d-teoria uusi kvanttimekaniikan tulkinta perustuen kvantittuneeseen avaruuteen ja aikaan &

1

D-teoriaUusi kvanttimekaniikan tulkinta perustuen

kvantittuneeseen avaruuteen ja aikaan

&

gravitaation ja kvanttimekaniikan yhdistäminen.

versio 1.01 1.4.2002 versio 1.11 11.2.2004 versio 1.21 8.11.2005 versio 1.02 21.4.2002 versio 1.12 16.4.2004 versio 1.22 8.4.2006 versio 1.03 31.5.2002 versio 1.13 23.5.2004 versio 1.23 12.5.2006 versio 1.04 12.7.2002 versio 1.14 04.6.2004 versio 1.24 4.12.2006 versio 1.05 31.7.2002 versio 1.15 09.9.2004 versio 1.25 8.5.2007 versio 1.06 31.10.2002 versio 1.16 26.11.2004 versio 1.26 19.11.2007 versio 1.07 1.3.2003 versio 1.17 10.3.2005 versio 1.27 25.1.2008 versio 1.08 26.5.2003 versio 1.18 28.5.2005 versio 1.28 17.5.2008 versio 1.09 10.10.2003 versio 1.19 03.6.2005 versio 1.29 25.6.2008 versio 1.10 18.01.2004 versio 1.20 19.7.2005 versio 1.30 29.11.2008

versio 2.01 5.09.2009 versio 2.02 8.12.2009 versio 2.03 20.2.2010versio 2.04 20.4.2010 versio 2.05 8.11.2010 versio 2.06 26.3.2011versio 2.07 11.11.2011 versio 2.08 4.5.2012 versio 2.09 20.12.2012versio 2.10 6.4.2013 versio 2.11 3.1.2014 versio 2.12 14.4.2014

email: [email protected]

Pekka Virtanen

2

Johdanto

Luonnontieteiden ehkä merkittävin yksittäinen saavutus on atomin keksiminen. Ainetta ei voida jakaa osiinsa loputtomiin. Atomin idea viittaa siihen, että maailmassa on yksi erikoisasemassa oleva mittakaava eli atomin mittakaava. Fyysikot uskovat, että kaikki luonnonilmiöt syntyvät yhden mittakaavan tasolta eli kvantti-ilmiöiden mittakaavasta. Mittakaava liittyy avaruuteen.

Mitä on tyhjä tila eli avaruus? Millaisia ovat tyhjän avaruuden rakenne ja ominaisuudet? Onko olemassa pienin jakamaton pituus ja ovatko avaruuden suunnat kvantittuneet pienimmässä mittakaavassa? Erikoisasemassa olevan mittakaavan olemassaolo viittaa kvantittuneeseen eli solurakenteiseen avaruuteen. Silloin avaruus voidaan kuvata taustasta riipumattomilla yksikkövektoreilla, jotka virittävät kyseiset solut. Tällainen avaruus on absoluuttinen mutta ei sama kuin Newtonin absoluuttinen avaruus. Tyhjää avaruutta ei ole mahdollista havaita suoraan, mutta sen rakennetta on mahdollista tutkia teoreettisesti. Kun avaruus kuvataan solurakenteisena, monet arkijärjen vastaiset kvantti-ilmiöt voidaan ymmärtää uudella tavalla. Havaintoavaruuden syntymiseen solurakenteisesta avaruudesta tarvitaan karkeistettuja havaintoja. Klassinen havaintoavaruus syntyy geometrisesti absoluuttisen avaruuden emergenttinä ominaisuutena. On kaksi erilaista kuvaa yhdestä avaruudesta, karkeistettu ja karkeistamaton, lineaarinen ja epälineaarinen.

D-teoriaa voidaan pitää kvanttimekaniikan uutena tulkintana, joka perustuu avaruuden rakenteen määrittelevään hypoteesiin. Solurakenteisen avaruuden malli mm. ratkaisee kvanttimekaniikan mittausongelman ja tuottaa Lorentzin muunnosyhtälöt, joihin Suhteellisuusteoria puolestaan perustuu.

Kun matematiikka soveltuu hyvin luonnonilmiöiden kuvaamiseen ja on abstrakti osa tätä maailmaa, on kattavan fysikaalisen teorian kuvattava myös matematiikan perusteet kuten esim. lukujoukkojen syntyminen. Avaruus on myös matemaattinen käsite ja absoluuttinen avaruus yhdistää fysikaalisen maailman ja siinä syntyvän matematiikan toisiinsa.

Kvanttimekaniikkaa on yritetty tulkita yli 80 vuotta eikä tyydyttävää tulkintaa ole löytynyt. Havaitsijan tietoisuus on näyttänyt olevan osa mittausprosessia. Solurakenteisen avaruuden malli antaa uuden näkökulman tietoisuuden merkitykseen kvanttimekaniikassa. Myös toinen tulkintaan liittyvä asia, ei-lokaalisuus, tulee ymmärrettäväksi avaruusmallin ja Bellin epäyhtälön rikkoutumisen avulla ja on samalla vahva näyttö mallin oikeellisuudesta. Kolmas tulkintaan liittyvä asia on hiukkasen aaltofunktio, joka on kvanttimekaniikassa matemaattinen abstraktio. Sillä on D-teoriassa yhteys kompleksiseen absoluuttiseen avaruuteen, joka ei rakenteensa (Manhattan-metriikka) vuoksi ole havaitsijalle havaittava eikä yksikäsitteinen. Silloin havaitsemattoman vapaan hiukkasen paikkakaan ei ole yksikäsitteinen ja hiukkanen näyttää aallolta. Mittaus muuttaa asian antamalla hiukkaselle paikan lineaarisessa yksikäsitteisessä havaintoavaruudessa eli romahduttamalla hiukkasen aaltofunktion samanaikaisesti kaikkialla.

Kvanttifysiikan Standardimallissa symmetria-avaruuksien rotaatiot ovat keskeisiä asioita, samoin ns. mittaperiaate. Rotaatiot ja mittaperiaate liittyvät suoraan kvantittuneiden avaruuden ja ajan ominaisuuksiin. Kun avaruus käsittää myös kvantittuneen kompleksiavaruuden, makroskooppisen sauvan rotaatiot solurakenteisessa avaruudessa ovat mitansäilyttäviä.

Lopulta jää jäljelle vaatimaton kysymys "Mitä kaikki on?". Voidaan osoittaa, että kysymykseen ei ole mahdollista saada vastausta. Yksi abstraktio jää malliin aina jäljelle. Mutta vain yksi.

3

D-teoria - Solurakenteisen avaruuden malli

Osa : Avaruus ja aika

Teorian hypoteesi:

Suuressa mittakaavassa fysikaalinen tila-avaruus on taustasta riippumaton neliulotteisen hyperoktaedrin kolmiulotteinen, solurakenteinen pinta. Se on euklidiseen havainto-avaruuteen verrattuna neliöllinen ja absoluuttinen. Suljetun pinnan sisä- ja ulkopuolella on määrätylle etäisyydelle pinnasta ulottuva solurakenteinen kompleksiavaruus. Avaruudessa pätee Manhattan-metriikka.

( Havaintoavaruus on absoluuttisen avaruuden emergentti ominaisuus. Se syntyy absoluutti-sesta avaruudesta karkeistettujen havaintojen kautta jokaiselle havaitsijalle liiketilasta riippuen erilaisena ja on neljällä ortonormeeratulla kantavektorilla viritetyn Riemannin hyperpallon kolmiulotteinen pinta.)

Tiivistelmä:

Määritellään absoluuttisen avaruuden solumainen rakenne. Kuvataan havaintoavaruuden syntyminen absoluuttisesta avaruudesta sen emergenttinä ominaisuutena. Avaruusmallin perusteella saadaan Lorentzin muunnosyhtälöt. Osoitetaan, että makroskooppisen sauvan rotaatiot ovat solurakenteisessa avaruudessa mitansäilyttäviä.

Esitetään ratkaisu kvanttimekaniikan mittausongelmaan. Esitetään uusi tulkinta aaltofunktion romahtamiselle ja Bellin epäyhtälön rikkoutumiselle. Johdetaan avaruusmallista epätarkkuus-periaate ja hiukkasen aaltofunktion vaiheinvarianssi.

Määritellään 3D-pinnan ulkopuolella sijaitsevan kompleksiavaruuden rakenne ja rotaatiot. Määritellään hiukkasen varaus ja spin ja symmetriaryhmät solurakenteisessa kompleksi-avaruudessa. Kuvataan hienorannevakion geometrinen luonne. Kvantitetaan aika ja hiukkasen liikemäärä. Kuvataan gravitaation merkitys havaintoavaruuden syntymisessä.

Määritellään geometrisesti nelikantainen atomimalli, sen elektronien kaikki kvanttiluvut ja projektiot havainto-avaruudessa. Johdetaan geometrisesti tarkat arvot protonin halkaisijalle, Rydbergin vakiolle ja vetyatomin elektroniratojen säteille.

Määritellään kvarkkien ja kolmen hiukkasperheen geometrinen rakenne.

Johdetaan epäsymmetrisen aaltofunktion avulla massan, ajan ja pituuden paikallisuus absoluuttisessa avaruudessa.

Osoitetaan, että sähkömagneettiset kentät ovat kvantittuneen kompleksiavaruuden ominaisuuksista syntyvä aaltomekaaninen ilmiö, joka tuottaa Maxwellin yhtälöt.

4

Uusi D-teoria 2.12 on ilmestynyt

D-teoria esittää uuden tavan lähestyä kaikkia fysiikan ilmiöitä. Teoria perustuu geometriaan, algebraan ja logiikkaan.

Yleinen suhteellisuusteoria perustuu geometriaan, mutta kvanttimekaniikasta geometrinen kuvaus on puuttunut. Abstraktiin algebraan perustuvan kvanttimekaniikan geometrisointi on välttämätöntä näiden kahden teorian yhdistämiseksi .

Aluksi määritellään absoluuttisen avaruuden Manhattan-metriikkaaan perustuva geometria suuressa ja pienessä mittakaavassa. Absoluuttinen avaruus kuvataan solurakenteisena ja neliöllisenä havaintoavaruuteen verrattuna. Samalla osoitetaan, että havaitsijalle ei voi olla olemassa absoluuttista paikkaa eikä aikaa. Lorentzin muunnosyhtälöiden toteutuminen avaruusmallissa on vahva näyttö mallin pätevyydestä. Myös kokeissa havaittu Bellin epäyhtälön rikkoutuminen tukee avaruusmallia.

Mallin mukaan taustasta riippumaton solurakenteinen avaruus on ainoa tarvittava substanssi. Silloin esim. aika ja alkeishiukkaset syntyvät pelkästään avaruudesta ja ovat avaruuden ominaisuuksia. Absoluuttinen avaruus ei kuitenkaan osoittaudu yksikäsitteiseksi, mikä selittää esim. ns. aaltofunktion romahtamisen mittauksen yhteydessä.

D-teoria osoittaa matemaattisesti, että maailma on reduktionistinen. Kaikki makroskooppiset ilmiöt selittyvät kvanttitason ilmiöiden kautta.

D-teoria selittää Universumin synnyn ulottuvuus kerrallaan ja laajenemistavan. Maailma ei syntynyt suoraan kolmiulotteiseksi. Kehityskertomuksesta on puuttunut ulottuvuuksien lukumäärän kehitys ja samalla avaruuden kehitys. Avaruuden laajeneminen saa D-teoriassa uuden mallin.

Avaruusmallin avulla johdetaan mm. Rydbergin vakion tarkka arvo, elektronin ja protonin massat, protonin halkaisija ja vetyatomin halkaisija.

Nelikantainen atomimalli tuottaa geometrisesti atomin elektronien kaikki kvanttiluvut sekä esim. Higgsin duplettikentän geometrisen kuvauksen.

Matemaatikoiden määrittelemä euklidinen 4-kantainen tila-avaruus, jossa 3-ulotteiset kappaleet voivat ilmestyä kuin tyhjästä ja kadota taas, ei ole D-teorian avaruus eikä myöskään vastaa havaintoja. Nelikantainen avaruus voidaan määritellä lukuisilla eri tavoilla. Niistä Minkowskin aika-avaruus on vain yksi esimerkki. D-teorian avaruus vastaa paremmin havaintoja antaen samalla vastauksia moniin fysiikan avoimiin kysymyksiin.

Solurakenteisen avaruuden riippumattomuus taustasta tarkoittaa, että avaruutta tarkastellaan vain sisältäpäin. Soluille, jotka muodostavat tilan eli avaruuden, ei määritellä eikä edellytetä mitään taustaa. Soluilla on paikka ja ominaisuudet vain toisiinsa nähden, ei taustan suhteen. Määrittelijät itse koostuvat samoista soluista ja määräytyvät täysin niiden ominaisuuksista. Määrittelijät kuuluvat siis itse samaan joukkoon määriteltävän kohteen kanssa.

D-teoria on kaksiosainen; 1. Avaruus ja aika. 2. Gravitaatio ja sähkömagneettiset kentät.

5

Sisällys, osa l :

D-teorian suhde Standardimalliin 6Matematiikan suuri merkitys fysiikassa 7D-teorian tausta 10Solurakenteinen absoluuttinen avaruus 11Kompleksiavaruus 15Etäisyyden laskeminen solumaisessa neliöllisessä avaruudessa 34Nopeuksien laskeminen neliöllisessä avaruudessa 36 Ajan laskeminen neliöllisessä avaruudessa 37Dualismi 39Ilmiöluokat 40 Pienin mittakaava 41Avaruuden isotrooppisuus ja neliöllisyys 44Schrödingerin yhtälö alkeishiukkasille 57 Neutraali gravitaatioaalto 58 Liikemäärän säilyminen Manhattan-metriikassa 60Interferenssin katoaminen 71Compton-aallonpituus 74Hiukkaset 76Liikemäärän kvantittaminen 80 Kvanttifysiikan ei-lokaalisuus ja kaukovaikutus 82Kaaos ja determinismi solurakenteisessa avaruudessa 86Rotaatiot ja mittaperiaate solurakenteisessa avaruudessa 87Yksikäsitteinen avaruus ja "aaltofunktion romahtaminen“ 89 Havaintoavaruuden synty eli kappaleen lokalisoituminen 92Käänteisavaruus 94Epätarkkuusperiaate solurakenteisessa avaruudessa 96Protonin massan johtaminen 98 Absoluuttinen kiertoliike silmukka-avaruudessa 100Epäsymmetrinen hiukkanen 104Aika ei ole substanssi 105Samanaikaisuusperiaate 108Lorentzin muunnos silmukka-avaruudessa 109Seitsemän kappaleen tapaus 110Spin-rotaatiot 111Hila-avaruuden rotaatiot 113Varaussymmetria 116Elektroni hilakopissa 117Hiukkasperheet 124Virtuaalinen fotoni 125Elektronin projektio 3D-pinnalla 126Rydbergin vakion geometrinen johtaminen 129 Vaikutuskvantti 130Hilajonot eli eetteri 132Fotonin rakene hilassa 133Hilan ominaisuudet 135Atomimalli 140Lähteet 146

6

D-teorian suhde Standardimalliin

D-teorian ymmärtäminen ei vaadi kvanttimekaniikan Standardimallin syvällistä tuntemusta. Standardimallin yhtenä perustana on aaltofunktio ja sen vaiheen globaali ja lokaali invarianssi eli ns. mittaperiaate. Globaalin mittaperiaatteen mukaan järjestelmän aaltofunktion vaihe voi-daan muuttaa kaikissa avaruuden ja ajan pisteissä vain yhdellä kertaa ja samalla määrällä. Standardimalli ei esitä aaltofunktiolle fysikaalista merkitystä. D-teoria kertoo geometrisesti, mitä aaltofunktio ja sen kompleksinen vaihe ovat ja mistä mittaperiaate syntyy. Mittaperiaatteen kehittäjät pitivät mittaperiaatetta eli vaiheen globaalia invarianssia suhteellisuusperiaatteen vastaisena, mutta D-teoria osoittaa, että niin on vain näennäisesti. Mittaperiaatetta sovelletaan D-teoriassa sähkömagnetismin ja gravitaation kuvauksessa.

Toinen Standardimallin perusta ovat symmetriaryhmien U(1), SU(2) ja SU(3) erilaiset rotaatiot eli kierrot. D-teoria osoittaa ryhmien U(1) ja SU(2) osalta näiden ryhmien merkityk-sen sähkömagneettisessa vuorovaikutuksessa sekä syyn siihen, miksi rotaatioryhmät ovat merkittäviä kvanttimekaniikassa. SU(2)-rotaatioryhmän ominaisuuksia sovelletaan spin-½-hiukkasten geometrisessa kuvauksessa yhdessä abstraktin isospin-avaruuden kanssa. Symmetriaryhmää SU(3) käytetään värivoiman kuvauksen yhteydessä.

Standardimallin mukaan energia ja kentät ovat kvantittuneita. D-teorian mukaan myös avaruuden suunnat, pituudet sekä aika ja liikemäärä ovat kvantittuneet. Aika on Standardi-mallissa parametri eikä malli selitä ajan olemusta tai ominaisuuksia. D-teorian avaruusmalli kuvaa suhteellisen ajan olemuksen ja ominaisuudet kvantti-ilmiöiden tasolta. Standardimalli sisältää fysikaaliselle maailmalle monta eri substanssia. D-teorian mukaan substansseja tarvitaan vain yksi. Ainoa substanssi selittää periaatteessa kaikki fysikaaliset ilmiöt.

Standardimalli sisältää käsitteet ”sattuma” ja ”todennäköisyys”, mutta D-teoria ei niitä tarvitse. Maailma näyttää D-teorian mukaan täysin deterministiseltä.

Standardimalli ei esitä mitään testattua mallia gravitaatiolle ja siten kvanttimekaniikkaa ja gravitaatiota ei ole kyetty siinä yhdistämään. D-teoria esittää mallin gravitaation yhdistämiseksi kvanttimekaniikkaan. Malli kuvaa gravitaatiokentän syntymisen hiukkasmallin avulla ja kolmen perussuureen eli ajan, pituuden ja massan kvantitatiivisen käyttäytymisen siinä.

Standardimalli ei auta tulkitsemaan kvanttimekaniikan mittausongelmaa, aaltofunktion romah-tamista mittauksessa tai vaikka hiukkasparin lomittumiseen liittyvää ei-lokaalisuutta. Fyysikot kiistelevät, onko maailma ei-lokaali tai epädeterministinen tai molempia. D-teoria esittää tulkinnan ja selityksen näille fyysikoita jo kauan askarruttaneille kysymyksille.

Avaruuden ja ajan kvantisointi puuttuu Standardimallista, mutta on keskeinen asia D-teoriassa. Fysiikassa on aikaisemmin kvantisoitu energia, hiukkaset ja kentät. Seuraavaksi kvantisoidaan avaruus ja aika. Se on järjestyksessä kolmas kvantittaminen ja samalla uusi paradigma. Kun ajatellaan Standardimallista poiketen, että avaruus on solurakenteinen, törmätään monien mielestä ongelmaan. Avaruus näyttää olevan samanlainen kaikissa suunnissa eli avaruus on isotrooppinen. Kuinka avaruus silloin voisi olla solurakenteinen? Vastaus saadaan, kun määritellään avaruuden rakenne ja materia tietyllä tavalla. Määritellään siis solurakenteinen avaruus tavalla, joka saa sen näyttämään isotrooppiselta makroskooppisessa mittakaavassa. Tämä määrittely johtaa mm. kvantti-ilmiöiden käsittelyyn aivan uudella geometriaan perustuvalla tavalla. Samalla määrittely on teorian hypoteesi.

7

Yleinen suhteellisuusteoria:Kun gravitaation olemassaolo riippuu koordinaatistosta, gravitaatio on avaruuden geometrian ominaisuus

Kvanttimekaniikka:- ei-lokaalisuus- epätarkkuusperiaate- tilastollisuus- tulkintaongelmat- abstrakti algebra

Laajennus:Kaikki, mitä on olemassa, syntyy vain avaruudesta ja sen ominaisuuksista eli avaruus on ainoa substanssi.

Laajennus:Kaikki, mitä on olemassa, syntyy vain avaruudesta ja sen ominaisuuksista eli avaruus on ainoa substanssi.

GeometriaGeometriaGeometriaGeometria

D-teoria- lokaali Manhattan-metriikka- deterministinen- kvantittuneet avaruus ja aika - havaintoavaruus on vain kuva

D-teorian tausta:

Fysikaalinen todellisuus

Paradigman vaihto:Modernin fysiikan mukaan absoluuttista avaruutta ei ole olemassa. D-teorian mukaan vain absoluuttinen avaruus kaikkine ominaispiirteineen on olemassa.

Pekka Virtanen

8

Matematiikan suuri merkitys fysiikassa

Matematiikan avulla voidaan kuvata luonnon ilmiöitä hämmästyttävän tehokkaasti. Matematiikka näyttää olevan suorassa yhteydessä luonnon perimmäisiin ilmiöihin eikä syytä tunneta. Matematiikan perusteet, kuten lukujoukot, syntyvät maailman sisäisenä abstraktina ominaisuutena eikä niitä voi valita mielivaltaisesti. Niillä voi olettaa olevan yhteys maailmankaikkeuden sisäiseen rakenteeseen.

Hypoteesi:Millainen fysikaalinen avaruus - sellainen algebra. Millainen fysikaalinen avaruus - sellainen geometria eli millainen fysikaalinen avaruus - sellainen matematiikka.

Tämä tarkoittaa, että oma fysikaalinen avaruutemme on määrännyt millaiseksi matematiik-kamme ja logiikkamme voi kehittyä. Avaruus on keskeinen tekijä kaikissa fysiikan ilmiöissä ja avaruus on samalla matemaattinen käsite. Voidaankin ajatella, että abstrakti matemaattinen teoria kertoo fysikaalisen avaruuden luonteesta. Tarkastelemalla matematiikan peruskäsitteitä saadaan tietoa fysikaalisesta avaruudestamme.

Yksi esimerkki tästä ovat imaginääriluvut. Ajatelkaamme outoa lukua i, joka ei ole tästä maa-ilmasta. Sillä ei ole suuruutta eikä se voi olla negatiivinen eikä positiivinen. Tämä luku kuiten-kin sijaitsee omalla lukusuorallaan, jolla on avaruudessa kuvitteellinen imaginäärinen suunta. Tämä lukusuora on kohtisuorassa reaalilukujen lukusuoraa vastaan. Imaginääriluku saadaan näkyväksi eli reaaliseksi lisäämällä siihen uusi kohtisuora suunta eli neliöimällä luku. Näin luku i voidaan ymmärtää luvuksi, jolla on avaruudessa oma suuntansa, jota emme voi koskaan havaita, mutta sen neliöllä on reaalinen arvo.

Imaginääriluvut ilmestyivät matematiikkaan jo kauan sitten, mutta niitä alettiin ymmärtää vasta, kun syntyi kompleksitason eli kompleksiavaruuden käsite. Kolmikantainen reaalilukujen avaruutemme sai yhden kannan eli ulottuvuuden lisää. Imaginäärilukujen ilmestyminen matematiikkaamme kertoo, että avaruutemme on nelikantainen ja että meille ei ole teoriassa mahdollista havaita neljättä, imaginäärisen (kuvitteellisen) kantavektorin suuntaa avaruudessamme. Silti voimme käyttää kompleksilukuja neljännen kantavektorin suuntaisten ilmiöiden käsittelyyn.

Imaginääriluvut muuttuvat reaalisiksi, kun ne neliöidään. Kirjoittamalla koordinaatistomuunnos

X = x ² , Y = y ² , Z = z ² ja I = i ²

siirrytään (x,y,z,i)-havaintoavaruudestamme neliölliseen 4-kantaiseen avaruuteen (X,Y,Z, I). Tällaista avaruutta kutsutaan absoluuttiseksi (tai invariantiksi), koska kaikki 4 ortonormee-rattua avaruussuuntaa ovat siinä havaittavia eli reaalisia. Tällaisessa avaruudessa esim. neliö

±X ± Y = 1

kuvautuu lineaariseen (x,y,z)-havaintoavaruuteemme yksikköympyräksi

x² + y² = 1.

Tällainen muunnos, vaikka se onkin matemaattisesti hallitsematon, voidaan todella tehdä tie-tyin edellytyksin ja tietyin seurauksin, joista lisää myöhemmin.

9

Absoluuttisessa 4-kantaisessa avaruudessa Pythagoraan lause kirjoitetaan silloin esim.

ds = a + b + c + d, missä a b c d.

Havaintoavaruudessamme sama lause kirjoitetaan

ds² = a² + b² + c² + d².

Matematiikan lukujoukkojen laajentamista voidaan kuvata seuraavan kaavion avulla:

Luonnolliset luvut

Kokonais-luvut

Rationaali-luvut

Reaali-luvut

Kompleksi-luvut

Negatiiviset kokonaisluvut

Murto-luvut

Irrationaali-luvut

Imaginääri-luvut

Lukujoukkojen määrää ei ole mahdollista laajentaa suuremmaksi! Niinpä kompleksilukujen joukko on laajin mahdollinen lukujoukko, jolle ovat voimassa tietyt algebralliset perusominai-suudet (vaihdanta- ja liitäntälait, osittelulaki, neutraalialkiot sekä vasta- ja käänteisalkio). Se on samalla algebrallisesti suljettu lukujoukko.

Edelliset lukujoukot löytyvät kaikki havaitsijan maailmasta eli n-ulotteisesta euklidisesta avaruudesta. Kompleksilukujen olemassaolo siinä tarkoittaa, että fysikaalisessa absoluutti-sessa avaruudessa ulottuvuuksia (kantoja) on silloin n+1 kappaletta. Havaitsijan n-kantainen avaruus oletetaan suljetuksi ja n = 3.

Kvanttimekaniikassa sovelletaan menestyksellä ryhmäteoriaa, erityisesti Lien algebraa. Se on abstraktia algebraa, jossa tutkitaan rotaatioiden ominaisuuksia erilaisissa avaruuksissa. Todellisten hiukkasten käyttäytymistä kuvaavia Lien ryhmiä ovat U(1), SU(2) ja SU(3). Ne kaikki liittyvät kompleksiavaruuteen. Matemaatikko Felix Klein esitti, että geometriaa eivät luonnehdi ja määrittele niinkään geometriset oliot, vaan pikemminkin ryhmämuunnokset, jotka jättävät geometrian ennalleen, eli symmetriat. Erilaisilla avaruuksilla on erilaiset symmetriaominaisuudet. Voidaan sanoa, että avaruuden geometrian määrittelee parhaiten sen symmetriaryhmä. Näiden Lien ryhmien käyttö kvanttimekaniikassa vihjaa hiukkasten sijaitsevan kompleksiavaruudessa.

Viidennen tai useamman asteen yhtälön ratkaiseminen kaavalla on todistettu mahdottomaksi. Todistus perustuu ryhmäteoriaan ja oletettujen ratkaisujen symmetriaominaisuuksiin eli viime kädessä geometriaan. Neliulotteisessa absoluuttisessa avaruudessa muuttujan neljäs potens-si kertoo tilavuudesta, joka vielä sopii avaruuteen. Jos avaruudessamme olisi yksi ulottuvuus enemmän, avaruuden symmetriaominaisuudet olisivat erilaiset. Myös matematiikkamme olisi erilaista ja ilmeisesti yleinen viidennen asteen yhtälö ratkeaisi siinä avaruudessa kaavalla.

Matematiikka sisältää käsitteen ääretön. Mihin tahansa lukuun voidaan aina lisätä mikä tahansa luku ja tulos sopii aina lukusuoralle. Lukusuora ei koskaan pääty. Käsite ääretön merkitsee, että avaruudella ei ole olemassa reunaa. Silloin fysikaalisen avaruuden on oltava suljettu rakenne, joka on myös kierrettävissä ympäri, mutta ei havaittavalla tavalla. Suljettua kehää voi kiertää ympäri matkan, jonka pituus on ääretön.

10

Matemaatikko ja loogikko Kurt Gödel osoitti, ettei matematiikassa minkä tahansa aksiooma-järjestelmän kaikkia lauseita ole mahdollista todistaa oikeaksi tai vääräksi aukottomasti, mikä perustuu lopultakin siihen, että avaruus on suljettu eikä siitä voi poistua ulkopuolelle totea-maan, mikä on totta ja mikä ei. Siten emme esimerkiksi koskaan voi tietää, missä avaruutem-me sijaitsee suhteessa johonkin muuhun.

D-teoriassa osoitetaan, että avaruuden suuren ja pienen mittakaavan rakenteella on keskei-nen merkitys kaikissa fysiikan ilmiöissä. Siksi fysiikka ei voi saada lopullista muotoaan ilman tämän rakenteen selvittämistä. Avaruuden rakenteesta seuraa myös joitakin loogisesti ja geometrisesti johdettavissa olevia asioita kuten esim. valonnopeuden vakioisuus.

Suhteellisuusteoriassa avaruuden rakenne ei ole hypoteesi (vaan mysteeri). Suhteellisuusteoriassa on kaksi hypoteesia, jotka Einsteinin mukaan ovat:

1. Valon nopeus on kaikissa tyhjiössä toistensa suhteen liikkuvissa koordinaattijärjestelmissä yhtä suuri.

2. Kaikissa toistensa suhteen tasaisesti liikkuvissa koordinaattijärjestelmissä ovat voimassa samat luonnonlait.

Nämä molemmat hypoteesit voidaan johtaa loogisesti D-teorian avaruuden rakennetta koske-vasta hypoteesista, joka esitettiin jo tämän dokumentin alussa. D-teorian hypoteesia tukevat lisäksi monet mittaukset. Esimerkiksi:

- Lorentzin muunnosyhtälöiden mukaiset ajan ja pituuden muutokset havaitaan suurilla suhteellisilla nopeuksilla. - Paulin kieltosääntö ja siihen liittyvä symmetria. - Fermionien spin saa arvot ½ ja -½. - Bellin epäyhtälö rikkoutuu kokeissa. - Aaltofunktio romahtaa mittauksessa. - Havaitsijan tietoisuus näyttää olevan osa mittausprosessia. - Havainnot tukevat käsitystä, että avaruus on suuressa mittakaavassa laakea eli euklidinen. - Michelson-Morleyn koe, joka osoittaa valon nopeuden kaikissa suunnissa samaksi. - Kaksoisrakokokeessa elektroni kulkee samanaikaisesti molempien rakojen kautta. - Magneettikenttä on pyörteinen ja lähteetön ja on kohtisuorassa sähkövirtaa vastaan.

Näiden tulosten liittyminen itse hypoteesiin esitetään myöhemmin D-teoriassa. Lisäksi edellä esitetyt matematiikan käsitteet tukevat D-teorian avaruuden rakennetta koskevaa hypoteesia.

Matematiikka on abstrakti asia. Abstrakti on myös fysikaalinen absoluuttinen avaruus, jota on mahdoton havaita, kuten pian osoitetaan. Absoluuttinen avaruus on fysiikassa abstrakti raja, jota pidemmälle luontoa ei ole mahdollista ymmärtää. Matematiikan ja fysiikan yhteiseksi perustaksi asettuu siis absoluuttinen avaruus ja se selittää matematiikan tehokkuuden luonnontieteissä.

Paul Benioff: “Lopullisen kaikenteorian ei pitäisi vain yhdistää fysiikkaa vaan tarjota myös yhteinen selitys fysiikalle ja matematiikalle.”

The School Of Athens

11

Solurakenteinen absoluuttinen avaruus

Laajeneva avaruus voidaan kuvata lukumäärältään kasvavien ortonormeerattujen kantavekto-reiden joukon virittämänä avaruutena siten, että dimensioluku N = 1, 2, 3…kuvaa kantavektorei-den lukumäärän kasvua. Aluksi dimensioluku N=1 ja kasvaa avaruuden laajetessa.

Määritellään avaruus yksinkertaisella tavalla aloittamalla yksiulotteisesta janasta. Jana on abstrakti malli jollekin, minkä olemusta ei voida tietää. Jana on taustasta riippumaton ja virittää eli luo avaruuden. Janalla on 2 päätepistettä ja sen pituus olkoon aluksi yksi yksikkö. Annetaan janan sitten kääntyä uuden ulottuvuuden suuntaan 90 astetta ja saadaan neliö, jolla on kaksi lävistäjää eli pääakselia. Lävistäjät leikkaavat toisensa. Siten lävistäjä tulee jaetuksi kahdeksi janaksi. Avaruudessa pätee Manhattan-metriikka.

Kun N = 2, absoluuttinen avaruus voidaan kuvata koordinaatistossa (X,Y) neliönä

lXl + lYl = 1 , kun lXl,lYl <= 1.

Neliön kuvitellut sivut ovat etäisyydellä X+Y = 1 neliön keskipisteestä, kun etäisyydet lasketaan ainoastaan kahden pääakselin suuntaisina matkoina. Absoluuttinen avaruus (X,Y) on alussa esitetyn D-teorian hypoteesin mukaan neliöllinen verrattuna euklidiseen havaintoavaruuteen (x,y)-koordinaatistossa, jolloin sijoittamalla edelliseen

± X x ² , ± Y y ² saadaan havaintoavaruudessa

x ² + y ² = 1.

Saadaan yksikköympyrän kehä. Edellinen muunnos voidaan tehdä tietyin edellytyksin ja seu-rauksin, joista lisää myöhemmin. (Havaintoavaruus kuvataan D-teoriassa myöhemmin.)

Lisätään koordinaatistoon yksi kanta eli N = 3 antamalla neliön kääntyä 90 astetta uuden ulottuvuuden suuntaan. Saadaan oktaedri.

Y

X

y

x

Oktaedri on säännöllinen monitahokas, joka sisältää 3 lävistäjää ja 6 kärkeä. Tahkoja on 8 ja ne ovat säännöllisiä kolmioita. Lävistäjät ovat keskenään samanpituisia ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. Oktaedrin 2-ulotteisen kuvitellun pinnan jokainen piste on samalla etäisyydellä keskipisteestä, kun etäisyydet mitataan pääakseleiden suuntaisina eli

lXl + lYl + lZl = 1 , kun lXl,lYl,lZl <= 1.

Oktaedrin lävistäjät määrittävät avaruuden etäisyydet kolmen pääakselin suunnassa. Lävistäjät leikkaavat toisensa. Siten kukin lävistäjä tulee jaetuksi kahdeksi janaksi.

12

Absoluuttinen avaruus (X,Y,Z) on neliöllinen verrattuna havaintoavaruuteen koordinaatistossa (x,y,z), jolloin sijoittamalla edelliseen

± X x ² , ± Y y ² , ± Z z ² saadaan havaintoavaruudessa

x ² + y ² + z ² = 1.

Saadaan havaintoavaruuden yksikköpallo.

Lisätään koordinaatistoon yksi kanta eli N = 4 antamalla oktaedrin kääntyä 90 astetta uuden ulottuvuuden suuntaan. Saadaan hyperoktaedri (engl. hexadecachoron). Hyperoktaedri koostuu 16:sta tetraedrista siten, että lävistäjiä on neljä ja kärkiä on kahdeksan. Hyperokta-edrin pinta on 3-kantainen ja voidaan täyttää kolmiulotteisilla ei-säännöllisillä tetraedreilla. Kaikki 4 keskenään kohtisuoraa kantaa ovat hyperoktaedrissa symmetriset eikä yhtä voida erottaa toisesta.

Pinnan kaikki pisteet ovat yhtä kaukana hyperoktaedrin keskipisteestä, kun etäisyys lasketaan pääakseleiden suunnassa. Saadaan

lXl + lYl + lZl + lUl = 1 , kun lXl,lYl,lZl,lUl <= 1.

Sijoittamalla edelliseen

± X x ² , ± Y y ² , ± Z z ² ja ± U u ² saadaan hyperoktaedrille havaintoavaruudessa

x ² + y ² + z ² + u ² = 1 ,

joka on Riemannin hyperpallo. Hyperpallossa pääakseleiden suunnat ovat kadonneet ja pallon pinta on 3-kantainen.

Yksinkertaistetussa kuvassa hyperoktaedrillä on kahdeksan kär-keä. Nelikantaisen objektin visualisointi 3D-avaruudessa on mahdotonta.

Kun hyperoktaedria leikataan lävistäjää vastaan kohtisuoralla tasolla, saadaan leikkauskuvioksi oktaedri. Kun lävistäjiä on 4, voidaan oktaedrit nimetä kirjaimilla Ox, Oy, Oz, ja Ou. Hyperok-taedrin pinta on 3-kantainen Tälle pinnalle voidaan asettaa mi-ten tahansa paikallinen 3-kantainen ortonormeerattu (x,y,z)-koordinaatisto. Silloin neljäs avaruussuunta u on aina kohtisuo-rassa pintaa vastaan.

13

Liikuttaessa pinnalla ja siirryttäessä tahkolta toiseen vaihtuu neljäs avaruussuunta toiseksi siten, että kukin suunnista X,Y,Z ja U ovat omalla tahkollaan kohtisuorassa pintaa vastaan.

Paikallinen 4-kantainen koordinaatisto virittää avaruuden, jossa neljäs koordinaatti on pinnan 3-kantaisuuden vuoksi aina erikoisasemassa muihin kolmeen verrattuna. Paikallisesti sitä kutsutaan nimellä "neljäs ulottuvuus" tai "4.D". Sitä ei euklidisella 3D-pinnalla ole mitenkään mahdollista suoraan havaita. Neljäs ulottuvuus on aina reunallinen, kun muut kolme ovat pinnan kautta sulkeutuneita ja siten reunattomia.

Hyperoktaedrin 3-kantainen pinta voidaan osittain täyttää kolmiulotteisilla tetraedreilla. Tetra-edrit eivät silloin ole säännöllisiä kolmessa avaruussuunnassa. Kahdeksan vierekkäistä tetra-edriä muodostavat yhdessä säännöllisen oktaedrin. Niinpä hyperoktaedrin solurakenteisen 3D-pinnan määritellään koostuvan säännöllisistä oktaedreista, jotka muodostavat oktaedrin lävis-täjän paksuisia kuoria. Säännöllisen kuoren leveyden puolikas on avaruuden pienin käyttökel-poinen mittayksikkö. 3D-pinnan paksuuden 4.D:n suunnassa voidaan ajatella olevan nolla (tai ns. Planckin säteen suuruinen, kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan). Oktaedrit täyttävät 3D-avaruudesta vain osan. Lopun täyttävät antioktaedrit, kuten pian tarkemmin esitetään.

Kaksi epäsäännöllistä tetraedria. Niitä tarvitaan kahdeksan yhden säännöllisen oktaedrin muodostamiseen

Solumaisen 3D-avaruuden rakenne. Jokainen solu on 4.D:n suunnassa yhtä kaukana nelikantaisen avaruuden keskipisteestä.

Absoluuttisessa avaruudessa pituudet ovat olemassa vain oktaedrien lävistäjien eli avaruuden pääakselien suunnissa. Hyperoktaedrin 3D-pinnalla akseleita on kolmessa sunnassa. Tällaisen avaruuden metriikkaa kutsutaan nimellä Manhattan-metriikka.

Jokaisen oktaedrin keskipiste muodostaa origon siten, että origon yhdellä puolella lävistäjän puolikas on positiivinen ja vastakkaisella puolella negatiivinen. Silloin origon paikka lävistäjien muodostamassa verkossa on määrätty. Positiivisuutta ja negatiivisuutta ei ole mahdollista määritellä muuten kuin, että niiden itseisarvo on nollaa suurempi mutta niiden summa on nolla. Asiaan palataan vielä myöhemmin D-teoriassa.

Kunkin origon paikka lävistäjien muodostamassa verkossa on määrätty.

+

++

_

_

_

14

Fysikaalinen kvantittunut avaruus muodostuu oktaedrien ja antioktaed-rien lävistäjistä. Tämä jako kahteen avaruuteen merkitsee alkeishiukka-sille jakoa spin-ylös- ja spin-alas-hiukkasiin niiden sijainnin mukaan (mutta se ei merkitse jakoa hiukkasiin/antihiukkasiin, sillä hiukkasella ja sen antihiukkasella on sama spin.)

2 epäsäännöllistä tetraedria t

Alemmasta kuvasta huomataan, että yhdistämällä antioktaedreissa säännöllisten tetraedrien T vastakkaisten särmien keskipisteet saadaan kolme janaa x’, y’ ja z’. Kunkin janan pituus on sama kuin oktaedrissa lävistäjien puolikkaiden pituus eli yksikkövektorien pituudet x, y, z = 1. Lisäksi huomataan, että janat ovat keskenään kohtisuorassa kuten x y z. Janat x’, y’ ja z’ ovat myös samansuuntaiset kuin x, y ja z. Janat ovat antioktaedrin lävistäjien puolikkaita vas-taavalla tavalla kuin oktaedrissa janat x, y ja z. Antiavaruuden olemassaolo ei kuitenkaan laa-jenna havaintoavaruutta, mutta kaksinkertaistaa absoluuttisen avaruuden koon.

Kuvasta huomataan, että antioktaedrien lävistäjät muodostavat oman erillisen verkkonsa lomit-tuneena oktaedrien lävistäjien vastaavaan verkkoon. Lävistäjien verkot ovat identtiset. Siten kumpi tahansa verkko voidaan ajatella oktaedrien lävistäjiksi ja toinen antioktaedrien lävistäjäk-si. Lävistäjät ovatkin avaruuden varsinainen substanssi. (Oktaedrien särmät tai tahkot eivät ole.) Lävistäjät ovat taustasta riippumattomia eli niiden ei edellytetä sijaitsevan missään taus-tassa vaan ne luovat itse tilan eli avaruuden. Ilman niitä ei olemassa mitään tilaa.

xy

z

Kahden oktaedrin puolikkaan välissä on säännöllinen tetraedri.

z'

y'

x'

Lävistäjät muodostavat 2 erillistä ja identtistä verkkoa, avaruuden ja antiavaruuden eli kaksi Manhattan-metriikkaa.

Oktaedri ja sen ympärillä olevien antioktaedrien lävistäjiä (punaisella).

Oktaedrit eivät yksinään täytä 3-kantaista avaruutta vaan 2/3-osaa siitä. Oktaedrien ulkopuolella on säännöllisiä tetraedreja T, jotka jaetaan kukin neljäksi epäsäännölliseksi tetraedriksi t. Määritellään oktaedrille sen nurinpäin oleva objekti eli kahdeksasta tetraedrista t koostuva antioktaedri. Yhdessä oktaedrit ja antioktaedrit täyttävät kokonaan 3-kantaisen avaruuden ja niiden samanpituiset ja samansuuntaiset, mutta erilliset, lävistäjät muodostavat avaruuteen kuoria ja antikuoria. Oktaedrit ja antiavaruuden muodostavat tetraedrit T ovat säännöllisiä.

Säännöllinen tetraedri T

T

15

Kolmikantaisen pinnan oktaedrien kolme kohtisuoraa lävistäjää kytkeytyvät päistään kohtisuoriksi silmukoiksi. Silloin pinnan jokai-sen pisteen (oktaedrin) kautta kulkee 3 keskenään kohtisuorassa olevaa silmukkaa. Silmukat ovat pinnalla keskenään samanpituisia ja kiertävät koko 3D-pinnan ympäri.

VoVa

a

a

x

y

z

Kuvassa oktaedrin puolikas ja vieressä sijaitseva säännöllinen tetraedri on vedetty erilleen toisistaan. Oktaedrin puolikkaan tilavuudeksi saadaan, kun x,y,z = 1 ja a = √ 2

Vo = a² z / 3 = 2/3.

Punaisella piirretyn antioktaedrin osan eli säännöllisen tetraedrin tahkon ala on A = ½ a d, kun kolmion keskijana d = a √ 3 / 2. Tetraedrin tilavuudeksi Va saadaan, kun korkeus on h

Va = Ah/3 = ½ a d ( 2 √ 3 / 3 ) / 3 = 1 / 3.

Yhteensä oktaedrin ja antioktaedrin puolikkaiden tilavuus V = Vo +Va = 1. Lävistäjät muodos-tavat myös kuutioita. Pelkästään kuutioita tarkastelemalla absoluuttisen avaruuden neliöllisyys ei kuitenkaan paljastu.

d

Yksikkövektorit oktaedrissa ja nurin päin olevat yksikkövektorit antioktaedrissa määrittelevät saman pisteen havaintoavaruudessa.

Kompleksiavaruus

Havaintoavaruutemme näyttää isotrooppiselta eli on samanlainen kaikissa suunnissa. Makro-skooppisen jäykän sauvan rotaatiot ovat siinä mitansäilyttäviä. Jotta solurakenteinen avaruus toimisi isotrooppisena, on malliin lisättävä vielä yksi olennainen osa. Se on 3D-pinnan ulko-puolella sijaitseva äärelliselle etäisyydelle pinnasta ulottuva kompleksinen ja neliöllinen avaruus. Kompleksiavaruus on myös solurakenteinen ja myös siinä pätee Manhattan-metriikka. Kompleksiavaruus on neliulotteinen. Se rakentuu kolmiulotteisista oktaedreista, jotka ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa kuten seuraavalla sivulla kuvataan. Oktaedrien kolme pääakselien suuntaa ovat 45º kulmassa 4.D:tä eli imaginääriakselia vastaan ja projisoituvat 3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan akseleita x, y ja z vastaan. Yhdessä kompleksiavaruus ja 3D-pinta saavat havaintoavaruuden näyttämään isotroopiselta kuten myöhemmn tarkemmin kuvataan.

Kompleksiavaruus on mallissa välttämätön monestakin syystä. Yksi syy on sähkömagnetis-mi. Makroskooppista sauvaa pitävät koossa sähkömagneettiset voimat. Gravitaation ja muiden perusvoimien merkitys on siinä olematon.

16

Tarkastellaan ensin kompleksiavaruuden rakennetta, kun reaaliavaruus on seuraavan kuvan esittämä yksiulotteinen suora. Suoran ulkopuolelle lisätään siihen nähden 45º kulmaan samanpituisia janoja, jotka ovat keskenään kohtisuorassa ja niiden kärjet yhtyvät kuvan esittämällä tavalla. Yksiulotteiset janat muodostavat neliöiden lävistäjiä ja neliöistä koostuvan kaksiulotteisen kompleksisen pinnan. Vastaavasti, jos reaaliavaruus on kaksiulotteinen pinta, sen ulkopuolelle lisätään keskenään kohtisuorat neliöt siten, että niiden kärjet yhtyvät kuvan esittämällä tavalla. Kaksiulotteiset neliöt muodostavat yhdessä kolmiulotteisen kompleksiava-ruuden. Neliöiden kärkipisteiden kautta on mahdollista kulkea kompleksiavaruudessa kolmi-ulotteisesti. Neliöiden keskipisteissä leikkaa vain kaksi lävistäjää ja neliön läpi voi liikkua vain kahteen suuntaan.

Kun reaaliavaruus on 3-ulotteinen pinta, sen ulkopuolelle lisätään keskenään kohtisuoraan 3-ulotteisia oktaedreja, joiden lävistäjät projisoituvat 3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan akseleita x, y ja z vastaan. Kolmiulotteiset oktaedrit muodostavat nyt yhdessä neliulotteisen kompleksiavaruuden. Oktaedreja, jotka ovat keskenään kohtisuorassa, ei ole mahdollista visualisoida. Oktaedrien kärkipisteiden kautta avaruudessa on mahdollista liikkua eri suuntiin neliulotteisesti. Oktaedrien keskipisteissä leikkaa kolme lävistäjää.

