dasar sistem pengaturan - website personalpersonal.its.ac.id/files/material/2712-jos-ee-dsp108-04...
TRANSCRIPT
Dasar Sistem Pengaturan - 04 1
TE141345 Dasar Sistem Pengaturan
Model Matematik
Ir. Jos Pramudijanto, M.Eng.Jurusan Teknik Elektro FTI ITS
Telp. 5947302 Fax.5931237Email: [email protected]
Dasar Sistem Pengaturan - 04 2
Objektif:Penyajian Model MatematikModel Sistem MekanikModel Sistem ElektrikModel Sistem Mekatronika
(Elektromekanik)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 3
Model Matematik Sistem Fisik
Model matematik adalah deskripsi matematik dari sistem yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematik dari Input dan Output sistem.
Dasar Sistem Pengaturan - 04 4
Penyajian Model Matematik• Dalam bentuk Persamaan Matematik
Pers.Differensial, untuk sistem kontinyu Pers.Beda, untuk sistem diskrit
• Dalam bentuk Fungsi Alih (Transfer Function) TF dalam fungsi s, untuk sistem kontinyu TF dalam fungsi z, untuk sistem diskrit
• Dalam bentuk Persamaan State State kontinyu State diskrit
• Dalam bentuk Polinomial Polinomial dalam s, untuk sistem kontinyu Polinomial dalam q, untuk sistem diskrit
• Dalam bentuk Diagram Diagram Blok Signal Flow Graph
Dasar Sistem Pengaturan - 04 5
Hubungan Penyelesaian Model Matematik
Persamaan Deferensialx(t)
Penyelesaianx(t)
Persamaan AljabarOperator s
Penyelesaian AljabarX(s)perhitungan aljabar
trans
form
asi l
apla
ce
inve
rs tr
ansf
orm
asi l
apla
ce
penyelesaian langsung(analitik)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 6
Model Matematik dalam bentuk PDHubungan Input-Output sistem dapat dituliskan sebagai:
f( , ) = weighting function
Atau dalam bentuk PD dapat pula ditulis sebagai berikut (*):
xcdtdxc
dtxdc
dtxdcyd
dtdyd
dtydd
dtydd m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 011
1
1011
1
1 ...... ++++=++++ −
−
−−
−
−
f( , )x(t) y(t)
∫ −•=t
dtxtfty0
)()()( ττ
)()()( txtfty •=
Dasar Sistem Pengaturan - 04 7
Model Matematik dalam bentuk TFTransfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari TLbentuk PD dengan asumsi semua kondisi awal=0.
TL dari persamaan di atas (*) dengan semua kondisi awal=0, menjadi:
Transfer Function:
[ ] [ ] )(...)(... 011
1011
1 sXcscscscsYdsdsdsd mm
mm
nn
nn ++++=++++ −
−−
−
011
1
011
1
......
)()()(
dsdsdsdcscscsc
sXsYsG n
nn
n
mm
mm
++++++++
== −−
−−
Dasar Sistem Pengaturan - 04 8
Model Matematik Sistem Mekanik
Pada sistem mekanik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum Newton.
Gerakan Translasi: ΣF = m a
Gerakan Rotasi: Στ = J α
di mana :F = gaya yang bekerja pada massa mm = massa bendaa = percepatan bendaτ = torsi yang bekerja pada bendaJ = momen inersia bendaα = percepatan sudut
Dasar Sistem Pengaturan - 04 9
Sistem Mekanik – MassaTranslasi: Rotasi:
Persamaan dinamik:
f(t) = m a(t) τ(t) = J α(t)
m
x, v, a
f(t) J
τ(t)
θ, ω, α
dttdvmtf )()( =
2
2 )()(dt
txdmtf =
dttdJt )()( ωτ =
2
2 )()(dt
tdJt θτ =
Dasar Sistem Pengaturan - 04 10
Sistem Mekanik – Pegas
Translasi: Rotasi:
Persamaan dinamik:
xf
k
τθ
k
)()( tkxtf = ))( tkt (= θτ
Dasar Sistem Pengaturan - 04 11
Sistem Mekanik- RodagigiRodagigi n1 diputar oleh torsi Τ1, menghasilkan torsi Τ2 pada rodagigi n2:
di mana:r = jari-jari rodaω = kecepatan sudut rodaα = percepatan sudut rodaΤ = torsi n = jumlah gigi
Dasar Sistem Pengaturan - 04 12
Sistem Mekanik – PengungkitSuatu gaya F1 diberikan pada batang yang mempunyai panjang l, akan diteruskan oleh batang m sebesar F2 :
Persamaan dinamik:
12 FmlF =
F1
F2
x1
x2l m
)()( 12 txlmtx =
)()( 12 tvlmtv =
)()( 12 talmta =
Dasar Sistem Pengaturan - 04 13
Sistem Mekanik- Daspot/DamperTranslasi: Rotasi:
Persamaan dinamik:
B
f
fluida/gas
fx,y
τθ
B
dttdxBtf )()( =
dttdBt )()( θτ =
dttdyBtf )()( =
Dasar Sistem Pengaturan - 04
Translasi pada Accelerometer
( ) ••
•••••
•••••
==++
=++
+=
−
XUYksbs
xymky
mby
ybkyyxm
''2
LaplaceBentuk
IINewton Hukum
14
Dasar Sistem Pengaturan - 04 15
Sistem Suspensi Kendaraan
Dasar Sistem Pengaturan - 04 16
Model Sistem Suspensi
Dasar Sistem Pengaturan - 04 17
Contoh: Sistem MekanikSistem mekanik seperti gambar berikut:
di mana:f(t) = gaya yang bekerja pada massa mK = konstanta pegasB = konstanta daspot (peredam viscos)y(t) = simpangan pegas
• Carilah model dinamik sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.
