yx6

4)D

yx9

2)C

yx9

4)B

yx3

4)A

E) Ninguna de las expresiones anteriores

EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la región achurada se expresa como:

3

)yz(x)E

2

xy)D

xz)C

)zy(x)B

)yz(x)A

EJEMPLO PSU-41: para que la expresión

yx

yx1

yx

yx1

sea positiva, se

debe cumplir necesariamente que:

A) xy < 0

B) x < 0 C) xy > 0

D) y < 0 E) x > y

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52

EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión 432 xxx ?

A) -9 B) -3

C) -1 D) 1

E) 3

EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x2

– 2xy, si x = 2 e y = – 1?

A) 8 B) 6

C) 4 D) 2

E) 0

EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =

A) –a + b – c

B) a + b – c C) –a – b + c

D) a – b – c E) a + b + c

EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p)2

=

A) 6m2

– 10p2

B) 9m2

– 25p2

C) 9m2

– 15mp + 25p2

D) 9m2

– 30mp – 25p2

E) 9m2

– 30mp + 25p2

EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces 22 qp

A) – 13

B) 25 C) 1

D) 5 E) -5

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53

EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces :espq

p

p)E

)1p()D

)1q()C

p)B

q)A

p

p

q

1p

1q

EJEMPLO PSU-48. ¿En cuál de las siguientes alternativas, - 24 mn es

un término al desarrollar el cuadrado de un binomio?

2

2

2

2

2

)24m()E

)nm12()D

)n12m()C

)m2n12()B

)n8m3()A

EJEMPLO PSU-49. En el rectángulo de la figura axAD , xDF y

aFC . Además AD//EF . ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones

equivale(n) al área del rectángulo ABCD?

)ax)(ax()III

ax)II

a)ax(x)I22

2

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

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54

EJEMPLO PSU-50.

2m

2

3m

m

6m4m)E

)2m)(3m(

6m4m)D

)2m)(3m(

6m)C

)2m)(3m(

6m6m)B

)2m)(3m(

6m)A

2

2

2

2

2

EJEMPLO PSU-51. Si k es un número entero positivo, entonces k + 1 es factor de:

1k)E

2k)D

kk)C

kk)B

k2k5)A

3

2

2

2

EJEMPLO PSU-52. 1)]tm()tm[(

0)E

t2)D

t2

1)C

t2

1)B

m2

1)A

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55

EJEMPLO PSU-53. ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a

49x4 2 :

)7x)(7x4()E

)7x)(7x(4)D

)7x2)(7x2()C

)7x(4)B

)7x2()A2

2

EJEMPLO PSU-54. Si 1t , entonces la expresión1t

1

1t

t2

es igual a

1t)E

2t2

1t)D

t)C

1t)B

1t)A

2

2

EJEMPLO PSU-55. Si en un rectángulo de largo 2a y de ancho a + 2, se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el área del

nuevo rectángulo, con respecto al original, aumenta

A) 8 veces. B) 6 veces.

C) en 16 unidades.

D) en 8 unidades. E) 16 veces.

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56

V. SIMBOLOGÍA:

∗ Números natural cualquiera = n

∗ El antecesor de un número = n – 1

∗ El sucesor de un número = n + 1

∗ Número natural par = 2n

∗ Número natural impar = 2n – 1

∗ El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2

∗ El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1

∗ El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2

∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1

∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n

∗ El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n

1

∗ El triple de un número = 3n

∗ Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y

la cifra de las decenas es d = 10d + u

∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u,

la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u

∗ La razón o cociente entre p y q = q

p

∗ El valor absoluto de un número = | n |

∗ p es directamente proporcional a q = )tetancons(kq

p

∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)

EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:

A) [2(x-3)]2 B) 2(x2 – 32)

C) (2x – 6)2 D) 2(x – 3)2

E) (x2 – 32)2

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57

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a

Carmen le regalo 5 más que a ti, me quedo con 4”?

A) 455

x2

B) x55

x2

C) x95

x

D) x95

x2

E) 455

x

EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe

2

2

2

2

2

)d3()2d()E

d3)d2d()D

)d3()d2d()C

)d3(d2d)B

d3d2d)A

EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su

recíproco, y todo al cuadrado, se expresa como

22

2

2

2

2

2

)n(n)E

)n(n)D

n

1n)C

n

1n)B

n

1n)A

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58

EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades,

entonces el área del nuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, como

2

2

22

22

2

)r()E

)r()D

)r()C

r)B

r)A

EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo

dividido por t”, se escribe

t

m25

m

)E

t

m

5

m)D

t

mm5)C

t

m5

m

)B

t

mm5)A

2

2

2

2

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59

EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la

edad de Juan (J). Si hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que

permiten calcular las edades de María y Juan?

102Jy4

J2M)E

10Jy4

J2M)D

102Jy4

J2M)C

102Jy4

J2M)B

102Jy4

J2M)A

EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?

A) (11 + 3a) años

B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años

D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años

EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es

igual al cuadrado del doble de (3 – b)” se representa como:

22

22

2

22

22

)b3(2)b3(2)E

)b3(2)b3(2)D

)b3)(b3(2b3(2)C

)b3(4)b3(4)B

)b3(2b3(2)A

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60

EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su

ancho. Si el ancho del rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:

A) (4x + 16) metros B) (2x + 8) metros

C) (2x + 16) metros D) (4x + 8) metros

E) (4x + 32) metros

EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. ¿Cuál de las siguientes expresiones

representa al planteamiento algebraico de este problema?

A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291 B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291

C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291

E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291

EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea

igual a 18, le faltan 4 unidades”, se expresa como

A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) – 4 = 18

C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 – 2(a + c) = 18

E) 2a + c – 4 = 18

EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de café en $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg

de café más 1 kg de té, en función de x?

A) 40x

000.48

x

000.36

B) 40x

000.48

x

000.36

C) 000.48

40x

000.36

x

D) 000.48

40x

000.36

x

E) 40

000.48

x

000.36

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61

VI. RAZONES y PROPORCIONES

RAZÓN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe b

ao a: b.

Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe b

y

a

x ó x: a = y: b

Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.

TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los

medios. (x : a = y : b) (x · b = y · a)

OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada

constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

OBSERVACIONES: En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta

(disminuye) el mismo número de veces. El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por

el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k k : constante

OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una

cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo número de veces.

El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

62

EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente proporcionales.

II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre

los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces ¿cuántos duraznos hay en la quinta?

A) 54

B) 77 C) 84

D) 126

E) 210

A 10 15 20

B 3 x 1,5

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63

EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x,

cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

9)E

4)D

2)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto

mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?

A) 180 mm 120 mm 90 mm

B) 420 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 240 mm 160 mm

D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al

número b

1 y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el

valor 6, entonces el valor de b es:

4

15)E

10

1)D

8

5)C

5

8)B

10)A

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64

EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él

corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es

A) 50 km B) 65 km

C) 67,5 km D) 62,5 km

E) ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales

entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N

A) aumenta al doble.

B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades.

D) disminuye en dos unidades.

E) se mantiene constante.

EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a

y

1, según los datos registrados, el valor de

c

a , es:

A) 256

B) 16

C) 16

1

D) 64

E) 64

1

EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la

distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre

ellas?

A 1,75 km B 17,5 km

C 175 km D 1.750 km

E 17.500 km

z y

8 2

a 4

1 16

4

1 b

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65

EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la

razón entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =

A) 4: 7

B) 4: 3 C) 7: 4

D) 3: 7 E) 3: 4

EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal

de un gas es T

VP = constante, donde P es la presión del gas, V su

volumen y T su temperatura absoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) A volumen constante la presión es directamente

proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente

proporcional al volumen III) A presión constante el volumen es inversamente

proporcional a la temperatura

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta

de modo que sus volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del

segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos litros tiene la mezcla total?

A 6 litros B 10 litros

C 12 litros D 14 litros

E 16 litros

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66

EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre

mujeres y hombres es m: h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres?

h

m40)E

hm

h40)D

h

)hm(40)C

m

)hm(40)B

hm

m40)A

EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36

II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había

4 mujeres por cada 3 hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?

A) 8 B) 21

C) 24 D) 28

E) 32

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67

EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un

día, ¿cuántos hombres se necesitan para fabricar x artículos en un día?

x50

h)D

h50

x)C

h

x50)B

50

hx)A

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes

permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay en febrero?

A) 416

B) 4.000 C) 12.500

D) 15.000

E) 17.500

EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y

w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichas variables

representan este hecho?

A) 2u

x y w v = 8

B) x – u = 2 y w + v = 8

C) x u = 2 y 8v

w

D) x + u = 2 y w – v = 8 E) x + w = 10

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68

EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días

en hacer un jardín, otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 días. ¿Cuántos

días se demorará Y trabajando solo?

A) 30

B) 28 C) 25

D) 20 E) 15

EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es

inversamente proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos índices se

cumple:

A) D = 0,5C B) D = C2

C) D = C

5,0

D) D = 0,125C

E) D = C

125,0

EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un

cierto número de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuál(es) de las

siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias

II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente proporcionales

III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3

A) Solo I B) Solo III

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

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69

EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 días, mientras

que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 días. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la relación trabajadores - días

EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. ¿Cuál de las siguientes tablas

representa dicha relación?

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70

EJEMPLO PSU-25. Según el grafico obreros versus el tiempo que

demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que:

A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un año

B) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco

meses C) b trabajadores construyen

más casas del tipo M que c trabajadores en un año

D) (c – b) trabajadores construyen una casa del tipo M

en ocho meses E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un año

EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, está dividida

en dos partes que están en la razón 1: 4. La parte menor será utilizada para cultivo, ¿cuántos metros cuadrados serán usados para este fin?

A) 625

B) 2.000 C) 400

D) 1.250 E) 1.000

EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un número de rifa

que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo

repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, ¿Qué cantidad de dinero le correspondería a Rosa?

A) $ 30.000 B) $ 18.000

C) $ 24.000 D) $ 20.000

E) $ 40.000

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71

TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100:

P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje

El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es

P% de C = C100

P

OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS

i) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar

a% de C b% de C = (a b)% de C

ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de

los tantos por cientos

INTERÉS SIMPLE

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada

por la fórmula:

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.

El a% del b% de C = C100

b

100

a

100

in1CCF

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

72

INTERÉS COMPUESTO

Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una

nueva cantidad. La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:

n

F100

i1CC

OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, al finalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se

añaden al capital para producir nuevos intereses.

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

73

EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y

reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de los cajeros, ¿cuál es el total de

trabajadores?

A) 108

B) 72 C) 180

D) 90 E) 54

EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana

$157,5. Calcular el interés simple anual.

A) 5% B) 5,25%

C) 5,5% D) 5,75%

E) 15,75%

EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen

$ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y

por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de

zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?

A) $ 45.000 B) $ 50.000

C) $ 57.150 D) $ 72.000

E) $ 81.900

EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar

$ 317.000 en el mes?

A) $ 254.625 B) $ 532.000

C) $ 1.275.000 D) $ 1.812.500

E) $ 3.962.500

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

74

EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían

10 vasos para llenar el jarro.

II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro.

III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.

A) Sólo III B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para

40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; él A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena

sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s) ? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.

II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.

III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25%

de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar

A) 4 litros.

B) 24 litros. C) 40 litros.

D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores.

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

75

EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las

ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en

la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?

A) 5,0

B) 5,1 C) 5,2

D) 6,0 E) 6,3

EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo

isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el

área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?

A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%.

C) Disminuye en un 4%.

D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad.

EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artículo?

I) 8

1del precio del artículo

II) El precio del artículo multiplicado por 12,5

III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) Solo I y III

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

76

EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2

de cerámica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta $P y el metro cuadrado de piso

flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces el costo total es

de:

A) $ 145P

B) $ 170P

C) $ 175P

D) $ 245P

E) $ 195P

EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el

valor de a

bes:

35

8)E

18

35)D

35

18)C

8

35)B

7

400)A

EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente

por una actividad extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro.

¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?

A) Menos del 91%.

B) Entre el 91% y el 93%. C) Entre el 93% y el 95%.

D) Entre el 95% y el 97%. E) Más del 97%.

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

77

EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60

m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un

60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo

total C en alfombras?

A) C = 1,6 p 100 + p 100 B) C = 0,6 p 100 + p 100

C) C = 0,6 p 60 + p 40 D) C = p 60 + 0,6 p 40

E) C = 1,6 p 60 + p 40

EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)? I) Faltó la cuarta parte del curso

II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes

III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa

el 25% del curso

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:

%30)E

%20)D

%3)C

%6

1)B

%5

1)A

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78

EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es

geometría, el 10% es álgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:

A) 4 B) 8

C) 10 D) 12

E) 28

EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadería. Si la

mercadería tiene un precio marcado de $ 600, ¿cuánto me descuentan?

A) $ 555 B) $ 510

C) $ 255 D) $ 45

E) $ 90

EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo

siguiente: “Antes $ 400, ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?

A) 3

4%

B) 10% C) 25%

D) 33,3%

E) 75%

EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los

que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación al total del curso?

A) 20%

B) 80%

C) 16,6…..% D) 83,3…..%

E) No se puede determinar

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

79

EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la

siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 más un 2% de las

ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes,

vende $ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado?

M P A) $ 288.000 $ 72.000

B) $ 288.000 $ 172.000 C) $ 388.000 $ 172.000

D) $ 960.000 $ 240.000 E) $ 960.000 $ 340.000

EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del

100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en la cuenta, en pesos,

A) 1.000 + 1.000 12

100

B) 1.000 + 1.000

12

12

100

C) 2.000

D) 1.000 12

100

E) 1.000

12

12

1001

EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que

corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Las gallinas que no son blancas son T5

4

II) El 20% de las gallinas son blancas

III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de gallinas que son blancas

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

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80

EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en

un 15%. ¿Por cuál número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?

A) Por 15% B) Por 0,15

C) Por 1,5 D) Por 1,15

E) depende del precio de cada artículo

EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en

la cuenta al final de t años está dada por:

nt

n100

11CP

.Al invertir

$50.000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:

4

3

4

3

4

)015,1(000.50)E

)015,1(000.50)D

)18,1(000.50)C

)06,1(000.50)B

)06,1(000.50)A

EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el

abrigo antes de la liquidación?

A) $ 21.450 B) $ 23.571

C) $ 28.050

D) $ 55.000 E) $ 115.500

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

81

EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000

de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo en $ 19.800, ¿a cuánto

asciende el valor de las estampillas de descuento?

A) $ 600

B) $ 750 C) $ 792

D) $ 800 E) $ 19.200

EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los

alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de

alumnos del curso?

A) 83,3%

B) 80% C) 20%

D) 16,6 %

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres años, para obtener una ganancia de

$ 157,5?

A) 5,0% B) 5,5%

C) 5,27% D) 5,25%

E) 5,05%

EJEMPLO PSU-30. Si un número n se divide por 6 resulta 2, ¿cuál es

el 50% de n?

A) 18 B) 12

C) 6 D) 4

E) 2

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

82

EJEMPLO PSU-31. ¿Qué capital hay que invertir al interés compuesto

del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 año $ 1.300.000?

4

4

3

4

)02,1(

000.300.1$)E

)2,1(

000.300.1$)D

)02,1(

000.300.1$)C

02,1

000.300.1$)B

)02,1(000.300.1$)A

EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un río es de P metros cúbicos por segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% ¿cuál es

su nuevo caudal en metros cúbicos por segundo? y aumenta en 15% su nuevo caudal será.

anterioresresionesexplasdeNinguna)E

100

P15P)D

100

P15)C

15

PP)B

15P)A

EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:

M100

92)E

M100

108)D

M

1008)C

8

M100)B

100

M8)A

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83

EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2%

de interés compuesto mensual. ¿Cuál es el valor más cercano a lo que ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depósitos en ese

período?

121.6$)E

000.8$)D

000.6$)C

121.106$)B

000.106$)A

EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee

Alicia, después de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero. ¿Cuál gráfico representa mejor esta situación?

Semana 0 1 2 3 4 5

Ahorro

en $

20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000

Semana

Ahorro

50

)A )B )C

)D )E

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84

VII. RAÍCES

Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único

real b, no negativo, tal que nb = a

0b,abba nn

Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único

real b, tal que nb =a

Rb,abba nn

OBSERVACIONES

1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES

REAL

2. La expresión n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una

potencia de exponente fraccionario n

kn k aa

3. ,aa2 para todo número real

PROPIEDADES

Si nn bya están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

nnn baba

DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE

0b,b

a

b

an

n

n

POTENCIA DE UNA RAÍZ

0a,aam

nn m

RAÍZ DE UNA RAÍZ

nmn m aa

AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ

Ra,Zmaa mn mn

PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE

Rb,a,baba mn nmmn

FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL

Rb,ababn nn

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85

RACIONALIZACIÓN

Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz

Fracciones de la forma cb

a

Fracciones de la forma cqbp

a

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86

EJEMPLO PSU-1: 272125

arminerdetpuedeseNo)E

33)D

32)C

34)B

316)A

EJEMPLO PSU-2: 25

48

16

15

4

16

anterioresvaloreslosdeNinguno)E

20

7856)D

20

151)C

5

2

4

6

2

7)B

20

61)A

EJEMPLO PSU-3: 3 1x3 2x2 aa

1x

3x

x3

6 3x3

3x3

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

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87

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, –1?

xx)III

xx)II

xx)I

2

2

2

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y III

E) Ninguna de ellas.

EJEMPLO PSU-5: 3443 )22()22()22()22( es un número:

A) Racional positivo

B) Racional negativo C) Irracional positivo

D) Irracional negativo E) No real

EJEMPLO PSU-6: 3 2

2=

1)E

2)D

8)C

2)B

4)A

6

6

3

3

EJEMPLO PSU-7: Si a2 , c5yb3 entonces ¿cuál(es) de

las expresiones siguientes es(son) equivalentes a 60

I) 2bc

II) 4 224 cba

III) bca2

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) Solo I y III

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88

EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión 7

1472 resulta

4)E

272)D

22)C

142)B

32)A

EJEMPLO PSU-9: 38212

520)D

510)C

15)B

23)A

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-10: 2:)24251250(

40)E

32)D

58)C

210)B

10)A

EJEMPLO PSU-11:

3 55555

55555

55555

55555

2

3

3

2

6

5

5)E

5)D

1)C

5)B

5)A

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89

EJEMPLO PSU-12: Si t3232 , entonces el valor de t2 – 2

es:

2)E

2)D

32)C

0)B

232)A

EJEMPLO PSU-13: a1)25,0(

a

2

a

2

a

a1

a

2

1)E

2

1)D

2

1)C

2

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son)

solución(es) de 22 x5xy

I) (2,5) II) (2,-5)

III) (2,-1)

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I, II y III

E) Ninguno de ellos

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90

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son)

irracional(es)?

24

6)III

333)II

82)I

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-16:

22

3

22

6

2

236)E

2

296)D

296)C

22

3)B

0)A

EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es

verdadera?

xx)E

1x)D

xx

1)C

xx

1)B

xx)A

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91

EJEMPLO PSU-18: 3 3x 2727

3x

3x

3x

9x3

9x

3)E

9)D

3)C

33)B

2727)A

EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales

23 ,3

11 , 7 , 32 ,

3

14 , al ordenarlos de menor a mayor, el

término que queda en el centro es:

3

14)E

3

11)D

7)C

23)B

32)A

EJEMPLO PSU-20: )253)(325(

0)E

47)D

7)C

524)B

525)A

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92

EJEMPLO PSU-21: El número 162 es igual a:

14

4

4

2)D

2)C

32)B

2)A

E) Ninguno de los números anteriores

EJEMPLO PSU-22. Si

2

5

3

3

5y

¿Cuál es el valor de ?1y15

15

4)E

15

34)D

15

64)C

64)B

65)A

EJEMPLO PSU-23. Si 253p y 35q , entonces qp =

anterioreslasdeNinguna)E

957)D

153)C

158)B

579)A

EJEMPLO PSU-24. 3 6n6a =

2n6

6n2

1

2n2

1

2n2

6n2

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

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93

EJEMPLO PSU-25. Para todo m > 0 la expresión mmm 3 23 4 es

igual a

6 7

5 7

5

8 7

m)E

m)D

m)C

m)B

m)A

EJEMPLO PSU-26. Si 0q

p , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I) qpqp 22

II) qpqp 22

III) 0qp 22

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y III

E) Solo II y III

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94

VIII. ECUACIONES:

a. Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.

b. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una

ecuación que no contenga fracciones. c. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atención el problema.

Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato

desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación. Paso 5: Resolver la ecuación.

Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos. PROBLEMAS CON FRACCIONES

Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción

de un número. La fracciónb

a de un número x se calcula multiplicando

b

a por x.

PROBLEMAS DE DÍGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un

número de la forma x y z queda representado por x ⋅ 102 + 101 + z ⋅ 100

PROBLEMAS DE EDADES

En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda:

Edad pasada (hace b años)

Edad Actual Edad futura (dentro de c años)

x - b x x + c

y - b y y + c

B. ECUACIONES LINEALES: La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos),

A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:

212

212AB )yy()xx(d

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95

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del

segmento AB son

PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:

( = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < < 90º) si y sólo si (m > 0)

L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva

( = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º< < 180º) si y sólo si (m < 0)

L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

96

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe:

Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta.

Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:

B

Cny

B

Amdonde

B

Cx

B

Ay

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:

RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes

es -1. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces:

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

97

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales.

La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.

Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una

línea recta en un sistema de ejes coordenados.

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1).

ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2). iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución

(figura 3).

21 LL 2121 LLLL 21 LL ∅

(Vacío)

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo

dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de

las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.

MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se

suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

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98

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS

INCÓGNITAS

Sea el sistema:

222

111

cybxa

cybxa Entonces:

* El sistema tiene solución única si 2

1

2

1

b

b

a

a

* El sistema tiene infinitas soluciones si 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a

* El sistema no tiene solución si 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a

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99

EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el

punto (–2, 8) pertenece a esta recta, entonces el valor de m es

A) –2

B) –3

C) –2

1

D) 2

1

E) 2

EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas

(1, 3) tiene pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2). Ambas rectas se cortan en el punto P

cuya abscisa x vale

A) − 5 B) − 2

C) 2 D) 5

E) −2

1

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación5

2

15

x1

?

A) - 5 B) 5

C) – 25 D) 25

E) – 35

EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un

kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en $ 1.060. Si la política

de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el precio

de venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?

A) $ 600 B) $ 580

C) $ 547 D) $ 537

E) $ 530

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100

EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares,

entonces ¿cuál de las siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1?

)2x(4

5y)E

2x5

4y)D

)2x(5

4y)C

)2x(4

5y)B

2x4

5y)A

EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y

Celsius es lineal. Si se sabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es la temperatura en grados

Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?

A) – 21º C B) – 12,7º C

C) 12,7º C D) 23º C

E) 25,9º C

EJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál

es el valor de k?

A) 20

B) 2

3

C) 8

D) 2

7

E) 6

13

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101

EJEMPLO PSU-8: Si xentonces,9x

31

8

3)E

3

8)D

2

9)C

9

2)B

2

9)A

EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4 con y + x = 0?

)A )B)C

)D )E

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102

EJEMPLO PSU-10: En el sistema,

11y4nx

9myx3

¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el

par (1, −3) ? m n

A) − 2 1

B) − 2 − 1 C) 2 1

D) 4 −23 E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)? I) L1 // L2

II) La ecuación de L2 es y = -x + 3 III) Ambas rectas tienen igual

inclinación respecto del eje x

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1

es el punto:

A) (2,3) B) (2,1)

C) (3,-2) D) (0,2)

E) (3,2)

EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Juan en un año más?

A) 21 años

B) 20 años C) 16 años

D) 15 años E) 11 años

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103

EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un

restaurante y desean repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la cuenta y si cada uno pone

$ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?

A) $ 20.000

B) $ 22.000 C) $ 25.500

D) $ 26.000 E) $ 29.500

EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y

2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina?

)p3s$()E

2

ps$)D

2

p3s$)C

2

p3s$)B

)p3s$()A

EJEMPLO PSU-16: Si x31

1x23

, entonces ¿cuánto vale x?

4)E

2)D

5

2)C

7

4)B

7

2)A

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104

EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:

A) 9

B) 16

C) 18

D) 10

27

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano

es representada por la ecuación x = a?

A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).

B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0). C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).

D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0). E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a).

EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres

hijos. Al menor le da x hectáreas, al del medio los 3

2 de las hectáreas

del menor y al mayor la mitad de las hectáreas de su segundo hijo. El

hijo mayor recibió

A) 2.000 hectáreas

B) 4.000 hectáreas

C) 5.333,3 hectáreas

D) 6.000 hectáreas

E) 8.000 hectáreas

EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema

3y2x3

2kyx5no tiene

solución?

A) 2

B) -2

C) -3

10

D) -3

4

E) -2

3

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105

EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 13

2x

?

A) -9

B) -5 C) -1

D) 3

1

E) 1

EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación 0,03x = 5,2?

2,5x103)E

2,5x100

3)D

5

15x

100

3)C

102,5x3)B

5

26x03,0)A

2

2

EJEMPLO PSU-23: Si

3

2

b

1

a

1

6ba

, entonces ba =

1)E

3

2)D

3

1)C

9)B

3)A

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106

EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el

punto medio del segmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son:

2

3,

2

1)B

1,2

1)A

C) (4,2) D) (2,4)

E) (1,2)

EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por

unidades. Juan y Luis compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por

su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?

A) 4a B) 16a

C) 3

a

D) 4

a3

E) 3

a4

EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las

semanas 3 kilogramos de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana siguiente los plátanos habían

subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30 por

kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el

kilogramo de manzanas esa cierta semana?

A) $450 B) $350

C) $400 D) $346

E) $292

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107

EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A (-1,-2), B (5,-2) y C (5,3), en

el sistema de ejes coordenados, se puede afirmar que:

BCtrazodelpuntounes)5,0()III

XejealparaleloesAB)II

BCAB)I

Es(son) correcta(s):

A) Solo II B) Solo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-28: Según el sistema

b3a7yx

b3a7yx , ¿cuál es el

valor de y?

A) 6b

B) 3b C) b

D) -b E) -3b

EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa.

II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta y = b

ax .

A) Sólo II

B) Sólo I y II C) Sólo II y III

D) Sólo I y III E) I, II y III

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108

EJEMPLO PSU-30: Tres números enteros consecutivos suman cero.

Entonces es verdadero que:

I) El número mayor y el menor suman cero

II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación y = px + q. ¿Cuál es el valor de q?

A) 1

B) 2 C) 0

D) -1

E) -2

EJEMPLO PSU-32: Si 24)4x2(23 , entonces x es igual a:

A) -4 B) 0

C) 3 D) 4

E) 36

EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a:

A) -20 B) -10

C) -30 D) 10

E) 30

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109

EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos

partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?

A) 250 cm y 50 cm B) 150 cm y 150 cm

C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores

EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de AD y de BC no es un número real

II) La pendiente de DCes cero

III) La pendiente de ABes positiva A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de sus edades en a años más?

A) (11 + 3a) años

B) (11 + 2a) años C) (11 + a) años

D) (8 + 3a) años E) (5 + 3a) años

EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b).

El primero le costó $ a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?

A) $ a

B) $ 7a C) $ (3a – b)

D) $ (3a + 2b) E) $ (a + 2b)

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110

EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese número entero es

A) 6 B) 7

C) 8 D) 14

E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-39: Si 42

1t2

, entonces t =

2

7)E

2

9)D

2

3)C

3)B

5)A

EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un

licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b,

¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?

18

)b2a3(5$)E

18

b2a3$)D

)b3a2$()C

5

ba$)B

3

ba$)A

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111

EJEMPLO PSU-41. “La diferencia de un número con sus 12

5, es igual a

sus 4

3partes disminuido en 10”. La expresión que resuelve el enunciado

anterior es:

10x4

3x

12

5x)E

10x4

3x

12

5x)D

10x4

3

12

5x)C

104

3

12

5x)B

104

3x

12

5x)A

EJEMPLO PSU-42. Si la cuarta parte de la edad de una persona es 8, entonces, la mitad de su edad más uno año es:

A) 2 años

B) 5 años C) 16 años

D) 17 años E) 33 años

EJEMPLO PSU-43. ¿Cuál debe ser el valor de x para que la expresión

x

3

2

9 sea igual al inverso aditivo de -3?

25

18)E

1)D

15

6)C

15

6)B

2)A

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112

EJEMPLO PSU-44. Dado el sistema

1y2x3

17y2x3, el valor de

y

yx es

igual a:

4

1)E

5

8)D

3)C

13

10)B

4

1)A

EJEMPLO PSU-45. En la recta de la figura, el valor de p es

5

12)E

5)D

7)C

4

15)B

4)A

EJEMPLO PSU-46. ¿Cuál es el punto medio del trazo ABde la figura?

)0,a()E

)a,0()D

)b,0()C

2

b,

2

a)B

)0,a2()A

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113

VII-2: DESIGUALDADES

Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a b ó a b. las

desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

Propiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad no cambia

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un

mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bc

INTERVALOS Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos

entre a y b. se simboliza por b,a

Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b]

Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se simboliza por: b,a

Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza por: b,a

bxa/Rxb,a

En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo

bxa/Rxb,a

En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este

caso, que dichos puntos pertenecen al intervalo

bxa/Rxb,a

Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

114

bxa/Rxb,a

Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un

conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S1, S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: n321 S....SSSS

PROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos

<, >, ó , tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (),

“como máximo (), “sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la

inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.

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115

EJEMPLO PSU-1 ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de

inecuaciones

21x

21x?

,3)E

3,1)D

,31,)C

,33,)B

3,1)A

EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números

que están a una distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?

,286,612,)E

28,)D

28,66,12.)C

28,6)B

8,6)A

EJEMPLO PSU-3: 3x – 8 < 5x + 5, ¿cuánto vale x?

13

2x)E

2

13x)D

2

13x)C

2

13x)B

2

13x)A

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116

EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones

41x

64x2

, ¿cuál es el gráfico solución?

A) B)

C) D)

E)

EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor

que:

7

52)E

7

82)D

52)C

49)B

42)A

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117

EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la

inecuación –6 4x es

EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del

sistema de inecuaciones

6x24

36x3 es

EJEMPLO PSU-8. ¿Cuál es el conjunto de los números impares naturales, tales que su triple aumentado en seis es menor que 57?

anterioreslasdeNinguna)E

}11,9,7,5,3,1{)D

}15,13,11,9,7,5,3,1{)C

}15,13,10,9,7,5,3,1{)B

}17,15,13,11,9,7,5,3,1{)A

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118

EJEMPLO PSU-9. Si a + 15 = b, entonces se puede afirmar que:

A) La suma de a y b es 15

B) a es mayor que b

C) a es 15 veces b D) a es menor que b

E) la diferencia entre a y b, en ese orden, es 15

EJEMPLO PSU-10. Si 0a3 y 0b3 ¿qué valor(es) puede

tomar (a + b)?

A) Los valores entre – 3 y 3, ambos incluidos

B) Solo los valores entre – 3 y 0, ambos incluidos C) Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos

D) Solo el 0 E) Ninguno de los anteriores

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119

B. ECUACIONES CUADRATICAS:

∗ Ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0

∗ Fórmula cuadrática: a2

ca4bbx

2

∗ Número de soluciones: (∆: discriminante)

(∆: b2 – 4ac)

∆ > 0…. 2 raíces reales y distintas ∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales

∆ < 0…. No tiene raíces reales

∗ Intersección en el eje x: ∆ > 0…. 2 intersecciones en el eje x

∆ = 0…. 1 intersección en el eje x ∆ < 0…. No hay intersección el eje x

∗ Propiedades de las raíces: a

cxx

a

bxx 2121

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120

EJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto

afirmar que:

I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.

II. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.

III. Si a < 1, no hay intersección con el eje X.

A) Sólo I

B) I y II C) II y III

D) Sólo II E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más de frente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál

de las siguientes ecuaciones permite calcular las dimensiones del patio?

A) x(x + 2) – 24 = 0 B) x(x – 2) – 24 = 0

C) x(x – 2) + 24 = 0

D) x2 - 22 = 0 E) 4x - 20 = 0

EJEMPLO PSU-3: Las raíces (o soluciones) de la ecuación

x(x − 1) = 20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20

C) 4 y 5 D) 4 y − 5

E) −4 y 5

EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces ¿cuál es el valor de c?

A) - 24 B) -8

C) -2 D) 2

E) 3

5

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121

EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión x

2x2

cuando x satisface la igualdad 16x

15x ?

A) 4 B) 3

C) 1 D) 0

E) -1

EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es:

A) {0} B) {1}

C) {0,1} D) {0,-1}

E) Ninguno de los conjuntos anteriores

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122

IX. LOGARITMOS:

mlogn

1mlog)6(

xlogyxlog)5(

ylogxlogy

xlog)4(

ylogxlog)yx(log)3(

1alog)2(

01log)1(

an

a

ay

a

aaa

aaa

a

a

∗ Cambio de base: alog

blogbloga

EJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 – log (a + b) =

A) 2

B) a + b C) log a + 3log b

D) log a + log b E) log (a + b)

EJEMPLO PSU-2: Si 2x1

1log

entonces x vale:

20

19)E

100

101)D

100

99)C

99)B

100

99)A

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?

2log6log)E

3log2log2log)D

6log2)C

2log10log)B

2log6log)A

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123

EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión es16log

9

1log8log

4

32

4

7)E

4

5)D

3)C

2

1)B

2

5)A

EJEMPLO PSU-5: log32 = a resulta

A) a3 = 2 B) a2 = 3

C) 23 = a D) 32 = a

E) 3a = 2

EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces )a(loglog 2a2 =

A) 0

B) 1 C) 2

D) a

E) a2

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

4log10log4log)III

3030log2

1log)II

20log20log1log)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

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124

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

7

1xentonces,249logSi)III

3xentonces,2xlogSi)II

29

1log)I

x

3

3

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =

A) 4 log 1.000 B) 6 + 2 log 2

C) 2(6 + log 2) D) 2(log 2)(log 1.000)

E) 3 + 2 log 2

EJEMPLO PSU-10. ¿Cuál es el valor de la expresión

?10log9log8log 32

A) 4

B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

EJEMPLO PSU-11. Sean x e y números positivos, la expresión

)yxlog( 23 es siempre igual a

)ylog2)(xlog3()E

ylog2

xlog3)D

ylog2xlog3)C

)xylog(2

3)B

)xylog(6)A

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125

X. FUNCIONES:

DEFINICIÓN: función Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como: f: A → B

x → f(x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la

función y se denota Dom f.

∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente

(y), y se denota Rec f.

∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente,

también aumenta la variable dependiente.

∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la

variable dependiente disminuye.

∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable

independiente, la variable dependiente toma un único valor.

EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN Para encontrar los valores de las imágenes de

una función definida, se reemplazará la variable independiente por el número o expresión que corresponda.

Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería f(-1) = 3 · (-1) – 1 = - 4. Si la imagen es 29 y la función es f(x) = 2x + 1,

la pre-imagen se obtendrá igualando 2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.

∗ Función continua: Es aquella en la que su

gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión (figura 1).

∗ Función discontinua: Es aquella que no es

continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).

∗ Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada

cierto intervalo, llamado período (figura 4).

iominDo

corridoRe

x

yx y

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126

A. FUNCION DE PRIMER GRADO:

∗ f(x) = ax + b

B. FUNCION LINEAL:

∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b 0:

y a ≠ 0 es denominada función Afín. (a, b R)

∗ Si b = 0, La recta pasa por el origen y es llamada

función lineal

C. FUNCION IDENTIDAD:

Función lineal f(x) = ax, con a = 1: f(x) = x

∗ La recta pasa por el origen.

∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Sea y = f(x) una función. La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el

desplazamiento es en el sentido negativo (figura 1 y 2). La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 el desplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el

sentido negativo (figura 3 y 4). La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y h unidades en el eje x.

Si f(x) = ax entonces: f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x – h), h < 0 f(x) = a(x – h), h > 0

y

x

f (x)

a > 0

y

x

f (x)

a < 0

positivamnegativam

y

x

f (x) = ax

y

x

f (x) = x

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127

D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número

real no negativo.

f(x) = Rx,0xSi,x

0xSixx

Representaciones gráficas

a indica el punto de traslación en el eje b indica el punto de traslación en el eje de las ordenadas de las abscisas.

E. FUNCION CONSTANTE:

∗ Función de grado cero.

∗ Su gráfico es una recta horizontal.

F. FUNCION CUADRATICA:

∗ Función de segundo grado

f(x) = ax2 + bx + c

∗ Se grafica una curva llamada parábola.

A la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c lR y a ≠ 0 se

le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.

y

x f (x) = 3

3

y

x f (x) = ax

2 + bx + c

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128

Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola

Si a > 0, la concavidad de la parábola está Si a < 0, la concavidad de la parábola Orientada hacia arriba está orientada hacia abajo

INTERSECCIÓN CON EL EJE Y

La parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en y = c.

CEROS DE LA FUNCIÓN Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0

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129

DISCRIMINANTE

La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c

EJE DE SIMETRÍA

El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas” congruentes.

VÉRTICE DE LA PARÁBOLA El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.

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130

G. FUNCION RAIZ CUADRADA:

Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por

OBSERVACIONES: i. La función es creciente. ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.

∗ Su dominio son los IR+ U {0}.

H. FUNCION EXPONENCIAL:

La función f definida por 1ayRacon,a)x(f x se denomina función

exponencial.

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

En las gráficas se puede observar que:

∗ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).

∗ Si a > 1, entonces f(x) = xa es creciente.

∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) = xa es decreciente.

∗ La gráfica no corta al eje de las abscisas.

x2)x(f

x

2

1)x(f

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131

I. FUNCION LOGARITMICA:

Una función f definida por 0xy1a,Racon,xlog)x(f a se denomina

función logarítmica

En los gráficos se puede observar que:

∗ La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0)

∗ Si a > 1, entonces xlog)x(f a es creciente

∗ Si 0 < a < 1, entonces xlog)x(f a es decreciente

∗ La curva no intersecta al eje y

xlog)x(f 2xlog)x(f 2

xlog)x(f2

1xlog)x(f

2

1

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132

J. FUNCIÓN PARTE ENTERA

Dado un número real x, la función parte entera Rxconxxf )( le asigna el

mayor entero que es menor o igual a x.

Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6.

Su representación gráfica es

OBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.

APLICACIONES LINEALES En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por

ende, es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional. La función que se obtiene produce un modelo matemático de

la situación.

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133

EJEMPLO PSU-1: Si 2

3x2)x(f

, entonces f(7) es igual a:

2

17)E

2

11)D

2

11)C

2

17)B

4)A

EJEMPLO PSU-2: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de

un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días:

el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90

minutos y el cuarto día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días

que estacionó?

A) $ 1.900

B) $ 2.300 C) $ 2.400

D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores.

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134

EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las

funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?

EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2, donde t se mide en segundos y la altura

y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?

I) 6 segundos

II) 10 segundos

III) 14 segundos A) Sólo en I

B) Sólo en II C) Sólo en III

D) Sólo en I y en II E) Sólo en I y en III

)A )B )C

)D )E

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135

EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola 2)1x(2

1y ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba

II) Su vértice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetría es x = 1

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: ¿Cuál es el dominio de la función 4x)x(f 2 en

los números reales?

,4)E

,22,)D

,0)C

,2)B

,2)A

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura?

I) f(– 2) > f(4)

II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?

A) y = (– x + 1)(x – 2) B) y = (x + 1)(x – 2)

C) y = (– x + 1)(x + 2) D) y = (– x – 1)(x – 2)

E) y = (x + 1)(– x – 2)

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136

EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que:

f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor de f(a) es

A) 1

B) 1 − a C) 2 − a

D) 1 + a E) 3 − 2a

EJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida

por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?

A) -3 B) -2

C) 3 D) 2

E) 2

3

EJEMPLO PSU-11: Del gráfico de la función real x1)x(f , se puede

afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0)

II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1

Es(son) verdadera(s):

A) Solo II

B) Solo III C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 f(5x) es igual a

A) 125x B) 25x

C) 125x2 D) 25x2

E) ninguna de las expresiones anteriores.

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137

EJEMPLO PSU-13: Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en

los números reales. El menor valor que alcanza la función es

A) 5

B) 3 C) 2

D) 0 E) –1

EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero.

II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.

III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-15: Si f(x) = ax + 1 y f(2) = 9, entonces a =

A) 9 B) 4

C) 3 D) 2

E) 8

EJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R – {-1} definida

por 1x

x1)x(f

, entonces f(-2)

A) 1

B) -1 C) 3

D) -3

E) -3

1

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138

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la

función real y = [x +1]

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a

la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?

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139

EJEMPLO PSU-19: Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es)

de las afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x

II) Su valor mínimo es -1 III) f(-3) > 0

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja

0,5 m cada semana. ¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel de agua y con el número de

semana x?

A) y = -12 + 0,5x

B) y = - 0,5 + 12x C) y = 12 + 0,5x

D) y = 12 – 3,5x E) y = 12 – 0,5x

EJEMPLO PSU-21: De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las

siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0)

II) 3f(-2) – f(0) = 2f(2)

III) f(-2) – f(1) = f(2) -1

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f(t) = 1?

A) {-2}

B) {-2,2} C) {2}

D) {4} E) No tiene solución en el conjunto de los números reales

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140

EJEMPLO PSU-23: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la

función f(x) = x2 – 5x + 6?

EJEMPLO PSU-24: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =

xx3)E

xx)D

xx)C

xx)B

x2)A

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al

gráfico de la función f(x) = x2 – 1?

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141

EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural

tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:

Consumo en m3 Precio

0 - 9 $3.000

10 – 19 $ 8.000

20 o más $11.000

Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no

corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior.

¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de cobros de la empresa?

EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta es igual a 5

II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) Solo I y III

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142

EJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que

mejor representa al gráfico de la figura?

A) y = x2

B) y = x3 C) y = 4x4

D) y = 4x E) y = 4x2

EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una

circunferencia es: 2rA ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I. π es variable.

II. r es variable y A sólo toma valores positivos.

III. A es función de r.

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo II D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30: Dada la función x2

x3x)x(f

, entonces f(-4)=

valorOtro)E

6

11)D

2

1)C

2

1)B

6

11)A

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143

EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra,

además, $ 300 por cada Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x) es:

1x300150y)E

1x300150y)D

3001x150y)C

300x150y)B

x300150y)A

EJEMPLO PSU-32: Dada la función )2x()x(f , se puede afirmar

que: I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2

II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la función

A) Sólo II

B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n,

respectivamente, de modo que f(3) = 8 y f(2) = 6?

A) 2

1 y 5

B) - 1 y 2

1

C) 2 y 2

D) 2

1 y

2

13

E) 2 y 10

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144

EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes

alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en

llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario

nocturno. Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta

500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes?

I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q.

II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P.

III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no

importando el plan que contrate.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-35: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de

producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes,

¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?

A) C(x) = x + 1.005.000 B) C(x) = 1.000.000x + 5.000

C) C(x) = 1.005.000x D) C(x) = 5.000x + 1.000.000

E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000

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145

EJEMPLO PSU-36: Dada la función f(x)= xx12 , ¿cuál(es) de las

siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

0)2(f)III

2

1

2

1f)II

)1(f)2(f)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4 E) 7

EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:

A) x2 + 3x - 2

B) x2 + 5x – 3 C) x2 + 5x – 2

D) x2 + 5x E) x2 + 3x

EJEMPLO PSU-39: dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x

II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III E) Solo II y III

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146

EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática cbxax)x(f 2 , ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo

II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen III) Si b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta

al eje x en dos puntos

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor

representada por el gráfico de la figura?

4

3

2

2

x)x(s)E

x2)x(t)D

x4)x(h)C

x2)x(g)B

x8)x(f)A

EJEMPLO PSU-42. La parábola de la figura intersecta al eje x en los

puntos (4, 0) y (- 2, 0) ¿Cuál es el conjunto de todos los valores de x cuya imagen es mayor o igual a cero?

2,)E

,2)D

4,2)C

,42,)B

,42,)A

2 4x

y

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147

EJEMPLO PSU-43. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la

función 4)5x(y 2

EJEMPLO PSU-44. Si f(x) = x – 2 es afín con g(x) dado por la siguiente tabla. ¿En qué punto se intersectan las gráficas de estas funciones?

anterioreslasdeNinguna)E

7

17,

7

3)D

6

17,

6

5)C

6

17,

6

5)B

6

7,

6

5)A

EJEMPLO PSU 45. En la función x3)x(f , ¿Cuál(es) de las

siguientes alternativas es (son) verdadera(s)?

I) 7 no tiene imagen

II) 3 no tiene imagen III) f(- 6) = 3

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

x g(x)

- 1 - 2

- 2 3

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148

EJEMPLO PSU-46. kxx)x(f 2 , entonces el valor de f(- 3) es:

A) – 9 + 3k B) – 9 + 3k

C) 9 + 3k

D) 9 – 3k E) – 3 + 3k

EJEMPLO PSU-47. Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base

mensual de $180.000 más $5.000 por artículo vendido. Si un vendedor vende x artículos en un mes, ¿cuál de las siguientes funciones

representa el sueldo S(x), que le paga la empresa, en pesos?

000.180x000.5$)x(S)E

x000.185$)x(S)D

x000.185$)x(S)C

000.180$x000.5$)x(S)B

000.5$x000.180$)x(S)A

EJEMPLO PSU-48. Si 2x2x1x)x(f entonces para

2x1 la función f(x) es igual a

A) 3x – 1

B) 3x + 5 C) x + 3

D) x + 1 E) x - 1

EJEMPLO PSU-49. Sea la función f(x) = 4x3x2 y g(x)= 4x

I) f(0) g(0)= 0

II) f(x) = g(x) (x+1) III) g(3) + g(1) = - 7

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

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149

EJEMPLO PSU-50. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor

a la parábola de la figura

A) f(x) = 2)2x(

B) g(x) = 4x2

C) 2)2x()x(h

D) 2)x2()x(m

E) 2)2x()x(n

EJEMPLO PSU-51. Dadas las funciones 2x)x(f , 2x3

1)x(g y

2x3)x(h . ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

3

1h

3

1g

3

1f)E

3

1f

3

1h

3

1g)D

3

1g

3

1h

3

1f)C

3

1h

3

1f

3

1g)B

3

1h

3

1g

3

1f)A

2

4

xy

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150

XI. ANGULOS:

Clasificación de ángulos

Según su medida, un ángulo puede ser:

DEFINICIÓN Ángulo Agudo: su medida es menor

que 90°

DEFINICIÓN Ángulo Recto: su medida es 90°, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son “perpendiculares” )(

DEFINICIÓN Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90° y menor que 180°

DEFINICIÓN Ángulo Extendido: Su medida es 180°

Ángulos en el plano

DEFINICIÓN Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si y solo si tienen en común el vértice y un lado, y sus interiores no se intersectan.

Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD

90BOC

180AOB90

180BAC

º90AOB α

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151

DEFINICIÓN Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.”Complemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta

para completar 4

1de giro (90°).

90βα , complemento de αα 90

DEFINICIÓN Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. “suplemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para

completar 2

1 de giro. (180°)

Suplemento de αα 180

Así entonces, podemos tener:

a) ángulos adyacentes complementarios 90βα

b) ángulos adyacentes suplementarios:

180βα

DEFINICIÓN Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Propiedad: ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida ( son congruentes)

δγβα y

180βα

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152

Ángulos entre paralelas y una transversal

Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales hay parejas que cumplen propiedades importantes

Opuestos por el vértice .Son congruentes. 75864231

Ángulos Correspondientes. Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el nombre de correspondientes, y obviamente son congruentes.

84736251

Ángulos alternos internos. Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos internos son congruentes.

∡ 3 ∡ 5 ∡ 4 ∡ 6 Ángulos alternos externos Son los que están en el exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos

externos son congruentes. 8271

Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen. Observación: Sea L1 // L2, entonces:

(1) :siβα

(2) 180

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153

Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: βαε

Observaciones: (a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes)

(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida es de 90º

21 LL

βα

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154

TRIÁNGULO

DEFINICIÓN Un triángulo lo podemos entender como la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vértices, y los segmentos, lados del triángulo; además, se determinan tres ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores del triángulo Se acostumbra usar letras minúsculas para los lados, de acuerdo al vértice al que se oponen.

Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°”

180γβα

DEFINICIÓN Ángulo Exterior Se llama ángulo exterior de un triángulo, al ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro.

exterioresángulos';';' γβα

Propiedades (1) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes

βαγ

γαβ

γβα

'

'

'

(2) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360° 360''' γβα

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155

Clasificación de los triángulos Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos

Según la medida de sus ángulos

Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos

Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ángulo recto se denominan “catetos” y el lado opuesto al ángulo recto “hipotenusa”

Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso

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156

Según la medida de sus lados

Equilátero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos interiores también lo son, y como la suma de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°

Isósceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados “lados”, y el tercero se llama “base” Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los “lados” son también congruentes. A estos ángulos se les llama “ángulos basales”

Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO

Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos.

Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas notables”

Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas.

Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo

tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro.

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157

DEFINICIÓN 1. Transversal de gravedad.- Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb, tc, donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)

)Baricentroo(GravedaddeCentro:G

}G{ttt

tCF;tBE;tAD

ladoslosdemediosPuntos:F,E,D

cba

cba

Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2: 1. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado

DEFINICIÓN 2.- Altura. Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados

khchbha cba

1

2

GF

CG

GE

BG

GD

AG

Ortocentro:H

Hhhh

hCD;hBF;hAE

ABCD;ACBF;BCAE

cba

cba

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158

Observaciones:

∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo

∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto,

puesto que los catetos se confunden con las alturas.

DEFINICIÓN

3.- Bisectriz.- Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se

denominan: γβα b;b;b ; donde el subíndice

indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega “ ”.

Propiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las medidas de los lados que forman el ángulo

genciatandePuntos:R,Q,P

Incentro:I

Ibbb

bCE;bBG;bAF

γβα

β γαBA

BC

GA

CG;

AC

AB

FC

FB;

CB

AC

EB

AE

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159

Observaciones:

∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al

triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices

∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se

determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.

DEFINICIÓN 4.- Simetral

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc , donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por “r”

Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo.

DEFINICIÓN 5.- Mediana

Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo P, Q, R : Puntos medios de los lados

roCircuncent:O

OSSS

SOE;SOF;SOD

cba

cba

Medianas:RP,QR,PQ

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160

Propiedades:

La mediana es paralela al tercer lado:

BC//PQ;AC//QR;AB//RP

La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:

QR2AC;PQ2BC;PR2AB

Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes

Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los

triángulos equiláteros e isósceles.

Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO

PROPIEDADES

60

,unocada60aigualesángulos)2(

aCABCAB)1(

α

(3) Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma recta

γβα bbbhhhttt cbacba

3

3a

3

3lado

tacircunscrinciacircunfereladeRadio)8(6

3a

6

3lado

inscritanciacircunfereladeRadio)7(

34

a

4

3)lado(Área)6(

32

a

2

3ladoAltura)5(

mediopunto;MMBAM)4(

22

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161

TRIÁNGULO ISÓSCELES

PROPIEDADES

vérticedelángulo)3(

basalesángulos)2(

baseAB;BCAC)1(

21

β

αα

(4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo hc = tc =

b= CM

La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados

del correspondiente ángulo del triángulo

La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del

correspondiente ángulo interior del triángulo.

a

b

u

vbieno

b

a

v

u

a

b

EB

EA

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162

TEOREMA DE PITÁGORAS “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”

“En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos, es decir 222 cba ”

RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS “Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo” · Tríos pitagóricos: (a – b – c)

a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37

TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema: “Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”

Tesis: 2

ABBC

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163

Teorema:

“En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa”

Tesis: 2

ACBM

Corolario: “En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa”

Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que abarcan los dos catetos es de 180º

Por tanto, se cumplirá: a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.

b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c. c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

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164

TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura es rectángulo en C

y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa

p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ACB, ADC y CDB son

semejantes.

Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los

catetos sobre la hipotenusa.

qph 2c

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media

proporcional Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

cpa2

c

bah c

Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados

ACUTÁNGULO

222 bac

RECTÁNGULO

222 bac

OBTUSÁNGULO

222 bac

cqb2

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165

OBSERVACIÓN:

“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”

PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA

En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial

cba

ba

ρ

trosemiperíme:s;2

cbas

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166

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC= 5 cm y

BD= 4 cm. La medida del segmento AD es:

cm9)E

cm4)D

cm4

3)C

cm4

9)B

cm2

3)A

EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros

y BFEC es un rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ?

I) x = z II) x + y = EBD

III) x + y – z = 60°

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus

alturas, entonces se forman dos triángulos

A) isósceles rectángulos congruentes. B) acutángulos escalenos congruentes.

C) acutángulos congruentes. D) escalenos rectángulos congruentes.

E) equiláteros congruentes.

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167

EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del

triángulo equilátero ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El área del Δ DEF es la sexta parte del área delΔABC.

II) El lado FE es paralelo al lado AB .

III) El lado FE es perpendicular al lado AC .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:

2

2

2

2

2

cm32

9)E

cm52

9)D

cm59)C

cm39)B

cm9)A

EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el Δ ABC es rectángulo en C y

BCAC = 2 6 , entonces CD es

A) 2 3

B) 2 6

C) 3

D) 6 E) 12

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168

EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, CE= 3 cm y

BE = 12 cm, entonces la medida de CD es:

A) 6 cm

B) 3 5 cm

C) 3 2 cm

D) 9 cm

E) Indeterminable con los datos dados

EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se

divide por dos y se mantiene su base?

A) Se reduce en media unidad cuadrada B) Se reduce a la mitad

C) Se reduce a la cuarta parte D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada

E) Falta información para decir que ocurre con el

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son

puntos que dividen a BC en tres segmentos iguales. Si BC//C'B' ,

AC= 12, 'AC = 4 y 'CB' = 3, entonces ACEárea

'D'ABárea

9

1)E

6

1)D

4

1)C

3

1)B

18

1)A

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169

EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si

1

4

q

p y p + q = 10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)

I) a + b = 56

II) h = 4

III) El área del triángulo ABC = 20

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo

isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo

porcentaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto del área original?

A) Se mantiene igual

B) Aumenta en un 4% C) Disminuye en un 4%

D) Aumenta al doble E) Disminuye a la mitad

EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales mide a, entonces la base c mide:

)as(2)E

as2)D

as)C

2

as2)B

2

as)A

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170

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la

figura?

A) 32º

B) 39º C) 45º

D) 52º E) No se puede determinar, faltan datos

EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C.CDes

perpendicular a AB . AD = 9 y DB= 4 ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

52BCIII)

117ACII)

6CDI)

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25

cm y 3

1cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Su hipotenusa es igual a 3

5del cateto menor.

II) El área del triángulo es 12

5cm2

III) Su perímetro es igual a 1 cm.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

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171

EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ABC es rectángulo en C y hc =2

c.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) (p + q)2 = 4pq

II) 2

qpó

2

pq

III) El ABC es isósceles.

A) Sólo II

B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-17. En un triángulo rectángulo de catetos 3 y 6 cm,

¿Cuál es la razón entre las longitudes de las proyecciones de las alturas

correspondientes de los catetos?

arminerdetpuedeseNo)E

6:1)D

45:3)C

4:1)B

2:1)A

EJEMPLO PSU-18. Las medidas de los lados de un triángulo son a, b y

c, donde c es el lado mayor. Para que el triángulo sea rectángulo debe ocurrir que

bac)E

c)ba()D

bca)C

bac)B

a2cyba)A

22

22

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172

XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:

DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus

vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.

RC

QB

PA

RQCB

PRAC

PQAB

PQRΔABCΔ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente

iguales.

LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

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173

EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las

diagonales PRySQ se intersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes

congruencias es(son) siempre verdadera(s)?

RQPPSR)III

RTQPTS)II

STRPTS)I

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2: En la figura, Δ PTR y ΔSVQ son congruentes.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

RPTRQV)III

SV//PT)II

VQ//TR)I

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB .

Si P, Q y R son puntos medios de sus lados respectivos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes

III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABC

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) I, II y III

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174

EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB . La

circunferencia de centro C y radio r interfecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son)

verdadera(s)?

I) Δ ABE Δ ABE

II) Δ BEC Δ ADC III) Δ ABD Δ ADC

A) Sólo III

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura BADABC

DBAC)III

BEDAEC)II

ADBAEC)I

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles

congruentes de bases BC y AE , respectivamente. Si ∡BAC = 36º,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) ∡ DAC ∡ CAB

II) ABC ACD

III) AEP DCP

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

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175

EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado

2 y DBAD , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ADC BDC

II) ∡ ACD = 30º

III) 2

3CD

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con

congruentes II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son

congruentes

III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9. En la figura el ABDABC . ¿Cuál de las siguientes

aseveraciones es (son) verdadera(s):

I) Es posible inscribir el cuadrilátero ADBC en una circunferencia II) ∡ CAB = ∡ DBA

III) ∡ CBD = 90º

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) II y III

E) I, II y III

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176

EJEMPLO PSU-10. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y AD

es bisectriz del ángulo CAB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El ángulo CDA mide 90º

II) AD es eje de simetría del triángulo ABC

III) Los triángulos ADC y ADB son congruentes

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-11. Si en la figura, BADA , ABCB y βα ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

OBOA)III

ACDB)II

DACB)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

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177

XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS: DEFINICIÓN: Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando,

además, tengan sus lados homólogos proporcionales

Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así,

por ejemplo; (1) todos los cuadrados son semejantes entre sí (2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí

(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también

que todas las circunferencias son semejantes entre si. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en

triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras

RP

CA

QR

BC

PQ

AB

y

RC;QBP;A

:sisoloysiΔPQRΔABC

∡ A ∡ P

∡ B ∡ Q

∡ C ∡ R

∡ D ∡ S

∡ E ∡ T

TP

EA

ST

DE

RS

CD

QR

BC

PQ

AB

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178

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza

entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.

* TEOREMA FUNDAMENTAL Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los

ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero

Si AB//DE , entonces CDE ~ CAB

Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos

son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales.

TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)

Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes

Hipótesis: ∡ A ∡ D y ∡ C ∡ F

Tesis ABC DEF Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes.

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179

TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)

Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

'CC'B'C

CB

'A'C

CA

∆ ABC ~ ∆ A’B’C’

TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza) Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales,

entonces los triángulos son semejantes.

'A'C

CA

'C'B

BC

'B'A

AB

∆ ABC ~ ∆ A’B’C’

Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los

teoremas LAL y LLL Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos

triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales.

Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de

90°. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce:

a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo

congruente.

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180

b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos

respectivamente proporcionales

c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional.

RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son

proporcionales a los lados respectivos.

Sea ABC A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ADC A’D’C’. De esa

semejanza se deduce que: C'A'

AC

D'C'

CD

En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes.

λα

α ..................'b

b

't

t

'h

h

c

c

a

a

RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera

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181

....................................b

b

h

h

'C'B'AΔperímetro

ABCΔperímetro

'a

a

'c

c

RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera

..........................h

h

b

b

'C'B'AΔárea

ABCΔárea2

'c

c

2

'a

a

Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la

misma unidad, se establece una razón entre estas medidas.

Nota: MN es el segmento.

MN es la medida de MN

La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real

positivo. Dicho número puede ser racional o irracional. Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo

segmentos son conmensurables entre sí. Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre sí.

Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes.

Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes

(todos los triángulos equiláteros son semejantes)

Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple

que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados

homólogos.

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182

Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e Perímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’

'e

e

'P

P....;;.........

'b

b

'P

P;

'a

a

'P

P

EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P

es semejante con el triángulo Q?

A) Sólo en I B) Sólo en II

C) Sólo en I y en II D) Sólo en II y en III

E) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150

metros de longitud. A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se encuentra un poste que mide

1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?

A) 200 metros

B) 198,4 metros C) 113,2 metros

D) 112,5 metros E) 110 metros

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183

EJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?

A) Que tienen igual área

B) Que tienen igual perímetro

C) Que sus lados son proporcionales D) Que sus tres lados respectivos coinciden

E) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno

EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?

CAByACD)III

AEByBEC)II

BCEyACD)I

A) Sólo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos

es(son) semejantes I) ABE AFD

II) FEC BDC

III) CFE ABE

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

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184

EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes

entre sí?

A) Solo I y II B) Solo I y III

C) Solo II y III D) I, II y III

E) Ninguno de ellos son semejantes entre si

EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la

niña tiene una altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña

miden 7 metros y 50 centímetros, respectivamente, ¿cuál es la altura del poste?

A) 3,5 metros

B) 7,1 metros C) 14 metros

D) 35 metros E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el

triángulo DEC. Si CM= 5, AB= 21 y CN= 15, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

9

1

ΔABCÁrea

ΔEDCÁreaIII)

2

35ΔEDCÁreaII)

ED:CMAB:CNI)

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

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185

EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón NM

ANes equivalente a:

AC

AM)E

NC

AN)D

BC

AC)C

BC

AB)B

AB

BC)A

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de

20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo

piso?

A) 8 m B) 10 m

C) 15 m

D) 3

40 m

E) No se puede determinar

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186

EJEMPLO PSU-11. ¿Cuál de los siguientes triángulos son semejantes al

de la figura?

A) Solo I

B) Solo II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12. ¿Cuál de las siguientes es FALSA?

A) Todos los triángulos equiláteros son semejantes

B) Todos los cuadrados son semejantes

C) Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes D) Todos los círculos son semejantes

E) Todos los triángulos isósceles son semejantes

EJEMPLO PSU-13. ¿Cuál(es) de estas semejanzas es (son) verdadera(s)?

42

31

21

TT)III

TT)II

TT)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo I y III

1T 2T

3T4T

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187

XV. CUADRILATEROS:

Los ángulos interiores suman 360º

Los ángulos exteriores suman 360º

Clasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares) > Trapecios (1 par) > Trapezoides (ningún par) A. PARALELOGRAMOS:

Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.

Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide 1. CUADRADO:

4 ángulos interiores rectos

4 lados iguales

Lados opuestos paralelos

Las diagonales son iguales y son perpendiculares

Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales)

Las diagonales bisectan los ángulos

Se puede inscribir una circunferencia

Se puede circunscribir una circunferencia

d = 2a

p = 4a

A = a2 2. RECTANGULO:

4 ángulos interiores rectos

Lados opuestos de igual medida

Lados opuestos paralelos

Las diagonales son iguales y se dimidian

Se puede circunscribir una circunferencia

p = 2a + 2b

A = ab 3. ROMBO:

4 lados iguales

Lados opuestos paralelos

Ángulos opuestos iguales

Ángulos contiguos suplementarios

Las diagonales son perpendiculares

Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos

Se puede inscribir una circunferencia

p = 4a

A = a · h // A =2

fe

A B

D C

a

d1

d2

A B

D C

a

b d1

d2

A B

D C

a

d1 d2

f e

h

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188

4. ROMBOIDE:

Lados opuestos de igual medida

Lados opuestos paralelos

Ángulos opuestos iguales

Ángulos contiguos suplementarios

Las diagonales se dimidian

p = 2a + 2b

A = a · h B. TRAPECIOS:

Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.

Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo 1. TRAPECIO ESCALENO:

Lados no paralelos no son congruentes.

CD//AB

α + δ = 180º

β + γ = 180º

p = a + b + c + d

A = MN · h / A = h2

)ba(

2

baMN

2. TRAPECIO ISOSCELES:

Lados no paralelos son iguales ( BCAD )

CD//AB

Las diagonales son iguales

Ángulos contiguos suplementarios

α = β

γ = δ

p = a + b + 2c

A = MN · h / A = h2

)ba(

A B

D C

a

d1

d2 h b

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α β

γ δ

A B

D C

a

h

d c

b

N M

α β

γ δ d1

d2

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189

3. TRAPECIO RECTANGULO:

Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

AB es perpendicular a AD

DA es perpendicular aDC

CD//AB

c = h = altura

Ángulos en A y D son rectos

β + γ = 180º

p = a + b + c + d

A =MN · h / A = h2

)ba(

4. MEDIANA DE UN TRAPECIO:

Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

Es paralela a las bases.

2

DCABMN

C. TRAPEZOIDES:

No tienen lados opuestos paralelos. D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. (α + γ = β + δ = 180º)

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí. (a + c = b + d)

A B

D C

a

d

b

N M

h

c

β

γ

A B

D C

N M

A B

D

a

d

c

b

α β

γ

δ

C

A B

D

α β

γ δ C

A B

D

a

d

c

b

C

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190

EJEMPLO PSU-1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB= 1. El área del

cuadrilátero ABCD es:

anterioresvaloreslosdeNinguno)E

612)D

6212)C

66)B

626)A

EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El área de FCGI es 12 II) El área de EBFI es 6

III) El área de AEIH es 3

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2);

C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El perímetro de la figura es 8 2 .

II) Cada diagonal mide 4.

III) El área de la figura es 4 2 .

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

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191

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los

paralelogramos?

A) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.

B) Los ángulos consecutivos son complementarios. C) Las diagonales son bisectrices.

D) Los ángulos opuestos son congruentes. E) Los ángulos opuestos son suplementarios.

EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9

cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es

9

a8)E

9

a5)D

4

a3)C

3

a5)B

9

a4)A

2

2

2

2

2

EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El perímetro del polígono es 8 2 .

II) Cada diagonal del polígono mide 4.

III) El área del polígono es 4 2 .

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

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192

EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha

dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces

¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de

radio 2

1BC

II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al

perímetro de una circunferencia de radio 3

1AB

III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de ABCD.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde

PB3PC , QC2QD y M es el punto de intersección de DP yAQ ,

entonces el área del ∆ DMQ es

6

k)E

9

k2)D

9

k4)C

3

k)B

9

k)A

2

2

2

2

2

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193

EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo

ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide

1)E

5

2)D

53

2)C

5

1)B

2

5)A

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual

BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí.

El perímetro de la región sombreada es

A) 42 cm B) 46 cm

C) 48 cm

D) 50 cm E) 56 cm

EJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus

bordes. Si el área cercada es de 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?

A) 3 m

B) 6 m C) 12 m

D) 80m

E) m2

1653

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194

EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo,

FCAF y mide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes

es(son) verdadera(s)?

BCAB)III

2

ABFE)II

FCFE)I

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide

A) 50 cm2

B) 75 cm2 C) 100 cm2

D) 112,5 cm2 E) 125 cm2

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?

A) 4p + 3q B) 4p + 4q

C) 3p + 3q D) 3p + 2q

E) No se puede determinar

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195

EJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N

son puntos medios de los lados AByAD , respectivamente. ¿Cuál es el

área del triángulo MAN?

8

a)E

4

a)D

8

a)C

4

a)B

2

a)A

2

2

2

EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo tal que AB= 5 y BC= 4. Si

se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura,

¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) Área de la región sombreada es 13 II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de

ABCD III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es

mayor que el perímetro del rectángulo ABCD

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III E) I, II, III

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196

EJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son

puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

TLP)I TMB

CBLDTA)III

LTMPML)II

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) Solo I y III

EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al

perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica?

A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica

C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el

perímetro D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción

que el perímetro E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área

EJEMPLO PSU-19: En la figura AQ= 1 y QC= 2, entonces ¿cuál es el

área del rectángulo ABCD?

A) 2 B) 6

23)E

33)D

32)C

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197

EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del

triángulo AMN es:

13)E

3

32)D

2)C

1)B

8

9)A

EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y

CQ= 33 cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la

región NO sombreada mide:

2

2

2

2

2

cm18)E

cm9)D

cm312)C

cm39)B

cm36)A

EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5

rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?

A) 50 cm

B) 48 cm C) 60 cm

D) 150 cm

E) Ninguno de los valores anteriores

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198

EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado.

¿Cuánto mide el área del cuadrado?

16

d)E

8

d)D

4

d)C

2

d)B

d)a

2

2

2

2

2

EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si CFBAHD y

BEADGC entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) siempre verdadera(s)?

ADGDCG)III

ABDC)II

DABDCB)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?

A) 60 cm

B) 70 cm C) 80 cm

D) 84 cm E) 120 cm

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199

EJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el

cual se ha inscrito el trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área de EFGH es 48 II) AEH CFG

III) EFHJ

A) Solo II B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura, AB//EF ,

DG= 5 cm, EG= 4 cm y BG= 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del

trapecio ABGE?

A) 28 cm

B) 34 cm C) 32 cm

D) 35 cm E) 42 cm

EJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla. ¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30

metros?

A) 600 m2 B) 1.050 m2

C) 1.200 m2

D) 2.100 m2 E) 2.400 m2

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200

EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?

I) Sus perímetros son iguales.

II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes.

A) Sólo III

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-30. Si a un rectángulo se le duplica el ancho y se le

reduce a la mitad el largo, se cumple que:

A) El área se cuadruplica B) El área se mantiene igual

C) El área se duplica

D) El área es la mitad E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-31. ¿En cuál de estos cuadriláteros, al trazar una

diagonal, NO se forman dos triángulos congruentes?

A) Cuadrado B) Rombo

C) Romboide D) Rectángulo

E) Trapecio Isósceles

EJEMPLO PSU-32. La figura está formada por tres rectángulos congruentes. ¿Cuánto mide el área de otra figura formada por 21 veces

la figura original?

A) 2055

B) 294 C) 6174

D) 2058 E) Ninguna de las anteriores

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201

EJEMPLO PSU-33. Si en la figura los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perímetro del polígono ABCED es

A) 32 cm B) 40 cm

C) 42 cm D) 48 cm

E) 56 cm

EJEMPLO PSU-34. En la figura ABCD es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I. ∆ AGD ∆ BFC

II. el área del ∆ EBF es el doble del área del ∆ AGD.

III. el área del trapecio ABFG corresponde a 3

2 del área del rectángulo

ABCD

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y II E) I, II y III

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202

XVI. POLIGONOS:

∗ Figura plana limitada por lados rectos.

∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:

> 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono > 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono > 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono

> 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono > 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono > 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono

∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: )2n(º180

(n = número de lados del polígono) ∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.

∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n

lados: n-3 ∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:

2

)3n(nD

A. POLIGONOS REGULARES: ∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: n

)2n(º180eriorintángulo

∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: n

º360exteriorángulo

∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.

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203

EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre

sus lados se construyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.

II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.

III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.

A) Sólo III

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-2. La siguiente figura corresponde a un hexágono regular de perímetro 36 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)?

I) El área del hexágono es igual a 2cm354

II) 1:3:

III) El complemento de β es 30º

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II y III

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204

XVII. CIRCUNFERENCIA:

DEFINICION: Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su

distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos

veces el radio. NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por

los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios

El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa. Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario

ANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas.

El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.

dr2AB

r2BOAO

:quededuceseanteriorloDe

)diámetro(ABd

)radio(BOr

)radio(AOr

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205

ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdas

cualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.

La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia

ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo

vértice se ubica fuera de la circunferencia.

La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia

ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda

La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito

que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende

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206

Corolarios

1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.

2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.

3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la

circunferencia, son suplementarios (suman 180°)

4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia

rT

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207

5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia

x + = 180º

6. Dos líneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes

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208

EJEMPLO PSU-1: En la figura BCAB y O es centro de la

circunferencia. Si DE//AB , entonces el ángulo mide:

A) 10º B) 40º

C) 20º D) 70º

E) 80º

EJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y

∡ BAC = 20°. El valor del ∡ x es

A) 20° B) 35°

C) 40° D) 55°

E) 70°

EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces

el valor del ángulo α es

A) 68° B) 66°

C) 57° D) 44°

E) ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es

A) 32º B) 26º

C) 38º D) 52º

E) 64º

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209

EJEMPLO PSU-5: En la figura,CD es un diámetro de la circunferencia

de centro O. Si el ∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)?

I) ∡ CBO = 20°

II) ∡ CAO = ∡ AOD

III) ∡ AOD =∡ BOD

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el

∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isósceles AED?

A) 70º B) 50º

C) 40º D) 20º

E) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al

arco PQ mide 110°. Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide

A 55° B 70°

C 110°

D 125° E 220°

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210

EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es

diámetro, ∡ DOC = 60º y DBes bisectriz del ∡OBC. ¿Cuál(es) de las

siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

BECAED)III

BDAACB)II

AODOBC)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida del ángulo x?

A) 20º

B) 40º

C) 70º D) 110º

E) 160º

EJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de

centro O, si la cuerda 2

2AC y el ángulo ABC es inscrito de 45º?

1)E

2

1)D

4

1)C

3

1)B

4

2)A

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211

EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales

II) Sus radios son de igual longitud

III) Sus centros son coincidentes

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A.

Sus catetos miden 1. DFyDE,AD son radios de la semicircunferencia y

DF es perpendicular a BC . ¿Cuánto vale el radio de la

semicircunferencia inscrita?

22)E

13)D

12)C

2

2)B

12)A

EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC?

A) 12°

B) 24° C) 48°

D) 132° E) 156°

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212

EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia

circunscrita al triángulo PQR. La medida del ángulo es

A) 80º

B) 100º C) 120º

D) 125º E) 130º

EJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la

circunferencia de radio r y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:

r12

1)D

r3

2)C

r6

1)B

r3

1)A

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si

º32 , entonces el valor del ángulo γ es:

A) 16º B) 32º

C) 48º

D) 64º E) Indeterminable

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213

EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la

circunferencia de centro O es:

A) 60º

B) 70º C) 80º

D) 110º E) 120º

EJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. DC//AB , ¿Cuál(es)

de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)?

º180)III

)II

)I

A) Solo III

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, ADes diámetro y ∡ ABC =2∡DAB. La medida del ∡ ABC es:

A) 100º B) 30º

C) 35º D) 60º

E) 70º

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214

EJEMPLO PSU-20. Según la siguiente figura, en el triángulo ABC se

traza una semicircunferencia con diámetro AB . Entonces es verdadero que:

A) AR es perpendicular a BC

B) Δ ABC es isósceles

C) Δ ARC es isósceles

D) AR es simetral de BC

E) Δ ABR es equilátero

EJEMPLO PSU-21. ABC es un triángulo isósceles de base AB , si el ángulo ACB = 52º entonces el ángulo x mide:

A) 64º

B) 104º

C) 128º D) 138º

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-22. En la figura, BC y CA son rectas secantes a la circunferencia C, pertenece a ella y L es una recta que contiene al

diámetroAB , ¿cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?

2)E

)D

º90)()C

)B

)A

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215

EJEMPLO PSU-23. En la figura FCyEB son diámetros de la

circunferencia de centro O y CF es bisectriz del ángulo ECA. La medida

del ∡ x es

A) 60º

B) 40º C) 80º

D) 90º E) 120º

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216

XVIII. CIRCULO: A. SECTOR CIRCULAR:

Área del sector = º360

r2 απ

B. SEGMENTO CIRCULAR:

Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triángulo AOB

AOBtriánguloÁreaº360

r2

απ

C. CORONA O ANILLO CIRCULAR:

Área del anillo = π · (R2 – r2)

R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor

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217

PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de las cuerdas

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior de ella, el producto de los segmentos determinados en una de ellas es igual al producto de

segmentos determinados en la otra

PDCPPBAP

Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una

circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto

de la otra secante por su segmento exterior

Teorema de la tangente y la secante

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y

una secante, la tangente es media proporcional geométrica entre la

secante y su segmento exterior

PBPAPT2

PDPBPCPA

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218

EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la

figura, la distancia desde el centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9

cm, entonces la cuerda AB mide

A) 6 cm B) 12 cm

C) 18 cm D) 20 cm

E) 24 cm

EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia

de centro O y radio r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto

medio de QR , entonces la longitud de PM, en términos de r, es

3

r4)E

2

2r)D

2

3r)C

2

5r)B

r)A

EJEMPLO PSU-3: En la figura, los puntos P, Q, R y S están sobre la

circunferencia de centro O. Si 4:3TP:QT , QT = 6 y ST = 12,

entonces RT mide

A) 4

B) 6 C) 8

D) 9 E) 10

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219

EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O,

radio r y diámetro AB . Si por el punto medio M de OB , se traza la

cuerda CDperpendicular al diámetro, entonces la longitud de la cuerda

CD es

r2

3)E

3r3

2)D

3r2

3)C

2r)B

3r)A

EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia

desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB

mide:

A) 8 cm B) 10 cm

C) 12 cm D) 16 cm

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB es diámetro,

BDCD ; CD = 4; BD = 3. El radio es:

6

25)E

9

25)D

3

5)C

3

25)B

5)A

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220

EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la

figura, OPMP ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) MQ = 6

II) PQ= 3 3

III)QN= 6 3

A) Sólo I B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-8. En la figura, el segmento BC mide 15 cm y es

tangente en C a la circunferencia de centro O. Si O está en el segmento

AB que mide 25 cm y A pertenece a la circunferencia, ¿cuántos centímetros mide el diámetro?

6,24)E

6,16)D

9)C

16)B

8)A

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221

XIX. CUERPOS POLIEDROS: POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

A. POLIEDROS REGULARES:

Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.

Son cinco:

b. Octaedro: Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12

aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.

a. Tetraedro: Tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices,

6 aristas.

c. Icosaedro: Tiene 20 caras (triángulos equiláteros),

12 vértices, 30 aristas.

d. Hexaedro o cubo: Tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, 12 aristas, 4 diagonales

congruentes.

e. Dodecaedro: tiene 12 caras (pentágonos regulares), 20 vértices, 30 aristas.

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222

Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número total de caras del poliedro. B. POLIEDROS IRREGULARES:

No tienen todas sus caras congruentes.

Se clasifican en: > Prismas > Pirámides 1. PRISMA:

Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales.

A = Área lateral · 2 Área basal

V = Área basal · h 2. PIRAMIDE: Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide.

A = Área basal (nº de caras) Área lateral 2

pa

V = Área basal · h 3 XX. CUERPOS REDONDOS:

Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.

Los principales son: > Cilindro > Cono > Esfera A. CILINDRO:

Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados.

A = 2 π r (h + r)

V = π r2 · h

B. CONO:

Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos.

A = π r (g + r)

V = 3

hr2π

a

h p

h

r

h

r

g

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223

C. ESFERA:

Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro.

A = 4 π r2

V = 3

4π r3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

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224

EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del

cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de

ese pistón es: LD79,10V 2 Si el diámetro es 10 cm y la longitud del

desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro?

A) 7.900 cm3

B) 790 cm3 C) 79 cm3

D) 7,9 cm3 E) 0,79 cm3

EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se

muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?

A) 4 m3 B) 6 m3

C) 8 m3 D) 16 m3

E) 24 m3

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al

rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado

BC?

A) 30 cm3

B) 45 cm3

C) 75 cm3

D) 180 cm3

E) 300 cm3

EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las rectas AD' y BC' son paralelas.

II) Las rectas A'B y DC' son paralelas.

III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan.

A) Sólo I B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

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225

EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O.

Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm,

entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es

A) 9 cm3

B)2

27 cm3

C) 36 cm3

D) 27 cm3

E) 18 cm3

EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono

regular de lado 2 . La altura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del

prisma?

A) 9 B) 18

69)E

39)D

29)C

EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de

radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:

3

3

3

3

3

r3

4)E

r4)D

r3)C

r2)B

r)A

2

3

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226

EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices

ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente,

2y22

1)E

23y32

1)D

23y3)C

2y32

1)B

23y22

1)A

EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de

las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir?

A) 12a2

B) 6a2

C) a2

D) 4a2

E) 8a2

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227

EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al

eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?

EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una

perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen

del cubo perforado, en cm3, es

A) 512 - 32

B) 512 - 16

C) 512 - 128

D) 256 - 32

E) 480

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228

EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El

triángulo EBD es:

A) equilátero

B) isósceles no equilátero C) isósceles rectángulo

D) rectángulo en D E) rectángulo en B

EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:

A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices

B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices

D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices

E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de

3m y la base es un hexágono regular de lado 2 m. Su volumen es:

3

3

3

3

3

m36)E

m33)D

m18)C

m9)B

m3)A

m3

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229

EJEMPLO PSU-15. La cara lateral de un paralelepípedo de base

cuadrada coincide completamente con la cara lateral de un prisma regular de base pentagonal, como muestra la figura. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdaderas.

I) Las caras laterales de los prismas son paralelas II) El área de cada cara lateral es igual en ambos prismas

III) a = 18º

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-16. La diagonal mayor de un rombo mide 2x y la menor

mide 2y. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al rotar el rombo

sobre la diagonal mayor?

π

π

π

π

π

xy3

4)E

yx3

2)D

yx3

1)C

xy3

2)B

xy8)A

2

22

2

2

EJEMPLO PSU-17. Un cuadrado de lado “a” se hace girar,

indefinidamente, en torno de uno de sus lados. El área de la superficie lateral del cuerpo generado es

2

2

2

2

2

a4)E

a)D

a6)C

a2)B

a2)A

π

π

m2

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230

XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:

A. DIVISION INTERIOR:

DIVISIÓN INTERNA Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n, si AP: PB = m: n

n

m

PB

AP

B. DIVISION EXTERIOR:

· Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m: n, significa encontrar en el

exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q

tal que: n

m

QB

AQ

C. DIVISION ARMONICA:

Dividir armónicamente el trazo AB en la razón

m: n, significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente

(punto Q) en una

misma razón dada, tal que: n

m

QB

AQ

PB

AP

D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA

Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.

OBSERVACIÓN: La razón AP

AB se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el

NÚMERO ÁUREO

618034,12

15

AP

AB

)PBAP(PB

AP

AP

AB

Q B A

m

A Q B

m n n

A B P Q

m n

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

231

EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón

1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?

A) 45 cm B) 15 cm

C) 60 cm D) 25 cm

E) No se puede determinar.

EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la

razón 2: 5. Si QR mide 20, entonces ¿cuánto mide PR?

A) 28 B) 28

C) 50 D) 70

E) Ninguno de los valores anteriores.

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n)

dividido(s) por el punto P en la razón 2:3?

A) Sólo III B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el

segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como

A) 1: 2

B) 1: 3 C) 1: 4

D) 1: 5

E) 1: 6

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

232

EJEMPLO PSU-5. En la figura, 3

1

BC

AB . ¿Cuánto mide el segmento

?BC

A) 3

B) 6 C) 8

D) 9 E) 10

EJEMPLO PSU-6. Se ubicará una estación de gasolina P entre las

ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las distancias de las ciudades a la gasolinera estén en la proporción

PN:MP = 2: 3. Si la estación de gasolina estará en línea recta con las

ciudades M y N, ¿a qué distancia de la ciudad M quedará ubicada la estación de gasolina?

A) A 12 Km

B) A 24 Km C) A 30 Km

D) A 36 Km E) A 48 Km

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

233

XXII. TRIGONOMETRIA:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos

Si prolongamos los lados ACyAB , y unimos algunos puntos de dichas

prolongaciones mediante segmentos paralelos a BC , obtenemos entonces otros

triángulos rectángulos semejantes al triángulo ABC

ABC ADE AFG AHJ

Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:

En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un

valor constante Respecto al ángulo agudo de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene

que:

(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de , y se abrevia sen

(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de , y se le abrevia cos

(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de , y se la abrevia tg

ABC ADE AFG AHJ

ABhipotenusa

BCcateto

AD

DE

AF

FG 1K

AH

HJ

CONSTANTE

ABhipotenusa

ACcateto

AD

AE

AF

AG 2K

AH

AJ

CONSTANTE

ACcateto

BCcateto

AE

DE

AG

FG 3K

AJ

HJ

CONSTANTE

agudosángulos:y

catetosBCyAC

hipotenusa:AB

βα

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

234

Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés.

Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura

En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene:

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

)º90(tggcot)º90(gcottg

)º90(eccossec)º90(sencos

)º90sec(eccos)º90cos(sen

αααα

αααα

αααα

Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal,

considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objeto observado esté por sobre o bajo esta última.

Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyen ángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales.

FUNCIÓN DEFINICIÓN RAZÓN ABREVIACIÓN

Seno de α hipotenusa

opuesto.cat

c

a sen α

Coseno de α hipotenusa

adyacente.cat

c

b cos α

Tangente de α adyacnte.cat

opuesto.cat

b

a tg α

Cotangente de α apuesto.cat

adyacente.cat

a

b cotg α

Secante de α adyacente.cat

hipotenusa

b

c sec α

Cosecante de α opuesto.cat

hipotenusa

a

c cosec α

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

235

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES )º90º0:( αα

30º 45º 60º

αsen 2

1

2

2

2

3

αcos

2

3

2

2

2

1

αtg

3

3

1 3

1. 1eccossen αα 4. α

αα

cos

sentg

2. 1seccos αα 5. α

αα

sen

cosgcot

3. 1gcottg αα 6. 1cossen 22 αα

3

2

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

236

EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tg es igual a:

2

2

2

2

2

p1

1)E

p1

p)D

p

p1)C

p1

p)B

p

p1)A

EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado

1, entonces sen=

5

3)E

34

5)D

4

3)C

4

5)B

34

3)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

237

EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura: Es verdadero que:

2

5tan)III

29

2cos)II

29

5sen)I

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es

12 m, determinar la distancia entre el águila y el ratón.

12

º70sen)E

12

º70cos)D

º70sen

12)C

º70cos

12)B

º70tan

12)A

EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos

en un poste y en la tierra, es de 20 3metros. El cable forma un ángulo

de 60° con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el poste?

A) A 10 3metros

B) A 10 6 metros

C) A 30 metros D) A 40 metros

E) A 60 metros

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

238

EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de

elevación de 30º como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de despegue hasta que alcanza una

altura de 1.500 metros?

A) 750 metros

B) 3.000 metros

C) 1.000 3 metros

D) 750 3metros

E) 1.500 3metros

EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de la escalera de la figura?

metrosº70cos2,1)III

metrosº70cos

12)II

metrosº20sen

2,1)I

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) Sólo I y III

EJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) ?

I) tg = 2

II) sen + cos =5

54

III) tg + tg = 1

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

239

EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P,

NP= 1 cm y su área es 3

2cm2, entonces tg=

3

4)E

4

3)D

2

3)C

3

2)B

3

1)A

EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5

cm y 12 cm, entonces el coseno del ángulo menor es:

12

13)E

5

12)D

12

5)C

13

12)B

13

5)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

240

EJEMPLO PSU-11: Si es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

y 5

3sen , entonces costg =

15

8)E

15

11)D

20

1)C

20

3)B

20

1)A

EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen – cos

es igual a:

bc

abac)E

c

ab)D

c

ba)C

b

ac)B

b

ca)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

241

EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del

edificio P de 12 m de altura, observa a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de altura con un ángulo de elevación de

40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?

º40sen6)E

º40cos

6)D

º40sen

6)C

º40tg

6)B

º40tg6)A

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si

la hipotenusa es 1, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo?

I) sen + sen + 1

II) cos + cos + 1

III) sen + cos + 1

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

b

atg)E

c

bsen)D

c

acos)C

a

ccos)B

c

bsen)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

242

EJEMPLO PSU-16. ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple en el

triángulo de la figura?

22

22

22

22

22

ba

bcos)E

ba

bcos)D

ba

acos)C

ba

bsen)B

ba

bsen)A

EJEMPLO PSU-17. ¿A qué distancia de la torre de control aterrizará el avión?

º15cos000.2)E

º15sen000.2)D

000.2

º15cos)C

000.2

º15sen)B

º15tg000.2)A

EJEMPLO PSU-18. El extremo superior de una escalera de 10 metros

de longitud coincide con el borde superior de un muro vertical, cuando forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si está escalera se apoyara en

el extremo superior de una ventana del mismo muro, formaría un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuál es la distancia entre el borde

superior del muro y la parte superior de la ventana?

metros35)E

metros2)D

metros3

310)C

metros5)B

metros)13(5)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

243

EJEMPLO PSU-19. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)

verdadera(s)? I) sen 45° = cos 45°

II) sen 30° = cos 60°

III) sen 45° = tg 45° A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

244

XXIII. PROBABILIDAD: ∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas

condiciones un número indefinido de veces. ∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir,

habiendo un conjunto de resultados posibles. ∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento

aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es

llamado punto muestral. ∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En

otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral. ∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados,

cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa.

TIPOS DE EVENTOS ∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.

∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el

subconjunto vacío (∅) del espacio muestral.

∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos

impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes. ∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos

comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. ∗ PROBABILIDAD CLÁSICA

La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos

favorables al evento A por el número total de casos posibles. La probabilidad de A se denotará por P(A).

∗ Observación:

1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre

2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100% ∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS

∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo

tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo

tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

245

∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no

ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad

condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la

suposición de que el suceso B ha ocurrido.

∗ Probabilidad y triángulo de Pascal

Caras y sellos

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC,

SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal

1 C S

1, 1

2

CC

CS SC SS

1, 2, 1

3

CCC

CCS, CSC, SCC CSS, SCS, SSC

SSS

1, 3, 3, 1

4

CCCC CCCS, CCSC, CSCC, SCCC

CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC

CSSS, SCSS, SSCS, SSSC SSSS

1, 4, 6, 4, 1

... etc ...

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

246

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?

Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan

exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 16

6, o 37.5%

Triángulo de Pascal

DIAGRAMA DEL ARBOL:

· Representa de manera grafica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda.

Resultados favorables: 8

(CCC – CCS – CSC – CSS – SCC – SCS – SSC – SSS)

Casos favorables: 3 (CCS – CSC – SCC)

Probabilidad =8

3

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S S S

C C S

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247

La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al

repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de

cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado

probabilidad de un suceso.

Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso

"salir cara al lanzar una moneda".

Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor

0,5. Ésa es la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.

Lanzamientos 100 150 200 300 400 500

fi 56 68 108 132 208 255

hi 0,56 0,45 0,54 0,44 0,52 0,51

La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su

frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de

veces.

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

248

EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja

es 3

1 . ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja?

nInformacióFalta)E

6

1)D

3

2)C

1)B

3

1)A

EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la

probabilidad de que sumen 3 ó 4?

36

21)E

36

5)D

36

4)C

36

7)B

6

1)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

249

EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales,

numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?

8

5)E

8

3)D

2

1)C

4

1)B

8

7)A

EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46,

46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?

A) 0,4

B) 0,41 C) 0,42

D) 0,5 E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12

son rojas, 20 son cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente una roja, en ese

orden y sin reposición?

47

11

48

18

49

20

50

12)E

47

12

48

18

49

20

50

12)D

50

12

50

18

50

20

50

12)C

47

11

48

18

49

20

50

12)B

50

11

50

18

50

20

50

12)A

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250

EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que

tienen los postulantes a un cargo administrativo NIVEL EDUCACIONAL

Sexo Universitaria Media Básica

Masculino 250 100 40

Femenino 225 110 25

Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que sea varón es de 750

390

II) La probabilidad que sea mujer es de 390

360

III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de 750

475

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y III E) Solo II y III

EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una

tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una vocal es:

3

2)E

4

1)D

5

1)C

5

2)B

10

1)A

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

251

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha

puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 2

1

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de4

1

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es

de 3

2

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es

la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?

24

1)E

8

1)D

4

3)C

2

1)B

4

1)A

EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y

blancas (B) de igual tamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar

para que la probabilidad de extraer una ficha negra sea 3

2?

A) 1N y 0B

B) 1N y 3B C) 1N y 4B

D) 1N y 1B E) 0N y 1B

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

252

EJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la

probabilidad de obtener un número par menor que 5?

anterioreslasdeNinguna)E

6

4)D

6

3)C

6

2)B

6

1)A

EJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?

30

6)E

30

8)D

30

7)C

30

23)B

30

3)A

EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento

Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Todos tienen probabilidad 2

1 de ganar.

B) Todos tienen probabilidad 3

1 de ganar.

C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos. D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.

E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

253

EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas,

simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?

3

2)E

3

1)D

8

2)C

8

1)B

8

3)A

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números

unos al lanzar tres dados?

18

1)D

8

3)C

216

1)B

216

3)A

E) Ninguno de los valores anteriores

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

254

EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y

peso numeradas del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una

pelotita al azar, ésta sea roja y par es:

4

1)E

11

2)D

11

5)C

5

2)B

2

1)A

EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la

probabilidad de que un habitante sea una mujer es 3

1, ¿cuántas mujeres

hay en el pueblo?

A) 200 B) 300

C) 400 D) 600

E) 800

EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de

0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra?

A) 0,45 B) 0,55

C) 0,65 D) -0,45

E) -0,55

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

255

EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la

probabilidad de obtener un número impar o un número menor que 4?

6

6)E

6

3)D

6

4)C

6

2)B

6

1)A

EJEMPLO PSU-20: ¿En cuál de los siguientes eventos la probabilidad

de ocurrencia es igual a 1?

A) Nacer en un año bisiesto B) Que al tirar una moneda salga cara

C) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébol D) Que un mes tenga 30 días

E) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6

EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados

Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 13 15 17 16 20 19

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener par es de un 50% II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30%

III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%

A) Sólo II B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

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256

EJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las

siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?

I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6.

II) La probabilidad de obtener un número impar es 2

1.

III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es

6

1.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas.

Si se escoge un número al azar del 1 al 40, ¿cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al de una niña en la lista del curso?

40

23)E

23

17)D

17

1)C

40

1)B

40

17)A

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257

EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso.

Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de sacar una M es 12

1.

II) La probabilidad de no sacar una vocal es 12

7.

III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad

de sacar una T A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma:

PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO

NIÑOS 15 20 18 12

NIÑAS 30 25 27 33

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que sea un niño es 180

65.

II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es

180

45.

III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es

45

25.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

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258

EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la

probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 4?

6

5)E

3

2)D

3

1)C

2

1)B

6

1)A

EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se

muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los puntos tiene mayor probabilidad

de llegar el competidor?

A) P B) Q

C) R D) S

E) T

EJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que

se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una bolita al azar la

probabilidad de que ésta sea negra, sea 4

3?

A) 1 blanca y 0 negra

B) 0 blanca y 1 negra C) 0 blanca y 5 negras

D) 3 blancas y 5 negras

E) 2 blancas y 2 negras

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259

EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas

del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas sea diferente de 10?

8

7)E

10

9)D

17

16)C

18

17)B

9

8)A

EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el

próximo lanzamiento salga un 4?

6

4)E

6

3)D

4

1)C

6

1)B

3

1)A

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260

EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de

colores, de las cuales algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una

ficha roja es 3

1, ¿cuál es la probabilidad de sacar una ficha de cualquier

otro color?

1)D

3

2)C

3

1)B

2

1)A

E) No se puede determinar

EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y

mujeres, que participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250 mujeres

en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea

mujer y juegue en la categoría A?

20

7)E

12

7)D

5

3)C

4

1)B

350

1

13

7)A

EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad de salir en los dos dados?

A) 12

B) 10 C) 9

D) 7 E) 6

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261

EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4

fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha

de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:

37

19)E

12

19)D

252

1)C

8

1)B

50

7)A

EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?

32

31)E

5

1)D

32

5)C

2

1)B

32

1)A

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262

EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes

congruentes entre sí, donde la flecha no puede caer en los límites. La probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de

números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número mayor que

3 es de:

4

3)E

8

1)D

8

3)C

4

1)B

2

1)A

EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la

probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o 4?

2

1)E

12

7)D

12

5)C

36

7)B

36

5)A

EJEMPLO PSU-38. En un automóvil viajan 5 personas, dos adelante y tres atrás. Si solo uno de ellos sabe manejar. ¿De cuántas formas se

pueden ordenar?

A) 5 B) 6

C) 10

D) 24 E) 120

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263

EJEMPLO PSU-39. En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si

se extraen dos cartas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos reyes?

51

3)E

52

4)D

51

1

52

3)C

51

3

52

4)B

51

2

52

3)A

EJEMPLO PSU-40. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas

del 1 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita gris con un número par?

9

5)E

9

1)D

9

3)C

9

2)B

9

4)A

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264

EJEMPLO PSU-41. Al lanzar un dado dos veces. ¿Cuál es la

probabilidad de que salga un 5 en la primera y un 2 en la segunda?

36

7)E

36

1)D

12

1)C

6

2)B

6

1)A

EJEMPLO PSU-42. En un juego de azar hay 30 resultados posibles y

equiprobables. José tiene 10 resultados probables, Paula tiene 8 y Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. ¿Cuál(es) es(son)

verdadera(s)? I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar

II) La probabilidad de que Paula No gane es 15

4

III) José tiene 3

1de probabilidad de ganar

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-43. ¿En cuál de los siguientes colegios existe mayor

probabilidad de que al elegir un alumno al azar este sea extranjero?

