v. corrientes eléctricas -...

® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosIngeniero de Telecomunicación

V. Corrientes eléctricas

7. Circuito equivalente

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricas

® G

abri

el C

ano

Góm

ez,

10/1

1

1. Introducción2. Magnitudes para la corriente eléctrica3. Leyes de la corriente eléctrica4. Conductores lineales: medios óhmicos5. Generadores6. Coeficientes de conductancia7. Circuito equivalente8. Corrientes no estacionarios

2

V. Corrientes eléctricas

Sistema de corrientes en medio óhmicoConductancias y autoconductancias

Circuito equivalente al sistema de corrientes Consumo de potencia. Balance energético Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias)

8. Corrientes no estacionarias


® G

abri

el C

ano

Góm

ez,

10/1

1

3

C1Cj

Ci

C0)=0

C0

+V1

+Vj

+Vi

Conductancias y autoconductanciasIi se distribuye en tubos de corriente:

caracterización de los tubos:conductancia eléctrica entre Ci y Cj:

autoconductancia (entre Ci y C0):

relación con coeficientes “Gij”:expresiones equivalentes para Ii:

igualdad de los coeficientes:C0

J(r)

IiN

Iij

Ii1

Iii

i

iS

I d

J S 1

Nijj

I

( )ij ij i jG I V V jiG

ii ii iG I V

1( )

N

iji i ji j

I G V V

ii iG V

CNIN

+VN

Il+Vl

Cl

1 ijR

IjI1

Ii

I01

N

ij jj

G V

G(Ci);(r)

1 iiR

Jext=0

Si

i

dS

dS

dS

dS

dS

=1RijGij

Gii =1Rii

Sistema de corrientes en medio óhmico

1;N

ijii jG G

( )ijij i jG G


® G

abri

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ano

Góm

ez,

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1

4

Construcción del circuitocada conductor es un nodocada tubo de corriente es modelado por una conductancia (o resistencia):entre conductores “activos” i y j

entre conductor i y referencia 0

conductor l apantallado por N :

generadores conectados a 1,…,N

modelados por f.e.m. y resistencia internaValores de conductancias y autoconductancias

Circuito equivalente al sistema de corrientes

1,...,1 ;ijij i j NG R

1,...,1 ;iiii i NG R

( )

0; 0;0

ll lN

lk k N

G GG

1

Nii ijj

G G

( );ij ij i jG G

G(Ci);(r)

C0)=0C0

J(r)

I1

Ii

Iii

Ij

IiN

Ii1ijG

iiG

iNG

NNG

1iG

jjG11G

iri

j

rj

lNG

C1Cj

Ci

C0

+

V1

CN

IN

+

VN

IlCl

I1

+

Vl

+

Vi

Jext=0

+

Vj

I0

IlN

Iij

Iii


® G

abri

el C

ano

Góm

ez,

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1

5

C1

C2

C3

C0

+V1

+ V2

+V3

I3I1

I2

I0

12G 23G

13G

11G 33G

22G

Matriz de conductancias obtenida experimentalmente:

relación intensidadespotenciales:

Circuito equivalente conductancias eléctricas:

autoconductancias:

Ejercicio 5.10

a b c0.587 mS 0.219 mS 0.148 mS; ;G G G

( ; ; )a b c

b a b

c b a

i

G G GG G GG G G

CG

0 1 2 3 ( ) ; I I I I I VG

12 12 b ;G G G 13 13 c ;G G G

23 23 bG G G

11 a cb( )G G G G 33;G 22 a b2G G G


® G

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ano

Góm

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1

6

C1 Cj

Ci

C0

IiN

Iij Ii1

Iii CN

Cl

Consumo de potencia. Balance energéticoPotencia disipada en el sistema en el medio óhmico …

efecto Joule en cada tubo de corriente:

efecto Joule en los generadores:

Potencia suministrada aportada por los N generadores: fuerzas electromotrices a circuito cerrado

Balance energético en el sistema:

