v. corrientes eléctricas -...
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V. Corrientes V. Corrientes eléctricaseléctricas
4. 4. Conductores lineales: Conductores lineales: medios óhmicosmedios óhmicos
CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas1.1. IntroducciónIntroducción22 M it d l i t lé t iM it d l i t lé t i
V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
2.2. Magnitudes para la corriente eléctricaMagnitudes para la corriente eléctrica3.3. Leyes de la corriente eléctricaLeyes de la corriente eléctrica4.4. Conductores lineales: medios óhmicosConductores lineales: medios óhmicos5.5. GeneradoresGeneradoresLey de Ohm
medio óhmico: conductividad6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente
medio óhmico: conductividadResistencia eléctrica de un tubo de corrienteConductor filiforme
8.8. Corrientes no estacionariosCorrientes no estacionariosConductor filiforme
resistencia eléctrica de un hiloDisipación de energía. Ley de Joule
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
5.5. GeneradoresGeneradores6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
ff7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas
® G
a®
Ga
2
8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias
Ley de Ohm (medio óhmico)Comportamiento lineal de conductor
régimen estacionario en medio conductor:
ey e O ( e o ó co)
ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00régimen estacionario en medio conductor:equilibrio dinámico
( )( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0
00
v+(r) Ω; σ → velocidad arrastre
modelo lineal de fuerza “disipativa”efecto del medio sobre la corriente
( )dis( )q d dt= ⇒ =E r + F 0 v 0
J(r)q+ Fe+
Fdis+
;
efecto del medio sobre la corriente
L d Oh d ti id d
E(r)dis ( 0)( ); ±± ± ± >= −F v r γγv
_(r)F
_Ley de Ohm: conductividad
relación constitutiva del medio óhmico: q_
v (r)Fe Fdis_
( )( ) ( )±± ± E
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
Conductividad eléctrica “σ” ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.( )( ) ( )q±± ±=v r E rγ ( ) ( )⇒ = σJ r E r
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
conductor perfectodieléctrico ideal
0 ⎧⎨⎩
σ → ∞ :σ = :
→sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0
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® G
a®
Ga ⎩
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medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)
Resistencia eléctricaTubo de corriente (estacionaria)
conjunto de líneas de corriente entre dos
Resistencia eléctrica
J(r)=Ω; σ =−σ∇φσE(r)conjunto de líneas de corriente entre dos superficies equipotenciales:
J es tangente a la superficie lateral SL
|| JP
n2S2: φ(r)=V2
en medio óhmico, J es normal a S1 y S2
ley de conservación de la carga:en el tubo entra y sale la misma intensidad τ
P22 φ( ) 2
en el tubo entra y sale la misma intensidad
R i t i lé t i
d 0∂τ
⋅⋅ =∫ J S2 1
2 1d dS S
I S S⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n dSn|| Jτ
S: φ(r)=V
Resistencia eléctricarelación dif. de potencial−intensidad en tubo τ:
ól d d d l t í d l t b d
nL ⊥ JS
SL
dr
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11 sólo depende de la geometría del tubo y de σ
ley de Ohmley de Ohm(integral)(integral)
1 2V VRτ−
=( )2
1
dP
Pσ
=⋅∫
∫J r
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G
unidades (en el SI): n1S1: φ(r)=V1
|| J(voltio)( h i )