A) F B) J

C) H D) I

E) G

Colegio Total de

alumnos

Extranjeros

F 380 20

G 580 29

H 600 30

I 450 25

J 400 20

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265

EJEMPLO PSU-44. ¿En cuál(es) de las siguientes afirmaciones, la

probabilidad de ocurrencia el suceso mencionado, es siempre igual a la probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso?

I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda

II) Que salga un número impar, al lanzar un dado común III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna

que contiene solo fichas rojas y verdes, todas del mismo tipo

A) Solo en I B) Solo en III

C) Solo en I y en II D) Solo en I y en III

E) En I, en II y en III

EJEMPLO PSU-45. Del triángulo de Pascal de la figura se puede inferir

el número total de los posibles resultados que se obtienen al lanzar una moneda hasta seis veces, en forma aleatoria. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) De la fila 1 2 1 se deduce que, si la moneda se lanza dos veces,

teóricamente solo en dos de los posibles resultados se obtiene una cara y un sello

II) De la fila 1 3 3 1 se deduce que, si la moneda se lanza tres veces, teóricamente solo se pueden obtener ocho posibles resultados distintos

III) De la fila 1 6 15 20 15 6 1 se deduce que, si la moneda se lanza seis veces, teóricamente, en quince de los resultados posibles se obtiene

cuatro caras y dos sellos

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

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266

EJEMPLO PSU-46. Al lanzar cuatro dados comunes, ¿cuál es la

probabilidad de que en todos los dados salga un 4?

anterioresvaloreslosdeNinguno)E

296.1

4)D

6

4)C

6

1)B

296.1

1)A

EJEMPLO PSU-47. Se tiene un dado común y dos monedas, una de

$ 100 y otra de $ 500. Si se lanza la moneda de $ 100, luego el dado, ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos caras y un número menor

que 3?

12

1)E

8

1)D

6

1)C

12

7)B

7

3)A

EJEMPLO PSU-48. Una urna contiene cinco fichas y tres negras, todas del mismo tipo. Se extrae al azar una ficha, se anota su valor y se

devuelve a la urna. Este experimento se repite diez veces. Si la variable aleatoria x asigna la cantidad de fichas rojas obtenidas, entonces los

valores que puede tener x son

A) 1, 2, 3, 4, y 5 B) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

C) 0, 1, 2, 3, 4 y 5

D) Solo el 5 E) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10

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267

XXIV. ESTADÍSTICA

Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación

y comunicación de conjuntos de datos Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos,

de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas Muestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y

aleatoria. Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo:

sexo, nacionalidad, profesión, etc Variable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de

departamentos en un edificio, etc Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc

TABULACIÓN DE DATOS Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta)

Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las

frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición

Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites

superior e inferior de cada intervalo MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media aritmética )x( : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el

número de datos.n

x......xxxx n321

Media aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias Si los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn

entonces la media aritmética es: n321

nn332211

f........fff

fx......fxfxfxx

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de frecuencia es amodal

Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra

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268

tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos

términos centrales REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS A) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipo cuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones de las variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada uno

B) GRÁFICO DE SECTORES: La representación gráfica se hace por medio de un círculo, dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variable

C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos, de longitud proporcional a la dicha frecuencia

Asignatura Estudiantes que la prefieren

Matemática 4 Lenguaje 3 Arte 2 Historia 1 Total 10

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269

D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa gráficamente las distribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyen rectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas las respectivas frecuencias de dichos intervalos

f

16

14

12

8

6

3

29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Salarios en miles de $

E) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a un punto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, se obtiene un polígono de frecuencias

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270

EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese

resultado se divide por 8, ¿qué se obtiene?

A) Mediana

B) Media Aritmética C) Moda

D) Media geométrica E) Desviación estándar

EJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg.

¿Cuánto pesa el quinto si la suma de los 4 primeros es 302?

A) 78 B) 68

C) 62 D) 58

E) 72

EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) La moda es 17 años.

II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio

20 kg. En la oficina de control se pierde una ficha y se sabe que el

promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso del niño al que le perdieron la ficha?

A) 39 kg

B) 29 kg C) 21 kg

D) 20 kg E) 19 kg

Edad (en años)

15 16 17 18 19

Alumnos 50 40 60 50 20

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271

EJEMPLO PSU-5: El gráfico circular de la figura muestra las

preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ?

I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%.

II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-6: El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él se indica la preferencia por el noticiero central de

cinco canales de televisión, según una muestra aleatoria, en un año determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor

probabilidad de ser visto es TV 5. II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias

de los noticieros centrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros

centrales de estos cinco canales.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

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272

EJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y

color de ojos de los alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?

A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.

B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente.

D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente.

E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.

EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gusta hacer en vacaciones y sus respuestas están en el

gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)? I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.

II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar.

III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.

A) Sólo II B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

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273

EJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los

puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29.

III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las

notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda,

respectivamente?

A) 4 y 5 B) 5 y 5

C) 4,1 y 4 D) 4,1 y 5

E) 4 y 4,5

EJEMPLO PSU-11: Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultados que se indican en la tabla adjunta. ¿Cuál es

el promedio total de la prueba?

A) 4,25 B) 5,00

C) 5,16 D) 5,25

E) 5,50

Intervalos de puntaje

Frecuencia

10 – 19 6

20 – 29 8

30 – 39 12

40 – 49 5

50 – 59 9

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274

EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una

prueba de Física fueron: 4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La mediana es 7

II) La moda es 5 III) La media aritmética (o promedio) es 5

A) Sólo II

B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las

notas en la prueba de matemática, obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son

verdaderas? I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5

II) La moda corresponde a la nota 5,0

III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0

A) Sólo II y III

B) Sólo III y IV C) Sólo I, II y III

D) Sólo I, II y IV E) Sólo II, III y IV

EJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos

vendidos en distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados ¿Cuántos artículos se han vendido en total hasta el término

del día miércoles?

A) 24

B) 20 C) 30

D) 8 E) Ninguna de las anteriores

Nota f

3,0 3

3,5 5

4,0 4

4,5 6

5,0 7

5,5 5

6,0 4

6,5 4

7,0 2

Total

alumnos

40

Días Nº de artículos

Total acumulado

Lunes

Martes 12 16

Miércoles 8

Jueves 6

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275

EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos.

En uno de ellos, con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota promedio fue 5. Entonces, la nota

promedio correspondiente al total de alumnos de ambos cursos es:

A) 5,7

B) 5,6 C) 5,5

D) 5,4 E) 5,3

EJEMPLO PSU-16: El gráfico de la figura representa la distribución de

las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5. II) La moda es la nota 5.

III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000

III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

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276

EJEMPLO PSU-18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene

la siguiente distribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son:

moda mediana

A) 16 17 B) 17 15

C) 15 17 D) 5 1

E) 17 16

EJEMPLO PSU-19: El promedio (media aritmética) de los números 3;

2; 5; 5 y 6 es

A) 4 B) 4,2

C) 5 D) 5,25

E) ninguno de los anteriores.

EJEMPLO PSU-20: La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos

de 45 personas de una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

TRAMO NÚMERO DE PERSONAS

SUELDO EN PESOS DESDE – HASTA

A 3 5.000.000 – 7.000.000

B 2 2.000.000 – 3.000.000

C 5 800.000 - 1.200.000

D 15 500.000 - 700.000

E 13 300.000 - 400.000

F 7 150.000 - 250.000

I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo.

II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D. III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo

más, $ 21.000.000. A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

Edad Frecuencia

13 5

14 11

15 1

16 5

17 13

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277

EJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones:

4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0 y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5.

II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba

en iguales condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el más homogéneo.

II) El curso R es el más homogéneo.

III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo II y III

E) Ninguna de ellas

EJEMPLO PSU-23: El gráfico de la figura, representa la distribución de

los puntajes obtenidos por un curso en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos

II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos

III) 10

1 de los alumnos obtuvo 10 puntos

A) Solo I B) Solo III

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

CURSO PROMEDIO DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Q 4,6 1

R 5,2 0,8

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278

EJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas

de una asignatura de un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La mediana de las notas es 4

II) La moda de las notas es 5 III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la siguiente tabla:

Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 13 15 17 16 20 19

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 50% de las veces se obtuvo un número par II) El 30% de las veces resultó 1 o 3

III) El 20% de las veces salió el número 5

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿qué indicador estadístico se obtiene?

A) La moda B) La media aritmética (o promedio)

C) La mediana D) El rango

E) La desviación estándar

Notas 1 2 3 4 5 6 7

Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4

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279

EJEMPLO PSU-27: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene

la siguiente distribución de edades:

Edad Frecuencia

1E 1N

2E 2N

3E 3N

4E 4N

¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra?

4

NNNN)E

4

ENENENEN)D

NNNN

ENENENEN)C

NNNN

EEEE)B

4

EEEE)A

4321

44332211

4321

44332211

4321

4321

4321

EJEMPLO PSU-28. El grafico siguiente muestra los precios de cierto

producto durante el primer semestre de este año. ¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El precio más alto fue en Abril

II) El precio más bajo se registró en Junio

III) La mayor diferencia ocurrió en Mayo

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y II

E) Ninguna de las anteriores

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280

EJEMPLO PSU-29. ¿En qué empresa los sueldos de los empleados son

más homogéneos?

EJEMPLO PSU-30. Se realizó un estudio en una empresa acerca de los años de estudio de sus obreros, obteniéndose los siguientes resultados.

¿Cuál o cuáles de las siguientes aseveraciones es (son) verdaderas? I) Se encuestaron 24 obreros

II) 17 obreros tienen 10 o más años de estudio III) 6 obreros tienen 8 ó 12 años de estudio

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) II y III

E) I, II y III

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281

EJEMPLO PSU-31. La información sobre las notas obtenidas por 15

alumnos de un curso está dada en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) Dos tercios de los alumnos obtuvieron notas 4 ó 5 II) 12 alumnos obtuvieron notas inferiores a 6

III) 9 alumnos obtuvieron notas iguales o superiores a 5

A) Solo II B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-32. En la tabla adjunta, se muestran las respuestas a

una pregunta de una encuesta aplicada a un curso de 45 estudiantes, en relación a la expresión “En la asignatura de matemática nos dan más

tareas que en las otras asignaturas”. El porcentaje de estudiantes que está de acuerdo o totalmente de acuerdo con dicha expresión es,

aproximadamente, el

A) 42,2% B) 26%

C) 26,7% D) 57,8%

E) 19%

Notas Frecuencia

1 0

2 1

3 1

4 4

5 6

6 3

7 0

Respuestas f

Totalmente de acuerdo 7

De acuerdo 12

Indiferente 5

En desacuerdo 16

Totalmente en

desacuerdo

5

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282

EJEMPLO PSU-33. El gráfico circular de la figura muestra el resultado

de una investigación sobre el color del cabello de 1.200 personas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 360 personas tienen el cabello rubio

II) Más del 50% de las personas tienen el cabello rubio o negro III) Hay tantas personas con el cabello rubio como personas con el

cabello castaño

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-34. ¿Cuál es el promedio (o media aritmética) entre los

números 0,025; 0,035; 0,045 y 0,055?

8,0)E

4,0)D

04,0)C

08,0)B

004,0)A

%16

Colorín

%24%30

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283

XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

VECTORES Un vector posee las siguientes características: ∗ Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde al punto exacto

sobre el cual actúa el vector ∗ Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene

∗ Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del

vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector

∗ Dos vectores son iguales al ser paralelos y tener la misma intensidad o

módulo

∗ Dos vectores son opuestos al tener igual intensidad y dirección, pero de

sentido opuesto

∗ Las coordenadas de un vector se denominan

componentes, además todo vector está definido por

dos puntos, y a su vez, cada punto tiene dos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentes cartesianas del vector ∗ Todo vector además posee módulo que

corresponde a la longitud o tamaño del vector, dado

por la expresión 22 yxv

∗ El vector o segmento orientado con origen en A y extremo en

B, se representa por el símbolo AB

Nota: vv

Adición de vectores.

Propiedades

∗ Conmutativa abba

Magnitud

Origen

Sentido

Dirección

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284

∗ Asociativa )cb(ac)ba(

∗ Existencia elemento neutro avectortodopara,aa00a

∗ Existencia de elemento inverso 0aa)a(a

Nota: El vector nulo 0 (cero) no puede representarse por una flecha: tiene módulo

nulo y carece de dirección y sentido Adición de vectores

Se copia uno de los vectores, del extremo del primer vector se copia el segundo vector y luego al unir los dos extremos se obtiene el vector resultante

La sustracción vectorial ba está definida por )b(a , es decir, “el vector “

a ”más el opuesto del vector b ”

Al número real que pondera a un vector también se le llama escalar. La ponderación cumple las siguientes propiedades.

a) bkak)ba(k

b) anaka)nk(

c) )an(ka)kn(

Nota. La ponderación permite expresar vectorialmente la colinealidad de puntos. Si A, B y C son tres puntos

colineales, entonces existe algún número real k tal que:

ABkAC

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285

Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se

aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)

Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías)

Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:

Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua

Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo

Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de

traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical

EJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma

traslación se obtiene el punto

A) (1, -2) B) (-5, 0)

C) (3, -1) D) (-5, 2)

E) (1, 0)

Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos:

El punto de rotación (o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.

Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación

El sentido de giro, que puede ser obtenido (en el sentido contrario al avance de los punteros del reloj)

Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto

cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación.

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286

Rotación de 90º (x, y) ------- (-y, x)

Rotación de 180º (x, y) ------- (-x,-y)

EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le

aplica una rotación en180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición?

A) En (2, 2)

B) En (2, 0) C) En (4, 2)

D) En (0, 0)

E) En (0, 2)

Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’

equidisten del eje de simetría y el segmento 'PP sea perpendicular al eje de simetría

Nota:

(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial (2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central

EJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de simetría L, es el punto

A) Q

B) R C) S

D) T E) U

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287

Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a

un eje ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura.

El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado.

También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos

Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.

El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría

En el caso de los triángulos, tenemos:

Tipo Ejes

Triángulo equilátero

Tres ejes de simetría

Triángulo Isósceles Un eje de simetría

Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría

En el caso de los cuadriláteros, tenemos:

Tipo Ejes

Cuadrado Cuatro ejes de simetría

Rectángulo Dos ejes de simetría

Rombo Dos ejes de simetría

Trapecio isósceles Un eje de simetría

Trapezoide Ningún eje de simetría

Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de simetría del círculo.

Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría

como números de lados

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288

EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n)

siempre ejes de simetría? I) Cuadrado

II) Rombo

III) Trapecio

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir

Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o

teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos

Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.

Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano

EJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360

cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de

cerámicas que se ocuparían es

A) 120 B) 60

C) 40 D) 18

E) 12

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289

EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en

los ejes, J es el reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J

respecto al eje y, entonces HJ es un segmento

A) paralelo al eje x. B) paralelo al eje y.

C) de la bisectriz del segundo cuadrante. D) de la bisectriz del primer cuadrante.

E) perpendicular al eje x.

EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de NPy S es el

punto medio de MQ. ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia

imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la reflexión del

eje NP?

A) S

B) Q C) P

D) N E) M

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la traslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1)

sitúa al punto P en las coordenadas

A) (1, 2)

B) (2, 1) C) (1, 1)

D) (2, 2) E) (0, 2)

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290

EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al

punto P. ¿Cuál de las opciones representa mejor la rotación de la figura?

A) B) C) D) E)

EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en

90º con respecto al punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son:

A) (6,2)

B) (-3,6) C) (6,-7)

D) (6,-3) E) (6,-5)

EJEMPLO PSU-11: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto

A(-1,-2) con respecto a la recta y = 3?

A) (-1,8)

B) (1,8) C) (-1,6)

D) (7,-2) E) (-1,-4)

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291

EJEMPLO PSU-12: ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares

permite(n) teselar (o embaldosar) el plano? I) Pentágonos.

II) Triángulos equiláteros.

III) Hexágonos. A) Sólo II

B) Sólo III C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto

de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?

A) (-8, -3) B) (8, 3)

C) (-8, 3) D) (-3, 8)

E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-14: La en I) está formado por 5 cuadrados congruentes,

la figura en II) es un cuadrado y la figura en III) es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n) simetría central?

A) Sólo I B) Solo II

C) Solo III D) Sólo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría

II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

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292

EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto

P(2,3), con respecto a la recta L de ecuación y = x

A) (2,1)

B) (-2,3) C) (-2,-3)

D) (2,-3) E) (3,2)

EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto

de coordenadas (8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?

A) (-8, -3) B) (8, 3)

C) (-8, 3) D) (-3, 8)

E) (3, 8)

EJEMPLO PSU-18: En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el

cuadrado A’B’C’D’ con respecto al eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) D’ = (-5,6)

II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro III) Ambos cuadrados tienen igual área

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

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293

EJEMPLO PSU-19: En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo)

con el triángulo QPR respecto al eje T, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

NQSPMR)III

NS//QR)II

TRS)I

A) Solo I B) Solo III

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-20: En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada al cuadrado dibujado con línea punteada. ¿Cuáles

son los componentes del vector de la traslación?

A) (1,2)

B) (-2,1) C) (-1,2)

D) (2,1) E) (-2,-1)

EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a

partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetría central? I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y

tamaño II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma

forma y tamaño III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y

tamaño

A) Sólo I

B) Solo III C) Solo en I y en II

D) Solo en I y en III E) En I, en II y en III

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294

EJEMPLO PSU-22: En la figura, ¿cuál de las siguientes

transformaciones rígidas permite obtener el polígono P a partir del polígono Q?

A) Simetría (reflexión) con respecto al eje y B) rotación en 180º con respecto al origen

C) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto al origen

D) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotación en 180º con respecto al origen

E) Rotación de 90º con respecto al origen

EJEMPLO PSU-23: El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B(-3,8)

y C(3,7). Si se aplica una traslación según el vector (5,-7), las nuevas coordenadas del triángulo serán:

I) A’(7,-4) II) B’(-8,1)

III) C’(8,0)

A) Sólo II

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-24: En la figura, el ABC se traslada según el vector

(4, 2). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).

II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5 .

III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es

igual al perímetro del triángulo ABC.

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

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295

EJEMPLO PSU-25: En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la

semicircunferencia tiene radio 2

1. Si se gira toda la figura en torno al

centro O en 180º, en el sentido de la flecha, el punto A, que está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas

2

1,

2

1)E

2

1,0)D

2

1,

2

1)C

0,2

1)B

2

1,

2

1)A

EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados

en los puntos A(1,2), B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en una unidad a la izquierda, y

luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos unidades hacia arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4) II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7)

III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4)

A) Solo I

B) Solo III C) Solo I y II

D) Solo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos lados iguales y uno distinto es:

A) 4

B) 3 C) 2

D) 1

E) 0

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296

EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P con respecto al eje y?

A) (-7,-9) B) (7,9)

C) (-7,9) D) (-9,7)

E) (-9,-7)

EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y

C(4, 0), se le aplica la traslación según el vector )7,5(u , ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) A se transforma en A’(-4, 9) II) B se transforma en B’(-3, 8)

III) C se transforma en C’(-1, 7) A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

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297

EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con

respecto al eje RS. ¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante?

EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por

reflexión del gráfico de la función g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación?

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298

EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –

1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) El punto simétrico de A con respecto

al eje y es el punto (4, – 1). II) Al rotar el punto A en 90° en

sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el punto (–1, 4).

III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se

obtiene el punto (–2, 1).

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una

simetría (reflexión) de la figura respecto a la recta L?

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299

EJMPLO PSU-34. En la figura el cuadrado A’B’C’D’ es la imagen del

cuadrado ABCD bajo una: I) Rotación de 180º con centro en el origen

II) Simetría respecto al origen

III) Simetría respecto al eje x

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-35. La recta L es simetral del segmento AB . ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

escalenoesARB)III

LarespectoAdesimétricoesB)II

OBAO)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-36. El trazo AB , con A = (- 4, - 3) y B = (5, - 1), se

traslada 3 unidades a la izquierda en la abscisa y 5 unidades hacia

arriba en la ordenada. El nuevo trazo 'B'A queda con coordenadas:

A) (-7, 2) y (2,4)

B) (-1, 2) y (8, 4) C) (1, 0) y (10,0)

D) (-9, 0) y (0, 2) E) (-7, 2) y (2, 6)

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300

EJEMPLO PSU-37. Todos los triángulos son congruentes. En qué

caso(s) son simétricos respecto de la recta L

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y III

E) Ninguna de las anteriores

EJEMPLO PSU-38. La figura está formada por 4 triángulos equiláteros congruentes entre sí ¿Cuál(es) de las figuras en I), en II) y en III) se

obtiene(n) por alguna rotación con respecto al centro de la figura 5?

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-39. El dominó está formado por dos cuadrados

congruentes entre sí, como lo muestra la figura. Cada una de las figuras presentadas en I), en II) y en III) están formadas por cuadrados

congruentes a los que forman el dominó. ¿Cuál(es) de ellas es (son)

posible(s) de embaldosar (teselar) completamente con el dominó?

A) Solo II B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

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301

EJEMPLO PSU 40. Se desea teselar un baño cuadrado que mide 10 m

por lado. Se tienen tres tipos de baldosas: una cuadrada de lado 30 cm, una rectangular de lados 30 y 10 cm y un triángulo rectángulo de

catetos 20 y 50 cm. ¿Con cuál de las baldosas se puede embaldosar el

baño completo?

A) Solo con los triángulos B) Solo con los cuadrados

C) Con los cuadrados y rectángulos D) Solo con los rectángulos

E) Con ninguna de las figuras

EJEMPLO PSU-41. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) El triangulo tiene tres ejes de simetría

B) El rectángulo tiene cuatro ejes de simetría C) La circunferencia tiene solo dos ejes de simetría

D) El trapecio isósceles tiene un eje de simetría

E) El cuadrado tiene solo dos ejes de simetría

EJEMPLO PSU-42. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha ubicado el punto )b,a(P . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) siempre verdadera(s)?

I) El simétrico de P con respecto al eje x es P’(a, -b)

II) El simétrico de P con respecto al origen es P’(-a, -b) III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer

cuadrante es otro punto que está en el primer cuadrante

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III E) I, II y III

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302

XXVI. TEOREMA GENERAL DE THALES

Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.

Hipótesis: lestransversaMyM

L//L//L

21

321

Tesis: 'C'B

'B'A

BC

AB

Nota: en una proporción es posible: (a) alternar los términos medios (b) alternar los términos extremos

(c) invertir las razones (d) permutar las razones (e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al

consecuente de cada razón

Teorema recíproco del teorema general de Tales señala que:

“Si tres o más rectas son intersectadas por dos transversales, determinando en estas

segmentos proporcionales, entonces las rectas son paralelas”

M1 y M2 transversales

321 L//L//L'C'B

'B'A

BC

AB

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303

EJEMPLO PSU-1: La figura muestra un rectángulo ABEF con

BC= 10,CF= 5 y CD= 4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE?

A) 16

B) 22 C) 28

D) 32 E) 36

EJEMPLO PSU-2: En el triángulo ABC de la figura, se sabe que

AB= 48 cm, SP = 12 cm, y RB:PR:AP = 1: 2: 3, entonces el valor de

CB es:

A) 96 cm

B) 72 cm C) 48 cm

D) 36 cm E) 24 cm

EJEMPLO PSU-3: En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y

DE//AB . ¿Cuál es el área del trapecio ADEB?

A) 36 cm2 B) 40 cm2

C) 50 cm2 D) 54 cm2

E) 60 cm2

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304

EJEMPLO PSU-4: En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

AC

AB

AF

AG)III

GF

AG

CF

BG)II

CD

AB

FE

AG)I

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura, DE//AC La medida de BC es

A) 25 B) 20

C) 9 D) 30

E) 14

EJEMPLO PSU-6: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?

A) Sólo en I

B) Sólo en II C) Sólo en III

D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III

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305

EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al

frente dos postes BCyED perpendiculares al plano, como se muestra en

la figura. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5)

metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos

metros separan a la persona (punto A) del poste ED?

A) 1 metro B) 9 metros

C) 6 metros D) 3 metros

E) 30 metros

EJEMPLO PSU-8: En la figura CD//AB . Si CDmide el doble de AB ,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes

III) OA2AC

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

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306

EJEMPLO PSU-9: En el triángulo ABC de la figura, AB//PM Si PM= 10,

AB= 15 y CT = 12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la

proporción correcta para determinar el valor de x?

x

12

15

10)E

x12

12

15

10)D

12

12x

15

10)C

x

x12

15

10)B

12

x12

15

10)A

EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20

m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo

piso?

A) 8 m B) 10 m

C) 15 m

D) 3

40m

E) No se puede determinar

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307

EJEMPLO PSU-11: En la figura, BC//ED . Si 2

3

EC

AE , ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

AD

AB

AE

ACIII)

2

3

ED

ECII)

2

3

DB

ADI)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-12: Si en la figura L1//L2, entonces el valor de x es:

A) 2 B) 7

C) 12,5 D) 18

E) Ninguno de los valores anteriores

EJEMPLO PSU-13. Si CF2FByAD3

2AE , ¿Cuál de la(s) siguientes

aseveraciones es (son) verdadera(s)?

FC3BCIII)

DC//EF//ABII)

CFAEBFEDI)

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) I y III E) I, II y III

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308

EJEMPLO PSU-14. Un agricultor tiene un terreno en forma de triángulo

rectángulo, como el triángulo ABC de la figura. Desea plantar hortalizas y para ello divide el terreno en cinco sitios, con divisiones paralelas al

lado AC . Si en sector achurado plantará lechugas, ¿cuál es el área de

dicho sector?

5

ab8)E

2

ab3)D

5

ab12)C

ab5

6)B

ab5

2)A

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309

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 64 A LA Nº 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que

decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son

suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente

para responder a la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son

insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información

adicional para llegar a la solución. Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, se puede

determinar el capital de Q si: (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2 (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P: Q = 3: 2, luego (P + Q): Q = 5: 2, de donde $ 10.000.000: Q = 5: 2

Q = $ 4.000.000 Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2)

(P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

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310

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

EJEMPLO PSU-1. Se puede determinar cuánto mide cada segmento de

una cuerda cortada en cuatro proporcionales si: (1) La cuerda mide 72 cm

(2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6

A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-2. Si x e y son dos números distintos, se puede

determinar el valor de la expresión yx

yx 22

si:

(1) x + y = 8 (2) x – y = 2

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del

ángulo AOB se puede determinar si: (1) El área del sector achurado representa el 40%

(2) la medida del ángulo ACB = 72º

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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311

EJEMPLO PSU-4. El valor numérico de log (ab) +

b

alog se puede

determinar si:

(1) a = 1.000 (2) b = 100

A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede determinar el precio promedio de una manzana si:

(1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total es $ 4.800

(2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100 manzanas

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-6. m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si:

(1) m es un número impar (2) nm es un número impar

A) (1) Por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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312

EJEMPLO PSU-7. En la figura, el triángulo FEC es semejante con el

triángulo BDE si: (1) CBDFCB

(2) BD//AC

A) (1) Por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-8. ax + by es igual a bx + ay si: (1) x = y

(2) a = b

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-9. En la figura, ABDE = 10. Se puede determinar la

magnitud AC si se sabe que:

(1) AD= 8

(2) BC= 5

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-10. En la figura, EB= 6. Se puede determinar el valor

de DB si:

(1) EB:CE = 3: 2

(2) AD= 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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313

EJEMPLO PSU-11. Se puede determinar el valor numérico de la

expresión

33

2

2

9

z

z

9y

)x3(

)3x(

si:

(1) z = 9 (2) y = 6

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos. Se puede saber el número total de trabajadores si:

(1) Enfermos: Sanos = 1: 3 (2) El 75% de los trabajadores están sanos

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y caramelos tipo 2 que cuestan $4 c/u. se puede determinar la cantidad

de caramelos de cada tipo que compró si:

(1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que tipo 1

(2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Edad Frecuencia

5 2 6 X

7 10 8 6

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314

EJEMPLO PSU-14. En la siguiente tabla se muestra la edad de un

grupo de personas. Se puede determinar x si:

(1) El promedio es 6

(2) La mediana es 7

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-15. Se puede determinar el monto de una deuda si:

(1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-16. Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que: (1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7.

(2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-17. Se pueden calcular las edades de Juanita y de su

madre si se sabe que: (1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años.

(2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de su madre.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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315

EJEMPLO PSU-18. Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x mayor que y si:

(1) x = n + y

(2)n

x = y - 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-19. En la figura el trazo AC corresponde a la sombra de

la torre vertical AB, en un cierto momento. Es posible calcular la altura

de la torre si se sabe que, en ese mismo instante: (1) Muy cerca de la torre, un poste vertical de 1 metro tiene

una sombra de 1 metro.

(2) Se conoce la medida del trazo AC .

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-20. En la figura, ABCD es un cuadrado, P es un punto

de la recta AB, M es la intersección de los segmentos ADyPC . Es

posible determinar el área delΔ PBC si: (1) El lado del cuadrado mide 8 cm.

(2) Se sabe que M es punto medio de AD .

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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316

EJEMPLO PSU-21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual

tamaño y peso. Se puede determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:

(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de

fichas verdes. (2) El número total de fichas es 36.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-22. a2 + b2 = (a + b)2 si: (1) a = 0

(2) b = 0

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-23. Si x es un entero comprendido entre 80 y 90, se

puede determinar el valor exacto de x si: (1) x es múltiplo de 4

(2) x es múltiplo de 7

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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317

EJEMPLO PSU-24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede

saber el valor de y

xsi:

(1) y es el triple de x. (2) La suma de x e y es 8.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-25. En el rectángulo ABCD de la figura, el perímetro

mide 28 cm. Se puede determinar el área achurada si

(1) 3:4BC:AB

(2) 10AC

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-26. En la figura, sen = 7

4 , se puede afirmar que

7UT si:

(1) US = 4

(2) L1 // L2

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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318

EJEMPLO PSU-27. Se puede determinar el valor de b

ba2 si:

(1) a: b = 5 : 2 (2) a + b = 21

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Cada una por sí sola, (1) ó (2) D) Ambas juntas, (1) y (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Se puede determinar la relación que

hay entre los volúmenes de los conos que se generan si se sabe que: (1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que

un cateto de la de Pedro. (2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que

mide el otro cateto de la de Pedro.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-29. Se puede determinar la edad de Benjamín si:

(1) Benjamín es menor en 46 años que su padre que tiene el triple de su edad.

(2) Al sumar la edad de Benjamín con 1950 se obtiene su año de nacimiento que es 1973.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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319

EJEMPLO PSU-30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se

puede determinar el número exacto si: (1) La suma de sus cifras es 9.

(2) El número es par.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos

congruentes. Se puede determinar el perímetro de la figura MNPQRM si se sabe que:

(1) MQ= 12 cm

(2) PQ= 2 cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que

son médicos en un país si se sabe que: (1) El 52% de la población del país son mujeres.

(2) El 0,5% de la población son médicos. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas

y viudas, se puede determinar el número de mujeres viudas si: (1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3.

(2) Las casadas son 25.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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320

EJEMPLO PSU-34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar la edad de Cecilia si:

(1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella.

(2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-35. Se puede concluir que x es un número negativo si

se sabe que (1) 4x es negativo.

(2) x – 3 es negativo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-36. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se

puede determinar el valor de H si se sabe que: (1) a = 10

(2) a + b = 30 A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-37. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm, se

puede determinar el área del triángulo NME si:

NMAN)2(

MDAM;ECAE)1(

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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321

EJEMPLO PSU-38. En la figura, AB//CD .Se puede determinar que el

triángulo ABC es congruente con el triángulo DCB si:

(1) = ε

(2) AC= CDAB

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-39. Un automóvil tiene un rendimiento promedio de 10 km por litro de bencina. Se puede determinar la velocidad promedio en

un viaje entre dos ciudades A y B, si se sabe que el automóvil:

(1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina. (2) Demoró en el viaje 30 minutos.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-40. Se puede determinar que existe semejanza entre

los triángulos ABC y DEC de la figura, si:

(1) DE es mediana.

(2)

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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322

EJEMPLO PSU-41. Sean n, m números enteros positivos y a = mn 32 .

Se puede afirmar que el número 2

aes el cuadrado de un número entero,

si se sabe que: (1) n es impar.

(2) m es par.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-42. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si:

(1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche

(2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-43. En la expresión 3a – 2b = 8 se puede determinar el valor de a si:

(1) b es la mitad de a (2) b + 2 = a

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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323

EJEMPLO PSU-44. En el triángulo ACD de la figura, CD//BE . Se puede

determinar la medida del segmento ED si:

(1) CD= 12

(2) = 3x A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6,

entonces se puede determinar el valor de x si: (1) La moda es 6

(2) La mediana es 6 A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se puede determinar el valor de a si:

(1) X e Y son inversamente proporcionales (2) T e Y son directamente proporcionales

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-47. La expresión 8b

5b

a

a

toma siempre un valor positivo

si:

(1) a es un número positivo (2) a es un número par

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

T X Y

5 354 432

10 a b

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324

EJEMPLO PSU-48. Sean m y p números enteros positivos, se puede

determinar exactamente el valor de ellos sí:

500.22)pm()2(

19

11

p

m)1(

2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se puede determinar siempre el valor numérico de la altura si:

(1) Se conoce el área del triángulo (2) Se conoce el perímetro del triángulo

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-50. En la figura PT es tangente en T a la circunferencia

de centro O. PQ pasa por el centro de la circunferencia y la intersecta

en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valor del radio si:

(1) Se conoce la medida de PT

(2) Se conoce la medida de RP A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

325

EJEMPLO PSU-51. Se tienen los números 3, 7, 9, 5 y x. Se puede

determinar el valor de x si: (1) El promedio de los números es 8

(2) La mediana de los números es 7

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-52. Se puede determinar el valor numérico de

yx

xy2yx 22

, con yx , si se sabe que:

(1) x + y = 5

(2) x – y = 3 A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-53. En la figura, se puede determinar la medida de

ABsi:

(1) BCABycm6BCAC

(2) 3:2AC:AB

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-54. Si c es un número entero positivo y c

baG

,

entonces G es positivo si: (1) a y b son positivos

(2) a y b son negativos A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

326

EJEMPLO PSU-55. Las edades de dos personas están en la razón de 3: 4. Se puede determinar las edades si:

(1) La diferencia de edades es 5 años

(2) Las edades suman 35 años A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-56. Se puede conocer la edad de Paz si:

(1) La suma de las edades de su mamá y su hermana menor es 36 años

(2) La diferencia de edad entre Paz y su hermana menor es de 5 años

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-57. Se puede determinar el valor numérico de la

expresión m3

a:

m

pcon m distinto de cero, si se conoce que:

(1) p = 4

(2) 8a

p

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

327

EJEMPLO PSU-58. En la circunferencia de centro O, PB y PD son

secantes, si PA= 6, entonces se puede determinar PCsi:

(1) AB:PA =3: 2

(2) DC= 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y

(ay + bx) son iguales si se sabe que: (1) a = b

(2) x = y

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7

cada uno y caramelos de tipo II que cuestan $ 4 cada uno. Se puede saber la cantidad comprada de cada tipo si:

I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del

tipo I II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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328

EJEMPLO PSU-61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros

se puede embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si:

(1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de

lado 10 cm. (2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de

catetos 10 cm y 20 cm.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-62. Sea a: b = 2: 3. Se pueden determinar los valores

numéricos de a y b si: (1) 2b: c = 6: 5 y c = 15

(2) a + b = 15

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-63. Si xn es un número entero, ¿qué se necesita para

que – x “sea positivo” (1) n es impar

(2) x es un entero negativo

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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329

EJEMPLO PSU-64. En la figura se sabe que BCDCED . Se puede

determinar x si:

6AC)2(

4AB)1(

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-65. ¿Qué se necesita saber para conocer los valores de

m, n y p si m + n + p = 24? (1) m + n = p

(2) m = n = 2

p

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-66. Se puede determinar el valor numérico de la

expresión: 22 n3m3 si:

(1) m – n = 2

(2) m + n = 10

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

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330

EJEMPLO PSU-67. En una caja hay fichas verdes y amarillas. Se puede

determinar la cantidad total de fichas, si:

(1) La probabilidad de sacar una ficha verde es 6

2

(2) La probabilidad de sacar una ficha amarilla es 6

4

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-68. Un par de zapatos se vende con un 30% de

ganancia. Se puede conocer el precio de los zapatos si: (1) La ganancia fue de $ 6.000

(2) Los zapatos se vendieron a $ 30.500

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-69. En la circunferencia se han trazado dos cuerdas.

¿Cuál es el valor de CD?

4BCy7AC)2(

CDECy11AB)1(

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

331

EJEMPLO PSU-70. Para los números enteros m, n y t, la expresión

tm

n

representa siempre un número entero si:

(1) (m + t) es un divisor de n

(2) m y t son factores de n

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-71. Se tienen naranjas, tomates y papas que en

conjunto pesan 3 kg, se puede determinar el peso de las papas si se sabe que:

(1) Las naranjas y las papas, juntas pesan 2 kg

(2) Los tomates y las papas, en conjunto pesan 1,750 kg

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-72. Un padre le dice a su hijo: “El dinero que tú tienes es el 20% del dinero que yo tengo”. Se puede determinar el dinero que

tiene cada uno de ellos si se sabe que: (1) Entre ambos tienen$36.000

(2) El padre tiene $24.000 más que el hijo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

332

EJEMPLO PSU-73. Es posible afirmar que dos potencias de bases

positivas y exponentes enteros son siempre diferentes entre sí, al cumplirse que:

(1) Las bases son diferentes (2) Los exponentes son diferentes

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-74. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. es posible determinar la medida del segmento AC si:

(1) El pie de la perpendicular CDestá a 16 m de B

(2) El pie de la perpendicular CDestá a 6 m de A

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

EJEMPLO PSU-75. En la figura, CE y DB son dos rectas que se intersectan perpendicularmente. Se puede determinar que

Δ ABC ∼ Δ ADE si se sabe que:

(1) DE//CB

(2) ∡ DEA = 75º

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

Álvaro M. Sánchez Vásquez Prof. Matemática y Física

333

EJEMPLO PSU-76. Se tiene una caja con fichas del mismo tipo. Al

extraer al azar una ficha de la caja, se puede determinar la probabilidad de que ésta sea roja, si se conoce:

(1) La cantidad total de fichas que hay en la caja

(2) La cantidad de colores de fichas que hay en la caja

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 334

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

RESPUESTAS NÚMEROS ENTEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B D A E D E D A E C A B A D D A B C A

21 22 23 24 25 26 D C B B B D

NÚMEROS RACIONALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D A D B B D B E C E A B E B A B A B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 C A D E A E C B D E A E A E E C B

POTENCIAS EN Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C E A A A B B A D C B C C B C C E D C

21 22 23 24 25 A B B D C ÁLGEBRA y FUNCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D D E C A A E C E D B A B C E D C D C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A E E A A C D D E C D A D B C E D D B B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 A E A B E E B D D D B C C E A

SIMBOLOGÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D D C A E B C A E A C C A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 335

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

RAZONES y PROPORCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D B C A C B C B A C C A D E A D A A

21 22 23 24 25 26 27 E A D D A E C

TANTO POR CIENTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B D C E E A D C E D B B E D D E D C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 B C E D E D A D D C E D B E D

RAÍCES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A E B D B A C A A A B B A B D C E A D

21 22 23 24 25 26 E A A B C D

ECUACIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C C A B B C B E D C E E A C B A C D A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B B B A E C B B D C B B A C D A E C D A

41 42 43 44 45 46 D D A A B E

DESIGUALDADES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C D A E D E C D A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 336

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1 2 3 4 5 6 D A E A B C LOGARITMOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 E C E A E B D C B C C

FUNCIONES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B B E E D D D A B D A B D C D C D E E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E B A B A A D E D A A C C E D E A D B C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 C A D C D C B C D A B

EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA UNIDAD: ÁNGULOS – TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B D D B E A B B E E C E D D D D B C UNIDAD: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 D D E B D E C C UNIDAD: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 E A C E E A C E B A C E A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 337

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

UNIDAD: CUADRILÁTEROS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B C D D C E A D B B E B B C E D A E B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 A A E C A E C A B B E C A E UNIDAD: POLÍGONOS

1 2 E D UNIDAD: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B C B C C D E C D B C C B A B A B E A

21 22 23 C A A UNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D B C C A B C C D A D A D D E A E D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D E C E C E D A D D E D C D D A E B D A

41 42 D C UNIDAD: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1 2 3 4 5 6 7 E B C A D E E

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 338

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

UNIDAD: CUERPOS POLIEDROS – VOLUMEN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B C B D E A B D B C A A E B D B B UNIDAD: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

1 2 3 4 5 6 A B B D D B UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A A E B C B D C D B A A B E A D E A C UNIDAD: TEOREMA DE THALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D B C C A D D B A A D B D B UNIDAD: ESTADÍSTICA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B A E B E D E D D A C D C A D E E E B E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 C D D D E B C C C D E A E C UNIDAD: PROBABILIDAD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D B A E D B D C A B C A A A D C B C E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E B A E C B C E A B C E D A E B A D B C

41 42 43 44 45 46 47 48 D D D C E A E B

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 339

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A D A C B D D E C B D A E C D C A C C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E D B A D C A E D E C E D C A D C D D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C E D B A C A C A C A B C D D E B C D B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 B D C C B C E D C A C D E C D E

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 340

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

RECOPILACIÓN 1 DE EJERCICIOS PSU

CURSO: PRIMER AÑO MEDIO – CUARTO AÑO MEDIO HABILIDADES: CONOCER – COMPRENDER – APLICAR – ANALIZAR –

SINTETIZAR – EVALUAR

1. 222 )4()3()2( =

A) -25

B) -21 C) -3

D) 11 E) 29

2. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2, 2 10-3,

0,00002,.... ¿Cuál es el quinto término?

A) 2 • 510

B) 2 • 610

C) 2 • 710

D) 2 • 910

E) 2 • 1110

3. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el

valor de T es 3. Si T = 2, entonces el valor de A es:

A) 9

8

B) 2

9

C) 4

9

D) 9

8

E) 9

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 341

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

4. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones permite(n) calcular “un número

aumentado en su 25%”? I) multiplicarlo por 5 y dividir el resultado por 4.

II) multiplicarlo por 1,25.

III) dividirlo por 0,8. De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)

A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

5. ¿Qué porcentaje es 0,002 de 0,04?

A) 0,05% B) 0,5%

C) 0,8%

D) 5% E) 8%

6. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras necesita 49 fósforos para ser construida?

A) la figura 23

B) la figura 24 C) la figura 25

D) la figura 99 E) la figura 100

7. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de

las siguientes magnitudes corresponde(n) a un número racional?

I. Su longitud o perímetro. II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia.

III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia.

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 342

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

8. Si 0,002 • x10 = 2.000; entonces x =

A) -7

B) -6

C) 5 D) 6

E) 7

9. 10

22 108

A) 27

B) 185

C) 218 • 10-1 D) 236 • 10-1

E) 280 •10-1

10. Dada la sucesión: 2 • 21, 3 •22, 2 • 23, 3 • 24, 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese

orden?

A) 4

3

B) 4

1

C) 3

4

D) 3 E) 6

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. (0,2) 2 = 25

II. (0, 1 ) 2 = 81

III. (0,1 6 ) 2 = 36

A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 343

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

12. Los 5

4 de 0,008 escrito en notación científica es:

A) 64 • 10-4

B) 6,4 •10-3

C) 1 •10-2

D) 0,1 •10-1

E) 0,64 •10-2

13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una

pizza. Sebastián compró 260 gramos, Francisco 4

1 de kg y Leonardo

8

3

de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sebastián compró menos que Francisco.

II. Leonardo compró más que Francisco. III. Sebastián compró más que Leonardo.

A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo III.

D) Sólo I y II. E) Ninguna de ellas.

14. (a – 2b)2 – (b – 2a)2 =

A) 5a2 – 3b2

B) 5a2 + 3b2 C) -3a2 – 3b2

D) 5a2 – 8ab + 3b2 E) -3a2 + 3b2

15. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar

quince”, se expresa mediante:

A) 2A – B = 15 B) 2A + 15 = B

C) 2A + B = 15 D) 2AB = 15

E) B

A2 = 15

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 344

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

16. Si x2 – y 2 = 2 y x + y = 4, entonces 2x – 2y =

A) 0,25

B) 0,5

C) 1 D) 2

E) 4

17.

a4b2

ba4 22

A) -a+b

B) -a-b C) -4a-2b

D) 2

ba2

E) 2

ba2

18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos afirmar que el triángulo es:

A) equilátero.

B) isósceles no rectángulo. C) isósceles rectángulo.

D) escaleno rectángulo. E) No se puede determinar

19. Si (a - b)2 = 25 y a2+b2 = 9, entonces ab =

A) -17

B) -8 C) 2

D) 8 E) 17

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 345

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

20. Se define a * b =

b

11

1a

a + 1, entonces 2 * 3 =

A) 5

B) 7

4

C) 4

7

D) 4

11

E) 4

5

21. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la

edad de Enrique es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es el doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de

Enrique?

A) 11 años B) 22 años

C) 33 años D) 66 años

E) 77 años

22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) al área de la

figura sombreada?

I. ab – c2 II. a(b – c) + (a – c)c

III. (a – c)b + c(b – c) A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo I y III. E) I, II y III

23. 32x • 22x =

A) 52x

B) 64x C) 12x

D) 24x

E) 36x

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 346

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24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2.

II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab.

III. El área de PQDF es 2a2 + ab

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

25. Se define: a b =ba

ba

, entonces )3(

3

1

=

4

5)E

5

4)D

5

4)C

4

5)B

3

1)A

26. Si a-1 + 1= 4 entonces

a

1a

A) 2

B) 4 C) 6

D) 3

4

E) 5

6

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 347

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

27. En un rectángulo de 42 cm de perímetro, el largo mide tres

centímetros más que el doble del ancho. ¿Cuál es su área?

A) 36 cm2

B) 42 cm2 C) 54 cm2

D) 90 cm2 E) 270 cm2

28. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en

el cuadrado EFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación?

A) (1,2) B) (1,-2)

C) (2,1) D) (2,-1)

E) (-2,1)

29. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el punto:

A) (3,-2)

B) (2,-3) C) (-2,-3)

D) (3,2) E) (-2,3)

30. Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que:

A) son congruentes por el criterio (L, L, L).

B) son congruentes por el criterio (L, A, L).

C) son congruentes por el criterio (A, L, A). D) son congruentes por el criterio (L, L, A>).

E) no son congruentes necesariamente.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 348

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31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto

(a, b), entonces a + b =

A) -5

B) -1 C) 1

D) 2 E) 5

32. Según los datos de la figura, el valor de es:

A) 21º B) 31,5º

C) 32º D) 42º

E) Falta información.

33. Si el ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda en el vértice A, entonces el punto B queda en el punto de coordenadas:

A) (3,1)

B) (-1,-3) C) (-1,-2)

D) (0,-2) E) (0,-3)

34. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si el ABC es isósceles de base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)? I. Δ CEA Δ CFB.

II. Δ SCE Δ RCF.

III. Δ CQE Δ CPF. A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 349

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35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con

cuál(es) de ellas se puede teselar (embaldosar) un plano?

A) sólo con I.

B) sólo con II. C) sólo con III.

D) sólo con I y II. E) sólo con I y III.

36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría?

I. Cuadrado. II. Rectángulo.

III. Rombo. A) sólo I.

B) sólo II. C) sólo I y II.

D) sólo II y III. E) I, II y III.

37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + 2 cm.

¿Cuál es el área del cuadrado?

A) 1 cm2

B) 2 cm2 C) 4 cm2

D) 8 cm2 E) 16 cm2

38. En la figura, BCAB y Δ ABC Δ ABE ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. AFCE

II. ∡ ACF ∡ AEF

III. ∡ CBE 2∡ CAE

A) sólo I.

B) sólo I y II. C) sólo II y III.

D) sólo I y III. E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 350

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39. ¿Con cuál(es) de las siguientes figuras se puede teselar

(embaldosar) un plano? I. Rombos.