Yksiulotteisen reaaliavaruuden ulkopuolella sijaitsee 2-ulotteinen kompleksiavaruus, jonka rakennuselementit ovat 1-ulotteisia janoja. Janat muodostavat neliöitä.

Kaksiulotteisen reaaliavaruuden ulkopuolella sijaitsee 3-ulotteinen kompleksiavaruus, jonka rakennuselementit ovat keskenään kohtisuorien 2-ulotteisten neliöiden lävistäjiä. Avaruudesta (X,Y,Z) löytyvät aliavaruudet eli tasot (X,Y), (Y,Z) ja (Z,X).

Reaalinen 3D-pinta ja sen ympärillä sijaitseva neliulotteinen kompleksiavaruus muodostuvat siis molemmat oktaedreista. Erona on, että reaalisella 3D-pinnalla eli (x,y,z)-avaruudessa oktaedrit eivät ole asettuneet keskenään kohtisuoraan asentoon. Avaruuden pääakseleilla on siinä kolme eri suuntaa, kun kompleksiavaruudessa (X,Y,Z,W) akselien suuntia on neljä. Silti kompleksiavaruudessakaan yhden oktaedrin sisällä ei voi liikkua kuin kolmeen eri suuntaan. Kompleksiavaruuden oktaedrin symmetriaryhmä on SU(3).

Kompleksiavaruus (X,Y,Z,W) sisältää neljä oktaedreista rakennettua 3-ulotteista aliavaruutta, jotka ovat (X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y). Kukin aliavaruus koostuu omista elementeistään eli oktaedreistaan. Neljä aliavaruutta eivät projisoidu keskenään kohtisuoriksi 3D-avaruuteen.

X

Y

Z

Reaaliavaruus

17

Kompleksiavaruuden neljää pääakselia merkitään kirjaimilla X, Y, Z ja W. Niiden projektiot 3D-pinnalla eli (x,y,z)-avaruudessa ovat 45º kulmassa tasoihin xy, yz ja zx nähden.

Pääakseleiden X, Y, Z ja W neljää projektiosuuntaa kutsutaan

neljäksi pääprojektiosuunnaksi Xp, Yp, Zp ja Wp. Kukin pääakseli X,Y,Z ja W projisoituu 3-ulotteiselle 3D-pinnalle suuntaan, joka on yhtä kaukana 3D-pinnan pääakseleista x, y ja z. Projektioiden suuntia on myös 4. Ne on esitetty viereisessä kuvassa. Positiiviset ja negatiiviset suunnat on merkitty väreillä.

= 45º

= 45º

Akselien X, Y, Z ja W projektioiden kulma 3D-pinnan pääakseleihin x,y ja z nähden on kaikissa tapauksissa = 54.74º. Kulmalle pätee

cos = 1 / √ 3 .

XpXp

3D-pinta

4.D

137 janaa

136 janaa

Avaruus 3D-pinnan ulkopuolella on siis solurakenteinen. Solut ovat keskenään kohtisuorassa olevia 3-ulotteisia oktaedreja. Niiden lävistäjät muodostavat 4-ulotteisen hilan. Lävistäjistä syntyy samoin kuin 3D-pinnallakin kahden janan mittaisia kuoria. Lävistäjistä muodostuvien jonojen eli kompleksiavaruuden pääakselien pituus 3D-pinnan yläpuolella eli ulkopuolella on 137 janaa eli 68,5 oktaedrin lävistäjää ja alapuolella 136 janaa eli 68 lävistäjää. Syy tähän jakoon esitetään myöhemmin. Kompleksiavaruuden pituudeltaan äärellisiä pääakseleita kutsutaan myös hilajonoiksi. Kompleksinen hila-avaruus on kytketty kiinteästi 3D-pintaan. Kompleksisia hila-avaruuksia on toisiinsa lomittuneena kaksi eli avaruus ja antiavaruus.

Hilajonojen muodosta-ma kompleksinen hila

3D-pinnan ulkopuoliset 1-ulotteiset hilajonot, jotka ovat pituudeltaan 137 janaa eli lävistäjän puoli-kasta, projisoituvat 3D-pinnalle muodostaen projektiosuhteen

= 1/137.035999,

josta lisää myöhemmin. Projektiosuhdetta kutsutaan myös nimellä hienorakennevakio.

Hyperoktaedri

y

z

x

Yp

Zp

Wp

0

18

3D-pinnan ulkopuoliset solut muodostavat toisiinsa lomittuneet positiivisen ja negatiivisen hila-avaruuden eli avaruuden ja antiavaruuden. 3D-pinnalla nähtynä hila-avaruuden akselit ovat kompleksiset eli akseleiden kaikki pisteet kuvataan kompleksiluvuilla. Hilajonot ja niiden muodostama hila ovat reunalliset eli eivät ulotu avaruuden eli hyperoktaedrin keskustaan saakka. Siten koko fysikaalinen avaruus muodostuu 3D-pinnasta ja sen lähiavaruudesta eli neliulotteisesta kompleksiavaruuden hilasta ilman, että avaruudella on solurakenteista fysikaalista sädettä. Nämä molemmat avaruudet muodostavat yhdessä kokonaisuuden.

Avaruuden pinta yksin riittää määrittelemään avaruuden laajuuden.

Havaintoavaruus on Riemannin hyperpallon kolmikantainen pinta, jonka ominaiskaarevuus on positiivinen. Hyperpallo on kuitenkin absoluuttisen avaruuden matemaattisella muunnoksella saatu "kuvajainen" eikä vastaa avaruuden todellista muotoa. Hyperpallon pinnalla pääakselei-den suunnat ovat kadonneet ja 3D-pinnan oktaedreista eli 3D-soluista muodostuva pinta on muuntunut yksikköpallojen pinnaksi.

Neliön sivujen kaikki pisteet ovat yhtä kaukana neliön keskipisteestä vain pääakseleiden eli lävistäjien suuntaisina pituuksina mitattuina. Muita avaruussuuntia ei neliön absoluuttisessa avaruudessa eli Manhattan-metriikassa ole olemassa. Samoin hyperoktaedrin pinnan kaikki pisteet ovat näin mitattuna samalla etäisyydellä avaruuden keskipisteestä. Silloin voidaan määritellä hyperoktaedrin pinnalle käsite "ominaiskaarevuus" sekä "kaarevuussäde" eli pinnan etäisyys keskipisteestä. Hyperoktaedrin pinnan ominaiskaarevuus on nolla eli pinta on euklidinen.

Tällaista avaruutta on mahdotonta visualisoida. Avaruuden ja sen ilmiöiden ymmärtämiseksi joudutaan aina käyttämään yksinkertaistettuja lakeja ja sääntöjä, jotka eivät yksinään kerro koko totuutta. Avaruutta voidaan ymmärtää matemaattisesti, mutta tulokset on silti jotenkin kongretisoitava kolmiulotteisen maailman havaintoihin liittyviksi.

Matemaattisen tarkastelun yksi merkittävä tulos on, että suuressa mittakaavassa absoluut-tisen 3D-pinnan eli hyperoktaedrin pinnan paikallinen ominaisuuskaarevuus on nolla! (Paikallisia painovoimakenttiä ei tässä huomioida.) Toinen merkittävä asia on, että tällaista pintaa pitkin voidaan kiertää avaruuden ympäri kaikissa 3D-avaruuden suunnissa ja palata lähtöpisteeseen. Avaruus on äärellinen 4-ulotteinen tila, joka voidaan kiertää avaruuden ympäri myötäpäivään tai vastapäivään ilman, että kiertosuuntaa voidaan 3D-avaruudessa havaita. Havaitsijalle pinnan kannat 1.D...3.D ovat isotrooppisia, joten jokainen havaittava suunta on samalla avaruuden kiertosuunta. Koska absoluuttisella 3D-pinnalla avaruuden ominaiskaarevuus on nolla, ei ole mahdollista havaita imaginääriseksi valittua kantaa 4.D. Pinta muistuttaa tässä suhteessa lieriön pintaa.

Kun avaruuteen aikoinaan lisättiin uusi ulottuvuus eli kanta 4.D, syntyi tilanne, jota kuvataan kosmologiassa alkuräjähdykseksi. Avaruuden laajentuessa tiettyyn kokoon saakka avaruu-teen lisätään uusi kantavektori 5.D. Tällöin avaruuden symmetria muuttuu siten, että mm. nykyisen kaltaista aikaa ei ole olemassa.

19

3D-pinta on ns. d-kuori, jossa d = 2.8179403 fm, joka on sama kuin elektronin klassinen säde. Siinä d on oktaedrin lävistäjän pituus. Tarkastellaan seuraavaksi tarkemmin kompleksisen hilan rakennetta. Hilan janat muodostavat 3D-pinnan ulkopuolelle 2D-kuoria seuraavan kuvan mukaisesti siten että lävistäjän pituus on 2D ja d=D. Hilakuoren koko (= 2 x D) on eri kuin 3D-pinnan kuoren (d = 2 x d/2) eli solut ovat eripituisia. Hilan kuoret ovat 45 asteen kulmassa 3D-pintaa vastaan, joten tasaisessa avaruudessa d = √ 2 D projisoituna 3D-pinnan pääakselle (kuten kuvassa).

N1 = 2D-kuoren projektio

1-ulotteisia soluja

Avaruuden 3D-pinta sijoittuu ½-kuoren päähän kuoresta N1 sen alapuolelle.

Kompleksisella hilalla ja 3D-pinnalla on kiinteä kytkentä toisiinsa.

d

D

3D-pinta on d-kuori


No= 2D-kuoren projektio

-N1 = 2D-kuoren projektio


Hilakoppi eli oktaedri

-N68 = ½ -kuoren projektio

Huom! Kuvassa hilan mitat on esi-tetty yhden 3D-pinnan pääakselin suunnassa projisoituina. Muuten d = D.

Huom! Kuoret 3D-pinnan ulkopuo-lella ovat samoja kuin atomin elek-tronikuoret, joita vastaa elektronin pääkvanttiluku.

Kompleksisen hilakopin kaikki 3 lävistäjää projisoituvat 3D-pinnan xy-, yz- ja zx-tasoille 45º kulmaan 3D-pinnan akseleihin nähden ja ovat 45 asteen kulmassa neljättä eli imaginääristä kantaa vasten.

D=d

d/2 d/2

d/2

2D-kuori

d-kuori

d-kuori

2D-kuori

d/2

3D-pinnan hilakoppi

d

20

Tasaisessa avaruudessa d = √ 2 D nähtynä 3D-pinnan pääakselin suunnassa. Kuitenkin on niin, että kompleksiavaruus määrää havaitsijan kaikki pituudet, valon etenemisen ja ajan kulumisen. Siksi määritellään kompleksiselle hila-avaruudelle horisontaalinen pituus d’ = d tasaisessa avaruudessa eli hilajonojen ollessa 45º kulmassa 3D-pintaan nähden. Pituus d’ muuttuu kompleksiavaruuden supistumisen yhteydessä verrattuna tasaisen avaruuden pituuteen d. Mutta d’ havaitaan aina vakiomittaiseksi, koska sen pituutta ei ole mahdollista verrata mihinkään tasaisen avaruuden pituuteen. Niinpä kompleksinen hila-avaruus on havaitsijalle aina tasaiselta näyttävä avaruus. Tästä eteenpäin pituus d tarkoittaakin kompleksisen hila-avaruuden mittaa d’, joka on havaitsijalle vakio ja jonka arvo lasketaan vastaamaan arvoa tasaisessa avaruudessa. Arvon vakioisuus vaikuttaa osaltaan havaintoavaruuden isotrooppisuuteen.

d

=45ºD

d’ = vakio pr

ojekti

on su

unta

Kompleksisen hila-avaruuden supistumista paikallisesti itsensä suhteen (ei minkään taustan suhteen) ei voida havaita, koska ei ole olemassa supistumatonta vertailukohtaa. Sensijaan tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä kappaleen absoluuttinen pituus muuttuu kompleksiavaruuden supistumisen yhteydessä. Kompleksiavaruuden supistuessa ääriasen-toonsa on yhden hilakopin leveys 3D-pinnan suunnassa sama kuin Planckin pituus P . Ääriasennossa oktaedrin lävistäjien puolikkaat ovat vierekkäin samansuuntaisina ja niiden yhteisen leveyden täytyy silloin olla nollaa suurempi (edellinen kuva).

Olkoon kompleksiavaruuden kappaleen pituus S 3D-pinnalle projisoituna

S = X · d + Y · d + Z · d , kun X Y Z

missä d on vakiomittainen jana ja X = a, Y = b ja Z = c ovat janojen lukumäärät kompleksiavaruuden pääakselien suunnissa.

Janan d havaitsematon lokaali supistuminen vääristää absoluuttisen avaruuden epälineaariseksi havaintoavaruudessa nähtynä. Vastaava epälineaarinen pituus s lineaarisessa havaintoavaruudessa nähtynä on skalaari ja saa arvon

s = (a² + b² + c²) d ,

missä d on sama ja mikä tarkoittaa, että absoluuttinen avaruus on neliöllinen euklidiseen havaintoavaruuteen nähden. Pääakseleiden suuntaisia määriä a, b ja c ei havaita vaan ne jäävät teoreettisiksi.

Neliöllisyydestä seuraa edellä esitetty koordinaatistomuunnos ± X x² , ± Y y² , ± Z z² . Lisää aiheesta myöhemmin D-teoriassa mm. kohdassa ”Etäisyyden laskeminen neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa”.

d d’

Tällä alueella kompleksi-avaruus on supistunut

Tasainen komp-leksiavaruus

d’

d’ = P eli Planckin pituus 3D-pinnalla nähtynä

3D-pinta

21

Oletetaan, että hilakopin lävistäjän puolikas projisoituu 3D-pinnalle 45º kulmassa pituudeksi d tilanteessa, jossa avaruus on täysin tasainen eikä mitään voimakenttiä ja niihin liittyvää ener-giaa ole. Hilajonot ovat 45º kulmassa 3D-pintaan nähden. Tässä tilanteessa pituudelle d las-ketaan arvo neljän mitatun vakion avulla. Tällainen tilanne on kuitenkin mahdoton. Kaikkialla avaruudessa vaikuttava tarkemmin määrittelemätön skalaarikenttä pyrkii pienentämään hila-jonojen kaltevuutta arvosta =45º ja leventämään hilakoppia ja d:tä 3D-pinnan suunnassa. Seuraavassa kaavassa jakajan termin 137,035999174 poikkeama arvosta 137 kuitenkin pienentää pituuden vastaamaan tasaisen avaruuden laskennallista pituutta d.

d = ħ = 2.8179403267 fm , 137,035999174 mec

missä me on elektronin massa, ħ on Planckin vakio ja c on valonnopeus.

Kenttää ei havaita suoraan, koska se ilmenee samana kaikkialla. Kenttä muuttaa pituuden d projektion suuremmaksi kuin vakioiden avulla tasaisessa avaruudessa (=45º) laskettu arvo. Vaikutus näkyy esim. 137 janaa pitkän hilajonon projektion pituudessa, jonka pitäisi kulmalla =45º olla 137d, mutta joka skalaarikentässä on mitattuihin vakioihin perustuva

R = 137,035999174d = ħ . mec

Edellä mainittu hilajonon projektion lineaarinen pituus voidaan siirtää havaintoavaruuteen neliöimällä ja näin saadaan vetyatomin säde r1. Yksikköjanan d pituutta ei neliöidä.

r1 = R² = 137.035999174² d = 0.5291772 x 10-10 m.

Vetyatomin rakenne kuvataan myöhemmin D-teoriassa geometrisen atomimallin yhteydessä. Atomin kaikki kvanttiluvut saavat siinä yhteydessä geometrisen ja samalla kvantitatiivisen kuvauksen.

Dimensioton projektiosuhde kuvaa yhden hilajonon projisoitumista 3D-pinnalle pituudeksi 137.035999174d. Projektiosuhde olisi tasan 1/137, jos skalaarikenttä ei ‘offsetin’ tavoin olisi vaikuttamassa.

X

x

a

a²

X

x²

a²

a

Epälineaarinen vastaavuus Lineaarinen vastaavuus

Koordinaatistomuunnoksella saadaan lineaarinen

vastaavuus avaruuksien x² ja X välille.

Koordinaatisto-

muunnos x x ²

22

136

Kompleksinen hila-avaruus määrää havaintoavaruuden mitat ja kuten edellä esitettiin d ja havaitaan vakioina myös avaruuden supistuessa. Hyvin suurilla energioilla projektiosuhteelle on mitattu suurempia arvoja eli kaikissa olosuhteissa ei ole vakio. On myöskin mahdollista, että edellä mainittu skalaarikenttä ei ole tarkalleen samansuuruinen kaikkialla, jolloin voi muuttua paikallisesti.

Maailman syntyessä yli 13 miljardia vuotta sitten 3D-pintaa ei aluksi ollut. Oli vain edellä kuvattu kompleksinen 4-ulotteinen hila-avaruus, joka koostui yhteensä 274 janaa pitkistä pääakseleista. Luku 274 voidaan jakaa kahdeksi tekijäksi eli 274 = 2 x 137. Luku 137 on jakamaton alkuluku. Koko avaruus voidaan jakaa symmetrisesti alempaan osaan eli sisäosaan ja ylempään eli ulko-osaan, jotka molemmat koostuvat 137 janaa pitkistä akseleista. Näistä ylempää osaa kutsutaan nimellä Higgsin ylempi duplettikenttä ja alempi on vastaavasti Higgsin alempi duplettikenttä. Avaruus on lisäksi jakautunut toisiinsa lomittuneiksi avaruudeksi ja antiavaruudeksi.

Tällaisessa avaruudessa tapahtui spontaani symmetriarikko. Avaruuden sisempi puolisko eli Higgsin alempi duplettikenttä muuttui peruuttamattomasti siten, että sen yläreunan reunimmaiset oktaedrien puolikkaat niin avaruudesta kuin antiavaruudestakin kääntyivät 45º muodostaen 3D-pinnan oktaedreista koostuvan solukon. Tämän seurauksena kahtia jakautuneen avaruuden sisemmän puoliskon pääakseleiden pituus on yhden janan verran lyhyempi eli 136 janaa. Tällä jaolla on ratkaiseva merkitys mallin toimivuuden kannalta.

137

137

Avaruuden ulompi puolisko

Avaruuden sisempi puolisko

Spontaani symmetria-rikko muodosti 3D-pinnan

Avaruus (2x137) ennen spontaania symmetriarik-koa. Kuvaan on piirretty vain osa pääakseleista.

Avaruus spontaanin symmetriarikon jälkeen. 3D-pinta on syntynyt.

137

Ylemmän Higgsin kentän vuorovaikutuskvantteja ovat sen elektronien e+ ja e- miehittämät positiiviset ja negatiiviset hilajonot nimiltään W+ ja W-, jotka ovat yhden janan verran pidempiä kuin alemman kentän vastaavat hilajonot Zo. Pituusero merkitsee varauseroa e elektronien miehittämissä hilajonoissa, kuten myöhemmin kuvataan. Niinpä sähköisesti neutraalien Zo-kvanttien sähkövarauksen ero varattuihin kvantteihin W+ ja W- nähden on elektronin varauksen e suuruinen.

Higgsin duplettikentän spontaanissa symmetriarikossa muuttunut, mutta ei kadonnut osa, on Manhattan-metriikan omaava 3D-pinta. Se luo avaruuteen piilossa olevan skalaarikentän, joka sisältää Higgsin potentiaalin.

Skalaarikenttä

w+ w-

Zo

23

Spontaani symmetriarikko loi 3D-pinnan. Samalla maailmaan syntyi gravitaatio, ja hiukkaset saivat massan ja liikemäärän. Syntyi kaikkialla vaikuttava 3D-pinnan muodostama skalaari-kenttä, jota kutsutaan myös nimellä Higgsin kenttä. Kenttään liittyy myös potentiaali, sillä avaruus hakeutui muutoksessa pienempään energiatilaan. Potentiaali pyrkii pienentämään kompleksiavaruuden pääakseleiden eli hilajonojen kulmia 3D-pintaan nähden ja toimii kuten edellä mainittu skalaarikenttä. Symmetria on tällaisessa muuttuneessa avaruudessa piilotettu, sillä 3D-pinta on edelleen olemassa osana avaruutta vaikkakin erillisenä kiinteästi kytkettynä osana. Sanotaan, että kyseessä on ns. piilosymmetria eikä varsinainen symmetriarikko.

3D-pinta luo massan ja liikemäärän ja välittää gravitaatiopotentiaalin. Myös värivoima eli vahva ydinvoima vaikuttaa vain 3D-pinnassa. Sijainti 3D-pinnassa antaa siis hiukkaselle värivarauksen.

Syntynyt 3D-pinta muodostaa symmetrialtaan poikkeavan rakenteen avaruuteen. Sähkömagneettinen voima ja heikkovoima voidaan yhdistää teoreettisesti kompleksisen hilan osaksi. Niissä pätevät U(1)- ja SU(2)-symmetriat osana kompleksisen hilavaruuden rakennetta, kuten pian osoitetaan. Vahva ydinvoima on sensijaan 3D-pintaan kiinteästi liittyvä osa, joka toimii niin läheisesti kompleksiavaruuden yhteydessä, että sen symmetriaryhmä on kompleksinen SU(3). Gravitaatio on pelkästään 3D-pintaan sijoittuva voima ilman, että sillä on kompleksiavaruuteen liittyvää kiinteää suoraa yhteyttä. Niinpä gravitaatio ei sisälly osaksi kvanttimekaniikan Standardimallia. Kuitenkin 3D-pinnan vaikutus hiukkasten massan syntyyn on jo voitu sisällyttää Standardimalliin Higgsin potentiaalin avulla.

Kun puhutaan yksittäisestä hiukkasesta/kappaleesta ja sen paikasta, on periaatteessa aina ilmaistava, onko paikka havaintoavaruuden paikka vai absoluuttisen Manhattan-avaruuden paikka. Nämä vaihtoehdot ovat toisensa poissulkevia ja niiden suhde ei ole yksikäsitteinen. Absoluuttisen avaruuden piste ei ole lokaali havaintoavaruudessa nähtynä. Niinpä voidaan sanoa, että absoluuttisen avaruuden piste leviää tuhruksi havaintoavaruudessa nähtynä.

Hiukkasen kvanttiluvut riippuvat vain sen sijainnista avaruuden Manhattan-metriikassa. D-teoriassa esimerkiksi atomin elektronin kaikki kvanttiluvut voidaan ilmaista elektronin sijannin avulla. Koska sijainti ei havaintoavaruudessa nähtynä ole yksikäsitteinen absoluuttisen avaruuden neliöllisyydestä johtuen, eivät myöskään hiukkasen kvanttiluvut ole yksikäsitteiset. Niinpä esimerkiksi hiukkasen spin voi olla etumerkiltään samanaikaisesti positiivinen ja negatiivinen.

Kun kaksi spin-½-hiukkasta ei voi sijaita Manhattan-metriikassa samassa paikassa, niiden kvanttiluvut eivät voi olla samat. Tuloksena saadaan ns. Paulin kieltosääntö eli sääntö, joka kieltää esimerkiksi kahden elektronin samat kvanttiluvut.

24

Jokainen 6-osainen hilakoppi sisältää hilan osana yhden ½-lävistäjän pituisen spin-½-hiukka-sen e+ tai e-, jota kutsutaan positiiviseksi tai negatiiviseksi hilahiukkaseksi. Muut hilakopin 5 solua ovat tyhjiä soluja. Tyhjä solu tarkoittaa, että solussa ei ole aaltoa, johon liittyy tietty kaareutumisamplitudi. Säänöllisesti hilaan pakkautuneet hilahiukkaset e+ ja e- eli kaareutuneet janat muodostavat yhdessä hilaan positiivisia ja negatiivisia hilajonojen hahmoja. Kaikki hilahiukkaset ovat hilakopeissaan asettuneena siten, että hahmot muodostavat kompleksiavaruuteen yhtenäisiä 2-ulotteisia tasomaisia verkkoja eli elektronitasoja (”Diracin meri”). Tasojen suunnat ovat kussakin neljässä aliavaruudessa keskenään samat mutta vaihtuvat kaikki samanaikaisesti hilahiukkasten toistuvissa rotaatioissa. Toistuvat rotaatiot synnyttävät hilakoppeihin hilahiukkasten kvantittuneen kiertoliikkeen. Tasot ovat kompleksisia ja muodostavat symmetria-avaruudet SU(2).

Aluksi oli siis vain kompleksinen hila-avaruus, joka koostui 2 x 137 = 274 janaa pitkistä pää-akseleista. Pääakselit olivat aivan aluksi kaikki jokseenkin samansuuntaiset eli kohtisuorassa myöhemmin syntyvää 3D-pintaa vastaan. Oktaedrit olivat silloin litistyneet Planckin pituuden levyisiksi. Pian oktaedrit kuitenkin levenivät nopeasti ja avaruus laajeni voimakkaasti valoa nopeammin. Hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma pieneni hieman alle 45 asteeseen. Tällaista ilmiötä kutsutaan nimellä “kosminen inflaatio”. Kosmisen inflaation yhteydessä avaruus siirtyi pienempään energiatilaan ja vapautunut energia siirtyi kompleksiavaruuden jokaiseen hilakoppiin hilahiukkasten e+ ja e- energiaksi. Hilahiukkaset aloittivat ikuisen kiertoliikkeensä edestakaisin hilakopeissaan ja samalla syntyi nykyisenkaltainen havaitsijan suhteellinen aika, joka on eri asia kuin kvanttimekaaninen aika. Jossakin vaiheessa kosmisen inflaation aikana syntyi myös edellä esitetyllä tavalla 3D-pinta ja gravitaatio. Samalla syntyi hila-avaruuden 137/136-symmetriarikko.

Kun hilakoppi supistuu jossakin suunnassa, sen rotaatioihin syntyy vaihe-ero. Vaihe-eron ajatellaan olevan nolla, kun hilajonot ovat 45º kulmassa 3D-pintaan nähden. Aina muulloin > 0. Tällöin on aina kyseessä paikallinen eli lokaali vaihe-ero ja siihen liittyy aina jokin voimakenttä. Voimakenttä siis muuttaa hilakopin muodon ja rotaatioiden vaiheen.

Hiukkasen aaltoyhtälössä voidaan aaltofunktion vaihetta muuttaa aina globaalisti eikä siitä synny mitään havaittavaa ilmiötä. Lokaali vaihemuutos sensijaan vaatii potentiaalifunktion lisäämistä aaltoyhtälöön ja siitä seuraa jonkin voimakentän läsnäolo.

Kompleksiavaruuden hila muodostuu viereisen kuvan esittämistä hilakopeista. Hilakoppi on todellisuudessa kolmiulotteinen muodostuen oktaedrin kolmesta lävistäjästä eli kuudesta janasta. Hilan hilakopit kuvataan siten, että lävistäjät piirretään 45º kulmaan vaakatasoon nähden erotukseksi 3D-pinnan oktaedreista.

e-Tyhjä hilasolu

= 0 > 0 > 0

25

Hilajonot muodostavat vakuumin, jolla on ns. nollapiste-energiaa ja muitakin kvanttimekaanisia ominaisuuksia. Rotaatiot eli hilajonojen hahmojen liike kompleksisessa 2-ulotteisessa elektronitasossa antaa aaltofunktiolle vaiheen. Seuraavaksi tarkastellaan rotaatioita ja hilajonojen hahmojen syntymistä.

Lokaali vaiheinvarianssi vaatii vuorovaikutuskentän ilmaantumista. Itse vuorovaikutuskenttä on kvantittunut. Vuorovaikutus tapahtuu vuorovaikutushiukkasten kuten virtuaalisten fotonien avulla. Kun kenttä on kvantittunut, täytyy myös lokaalin vaihesiirron olla kvantittunut. Vaihesiirtoa kuvataan kulman avulla, joten kulma on myös kvantittunut. Aaltofunktion vaihe on kompleksinen suure eikä vaihetta ole mahdollista mitata. Niinpä ei ole olemassa vaihesiirron kulmaa vastaavaa kvantittunutta suuretta, joka voitaisiin mitata. Voidaan puhua piilokvantittu-misesta. Ainoastaan vuorovaikutuskentän kvantit tai niiden vaikutus voidaan havaita.

Kompleksiavaruuden supistuminen ja siihen liittyvä kulman muutos on siis kvantittunut, mutta ei havaittavalla tavalla. Myöhemmin käsitellään avaruuden kaareutumisen kvantittumista hiukkasen liikemäärän kannalta.

Hilahiukkanen eroaa tyhjästä solusta energiansa vuoksi. Ener-gia kuvataan avaruuden eli solun kaareutumisena. Avaruuden kaareutumiseen liittyy aina energiaa. Hilahiukkanen on siten hilakopissa edestakaisin kiertävä energiapaketti, jolla on liike- ja potentiaalienergiaa (kuten liipotin kellossa ). Edestakainen liike tarkoittaa kvanttimekaanisen ajan suunnan säännöllistä vaihtumista.

Kaareutuminen tapahtuu 2-ulotteisessa elektronitasossa, jossa alkeisrotaatio (, joka kuvataan myöhemmin) kulloinkin on menossa. Akseleiden positiivinen suunta on kuvassa alas. Kaareutumisella on amplitudi ja sen suunta akseleiden ja pyö-rimissuunnan suhteen antaa hiukkasen tilalle etumerkin + tai - (kuvassa värin). Siten kuvan hilakoppien elektronitasossa oikealla reunalla on ajan suunnasta riippuen vihreä ja vasem-malla reunalla punainen hilahiukkanen tai päinvastoin. Kvanttimekaanisen ajan suunnan vaihtuminen (, josta lisää myöhemmin) vaihtaa värit jaksollisesti keskenään. Kaareutumisen määrä on kvantittunut.

+

-

+

-

- -

+ +

- -

+

+ +

- -

Antihilahiukkasen vastakkainen pyörimisliike samalla hetkellä:

Hilahiukkasen hetkellinen pyörimisliike:

apuviiva

Kaikki hilahiukkaset kääntyvät alkeisrotaatiossa samanaikaisesti hilakopissaan viereiseen tyhjään 1-ulotteiseen soluun. Samalla hilajonojen hahmot siirtyvät rotaation suunnasta riippuen jonkin hilan pääakselin 3D-pinnan projektion suunnassa. Tämän liikkeen nopeus on sama kuin valonnopeus. Spin-½-hiukkasen on kierrettävä hilakopissaan eri pääakseleiden kautta kaksi täyttä kierrosta eli 720 astetta (X,Y,Z,X,Y,Z) ennen kuin hila on palannut alkutilanteeeseen. Näistä rotaatioista yksityiskohtaisemmin myöhemmin.

Hilahiukkasen kiertoliikkeen sisältämä kokonaisenergia on vakio ja edustaa tyhjiön nollapiste-energiaa. Kiertoliikkeessä kineettinen energia ja potentiaalienergia vaihtuvat toisikseen siten, että kokonaisenergia säilyy. Liikettä kuvaa hiukkasen aaltoyhtälö. Samanlaiset aaltoyhtälöt voidaan periaatteessa kirjoittaa kaikille avaruuden erilaisille värähtelytavoille. Yhtälöissä huomioidaan kaikki avaruuden lokaaliin värähtelyyn vaikuttavat kvantittuneen avaruuden ominaisuudet. Niinpä aaltoyhtälöt kuvaavat myös Manhattan-avaruuden vuorovaikutuskenttiä ja niihin liittyviä lokaaleja varauksia.

+

26

Kompleksiavaruudessa (X,Y,Z,W) sen rakennuselementit eli 3-ulotteiset oktaedrit muodosta-vat neljä 3-ulotteista aliavaruutta, jotka ovat (X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y). Aliavaruu-det ovat 90º kulmassa toisiaan vastaan neliulotteisessa Manhattan-metriikassa.

Kussakin oktaedrien muodostamassa aliavaruudessa syntyy joukko keskenään yhdensuun-taisia elektronitasoja. Elektronitasoja on siten olemassa joka hetki neljässä eri suunnassa siten, että suunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kaikki elektronitasot kääntyvät jokaisen alkeisrotaation yhteydessä omassa aliavaruudessaan. Kaikki spin-½-hiukkasten tapahtumat eli kvanttimekaaniset tilamuutokset ovat mahdollisia vain 2-ulotteisessa elektronitasossa. Kohtisuorassa suunnassa tapahtumia ei ole..

Edellä avaruutta ja aikaa on kuvattu janojen ja rotaatioiden avulla. Jana on abstrakti taustasta riippumaton malli kvantittuneelle avaruudelle. Vastaavasti alkeisrotaatio on abstrakti taustasta riippumaton malli kvantittuneelle ajalle. Siten jana on avaruuden kvantti ja rotaatio on ajan kvantti. Janoilla ja rotaatioilla on fundamentaalisia ominaisuuksia, joita ei ole mahdollista selittää vaan ainoastaan kuvata.

Kaareutumisen suunta liittyy hilahiukkasen hetkelliseen kiertosuuntaan hilakopissa. Hilahiuk-kasen antihiukkanen kaareutuu vastakkaiseen suuntaan ja pyörii vastakkaiseen suuntaan. Pyörimissuunta vaihtuu kaikissa hilakopeissa samaan aikaan, mikä tarkoittaa hiukkasten aaltofunktioiden vaiheille globaalia vaihemuutosta. (Kvanttimekaniikassa aaltofunktion globaali vaiheinvarianssi tarkoittaa, että myös vaiheen kiertosuunta voidaan kääntää kaikkialla avaruudessa globaalisti vastakkaiseksi ja muutosta ole mahdollista havaita.) Hilahiukkasia ja sen antihiukkasia on hilassa yhtä paljon ja ne muodostavat kaikkialle avaruuteen ns. nollaenergiatason.

Pyörimissuunnan vaihtuminen hilakopissa säännöllisesti luo kvanttimekaanisen ajan, joka poikkeaa makroskooppisen havaitsijan ajasta. Neliöllinen aika saadaan kertomalla positiivisten rotaatioiden lukumäärä vastakkaiseen suuntaan tehtävillä negatiivisten rotaatioiden lukumäärällä. Tällainen aika voi edetä makroskooppisessa avaruudessa nähtynä vain yhteen suuntaan.

3D-pinnalla ei esiinny kompleksiavaruuden tapaan alkeisrotaatioita, josta seuraa, että pinnan vuorovaikutusta kuvaavan Higgsin bosonin spin on nolla.

Kvanttimekaaninen aika on kvantittunut ja kaksisuuntainen ja syntyy edellä esitellystä elektronien kiertoliikkeestä hilakopeissa.

Aaltoyhtälön ratkaisuna saatava aaltofunktio voidaan yksinkertaistaa muotoon

(t) = e-iEt .

Antimaterialle vastaava aaltofunktio on muotoa

(x,t) = e-i(-E)t = e-iE(-t) .

Antimateria voidaan suureiden -E ja -t etumerkkien perusteella tulkita joko energialtaan negatiiviseksi tai ajassa taaksepäin liikkuvaksi hiukkaseksi.

27

D-teorian mukaan on olemassa kvanttimekaaninen kaksisuuntainen aika, joka toimii karkeistamattomassa kvantti-ilmiöiden mittakaavassa. Edellä on jo kuvattu kompleksisen hila-avaruuden elektronien kaksisuuntainen pyörimisliike. Pyörimisliike luo ajan kaikkiin avaruuden pisteisiin. Liikkeen hetkellinen suunta määrää kvanttimekaanisen ajan suunnan globaalisti. Liikkeen suunta, eteen tai taakse, riippuu elektronin täsmällisestä paikasta avaruudessa ja vaihtuu kaikkialla mailmassa mittaperiaatteen eli aaltofunktion vaiheinvarianssin mukaisesti samalla hetkellä. Liikkeen suunnan vaihtuminen kääntää kaikkien hiukkasten varaukset päinvastaisiksi samoin kuin kvanttimekaanisen ajan etumerkin. Koska hiukkasen kvanttimekaanisen vaiheen suunta ei ole havaittava suure, ei myöskään varausten ja ajan etumerkkien kääntymistä globaalisti ole mahdollista mitenkään havaita. Negatiivisen varauksen kertominen negatiivisella ajalla antaa positiivisen tuloksen.

Kun kuvataan niin lyhyttä ajanhetkeä, että kvanttimekaanisen ajan suunta ei siinä mittakaavassa ehdi vaihtua, on kvanttimekaaninen aika otettava huomioon makroskooppisen ajan sijaan. Tämä näkyy esimerkiksi elektronien ja positronien annihilaation kuvauksissa. Kaksisuuntainen kvanttimekaaninen aika ei kuitenkaan näy atomin elektronin ratakiertomomentin suunnan vaihtumisena, kuten myöhemmin kuvataan tarkemmin. Jotta kaksisuuntaisesta kvanttimekaanisesta ajasta voisi syntyä makroskooppinen aika, tarvitaan tasasuuntaavia kahdellajakajia. Sellaisen periaate esitellään nelikantaisen atomimallin yhteydessä. Niitä tarvitaan myös, jotta kompleksisesta SU(2)-symmetria-avaruudesta syntyisi havaitsijan R(3)-symmetria-avaruus eli 720 asteen kierrosta päästään 360 asteeseen.

e+ e-

x

t

Positroni kulkee kvanttimekaanisessa ajassa taaksepäin ennen annihiloitumistaan elektronin kanssa.

Mittakaavan kasvaessa eli tarkasteltaessa hiukkasten liikettä avaruudessa nähdään niiden molempien liikkuvan makroskooppisessa ajassa vain eteenpäin.

Kuvan positroni ja elektroni ovat säännöllisesti pakkautuneessa hilassa liikkuvia ylimääräisiä hilahiukkasia, joilla on sama rakenne kuin hilahiukkasilla. Ne kuvataan myöhemmin D-teoriassa.0

1

Kvantittunutta aikaa ei ole mahdollista havaita, koska ei olemassa mitään tasaisesti virtaavaa toista aikaa, johon verrata. Vastaavasti kvantittunutta avaruutta ei ole mahdollista havaita, koska ei ole olemassa todellista tasaista avaruutta, johon verrata. Euklidista havaintoavaruutta ei ole olemassa kuin havainnoista syntyvänä kuvana.

Ajankulumisen laskemista ja aikaan liittyvää suhteellisuutta neliöllisessä avaruudessa käsitellään myöhemmin D-teoriassa.

28

Hilahiukkasista e- ja e+ muodostuneet hilajonojen hahmot 2-ulotteisella pinnalla ( eli elektronitasolla)

liikkuvat 3D-pinnan ulkopuolella avaruudessa ja

antiavaruudessa valonnopeudella edestakaisin vastakkaisiin suuntiin. Kuvassa on liikkeen hetkellinen suunta.

c

4.D

c

c

Elektroneista e+ ja e- muodostuneen hilajonon hahmo

3D-pinta

137 solua

X Y

Hilajonojen vaiheittainen liike määrää aaltofunktion vaiheen, jota ei ole mahdollista mitata. Jos hila ei ole paikallisesti homogeeninen, syntyy aaltofunktion vaiheeseen paikallinen muutos. Muutoksessa on silloin aina kysymys voimakentästä eli potentiaalista, jonka luonnetta ja voimakkuutta aaltofunktion vaiheen muutos kuvaa.

Seuraava kuva esittää kompleksisen hilan XY-akseleiden suuntaista tasoa aliavaruudessa (X,Y,Z). Kuvan hilahiukkaset e+ ja e- muodostavat yhdessä tason ja siihen hilajonojen hahmot. Seuraavassa rotaatiossa X-akselin suuntaiset hilahiukkaset kääntyvät Y-akselin suuntaiseksi. Y-akselin suuntaiset hilahiukkaset kääntyvät Z-akselin suuntaiseksi. Silloin hilajonojen hahmo poistuu XY-tasosta. Se siirtyy YZ-tasoon ja rotaation vuorovaikutus tapahtuu siinä. Seuraavaksi rotaation vuorovaikutus tapahtuu ZX-tasossa. Täyden kierroksen jälkeen hilajonon etumerkki (kuvassa väri) on vaihtunut vastakkaiseksi ja tarvitaan vielä toinen vastaava kierros tasoissa XY, YZ ja ZX, jotta palataan lähtötilanteeseen. Vastaavanlaiset rotaatiot tapahtuvat kaikissa neljässä aliavaruudessa (X,Y,Z), (Y,Z,W), (Z,W,X) ja (W,X,Y).

Hilakoppien hilahiukkaset muodostavat hilaan 2-ulot-teisen elektronitason. Kaarevat hilahiukkaset on tässä kuvattu suorina.

Kuvaan on merkitty nuolilla tason rotaatioiden suunnat. Rotaation jälkeen taso on vaihtunut toiseksi.

e+

e+

e-

e-

Hilahiukkasten vuorovaikutuksia tarkastellaan hilajonojen 2-ulotteisessa elektronitasossa, jonka akselit ovat 3D-pinnan ulkopuolella ja tasaisessa avaruudessa 45 asteen kulmassa siihen nähden. Akselit ovat kompleksiset ja rotaatioiden symmetria-avaruus on spin-½-hiukkasten ominaisuuksien yhteydessä SU(2).

Negatiivinen hilajono Positiivinen hilajono

Neutraali hilajono

apuviiva oktaedrin hahmottamiseksi

29

Kehittäessään relativistista aaltoyhtälöä elektronille Paul Dirac huomasi, että aaltofunktio liittää kahden kompleksisen akselin (eli ulottuvuuden) määrittämän pisteen jokaiseen avaruuden ja ajan pisteeseen. D-teorian mallin mukaan nämä akselit ovat hilajonojen hahmoja, joiden kanssa elektroni vuorovaikuttaa.

Diracin mukaan aaltofunktion on oltava nelikomponenttinen vektori eli spinori. Kaksi sen kom-ponenteista liittyy negatiivisen energian tiloihin ja kaksi positiivisen energian tiloihin. Sekä positiivisen että negatiivisen energian ratkaisuissa toinen spinorikomponenteista merkitsee spin-ylös- ja toinen spin-alas-tilaa. Tämä tarkoittaa, että energialtaan positiiviset elektronit e+ pyörivät hilakopeissaan jollakin hetkellä eteenpäin ja negatiiviset e- taaksepäin ja myöhemmin suunnat vaihtuvat vastakkaisiksi. Niillä on keskenään sama spin mutta ne ovat toistensa antihiukkasia. Molempia elektroneja pyörii sekä avaruudessa, jossa spin on spin-ylös, että antiavaruudessa, jossa spin on spin-alas. Komponentteja eli tapauksia on siis neljä.

Diracin mukaan vakuumi ei olekaan tyhjää täynnä vaan se on pakattu säännöllisesti täyteen negatiivisen energian tiloja. Tällaista vakuumia kutsutaan nimellä Diracin meri, ja sitä ei ole mitenkään mahdollista erottaa aidosta vakuumista, jossa kokonaisliikemäärä, kokonaisvaraus, kokonais-spin ja kokonaisenergia ovat kaikki nollia. Jokaiselle Diracin meren näkymättömälle elektronille löytyy (antiavaruuden puolelta) vastinhiukkanen, jonka liikemäärä ja spin ovat vastakkaismerkkisiä. Lisäksi on mahdotonta määrittää homogeenisen meren synnyttämää sähköstaattista potentiaalia (ja siten kokonaisvarausta) saati kokonaisenergiaa, koska mittaukset tehdään vakuumin suhteen.

Elektronitasot ja niiden rotaatiot ovat Diracin meren ominaispiirre. Atomin sidottuja elektroneja ja vapaita elektroneja käsitellään D-teoriassa myöhemmin.

Kompleksinen hila-avaruus poikkeaa 3D-pinnasta hila-avaruuden oktaedreissa tapahtuvien rotaatioiden suhteen. Rotaatiot luovat hila-avaruuteen kiertoliikkeen, joka saa hilajonojen hahmot liikkumaan 3D-pinnan suhteen. Rotaatiot luovat myös alkeisajan jokaiseen avaruuden pisteeseen. Nähtynä 3D-pinnalta hila-avaruuden rotaatiot ovat kompleksiavaruuden rotaatiota. Tarkasteltavasta tapauksesta riippuen rotaatioavaruudet ovat U(1), SU(2) tai SU(3). Kun tarkastellaan esim. fotonia, riittää tarkasteluavaruudeksi U(1), mutta jos tarkastellaan 3D-pinnan värivoiman tuntevaa spin-½-hiukkasta, kuten protonia, tarkasteluavaruus on SU(3).

Kuva esittää liikkuvia hilajonojen hah-moja, jotka liikkuvat kuvassa oikealle ja vasemmalle. Ne lävistävät 3D-pinnan kuoret kahdessa eri pisteessä P1 ja P2. Neliö syntyy katsottaessa hilajonoja si-vusta kohtisuoraan.

Havaintoavaruudessa absoluuttisen ava-ruuden neliö havaitaan ympyrän kehänä.

c

4.D

c

P1

c

P2

c

30

Ln

Havaintoavaruudessa ympyrän Ln ² + n² = R² kuvaaja määrää matemaattisesti janan ympyrän kaareksi.

nn

Absoluuttisessa avaruudessa janan pituus kasvaa lineaarisesti Ln + n = 137, missä Ln ja n ovat pääakseleiden suuntaiset komponentit.

Ln

137 solua

Kun hilajonot siirretään lineaariseen havaintoavaruuteen, huomataan, että ne ovat havainto-avaruudessa ympyrän kehän neljänneksiä. Silloin ne ovat vain 3D-pinnan kohdalla kohtisuo-rassa pintaa vastaan.

Hilajonojen hahmojen muodostamat tasot kiertävät läpi koko hyperoktaedrin muodostaen sa-manpituisia silmukoita kompleksiavaruuden aliavaruuksissa XYZ, YZW, ZWX ja WXY. Myöhemmin D-teoriassa osoitetaan silmukka-avaruusmallin avulla, että aika ei ole substanssi ja että Lorentzin muunnosyhtälöt toteutuvat esitetyssä avaruusmallissa.

Havaintoavaruudessa solujonot ovat kohtisuorassa 3D-pintaa vastaan ja ne muodostavat ympyrän kehiä. Ne siis näyttävät sulkeutuvan itseensä!

4.D

Kuvassa 3D-pinnan ulkopuolella solut ovat keskenään kohtisuorassa, joten niiden välillä ei ole keskinäistä vuorovaikutusta. Vuorovaikutus syntyy, kun jokin solu kääntyy avaruudessa. Soluista syntyvä hila pyrkii aina homogeeniseksi vuorovaikutuksen kautta.

3D-pinta4.D:n suuntainen kuori

Edellisestä voitaisiin ajatella, että hilajonot muodostaisivat sulkeutuvan ulottuvuuden 3D-avaruuden ulkopuolelle hyvin pienessä mittakaavassa. Samankaltainen ajatus on esitetty tunnetussa Kaluza-Klein-teoriassa. Samoin säieteorioissa. Oktaedrien lävistäjiä voitaisiin kutsua tässä säikeiksi, mutta geometrisista syistä niin ei tehdä. Vastaavasti kompleksisten pääakselien havaintoavaruuteen muodostamaa ympyrän kehää voitaisiin kutsua nimellä kompakti ulottuvuus.