V Ω[ ] [ ] [ ]R V I
(integral)(integral)
P1
Iτ dS ⊥
⋅∫ JJ S
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® G
a®
Ga
4
1 ||( )
(amperio)(ohmio)
A = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =
Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndricaj
a) en la dirección longitudinal S2:φ(z=L)=V2Zn2=uz
ε0; σ=0
S2:φ(z L) V2Z
K
z=LEext≠0; Ω; σ Ω; σJext=0
Ω; σ Jext=0
nlat=uρn=uz V
EΩ(r) EΩ(r)=V1−V2
S IJΩ(r) JΩ(r)
J ⊥
Góm
ez,
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, 10
/11
long VRIΩ = ( )2 2
Lb aπ
=−σ
z=0
SJΩ ⊥
∂
abri
el C
ano
Gab
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Can
o G I ( )b aπ σ
S1:φ(z=0)=V1ba∂τ
( )longR L S= σ n
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® G
a®
Ga
5
( )R L SΩ Ω= σ
Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndricaj
b)en la dirección transversal Jext=0S
Eext≠0;⊥ J
ε0; σ=0S⊥ JΩ
n=uρ
nlat=uz Z
Ω; σ Ω; σz=L
Ω; σ S2:φ(ρ=b)=V2EΩ(r) EΩ(r)Jext=0
n1
JΩ(r) JΩ(r)S1:φ(ρ=a)=V1
1
n2=uρ
Góm
ez,
10/1
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, 10
/11
tran VRIΩ =
( )ln2
b aLπ
=σ z=0
φ(ρ ) 1
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G I 2 Lπ σ
V V V
Ib
along ( )d
bR S ρ= ρ σ∫
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® G
a®
Ga
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V =V1−V2( )d
aR SΩ ρ= ρ σ∫
Conductores filiformesDescripción
“hilo” de material óhmico Ω :
Conductores filiformesT(r)S1φ( )=V1 φ( )=V2S2
II“hilo” de material óhmico Ωfil: se identifica con curva C: r=r(l)T(r) vector tangente unitario
L δδ→0 II
l 0 l=LT(r) vector tangente unitario
Densidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C: nL
Jext=0 Ωfil ≈ C
l=0 l L
•T≅0líneas de J confinadas en Ωfil C:SLnL•[J]SL
=0( )( ) ( )I S⇒ ≈J r T r0d
SI
→= ⋅∫ J S S≈ J
( ) ( )I
J(r)verifica condiciones de contornoen general, no verifica ∇·J=0
dS=dS T
Ωfil; σ
Góm
ez,
10/1
1G
ómez
, 10
/11
( )( ) ( )
lI
S≈J r T rsección variable S(l):Resistencia del hilo S(l)→0
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G el hilo constituye un tubo de corriente
1 2fil
V VRI−
=L dl
S≈ ∫ ( , ctes.)S
LS
σ= [ ] [ ][ ][ ]
1 S(siemens)m m
LR S
= = =Ω
σ
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® G
a®
Ga
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fil I 0 Sσ∫ ( )Sσ
[ ] [ ][ ] m mR S Ω
Disipación de energía. Ley de JoulePotencia disipada en medio óhmico
trabajo “disipativo” en Δτ~P:
s pac ó de e e g a. ey de JouleΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.
trabajo disipativo en Δτ~P:
é i i i ( )± ±F E
( )dis disdis n nW dtτ
+ + − − −
Δ+δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v
J( )
q+v+(r)Fe
+Fdis
+
en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):
dis ( )q± ±= −F E r
E(r)J(r)
( )
Ω; σ ( )W dtdP δ
potencia disipada (perdida) en región Ω: q_
v_(r)Fe
_
Fdis_
( )disdis
0lim
P
W dtdPd τ τΔ →
δ
Δ=
τ( ) ( )= − ⋅J r E r
L d J l Ωdis dP
Ω Ω= − ⋅ τ∫J E 2 dσ
Ω= − τ∫ E 0<
dr
Góm
ez,
10/1
1G
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, 10
/11 Ley de Joule
calor por unidad de tiempo cedido por Ω:la energía se pierde en forma de calor: efecto
ΩJ(r)=σ E(r)
d
dS
abri
el C
ano
Gab
riel
Can
o G la energía se pierde en forma de calor: efecto
Joule
δQ
I
=|δW |( )I V V−Qδ= 2I R= d P= ⋅ =τ∫J E φ( ) VSφ( )=VS
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® G
a®
Ga
8
δQ=|δWdis|1 2( )I V V−dt Ω
= I RΩ= disd PΩ
= ⋅ =τ∫J E φ( )=V2S2φ( )=V1S1