II. Romboides.

III. Triángulos escalenos. A) sólo I.

B) sólo I y II. C) sólo I y III.

D) sólo II y III. E) I, II y III.

40. Si el punto A(-1,2) se refleja en torno a la recta x = 2, su imagen

queda en el punto:

A) (3,2) B) (4,2)

C) (5,2) D) (1,2)

E) (6,2)

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D B E D B B D A A E B B E C C D D B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A E E E C B D E C E A D B E E D B E E C

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 351

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RECOPILACIÓN 2.

1. Si f(x) = x2 – 3x, entonces f(-1) + f(2) =

A) -6

B) -2 C) 2

D) 4 E) 6

2. Si f(x) = 22 ba

x)ba(

(a ≠ b), entonces f(a + b) =

A) a + b B) a - b

C) a2 – b2 D) a2 + b2

E) 1

3. Si x + y = 2, entonces 11 yx =

A) 2

B) 2

1

C) 2xy

D) xy

2

E) 2

xy

4. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de ecuaciones:

L1: (1+k) x – y = 2; L2: (1-k) x + 2y = 3 sean paralelas?

A) -3

B) 3 C) 2

D) 2 E) No existe tal valor de “k”

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 352

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5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que

es perpendicular a la recta de ecuación: y = - 2

1x + 3 y pasa por el

punto (2,1)?

A) y - 1= 2(x - 1) B) y - 1= -2(x - 2)

C) y - 2= 2(x - 1) D) y - 1= 2(x - 2)

E) y - 1= 2

1 (x - 2)

6. ¿Cuál debe ser el valor de K para que el sistema de ecuaciones: 2x - ky = 3

4x + 2y = 5 NO tenga solución?

A) -4 B) -2

C) -1 D) 1

E) 2

7. Si 2x – y = 3 y | x | = 2, entonces el o los valores posibles de y es(son):

I. 1

II. -7 III. 7

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo I y III.

E) Ninguno de ellos.

8. Si x e y son números reales distintos de cero tales que 1yx 11 ,

entonces x + y =

A) 1 B) 2

C) x-y D) xy

E) yx

1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 353

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9. Las rectas de ecuaciones: L1: 2x-y-m = 0; L2: px+2y+m = 0 se

interceptan en el punto (2,-2). Entonces m + p =

A) -5

B) -1 C) 5

D) 6 E) 7

10. Si |x| corresponde al valor absoluto de x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la

función: y = -|x - 1|+1? I. Pasa por el punto (-2,-2).

II. Intercepta al eje x en dos puntos. III. Intercepta al eje y en el origen.

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

11. Al simplificar la fracción algebraica: )x2)(ba(

)ab(x)ba(2

, resulta:

A) 1

B) -1

C) x2

1

D) ba

1

E) a – b

12. Si x = y, entonces

xy

y2

yx

x2

A) -2

B) 0 C) 2

D) xy

1

E)xy

)yx(2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 354

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

13. Con respecto a la recta de ecuación: x+2y - 3= 0, se afirma que:

I. Pasa por el punto (3,0)

II. Intercepta a la recta de ecuación 2x - y-1= 0 en el punto (1,1).

III. Es perpendicular a la recta de ecuación 2x- y + 4= 0. Es(son) verdadera(s):

A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

14. Con respecto a las rectas L1 y L2 de la figura: Se afirma que:

I. La ecuación de L1 es: y-1 = 3

2 (x-2)

II. La ecuación de L2 es: y =2

3 x - 2

III. Las rectas son perpendiculares. Es (son) correctas:

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

15. BCA es una semicircunferencia y ∡ ACO = 40º Entonces el ∡ABC

mide:

A) 20° B) 40°

C) 50° D) 70°

E) 80°

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 355

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16. En la figura: L1 // L2 y L1 L3. Entonces x mide:

A) 1,5

B) 2,6

C) 3 D) 3,3

E) 4

17. En la figura: PT es un segmento tangente a la circunferencia que

mide 6 cm. Si PA mide 4 cm, entonces AB mide:

A) 2 cm

B) 4 cm

C) 5 cm D) 9 cm

E) 13 cm

18. Si ADyEB son perpendiculares a CEyAC respectivamente.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. ΔABF ~ ΔEDF. II. ΔABF ~ ΔEBC.

III. ΔADC ~ ΔEBC. A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

19. En la figura: L1//L2, entonces x =

A) 3

B) 8 C) 9

D) 10

E) 12

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 356

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20. En la figura: O es el centro de la circunferencia, entonces ∡ x:

A) 20º B) 100º

C) 120º D) 140º

E) 160º

21. En la figura, los triángulos ABC y ADE son rectángulos en B y D

respectivamente. Según los datos dados, BC mide

A) 6 cm

B) 8 cm C) 9 cm

D) 10 cm E) 12 cm

22. En la figura: L1//L2//L3 Si AC= 12; DF= 15 y FE= 3, Entonces AB

mide:

A) 2,4 B) 4,8

C) 5,4 D) 6

E) 9,6

23. ABCD es un rectángulo y ACBE , entonces BE =

A) 3 cm

B) 4 cm C) 4,8 cm

D) 2 2 cm

E) 2 5 cm

24. Según los datos dados en la figura, el ∡ x mide

A) 70° B) 80°

C) 100° D) 110°

E) 140°

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 357

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto

medio del ladoAD , entonces el área del Δ AEM es:

4

a)E

6

a)D

9

a)C

12

a)B

18

a)A

2

2

2

2

2

26. O: centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ∡ x?

A) 40º B) 70º

C) 100º D) 120º

E) 140º

27. En la figura “B” es punto de tangencia, “O” centro de la

circunferencia. Entonces la medida del ángulo x es:

A) 120° B) 90°

C) 60° D) 45°

E) 30°

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 358

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que

aparece sea un múltiplo de tres?

A) 6

1

B) 6

2

C) 6

3

D) 6

4

E) 6

5

29. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que NO SALGA el color verde?

A) 3

1

B) 12

5

C) 12

7

D) 3

2

E) 4

3

30. Se tienen 10 fichas iguales numeradas del 0 al 9. Si se eligen 2 al

azar, reponiendo la primera, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 5?

A) 0,04

B) 0,05 C) 0,06

D) 0,2 E) 0,4

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 359

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros

16 números naturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 36?

16

9)E

4

1)D

2

1)C

8

3)B

16

7)A

32. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color numerado del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita de

color rojo o mayor que 5?

20

16)E

20

15)D

20

14)C

20

10)B

20

5)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 360

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

33. La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares

numerados del 1 al 4. Si L1 y L2 son líneas que pasan por el centro, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. La probabilidad de que salga un número impar es igual a la probabilidad de que salga par.

II. La probabilidad de que salga el “1” es igual a la probabilidad de que salga un “4”.

III. La probabilidad de que salga un número mayor que “1” es 0,75.

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que

salga sello y en el dado un número menor que 3?

2

1)E

3

2)D

4

1)C

3

1)B

6

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 361

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

35. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las

bolas, la probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:

4

1)E

5

3)D

5

2)C

5

1)B

2

1)A

36. Al lanzar la ruleta de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) SIEMPRE verdadera(s)?

I. La probabilidad de que salga un número par es 4

1

II. La probabilidad de que salga el “1” es5

1

III. La probabilidad de que salga el “4” es 6

1

A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo I y III.

E) I, II y III.

37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad

de sacar una bolita verde es 9

4, ¿cuántas bolitas rojas hay?

A) 4 B) 6

C) 8 D) 10

E) 16

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 362

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

38. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto

de los puntajes. ¿Cuál es la probabilidad de que X > 20?

36

8)E

36

7)D

36

6)C

36

5)B

36

4)A

39. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a

optar solo por una actividad extra programática. Si las tres cuartas

partes de los estudiantes eligen practicar deporte y una octava parte elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidad de que al

entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realiza actividades extra programáticas?

8

3)E

8

7)D

8

5)C

4

1)B

8

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 363

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

40. De 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la

probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?

25

2)E

20

1)D

100

1)C

50

1)B

25

1)A

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C E D A D C C D C E A C E E C B C E C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B E C D B E E B C C C D A A C D D E A A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 364

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RECOPILACIÓN 3.

1. 321850

A) 0

B) - 8

C) 8

D) 18

E) 72

2. ¿Cuál es el vértice de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 4?

A) (3, 31) B) (-3, 31)

C) (6, 4)

D) (3, -5) E) (-6, 76)

3. Con respecto a las soluciones de la ecuación x2 – 2ax – 3a2 = 0,

donde a ≠ 0, se afirma que:

I. Una es el triple de la otra. II. Tienen signos distintos.

III. Su suma es un número positivo. ¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?

A) Solo I.

B) Solo II. C) Solo I y III.

D) Solo II y III.

E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 365

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las

funciones: f(x)=x2+2 y g(x)=-x+1?

5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3, entonces p =

A) -6

B) -5 C) 5

D) 6 E) Falta información.

6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la siguiente?

A) y = -2x2 + 8x - 8

B) y = -x2 + 4x - 4 C) y = x2 - 4x + 4

D) y = -x2 - 4x + 4

E) y = -x2 - 4x - 4

7. Si a = 5353 , entonces a2 =

A) 2 B) 4

C) 6 D) 10

E) 2 5

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 366

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

8.

12

2

12

2

A) -4 B) -2

C) 1 D) 2

E) 4

9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto (2,3) entonces p + q =

A) -3

B) -2

C) 2 D) 5

E) 11

10. La solución del sistema de inecuaciones 2x – 3 < 5 es el intervalo -x + 4 < 2

A) [2, 4] B)]2, 4[

C)]2, 4] D) [2, 4[

E) Ø

11. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x – 1 > 2

-2x +1 >-1

A) IR B) IR – {1}

C) Ø D)]1, +∞]

E) [1, +∞[

12. A y B son dos eventos independientes. Si la probabilidad de que ocurra A es p y de que ocurra B es q, ¿cuál es la probabilidad de que NO

ocurran ambos eventos?

A) (1 - p) q B) p (1 - q)

C) (1 - p) (1 - q) D) pq

E) 1 - pq

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 367

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

13. Si x ≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)

equivalentes al cociente x

x3 2

?

x)III

x)II

x

1)I

3

1

3

A) Solo I. B) Solo II.

C) Solo III. D) Solo I y II.

E) Ninguna de ellas.

14. Con respecto a la función cuadrática y = -x2 + 4x, se afirma que: I. Intercepta al eje x en dos puntos.

II. Intercepta al eje y en el origen. III. Su vértice es el punto (2,4)

¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)?

A) Solo I.

B) Solo II. C) Solo I y II.

D) Solo I y III. E) I, II y III.

15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca

cae fuera del disco, entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga sobre el sector marcado “rojo”?

6

1)E

3

1)D

27

1)C

1)B

27

8)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 368

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

16. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad

de que en ambas oportunidades salga el color verde?

144

1)E

12

1)D

9

1)C

6

1)B

3

1)A

17. Una persona contesta al azar 3 preguntas de verdadero o falso.

¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo dos correctas?

2

1)E

8

3)D

8

1)C

4

1)B

3

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 369

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

18. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las

tres veces salga un número mayor que 4?

27

1)E

3

2)D

9

2)C

9

1)B

8

1)A

19. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos resultantes sea 4?

36

6)E

36

5)D

36

4)C

36

3)B

36

2)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 370

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto

de los puntos resultantes sea 6?

36

12)E

36

7)D

36

6)C

36

5)B

36

4)A

21. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la

primera vez salga un número mayor que 3 y la segunda vez salga un

múltiplo de 3?

36

6)E

36

5)D

36

4)C

36

3)B

36

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 371

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

22. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de

los puntos obtenidos sea menor o igual que 3?

36

5)E

36

4)D

36

3)C

36

2)B

36

1)A

23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75%

de las bolitas son verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas

blancas, reponiendo la primera?

49

16)E

25

1)D

16

1)C

8

1)B

2

1)A

24. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen tres tarjetas, reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la

probabilidad de que las tarjetas sumen 5?

A) 0,002 B) 0,003

C) 0,004 D) 0,006

E) 0,2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 372

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

25. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que

al lanzar la flecha dos veces, en ambas ocasiones salga el color verde?

324

49)E

81

16)D

9

8)C

9

7)B

9

4)A

26. En el triángulo ABC de la figura, BCAE y ABEF . Si EC= 4 cm,

EB= 2 cm y BF = 1 cm, entonces ¿cuál es el área del ABC?

A) 3 2 cm2

B) 6 2 cm2

C) 3 3 cm2

D) 6 3 cm2

E) 12 3 cm2

27. Si es un ángulo agudo tal que sen = 0,6, entonces tg =

A) 0,75

B) 0,8 C) 1,25

D) 1,3 E) 1,6

28. En el ABC rectángulo en C de la figura, DB mide 5 cm más que AD

y la altura CD mide 6 cm, ¿cuál es el área del triángulo?

A) 6 cm2 B) 27 cm2

C) 39 cm2 D) 54 cm2

E) 78 cm2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 373

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

29. Si tg = 0,75, entonces cos =

A) 0,4

B) 0,5

C) 0,6 D) 0,8

E) 4

30. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si CD = a,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. AC= a 2

II. BC= 2a

III. DB = a 3

A) Solo I.

B) Solo II. C) Solo I y II.

D) Solo II y III. E) I, II y III.

31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total.

En el 4º A hay 18 mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de mujeres entre los dos cursos es 25. Si se eligen dos estudiantes al azar,

¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre del 4ºA y el segundo sea una mujer del 4º B?

250

7)E

44

5)D

50

17)C

35

12)B

35

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 374

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. sen 60° = cos 30° II. sen 30° = sen2 45°

III. tg 30° > cos 60°

A) Solo I. B) Solo II.

C) Solo I y II. D) Solo II y III.

E) I, II y III.

33. Según los datos dados, x + y =

A) 4,5 B) 8

C) 9,5 D) 10

E) 10,5

34. El ACB es rectángulo en C y CHBE es un rectángulo. Si AC = 6 cm y

BC = 8 cm, ¿cuál es el perímetro del rectángulo?

A) 16 cm

B) 16,8 cm C) 22,4 cm

D) 30,4 cm E) 46,08 cm

35.

º30tg

º60cosº30sen

1)E

3)D

3

3)C

2

3)B

3)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 375

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

36. En un triángulo rectángulo, es uno de los ángulos agudos tal que

sen = 0,6. Si la hipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto

mayor?

A) 9 cm B) 11 cm

C) 12 cm D) 13 cm

E) Falta información

37. Según los datos de la figura, x =

A) 2 2

B) 3 2

C) 2 6

D) 4 3

E) 18

38. En la figura, ABCD , ∡ CBA = 20º y ∡BAD = 70º. Si AE= 2 cm y

EB= 8 cm, entonces AD =

A) 4 cm

B) 6 cm C) 8 cm

D) 2 5 cm

E) 10 2 cm

39. En una superficie sintética la probabilidad de que un deportista resbale si la superficie esté mojada es 0,8. Si la probabilidad de que la

superficie esté mojada y que resbale el deportista es 0,02, ¿cuál es la probabilidad de que la superficie esté mojada?

A) 0,025

B) 0,02 C) 0,25

D) 0,78 E) 0,8

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 376

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

40. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C y EFGD es un

rectángulo. Si AE= 3 cm y ED = 4 cm, entonces BF =

A) 3 cm

B) 4 cm C) 5 cm

D) 3

16cm

E) 4

9cm

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D B A C B A E E B C C D E C E D E B B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E C C D D D A C D E A E E C A C C D A D

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 377

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

RECOPILACIÓN 4.

1. log25 5 =

A) 0,1 B) 0,2

C) 0,3 D) 0,4

E) 0,5

2. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I. log4 2 = 0,5

II. log8 16 = 1,3 III. log 0,01 = -1

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

3. 2xx )22( =

A) x4

B) 1x4

C) 1x2

D) x42

E) x82

4. log 8 + log 2 =

A) 0

B) 1 C) 4

D) 3 log 2 E) 4 log 2

5. Si x2 = p, entonces x4 = A) 2p

B) p-2 C) 4p

D) p-4

E) p4

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 378

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6. El conjunto de las soluciones de la ecuación 2x1

1x

2

1)25,0(

es:

A) {-3} B) {1}

C) {3} D) {1,3}

E) {-3,1}

7. Si x3 = 9 - y ; yx2 = 0,125, entonces y – x =

A) 3-3 B) 3-2

C) 1 D) 3

E) 32

8. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica:

log x = log (x+18) – log (10 – x)?

A) {-6} B) {-3}

C) {3} D) {6}

E) {3,6}

9. Si xx 22 = 0,25, entonces x =

A) -4 B) -3

C) -2 D) -1

E) 1

10. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. x = 3 2y

II. y = x x

III. 3 log x = 2 log y

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 379

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11. El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log (x+6) = 2 log x es:

A) {3} B) {-2}

C) {2} D) {3,-2}

E) Ø

12. La solución de la ecuación: 1xx 222 es x =

A) -4 B) -3

C) -2 D) -1

E) -2

1

13. Sea la función f definida por f(x) = x3 – 1. Si f(a) = 1, entonces a =

A) log2 3 B) log3 2

C) log 2 – log 3 D) log 3 – log 2

E) 0

14. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el segundo y su radio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los

volúmenes de ambos cilindros?

A) 1: 1

B) 1: 2 C) 1: 3

D) 1: 4 E) 1: 6

15. La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la

esfera es 36 π cm3, ¿cuál es el volumen del cilindro?

A) 9 π cm3

B) 18 π cm3

C) 27 π cm3

D) 54 π cm3

E) 432 π cm3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 380

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

16. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los vértices B y D son (3, 4,0) y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide

la diagonal AD del paralelepípedo?

A) 5

B) 10 C) 12

D) 13 E) 17

17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta L?

A) 10 π cm3

B) 11 π cm3

C) 12 π cm3

D) 16 π cm3

E) 17 π cm3

18. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el

triángulo de la figura en torno al cateto AB?

A) 4,5 π 3 cm3

B) 9 π 3 cm3

C) 12 π 3 cm3

D) 18 π 3 cm3

E) 36 π 3 cm3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 381

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

19. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano

horizontal. Si este triángulo se traslada en dirección vertical “b” cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo generado?

32

32

32

32

32

cm6

3ba)E

cm12

3ba)D

cm3

3ba)C

cm4

3ba)B

cm2

3ba)A

20. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio 3

cm, tangente al lado CD. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera

al hacer girar la figura sombreada en torno al lado AB?

A) 18 π cm3

B) 24 π cm3

C) 27 π cm3

D) 36 π cm3

E) 64 π cm3

21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado BC . ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. tg = 2.

II. tg β= 0,5. III. γ= +β.

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y II. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 382

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

22. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y DC es una semicircunferencia.

Si M y N son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en

torno a la recta MN?

A) 6 π cm3

B) 9 π cm3

C) 12 π cm3

D) 24 π cm3

E) 36 π cm3

23. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la figura?

A) 13 3 cm

B) 18 3 cm

C) 11 + 2 3 cm

D) 16 + 2 3 cm

E) 22 + 2 3 cm

24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ;

B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuál es su área?

A) 2 3

B) 4 3

C) 8 3

D) 12 2

E) 16

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 383

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia.

¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al girar la figura

sombreada en torno al lado AD?

6

71)E

3

35)D

3

32)C

3

17)B

3

5)A

26. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto A?

A) (1, 2, 3)

B) (2, 1,3) C) (1, 3, 2)

D) (2, 3, 1)

E) (3, 2, 1)

27. Se ha efectuado un estudio de precios de un artículo. Para ello se ha consultado en seis supermercados, obteniendo los siguientes valores:

$ 320; $ 350; $ 348; $ 332; $ 350; $ 327. ¿Cuál es la mediana de estos datos?

A) $ 335

B) $ 338 C) $ 340

D) $ 349 E) $ 350

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 384

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

28. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que

se muestran en la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de estos datos?

A) 2 B) 3

C) 3,5 D) 4

E) 5

29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Su mediana es 5 años. II. Su media es 8 años.

III. Su moda es 12 años. A) Sólo I.

B) Sólo I y II.

C) Sólo II y III. D) Sólo I y III.

E) I, II y III.

30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de

un curso electivo de Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas?

A) 5,0 B) 5,5

C) 6,0 D) 6,5

E) 7,0

31. Si la media entre a, b y c es p, ¿cuál es la media entre a-2, b-2 y

c-2?

A) p-6 B) p-3

C) p-2 D) p

E) p+2

Número Frecuencia

1 2

2 3

3 5

4 4

5 2

6 3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 385

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

32. El menor de 5 números consecutivos es “a”, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La media es a+2.

II. La mediana es igual a la media.

III. La moda es 1. A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo I y III. E) I, II y III.

33. Un curso tiene 40 alumnos y la distribución por edad y sexo se muestra en la siguiente tabla: Si se elige un(a) alumno(a) al azar de

este curso, se puede afirmar que:

I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es 40

18.

II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es 40

22

III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de

15 años es 40

24

Es(son) correcta(s):

A) Sólo I.

B) Sólo II. C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III. E) I, II y III.

34. Las estaturas de 8 alumnos seleccionados para representar a un

Colegio en un interescolar son las siguientes: (en cm) 170; 172; 173; 171; 170; 172; 173; 170. ¿Cuál es la mediana de estas estaturas?

A) 170,5 B) 171

C) 171,5 D) 172

E) 175

Hombres Mujeres Total

15 años 16

> 15 años 22

18

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 386

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

35. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica Pedro durante una semana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes

para que la media de estudio diario durante esa semana sea de dos

horas?

A) 0 B) 0,5

C) 1 D) 1,5

E) 2

36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para realizar un estudio acerca del tiempo en el cual permanecen

estacionados. Los resultados se ilustran en la siguiente tabla: ¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos?

A) [0, 1) B) [1, 2)

C) [2, 3) D) [3, 4)

E) [4, 5)

37. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2

Kg. Elige 30 bolsas al azar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de naranjas que contiene, obteniendo lo siguiente:

¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra?

A) 10,87

B) 11 C) 11,2

D) 11,5 E) 12

Tiempo

(en horas)

Frecuencia

[0,1) 14

[1,2) 10

[2,3) 6

[3,4) 3

[4,5) 1

Unds. Frecuencia

9 4

10 6

11 6

12 8

13 6

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 387

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

38. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres

cuartos medios de un establecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo

masculino. II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B.

III. La media de alumnos(as) por curso es 30.

A) Sólo I. B) Sólo II.

C) Sólo I y III. D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8 años, ¿cuál es la mediana?

A) 6 años B) 8 años

C) 10 años D) 14 años

E) Falta información

40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis

meses seguidos en una casa de cambio fue el siguiente: $510; $515; $512; $508; $508; $519.

¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos?

A) $512 y $508. B) $511 y $508

C) $511 y $519

D) $512 y $519 E) $512 y $508

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 E C B E B E E E B E A C B B D D B B B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C E D C E D C B C C C C E C C B C C B B

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 388

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

RECOPILACIÓN 5

1. ?365

214213212211210

A) 10 B) 5

C) 2 D) 1

E) 3

2. ?)4,0( 2

A) 4

5

B) 4

25

C) 25

4

D) 5

4

E) -5

4

3. Si a cuatro docenas se le restan dos unidades, ¿cuántas unidades

quedan?

A) 48 B) 46

C) 40 D) 38

E) 36

4. Un supermercado promociona: “Lleve 5 paquetes y pague sólo 4”.

Entonces la rebaja es de un:

A) 1% B) 5%

C) 20% D) 25%

E) 80%

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 389

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

5. En una cafetería se recarga en un 5% las cuentas canceladas después

de las 0 horas. Si a las 01 horas se canceló una cuenta de $ 2.100, ¿cuánto se habría cancelado antes de las 0 horas?

A) $ 1.890 B) $ 1.995

C) $ 2.000 D) $ 2.095

E) $ 2.205

6. Un labrador tiene pienso para alimentar a una vaca durante 18 días y si fuera una oveja tendría para 36 días. ¿Para cuánto tiempo tendría

pienso si tuviera 2 vacas y una oveja?

A) 18 días B) 12,5 días

C) 9,4 días

D) 7,2 días E) 5 días

7. La tabla adjunta muestra la cantidad de combustible que tiene el

estanque de un vehículo mientras recorre una distancia por la carretera. Si el vehículo inicia su recorrido en el kilómetro 0, entonces ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) E n el kilómetro 150, el estanque se encuentra en la mitad de su capacidad.

II) Desde el inicio del recorrido y hasta el kilómetro 200, el consumo

de combustible es a razón de 10 Km/lt. III) Después de recorrer 200 Km, el vehículo cargó combustible.

A) Sólo I

B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

Distancia recorrida (Km)

0 50 100 150 200 250

Cantidad de combustible (lts)

30 25 20 15 10 30

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 390

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

8. En la sucesión: 10, 20, 40, x, 160, y; ¿cuáles son los valores de x e y

respectivamente?

A) 60 y 240

B) 80 y 240 C) 60 y 320

D) 80 y 320 E) 60 y 260

9. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

I) 273

II) 82

III) 2

8

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) I y III E) I, II y III

10. −p − (q − p − (−q − p + r)) =?

A) −p − 2q + r B) −p − 2q − r

C) 2p − 2q + r D) 2p − r

E) −p − r

11. (x + y)2 − (x − y)2 =?

A) 0 B) 2y2

C) 2x2 + 2y2 D) 4xy

E) 4xy + 2y2

12. ¿Cuál de las siguientes alternativas es mayor si x = −2?

A) x2

B) −x3 C) x−1

D) −x−2 E) x

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 391

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

13. Piense en un número. Multiplíquelo por 2, réstele 4, súmele 5, divida el subtotal por 2, reste al cociente el número que pensó y este resultado

elévelo al cuadrado. ¿Qué número obtuvo?

A) 0

B) 1

C) 4

1

D) 2

1

E) Otro valor

14. ¿Cuál es el valor de m si 2m3

3m1

?

A) 3

1

B) 1

C) -3

1

D) -1 E) -2

15. Un lápiz cuesta $ x, una regla cuesta $ 2x y un sacapuntas cuesta

$ x + 2. ¿Cuántos pesos hay que pagar al comprar 2 lápices, una regla y 2 sacapuntas?

A) 4x + 2

B) 5x + 2

C) 5x + 4 D) 6x + 2

E) 6x + 4

16. Al preguntarle a Jorge por la edad de su hijo, contestó: “Si al doble de los años que tiene le quitan el triple de los que tenía hace 6 años se

tendrá su edad actual”. ¿Cómo se expresa algebraicamente este enunciado?

A) 2x − 3x − 6 = x

B) 2x − 3(x + 6) = x C) 2x − 3(x − 6) = x

D) x − 3(x − 6) = x E) 3x − 2(x − 6) = x

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 392

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

17. Sea la expresión p = x2 − 2. Si x aumenta en 2, entonces p

experimenta un aumento de:

A) 4x + 4

B) x2 + 4x + 4 C) 2x2 − 4

D) x2 + 4x +2 E) x2

18. El promedio entre dos números enteros consecutivos es 4,5. ¿Cuál

es el antecesor del menor de dichos números?

A) 3 B) 4

C) 5 D) 8

E) 9

19. ?(pq)

qp3

52

A) p−5q8

B) p−2q8 C) p−2q2

D) p−5q2 E) p q2

20. El producto entre el 15% de m y el 20% de p, dividido por el 300%

de q, da como resultado:

A) q

mp

B) %q

mp

C) 10q

mp

D) mpq

E) Otra expresión

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 393

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

21. Un chocolate se vende en barras de dos tipos A y B. si 6 barras A

cuestan $c y 9 barras B cuestan $d, ¿cuánto hay que pagar al comprar 2 barras A y 3 barras B?

A) $(6c + 9d) B) $(3c + 3d)

C) $(12c + 3d)

D) 6

dc$

E) 3

dc$

22. Con una cuerda de largo t se construye un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?

A) t

B) 3t

C) 3

t

D) 36

3t2

E) Faltan datos

23. El largo de un rectángulo mide 2x + 1 y su ancho mide x − 1.

¿Cuánto mide su perímetro si cada lado se aumenta en x unidades?

A) 3x B) 5x

C) 10x

D) 3x 2 E) 6x 2

24. Un padre preocupado, para motivar a su hija en el estudio de la

matemática, se compromete a darle $ 1.000 por cada problema que resuelva en forma correcta y, si está incorrecto, la hija le devolverá

$ 500 de su mesada. Después de resolver 50 problemas, la hija ganó $ 35.000. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente?

A) 35

B) 40 C) 45

D) 50 E) 60

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 394

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

25. La figura muestra la variación del IPC durante el los doce meses del

año 2.000. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que: I) La mayor variación se produjo en Marzo.

II) La mayor parte del año, la variación del IPC fue inferior al

0,5%. III) Entre Septiembre y Octubre no hubo variación del IPC.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II E) I, II y III

26. La solución del sistema 53 10xy es:

310y

x

A) 2

1

2

7

10y;10x

B) x = 10; y = 100

C) x = 0,1; y = 210

D) x = 310 ; y = 1

E) x = 210 ; y = 10

27. Sea P un punto de la curva f (x) = 5x − 3. Si la ordenada de P es el doble de su abscisa, entonces la distancia de este punto al origen del

sistema de coordenadas es:

A) 3

B) 3

C) 5

D) 5

E) Otro valor

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 395

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

28. Dada f (x) = 2x - x + 2, el valor de f (−1) + f (0) + f (1) es:

A) 0

B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

29. Si m es un número natural mayor que 2, ¿cuál es la relación

correcta entre las fracciones 2m

2cy

2m

2b,

m

2a

?

A) a > b > c

B) a > c > b C) b > a > c

D) b > c > a E) c > b > a

30.

221

1

2

1

A) 221

2

B) 5

2

C) 5

22

D) 12

23

E) 6

25

31.

3log

27log3log 24

A) 2

B) -2 C) 0

D) 3 E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 396

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

32. La expresión que corresponde al gráfico de la figura es:

A) (x −1)(x + 3) = y

B) (x + 1)(x − 3) = 0

C) (x + 1)(x − 3) = y D) (x − 1)(x + 4) = y

E) (x − 1)(x + 3) = 0

33. La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (1, 2) y es paralela a la recta de ecuación 2x + y − 5 = 0 es:

A) 2x + y + 4 = 0

B) –2x + y + 4 = 0 C) –2x + y − 4 = 0

D) 2x + y − 4 = 0

E) –x + y + 4 = 0

34. ¿Cuál es el menor valor de x que satisface la ecuación 7x

12x ?

A) -3

B) -4 C) 2

D) 3 E) 4

35. Un ahorro de $5.000 se duplica cada 4 meses. ¿Cuánto dinero se

tiene en total al cabo de 3 años?

A) 9000.5

B) 32000.5

C) 42000.5

D) 82000.5

E) 92000.5

1 3 x

y

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 397

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36. La figura representa un hexagono regular y DF , DByDA son tres

de sus diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) ΔBCDΔFED

II) ∡EDC ∡ FAB

III) DADF

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y III

E) II y III

37. Si dos circunferencias son concéntricas, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Sus radios son de igual longitud II) Sus perímetros son iguales

III) Sus centros son coincidentes A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III D) I y II

E) I, II y III

38. En el Δ ABC de la figura, ¿cuánto mide el ∡ x?

A) 30º B) 40º

D) 50º

D) 70º E) Faltan datos

39.7 triángulos equiláteros de lado igual a P cm se ubican

sucesivamente a 3 cm uno del otro, como lo indica la figura. ¿Cuánto

mide el trazo AB?

A) (P + 18) cm

B) (P + 21) cm C) (7P + 3) cm

D) (7P + 18) cm E) (7P + 21) cm

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 398

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

40. ¿Cuál de las siguientes transformaciones permite obtener el polígono

Q a partir del polígono P de la figura?

A) Rotación en 90º con respecto al origen

B) Rotación en 90º con respecto al punto (0, 1) C) Simetría con respecto al eje Y

D) Simetría con respecto al eje Y y rotación en 90º con respecto al punto (−1, 1)

E) Rotación en 180º con respecto al punto (0, 1)

41. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a una simetría de la figura con respecto al eje L?

A)

B)

C)

D)

E)

42. ¿En cuál de los siguientes gráficos la función f(x) es la reflexión de la

función g(x) con respecto al eje Y?

A) B) C)

D) E)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 399

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43. En la figura, las coordenadas del punto P son (−2, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La reflexión de P con respecto al eje X tiene coordenadas

(−2, −1). II) La traslación de P según el vector (1, 1) da como resultado el

punto (−3, 2). III) Al rotar P en −90º en torno al origen se obtiene el punto de

coordenadas (1, 2).

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) I y III

E) I, II y III

44. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)?

I) Δ ADE ~ Δ BDG II) Δ AFC ~ Δ EFG

III) Δ ADE ~ Δ BAC

A) Sólo III B) I y II

C) I y III D) II y III

E) I, II y III

45. En la figura, CF//BE//AD , AD2BE y AD3CF . ¿Cuál(es) de las

siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) Los triángulos OAD, OBE y OCF son semejantes.

II) AB2OA

III) OD3OF

A) Sólo I B) I y II

C) I y III D) II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 400

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46. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el

punto C en razón de 4: 3?

I)

II)

III)

A) Sólo II B) Sólo III

C) I y II D) I y III

E) I, II y III

47. Sandra mide 1,5 m y proyecta una sombra de 90 cm. ¿Cuál es la estatura de Luisa si proyecta una sombra de 60 cm?

A) 1 m B) 1,2 m

C) 1,5 m D) 3,6 m

E) 10 m

48. Si CD//AB , Entonces x =?

A) 6

B) 2

3

C) 3

2

D) 3

32

E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 401

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

49. Los vértices del Δ ABC de la figura están ubicados en las

coordenadas (1, 0, 0), (1, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente. ¿Cuál es su superficie?

A) 3

B) 2

C) 2

2

D) 2

3

E) 2

1

50. En la circunferencia de centro O de la figura, el ∡ OAB mide 50º.

¿Cuánto mide el ∡ ACB?

A) 80º

B) 65º C) 50º

D) 40º

E) Faltan datos

51. En la circunferencia de centro O de la figura,AB= 16. Si ODAD ,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)?

I) 34CD

II) 8CO

III) 38CB

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) I y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 402

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52. En el triángulo rectángulo de la figura, sen =?

A) 22 qp

p

B) 22 qp

q

C) q

p

D) p

q

E) Faltan datos

53. Una paloma posada en la punta de un árbol de 15 m de altura, observa una fuente de agua con un ángulo de depresión de 50a. ¿A

cuántos metros de distancia del árbol se encuentra la fuente?

A) tg40º

15

B) tg50º

15

C) sen50º

15

D) 15tg50º

E) 15cotg40º

54. Se desea pintar un balón esférico de 0,4 m de diámetro. ¿Cuál es el valor de la superficie a pintar?

A) 2m16,0

B) 2m64,0

C) 2m3

032,0

D) 2m3

0,256

E) 2m3

16,0

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 403

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

55. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una letra de la palabra

“UNIVERSIDAD” ésta sea una vocal?

A) 10

4

B) 10

5

C) 11

1

D) 11

4

E) 11

5

56. Una urna contiene 3 bolas rojas, 5 verdes y 2 amarillas. Al extraer

una bola de la urna, ¿cuál(es) de las siguientes opciones es(son) verdadera(s)?

I) Es más probable extraer una bola roja que una bola

amarilla.

II) La probabilidad de extraer una bola amarilla es 5

1.

III) La probabilidad de extraer una bola roja o amarilla es

igual a la probabilidad de extraer una bola verde.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 404

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

57. Una biblioteca cuenta con 100 libros distribuidos de la siguiente

manera:

Literatura Historia Matemática Biología Filosofía

Español 35 20 15 6 5

Inglés 10 5 2 2 0

Al escoger un libro al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que sea un libro en español es de un 81%. II) La probabilidad de que sea un libro de Historia es de un 25%.

III) La probabilidad de que sea un libro de Biología en Inglés es de un 25%.

A) Sólo I B) Sólo II

C) I y II D) II y III

E) I, II y III

58. El curso de Jorge hace una rifa con 50 números del 1 al 50 y un solo premio. Si Jorge compra todos los números cuyas cifras suman 7, ¿qué

probabilidad tiene de ganarse la rifa?

A) 10

1

B) 50

1

C) 50

4

D) 50

7

E) No se puede determinar

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 405

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

59. Una bolsa contiene fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la

probabilidad de que al escoger una ficha, ésta sea menor que 3 o mayor que 6?

A) 2

1

B) 5

3

C) 5

4

D) 5

2

E) 10

7

60. La media aritmética de los números 2,1; 2,3; 2,4; 2,1 y 2,6 es:

A) 2,1

B) 2,2 C) 2,3

D) 2,35

E) 2,4

61. La tabla adjunta muestra la distribución de edades de un grupo de personas. De acuerdo a la tabla, la moda y la mediana de las edades del

grupo son:

Moda mediana A) 5 5

B) 19 19

C) 19 20 D) 13 5

E) 5 13

Edad Frecuencia

18 11

19 13

20 5

21 6

22 1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 406

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

62. El gráfico de la figura representa la opinión de 300 personas

encuestadas sobre la margarina X.

Con la información contenida en el diagrama se puede concluir que:

I) La mitad de los encuestados ha probado la margarina X.

II) 20 encuestados prefieren la margarina X. III) El 50% de la población no consume margarina.

¿Cuál(es) de estas afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y II

E) II y III

63. Al lanzar un dado 30 veces, se obtuvieron los datos registrados en la

tabla adjunta. Si el promedio aritmético de los datos es 3,63 , ¿cuál es el

valor de x e y, respectivamente?

A) 3 y 9

B) 5 y 7 C) 6 y 6

D) 7 y 5 E) Ninguna de las anteriores

n f

1 x

2 4

3 3

4 5

5 6

6 y

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 407

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

64. Cinco personas compraron un computador en $ 300.000.

¿Qué cantidad de dinero aportó cada uno? (1) Dos personas pagaron la mitad del valor total.

(2) La persona que más aportó puso $ 100.000.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. Andrés es alumno de 4º año y es candidato a la presidencia de su

curso. ¿Qué probabilidad tiene de salir elegido? (1) El curso de Andrés está formado por 32 alumnos.

(2) Los candidatos son 5.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

66. Dos personas parten de un punto A. Una camina con pasos de largo

a hacia un punto B; y la otra, con pasos de largo b hacia un punto C. ¿Cuál es la distancia entre B y C?

(1) a = 70 cm y b = 50 cm

(2) ∡ CAB = 90º

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 408

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67. ¿Cuánto mide la superficie sombreada de la figura?

(1) ABCD cuadrado de lado 6 cm. (2) Δ DCE rectángulo en E, isósceles.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

68. x es un número entero si:

(1) x es un múltiplo de 4

(2) x es un múltiplo de 100

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

69. Se puede saber el volumen de un baúl de base rectangular si:

(1) Sus dimensiones están en la razón de 4: 3: 1 (2) La suma de todas sus aristas es 1.600 cm

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. ¿Cuál es la pendiente de la recta L1?

(1) L1 pasa por los puntos (1, 1) y (3, 2) (2) L1 es perpendicular a la recta y = 1 – 2x

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 409

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RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B B C C D D D B A D B C A E C A A D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 E A C B D A C D B D B C D D E C C A D A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C B D E C E A B C D E B B A E E C A B C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 B A C E B E C E C D

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 410

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RECOPILACIÓN 6

1. )23)(23()23( 2

0)E

8)D

234)C

346)B

834)A

2. 3)5,0(

8)E

6)D

2)C

2

1)B

8

1)A

3. Un tren viaja hacia un lugar distante a 101 km, con una velocidad de

20 h

km¿Cuánto le falta por recorrer después de una hora y media de

viaje?

A) 61 km B) 71 km

C) 91 km D) 30 km

E) Ninguno de los valores anteriores

4. Se ha estimado en un estudio que el crecimiento anual de una población es de un 10% de su tercera parte. Si la población actual tiene

3.000.000 de habitantes, entonces el número de habitantes estimado de crecimiento para el próximo año es de:

A) 100.000 habitantes

B) 200.000 habitantes C) 300.000 habitantes

D) 2.900.000 habitantes

E) 3.100.000 habitantes

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 411

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

5. Un químico dispone de dos soluciones de ácido sulfúrico, de

concentraciones 80% y 30%, respectivamente. ¿Cuántos litros de la segunda solución debe mezclar para obtener 100 litros con una

concentración del 36%?

A) 88

B) 34 C) 36

D) 24 E) 12

6. En un balneario hay un total de 4.800 camas para alojar turistas. En

marzo, por cada 8 camas solo hay una ocupada. ¿Cuántos turistas más podrían alojar en marzo?

A) 600

B) 3.800 C) 4.000

D) 4.200

E) 4.400

7. La siguiente tabla de valores representa la relación entre a altura x (en metros) y la presión atmosférica P (en centímetros de mercurio) que

ejerce sobre un globo

Altura (x) 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500

Presión atmosférica

80 75 70 65 60 55

Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) Si el globo alcanzara una altura de 3.000 m, su presión

atmosférica sería 50 cm de mercurio

II) Para x = 2.000, la presión atmosférica baja 15 cm de mercurio respecto a la altura cero.

III) La presión de la tabla está dada por P(x) = 80 – 0,01x

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 412

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8. En la secuencia: ,........,2

81,

2

27,

2

9,

2

3 el término n-ésimo es:

1n

n

1n

n

1n

2

3)E

2

3)D

2

3)C

2

3)B

2

3)A

9. )]zyx(x[x

zyx)E

zyx3)D

zyx2)C

zyx)B

zyx)A

10. 2)xa2(

22

22

22

22

22

a4ax4x)E

a4ax4x)D

a4ax2x)C

xax4a2)B

xa4)A

11. Si a = -2 y b = -1, entonces abba 23

A) – 10

B) – 8 C) 4

D) 6 E) 10

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 413

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

12. El recíproco de la suma de un número real m, distinto de cero, con

el doble de su opuesto, se expresa como:

1

1

1

1

)m2m()D

m2m)C

m2m)B

)m2m()A

E) Ninguna de las expresiones anteriores

13. Si 42

6x3

, entonces x =

17)E

3

8)D

3

14)C

11)B

3

2)A

14. Una costurera compró 5 metros de cinta roja en $a y 8 metros de cinta blanca en $ 1.000 más de lo que le costó la cinta roja. ¿Cómo se

expresa el valor, en pesos, de un metro de cinta roja más un metro de cinta blanca, en función de a?

000.1a

8

a

5)E

a000.1

8

a

5)D

000.18

a

5

a)C

8

a000.1

5

a)B

8

a000.1

5

a)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 414

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15. Siendo x un número real mayor que 3, ¿cuál es la relación correcta

entre las fracciones x1

1cy

x3

1b,

x2

1a

bac)E

cab)D

acb)C

bca)B

cba)A

16. dentro de 4 años Anita tendrá 12 años y Benito 3x años. ¿Cuál era

la suma de sus edades hace x años atrás?

A) (12 – x) años

B) (4 – x) años C) (x – 4) años

D) (x + 4) años E) (2x – 4) años

17. Rodrigo compró 3 camisas distintas en $ 9m. Si la primera le costó

$(m + n) y la segunda $ 6m, entonces ¿cuánto le costó la tercera camisa?

A) $(2m + n)

B) $ (2m – n) C) $ (7m + n)

D) $ (7m – n) E) $ (m – 2n)

18.

324

4612

yzx

zyx

188

223

2916

638

zyx)E

zyx)D

zyx)C

zyx)B

12)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 415

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19. El promedio de un número par positivo y su sucesor par es igual al

exceso del doble del número sobre 1. Entonces, el número par es:

A) no existe ese número

B) 0 C) 2

D) 4 E) 6

20. En una chocolatería se venden chocolates por unidad. Alicia y Teresa

compraron los mismos tipos de chocolates. El paquete de Alicia contenía una docena y media de chocolates y le costo $ (x + 2). ¿Cuánto pagó

Teresa por su paquete si este contenía solo una docena de chocolates?

3

4x2$)E

)2x(2$)D

3

2x$)C

2

6x3$)B

)2x(3$)A

21. En un local de frutas y verduras se venden naranjas y manzanas por

unidades. Si se compran 10 naranjas en $ (p + q) y 20 manzanas en $ (2p – q), entonces ¿cuál es el valor, en pesos, de una manzana más

una naranja?

p3)E

4

p)D

5

p)C

20

q

5

p)B

20

qp4)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 416

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22. Con un alambre de longitud x se forma un triángulo equilátero, ¿cuál

es la medida de su área?

36

3x)E

12

3x)D

6

3x)C

4

3x)B

2

3x)A

2

2

2

2

2

23. Si la base de un triángulo es 4

x5 y su altura es el doble de la base,

¿cuánto mide su área?

2

2

2

2

8

x5)E

32

x25)D

16

x25)C

16

x50)B

2

x15)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 417

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

24. Si r es un número racional, ¿cuál(es) de los siguientes números

es(son) siempre racional(es)?

r2

r2)III

)r2)(r2()II

)r2()I 2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III D) I, II y III

E) Ninguno de ellos

25.

33

2

33

4

3

39)E

)39(2)D

33)C

3

93)B

)183(3

1)A

26. la figura muestra el consumo de agua de una familia, en todos los meses del año pasado. De acuerdo al gráfico se puede afirmar que:

I) La mayor variación en el consumo se produjo entre marzo y mayo

II) Solo entre los meses de enero y marzo no hubo variaciones de consumo

III) El menor consumo se produjo en mayo Es (son) verdadera(s):

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) Solo I y II E) Ninguna de ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 418

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27. Juan compró 5 plátanos, 8 manzanas, 6 naranjas y 10 ciruelas; lo

plátanos cuestan $ 120 cada uno, cada manzana cuesta la tercera parte de un plátano, cada una de las naranjas cuesta el doble del precio de

cada ciruela y esta última cuesta la décima parte de un plátano. ¿Cuánto

gastó Juan en toda su compra?

A) $ 1.112 B) $ 1.204

C) $ 1.184 D) $ 1.024

E) $ 1.256

28. En el sistema de ejes coordenados se ubican los puntos A(3,1), B(0,4), C(-2,4) y D(1,1). Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ABCD es un paralelogramo

II) El trazo BD es paralelo al eje y

III) (1,2) es un punto del trazo AD

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II, III

29. Si 125,0)5,0(4 x , entonces x =

A) -5

B) -2

3

C) -1

D) 2

3

E) 5

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 419

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30. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

2

1xentonces,38logSi)III

27

1xentonces,3xlog2Si)II

3125

1log)I

x

3

5

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Todas ellas E) Ninguna de ellas

31. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función

?2)1x()x(f 2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 420

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32. se crea una nueva flota de buses al sur de Chile. Desde la capital le

proponen las siguientes tarifas según la distancia recorrida:

Distancia (km) Precio ($)

0 – 100

101 – 300 301 – 600

2.000

3.600 4.800

Además, se agrega un valor fijo de $ 1.000 y si el kilometraje no

corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Qué gráfica representa la forma de cobro que tendrá esta nueva flota

de buses?

33. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La pendiente de la recta L es igual a 1

II) El punto (3,-3) pertenece a la recta L III) La ecuación de la recta L es y + x = -3

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo I y III

)A )B )C

)D )E

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 421

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34. El tercer término del trinomio cuadrado perfecto 3x9 2 es:

2

2

2

x4

1)E

x2

1)D

x2

1)C

x2)B

x)A

35. Si el número de bacterias en un litro de leche se duplica en 4 horas y suponiendo que la tasa de multiplicación es constante, entonces ¿en

cuánto tiempo se hará 32 veces mayor?

A) En 12 horas B) En 16 horas

C) En 20 horas D) En 24 horas

E) En 32 horas

36. En la figura, CD//AByBGAF,BEAE . ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

isóscelestrapeciounesFGDCrocuadriláteEl)III

BCFADG)II

isóscelesesCDEEl)I

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) Todas ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 422

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37. Si dos cuadrados son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus lados son de igual longitud

II) Sus áreas tienen igual medida

III) Los puntos de intersección de sus diagonales son coincidentes

A) Solo III

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II, III

38. En el triángulo ACD de la figura, DCBD . Entonces, el ∡ ADB en

función de α es:

º125)E

º150)D

º70)C

º55)B

º55)A

39. En la figura, ¿cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 triángulos equiláteros congruentes cuyas alturas miden 3 cm?

cm36)E

cm324)D

cm24)C

cm316)B

cm16)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 423

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40. En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones permite

obtener el polígono P a partir del polígono Q?