Edellä kuvattu kompleksinen hila-avaruus näyttää täysin symmetriseltä kaikissa 3D-avaruuden suunnissa. Niin ei kuitenkaan ole, kuten pian osoitetaan. Mutta eivät maailman fysikaaliset laitkaan ole täysin symmetrisiä. Esimerkiksi materia/antimateria-symmetria ei toteudu kuten ei myöskään pariteettisymmetria heikossa vuorovaikutuksessa.

31

Kuvasta huomataan, että kompleksisen Diracin kentän rakenne ei ole symmetrinen positiivisten ja negatiivisten hilajonojen suhteen. Sama perustavaa laatua oleva epäsymmetria vallitsee materian ja antimaterian määrissä.

Tämä hilajonojen hahmojen muodostama rakenne liikkuu elektronitasossa askeltaen yhden kuoren suuruisin askelin positiivisen kvanttimekaanisen ajan T+ aikana kuvassa ylös ja negatiivisen ajan T- aikana alas. Kuvio ei siis muuta rotaatioissa muotoaan vaan ainoastaan siirtyy ylös ja alas kvanttimekaanisen ajan suunnasta riippuen. Ajan suunnan vaihtuessa hilajonojen etumerkit eli kuvan värit, vihreä ja punainen, vaihtuvat keskenään. Kuvion esittämät potentiaalimaksimit heijastuvat ajan T+ kuluttua reunallisen kompleksiavaruuden yläreunasta ja ajan T- kuluttua alareunasta. Edellä kuvattu hilan rakenne löytyy sekä kompleksisen avaruuden että siihen lomittuneen antiavaruuden puolelta, jolloin Diracin elektronikenttä jakautuu spiniltään positiivisiin ja negatiivisiin hiukkasiin. Antiavaruuden puolella hilajonojen hahmot liikkuvat vastakkaisiin suuntiin.

Kvanttimekaanisen ajan T+ aikana yksittäiset hilajonon hahmot näyttävät liikkuvan rotaatioiden vuoksi askeltaen kaltevuussuunnastansa riippuen oikealle tai vasemmalle, ja ajan T- aikana samat hilajonot liikkuvat päinvastaisiin suuntiin. Liikkeen nopeus on valon nopeus c.

T+

T-

Hilan positiivinen maksimi

Hilan negatiivinen maksimi

Pari: Positroni e+ ja elektroni e-Hiukkaset pyörivät vastakkaisiin suuntiin.

Negatiivinen hilajono

Positiivinen hilajono

Hilakoppi

Kuvan esittämässä Diracin kentässä kukin

kompleksinen hilajono muodostuu elektronin ja samansuuntaisen positronin muodostamista pareista, jotka syntyvät ja katoavat hiukkasten peräkkäisissä rotaatioissa epätarkkuusperiaatteen rajoissa.

Kun 3D-pinta syntyi kompleksisen hila-avaruuden alemman osan (137 136) oktaedrien lävistäjien positiivista puolikkaista, ilmestyi samaan aikaan Diracin elektronikenttä ja sen elektronien ikuisen kiertoliikkeen keskinäiset vaihe-erot. Seuraava kuva esittää yhden elektronitason elektronien ja positronien vaihe-eroista syntyvän Diracin kentän rakennetta. Kenttä koostuu elektroni-positroni-pareista, jotka muodostavat kompleksiavaruuteen positiivisia ja negatiivisia hilajonojen hahmoja.

c

e+

e-

Värisetit

32

Edellisessä kuvassa elektronit e+ ja e- pyörivät oktaedreissaan vastakkaisiiin suuntiin. Kvanttimekaanisen ajan suunnan vaihduttua ne molemmat ovat vaihtaneet suuntaa ja pyörivät edelleen keskenään vastakkaisiin suuntiin. Myös niiden varaukset ovat kääntyneet päinvastaisiksi ja samalla ajan etumerkki negatiiviseksi. Mikä nyt erottaa elektronit toisistaan? Symmetria ei ole täydellinen, sillä elektronit e+ ja e- voidaan erottaa toisistaan edellä esitetyn hilarakenteen epäsymmetrian avulla. Yksittäistä elektronia laajempi kokonaisuus eli kompleksinen hila ja sen rakenteen epäsymmetria määrittää elektronin sähköisen varauksen etumerkin ja samalla atomiytimen eli protonin vastaavan etumerkin. D-teoria ei vielä toistaiseksi kerro yksityiskohtaisesti, kuinka sähköisen varauksen etumerkki määräytyy hilan rakenteen epäsymmetriasta.

e+

e+

e-

e-

Kuvan elektronit e+ ja e- jakavat avaruuden oikeaan ja vasempaan puoleen 3D-pinnan suunnissa absoluuttisesti. Rakenne säilyy hilan rotaatioissa, mutta rakenteen paikka siirtyy ylös-alas-suunnassa (4.D) kuoren verran jokaisessa rotaatiossa. Rotaatioiden pyörimissuunnan vaihtuessa symmetria säilyy, ainoastaan värit ja varaukset vaihtuvat keskenään. On siis tarkasteltava suurempaa kokonaisuutta epäsymmetrian löytämiseksi.

Suuremmassa mittakaavassa hilaan syntyy positiivinen ja negatiivinen maksimi, joka näkyy hilassa pysyvänä epäsymmetriana. Pyörimissuunnan vaihto negatiiviseksi ei muuta itse rakennetta vaan ainoastaan vaihtaa kuvan värit keskenään.

Edellä kuvattu hilan epäsymmetria on ilmeinen syy materia/antiamateria-epäsymmetriaan ja mahdollinen syy pariteettisymmetrian rikkoutumiseen heikossa vuorovaikutuksessa.

Noetherin teoreeman mukaan jokaista symmetriaa vastaa havaittava suure, joka säilyy. Niinpä D-teorian avaruusmallin pitää sisältää joukko symmetrioita, jotta esimerkiksi energia säilyisi. Energian säilymistä vastaava symmetria on kvanttimekaanisen ajan symmetrinen kaksisuuntaisuus. Sähkövarauksen säilymistä vastaava symmetria on puolestaan Diracin kentän tietty symmetriaominaisuus.

33

Kun solurakenteinen avaruus on ainoa substanssi maailmassa, herää kysy-mys, mistä solut on tehty tai mitä on solujen välissä. Samanlaisen kysymyk-sen voisi esittää myös tietokoneen digitaalimaailmassa elävä älykäs ohjel-maolio. Se voi omaa maailmaansa tutkiessaan päätyä kysymään "Mitä bitit ovat?" tai "Mitä on bittien välissä?".

Me tiedämme, että bitit syntyvät transistoreissa, elektroniputkissa tai vaikka-pa releissä. Digitaalimaailman ohjelmaolio ei voi omalla päättelyllään saada selville bittien olemusta. Vastaavalla tavalla solurakenteisen avaruutemme solut jäävät meiltä ymmärtämättä. Ne ovatkin samalla perimmäinen abstrak-tio maailmassamme. Emme voine koskaan ymmärtää, mitä ne ovat.

Huom! Ei voida ajatella, että bittien välissä olisi avaruuden kaltaista tilaa, jossa muistiavaruuden bitit sijaitsevat. Bittien keskinäinen järjestys ja suhde toisiinsa antavat niille merkityksen eikä bittien välistä avaruutta tarvita. Bitti on malli jollekin, mistä ei voida enempää tietää. Sama pätee avaruutemme muodostaviin janoihin. Ne ovat bittien lailla taustasta riippumattomia malleja. Niiden järjestys ja keskinäiset suhteet kuten pituus ja kulma ovat fysikaalisen maailmamme kannalta merkittäviä. Geometria on syntynyt kuvaamaan näitä suhteita ja siksi geometria on käyttökelpoinen tapa kuvata fysiikan perusteet.

Havaintoavaruus tarkoittaa avaruutta, joka syntyy havaitsijan tekemien karkeistettujen havaintojen kautta. Havaintoavaruus on isotrooppinen ja euklidinen. Euklidinen avaruus määritellään Pythagoraan lauseen pätemisen avulla. Suhteellisuusteorian mukaan havaintoavaruus on jokaiselle havaitsijalle liiketilasta riippuen erilainen. Havaintoavaruudessa jokainen havaittu kappale saa paikkansa havainnon perusteella toisten kappaleiden suhteen, mutta ei minkään absoluuttisen taustan suhteen. Jos ainoatakaan havaintoa ei voida tehdä, havaintoavaruutta ei ole olemassa. On vain havaitsematon absoluuttinen avaruus. Havaitsematon hiukkanen sensijaan ei ole lokalisoitunut havaintoavaruuteen eikä kuulu siihen. Vasta mittaus eli havainto antaa havaintoavaruuteen verrattuna epälineaarisessa absoluuttisessa avaruudessa sijaitsevalle hiukkaselle paikan havaintoavaruudessa ja hiukkasen aaltofunktion sanotaan samalla romahtavan.

Havaintoavaruus on siis mm. karkeistamalla saatu kuva todellisesta fysikaalisesta avaruudesta, jota tässä kutsutaan absoluuttiseksi avaruudeksi ja joka on olemassa havainnoista riippumatta. Monet kvanttimekaniikan tulkintaongelmat johtuvat siitä, että havaintoavaruutta pidetään virheellisesti todellisena fysikaalisena avaruutena.

Tarkastellaan seuraavaksi, miksi absoluuttinen avaruus on neliöllinen havaintoavaruuteen verrattuna, kuten D-teorian hypoteesissä esitetään, ja millaisia seurauksia neliöllisyydestä eli epälineaarisuudesta on, sekä mikä saa solurakenteisen Manhattan-metrisen avaruuden näyttämään isotrooppiselta.

34

Etäisyyden laskeminen neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa

Matemaattisella muunnoksella (± X x ² , ± Y y ² , ± Z z ² ) voidaan jokin absoluuttisen avaruuden (X,Y,Z) pituus siirtää havaintoavaruuteen (x,y,z). Kun absoluuttisessa avaruudessa laskettu suure, esim. pituus N yksikköä, on lineaarinen, ja tiedetään, että absoluuttinen avaruus on neliöllinen havaintoavaruudessa nähtynä, on suure neliöitävä havaintoavaruuteen siirtämi-seksi. Vasta neliöinnin jälkeen suure, pituus N² yksikköä, on epälineaarinen.

Kari Enqvist: “Kenttäteorioiden yksiselitteinen ja tinkimätön kanta on: Kun luonnossa tapahtuu jotakin, se tapahtuu aina pohjimmiltaan epälineaarisesti. Myös yleinen suhteellisuusteoria on epälineaarinen.”

Absoluuttisen avaruuden neliöllisyyden vuoksi mielivaltaisen mittayksikön käyttäminen ei ole muunnoksessa aina mielekästä. Kvantti-ilmiöiden yhteydessä mittayksikön on määräydyttävä suoraan avaruuden rakenteesta. Kelvollinen mittayksikkö on avaruuden pienin jakamaton pituus d (= elektronin klassinen säde) tai jokin muu avaruuden rakenteessa toistuva absoluuttinen pituus, joka liittyy suoraan mitattavaan kvantti-ilmiöön ja sen suureeseen. Lasketaan siis ensin yhteen absoluuttisen avaruuden lineaariset pituudet. Tulos, esim. N yksikköä X-akselin suunnassa, neliöidään ja saadaan epälineaarinen tulos havaintoavaruudessa, eli N² yksikköä. Näin laskemalla saadaan esim. arvo vetyatomin säteelle [m] Bohrin atomimallin mukaisesti sekä arvo Rydbergin vakiolle [1/m]. Samaa tekniikkaa käytetään kvanttimekaniikassa esim. laskettaessa havaintoavaruuteen realisoituvia neliöityjä amplitudeja.

Tarkasteltaessa perussuureiden, pituus, aika ja massa, keskinäisiä suhteita, käytetään suhteellisuusteorian mukaan neliölisiä suureita. Tästä esimerkkeinä ovat pituuskontraktio ja aikadilaatio. Kaikki muut suureet voidaan johtaa näiden kolmen perussuureen avulla. Tästä voidaankin päätellä, että kaikki havaintoavaruudessa havaittavat luonnonlait tulevat havaintoavaruuteen verrattuna neliöllisen absoluuttisen avaruuden epälineaarisista ilmiöistä.

Kun etäisyys kahden solumaisen pisteen välillä 3D-pinnalla on pieni, on etäisyyden laskemisessa otettava huomioon avaruuden solumainen rakenne. Myös liike on huomioitava, sillä havaittu pituus on jokaiselle havaitsijalle pituuskontraktiosta johtuen erilainen.

X

x

a

a²

X

x²

a²

a

Epälineaarinen vastaavuus ± X x Lineaarinen vastaavuus ± X x²

Koordinaatistomuunnoksella saadaan lineaarinen vastaavuus eli vastaavuus yhden suhde yhteen.

35

Tiedetään, että 3D-pinnalla yhden oktaedrin lävistäjän pituus on

d = 2.817940325(28) x 10-15 m.

Arvo voidaan laskea muiden tunnettujen vakioiden avulla. Tätä pituutta kutsutaan nimellä ”elektronin klassinen säde”. Se on karkeasti samassa mittakaavassa, jossa renormalisaatio tulee merkittäväksi QED:ssä.

Myöhemmin osoitetaan D-teorian 3-osassa, että hiukkanen, jonka spin on ½, on pituudeltaan ½-kuoren eli oktaedrin lävistäjän puolikkaan pituinen. Silloin spin-1-hiukkanen on yhden kuoren pituinen (esim. fotoni).

Kappaleiden liike etäisyysmittauksen aikana vaikuttaa d:n ja s:n arvoihin. Olkoon kappaleen lineaarinen pituus inertiaalikoordinaatistossa n solua. Mittaus tehdään lähettämällä valopulssi kappaleen päästä päähän. Jos kappale mittauksen aikana liikkuu nopeudella v ja siirtyy k:n solun verran, ovat valon kulkemat matkat vastakkaisissa suunnissa d = n - k ja s = n + k eli r² = ds = n² - k². Pituuden r neliön suhteellinen muutos r² / n² = (n² - k²) / n² = 1 - k²/n². Suhde k/n = v/c, joten voidaan kirjoittaa

r² = 1 - v² eli r = n 1 - v² n² c² c²

Siten, jos n = k eli kappale liikkuu valon nopeudella v = c, kappaleen pituus on nolla. Neliölli-nen pituus on mittauksessa aina valon menomatkan pituus kerrottuna paluumatkan pituudella.

Laskemalla pituus esitetyllä tavalla, syntyy havaintoavaruus, jossa pituudet riippuvat havaitsijan liiketilasta ja joka siten on erilainen avaruus jokaiselle havaitsijalle. Mitään globaalia kaikille yhteistä havaintoavaruutta ei siis ole olemassa.

Jos useita peräkkäisiä pituuksia on laskettava yhteen, lasketaan ne kaikki ensin yhteen ja vasta sitten siirretään havaintoavaruuteen eli r² = d x s.

Geometrista keskiarvoa käytetään absoluuttisessa avaruudessa myös liikkuvan kappaleen pituuden laskemisessa. Liike tapahtuu seuraavassa solumaisen avaruuden suhteen, mutta voisi tapahtua myös jonkin muun koordinaatiston suhteen, kuten myöhemmin kappaleessa “Aika ei ole substanssi” tarkemmin kuvataan.

d

s

r

Solumaisessa avaruudessa käytetään vain kokonaislukuja etäisyyden ilmoittamiseen. Etäisyys esim. solurakenteisen akselin keskikohdasta voidaan silti laskea. Kuvassa etäisyys r ei ole sama kuin kumpikaan kuvan lineaarisista pituuksista d ja s. Neliöllisessä avaruudessa 3D-pinnalla lasketaan geometrinen keskiarvo

r ² = ds. Kun s = d + 1, niin r ² = d (d+1)

Edestakainen matka on neliöllisessä avaruudessa 2 r ².

36

Nopeuksien laskeminen neliöllisessä avaruudessa

Nopeuden laskemiseen tarvittavat pituus ja aika ovat molemmat 3D-pinnan suuntaisia suurei-ta. Absoluuttisessa avaruudessa on olemassa absoluuttisia ja suhteellisia nopeuksia. Abso-luuttisia nopeuksia ei ole mahdollista havaita lukuunottamatta valon nopeutta c, jolle havaitaan myöhemmin esitettävästä syystä aina sama arvo ja joka on maksiminopeus. Suhteelliselle nopeudelle v saadaan absoluuttisten nopeuksien avulla

v² = c² - w² eli

w² = c² - v²,

missä w on havaitsematon absoluuttinen nopeus. Sillä on fysikaalinen merkitys, kuten huomataan esim. Suhteellisuusteorian pituuskontraktiosta pituudelle s

s1 = s √ 1 - v ² / c ² ,

josta saadaan edelleen

s1 ² c² = s² ( c² - v²) = s² w² , missä w² = c² - v².

Suhteellisella nopeudella v on suunta 3D-avaruudessa, mutta sen neliö v² ilmaisee kappaleen suhteellisen vajoaman neljännen ulottuvuuden suunnassa. Kun v on kentän pakonopeus, sen neliö v² ilmaisee kentän pisteen absoluuttisen vajoaman määrää 4.D:n suunnassa.

f ² = a² - b² , kun a b ja

PF + PF' = 2a, kun (x,y)-tasossa x²/a² + y²/b² = 1.

Nopeuksille saadaan vastaavasti

v² = c² - w², kun c w. Silloin

a c ja bw ja fv.

Piste P kuvaa hiukkasen hetkellistä tilaa faasiavaruudessa. Hiukkasen “painopiste” on suhteellisen nopeuden suunnasta riippuen toinen polttopisteistä.

F F'

a

b

f

P

Kun w² = c² - v² , voidaan myös kirjoittaa

w² = (c – v)(c + v) = w1 w2 , missä w1 = c – v ja w2 = c + v.

Hilajonojen hahmot liikkuvat alkeisrotaatioiden seurauksena vastakkaisiin suuntiin 3D-pinnan suhteen nopeudella c. Kun hiukkanen liikkuu nopeudella v solurakenteisen 3D-pinnan suhteen toiseen näistä suunnista, ovat sen nopeudet tällöin hilajonojen hahmojen suhteen w1 = c – v ja w2 = c + v. Nopeus w on nopeuksien w1 ja w2 geometrinen keskiarvo. Tällainen liike hilan suhteen tekee hiukkasesta absoluuttisesti epäsymmetrisen, kuten D-teoriassa myöhemmin tarkemmin kuvataan. Epäsymmetrisyyttä kuvataan ellipsin avulla.

Kaava v² = c² - w² kuvaa ellipsiä, jonka polttoväli on v. Ellipsille saadaan yleisesti

c w

Ellipsin eksentrisyyttä e = v/c käytetään myöhemmin D-teoriassa kuvaamaan hiukkasen ja avaruuden epäsymmetrisyyttä suhteellisessa liikkeessä ja erilaisissa voimakentissä.

vc

37

Liike tapahtuu solumaisen avaruuden suhteen, mutta voisi tapahtua myös jonkin muun koordinaatiston suhteen, kuten myöhemmin kappaleessa “Aika ei ole substanssi” tarkemmin kuvataan.

Kuvassa absoluuttiset nopeudet c ja w ovat valokartion suuntaiset. Tässä esitystavassa ellipsin isoakseli on aina 45asteen kulmassa x-akselin suhteen. Nopeusvektoriesityksessä faasiavaruudessa suhteellinen liike kuitenkin kääntää ellipsiä siten, että oikeanpuoleiseen kuvaan piirretty ellipsin polttopisteeseen osoittava nopeusvektori c on aina kohtisuorassa horisontaalista tasoa eli 3D-pintaa vastaan, kuten myöhemmin esitetään.

Ajan laskeminen neliöllisessä avaruudessa

Edellä etäisyys laskettiin meno- ja paluumatkojen d ja s geometrisena keskiarvona eli r² = ds. Vastaavasti nopeus w laskettiin vastakkaisten suuntien nopeuksien (c – v) ja (c + v) geometri-sena keskiarvona. Sekä etäisyys että nopeus ovat suurimmillaan, kun vastakkaisten suuntien suureet ovat yhtäsuuret.

Vastaavalla tavalla aika lasketaan geometrisena keskiarvona. Kvanttimekaaninen alkeisaika syntyy hilakopissa tapahtuvista hilahiukkasten alkeisrotaatioista siten, että 6 kappaletta 90 asteen rotaatioita tapahtuu ensin yhteen suuntaan ja sitten sama määrä vastakkaiseen suuntaan. Neliöllinen aika saadaan kertomalla positiivisten rotaatioiden lukumäärä vastakkaiseen suuntaan tehtävillä negatiivisten rotaatioiden lukumäärällä. Tällainen aika voi edetä makroskooppisessa avaruudessa nähtynä vain yhteen suuntaan.

ct

x

Valokartio

Symmetrinen tapaus v = 0:cT on valon kulkema matka (x,ct)−koordinaatistossa ajassa T .

ct

x

Valokartion reuna

Epäsymmetrinen tapaus v 0:cT’ on valon kulkema matka (x’,ct’)

−koordinaatistossa ajassa T’ .

cT

cT’

ct’

x’

Seuraavassa kuvassa vasemmalla hiukkasta kuvaava vektori g pyörii inertiaalikoordinaatistos-sa (x,ct), jolloin sen pyörimisliikettä kuvaa vektorin kärjen piirtämä ympyrä. Nopeudella v liikkuvan toisen hiukkasen liikettä kuvaa ellipsi (x’,ct’)-koordinaatistossa. Koordinaatisto (x’,ct’) on muunnettu Lorentz-muunnoksella (x,ct)-koordinaatistosta. Muunnos tekee hiukkasesta epäsymmetrisen ja sen aika hidastuu ja pituus lyhenee. Nopeuden v kasvaessa akselien x’ ja ct’ pituusyksiköt skaalautuvat hyperbolisesti.

cw=c

c

g gw

c

38

Kuvassa punaiset vektorit ovat osa yhden hilajonon hahmoa. Vektorien kääntyessä hilajonojen hahmo siirtyy kääntymissuunnasta riippuen tasossa joko oikealle tai vasemmalle (katkoviiva). Näin syntyy hilajonojen hahmojen valonnopeudella tapahtuva liike kussakin tasossa nähtynä kahteen vastakkaiseen suuntaan. Todellisuudessa hilakopit ovat kolmiulotteisia ja on piirretty tässä yksinkertaisuuden vuoksi kaksiulotteisina.

oikeallevasemmalle

hilakoppi

Hilakopissa tapahtuvat rotaatiot määräävät aalto-funktion hetkellisen vaiheen. Kvanttimekaniikassa aaltofunktion globaali vaiheinvarianssi tarkoittaa, että myös vaiheen kiertosuunta voidaan kääntää globaalisti vastakkaiseksi ja muutosta ole mahdollista havaita. Aaltofunktion vaihe on imaginäärinen.

Jana on abstrakti taustasta riippumaton malli avaruudelle. Vastaavasti alkeisrotaatio on abstrakti taustasta riippumaton malli ajalle.

Alkeisaika T määritellään tarkoittamaan yhden alkeisrotaation R kestoa. Se on pienin jakamaton aikayksikkö. Alkeisrotaation päättyessä syntyy alkeistapahtuma T1, jolloin vuorovaikutukset solujen välillä ovat mahdollisia. Alkeistapahtuman T1 kesto on nolla yksikköä. Uusi alkeistapahtuma T2 on mahdollinen alkeisajan T kuluttua. Alkeistapahtumien T1 ja T2 välinen aika on siten alkeisrotaation R kesto eli T. Aikaa mitataan peräkkäisten tapahtumien T1...Tn avulla laskemalla niiden lukumäärä. Ajan mittaaminen näin on maailman sisäinen taustasta riipumaton mittaustapa.

Aika T lasketaan kaavasta t = s/v, missä s = d on elektronin klassinen säde ja v = c on valon nopeus eli

T = d/v = 2.8179403 fm = 0.9399637065 10-23 s . 299792458 m/s

Asian ymmärtämiseksi voidaan ajatella tietokoneen ohjelmien käyttämää sisäistä aikaa, joka syntyy tietokoneen kellosignaalista. Kellosignaalin taajuus määrää ohjelman suoritusnopeu-den ja samalla sisäisen ajankulumisen nopeuden eikä tietokoneessa ole mahdollista ilman ulkoista signaalia huomata kellosignaalin taajuuden muuttumista. Tiedämme, että tietokoneen ulkopuolella on eri aika, mutta onko fysikaalisen maailmamme ulkopuolella vielä jokin aika. Kysymykseen ei ole mahdollista saada vastausta.

Kun avaruus on kvantittunut soluiksi, on ajankin oltava kvantittunut. Muuten hiukkasen liikkeelle solusta toiseen voitaisiin asettaa väliaikoja eli hetkiä, jolloin hiukkasen pitäisi olla liikkeessä jossakin solujen välissä. Näitä hetkiä ei kuitenkaan ajan kvantittumisen vuoksi ole olemassa ja hiukkanen sijaitsee aina jossakin solussa eikä koskaan jossakin solujen välissä.

39

Aikaa, sen syntyä ja suhteellisuutta käsitellään tarkemmin D-teoriassa myöhemmin.

Hiukkasen ajankulumiseen vaikuttaa hiukkasen liike. Jos hiukkanen siirtyy rotaation yhteydes-sä hilassa viereiseen hilakoppiin, jonka rotaatiovaihe on 90 astetta jäljessä, hiukkasen aika ei siirtymisen vuoksi etene lainkaan. Liikkeen jatkuessa samaan suuntaan ja rotaatioiden suun-nan pian vaihtuessa hiukkanen tulee siirtyneeksi hilakoppiin, jonka vaihe on 90 astetta edellä. Siten liikkuvan hiukkasen rotaatioiden määrä yhteen pyörähdyssuuntaan vähenee ja toiseen pyörähdyssuuntaan suuntaan kasvaa. Hiukkasen ajankuluminen rotaatioiden määrällä laskettuna muuttuu liikkeen vuoksi epäsymmetriseksi ja ajankuluminen geometrisen keskiarvon avulla laskettuna hidastuu. Enemmän rotaatioista myöhemmin.

Kvantti-ilmiöiden mittakaavassa aika on symmetrinen eli sillä on kaksi suuntaa, positiivinen ja negatiivinen. Alkeistapahtumien geometrisena keskiarvona lasketulla makroskooppisella ajalla on vain positiivinen suunta.

Absoluuttisessa avaruudessa kappaleen aika kuluu nopeimmin, kun kappale ei liiku absoluuttisen Manhattan-metriikan suhteen eli suhteellinen nopeus v = 0. Lisäksi edellytetään, että kappale ei sijaitse toisen kappaleen gravitaatiopotentiaalissa. Toisen kappaleen emittoima neutraali gravitaatioaalto nimittäin aiheuttaisi kappaleelle kentän suuntaisen edestakaisen kiihtyvyyden ja liikkeen Manhattan-metriikan suhteen. Liike eli ylimääräinen matka hidastaisi kappaleen ajan kulumista. Kun aika kuluu nopeimmin, myös pituudet ovat pisimmillään. Kappaleen absoluuttinen massa on tässä tilanteessa pienimmillään. Kappaleen avaruuteen synnyttämä aaltoliike on tässä tilassa symmetrinen eri avaruusssuuntien suhteen. Kappaleen absoluuttisille nopeuksille pätee w = c, ja v = 0.

Dualismi

Hiukkasten dualismi eli Bohrin komplementaarisuusperiaate on ollut kvanttifysiikassa terveellä järjellä vaikeasti ymmärrettävä asia.

Hiukkaset näyttävät käyttäytyvän dualistisella tavalla. Yhtäältä ne käyttäytyvät hiukkasmaises-ti, sillä niillä on tietty paikka ja nopeus, toisaalta aaltomaisesti laaja-alaisena avaruuteen levinneenä ilmiönä. Klassisen fysiikan kannalta nämä kuvailutavat ovat toisensa poissulkevia. Dualismille tarvitaan kelvollinen selitys.

D-teoriassa lähtökohtana on äärellisen kokoinen hiukkanen, joka on osa absoluuttista avaruut-ta. Absoluuttinen avaruus on kuitenkin havaitsijalle epälineaarinen ja yksikäsitteetön. Havaitsemattoman hiukkasen absoluuttinen paikka leviää havaintoavaruudessa nähtynä laaja-alaiseksi kuin aalto. Havainto antaa hiukkaselle paikan eli saa hiukkasen lokalisoitumaan tiettyyn lineaarisen havaintoavaruuden paikkaan.

40

Hiukkasta voidaan näinollen kuvata aaltopaketin avulla. Aaltopaketissa ei ole kysymys siitä, että vapaa havaitsematon hiukkanen todella olisi laaja-alainen aalto. Kysymys on avaruuden käsittämisestä kahdella rinnakkaisella tavalla eli dualistisesti. Mitä enemmän on tunnettuja havaintopisteitä ja niiden välisiä etäisyyksiä, sitä enemmän on ”aallonpituuksia” ja sitä kapeammasta aaltopaketista on kysymys ja sitä tarkempi on näin syntyvä havaintoavaruuden kuva. Hiukkasen lokalisoituminen havaintoavaruuteen vaatii havaintoja eli tunnettuja havaintopisteitä. Samoin havaintoavaruuden syntyminen karkeistamalla edellyttää havaintoja eli tunnettujen pisteiden olemassaoloa. Lisää aaltopaketista ja hiukkasen lokalisoitumisesta havaintoavaruuteen myöhemmin.

Ilmiöluokat

Seuraavaksi käsitellään lähinnä neljää ilmiöluokkaa, joiden voidaan sanoa syntyvän solurakenteisen avaruuden ominaisuuksista. Kolme niistä kuuluvat perinteisesti kvanttimekaniikan piiriin ja neljäs on gravitaatio.

Kvanttimekaniikkaan kuuluvat: 1. U(1)-rotaatiot eli sähkömagnetismi, 2. SU(2)-rotaatiot eli heikkovoima ja 3. SU(3)-rotaatiot eli värivoima.

Kun tarkastellaan kvantittunutta avaruutta, voidaan kysyä, onko olemassa mitään ilmiötä, joka todella viittaa D-teorian hypoteesissa mainittuun kvantittuneeseen absoluuttiseen avaruuteen. Edellä on jo esitetty, että absoluuttista avaruutta ei ole mahdollista suoraan havaita. Niinpä ei ole mitään tunnettua keinoa suoran havainnon tekemiseen. On kuitenkin olemassa eräs paljonpuhuttu tilastollinen ilmiö, joka on vahva todiste solurakenteisen avaruuden puolesta. Tulos voidaan mitata yksittäisille alkeishiukkasille, jotka eivät tunne karkeistettua havaintoavaruutta vaan elävät Manhattan-metriikassa. Ilmiössä on kyse kvanttikorrelaatiosta, joka poikkeaa klassisesta korrelaatiosta. Ilmiö ei tuota suoraa havaintoa solurakenteisesta avaruudesta, sillä korrelaatio on abstrakti matemaattinen käsite, joka on laskettava mittaus-tuloksista. Ilmiötä kutsutaan EPR-paradoksiksi.

D-teorian tarjoama selitys kvanttikorrelaation ja klassisen korrelaation eroista perustuu avaruuden geometriaan, kuten myöhemmillä sivuilla kerrotaan. Selitys käytännössä romuttaa kvanttimekaniikan käsityksen lomittuneiden hiukkasten muodostamasta reaalisesta kvantti-systeemistä. Samalla saadaan lisää vielä yksi seikka, joka on todiste kvanttimekaanisen todellisuuden ei-lokaalisuutta vastaan. Tätä ei kuitenkaan pidä ymmärtää siten, että myös suorat havainnot todistaisivat ei-lokaalisuutta vastaan, sillä havainnot käsitellään aina havaintoavaruudessa, jonka todellista luonnetta ei fysiikassa ole toistaiseksi ymmärretty. Havaintojen taustalla on kuitenkin absoluuttinen ja samalla abstrakti todellisuus, jota D-teorian hypoteesi avaruuden rakenteesta kuvaa, ja jonka oikeellisuuden puolesta kappaleessa ”Kvanttimekaniikan ei-lokaalisuus ja kaukovaikutus” käsiteltävä ilmiö todistaa.

41

Pienin mittakaava

Absoluuttinen avaruus sinänsä on kaikissa mittakaavoissa pelkästään neliöllinen havaintoavaruuteen verrattuna. Valo ja materia sensijaan valitsevat aina kahden avaruuden pisteen välillä polun, joka johtaa karkeistamalla lineaarisen makroskooppisen havaintoavaruuden syntymiseen vain “tietoiselle” havaitsijalle. Tietoisuus liittyy tässä havaitsemiseen ja kykyyn karkeistaa havainnot makroskooppisiksi. Jos havaittavat valo ja materia puuttuvat, havaintoavaruutta ei ole olemassa. On vain tyhjä absoluuttinen avaruus eikä lainkaan havaintoja. Johtopäätös on, että absoluuttista avaruutta ei ole mahdollista havaita. Siitä seuraa, että havaintoavaruudessa liikkuvan kappaleen paikka on havaitsijalle olemassa vain suhteessa johonkin toiseen havaittuun kappaleeseen mutta ei mihinkään absoluuttiseen taustaan.

Havaintoavaruus voi olla havaitsijalle olemassa vain makroskooppisena. Havaintoavaruuden syntymiseen eli karkeistamiseen tarvitaan riittävän monta 3D-pinnan ja kompleksiavaruuden elementtiä. Siksi ei ole mahdollista vetää tarkkaa rajaa makroskooppisen lineaarisen avaruuden ja kvanttitason neliöllisen avaruuden välille.

Kaikki luonnonilmiöt tapahtuvat solurakenteisen avaruuden minimimittakaavassa eli ovat perustaltaan kvanttitason ilmiöitä. Tällaista näkemystä kutsutaan fysiikassa nimellä reduktionismi.

Fysikaalisten ilmiöiden perusteellisempi tutkinta johtaa neliöllisten perussuureiden käyttöön. Kun havaitsijan kaikki perussuureet, pituus, massa ja aika ovat lineaarisen havaintoavaruuden suureita, on todellisuutta esim. relativististen ilmiöiden kohdalla kuvattava neliöllisillä suureilla.

Suhteellisuusteorian yhteydessä käytettävä Minkowskin neliulotteinen aika-avaruus on invari-antti eli samanlainen kaikille havaitsijoille. Sen geometria muodostuu maailmanpisteistä, joiden väliset etäisyydet havaitaan samanlaisina kaikissa koordinaatistoissa. Invariantti avaruus on siis tietyssä mielessä sama kuin absoluuttinen avaruus. Maailmanpisteiden etäisyyden käsite, jonka Minkowski otti käyttöön, perustuu lausekkeeseen (s)² - (ct)². Lorentz-muunnoksesta voidaan johtaa maailmanpisteiden etäisyyden neliöille tulos

(s)² - (c t)² = (s’)² - (c t’)².

Vasemmanpuoleinen lauseke pätee koordinaatistossa K ja oikeanpuoleinen koordinaatistossa K’. Koordinaatistot voivat olla tasaisessa liikkeessä toistensa suhteen. Huomataan, että lau-sekkeiden suureet on neliöity, jolloin ne edustavat D-teorian absoluuttisen avaruuden suureita.

Määritellään suure u = ict, jolloin etäisyys voidaan kirjoittaa

(s)² + u² = (s)² - (c t)² .

Tässä i tarkoittaa imaginääriyksikköä. Suureen u käyttö merkitsee, että invariantti Minkowskin avaruus on kompleksinen. Imaginääriyksikkö i lausekkeessa u = ict ei liity aikaan t vaan nopeuteen c. Neliulotteisen absoluuttisen avaruuden geometriassa absoluuttinen nopeus c edustaa neljännen eli imaginäärisen kannan suuntaa. Kyseinen avaruussuunta on reunallinen, jolloin neliöllinen maksiminopeus c² kuvaa etäisyyttä reunaan ja sitä voidaan käyttää vakiovektorina.

42

Valon nopeus c on suurin nopeus ja sitä käytetään D-teoriassa kuvaamaan epäsuorasti erilais-ten suureiden maksimiarvoja 4.D:n suunnassa. Suhteellisen nopeuden neliö v² kuvaa silloin kappaleen suhteellista asemaa neljännen kannan suunnassa.

Kappaleen kokonaisenergia on E = mc². Kun suure c² on neljännen kannan suuntainen, on myös energia E, joka on abstrakti suure, neljännen kannan suuntainen.

Ottamalla neliöjuuri absoluuttisen 3D-avaruuden koordinaateista (X,Y,Z) saadaan arvoiksi positiiviset ja negatiiviset koordinaatit ±√ X , ±√ Y ja ±√ Z . Tämä voidaan tulkita siten, että on olemassa vastakkaismerkkiset avaruudet eli lomittaiset avaruus ja antiavaruus. Laskemalla positiiviset ja negatiiviset koordinaatit yhteen saadaan tulokseksi nolla, mikä merkitsee symmetriaa.

Voidaan kirjoittaa U = 0, missä U kuvaa kaikkea olevaista. Tämä on parempi kirjoittaa muotoon

U – U = 0 ,

jolloin on olemassa kaksi vastakkaismerkkistä maailmaa U ja –U. (Suureita U ja –U ei ole syytä sekoittaa materiaan ja antimateriaan, sillä ne ovat perustavampaa laatua eli edustavat ainoata substanssia, josta maailma koostuu.)

Koska emme havaitse kahta maailmaa U ja –U, kirjoitetaan havaitsijaa varten

u² = lUl 0, missä u on havaitsijan suure (esim .pituus) ja aina reaalinen,

eli absoluuttisen todellisuuden suureet U ovat havaitsijan suureisiin u nähden neliöllisiä ja positiivisia.

Havaitsijan suureiden lisäksi on olemassa teoreettinen aaltofunktio , joka saa fysikaalisen merkityksen vasta neliöitynä ². On huomattava, että aaltoyhtälön ratkaisuna syntyvä aalto-funktio (x,y,z,t) on määritelty kompleksiavaruuteen, joka on lineaarinen (x,y,z,i)-avaruus. Aaltofunktio ei näin ollen esiinny sellaisenaan maailmoissa U ja –U, jotka eivät ole lineaarisia havaitsijalle.

Raimo Lehti:

“Minkowskin avaruuden merkitystä voi luonnehtia näin: Kun joku luonnon laki, yhtälö, tms. on formuloitu Minkowski-avaruuden termein, se on automaattisesti invariantti Lorentz-transformaatioissa. Minkowski-avaruudessa formuloitu fysiikka on siinä mielessä ’absoluuttista’, että se on havaitsijan aika–paikka-jaosta riippumatonta.”

43

Tarkastellaan seuraavaksi Pythagoraan lauseen toteutumista absoluuttisessa avaruudessa. Olkoon sauva s jäykkä makroskooppinen kappale avaruudessa siten, että se ei ole avaruuden pääakseleiden suuntainen. Käytetään sauvaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusana kuvan esittämällä tavalla.

Sauva s on absoluuttisessa avarudessa murtoviiva, samoin kolmion kateetit a ja b.

Havaintoavaruudessa

s² = a² + b² ja a b.

Huomioidaan pääakselit X ja Y, ja muutetaan kateetit a ja b pääakseleiden suuntaisiksi komponenteiksi.

Kateetille a saadaan absoluuttisessa avaruudessa, kun Ax ja Ay ovat sen pääakseleiden suuntaiset vaaka- ja pystykomponentit, a = Ax + Ay. Kateetille b saadaan b = Bx + By.

Absoluuttisessa avaruudessa sauvan pituuden S komponentit lasketaan yhteen ennen muun-tamista havaintoavaruuteen. Sauvalle S saadaan nyt

S = Ax - Bx + Ay + By.

Kun kuvan mukaan Ax - Bx = Sx ja Ay + By = Sy, saadaan

S = Sx + Sy.

Muuntamalla nyt havaintoavaruuteen, saadaan sauvalle s pituudeksi

s² = Sx² + Sy² = a² + b².

Huomataan, että mille tahansa suorakulmaisen kolmion hypotenuusalle s voidaan olettaa sen kateetteja a ja b vastaavat pääakseleiden suuntaiset kateetit Sx ja Sy, joille Pythagoraan lause pätee. Ei siis ole välttämätöntä käyttää pelkästään pääakseleiden suuntaisia kateetteja makroskoppisen sauvan s pituuden ilmaisemiseksi Pythagoraan lauseen avulla.

s

a

b

X

Y

SxSy

AxAy

Bx

By

a

bc

ab

Pythagoraan lause

Kuvassa pituudet a,b, ja c ovat havaintoavaruuden mittoja. Pisteiden A ja B välinen etäisyys olkoon absoluuttisessa avaruudessa a + b = c vektorien yhteenlaskuna (mutta havaintoavaruudessa skalaareille pätee c a + b). Havaintoavaruudessa pätee c² = a² + b². Janaa AB ei ole todellisuudessa olemassa vaan se on saatu karkeistamalla murtoviiva eli voidaan kirjoittaa summana c² = (a)² + (b)², missä a = a ja b = b. Kaikki etäisyydet on periaatteessa laskettava absoluut-tisen avaruuden pääakseleiden suuntaisten komponenttien avulla, vaikka niitä ei tunneta. Vain ne ovat olemassa.

Nähdään, että Pythagoraan lause syntyy neliöllisen absoluuttisen avaruuden ominaisuuksista.

A

B

44

Avaruuden isotrooppisuus ja neliöllisyys

Havaintoavaruudessa nähtynä jäykän sauvan pituus säilyy sauvaa käännettäessä eli havainto-avaruus on isotrooppinen. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että tyhjä avaruus sellaisenaan olisi isotrooppinen. Isotrooppisuuden syntymekanismia käsitellään tässä luvussa myöhemmin.

Solurakenteisen avaruuden pääakseleiden suunnat ovat olemassa vain absoluuttisessa avaruudessa ja muita suuntia siinä ei ole. Muut suunnat syntyvät geometrisesti karkeistamalla pääakseleiden suuntaisista komponenteista syntyvä murtoviiva. Karkeistetun murtoviivan suunta on murtoviivan komponenttien emergentti ominaisuus. Murtoviivan suunta on uusi ominaisuus, jota pääakseleiden suuntaisilla komponenteilla ei ole. Emergenssi johtaa havaintoavaruuden syntymiseen. Karkeistamisesta johtuen havaintoavaruutta ei ole olemassa samassa mielessä kuin karkeistettu murtoviivakaan ei ole aito viiva. Karkeistamiseen tarvitaan erityinen kyky, jota tässä kutsutaan tietoisuudeksi. Jokaisen havaitsijan havainnot ovat liiketilasta johtuen erilaiset, joten havainnoista syntyvä havaintoavaruus ei ole sama kaikille. Pituudet ja ajankuluminen havaitaan erilaisina havaitsijan liiketilasta riippuen. Globaalia kaikille samanlaista havaintoavaruutta tai aikaa ei ole olemassa.

Karkeistetun havaintoavaruuden täytyy olla isotrooppinen eli ns. palloavaruus, sillä vain siinä kaikki suunnat ovat samanarvoisia. Oktaedrien avaruudesta syntyy täsmälleen pallojen avaruus, kun kaikki suunnat tehdään samanarvoisiksi. Oktaedrista syntyy pallo matemaatti-sella muunnoksella eli neliöimällä koordinaatisto. Niinpä havaintoavaruudessa nähtynä absoluuttisen avaruuden on oltava kaikissa mittakaavoissa neliöllinen avaruus.

Karkeistettu suora sauva luo avaruuteen oman suuntan-sa. Sauvan kääntyessä sen pituus havaintoavaruudessa

nähtynä säilyy ja muuttuu absoluuttisen (X,Y,Z)-avaruu-den tasaisessa Manhattan-metriikassa. Sauvan päiden ura luo havaintoavaruudessa nähtynä pallopinnan ja avaruutta kutsutaan palloavaruudeksi

Absoluuttisen avaruuden tasaisessa Manhattan-metriikassa sauvan pituus on olemassa vain pääakseleiden suuntaisina komponentteina. Avaruus muodostuu oktaedreista, joiden tahkoihin kuviteltu sauva päättyy. Tällaista makroskooppista sauvaa ei ole olemassa.

x

y Y

Xx² X

y² Y

Absoluuttisen avaruuden tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä sauvan pituuden täytyy muuttua rotaatiossa, jotta sauvan päiden ura lähenisi pallopintaa eikä olisi oktaedrin pinta. Sauvan absoluuttisen pituuden muutos rotaatiossa syntyy makroskooppisen materian ja valon geometrisista ominaisuuksista erityisesti kompleksiavaruudessa. Tasaisen avaruuden suhteen lokaalisti supistuva ja laajeneva kompleksiavaruus määrää, kuten edellä on jo esitetty, havaitsijan kaikki pituudet, valon etenemisen ja ajan kulumisen.

45

Kuva esittää samankokoisia oktaedreja ja niiden neliöllisiä muotoja eli palloja. Kuvan pallot ajatel-laan puristettaviksi oktaedrin muotoon siten, että palloavaruuden mittasuhteet samalla vääristyvät. Mittakaavalla ei ole tässä yhteydessä merkitystä. Pallon sisällä eli lineaarisessa havaintoavaruu-dessa oleva suora ei enää puristamisen jälkeen olekaan suora. Sen muoto riippuu esim. sijainnista pallon keskipisteen suhteen. Niinpä neliöllinen avaruus ei ole havaitsijalle yksikäsitteinen, kuten myöhemmin todetaan.

Y

XZ

Voimme tarkastella havaittujen fysikaalisten kappaleiden kuten esim. makroskooppisen ympy-ränmuotoisen renkaan vastinetta absoluuttisessa avaruudessa. Ympyrän kehä jaetaan ensin mahdollisimman pieniksi janoiksi, jotka sitten muunnetaan yksitellen pääakseleiden suuntai-siksi komponenteiksi absoluuttiseen avaruuteen. Lopputulos on murtoviiva, joka karkeasti muistuttaa ympyrää. Vastaavasti makroskooppisen avaruuden pallolle saadaan absoluttiseen avaruuteen pinta, joka muistuttaa karkeasti palloa.

Edellä esitetty matemaattinen muunnos absoluuttisesta avaruudesta havaintoavaruuteen on matemaattisesti hallitsematon. Neliön sivu kuvautuu muunnoksessa ympyrän neljänneksen kehäksi. Mutta mihin jokin tietty neliön sivun piste kuvautuu? Sitä ei voida määritellä yksikä-sitteisesti. Havaintoavaruus on harhakuva toisesta todellisuudesta. Koska kuitenkin koemme havaintoavaruutemme todelliseksi, on silloin mielestämme absoluuttinen avaruus harhaa, joka ilmenee esimerkiksi ei-lokaalisuutena havaitsemattomien hiukkasten sijaintipaikkojen yhtey-dessä. Paikat leviävät ja muuttuvat laaja-alaiseksi kuin aallot. Havaitsemattomat hiukkaset eivät kuulu havaintoavaruuteen vaan liikkuvat neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa.

Matemaattisesti hallitsematon on vastaavalla tavalla ns. aaltofunktion romahtaminen, jossa avaruuteen levinnyt aaltofunktion neliö näyttää kuvautuvan mittauksessa hallitsemattomasti (“satunnaisesti”) yhteen avaruuden pisteeseen. Aaltofunktion jokin ominaistila realisoituu mit-tauksessa todelliseksi hiukkaseksi johonkin havaintoavaruuden pisteeseen, mutta on mahdo-tonta etukäteen tietää mihin. Sattuma ei pisteen paikkaa määrää, sillä hiukkasella on kaiken aikaa tarkka paikka absoluuttisessa avaruudessa, joka ei ole havaitsijalle yksikäsitteinen.