Jext=0

Qij

dS

dS

+V1

+Vj

+Vi IN

+VN

Il

+Vl

Ij

I1

Ii

I0

Q

Qigen

J(r)=(r)E(r)

+

Vi

+

Vj

CNCl+

Vl

Ci

C1Cj

C0

iri

jrj

+

VN

Rjj

RlN

R11

RNN

RjN

Ii1

Iii

IiN

Iij

Ij

Ii

Ri1Rij

RiN

Rii

dis0 dP

J E

1

N

i i iV I

d J S

disP 1

2N N

i j i

ijijI R

, 1

N

i ji ijV I

2Qij

ijijdtI R

21

Ni i i ii

V I I r

1genN

i iiP I

gendis disgenP P P

gen 2dis 1

Ni ii

P I r

gen

2Qii iI r

dt

Qigen


® G

abri

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1

7

C1Cj

Ci

C0)=0

C0

+V1

Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) (I)Primera Ley de Kirchoffprincipio de conservación de la carga en torno a cada i del sistema de corrientes…

en cada nodo del circuito equivalente…

C0

IiN

Iij

Ii1

Iii

CNIN

+VN

Il+Vl

Cl

IjI1

Ii

I0+

Vl

J(r)=(r)E(r)

Gjj

+

Vi

+

Vj

CNClCi

C1Cj

C0

i

ri

jrj

+

VN

GijGi1

Gii

GlN

G11

GNN

GjN

GiN

Ij

+Vj

+Vi

0i

d

J S

i1

0,1,...,0;Ni ijj

i NI I

Ii1

Iii

IiN

Iij

G(Ci);(r)Jext=0

Ii

0i

iS

I d

J S

Si

dS

dS

dS

dS

dS


® G

abri

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ano

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1

8

Ii +

Vi

+

Vj

CN Cl

+

Vl

Ci

C1Cj

C0

i

ri

jrj

+

VN

Gi1

Gii

Gjj

GlN

G11

GNN

GjN

GiN

IjIi1

Iii

IiN

C1

Cj

Ci

C0)=0

C0

+V1

Leyes de Kirchoff (para corrientes estacionarias) (II)Segunda Ley de Kirchoffcampo eléctrico irrotacional:en cualquier cerrada del sistema…

en cada malla del circuito equivalente…

C0

Iij

CNIN

+VN

Il+Vl

IjI1

Ii

I0

Gij

J(r)=(r)E(r)

Iij

+Vj

+Vi

0d

E r j

i

d J r

iV jV

1/Rij =

j j jiji ij i i I rI R I r

G(Ci);(r)

0

Jext=0

Cl

Rij


® G

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1

9

Cálculo de matriz de conductancias descripción del sistema: pista de grafito (región óhmica )

conductores filiformes: b >> a electrodos 1, 2, 3, y conductor de

referencia 0

sistema simétrico: V10; V2=V3=0 V20; V1=V3=0 V30; V2=V1=0

…son situaciones análogasmatriz de conductancias:

I2 I0

+ V3

I3

V2 +

I1

V1 +

VA +

Ejercicio 5.11 (I)

C1

C2 C0

C3

1 1

2 2

3 3

4 2 11

2 4 16

1 1 4R

I VI VI V

R

R

R

R

=R/2

I'= I1+ I2

R'

b2a

b

a

I2 I0

I1 I3

+ VB

bac


® G

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1

10

Circuito equivalente conductancias eléctricas

autoconductancias:

Potencia disipada

I2 I0

+ V3

I3

V2 +

I1

Ejercicio 5.11 (II)

C1

C2 C0

C3

1 0

2

3

4 2 11

2 4 16

1 1 400

R

i Vii

i0i2

i1 i3

C0

C0

13G

12G

23G

33G

22G

11G

12 12 1 3 ;G G R 13 13 1 6G G R

23 23 1 6G G R

11 11 12 13 1 6G G G G R

22 12 22 23 1 6G G G G R

33 13 23 33 1 3G G G G R

3dis 1 i ii

P V I

20 1 02 3V i V R

+ V0

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