A) Rotación en 180º con respecto al origen

B) Simetría con respecto al eje y C) Simetría con respecto al eje y, y una rotación en 180º con respecto

al origen D) Simetría con respecto al eje x, y una traslación

E) Ninguna de las anteriores

41. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión)

de la figura respecto a la recta L?

)A )B )C

)D )E

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 424

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42. El gráfico g(x) se obtiene por reflexión del gráfico de función f(x)

respecto del origen. ¿Cuál de las siguientes opciones representa esta situación?

43. En la figura, las coordenadas de P son (3,1), ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) Al rotar P en torno al origen en 90º, y en sentido antihorario, se obtiene el punto (-1,3)

II) El simétrico de P respecto al origen es el punto (-3, -1) III) Al trasladar P dos unidades hacia abajo y luego se busca su

simétrico respecto al eje x se obtiene el mismo punto P.

A) Solo I y II B) Solo I y III

C) Solo II y III D) I, II, III

E) Ninguna de ellas

44. En la figura, el triángulo ABC es isósceles de base AB . ¿cuál(es) de

las siguientes semejanzas es(son) verdadera(s)?

ADB)I ∼ BEA

II) ADC ∼ BEC

III) AFE ∼ BFD

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II, III

A B C

D E

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 425

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45. En la figura CD//AB . Si CDmide el doble de AB , ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)

2

1

OC

OA

BD

OD)III

semejantessonOCDyOABtriángulosLos)II

4

1

OCDÁrea

OABÁrea)I

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

46. En una población la razón entre el número de mujeres (M) y

hombres (H) es 2: 1 y entre mujeres y niños (N) es 2: 3, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) H: M: N = 1: 2: 3

II) H: N = 2: 6

III) H + M = N A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 426

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47. En el triángulo ABC de la figura,

7ABy15AC,7DASi.AB//DE , entonces ¿en cuál de las

opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de

x?

15

x

8

7)D

8

x

7

15)C

x15

8)B

8

x

15

7)A

E) Ninguna de las anteriores

48. Dos edificios en un momento proyectan una sombra, como se muestra en la figura. Un edificio mide 72 m de alto y el otro 24 m y

ambos tienen 20 m de ancho. Si están separados por una distancia de 40 m, ¿cuánto mide la sombra formada por x + y?

A) 10 m

B) 20 m C) 30 m

D) 40 m E) 50 m

49. En la figura, los vértices ubicados en las coordenadas A(4,0,0),

B(4,4,0), C(0,4,0) y D(0,0,0) corresponden a un cuadrado. Si ubicamos

el punto E(2,2,4) y lo unimos a los vértices del cuadrado, se forma una pirámide de base cuadrada, su área total y su volumen miden:

3

64y516)E

64y)1658()D

3

64y)1658()C

3

64y)16516()B

64y)16516()A

x y

x

y

z

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 427

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50. En la circunferencia de centro O, de la figura, ∡ CBA = 36º. ¿Cuál

es la medida del ángulo CAB

A) 144º

B) 108º C) 72º

D) 54º E) 36º

51. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro. Si

cm2NBONMOAM , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades

es(son) verdadera(s)?

cm24CB)III

cm52CM)II

cm4CO)I

A) Solo I B) Solo III

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

52. Con los datos de la figura, la expresión cossen

m1

m2)E

m)D

m1

m2)C

m1

m2)B

m1

1m)A

2

2

2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 428

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53. En la figura se muestran las torres P y Q separadas a una distancia

de 60 metros. Si se observan desde las bases contrarias, sus puntos más altos con ángulos de elevación de 45º y 30º, la diferencia entre sus

alturas es:

m)13(60)E

m)13(60)D

m)33(20)C

m340)B

m40)A

54. La figura está formada por el rectángulo ABCE y el triángulo

rectángulo ECD. Si cm12CD2AB4BC , entonces ¿cuál es el

volumen que se genera al hacer girar el cuadrilátero ABDE sobre un eje

que pasa por BD

3

3

3

3

3

cm162)E

cm126)D

cm)39117()C

cm90)B

cm54)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 429

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55. Se tienen 3 dados distintos de aristas de igual longitud, uno de 6

caras, otro de 8 caras y otro de 12 caras (sus respectivos nombres son: cubo, octaedro y dodecaedro). Sus caras están numeradas

correlativamente en cada uno de ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener un número par al lanzar un octaedro y un dodecaedro es la misma en ambos dados

II) La probabilidad de obtener un número primo en un dodecaedro es igual a la del cubo.

III) Obtener un divisor de seis al lanzar un cubo es igualmente probable que obtener un divisor de ocho al lanzar un octaedro

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D)Solo I y II E) Solo II y III

56. En un colegio, de los 120 alumnos de los tres primeros medios,

6

1habla inglés,

3

1alemán y

12

1ambos idiomas, con excepción del

castellano que lo hablan todos. Entonces ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable solo un idioma, además del castellano?

12

7)E

12

5)D

4

1)C

3

1)B

12

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 430

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57. La multicancha de un colegio se usa después de las 1900 hrs, solo

para apoderados repartidos por deporte de la siguiente forma:

Baby fútbol

Básquetbol Voleibol Tenis

Nº de hombres 24 20 18 14

Nº de mujeres 12 26 18 22

Al elegir un apoderado al azar y sabiendo que cada uno de ellos

participa en un solo deporte, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) la probabilidad de que sea hombre es 154

76

II) La probabilidad de que juegue Básquetbol es 154

36

III) la probabilidad de que sea mujer y juegue tenis es 36

22

A)Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

58. Una caja contiene 9 fichas idénticas. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra SERPIENTE. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)

I) La probabilidad de sacar una E es 3

1

II) La probabilidad de no sacar una consonante es 9

4

III) La probabilidad de sacar una vocal o una consonante es 81

20

A) Solo I B) Solo III

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II, III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 431

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59. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea el

numero 5 ó un número impar?

3

2)E

2

1)D

3

1)C

4

1)B

6

1)A

60. la tabla adjunta corresponde a las frecuencias de las notas de matemática de un curso de 45 alumnos. Entonces, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La mediana es 5

II) La moda es 6 III) La media aritmética es menor que la mediana

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III E) I, II y III

61. Se tienen los números 3, 5, 8, 10 y x, cuyo promedio es 15. De acuerdo a esta información, ¿cuál es el valor de x?

A) 49

B) 30 C) 26

D) 19 E) 10

Notas Frecuencia

1 1

2 4

3 5

4 6

5 9

6 12

7 8

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 432

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62. En los gráficos estadísticos se pueden inferir variables cualitativas.

En éste se representan los resultados de una prueba de matemática de un curso de 30 alumnos. ¿Cuál(es) de estas variables podría representar

este gráfico?

I) la prueba demostró que los alumnos habían aprendido todos los objetivos propuestos

II) Se propuso que el 80% de los alumnos conocieran a lo menos el 75% de los objetivos. Esto se cumplió

III) Este un curso de buena disposición para la asignatura

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y II

E) Solo II y III

63. La siguiente tabla muestra el número de medallas ganadas por un grupo de 100 deportistas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) FALSA(S)? I) Hay 20 deportistas que ganaron lo más dos medallas

II) La mediana es 3,5 III) El 35% de los deportistas obtuvieron no menos de 5

medallas.

A) Solo I B)Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

Número de medallas

Frecuencia

0 8

1 12

2 9

3 21

4 15

5 18

6 17

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 433

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64. En una parcela hay 480 árboles. Se puede determinar qué

porcentaje de estos árboles son duraznos si: (1) El 20% de estos árboles son damascos

(2) El 55% de los árboles son frutales

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. Se puede determinar la razón entre los números positivos x y z si se

sabe que: (1) x = 3m + z

(2) m = z

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

66. El perímetro de un rectángulo es de 80 cm. Se puede determinar el

ancho del rectángulo si: (1) El largo es de 30 cm

(2) La razón entre el largo y ancho, respectivamente, es de 3: 1

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

67. Se puede determinar que a es un número negativo si se sabe que:

(1) 0a es 1

(2) 2

a no es positivo

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 434

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68. Se puede determinar qué edad tendrá Luis cuando su hermano Juan

cumpla 16 años si se sabe que: (1) En tres años más Juan cumplirá 18 años

(2) Hace siete años Luis tenía 6 años

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

69. Se puede saber qué porcentaje es la región achurada del cuadrado

ABCD de la figura si:

(1) E es punto medio de AD//FGyDB

(2) GBFC

A) (1) por sí sola B) (2) Por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

70. En el triángulo ABC de la figura, DBAD . Se puede afirmar que el

triángulo ADC es congruente al triángulo BDC si:

(1) BCAC

(2) ∡ ADC = 90º

A) (1) por sí sola

B) (2) Por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 435

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RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A E B A A D C B A D A D C B D D B B C E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B E C B E A C A E D E B C E C E B E B A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D E C E A C B D E B C D A B A C D E

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 A C A E C D C C A D

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 436

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RECOPILACIÓN 7

1. El valor numérico de la expresión 110

2

18,0

4

3

es:

A) 7

2

B) 7

200

C) 3,5 D) 0,2

E) 0,035

2. Si n + 2 representa el mayor de una secuencia de tres números naturales consecutivos mayores que cero, entonces, el cuadrado de la

suma de los dos menores es:

A) (n + 2)2 B) (n + 1)2 + 1

C) n2 + n D) 2n2 + 2n + 1

E) 4n2 + 4n + 1

3. El valor numérico de la expresión 2

32

105

105105,2

es:

A) 5

2

B) 5

4

C) 4105

D) 2104

E) 3105,2

4. El gráfico de la figura muestra la recta de variación de x e y. Con los

valores dados, para que y = 24, el valor de x debe ser:

A) 128

B) 80 C) 20,8

D) 7,5 E) 0,13

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 437

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5. Si x es un número real, entonces la expresión 2x5 es un número

real:

A) Para todo valor de x que pertenezca a los Reales

B) Para todo x real menor o igual a 5

C) Sólo para valores reales de x menores que 5

D) Para todo x real distinto de 5

E) Sólo para valores de x reales mayores que 5

6. La expresión:

5,02

7

4,58,08,0

tiene un valor numérico de:

A) 1,3

B) 1,17

C) -10

13

D) 4

3

E) 0

7. Si x = 4

7, y =

5,2

5,4 y z = 1,32, entonces, al ordenarlos en forma

creciente quedan:

A) z, x, y B) z, y, x

C) x, y, z D) x, z, y

E) y, x, z

8. Una microempresa fabrica cierto tipo de embutido, con carne de vacuno, cerdo, grasa y aliños en la razón 5: 4: 2: 1. Si se ha de fabricar

una partida de 114 Kg de embutido, necesitarán de carne de cerdo:

A) 9,5 Kg

B) 19 Kg C) 28,5 Kg

D) 38 Kg E) 48 Kg

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 438

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

9. Si un número x es aumentado en un 8% resulta 810. ¿Cuál será el

valor de ese número, disminuido en un 8%?

A) 596

B) 686 C) 810

D) 750 E) 690

10. Se sabe que Q crece en forma directamente proporcional al cuadrado de R, e inversamente proporcional a x, con constante de

proporcionalidad 0,8. Cuando R = 15 ¿Cuál debe ser el valor de x para que Q = 5?

A) 0,028

B) 36 C) 7,2

D) 5,76

E) 900

11. La tía Anita le compró a uno de sus nietos un triciclo que le costó $30.464, incluyendo un 19% de impuesto. ¿Cuál es el monto del

impuesto pagado por ella en esta compra?

A) $2.560 B) $5.788

C) $5.184 D) $4.864

E) $1.603

12. ¿Cuál de los siguientes valores se acerca más a y = 3x2 – 3,5x – 1

cuando x = -3

2?

A) –5

9

B) 2,5

C) 5

13

D) 3

E) –2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 439

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

13. Cierta magnitud V varía según la relación: V =2t

m1,5 , con m y t

mayores que cero. Si t aumenta al doble, entonces el valor de V:

A) Se hace 4 veces mayor

B) Se duplica

C) Queda igual D) Disminuye en un 50%

E) Disminuye al 25%

14. La expresión: p2 + p – 20 es divisible por:

A) p – 4 B) p + 4

C) p – 5 D) 5 – p

E) -4 – p

15. Un notario público debe repartir una herencia de 4k2 + 17k – 15

hectáreas de terreno entre k + 5 herederos. Cada uno recibe, en

hectáreas de terreno:

A) k – 3 B) 4k – 3

C) k + 3 D) 4k + 3

E) (2k – 4)2

16. 12122xx

665xx2

2

A) 11x

6x

B) 11x

6x

C) 11x

6x

D) x + 6

E) 17x + 55

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 440

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

17. La diagonal de un cuadrado de lado (t – 1) es:

A) (t – 1)(t + 1)

B) 1t2

C) 2t

D) 12t

E) 22t

18. Si u = -4, entonces 22 1u10u2

1

=

A) 7

B) -1 C) -5

D) -11

E) -15

19. En la figura, las coordenadas del punto P son:

A) (-4, 5) B) (-4, -5)

C) (4, 5) D) (5, 4)

E) No se puede determinar

20. Si x = -2 e y = 3, entonces:

1

x

y

y

x

=

A) -13

6

B) 5

6

C) – 6

D) 2

1

E) -6

5

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 441

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

21. Un rectángulo tiene (xy – 2x + y – 2) cm2 de área. Si uno de sus

lados mide (x + 1) cm, entonces el otro lado mide:

A) y + 1

B) y – 1 C) y + 2

D) y – 2 E) 2y – 1

22. Si u = 0,8 y v = 0,02, entonces:

u

v

1

A) 550

B) 8,050

C) 40

D) 5 500.2

E) 5

2

50

1

23. ( + 5) ( - 5) – ( - 3)2 =

A) 2(2 + 3 - 17)

B) 2(2 + 3 - 8)

C) 2(3 - 17)

D) 2(3 - 8)

E) –16

24. Si p 0, entonces: p

qp

4

1 2

A) 4p

2q)2q)(p(p

B) p

2q)2q)(p(p

C) 4

4qp 22

D) 4p

2q)(p 2

E) p

4qp

22

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 442

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

25. Si y = 20 (1 – 2-x), el valor de y cuando x = 3 es:

A) –140

B) 17,5

C) 24,5 D) 180

E) 6

100

26. La concentración de CO2 en la atmósfera a partir del año 1960

puede ser modelada por la función C = 315 + 0,8t + 0,02t2, en donde C es la concentración de CO2 en ppm (partes por millón) y t son los años

transcurridos a partir de 1960 (año cero). Sobre la base de esta

propuesta, podemos afirmar que entre 1970 y 1980 la concentración de CO2 en la atmósfera:

A) Disminuyó a 325 ppm

B) Aumentó en más de 300 ppm C) Aumento en 14 ppm

D) Aumentó en 10 ppm E) Aumentó en menos de 5 ppm

27. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es una recta perpendicular a la

recta y + 4x = 5?

A) y = 4x – 5

B) y = -5

1 x + 2

C) y = 5

1 – 4x

D) y = -4

1 x + 2

E) y = 4

1x

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 443

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

28. Ciertos biólogos marinos han propuesto que el peso P, en gramos,

de una variedad de pez es función lineal de su longitud L, en centímetros. De acuerdo a los datos del esquema gráfico de la figura, la

función es:

A) P = 20 L + 400

B) P = 25 L + 12,5 C) P = 12,5 L + 25

D) P = 12,5 L + 40 E) P = 12,5 L – 25

29. Cierta variable N es función de x, de modo que: log N = 1 + x21

1

.

¿Cuál es el valor de x para N = 1.000?

A) –2

B) –2

1

C) 2

D) 2

1

E) 1

30. Considere en la figura, la gráfica de una función f(x). De acuerdo a esta:

I) f(x) es decreciente en todo el dominio de la función. II) Si 0 < x < r ⇒ f(x + 1) > f(x)

III) f(r) – f(0) = b Es (son) correcta(s):

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 444

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

31. En la función f(x) = x2 – 5, el valor de f(x + 1) – f(-5) es:

A) x2 + 2x – 24

B) x2 + 2x + 16

C) x2 + 2x + 6 D) x2 + 12x + 31

E) x2 + 1

32. El valor numérico de la expresión: 8

43

es igual a:

A) 7 62

B) 6 72

C) 6

1

2

1

D) 2

5

2

E) 12

33. El cociente:

2

1

84 x1x =

A) x52

B) 5x4

C) x34

D) 3x412x 22

E) 3x22x 22

34. Si P, Q y R son todas cantidades positivas, entonces, cuando P =

2 , 3Q2 y R = 8 , el valor de Q

RP es:

A) 3

10

B) 33

C) 63

D) 63

1

E) 6

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 445

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

35. El valor de x en la ecuación 16 82x2

A) {2, -2}

B) 7,7

C) 23,23

D)

22

1,2

2

1

E)

22

3,2

2

3

36. En la ecuación 1 – 2 log P = 2, el valor de P es:

A) 100

1

B) -2

C) - 10

D) 2

1

10

E) 10

37. En un cuadrado mágico, la suma de columna, de filas y de

diagonales es una constante. En el cuadrado mágico de la figura, el valor de x + y es:

A) 12

B) 9 C) 7

D) 6

E) 5

38. Considerando que 324 u1 , el valor de u2 es:

A) 8

B) 8

1

C) 64

1

D) 24

E) 8

1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 446

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

39. Una mamá desea construir una pequeña mesa para que su hijo pueda hacer sus tareas escolares, para lo cual requiere sólo madera y

clavos. Ella estima que gastará, en total, más de $3.000 y que en clavos

gastará menos de $500. Si x = gasto en madera e y = gasto en clavos, entonces:

I) x + y > 3.000

II) x – y < 0 III) y < 500

Es (son) correcta(s):

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo II y III D) Sólo I y III

E) I, II y III

40. Si x1

3

x

5

, entonces el valor de

x

1 es:

A) 8

5

B) 5

2

C) -5

2

D) 2,5 E) -0,625

41. En la figura, el conjunto representado en la recta sombreada es:

A) –2 ≤ x < 3

B) –2 < x < 4 C) 3 > x < -2

D) 3 < x ≥ -2 E) –2 < x ≤ 3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 447

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

42. Una fábrica de muebles produjo esta semana 40 sillas más que la

semana pasada. Entre ambas semanas la cantidad producida es 232

sillas más que los 5

2 producidas la semana pasada. ¿Cuántas sillas

produjo esta semana?

A) 120

B) 115 C) 170

D) 280 E) 160

43. En la figura, ABCD: rombo. E, F, G, y H: puntos medios de los respectivos lados: Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones

es(son) verdadera(s)? I: ∡HGC = ∡AEF

II: ∡DHE + ∡CHG=90°

III: ∡BFG =2

1∡DAB

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

44. Si los vértices de la figura 8 tienen coordenadas A(2, 3); B(5, 6) y C(3, 7), para que las coordenadas del punto B sean (-1, 6) se debe

aplicar: I) Una rotación de 270°, en sentido horario con centro en A.

II) Una reflexión con respecto al eje X = 2.

III) Una traslación de vector (-6, 6). Es(son) verdadera(s):

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 448

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

45. En la figura, AEFG: Trapecio isósceles el triángulo CDH es equilátero,

los triángulos ACG y DEF son isósceles congruentes además BCAB y

CD2AC . Si GB=16 cm y GF= 36 cm ¿cuál es el perímetro de la figura

achurada?

A) 196 cm

B) 90 cm C) 212 cm

D) 98 cm

E) 160 cm

46. La figura, muestra una circunferencia de centro O y

diámetro = 20 cm. Si ACOB , OB5

3OD , entonces AC=

A) 8 cm

B) 16 cm C) 32 cm

D) 10 cm E) 12 cm

47. En la circunferencia de centro O, de la figura, DC : tangente a la

circunferencia en D. Si ∡ACD = 34° y ∡OAB = 20°, entonces el valor del

∡ADC =

A) 90°

B) 108° C) 110°

D) 112° E) 146°

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 449

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

48. En la figura, las circunferencias de centros O y O' son tangentes en

el punto Q, con O perteneciente a la circunferencia menor. Si el ∡PQR = 60° y el radio de la circunferencia mayor es de 12, ¿Cuál es el

área de la figura achurada?

A) 24

B) 12 − 6 3

C) 3 (6 − 9 3 )

D) 6 − 9 3

E) 18

49. En la figura, ABCD: trapecio, EF: mediana. Si el área del triángulo

CHB = 12 cm2, HB= 3 cm, DC=2

5 HC y EF= 24 cm ¿cuál es el área del

triángulo AGD?

A) 10 cm2

B) 18 cm2 C) 12 cm2

D) 20 cm2 E) 11,25 cm2

50. En la figura, la imagen reflexiva del punto C, con respecto al eje de

simetría y = 3, es el punto:

A) (2, 2) B) (5, 4)

C) (4, 5) D) (1, 2)

E) (2, 1)

51. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la estrella de la figura, si al realizar una traslación de vector (-2, 3), el centro de la estrella queda

en el punto (3, 2)?

A) (5, -1) B) (-1, 5)

C) (1, 5) D) (5, 5)

E) (1, -5)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 450

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

52. La figura, muestra el hexágono regular ABCDEF, en donde AC , FB y

FC son diagonales. Entonces el ∡x =?

A) 30°

B) 60° C) 45°

D) 120° E) 90°

53. En la figura, FC//GB,FD//GC//AB , FD= 8 y AB= 18. Entonces GC =

A) 13 B) 10

C) 11 D) 12

E) 15

54. En el triángulo rectángulo de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones entre lados es(son) falsa(s)?

I) a

dsen

II) d

btgβ

III) a

e

b

c

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

55. En el triángulo rectángulo de la figura, 3

3tg

2

1sen y ,

entonces senβ

A) 32

B) 3

1

C) 3

2

D) 3

E) 2

3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 451

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

56. Un topógrafo con su instrumento visa la cima de una antena de 25

m de alto, con un ángulo de inclinación de 45°, siendo la altura del instrumento de 1,5 m (ver figura). ¿A qué distancia se ubica el

topógrafo de la antena?

A) 23,5 m

B) 14 m C) 30m

D) 25 m E) 26,5 m

57. ¿Qué altura debe alcanzar un globo para poder ser divisado a 120 m de distancia, si el coseno del ángulo de declinación es de 0,8?

A) 120 m

B) 96 m C) 900 m

D) 130 m

E) 90 m

58. En una obra de construcción, los maestros y ayudantes están en la razón 2: 3. Los maestros ganan $4.000 por hora de trabajo y los

ayudantes $1.500 por hora. El valor promedio de hora de trabajo entre maestros y ayudantes es, en esta obra:

A) $2.750

B) $3.000 C) $2.500

D) $2.250 E) $2.650

59. Según el pronóstico del tiempo dado por la TV, para mañana hay una probabilidad del 30% de que llueva y una probabilidad del 45% de

que haga frío. Si ambos fenómenos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que mañana llueva, pero que no haga frío?

A) 85%

B) 55% C) 16,5%

D) 15% E) 13,5%

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 452

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

60. El gráfico de la figura muestra el número de hijos por familia en la

IX región. Según esta gráfica, en esta población:

I) El 80% de las familias tiene hijos.

II) El promedio de hijos por familia es 3. III) Entre las familias con hijos, más del 60% tiene 1 ó 2 hijos.

Es(son) correctamente inferible(s) de la información gráfica:

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo II y III

D) Sólo I y III E) I, II y III

61. Un niño tiene una alcancía sólo con monedas de $10, de $50 y de

$100. La probabilidad de extraer una moneda de $10 es 20

7, mientras

que la de extraer una de $100 es 5

2. ¿Cuál es la probabilidad de extraer

una moneda de $50?

A) 50

7

B) 25

16

C) 5

3

D) 4

1

E) 5

1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 453

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

62. En una crianza de cerdos, de un total de n cerditos recién nacidos m son machos. Entonces, la probabilidad de nacimiento de una hembra en

esta crianza es:

A) n

m1

B) n

m1

C) n

mn

D) mn

mn

E) m

n1

63. En cierta ciudad se ha verificado lo siguiente:

• Llueve 1 de cada 5 días, • Cuando llueve, 7 de cada 10 personas llevan paraguas,

• Cuando no llueve, 1 de cada 8 personas llevan paraguas. Si esto es así, ¿Cuál es la probabilidad de que en esta ciudad una

persona ande sin paraguas?

A) 25

19

B) 50

3

C) 20

17

D) 10

7

E) 9

5

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 454

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

64. Un comerciante compró para vender, sandías y melones, vendiendo

toda la partida a $400 cada melón y $860 cada sandía. ¿Cuánto obtuvo de utilidad en este negocio?

(1) Compró un total de 120 unidades, entre sandías y melones.

(2) El número de sandías representa el 50% respecto de la cantidad de melones.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

65. Se puede determinar el valor numérico de a + b si:

(1) a : b = 0,75 (2) b – a = 8

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

66. Es posible conocer el valor de

si:

(1) La suma de + β = 63

(2) representa el 80% respecto de β

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

67. La figura muestra el cuadrado ABCD, si QCPQAP , se puede

determinar el área del cuadrado si:

(1) PC= 6 2

(2) BQ = 6

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 455

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

68. La figura, muestra una circunferencia con centro en O.

Si ∡PTQ = 55°, se puede determinar el ∡ROS si:

(1) ∡POQ = 50°

(2) ∡PTS = 125°

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

69. ¿Cuál es el volumen generado por la rotación de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados?

(1) El rectángulo rota 180º.

(2) Las medidas del rectángulo son 10 x 3 cm. A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. En una tómbola hay sólo bolas rojas y blancas, indistinguibles entre sí, salvo por el color. Es posible determinar la cantidad de bolas blancas

si: (1) La probabilidad de extraer al azar una bola roja en una

primera extracción es 5

2.

(2) En la tómbola hay un total de 15 bolas.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 456

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C E A D B A A D E B D C E A B B E D C B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D C A B C E C E B A B D E A D B E D C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A C E C A B B C D E A B D B E A E C C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 D A A E C B D A E C

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 457

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

FACSIMIL 1 TIEMPO: 2HORAS 25 MINUTOS

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD

1.

002,0018,0

05,0002,0

ValorOtro)E

16

30)D

3)C

3,0)B

16

3)A

2. Dados los decimales 0,15; 0,149; 0,2; 0,1437; 0,07; al sumar el

menor con el mayor se obtiene:

A) 0,2137 B) 0,27

C) 0,2927 D) 0,299

E) 0,7127

3. Si los 5 primeros términos de una secuencia son:

,........10

7,

8

6,

6

5,

4

4,

2

3¿cuál es el término que ocupa la posición

n-esima?

n2

2n)E

2n

n2)D

n2

n)C

2n

1n)B

n

n3)A

2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 458

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

4. La distancia de la Tierra a la Luna es de 386.000 Km. Ésta es, aproximadamente, cinco milésimas de la distancia de la Tierra a Marte.

¿Cuál es la distancia aproximada de la Tierra a Marte?

A) 1, 93 x 102 Km

B) 1, 93 x 105 Km C) 772.000 Km

D) 77,2 · 10−2 Km E) 77,2 · 106 Km

5. El valor de (0,25−2 − 5)2 es:

A) 9 B) 22

C) 50 D) 81

E) 121

6. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60

hombres. En la primera etapa se ocupa la cuarta parte de los hombres y

en la segunda los 3

2 del resto. ¿Cuántos hombres trabajan en la tercera

etapa?

A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa. B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa.

C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa. D) Un tercio del total.

E) La mitad del total.

7. Los 11

9de 33 es igual a

10

1 de:

A) 0,27

B) 2,7 C) 27

D) 270 E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 459

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre

es posible afirmar que: I) a2 + b2 es un número real positivo

II) (a + b)2 es un número real positivo

III) (a + b)(a − b) es un número real positivo A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II E) I y III

9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la

edad de Marcela. El promedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué edad tiene Raúl?

A) 36 años

B) 24 años C) 18 años

D) 12 años

E) 9 años

10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta $ 30.000 más que A. Además, verifica que si a B se le descuenta el

10%, ambas quedarán con el mismo valor. ¿Cuál será el valor de la mercancía B?

A) $ 300.000

B) $ 270.000 C) $ 99.000

D) $ 33.333 E) $ 30.000

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 460

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

11. En un cierto colegio, la razón entre profesores y alumnos es 1: 9. Si

3

2 de los alumnos son mujeres y

4

3 de los profesores son hombres, ¿qué

fracción del alumnado y profesores son mujeres?

A) 11

12

B) 11

24

C) 5

8

D) 25

56

E) No se puede determinar

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES

12. Si 89xy – 99 = 98xy, entonces xy =?

A) –11

B) –9 C) 9

D) 11 E) 89

13. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume

en partes iguales por el total de los b alumnos del curso, pero a última hora desistieron del viaje c alumnos. ¿Cuál es el valor de la nueva cuota

que deben cancelar los que realizan el viaje?

A) a

B) a (b − c)

C) cb

a

D) cb

a

E) cb

a

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 461

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

14. Con el 70% del perímetro de un cuadrado se construye un triángulo

equilátero de 14 cm de lado. ¿Cuál es el área del cuadrado?

A) 25 cm2

B) 100 cm2 C) 225 cm2

D) 360 cm2 E) 400 cm2

15. En la expresión: xk − 2 = 3x, ¿para qué valor de k ocurre que no existe el valor de x?

A) 2

B) −2 C) −3

D) 3 E) 0

16. Si a + b + c = 90 y c2

b

2

a , entonces el valor de c es:

A) 72 B) 36

C) 18 D) 12

E) 9

17. La expresión: “La mitad del cuadrado de 3a es equivalente al cuadrado de la mitad de a”. Corresponde a:

2

a

2

a3)D

2

a

2

)a3()C

2

a

2

a3)B

2

a

2

a3)A

22

22

22

22

E) Otra expresión

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 462

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

18. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta

tiene b años y Sonia tiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea?

A) 2a

B) 2b C) a + 2b

D) 2a + b E) 2a + 2b

19. Si al cuadrado de (x − 3) le restamos el triple de (3 − x) resulta:

A) x2 + 3x B) x2 + 9x

C) x2 - 9x D) x2 - 3x + 18

E) x2 - 3x

20. Si 2a − 3b = 8 y 3m + 2n = 18, entonces 2(a + 2n) + 3 (2m − b) =

A) 26

B) 34 C) 36

D) 44 E) Ninguna de las anteriores

21. Si x - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ?

A) 1 B) 19

C) 16 D) 253

E) 256

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 463

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

22. Sea y

1x

b

a . ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre

verdadera(s)? I) b = ay − bx

II) yb

1ax

III) y

1b

x

a

A) Sólo I B) I y II

C) Sólo III D) II y III

E) Ninguna

23. Si a + b = 25 ; entonces a2 + b2 =? ab = -150

A) 1.225

B) 925 C) 625

D) 325 E) Ninguna de las anteriores

24. Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) =?

A) −1 B) −6

C) 15 D) 26

E) No se puede determinar

25. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) =?

A) 8 B) 4

C) 3 D) 2

E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 464

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

26. Si el punto P (4, 3) pertenece a la recta de ecuación x - 2py - 5 = 3

y además satisface la ecuación de la recta qx + 1 - 2y = 3, entonces los valores de p y q son, respectivamente:

2y3

2)E

3

2y2)D

2y3

2)C

3

2y2)B

2y3

2)A

27. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la figura?

11xy)E

11xy)D

2xy)C

1xy)B

1xy)A

28. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de

la inecuación 3 < x − 1 5?

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 465

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

29. ?55

5510n9n

9n8n

A) 5

B) 1

C) 5

1

D) 0

E) Ninguna de las anteriores

30. ?12

1

12

2

A) 2

B) 2

C) 2 - 1

D) 2 - 2

E) 2 - 3

31. Si 540 = 2a •3b • 5c, entonces 2

cba = ?

A) 1

B) 2 C) 0

D) 2

1

E) 4

32. Si log x = a y log y = b, entonces log 3 xy =?

A) 3a + 3b

B) 3ab

C) 3

b

3

a

D) ab3

1

E) 3 3 ba

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 466

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

33. Un elemento radiactivo se desintegra de acuerdo a la relación

M = M0 •50

t

5

1

, donde M0 es la cantidad inicial del elemento y M es la

cantidad que queda de él después de transcurridos los t años. ¿Cuántos

años deberán transcurrir para que una muestra de 400 gr de este elemento se reduzca en un 80%?

5log

)5log4(log50)D

50)C

5

1log50)B

5log

4log5log50)A

E) Ninguna de las Anteriores

34. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es

igual al semiproducto de ellas, entonces:

A) r - p = 0 B) p = r

C) r + 2q = 0 D) r - 2q = 0

E) - 2q = pr

35. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática

f (x) = a (x − h)2+ k. Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente:

A) 1; -8; 15

B) 1; 8; 15 C) 1; 4; -1

D) -1; 4; -1 E) -1; -4; -1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 467

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

36. Una ameba, en condiciones de laboratorio, se duplica cada 3

minutos. Al cabo de 30 minutos de transcurrido un experimento se cuentan 210 amebas. ¿Con cuántos ejemplares se inició éste?

A) 1 B) 2

C) 4 D) 8

E) 12

37.

3log

27log3log 24

A) 3

B) 2 C) 1

D) 0 E) -2

38. Sean f(x) = 3mx + 5 y g(x) = (x + 1)2 funciones. Si f(1) = g(2), entonces m =?

A) 4

3

B) 3

4

C) 3 D) 2

E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 468

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

III. GEOMETRÍA

39. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le

aplica una reflexión con respecto al eje Y, y posteriormente una

reflexión con respecto a la recta y = x. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante?

A) (1, −1)

B) (1, 1) C) (−1, 1)

D) (−1, −1) E) (0, −1)

40. Al Δ ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica

una rotación en 90º con respecto al origen del sistema cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’,

imágenes de A y B respectivamente?

A) (−2, 0) y (1, 0)

B) (0, −2) y (0, 1) C) (−2, 0) y (0, 1)

D) (0, −2) y (1, 0) E) (−2, 0) y (1, 1)

41. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las

coordenadas de P al rotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º en sentido horario (figura)?

A) (2, −3); (3, −2); (−2, 3)

B) (2, −3); (−3, −2); (−2, 3) C) (2, −3); (−2, −3); (−2, 3)

D) (3, −2); (−3, −2); (−3, 2)

E) (−2, 3); (−2, −3); (3, −2)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 469

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

42. En la figura, ABCD es un paralelogramo. ¿Cuál(es) de la(s)

afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) ∡1 + ∡2 +∡ 4 = 180º

II) ∡1 + ∡2 = ∡3

III) ∡1 + ∡2 = ∡3 + ∡5

A) Sólo I B) I y II

C) I y III D) Sólo III

E) Todas

43. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?

A) 20 cm B) 40 cm

C) 60 cm D) 80 cm

E) 100 cm

44. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie

de la región circular que tiene por radio la diagonal del cuadrado es:

2

2

2

2

2

a4)E

a2)D

2

a3)C

a)B

2

a)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 470

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

45. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del

triángulo CDE?

3

2)D

4

1)C

3

1)B

6

1)A

E) Ninguna de las anteriores

46. En la figura se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero EFG

Si AD= 4 cm y FG= 12 cm, entonces el perímetro del sector

sombreado es:

A) 52 cm

B) cm33

852

C) cm33

1652

D) cm3

313

E) Ninguna de las anteriores

47. En la circunferencia de centro O de la figura, ABes diámetro, los arcos AD y DC son congruentes y Arco DA = 2 Arco BC. ¿Cuál es el valor

del ∡ DEC?

A) 36º B) 54º

C) 72º D) 108º

E) 120º

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 471

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

48. En la figura, ABC equilátero, EBCE y DA:CD = 2: 1. ¿En qué

razón están las áreas del cuadrilátero ABED y el triángulo ABC?

A) 3: 4

B) 2: 3 C) 3: 5

D) 4: 5 E) Ninguna de las anteriores.

49. Dos triángulos son semejantes si tienen:

I) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

II) los tres lados homólogos proporcionales. III) sus tres ángulos congruentes.

De las afirmaciones anteriores, es (son) siempre verdadera(s):

A) Sólo I B) I y III

C) I y II D) II y III

E) I, II, III

50. En la figura, PR = 5 cm y RQ = 12 cm. El Δ PQR es rectángulo en R

y PQRS . Entonces, SQ:PS =?

A) 12

5

B) 5

12

C)144

25

D) 25

144

E) Otro Valor

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 472

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

51. En el ABC de la figura, se tiene que AC= t, DE = u, AD = p,

DB = q, BE = r y CE = s. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) correcta(s)?

I) AB = p + q

II) CE = p + q - r

III) CB =u

tq

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) I y II

E) I y III

52. En la figura, O es el centro de la circunferencia, RQ2PQ y Arco RS

≅ Arco SQ. Entonces, el ∡ SOR mide:

A) 75º

B) 60º

C) 45º D) 30º

E) 15º

53. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente a ella y una secante que pase por su centro, entonces ¿cuál es

el radio de la circunferencia si el segmento exterior de la secante mide 8 cm y la tangente mide 12 cm?

A) 18 cm

B) 10 cm C) 9 cm

D) 5 cm

E) No se puede determinar

54. De acuerdo a los datos de la figura, la longitud de BCes:

A) 5 cm B) 6 cm

C) 9 cm

D) 5 3 cm

E) 3 5 cm

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 473

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

55. En la figura, el Δ ABC es rectángulo en C, ABCD y BC= 17 cm.

Si tg5

3 , entonces AD =?

cm33

25)D

cm36

25)C

cm6

25)B

cm26

25)A

E) Ninguna de las anteriores

56. Con los datos de la figura, ¿cuál es el valor de sen2

+ cos2?

2

22

2

2

2

22

2

2

p2

nm)D

p

)nm()C

p

nm)B

p

m2)A

E) 1

57. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de

1.000 litros de capacidad. Para ello determinó que la arista debía medir un metro de longitud. Cuando terminó la construcción, notó que las

aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es la diferencia, en cc, de la capacidad del estanque que construyó?

A) 8

B) 404 C) 800

D) 61.208 E) Otro Valor

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 474

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

58. Sobre los lados de un cuadrado, se construyen triángulos equiláteros

cuyos lados son de igual medida que los lados del cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del cuadrado. II) La suma de los perímetros de los triángulos es el triple del perímetro

del cuadrado. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del

cuadrado.

A) Sólo III B) I y II

C) I y III D) II y III

E) I, II y III

IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

59. Una caja contiene 10 fichas de igual peso y tamaño. Cada ficha tiene

grabada una letra de la palabra LITERATURA. Si se escoge una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de escoger una vocal?

10

7)E

10

6)D

10

5)C

10

4)B

10

1)A

60. Si la probabilidad de un suceso es 0,001, entonces ¿cuál es la afirmación más adecuada?

A) Este suceso jamás ocurre.

B) Ese suceso siempre ocurre. C) El suceso ocurre con mucha frecuencia.

D) Ese evento ocurre rara vez.

E) El suceso es seguro.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 475

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

61. Un dado es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el

segundo lanzamiento se obtenga un número par?

6

1)E

3

1)D

12

1)C

1)B

2

1)A

62. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) Los sucesos posibles son 36.

II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero.

III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es 9

2.

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo II y III

D) Todas son verdaderas E) Ninguna es verdadera

63. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se

sacan 2 bolitas al azar y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas se obtenga un número par?

2

1)E

10

1)D

9

2)C

4

1)B

5

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 476

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

64. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU

fueron los siguientes: 450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675

782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690

Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:

A) 600,0 B) 612,8

C) 615,8 D) 616,2

E) 622,8

65. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces, al sumar la media con la moda de la distribución

se obtiene:

A) 3,1 B) 3,3

C) 5,12

D) 5,8 E) Ninguna de las anteriores

66. La tabla muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de

inglés. De acuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota promedio del curso?

A) 5,0

B) 4,5 C) 4,0

D) 3,5 E) 3,0

67. De acuerdo a la información de la tabla anterior es correcto afirmar

que:

A) la moda es 5

B) la mediana es 5 C) el promedio y la mediana son iguales

D) el promedio es mayor que la mediana E) el promedio es menor que la mediana

x 1 2 3 4 5 6 7

f 1 7 4 3 5 4 1

Nota Nº alumnos

2 5

3 5

4 5

5 5

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 477

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68. Si el 25% del curso tiene promedio 5,9 y todo el curso tiene

promedio 5,0, entonces ¿cuál es el promedio del resto del curso?

A) 4,7

B) 4,8 C) 4,9

D) 5,0 E) Falta información

V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del

problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las

respuestas la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las

afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son

insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información

adicional para llegar a la solución.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 478

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

69. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y

el resto chilenos. ¿Cuántas mujeres chilenas viajan? (1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número

de mujeres.

(2) Del total de pasajeros, los 4

3son hombres.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

70. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular? (1) El cerco que lo rodea mide 500 metros.

(2) Los lados están en razón 2: 3.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

71. En la figura, ∡ EOA = 135º ¿Cuánto mide el ∡ AOB?

(1) Arco AB: Arco BC: Arco CD: Arco DE = 1: 2: 4: 8 (2) EOB = 150º

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

72. Sean y β ángulos. ¿En qué razón están sus suplementos?

(1) + β= 90º

(2) : β = 1 : 2

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 479

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

73. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál es el valor de BC?

(1) ABCD trapecio isósceles de base AB igual a 5 cm de longitud.

(2) AB5

3DC

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

74. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados congruentes, ¿cuál

será el área sombreada?

(1) El área total es 100 cm2. (2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

75. ¿Cuál es el promedio de edad en un curso mixto? (1) La edad promedio de las niñas es 17 años.

(2) La edad promedio de los varones es 18 años.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 480

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

PAUTA FACSIMIL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C B E E E A D A D A C A C C D C C E E D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

D E B B A E D D C E B C C C C A E B A C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B C C D C B A B E C E D D E A A D D C D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

A D C D D D C A C C D C E D E

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 481

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

ENSAYO Nº 2

1. 12: 2(-5 + 8) – 7 =

A) -31 B) -17

C) -12 D) -5

E) 11

2. Cuando un entero positivo n es dividido por 9 el resto es 7. ¿Cuál es el resto cuando 5n es dividido por 9?

A) 8

B) 7 C) 6

D) 5

E) 4

3. Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por

A) 10 B) 12

C) 15 D) 20

E) 32

4. Se tienen dos cajas A y B. la caja A contiene 4 fichas negras y 1 blanca; la caja B contiene 4 fichas negras y 3 blancas. ¿Cuál es el

mínimo número de fichas que deben ser removidas de la caja A a la caja B para que la razón de fichas blancas y fichas negras sea la misma en

ambas cajas?

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4 E) Ninguno de los valores anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 482

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

5. Si x es el 662

3% de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x?

A) 331

3%

B) 75%

C) 1331

3%

D) 150%

E) 1662

3%

6. 48 + 12 + 3 =

A) 63

B) 7 3

C) 20 3

D) 4 15 + 3

E) 30 + 3

7. Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo muestra la figura. ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser

verdadera?

A) R · S = P B) P · R = T

C) R · S = T D) R · T = P

E) P · T = S

8. En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5)

(5, 12, 13)(7, 24, 25) (9, 40, 41)…, la suma de los números que forman el séptimo trío es

A) 132

B) 182 C) 240

D) 306 E) 312

0 1 -1

R P S

T

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 483

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9. Manejando a un promedio de 48km

h, Juan llega a su destino

exactamente en 2 horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta,

demora exactamente 2 horas en regresar. ¿Cuál fue el promedio de su regreso?

A) 50km

h

B) 54km

h

C) 55km

h

D) 60km

h

E) 64km

h

10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 · 20 · b + c2, ¿cuál de las siguientes

opciones es verdadera?

A) a > b > c B) b > a > c

C) c > a > b D) a = b > c

E) a = b = c

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 484

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11. Carlos y Julio comienzan a ganar lo mismo, pero deben optar por

dos modalidades distintas de incentivos que les ofrecía la empresa donde trabajaban. Carlos optó por la propuesta A, mientras que Julio se

decidió por la B. Para la propuesta A, se comienza con un incentivo de

$ 10.000 cancelados al final del primer mes y se incrementa mensualmente en $ 1.000. Para la propuesta B, se inicia con un

incentivo de $ 1.000 pero en los meses siguientes el incentivo se duplica con respecto al mes anterior. De acuerdo a estos antecedentes, ¿cuáles

de las afirmaciones siguientes son verdaderas?

I) Al finalizar el quinto mes, Carlos había recibido en total un mayor incentivo que Julio.

II) Al finalizar el sexto mes, Julio había recibido en total $ 12.000 menos que Carlos.

III) A partir del quinto mes, Julio comienza a ganar, mensualmente, más dinero que Carlos.

A) Sólo I y II

B) Sólo I y III

C) Sólo II y III D) I, II y III

E) Ninguna de ellas

12. (-a + b)2 =

A) –(a – b)2 B) (a – b)2

C) (a + b)2 D) –(a + b)2

E) (-a – b)2

13. Si x2 = 7, ¿cuál es el valor de (x + 1)(x – 1)?

A) 6

B) 8 C) 48

D) 50 E) No se puede determinar

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 485

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14. Si los trinomios 9x2 + ax + 4 y x2 – 5x + b son cuadrados

perfectos, entonces el mayor valor de a + 4b es

A) 12

B) 13 C) 31

D) 37 E) 49

15. Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 =

A) 6

B) 9 C) 11

D) 20 E) 26

16. Sean a y b números enteros distintos de cero y a b.

Si ab = m[(a + b)2 – (a – b)2], entonces m =

A) -3ab

B) ab C) 0

D) 1

4

E) 4

17. Si 2x 2x 7

A

= x + 2 –

-1

A, entonces A =

A) x + 4

B) x – 4 C) x + 3

D) x – 3 E) x + 2

18. Si abc 0, entonces 2 2 2a bc + ab c + abc

abc =

A) a + b + c B) a + b + abc2

C) a3b3c3 D) 3abc

E) 2abc

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 486

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19. Si 2(2t – 2) = 1, entonces (t – 1)-1 es igual

A) 4

B) 1

2

C) 1

4

D) -1

2

E) -4

20. Si la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es

x + 2 y la longitud de la hipotenusa es x + 3 donde x > -2, ¿cuál es la longitud del otro cateto?

A) x

B) x + 1 C) x + 5

D) x + 5

E) 2x + 5

21. Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en 2

3 del

tiempo que tomará para finalizar la segunda mitad. Si el examen

completo lo rindió en 1 hora, ¿en cuántos minutos realizó la primera mitad del examen?

A) 20

B) 24 C) 27

D) 36

E) 40

22. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2)

y B(3,-3)?

A) -1

B) -1

3

C) 0

D) 1

3

E) 1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 487

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23. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y

(-4, 3), entonces a – b =

A) -1

B) -1

3

C) 1

3

D) 2

3

E) 1

24. Si fx 5

1 x

= x – 1, entonces f(3) =

A) -2

B) -1

C) 0 D) 1

E) 2

25. Sea f(x) = 2x – 5. Si g(x – 2) = f(x + 2), entonces g(-2) =

A) -9 B) -2

C) -1 D) 0

E) 2

26. Sea x y definida como x2 + y

2 para todo x e y.

Si 3 4 = 5 m, ¿cuál es el valor de m?

A) -28 B) -7

C) 12

5

D) 6 E) 60

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 488

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27. Sea f(x) = 3x + 2. Si f(2m + 1) = f(m + 2) – 5, entonces m =

A) 2

3

B) 1

3

C) -1

4

D) -1

3

E) -2

3

28. Si 3y = x + 1 y 4y + x = 13, ¿cuál es el valor de y?

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

29. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = x + 2, en sentido horario y

con centro (0,0), se obtiene

A) B) C)

D) E)

y

x 2

2

y

x -2

-2

y

x 2

2

y

x -2

-2

y

x -2

-2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 489

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30. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector

(-3, -2), entonces el nuevo gráfico queda mejor representado por

A) B) C)

D) E)

31. Si la ecuación x2 – 4x + 1 = 0 se escribe de la forma (x + a)2 = b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a = 3, b = 2

B) a = 3, b = -2 C) a = 2, b = 3

D) a = -2, b = 3 E) a = b = 3

32. Una solución o raíz de la ecuación 2

1 2 + 1 =

xx es

A) 1

B) 1

2

C) -1

2

D) -1

E) -2

y

x -3

y

x -3 -2

y

x -3 -2

y

x -2

9

y

x 9

-2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 490

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33. ¿Cuál es el punto de intersección entre la parábola

y = -x2 + 2x – 3 y la recta x = -1?

