definiciÓn y terminologÍa teorema de existencia y unicidad problemas de valor inicial y de...

•DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA•TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD•PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA•LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

UNIDAD IConceptos básicos de las ecuaciones diferenciales

M.C. Jesús Antonio Jashimoto Badilla

Definición y terminología

Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación

que involucra derivadas de una función desconocida de una o más variables.

Clasificación de las EC. DIF.

Las ecuaciones diferenciales las podemos clasificar de la siguiente maneras. Por su Tipo se clasifican en: Ordinarias o

Parciales Por su Orden se clasifican en: Primer,

Segundo, Tercer,.. Orden n Por su Grado se clasifican en: Primer

grado, Segundo grado, Tercer grado,…,Grado n

Por su Linealidad: Lineales y No lineales

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

Una variable independiente puede tomar cualquier valor, la mas común al modelar un sistema es el tiempo.

Una variable dependiente, toma sus valores en relación del valor de la variable dependiente, de acuerdo a la ecuación que describa su comportamiento. Ejemplo: velocidad, aceleración, temperatura.

V= 10 t + 2. Si t = 0, V = 2, Si t = 1, V = 12, el valor de V depende del valor que tome la variable, t.

Ecuaciones diferenciales parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales contienen derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

Orden de una ecuación diferencial

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Ejemplo 1: es de primer orden por que la derivada

mas alta en la ecuación es: dy/dx o y’

Ejemplo2: es de segundo orden por que la derivada mas alta en la ecuación es: d2y/dx2 o y’’

Grado de una ecuación diferencial

El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que está elevada la derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma polinomial.

y’ = 2y –x -> 1er grado por que el exponente de y’ es 1

y’ 2 = y + x -> 2do grado por que el exponente de y’ es 2

y’ 3 = xy + 5 -> 3er grado por que el exponente de y’ es 3

Ecuación diferencial lineal ordinaria

Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita en la forma:

a0(x)yn + a1(x)y(n- l) + . . + an-1(x)y’ + an(x) = F(s)Donde:

La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer orden

Cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x (puede ser constante)

Si no cumple con lo anterior se considera EDO no lineal

Solución de ecuaciones diferenciales

Solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.

Podemos clasificar los tipos de soluciones en: Solución General Solución Particular Solución Singular

Solución General

Solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias, obtenidas de las sucesivas integraciones.

Ejemplo 1. La función y=3x2 + c1x+ c2 es solución general

de la ED y’’=6, por que: La derivada de la función y=3x2 + c1x+ c2 es:

y’ =6x+ c1

Y la segunda derivada es: y’’ = 6

Solución General

Ejemplo 2.La función y = c1e-x + c2ex + c3e-2x + c4e2x es

solución general de la ecuación diferencial: yiv – 5y’’ + 4y = 0Por que derivando 4 veces la función y

sustituyendo en la ecuación tenemos.

Solución General

y = c1e-x + c2ex + c3e-2x + c4e2x (Solución)

y’ = -c1e-x + c2ex - 2c3e-2x + 2c4e2x

y’’ = c1e-x + c2ex + 4c3e-2x + 4c4e2x

y’’’ = -c1e-x + c2ex - 8c3e-2x + 8c4e2x

yiv = c1e-x + c2ex + 16c3e-2x + 16c4e2x

Sustituyendo en la ecuación: yiv – 5y’’ + 4y = 0 yiv = c1e-x + c2ex + 16c3e-2x + 16c4e2x

-5 y’’ = -5c1e-x - 5c2ex - 20c3e-2x - 20c4e2x

4y = 4c1e-x +4 c2ex +4 c3e-2x + 4c4e2x

0 = 0 0 0 0

Solución Particular y Solución Singular

Solución particular de una ecuación diferencial es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico.

Solución singular de una ecuación diferencial es una función cuya tangente a su gráfica en cualquier punto (x0, y0) coincide con la tangente de otra solución, pero ya no coincide con esta última tangente en ninguna vecindad del punto (x0, y0) , por pequeña que sea esta.