Myös karkeistetun murtoviivan pituus on emergentti ominaisuus, jota murtoviivan yhden yksikön pituisilla komponenteilla ei ole, ei myöskään yleensä komponenttien monikerroilla.

Yksittäiset alkeishiukkaset liikkuvat joko 3D-pinnan elementteinä tai kompleksiavaruuden ele-mentteinä. Kumpikaan näistä solurakenteisista avaruuksista ei ole tyhjänä avaruutena iso-trooppinen, joten ne ovat molemmat neliöllisiä verrattuna isotrooppiseen havaintoavaruuteen. Kvanttimekaaninen hiukkanen ei käänny avaruudessa mitansäilyttävänä eikä sen avaruus ole isotrooppinen. Vasta kun hiukkaset muodostavat yhdessä riittävän suuren karkeistetun koko-naisuuden (=makroskooppinen kappale), kokonaisuus kääntyy avaruudessa mitansäilyttävä-nä, kuten pian osoitetaan. Myös valo käyttäytyy kuin avaruus olisi isotrooppinen. Siitä lisää hieman myöhemmin.

46

a = tan . 1 + tan

b = cos = 1 - tan . sin + cos 1 + tan

a + b = tan + cos = 1 1 + tan sin + cos

[BC] = 1 = S. sin + cos

Seuraava kuva esittää 2-ulotteisessa tasossa havaintoavaruuden ja absoluuttisen avaruuden mittasuhteita. Absoluuttisen avaruuden janaa BC vastaa havaintoavaruudessa jana AC, kun tarkastelun keskipisteenä on piste C. Kulmalla = 0 pätee BC = AC. Jana BC voidaan esittää janojen a ja b summana a + b, kun a b. Kuvasta huomataan, että myös jana AC voidaan esittää summana a + b, kun a ja b ovat skalaarisuureita eli avaruudessa keskenään saman-suuntaisia. Niinpä pituus absoluuttisessa avaruudessa voidaan kirjoittaa avaruuden pääakselien suuntaisten komponenttien eli vektoreiden avulla

S = a + b + c kun a b c.

Vastaavasti havaintoavaruuden pituudelle ℓ voidaan kirjoittaa skalaarisuureiden avulla

ℓ = a + b + c.

Havaintoavaruudessa ei voida tietää vektoreiden a, b ja c pituuksia eikä suuntaa, mutta niiden skalaarisumma ℓ tiedetään. Mitta ℓ on skalaari, koska sen suunnalla ei ole merkitystä havaintoavaruuden isotrooppisuudesta johtuen. Niinpä voidaankin todeta, että mikä tahansa absoluuttisen avaruuden pituus S voidaan muuntaa havaintoavaruuden mitaksi ℓ muuttamalla absoluuttiset vektorikomponentit samanpituisiksi skalaarikomponenteiksi.

Havaintoavaruuden mitan ℓ ja vastaavan absoluuttisen avaruuden pituuden S suhde riippuu kulmasta ja on

ℓ = S (sin + cos ) .

A

B

C

y

x

ℓ = 1

b

a

a

Sb

47

Tarkastellaan lähemmin tapaa, jolla absoluuttinen avaruus supistuu kappaleen vaikutuksesta. Tarkastelu tehdään ensin staattisessa tilanteessa, jossa kappale on paikoillaan Manhattan-metriikan suhteen ja myöhemmin tarkastellaan yleisemmin Manhattan-metriikassa liikkuvan kappaleen avaruuteen aiheuttamia paikallisia dynaamisia muutoksia. Havainnot ovat näissä molemmissa tapauksissa samat.

Viereinen periaatteellinen kuva esittää tasaiseen 2- ulotteiseen absoluuttiseen avaruuteen ( Manhattan-metriikkaan) aineesta valmistettua punaista neliötä, joka on supistuttuaan muuttunut vihreää ympyrää muistuttavaksi kiekoksi ja supistanut kuvan Manhattan-avaruuden mukanaan. Supistumisen absoluuttinen määrä riippuu materian laadusta ja määrästä. Supistuminen on suurinta Manhattan-metriikan pääakselien suunnissa ja ulottuu heikentyen periaatteessa äärettömän kauas.

Supistuneessa avaruudessa nähtynä neliö on edelleen neliö.

Ainoastaan osa supistuneen avaruuuden kaareutuneista (sinisistä) akseleista on esitetty kuvassa. Kuva on harhaanjohtava siinä mielessä, että kuvan havaitsemattoman Manhattan-metriikan pisteet eivät ole yksikäsitteisiä havaintoavaruudessa eli niillä ei ole paikkaa havaintoavaruudessa.

Makroskooppisen kappaleen kuten sauvan kääntäminen absoluuttisessa oktaedrien avaruu-dessa vaatii sauvan absoluuttisen pituuden muuttumista, jotta kappaleen osat eivät seuraisi rotaatiossa oktaedrien pintaa. Toisaalta sauvan pituus ei saa muuttua mitattavalla tavalla eli havaintoavaruudessa. Valon kulkuaika sauvan suunnassa ei saa muuttua. Siksi sauvan pituus muuttuu vain tasaisen avaruuden suhteen, mutta pituus säilyy supistuvassa ja laajenevassa kompleksiavaruudessa, joka on myös valon etenemisreitti.

Kun sauvan absoluuttinen pituus tasaisen avaruuden suhteen muuttuu rotaatiossa ja pääakse-lien suuntia ei havaita, ei myöskään tiedetä absoluuttisen pituuden muutoksen hetkellistä suuruutta. Niinpä absoluuttisen avaruuden mittoja ei voida käyttää, vaan mitta on aina havaintoavaruuden mitta. Myöhemmin käytettävät absoluuttisen avaruuden laskennalliset mitat ilmoitetaan selvyyden vuoksi aina 3D-pinnan pääakselien suuntaisina projektioiden pituuksina, esim. pituus d, joka on havaitsijalle aina vakio.

Avaruuden supistumisella on keskipiste (painopiste), johon supistumisen aiheuttavat voimavektorit Manhattan-metriikassa suuntautuvat. Vektorien suunnat ovat uusia suuntia ja samalla supistumisen luoma emergentti asia Manhattan-metriikassa.

48

Kentät ovat kvantittuneet, kuten myöhemmin osoitetaan.

Tarkastellaan materian tapaa supistaa avaruutta tasaisen avaruuden suhteen. Massa on ekvivalentti energian kanssa ja energian tiedetään kaareuttavan avaruutta. Jokainen spin-½-hiukkanen vuorovaikuttaa kompleksiavaruuden kanssa luoden siihen supistumispotentiaalin, joka on vastuussa Manhattan-metriikan supistamisesta tasaisen avaruuden suhteen.

Materian eli vuorovaikutuskentän läsnäolo avaruudessa muuttaa paikallisesti hilajonojen kulmaa kompleksiavaruudessa. Samalla hilajonojen tiheys paikallisesti kasvaa. Edellä esitelty kompleksiavaruuden hilakoppi muuttaa muotoansa venymällä tai supistumalla. Materia siis muuttaa paikallisesti 3D-pinnan ja sen ulkopuolella sijaitsevan hila-avaruuden muodon ja tiheyden.

Makroskooppinen kappale

Hilan tiheys ja hilajonojen kulma muuttuvat paikallisesti kappaleen sisällä aiheuttaen samalla paikallisen muutoksen aaltofunktioiden vaiheisiin. Muutos edellyttää jonkin voimakentän läsnäoloa.

Hilajonot

Viereinen yksinkertaistettu kuva esittää, kuinka sauvan läsnäolo avaruudessa aiheuttaa eri suunnissa kompleksiseen hila-avaruu-teen muutoksen. Akselit Xp ja Yp ovat kompleksiavaruuden pääakselien projektioita 3D-pinnalla. Akselit x ja y ovat 3D-pinnan akseleita. Kuvassa nuolten pituus ilmaisee hila-avaruuden supistumisen määrää tasaisen avaruuden suhteen sauvan ollessa neljässä eri suunnassa. Huomataan, että supistumisen määrä on suhteellisesti pienin 3D-avaruuden pääakselien x ja y suunnissa.

Tarkastellaan seuraavaksi makroskooppisen kappaleen rotaatiota solurakenteisessa avaruu-dessa, joka ei ole isotrooppinen, mutta kappale kääntyy siinä mitansäilyttävänä ja saa havainto-avaruuden näyttämään isotrooppiselta.

Kompleksiavaruuden pääakselit ovat tasaisessa avaruudessa 45 asteen kulmassa 3D-pintaa sekä 4.D:tä vastaan. Tarkastellaan sauvaa, joka kääntyy avaruudessa keskipisteensä ympäri. Kääntyminen aiheuttaa muutoksen hilajonojen paikalliseen tiheyteen ja samalla hilan liikkumisen tasaisen avaruuden suhteen. Muutoksen absoluuttisella määrällä ei tässä ole merkitystä, vaan muutoksen suhteellisilla eroilla sauvan eri suunnissa. Näitä eroja on mahdollista kuvata geometrisesti. Avaruus ei supistu tai laajene minkään olemassa olevan taustan suhteen vaan itsensä suhteen, jolloin Manhattan-metriikan kulmat muuttuvat.

y

x

Xp

Yp

49

y

x

Xp

Yp

y

x

Xp

Yp

Kuvassa alhaalla on tyhjä tasainen 3D-avaruus ja hilajonoja punaisella sen ulkopuolella kompleksiavaruudessa. Alempi kuva esittää avaruutta kappaleen kohdalla. Kappaleen keskipiste on origossa. Hila-avaruuden hilajonot ovat kuvassa jyrkemmässä kulmassa kappaleen keskipisteen molemmin puolin. Hila-avaruus on supistunut kappaleen kohdalla Xp-akselin suunnassa. Makroskooppinen kappale itse supistaa itsensä ja samalla Manhattan-metriikan paikallisesti kompleksiavaruuden pääakselien projektioiden suunnissa.

1

-1 1

-1 Xp

Yp

y

x

Kappaleen aiheuttama avaruuden paikallinen supistuminen eri suunnissa. Vektorin suunnassa kompleksiavaruuden suhteellisen supistumisen määrä on suurempi kuin 1, kuten myöhemmin osoitetaan.

50

y

x

4.D

x

y

Paikallisesti supistuneeella 3D-pinnalla liikemäärä säilyy tasaisessa avaruudessa nähtynä. Kuvassa 2-ulotteinen esitys. Kulmien ja janojen pituuden avulla kaareutunut pinta voidaan aina palauttaa tasaiseksi avaruudeksi.

3D-pinnnan kaarevuus 4.D:n suuntaan vaikuttaa kappaleen liikemäärään gravitaatiovoimalla.

Havaintoavaruuden syntyyn vaikuttavat valon ja materian käyttäytyminen supistuneessa Manhattan-metriikassa. Newtonin mukaan kappaleen liikemäärä on säilyvä suure tasaisessa havaintoavaruudessa. Liikemäärän säilyminen on perustavaa laatua oleva avaruuden ominaisuus ja tarkoittaa, että supistuneessa 3D-pinnan Mahattan-metriikassa nähtynä liikemäärä ei lokaalisti säily. Seuraava kuva esittää kaareutunutta 3D-pintaa, joka on tasainen 4D:n suunnassa. Tällä pinnalla kappale kulkee tasaisessa avaruudessa nähtynä suoraan, mutta Manhattan-metriikassa nähtynä mutkittelee. Tämä kappaleen liikemäärän ominaisuus, joka itse asiassa on avaruuden ominaisuus, vaikuttaa euklidisen havaintoavaruuden syntymiseen.

Edellisen lisäksi monet muut (esim. dynaamiset) seikat ovat vaikuttamassa havaintoavaruuden syntymiseen. Niitä tarkastellaan myöhemmin D-teoriasa.

Kappaleen oma vaikutus avaruuteen puuttuu kuvasta. Kappaleen liikemäärä ilmenee kappaletta ympäröivän lokaalin 3D-pinnan kaarevuuden suunnassa ja määrässä. Siten tässä tarkastelussa kappale voidaan ymmärtää avaruudessa etenevänä suunnattuna ja lokalisoituneena aaltopakettina. Sensijaan avaruuden kaareutuminen eli staattinen vajoaminen 4.D:n suunnassa merkitsee staattista kiihtyvyyskenttää, joka muuttaa kappaleen liikemäärän gravitaatiokiihtyvyyden vuoksi. Gravitaatio on kuitenkin voiman aiheuttajana hyvin heikko muihin perusvoimiin verrattuna.

51

Sauvan lyheneminen tasaisen avaruuden suhteen hila-avaruuden supistumisen vuoksi on sekä absoluuttinen että eri suunnissa suhteellinen. Kun sauva kääntyy, sen pituuskomponentti Lx pääakselin Xp suunnassa muuttuu tietyllä tavalla. Pituudelle Lx

saadaan, kuten kuva osoittaa.

Lx = √ 2 L cos(45º - )

= L (sin + cos )

Tarkastellaan seuraavan kuvan kahta origot päällekkäin asetettua Manhattan-metriikkaa koordinaatistoissa (X,Y) ja (Xp,Yp), joista ensimmäinen on osa 3D-pintaa ja jälkimmäinen on kompleksiavaruuden akselien projektio 3D-pinnalla. Koordinaatistot ovat 45º kulmassa toisiinsa nähden. Tasoon 3D-pinnalle on asetettu jäykkä origon suhteen kääntyvä sauva. Tarkastellaan sauvan pituuden muutosta molemmissa koordinaatistoissa.

Olkoon sauva materian ominaisuuksista johtuen absoluuttisesti supistunut Xp-akselin suunnassa. Pienintä arvoa supistumisen määrälle ei voida määritellä, kuten ei voida määritellä rajaa makroskooppisten ilmiöiden pienimmälle mittakaavallekaan. Supistumisen määrän muuttuminen sauvan rotaatiossa kulman eri arvoilla saa avaruuden näyttämään isotrooppiselta, kuten seuraavalla sivulla kuvataan.

45º -

DX

Lx = √2 L cos(45º - )

√ 2 L

Kuvassa sauva kääntyy pisteen D ympäri. 3D-pinnan pääakselit X ja Y ovat kuvassa vaaka- ja pystysuunnassa. Sauvan pituuden supistuminen tapahtuu Xp-akselin suunnassa uralta ABC ympyränkaarelle AEC. Sauvan lyhenemä on FE. Vaihtoehtoisesti sauva näyttää pitenevän Xp-akselin suunnassa janalta AC ympyränkaarelle AEC.

Xp

L

SauvaC

B A

Jos sauva ei supistuisi, sauvan päiden rata kulkisi rotaatiossa lineaarisesti joko (1.) pisteiden A, B ja C kautta tai (2.) pisteiden A ja C välistä janaa pitkin riippuen siitä, määrääkö pituuden yksin (1.) supistumaton kompleksiavaruus (Xp,Yp) tai yksin (2.) supistumaton 3D-pinta (X,Y) . Sauvan pituuden tasaisen avaruuden suhteen määrää kuitenkin absoluuttisen avaruuden lokaali supistuminen kompleksiavaruuden Manhattan-metriikan pääakselien Xp ja Yp suunnissa uralta ABC kaareksi AEC. (Vastaavasti uralla AC sauva näyttää kääntyessään pitenevän samassa suunnassa kaareksi AEC.)

3D-pinnan pääakselien X ja Y suuntaista avaruutta supistavaa voimaa ei avaruudessa esiinny. Värivoima eli vahva ydinvoima esiintyy 3D-pinnassa, mutta sen kantama on erittäin lyhyt.

L

Yp

Y

E

F GL

52

L=1

√ 2L

1

Lx

D

Y

X

L = 1

Xp

Yp

A

Jotta solurakenteinen avaruus näyttäisi isotrooppiselta, on sauvan suhteellisen lyhenemän oltava rotaatiossa edellä esitetyn kaltainen! Tarkastellaan seuraavaksi, onko niin. Seuraavassa kuvassa janan AD pituus kuvaa avaruuden supistumisen määrää havaintoavaruudessa kulman eri arvoilla 0 <= <= 90º. Janan päätepisteiden ura on punaisella ympyränkaarella. Kuvassa janan AD pituus on sama kuin pituus Lx

√ 2 L cos(45º - ) = L(sin + cos ) = Lx = AD

Tulos: jana AD kuvaa sauvan ED supistumista Xp-akselin suunnassa kulman eri arvoilla.

E

1

-1 1

-1

Xp Yp

Y

XKappaleen aiheuttama avaruuden paikallinen supistuminen eri suunnissa suhteellisesti. Vektorin suunnassa kompleksiavaruuden suhteellisen supistumisen määrä on suurempi kuin 1. Supistuminen heikkenee etäisyyden neliössä.

√ 2L

53

Jana AD kuvaa seuraavassa kuvassa pituuden muutosta nähtynä havaintoavaruudessa Xp-akselin suunnassa verrattuna johonkin vakiopituuteen. Tässä suunnassa vakiopituutta edustaa jana BD, jonka projektio Xp-akselilla on vakiojana. Muutos, jonka suhteellista määrää Xp-akselin suunnassa jana AD kuvaa, suhteutetaan janan BD projektioon kaikilla :n arvoilla. Janan AD pituudella kerrotaan janan BD pituus, jolloin saadaan neliöllinen pituus SD². Ottamalla neliöjuuri saadaan arvo, joka vastaa janan SD pituutta seuraavassa kuvassa.

√ AD x BD = SD

Kuva esittää sauvan rotaatiokulmaa havaintoava-

ruudessa 3D-pinnan pääakselien X ja Y suhteen. Sauvan piste S liikkuu rotaatiossa sinisellä ympyrän kaarella.

Janojen AD ja BD geometrinen keskiarvo on janan SD pituinen kaikilla kulman arvoilla. Niinpä havaintoavaruus näyttää isotrooppiselta eli on ns. palloavaruus.

Sama pätee myös muissa mittakaavoissa.Esim. janojen AD ja HD geometri-sena keskiarvona syntyy jana KD kaikilla kulman arvoilla.

AD = √ 2 cos(45º - ) BD = 1 SD = √ AD x BD = √ 2 cos(45º - ) = 1 = sin + cos sin + cos sin + cos

kaikilla :n arvoilla.

45º -

A

B

D

X

Y

S

1

K

H

HD = 2 KD = √ AD x HD = 2√ 2 cos(45º - ) = √ 2 sin + cos sin + cos

kaikilla :n arvoilla.

Pisteet S ja K kulkevat sauvan rotaatiossa 3D-pinnalla murtoviivaa pitkin pinnan Manhattan-metriikasta johtuen.

Kompleksisen hila-avaruuden supistuessa pääakseliensa projektioiden suunnissa vastustaa 3D-pinta muutosta jokaisessa lähiavaruuden pisteessä omien pääakselisa suunnissa. Supistumisen määrä löytää tasapainoaseman, jonka ympärille kappaleen koko jää värähtelemään myöhemmin kuvattavalla tavalla.

Xp

54

Tarkastellaan avaruutta supistavien ja supistumista vastustavien voimien tasapainoa jossakin mielivaltaisessa pisteessä supistumiskeskipisteen ympäristössä. Seuraava kuva esittää supistumiskeskipisteen ja ja sitä kohti osoittavan voimavektorin Fc 3D-pinnan (x,y)-koordinaatistossa. Voimavektori kuvaa avaruutta supistavaa potentialia. Se on energisen eli massallisen kappaleen vuorovaikutusten kompleksiseen hila-avaruuteen luoma. Se on summavektori, jonka komponentit ovat kompleksiavaruuden pääakselien projektioiden Xp ja Yp suuntaiset, ja suuntautuu kohti supistumiskeskipistettä. Summavektorien suunnat luovat Manhattan-avaruuteen uusia suuntia (emergenssi).

Voimavektoria Fc vastustavat voimat ovat kuvassa 3D-pinnan muodonmuutosta vastustavia voimia a ja b. Ne ovat kuvassa 3D-pinnan pääakselien x ja y suuntaisia ja tarkasteltavan pisteen asema määrää niiden keskinäisen suuruuden. Kuvasta nähdään, että tasapainoasemassa kaikkien vektoreiden summa on nolla.

Fc

y

-x

Fc = a + b

a = yo Fc sin b = xo Fc cos

Vektorit xo ja yo ovat yksikkövektoreita.

a + b = Fc (sin + cos ) ~ AD = Lx

Huomataan, että supistumista vastustava ja sitä aiheuttava voima kussakin avaruuden pisteessä ovat samaa muotoa kuin edellä supistumisen suhteellista määrää eri kulmilla kuvaava jana AD. Se tarkoittaa, että supistuminen syntyy voimien tasapainosta kaikilla kulmilla .

a

b

Supistumiskeskus

Tietyllä kulmalla kompleksiavaruuden voima Fc(,r) heikkenee havaintoavaruudessa nähtynä etäisyyden r neliössä.

Kappaleen koko eli supistumisen määrä värähtelee tasapainoaseman ympärillä, kuten myös avaruus sen ympärillä, taajuudella, joka riippuu kappaleen koosta, ja amplitudilla, joka riippuu kappaleen massasta. Värähtely synnyttää avaruuteen neutraalin gravitaatioaallon, jota kuvataan tarkemmin myöhemmin D-teoriassa. Gravitaatioaallolla on merkitys havaintoavaruuden syntymisessä.

Fca

ba

b

Fc

Summavektorien Fc suunnat luovat Manhattan-avaruuteen uusia suuntia.

55

Tässä yhteydessä ei ole otettu yksityiskohtaisemmin kantaa jäykän sauvan rotaatiossa materiaan liittyviin voimiin kuten sähkömagnetismiin ja gravitaatioon. Makroskooppisessa kappaleessa sähkömagnetismi on keskeinen tekijä kappaleen sisäisessä rakenteessa kvantti-ilmiöiden tasolla. Myöhemmin kuvataan yksityiskohtaisemmin kompleksiavaruuden supistuminen sähkö- ja magneettikentässä.

Spin-½-hiukkasen supistaessa ympäröivää avaruutta kohti jotakin keskipistettä syntyy avaruuteen supistumispotentiaali U(r). Potentiaali heikkenee 3D-pinnan suuntaisesti kääntäen verrannollisesti etäisyyteen absoluuttisessa avaruudessa nähtynä. Potentiaalin derivaatta dU(r)/dr on 4.D:n suuntainen, joten potentiaaliin ei liity havaittavaa voimakenttää vaan ainoastaan energia E = mU(r). Potentiaali syntyy hilajonojen ja 3D-pinnan välisten kulmien kasvaessa kohti suoraa kulmaa. Potentiaali sisältää hiukkasen kokonaisenergian E = mU(r) = mc², jossa massa m on hiukkaselle/kappaleelle ominainen skaalauskerroin.

Supistumispotentiaali on eri asia kuin gravitaatiopotentiaali, jonka suuruus yksittäiselle hiukkaselle on supistumispotentiaaliin verrattuna luokkaa 10 -38. Kappaleen koon ja massan kasvaessa gravitaatiopotentiaalin osuus kokonaispotentiaalista kasvaa ja on siitä tasan puolet mustassa aukossa kuten myöhemmin osoitetaan.

Avaruuden supistuminen luo kompleksiavaruuteen potentiaalin U(r). Potentiaali on hiukkasen oma potentiaali. Sen sisällä on hiukkasen ympärilleen emittoima seisova poikittainen Compton-aalto, jossa avaruus aaltoilee. Hiukkasen Compton-aaltoilu vaimenee ja heijastuu potentiaalista takaisin kohti keskipistettä. Seisova aalto ei kuljeta energiaa mukanaan, mutta sisältää amplitudissaan hiukkasen kokonaisenergian

E = hf = hc = mc²

= h , mc

joka on hiukkasen Compton-aallonpituus.

Compton-aalto on poikittaisaalto 4.D:n suunnassa.

Myöhemmin kuvataan kuinka hiukkasen Compton-aaltoilu havaitaan vuorovaikutustilanteessa de Broglie-aineaaltona, jonka aallonpituus riippuu vuorovaikutuksen liikemäärästä. Aalto kuvataan myös Schrödingerin aaltoyhtälön avulla. Aaltoyhtälön ratkaisuna saatava aaltofunktio kuvaa absoluuttisen Manhattan-metriikan jaksollisen liikkeen tasaisen havaintoavaruuden suhteen.

Makroskooppisten kappaleiden yhteydessä lukuisista Compton-aalloista summautuva aaltoilu ilmenee ns. neutraalina gravitaatioaaltona, jota ei ole mahdollista havaita suoraan ja joka ei siirrä energiaa. Neutraalilla gravitaatioaallolla on pitkittäis- ja poikittaiskomponenttit. Pitkittäiskomponentti ilmenee gravitaatiopotentiaalina, joka hidastaa ajan ja lyhentää paikallisen pituuden, kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan. Neutraalin gravitaatioaallon paikallinen pituus määräytyy avaruuden paikallista kaarevuutta kuvaavan suureen ns. suhteellisen pituuden Rs/R mukaan. Tässä Rs on Schwarzschildin säde ja R kappaleen säde.

r

- U(r)

Hilajono

56

Kuva esittää hiukkasen seisovaa Compton aaltoa, joka vaimenee supistumispotentiaalin U(x) mukana. Gravitaatiopotentiaali V(x) 0, sillä absoluuttisen avaruuden horisontaalinen pitkittäisliike x on paikallinen. Antihiukkasen vastaava aalto on spin-½-hiukkasilla 360 asteen vaihesiirrossa 720 asteesta eli aallon kuvassa eroa ei synny. Kuvassa ei ole huomioitu, että aallonpituus kasvaa amplitudin ja potentiaalin U(x) vaimentuessa. Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (F5).

4.D

Seuraava kuva esittää yhden 3D-pinnalla sijaitsevan hiukkasen 4.D:n suuntaisen liikkeen ja siitä seuraavan poikittaisen seisovan aaltoliikkeen ja lokaalin pitkittäisliikkeen syntymisen. Kuvan vihreät pisteet esittävät 3D-pinnan Manhattan-metriikan soluja. Aallon pohjalla solut ovat supistuneet lähemmäksi toisiaan kuin aallon huipulla. Tästä syntyy jokaiseen aaltoon solmukohdan ympärille paikallinen Manhattan-metriikan siirtymä x tasaisen avaruuden suhteen.

Jos tarkastellaan vain 3D-pinnan suuntaista liikettä, havaitaan 3D-pinnan solujen liikkuvan aaltomaisesti edestakaisin matkan x tasaisen x-avaruuden suhteen. Liikkeen amplitudi x on paikallinen ja siten liikkeen synnyttämä gravitaatiopotentiaali V(x) 0. Siirtymälle saadaan x(x,t) = A cos (kx -t ), kun poikittaisaalto on (x,t) = A sin (kx -t ). Siirtymän nopeusosa on

(x) = ² (x,t) = - A k² sin (kx -t ) x x²

Siten poikittaisaallon (x,t) toinen derivaatta vastaa avaruusaallon horisontaalista nopeus-osaa tasaisen avaruuden suhteen. Supistumispotentiaali U(x) vastaa potentiaaliosaa. Aaltofunktio (x,t) kulkee seisovassa aallossa vastakkaisiin suuntiin. Kuva ei esitä mitään tiettyä hiukkasta vaan on yleinen periaatteellinen malli kaikille spin-½-hiukkasille.

x

x

Pinnan solun liikeratojaHiukkanen

Compton-aallon amplitudi on aina c². D-teorian mallin mukaan 4.D:n suuntainen suure kuvataan epäsuorasti nopeuden neliönä v². Siinä suunnassa avaruudella on reuna ja maksimiarvo. Maksimi on c², joka on samalla nopeuksien maksimi.

Makroskoopisessa kappaleissa lukuisten massapisteiden Compton-aaltojen yhteisvaikutuk-sesta syntyvä summa-aalto ei ole seisova aalto ja sisältää myös pinnan suuntaisen pitkittäis-aallon siten, että merkittävimillään pitkittäisaallon komponentti on mustassa aukossa. Siinä aallon luoma gravitaatiopotentiaali on puolet kokonaispotentiaalista. Aallosta lisää myöhemmin D-teoriassa.

c²

4.D (x,t)

x

x=0

57

Schrödingerin yhtälö alkeishiukkasille

Yhtälö kuvaa yksittäisen hiukkasen ympärilleen luomaa aineaaltoa, jossa absoluuttinen avaruus aaltoilee tasaisen avaruuden suhteen. Yhtälö kirjoitetaan yksiulotteisessa muodossa jonkin potentiaalin U(x) rajoittamalle hiukkaselle inertiaalikoordinaatistossa

- ħ² ² (x,t) + U(x) (x,t) = i ħ (x,t) 2m x² t

Tästä differentiaaliyhtälösta ratkaistaan kompleksinen aaltofunktio (x,t). Yhtälössä m on hiukkasen massa ja ħ = h / 2 on Planckin vakio ja i on imaginääriyksikkö.

Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muotoon

Ek + Epot = E

missä Ek on hiukkasen liike-energia, Epot on potentiaalienergia ja E on vakioenergia. Schrödingerin yhtälössä liike-energian termi Ek vastaa absoluuttisen avaruuden horisontaa-lisen nopeuden liike-energiaa eli kompleksisen aaltofunktion (x,t) poikittaisen osan T(x,t) = i A sin(kx-t+) negatiivista toista derivaattaa

- ħ² ² T(x,t) = A k² sin (kx -t + ) = Ek. 2m x²

, kun ħ²/2m = A ja k = 2/ .

Potentiaalifunktio U(x) ilmoittaa potentiaalin arvon jokaisessa pisteessä x. Potentiaalifunktio U(x) oletetaan lokalisoituneeksi äärelliseen alueeseen. Sen sisällä havaitsemattoman hiukkasen todellinen paikka leviää absoluuttisen avaruuden epälineaarisuuden vuoksi. Jos hiukkanen on vapaa, sen aaltofunktio leviää samasta syystä kaikkialle euklidiseen havaintoavaruuteen.

0/2

x

A Ek

Epot

E

Kuvassa lasketaan yhteen aallon horisontaalinen nopeusosa Ek ja kohtisuora potentiaaliosa Epot. Summaksi saadaan vakio eli ympyrän säteen suuntainen kokonaisenergia E. Potentiaaliosan U(x) muoto määrää aallon muodon havaintoavaruudessa.

Jos ulkoista potentiaalia U(x) ei ole lokalisoimassa hiukkasta havaintoavaruuteen, aineaallon leviämisen absoluuttisessa Manhattan-metriikassa määrää sen oma supistumispotentiaali U(r), joka vaimenee etäisyyden mukana. Supistumispotentiaalin muodon Manhattan-metriikassa määrää kunkin hiukkasen oma geometria. Kuitenkin absoluuttisen avaruuden neliöllisyydestä eli epälineaarisuudesta johtuen vapaan hiukkasen aaltofunktio leviää kaikkialle lineaariseen havaitoavaruuteen, kuten myöhemmin osoitetaan.

Aaaltoyhtälön ratkaisuna saatava kompleksinen aaltofunktio kuvaa absoluuttisen kompleksi-avaruuden pisteiden liikkeen tasaisessa euklidisessa havaintoavaruudessa, jota ei substanssina ole olemassa. Neliöiminen siirtää aaltofunktion amplitudin havaintoavaruuteen.

Kvanttiteorian kehittäjät ovat olleet epävarmoja, onko aaltofunktiolla fysikaalista vastinetta todellisuudessa vai onko se vain matemaattinen olio.

x

58

Sauvan pyörimisliike saa kompleksisen Manhattan-avaruuden supistumaan ja laajenemaan eli liikkumaan jaksollisesti kuvitellun tasaisen avaruuden suhteen edestakaisin. Silloin kaikki ympäristön hiukkaset tulevat tehneeksi kompleksisessa hilassa ylimääräisen matkan. Ne eivät liiku kompleksisen hilan mukana, vaan säilyttävät liikemääränsä myöhemmin kuvattavalla tavalla. Suhteellisuusteorian mukaan matkalla olevan kappaleen aika hidastuu ja pituus lyhenee. Ilmiö on heikko ja sen epäsuoraankin havaitsemiseen vaaditaan suuria nopeuksia ja massoja. Silti pienikin kappale lähettää gravitaatioaaltoja.

Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (F5).

Neutraali gravitaatioaalto sisältää absoluuttisen avaruuden liikkeen tasaisen euklidisen avaruuden suhteen, mutta ei minkään taustan suhteen. Euklidinen avaruus on tässä yhteydessä havaintoavaruus, jota ei varsinaisesti ole olemassa. Aalto on nelikantaisessa avaraudessa sekä pitkittäinen että poikittainen. Kappaleet eivät aallossa liiku absoluuttisen avaruuden mukana edestakaisin vaan säilyttävät liikemääränsä havaintoavaruudessa nähtynä. Silloin ne tulevat tehneeksi ylimääräisen matkan absoluuttisessa avaruudessa. Ylimääräinen matka hidastaa niiden ajan kulumista ja lyhentää pituutta, kuten seuraavissa kappaleissa lähemmin tarkastellaan. Gravitaatioaallon vaikutus etenee valon nopeudella.

Neutraali gravitaatioaalto

Tarkastellaan seuraavaksi makroskooppisen kappaleen ympärilleen emittoimaa aaltoa. Absoluuttisen avaruuden liike tasaisen avaruuden suhteen aiheuttaa ilmiön, jota kutsutaan gravitaatioaalloksi. Ilmiö liittyy kaikkiin massan omaaviin hiukkasiin.

Tasaisessa liikkeessä tai levossa oleva massan omaava kappale emittoi jatkuvasti neutraaleja gravitaatioaaltoja ympäristöönsä. Ne eivät kuljeta mukanaan energiaa vaan ovat sähkökentän virtuaalisten fotonien tapaan vuorovaikutuksen väline. Gravitaatioaallon kohdalla ajankuluminen hidastuu ja pituus lyhenee. Yksittäisen hiukkasen yhteydessä vastaavalle aallolle määritellään Compton-aallonpituus ja vuorovaikutustilanteessa liikemäärästä riippuva de Broglie-aallonpituus.

Kiihtyvässä liikkeessä olevissa järjestelmissä avaruuteen syntyy energinen gravitaatioaalto, joka on polarisaaationsa vuoksi eri asia kuin neutraali aalto, kuten myöhemmin kuvataan.

Tarkastellaan pyörivää sauvaa. Sauva voidaan katkaista painopisteensä kohdalta kahteen yhtäsuureen osaan ja keskittää sauvan osien massat niiden kummankin painopisteeseen. Näin saadaan pyörivä järjestelmä, jossa kaksi samanmassaista kappaletta kiertää yhteistä painopistettä. Yleisen suhteellisuusteorian mukaan tällainen pyörivä järjestelmä säteilee ympäristöönsä energisiä gravitaatioaaltoja. Seuraavassa kuitenkin tarkastellaan vain aaltoliikkeen neutraalia osaa.

59

Avaruuden liikkeeseen tasaisen avaruuden suhteen liittyy aina avaruuden epäsymmetria ja kaltevuus horisontaalitason suhteen. Siellä missä avaruus supistuu tai laajenee kappaleen ohituksen vuoksi, avaruus on paikallisesti kalteva ja kaltevuus merkitsee aina kiihtyvyyskent-tää. Niinpä supistuva tai laajeneva avaruus vuorovaikuttaa aina ympäristönsä kappaleiden kanssa kiihtyvyyskentän kautta. Kappaleet absoluuttisessa Manhattan-metriikassa kokevat edestakaisen kiihtyvyyden toisen kappaleen ohittaessa ne. Havaintoavaruudessa kappaleet sensijaan näyttävät pysyvän paikoillaan tai jatkavan liikettään. Ne säilyttävät liikemääränsä havaintoavaruudessa nähtynä. Tarkastellaan seuraavaksi havaintoavaruuden syntymistä liikemäärän säilymisen kautta.

Kuva esittää avaruuden pitkittäisen ja poikittaisen aaltoliikkeen ja siihen liittyvän avaruuden supistumisen ja laajenemisen. Aaltoilevaan avaruuteen liittyy aina kaltevuus horisontaalitason suhteen. Kaltevuus on suurin siellä, missä avaruuden liikenopeuden muutos on suurin. (Siirtymän 2. derivaatta eli kiihtyvyys)

pinnan kiihtyvyys horisontaalitason suunnassa

0avaruuden horisontaalisen siirtymän 2. derivaatta

pinnan nopeus horisontaalitason suunnassa

0avaruuden horisontaalisen siirtymän 1. derivaatta

pinnan korkeus poikittaisaallossa

0

Poikittainen siirtymä. Ympyrä kuvaa pinnan solun liikkeen ja aseman.

Kappaleen liikkuessa Manhattan-metriikan suhteen syntyy jossakin avaruuden pisteessä lähellä kappaletta avaruuden supistuminen ja laajeneminen ja siihen liittyvä tyhjän avaruuden liike ja kaareutuminen tasaisen avaruuden suhteen. Avaruuden pitkittäinen ja poikittainen liike edestakaisin jonkin liikkuvan kappaleen lähistöllä viittaa kappaleen aaltomaiseen käyttäytymiseen. On kuin aalto kulkisi avaruuden läpi. Aaltoon liittyy aina nopeudesta riippuva vuorovaikutus, sillä aalto aiheuttaa kiihtyvyyden, kuten tyhjä kaareva avaruus Suhteellisuusteorian mukaan kiihtyvyyskentässä tekee.

Horisontaalisiirtymä eli aalto 90º vaihe-erolla poikittaisaaltoon nähden

Laajentuma SupistumaA sin x

- A cos x

- A sin x

pinnan siirtymä horisontaalitason suunnassa

0

A cos x

/2

60

Liikemäärän säilyminen Manhattan-metriikassa

Veden pinnalla etenevä symmetrinen aalto ei vaikuta pinnalla kelluvan kappaleen liikemää-rään kuin hetkellisesti. Jos virtauskitka oletetaan nollaksi, kappale saa painovoiman ansiosta aallon nousevalla reunalla ensin kiihtyvyyden aallon etenemissuuntaan ja kohta laskevalla reunalla kiihtyvyyden vastakkaiseen suuntaan. Tämän jälkeen kappale pysyy paikoillaan tai jatkaa entistä liikettään.

v

Edellisessä esimerkissä sekä kappaleella että aallolla on oma liikemääränsä. Niitä voidaan tarkastella eri tapauksina.

D-teorian mallissa jokaiseen kappaleeseen ja hiukkaseen, jolla on massa (= energiaa), liittyy 3D-pinnassa esiintyvä aalto ja sen potentiaali. Kappale itse koostuu vain joukosta jaksollisesti avaruutta lokaalisti kaareuttavia aaltoja (eli alkeishiukkasia), kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan. Kappaleessa aallon ne komponentit, jotka ovat 3D-pinnan suuntaisia, määräävät kappaleen liikemäärän. Mitä epäsymmetrisempi aalto on jossakin 3D-pinnan suunnassa, sitä suurempi on kappaleen nopeus pinnan suhteen. Epäsymmetriaa kuvataan ellipsin avulla. Aallon liikemäärä säilyy ellei jokin vuorovaikutus, kuten vaikka heijastuminen, sitä muuta. Avaruuden 3D-pinnalla etenevä aaltoliike ja sen liikemäärän säilyminen ovat avaruuden ominaisuus.

kappaleen liikemäärä p = mvg

Periaatekuva epäsymmetrisestä aallosta ja sen faasiavaruudesta. Kappaleen koordinaatiston kiertyminen havaitsijan koordinaatistoon nähden on suhteellinen sillä valon nopeus c on aina kaikille sama. Ellipsin eksentrisyys e = v / c. Absoluuttinen nopeus w kuvataan myöhemmin. Ellipsin pinta-ala kuvaa energian määrää.

Kappaleen liikkuessa 3D-pinnan suhteen nopeudella v muuttuu kappaleen aalto elliptiseksi ja kappaleen oma koordinaatisto kiertyy kulman verran. Koordinaatiston kiertymän kulmaker-roin on v/w ja v w. Kun aina kaikilla v:n arvoilla pätee c² = v² + w², on nopeusvektori c myös kappaleen koordinaatistossa aina kohtisuorassa 3D-pintaa vastaan. Siten nopeusvektori c osoittaa kaikissa koordinaatistoissa 4.D:n suunnan. Jokaisella kappaleella on oma koordinaatistonsa, joka kiertyy kappaleen suhteellisen nopeuden mukaisesti. Koordinaatisto on siis suhteellinen ja määrää kappaleiden suhteelliset erot, jotka voidaan havaita.

e = v / c

c = w

v = 0v

w

c

c² = v² + w²

v vc

w

4.DEpäsymmetrinen kappale/hiukkanen aaltona

v

c

61

L / 2


Aallon etenemissuunta

Seuraavassa kuvassa kappale, jonka halkaisija on L/2 emittoi neutraalia grvitaatioaaltoa oikealle ja vasemmalle. Kuvan liikkuvat pisteet kuvaavat 3D-pinnan yksittäisiä soluja. Solut liikkuvat kappaleen inertiaalikoordinaatistossa ympyrän tai ellipsin kaltaista rataa. Radan muuttuminen ellipsiksi kuvassa lähellä kappaleen painopistettä lisää paikallisesti pinnan kaltevuutta. Kappaleen koko muuttuu avaruuden supistumisen ja laajenemisen myötä tasaisen avaruuden suhteen. Koko L/2 on kuvassa keskiarvo. Kappaleen solut liikkuvat gravitaatioaallossa 3D-pinnan ja 4.D:n suunnassa. Jos kappaletta tarkastellaan pelkästään 3-ulotteisessa avaruudessa, se laajenisi ja supistuisi kohti keskipistettä olevassa suunnassa tasaisen Manhattan-avaruuden suhteen.

4.D

Kappale

Gravitaatioaalto koostuu poikittaisesta ja pitkittäisestä komponentista. Aalto on komponenttiensa summa. Kappale, joka on levossa absoluuttisen Manhattan-metriikan suhteen, emittoi symmetristä neutraalia gravitaatioaaltoa, jonka molemmat komponentit ovat 90 asteen vaiheessa toisiinsa nähden. Tällaisessa aallossa sijaitseva absoluuttisen avaruuden piste liikkuu ympyrän kehän tai ellipsin muotoista rataa avaruuden aaltoilun mukana. Antimateria käyttäytyy kuin ajassa taaksepäin aaltoileva materia eli pinnan pisteiden pyörimisssuunta on päinvastainen ja aalto liikkuu materialle päinvastaiseen suuntaan.

Kappaleen emittoiman gravitaatioaallon liikesuunta kappaleen vastakkaisilla puolilla on vastakkainen. On huomattava, että staattisen gravitaatiokentän aalto ei kuljeta mukanaan energiaa. Aallon osat ovat vuorovaikutuskentän bosoneja kuten esim. virtuaaliset fotonit sähkökentässä. Kuvassa aaltoileva pinta on todellisuudessa 3-ulotteinen. Aallon vaimenemista etäisyyden funktiona ei kuvassa ole huomioitu.

Kappale

4.D

Compton-aalto ja De Broglien aineaalto kuvaavat kvanttimekaniikassa yhtä hiukkasta, mutta voidaan laajentaa kuvaamaan makroskooppista kappaletta ottamalla käyttöön suhteellisen pituuden R/Rs käsite, kuten myöhemmin esitetään. Se on tarpeen, jotta kvanttimekaniikka ja gravitaatiota kuvaava Schwarzschildin metriikka voidaan yhdistää. Rs on Schwarzschildin säde.

62

Supistunut avaruusLaajentunut avaruuspinnan korkeus poikittais- ja pitkittäisaallolle

0

L / 2

0

pinnan korkeus, kun vain poikittaisaalto vaikuttaa

L / 2

Seuraava animaatio esittää yksittäisten avaruuden solujen liikkeet gravitaatioaallon puolijaksossa. Liike luo ensin negatiivisen ja sitten positiivisen puolijakson. Yksittäinen solu kiertää ellipsin muotoista rataa vastapäivään

kulmanopeudella +.

Jos emittoiva kappale kuitenkin liikkuu absoluuttisen avaruuden suhteen jollakin nopeudella v, muuttuu gravitaatioaalto epäsymmetriseksi.

v

w

c

vc

w

4.D

c² = v² + w²

c = w

v = 0v

Avaruuden piste kiertää gravitaatioaallossa ympyrää tai ellipsiä faasiavaruudessa. Nopeus v on keskinopeus.


Epäsymmetrisen kappaleen emittoima gravitaatioaalto

L / 2

Aallon etenemissuunta materialle4.D

3D-pinta

+

p = mv

63

L / 2

Tarkastellaan makroskooppisen kappaleen emittoimaa aaltoa ja sen pitkittäiskomponentin luomaa gravitaatiopotentiaalia.

Staattisen gravitaatiokentän V(r) neutraalia gravitaatioaaltoa voidaan kuvata poikittais- ja pitkittäisaaltoina UT UL absoluuttisen avaruuden inertiaalikoordinaatistossa (x,t):

UT(x,t) = i A sin (kx -t + ) = i √ 2GM / r sin (2x/ - 2ct/ + ), poikittaisosa, jossa A=c² on 4.D:n suuntainen suure. Sen suuntainen suure kuvataan D-teoriassa yleisesti neliöllisenä nopeutena A² [m²/s²], ja = 2c/ = 2/T, T = /c , = 2R ja k = 2/ = /R, on vaihe-ero, joka on 0º materia-aallolle ja 180º antimateria-aallolle ja 2R on emittoivan kappaleen kokovakio [m]. Suure r>>x kertoo etäisyyden gravitaatiokentän keskipisteeseen.

A = c²ve(x,t)

wc

Kuvassa nopeus v on aallossa pintaan liittyvän pitkittäisaallon horisontaalinen amplitudi ja A on

poikittaisaallon potentiaalin amplitudi. Kuvassa on molempien maksimiarvot. ve(x,t) on kaltevan pinnan pakonopeus.

0º90º

Kentän potentiaali V(r) = -GM/r = -(ve/√ 2 )² = -ve²/2. Siten V(r) on pitkittäisaallon neliöllisen nopeusosan UL²(x,t) tehollisarvo eli V = -ULeff² = -ve²/2. Kiihtyvyys potentiaalikentässä on dV(r) / dr = MG/r². Potentiaali on absoluuttisen avaruuden abstrakti suure.

Aallon etenemisnopeus on vakio c. Gravitaatioaallon UL amplitudi on sama kuin pakonopeus ja aalto aiheuttaa muille kappaleille kentässä ylimääräisen matkan avaruudessa ja siten vaikuttaa kappaleen ajankulumisen nopeuteen ja liikkeen suuntaiseen pituuteen, kuten myöhemmin kuvataan. Pakonopeus ve määrittelee siis gravitaatiopotentiaalin V = -ve²/2 vaikutuksen ajankulumisen nopeuteen ja liikkeen eli kentän suuntaiseen pituuteen.

v

UL(x,t) = v cos (kx -t + ) = √ 2GM / r cos (2x/ - 2ct/ + ), horisontaalitason suuntainen pitkittäisosa, jossa v on aallon pitkittäisnopeus. Siten UT(x,t) UL(x,t).