A) (1,-2)

B) (-1,-4) C) (1,-6)

D) (-1,-6) E) (-1,0)

34. Si 2x – 3 = 3y + 1 = 1, entonces (x + y)(x – y) =

A) 0 B) 2

C) 4 D) 8

E) 16

35. 3

6

3 2

3

=

A) 3 2

B) 6 2

C) 3 2

3

D) 618

E) 6 24

36. 6

6 2 6 =

A) 2

B) 2 + 1

C) 2 – 1

D)1 – 2

E)2

2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 491

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37. La gráfica se puede expresar como

A)]-5-1] [6,12[

B) [-5,-1[ [6,12]

C) [-5,-1[ ]6, 12]

D) [-5,-1 [ ]6, 12]

E) [-5,12]

38. El conjunto solución del sistema x + 5 x 3

3 2

5(x 1) 10

es

A)

B) [3, +[

C) [19, +[

D) [3, 19] E) ]-, 19]

39. Si f(x + 1) = x2, entonces el valor de f(3) es

A) 1 B) 4

C) 6 D) 9

E) 16

40. En la ecuación log2(x2 + 2) = log23x + log2(x - 1), el conjunto

solución es

A) {2}

B) {-2}

C)

2,2

1

D)

2,

2

1

E) {2, -2}

-5 -1 6 12 lR

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 492

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41. En el ABC de la figura, si AE y CD son bisectrices de los ángulos

A y C, respectivamente, entonces ∡ CDB =

A) 90º B) 85º

C) 80º D) 75º

E) 70º

42. En la figura, la expresión que representa el área del EFD inscrito

en el rectángulo ABCD es

A) 21 + 6x

B) 21 + 18x C) 123 + 6x

D) 123 + 18x

E) 21 – 6x

43. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 531

2 cm y PBQR es un

cuadrado de lado 461

2 cm. ¿Cuál es el área de la región achurada?

A) 7 cm2

B) 49

4 cm2

C) 81

4 cm2

D) 693

4 cm2

E) 700 cm2

44. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes

en B. Si AC = AB + BC , ¿cuál es la medida del ∡ ACD?

A) 20º B) 30º

C) 45º D) 50º

E) 70º

20º

A D B

C

50º

E

D C

A B 5

F

E

12

6

x

D C

A B

R Q

P

O’ O A

B C

D

20º

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 493

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45. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del lado del cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada

del sexto cuadrado?

A) 1 + 2

B) 1 + 2 2

C) 2 + 2

D) 1 – 2

E) 1 – 2 2

46. En la circunferencia de la figura, Arco AB = Arco BC = 60º.

Entonces, ∡x +∡ y =

A) 120º

B) 100º C) 90º

D) 80º E) 60º

47. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la

quinta figura de la sucesión debería ser

A)

B)

C)

D)

E)

32

A

B

x

y

C

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 494

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

48. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la

figura con respecto a la recta L?

A) B) C)

D) E)

49. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores

están en la razón de 2: 3: 5: 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas del mayor y menor de los ángulos?

A) 112,5º

B) 90º C) 67,5º

D) 45º E) 13,5º

50. En el círculo de centro O de la figura, si el área del AOB es 25,

¿cuál es el área del círculo?

A) 25

B) 25 2

C) 50

D) 50 3

E) 625

L

A

B

O

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 495

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51. En la figura, AB = 4 cm, AC = 3 cm, DB = 5 cm y DE = 3 cm.

¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABDC?

A) (20 + 10 ) cm

B) (17 + 10 ) cm

C) (15 + 10 ) cm

D) (12 + 10 ) cm

E) (12 + 2 10 ) cm

52. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son

números enteros y de perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo 60?

A) 120

B) 144

C) 240 D) 360

E) 480

53. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados de área 25 cada uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original?

A) 10

B) 20 C) 30

D) 40 E) 50

54. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ABE es equilátero. ¿Qué

parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región achurada?

A) 2 3

B) 6 3

C) 3

12

D) 3 3

4

E) 3

6

E

A B

D

C

A B

D C

E

3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 496

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55. ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles ABCD de la figura, si

DE = 3, AB = 12 y CD = 6?

A) 21 B) 24

C) 18 + 4 2

D) 18 + 6 2

E) 24 + 6 2

56. La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la longitud de otro lado. Si las longitudes de los tres lados son números

enteros, ¿cuál es el mínimo perímetro posible del triángulo?

A) 25 B) 21

C) 13

D) 10 E) 5

57. En la figura, la región achurada es un cuadrado de área 3, y el

ABC es equilátero. ¿Cuál es el perímetro del ABC?

A) 3 3

B) 6 3

C) 2 + 3

D) 3 + 6 3

E) 6 + 3 3

58. El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál

es el área de otro hexágono regular de lado a

3?

A) 12 cm2

B) 6 cm2 C) 3 cm2

D) 2 cm2 E) 1 cm2

A

D

B

C

E

A B

C

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 497

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59. En la figura, ADC BDC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) ∡ DCB = 2∡ABC

II) ∡ ADC = ∡ CDB

III) CD AB

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

60. Al dividir cada lado del cuadrado en la razón 1: 2 : 1, se obtiene un

octógono regular como se muestra en la figura. Si el perímetro del

octógono regular es 32 cm, entonces el área del cuadrado es

A) 24 cm2

B) (24 + 16 2 ) cm2

C) 36 cm2 D) 48 cm2

E) (48 + 32 2 ) cm2

61. En una caja A hay 5 ampolletas de 75 w y 3 de 100 w; en otra

caja B hay 4 ampolletas de 100 w y 6 de 75 w. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una ampolleta al azar, de cada caja, ambas sean de

75 w?

A) 1

8

B)3

16

C) 3

8

D) 1

2

E) 3

4

30º

A D B

C

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 498

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62. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12,

¿cuál es la media aritmética de 2 y x?

A) 7

B) 5 C) 4

D) 3 E) 2

63. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una

ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea impar y divisor de 18?

A) 3

40

B) 1

10

C) 3

20

D) 1

5

E) Ninguno de los valores anteriores

64. Si un matrimonio desea tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de

que salga, a lo menos, una mujer?

A) 3

8

B) 1

4

C) 7

8

D) 1

2

E) 5

8

65. Si el promedio (media aritmética) de 3 enteros positivos y distintos es 4, ¿cuál es el mayor valor posible para uno de esos enteros?

A) 5

B) 6 C) 9

D) 11 E) 12

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 499

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66. Si al siguiente conjunto de datos: 7 – 10 – 9 – 3 – 7, se le

agregan dos datos, su mediana sería 9 y su moda sería 10. ¿Cuál sería su media?

A) 7 B) 8

C) 8,5 D) 9

E) 10

67. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que “chatea” un grupo de 40 jóvenes. Luego, la moda es

A) 2

B) 3 C) 12,5

D) 15 E) 30

68. El gráfico de la figura, muestra el número de libros que leen trimestralmente los alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 alumnos es la moda. II) La mediana es 2 libros.

III) La media aritmética es 4

9 libros.

A) Sólo II B) Sólo III

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

Nº de horas frecuencia

0

1

2

3

4

5

1

6

15

10

5

3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 500

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Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 69 a la N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa

solución. Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo

es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2)

juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es

suficiente para responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones

juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo:

P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital

de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2. (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P: Q = 3: 2, luego

(P + Q): Q = 5: 2, de donde

$ 10.000.000: Q = 5: 2 Q = $ 4.000.000

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 501

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos

proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola,

(1) ó (2).

69. Se puede determinar el valor de A + B de la tabla de la figura, si:

(1) P y Q son inversamente proporcionales. (2) A · B = 1

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. El sistema de ecuaciones 3x + 2y = 5

5x 3ky = 6 tiene solución única si:

(1) k -10

(2) k -10

9

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

71. En la ecuación y = mx + 3, donde m es una constante, se puede determinar que el par (x, y) = (2,7) es solución de la ecuación si:

(1) (1, 4) es solución de la ecuación y = mx + 2.

(2) (5, 3) es solución de la ecuación 3y = mx – 1.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

D

P Q

4

0,5

B

A

40

100

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 502

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

72. En el ABC de la figura, AB = 10. Se puede determinar que el

ABC es equilátero si:

(1) AC = 10

(2) h = 5 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

73. Se puede determinar el área del cuadrado ABCD de la figura si:

(1) Las coordenadas del punto A son (0,4).

(2) Los puntos D y B tienen coordenadas (4,8) y (4,0),

Respectivamente.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

74. En la figura, L1 // L2. Se puede determinar el área del ADC si:

(1) AD = 9 (2) BE AC = 24

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

C

A B

h

A

B

y

N

D

C

x

A C

B

E

D

L2

L1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 503

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75. Se puede determinar el valor de x si:

(1) El promedio (media aritmética) de x2, 6x y 3 es -2.

(2) 4x = 9

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 504

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RESPUESTAS

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E A E B D B D C B E C B A D E D B A A E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B B A D C A E B A C D A D D E B C D B A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B A E A C C B D B C D D C E D C E D E E

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

A E A C B A A A A B D E B B A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 505

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ENSAYO Nº 3

1.

22

22

22

2

5

3)E

7

5)D

2

1)C

2

7)B

7

2)A

2. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma hora para dirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco

demoró 7,02 minutos y Luis 7,2 minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Hugo llegó después que Luis. II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de

Diferencia en llegar al colegio. III) Francisco llegó primero.

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Solo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 506

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3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se

necesitan dos hombres. ¿Cuántos hombres se necesitarán para construir una pared similar a la anterior en m horas de trabajo?

A) 16m

B) 16

m

C) m

16

D) 5m E) 40m

4. El gráfico de la figura muestra el itinerario de un vehículo al ir y

volver, en línea recta, a un determinado lugar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El vehículo recorrió en total 420 Km.

II) Al regreso viajó con una rapidez de 70h

km

III) Entre t = 2 y t = 3 recorrió 120 Km. A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

5. De un cargamento de porotos, k toneladas son de porotos negros, las cuales corresponden a un tercio del total. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) Los porotos no negros son 3

2 del total.

II) El %3

266 de los porotos no son negros.

III) El número de toneladas que no son porotos negros es dos

veces el número de toneladas de porotos que son negros.

A) Sólo II B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) I, II, y III

E) Ninguna de ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 507

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6. Si R = 4,3 · 10-5 y S = 2 · 10-5, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades

se cumple(n)? I) R + S = 6, 3 · 10-5

II) R · S = 8, 6 · 10-6

III) R – S = 2, 3 A) Solo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo I y III

7. Una orquesta sinfónica está compuesta por instrumentos de

percusión, bronces y cuerdas. Si el 20% corresponde a instrumentos de percusión, los bronces son 12 y éstos son un cuarto de las cuerdas,

¿cuántos instrumentos tienen la orquesta?

A) 15 B) 48

C) 60

D) 63 E) 75

8. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo

reajustaron de acuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo del año 2008 será

A) $ 7,8 • 600.000

B) $ 0,78 • 600.000 C) $ 1,78 • 600.000

D) $ 1,078 • 600.000 E) $ 0,078 • 600.000

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 508

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9. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de

cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 10 veces, el lado del triángulo que

se obtiene es

5002

1)E

5002

1)D

50010

1)C

2

50010)B

20

500)A

9

10

10. Si la tasa de natalidad T de cierto país es inversamente proporcional a la densidad de población P y en un instante en que T= 0,1 se tiene

que P = 0,4, entonces se cumple que

A) T = P

04,0

B) T = 0,04 · P

C) T = 4

P

D) T = 4P

E) T = P

4,0

11. Se lanza 30 veces un dardo a un blanco como el de la figura 1. Se

asignan 3 puntos por cada lanzamiento que se acierte en el sector achurado y 1 punto en cualquier otro caso. Si una persona obtuvo 74

puntos, ¿cuántas veces acertó en el sector achurado?

A) 8

B) 11 C) 19

D) 22 E) 24

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 509

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12. Si t = 2, entonces t22

tt2 es igual a:

A) 15 B) 9

C) 7 D) 6

E) 5

13. Si la expresión 5[3(4x – 1)] = 15, entonces 4x es igual a

A) -2

B) -2

1

C) 2

1

D) 2

E) 4

14. ¿Cuál es el valor de (-x + 1)(x + 1) si 4 – 2x = 8?

A) -5 B) -3

C) 1 D) 3

E) 5

15. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12. Entonces, siempre se cumple que:

I) Uno de ellos es divisible por 4. II) El menor de los enteros es divisible por tres.

III) El término central es divisible por 2.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 510

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16.

ba

5

3ba

5

3

22

22

22

22

bab5

6a

5

3)E

b2a10

6)D

bab5

6a

25

9)C

ba25

9)B

ba5

3)A

17. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene 500 monedas más que Pablo, entonces el dinero que posee cada uno,

respectivamente, es

A) $ 1.500 y $ 3.000

B) $ 1.000 y $ 2.000 C) $ 1.500 y $ 1.000

D) $ 10.000 y $ 15.000 E) $ 12.750 y $ 12.250

18. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el

largo del rectángulo es Y metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es

A) (4Y – 12) metros

B) (2Y – 6) metros C) (2Y – 12) metros

D) (4Y – 6) metros

E) (4Y – 24) metros

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 511

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19. Si m = x3

1, n =

x6

1 y p =

x9

1, entonces x – (m + n + p) es:

anterioresresionesexplasdeNinguna)E

x18

11x18)D

x18

11x7)C

x18

7)B

x18

11x18)A

2

20. 323233

A) 0 B) 15

C) 8 5

D) 9 5

E) 21

21. El número 243 es equivalente a

A) 83

B) 3 C) 38

D) 312

E) ninguna de las anteriores

22. Si 4-x + 4x = U, entonces 2x + 2-x es igual a

A) 2U B) U2

C) U

D) 2 + U

E) 2U

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 512

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23. En la figura, ABCD es un trapecio de bases CDyAB . ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del trapecio es 3x – y.

II) El área del trapecio es 4

3)xy( 2.

III) El trapecio es isósceles.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

24. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es

igual a 200. Si y es un entero par, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la ecuación que soluciona el problema?

A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4) B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2

C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2 D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2

E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)2

25. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones

4(x + 3) < 4 15 - 2x ≥ 5 es

A)]-∞, -2]

B)]-∞, -2[ C)]-2, 5[

D)]2, 5[ E)[5, +∞[

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 513

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26. Para que la expresión

1BA

BA

1BA

BA

sea negativa, se debe cumplir

necesariamente que

A) A > 0

B) B < 0 C) AB > 0

D) A < 0 E) AB < 0

27. Dado el sistema

b2a5yx

b2a5yx , el valor de y es

A) 0

B) 2b C) 4b

D) 5a E) 10a

28. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m3 y un cargo fijo de $ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3

consumidos mensualmente, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo mensual C(x)?

A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100

B) C(x) = 1.980x + 1.100 C) C(x) = 3.080x

D) C(x) = 1.100x + 1.980 E) C(x) = x + 3.380

29. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación y + 3 = y2 + 3 es

A) {0, 1}

B) {0, -1}

C) {0} D) {1}

E) ninguno de los anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 514

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30. ¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es - 4?

I) 1 = x3 · 81

II) 3x 33

113

III) 21x 93

A) Sólo en I

B) Sólo en II C) Sólo en I y en II

D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III

31. Dada la función2

x1)x(f

, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I) f(0) = f(1) II) f(-2) = 3 f(0)

III) f(3) = f(-1) A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

32. Si f(x) = log3x, entonces f(27) – f(3) es

A) 2

B) 3

C) 4 D) 8

E) 9

33. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, entonces f(x) es igual a

A) x2 + 2x – 2 B) x2 + 2x – 4

C) x2 – 2 D) x2 – 4

E) (x + 3)(x – 1)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 515

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34. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función

f(x) = x2 ?

35. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.

II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

36. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa semestral del i% de interés compuesto n veces al semestre,

obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el cual está

dado por:

nt

0Fn100

11CC

Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de

interés compuesto bimestral, al término de 1 año se tendrá

A) $ 25.000 (1,06)6

B) $ 25.000 (1,02)6 C) $ 25.000 (1,06)12

D) $ 25.000 (1,02)12 E) $ 25.000 (1,12)6

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 516

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37. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas? I) La pendiente del segmento AB es creciente.

II) La pendiente del segmento BC se indetermina.

III) La pendiente del segmento CD es nula. IV) La pendiente del segmento DE es decreciente.

A) Sólo I y III B) Sólo II y III

C) Sólo I, II y IV D) Sólo II, III y IV

E) I, II, III y IV

38. Respecto al polinomio P(x) = x3 – 1 – x (x - 1)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) P(x) es divisible por x – 1.

II) 2x + 1 es un factor de P(x).

III) La ecuación P(x) = 0, tiene tres raíces reales.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

39. la figura muestra el gráfico de una función h. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) h(-1) h(x), para todo x [-3,4]

II) El recorrido de h es [-2,4] III) h(0) = 2

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Todas ellas

E) Ninguna de ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 517

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40. En la figura, el cuadrado ABCD tiene lado 2. Si F es el punto de

intersección de las diagonales del cuadrado OMCN y se gira toda la figura en 180º en el sentido de la flecha y en torno al punto O, el punto

F queda en las coordenadas

2

1,

2

1)E

2

1,

2

1)D

2

1,0)C

0,2

1)B

2

1,

2

1)A

41. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y D(1,3) se le aplica una traslación paralela al eje x en dos unidades a la

derecha, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en tres unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3).

II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0). III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0).

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

42. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados iguales es

A) 0

B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 518

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43. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de Q con respecto al eje X?

A) (5, 3) B) (3, 5)

C) (-3,5) D) (3,-5)

E) (-5,-3)

44. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha

dibujado el pentágono EFGHD. Si K es el punto de intersección de DB

con FG , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área del pentágono es 64.

II) Δ AEF ≅ Δ CGH

III) KFBK

A) Sólo II

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

45. En la figura, el Δ ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y

de radio 32 . Si los arcos AB, BC y CA son congruentes, ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ΔADC ≅ ΔBDC

II) AD = 3

III) ∡ DCB = 30º

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II, III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 519

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46. El Δ ABO es isósceles y rectángulo en O. La circunferencia de centro O y radio r intersecta a los lados del triángulo en D, E y F como lo

muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) Δ ABD ≅ Δ ADO

II) Δ ABE ≅ Δ BAD

III) Δ ADO ≅ Δ BEO

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

47. En la figura, el rectángulo se ha dividido en 8 cuadrados

congruentes entre sí, y cada cuadrado tiene un perímetro de 8 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo mayor?

A) 12 cm

B) 18 cm C) 24 cm

D) 48 cm E) Ninguno de los anteriores

48. En la semicircunferencia de centro O de la figura, DB= 6 y DE= 8. El diámetro de la circunferencia es

A) 8

B) 3

50

C) 3

25

D) 3

19

E) Faltan datos para determinarlo

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 520

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49. En la figura, N es punto medio del segmento OP y el segmento MN triplica al segmento MP. El segmento MN es al segmento OP como

A) 3: 8 B) 3: 7

C) 3: 6 D) 3: 5

E) 3: 4

50. En la figura, L1 // L2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

b

c

a

ax)III

b

bc

a

x)II

b

a

c

x)I

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

51. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes

entre sí?

A) Sólo I y II

B) Solo II y III C) Sólo III y IV

D) Sólo I, II y IV E) I, II, III y IV

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 521

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52. La figura representa un poste perpendicular a la tierra que

sobresale 2 metros y un edificio. Las sombras del poste y del edificio miden 80 centímetros y 14 metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura

del edificio?

A) 98 metros

B) 46 metros C) 35 metros

D) 22,4 metros E) 11,4 metros

53. En la circunferencia de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Δ AED ∼ Δ CEB

II) Δ AEC ∼ Δ DEB

III) Δ BCA ∼ Δ DAC

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

54. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de radio r y ∡ PQR = 15º. La longitud del arco QP es

24

r)E

12

r)D

9

r)C

6

r)B

3

r)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 522

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55. En la circunferencia de la figura, ε = 60º. Si β – = 16º, entonces

el valor del ángulo es

A) 44º B) 37º

C) 22º D) 38º

E) Imposible de determinar

56. En la figura, se muestra un cubo de arista a. El Δ BEG es

A) Rectángulo en B B) rectángulo en E

C) isósceles rectángulo D) isósceles no equilátero

E) equilátero

57. Respecto del triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las

siguientes opciones es falsa?

A) sen = cos β

B) sen β =c

b

C) tg β = a

b

D) tg + tg β = b

c

a

c

E) sen + sen β =c

ab

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 523

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58. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de

igual radio, una encima de la otra como se muestra en la figura. Si la altura del prisma es h, entonces el volumen de una esfera es

3

3

3

3

3

h)E

3

h)D

4

h)C

24

h)B

48

h)A

59. En la figura, ABCD es un rombo de perímetro 48 cm y las áreas del

ΔAED y del rombo ABCD están en la razón 1: 6. ¿Cuánto mide EB?

A) 6 cm B) 4 cm

C) 8 cm D) 9 cm

E) 12 cm

60. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las seis ocasiones ha salido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el

siguiente giro, salga un 6?

A) 5

1

B) 10

1

C) 6

1

D) 2

1

E) 10

7

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 524

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61. Una canasta contiene cuatro tipos de frutas: A, B, C y D. Si la

probabilidad de escoger una fruta del tipo A es 4

1, ¿cuál es la

probabilidad de extraer una fruta que no sea del tipo A?

A) 4

1

B) 2

1

C) 4

3

D) 1 E) No se puede determinar

62. Un club de baile tiene 100 socios, entre hombres y mujeres, que

participan en las categorías A (Avanzados) y B (Novatos). Se sabe que 22 hombres bailan en B, 18 hombres en A y 25 mujeres en B. Si se elige

al azar un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y baile en la categoría A?

A) 4

1

B) 5

3

C) 12

7

D) 20

7

E) 35

1

13

7

63. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los dos dados, que tiene menor probabilidad de salir?

A) Tanto el 2 como el 12

B) Sólo el 6 C) Solo el 2

D) Sólo el 12 E) Tanto el 1 como el 6

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 525

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64. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros

y 2 rojos, el segundo 4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12 rojos. Si se saca al azar un lápiz de cada estuche, la probabilidad de que

los tres lápices sean rojos es

40

8)E

9

8)D

5

8)C

45

24)B

45

8)A

65. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y

30 metros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 20. II) La moda es igual a la mediana.

III) La media aritmética es menor que la mediana.

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 526

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66. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que tienen las familias de un condominio. La fórmula correcta que permite

determinar el número promedio de hijos por familia para este

condominio es

zyx

dcba)E

dcba

dzcybx)D

dcb

dzcybx)C

dcba

zyx)B

4

zyx)A

67. El gráfico de la figura, representa la distribución de tiempos

registrados en una carrera. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 50% de los participantes marcaron 180 segundos.

II) 60 participantes registraron más de 120 segundos.

III) 10

3 de los participantes registraron 120 segundos.

A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

Nº de hijos Nº de familias

0 a

x b

y c

z d

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 527

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68. El gráfico de la figura, muestra el número de inasistencias a clases

de un alumno, durante los primeros cuatro meses de este año escolar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), respecto

de este alumno?

I) Su mejor asistencia ocurrió en los meses de Marzo y Mayo.

II) Durante estos cuatro meses, faltó a clases en nueve ocasiones. III) Su peor asistencia fue en el mes de Junio.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III E) I, II y III

69. En la figura, se puede determinar el valor del ∡ δ si se sabe que:

(1) ABCD es un cuadrado y = 70º.

(2) El Δ AEF es equilátero.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar un trabajo, si:

(1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2. (2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 528

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71. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la

cuarta parte de los puntos de Hernán. Se puede determinar el número de puntos que tiene Hernán si:

(1) Se conoce el total de los puntos.

(2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere la información adicional.

72. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil. Se puede determinar el valor de x si:

(1) La moda es 3 años. (2) El promedio es 4,3 años.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola,(1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

73. Una terraza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede

embaldosar perfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma rectángulos de lados

10 cm y 20 cm. (2) Se dispone de baldosas con forma de hexágonos regulares.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

edades frecuencia

3 10

4 8

5 x

6 7

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 529

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74. Sea m: n = 3: 5. Se puede determinar los valores numéricos de m y

n si: (1) 3m: p = 18: 7 y p = 21

(2) m + n = 16

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas junta, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

75. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión

rqr

1

p

)2p(

2p

p

se puede determinar si:

(1) q = 8 (2) r = 2

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas junta, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 530

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RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D E C B E A E D D A D C D B C C D A D B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

D E C C B C B B A E B A D D A B B C D D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E B E E E D C B A E E C C B C E E A B C

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

D C A A E D D D C B A B A D A

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 531

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ENSAYO Nº 4

1. 30 – 2

5· 10 + 16: (-0,5)-1 =

A) 117

B) 13 C) -3

D) -10,5 E) -18

2. El opuesto de - α

1es el recíproco de

A) 0

B) - α

1

C) α

1

D) -

E)

3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál sería el mínimo número de globos que faltarían para que todos sus

alumnos quedaran con igual número de globos?

A) 10 B) 15

C) 25

D) 35 E) 40

4. Al elevarse al cubo 2 se obtiene un número

A) entero

B) racional C) irracional

D) no real E) racional no entero

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 532

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5. Si A = 12

3

107,11018,0

100051,03600

, entonces A, escrito en notación científica,

es

A) 0,06 B) 0,6

C) 6 · 10 D) 60

E) 0,6 · 102

6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el pedazo más largo mide 180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser

cortada?

A) 324 cm

B) 360 cm C) 540 cm

D) 900 cm E) No se puede determinar

7. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las

siguientes: “por cada 2

1 taza de leche agregar 4

2

1 tazas de agua”. Si se

siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas de agua se deben agregar a

4

3 taza de leche?

7)E

6)D

8

17)C

2

16)B

4

36)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 533

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8. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque

en 21 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo?

A) 7 horas B) 31,5 horas

C) 16 horas D) 14 horas

E) 28 horas

9. Si el 15% de un número es 30, entonces el 30% del número es

A) 45 B) 60

C) 75 D) 100

E) 120

10. ¿Qué porcentaje de 4 es 3

2 de 8?

A) 25%

B) 663

2%

C) 120%

D) 1333

1%

E) 150%

11. En una prueba PSU, Juan y Carlos contestaron todas las preguntas.

Si Juan contestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Carlos contestó en forma correcta el 15% del total de incorrectas contestadas

por Juan, ¿qué fracción de las preguntas de la prueba contestó en forma correcta Carlos?

100

3)E

20

7)D

20

3)C

20

1)B

25

3)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 534

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12. Dada la siguiente tabla: Si x es inversamente proporcional a y2,

entonces P · Q =

A) 576

B) 144 C) 48

D) 12 E) 4

13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de

interés compuesto anual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento de su capital?

14. A es inversamente proporcional al doble del cuadrado de B. Si A = 4

cuando B = 2

1, entonces el correspondiente valor de A cuando B = 3,

es:

A) 6

1

B) 9

1

C) 18

1

D) 3

2

E) 9

4

x y

4 2

P 4

4

1 8

9

1 Q

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 535

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15. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción 3

2para que

la nueva fracción sea igual a 0,25?

A) 1 B) 2

C) 4 D) 5

E) 6

16. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y),

el segundo 3y. ¿Cuánto costó el tercero?

A) 3y – 4x B) 4x – 3y

C) 5x – 3y D) 6x – 4y

E) 6x – 3y

17. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces c)ba(

bac

=

A) 9

B) 0,9 C) 0

D) -0,9 E) -9

18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación

para cada par de números (x, y) en la tabla adjunta? A) y = x + 5

B) y = 2x + 3 C) y = 2x + 5

D) y = 3x – 1 E) y = 3x + 1

19. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8 unidades mayor que el cuádruplo del número menor. ¿Cuál es el

producto de estos números?

A) 24 B) 12

C) 8 D) 0

E) -8

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 536

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

20. Si x = 21

1

, entonces x + 1 es igual a

A) 2 + 1

B) 2 – 1

C) - 2

D) 0

E) 1

21. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto al gráfico de la figura?

I) L1 tiene pendiente nula.

II) L2 tiene pendiente positiva. III) L3 carece de pendiente.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo II y III

22. Si A = 25,0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)? I) A2 > A

II) (-A)2 > -A III) (-A)3 > -A

A) Sólo I B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo II y III

E) I, II y III

23. Al dividir 32

32

32 ba

bapor

ba

1

se obtiene

A) a2b3

B) a4b6

C) 32 ba

1

D) 64ba

1

E) 96ba

1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 537

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24. En la figura, ¿a cuál de las siguientes rectas corresponde la ecuación

y = -2x + 1?

A) L1

B) L2 C) L3

D) L4 E) L5

25. Al despejar x en la ecuación a

2x4 = 3 se obtiene

A) x = 24a

B) x = 2

4a3

C) x = 2

3a4

D) x =2a3

4

E) x =4

2a3

26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 2x

x44x

si

x > 4?

A) x + x

B) x – 2

C) x + 2

D) 2 x

E) x

27. Si a – b = 4 y a · b = 2, entonces el valor de 2

b

1

a

1

es

A) 2(a – b)

B) 2(b – a) C) 2b – a

D) -4 E) 4

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 538

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28. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el

punto A(-3, 0), entonces su ecuación general es

A) x – y – 3 = 0

B) x – y + 3 = 0 C) x + y – 3 = 0

D) x + y + 1 = 2 E) x + y + 3 = 0

29. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k.

¿Cuál de las siguientes expresiones es igual al radio del círculo?

A) k

B) k( 2 + 1)

C) k( 2 – 1)

D) k(2 – 2 )

E) 2k

30. Si A = n

1

m

1 , entonces

A

1=

A) m + n B) mn

C) nm

mn

D) mn

nm

E) mn

1

31. El punto (p, 16) pertenece a la función f(x) = 2x, si p =

A) 4

B) 3 C) 2

D) 1

E) 0

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 539

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32. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos

momentos marca las 5 con 2 minutos y se sabe que hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora que debería marcar correctamente es: las

cuatro con

A) 28 minutos

B) 30 minutos C) 32 minutos

D) 48 minutos E) 52 minutos

33. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales.

¿Para qué valor de x se verifica que f(x) · g(x) = f(g(x))?

A) 1 B) -1

C) 0 D) 2

E) -2

34. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor el gráfico de la figura?

A) y = -x2

B) y = -x2 – 2 C) y = -2x2

D) y = 2 – 2x2 E) y = 2 – x2

35. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función

f(x) = 9x

12

?

A) [3, +∞[ B) ]3, +∞[

C) ]-3, +∞[ D) [-3, 3]

E) ]-∞, 3[

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 540

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36. n

2n4n

5

55 =

A) 10 B) 25

C) 500

D) 600 E) 625

37. El valor de x en la igualdad 2x + 1 + 2x + 2 = 3 es

A) 2 B) 3

C) 4 D) -1

E) -2

38. 3,0log3

A) 2

1

B) 3

1

C) - 3

1

D) -2

1

E) -2

39. Si ab > 1, entonces 3log

9log

ab

ab =

A) logab 3

B) logab6 C) 2

D) 3 E) Depende de los valores de a y b

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 541

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40. La temperatura T, en grados Celsius, a la que hierve el agua está

relacionada con la altitud H, en metros sobre el nivel del mar, mediante la fórmula:

2T)580(100T)1.000(100H

¿A qué temperatura hervirá el agua en la cima de un monte cuya altitud

es de 4.320 metros?

A) 97º B) 98º

C) 99º D) 100º

E) 103,7º

41. En el sistema de ecuaciones

3by2ax

bay3x, de incógnitas x e y,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Si a = 3 y b = 6, el sistema no tiene solución

II) Si a = - 3 y b = - 6, el sistema tiene solución única

III) Si a = - 3 y b = 2

3 , el sistema tiene infinitas soluciones

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

42. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β son complementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

siempre verdadera(s)?

I) El Δ ABC es rectángulo.

II) ∡ ABC = ∡ CBD

III) BC es bisectriz del ∡ ABD.

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 542

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43. El cuadrado de la figura, está formado por 4 rectángulos

congruentes. Si el perímetro de uno de los rectángulos es igual a 20 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El perímetro del cuadrado es igual a 32 cm.

II) La mitad del cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. III) El área de uno de los rectángulos es igual a 8 cm2.

A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) Sólo II y III

44. El cuadrilátero de la figura es un rombo. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I) ∡ABD ≅ ∡CDB

II) CEBCDEAD

III) DEBE

A) Sólo I y II

B) Sólo I y III C) Sólo II y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas

45. En la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia de

centro O. Si Arco AB = 50º, entonces (∡ x + ∡ y) es igual

A) 25º

B) 30º C) 50º

D) 75º E) 100º

46. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada

uno. Si DAFD , entonces BF =

A) 8 cm

B) 10 cm

C) 5 2 cm

D) 10 2 cm

E) 10 3 cm

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 543

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47. ¿Cuál(es) de las figuras tiene(n) centro de simetría?

I) Rombo. II) Triángulo equilátero.

III) Hexágono regular.

A) Sólo II B) Sólo III

C) Sólo I y II D) Sólo I y III

E) I, II y III

48. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si a la recta se le realiza una rotación de 180º en sentido antihorario con

respecto al origen (0, 0), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta que se obtuvo?

A) (0, -4)

B) (0, -3) C) (-4, -3)

D) (-3, -4)

E) (-5, 0)

49. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el área del círculo es 100 π , ¿cuál es el área del hexágono?

A) 600

B) 300

C) 200 2

D) 200 3

E) 120 3

50. En el rectángulo ABCD, EDAE , AB= 6 cm y CE= 3 cm. ¿En qué

razón están las longitudes de BCyEC , respectivamente?

A) 1: 5

B) 1: 4

C) 2: 5 D) 1: 6

E) 1: 3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 544

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51. Con los datos de la figura, la expresión sen + cos es igual a

A) y

1x

B) y

yx

C) 1x

y

D) 1x

y

E) x

yx

52. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?

A) Sólo I con II B) Sólo I con III

C) Sólo II con III D) Todos son semejantes entre sí

E) No son semejantes entre sí

53. El triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C. ¿Cuál es la medida

de la altura h si a = 4 y b = 3?

12)E

6)D5

16)C

5

12)B

5

9)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 545

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54. En la figura, Arco BCA es una semicircunferencia de centro O. Si

ABCD , DOAD , ∡ AOC = 60º y 34CD , ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) DB = 12

II) AD= 4

III) BC= 192

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

55. AB es diámetro de la circunferencia. Si CDAB , 6CE y 2AE , ¿cuál

es la longitud de la circunferencia?

A) 20 π

B) 18 π

C) 10 π

D) 9 π

E) 6 π

56. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con respecto al triángulo rectángulo de la figura?

I) a2 + b2 = 2h2 II) a · b = h2

III) 222 b

1

a

1

h

1

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y III

E) Sólo II y III

57. En el Δ ABC de lados 10, 12 y 20 de la figura, el segmento AD mide

A) 3

B) 5 C) 12

D) 15 E) 20

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 546

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58. En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide

el trazo que une los centros de gravedad de ambos cuadrados?

A) 2

B) 2 5

C) 2 3

D) 2 2

E) 4

59. En un triángulo rectángulo, el punto de intersección de sus alturas se ubica

A) dentro del triángulo.

B) dentro del triángulo, si éste es isósceles. C) dentro del triángulo, si éste es escaleno.

D) en el vértice del ángulo recto. E) fuera del triángulo.

60. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de un 40%. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca?

A) 60%

B) 50%

C) 40% D) 30%

E) No se puede determinar

61. Dada la palabra GEOMETRÍA, ¿cuál es la probabilidad de sacar una vocal?

9

2)E

3

1)D

9

4)C

9

5)B

3

2)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 547

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62. En una pirinola de 8 caras, en cada una de ellas se puede leer una

de las siguientes frases: − Toma uno.

− Toma dos.

− Toma tres. − Toma todo.

− Pone uno. − Pone dos.

− Pone tres. − Todos ponen.

Si se lanza la pirinola, con respecto a la cara que muestre (cara superior), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) La probabilidad que salga “Toma todo” es de un 12,5%. II) Es igualmente probable “Tomar” que “Poner”.

III) La probabilidad de “Tomar más de uno” es de un 37,5%.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

63. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál

de las siguientes alternativas se indica una acción que una vez realizada permita que al extraer una bolita al azar de la caja, la probabilidad de

que ésta sea blanca corresponda a un 50%?

A) Agregar a la caja una bolita verde B) Sacar de la caja una bolita verde y una blanca

C) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancas D) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blanca

E) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 548

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64. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan a lo

menos 3 sellos?

16

11)E

8

5)D

16

5)C

4

1)B

16

1)A

65. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un curso en la prueba de matemática. En relación a la distribución de las

notas, es verdadero que

A) 6 alumnos dieron la prueba. B) hay más mujeres que hombres.

C) las mujeres sacaron mejores notas. D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los que

obtuvieron nota 7. E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.

66. Se entrevistaron a 100 fumadores consultándoles por la cantidad de

cigarrillos que fuman diariamente. Sobre la base de la tabla siguiente que resume esta información:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 35. II) La media aritmética es 19,6.

III) La mediana es 25. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 549

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67. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al

resultado de una prueba de biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 5.

II) La mediana es menor que la moda. III) El promedio es mayor que la mediana.

A) Sólo II

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

68. En un baúl hay 4 gorras blancas y 6 rojas. Si se sacan 2 gorras,

¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?

A) 5

1

B) 15

8

C) 9

2

D) 15

4

E) 5

2

Evaluación de Suficiencia de Datos

69. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero desconocido tal que 3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se

sabe que: (1) El MCD entre los tres es 1.

(2) x no es primo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 550

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70. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple

mensual x. Se puede conocer el valor de x si: (1) Don Humberto depositó $ 500.000.

(2) En un trimestre ganó $ 9.600.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

71. En el siguiente sistema:

b5ayx3

b3ayx , se puede determinar el valor

numérico de y si: (1) a = 4 ; b = 1

(2) a + 3b = 7

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

72. En el triángulo ABC de la figura, se puede conocer el valor de sen

si: (1) ∡ ABC = 90º

(2) AB = 3, BC= 4, AC = 5

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 551

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73. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede

determinar la medida del lado del cuadrado A si: (1) Se conoce el perímetro del cuadrado C.

(2) Se conoce el área del cuadrado B.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

74. En la figura, BCes tangente en C a la circunferencia de centro O. Se

puede determinar la longitud del radio de la circunferencia si:

(1) Se conoce la medida de BD .

(2) Se conocen las medidas de AByBC .

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

75. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es

0,6. Se puede determinar el número de varones que hay en el curso si: (1) En el curso hay 40 alumnos.

(2) En el curso hay 24 mujeres.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2). D) Cada una por sí sola (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 552

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RESPUESTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C E A C C A A D B D E D E B D B A E A C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B D E B E B E B B C A B A C B D D E C B

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C A A B C E D B D A A D B E A C D D D A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

B E C C E C E B C C A B C B D

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 553

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ENSAYO Nº 5

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15 minutos para responderla.

2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.

1. Si m es un número positivo y el cuadrado de 2m es 16, entonces el doble de 2m es

A) 2

B) 4 C) 8

D) 12

E) 16

2. ¿Cuál es el valor de 32 + 33?

A) 15 B) 18

C) 36 D) 243

E) 729

3. Si m es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) número(s) real(es) positivo(s)?

I) m2 II) -m

III) m3

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 554

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4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la

primera página de la hoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para completar la novela?

A) 61 B) 62

C) 142 D) 143

E) 224

5. La cifra de las unidades de 699 es

A) 3

B) 4 C) 6

D) 9 E) No se puede calcular

6. r es directamente proporcional a t y r = 54 cuando t = 9. ¿Cuál es el valor de r si t = 6?

A) 20

B) 18 C) 15

D) 30 E) 36

7. Se compra un electrodoméstico al crédito pagándose por él, en total,

la suma de $ 187.000, incluido un interés del 10%. ¿Cuánto se habría ahorrado al cancelar al contado?

A) $ 1.700

B) $ 1.870

C) $ 17.000 D) $ 18.700

E) $ 170.000

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 555

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8. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho

fósforos también. ¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede construir un cuadrado?

A) 94 fósforos B) 63 fósforos

C) 132 fósforos D) 154 fósforos

E) 190 fósforos

9. En la expresión P · R = K · Q , donde K es una constante, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) P es directamente proporcional con Q .

II) P y R son inversamente proporcionales.

III) R y Q son inversamente proporcionales.

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

10. El 0,1% de 100x es igual a 0,1. Entonces, el valor de x es

A) 0,0001

B) 0,01 C) 1

D) 10 E) 100

11. 2x - [3x -(3x - 2) - (4 - 5x)] =

A) 2 - 3x B) 6 - 3x

C) 7x - 6 D) 7x - 6

E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 556

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12. (5a - 5b)2 =?

A) 25a - 25b

B) 10a - 10b

C) 25a - 25b - 10(a + b) D) 25(a - b) – 2 5(a + b)

E) 25a + 25b – 2 5(a + b)

13. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá dentro de (2a + 3) años?

A) 6a años

B) 2a + 6 años C) 4a + 4 años

D) 6a + 6 años E) 6a + 12 años

14. El valor de la expresión xy

4x cuando y = 4 es:

x4

4x)E

x

1x)D

4

4x)C

4

5)B

1)A

15. Se definen las operaciones: a S b = a + b y a R b = a + (-b). ¿Cuál

es el resultado de (2 S 3) R (3 R 2)?

A) 0

B) 4 C) 5

D) 6 E) 10

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 557

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16. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que

Rosa. Si Rosa y Daniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea es

A) 6 años

B) 7 años C) 8 años

D) 9 años E) 10 años

17. En un canasto hay n naranjas, 12 plátanos y 8 manzanas. Si se

sacan 5 naranjas, p plátanos y se agregan m manzanas, ¿cuánta fruta contiene el canasto?

A) n - p + m + 15

B) m - p + 15 C) n - p - m + 15

D) n - p + m + 25 E) n - p - m + 25

18. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros para llenarse. ¿Cuál es el doble de la capacidad del jarrón?

A) R - q

B) 2p - q C) 2R + 2q

D) 2R - 2q E) 2p - 2q

19. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan

$ 3b. ¿Cuánto cuestan 3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos?

A) 2a + 3b B) 6a + 12b

C) 2a + 12b

D) 12

b9a8

E) 12

b27a8

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 558

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20. 22 )1x2( =?

2

2

22

22

2

x5)E

x4)D

1xx3)C

1x4x3)B

1x2)A

21. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una

docena y media de bebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces ¿cuánto cuestan 5 envases?

A) $ 75

B) $ 125 C) $ 150

D) $ 200

E) $ 250

22. Una persona asiste a un casino con $ p, apuesta $ r en la ruleta y

gana $ g. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) p = r - g II) Después de ganar, tiene $ (p + r + g).

III) p ≥ r A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II E) II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 559

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23. La figura muestra 2 cuadrados congruentes construidos con un

alambre de largo x. ¿Cuál es la superficie total de la figura?

64

x)E

32

x)D

16

x)C

2

x)B

x)A

2

2

2

2

2

24. El perímetro de un rectángulo es igual a q y la suma de los valores

recíprocos del ancho y del largo es igual a r

1 El área del rectángulo es:

r

q)E

r

q2)D

r2

q)C

2

qr)B

qr)A

25. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante

una semana. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que:

I) La mayor variación diaria en el consumo ocurrió entre viernes y sábado.

II) Entre viernes y sábado se produjo una variación del 50%. III) Entre lunes y martes la familia no consumió pan.

A) Sólo I

B) Sólo II C) I y II

D) II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 560

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26. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la

función f(x) = 1x2 ?

1,1)E

,11,)D

,11,)C

,1)B

,1)A

27. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces se cumple una de las siguientes alternativas:

A) son perpendiculares

B) son paralelas C) son coincidentes

D) se intersectan en (2,1) E) el punto (2,4) pertenece a L1

28. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función

f(x) = [x] + 1?

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 561

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29. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura?

A) x + y + 1 = 0

B) x - y - 1 = 0

C) x + y - 1 = 0 D) -x + y + 1 = 0

E) Ninguna de las anteriores

30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 532

II) 72 es un número irracional

III) 182 es un número irracional

A) Sólo I

B) Sólo II C) I y II

D) I y III E) II y III

31. Si a = 21 y b = 12 entonces ?b

ba

)12(2)E

2)D

3

2)C

12)B

21)A

32. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x (-2)x equivale a:

A) 22x B) (-3)x

C) (-3)2x D) 2-2x

E) 2x

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 562

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33. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) log 0,1100 = 3

II) log 10 = 2

III) Si log x 25 = -2, entonces x = 0,2

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III E) I, II y III

34. De la función de segundo grado representada en el gráfico de la

figura, podemos deducir que la ecuación de segundo grado asociada a ella:

A) tiene una solución real.

B) tiene una solución imaginaria. C) tiene dos soluciones imaginarias.

D) tiene dos soluciones reales. E) una de las soluciones es x = 2.

35. ¿Cuál es el mayor valor de 1xy si x es raíz de ?08x9x2

A) 1

B) 2

C) 3 D) 8

E) 0

36. Un depósito de $ m se reajusta todos los meses en un p%. ¿Cuál es el monto acumulado después de t meses?

100

mp)E

100

mpt)D

100

ptm)C

100

p1m)B

100

p1mt)A

t

t

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 563

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37. Si x = 2y e y < 0, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) verdadera(s)?

I) x + y < x – y

II) x + y < y – x III) x – y < y – x

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

38. Dada la función f(x) = (0,04)-x. ¿Cuál es el valor de la función para

x = 1?

A) 0,02 B) 0,04

C) 15

D) 25 E) 5

39. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∡ AED ≅ ∡ CDE

II) AD ≅AC

III) AD ≅CE

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 564

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40. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto

del eje de las abscisas?

41. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene Coordenadas (-3, 1).

II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda

En el tercer cuadrante. III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el

Punto (1, 3).

A) Sólo I B) Sólo III

C) I y III D) II y III

E) I, II, III

42. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus

coordenadas cambian a (m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector traslación aplicado?

A) (m, n) B) (m + 3, n + 4)

C) (3, 4) D) (-3,-4)

E) (4, 3)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 565

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

43. Si el perímetro de un cuadrado es 72 cm, ¿cuál(es) de las siguientes

conclusiones es(son) falsa(s)?

I) Su área es 324 cm2

II) Su lado mide 18 cm III) El doble de su perímetro equivale a la mitad de su área.

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo III

D) I, II y III E) Ninguna

44. ∆ ACD isósceles con ADAC y K ∆ BDE rectángulo. El ∡ x mide

A) 10º

B) 15º C) 25º

D) 30º E) 50º

45. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos congruentes cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm?

A) 30 cm

B) 40 cm C) 48 cm

D) 60 cm E) 80 cm

46. En la figura, ABCD es un cuadrado y E es punto medio de AB . Si el área achurada es t 2, el lado del cuadrado mide

A) t B) 2t

C) t

D) t2

E) No se puede calcular

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 566

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

47. En la figura, ADACAB = 13 cm. Si CE= 1 cm, ¿cuánto mide BD?

A) 5 cm

B) 10 cm

C) 10 3 cm

D) 11,5 cm E) 12 cm

48. En la figura, ABCD y BEFG son cuadrados; BC= 4 cm; E es punto

medio de CD . ¿Cuánto mide la superficie achurada?

A) 16 cm2 B) 20 cm2

C) 28 cm2 D) 32 cm2

E) 36 cm2

49. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡ AOB = 125º y

∡ COB = 100º. ¿Cuál es la medida del ∡ ABC?