Solución Singular

Ejemplo: Hallar la soluciones singulares, si las hay, de la

ecuación diferencial: y’ 2 = 16x2

Derivando con respecto a y’, tenemos: 2y’ = 0

De donde y’ = 0; sustituyendo en la ecuación, obtenemos x=0, que es la solución singular.

Las soluciones generales de dicha ecuación son: y=2x2 + c, y=-2x2 + c

Donde ambas soluciones tienen una solución singular en el punto x = 0, y = 0.

Teorema de existencia y unicidad

En álgebra lineal nos encontramos con tres tipos de sistemas de ecuaciones en el plano:

• 1) 2) 3)

1) El sistema tiene un número infinito de soluciones

2) El sistema no tiene soluciones3) El sistema tiene una sola solución


Las soluciones de las ecuaciones diferenciales que nos interesan son aquellas que tienen una sola forma y un único valor para ciertas condiciones iniciales.

¿Bajo qué condiciones se puede garantizar que una ecuación diferencial de primer orden tenga una y sólo una solución?


Dada una ecuación diferencial y’ = f(x, y)Donde f(x, y) está definida en una región

rectangular R que contiene al punto (X0, Y0).Si f(x, y) satisface las siguientes condiciones:

A) f(x, y) es continua en R

B) es continua en R,

Si existe un intervalo I con centro en X0 y existe una y sólo una función y = g(x) definida en el intervalo I que satisface la condición inicial y(X0) = Y0

Problemas de valor inicial

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente.

Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.


Ejemplo 1.Resolver la ecuación diferencial:

y’ -4xy = 0

Para la condición inicial: y = 1/5, cuando x = 0, o bien brevemente: y(0) = 1/5

La ecuación puede escribirse como: dy = 4xy dx o dy/y = 4x dx


Integrando ambos lados de la igualdad tenemos: ln y = 2x2 + c, aplicamos exp en ambos lados de la

igualdad para eliminar el ln. y = c*exp(2x2) o y = c * e2x2

Sustituyendo los valores del punto (0, 1/5), tenemos que: 1/5 = ce0 si c = 1/5 Entonces la solución particular es: y = 1/5 e2x2


Ejemplo 2.Resolver la siguiente ecuación diferencial:

y’’ = x , para las condiciones iniciales y(-2) = 4, y’(0) = 1 Observación, se necesita igual número de condiciones

iniciales que el orden de la ecuación diferencial.

Integrando ambos lados de la ecuación tenemos:

y’ = x2/2 + c1Volviendo a integrar y = x3/6 + c1x + c2, es la solución general.


Aplicando las condiciones iniciales dadas:Para y’ y’ = x2/2 + c1 sustituyendo y’ = 1, x = 0 tenemos 1 = 0 + c1 si c1 = 1

Para y y = (x3/6) +c1x + c2 sustituyendo y = 4, x = -2, c1 = 1 tenemos 4 = -8 / 6 – 2 (1) + c2 c2 = 4/3 + 6 por lo tanto c2 = 22/3

Sustituyendo los valores de c1 y c2 en la solución general, tenemos que la solución particular es:

y = (x3/6) + x + (22/3)

Problemas de frontera

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente.

Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

Una ecuación diferencial que describe algún proceso físico a menudo se denomina modelo matemático del proceso.

Cabe señalar que incluso las ecuaciones diferenciales más simples constituyen modelos útiles de procesos físicos importantes.


Supóngase que un objeto cae en la atmósfera cerca del nivel del mar.

Se comienza por introducir letras que representan las diferentes cantidades que pueden ser de interés en el problema. El movimiento ocurre durante determinado intervalo

de tiempo t Así mismo se utilizará v para representar la velocidad

del objeto. Es de suponer que la velocidad cambiará con

respecto al tiempo , por lo tanto v dependerá de t.


La ley física que rige el movimiento de los objetos es la segunda ley de Newton, a la cual establece que la masa del objeto multiplicada por su aceleración es igual a la fuerza que actúa sobre el objeto.

F=ma, donde m = masa, a = aceleración, y F es la fuerza neta que se ejerce sobre el objeto.