Pakonopeus ve(x,t) = ve cos (kx -t + ) siten että ve² = c² - w², on pinnan paikallista kaltevuutta dUT(x,t) /dx kuvaava skalaari. Suure ve = √ 2GM / r määrää pitkittäisen gravitaatioaallon UL amplitudin v = ve. Vakio R eli emittoivan kappaleen koko määrää aallonpituuden kappaleen kohdalla. Kappaleen ulkopuolella aallonpituus (r) kasvaa amplitudille käänteisesti, (r) 1 / A²(r).

Nopeusvektori c on aina kohtisuorassa horisontaalitasoa vastaan ja vew. Kulmanopeus antimaterialle on - = - 2c/.

x

4.D

R

64

a a

Aalto aiheuttaa kappaleille kiihtyvyyksien kautta ylimääräisen matkan avaruudessa. Suhteellisuusteorian mukaan kappaleen aika silloin hidastuu ja pituus lyhenee. Aalto esiintyy jatkuvana kaikissa kiihtyvyyskentissä kentän potentiaalin määräämällä tavalla ja havaitaan epäsuorasti.

Gravitaatioaalto siirtää kappaleen Manhattan-metriikassa kiihdytyksen ja jarrutuksen kautta edestakaisin. Samalla aalto kuitenkin vaimenee etäisyyden funktiona, jolloin kappale saa vaimenemista vastaavasti pienemmän jarrutuksen. Vaimenemisen määrää vastaten gravitaatiopotentiaali kuitenkin aiheuttaa kappaleelle jatkuvan negatiivisen kiihtyvyyden, joka vastaa potentiaalin vaimenemista eli derivaattaa. dV(r)/dr = - 2Gm/r² , joka kuvaa kiihtyvyyttä. Siten kiihtyvyys jossakin kentän pisteessä säilyy vakiona.

Edellä esitetty absoluuttisen avaruuden supistuminen saa 3D-pinnan muuttumaan lokaalisti kaltevaksi. Supistumiseen liittyy avaruuden liike kappaleiden ohi tai toisin ymmärrettynä kappaleiden liike supistuvan avaruuden suhteen. Kappaleiden liikkeen syntyminen vaatii kiihtyvyyttä, jonka 3D-pinnan kallistuminen aina aiheuttaa siinä sijaitsevalle kappaleelle. Kiihtyvyyskentässä kiihtyvyys on tunnetusti sama kaikille kappaleille massasta riippumatta.

0

Neutraali gravitaatioaalto on staattisen gravitaatiokentän vuorovaikutuksen väline. Yksittäistä aaltoa voidaan kutsua nimellä “gravitoni”, joka on gravitaation vuorovaikutuksen bosoni. Alempi kuva esittää materian ja antimaterian emittoimia gravitoneja. Kulmanopeudet ovat vastakkaiset. Sama ero on myös esim. protonin ja antiprotonin välillä, kuten myöhemmin tarkemmin esitetään.

Materian emittoima neutraali gravitaatioaalto

Antimaterian emittoima neutraali gravitaatioaalto on kuin ajassa taaksepäin liikkuva gravitaatioaalto

Koska pyörimissuunta riippuu katsomissuunnasta, jakaa gravitaatioaalto 3D-avaruuden suunnat absoluuttisesti positiivisiin ja negatiivisiin. Sama pätee sähkömagnetismiin kuten myöhemmin kuvataan.

+

-

Materiaa

Anti-materiaa

65

Kentän suunta

Staattisessa gravitaatiokentässä pituutta lyhentää ja samalla aikaa hidastaa gravitaatioaalto kentän suunnassa. Pituus lyhenee myös muissa suunnissa avaruuden supistumisen vuoksi. Niinpä kun huomioidaan nämä molemmat pituuteen vaikuttavat tekijät, pituus lyhenee kiihtyvyyskentässä kaikissa suunnissa saman verran kentän potentiaalin määräämällä tavalla.

Seuraavassa kuvassa pinnan solut säilyttävät pituutensa gravitaatiopotentiaalissa suunnassa x mutta lyhenevät potentiaalin aiheuttaman avaruuden supistumisen vuoksi suunnassa y. Pituus suunnassa x koostuu kahdesta komponentista a ja b siten että a ≈ y. Suhde b/a määräytyy potentiaalin V derivaatasta dV/dr ja Manhattan-metriikassa x = a + b = vakio ja y ≈ x - b = a. Kuitenkin potentiaalin V aiheuttama gravitaatioaalto lyhentää pituuden havaitsemista suunnassa x juuri pituuseroa x - y ≈ b vastaavalla määrällä b, jolloin suunnassa x pituus havaitaan yhtäsuurena kuin y ( xv = y ) eli pituudet muissa suunnissa. Ajan hidastumiseen vastaavasti riittää aallossa syntyvä ylimääräinen matka suunnassa x.

xy

Suunnassa x havaittua pituutta lyhentää gravitaatioaallon aiheuttama ylimääräinen kuljettava matka. Silti geometrisesti x = vakio. Suunnassa y pituutta lyhentää avaruuden supistuminen. Lopputuloksena havaitsijan pituudet lyhenevät samalla määrällä kaikissa suunnissa. Huomaa, että geometrisesti pituus x ja havaittu pituus xv ovat eri asioita.

xKentän suunta

a

bV

Staattisen gravitaatiokentän emittoima gravitaatioaalto lyhentää pituutta kentän suunnassa, joka on samalla aallon etenemissuunta. Sensijaan kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen emittoima energinen gravitaatioaalto lyhentää pituutta suunnassa, joka on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan kuten myöhemmin kerrotaan.

r

Kun b² ~ V, suhteellinen pituuden muutos potentiaalissa Vx, jossa pakonopeus on ve, on

b² = Vx = ve² => b² = xc²ve² , missä xc on pituus x, kun Vx = Vc xc² Vc c² c²

eli b = xc, kun potentiaali Vx saa maksimiarvonsa Vc pakonopeudella c. Suhde lasketaan neliöllisenä, koska etäisyydet ja nopeudet ovat absoluuttisen Manhattan-avaruuden suureita. Potentiaalissa Vx havaittu pituus xv saa gravitaatioaallon lyhentämänä arvon xv² = xo² - b² = a² ja xo = xc.

xv = xo √ 1 - ve² = a , missä xo on pituus, kun V = 0. c²Siten lyhenemä on sama kuin ylimääräisen matkan aiheuttama. Siniaaltomainen matka tehdään tehollisella nopeudella v = ve/ √ 2 maksimitehollisnopeuden ollessa c/ √ 2.

66

Gravitaatioaaltojen havaitseminen

Jos oletetaan, että Maa emittoi neutraaleja gravitaatioaaltoja 50 Hz taajuudella, voidaanko kauempaa avaruudesta havaita gravitaatioaaltojen vaikutus Maan pinnalla sijaitsevan radiolähettimen taajuuteen? Gravitaatioaallothan välillä hidastavat lähettimen aikaa ja välillä nopeuttavat sitä mutta muuttavat myös pituutta lyhemmäksi tai pidemmäksi. Muutokset eliminoivat toisensa niin, että valolle mitataan aina sama nopeus. Gravitaatioaaltojen vaikutusta ei voida havaita. Gravitaatioaallot hidastavat ja nopeuttavat myös havaitsijan omaa aikaa ja muuttavat pituutta kauempana avaruudessa niin, että radiotaajuus pysyy havaitsijalle vakiona.

Entä muuttuuko kaukaa avaruudesta tulevan radiosäteilyn taajuus maan gravitaatiopotentiaalissa 50 Hz taajuudella? Ei muutu, sillä kohdatessaan Maan emittoimat gravitaatioaallot radioaallot venyvät ja supistuvat gravitaatioaaltojen vaikutuksesta juuri siten, että Maassa oleva havaitsija mittaa radioaalloille vakiotaajuuden vaikka mittaajan aika ja pituudet Maassa muuttuvat 50 Hz taajuudella.

Painovoiman eli gravitaatioaaltojen vaikutus eliminoituu. Niinpä ei ole olemassa keinoa havaita gravitaatioaaltoja suoraan vaan ainoastaan epäsuorasti mittaamalla esim. niiden vaikutusta kellojen käyntiin eri gravitaatiopotentiaaleissa. Toistaiseksi ei yrityksistä huolimatta ole onnistuttu tekemään ainoatakaan suoraa havaintoa gravitaatioaalloista. Näyttäisi siis siltä, että Einsteinin ekvivalenssiperiaate pätee kaikille havaitsijoille riippumatta siitä, missä kohtaa gravitaatioaaltoa havaitsija kulloinkin sijaitsee.

Gravitaatioaaltoja on yritetty havaita erilaisilla

mittausjärjestelyillä, kuten interferometrillä. Niissä ei kuitenkaan liene huomioitu ajankulumisen hidastumista pituuden lyhenemisen yhteydessä. Se voi olla syy mittauksien tuloksettomuuteen.

Vahva ekvivalenssiperiaate: Painovoima eliminoituu paikallisessa inertiaalijärjestelmässä kaikissa fysikaalisissa vuorovaikutuksissa. Siten suppeampi suhteellisuusteoria kaikkine luonnonlakeineen ja vakioineen on voimassa paikallisessa inertiaalijärjestelmässä.

Avaruuden kaareutumisen suunnan staattisessa gravitaatiopoten-tiaalissa määrää kompleksiavaruuden 137/136-jako. 3D-pinnan yläpuolella soluja on 137 kappaletta ja alapuolella 136 kappaletta. Tästä seuraa avaruuden supistumisen yhteydessä staattisen kentän gravitaatioaallossa suurempi vuorovaikutus pinnan yläpuolella ylä- ja alapuolen vaikuttaessa vastakkaisiin suuntiin epälineaarisesti.

Staattinen gravitaatiopotentiaali, joka syntyy pitkittäisen neutraalin gravitaatioaallon keskiarvona, kaareuttaa Manhattan-metriikan staattisesti. Tässä ei ole eroa materian ja antimaterian välillä.

67

Kiihtyvässä liikkeessä oleva kappale lähettää gravitaatioaaltoja ja niiden mukana poistuu energiaa. Aalto on spiraalimainen ja poikkeaa staattisen gravitaatiokentän normaalisti sisältämistä neutraaleista gravitaatioaalloista.

Myös tässä tapauksessa gravitaatioaalto hidastaa kappaleiden aikaa, joka on yleinen ominaisuus kaikissa gravitaatiokentissä.

Staattisen gravitaatiokentän sisältämä jaksollinen gravitaatioaalto on neutraali eikä siirrä energiaa, kuten ei myöskään esim. varauksen sähkökenttä. Aalto ei ole polarisoitunut. Sensijaan kiihtyvässä liikkeessä oleva massa luovuttaa energiaa, kuten myös kiihtyvässä liikkeessä oleva sähkövaraus. Seuraavassa kuvassa kaksi toisiaan kiertävää massapistettä lähettävät spiraalimaisen gravitaatioaallon. Aalto on Suhteellisuusteorian ennuste ja siirtää energiaa mukanaan. Aalto on poikittaispolarisoitunut

Neutraali gravitaatioaalto luo avaruuteen kiihtyvyysvektorin, jolla on vain kaksi hetkellistä suuntaa. Neutraalia gravitaatioaaltoa emittoivat kaikki kappaleet.

Spiraalimainen gravitaatioaalto luo avaruuteen kuvan esittämän elliptisen kiihtyvyysvektorin lähteen pyörimistasoon. Vektorin kiertosuunta on sama kuin emittoivan lähteen kiertosuunta. Kuva esittää vektorin kiertosuuntia kummassakin tapauksessa.

Gravitaatioaallon etenemissuunta

Sähkökenttä ja gravitaatiokenttä muistuttavat toisiaan myös siinä, että niiden amplitudit heikkenevät etäisyyden neliössä. Molemmat välittyvät valonnopeudella.

Kappale, joka sijaitsee spiraalimaisessa gravitaatioaallossa ja jonka kiihtyvyysvektori kiertää elliptisesti, absorboi energiaa gravitaatioaallosta. Absorboitu energia muuttuu kappaleen pyörimisenergiaksi samaan suuntaan energialähteen kanssa kokonaisimpulssimomentin säilymiseksi.

4.D

3D-pinta

Neutraali gravitaatioaalto. Energinen gravitaatioaalto. Huomaa pyörimistaso! Polarisaatio poikkeaa neutraalista gravitaatioaallosta.

4.D

Staattisen gravitaatiokentän emittoima neutraali gravitaatioaalto lyhentää pituutta kentän suunnassa, joka on samalla aallon etenemissuunta. Sensijaan kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen emittoima energinen gravitaatioaalto lyhentää pituutta suunnassa, joka on kohtisuorassa aallon etenemissuuntaan.

68

Kun tässä tarkastellaan havaintoavaruuden syntymistä, on liikkeessä olevien kappaleiden aiheuttamalla ympäröivän avaruuden supistumisella merkitystä. Kappale A, joka liikkuu absoluuttisen Manhattan-metriikan suhteen, aiheuttaa joka hetki avaruuteen paikallista supistumista ja laajenemista. Suurinta avaruuden tästä johtuva liike tasaisen avaruuden suhteen on kompleksiavaruuden pääakselien projektioiden suunnissa, kuten edellä on jo esitetty. Supistuvaan tai laajenevaan avaruuteen liittyy aina avaruuden kallistuminen horisontaalitasosta. Paikoillaan Manhattan-metriikassa sijaitseva kappale ei aiheuta vastaavaa kallistumista. Seuraava kuva esittää eri nopeuksilla liikkuvan kappaleen aiheuttaman 4.D:n suuntaisen kaareutumisen eli kallistumisen periaatteen avaruuden supistumistilanteessa. Kuvan kaareutuminen johtuu ainoastaan kappaleen liikkeen aiheuttamasta avaruuden supistumisesta eikä esim. staattisen gravitaatiopotentiaalin tai neutraalin gravitaatioaallon aiheuttamaa lisäkaareutumista ole siinä huomioitu.

Manhattan-metriikan suhteen liikkuva kappale aiheuttaa eri absoluuttisilla nopeuksilla erisuuruisen supistumisen ja laajenemisen ja samalla erisuuruisen kaareutumisen. Kaareutumisessa näkyy liike-energian määrä ja suunta tasaisen isotrooppisen avaruuden suhteen.v1 v2 v3 v1>v2>v3

v = 0

A

1

-1 1

-1

Xp Yp

Absoluuttinen kompleksiavaruus (X,Y) supistuu havaintoavaruudessa nähtynä pääakseliensa X ja Y suunnissa kuvan mukaisesti ympyränkehien ja vektorin kuvaamilla määrillä eri kulmissa kuten edellä on jo esitetty. Avaruus (x,y) on kuvassa 3D-pintaa ja Xp ja Yp kompleksiavaruuden pääakselien projektiot pinnalla.

x

y

Kappaleen aiheuttama avaruuden paikallinen supistuminen. Vektorin suunnassa kompleksiavaruuden suhteellisen supistumisen määrä on suurempi kuin 1.

69

a

Liikkuvan kappaleen A ohitettua kyseisen kohdan avaruus alkaa kappaleen jälkipuolella laajentua ja kaareutuminen ilmenee päinvastaisena kuin supistumisessa kuten myös kappaleen B kiihtyvyys. Kiihtyvyydet toteutuvat nyt päinvastaisena.

Kiihtyvyydet ovat suurimmillaan, kun avaruuden siirtymisnopeuden derivaatta on suurimmillaan. Siten kiihtyvyys on sama kuin matkan 2. derivaatta.

a = d²s / dt , missä s(t) = matka Manhattan-metriikassa.

Havaintoavaruudessa nähtynä kappaleet eivät kuitenkaan ole kokeneet kiihtyvyyttä. Esimerkiksi kiihtyvyyskentässä vapaana oleva havaitsija ei itse edes tunne kiihtyvyyttä. Absoluuttisen avaruuden supistuminen ja laajeneminen jäävät huomaamatta. Ilmiö on kuitenkin periaatteessa mitattavissa, sillä kappale B on tehnyt avaruudessa ylimääräisen matkan ja kokenut siihen liittyvät kiihtyvyydet. Samalla sen aika on hetkeksi hidastunut ja liikkeen suuntainen pituus lyhentynyt. Ilmiö on kuitenkin heikko. On huomattava, että tämän ilmiön lähde on eri kuin kappaleelle staattisessa gravitaatiokentässä aiheutuva ajan hidastuminen, ja hidastaa ajan kulumista vielä sen lisäksi.

Kappaleen käyttäytyminen gravitaatioaallossa muistuttaa edellisen esimerkin kelluvan kappaleen liikettä. Erona esimerkkiin on kuitenkin, että kiihtyvyyden saa nyt aikaan kaltevan avaruuden epähomogeenisuus eikä painovoima. Kalteva avaruus merkitsee aina paikallista kiihtyvyyskenttää kaareutuneessa epähomogeenisessä avaruudessa. Sillä on oma merkityksensä havaintoavaruuden syntymisessä.

Edellä huomioitiin vain toisen kappaleen aiheuttama vaikutus. Molemmat kappaleet vuorovaikuttavat toisiinsa aaltomekaniikan kuvaamilla tavoilla. Einsteinin yhtälöistä E = hf ja E = mc² saadaan aineaaltojen vuorovaikutusta (interfrenssiä) kuvaava de Broglien yhtälö

= h / mv .

B

Kappaleiden A ja B välinen etäisyys s supistuvassa Manhattan-metriikassa nähtynä muuttuu sivusuunnassa kappaleen B kiihtyvyyksien a ja -a vuoksi mutta säilyy havaintoavaruudessa ja tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä. Siksi supistumista ja laajenemista ei ole mahdollista suoraan havaita.

Kaksi samaan suuntaan yhdessä liikkuvaa kappaletta vaikuttavat toisiinsa kiihtyvyyksillä +a ja -a, jotka kumoavat toisensa riippumatta kappaleiden absoluuttisesta nopeudesta.

Seuraavassa kuvassa nähdään, että avaruuden kaareutumiseen liittyvä avaruuden kallistumi-nen aiheuttaa toiseen kappaleeseen ensin B poispäin suuntautuvan kiihtyvyyden. Kiihtyvyys puolestaan aiheuttaa kappaleelle B nopeuden, joka on täsmälleen sama kuin nopeus, jolla supistuva avaruus kyseisessä kohdassa liikkuu kappaleen B ohi suhteessa tasaiseen avaruuteen. Niinpä kappaleen B nopeus ei muutu tasaisen avaruuden suhteen.

A

-a

B

A

Supistuminen alkaa / kiihdytys

Supistuminen loppuu / jarrutus

s

s

70

Kappaleen kokonaisenergia on sama kuin kappaleen avaruuteen synnyttämän kaareutumisen määrä 4.D:n suunnassa. Tiettyyn liike-energiaan Ek = ½mv² liittyvä nopeus v ei ole sama kap-paleen kulkiessa Manhattan-metriikassa eri suuntiin, sillä kaareutumisen määrä Manhattan-metriikan eri suunnissa on erilainen. Sensijaan kappaleen nopeus isotrooppisessa havainto-avaruudessa nähtynä on tietyllä liike-energialla sama avaruuden suunnista riippumatta.

Tarkastellaan seuraavaksi kappaleen liike-energiaa Manhattan-metriikassa ja liikkeestä aiheu-tuvaa avaruuden supistumisen määrää. Supistumisen määrää jossakin avaruuden pisteessä kuvataan supistumiseen liittyvän virran avulla. Virta i kertoo kuinka monta avaruuden solua siirtyy kuvitellun tasaisen avaruuden pisteen ohi jossakin aikayksikössä. Seuraavassa kuvassa avaruuden muutos on suurinta kompleksiavaruuden pääakselien Xp ja Yp suunnissa.

i1 i2

i3 i4

i5 i6 i

Kuvasta huomataan, että supistumisen aiheuttavien virtojen i summa i on suunnaltaan vastakkainen kuin kappaleen liikesuunta kappaleen omassa koordinaatistossa nähtynä. Summan suuruus riippuu suoraan kappaleen nopeudesta v. Virtojen summa on yksinkertaisesti sama kuin kappaleen liikkeen aiheuttama solujen virta kappaleen ohi aikayksikköä kohti. Kuvassa yksittäiset virrat i1, i2, i3 ja i4 ovat suurimmat. Virrat on kuvattu havaintoavaruudessa nähtynä. Niiden suunnissa avaruuden kaarevuus ja kaarevuuden sisältämä energia ovat suurimmat. Samalla niissä liikesuunnissa vaadittava liike-energiakin on suurin.

Jos kappaleen liikesuunta muutetaan samaksi kuin esim. virta i3 ja sen nopeus Manhattan-metriikassa pysyy vakiona, kasvaa

summa i ja samalla liike-energia.

Kun kappale liikkuu Manhattan-metriikassa, pitäisi virtojen summan i = Ek olla liike-energian Ek säilymiseksi kaikissa liikesuunnissa sama. Näin ei kuitenkaan tässä ole. Syynä on, että kompleksiavaruus supistuu ja samalla kaareutuu joissakin suunnissa enemmän kuin muissa. Suurempi kaareutuminen vaatii suuremman liike-energian ja energia on kuitenkin vakio eli säilyvä suure. Niinpä kappale sälyttääkseen liike-energiansa vakiona kulkee tasaisessa Manhattan-metriikassa nähtynä hitaammin niihin suuntiin, joissa avaruus supistuu eniten. Tästä seuraa, että kaikissa havaintoavaruuden suunnissa kappaleen nopeus on sama eli syntyy kuva isotrooppisesta avaruudesta. Silti kappaleen nopeus ei tasaisen avaruuden Manhattan-metriikassa nähtynä ole sama kaikissa suunnissa, kuten ei kappaleen pituuskaan. Pituus muuttuu aikaisemmin esitetyllä tavalla.

v

Xp Yp

xy

Tasainen Manhattan-metriikka

Edellisessä kuvassa, joka esittää 2-ulotteista tasoa, liike-energian pysyminen vakiona edellyttää, että kappale liikkuu tasaisessa Manhattan-avaruudessa nähtynä hitaammin virtojen i1, i2, i3 ja i4 suunnissa kuin 45 asteen kulmissa niitä vastaan. Niinpä jos jostakin 3-ulotteisen tasaisen avaruuden pisteestä lähtee jollakin hetkellä samanmassaisia kappaleita samalla liike-energialla kaikkiin avaruuden suuntiin, niiden yhdessä muodostama pinta muistuttaa karkeasti pallopintaa. Syntyy kuva isotrooppisesta havaintoavaruudesta.

71

Interferenssin katoaminen

Kvanttimekaniikan mukaan alkeishiukkasiin liittyy aaltomainen käyttäytyminen ja interferenssi. Yksi esimerkki hiukkasen interferenssistä on Youngin kaksoisrakokoe. Edellä on kuvattu kappaleisiin ja alkeishiukkasiin liittyvä aaltofunktio eli absoluuttisen avaruuden jaksollinen liike tasaisen avaruuden suhteen. Kappaleen aaltomainen käyttäytyminen ja samalla interferenssi kuitenkin katoaa, kun kvantti-ilmiöiden mittakaavasta siirrytään makroskooppiseen mittakaavaan.

Tarkastellaan seuraavaksi interferenssin katoamista, kun mittakaava muuttuu alkeishiukkasen koosta makroskooppisen kappaleen mittakaavaan ja siitä aina mustan aukon mittakaavaan saakka. Seuraava periaatekuva esittää materian kolme mittakaavaa.

V

V

V

Yksittäinen alkeishiukkanen

Makroskooppinen kappale

Musta-aukko

ve² = A² = c² = 2Gm/Rs

V = ve²

c² vn²

V(r)

r

Puolijaksojen amplitudeille (eli nopeuksille) pätee

vn² = ve² eli vn² = ve² (1 - ve² ) c² - ve² c² c²

Kappaleen aineaallon keskiarvona syntyy potentiaalikuoppa V(r), siten että aalto vaimenee potentiaalin kuvaamalla tavalla

V(r) = Gm / r .

Kentän aiheuttama kiihtyvyys sensijaan vaimenee etäisyyden neliössä

dV(r) / dr = - Gm / r².

Aalto on poikittainen ja pitkittäinen. Aallon horison-taaliseen pitkittäisosaan liittyy liike-energia Ek ja poikittaisosaan potentiaalienergia Epot.

Kuva esittää potentiaalia ja aaltoa kahdessa eri vaiheessa, joiden vaihe-ero on 180º.

Makroskooppinen kappale poikeaa muista, koska sen vierekkäisten komponenttien välinen etäisyys on paljon suurempi kuin komponenttien koko. Siksi suuremmille kappaleille voidaan Schwarzschildin metriikassa laskea kriittinen koko eli säde Rs, jolla välimatkat nollautuvat. Hiukkaselle vastaava pituus on sen koko eli o.

Kun kappaleen energia (massa) on vakio, on energia E = mc² verrannollinen aallon amplitudin A ja aallon suhteellisen pituuden tuloon

E A² = A² R = vakio. o Rs

Amplitudi A² pienenee kappaleen koon R kasvaessa ja avaruuden kaareutumisen vähentyessä. Suhde Rs/R kuvaa Schwarzschildin metriikassa avaruuden paikallisen kaareutumisen määrää.

Suhteellisesta pituudesta poiketen absoluuttiset pituudet o ja Rs lyhentyessään lisäävät energiaa kaavan E = hf = hc/ mukaisesti.

Seuraava kuva esittää aineaallon keskiarvosta syntyvän potentiaalikuopan, jota myös gravitaatiopotentiaaliksi kutsutaan. Tarkastellaan sen avulla interferenssin katoamista.

Rs

R

o

72

Kappaleen kokonaisenergiasta E = mc² osa Rs/2R voidaan esittää geometrisesti kappaleen emittoiman pitkittäisen gravitaatioaallon amplitudina A seuraavan kuvan mukaan. Kuva esittää horisontaalista pitkittäisaaltoa vaikka amplitudi A onkin piirretty poikittaiseksi.

A²

c²

m

Horisontaalisen pitkittäisaallon energia Ek on sen amplitudissa A². Aalto on potentiaalikuo-passaan Epot = mV ja Ek + Epot = E Rs/R.

Amplitudi A on absoluuttisen avaruuden suure ja = 4R on havaintoavaruuden suure. Kuvassa kappaleen koko on 2R.

A² = Rs , missä Rs on Schwarzschildin sädec² R

Kuvan ellipsi kuvaa pinnan pisteen kiertoliikettä, jossa pinnan poikittainen liike on suurempi kuin pitkittäinen eli horisontaalinen. Potentiaali U on makroskooppisen kappaleen supistumispotentiaali ja A²/2 on pitkittäisaallon gravitaatiopotentiaali. Supistumispotentiaali U on absoluuttista Compton-aaltoa vastaava potentiaali ja sen suuruus on aina c²/2 ja aallonpituus on 2R. Ellipsin eksentrisyys on ve/c, missä ve = A on gravitaatiopotentiaalin pakonopeus.

D-teorian mallin mukaan 4.D:n suuntainen suure kuvataan epäsuorasti nopeuden neliönä v². Siinä suunnassa avaruudella on reuna ja maksimiarvo. Maksimi on c², joka on samalla nopeuksien maksimi. Edellä on jo saatu pitkittäisaallon amplitudille A

A² = ve² = V(r) = Gm , missä ve on pakonopeus. 2 2 r

Potentiaali V(r) määrää aallon tehollisen amplitudin A²/2 kappaleen ulkopuolella. Oletetaan kappaleen massa m = E/c² keskittyneeksi sen painopisteeseen ja aallonpituuden /2 olevan kappaleen kohdalla sama kuin kappaleen koko 2R kuvassa. Aallon liike-energia Ek on sama kuin pitkittäisaallon horisontaalinen liike-energia

Ek = ½mv² = E A² = E ve² = E 2Gm = E Rs , 2c² 2c² 2c² R 2 R

ja gravitaatiopotentiaalienergia

Epot = mV = m 2Gm = m c²Rs = E Rs eli Ek + Epot = E Rs 2R 2R 2 R R

, kun Schwarzschildin säde Rs = 2Gm/c². Näin saadaan kappaleelle, jonka koko on R

Rs = A² . A² 1/ = 1/4R . R c²

Suure Rs/R kuvaa edellä esitetyn ellipsin eksentrisyyden neliötä ve²/c², sillä A = ve. Sama suure kuvaa myös avaruuden kaarevuutta kappaleen kohdalla. Mustassa aukossa ellipsi on muuttunut ympyräksi.

2R = /2r

4.D

A

U=c²

73

r

m(,A) = E/c² A²

A²(r) m / r

Makroskooppinen avaruus

Kappaleen koon r = R kasvaessa (eli mitä kauempana kappaleen sisältämät atomit ovat toisistaan) ja massan pysyessä vakiona aallon amplitudi A² vastaavasti pienenee ja sen mukana heikkenee kappaleen aaltomainen käyttäytyminen. Seurauksena interferenssi katoaa.

Schwarzschildin metriikka ei päde R:n koko skaalassa. Esim protonille ole mielekästä laskea Schwarzschildin sädettä RS.

Lyijyhaulille R/Rs = As²/A² 1030

, mikä osoittaa amplitudin suuren muutoksen ja interferenssin katoamisen. Mustissa aukoissa materia on romahtanut kasaan ja ne saattavat interferoida kuten alkeishiukkaset.

Interfe-renssi

Tarkastellaan ensin makroskooppisen kappaleen aalto-ominaisuuksia kappaleen suhteellisen koon muuttuessa. Tarkastelussa kiinnitetään huomiota kappaleen emittoimaan pitkittäisaaltoon. Horisontaalisen pitkittäisaallon amplitudi A ja sen gravitaatiopotentiaali V(r) pienenee, kun kappaleen suhteellinen koko R/Rs kasvaa. Samalla aalto-ominaisuudet ja interferenssi heikkenevät jyrkästi. Makroskooppisen kappaleen kohdalla interferenssi syntyy horisontaalisesta pitkittäisaallosta A.

Kvantti-ilmiöiden mittakaavassa hiukkasen Compton-aallon amplitudi A ilmaistaan valon nopeuden c avulla. Energia on kvantittunut ja edustaa yhden hiukkasen osuutta kappaleen koko summa-aallosta. Summa-aallon energia saadaan laskemalla yhteen kaikki osa-aallot

E = ( hc / n ) , kun n on alkeishiukkasten lukumäärä.

Summan laskeminen on kuitenkin käytännössä mahdotonta eikä tätä keinoa voida käyttää. Aaltomekaniikan avulla voidaan kuitenkin osoittaa, että yksittäisten alkeishiukkasten generoimat paikalliset siniaallot summautuvat erilaisiksi aaltomuodoiksi eli aaltopaketeiksi.

Hiukkasen aalto-ominaisuudet kuvataan kvantti-ilmiöiden mittakaavassa suhteellisella koolla / o, jossa o vastaa Schwarzschildin sädettä Rs ja vastaa kappaleen kokoa R. Tarkasteltava aalto on nyt poikittaisaalto eli hiukkasen Compton-aalto eikä pitkittäisaalto kuten makroskooppisten kappaleiden kohdalla. Vastaavalla tavalla kuin edellä suhteellisen koon kasvu romahduttaa poikittaisaallon amplitudin ja aalto-ominaisuudet sekä interferenssi katoavat. / o R/Rs

Mustassa aukossa ve = c ja V = ve²/2. Pitkittäisaallon keskimääräiselle energialle saadaan

Ek = mV = E ve² = E c² = E c² 2 2c² 2

eli keskimäärin puolet kokonaisenergiasta on aallon amplitudissa. Keskimääräiselle poikittaisaallolle saadaan mustassa aukossa, kun R = Rs ja V = Gm/Rs

Epot = mV = m Gm = Gm² c² = mc² = E eli Ek + Epot = E Rs/R = E. Rs 2Gm 2 2

, missä Rs on Schwarzschildin säde Rs = 2Gm . c²

A², , m

(r) = r

74

Mustalle aukolle saadaan

Ek + Epot = E

, joka on sama kuin hiukkasen Schrödingerin yhtälön sisältö. Yksittäinen hiukkanen ja musta-aukko muistuttavat tässä mielessä toisiaan. Mustassa aukossa hiukkaset ovat ahtaasti vierekkäin toisin kuin tavallisessa kappaleessa. Poikkeus on siis tavallinen makroskooppinen kappale. Sen aalto-ominaisuudet ovat heikot ja interferenssi puuttuu.

Compton-aallonpituus

Alkeishiukkasen koko energia on sen ympärilleen luomassa aallossa. Aallonpituus voidan siksi laskea hiukkasen kokonaisenergian eli massan avulla.

E = hf = hc = mc² c

josta saadaan hiukkasen Compton-aallonpituudeksi

c = h . mc

Compton-aalonpituudella on suora yhteys pituuteen d, joka on elektronin klassinen säde

d = ħ = c , 137,035999 mc 2 137,035999

sekä Bohrin säteeeseen

R = 137,035999 c . 2

Hiukkasen Compton-aallonpituus on absoluuttinen suure samassa mielessä kuin absoluuttisen avaruuden Manhattan-metriikan perusmitta d. Spin-½-hiukkanen värähtelee alkeisrotaatioiden tahdissa geometrisen rakenteensa ja sijaintinsa edellyttämällä tavalla levittäen samalla aaltoliikettä ympäristöönsä. Aalto aiheuttaa vuorovaikutuksessa havaittavia ilmiöitä, joita kuvataan usein de Broglie-aineaallon avulla. De Broglien aineaalto syntyy vain vuorovaikutuksessa ja siksi sen aallonpituus riippuu suhteellisesta nopeudesta, kuten pian osoitetaan.

Tarkastellaan hiukkasta, joka lähestyy estettä, jossa on kaksi rakoa vierekkäin. Lähestyessään hiukkanen säteilee itselleen ominaista Compton-aaltoa kaikkiin suuntiin. Aalto heijastuu esteestä takaisin ja sen aallonpituus on lyhentynyt Doppler-ilmiön vuoksi. Kun hiukkanen on kulkenut rakojen kautta, sen lähettämä aalto heijastuu sen takana esteestä ja ohittaa hiukkasen. Ohittavan aallon pituus on Doppler-ilmiön ansiosta pidentynyt. Ohittava aalto summautuu emittoidun aallon kanssa eli ne interferoivat. Siitä syntyvä aallonpituus lasketaan seuraavaksi.

75

fc

frfc

½d

v

Kuvassa vasemmalta lähestyvä hiukkanen kulkee kahden raon lävitse. Hiukkasen Compton-aallonpituus on c. Raon jälkeen hiukkasen taakseen lähettämä aalto heijastuu seinämästä ja saavuttaa hiukkasen. Doppler-ilmiön vuoksi heijastuneen aallon pituus r on pidempi kuin hiukkasen oma c. Aaltojen c ja r interferenssin seurauksena syntyy aaltopaketti, jonka pituus on hiukkasen de Broglie-aallonpituus d. Interferenssin syntymisen edellytyksenä on hiukkasen vuorovaikutus esteen kanssa.

d = h . mv

Kuvassa rakojen väli on liioitellun suuri. Sen koko on samaa luokkaa kuin d.

Nopeudella v syntyvän Doppler-ilmiön vuoksi hiukkasen takaa heijastuneen aallon taajuus f r on pienempi kuin hiukkasen Compton-aalllon taajuus fc. Erotaajuudeksi rakojen jälkeen saadaan

f = fc - fr.

Vastaavasti saadaan, kun on syntyvän aaltopaketin aallonpituus

c = c _ c , c c +

= c (c - )

Kun c = cT ja = vT, missä v on hiukkasen nopeus esteen suhteen, saadaan

= c T (c - v) c c , kun v<<c. Kun c = h / mc, saadaan v T v

= h , joka on de Broglien aineaallon aallonpituus . mv

Huomataan, että de Broglien aineaalto on olemassa vain vuorovaikutustilanteissa. Sen aallonpituus on relativistisilla nopeuksilla paljon pidempi kuin hiukkasen Compton-aallonpituus.

76

Hiukkaset eli materia

Einsteinin yhtälö eli yleisen suhteellisuusteorian liikeyhtälö voidaan lausua muodossa

AVARUUDEN GEOMETRIA( ) = MATERIA( ) .

Yhtälö on käytännössä toisen asteen differentiaaliyhtälö. Yhtälö kuvaa avaruuden vaikutusta materiaan ja materian vaikutusta avaruuteen.

Yhtälö voidaan tulkita myös toisin. Voidaan ajatella, että materia on samaa substanssia kuin avaruus ja ilmenee substanssin paikallisena aaltoiluna. Voidaan esittää geometrinen malli, jossa lokaalisti värähtelemään pantu avaruus ilmenee hiukkasena eli materiana. Värähtely saa avaruuden supistumaan ja kaareutumaan lokaalisti. Värähtelyn laatu, vaihe ja sijainti kertovat, mitä varauksia ja muita kvanttiominaisuuksia hiukkasella on. Kaareutumisen epäsymmetria 3D-pinnalla näkyy suhteellisena nopeutena pinnan jossakin sunnassa. Kaareutuminen kohtisuoraan 3D-pintaa vastaan antaa hiukkaselle skalaarityyppisen massan ja lepoenergian. Toisaalta lokaalisti värähtelevän objektin joutuessa kaareutuneeseen avaruuteen sen epäsymmetria eli suhteellinen nopeus muuttuu jollakin kiihtyvyydellä avaruuden vaikutuksesta. Niinpä hiukkasen massa ja liike määräävät avaruuden paikallisen geometrian (kaarevuuden) ja avaruus puolestaan määrää materian liikkeen. Yhtä ja samaa substanssia kaikki.

Seuraavassa tarkastellaan kolmea perushiukkasta, protonia, neutronia ja elektronia.

Kun avaruus on pääosin määritelty, mitä ovat hiukkaset, jotka liikkuvat avaruudessa? (Kvanttikenttäteorian mukaan hiukkaset ovat kvantittuneita kenttiä.)

Hiukkanen ei ole oma erillinen substanssi! Hiukkanen on oleellisesti osa avaruutta ja siten avaruus on ainoa substanssi, joka maailmassa tarvitaan. Avaruus on samalla ainoa tarvittava abstraktio.

Osa nelikantaisessa avaruudessa havaittavista hiukkasista on nelikantaisia. Protoni koostuu kolmesta 3D-avaruuden suuntaisesta kvarkista, joista yksi on aina taittunut keskeltä kompleksisen hilajonon suuntaiseksi ja muodostaa protonin kompleksisen 4.D-komponentin. Tarkastellaan seuraavaksi, kuinka solumainen avaruus muodostaa protonin kolme kvarkkia.

Päättelyketju kvanttimekaniikan ymmärtämiseksi

Hiukkasen esiintymistodennäköisys Hiukkasen sijainti samanaikaisesti siellä ja täällä Hiukkasen todellisen sijaintipaikan leviäminen tasaiseen havaintoavaruuteen On olemassa tasainen euklidinen avaruus ja sen suhteen epälineaarinen ja muuttuva absoluuttinen avaruus Jäkimmäinen avaruuksista on todellinen ja ensimmäinen on vain havainnoista syntyvä kuva Havaintoavaruuden (kuvan) syntymiseen tarvitaan makroskooppinen havaitsija Tietoisuus näyttää vaikuttavan mittaukseen ja jakavan maailman mikroskooppiseksi/makroskooppiseksi maailmaksi.

77

Perushiukkanen eli kvarkki voidaan edellisen mukaan kuvata avaruuden yhden solun jaksottaisena kaareutumisena eli avaruusaaltona. Kvarkin suunta on aina jonkin 3D-pinnan pääakselin suunta, jolloin 3D-pinnalla esim. protonia varten tarvitaan välttämättä 3 kvarkkia. Kun avaruuden kolmelle pääakselin suunnalle annetaan kullekin väritunnus, esim. sininen, punainen ja vihreä, saadaan myös kullekin kvarkille suuntansa mukaisesti oma väri. Kvarkin väri on kvanttiteoriassa kvarkin abstrakti ominaisuus. Värit ovat havaitsemattomia kuten avaruuden pääakselit. Kolmen erivärisen kvarkin muodostama hiukkanen, kuten protoni, on silloin neutraali eli väritön. Kun pääakselit ovat isotrooppisia, ovat myös kvarkkien värit keskenään isotrooppisia.

Hiukkasen värivaraus tarkoittaa, että hiukkanen on osa 3D-pintaa jonkin pääakselin suunnas-sa. Jos hiukkasella ei ole värivarausta, hiukkanen sijaitsee 3D-pinnan ulkopuolella kompleksisessa hilassa, kuten esim. elektroni.

Oktaedrin lävistäjä taittuu keskeltä muotoon, jossa avaruus supistuu eli kaareutuu minimipisteeksi, jonka säde on ns. Planckin pituus P. Oktaedrin lävistäjät taittuvat seuraavan kuvan esittämällä tavalla vuorotellen keskipisteestään kompleksisen hilajonon suuntaan. Samalla 3D-pintaan syntyy pitkittäinen avaruuden liike kohti keskipistettä. Liike rajoittuu pienelle alueelle kuten värivoimakin.

3D-pinta

P

Taittunut kvarkkiTaittunut kvarkki muodostaa nollaa suuremman pituuden 3D-pinnan suunnassa. Pituus on lyhin mahdollinen pituus ja samalla se on puolet 3D-pinnan paksuudesta. (Planckin pituus) Kvarkki on joko u- tai d-kvarkki sen mukaan onko lävistäjä supistunut vai ei, kuten myöhemmin tarkemmin osoitetaan.

Planckin pituus P on 1,6 · 10 -35 m.

Protonin eri vaiheita ja u- ja d-kvarkkien ominaisuuksia tarkastellaan tarkemmin myöhemmin D-teoriassa. Tarkastellaan seuraavaksi protonin kokoa ja esitetään teoreettinen ennuste protonin halkaisijan suuruudelle.

Hilakopin kompleksinen lävistäjä on taittunut protonissa 3D-pinnan toiselle puolelle. Mahdollisia asentoja on 6 erilaista.

3D-pinta

3D-pinta

Protonin kolme värivoiman tuntevaa kvarkkia sijaitsevat 3D-pinnan oktaedrissa sen lävistäjinä. Gluoneja on 8 kappaletta ja kuhunkin liittyy 2 väriä..

Nelikantaisessa avaruudessa protonin kolme kvarkkia sijaitsevat kompleksisessa hilakopissa. Hilakoppi määrää protonin koon.

Hilakoppi

Gluoni

Kvarkki

78

Hiukkasen koko on absoluuttisessa avaruudessa L , missä L = d on kuoren koko 3D-pinnalla. Kun L on mittayksikkönä, hiukkasen koko on

L = 2.8179403 · 10-15 m = d ,

joka on protonin halkaisija ja elektronin klassinen säde. (Protonin halkaisijan mittaustuloksen teoreettinen ennuste esitetään seuraavalla sivulla.) Kvarkin molemmat avaruutta supistavat puolijaksot saavat ympärillä olevan lähiavaruuden keskimääräisesti supistumaan ja avaruuden sanotaan kaareutuvan.

Supistuessaan protonin kukin kvarkki vuorovaikuttaa kaareuttamalla ympärillään sijaitsevien 3D-pinnan oktaedrien lävistäjiä. Protonin vuorovaikutuksissa ympäristön lävistäjien kaareutuminen ilmenee hiukkaspilvenä protonin ympärillä. Jos ympäristön kaareutumiset projisoidaan itse protoniin, näyttää protoni sisältävän enemmän kuin kolme kvarkkia ja kahdeksan gluonia. Näin projisoimalla protonin malli saadaan vaikuttamaan mutkikkaammalta, mutta silti protonissa u-kvarkkeja on kaksi enemmän kuin d-kvarkkeja.

Protonin kompleksisen hilajonon suuntaan taittunut kvarkki vuorovaikuttaa 2-ulotteisessa elektronitasossa hilajonon hahmojen kanssa ja antaa hiukkaselle sen sähkömagneettiset ominaisuudet, kuten myöhemmin osoitetaan. Kun kvarkkeja on kolme ja jokainen niistä osalistuu vuorollaan vuorovaikutukseen, voidaan protonin sähkövaraus e+ jakaa kolmeen osaan. Esitetty 3D-avaruuden supistuminen sensijaan antaa hiukkaselle sen massan.

=

t0 t1 t2 t3

Protonin koon määrää kompleksisen hilakopin koko 3D-pinnan eri suunnissa. Hilakopin lävistäjän koko tasaisessa avaruudessa on havaitsijalle aina vakio vaikka hilakoppi supistuisikin 3D-pinnan suhteen. Kuitenkin 3D-pinnan solujen pituus on puolet kompleksiavaruuden solujen pituudesta. 3D-pinnalla kuoren lävistäjän pituus on d, joka on sama kuin protonin halkaisija.

Oktaedri + antioktaedri

Kvarkki 3D-pinnalla

L = d

P

P

d d

e-R

p+

Sähködynamiikassa elektronin klassinen säde R = d lasketaan oletta-malla pistemäinen ydin p+ ja asettamalla elektronin e- varaus säteen R etäisyydelle protonista. Olettamalla nyt elektronin lepoenergian suuruus E = mc² yhtäsuureksi kuin sähköinen potentiaalienergia E = -ke² / r , missä r on etäisyys, saadaan r = d. Sama sähköinen energia saadaan asettamalla vierekkäin 2 protonia, joiden halkaisija on d, ja olettamalla niiden varaukset pistemäisiksi.p+ p+

P = Planckin pituus

79

1 2

3

Tarkastellaan seuraavaksi kuinka lähellä toisiaan kaksi protonia eli oktaedria voivat sijaita. Välimatka vaikuttaa protonin halkaisijan mittaustulokseen. Seuraavassa kuvassa protonien 1 ja 2 keskipisteet sijaitsevat etäisyydellä d toisistaan. Niiden särmät eivät sivua toisiaan, mutta kärjet yhtyvät. Oktaedrien 1 ja 3 keskipisteet sijaitsevat etäisyydellä √ 2 d/2 eli selvästi lähem-pänä. Protonien spinit ovat kuvassa samanmerkkiset.

Kolme vierekkäistä protonia, joiden spinit ovat samanmerkkiset.

d/2

Kaksi vierekkäistä protonin puolikasta, joiden spinit ovat vastakkaiset, sijaitsevat etäisyydellä 0.8660d/2 toisistaan.

√(½d)²/2 + (½d)²/4 = ½d √ 3 / 2 = 0.8660d/2

Oikeanpuoleisessa kuvassa on kaksi protonia, joiden spinit ovat vastakkaiset eli toinen sijaitsee avaruudesssa ja toinen antiavaruudessa. Niiden keskipisteet sijaitsevat etäisyydellä 0.8660d/2 toisistaan. Kuvien oktaedrit voidaan ajatella myös havaintoavaruuden palloiksi. Pallot lomittuvat toisiinsa ja niiden etäisyydet ovat juuri edellä esitetyt.

Protonit voivat ohittaa toisensa edellä esitetyiltä etäisyyksiltä. Jos ajatellaan, että protonit, joi-den spinit ovat samat, voivat ohittaa toisensa minimissään etäisyydellä √ 2 d/2, ja että protonit, joiden spinit ovat vastakkaiset, minimissään etäisyydellä 0.8660d/2, saadaan etäisyyksille keski-arvona

L = ( √ 2 d/2 + (√ 3 /2) d/2 ) / 2 = 1.1401 d/2 .

Keskiarvoa voidaan tässä käyttää, koska spin-ylös- ja spin-alas-protoneita on keskimäärin yh-tä paljon.