A) 55º

B) 67,5º C) 112,5º

D) 135º E) 225º

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 567

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50. Un trazo AB queda dividido en sección áurea por un punto P si se

cumple que PB:APAP:AB , con PBAP . ¿Cuál(es) de los siguientes

trazos está(n) divido(s) en sección áurea?

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) II y III E) I, II y III

51. Si en la figura CD//AB , entonces x + y =

cm7

127)D

cm14

127)C

cm15

127)B

cm27)A

E) Ninguna de las anteriores

52. En la circunferencia de la figura, O es el centro,AD es diámetro

yDCes tangente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) ∆ ABD ~ ∆ DBC II) ∆ ABD ~ ∆ ADC

III) ∆ DBC ~ ∆ ADC

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 568

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53. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con

los datos de la figura? I) a2 - p2 = b2 - q2

II) a2 + b2 = (p + q)2

III) h2 = (c - p)(c - q)

A) Sólo I y II B) Sólo II y III

C) Sólo I y III D) Todas

E) Ninguna

54. Si 4

3tg α entonces αα cossen =?

5,0)D

1)C5

7)B

7)A

E) No se puede determinar

55. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma posada en el extremo superior de éste con un ángulo de elevación de

50º. ¿Qué distancia separa a la gata de la paloma?

º50cos4)E4

º50cos)D

º50cos

4)C

º50tg4)B

º50tg

4)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 569

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56. Si asumimos que la Tierra es geométricamente esférica y de un

radio aproximado de 6.400 Km, ¿cuál es su superficie, expresada en notación científica?

A) 1,1 × 1012 Km2 B) 2,6 × 108 Km2

C) 4,1 × 107 Km2 D) 5,1 × 108 Km2

E) 6,4 × 108 Km2

57. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B

(0, 1, 0), C (0,1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?

A) 2 + 2 5

B) 4 5

C) 2 5

D) 12 E) 8

58. En el cubo de la figura, Q es el punto de intersección de las

diagonales de una de sus caras. Si la arista del cubo mide 4 cm,

entonces PQ es igual a

A) 48 cm

B) 32 cm

C) 24 cm

D) 20 cm

E) 16 cm

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 570

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59. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número primo de

entre los primeros 25 números naturales, éste sea par?

12

1)E

9

1)D

25

9)C

25

12)B

25

1)A

60. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan un 1 y un 2?

36

1)E

18

1)D

9

1)C

3

1)B

2

1)A

61. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer una bolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son

rojas?

A) 16 B) 12

C) 10

D) 8 E) 4

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 571

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62. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón

de 5: 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólo hay rubios y morenos en el curso?

3

2)E

7

1)D

7

2)C

6

1)B

5

2)A

63. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la

suma de las pintas sea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo?

9

2)D

9

1)C

108

1)B

81

1)A

E) Ninguna de las anteriores

64. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5

de color blanco, 2 de color negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del conjunto de poleras?

A) 2

B) 5 C) blanco

D) rojo y negro E) amarillo

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 572

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65. La tabla muestra las estaturas de un grupo de 20 niños de un

colegio, agrupadas en intervalos, donde Xi es la marca de clase, fi es la frecuencia y Fi es la frecuencia acumulada. ¿Cuál de las siguientes

alternativas representa los valores correctos de p y q, respectivamente?

A) 1,14 y 13

B) 1,15 y 13 C) 1,15 y 17

D) 1,16 y 13 E) 1,16 y 17

66. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5, 5,5 y 4,0, cuyo promedio se pondera en un 60% para obtener la nota final. Si la nota

mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberá sacarse como mínimo en la última evaluación, para aprobar el curso?

A) 5,0

B) 4,0

C) 3,5 D) 2,0

E) 1,0

67. En un curso de Matemática de 32 alumnos, se registró la siguiente asistencia durante 2 meses: 24, 20, 25, 21, 23, 25, 28, 25, 30, 18, 15,

20, 18, 25, 23, 26. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son verdadera(s)?

I) La moda es menor que la mediana y que la media II) La media es menor que la moda y la mediana

III) La media es mayor que la mediana

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III E) Ninguna de las anteriores

Estatura [m] Xi fi Fi

1,10 – 1,12 4

1,12 – 1,14 6

1,14 - 1,16 p 7 q

1,16 – 1,18 3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 573

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68. La media de los pesos de 5 personas es 76 kg. Si los pesos de 4 de

ellas son: 72 kg, 74 kg, 75 kg y 81 kg, entonces el peso de la quinta persona es

A) 80 kg B) 78 kg

C) 76 kg D) 74 kg

E) 70 kg

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,

sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes

para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son

suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información

adicional para llegar a la solución.

69. a y b son números enteros distintos de cero. ab es negativo si: (1) a < 0

(2) 0b

a

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 574

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70. Si a es el 10% de b, entonces b =?

(1) a es el 50% de c; c = 18 (2) c = 2a: a + c = 27

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

71. x2 = x si:

(1) x = 0 (2) 2x = 2

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

72. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del ∆ DFG si:

(1) E y F son puntos medios

(2) HBGHDG

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

73. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD de la figura?

(1) AECGCF;AB2

1AE

(2) El área achurada mide 23 cm2.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 575

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74. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una

caja de cartón? (1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo

(2) El alto de la caja es la mitad del ancho

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

75. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el

origen si: (1) su pendiente es 1,5.

(2) pasa por el punto (2; 3)

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 576

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HOJA DE RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C C B D C E C C B C A E D E B A A E E B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B D B B C A C C B E E C D C B D E D C C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B C C B A B B D B A C E D B C D A C D D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

A C B C C D B B B D D D C C D

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

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ENSAYO Nº 6

I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.

1. En un curso de 28 alumnos, 21 asistieron a clases. ¿Qué porcentaje faltó?

A) 75%

B) 25% C) 7%

D) 0,75% E) 0,25%

2. ?2

621

3

A) 0

B) -1

C) -2 D) -6

E) 4

3. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc

cada una. “A” bebe los 10

7de su lata, “B” toma los

5

4y “C” toma los

4

3.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A bebió más que B.

II) C bebió más que B. III) A bebió menos que C.

A) Sólo I

B) Sólo III C) I y II

D) I y III E) I, II y III

4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de

claveles, ¿cuántas plantas de claveles hay en el huerto?

A) 8

B) 16 C) 24

D) 32 E) 40

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 578

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5. En la secuencia siguiente, con cuatro palitos se forma un rombo y al

agregar 3, se forma un nuevo rombo.

¿Cuántos rombos se pueden formar con 169 palitos?

A) 56

B) 57 C) 59

D) 60 E) 63

6. Un artículo de ferretería se vende en $ 16.000, luego de aplicarle un

20% de descuento. ¿Cuál era el precio del artículo antes de aplicarle el descuento?

A) $ 12.800

B) $ 19.200 C) $ 20.000

D) $ 21.600

E) $ 28.000

7. d dulces cuestan $ p. ¿Cuántos dulces puedo comprar con $ x?

xd

p)E

d

xp)D

p

xd)C

pd

x)B

x

pd)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 579

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8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que

hay en la caldera de una industria durante 5 horas de funcionamiento. ¿Cuál de las siguientes alternativas entrega la

mayor información correcta que se puede

obtener del gráfico? Se agregó agua:

A) 4 veces en 5 horas.

B) cada 1 hora, 100 litros cada vez. C) cada 1 hora, 200 litros cada vez.

D) 5 veces, 200 litros cada vez E) cada vez que la caldera tenía menos de 250

litros.

9. En la liquidación efectuada en una tienda, una persona compró 8 poleras, 1 pantalón, 3 camisas y 12 pares de calcetines. El pantalón le

costó $ 10.000, cada polera $ 6.000 menos que el pantalón, cada par de calcetines costó la quinta parte del pantalón y cada camisa $ 2.000

menos que el pantalón. Si pagó el 25% al contado y el resto en 5 cuotas

iguales sin intereses, ¿cuál es el valor de cada cuota?

A) $ 12.500 B) $ 13.500

C) $ 18.000 D) $ 21.500

E) $ 22.500

II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES

10. x es el lado de un triángulo equilátero. Si el lado se aumenta en y

unidades, entonces el perímetro resultante es:

A) x + y

B) 3x + y C) 3x + 3y

D) 2

)yx( 2

E) 2

xy

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 580

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11. La solución de la ecuación: 2x - 4 = 6 es

A) -1

B) 1

C) 5 D) 7

E) 8

12. (-2m2)3 = ?

A) -6m6 B) -6m2

C) -8m6 D) -8m2

E) -2m6

13. ?a

a5.

2

7

5

2

5

2

3

7

a)E

a)D

a)C

a)B

a)A

14. Si 2x , entonces x + x2 =?

A) 4

B) 6

C) 2 + 2

D) 12 E) 20

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 581

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15. Al simplificar la expresión 3

63 resulta:

3)E

233)D

21)C

2)B

6)A

16. Al simplificar la expresión 2p

1p

con p 2, se obtiene:

1)D

1)C2

1)B

2)A

E) No se puede simplificar

17. Si se desarrolla la expresión (x - y)2 como x2 + y2 se está cometiendo un error. El error consiste en

I) el exponente del primer término II) el signo del segundo término

III) que falta el doble producto de x = (-y) A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II

E) II y III

18. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación 0,01x = 3,14?

22

2

1031410x)E

100

314x01,0)D

14,310x)C

x01,0)B

14,3x100

1)A

π

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 582

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19. Si x = 3 es una solución de la ecuación 3x + 5 = x + k, entonces el

valor de k es:

A) 5

B) -5 C) 8

D) 11 E) 17

20. Pedro (P) tiene el doble de la edad de José (J) y hace 3 años era el

triple. ¿En cuál de las alternativas se plantea el sistema que permite calcular las edades de Pedro y José?

21. (m + n)2 - 2n (m + n) =?

A) (m + n)(m - n) B) m2 - 2n2

C) m2 - n2 - n D) m2 - n2 - 2mn

E) (m - n)2

22. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está

dada por la relación v2 = v 20 + 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la

aceleración de gravedad y d es la distancia recorrida por el móvil. ¿Qué

rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caída si se lanza con v0 = 10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2?

A) 10 m/s B) 20 m/s

C) 100 m/s D) 200 m/s

E) 400 m/s

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 583

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23. Si el perímetro de un rectángulo es 2(x + y) y el ancho es x - y,

¿cuál es el largo?

A) 2y

B) 2x C) 0

D) yx

yx

E) 2x - 2y

24. La diferencia entre m

x y t es

1m

x

¿Cuál es el valor de t?

)1m(m

x)E

)1m(m

1m2)D

)1m(m

xm)C

0)B

)1m(m

1)A

25. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $

5.400. ¿Cuánto dinero me sobraría si quiero comprar una revista que

cuesta $ 3.000?

A) $ 1.080 B) $ 1.320

C) $ 1.500 D) $ 2.400

E) $ 4.500

26. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $ 400 a Beatriz, ambas quedarían con la misma cantidad de dinero.

¿Cuánto dinero tiene Rosa?

A) $ 400 B) $ 800

C) $ 1.200

D) $ 1.600 E) $ 1.800

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 584

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27. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas,

precio contado. ¿Cuánto vale cada cuota?

A) $ (x + 1)

B) $ x

C) 3

)1x($

D) 3

)3x($

E) 3

x$

28. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $

10.000. ¿Cuál es la función que permite determinar el ahorro total y en el mes x?

A) y = 50.000x + 10.000

B) y = 50.000x - 10.000 C) y = 10.000x + 50.000

D) y = 10.000x - 50.000 E) y = x + 10.000 + 50.000

29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta de ecuación y - x + 2 = 0?

I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2). II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0).

III) La pendiente de la recta es -1.

A) Sólo I

B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 585

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30. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta de ecuación x -

y = 0?

31. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)

respecto de las soluciones de la ecuación x2 - 6x + 8 = 0? I) Son reales.

II) Una es el doble de la otra. III) Son negativas.

A) Sólo I B) Sólo III

C) I y II D) I y III

E) I, II y III

32. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 50t - t2, donde t se mide en segundos y la altura y(t) en metros.

¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?

I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros. II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos.

III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de 400 metros.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 586

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33. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función

f(x) = 3 - 3x - x2?

34. Una bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el número de bacterias que tiene un

cultivo al cabo de t minutos si se inicia el proceso con una sola bacteria? (NOTA: [x] = función parte entera de x)

20

t

2)E

20

t2)D

t202)C

20

t)B

t20)A

35. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I) log 1 + log 2 = log 2

II) log 2 + log 3 = log 6 III) log 4 - log 2 = log 2

A) Sólo II

B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 587

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36. La figura representa a un rectángulo divido en 8 partes. ¿Cuál(es)

de las siguientes expresiones representa(n) el área de la región achurada?

2

)ab(d)III

2

)cd(b)II

2

bd)I

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) I y III

E) I, II y III

37. Dado el siguiente sistema de ecuaciones

2byx

2ayx. ¿Cuál es el valor

de y? A) a + b

B) a – b C) 2a + 2b

D) 2a – 2b E) b - a

38. El gráfico de la figura, muestra lo que tiene que pagar una persona

al enviar una carta certificada según los gramos (gr) que pesa. Si la persona envía 3 cartas certificadas cuyos pesos son: 150 gr la primera,

450 gr la segunda y 600 gr la tercera. Entonces, por las tres cartas debe pagar

A) $ 1.200

B) $ 1.400 C) $ 2.200

D) $ 2.600 E) no se puede

determinar

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 588

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III. GEOMETRÍA

39. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos

triángulos son semejantes?

I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño. II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño.

III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) I y II

E) I y III

40. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un eje de simetría?

A) Sólo en I

B) Sólo en II

C) Sólo en III D) En I y III

E) En I, II y III

41. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura

respecto del eje OP ?

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 589

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42. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación

de la figura superior en torno al eje AB?

A) Sólo en I

B) Sólo en II C) Sólo en III

D) En I y en III E) En I, en II y en III

43. En la figura se tienen 5 cuadrados congruentes de 4 cm de lado.

¿Cuál es el perímetro total de la figura?

A) 32 cm B) 40 cm

C) 80 cm D) 200 cm

E) No se puede determinar

44. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de componentes (4, 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice A

trasladado?

A) (4, 2) B) (5, 2)

C) (5, 3) D) (3, 5)

E) No se puede determinar

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 590

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45. ¿Cuál de las siguientes traslaciones permite dejar íntegramente el

polígono de la figura en el primer cuadrante?

A) (4, 0)

B) (0, 4) C) (2, 3)

D) (4, 2) E) (3, 0)

46. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta

L. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?

MO//BC)III

AM//CO)II

NOBC)I

A) Sólo I B) Sólo II

C) I y II D) I y III

E) II y III

47. Un rectángulo de dimensiones 3 m × 2 m, se traslada 4 metros,

apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?

A) 6 m3

B) 8 m3 C) 9 m3

D) 20 m3 E) 24 m3

48. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, BCAC , ABCD , AD = 16

cm y BC= 6 cm. Entonces, el área del ∆ ABC es:

A) 36 2 cm²

B) 48 cm²

C) 32 2 cm²

D) 12 2 cm²

E) No se puede determinar

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 591

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49. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y DC//AB . ¿Cuál es el área

del ∆ ABC?

A) 10 cm2 B) 20 cm2

C) 30 cm2 D) 40 cm2

E) 50 cm2

50. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos

es(son) semejante(s)? I) ∆ DAB y ∆ BAC

II) ∆ EBD y ∆ DCB III) ∆ BAC y ∆ DBC

A) Sólo I B) Sólo II

C) I y III D) II y III

E) I, II y III

51. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos

medios. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ ABN ≅ ∆ CBM

II) Área ∆ ABN = Área ∆ CBM

III) Área ∆ ABN = Área ∆ ANC

A) Sólo II

B) Sólo III C) I y II

D) I y III E) II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 592

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52. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 22

1m, en ese

mismo lugar, proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

A) 12 m

B) 10 m C) 9 m

D) 8 m

E) 7 m

53. En la circunferencia de centro O, se trazan AB y DE diámetros y

CDcuerda, como se indica en la figura. Si CD//AB y ∡ AOE = 30°,

entonces el ∡ x mide

A) 15° B) 20°

C) 25° D) 30°

E) 45°

54. En la circunferencia de la figura, ∡ DAC=30º y ∡ BCA =40º. ¿Cuál es

la medida del ∡ x?

A) 30º B) 35º

C) 40º D) 45º

E) 70º

55. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes a cos

a?

ααααα

eccostg

1)III

sec

1)IIsengcot)I

A) Sólo I B) Sólo II

C) I y II D) I y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 593

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56. En el cuadriculado de la figura, cada cuadrado es de lado 1. ¿Cuál es

el valor de cos a?

5

41)E

4

5)D

5

4)C

41

5)B

41

4)A

57. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura. Si el piloto observa la torre de control con un ángulo de depresión de

30º, ¿a qué distancia d se encuentra el avión del aeropuerto?

A) 750 m

B) 750 3 m

C) 3.000 m

D) 3.000 3 m

E) 4.500 m

58. En la figura, ABCD es un rectángulo y AEFD es un cuadrado de lado

(2 + 2 ) cm. Si GC = 4 cm y FC = 2 cm, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El área del rectángulo ABCD es (8 + 6 2 ) cm2.

II) El área del cuadrado AEFD es (6 + 4 2 ) cm2.

III) El área del rectángulo HGBE es 2 cm2.

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 594

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IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

59. En un estante hay 10 libros de Biología y 12 de Química. Si se sabe

que 5 libros de Biología y 6 de Química están en inglés y el resto en

español, entonces ¿cuál es la probabilidad de escoger un libro de Química en español?

11

6)E

12

6)D

22

6)C

22

12)B

22

18)A

60. La probabilidad de que ocurra un suceso A es de 10% y la

probabilidad de que ocurra un suceso B, independiente de A, es de 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los sucesos A y B

simultáneamente?

A) 2% B) 15%

C) 30%

D) 50% E) 200%

61. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita roja es de 0,25. ¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna?

A) 0,25

B) 4 C) 8

D) 20 E) 25

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 595

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62. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del

suceso es 0,5?

A) Lanzar un dado y obtener un 5.

B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello. C) Ganarse el sorteo del Loto.

D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz. E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena.

63. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la mayor probabilidad de ocurrencia?

A) Obtener 2 ó 4.

B) Obtener 4 ó 6. C) Obtener un número par.

D) Obtener un número primo. E) Obtener 2 ó más.

64. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos de un curso en una prueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta

correspondiente a la nota 3?

A) 3 B) 4

C) 12 D) 17

E) 35

65. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre los meses de Enero y Junio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de

mayor venta?

A) 200

B) 250 C) 300

D) 350 E) 400

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 596

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66. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de

4º medio de un liceo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 17 años.

II) El 20% del curso tiene 18 años. III) La mediana es 17 años.

A) Sólo I

B) Sólo III C) I y II

D) I y III E) I, II y III

67. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18

Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11 Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es 13 Kg. II) La mediana es 13 Kg.

III) La media es 13 Kg.

A) Sólo I

B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

68. En una encuesta, se preguntó a 50 estudiantes sobre el número de

libros que leyeron durante el año 2007. Los resultados se muestran en la tabla de frecuencias siguiente:

Nº libros 0 1 2 3 4 5 6 7 8

frecuencia 5 5 6 9 11 7 4 2 1

¿Cuál es la mediana de libros leídos por estudiante?

A) 3 B) 3,5

C) 4 D) 4,5

E) 5

Edad f

15 1

16 5

17 20

18 7

19 1

20 1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 597

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V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 69 A LA N° 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,

sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes

para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son

suficientes para responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son

insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

69. ¿Cuánto dinero tiene Jaime? (1) Si consigue $ 500, puede comprar 2 libros de $ 5.000 cada

uno y le sobra dinero. (2) Si compra un CD de $ 9.000, le sobrarían más de $ 500.

A) 1) por sí sola.

B) 2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) e requiere información adicional.

70. ¿Cuál es el volumen de un baúl?

(1) La razón entre el largo, el ancho y el alto es 5: 3: 2. (2) El área basal es 6.000 cm2.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 598

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71. La expresión a + b, con a y b números reales, es positiva si:

(1) a > b (2) a - b > 0

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

72. ¿Cuál es el valor de la expresión x2 - y2? (1) x + y = 5; x - y = 2

(2) x = 3; y = 2

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

73. En la figura, ∆ ABC rectángulo isósceles de 18 cm2 de superficie. C

es el centro del círculo. Se puede determinar el área de la región achurada si:

(1) P es punto medio

(2) AB = 6 cm

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

74. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la

región achurada si: (1) ∡ ACB = 45º

(2) el radio del círculo es 5 cm

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 599

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75. En la figura, el ∆ AMN es congruente con ∆ CMN si:

(1) ABCD es un cuadrado

(2) NDMNBM

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 600

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RESPUESTAS CORRECTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B E B C A C C B B C C C A E C E C B D C

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A B A E C D D C B C C E B E E A B D C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C E B C D C E A A E E B D E E B C B C A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

D D E C C E B B E C E D A A A

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 601

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ENSAYO ORIGINAL ADMISIÓN 2011

1.- 2

4

5

1

2

5

2

1

A) 5

26

B) 40

11

C) 10

11

D) 1 E) Ninguno de los valores anteriores

2.- Un agricultor planta lechugas en un sitio de 10 m de largo y 4 m de

ancho en 5 horas. ¿Cuánto tiempo le llevará plantar lechugas en un sitio de 40 m de largo y 6 m de ancho, trabajando en las mismas

condiciones? A) 20 horas

B) 30 horas

C) 2

127 horas

D) 6 horas

E) 3

113 horas

3.- 46666 42222

A) 416 B) 46

C) 42 D) 216

E) 0

4. ¿Cuál de los siguientes pares de variables son inversamente proporcionales?

A) La longitud del radio de un círculo y el área de dicho círculo

B) El consumo de energía eléctrica mensual y el costo asociado, en pesos

C) La cantidad comprada de un mismo artículo y el dinero gastado en la compra

D) En un movimiento uniforme rectilíneo, la velocidad en recorrer una

distancia fija y el tiempo en recorrerla E) El puntaje obtenido en una prueba y la nota asociada e ese puntaje

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 602

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5.- En la tabla adjunta aparece la cantidad de calorías aportadas por el

consumo de una porción de 100 gramos de cada uno de los alimentos indicados. Comer una porción de

PORCION DE ALIMENTO (100 gr)

CALORIAS

Manzana 70

Pan 300

Arroz 200

Pechuga de pollo 150

Longaniza 400

Merluza 100

Yogurt 110

I) Arroz con una porción de pechuga de pollo una porción de

manzana aportan 420 calorías II) Pan con una porción de longaniza, más dos porciones de

yogurt aportan 810 calorías

III) Merluza aporta el 25% de las calorías que proporciona una porción de longanizas

Es(son) verdadera(s)

A) Solo I B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

6.- Un jardinero planta n rosales. Si se seca el 100% de ellos, ¿Cuántos rosales perdió?

A) n

B) 100n

C) 100

n

D) n

100

E) n – 100

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 603

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7.- Si la variable a es a la variable b como 7 es a 12, ¿Cuál de las

siguientes igualdades es siempre verdadera?

A) a + b = 19

B) a b = 84

C) b – a = 5

D) 12a – 7b = 0 E) 12a + 7b = 0

8.- Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de

zapatos en tres días. Si el primer día entrega 5

2 de él, el segundo día

3

1

de lo que resta y el tercer día 4

1 del resto, entonces lo que quedó sin

entregar es:

A) 10

1T

B) 10

9T

C) 10

3T

D) 5

1T

E) 6

1T

9.- La nota final en la asignatura de física, se obtiene de la suma del 75% del promedio de las notas de las pruebas parciales con el 25% de

la nota del examen. Si Daniela obtuvo un 2,0 en el examen y su promedio de las notas de las pruebas parciales es 5,0, ¿Cuál de las

siguientes expresiones permite calcular cual fue la nota final de Daniela en física?

A) 0,25 2,0 + 0,75 5,0

B) 0,75 2,0 + 0,25 5,0

C) 1,25 2,0 + 1,75 5,0

D) 1,25 5,0 + 1,75 2,0

E) 25 2,0 + 75 5,0

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 604

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10.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con

respecto de las tablas M, P y T?

M P T

X y x y x y

3 2 8 4 3 4

4 2 6 3 1 12

5 2 2 1 4 3

6 2 3 1,5 6 2

I) Las variables x e y de la tabla M están en proporcionalidad directa y su constante de proporcionalidad es 2

II) Las variables x e y de la tabla P están en proporcionalidad

directa III) Las variables x e y de la tabla T están en proporcionalidad

inversa y su constante de proporcionalidad es 12

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo II y III

E) Ninguna de ellas

11.- Si x = a2 y a = 22 , entonces x es igual a

A) 16 B) 8

C) 4 D) 2

E) 24

12.- La expresión – b - 2

1es equivalente a

A) 2

1b

B) b2

3

C) 2

1b

D) 2

12b

E) –2

1b

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 605

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13.- Si al doble de 108 se le resta m se obtiene n y el triple de n es

123, ¿Cuál es el valor de m?

A) 93

B) 67

C) 2

175

D) -175

E) 175

14.- En la figura se muestran dos cuadrados, uno de lado a y otro de

lado b. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área pintada?

A) a(a – b) B) (a – b)2

C) (a – b) a – b2 D) (a – b)(a + b)

E) (a – b)2 – b2

15. Se repartió una herencia entre cinco hermanos, dos tíos y una prima. Si cada hermano recibió la séptima parte de la herencia y cada

tío la mitad de lo que recibió cada uno de los hermanos, ¿qué parte de la herencia recibió la prima?

A) 7

2

B) 7

5

C) 14

11

D) 7

1

E) 14

3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 606

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16.- Un numero entero P es divisible por 2 y es divisible por 6. ¿Cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) P es divisible por 12

II) P es divisible por 3 III) P = 6

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

17.- ¿En cuál(es) de los siguientes casos, x # y = xy es número entero?

I) 4 # 2

1

II) 3 # -2

III) 1 # 3

7

A) Solo en I

B) Solo en II C) Solo en I y en II

D) Solo en I y en III E) En I, en II y en III

18.- Si al lado de un cuadrado de medida a unidades aumenta en t

unidades, entonces la diferencia entre el área del nuevo cuadrado y el

área del original, en unidades cuadradas, es

A) t2 B) t2 + ta

C) t2 + 2ta D) t2 + ta – a2

E) t2 + 2ta – a2

19.- Si m + n = ax y m – n = ay, entonces m2 – n2 es

A) axy B) ax + y

C) ax – y D) a2y

E) a2xy

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 607

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20.- Si m3 – n3 = a y m – n = b, entonces el valor de b

a es

A) m2 + mn + n2

B) m2 – n2 C) m2 – mn + n2

D) m2 + n2 E) m2 + 2mn + n2

21.- Sea qp

1x

, con p y q números reales distintos entre sí. El inverso

aditivo de x y el inverso multiplicativo (o recíproco) de x son

respectivamente

A) p – q y pq

1

B) pq

1

y q – p

C) pq

1

y p – q

D) q – p y pq

1

E) p – q y q

1

p

1

22.- Sea n un numero entero positivo, la expresión (-1)n + 1 2

1n es un

numero entero positivo, si n es

I) Impar II) Múltiplo de 2

III) Múltiplo de 3

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 608

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23.- La expresión 133 2 )a(:a es equivalente a

A) 3 a

B) a

1

C) -1

D) - 3 a

E) a

24.- En los números reales el conjunto solución del sistema 02x1

46x3

A)

2

1,

6

7

B)

2

1,

6

1

C)

D)

,

2

1

E)

6

1,

25.- 2

82

A) 1 + 8

B) 8

C) 5

D) 3

E) Ninguno de los valores anteriores

26.- ¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones se representan en el gráfico de la figura?

A) 2y + x = 4; 2y – x = 4 B) 2y – x = 2; 2y + x = 2

C) -2y – x = 2; -2y + x = 2 D) 2y + x = 4; -2y + x = 4

E) y + 2x = 8; y – 2x = 8

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 609

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27.- Se pone a hervir agua que inicialmente estaba a una temperatura

de 10 ºC. Si su temperatura sube uniformemente durante los primeros 7 minutos hasta alcanzar los 100 ºC, estabilizándose la temperatura

después de este tiempo, ¿Cuál de los siguientes gráficos representa

mejor este fenómeno? A) B) C)

D) E)

28.- El costo total para fabricar sopaipillas incluye un costo fijo de $5.000 más un costo de $80 por cada unidad. ¿Cuál de las siguientes

funciones expresa el costo total (C), en pesos, para fabricar x

sopaipillas?

A) C = 5.000 80x

B) C = 5.000 + 80x

C) C = 5.000x + 80 D) C = (5.000 + x) 80

E) C = (5.000 + 80) 80

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 610

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29.- La ecuación 4x23 tiene

A) Como única solución, x = 5

B) Como única solución, x = 9

C) Como única solución, x = -5 D) Dos soluciones, x = -5 y x = 9

E) Dos soluciones, x = 5 y x = 9

30.- Si P es el conjuntos de todos los puntos del plano de la forma (3, y) y S es el conjunto de todos los puntos del plano de la forma (x, 2),

entonces el único punto común entre los conjuntos P y S es

A) (5, 1) B) (3, 2)

C) (2, 3) D) (1, -1)

E) (0, 0)

31.- Si 43x

T2xf(x)

y

2

1f(2) , entonces el valor de T es

A) -16 B) -10

C) -2

D) -1 E) 1

32.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con

respecto a la función f(x) = ax2 + bx + c?

I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia abajo

II) La gráfica de la función interfecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c)

III) Si a = 0, b 0 y c 0, entonces f es una función afín

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 611

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33.- Juan tiene 11 cuadernos de los cuales unos son de tapa dura y los

otros son de tapa blanda, donde la cantidad de cuadernos de tapa dura es mayor que la cantidad de cuadernos de tapa blanda. Si al multiplicar

la cantidad de cuadernos con tapa dura con la cantidad de cuadernos

con tapa blanda se obtiene 24, entonces una de las ecuaciones que permite determinar la cantidad de cuadernos de tapa dura (x), es

A) 10x – 24 = 0

B) x2 – 11x + 24 = 0 C) x2 + 11x + 24 = 0

D) x2 + 13 = 0 E) 12x + 24 = 0

34.- Todos los números reales x para los cuales 2x9 es un número

real son aquellos que satisfacen que

A) x 9

B) x < 3 C) x -3

D) -3 x 3 E) x 3

35.- Un tipo de bacteria se reproduce diariamente transformándose en

3 bacterias del mismo tipo. Si en un experimento se aísla una bacteria y se coloca a las 12:00 hrs. de un día en condiciones necesarias para que

se reproduzca, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Al medio día del segundo día habrá 3 bacterias

II) Al medio día del cuarto día habrá 27 bacterias III) Al medio día del sexto día habrá 729 bacterias

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) Solo II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 612

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36.- ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor el volumen y de

una esfera en términos de su radio x? A) B) C) D) E)

37.- ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) log 10 = 1

B) log1 5 = 5 C) log

2

1 64 = 6

D) log 0 = 0

E) log3 (-27) = -3

38.- En el sistema de ecuaciones

bayx

1yx, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Si a = b = 1, entonces el sistema no tiene solución

II) Si a = -1 y b = 1, entonces el sistema posee infinitas soluciones III) Si a = 1 y b = -1, entonces el sistema posee una única solución

A) Solo III B) Solo I y II

C) Solo I y III D) I, II, III

E) Ninguna de ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 613

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39.- En la figura, AT y AS son tangentes a la circunferencia de centro O

en T y en S, respectivamente. Si S es el punto medio del segmento OR, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?

I) ∡AOS = ∡ARS

II) ∡TAO = ∡OAS

III) ∡TAO = ∡SAR

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) I, II y III E) Ninguna de ellas

40.- ¿Cuál de las siguientes figuras geométricas tiene menos de dos ejes de simetría?

A) Trapecio isósceles

B) Rectángulo C) Cuadrado

D) Rombo E) Circunferencia

41.- Se desea embaldosar (o teselar) un patio de 6 m de largo por 5 m

de ancho, como el que aparece en la cuadrícula de la figura. Para ello se tienen prefabricadas piezas formadas por cuatro o dos cuadrados de 1 m

de lado cada uno, ¿Con cuál(es) de las combinaciones de las piezas que aparecen en I, en II y en III es posible embaldosar completamente el

patio, sin que sobren piezas ni partes de ellas?

A) Solo con III

B) Solo con I y con II C) Solo con I y con III

D) Solo con II y con III E) Con I, con II y con III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 614

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42.- En el rectángulo ABC de la figura, P y Q son los puntos medios de

los lados respectivos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Si el triángulo ABC es equilátero, entonces PAQC

B) PQ es la mitad de AB C) Los triángulos QPB y PQA son siempre

congruentes

D) Si R es el punto medio de AB , entonces PQC

PQR

E) Los triángulos PQC y ABC son semejantes

43.- En la figura, ABCDE es un pentágono regular, el valor del ∡DFC es

A) 108º B) 90º

C) 100º D) 72º

E) 120º

44.- El triángulo rectángulo de la figura, se rota en 60º en torno a su

vértice H, en sentido horario y luego en 120º en el sentido antihorario, con respecto al mismo punto. Si H perteneces a la recta horizontal L,

¿Cuál de las siguientes opciones indica mejor el lugar donde queda ubicado el triángulo después de estas rotaciones?

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 615

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45.- En la figura, el punto H se transforma en el punto P si se le aplica

una

A) Simetría axial con respecto al eje x

B) Simetría axial con respecto al eje y C) Traslación según el vector (-2, 4)

D) Simetría puntual con respecto al origen E) Traslación según el vector (2, -4)

46.- Un velero tiene dos mástiles verticales a la cubierta. El menor de

ellos mide 4 m y proyecta una sombra sobre la cubierta de 2,5 m y en ese mismo instante, el mástil mayor proyecta una sombra de 7,5 m. La

altura del mástil mayor mide

A) 9 m

B) 4,6 m C) 12 m

D) 8 m E) Ninguno de los valores anteriores

47.- Sea un triángulo rectángulo M de catetos 4 cm y 6 cm. ¿Con cuál(es) de las siguientes medidas de catetos se puede construir un

triángulo semejante a M?

I) 2 cm y 3 cm II) 3 cm y 8 cm

III) 1 cm y 2

3 cm

A) Solo con I B) Solo con II

C) Solo con I y con II D) Solo con I y con III

E) Con I, con II y con III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 616

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48.- En la figura, P es el punto medio del trazo QS y PR:PQ = 5: 3.

Si PR= 12 cm, entonces la medida del segmento RS es

A) 4 cm

B) 2 cm C) 12 cm

D) 10 cm

E) 8 cm

49.- En la figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de

radio r, AH es altura y AD es un diámetro de la circunferencia. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∡ABC ∡ADC

II) AHB ACD

III) b

h

2r

c

A) Solo II B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

50.- En la figura, las rectas AN y AM son tangentes a la circunferencia

de centro O en los puntos N y M, respectivamente y la recta AO interfecta a la circunferencia en el punto P. ¿Cuál(es) de las siguientes

relaciones es(son) verdadera(s)?

I) ANAM

II) ANON III) AN2 = AO OP

A) Solo II

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 617

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51.- En la figura, la secante PB interfecta a la circunferencia de centro O

en los puntos A y B, y la secante PD la interfecta en los puntos C y D. Los segmentos AD y CB se intersectan en E, ∡AEC = 45º y ∡APC = 40º.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∡BOD = 85º

II) ∡ABC = 2,5º

III) ∡BCD = 42,5º

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo I y III E) I, II y III

52.- Un farol está en un poste, a 5 metros del suelo. En la noche, una

persona de 1,5 metros de altura está a una distancia x de la base del

poste e y es la longitud de la sombra que la persona proyecta en el suelo, si dicha situación se representa en la figura, entonces y en

términos de x es

A) x5,3

5,1y

B) x5

5,1y

C) 5,3

xy

D) x5,1

5y

E) x5,1

5y

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 618

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53.- De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes

expresiones indica(n) el valor de b?

I) c (sen )

II) a (tg )

III) 22 ac

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo I y III

E) I, II y III

54.- Si el ABC de la figura es rectángulo en C, entonces la medida de

la altura CDes

A) 10 cm B) 20 cm

C) 24 cm

D) 10 5 cm

E) Indeterminable con los datos dados

55.- ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que c2 = a b?

A) Solo en I

B) Solo en II C) Solo en I y en II

D) Solo en I y en III E) En I, en II y en III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 619

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56.- En el plano cartesiano de la figura, se ubican los vectores a y b .

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 3 a = (12, 15)

II) a + b = (7, 1)

III) - b = (-3,-4)

A) Solo I

B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

57.- En las opciones, todos los triángulos achurados son rectángulos

isósceles congruentes entre sí y tienen a lo menos un lado sobre uno de los ejes coordenados. Si al hacer girar cada uno de los triángulos

indefinidamente, en el sentido de la flecha y en torno a uno de los ejes coordenados, se generan cuerpos geométricos, ¿En cuál de las opciones

el volumen del cuerpo generado es distinto al de los otros cuerpos? A) B) C)

D) E)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 620

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58. En la figura, las coordenadas de los puntos D y F son (0, 5, 2) y

(3, 0, 2), respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El perímetro del rectángulo AOEF es 10 unidades

II) El área del rectángulo OCDE es 10 unidades cuadradas

III) El segmento AC mide 34 unidades

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II D) Solo I y III

E) I, II y III

59.- Un curso se reunirá a celebrar los cumpleaños del semestre, sus

preferencias de comidas se muestran en la tabla adjunta. Si se elige una persona al azar del curso, ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea

hombre y prefiera comer pasteles?

A) 3

1

B) 6

1

C) 5

2

D) 15

2

E) 4

1

60.- En una caja hay 7 fichas negras y 9 blancas, todas del mismo tipo. Se saca una ficha al azar y ésta es de color negro y no se devuelve a la

caja. Si se saca otra ficha al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea blanca?

A) 15

9

B) 16

15

C) 16

9

D) 15

1

E) 9

1

Hombres Mujeres

Sándwiches 12 9

pasteles 6 18

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 621

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61.- Patricio y Felipe juegan en una máquina que tiene siete fichas del

mismo tipo, numeradas del 1 al 7. La máquina arroja solo una ficha al azar; si sale par gana Patricio, si sale impar gana Felipe. ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Patricio tiene, aproximadamente, un 43% de probabilidad

de ganar II) Si se saca de la máquina una ficha al azar de las siete, y

se juega con las seis restantes, ambas personas tienen la misma probabilidad de ganar

III) Si se agrega una ficha a la máquina con el número 8, ambas personas tienen la misma probabilidad de ganar

A) Solo I

B) Solo III C) Solo I y III

D) Solo II y III E) I, II y III

62.- En una bolsa se tienen fichas del mismo tipo, de color blanco, verde

y rojo. Se sabe que la probabilidad de sacar, al azar, una ficha verde es

5

1 y de sacar al azar una ficha roja o verde

2

1. Si se saca una ficha al

azar, ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca o roja?

A) 2

1

B) 5

4

C) 20

3

D) 10

3

E) 1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 622

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63.- Al lanzar dos dados comunes

I) 6 veces, siempre una vez la suma será 4

II) 36 veces, siempre 3 veces la suma será 4

III) 36 mil millones de veces, teóricamente alrededor de 3 mil millones de veces la suma será 4

Es(son) verdadera(s)

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) Solo II y III

E) Ninguna de ellas

64.- ¿Cuál de los siguientes experimentos es aleatorio?

A) Observar la reproducción al término de 2 horas de una cantidad inicial P0 de bacterias, que se multiplican por bipartición

B) Lanzar una moneda y observar si cae o no cae

C) Invertir una cantidad de pesos a una tasa anual del 5% de interés compuesto y anotar la cantidad de dinero que se tendrá después de 3

años D) Comprimir un gas a temperatura constante y observar si la presión

sube o baja E) Extraer, sin mirar, una pelotita roja de una bolsa que tiene pelotitas

rojas, negras y blancas, todas del mismo tipo

65.- ¿Para el cálculo de cual(es) de las siguientes medidas de tendencia

central es necesario ordenar los datos?

I) La moda II) La mediana

III) La media aritmética

A) Solo para I

B) Solo para II C) Solo para III

D) Solo para I y para III E) Para I, para II y para III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 623

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66.- Los niños de un colegio deben elegir practicar solo un deporte. El

48% de ellos practica fútbol, el 25% básquetbol, el 2% atletismo y el

resto natación. Si MT y PQ son diámetros perpendiculares, ¿En cuál de

las opciones está mejor representada esta situación? A) B) C)

D) E)

E

67.- El gráfico de la figura, muestra los porcentajes de obesidad de las mujeres con respecto al total de mujeres y de los hombres con respecto

al total de hombres, en algunos países de América. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO se deduce de este gráfico?

A) En Uruguay el mayor porcentaje de obesidad está

en las mujeres B) En Costa Rica el menor

porcentaje de obesidad está en los hombres

C) Las mujeres de los países de América son más obesas

que los hombres

D) Chile supera a Brasil en porcentaje de obesidad tanto

en hombres como en mujeres E) Colombia tiene la mayor

diferencia porcentual de obesidad entre hombres y mujeres

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 624

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68. En cierto pueblo se dieron a conocer los resultados de una encuesta

aplicada recientemente para sondear las preferencias de la población en las próximas elecciones de alcalde. Dicha encuesta tiene un margen de

error del 3% y un alto nivel de confianza. Los resultados obtenidos

fueron: el 15% de los encuestados dice apoyar al candidato A, el 39% dice que apoya al candidato B, el 41% apoya al candidato C y el 5% no

apoya a ninguno de los candidatos. Si la población votante del pueblo es de 1.000 personas y las elecciones fueran hoy, es correcto afirmar con

una mayor probabilidad que:

A) el candidato A obtendría 150 votos B) el candidato B obtendría entre 390 y 420 votos

C) el candidato C obtendría entre 380 y 410 votos D) el candidato C ganaría la elección

E) entre 20 y 80 votantes no se inclinarán por ningún candidato

69.- Un curso está compuesto por x alumnos y se sabe que de ellos

(x – 3y) reprueban un examen. Se puede saber cuántos alumnos tiene

el curso, si se sabe que:

(1) El 25% del curso reprobó el examen (2) y = 5

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

70.- Se puede determinar el precio de un saco de papas si se sabe que:

(1) El saco de papas contiene 80 kilogramos

(2) El kilogramo de papas vale el doble que el kilogramo de cebollas

A) (1) por si sola B) (2) por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 625

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71.- Se puede afirmar que a + c < b + c, si se sabe que:

(1) a < b

(2) c > 0

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

72.- En la figura, A, B y C son tres puntos de la circunferencia. Se puede

afirmar que el ∡ABC mide 90º, si se sabe que:

(1) El ∡ACB mide 45º

(2) El centro de la circunferencia está en el trazo AC

A) (1) por si sola B) (2) por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

73.- Al punto A del malecón de un puerto se encuentra amarrada una

boya C con un cable de 15 m, como se representa en la figura. Se puede determinar la distancia d, si se sabe que:

(1) ∡ACB = 30º

(2) AB = 2

15 m

A) (1) por si sola B) (2) por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por si sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 626

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74.- Se puede determinar la cantidad de años necesarios para que un capital inicial se duplique, colocando a interés compuesto anual, sin

realizar depósitos ni retiros, si se conoce:

(1) El interés aplicado

(2) El monto del capital inicial

A) (1) por si sola B) (2) por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

75.- Un velocista realiza varios entrenamientos en su especialidad que

es de doscientos metros vallas. Se puede determinar el promedio de los tiempos de sus entrenamientos, si se conoce:

(1) El número de entrenamientos realizados (2) El menor y el mayor tiempo

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 627

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RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B E D C A D C A D B D E D D B D C B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C A E C D A E B D B D E B D C B A E D A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E C A C D C D E E B E A E B C B D E D A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

C B C E B E C E C E A B D A E

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 628

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ENSAYO PSU 8

1. El 35% del 50% de 200 es:

A) 170 B) 75

C) 35 D) 70

E) 135

2. El valor de la expresión 1

20

222

22

es:

A) 4

7

B) 4

3

C) 2

1

D) 4

1

E) 2

3

3. Al ordenar de mayor a menor los números: a =-5

3, b =

30

12, c =

8

3 y

d =-5

4, se obtiene:

A) c > b > a > d B) b > c > a > d

C) a > b > d > c

D) c > a > b > d E) b > d > c > a

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 629

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4. El trazo AB de la figura se divide en tres partes p, q, r que se

encuentran en la razón 3: 2: 1. Si la medida de q es 12 cm, ¿cuál es la

medida de AB?

A) 28 cm B) 36 cm

C) 35 cm D) 58 cm

E) 72 cm

5. El sexto término de la serie ,.....15

1,

7

1,

3

1,

1

1 es:

A) 63

1

B) 31

1

C) 27

1

D) 35

1

E) 18

1

6. Si se compra una prenda de vestir en cuotas, el precio aumenta en

un 20% de interés del valor al contado. ¿Cuál es el valor al contado de una polera que se pagó en cuatro cuotas de $1.680 cada una?

A) $5.300

B) $5.676 C) $5.600

D) $5.376 E) $5.673

7. A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a C3.

Cuando A = -1, B = 4 y C = -2. ¿Cuánto vale A cuando B vale 2 y

C vale – 1?

A) 2 B) 4

C) -4 D) -3

E) 3

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 630

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8. En una receta de torta, la cantidad de harina varía directamente en

relación a la cantidad de azúcar. Por 2 tazas de harina se agregan 10 cucharadas de azúcar. Si en una taza caben 6 cucharadas, ¿cuántas

cucharadas de harina se necesitan si se ocupan 15 cucharadas de

azúcar?

A) 14 B) 12

C) 15 D) 20

E) 18

9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre el número 5102 + 2550 es(son) verdadera(s)?

I) El número es divisible por 5

II) El número es divisible por 13 III) El número es divisible por 2

A) Solo I B) Solo I y III

C) Solo I y II D) Solo II y III

E) I, II y III

10. El profesor de educación física eligió, de entre los 95 alumnos de tercero y cuarto medio, al 15% de los primeros y al 20% de los cuartos,

que sumaron los 16 estudiantes elegidos para formar la selección de fútbol del colegio. El número de alumnos de cuarto que participan en la

selección es:

A) 12 B) 7

C) 5

D) 8 E) 9

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 631

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

11.

333

666666

333

666666

A) 32

B) 36

C) 362

D) 24 62

E) 34 62

12. De las rectas 012y3x2:L1 y 010y2x3:L2 se puede

afirmar que:

A) forman un ángulo obtuso

B) forman un ángulo recto

C) no se cortan D) forman un ángulo agudo

E) son coincidentes

13. Al resolver la ecuación

x2

4

x3

a

1a

siendo la base “a” un número

real positivo y distinto de uno, el valor de x es:

A) 9

1

B) 3

1

C) 3

2

D) 2

3

E) 1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 632

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14. Si 322a , entonces el recíproco de a es:

A) )223(

B) 223

C) 2

322

D) 2

223

E) 2

322

15. Al factorizar al máximo la expresión 1aaa 23 resulta:

A) 2)1a(

B) )1a)(1a(

C) )1a()1a( 2

D) )1a()1a( 2

E) 2)1a(

16. Al reducir 50150 resulta:

A) 502

B) 503

C) )13(5

D) )26(5

E) )62(5

17. Al desarrollar la expresión

2

x1

1

1x

1

, con x 1, resulta:

A) 1 B) 0

C) x

1

D) 1x

1

E) x1

1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 633

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

x

y

18. ¿Cuál de las siguientes funciones representa el gráfico de la figura

adjunta?

A) y = x2 – 1

B) y = x2 + 1 C) Y = x2 + 2x + 1

D) y = x2 + 2x – 1 E) y = x2 – 2x + 1

19. Al simplificar la expresión algebraica, con las correspondientes

restricciones del caso 2

2

2

2

x1

6x5x

15x2x

1x

el(los) resultados

correctos es(son):

I) 1x

1x

II) 5x

2x

III) 5x

)2x(

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y II

E) I y III

20. Se tiene una recta AB, donde el punto A se encuentra en el primer

cuadrante y el punto B en el tercer cuadrante, entonces:

A) su pendiente pude ser cero B) su pendiente puede ser negativa

C) su pendiente es 1 D) su pendiente es positiva

E) su pendiente es -1

1

1

x

y

0

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 634

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21. Si el lado de un cuadrado se duplica y luego se le quitan 5 unidades,

se obtiene un cuadrado de área 121 cm2. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado original?