• Carilah transfer function sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.
m
f(t)
y(t)B
K
Dasar Sistem Pengaturan - 04 18
Model Matematik Sistem Elektrik
Pada sistem elektrik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum-hukum pada rangkaian listrik.
persamaan tegangan Kirchoff, dan arus Mesh
0; == ∑∑∑i
ioutin VII
Dasar Sistem Pengaturan - 04 19
)()( tRitv RR = ∫= dttiC
tv CC )(1)(
RiR
vR
CiC
vC
L
vL
iL
)()( sRIsV RR = )(1)( sICs
sV CC =
dttdiLtv L
L)()( =
)()( sLsIsV LL =
Komponen Pasif: R-L-CResistor: Kapasitor: Induktor:
Model Dinamik
TL:
Dasar Sistem Pengaturan - 04 20
Contoh: Sistem Elektrik R-L-C
vi vo
R
C
L
Suatu Filter yang terdiri dari komponen RLC. Tegangan input vi(t) dan tegangan output vo(t).
• Carilah model dinamik sistem elektrik tersebut • Carilah transfer function sistem elektrik tersebut
Dasar Sistem Pengaturan - 04 21
)()( 11
22 tv
nntv =
)()( 11
22 sV
nnsV =
n1n2
i1 i2
v1 v2
Komponen Pasif: Transformator Ideal
Model Dinamik
Transformasi Laplace
Dasar Sistem Pengaturan - 04 22
Transformator tidak ideal
• Ada pengaruh induktansi gandeng (M)
• Titik menandakan awal lilitan• v1 = tegangan input• v2 = tegangan output• i1 = arus kumparan primer • i2 = arus kumparan sekunder • n1 = jumlah lilitan kumparan 1• n2 = jumlah lilitan kumparan 2
M
n1n2
i1 i2
v1 v2
Dasar Sistem Pengaturan - 04 23
0)()()( 2111 =−−
dttdiM
dttdiLtv
Trafo tidak ideal (sisi primer)
• Persamaan Dinamik
• Transformasi Laplace
i1
v1
dtdiM 2
1Lv1L
)()(1)(
0)()()(
1112
2111
ssILsVMs
sI
sMsIssILsV
−=
=−−
Dasar Sistem Pengaturan - 04 24
Trafo tidak ideal (sisi sekunder)
• Persamaan Dinamik
• Transformasi Laplace
)()()(0)()()(
1222
1222
sMsIssILsVsMsIssILsV
−−==++
0)()()( 1222 =++
dttdiM
dttdiLtv
i2
v2
dtdiM 1
2Lv2L
Dasar Sistem Pengaturan - 04 25
Contoh: Sistem Elektrik - Trafo
Rangkaian input transformator (trafo) dihubungkan seri oleh kapasitor C, dan rangkaian output diberi beban R1dan R2 secara seri-paralel.
• Carilah transfer function sistem elektrik tersebutM
n1 n2
i1 i2
v1 v2C
R2
R1
Dasar Sistem Pengaturan - 04 26
Komponen Aktif: Operational Amplifier
Sifat–sifat Operasional Amplifier:1. Gain sangat besar K= 105 sampai dengan 106
kali.2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif
(v1) dan masukan negatif (v2).3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat
besar sehingga arus input pada masukan positif atau masukan negatif kecil sekali ≈ 0
4. Mempunyai keluaran vo = K (v1 – v2)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 27
Non Inverting Amplifier
Dasar Sistem Pengaturan - 04 28
Inverting Amplifier
Dasar Sistem Pengaturan - 04 29
Pendekatan Impedansi (Inverting Amplifier)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 30
Tabel Variasi Impedansi 1
Dasar Sistem Pengaturan - 04 31
Tabel Variasi Impedansi 2
Dasar Sistem Pengaturan - 04 32
Contoh: Operational AmplifierRangkaian Operational Amplifier dikonfigurasi dengan rangkaian pasif R-C untuk menjadi filter
• Carilah transfer function rangkaian Operational Amplifier tersebut.