También podemos reescribir la formula como:F= m*dv/dt donde el cambio de velocidad

respecto al tiempo es la aceleración. a = dv/dt


Ahora podemos considerar las fuerzas que actúan sobre el objeto. Fuerza de gravedad Fuerza de arrastre, debida a la resistencia del viento y

la velocidad del objeto mg

γv


F = mg – γv de acuerdo a la segunda ley de Newton

F = m * a nos queda ma = mg – γv y como la aceleración es

igual a dv/dtLa ecuación nos queda como: m dv/dt = mg – γvSi dividimos todo entre m tenemos dv/dt = g – γv/m


Si a nuestro modelo del objeto que cae:dv/dt = g – γv/mLe ponemos valores por ejemplo, un objeto

con masa m = 10 kg, y una resistencia al viento de 2kg/s, y considerando la aceleración debido a la acción de la gravedad g=9.8m/s2.

Tenemos que el modelo para ese objeto es: dv/dt = 9.8 – 2v/15, o dv/dt = 9.8 – v/5


Comportamiento de las soluciones de la ecuación.Supóngase que v tiene determinado valor.Por ejemplo: si v = 40 dv/dt = 1.8Esto significa que la pendiente de la solución v =

v(t) tiene un valor de 1.8 en cualquier punto donde v=40.

Esta información se puede graficar en el plano tv trazando segmentos de rectas cortos con pendiente 1.8 en varios puntos de la recta v = 40.

De igual modo para otros valores de v por ejemplo: v = 50 entonces dv/dt = -0.2


Dicha figura es un ejemplo de lo que se denomina campo direccional o a veces campo de pendientes


Se puede observar en el campo direccional del modelo planteado para un objeto que cae con las características de peso y resistencia al aire que si la velocidad inicial es mayor a 49 aproximadamente el objeto tenderá a disminuir su velocidad hasta alcanzar los 49m/s. Lo mismo sucede si se suelta a una velocidad menor, el objeto tendera a acelerar hasta alcanzar los 49m/s.

A esta solución se le llama punto de equilibrio que es la solución que corresponde a un equilibrio entre la gravedad y el arrastre.


Campo direccional. Los campos direccionales son valiosas herramientas

para estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales de la forma.

dy/dt = f(t,y) Donde f es una función dada de las dos variables t y y,

que a veces recibe el nombre de función de razón de cambio.


Ejemplo 2: Considere una población de ratones de campo que

habitan en determinada zona rural. En ausencia de depredadores, se supone que dicha población aumenta a una razón proporcional a la población actual.

Si el tiempo se denota en t y la población de ratones por p(t), entonces la suposición acerca del crecimiento poblacional puede expresarse por medio de la ecuación

dp/dt = rp. Donde el factor de proporcionalidad r se denomina

constante de cambio o tasa de crecimiento.


De manera específica, supóngase que el tiempo se mide en meses y que la constante de cambio r tiene el valor 0.5/mes.

Entonces cada termino de la ecuación tiene las unidades ratones/mes.

Además suponga que en el mismo territorio viven varias lechuzas, las cuales matan 15 ratones de campo al día. Para incorporar esta información en el modelo, debe agregarse otro término a la ecuación diferencial, que pasa a ser:

dp/dt = 0.5p - 450


Podemos observar que el punto de equilibrio son 900, si la cantidad de ratones es mayor que 900 la población de ratones se incrementará con el tiempo. Si la población de ratones es menor a 900 la población de ratones disminuira

Pasos para la construcción de modelos matemáticos

1.- Identificar las variables independientes y dependiente y asignar letras para representarlas.

2.- Elegir las unidades de medición para cada variable.3.- Enunciar con claridad el principio básico que se

encuentra detrás o rige el problema que se investiga4.- Expresar el principio o ley del paso 3 en términos de

las variables que se eligieron en el paso 1.5.- Asegurarse de que cada término en la ecuación tiene

las mismas unidades físicas.6.- En los ejemplos, el modelo fue una ecuación

diferencial deseada, pero el modelo puede estar formado por mas de una ecuación diferencial o por un sistema de ecuaciones.