A) 44 cm B) 32 cm

C) 42 cm D) 36 cm

E) 34 cm

22. Al efectuar la siguiente expresión 2222 baabaa se

obtiene:

A) 2b

B) 2a

C) 2b

D) 22 ba

E) 22 ab

23. Si la suma de todas las aristas de un cubo es 12a – 6b, ¿cuál es su

volumen?

A)

3

2

ba

B)

3

a2

b

C)

3

2

ab

D)

3

b2

a

E)

3

2

ba

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 635

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24. Si el doble del área de un rectángulo es )28a10a2( 2 cm2. Al

expresar su perímetro en términos de “a”, se obtiene:

A) (10a – 4) cm

B) (4a – 10) cm

C) (6a – 10) cm D) (4a – 7) cm

E) (10a – 7) cm

25. Si m 5, al reducir a su mínima expresión 5m

61

5m

5m

, se

obtiene:

A) 5m

2m

B) 5m

6

C) 5m

4

D) 5m

4

E) 5m

4m

26. El valor en la ecuación 2)xlog(x

1xlog

es:

A) 102

B) 100 C) 98

D) 101 E) 99

27. ¿Para qué valor de “m” la ecuación y = mx + 1 corresponde a la

recta de la figura adjunta?

A) – 1

B) -2

1

C) 2

1

D) 1 E) 2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 636

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28. Un poste proyecta una sombra de 5 m, y al mismo tiempo un tubo

proyecta una sombra de 3 m. Si el tubo mide 4 m, ¿cuál es la altura del poste?

A) 6,6 m

B) 7 m

C) 6,5 m D) 5,5 m

E) 6,3 m

29. La suma de las áreas de 2 cuadrados es 74 y la suma de sus

diagonales es 212 . ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado?

A) 5 y 7

B) 20 y 7 C) 20 y 14

D) 28 y 20 E) 10 y 14

30. Una mezcla de ripio y arena pesa 450 kg. Si la arena pesa 120 kg

menos que el doble del peso del ripio, entonces el peso de la arena es:

A) 180 kg B) 190 kg

C) 260 kg D) 130 kg

E) Ninguna de las anteriores

31. La parábola cuya ecuación es 3x4x2)x(f 2 tiene:

A) un punto máximo B) un punto mínimo

C) corta al eje X en el punto (1,0) D) no corta al eje X

E) el eje de simetría está en el primer y cuarto cuadrante

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 637

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32. Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, el gráfico de

la función 2)x(f es:

A) una recta paralela al eje X

B) una recta paralela al eje Y C) una recta en el I y III cuadrante

D) una recta en el I y IV cuadrante E) una recta en el II y IV cuadrante

33. El valor que debe tener k en la ecuación 018kxx2 , para que

una de las raíces sea – 3, es:

A) 3 B) 0

C) -3 D) 6

E) -6

34. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a la recta del gráfico de la figura adjunta?

A) y = x + 3 B) y = 3

C) x = 3 D) y = x – 3

E) x = - 3

35. ¿Cuál debe ser el valor de “k” en la ecuación k1x2 para que

su solución sea precisamente “k”?

A) 0

B) 2

1

C) 1

D) 2 E) no existe ese valor para k

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 638

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x

y

x

y

36. ¿Qué grafico corresponde a la función

x

2

1)x(f

?

x

y

37. Si un número de dos dígitos es igual al doble del producto de sus

dígitos y estos suman 9, entonces la ecuación para determinar el dígito x de las decenas es:

A) 10x + (9 + x) = 2x (9 + x)

B) x + (x + 9) = 2x(x – 9) C) 10x + (x – 9) = 2x(x – 9)

D) x + (9 – x) = 2x (9 – x)

E) 10x + (9 – x) = 2x (9 – x)

38. El conjunto de todos los valores de x R para los cuales la

expresión: 3x

2x

es un número real está en la opción:

A) {x R /x -2 x > 3}

B) {x R / -2 x < 3}

C) {x R / x - 2}

D) {x R / x > 3}

E) R – {3}

yyy

x x

x

)E)D

)C)B)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 639

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39. El sistema de ecuaciones 12y15x10 no tiene solución si el valor

2x + ky = 9 de k es:

A) -5

B) -3 C) 0

D) 3 E) 5

40. El valor del número real x que satisface: 7

x3x2x

16

1842 es:

A) 9

7

B) – 4

C) -9

7

D) -2

E) -1

41. O es el centro de las 2 circunferencias concéntricas. Si rOB y

OA3OB , ¿cuál es el área achurada?

A) 9

r2

B) 9

r7 2

C) 3

r2 2

D) 2r9

E) 9

r8 2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 640

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42. Dos triángulos son semejantes si tienen:

I) dos lados iguales

II) los tres lados respectivamente proporcionales

III) dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo Comprendido igual.

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) I y II E) II y III

43. Si y son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo de

hipotenusa igual a 20 cm y sen =5

3, el valor de tgtg es:

A) 3

5

B) 5

4

C) 1 D) 0

E) 2

1

44. ¿Cuáles son las coordenadas del punto (5, 4) cuando se le aplica

una reflexión respecto de la recta y = 2?

A) (5, 0) B) (0, 4)

C) (0, 5) D) (4, 0)

E) (5, 2)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 641

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45. ¿Con cuál de estas afirmaciones se cumple que los triángulos ABC y

DEF son congruentes?

I) DEAB II) DEAB III) DEAB

∡ABC ∡DEF ∡ABC ∡DEF ∡BCA ∡EFD

EFBC DFAC EFBC

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y III

E) Todas

46. Si a un punto P del plano cartesiano, de coordenadas (-6, -1), se le

aplica una traslación según el vector (3, 4) y luego una rotación, con centro en el origen, de -90º, el nuevo punto P queda ubicado en:

A) (3, 3)

B) (-3, -3)

C) (0, -6) D) (-3, 0)

E) (-6, 0)

47. La figura ABCD es un cuadrado y E es punto medio del lado AB . ¿Cuál es el valor del perímetro de la figura achurada?

A) 522

B) 5223

C) 5226

D) )5223(2

E) 5223

48. Si un triángulo ABCD es rectángulo en C y se dibuja la altura hc con respecto a la hipotenusa, se forman siempre:

A) tres triángulos semejantes

B) dos triángulos congruentes C) dos triángulos semejantes

D) tres triángulos equivalentes E) dos triángulos equivalentes

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 642

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49. Al rotar la banderilla de la figura, en torno al eje AB, se obtiene un

cuerpo geométrico cuyo volumen es el siguiente:

A) 3

32

B) 3

64

C) 3

16

D) 3

18

E) Ninguna de las anteriores

50. En la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AM es diámetro, al arco AB es congruente con el arco BC y el ∡APB = 20º.

¿Cuánto mide ∡MAC?

A) 20º

B) 40º C) 45º

D) 50º E) 60º

51. A la figura siguiente se le aplicó una transformación a los vértices A,

B y C para quedar en A’, B’ y C’ respectivamente. Se aplicó:

I) Rotación II) Traslación

III) Reflexión respecto al eje y

A) Solo I B) Solo II

C) I y II D) Solo III

E) II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 643

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

52. En el triángulo ABC rectángulo en A, de la figura adjunta; ADCD .

Entonces CD=

A) 25 B) 144

C) 12

65

D) 12

25

E) 60

53. Si al trazo AB se le aplica una simetría central con respecto al punto P, resulta:

I) II) III)

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) II y III

E) Ninguna de las anteriores.

54. Si el ángulo = 20º, arco AB = arco BC, arco AE = 70º y AD

diámetro, entonces, ¿cuánto mide el ángulo ?

A) 100º

B) 105º C) 140º

D) 120º E) 160º

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 644

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55. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya diagonal de una de sus caras

es 24 cm?

A) 16 cm2

B) 16 2 cm2

C) 64 cm2

D) 32 cm2

E) 64 2 cm2

56. Desde un punto situado a 5 metros de la base de una torre se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior de la torre es

de 30º. ¿Cuál es la altura de la torre?

A) 2

5metros

B) 2

25metros

C) 3

5metros

D) 2

35metros

E) 3

35metros

57. Los lados homólogos de dos triángulos semejantes miden 3 cm y 4 cm respectivamente. Si el área del primer triángulo es 27 cm2, ¿cuál es

el área del segundo?

A) 24 cm2 B) 48 cm2

C) 36 cm2 D) 64 cm2

E) 60 cm2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 645

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

58. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. el triángulo ABE es

equilátero con mediana MT . Además los ángulos MPC y MRC son rectos. ¿Cuánto mide el área achurada?

A) 2cm)26(

B) 2cm)26(

C) 2cm)3412(

D) 2cm)3212(

E) 2cm)3512(

59. Si un cuadrado aumenta su lado en un 30%, ¿en qué porcentaje

aumenta su área?

A) 30% B) 63%

C) 39% D) 90%

E) 69%

60. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide x2 + y2, y uno de

los catetos mide 2xy, ¿cuál es la medida del otro cateto?

A) x + y B) x2 – y2

C) (x + y)2 D) x – y

E) 4x2y2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 646

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61. Se lanza un dado no cargado. Si se obtiene un número par,

entonces se lanza una moneda honesta. Si se obtiene un número impar,

entonces se lanza una moneda con probabilidad de cara igual a 3

1. ¿Cuál

es la probabilidad total de obtener sello?

A) 12

3

B) 3

2

C) 3

1

D) 12

5

E) 12

7

62. Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un sello?

A) 8

7

B) 3

1

C) 8

3

D) 3

2

E) 3

7

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 647

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63. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un guante derecho rojo de un total

de 5 pares de guantes rojos y 5 pares de guantes negros?

A) 4

1

B) 4

3

C) 2

1

D) 3

2

E) 8

1

64. Si se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga por lo menos una cara?

A) 4

1

B) 4

3

C) 2

1

D) 3

2

E) 8

1

65. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) La moda es el valor central de los datos

II) La media es siempre menor que la moda III) Pueden haber más de una moda en un grupo de datos

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) I y II E) Ninguna de las anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 648

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66. Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una

puerta, ¿cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercer intento sin usar una llave más de una vez?

A) 4

1

B) 4

3

C) 4

9

D) 16

3

E) 16

9

67. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y con los valores

obtenidos se construye una tabla de frecuencia. Si la media aritmética de los valores es 3,8 el número total de lanzamientos es:

A) 3

B) 4

C) 19 D) 25

E) Ninguna de las anteriores

68. Se considera el siguiente conjunto: {2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11,

12, 18, 20}. La mediana y la moda respectivamente son:

A) 7 y 2 B) 9 y 9

C) 10 y 5 D) 9 y 12

E) 20 y 9

X f

1 5

2 2

3 4

4 x

5 4

6 7

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 649

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69. ¿Cuánto mide el segmento AD en la figura adjunta

(1) = 50º

(2) cm6DCBD

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

70. En la figura adjunta, ¿cuánto mide el ángulo a?

(1) a + b = c + d

(2) a = b; e = 90º

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

71. En una librería hay en total 500 libros entre Matemática, Física y Química. ¿Cuántos libros son de Física?

(1) El número de libros de Matemática corresponde al doble

de los de Física.

(2) El 35% del total de libros corresponde a los de Matemática y Química

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 650

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

72. Dadas las rectas de ecuaciones L1: ax + by + c = 0 y

L2: dx + ey + f = 0 ellas son perpendiculares si:

(1) c = f = 2

(2) a = e, b = -d

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

73. Se tiene una caja con lápices azules y rojos, todos de igual peso y tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer un lápiz azul si:

(1) La probabilidad de extraer un lápiz rojo es 7

2.

(2) El número total de lápices es 14.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

74. Se puede determinar el promedio (o media aritmética) de una

muestra de datos numéricos si:

(1) La suma de los datos es 549. (2) El total de datos es 9.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 651

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

75. Si se tienen los valores 3, 5, 1, 8, 7, x, 4, 1, 6, 8, 5, entonces se

puede determinar el valor de x si:

(1) La moda es 5.

(2) La mediana es 5.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 652

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RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C B B B A C C E E B E B B A D D B E C D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A A B C D B A D C B A C C C A E A B D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E E C A A A D A B D D D A B C E B C E B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

E A A B C A A B E C B B A C A

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 653

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ENSAYO PSU 9

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 0,174 = 990

173

II) 0,12 + 2,59 = 2,71

III) 99

2 = 0,02

A) Sólo II

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

2. Al dividir por cien la expresión (0,8: 0,2) resulta

A) 40 B) 4

C) 2,5 D) 0,4

E) 0,04

3. ¿Cuál es el sucesor del sucesor del entero -3?

A) -1 B) -2

C) -3 D) -4

E) -5

4. ¿A cuánto equivale la cuarta parte, del cuarto de 4

1?

A) 64

1

B) 16

1

C) 4

1

D) 4

E) 16

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 654

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5. Si n 0, n ba es igual a

A) a B) ab

C) b

D)

b

n

a

E)

n

b

a

6. Al reducir 3

1

2

13213

. Ésta es equivalente a:

A) 1

B) 3

1

13

C) 13

D) 132

E) 6

35

13

7. Si F = -2, entonces (-F)5 + 4F =

A) –24

B) 2 C) 24

D) 32 E) 48

8. La expresión 3 42 equivale a:

A) 8

B) 6 4

C) 12 8

D) 3 4

E) 12 2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 655

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9. El gráfico de la figura representa la relación de variación entre las

magnitudes x e y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) A mayor valor de x, mayor valor de y.

II) x e y son variables directamente proporcionales. III) La expresión de la constante de proporcionalidad es x · y

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II E) I, II y III

10. ¿Cuál es el valor de 4x2 - 2x - x3 - x, si x toma el valor -2?

A) 40 B) 30

C) 28

D) 20 E) -30

11. 36

133

4

12

9

72

A) 2

31

B) 6

13

2

1

3

73

C) 2

D) 5 E) Ninguno de los valores anteriores

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 656

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12. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a

b + 1?

I) 2

12b

II) 1bcon1b

12bb2

III) 1bcon1b

1b2

A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II

D) Solo II y III E) I, II y III

13. Si a – b = 4, ¿cuál (es) de las expresiones es(son) igual(es) a 8?

I) b2a

II) 2b2a

III) ba

)b2ab2(a 22

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

14. Con respecto al gráfico de la función f(x) = x , ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) El gráfico de la función g(x)=

1x representa la traslación

de f(x) sobre el eje x, una unidad a la derecha.

II) El gráfico de la función h(x) =- x representa una simetría de

f(x) con respecto al eje x.

III) El gráfico de la función t(x)= 1x representa una traslación

de f(x) paralela al eje y.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 657

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15. ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a

(a - b)2 + 2ab? I) a2 + 2ab + b2

II) a2 + b2

III) a(a) + b2 A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo II y III E) I, II y III

16. El valor de x en la ecuación 10x2

1xx

2

3 es:

A) 2 B) 3

C) 4 D) 5

E) 6

17. ¿Cuál es el valor de x en el siguiente sistema?

2yx

10yx

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

18. Si Juan trabaja el doble que Marcela y Marcela trabaja la mitad que

Álvaro, entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

FALSA(S)? I) Juan trabaja lo mismo que Álvaro.

II) Juan trabaja el doble que Álvaro. III) Marcela es la que más trabaja.

A) Sólo I B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) Ninguna de ellas

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 658

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19. La suma de 2 números es 22 y su diferencia positiva es 2. ¿Cuáles

son los números?

A) 13 y 9

B) 20 y 2 C) 11 y 11

D) 10 y 12 E) Ninguno de los valores anteriores

20. Un hombre llamado Leonardo, midió su cuerpo y lo dividió por la

distancia entre su ombligo y la planta de sus pies, obteniendo el número 1,618. Si la distancia entre su ombligo y la planta de sus pies es de 1,1

metros, ¿cuánto mide Leonardo?

A) 1,5 metros B) 1,618 metros

C) 1,677 metros D) 1,7 metros

E) 1,7798 metros

21. En una localidad de Chile entre cóndores y huemules hay 50

animales, y si contamos sus patas éstas suman 160. Según estos datos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Hay 20 cóndores. II) Hay 30 huemules.

III) 120 de las patas son de huemules. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) I, II y III

22. Un corsario inglés ha saqueado ciudades españolas, francesas y

holandesas, reuniendo un tesoro de 100.000 monedas de oro. Si al

repartir el botín, el corsario se queda con el 30% del botín y el resto lo reparte en partes iguales entre los otros 140 tripulantes.

¿Cuántas monedas de oro recibe cada tripulante?

A) 500 B) 750

C) 1.250 D) 2.500

E) 5.000

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 659

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23. Un alumno lleva dos libros en su mochila, el primero es un relato de

Edgar A. Poe de 300 páginas y el segundo (de más páginas que el primero) es un libro del autor H. P. Lovecraft. Si la razón entre el

número de páginas es de 6:7, ¿cuántas páginas posee el libro de H. P.

Lovecraft?

A) 200 B) 300

C) 350 D) 400

E) 450

24. Si f(x) = x2 y g(x) = (x – 1)2, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I) f(5) – g(6) = 0 II) g(6) – f(5) = 11

III) f(a) – f(a + 1) – g(a – 1) = a

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo II y III

25. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x.

III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 660

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26. ¿En cuál(es) de las siguientes expresiones se obtiene el mismo

resultado que al calcular el 10% de 100? I) El 50% de 20

II) El 20% de 50

III) El 5% de 200 A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

27. El intervalo solución de la siguiente inecuación -3x + 2 < 10 es

A)] -3

8, +[

B)]- , 8[

C)]- , 3

8[

D)]- , - 3

8[

E)] -3

8 ,

3

8[

28. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) función(es) de A en B? A = {1, 2, 3}; B = {5, 6, 7, 8}

I) R = {(1,5), (1,6), (1,8)} II) R = {(1,5), (2,6), (3,7)}

III) R = {(1,5), (2,6), (3,8)} A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo II y III

29. Si f(x) = 2x + 5 y g(x) = x2 + 2, entonces g(3) – f(–3)=

A) 0 B) 9

C) 10 D) 12

E) Ninguno de los valores anteriores.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 661

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30. Un láser experimental que funciona con energía solar, se vuelve más

poderoso entre más días se haya cargado con la luz solar, si se deja cargando 10 días, tiene una potencia de 2 kilotones, y si se deja

cargando 90 días posee una potencia de 12 kilotones, entonces si la

potencia del láser se comporta linealmente, considerando los kilotones como la variable dependiente (y), ¿cuál es la función lineal que permite

calcular la potencia en kilotones del láser en x días de carga?

A) f(x) = 90x

B) f(x) = 4

3

8

x

C) f(x) = 8

x

D) f(x) = 8x + 4

3

E) f(x) = 4

x

31. Sea f (x) = 3x2 + 6x + 7, con x en los números reales. El menor

valor que alcanza la función es

A) – 5 B) – 2

C) 4 D) 7

E) ninguno de los valores anteriores.

32. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) igual(es) a x2 + 10x + 24?

I) (x + 24 )2

II) x(x + 10) + 24 III) (x +6)(x + 4)

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 662

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33. Si 32a = 9, ¿cuál es el valor de a?

A) -1

B) 0

C) 1 D) 2

E) 3

34. La ecuación de segundo grado cuyas soluciones son y 0 es

A) x2 - x = 0

B) x2 + βx + (β - ) = 0

C) x2 -βx + x = 0

D) x2 - x - (β + ) = 0

E) no existe esa ecuación.

35. Si x = b, entonces log x2 - log b2 + log 10 es igual a

A) x + b B) 1

C) 0 D) - b

E) ninguna de ellas.

36. Una población de bacterias crece dada la función f(x) = k · 3x, donde

k es el número inicial de bacterias por colonia y x es el tiempo en minutos. Si una colonia posee inicialmente 2 bacterias, ¿cuántas

bacterias habrá en el minuto 3?

A) 54 B) 64

C) 70 D) 108

E) 540

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 663

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37. En la figura está representada la función f(x). ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f (-3) = -f (3)

II) Para cualquier valor de x se

cumple que f(x + 1) = f(x) + 1. III) Si -1 < x < 1, entonces f(x) 0.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III

D) I y III E) II y III

38. Sobre la ecuación de incógnita x, p

4

pq

3x

p

2

pq

px)(5

, con p y q

distintos de cero, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son)

verdadera(s)? I) Si p 3, tiene solución única

II) Si p = 3 y q =2

5 , tiene infinitas soluciones

III) Si p = 3 y q2

5, no tiene solución

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

39. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuyo lado es igual al lado

de un cuadrado de área 4 cm2?

A) 4

3 cm2

B) 2

3 cm2

C) 3 cm2

D) 3 3 cm2

E) 4 3 cm2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 664

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40. Si x ≥ 0, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) x > 0

B) x2 = -x2

C) x3 > x2 D) (x – 2)2 ≥ 0

E) (1 – x)2 ≤ (1 – x)3

41. Si la altura de un triángulo equilátero mide 2 3 cm, ¿cuánto mide

su área?

A) 4 3 cm2

B) 6 3 cm2

C) 8 cm2

D) 8 3 cm2

E) 4 cm2

42. Si comparamos un cuadrado de lado “a” con un rombo de lado “a” es siempre verdadero que

I) sus áreas son iguales.

II) sus perímetros son iguales. III) sus áreas son distintas.

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo III D) Sólo I y II

E) Sólo II y III

43. En la circunferencia de centro O de la figura, 2 – β es igual a

A) 60

B) 30

C) 15

D) 0

E) – 30

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 665

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44. En el sistema solar de Alpha Centauro, su cuarto planeta recorre en

una vuelta completa a su sol 60.000.000 π kilómetros. Si su órbita es circular, ¿a qué distancia se encuentra el planeta de su sol?

A) 10.000.000 kilómetros B) 10.000.000 π kilómetros

C) 30.000.000 π kilómetros D) 30.000.000 kilómetros

E) 60.000.000 kilómetros

45. Si y β son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) tg =

cos

sen

II) cotg =sen

1

III) sen = cosecβ

A) Sólo I B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) Sólo II y III

46. Al mirar la cumbre de un cerro se observa que el ángulo de

elevación es de 30. Al acercarse horizontalmente 3

3580metros, el

ángulo es ahora 60, ¿cuál es la altura del cerro?

A) 290 metros B) 580 metros

C) 580 3 metros

D) 1.160 metros

E) 1.160 3 metros

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 666

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47. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones nos permite(n) determinar

si dos triángulos son congruentes? I) Poseen tres lados correspondientes congruentes.

II) Poseen dos lados congruentes y el ángulo comprendido

por ellos congruente. III) Poseen los tres ángulos congruentes.

A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

48. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras podemos utilizar siempre el

teorema de Tales?

A) Sólo I

B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

49. En la figura, ¿cuál es la medida de x?

A) 1 cm B) 2 cm

C) 3 cm D) 4 cm

E) 6 cm

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 667

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50. Si ABC es un triángulo y CD es bisectriz del ∡ ACB, x es igual a

A) ac

B) 2

ac

C) b

ac

D) c

ba

E) c

ba2

51. Si en la fi gura L1 // L2, AB = 8 cm, AC= 2 cm y DE = 24 cm,

¿cuánto mideCE?

A) 18 cm B) 12 cm

C) 10 cm D) 6 cm

E) 4 cm

52. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 4) y el origen?

A) y + 2x = - 4

B) y = 2x C) y - 2 = 1

D) 2y - x = 2 E) y + x = 4

53. Al rotar indefinidamente el rectángulo de la fi gura, en torno al lado

AB , se genera un cuerpo geométrico cuyo volumen mide

A) 676π cm3

B) 225π cm3 C) 208π cm3

D) 104π cm3 E) ninguna de las medidas anteriores.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 668

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54. ¿Cuál es el volumen de un cubo, en el cual la diagonal de una de sus

caras mide 4 2 cm?

A) 4 cm3

B) 16 cm3 C) 48 cm3

D) 64 cm3 E) 128 cm3

55. Dada la recta S y el punto N de la figura, ¿qué transformación

isométrica se debe aplicar a la mitad derecha del dibujo para así obtener la mitad izquierda?

A) Una traslación.

B) Una rotación de 360 con centro en N.

C) Una rotación de 180 con centro en N.

D) Una simetría (reflexión) con respecto a la recta S.

E) Una simetría (reflexión) con respecto al punto N.

56. Si se rota en 180 en el plano cartesiano con centro en el origen y

en sentido antihorario, el punto (3,-2), quedará ubicado en

A) (2, -3)

B) (2, 3) C) (-3,2)

D) (3,2) E) (-3,-2)

57. Si traslado el triángulo de vértices A(0,0), B(1,2) y C(5,0) con un

vector de traslación T(2,1), las coordenadas de los vértices una vez

trasladados serán

A) A’ (0,0), B’ (1,2) y C’ (5,0) B) A’ (0,0), B’ (3,3) y C’ (7,1)

C) A’ (-2,-1), B’ (-1,1) y C’ (3,-1) D) A’ (2,1), B’ (1,2) y C’ (5,0)

E) A’ (2,1), B’ (3,3) y C’ (7,1)

N

S

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 669

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58. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 32 cm y los arcos FE y CA son un cuarto de circunferencia. Si E y F son puntos medios,

¿cuál es el perímetro de la región achurada?

A) (24 + 20) cm

B) (24 + 6) cm

C) (64 – 6) cm

D) (32 – 20) cm

E) (32 – 6) cm

59. Si la probabilidad de que una persona gane en un juego de azar es

de 0,01, ¿cuál es la probabilidad de que NO gane?

A) 0,09 B) 0,99

C) 9,09 D) 9,99

E) 99,99

60. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que sus caras

superiores sumen 7?

A) 36

5

B) 6

1

C) 36

7

D) 36

11

E) 6

5

B A

C D

E

F

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 670

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61. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 monedas una después de

la otra salgan dos caras?

A) 8

1

B) 4

1

C) 2

1

D) 4

3

E) 2

2

62. Al lanzar tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salga al

menos una cara?

A) 8

1

B) 8

3

C) 2

1

D) 8

7

E) 2

3

63. ¿Cuál de los siguientes eventos posee una probabilidad de ocurrencia 1?

A) Que al lanzar dos monedas salgan dos caras.

B) Que un año posea 365 días. C) Que al sacar al azar a una persona de Europa, ésta sea alemana.

D) Que al sacar 5 cartas de un mazo todas sean diamantes.

E) Que al lanzar una moneda salga cara o sello.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 671

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64. El promedio de las notas de 6 alumnos es 5,7. ¿Cuál es la nota del

sexto alumno si la suma de las 5 primeras notas es 29,7?

A) 4,2

B) 4,5 C) 4,7

D) 4,8 E) Faltan datos para determinarlo.

65. Dado el siguiente histograma, que representa las precipitaciones en

milímetros caídas en cierta localidad entre Mayo y Septiembre, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) En Mayo y Julio llovió durante la misma cantidad de días.

II) El mes más lluvioso es Junio. III) El promedio de agua caída en el periodo es de 260 mm.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III D) Sólo II y III

E) I, II y III

66. ¿Cuál es la frecuencia de la moda de la siguiente muestra:

1,1,1,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,6,7?

A) 1 B) 2

C) 3 D) 4

E) 5

67. El gráfico nos muestra el número de personas que hay en 4 casas.

De acuerdo con esta información, ¿cuántas personas hay en total en todas las casas?

A) 6

B) 8 C) 10

D) 12 E) 14

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 672

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68. Un experimento tiene 5 resultados posibles A, B, C, D y E,

excluyentes entre sí. El experimento se realiza 50 veces y se obtuvieron los resultados que muestra la tabla. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El 10% de las veces se obtuvo el resultado A. II) El 20% de las veces se obtuvo el resultado B o D.

III) La frecuencia relativa del resultado E es 0,3.

A) I y II B) Sólo III

C) I y III D) I, II y III

E) Ninguna de las tres afirmaciones es verdadera

Instrucciones para las preguntas Nº 69 a la Nº 75

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema,

sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del

problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2), son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es; B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es; C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son

suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información

adicional para llegar a la solución.

69. La cantidad de pisos de dos edificios están en la razón de 5: 9. Se

puede determinar la cantidad de pisos de cada uno si: (1) La diferencia de los pisos de los edificios es de 12 pisos.

(2) Los pisos de ambos edificios suman 42. A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

Resultado A B C D E

Frecuencia 10 10 5 10 15

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 673

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70. Se puede determinar las coordenadas del punto “D” si: (1) Al aplicar el vector traslación (23,12) sus nuevas

Coordenadas son (32,41).

(2) Al aplicar una rotación en 180º con respecto al origen Sus nuevas coordenadas son (-9,-29).

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

71. Se puede determinar el valor de la media aritmética (promedio) de

una muestra de datos no agrupados si: (1) La suma de los datos es 2.000.

(2) La muestra tiene 400 datos.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

72. Se puede determinar el área de un triángulo rectángulo si:

(1) Un cateto mide 12 cm. (2) La hipotenusa mide 13 cm.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 674

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73. Se puede determinar cuánto demoran 5 hombres en construir una

piscina si: (1) 2 hombres demoran 10 días en construir la misma piscina.

(2) Los 5 hombres se demoran el doble del tiempo que 10

Hombres en hacer el mismo trabajo.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

74. Se puede determinar el número de diagonales totales que se pueden trazar en un polígono si:

(1) Se conoce el número de lados del polígono. (2) Se conoce la suma de los ángulos interiores del polígono.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

75. Para la circunferencia de centro O de la fi gura, se puede determinar

la medida del ∡α si:

(1) Arco AB es 3

1 de la circunferencia.

(2) El radio es 4 cm. B

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 675

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RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C E A A E C C D C B C D D C D D E D D E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

E A C D C E A E D B C D C A B A E E C A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

A E D D C A C D E C D B C D D C E B B B

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

B D E B D E E B D D C C A D A

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 676

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ENSAYO PSU 10

1. 6

1

3

2

4

1

4

3

2

11)E

24

23)D

4

3)C

2

1)B

3

1)A

2. de una bebida de 2 litros, Eva toma 4

1de ella, Julia bebe

3

1 del resto

y Rosa se sirve 4

1de litro. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones

es(son) correcta(s)? I) Julia bebe el doble que Eva

II) Eva y Rosa juntas tomaron más bebida que Julia III) Rosa se sirvió la mitad de lo que tomó Julia

A) Solo I B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III E) Solo II y III

3. 32 23

15)E

12)D

8

19)C

8

16)B

0)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 677

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4. Se tienen 3 máquinas A, B y C procesadoras de números. Si un

número pasa por A, aumenta al doble; si pasa por B se reduce a la tercera parte y si pasa por C se le resta 0,25. ¿En cuál(es) de los

siguientes procesos se expresa el resultado correcto?

75,1BAC3)III

75,1CAB3)II

75,1CBA3)I

A) Solo en I B) En I y en II

C) Solo en II D) En II y en III

E) Solo en III

5. Si la suma entre a y b es el 20% de 40 y su diferencia es el 10% de 20, entonces la razón (a + b): (a – b) es

A) 2: 1 B) 3: 1

C) 4: 1 D) 4: 3

E) 5: 3

6. Se desea repartir la suma de $ 52.000 entre tres personas de modo que la razón entre las cantidades que reciba cada uno sea 6: 4: 3.

¿Cuánto recibe cada persona?

A) $ 60.000 $ 14.000 $ 30.000 B) $ 30.000 $ 14.000 $ 12.000

C) $ 25.000 $ 14.000 $ 13.000 D) $ 24.000 $ 16.000 $ 12.000

E) Ninguna de las anteriores

7. Un padre recibe mensualmente $ 450.000, de los cuales gasta los 9

8

y el resto lo reparte entre sus dos hijos en partes iguales. Después de 4

meses, cada hijo ha recibido

A) $ 25.500 B) $ 50.000

C) $ 100.000

D) $ 200.000 E) $ 400.000

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 678

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8. La figura muestra una calculadora aritmética común. ¿Cuál(es) de las

siguientes secuencias de teclas permite(n) calcular el 25% de 12?

A) Solo II

B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

9. la ley de Ohm para circuitos eléctricos se enuncia mediante la relación

RIV , donde V es el voltaje (o diferencia de potencial eléctrico) aplicado, I es la intensidad de la corriente que circula por el circuito y R

es la resistencia eléctrica. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s)?

I) Si R es constante, el voltaje es directamente proporcional a la

Intensidad de la corriente

II) Si V es constante, la intensidad de la corriente y la resistencia Son inversamente proporcionales

III) Si I es constante, V y R son inversamente proporcionales

A) Solo I B) Solo II

C) I y II D) I y III

E) II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 679

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10. Si las cantidades a y b son inversamente proporcionales y la

constante de proporcionalidad es K, entonces ¿cuál es el valor de b

cuando a toma el valor de 2

1?

2

K)E

k2)D

k)C

2)B

2

1)A

11. Si a = 3 y B = -5, entonces ¿cuál es el valor de –a – b – ab?

A) -23 B) 17

C) -17 D) -13

E) 13

12. )1x)(1x(3)1x)(2x(4

5x4x)E

11x4x)D

3xx)C

5x)B

11x)A

2

2

2

2

2

13. Si 3(x – 2) = 5x, entonces ¿cuál es el valor de 2x?

A) -6

B) 6 C) -3

D) -2 E) -1

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 680

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14. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a un factor del

trinomio ?10m3m2

A) m – 3 B) m + 3

C) m – 5 D) m + 5

E) m + 2

15. El enunciado: “Un número x se multiplica por sí mismo y al

resultado se le resta la suma de los cuadrados de a y b” se escribe:

22

22

2

222

222

bax2)E

)ba(x2)D

)ba(x2)C

bax)B

)ba(x)A

16. ¿Qué sucede con el área de un rombo si una de sus diagonales se

duplica y la otra se mantiene constante?

A) Se duplica B) Se cuadruplica

C) Se mantiene igual D) Se divide a la mitad

E) Aumenta en 2 unidades de superficie

17. Se define (a, b) * (c, d) = (ac + bd, bc – ad) con a, b, c y d números enteros. Entonces, el resultado de (1,2) * (3,1) es:

A) (5, -5) B) (-5, 5)

C) (5, 5) D) (5, 3)

E) (-5, -5)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 681

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18. En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) El área sombreada es 2ab – 2xy

II) El área sombreada es )xa(y)yb(a)ya(x)xb(a

III) El área sombreada es )yb(x)xb(y)xa(b)ya(b

A) Solo II

B) Solo III

C) II y III D) I, II y III

E) Ninguna es verdadera

19. Un edificio de 8 pisos tiene 12 ventanales por piso, de los cuales 10

son ventanales simples y 2 son ventanales dobles. El costo por limpiar un ventanal simple es $ P y por limpiar uno doble es un 25% más caro.

¿Cuál es el costo por limpiar los ventanales del edificio?

A) $ 100P

B) $ 84P C) $ 48P

D) $ 12,5P E) $ 10,5P

20.

ba

)ba3(b)ba(

ba

ab3a)E

ba

bab3ba)D

ba

ba4)C

b2a)B

3a)A

2

2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 682

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21. Si a es un número natural, al desarrollar la expresión 31a1a )22( resulta

6

)1a)(1a(3

)1a(3)1a(3

)1a(3

3a

2)E

2)D

22)C

227)B

227)A

22. 32:)250(

1)E

4)D

24

252)C

)23(4)B

2

3)A

23. Si el doble de un número x se aumenta en 4 unidades, resulta un

número mayor que 10, entonces el número debe ser mayor que:

A) 3 B) 4

C) 6 D) 7

E) 10

24. Si 31by31a , entonces el valor de 22 ba es:

348)E

34)D

8)C

6)B

0)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 683

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25. Si x es un número real distinto de -2, de 2 y de todos los valores

comprendidos entre dichos números, entonces x pertenece al conjunto:

,22,)E

,22,)D

,2)C

2,2)B

2,)A

26. Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = a + bx.

¿Cuál es el valor de f(a – b)?

2

2

22

22

22

baba)E

baba)D

baba)C

baba)B

ba)A

27. En la figura, la ecuación de L1 es y = 3x + 3. Entonces, ¿cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La pendiente de L2 es -3

II) L2 corta al eje x en (3, 0) III) L1 y L2 se intersectan en el

punto de coordenadas

5

6,

5

3

A) Solo I

B) I y II C) I y III

D) II y III E) I, II y III

28. Del grafico de la función x1)x(f , se puede afirmar que:

I) corta al eje de las ordenadas en y = 1

II) sus ramas se abren hacia arriba III) su vértice está en el punto (0,1)

A) Solo I

B) Solo II C) I y II

D) I y III E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 684

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29. ¿Cuál es el grafico que representa a la función f(x) = ?1x

30. Si las rectas x = y; x = 5 se intersectan en el punto de coordenadas (a, b), entonces el valor de a + b es:

A) 0

B) 5 C) 10

D) 25 E) Faltan datos

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 685

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

31. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función

)1x)(1x()x(f

32. dada la ecuación de la parábola 2)x2(3y , ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) intersecta al eje Y en (0,6)

II) sus ramas se dirigen hacia arriba III) el vértice tiene coordenadas (2,0)

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III D) I y III

E) II y III

33. ¿Cuál es el dominio de la función 1x)x(f 2 ?

,1)E

,1)D

,11,)C

1,)B

1,)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 686

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34. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 5?

3log

15log)E

2log10log)D

2log3log)C

2log3log)B

1log5)A

35. En una granja avícola, una población de aves se triplica al cabo de

6 meses. Si el período de crianza se inicia con 300 ejemplares, ¿cuántas aves habrá al cabo de 2 años si no se pierde ningún ejemplar?

A) 900

B) 1.500

C) 3.600 D) 8.100

E) 24.300

36. Un capital de $ c se invierte al 10% de interés compuesto anual durante dos años y el capital final se vuelve a invertir al 20% de interés

compuesto anual durante dos años más. ¿Cuál es el resultado de la operación al cabo de los cuatro años?

4

4

2

4

2

3,2c)E

3,1c)D

3,1c)C

32,1c)B

32,1c)A

37. ¿Cuál es el valor de k para que la recta 01y)k7(x4 sea

paralela a la recta 03y8x2 ?

A) 7

B) 4

1

C) 32 D) -28

E) 23

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 687

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38. ¿Cuál es valor del producto yx en el sistema de ecuaciones

siguiente? 3y5x

25y2x3

A) 20

B) 14

C) 21 D) 12

E) 18

39. 343 816272

A) 8 B) 10

C) 12 D) 14

E) 16

40. En dos cilindros de igual altura se tiene que la razón de sus radios es 1: 2, entonces la razón entre el volumen del menor con el mayor es:

A) 1: 2

B) 1: 4 C) 2: 3

D) 2: 5 E) Ninguna de las anteriores

41. En la figura, ABCD es un rectángulo, ]cm[12AB , ]cm[8BC y

BC//GH//EF . Si DE5,0GCEG y M, N son puntos medios de los

lados respectivos, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)

verdadera(s) con respecto a las áreas sombreadas representadas por P, Q, R y S?

I) P = Q + S

II) R = P + S III) 2R = P + Q

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III D) Solo II y III

E) I, II y III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 688

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42. En la figura, PQRABC . Entonces, SIEMPRE se cumple que:

PQ//AB)II

PQAB)I

III) ∡ ACB ∡ PQR

A) Solo I B) Solo III

C) I y II D) I y III

E) I, II, III

43. El cuadrado OABC de lado a de la figura, se ha dividido en 4 cuadraditos congruentes. La superficie del cuadrado OEFG es:

2

2

2

2

2

a)E

4

a5)D

2

a5)C

4

a3)B

2

a3)A

44. En la figura, sobre la recta ACse han dibujado el triángulo equilátero

y el cuadrado BCDE. El triángulo y el cuadrado son de lado 6 cm. La

superficie de la región sombreada es:

2

2

2

2

2

cm52

9)E

cm32

9)D

cm59)C

cm39)B

cm9)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 689

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45. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede trazar más de un

eje de simetría?

A) Solo en I

B) En I y en II C) Solo en III

D) En I, II y IV E) En todas

46. En la figura, al triángulo ABC se le aplica una rotación en 90º en el

sentido antihorario, con respecto al vértice A. ¿Cuáles son las nuevas

coordenadas del vértice C?

A) (-2, 3) B) (0, 3)

C) (4, 3) D) (6, -1)

E) (6, 3)

47. En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(1,2) con

respecto a la recta de ecuación y = 4 – x?

A) (2, 1)

B) (2, 3) C) (3, 2)

D) (3, 3) E) (4, 3)

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 690

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48. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras corresponde(n) a una teselación

(embaldosamiento) del plano mediante un polígono regular?

A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) II y III E) I, II y III

49. En la figura, triángulo ABC equilátero,

cm4AD,cm15AB,AB//DE y cm3PE ¿Cuánto mide el área

sombreada?

2

2

2

2

2

cm310)E

cm38)D

cm36)C

cm34)B

cm32)A

50. En la figura, DE//AB . ¿En qué razón está dividido el segmento AC?

1:2)E

1:3)D

2:3)C

2:5)B

3:5)A

x

D

6

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 691

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51. En la figura, triángulo ABC rectángulo en A, BCAFyAB//DE .

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) BAC ∼ EFP

II) ADP ∼ EFP

III) AFB ∼ PFE A) Solo I

B) Solo II C) Solo III

D) II y III E) I, II y III

52. En la circunferencia de centro O de la figura, PQyMN son

diámetros. Si º36 , entonces ∡ x =

A) 18º

B) 36º C) 52º

D) 62º E) 72º

53. En la figura, triángulo ABC equilátero de lado 1 y D es el centro de la

semicircunferencia inscrita de radio r. ¿Cuál es el valor de r?

16

3)E

54

1)D

34

1)C

32

1)B

2

1)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 692

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54. En la figura, O es el centro de la circunferencia de radio 4 y Q es el

centro de la semicircunferencia de radio 3. Si ABPM , entonces el

trazo PMmide:

558

3)E

58

3)D

34

3)C

32

3)B

3)A

55. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras se puede afirmar que L1 y L2 son paralelas?

A) Solo en I B) Solo en III

C) En I y en II

D) En I y en III E) En I, II y III

56. Si 3

2tg entonces sen =

13

2)E

13

3)D

13

2)C

3)B

2)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 693

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57. Una escalera de 2 m de largo está apoyada en una pared formando

un ángulo de 50º con el suelo. ¿A qué altura de la pared está apoyada la escalera?

m2

º50sen)E

m2

º50cos)D

mº50sen2)C

mº50cos2)B

mº50tg2)A

58. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC equilátero de la

figura son (2, 0, 0); (0, 2, 0) y (0, 0, 2). Si CDes altura, entonces

¿cuáles son las coordenadas del punto D?

)2,2,2()E

)0,2,2()D

)0,1,1()C

)1,1,0()B

)1,1,1()A

59. Si se rota una escuadra triangular de lados 30 cm, 40 cm y 50 cm, en 360º en torno a su cateto menor, entonces ¿cuál es el volumen del

cuerpo generado?

3

3

3

3

3

m064,0)E

m042,0)D

m036,0)C

m016,0)B

m012,0)A

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 694

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60. Si se lanza un dado equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de que no

salga 3 ni 5?

6

5)E

6

4)D

6

3)C

6

2)B

6

1)A

61. De los 35 alumnos de 4º medio de un colegio mixto, 20 pertenecen al área Humanista y el resto pertenece al área Científica. En el área

Humanista hay 12 hombres, mientras que en el área Científica hay 10

mujeres. Si se elige a un alumno al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que sea hombre es 35

17

II) La probabilidad de que sea una mujer del área Humanista es 5

2

III) La probabilidad de que sea una mujer del área científica es 3

2

A) Solo I

B) Solo II C) II y III

D) I, II y III E) Ninguna de las tres es verdadera

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 695

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62. la siguiente tabla muestra la cantidad de poleras de Andrea

agrupadas por color. Si se escoge una polera al azar, es más probable que sea de color

A) Blanco B) Negro

C) Rojo D) Blanco o negro

E) Negro o rojo

63. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado un número mayor

o menor que 5?

6

5)E

3

2)D

2

1)C

3

1)B

6

1)A

64. En una alcancía hay monedas de $ 100, $ 50 y $ 10 y están en

razón de 2: 3: 5, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una moneda de $ 100 ó de $ 50?

ormacióninfFalta)E

2

1)D

5

3)C

10

3)B

5

1)A

Color de la polera

Cantidad

Blanco 4

Negro 3

Rojo 2

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 696

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65. El gráfico de la figura muestra el puntaje inicial y final de 5

estudiantes de un preuniversitario en el curso de Historia y Ciencias Sociales del año 2011. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El puntaje inicial promedio fue de 550 puntos

II) El puntaje final promedio fue de 710 puntos III) la mayor diferencia de puntaje la obtuvo el alumno A3

A) I y II

B) I y III C) Solo III

D) II y III E) I, II y III

66. Las notas de Andrés en Física son: 5,6; 6,2; 6,5 y 5,4. ¿Cuál de las

siguientes notas puede obtener Andrés para que la mediana del conjunto sea un 6,2?

A) 5,7

B) 5,8 C) 5,9

D) 6,1 E) 6,3

67. La siguiente serie de datos corresponde al número de revistas que

se vende en un kiosco durante 2 semanas: 11, 15, 13, 10, 12, 15, 7, 10, 12, 10, 10, 13, 12, 8. ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La moda es menor que la mediana y que el promedio

II) La mediana es mayor que la moda y que el promedio III) El promedio es mayor que la moda y la mediana

A) Solo I

B) I y II C) Solo III

D) II y III E) Solo III

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 697

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68. El gráfico de la figura muestra la preferencia manifestada por un

grupo de 1.800 personas respecto de cuatro marcas de dentífrico, A, B, C y D. ¿Cuál es la frecuencia absoluta y relativa, en ese orden, de las

preferencias por el dentífrico D?

A) 432 y 27

B) 432 y 0,27 C) 120 y 0,27

D) 120 y 0,1 E) 120 y 9

Evaluación de Suficiencia de Datos

69. Entre tres números enteros distintos, ¿cuánto vale el mayor?

(1) Uno es negativo, otro es mayor que 0 pero menor que 2 y el

Tercero es mayor que 10 (2) El producto de los dos mayores es 31

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

70. La expresión a(bn – 1), en que a, b y n son números enteros, es par

si:

(1) a es par (2) b es par

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 698

PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA

71. Si a, b y c son números enteros, entonces se puede conocer el valor

de c si:

b5

1ay5abc)2(

2by5abc)1(

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

72. ¿Se puede determinar la ecuación de la recta L?

(1) L intersecta al eje de las abscisas en el punto x = -2

(2) L intersecta al eje de las ordenadas en el punto y = 4

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

73. La figura muestra una circunferencia de centro C y un triángulo ABC equilátero. Se puede calcular el perímetro del triángulo si:

(1) Se conoce el perímetro de la circunferencia

(2) Se conoce la superficie de la circunferencia

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 699

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74. En la figura, AB es tangente en B a la circunferencia de centro O. Se

puede determinar la medida del ∡ BCD si:

(1) El ∡ OAB mide 30º

(2) El ∡ ODC mide 15º

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

75. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una persona de un grupo, ésta sea mujer?

(1) El grupo está compuesto por 15 personas (2) Hay 7 hombres en el grupo

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional

ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ Página 700

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RESPUESTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C E C B C D C C C D B E A D A A C D A E

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B E A D D D D C B C B E C D E A B D A C

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C D D B D A B A D C E A C E C C C C B D

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

A D E D A E B D C A B C E A C

TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE PUNTAJE

PC -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

PS 150 164 177 191 204 218 232 245 259 272 286 312 335 359 376

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

395 413 429 443 455 467 477 487 495 503 510 516 522 528 533

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

538 542 547 551 555 558 562 566 569 572 575 579 582 585 588

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

590 593 596 599 602 605 608 610 613 616 619 622 625 628 631

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

634 637 640 643 646 650 653 657 660 664 668 672 676 680 685

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

690 694 700 706 712 720 723 731 748 765 782 799 816 833 850