L = 1.1401 d/2 = 0.5701 d = 1.61 · 10-15 m.

Tämä kvantitatiivinen ennuste syntyy protonin geometrisista ominaisuuksista ja sopii yhteen saatujen uusimpien mittaustulosten kanssa ( protonin säde = 0.805 ± 0.011 fm, halkaisija = 1.61 ± 0.022 fm, linkki: http://scienceworld.wolfram.com/physics/Proton.html ).

Jatkossa protonin halkaisijan arvona käytetään pituutta L = d, sillä myös se on geometrisesti perusteltu. Protonin rakenne kuvataan yksityiskohtaisemmin myöhemmin D-teoriassa.

xy

zy' x'

√ 2 d/2

80

Avaruuden supistuminen hiukkasen eli aallon ympärillä tarkoittaa, että hiukkasella on massa. Toisaalta aalto voidaan ymmärtää puhtaaksi energiaksi siten, että aallon amplitudin neliö on verrannollinen energian määrään. Siten massa ja energia ovat hiukkasen yhteydessä sama asia, kuten fysiikan tunnetuin kaava E = mc² edellyttää.

Avaruusaallossa oktaedrien lävistäjät supistelevat jaksollisesti eri vaiheissa. Protonin kvarkkien (uud) sekä neutronin kvarkkien (udd) syntyminen jaksollisista rotaatioista kuvataan myöhem-min D-teoriassa. Avaruusaallon tasakomponentti, joka suuntautuu kohti hiukkasen keskustaa, leviää hiukkasen ympäristöön saaden avaruuden kaareutumaan hiukkasen ympärillä. Hiukka-sen massa on siten kyky supistaa (kaareuttaa) ympärillä olevaa avaruutta. Avaruusmallin avulla kuvataan hiukkasen olennaisimmat ominaisuudet kuten massa, sähkövaraus ja spin.

(Antiikin Kreikassa ajateltiin, että substansseja on neljä; maa, vesi, ilma ja tuli. Nykyisen modernin teoreettisen fysiikan pyhiin kirjoituksiin varsinaisia substansseja ei ole kirjattu.)

Kun hiukkanen liikkuu vapaasti avaruudessa, sille voidaan määritellä tietty suunta havainto-avaruudessa nähtynä. Suunta on karkeistettu käsite, joka perustuu Manhattan-metriikassa sijaitsevan murtoviivan suunnan karkeistamiseen. Niinpä karkeistettua suuntaa ei todellisuu-dessa ole olemassa samassa mielessä kuin karkeistettua murtoviivaakaan ei ole olemassa. Liikesuunnan sijaan on määriteltävä hiukkaselle koko reitti määrittelemällä kokonaislukujen avulla kaikki ne pisteet, joiden kautta hiukkanen kulkee.

Liikemäärän kvantittaminen

Hiukkasen liikemäärän eli massan, nopeuden ja suunnan määräävät yksin hiukkasen projektiot 3D-pinnalla. Projektiot ilmenevät pinnan solujen kaareutumisena. Newtonin mukaan kappaleen liikemäärä säilyy loputtomiin ellei mitään vuorovaikutusta esiinny. Niinpä tieto hiukkasen suun-nasta eli tulevasta reitistä Manhattan-metriikassa sijaitsee 3D-pinnan solujen kaarevuudessa. Tieto määrää hiukkasen reitin yksikäsitteisesti reitin pituudesta riippumatta. Tarvittava infor-maation määrä on siis tavattoman suuri. Tarkastellaan seuraavaksi yksittäisen 1-ulotteisen solun kaareutumista.

P

Kuvassa jana on taivutettu mutkalle siten, että janan päät ovat vierekkäin. Janan paksuus ei ole nolla ja janan päiden välinen etäisyys on nollaa suurempi. Sen pituus on Planckin pituuden P suuruinen. Etäisyys on vakio ja pienin mahdollinen välimatka. Etäisyys on myöskin kvantittunut. Jos solun taivutusta vähennetään minimimäärä, saadaan etäisyydeksi kaksi Planckin pituutta. Etäisyyden muutos ei voi olla jatkuva, koska silloin muutoksen pitäisi voida olla myös äärettömän pieni ja luonnossa ei ole äärettömyyksiä. Kaareutumisen kvantittuminen on solujen ns. fundamen-taalinen ominaisuus.

2P

Elektronin klassisen säteen d suhde Planckin säteeseen on d / P = 0.5 x 1020. Niinpä jana, jonka pituus on d, voidaan taivuttaa lukuisiin eri asentoihin ja kaareutumisen amplitudi voi siten saada lukuisia arvoja. Silti kaikki arvot ovat täysin määrättyjä eli kvantittuneita.

81

Oletetaan, että hiukkasen liikemäärän määräävät 3D-pinnalla N kappaletta projektioon kuuluvia oktaedreja, jotka kukin pitävät sisällään 6 1-ulotteista kaareutunutta solua, joista kukin voi saada 0.5 x 1020 eri kaareutumisamplitudin arvoa. Kun lasketaan, kuinka monta eri arvoa hiukkasen liikemäärä voi tällaisesta lähtökohdasta saada, luku on niin käsittämättömän suuri ettei sitä kannata tähän kirjoittaa. Merkitään lukua kirjaimella M.

Luku M sisältää hiukkasen reitti-informaation lähes loputtomalle matkalle Manhattan-metrii-kassa ilman, että reitti missään alkaisi toistaa itseään. Reitti on täsmälleen määrätty ja hiuk-kanen, johon ei kohdistu vuorovaikutusta, kulkee reittiä jatkuvuuslain mukaisesti liikemäärän-sä säilyttäen. Hiukkasen nopeus sisältyy kaareutumisen epäsymmetrisyyden määrään ja on periaatteessa kuvattavissa ellipsin eksentrisyyden avulla, kuten myöhemmin tarkemmin esitetään.

Edellä mainittu kaareutuminen tarkoittaa 3D-pinnan sisäistä kaareutumista 3D-pinnan eri suuntiin. Niinpä hiukkasen suhteellinen nopeus ja liikesuunta ovat 3D-avaruuden suureita. Kaareutumista tapahtuu myös 3D-pintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Hiukkasen massa eli lepoenergia E = mc² saa arvonsa pitkittäissuuntaan ja kohtisuoraan suuntaan tapahtuvasta avaruuden aaltoilusta ja samalla hiukkasen absoluuttisesta vajoamisesta 4.D:n suunnassa, kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan. Myös massa on kvantittunut suure.

y

x

4.D

x

y

3D-pinnan sisäinen kaarevuus luo hiukkasen liikemäärän. Kuvassa 2-ulotteinen esitys.

3D-pinnnan kaarevuus ja aaltoilu 4.D:n suuntaan antaa hiukkaselle massan eli lepoenergian E = mc².

82

Kvanttimekaniikan ei-lokaalisuus ja kaukovaikutus

Kvanttifysiikan tunnetuimpia paradokseja on ns. EPR-paradoksi, johon monet fyysikot liittävät ns. kaukovaikutuksen. Einstein, Podolsky ja Rosen esittivät vuonna 1935 ajatuskokeen lomittuneiden hiukkasparien mittaamiseksi. Myöhemmin vuonna 1951 David Bohm esitti, että mitattaisiin hiukkasten korreloituneita spinejä. John Bell osoitti teoreettisesti, että mittauksissa ns. klassinen korrelaatio ja kvanttikorrelaatio tulisivat eroamaan toisistaan. Mittauksissa vasta 1970- ja 1980-luvuilla todettiin, että kvanttikorrelaatio todella rikkoo Bellin epäyhtälön ja poikkeaa klassisesta korrelaatiosta. Poikkeaminen merkitsee, että hiukkasten välillä näyttää olevan nollasta poikkeava korrelaatio. Klassisella korrelaatiolla tarkoitetaan makroskooppisen avaruuden eli havaintoavaruuden ilmiötä. Kvanttikorrelaatio sensijaan esiintyy ainoastaan kvantti-ilmiöiden tasolla. Tarkastellaan seuraavaksi syitä näiden korrelaatioiden eroon ja osoitetaan, että äärettömän nopeasti etenevä kaukovaikutus lomittuneen hiukkasparin välillä on virheellinen vaikkakin luonnollinen johtopäätös.

Alain Aspectin tekemässä kokeessa mitattiin 15 metrin päässä toisistaan olevien lomittunei-den fotonien polarisaatiokorrelaatio C. Mittauksessa fotonipari syntyy ja fotonit lentävät vas-takkaisiin suuntiin. Fotonien lineaariset polarisaatiot ovat samat. Molemmat fotonit ohjataan polaroiviin suodattimiin eli kiteisiin. Jos molempien polarisaattorikiteiden päästösuunnat ovat samat, kukin fotoni tekee todennäköisyydellä P = 1 aina saman kuin kaksosensa ja saadaan täydellinen korrelaatio, C = 1. Jos toinen suodatin asetetaan 45 asteen kulmaan, fotoneille saadaan sama mittaustulos 50 prosentissa tapauksista. Yksittäiselle fotonille läpäisy on täysin satunnainen eikä fotonien käyttäytymisessä ole minkäänlaista korrelaatiota. Tämä tarkoittaa, että ne tekevät saman asian 50 prosentissa tapauksista (vrt. kolikonheitto) eli C = 0 ja P = 0.5.

Kun kiteiden päästösuunnat ovat kohtisuoraan toisiaan vastaan, kaikki havaintoparit ovat vas-takkaisia eli P = 0 ja saadaan täydellinen antikorrelaatio eli C = -1.

korrelaattori

valolähdesuodatin

ilmaisin

Mielenkiintoinen tilanne syntyy, kun suodatinkiteet asetetaan täydellisen korrelaation ( 0º) ja täydellisen korreloimattomuuden (45º) väliseen kulmaan. Esim. 30º kulmassa kokeet osoitta-vat, että fotonit käyttäytyvät samalla tavalla keskimäärin 75 prosentissa ( P = 3/4 ) tapauksista. Jäljelle jäävän neljänneksen tapauksista ne ovat vastakkaisissa tiloissa. Tämä on vastoin klas-sista eli lineaarista käyttäytymistä, jolle P = 2/3, sillä todennäköisyyttä P = 1 vastaavasta kulmasta vähennetty kulma on 30 astetta eli 1 - 30º / 90º = 2/3. Huomataan, että 3/4 > 2/3, mikä merkitsee Bellin epäyhtälön rikkoutumista.

läpäisy

ei läpäisyä

+

-

a b +

-

83

Polarisaatiokiteessä fotoni läpäisee kiteen, jos sen polarisaatiokulma kiteen polarisaatiosuun-nan suhteen on pienempi kuin 45 º, ja tulos on +. Jos kulma on suurempi, ei läpäisyä tapahdu ja tulos on - . Kummallekin kiteelle saadaan päällekkäiset läpäisykulmat, kun kiteet ovat samansuuntaiset eli = 0º (katso kuva alla). Tulokset ovat fotonista riippuen vain (++) tai (- -).

Jos kiteiden välinen kulma on = 90º, läpäisykulmat eivät ole päällekkäiset. Tulokset kahdelle fotonille ovat nyt (+ -) tai (- +). Kun 0º< <90º, läpäisykulmat menevät osittain päällekkäin ja tulokset ovat satunnaisia. Tulosten korrelaation C pitäisi klassisen käsityksen mukaan muuttua lineaarisesti kulman mukana eli

C = 2 (90º - ) / 90º - 1 = 1 - / 45º

eli kulmalla = 0º C = 1 ja kulmalla = 45º C = 0 ja kulmalla = 90º C = -1.

= 0º ja C = 1 = 90º ja C = -1 = 45º ja C = 0

D-teorian avaruusmallin mukaan kvantti-ilmiöt tapahtuvat pienimmässä mahdollisessa mitta-kaavassa eli solutasolla absoluuttisen avaruuden Manhattan-metriikassa. Tällaisessa avaruudessa kaikki solutason kulmat ovat suoria kulmia. Kuitenkin makroskooppiset kappaleet ja niiden väliset makroskooppiset kulmat vaikuttavat fotonien käyttäytymiseen.

Makroskooppinen sauva kääntyy seuraavassa kuvassa pääakselin X suunnasta kulman verran. Sen pituus on Manhattan-metriikassa a solua. Sauva lyhenee pääakselin X suunnassa havaintoavaruudessa nähtynä tekijän cos funktiona. Sauvan pituus havaintoavaruudessa on neliöllinen eli L = a² ja pääakselin X suuntaisen komponentin pituus vastaavasti x = a² cos² ja Y-akselin suunnassa Ly =a² sin² .

a²

a² cos²

Y

X

Absoluuttinen avaruus on neliöllinen havaintoavaruuteen näh-den joten kvantti-ilmiön yhteydessä käytetään neliöllisiä suu-reita. Niiden avulla käyttöön saadaan oletettujen pääakseli-suuntien suuntaiset komponentit, jotka myös voidaan laskea yhteen, esim.

a² cos² + a² sin² = a².

Kulman neliölliset funktiot cos² ja sin² kuvaavat suoraan kvanttikorrelaatiota (katso seuraava sivu).

Pääakseleiden suunnat katoavat muunnoksessa havaintoavaruuteen (X x², Y y², Z z² ) eikä mikään ilmiö paljasta niiden suuntia, joten kulman sivujen suunnat voivat olla 3D-avaruudessa mitkä tahansa.

a² sin²

84

OC √2 cos

Huom! Janat AC ja BC ovat absoluuttisen avaruuden mittoja, joten ne on neliöitävä siirrettäessä havaintoavaruu-teen.

Kun = 30º, neliöllinen normalisoitu jana AC² = cos² kuvaa kvanttitodennäköisyyttä fotonien samanlaiselle käyttäytymiselle, joka on P = cos² 30º = 3/4. Tulos on sama kuin aikaisemmassa mittauksessa kvanttitodennäköisyydelle saatu. Vastaavaa klassista todennäköisyyttä kuvaa ympyrän kehällä pituus AP ja tulos on P = (90º - )/90º = 2/3.

Mittauksessa kullekin fotoniparille saadaan jokin tuloksista (++) , (- -), (+ -) tai (- +). Näitä tuloksia vastaaville todennäköisyyksille pätee P(++) + P(- -) + P(+ -) + P(- +) = 1

Fotoniparin kannalta tekijä cos² kuvaa todennäköisyyksiä P(++) ja P(- -) eli fotonien saman-kaltaista käyttäytymistä. Kun = 0, fotoniparin molemmat fotonit tekevät aina saman asian ja P(++) + P(- -) = cos² 0 = 1 ja korrelaatio C = 1. Voidaan kirjoittaa

P(++) + P(- -) = cos² .

Vastaavasti antikorrelaatiota lisääville tuloksille saadaan

P(+ -) + P(- +) = sin²

eli kulmalla = 90º fotonit tekevät polarisaatiokiteissä aina vastakkaisen asian.

Edellisessä mittauksessa tuloksien odotusarvo on

E() = P(++) + P(- -) - P(+ -) - P(- +) = cos² - sin² = 2 cos² - 1.

Odotusarvo E() saa arvot -1<= E() <= +1 ja vastaa tässä mittauksessa korrelaatiota C eli

E() = C() = 2 cos² - 1 ( = cos 2 ).

Saatu tulos on sama kuin kvanttimekaniikan korrelaatiolle antama tulos.

Havaintoavaruuden ympyrää vastaa D-teorian hypoteesin mukaan neliö absoluuttisessa ava-ruudessa. Seuraavassa kuvassa neliön sivuna on jana AB ja ympyrän kehä kulkee pisteiden A,P ja B kautta. Polarisaatiosuodatinten välinen kulma on realisoitava solutasolle, kuten seu-raavaksi tehdään.

A

B

PC

Viereisessä kuvassa kvanttikorrelaatio kuvataan absoluuttisessa avaruudessa janojen AC ja BC avulla Manhattan-metriikan mukaisesti. Janan OC pituus on vakio. Havaintoavaruudessa vastaava klassinen korrelaatio kuvataan ympyrän kehän APB avulla. Janan OP pituus on siinä vakio.

Kun polarisaatiokiteiden kulma on , klassista todennäköi-syyttä kuvaavat ympyrän kehällä pituudet AP ja BP siten, että normalisoimalla saadaan

(AP+BP)2/R = (90º - )/90º + /90º = 1.

Kvanttitodennäköisyyttä kuvaavat janojen AC ja BC neliöt. Kun Manhattan-metriikassa jana OC = OH+HC = R, niin AC² = 2R² cos² ja BC² = 2R² sin² . Normalisoimalla saadaan

(AC² + BC²) / 2R² = cos² + sin² = 1.

= 30º

RO H

OC √2 sin

85

90º

1.0

0.5

P(++) + P(- -) = cos²

30º0º

kvanttitodennäköisyysf() = cos²

klassinen todennäköisyys

0.25

0.75

60º

Todennäköisyydet P on laskettu fotonien samankaltaiselle käyttäytymiselle polarisaatiokiteissä eli tuloksille (+ +) ja ( - -).

Muita tuloksia ovat (+ -) ja (- +) .0.67

90º

1.0

0.5

E() = C()

30º

0

kvanttikorrelaatio f() = 2 cos² - 1 = cos 2

klassinen korrelaatio

60º

-1.0

Näin on osoitettu, että neliöllisessä Manhattan-metriikassa fotonien korrelaatio ilmenee kuten mittaukset ja kvanttimekaniikan teoria ovat osoittaneet.

D-teoria on ns. lokaali piilomuuttujateoria. Bellin epäyhtälön rikkoutumisen avulla on yritetty matemaattisesti osoittaa, että lokaalit piilomuuttujateoriat eivät ole mahdollisia. Lomittuneiden fotonien välillä vallitseva ei-lokaali kaukovaikutus tekisi lokaalit piilomuuttujateoriat mahdotto-miksi. Tällöin ei kuitenkaan ole otettu huomioon mahdollisuutta, että avaruus kvantti-ilmiöiden tasolla ei olekaan samanlainen kuin havaintoavaruus. Mittakaavalla ja avaruuden rakenteella on merkitystä ja niinpä tämän asian yhtenä seurauksena kvanttikorrelaatio eroaa klassisesta korrelaatiosta. Bellin epäyhtälöiden rikkoutumisen voidaankin itse asiassa ajatella osoittavan, että avaruus on kvantti-ilmiöiden mittakaavassa rakenteeltaan erilainen kuin havaintoavaruus.

Tämä tulos vastaa täysin kvant-timekaniikan ennusteita.

Tämä tulos vastaa täysin kvant-timekaniikan ennusteita.

Kulmalle 30º kvanttitodennäköisyys on cos² 30º = 0.75. Klassinen todennäköisyys on 0.67.

Huomataan, että klassinen korrelaatio ja kvanttikorrelaatio eroavat toisistaan. Klassisesti ajatellen (=havaintovaruudessa nähtynä) näyttää siltä, että hiukkasten välillä on nollasta poikkeavaa korrelaatiota eli jotain vuorovaikutusta.

86

Kvanttikorrelaatioon ei liity mitään kaukovaikutusta, kuten edellä on osoitettu. Lisäksi on ilmeis-tä, että mihinkään muuhunkaan fysiikan ilmiöön ei sellaista liity.

Moderni fysiikka perustuu kahteen suureen teoriaan; Suhteellisuusteoriaan ja Kvanttiteoriaan. Suhteellisuusteorian mukaan mikään ei voi liikkua valoa nopeammin. Kvanttiteoria toisaalta si-sältää johtopäätöksen muodossa äärettömän nopean kaukovaikutuksen. Molemmat teoriat ovat lukuisin kokein oikeiksi havaittuja. Uuden avaruusmallin avulla nämä teoriat on mahdol-lista yhdistää ja poistaa ilmeinen ristiriita. Uusi avaruuskäsitys on elementti, jonka molemmat näistä teorioista tarvitsevat.

Kaaos ja determinismi solurakenteisessa avaruudessa

Epälineaarinen järjestelmä käyttäytyy kaaosmaisesti, kun järjestelmän sisäinen takaisin-kytkentä on riittävän vahva. Tällaiselle järjestelmälle on tyypillistä herkkyys alkuarvoille. Järjestelmä ajautuu äärellisessä ajassa keskenään erilaisiin tiloihin riippuen aloitushetken alkuarvoista. Erot alkuarvoissa voivat olla äärimmäisen pieniä. Tästä on esimerkkinä ns. perhosefekti.

Solurakenteinen avaruus on suurten kokonaislukujen avaruus. Alkuarvot ilmoitetaan kokonais-lukuina ja silloin on aina mahdollista asettaa alkuarvot täsmällisesti. Silloin järjestelmä käyttäy-tyy aina tarkasti samalla tavalla. Järjestelmän kehitys on periaatteessa mahdollista ennustaa täydellisesti yksityiskohtia myöten.

Nelikantaisessa solurakenteisessa avaruudessa epätarkkuusperiaate ei merkitse todellista ennustamattomuutta, kuten fyysikot ovat tulkinneet. Kvantti-ilmiöiden tasolla liikemäärän ja pituuden tulolla x p on tarkka arvo, joka kertoo solurakenteisen avaruuden täsmällisestä geometrisesta rakenteesta. Niinpä voidaan esittää ajatus, että maailmankaikkeuden alkuhetkellä, ehkä noin 15 miljardia vuotta sitten, maailmankaikkeuden kehitys yksityiskohtia myöten oli tarkoin määrätty aina nykyhetkeen saakka. Toinen samoilla alkuarvoilla käynnistynyt maailma olisi silloin kehittynyt täsmälleen samalla tavalla.

Tästä seuraa mm. että sellaiset käsitteet kuin ”vapaa tahto” ja sattuma ovat D-teorian mukaan illuusioita. Näyttäisi siltä, että fysikaalinen maailma erityisesti kvantti-ilmiöiden tasolla on aivan erilainen kuin ihmisten tuntema makroskooppinen maailma. D-teorian malli mahdollistaa maailman ja ihmisen itsensä hahmottamisen pelkästään determinististen tapahtumien kautta. Tapahtumat ovat fundamentaalisia ja kvanttimekaanisia. Materia on käsitettävä joukoksi rinnakkaisia ja peräkkäisiä tapahtumia avaruudessa kuten hiukkasmalli edellyttää. Ihminen on ”elänyt” maailman tapahtumissa ennen syntymäänsä. Tapahtumat ovat väistämättä johtaneet ihmisen syntymään. Ihminen voi ajatella elävänsä maailman tapahtumissa ikuisesti. On lohdullista, että tapahtumiin ei voi oikeasti vaikuttaa; ”Tapahtukoon Sinun tahtosi...”

Platon: ”Jumala on geometrikko”

87

Rotaatiot ja mittaperiaate solurakenteisessa avaruudessa

Kvanttimekaniikassa rotaatioiden yhteydessä käytetyt Lien ryhmien alkiot ovat reaalilukuja. Absoluuttisessa avaruudessa ryhmien alkiot voivat kuitenkin olla pelkästään kokonaislukuja. Alkiot ovat rotaatioita. Rotaatiossa pituus aina säilyy. Tarkastellaan 2-ulotteista kokonaisluku-avaruutta N(2), joka vastaa tasoa absoluuttisessa avaruudessa.

X

YZ Hilajonot siirtyvät akselila vastakkaisiin suuntiin kunkin akselin suunnassa.

Hilajonojen hahmojen siirtymiset jokaisen 3D-avaruuden pisteen ohi vaiheittain aina samassa järjestyksessä luovat rotaatioita eli kiertoja kaikkiin avaruuden pisteisiin 3D-pinnan ulkopuolella kompleksiavaruudessa. Rotaatiot ovat samat kunakin hetkenä kaikkialla tyhjässä avaruudessa eli globaalisti.

Seuraavaksi käsitellään hilahiukkasten rotaatioita, jotka luovat hilajonojen hahmojen jaksoittaisen jä säännöllisestä liikkeen. Näistä taustasta riippumattomista rotaatioista syntyvät kaikki kvanttimekaniikan ilmiöt.

Hilajonojen hahmot liikkuvat kompleksisen avaruuden pääakseleiden projektioiden Xp, Yp, Zp ja Wp suunnissa neljässä elektronitasossa vaiheittain. Kyseessä on rotaatio eli kierto sellaisen äärellisen pisteen kannalta, joka ei liiku hilan mukana. Tällaista sarjaa kutsutaan tässä nimellä alkeisrotaatiosarja. Alkeisrotaatiosarja on pienimmän mittakaavan peräkkäisten rotaatioiden joukko ja muodostaa kussakin neljästä aliavaruudessa, kuten (X,Y,Z)-avaruudessa, yhden säännöllisen 360-asteisen (X,Y,Z)-jakson. Sen jälkeen tehdään vielä sama uudelleen samaan suuntaan.

Kun yksi tällainen 360-asteen alkeisrotaatiosarja on tehty, on hila lähes samannäköinen kuin ennen rotaatiota. Ainoastaan positiiviset ja negatiiviset hilajonot näyttävät vaihtaneen keske-nään paikkaansa eli hilassa on tapahtunut 180 asteen vaihesiirto. Jotta hila näyttäisi taas samalta kuin ennen, tarvitaan vielä toinen alkeisrotaatiosarja eli yhteensä 720º. Alkeisrotaatioista esitetään myöhemmin yksityiskohtaisempi kuvaus.

Kuvassa vektorin v pituus on 4. Ensimmäisen kierron jälkeen myötä-päivään pituus on 1 + 3 = 4, toisen kierron jälkeen 2 + 2 = 4, sitten 3 + 1 = 4 ja lopuksi pituus on 4. Rotaatio eli ryhmän alkio voidaan kul-man sijaan ilmaista kokonaisluvuilla eli edellisten summien ensim-mäisellä termillä 1, 2, 3 ja 4. Termi 4 tarkoittaa tässä 90 asteen ro-taatiota. Näin saadaan absoluuttiseen avaruuteen määritellyksi eri-laisia Lien algebroja, joiden alkiot ovat kokonaislukuja. Kvanttimeka-niikassa käytetyt Lien algebrat voidaan siis soveltaa myös absoluut-tisessa avaruudessa. Erona havaintoavaruuteen on, että vektorin v pituus ei ole yksikäsitteinen havaintoavaruuteen siirrettynä, kuten ei myöskään aaltofunktion amplitudi. (1² + 3² ≠ 4²)

v

88

Kuten myöhemmin yksityiskohtaisemmin osoitetaan, spin-½-hiukkasille pätee sama kuin hilalle; Tarvitaan kaksi täyttä alkeisrotaatiosarjaa ennen kuin ne näyttävät taas samalta.

Matemaattisesti 3D-kuorella vastakkaisiin suuntiin liikkuvat yksiulotteiset hilajonojen hahmot ja spin-½-hiukkaset sijaitsevat 2-ulotteisessa elektronitasossa kompleksiavaruudessa siten, että 2D-avaruuden virittävät akselit ovat näissä kierroissa aina hilajonojen suuntaisia. Molemmat akselit ovat kompleksisia eli ne molemmat ovat 45 asteen kulmassa 3D-pintaa vastaan. Neljäs avaruussuunta 3D-pinnan ulkopuolella kuvataan imaginäärisenä. Tällaista 2-ulotteista kompleksista avaruutta eli elektronitasoa kutsutaan rotaatioiden kannalta SU(2)-symmetria-avaruudeksi. SU(2)-rotaatioilla on kolme ns. virittäjää ja fysikaalisesti niillä on yhteys edellä esitettyihin R(3):n alkeisrotaatioihin. Tarkemmin SU(2)-rotaatioista myöhemmin D-teoriassa.

Alkeisrotaatio tapahtuu kaikkialla avaruudessa samanaikaisesti yhdellä kertaa eli globaalisti samassa vaiheessa. Alkeisrotaatiot määräävät samalla kaikkien järjestelmien aaltofunktioiden vaiheen. Niinpä kvanttimekaniikassa käytetty aaltofunktion vaihe on alkeisrotaation luonteesta johtuen globaalisti ja lokaalisti sama eli invariantti. Eli jos järjestelmän aaltofunktion vaihetta aaltoyhtälössä muutetaan, se muuttuu kaikkialla avaruudessa heti samalla tavalla. Muutoksen nopeus on näennäisesti vastoin suhteellisuusperiaatetta. Vaiheen muuttaminen eli mittamuun-nos vastaa D-teorian avaruusmallissa hilajonojen hahmojen vaiheiden muuttamista. Aaltofunk-tion vaiheen muuttamisella ei ole havaittavaa fysikaalista merkitystä. Tätä aaltofunktion ja solurakenteisen avaruuden ominaisuutta kutsutaan nimellä mittaperiaate. Mittaperiaatetta käsitellään lähemmin sähkömagneettisen kentän ja kiihtyvyyskentän yhteydessä.

Hilajonojen hahmoilla ei ole muuta mahdollisuutta kuin liikkua kuorella globaalisti vastakkaisiin suuntiin.

Liikkeen pituutta on animaatiossa liioiteltu. Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (F5).

On syytä huomata, että tehtäessä kvanttimekaanisia mittauksia sekä mitattava kohde että ha-vaitsija itse mittalaitteineen syntyvät samoista alkeisrotaatioista. Siksi ei ole mahdollista havai-ta kohteen alkeisrotaation vaihetta. Niinpä samasta syystä ei olemassa mitään mittausta, jolla aaltofunktion vaihe voitaisiin mitata. (Schrödingerin aaltoyhtälön ratkaisuissa vaihe on imagi-näärinen suure.) Ainoastaan lokaali vaihe-ero on mahdollista havaita epäsuorasti erilaisissa voimakentissä. Siitä lisää myöhemmin D-teoriassa.

Seuraavaksi tarkastellaan, mitä edellä esitetty avaruusmalli kertoo ilmiöistä nimeltä ”aaltofunk-tion romahtaminen” ja ”tietoisuuden merkitys mittauksessa”. Ne molemmat liittyvät kvanttime-kaniikan tulkintaan ja kvanttimekaniikan aikaisemmin ratkaisemattomaan mittausongelmaan.

89

Yksikäsitteinen avaruus ja "aaltofunktion romahtaminen"

Edellä mainittin, että tyhjä absoluuttinen avaruus, jossa ei ole havaittavaa valoa eikä materiaa, ei ole havaitsijalle yksikäsitteinen.

Oletetaan, että avaruudessa on makroskooppinen sauva S ja sen ympärillä on tyhjää avaruut-ta. Sauvassa on säännöllisin välein r havaintoavaruuden tunnettuja pisteitä S1, S2, ... jne. Tarkastellaan sauvan ulkopuolella olevaa absoluuttisen avaruuden pistettä P ja sen etäisyyttä tunnetuista pisteistä S1, S2, ... jne. Huomataan, että näistä pisteistä havaittuna pisteen P paik-ka ei ole absoluuttisessa avaruudessa yksikäsitteinen.

S3 S2 S1 P P2 P3

Oletetaan, että pisteen P etäisyys pisteestä S1 on havaintoavaruudessa r = a ja absoluutti-sessa avaruudessa R = a². Olkoon nyt r = a, jolloin sitä voidaan käyttää mittayksiköinä. Mittayksikkö olkoon sama molemmille avaruuksille ja mittayksikköä a ei tarvitse neliöidä, sillä 1² = 1.

P:n etäisyys rn pisteestä Sn lasketaan havaintoavaruudessa, joka on lineaarinen, pituuksien summana eli

rn = r + nr = a + na = a(1 + n) an, missä n = 1,2,3...

Absoluuttisessa avaruudessa sensijaan lasketaan ensin pituudet yhteen ja havaintoavaruu-teen siirtämiseksi neliöidään sitten summa eli Rn = (a + nr)². Kun oli valittu r = a ja pituusyksikköä eli lukua a ei neliöidä, saadaan

Rn = a(1 + n)² an²

Verrattaessa pituuksia rn ja Rn eri n:n arvoilla huomataan, että rn on lineaarinen ja Rn on siihen verrattuna neliöllinen. Ero johtaa siihen, että pisteestä S2 katsoen absoluuttisen avaruuden piste P kuvautuukin havaintoavaruuden pisteeseen P2 eikä pisteeseen P. Vastaa-vasti pisteestä S3 katsottaessa sama piste P kuvautuu pisteeseen P3. Kun tunnettuja pisteitä S1, S2,...Sn on runsaasti pienin välein, kuvautuu piste P niistä katsottuna suureksi pistejou-koksi eli leviää tyhjään havaintoavaruuteen. Jos pisteessä P olisi havaitsematon hiukkanen, sen paikka leviäisi vastaavalla tavalla ja aaltofunktio kuvaa hiukkasen leviämistä. Hiukkasen on oltava havaitsematon, sillä muuten sillä olisi yksikäsitteinen paikka lineaarisessa havainto-avaruudessa.

Aaltofunktion romahtamisen sanotaan olevan matemaattisesti hallitsematon. Lisäksi se tapah-tuu samanaikaisesti kaikkialla avaruudessa. Romahdus johtuu avaruuskuvan vaihtumisesta epälineaarisesta lineaariseksi edellä esitetyllä koordinaatistomuunnoksella. Avaruuden vaihto ei tarkoita kongreettista siirtymistä. Vaihto liittyy aina havaitsemiseen.

r r r = aRn

rn

90

Olkoon avaruudessa kaksi tunnettua pistettä A ja B siten, että havaitsija on pisteessä A. Olkoon näiden pisteiden välillä tyhjässä avaruudessa matkalla A:stä B:han hiukkanen, jota ei ole havai-ttu. Hiukkasella on absoluuttisessa avaruudessa tarkoin määritelty paikka, mutta sitä ei tiedetä. Kvanttimekaniikan mukaan havaitsematon hiukkanen on epämääräisessä tilassa ja kulkee kaik-kia mahdollisia polkuja pitkin samanaikaisesti. Epämääräisyyden syynä on D-teorian mukaan seikka, ettei tyhjä absoluuttinen avaruus ole makroskooppiselle havaitsijalle yksikäsitteinen. Vasta mittaus tekee hiukkasen paikasta yksikäsitteisen ja hiukkasen aaltofunktion sanotaan silloin romahtavan kaikkialla samanaikaisesti. Aaltofunktion romahtaminen siis tarkoittaa, että hiukkasen paikka lokalisoituu mittauksen vuoksi havaintoavaruuteen.

Kuvan värjätty alue eli tyhjä absoluuttinen avaruus ei ole havaitsijalle yksikäsitteinen. Havaitsemattomalla vapaalla hiukkasella on täsmällinen paikka absoluuttisessa avaruudessa, mutta havaintoavaruudessa sen paikka leviää kaikkialle.

Hiukkasen mittaus kesken matkan muuttaa tilanteen.

Kuvassa hiukkasen paikka saadaan Pythagoraan lauseen avulla, mutta "aaltofunktio romahtaa". x² + y² = s²

Jos havaintoavaruus ajatellaan todelliseksi avaruudeksi ja havaitsemattoman hiukkasen paikka leviää siinä laajalle alueelle, on oletettava, että hiukkanen kulkee havaintoavaruudessa samaan aikaan kaikkia mahdollisia polkuja pitkin ja aaltofunktio kuvaa hiukkasta. Oletus on tietysti arkijärjen vastainen, mutta juuri sitä absoluuttisen avaruuden yksikäsitteettömyys merkitsee, ja kvanttimekaniikka vahvistaa oletuksen oikeaksi. Neliulotteisessa absoluuttisessa avaruudessa hiukkasella on kuitenkin vain yksi paikka ja reitti.

Havaitsemiseen liittyy aina "tajunta" eli tietoisuus, jonka avulla avaruus "tajutaan" yksikäsittei-seksi, euklidiseksi ja makroskooppiseksi. Tajuamisen puolestaan mahdollistaa valon ja aineen käyttäytyminen, kuten edellä on jo esitetty. Havaintoavaruutta ei ole olemassa ilman makroskooppista tietoisuutta. Tajunnan on oltava makroskooppinen ja kyettävä karkeistamaan havainnot, mutta muita vaatimuksia sille ei ole tarpeen asettaa. Tämä kyky tuottaa absoluuttisen avaruuden komponenteista havaintoavaruuden emergentit ominaisuudet eli suunnat ja pituudet. Niinpä esim. protonilla ei voi olla tietoisuutta. Tämä avaruuskäsitys lopulta ratkaisee kvanttimekaniikan mittausongelman.

Manhattan-metriikassa matkan AB pituinen matka a+b voidaan kulkea lukuisilla eri tavoilla, jolloin reitti ei ole yksikäsitteinen.

B

y

x

a

b

91

Hiukkasen paikan määräää todennäköisyystiheys:

(x) = *(x) (x) = A1² + A2² = vakio.

Tämä lauseke kuvaa absoluuttisen avaruuden yksikäsitteettömyyttä. Koska (x) on kaikkialla vakio, vapaata hiukkasta ei voida paikallistaa. Samalla se kuvaa hiukkasen aaltofunktiota, joka leviää avaruuden yksikäsitteettömyyden seurauksena kaikkialle avaruuteen. Myös pelkkä absoluuttisen avaruuden paikka ilman hiukkasta ja sen energiaa leviää samalla tavalla havaintoavaruuteen.

Aaltofunktion fysikaalinen olemus on Standardimallissa tuntematon sen keskeisestä merkityk-sestä huolimatta. Sensijaan aaltofunktion neliö postuloidaan siinä matemaattiseksi hiukkasen esiintymistodennäköisyydeksi. D-teorian mallin mukaan aaltofunktion neliö on havaintoavaruu-dessa nähtynä kooltaan rajallisen hiukkasen absoluuttisen avaruuden sijaintipaikan leviämis-kuvio, joka syntyy absoluuttisen avaruuden epälineaarisuudesta ( = yksikäsitteettömyydestä ) havaintoavaruudessa nähtynä. Aaltofunktion neliöiminen siirtää sen havaintoavaruuteen.

Kun tunnettuja pisteitä hiukkasen ympärillä avaruudessa on riittävästi, hiukkanen on sidottu. Silloin hiukkasen vapaata liikettä rajoittaa jokin potentiaalikenttä ja hiukkasen aaltofunktio ra-joittuu potentiaalin sisään.

Aaltofunktio on aaltoyhtälön ratkaisuna kompleksinen eli sisältää reaalisen ja imaginäärisen komponentin. D-teorian avaruusmallin mukaan aaltoyhtälön energia on abstraktina suureena kohtisuorassa 3D-pintaa vastaan ja voidaan siksi kuvata kompleksisena.

Tarkastellaan seuraavaksi havaintoavaruuden syntyä Fourierin muunnoksen avulla.

Lisäämällä avaruuteen tunnettuja pisteitä avaruuden yksikäsitteisyys lisääntyy. Kun lopulta pisteitä on solutasolla nähtynä riittävän tiheässä, voidaan avaruutta pitää täysin yksikäsittei-senä. Tunnetut pisteet ovat hiukkasia ja niiden muodostama kokonaisuus on esim. makro-skooppinen kappale. Kappaleen lokalisoitumista käsitellään tarkemmin seuraavalla sivulla.

Henri Poincaré: “Jos luonnossa ei olisi jäykkiä kappaleita, meillä ei olisi geometriaa.”

Kun tunnettuja pisteitä on vain yksi, on ympäröivä avaruus kaikkialla yksikäsitteetön. Avaruu-den yksikäsitteettömyys merkitsee vapaan hiukkasen paikan leviämistä havaintoavaruuteen suureena, jota kutsutaan aaltofunktioksi

(x) = A1 e + A2 e . +ikx - ikx

92

Havaintoavaruuden synty eli kappaleen lokalisoitumisen kuvaus

Havaintoavaruuden olemassaolo perustuu tunnettujen eli havaittujen pisteiden olemassaoloon. Havaitsemiseen tarvitaan aina jokin vuorovaikutus, jonka laadulla sinänsä ei ole merkitystä. Yksinkertaisinta on kuvata vuorovaikutus säännöllisellä siniaallolla, joka on tässä yhteydessä vuorovaikutuksen abstrakti kuvaus. Vuorovaikutukseen tarvitaan kaksi tunnettua hiukkasta eli pistettä, esim. P1 ja P2. Pisteiden välinen etäisyys on samalla tarvittava abstrakti aallonpituus absoluuttisessa avaruudessa nähtynä. Aallon ajatellaan jatkuvan pisteiden ohi täyttäen koko avaruuden. Havaintoavaruuteen siirrettynä aallonpituus ja amplitudi on neliöitävä.

Havaintoavaruuden ja sen linaarisen geometrian syntymiseksi tarvitaan havaittuja kappaleita, jotka koostuvat lukuisista toisiinsa liittyvistä pisteistä ja niiden välisistä vuorovaikutuksista. Pisteiden lisääminen merkitsee vastaavien abstraktien aaltojen lisääntymistä pisteiden välillä. Aaltojen oletetaan interferoivan eli summautuvan. Jossakin mielivaltaisessa tarkastelusuun-nassa pisteiden välisten etäisyyksien voidaan ajatella karkeistettuna muodostavan jatkuvan äärellisen funktion. Jokaisen pisteen asema suhteessa kaikkiin muihin on merkittävä. Tällainen funktio voidaan kuvata siniaaltojen avulla eli Fourierin muunnoksella. Kun pisteiden väliset pituudet eli abstraktit aallot vastaavat Fourierin muunnoksen siniaaltoja, syntyy pisteiden koh-dalle avaruuteen ns. aaltopaketti. Aaltopaketti tarkoittaa pisteiden muodostaman kappaleen lokalisoitumista havaintoavaruudessa ja samalla havaintoavaruuden syntymistä. Siten Fourier-muunnosta voidaan käyttää matemaattisena mallina havaintoavaruuden syntymisen kuvauksessa.

Havaitsematon hiukkanen ei kuulu havaintoavaruuteen, siihen ei liity havaittavaa vuorovaiku-tusta, eikä siihen siksi liitetä em. aaltoa.

Mitä lähempänä soluavaruuden pienintä mittakaavaa pisteiden väliset etäisyydet ovat, sitä le-veämpi ja tasaisempi on siniaaltojen spektri. Pienimmässä mittakaavassa spektri on täysin ta-sainen ja siniaaltojen eli vuorovaikutusten amplitudit täysin homogeenisiä.

Tarkastellaan aluksi tyhjää avaruutta ja sen sisältämää ainoaa ja samalla vapaata hiukkasta. Hiukkasen koko muodostaa silloin ainoan tunnetun pituuden koko avaruudessa. Koko avaruus voidaan silloin jakaa tämän pituuden eli mitan monikerroiksi. Tarkastellaan avaruutta vain yh-dessä suunnassa. Havaintoavaruus voidaan silloin kuvata avaruuteen levinneenä siniaaltona, jonka aallonpituus vastaa ainoaa tunnettua pituutta.

P1

P2

Avaruuden kuvaus ei ole riittävä, sillä havaintoavaruutta ei voida määri-tellä yhden ainoan mitan avulla tämän tarkemmin eli ei lainkaan. Tämä tapaus kuvaa myös havaitsematonta vapaata hiukkasta, joka liikkuu vain absouuttisessa avaruudessa, koska havaintoavaruutta ei ole olemassa. Hiukkaseen liitetty abstrakti aalto leviää tasaisena kaikkialle eikä hiukka-nen ole lainkaan lokalisoitunut.

L

93

Lisäämällä avaruuteen uusia hiukkasia saadaan syntymään uusia pituuksia, joiden avulla hiukkasjoukko luo havaintoavaruuden eli lokalisoituu. Avaruus voidaan kuvata nyt aaltojou-kolla, joka sisältää enemmän aallonpituuksia. Kun hiukkasia yhä lisätään, saadaan lisää aallonpituuksia ja hiukkasjoukon eli makroskooppisen kappaleen paikka on yhä tarkempi. Kappale luo vuorovaikutusten kautta havaintoavaruuden ympärilleen eli lokalisoituu.

Kun tunnettuja pituuksia on vain yksi, on paikallinen havaintoavaruus täysin määräytymätön ja epämääräinen kaikkialla. Suuri määrä pisteitä ja niiden välisiä pituuksia luo jo tarkemman havaintoavaruuden hiukkasen kohdalle. Fysiikassa aaltopaketin lokalisoituminen merkitsee siis täsmällisemmän havaintoavaruuden syntymistä.

Edellä avaruuden mittoja eli pituuksia kuvattiin aaltoina, joilla on tietty aallonpituus. Yhdessä eripituiset aallot muodostavat aaltopaketin. Perinteisesti fysiikassa aaltopaketin lokalisoitumi-sella on kuvattu hiukkasta. D-teorian mallin mukaan lokalisoitumisessa kuitenkin on kysymys havaintoavaruuden syntymisestä ja paikan tarkentumisesta siinä.

Eräs yritys selittää lokalisoitumista on dekoherenssi eli ympäristön hiukkaseen tai kappalee-seen kohdistama jatkuva vuorovaikutus. Yrityksen taustalla on virheellinen avaruuskäsitys ja tarve etsiä kvanttimekaniikan tulkintaa.

Lisätään avaruuteen toinen samankokoinen hiukkanen, jonka etäisyys tunnetusta hiukkasesta on tarkastelusuunnassa x. Avaruuteen syntyy nyt uusi pituus x. Nämä kaksi pituutta luovat toistaiseksi koko havaintoavaruuden. Avaruus voidaan nyt kuvata kahdella aallolla, jotka sum-mautuvat seuraavan kuvan mukaisesti. Interferenssitermi määrää summa-aallon taajuudet w1 – w2 ja w1 + w2.

Kahden mitan avulla esitettynä havaintoavaruus on vielä hyvin epämääräinen.

Suuren pistejoukon avulla havaintoavaruus on hahmottunut ja piste-joukko on siinä lokalisoitunut. Ilman makroskooppisia kappaleita tai valoa ei havaintoavaruutta voi olla olemassa.

94

Käänteisavaruus

Suljetun nelikantaisen hyperoktaedrin 3-kantainen pinta rajaa avaruuden pinnan sisäpuoliseen normaaliavaruuteen ja pinnan ulkopuoliseen käänteisavaruuteen. Normaaliavaruudessa 4.D:n suuntainen etäisyys kuvataan luvulla n ja käänteisavaruudessa vastaava matka kuvataan luvulla 1 / n. Määritellään 3D-pinnan asema avaruuden säteen sunnassa lukusuoran avulla.

Normaaliavaruusn

Käänteisavaruus1/n

R

Teoreettinen kiinteän olomuodon fysiikka perus-tuu lähes täysin käänteisavaruuteen! Atomit vaikuttavat toisiinsa niiden käänteisavaruudessa sijaitsevan elektroniverhon kautta. Nelikantainen atomimalli esitellään D-teorian 2. osassa.

Neljännen kantavektorin suuntaisesti asetettu negatiivinen lukusuora alkaa nollasta (0) ja jatkuu käänteisavaruutena ykköseen (-1) saakka. Lukusuoran kohdassa (-1) sijaitsee 3D-pinta ja avaruus muuttuu normaaliavaruudeksi ja jatkuu normaaliavaruutena kohti hyperoktaedrin keskustaa. Lukusuora on negatiivinen, koska i² = -1 (i = imaginääriyksikkö).

Käänteisavaruudessa välillä (-1, 0) jokainen luku voidaan esittää rationaalilukuna -1/n, missä n on normaaliavaruuden luku. Lukusuoralla ja avaruuden rakenteella on selkeä yhteys.