Dasar Sistem Pengaturan - 04 33
Model Sistem Mekatronik
Untuk mencari persamaan dinamik sistem berikut, digunakan persamaan-persamaan sistem elektrik pada motor dan selenoid (plunger).
motor DC, AC, selenoid
Dasar Sistem Pengaturan - 04 34
Motor DC penguat medan tetap
Dasar Sistem Pengaturan - 04 35
Rangkaian Kumparan Jangkar Motor DC
Dasar Sistem Pengaturan - 04 36
Torsi pada Motor DC (1)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 37
Torsi pada Motor DC (2)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 38
Tegangan GGL Motor DC
Dasar Sistem Pengaturan - 04 39
Blok Diagram Motor DC
Gambar yang pertama Ω(s) output dan gambar kedua θ(s) output.
KTM
1-----------Js + B
Ia(s) Ω(s)Ea(s) +
-
Kg
1-----------Las + Ra
T(s)
Eggl
KTM
1-----------Js2 + Bs
Ia(s) θ(s)Ea(s) +
-
s
1-----------Las + Ra
T(s)
Eggl
KgΩ(s)
atau
Dasar Sistem Pengaturan - 04 40
Penyederhanaan Blok Diagram Motor DC
Ea(s) input dan Ω(s) output:
Ea(s) input dan θ(s) output:
Dasar Sistem Pengaturan - 04 41
Motor AC-ServoMotor AC-Servo pada prinsipnya dapat berupa sebuah motor induksi dengan 2-kutub/dua-fasa
Fasa ref.
ec
Fasa kontrol (a)
Jτ θ
bec(t)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 42
Arsitektur Motor AC-Servo
Salah satu dari kumparan medan sebagai lilitan referensi (fase reference) dan kumparan medan yang lainnya sebagai lilitan kontrol (fase control) dengan tegangan AC yang berbeda 90°listrik terhadap tegangan referensi.Hal ini didasarkan bahwa torsi yang dihasilkan pada poros, paling efisien jika sumbu-sumbu kumparan fasa saling tegak lurus dan tegangan kedua fasa tersebut mempunyai beda fasa 90°.
Dasar Sistem Pengaturan - 04 43
Persamaan Torsi Motor AC-servoTorsi τ yang dibangkitkan merupakan fungsi dari kecepatan sudut poros motor dan tegangan kontrol EC , adalah:
di mana: Kn dan KC konstanta positif.
Kesetimbangan torsi untuk motor servo dua-fasa adalah:
di mana:J = momen inersia motor dan beban pada poros motorb = koefisien gesekan viskos motor dan beban poros motor
Gabungan kedua persamaan di atas diperoleh:
ccn EKK +−=•
.
θτ
•••+= θθτ bJ
.
( ) ccn EKKbJ.
=++•••θθ
Dasar Sistem Pengaturan - 04 44
Fungsi Alih Motor AC-servo
Tegangan kontrol EC adalah input dan perpindahan poros motor adalah output, maka fungsi alih (transfer-function) sistem ini diberikan:
di mana :Km = KC /( b + Kn) = konstanta penguatan motorTm = J /( b + Kn) = konstanta waktu motor
)1()()(
2 +=
++=
sTsK
)s K ( b JsK
sEs
m
m
n
c
c
θ
Dasar Sistem Pengaturan - 04 45
Diagram Kotak Motor AC-servoFungsi alih didasarkan pada anggapan bahwa motor servo linier. Namun dalam praktek, motor servo tidak benar-benar linier. Karena kurva torsi-kecepatan tidak benar-benar sejajar dan berjarak sama, maka harga Kn tidak konstan. Sehingga harga Km dan Tm juga tidak konstan, harga-harga tersebut berubah terhadap tegangan kontrol.Diagram blok dari motor Servo dua-fasa di atas sebagai berikut :
Km------------s(Tms +1)
θ(s)Ec(s)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 46
Model Matematik Selenoid (Plungger)Suatu kumparan yang dililitkan pada media isolator yang mempunyai inti besi yang bebas bergerak. Tegangan vp(t) sebagai input dan x(t) sebagai output. Kp= konstanta plungger ip = arus yang mengalir pada plungger.
)()()()(
)( tiKtxdantiRdt
tdiLtv pppp
ppp =+=
x (t)
Plunger
Lp; Rp
vp (t)
Dasar Sistem Pengaturan - 04 47
Contoh: Sistem ElektromekanikConsider the temperature control system shown in figure. It is assume that the heat q pumped into the chamber is proportional to the valve opening x and the temperatur y inside the chamber related to q by the differential equation dy/dt = -cy + kcq. Compute transfer function of each blok.
qkcydtdy
c+−=