Soluciones de algunas ecuaciones diferenciales

En los modelos anterior se dedujeron las ecuaciones diferenciales

m(dv/dt) = mg – yv , y dp/dt = rp – kLa primera ecuación modela la caída de un

objeto y la segunda ecuación una población de ratones de campo que es depredada por lechuzas.

Ambas ecuaciones son de la forma general dy/dt = ay –bDonde a y b son constantes dadas.

Fue posible extraer algunas conclusiones cualitativas importantes acerca del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones anteriores, considerando los campos direccionales correspondientes.

Sin embargo para contestar preguntas de naturaleza cuantitativa es necesario encontrar las soluciones en sí, y ahora es momento de investigar como se hace.


Considerar la ecuación dp/dt = 0.5p – 450 que describe la interacción de determinada

poblaciones de ratones de campo y lechuzas.Encontrar las soluciones de esta ecuación.Para resolver la ecuación, es necesario

encontrar funciones p(t) que, cuando se sustituyan en la ecuación, la reduzcan a una identidad evidente.


Primero, la ecuación se rescribe en la forma dp/dt = (p – 900) / 2Y separamos las variables dp / (p – 900) = 1/ 2 dtIntegramos ambas partes Ln (p – 900) = t / 2 + cAplicamos exponencial en ambas partes de la

ecuación exp ( ln (p – 900) ) = exp ( t/2 + c)


Y nos queda p – 900 = exp ( t/2 + c)Aplicando las leyes de los exponentes p – 900 = exp(t/2) * exp (c )Como el exponencial de una constante es una

constante la ecuación puede quedarp – 900 = c* exp(t/2)Por lo tanto la solución de la ecuación

diferencial esp = c* exp(t/2) + 900


Para encontrar el valor de las constantes arbitrarias debemos conocer las condiciones iniciales.

Por ejemplo: si la población inicial de ratones es 950, esto se representa como:

P(0) = 950, dado que la solución de la ecuación esta en unidades de ratones con respecto al tiempo, es decir; p(t), por lo tanto en t = 0, la población de ratones es 950.

Sustituyendo en la ecuaciónP(t) = 900 – c exp(t/2), sustituyendo950 = 900 – c exp(0/2),


Cualquier número elevado a la 0 potencia es 1, entonces la ecuación queda

950 = 900 – cPor lo tanto dada las condición inicial, el

valor de la constante arbitraria es: c = 950 – 900 = 50Y la solución particular a la ecuación

diferencial es: p(t) = 900 + 50 exp(t/2) Este tipo de problemas son de valor inicial.



Algunas soluciones para el modelo con diferentes condiciones iniciales

P = 910, t = 0EntoncesC = 10

P = 930, t = 0EntoncesC = 30

P = 950, t = 0EntoncesC = 50

P = 940, t = 0EntoncesC = 40

P = 900, t = 0EntoncesC = 0

P = 850, t = 0EntoncesC = -50

P = 860, t = 0EntoncesC = -40

P = 870, t = 0EntoncesC = -30

P = 870, t = 0EntoncesC = -30

De manera general, podemos concluir que una ecuación diferencial con la forma:

dy/dt = ay – bSu solución general será y(t) = b/a – c exp(at)Donde c = y(0) – b/aDonde y(0) es la condición inicial cuando t = 0.Por ultimo es: y(t) = b/a – [ y(0) – (b/a) ]exp(at)


Definición de una ecuación diferencialTipo de ecuaciones diferenciales

Parciales / Ordinarias Orden, el de la derivada mas alta en la ec. Dif. Grado, la potencial de la derivada mas alta en la ec.

dif. Lineal o No Lineal

Soluciones Solución General Solución Particular Solución Singular

Resumen

Resumen

Concepto de Existencia y UnicidadConcepto de Problemas de Valor inicial y de

FronteraLas ecuaciones diferenciales como modelosModelado de sistemas utilizando ecuaciones

diferencialesSolución de algunas ecuaciones diferenciales

definiciÓn y terminologÍa teorema de existencia y unicidad problemas de valor inicial y de...

Documents