Myöhemmin D-teoriassa osoitetaan, että nelikantaisessa atomimallissa atomin elektronit liikkuvat aina käänteisavaruuden puolella kvantittuneella nopeudella vn = k / n, missä n= 1,2,3... ja k = vakio. Luvut n ovat samalla lukusuoran pisteitä välillä 1 ... 68.

Luku 137 on alkuluku. Kun avaruuteen lukusuoran suunnassa syntyy aaltoja, joiden aallonpi-tuus voi olla jakovälien monikerta, on aallonpituuden tässä tapauksessa oltava yhden jakovälin suuruinen eli = 1. Alkuluku 137 ei nimittäin ole jaollinen millään kokonaisluvulla eikä näin ollen muita seisovien aaltojen aallonpituuksia voi tässä suunnassa syntyä. Aaltojonoa kutsutaan hilajonoksi ja se sisältää 137 aaltoa.

Kun etäisyydet ovat neliöllisiä eli r' = r ² = x ² + y ² + z ², voidaan myös 4.D:n eli imaginääri-akselin suuntaiset etäisyydet ottaa mukaan polun pituuden yhteenlaskuun. Voidaan kirjoittaa r' = r ² = x ² + y ² + z ² + k i ², missä i on imaginääriyksikkö ja k on vakio. Neliöllisessä avaruu-dessa ei siis esiinny kompleksilukuja. Voidaankin ajatella, että neliöllisessä avaruudessa havaitaan kaikki 4 tilaulottuvuutta, kun taas ei-neliöllisessä havaintoavaruudessamme 4.D:n suunta jää havaitsematta ja kuvataan siksi kompleksiluvuilla. Kun i ² = -1, voidaan negatiivinen etumerkki tässä tulkita viittaukseksi avaruuden sisäpuolelle, josta normaali- ja käänteisavaruudet löytyvät.

3D-pinta

Lukusuora

137 jakoväliä eli solua alueessa -1...0

Avaruuden keskipisteesen

0

-1

-2

-3

-N

136 jakoväliä eli solua alueessa 0...1

95

Solurakenteista absoluuttista avaruutta voidaan pitää pelkästään kokonaislukujen avaruutena. Kokonaisluvut ovat jakamattomia samalla tavalla kuin avaruuden jakamattomat yksikkösolut. Tällaisen avaruuden aritmetiikassa neliöjuuren ottaminen neliöllisen avaruuden pituudesta merkitsee muunnosta neliöllisestä avaruudesta lineaariseen avaruuteen ja samalla irrationaalilukujen ilmestymistä laskuihin. Absoluuttisessa avaruudessa ei ole ympyrää eikä palloa, jolloin myöskään lukua ei siellä tunneta. Irrationaaliluku syntyy vasta havaintoava-ruudessa. Irrationaaliluvut eivät ole "todellisia" lukuja samassa mielessä kuin havaintoavaruus ei ole todellinen avaruus.

Luku √ 2 on myös irrationaaliluku ja samalla se on yksikköneliön lävistäjä. Manhattan-metriikassa yksikköneliön lävistäjiä ei ole olemassa, mikä antaa vihjeen fysikaalisen tausta-avaruuden luonteesta.

Neliöjuuren ottaminen negatiivisesta luvusta merkitsee samalla muunnosta havaintoavaruuteen ja kompleksilukujen ilmestymistä laskuihin. Kompleksiluvut eivät siis myöskään ole edellisessä mielessä "todellisia" lukuja.

Walter R. Fuchs: Matematiikka:

"Irrationaaliluvut ovat siis lujasti sidoksissa neliöjuuren oton operaatioon."

96

Epätarkkuusperiaate solurakenteisessa avaruudessa

Edellä on esitetty, että pituus on solurakenteisessa avaruudessa ( = diskreetti avaruus) kvan-tittunut. Tästä seuraa monia ilmiöitä, jotka havaitaan vain pienimmässä eli kvantti-ilmiöiden mittakaavassa. Hilalla ja 3D-pinnalla on molemmilla käytössään oma pienin mittayksikkö. Ne ovat D ja d, siten että d = D. Hilan mittayksikkö D määrää yhdessä alkeisrotaatioiden kanssa rajan mittausten tarkkuudelle kuten myös kaikki pituudet.

Epätarkkuusperiaate esitetään keskiarvon keskivirheenä muodossa

x p ħ / 2 .

Suure x on paikan epätarkkuus ja p on liikemäärän epätarkkuus. Ne ovat toistensa ns. ka-nonisesti konjugoidut suureet. Toinen vastaava suurepari ovat t ja E, aika ja energia. Hiuk-kasen konjugoiduille suureille on ominaista, että niitä molempia ei ole mahdollista mitata sa-malla kertaa tarkasti. Planckin vakio ħ määrää tarkkuuden ylärajan edellisen kaavan mukaan. Selitys siihen, että esim. hiukkasen paikka ja liikemäärä eivät ole täysin tarkasti mitattavissa samanaikaisesti, löytyy hilan alkeisrotaatioista.

Tarkastellaan alkeisrotaatiota ensin X- ja Y-akselien tasossa sen alkeisrotaation aikana. X-akselilla oleva hiukkanen liikkuu hilan rotaation tapahtuessa X-akselin suunnassa ja vuorovaikuttaa hilan kanssa samassa suunnassa. Vuorovaikutuksen tulokseen eli liikemäärään p vaikuttaa suoraan hiukkasen X-akselin suuntainen nopeuskomponentti. Hiukkasen nopeus voidaan silloin mitata tarkasti, mutta paikkaa ei. Paikan X tarkkaa mittausta varten tarvitaan nimittäin jokin XY-tasoa vastaan kohtisuora vuorovaikutuskomponentti. Silloin hiukkanen ei liiku X-akselin suunnassa.

Tarvitaan siis kaksi alkeisrotaatiota keskenään kohtisuorissa tasoissa hiukkasen liikemäärän ja paikan havaitsemiseksi tarkasti. Kaksi rotaatiota merkitsee kahta eriaikaista mittausta. Molempia konjugoituja suureita ei siis ole mahdollista mitata tarkasti yhdellä mittauksella.

Kun konjugoidut suureet vaativat tarkkaa mittausta varten keskenään kohtisuorat havainnot, ovat myös itse suureet kohtisuorassa toisiaan vastaan nelikantaisessa avaruudessa. Siten konjugoidut suureet tulevat määritelleeksi avaruuteen 2-ulotteisen kompleksisen pinnan, jonka suuruus on aina jokin minimivaikutusalan ħ monikerta.

Tarkastellaan seuraavaksi konjugoituja suureita absoluuttisessa avaruudessa ja johdetaan nii-den avulla geometrisesti elektronin massa.

X

v

YRotaatio X-Y

Rotaatio Y-Z

Hiukkasen tarkka paikka X-akselilla saadaan selville vain rotaatiossa YZ-tasossa eli kohtisuoraan X-akselia vastaan, esim. Y-akselin suunnassa. Silloin hiukkanen ei voi liikkua X-akselin suunnassa eikä sillä ole mitattavaa nopeutta siinä suunnassa. Tässä rotaatiossa hiukkanen jälleen vuorovaikuttaa hilan kanssa ja tuloksena saadaan kohtisuora ”merkki” X-akselille. Vuorovaikutus kertoo nyt hiukkasen tarkan paikan X-akselin suunnassa.

D=d

dd

Z

x

97

Olkoon absoluuttisessa 3D-avaruudessa pituus x. Sitä vastaan kohtisuorassa on pituus p. Hiukkaselle, kuten elektronille, määritellään nelikantaisessa avaruudessa kaksi kohtisuoraa komponenttia, jotka ovat hiukkasen pituus x ja liikemäärä p 3D-pinnalla. Ne ovat toistensa kanonisesti konjugoidut suureet. Hiukkasen abstrakti sisäinen ominaisuus, absoluuttinen liikemäärä p = mc, on aina 3D-pinnan suuntainen.

Suureita x ja p ei voida laskea yhteen, koska niillä on havaintoavaruudessa nähtynä eri di-mensiot. Niiden pinta-alalla eli suureella A = x p on sensijaan vakioarvo. Ala A on viereisen kuvan esittämä neliön tai suorakaiteen ala. Sen pinta-alaksi voidaan kirjoittaa

ħ = x p ( = t E ) ,

missä ħ on Planckin vakio.

Kun elektronille x = R = 137,035999d ja p = mc, saadaan kaavasta ħ = x p

137,035999dmc = ħ ,

missä m on elektronin lepomassa. Elektronin lepomassalle saadaan pinta-alan A avulla

me = ħ / 137.035999 dc = 9,10953 · 10 kg

Kaavasta ħ = 137dmc saadaan kertomalla molemmat puolet nopeudella c eli

ħ c = 137d mc² = 137d E , missä mc² = E. Edelleen saadaan

h c = 2 137d E

Kun 2137d / c = t, missä t on aika, jonka valo käyttää matkaan c = 2 r = 2137d, kirjoite-taan edellinen

E t = h .

Aika t on 3D-pinnan suuntainen. Suureet t ja E ovat myös toistensa kanonisesti konjugoidut suureet.

Edellä johdettiin elektronin massa sen absoluuttisen säteen pituuden R = 137d avulla. Käytetty kaava oli x p = ħ eli Rmc = ħ . Kaava perustuu avaruuden solumaiseen rakenteeseen. Saman kaavan avulla voidaan johtaa myös protonin massa, kun protonin koko ja rakenne absoluuttisessa avaruudessa tunnetaan. Johtaminen esitetään seuraavalla sivulla.

Solurakenteisen avaruuden hilassa tämä ala A = ħ eli vaikutusala on pienin hilassa erotettavissa oleva pinta-ala ja se määrää rajan kaikkien mittausten tarkkuudelle (epätarkkuusperiaate). Pinta-ala A/2 on epätarkkuusperiaatteessa matemaattisesti keskiarvon keskivirhe.

-31

A = ħ

D=d

x

p

Pinta-ala A on pienin vaikutusala. Kun pinta käännetään kohtisuoraksi 3D-pintaa vastaan, saadaan konjugoidut suureparit E ja t.

t

E

98

Protonin massan geometrinen johtaminen

Edellä johdettiin elektronin massa geometrisesti lähtien liikkeelle kaavasta

137dmec = h / 2 = ħ eli

2 · 137d mec = h

, jossa me on elektronin massa ja 2 · 137d onelektronin projektion kehän pituus absoluuttisessa avaruudessa nähtynä.

Elektronin projektio muodostaa 3D-pinnalle kehän, jonka pinta-ala on h. Kehän sisään piirretty suorakaiteen muotoinen ala on ħ. Jotta protonin massa voitaisiin johtaa geometrisesti elektronin massan avulla, on määriteltävä sen geometrinen rakenne verrattuna elektroniin.

Kuvassa protonilla on 3 keskenään kohtisuoraa komponenttia, joista 2 on aina supistuneena (uud). Kahden vektorin d + d summa on S = √ 2 d. Summa on kompleksiavaruuden pääakselien suuntainen. Protonin komponentit eivät muodosta kehää. Edellisessä kaavassa tekijä x = 2 · 137d on elektronin projektion pituus ja se korvataan kaavassa protonin summapituudella S. Lasketaan ensin protonin yhden kvarkin massa mq ja kerrotaan se lopuksi kolmella. Edellinen kaava saadaan laventamalla muotoon

√ 2 137 d √ 2 me c = h eli

Ala = h = ħ x 2

Eh =mc²

Ala = ħ

4.D

√ 2 d mq S c = h , missä kvarkin massa mq on

mq = √ 2 137 me. Kerrotaan kvarkin massa mq kolmella ja saadaan protonin kolmen kvarkin yhteinen massa mp

mp = 3 · √ 2 · 137,035999 me = 1826,5 me

Tähän on lisättävä vielä protonin sisältämän positiivisen sähkövarauksen e+ potentiaaliener-gian massa me eli saadaan

mp = (1826.5 + 1) me = 1827,5 me.

Mitattu protonin massa on 1836,15 me eli suhteellinen ero on 0,0047. Ero johtunee siitä, että yhdessä protonin kolmella kvarkilla on sisäinen potentiaali (gluonien muodossa), joka vastaa eroa massaksi muutettuna. Potentiaalia ei ole massaa johdettaessa ja kolmella kerrottaessa huomioitu. Elektroni sensijaan on jakamaton ja sille johdettu massan arvo on tarkempi.

Käytetty kaava oli siis x p = ħ eli x m c = ħ . Käytetty kaava perustuu avaruuden solumai-seen rakenteeseen ja se määrittelee pinta-alan h, joka kuvaa ainakin elektroneja e-, e+ ja protonia p+. Sijoittamalla kaavaan Planckin pituus x = √ Għ / c³ , saadaan kaavasta massaksi Planckin massa m = √ ħc / G .

Yksinkertaistettu kuva esittää 3 protonin kvarkkia kohtisuoraan toisiaan vastaan.

D=d

d

d

99

Seuraava kuva esittää protonin kahta kvarkkia. Yksi on 3D-pinnan suuntainen ( kuvassa mustalla) ja toinen on kompleksisen hilajonon suuntaan taittunut kvarkki (punaisella) eli protonin 4.D-komponentti. Protonin kaikki kolme kvarkkia sijaitsevat 3D-pinnan yhteydessä.

Taittunut kvarkki eli protonin 4D-komponentti

3D-pinta

Protonin kvarkki, max. pituus = dHilan kuori

Hilajonoja

Kuvaan on piirretty protonin kvarkki, jonka maksimipituus on d ja minimipituus on nolla (tai Planckin pituus).

Neutroni n on vaiheeltaan 90º protonia p+ jäljessä kaikkien kolmen komponenttinsa osalta kuten myöhemmin kuvataan. Siksi se vuorovaikuttaa eri tavalla hilajonojen hahmojen muodostaman 2-ulotteisen tason eli elektronitason kanssa eikä sillä sen vuoksi ole sähkövarausta vaan ainoastaan magneettinen momentti. Protonin isospin on +½ ja neutronin -½ eli abstraktissa isospin-avaruudessa protoni muuttuu neutroniksi, kun sitä käännnetään isospin-avaruudessa 180º ja samalla kertaa hilassa 90º. Niinpä abstrakti kvanttimekaninen isospin voidaan tulkita tietyksi vaihe-eroksi kahden värähtelevän systeemin välillä.

Hilakoppi

d

100

Absoluuttinen kiertoliike silmukka-avaruudessa

Tarkastellaan aluksi silmukka-avaruutta, joka symmetrisesti koostuu kahdesta vierekkäisestä yksiulotteisesta silmukasta. Silmukat ovat solurakenteisia.

Määritellään silmukkaan koordinaatistot K ja K' eli 2 janaa, jotka ovat silmukan säteen suuntaisia. Annetaan koordinaatistojen K ja K' kiertää kummassakin silmukassa silmukan keskipisteen ympäri jollakin nopeu-della c. Kiertosuunnat ovat vastakkaiset.

Molemmissa silmukoissa solurakenteen suhteen paikoillaan oleva havait-sija huomaa koordinaatistojen tulevan kaikista (molemmista) suunnista samanaikaisesti ja pakenevan kaikkiin suuntiin. Fysikaalisesti koordinaa-tistot K ja K’ ovat valon eli fotonien lepokoordinaatisto, joka syntyy hila-jonojen hahmojen kiertoliikkeestä (rotaatioista) silmukka-avaruudessa.

Asetetaan tähän silmukka-avaruuteen symmetrisesti kaksi hiukkasta , joiden suhteen lepokoordinaatistot K ja K' kiertävät vastakkaisiin suuntiin. Olkoot hiukkaset eri silmukoissa ja vierekkäisissä soluissa. Kun hiukkaset eivät liiku toistensa eikä solujen suhteen, niiden molempien nopeus koordinaatistojen K ja K’ suhteen on sama c. Järjestelmä on symmetrinen.

Hiukkaset voivat liikkua silmukassa yhdessä solurakenteen suhteen jollakin nopeudella v, jolloin kiertoliikkeestä lepokoordinaatistojen K ja K’ suhteen tulee epäsymmetrinen. Absoluutti-set nopeudet koordinaatistojen K ja K’ suhteen ovat

w1 = c + v ja

w2 = c - v.

D-teorian nopeudenlaskusäännön mukaan hiukkasten yhteinen absoluuttinen neliöllinen nopeus on w1:n ja w2:n geometrinen keskiarvo eli

w² = w1 w2 = (c + v)(c – v) = c² - v².

Tämä nopeus kuvaa hiukkasten epäsymmetrisyyttä ja sillä on suhteellisuusteoriassa fysikaali-nen merkitys.

Tarkastellaan seuraavaksi 4-kantaista fysikaalista avaruutta, jossa lepokoordinaatistot K ja K' korvataan hilajonoista muodostuvalla avaruushilalla.

K

K'

101

Nelikantaisen hyperoktaedrin 3D-pinnalla kiertoliike tapahtuu periaatteessa samalla tavalla kuin edellä yksiulotteisessa silmukassa. Pinnan molemmin puolin sijaitsevat 45 asteen kulmassa positiivisista ja negatiivisista hiukkasista koostuvat hilajonot. Hilajonojen hahmot kiertävät alkeisrotaatioiden tahdissa silmukkaa vastakkaisiin suuntiin. Hilajonojen hahmojen ja pinnan solujen välinen nopeus olkoon c.

Kuorella sijaitsevan hiukkasen voidaan ajatella kohtavan nopeuksilla w1 ja w2 liikkuvat hilajonot. Nopeudet w1 ja w2 määräävät hiukkasen absoluuttisen symmetrisyyden.

Kuvassa epäsymmetrinen kappale liikkuu lähes valon nopeudella hilan suhteen ja toinen kappale pysyy symmetrisenä paikoillaan. Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (F5).

102

Tarkastellaan edellä esitetyn symmetrisen kiertoliikkeen vaikutusta havaintoihin. Havaitsija voi nimittäin lähettää valonsäteen poistuvan kiertoliikkeen mukana ja säde voi heijastua takaisin kohti tulevan kiertoliikkeen mukana viereisessä silmukassa.

s s

Oletetaan aluksi, että kiertonopeudet vastakkaisiin suuntiin ovat yhtä suuret eli w1 = w2 = c ja v = 0. Valo palaa takaisin kuvan molemmista peileistä samassa ajassa kuljettuaan matkat s.

Oletetaan sitten, että havaitsija liikkuu peilien mukana vasemmalle nopeudella v, jolloin kierto-nopeudet havaitsijan suhteen ovat w1 = c + v ja w2 = c - v ja w1 + w2 = 2c . Kun etäisyydet peileihin (=s) pysyvät havaitsijalle edelleen yhtä pitkinä, ovat valon edestakaiseen matkaan käytetyt ajat kummankin peilin suhteen samat eli

t = s / w1 + s / w2.

Havaitsija, joka näin mittaa “eetterin” nopeutta saa eetterille kaikissa suunnissa saman nopeu-den. Havaitsija ei voi suoraan havaita, että w1 ja w2 ovat keskenään erisuuruisia, mikä on mer-kittävä seikka. “Eetterin” nopeudelle saadaan edellisestä lausekkeesta

2s = 2 w1 w2 = w1 w2 = c² - v² = w² t w1 + w2 c c c

, missä w² = c² - v². Kun c on vakio, havaitsijan nopeus absoluuttisen lepopisteen suhteen on näin mitattuna verrannollinen neliölliseen nopeuteen w². Tätä nopeutta ei ole mahdollista havai-ta. Havaitsijalle pätee inertiaalikoordinaatistossa aina w = c. Kun nopeuden lausekkeeseen nyt asetetaan w = c eli v = 0, saadaan valonsäteen nopeudeksi kaikille havaitsijoille sama

2s = w² = c t c

Tämä tulos on sama kuin suhteellisuusteorian ensimmäinen hypoteesi. Tuloksella on vaikutus havaitsijan ajankulumisen nopeuteen ja liikkeen suuntaiseen pituuteen.

Havaitsija ei siis voi havaita nopeuksia w1 ja w2 erillisinä. Kun havaitsijalle w1 w2, havaitsija itse (hänen aaltofunktionsa) on absoluuttisesti epäsymmetrinen eikä hän siten voi asiaa havai-ta. Toiselle kappaleelle, jolle w1 = w2 = c, havaitsijan aaltofunktio sensijaan näyttää epäsym-metriseltä. Vastaavasti havaitsijalle toisen kappaleen aaltofunktio on silloin epäsymmetrinen. Tästä syntyy koordinaatistojen kiertyminen, jota kuvataan Lorentzin muunnosyhtälöillä. Edellä esitetty avaruusmalli toteuttaa Lorentzin muunnosyhtälöt, kuten kohta osoitetaan.

Kun vielä tarkastellaan edellistä kiertoliikettä havaitaan, että havaitsijalle ei ole olemassa abso-luuttista paikkaa. Peilien etäisyys s havaitsijasta voidaan määrittää ainoastaan suhteessa ha-vaitsijaan. Absoluuttisen paikan puuttuminen merkitsee myös absoluuttisen nopeuden puuttu-mista havaintoavaruudesta. Kaikki havaittavat nopeudet ilmoitetaan suhteellisen paikan muu-toksen avulla tietyssä ajassa.

Absoluuttisiksi paikoiksi voidaan teoreettisesti määritellä kaikki ne pisteet, joissa w1 = w2 = c eli paikoillaan olevat soluista muodostuva avaruus.

w1

w2

Peili Peili

103

Tarkastellaan geometrisesti hilajonojen hahmojen nopeussuhteita. Kappaleen liikkuessa silmu-kassa jollakin nopeudella v silmukan suhteen vaihtelee nopeus viereisen silmukan hilajonojen hahmojen suhteen välillä 0 < v < 2c ja viereisessä silmukassa 2c > v > 0. Näille nopeuksille voi-daan piirtää kuvaajat suorakulmaiseen koordinaatistoon ja lasketaan sitten kuvaajille geometri-nen keskiarvo.

2c

2c

y = 2c - x

y = x

c0

Suorat y = 2c - x ja y = x kuvaavat kappaleen nopeuksia hilajonojen suhteen ja x on suh-teellinen nopeus yhdessä silmukassa. Suori-en geometrisen keskiarvon neliönä saadaan

y² = (2c - x)x = 2cx - x² eli

y² + x² = 2cx ,

joka on c-säteisen ympyrän kuvaaja. Sijoitta-malla tähän x = x' + c voidaan origo siirtää ympyrän keskipisteeseen eli saadaan y' = c - x' ja y' = c + x' sekä

y'² + x'² = c² .

c

Ympyrään voidaan sijoittaa suhteellinen nopeus x = v ja saadaan absoluuttinen nopeus y = w eli w² = c² - v².

Kun määritellään silmukkaan absoluuttinen lepopiste siten, että ko. pisteessä w1 = w2 = c, ku-vaa suhteellinen nopeus v nopeutta tämän absoluuttisen pisteen suhteen.

Seuraavaksi käsitellään kahta perussuuretta aikaa ja pituutta, kun absoluuttisena lepokoordi-naatistona käytetään silmukka-avaruudessa kiertäviä hilajonoja. Lorentzin muunnosyhtälöt pe-rustuvat tähän malliin.

v

w

c

Kari Enqvist: "Mutta tietenkään ei ole olemassa mitään absoluuttista lepokoordinaatistoa."

x

y

104

(n - k) hilajonoa

Epäsymmetrinen hiukkanen ja aika

Kuvassa epäsymmetrinen (elliptinen) hiukkanen liikkuu 3D-pinnan solujen suhteen oikealle no-peudella v. Hiukkasen painopiste sijaitsee ellipsin toisessa polttopisteessä. Matkallaan hiukka-nen etenee oikealle k kuorta. Hiukkasen matkan aikana tapahtuu n kpl hilajonon ohituksia eli tapahtumia nähtynä pisteessä, joka ei liiku (eli jolle w1 = w2), ja n>k. Kuvassa menosuunnassa vasemmalle puolelle hilajonoja on piirretty enemmän eli (n + k) kappaletta, koska ne liikkuvat hiukkasta vastaan eli vasemmalle ja hiukkanen ohittaa niitä enemmän kuin toiselle puolelle piirrettyjä hilajonoja, joita on (n - k) kappaletta. Siten hilajonojen keskinäiset etäisyydet eri puolilla ovat hiukkasen koordinaatistosta katsottuna erilaiset! Etäisyydet riippuvat lineaarisesti luvuista n ja k ja etäisyydet ovat havaintoavaruudessa nähtynä neliölliset. Niinpä hiukkasen tapahtumienkin määrä riippuu neliöllisesti luvuista k² ja n².

(n + k) hilajonoa

Kuva on piirretty 4.D:n suunnasta katsottuna. Kuvassa hiukkasen 4.D-komponentti sijaitsee ensin ylempien hilajonojen puolella ja siirtyy sitten alempien hilajonojen puolelle ja taas takaisin.

Hilajonot on havainnollisuuden vuoksi sijoitettu liikesuunnan mukaan kahdelle eri puolelle.

Vaihdosta yhdeltä puolelta toiselle muodostuu hiukkaselle positiivinen ja negatiivinen puolijakso. Jakso muodostaa hiukkasen ajan, sillä muuta aikaa ei avaruuden kaikissa pisteis-sä ole olemassa. Jakso ilmenee hiukkasen projektiossa 3D-pinnalla ja sitä kuvataan Schrödingerin imaginäärisellä aaltoyhtälöllä.

Kuvasta havaitaan, että hiukkanen on liikkeensä vuoksi epäsymmetrinen eli hiukkasen koordi-naatisto on kiertynyt verrattuna hiukkaseen, joka ei liiku. Epäsymmetristä hiukkasta voidaan kuvata ellipsillä ja sen eksentrisyydellä e = k / n.

Käytetään riittävän pitkää mittausjaksoa ajan määrittämiseksi eli n on riittävän suuri. Tapahtumien neliöllinen määrä neliöllisessä avaruudessa on epäsymmetriselle hiukkaselle nyt neliöllisenä geometrisena keskiarvona

T² = (n - k)(n + k) = n² - k²

eli ajan kuluminen on verrannollinen kappaleen nopeuteen. Riippuuhan luku k kappaleen no-peudesta v. Osoittautuu, että hilajonojen hahmot ja niiden liike pinnan suhteen ovat keskeinen tekijä kaikessa havaitsemisessa ja ajan syntymisessä. Mikään informaatio ei voi avaruudessa edetä nopeammin kuin hilajonojen hahmot.

v

w1

w2

105

Aika ei ole substanssi

Modernin fysiikan mukaan aika on substanssi ja kytkeytyy osaksi avaruutta (Minkowski). D-teo-rian mukaan niin ei kuitenkaan ole. Aika on seurausta hilajonojen hahmojen absoluuttisesta kiertoliikkeestä ja kulunut aika voidaan mitata ohivirtaavien hilajonojen lukumääränä.

Tarkastellaan lähemmin edellä esitettyä vastakkaisiin suuntiin kiertävien hilajonojen hahmojen tapausta. Olkoon havaitsijan kiertonopeus molemmissa silmukoissa c. Havaitsija mittaa aikaa tapahtumien perusteella. Olkoot tapahtumat hilajonojen hahmojen siirtymiä havaitsijan ohi. Hila-jonojen väli olkoon 1 pituusyksikkö eli kuori. Koska aikaa ei substanssina ole olemassa, ei ha-vaitsijalla ole muuta keinoa esim. nopeuden mittaamiseen kuin laskea matkan aikana kertyneitä tapahtumia.

Liikkukoon valo nopeudella c silmukoissa molempiin suuntiin matkan s ja heijastukoon peileis-tä takaisin. Matka s olkoon pituudeltaan n pinnan yksikköä eli kuorta. Neliöllinen matka, jonka valo kulkee havaitsijasta peiliin on s x s = s² = n². Valon edestakaisen neliöllisen matkan pituus on S² = 2n². Matkan kestäessä havaitsija laskee omia tapahtumiaan eli hilajonojen siirty-misiään, joita kertyy kummassakin silmukassa n kappaletta yhdensuuntaisen matkan aikana. Tapahtumien neliöllinen määrä T² on sama kuin kulunut neliöllinen aika eli T² = 2n². Lasketaan edestakaiseen matkaan käytetty neliöllinen nopeus

w ² = S² / T² = 2n² / 2n² = 1.

Havaitsijan suhteen liikkuu kappale jollakin suhteellisella nopeudella v. Oletetaan, että kappa-leella on ajan mittausta varten samoin kaksi peiliä mukanaan etäisyydellä s² = n². Uusi luku k ilmoittaa pinnan yksiköissä matkan, jonka kappale liikkuu suhteessa havaitsijaan samalla, kun valo kulkee matkan n kuorta ja k<n. Tapahtumia kertyy kappaleelle eri silmukoissa valon teke-män matkan aikana (n-k) ja (n+k) kappaletta. Kappaleen ajan kuluminen lasketaan tapahtumien geometrisena keskiarvona. Saadaan T² = 2(n - k)(n + k) = 2(n² - k²). (Aika on nyt epäsymmet-rinen ja kuluu hitaammin.)

Matka kappaleesta peiliin on koko ajan n yksikköä, mutta valon kulkema matka on peilien liik-kumisen vuoksi s1 = n - k tai s2 = n + k valon kulkusuunnasta riippuen. Saadaan valon kul-kemalle edestakaiselle matkalle S² = 2 x s1 x s2 = 2(n - k)(n + k) = 2(n² - k²). Silloin

w ² = S² / T² = 2(n ² - k ²) / 2(n ² - k ²) = 1.

Saatu tulos kertoo, että havaitsijalle ja havaitsijan suhteen liikkuvalle kappaleelle peilien avulla niiden omassa koordinaatistossa mitattu valon nopeus kaikissa avaruussuunnissa on w ² = 1. Siten valon nopeudelle mitataan aina sama arvo havaitsijan liiketilasta riippumatta. Lisäksi huo-mataan, että liikkuvan kappaleen neliöllinen aika T² = n² - k² suhteessa havaitsijan aikaan T² = n² hidastuu ja vastaavasti neliöllinen matka S² lyhenee.

Edellisessä esimerkissä sekä kappale, että havaitsija ovat toistensa suhteen tietyssä asemas-sa. Vaihdetaan edellisessä esimerkissä havaitsijan ja kappaleen roolit ja muutetaan tapausta siten, että annetaan valon sijaan itse kappaleen tehdä edestakainen matka. Samalla osoite-taan, että edelleen havaitsijan suhteen liikkuvan kappaleen aika kuluu hitaammin.

106

Havaitsija ja kappale kulkekoot aluksi molemmat silmukka-avaruudessa vierekkäin siten, että niille molemmille w1 w2. Kappale kiihdytetään suhteelliseen nopeuteen v siten, että kappa-leelle w1 = w2 = c. Kappale kulkee havaitsijan suhteen matkan, jonka pituus on k. Tällöin sym-metrisen kappaleen aika kulukoon määrällä n² tapahtumaa eli siirtymää hilajonojen suhteen. Havaitsijalle sensijaan aikaa kuluu n² - k² tapahtumaa. Kappale kiihdytetään nyt takaisin kohti havaitsijaa siten, että kapppale lähestyy havaitsijaa nopeudella v. Koska havaitsija ei ole koke-nut nopeuden muutosta, hänen aikaansa kuluu lisää kappaleen ottaessa häntä kiinni sama määrä n² - k². Kappaleen aikaa kuluu nyt määrä (n + 2k)(n-2k) = n² - 4k². Lasketaan havaitsijan ja kappaleen tapahtumien määrät erikseen yhteen.

Havaitsija kappale absol. suht. nopeus

n² - k² n² n² v menomatka+ n² - k² + n² - 4k² +n² v paluumatka

2(n² - k²) = t1² 2(n² - 2k²) = t2² 2n² t1² - t2² = 2 k²

Huomataan, että kappaleelle kertynyt tapahtumien määrän geometrinen keskiarvo t2² on pie-nempi kuin havaitsijan t1². Erotus edestakaista matkaa kohti on 2k² absoluuttisessa ajassa 2n² tapahtumaa. Absoluuttisella ajalla tarkoitetaan tässä sellaisen havaitsijan aikaa, jolle w1 = w2 = c. Ei siis ole havainnoille merkitystä sillä, mikä on havaitsijan ja kappaleen yhteinen absoluuttinen nopeus silmukka-avaruudessa. Havaitsijan ja kappaleen suhteellinen nopeus sensijaan on ratkaiseva niiden keskinäisen ajankulumisen kannalta.

Edellisessä esimerkissä havaitsija ja kappale voivat mitata toistensa suhteellisia nopeuksia lä-hettämällä hilajonojen kiertoliikkeen mukana valonsäteen toisiaan kohti ja mittaamalla heijastu-neen valonsäteen kulkeman ajan. Molemmat saavat tulokseksi saman suhteellisen nopeuden v. Matkalle s pätee s = vt. Kun kappaleen edestakaiseen matkaan käyttämä aika t2 on lyhyempi kuin havaitsijan aika t1, on matkan täytynyt olla kappaleen koordinaatistossa mitattuna lyhyempi kuin havaitsijan koordinaatistossa. Nopeus v on molemmille sama.

Jos kappaleen sijaan havaitsijalle pätee w1 = w2 = c kappaleen tekemän vastaavanlaisen mat-kan aikana, saadaan tulos eli tapahtumien määrät :

Kappale havaitsija absol. suht. nopeus

n² - k² n² n² v menomatka+ n² - k² + n² +n² v paluumatka

2(n² - k²) = t1² 2n² = t2² 2n² t2² - t1² = 2 k²

Tapahtumien määrien geometristen keskiarvojen erotus t2² - t1² edestakaista matkaa kohti on tässäkin tapauksessa sama 2k². Havaitsijan aikaa kului tapauksissa eri määrät, sillä havait-sijan asema oli absoluuttisesti erilainen. Saadut mittaustulokset silmukka-avaruudessa eivät siis riipu havaitsijan tai kappaleen absoluuttisista nopeuksista, vaan ainoastaan suhteellisista nopeuksista.

Aika ei siis ole substanssi. Jokaisella havaitsijalla sensijaan on oma aikansa eli oma absoluutti-nen nopeutensa avaruudessa.(mot)

107

Käännetään kahden peilin muodostama eräänlainen kello poikittain kellon absoluuttiseen liike-suuntaan nähden. Valonsäde heijastuu peilistä toiseen ja heijastumien lukumäärä ilmaisee ajan kulumista. Olkoon peilien väli kuten edelläkin n yksikköä. Kun kellolle pätee kuvan molem-missa avaruussuunnissa w1 = w2 = c, kestää valon kulku peilistä toiseen n² tapahtumaa.

Annetaan järjestelmän liikkua kuvassa oikealle siten, että valo ehtii mittauksen aikana kulkea peilistä toiseen. Valon on silloin kuljettava vinosti murtoviivaa pääakseleiden suuntaisina osina ja matkan pituus on m² = n² + k². Matkaa pidentää peilien siirtyminen matkan k² verran, jolloin paikoillaan oleva havaitsija näkee "kellon" hidastuvan, sillä m>n.

Mittauksen aikana mukana liikkuvan havaitsijan ai-kaa kuluu edelliseen tapaan määrä t² = m² - k². Sijoitetaan tähän saatu m² ja saadaan

t² = n² + k² - k² = n².

Havaitsijan aika on hidastunut siten, että havaitsija näkee kellon käyvän edelleen samalla nopeudella eli valo tarvitsee peilien väliseen matkaan havaitsijan aikaa edelleen n² yksikköä.

Huomataan, että ajan mittaaminen on avaruussuunnista riippumaton. Siten kappaleelle on ole-massa vain yksi yhtenäinen aika, jonka absoluuttinen kuluminen määräytyy kappaleen liiketilan perusteella suunnasta riippumatta.

Kun silmukassa kaksi kappaletta sijaitsee aluksi vierekkäin samalla absoluuttisella nopeudella ja sitten kiihdytetään erilleen toisistaan, ei voida tietää kumman absoluuttinen nopeus piene-nee tai suurenee. Muutos riippuu kappaleiden absoluuttisen liikkeen suunnasta. Muutos on absoluuttinen ja kappaleille erilainen.

Mitä edellinen merkitsee 3D-avaruudessa nähtynä?

Kolmiulotteisessa avaruudessa 3D-pallon keskipisteestä lähtevä sähkömagneettinen aalto, joka etenee kaikissa suunnissa kohti pallon pintaa, heijastuu pinnasta takaisin kohti pallon keskipistettä ja saapuu keskipisteeseen kaikista suunnista samanaikaisesti. Näin on siitä huolimatta, että valon absoluuttiset nopeudet w1 ja w2 eivät ole samat kaikkiin suuntiin. Esim. GPS-järjestelmässä ei voida havaita nopeuksia w1 ja w2 erikseen, kuten seuraavaksi osoitetaan.

Kuvassa w1= w2 = c.

m

n

k

w1w2

w1

w2

108

Samanaikaisuusperiaate.

Tarkastellaan vielä tapausta, jossa havaitsija H tahdistaa itsensä suhteen levossa sijaitsevat kellot A ja B omaan aikaansa valopulssilla.

w1 w2 A H B Kappaleiden A ja B etäisyydet H:sta ovat tarkal-leen yhtä pitkät geometrisenä keskiarvona ilmoi-tettuna ja w1 > w2. Kaikki kappaleet A,B ja H ovat keskenään levossa.

Hetkellä T0 havaitsija H lähettää valosignaalina kellojen tahdistuspulssin A:lle ja B:lle. A saa pulssin ensin hatkellä Ta ja B myöhemmin hetkellä Tb. A ja B tahdistavat kellonsa ja voivat nyt odottaa hetken T ja lähettävät sitten oman kellonaikansa koodattuna valopulssina H:lle. H saa kellonajat samanaikaisesti hetkellä T1 ja toteaa aikojen olevan samat. On nimittäin niin, että A:n aika edistää B:hen nähden absoluuttisesti, mutta A:n on lähetettävä kellonaikansa H:lle aikaisemmin, jotta signaalit olisivat samaan aikaan H:ssa (w2 < w1). Tapahtuma vastaa täysin heijastumista sillä T voi olla myös nolla.

Oletetaan, että koodatut valopulssit eli kelloajat jatkavat matkaansa H:n ohi kohti A:ta ja B:tä. Ne siis ohittavat H:n samaan aikaan hetkellä T1. Saatuaan kelloajat toisiltaan A ja B toteavat, että saatujen kellonaikojen erot nykyhetkeen ovat keskenään samat. Olihan H lähettänyt het-kellä T0 tahdistuspulssin molemmille ja myöhemmin keskenään samat koodatut kelloajat kul-kivat H:n kautta samanaikaisesti hetkellä T1 kohti A:ta ja B:tä. Aikojen ero on silloin T1 - T0 -

T. Esimerkki osoittaa, että samalla etäisyydellä H:sta olevat kappaleet ainoastaan näyttävät olevan samassa ajassa. Todellisuudessa niiden asema absoluuttisessa avaruudessa määrää nopeuksien w1 ja w2 kautta niiden todellisen ajan absoluuttisen vaihe-eron.

Edellä olemme todenneet, että nopeuksien w1 ja w2 eroa ei voida koskaan havaita. Mitä merkitystä tällä erolla siten käytännössä on? Merkitys tulee siitä, että tämä näkymätön ero tarkoittaa Lorentzin muunnosyhtälöiden tarvetta ja toteutumista silmukka-avaruuden avaruusmallissa. Havainnot osoittavat, että fysikaalisessa avaruudessa aika ja pituus noudattavat näitä yhtälöitä. Albert Einstein kuitenkin kirjoitti v. 1905:

"Ei kuitenkaan ole ilman lisäoletuksia mahdollista verrata A:ssa sattuvan tapahtuman ja B:ssä sattuvan tapahtuman aikoja. Olemme tähän mennessä määritelleet vain "A:n ajan" ja "B:n ajan". Emme ole määritelleet yhteistä "aikaa" A:lle ja B:lle, sillä tällaista aikaa ei voi määritellä, kunnes asetamme määritelmänomaisesti, että "aika", minkä valo tarvitsee kulkeakseen A:sta B:hen on sama kuin kuin "aika", minkä se tarvitsee kulkeakseen

B:stä A:han."

Kyseessä on siis ilman mitään fysikaalista tai edes loogista perustetta tehty päätös. Ilman tuota oletusta olisi ilmeisesti olettava absoluuttinen tausta. Lorentzin muunnosyhtälöiden toteutuminen absoluuttisessa avaruudessa edellä kuvatulla tavalla osoittaa, että määritelmä oli virheellinen. Käytännössä sen merkitys havaitsijalle on kuitenkin olematon, sillä virhettä ei voida osoittaa millään mittausjärjestelyllä. Asia on puhtaasti teoreettinen ja avaruusmalliin perustuva.

Huom! Edellä esitetty ajan malli toimii myös kiihtyvyyskentässä ja osoittaa ajankulumisen no-peuden riippuvan kentän potentiaalista.

w2 w1S

109

Lorentzin muunnos silmukka-avaruudessa

Edellä saatiin havaitsijan suhteen liikkuvan kappaleen neliölliselle matkalle S² = n ² - k ². Kun havaitsijalle vastaava matka on So² = n ², saadaan suhteeksi

S² / So² = (n ² - k ²) / n ² = 1 - k ²/ n ² = 1 - v ²/ c ².

Kun tämä havaitsijan suhteen liikkuvassa K'-koordinaatistossa tapahtuva neliöllisen matkan ly-heneminen kuvataan havaitsijan K-koordinaatistossa x-koordinaatin avulla, saadaan

x' = x - vt

1 - v ²/ c ²

Tapahtumien määrän vähenemiselle eli neliöllisen ajan T² hidastumiselle saatiin vastaavasti T² = n ² - k ². Kun havaitsijalle vastaava aika on To² = n ², saadaan suhteeksi

T² / To² = (n ² - k ²) / n ² = 1 - k ²/ n ² = 1 - v ²/ c ².

Huom! Lukija voi löytää yksityiskohtaisen johtamisen fysiikan oppikirjoista kuten esim. lähdeluettelossa mainittu "Lyhyt modernin fysiikan johdatus".

Kun koordinaatistot ovat (x,t)-koordinaatistoja, saadaan vastaavasti ajan hidastumiselle

t' = t - vx / c ²

1 - v ²/ c ²

Lorentzin muunnokselle koordinaatistoissa K ja K' pätee absoluuttisen neliöllisen avaruuden lineaarisuuden vuoksi seuraava relaatio identtisesti:

x' ² + y' ² + z' ² - c² t' ² = x ² + y ² + z ² - c² t ².

Edellä saatiin silmukka-avaruudessa valon nopeudeksi w ² = 1 kaikille havaitsijoille, jolloin c ² = w ² = 1. Silmukassa koordinaatistossa K' pätee x' ² = n ² - k ² ja t' ² = n ² - k ² ja koordinaatistossa K pätee x ² = n ² ja t ² = n ² sekä molemmissa y, z = 0, jolloin saadaan

n ² - k ² - 1 x (n ² - k ²) = n ² - 1 x n ² eli

0 = 0.

Silmukka-avaruuden malli on yhteensopiva Lorentzin muunnosyhtälöiden kanssa. Silmukka-avaruus siis kuvaa nelikantaiseksi muutettuna fysikaalista avaruutta ja on havaintoja vastaava malli Universumille. (mot).

Simulointi

Voidaan rakentaa edellisen mallin mukainen simulaattori laskemaan silmukka-avaruudessa liik-kuvien kappaleiden ajankulumista ja matkojen pituuksia sekä valon liikettä ja esim. taajuuden muuttumista (Dopplerin ilmiötä) nopeuden mittaamista varten. Simulaattori tuottanee samat tu-lokset kuin Lorentzin yhtälöillä laskemalla saadaan liikkuville kappaleille.

110

Seitsemän kappaleen tapaus

Tarkastellaan edellisen kaltaisessa silmukka-avaruudessa 7:n samanmassaisen kappaleen tapausta. Aluksi kappaleet ovat samassa kasassa tyhjässä avaruudessa. Kappaleista keskim-mäinen A sinkoaa potentiaalienergiansa avulla muut kappaleet tiehensä eli kolme kappaletta A,x ja y lähtevät oikealle nopeudella v ja muut 3 kappaletta vasemmalle samansuuruisella no-peudella. Kappale A jäi paikoilleen. Voimme tehdä oletuksen (1), että suhteellisen nopeuden vuoksi molemmissa kolmen kappaleen ryhmissä aika kuluu keskenään samalla nopeudella ja hitaammin kuin A:ssa.

v

v vmax

H

S1 S2

Satunnainen havaitsija H parkkeeraa kolmen oikealle liikkuvan kappaleen viereen. Kohdassa S1 kolmen kappaleen ryhmän keskimmäinen B puolestaan sinkoaa kaksi muuta kappaletta x ja y tiehensä samoilla kiihtyvyyksillä siten, että kappale x kiihtyy kohti kappaletta A ja pysähtyy A:n suhteen. Kappale y kiihtyy vastakkaiseen suuntaan ja jatkaa nopeudella vmax suhteessa A:han. Havaitsija H huomaa, että kappaleen B nopeus ei muuttunut ja tekee oletuksen (2), että kappaleiden x ja y aika kuluu keskenään samalla nopeudella, mutta hitaammin kuin B:n aika.

Kappaleen A mielestä x ei liiku lainkaan A:n suhteen, mutta y liikkuu nopeudella vmax. Niinpä A voi nyt olettaa, että y:n ajankulku on hidastunut mutta x:n ei. Tämä oletus on kuitenkin ristirii-dassa havaitsijan H tekemän oletuksen (2) kanssa. Havaitsija H ei tiedä, että B,x ja y ovat aikaisemmin kokeneet kiihtyvyyksiä. Onko silloin myös oletus (1) virheellinen?

Asian selvittämiseksi kappaleet x ja y kutsutaan takaisin B:n luokse ja kappaleiden kelloja ver-rataan. Eli aluksi kappale x saa A:n suhteen nopeuden vmax kohti B:tä ja kappale y pysäyte-tään A:n suhteen. Havaitsijan H mielestä kappaleet palaavat samalla suhteellisella nopeudella B:n luokse. Kolme kappaletta kohtaavat samanaikaisesti pisteessä S2, jossa x ja y kokevat jälleen kiihtyvyyden asettuessaan B:n nopeuteen. Havaitsija H huomaa, että x:n ja y:n kellot ovat samassa ajassa. Oletus (2) oli siis oikea, mutta niin myös A:n sinänsä ristiriitainen havain-to. Havainnon jälkeen nimittäin x kulki nopeudella vmax saman matkan kuin y. Kappale y oli pysähtyneenä S2:ssa saman ajan kuin x kohdassa S1. Niinpä kappaleet x ja y kulkivat samaa silmukka-avaruuden reittiä pisteeseen S2, joten niiden kellotkin kävivät saman ajan mutta vasta perillä S2:ssa nähtynä. Ristiriitainen havainto tehtiin kesken matkan ja se oli ristiriidan syy.

Reitillään kappaleet, paitsi A, siirtyivät silmukka-avaruuden säteen suunnassa alas ja siellä aika kuluu aikaisemmin esitetyllä tavalla hitaammin.

x B yAx B y v

111

Spin – rotaatiot

Allaoleva kuva esittää kahta oktaedria. Oktaedreissa on kummassakin lävistäjällä yksi punai-nen jana. Vasemmalla janan pituus on ½ lävistäjää ja oikealla koko lävistäjä. Vasemmanpuo-leiselle janalle on rotaatioissa olemassa eri pääakselin suunnissa 6 eri asentoa. Oikeanpuo-leisessa oktaedrissa asentoja janalle on vain 3. Kun janojen rotaatiot tapahtuvat toisiinsa tah-distettuna, kiertää oikeanpuoleisen oktaedrin pidempi jana oktaedrissa 2 kierrosta siinä, kun vasemmanpuoleinen jana kiertää vain yhden kierroksen.

Vasemmanpuoleinen ½-kuoren pituinen jana esittää elektronia hilakopissa. Elektronin spin on ±½. Antiava-ruuden hilakopissa spin saa negatiivisen arvon.

Merkitään oktaedrin keskipiste origoksi ja nimetään pääakselit kirjaimilla x, y ja z.

Vasemmassa oktaedrissa saadaan janan rotaatioille globaalisti jakso T = x, y, z, -x, -y, -z. Jos vain janan sijainti jollakin pääakselilla huomioidaan, saadaan lokaalisti T = x, y, z, x, y, z. Oikeanpuoleisessa oktaedrissa syntyy vastaavissa 90 asteen rotaatioissa kaksi jaksoa, jotka ovat t1 = x, y, z ja t2 = x, y, z. Lävistäjän puolikkaan siis pitää kiertää lokaalisti nähtynä ympäri kaksi kertaa eli 720º ennenkuin se näyttää taas globaalisti samalta. Rotaatiosymmetria on sille siten samankaltainen kuin symmetria-avaruudessa SU(2).

Alemmassa kuvassa ½-kuoren pituinen hilahiukkanen kiertää kopissaan 6 vaihetta molempiin suuntiin. Aluksi rotaatiokulma on +90º ja palatessa -90º. Tuloksena on kaksi jaksoa eli aaltoa.

-z-y-xzyx

+90º

-90º

z

yx

Spin-1-lävistäjä edustaa hilassa yhden hilakuoren eli lävistäjän kokoa, kun spin-½-jana edus-taa kuoren puolikasta. Spin-1-rotaatiot on esitetty alemmassa kuvassa.

4x

0

T

112

Spin-2-rotaatio saadaan yhdistämällä kuorenkokoisia ok-taedreja suuremmaksi oktaedriksi. Siinä on 6 eri asentoa spin-1-rotaatioille ja 6 x 6 asentoa spin-½-rotaatiolle. Suu-remman oktaedrin lävistäjälle saadaan silloin spin-2-rotaa-tiot, joille on 3 eri asentoa. Siinä kiertää täyden jakson vä-hemmillä rotaatioilla verrattuna spin-1- ja spin-½-rotaati-oon.

Spin-1-rotaatioksi eli yksikkörotaatioksi voidaan periaat-teessa valita mikä tahansa rotaatio. Solurakenteisen ava-ruuden kuorialkio on kuitenkin pienin säännöllinen ele-mentti, joten sen valinta on perusteltu.

Yllä olevassa kuvassa vektori edustaa hilahiukkasta. Vektori kiertää vuorotellen kussakin ta-sossa A,B ja C myötäpäivään 90 astetta. 3D-avaruus ei ole kiertojen suhteen kommutatiivinen eli vaihdannainen, joten ei ole mahdollista kiertää tasot samassa järjestyksessä vastaavan pi-tuista kierrosta vastapäivään, vaan on vaihdettava tasojen järjestys päinvastaiseksi eli C,B ja A. Silloin vektori palaa samojen mutta negatiivisten rotaatioiden kautta takaisin.

Edellä esitetyt rotaatiot tapahtuvat kompleksitasoissa 3D-pinnan ulkopuolella. Janoilla on siellä imaginäärinen ja reaalinen komponentti. Reaalinen komponentti on 3D-pinnassa 45º kulmassa 3D-pinnan pääakseleita vastaan. Miten 3D-pinnan suuntaiset komponentit sijoittuvat 3D-pinnalle? Spin-½-hiukkasilla on hilakopissa 6 eri asentoa. Voidaan ajatella, että jokainen niistä projisoituu aina kuhunkin tasoista xy, yz ja zx.

AB C

y

x

y

z

z

x

Hilajonojen hahmot ovat aina 45 asteen kulmassa 3D-pintaan nähden Siten kuuden eri asennon projektiot eri

tasoissa xy, yz ja zx. voidaan esittää viereisen kuvan mukaan.

Huomaa, että esim. xy-tasossa on joka tilassa (6 kpl) aina jonkin suuntainen projektio!!!

Tasossa xy kompleksisen spin-½-janan positiivisen vaiheen (vihreä jana) projektio osuu positiivisten x- ja y-akseleiden väliin ja negatiivinen (punainen jana) vastaavasti negatiivisten x- ja y-akseleiden väliin.

113

Hila-avaruuden rotaatiot

Tarkastellaan seuraavaksi 3D-pinnan ulkopuolella sijaitsevan hilan pienintä säännöllistä yksik-köä eli yhden kuoren kokoista yksikkökoppia eli hilakoppia. Koppi on kolmiulotteinen ja muo-dostuu oktaedrin lävistäjistä. Ne ovat 45 asteen kulmassa 3D-pintaan nähden. Tarkastellaan aluksi hilakopin yhtä kaksiulotteista tasoa rotaatioiden suhteen.

Hilakoppi pitää sisällään yhden hilahiukkasen, jonka pituus on puolet oktaedrin lävistäjästä. Seuraavassa kuvassa hilahiukkanen on etumerkistään riippuen väriltään joko punainen tai vihreä. Rotaatiossa hilahiukkanen kääntyy kerralla 90 astetta ja sen etumerkki muuttuu kahdesti puolijakson T aikana. Hiukkanen käy 3-ulotteisen hilakopin rotaatiossaan läpi 6 asentoa ja ajan suunnan kääntymisen jälkeen palaa samojen vaiheiden kautta takaisin.

Hilahiukkanen kääntyy hilakopissa ja sen vaihe samalla muuttuu. Hilahiukkasta kuvataan myös kaarevalla nuolella, joka kuvaa kaareutunutta solua erotukseksi tyhjästä suorasta solusta. Jakson kääntymiskohdassa hetkellä T kaareutumisamplitudin suunta ja pyörimissuunta vaihtuvat. Hilakoppi on 3-ulotteinen, joten vaiheita on todellisuudessa 6 mutta niitä kaikkia ei ole huomioitu kuvassa. Hilajonojen hahmot elektronitasossa muodostavat 2-ulotteisen tason, jota kuva esittää. Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (painike F5).

Hilahiukkasen aloituskohdasta (kuvassa t=0) riippuu mihin vaiheeseen kääntymiskohta (kuvassa T) osuu. Aika T on alkeisajan puolijakso.

Kaikissa hilakopeissa rotaatiot tapahtuvat samalla hetkellä. Rotaation suunta ja vaihe kuiten-kin riippuu hilakopin sijainnista hilasta. Vierekkäisissä kopeissa samalla kuorella hilahiukkasen vaiheet saavat hilajonojen hahmojen 2-kantaisella pinnalla 4 eri arvoa, 0º, 90º, 180º ja 270º.

Yhdessä kaikki hilahiukkaset muodostavat kopeissaan hilajonojen hahmot, jotka rotaatioissa näyttävät liikkuvan kompleksisen hilan jonkin pääakselin suuntaan ja takaisin. Hilajonot eivät siis todellisuudessa liiku vaan ainoastaan niiden hilahiukkasista muodostuvat 2-ulotteiset hahmot.

Hilahiukkasen edestakainen liike muistut-taa mekaanisen kellon liipottimen liikettä.

Kääntymis-kohta

Aloitus-kohta

0

0

T

t

t

T

Pariton pariteetti

Parillinen pariteetti

114

Kuva esittää hilakopissa kiertävää hilahiukkasta eri vaiheissaan. Hilahiukkanen on 1-ulotteinen ½-kuorta pitkä solu, joka erotetaan tyhjistä soluista kaarevuutensa vuoksi. Kaarevuus merkit-see kaarevuusamplitudia ja energiaa.

Kuvan hilakopissa hilahiukkanen kiertää eri vaiheissa myötäpäivään ja säilyttää koko kierrok-sen ajan kaarevuutensa suunnan suhteessa kiertoliikkeen suuntaan. Hilakoppiin on piirretty 2 lävistäjää, joiden suhteen hilahiukkasella on kaarevuusamplitudi, joka määrää hiukkasen etumerkin yhdessä pyörimissuunnan kanssa eli kuvassa värin vihreä (+) tai punainen (-).

Hilahiukkanen kuvataan kuvassa positiivisen ajan suunnan aikana vihreänä kopin oikeanpuoleisessa osassa ja punaisena vasemmassa osassa. Kun hilahiukkanen alemmassa kuvassa kiertää kopissa vastakkaiseen eli negatiiviseen ajan suuntaan, on myös kaarevuusamplitudi vastakkainen etumerkiltään. Antihilahiukkasille akselien suunnat ja värit ovat kummallakin ajan suunnalla päinvastaiset kuin hiukkaselle.

_

+

Hilahiukkasella on impulssimomentti, joka kuvaa sen pyörimisen määrää eli spiniä. Sen arvo on s = ½ ħ.

Edellä on esitetty, kuinka etäisys lasketaan neliöllisessä solurakenteisessa avaruudessa. Kun on kyse akselin ympäri pyörivän säteen pituuden laskemisesta ja pyöriminen tapahtuu hilako-pin keskipisteen ympäri, säteelle saadaan r ² = de. Kun e = d + 1, niin r = √ d (d+1)

+

e

r

Vastaavasti elektronin kokonaisspinin itseisarvoksi saadaan

S = √ s (s+1) ħ, joka on sama kuin geometrinen keskiarvo

ja s = ½.

d

+

-

_

Antihilahiukkanen

+

-

AntihilahiukkanenHilahiukkanen eri vaiheissaan

Hilahiukkanen eri vaiheissaan ajan suunnan kääntymisen jälkeen

_

+

_

+

+

_ _

+

_

+ +

_

115

Allaolevasta kuvasta nähdään hilahiukkasten hetkelliset kiertosuunnat ja vaihe-erot. Hila-hiukkaset muodostavat positiivisten (vihreä) ja negatiivisten (punainen) hilajonojen hahmot.

Yksinkertaistetussa kuvassa hilahiukkanen on hilakopissaan kuvattu vihreällä tai punaisella nuolella. Nuolet pyörivät kopeissaan muodostaen yhdessä vihreiden ja punaisten hilajonojen hahmot. Kuvaan ei ole piirretty tyhjien hilajonojen hahmoja. Nuolien pyöriessä hilajonojen hahmot siirtyvät tasossa oikealle ja vasemmalle. Nuolien pyörimissuunnan eli kvanttimekaanisen ajan vaihtuessa vastakkaiseksi, myös hahmojen liikesuunnat vaihtuvat. Näin hilajonot tai paremminkin niiden hahmot liikkuvat tasossa edestakaisin vastakkaisiin suuntiin vakionopeudella. Aika syntyy näiden hahmojen liikkeestä.

Hilajonojen hahmojen leikkauskohdat sensijaan liikkuvat kuvassa alas ja ylös kvanttimekaanisen ajan suunnasta riippuen.

Tarkastellaan seuraavaksi hilahiukkasten yhdessä hilaan muodostamia hahmoja, joita hilajo-noiksi kutsutaan.

Hilajonojen hahmojen nopeudet ajan T eli 6 rotaation ajan ovat c ja -c. Seuraavan alkeisajan puolijakson T aikana hilajonojen hahmojen nopeudet ovat päinvastaiset -c ja c. Nopeudeksi molempiin suuntiin muodostuu silloin nopeus c. Se on sama nopeus, jolla vuorovaikutus hilassa voi korkeintaan edetä.

Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (painike F5).

Kuo

ri

Negatiivinen hilajono

Positiivinen hilajono

Hilakoppi

apuviiva oktaedrien hahmottamiseksi

116

Tasossa sijaitseva hiukkanen kohtaa siis vuorotellen hilajonojen hahmojen liikkeen oikealle tai vasemmalle nopeudella c. Silti ainoa todellinen liike on kopeissa tapahtuva pyörimisliike, joka luo ajan jokaiseen hilan 3-ulotteiseeen koppiin. Hiukkanen ei siis vaihda vastakkaiseen suun-taan liikkuvien hilajonojen puolelle ja takaisin, kuten kerran on havainnollisuuden vuoksi esitetty, vaan hilajonojen hahmot liikkuvat vastakkaisiin suuntiin edestakaisin nopeudella c.

Edellä on tarkasteltu vain yhtä hilajonojen hahmojen 2-ulotteista tasoa. Tasosta huomataan, että vierekkäisissä hilakopeissa pyörimisliike on lävistäjien suunnissa nähtynä suunnaltaan päinvastainen. Hila jakautuu siis pyörimissuunnan mukaan kahteen osaan eli lomittuneisiin vyöhykkeisiin. Yhdessä hilakopissa sijaitsee hilahiukkanen ja viereisessä sen antihiukkanen, joka pyörii vastakkaiseen suuntaan. Antihiukkasilla on kuitenkin sama spin kuin hiukkasilla mutta vastakkaiset pariteetit. Spinien sama etumerkki johtuu siitä, että antihiukkasella alkeisajan puolijakso T on negatiivinen ja amplitudi myös. Kahden negatiivisen tulo on positiivinen. Vastakkaiset spinit sensijaan löytyvät antiavaruuden puolelta, joka on lomittunut kuvan oktaedrien lävistäjien kanssa.

Elektronit e- ja e+, joilla on samat spinit, sijaitsevat siis yhteisen avaruutensa vierekkäisissä hilakopeissa eli oktaedreissa. Mutta esim. kaksi positronia e+, joilla on vastakkaiset spinit, sijaitsevat avaruudessa ja antiavaruudessa. Kvanttimekaniikasta tiedetään, että hiukkasella ja sen antihiukkasella on sama massa ja spin, mutta sähkövaraus ja muut sen kaltaiset kvantti-luvut ovat vastakkaismerkkiset.

Hilan kuorella on säännöllisessä järjestyksessä alueita, joissa elektronin kiertosuunta hilassa on myötäpäivään ja viereisessä alueessa vastapäivään. Elektronit e- ja e+ ovat toistensa antihiukkasia. Ne pyörivät hilassa vastakkaisiin suuntiin. Siten voidaan ajatella, että ne pyörivät myös ajassa vastakkaisiin suuntiin. Elektroni e- tai e+ ei voi siirtyä koskaan paikkaan, jossa se joutuisi pyörimään itselleen vastakkaiseen suuntaan.

Yhteenvetona voidaan todeta, että kompleksiavaruus jaetaan toisiinsa lomittuneisiin avaruu-teen ja antiavaruuteen. Tämä jako antaa hiukkasille vastakkaismerkkiset spinit, esim +½ ja - ½. Edellä esitetty hilan jakautuminen rotaatiosuuntien mukaan lomittaisiksi saarekkeiksi jakaa hilan sähköisesti positiiviseen ja negatiiviseen osaan eli alueisiin, joissa hiukkasen varaus on +q tai –q. Näin on saatu geometrinen tulkinta fysiikan kahdelle tärkeälle polarisoituneelle suureelle; spin ± ja sähkövaraus ±.

Miten e+ ja e- sitten erottuvat toisistaan, kun pyörimissuunta säännöllisin välein vaihtuu? Tässä mittaperiaate ja aaltofunktion vaiheinvarianssi tulevat apuun, kuten seuraavaksi kerrotaan.

Varaussymmetria

3D-avaruuden ulkopuolella sijaitseva hila koostuu siis hilakopeista, joissa on kusssakin myötä- tai vastapäivään pyörivä hilahiukkanen. Määritellään, että tietyllä hetkellä myötäpäivään pyörivät hilahiukkaset ovat positroneja ja vastapäivään pyörivät hilahiukkaset ovat elektroneja. Pyörimissuunnan vaihduttua positroneista tulee elektroneja ja päinvastoin. Tämä on vastoin totuttua ajattelua. Kun kuitenkin huomioidaan, että pyörimissuunnan vaihto tapahtuu globaalisti eli kaikkialla ja samanaikaisesti, ei ole olemassa absoluuttista vertailukohtaa, johon esim. hiukkasen varausta voitaisiin verrata.

117

Niinpä, kun positronin e+ pyörimisuunta kääntyy ja hiukkanen vaihtuu elektroniksi e-, ei ole olemassa missään muuttumatonta varausta, johon uutta arvoa voitaisiin verrata. Kaikkien vertailuvaraustenkin varaukset ovat kääntyneet. Kun hiukkaset e+ ja e- eroavat toisistaan vain hetkelliseltä pyörimissuunnaltaan, mistä tiedetään kumpi on kumpi?

Atomiytimen varaus on positiivinen ja sitä ympäröivien elektronien varaus on negatiivinen. Se on kuitenkin vain määrittelykysymys ja oleellista on, että varaukset ovat aina vastakkaiset ja esim. ytimien varaukset keskenään samansuuntaiset. Kun molemmat samanaikaisesti vaihtu-vat kaikkialla vastakkaisiksi, ei muutosta ole mahdollista huomata. On vain verrattava tutkitta-van elektronin varausta esim. atomin ytimeen tai sen elektroneihin ja siten saadaan selville onko se e+ vai e-. Niinpä vaikka hiukkaset kaiken aikaa vaihtuvat toisikseen, voidaan puhua erikseen hiukkasista e+ ja e-. Syytä siihen, että atomin ytimessä on juuri positiivinen varaus, ei enää ole olemassa. Valinta on tapahtunut maailman syntyhetkillä. On silti mahdollista rakentaa antiatomi, jossa varaukset ovat päinvastaiset.

Aaltofunktion globaali vaiheinvarianssi tarkoittaa, että vaiheen kiertosuunta voidaan kääntää päinvastaiseksi siten, että kaikki hiukkaset muuttuvat antihiukkasikseen eikä muutosta ole mahdollista havaita. Aaltofunktion vaihe on imaginäärinen. Invarianssi tarkoittaa, että siihen liittyy symmetria, esim. ajankääntösymmetria, ja fysikaalisen suureen säilyminen.

Elektronilla on, kuten edellä esitettiin, negatiivinen ja positiivinen puolijakso sinä aikana T, kun hilakopissa tapahtuu kierto vain yhteeen suuntaan. Se mahdollistaa elektronien e+ ja e- erot-tumisen toisistaan. Niiden puolijaksot ovat vuorovaikutuksiltaan vastakkaismerkkiset.

T

Elektronin vaiheet elektronitasossa

Elektronin rotaatioiden suunta

T

e+ e-Elektronin mallissa toteutuu mittaperiaate; Ei ole olemassa mitään kiinteää nollakohtaa, johon esim. varaus voitaisiin mitoittaa. Vain erot, tässä tapauksessa vaihe-erot, ovat merkittäviä.

Kiertosuunta vaihtuu hetkellä T.

0

0

Pyörimissuunnan vaihtuessa avaruudessa ja antiavaruudessa globaalisti samalla hetkellä vaihtuvat myös hiukkasten spinien etumerkit. Avaruuden +½-hiukkasista tulee -½-hiukkasia ja päinvastoin.

118

Elektroni hilakopissa

Edellä elektronit olivat hilahiukkasia, joiden pituus on ½-kuorta. Hilan osana niitä ei ole mah-dollista mitenkään suoraan havaita. Seuraavaksi käsitellään ½-kuorta pitkiä elektroneja, jotka liikkuvat hilassa, eivät ole kiinteä osa sitä ja ne voidaan havaita.

Yksiulotteinen elektroni e- tai e+ sijaitsee 3D-pinnan ulkopuolella hilakopissa ja on mukana hilan rotaatioissa. Samalla elektroni vuorovaikuttaa hilajonojen kanssa aiheuttaen hilavirran, jota virtuaalisiksi fotoneiksi kutsutaan. Hilavirta puolestaan polarisoi hilan ja synnyttää siihen sähköisen ja magneettisen potentiaalin. Sähköinen potentiaali on 3D-pinnan suuntainen ja magneettinen potentiaali on kohtisuorassa 3D-pintaa vastaan siten, että se on nolla 3D-pinnan tasossa eikä läpäise 3D-pintaa. Niinpä magneettikenttää ei havaita, jos havaitsijan koordinaatisto on varauksen aiheuttajan kanssa samassa 4.D-tasossa eli nopeuseroa ei ole.

Elektronit e- ja e+ eivät pyöri hilakopissa yksin vaan hilahiukkasen kanssa.

Elektronit e+ ja e- vaikuttavat hilajonoihin hetkellisesti vastakkaissuuntaisesti ja pyörivät hilakopissa vastakkaisiin suuntiin.

Elektroni e- vuorovaikuttaa hilan kanssa ja luo hila-virran Id. Positroni e+ aiheuttaa hilaan vastakkais-merkkisen hilavirran. Kuvassa hilavirrat kumoavat toisensa.

e+

Elektroni e+ Elektroni e-

e-

Elektronia kuvaavaan symboliin on merkitty elektronin hilahiukkaseensa kohdistaman vuorovaikutuksen suunta. Elektroni “potkaisee” hilahiukkasen aina hetkeksi ulos hilakopista virtuaaliseksi fotoniksi.

Kuvaan on merkitty neljä elektronia. Sijainti avaruudessa määrää niiden etumerkin ja vaiheen. Elektronit e+ ja e- luovat vastakkaisista pyörimissuunnistaan ja vaiheistaan johtuen vastakkaissuuntaisen hilavirran. Elektronin vaihe määrää sen käyttäytymisen. Pyörimissuunnan vaihto eli kvanttimekaanisen ajan suunnan vaihto vaihtaa ne antihiukkasikseen.

Id

Id

Id

Id

e+

e-

Id

e+

Id

e-

Hilahiuk-kanen

positroni elektroni

119

Ajan suunnan vaihtuessa hilahiukkasten etumerkit (värit) ja kaarevuusamplitudit vaihtuvat. Silloin hila polarisoituu elektronin vaikutuksesta vastakkaisen suuntaiseksi. Symmetria toteutuu.

Tarkastellaan elektronin ja näkymättömän elektronin eli hilahiukkasen rotaatioita 3-ulotteises-sa hilakopissa. Kuva esittää elektronia e ja hilahiukkasta g kolmessa eri asennossa eli vaiheessa. Vasen kuva esittää 3 ensimmäistä vaihetta ja oikea 3 seuraavaa vaihetta eli yhteensä yksi puolijakso. Eri vaiheissa kullekin akselille syntyy positiivinen ja negatiivinen hilavirta Id, mutta hilan polarisoituminen akselilla tapahtuu vain yhteen suuntaan. Seuraavalla puolijaksolla hilavirrat polarisoivat hilan vastakkaissuuntaisesti.

ee

e g

gg

g

e

eg

e

g

Id

Id

Id

IdId

Id

Vaiheet 1., 2. ja 3.

1.

2.

3.

4.

5.6.

Vaiheet 4., 5. ja 6.

Kuvan akselien suunnat projisoituvat 3D-pinnalle 45 asteen kulmaan pinnan pääakselihin nähden.

120

Elektronit e+ ja e- vuorovaikuttavat hilajonoihin vastakkaissuuntaisesti. Niiden vaiheiden ero on siten 180 astetta. Tässä tarkoitettu vaihe-ero syntyy siitä että, kun elektroni on kaareutunut jana, elektronit e+ ja e- kaareutuvat vastakkaisiin suuntiin.

Hilahiukkanen ja elektroni ovat hilakopissa samanlaisia spin-½-hiukkasia. Elektroni muodostaa yhdessä hilahiukkasen eli näkymättömän elektronin kanssa hilakopin lävistäjän eli pyörivän kokonaisuuden. Hiukkasten kaareutumissuunta kertoo niiden todellisen pyörimissuunnan. Se on elektroneille e- ja e+ sama kuin hilahiukkasen normaali pyörimissuunta.

Positronia pidetään kvanttikenttäteoriassa ajassa taaksepäin liikkuvana hiukkasena.

Elektronin spin-impulssimomentti on kvantittunut eikä sitä ole mahdollista muuttaa millään keinolla. Pyörimisnopeus on kytketty suoraan samoihin hilajonojen alkeisrotaatioihin, jotka luovat ajan 3D-pinnalle.

Koska elektroni kiertää kompleksisessa 3D-oktaedrissa eli hilakopissa, voisi ajatella, että sitä kuvataan SU(3)-symmetria-avaruudella. Näin kuitenkaan ei tehdä, koska elektroni vuorovai-kuttaa hilajonojen hahmojen kanssa ja ne muodostavat avaruuteen 2-kantaisen kompleksisen tason. Vuorovaikutuksia tässä tasossa kuvataan symmetria-avaruudella SU(2). Hilajonojen 2-kantaiset hahmot sijaitsevat kompleksiavaruudessa ja ne vaativat elektronin tavoin 6 vaihetta yhtä puolijaksoa T kohti. Koko jakso käsittää rotaatiot myötä- ja vastapäivään eli yhteensä 12 rotaatiota.

e+

e-

Hilahiukkanen

e+

e-

Hilahiukkanen

90º myöhemmin:

90º myöhemmin:

e+

e-

Hilahiukkanen

Id

Id Id

Id

IdId

e+

e-

Hilahiukkanen

Id

IdElektroni e+

Elektroni e-

Hilahiukkanen

121

Elektronit e+ ja e- polarisoivat hilan absoluuttisesti tietyn suuntaiseksi, kunnes pyörimissuunta vaihtuu.

e+ e-

Elektroni ja positroni polarisoivat hilan absoluuttisesti vastakkaisiin suuntiin. Kuvasta puuttuu 4.D:n suuntainen polarisaatio. Kvanttimekaanisen ajan suunnan vaihtuessa polarisaatio vaihtuu vastakkaiseksi.

- Q

+Q 3D-pinta

+v

-v

Varatun hiukkasen ohittaminen nopeudella +v tai –v merkitsee hiukkasen ja havaitsijan koordinaatistojen suhteellista korkeuseroa 4.D:n suunnassa, jolloin hilavarauksen potentiaali tulee esiin magneettikenttänä. Katsottaessa ja ohitettaessa kuvan varauksen kenttää kuvatason vastakkaiselta puolelta nopeus +v muutetaan nopeudeksi –v ja hilan potentiaalit Q ( ja ) säilyvät samansuuntaisina havaitsijalle eli tilanne vastaa magneettikentän ominaisuuksia. Jos v = 0, hilavarauksen Q hilapotentiaalia ja magneettikenttää ei havaita. Samalla jää havaitsematta, että varaus on polarisoinut hilan absoluuttisesti tietyn suuntaiseksi!

Sähkökenttä edustaa hilavirrasta syntyvän hilavarauksen 3D-pinnan suuntaista komponenttia. Magneettikenttä puolestaan edustaa 4.D:n suuntaista komponenttia. Molemmat komponentit voivat saada positiivisen ja negatiivisen etumerkin.

e- +v

-v

±0

Alempi kuva esittää elektronin eri puolille hilavirrasta Id syntyviä hilavarauksien +Q ja –Q 4.D:n suuntaisia potentiaaleja. Hila polarisoituu kuvassa 4.D:n suuntaisesti siten, että 3D-pinnan yli ei synny hilavarauksen potentiaalia. Potentiaali luo elektronin ympärille sähköva-raukseen liittyvän magneettikentän, joka havaitaan riippuen varauksen suhteellisesta nopeudesta. Kuvassa ei ole esitetty horisontaalista sähkökentän potentiaalia.

IdId

4.D

n

IdNeutroni n on vaiheeltaan 90º elektronia e+ jäljessä, jolloin hilan polarisaatio on kuvan mukainen. Neutroni ei polarisoi hilaa 3D-avaruuden suunnassa vaan ainoastaan 4:D:n suunnassa. Siksi sillä ei ole sähkövarausta vaan ainoastaan magneettinen momentti. Neutroni sijaitsee 3D-pinnan hilakopissa ja vuorovaikuttaa sieltä elektronitason kanssa.

122

- Q

+Q 3D-pintae-

4.D

v

Magneettikentässä hila on polarisoitunut epäsymmetrisesti 3D-pinnan suhteen, jolloin hilavaraus Q luo potentiaalin 3D-pinnan yli. Epäsymmetrian synnyttää sähkökentän jatkuva muutos. Nopeudella v muuttuva sähkökenttä luo nopeutta vastaavan magneettikentän.

Tarkastellaan seuraavaksi, kuinka magneettikenttä syntyy suhteellisen liikkeen seurauksena sähkökentässä. Tarkastellaan asiaa Manhattan-metriikassa ja siirretään tulos havaintoavaruuteen makroskooppiseksi magneettikentäksi.

Oletetaan aluksi, että suhteellinen nopeus sähkökentän suhteen on nolla, jolloin magneetti-kenttää ei havaita. Tällaisessa tilanteessa havaitsijan ja sähkökentän inertiaalikoordinaatistot ovat yhtä epäsymmetriset ja tarkastelussa voidaan olettaa molemmat symmetrisiksi. Nollaa paksumpi tarkastelupinta on kohtisuorassa kaikkia 3D-avaruuden suuntia vastaan, jolloin fotonit kulkevat pinnan suuntaisesti sen läpi muodostaen fotonivirran. Tässä tapauksessa pinnan läpi ei kulje 4.D:n suuntaista magneettikentän aiheuttavaa hilavirtaa, sillä tulevat ja lähtevät virran komponentit kumoavat toisensa. Kun hilavirta on nolla, ei magneettikenttää ole. (3D-pinnan suuntaiset komponentit edustavat tässä sähkökenttää.)

Magneettikenttä edustaa hilavirrasta syntyvän hilavarauksen 3D-pintaa vastaan kohtisuoraa komponenttia.

v = 0. 4.D:n suuntaisten hilavirtojen summa pinnan läpi on nolla.

- Q

Q

123

Kun havaitsijan nopeus lähestyy valon nopeutta c, tarkastelupinta on kiertynyt lähes 3D-pinnan suuntaiseksi. Hilavirran suuruus on nyt √2 yksikköä havaitsijan pinta-alayksikköä kohti.

Hilavirran suuruudeksi kulman suhteen havaitsijan pinta-alayksikköä kohti saadaan

Id = sin (+45º) - sin (45º- ) .

Hilavirta on absoluuttisen avaruuden suure. Siirretään se havaintoavaruuteen neliöimällä

Id² = (sin (+45º) - sin (45º- ))² = 2 cos²(+90º) = cos(2(+90º)) -1.

- Q

90º

2.0

1.5

Id() = 2 cos² (+90)

30º

1.0

60º

0

0.5

Seuraavassa kuvassa suhteellisella nopeudella v = c / 2 liikkuvan havaitsijan tarkastelupinta on kiertynyt 45º ja on hilajonojen suuntainen ja samalla kohtisuorassa tulevaa hilavirtaa kohtaan.

Saatu magneettikentän suuruutta kuvaava funktio on samanlainen kuin aikaisemmin kvanttikorrelaatiota kuvaava funktio lomittuneiden fotonien yhteydessä. Se siis kuvaa magneettikenttää yksittäisen fotonin näkökulmasta Manhattan-metriikassa.

Havaintoavaruuden makroskooppinen magneettikenttä havaitaan kvanttikorrelaa-tiota vastaavan klassisen korrelaation kuvaajan mukaisena eli lineaarisena kulman funktiona. Magneettikenttä havaitaan myös lineaarisesti nopeuden v funktiona, sillä kulma on suoraan verrannollinen nopeuteen v. Magneettikentälle saadaan

B = qv µ / 4r²

v = ½ c. 4.D:n suuntaisten hilavirtojen summa on yksi yksikkö.

- Q

Hilavirran suuruus on nyt 1 yksikkö havaitsijan pinta-alayksikköä kohti. Hilavirran suuruus riippuu hilavarauksen suuruudesta.

Klassinen

Kvanttimekaaninen

124

Hiukkasperheet

Leptonit

Standardimalli tuntee kolme hiukkasperhettä. Tarkastellaan ensin leptonien perheen geomet-rista rakennetta. Perheeseen kuuluvat elektronit e, myoni ja tau sekä niiden neutriinot. Elektronit e+ ja e- sekä protoni p+ ja neutroni n on kuvattu jo edellä.

Elektroni kuvataan yksiulotteisena 3D-pinnan ulkopuolisena soluna eli hiukkasena. Sen pituus on ½-kuorta ja suunta on sama kuin jonkin hilajonon suunta. Elektroniin liittyy varaukseton lep-toni eli elektronin neutriino ja . Neutriino ja antineutriino ovat 180 asteen vaihesiirrossa toi-siinsa nähden, kun tarkastellaan hiukkasten kaarevuusamplitudia..

e+

Hilahiukkanen

Elektroni e+

+

Hilahiukkanen

Myoni +

Perheen kolmas hiukkanen tau kuvataan elektroniin verrattuna vastaavalla tavalla mutta kolmiulotteisena. Se sisältää kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa ½-kuoren pituista solua. Soluista yksi on aina hilajonojen suuntainen ja kaksi muuta sitä vastaan kohtisuorassa. Taun ominaisuudet ovat massaa lukuunottamatta samat kuin elektronin ominaisuudet. Taun neutrii-not ovat 3-ulotteisia ja rakentuvat samoin kuin edellisten leptonien.

Tämän enempää leptonien perheitä ei geometrisista syistä johtuen voikaan 3-ulotteisista elementeistä syntyneessä avaruudessa olla. Perheitä on kolme. Hiukkasista vain ensimmäisen perheen elektronit ja neutiinot ovat stabiileja.

Hilahiukkanen

Elektronin neutriino e

Hilahiukkanen

Elektronin antineutriino e

Elektronin neutriino ei pyöri hilassa elektronin tavoin, sillä samassa hilakopissa sijaitseva hilahiukkanen hylkii sitä. Hylkimisen vuoksi se liikkuu aina hyvin suurella nopeudella.

Leptonien perheen toinen hiukkanen myoni kuvataan elektronin kaltaisena mutta kaksiulot-teisena. Se sisältää kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa ½-kuoren pituista solua. Soluista toinen on aina hilajonojen suuntainen ja toinen sitä vastaan kohtisuorassa. Tästä johtuen myonin ominaisuudet ovat massaa lukuunottamatta samat kuin elektronin ominaisuudet. Myonin neutriinot rakentuvat kuten elektronin neutriinot, mutta ovat kaksiulotteisia.

Hilahiukkanen

Myonin neutriino

Hilahiukkanen

Myonin antineutriino

e-

Hilahiukkanen

Elektroni e-

+

Hilahiukkanen

Myoni -

125

Virtuaalinen fotoni

Seuraava kuva esittää elektronin lähettämää virtuaalista fotonia etenemässä vuorovaikutusten kautta hilassa. Fotoni etenee valon nopeudella eli samalla nopeudella kuin hilajonojen hahmot hilassa liikkuvat. Jokainen rotaatio ja vuorovaikutus vievät fotonia eteenpäin. Yksittäinen hila-hiukkanen palaa vuorovaikutuksen jälkeen takaisin hilakoppiinsa. Kuvassa ei ole huomioitu kuvatasoa vastaan kohtisuorassa suuunnassa tehtyjä rotaatioita.

Virtuaalinen fotoni jatkaa matkaansa valon nopeudella.

VuorovaikutusVirtuaalinen fotoni etenee hilassa yhden 90 asteen rotaation aikana yhden kuoren verran eli saman matkan kuin hilajonojen hahmotkin. 3D-pinnalle 45 asteen kulmassa projisoituna se on ½-kuoren matka.


Elektroni lähettää virtuaalisia fotoneja rotaatioiden yhteydessä kuuteen suuntaan kolmiulottei-sessa avaruudessa. Fotonit muodostavat hilajonon suuntaisen hilavirran ja polarisoivat sen kautta hilan. Saavuttuaan 3D-pinnalle virtuaaliset fotonit muuttuvat hetkeksi virtuaaliseksi elek-troniksi, joka puolestaan lähettää virtuaalisia fotoneja eri suuntiin. Seuraavilla sivuilla kuvataan tarkemmin elektronin projisoitumista virtuaalisten fotonien kautta 3D-pinnalle ja virtuaalisten elektronien e+ ja e- syntyä.

126

Elektronin projektio 3D-pinnalla

Atomin elektroni, joka sijaitsee 3D-avaruuden ulkopuolella, projisoituu hilavirran eli virtuaalisten fotonien kautta 3D-pinnalle. Seuraava kuva esittää kuorilla n = 1, 2 ja 3 sijaitsevan elektronin projisoitumista 3D-pinnalle absoluuttisessa avaruudessa nähtynä. Kuvasta huomataan, että projektion etäisyys r kasvaa lineaarisesti eli havaintoavaruudessa nähtynä neliöllisesti R = r².

n = 1

n = 2

n = 3

r = 3 · 137d

Virtuaaliset fotonit etenevät hilajonossa hilajonon suuntaisesti. Kun 3D-pinnan alapuolella soluja on hilajonossa 1 vähemmän eli kuoria on 68 kpl, on projektion syntymiskohta riippuvainen elektronin kuoresta n.

Kun virtuaaliset fotonit kohtaavat toisensa 3D-pinnalla, syntyy atomin elektronille projektio. Projektion paikka on sama jonka Bohrin atomimalli antaa. Havaintoavaruudessa projektion säde eri kuorilla on

rn = (n · 137,035999)² d = n² R1

, missä n = 1,2,3...68 laskettuna ylös poispäin 3D-pinnasta ja R1 = 137,035999²d.

Elektronin projektio 3D-pinnalla

Kun yhden 2D-kuoren puolikkaan tarkempi koko on d = 2.817940325 fm, on projektion säde käänteisavaruudessa, kun n = 1,

R1 = 137.035999174² d = 0.5291772 x 10-10 m ,

joka on sama kuin Bohrin atomimallissa vetyatomin K-kuoren säde.

r = 137d

3D-pinta

Kompleksiavaruuden supistumista ei kuvassa ole huomioitu.

137

136

127

e-p+

137 solua

n = 2

r = /2

133 solua

V X = V-nd

V on pituudeltaan 137 hilakuoren projektiota 3D-pinnalla V = 137d.

137V

Elektronin projektion paikka, kun n = 2.

Tähän syntyy 137 hilavirtasil-mukkaa, kunnes hilavirrat koh-taavat samassa pisteessä 3D-pinnalla.

2nd

P

Allaoleva kuva esittää atomin elektronin synnyttämän hilavirran eli virtuaalisten fotonien etenemistä. Elektroni on kuorella 2 ja hilavirta etenee kuvassa vasemmalle 3D-pinnan molemmin puolin kahtena erillisenä virtana. Virrat eli fotonit kohtaavat kohtisuoraan paikassa, johon syntyy todellisen elektronin projektio. Projektion kohdalla joka toinen ytimen suunnasta tuleva fotonipari heijastuu Manhattan-metriikassa takaisin ja joka toinen jatkaa matkaansa projektion ohi. Projektio toimii siten kahdellajakajana. Niinpä projektiosta lähtee fotoneja vastakkaisiin suuntiin ja se näyttää elektronilta. Ensimmäinen fotonipari on lähtenyt liikkeelle ytimen läheltä todellisesta elektronista positiivisen kvanttimekaanisen ajan aikana ja toinen negatiivisen aikana, mistä syntyy fotonien muuttuva vaihe-ero projektion kohdalla. Edellisestä johtuen projektio pyörii jatkuvasti samaan suuntaan kvanttimekaanisen ajan suunnista riippumatta. Atomin elektronin ratakiertomomentin suunta ei siis vaihdu ajan suunnan vaihtuessa. Elektronin projektio 3D-pinnalla on kuva ja sen käytös on luonteeltaan makroskooppista. Todellinen elektroni ytimen yläpuolella on kvanttimekaaninen ja sen aika on kaksisuuntainen. Tämä ilmiö on osaltaan luomassa makroskooppista yksisuuntaista aikaa ja makroskooppista maailmaa.

Elektronin projektiossa tapahtuu hilavirrassa vaiheensiirto eli hilavirta vaihtuu vastakkaismerk-kiselle hilajonolle. Hilavirrat yhtyvät uudelleen pisteessä P muodostaen siihen virtuaalisen positronin e+ projektion. Siinä fotonit eivät vaihe-eroista johtuen heijastu takaisin ja hilavirrassa tapahtuu jälleen vaiheensiirto ja myöhemmin 3D-pinnalla muodostuu virtuaalinen e- projektio Virtuaaliset hiukkaset eliminoivat toisensa. Kuten kuvasta näkyy hila polarisoituu edelleen siten, että hilan ylä- ja alareunalla on ytimen tällä puolen negatiivinen (punainen) polarisaatio ja 3D-pinnalla positiivinen (vihreä) polarisaatio. Ainoastaan pisteessä P virtuaalisen positronin kohdalla polarisaatio on toinen.

137V

Virtuaalinen positroni Vaiheen siirto

2 x 137V

136 solua

136solua

Atomin todellinen elektroni e-


128

Virtuaaliset fotonit jatkavat matkaansa periaatteessa äärettömän kauas luoden sähkö- ja magneettikentän. Projektiosta takaisin heijastuneet virtuaaliset fotonit vuorovaikuttavat todellisen elektronin kanssa.

Todellisen elektronin vastakkaiselle (edellisessä kuvassa oikealle) puolelle syntyy myös projektio. Siellä hila kuitenkin polarisoituu vastakkaismerkkiseksi eli avaruus polarisoituu absoluuttisesti tietynsuuntaiseksi yhden rotaatiojakson aikana, kuten edellä jo on esitetty. Projektioita syntyy myös muualle ytimen ympärille paikkoihin, joissa hilavirrat voivat kohdata edellä esitetyllä tavalla.

P(x)= *(x,t) (x,t) on todennäköisyys löytää elektroni paikassa x ajanhetkellä t. Silloin aaltofunktio (x,t) kuvaa 3D-pinnan yläpuolella etenevää kompleksista hilavirtaa ja *(x,t) kuvaa 3D-pinnan alapuolella etenevää kompleksista hilavirtaa.

Kuvasta huomataan lisäksi, että hilassa on pituus 2 x 137V, joka muodostaa hilaan symmetri-sen kokonaisuuden halkaisijan. Tämä mitta vastaa pituutta, jonka käänteisarvoa [1/m] kutsutaan nimellä Rydbergin vakio. Mitan monikerrat muodostavat kaikkien atomin säteilemien fotonien aallonpituudet.

Seuraavaksi johdetaan avaruusmallin avulla arvo Rydbergin vakiolle.


Symbolinen animaatio esittää kuorella n = 1 pyörivää todellista elektronia (vihreä nuoli) ja siitä vasemmalle sinkoavia virtuaalisia fotoneja, jotka luovat elektronin projektion 3D-pinnalle. Projektio toimii tasasuuntaavana kahdellajakajana. Animaatiossa todellista elektronia vastaava nuoli pyörii

liioitellun hitaasti suhteessa fotonien nopeuteen. Vetyatomin säde R = 137.035999174² d.

3D-pinta

Projektio

137 d

129

7 -1

Rydbergin vakion geometrinen johtaminen

Edellä käytettiin mittayksikkönä protonin halkaisijaa d. Käytetään nyt toisena mittayksikkönä pituutta V = 137.035999d, joka on hilassa toistuva hilavirran luoman rakenteen mittayksikkö kuten edellisellä sivulla osoitettiin. Fotonin aallonpituus ja samalla sen energia lasketaan fotonin rakenteessa symmetrisesti toistuvan absoluuttisen pituuden U avulla. Absoluuttisessa avaruudessa pituudelle eli halkaisijalle saadaan edellisen sivun kuvasta

U = 2 · 137,035999 V

Havaintoavaruudessa pituudelle U saadaan vastine u neliöimällä ilman, että käytettyä mittayksikköä V neliöidään (1² = 1) eli

u = U² = 4 · 137,0359² V.

Kun rakenne u toistuu n kertaa fotonin kehän halkaisijassa h, saadaan kehän halkaisijalle havaintoavaruudessa

hn = n / = n² U² = n² u.

Laskemalla saadaan, kun n = 1 ja V = 137.035999d = 386,159268 fm

1 = · u = · 4 · 137,0359² V = 911.267 · 10 m .

Kun Rydbergin vakio R määritellään

1 / 1 = R / no ² ja no = 1, saadaan

R = 1 / 1 = 1 / (4 · 137.035999² V)

R = 1,09737316 · 10 m .

On siis saatu tarkka arvo Rydbergin vakiolle lähtien liikkeelle avaruuden geometriasta ja pituudesta d, joka sovittaa yhteen mittayksiköt.

- 10

130

Vaikutuskvantti

Käänteisavaruus jaetaan 4.D:n suunnassa solurakenteisiksi kuoriksi, joita on yhteensä 68.5 ja soluja on 137 kappaletta. Normaaliavaruuden puolella on 68 samankaltaista kuorta. Kuorien ja solujen avulla voidaan määritellä etäisyys 3D-pinnasta metrisesti. Kun matka absoluuttisessa avaruudessa on 137 solua, on sama matka havaintoavaruuden 3D-pinnalla 137² solua.

h = ħ x 2r = 137d

Spin-½-hiukkasen eli elektronin pienin mahdollinen projektio

Käänteisavaruudessa millä tahansa kuorella voi sijaita elektroni, jota kuvataan vektorilla. Hiuk-kanen on ½-kuoren korkuinen spin-½-hiukkanen. Projektion sädettä vastaa yksikköpinta ħ. Kertomalla pinta ħ luvulla 2 saadaan r-säteisen ympyrän kehän muotoinen pinta h. Pinta kuvaa symmetrisesti ½-vektorin projektiota 3D-pinnalla. Elektronilla on massa m ja kokonais-energia Eh = mc².

Elektroni on vektori, jonka pituus on sama 3D-pinnan ja 4.D:n suunnassa, sillä hiukkasen ja 3D-pinnan välinen kulma on 45 astetta. Kun vektorin e komponenttien suunnat (kulmalla 45º) ovat sekä 4.D että jokin 3D-avaruuden suunta, sen projektio 3D-pinnalla ei ole energia vaan vaikutuskvantti, jonka dimensio on [Js]. Aika [s] on 3D-pinnan suuntainen suure ja energia [J] on 4.D:n suuntainen suure.

Asetetaan pinnan h korkeudeksi 4.D:n suunnassa elektronin kokonaisenergia Eh = mc². Kun projektion kehän pituus on = 2 r, kuluu valolta sen kiertämiseen aika T = 2 r / c. Niinpä projektion pinnalle h pätee kaikilla kuorilla käänteisavaruudessa sen sivujen pituuksien tulona

h = Eh T = Eh 2 r / c. Kun r = 137d ,

hc / 2 = Eh r = mc² x 137d.

Eh =mc²

-34

ħ = h / 2ħ = h / 2

N= 1/2

-31

Supistamalla saadaan tuttu kaava

Pinta-ala ħ = h / 2 on Planckin vakio. Kun d = 2.82 fm ja m = 9.109 x 10 kg (= elektronin massa), saadaan vakiolle havaintoja vastaava arvo

h = 6.63 x 10 Js .

ħ = 137dmc.

Huom! Planckin vakio ħ ja pituus d ovat molemmat vain makroskooppisten yksiköiden sovittamista varten, jolloin elektronin massalle johdetaan m = ħ / 137dc.

Huom! Jos halutaan käyttää kehän pi-tuutena, on energia E korvattava liike-määrällä p=mc.

e-

4.D

131

Edellä saatiin käänteisavaruuden eri projektioiden säteille arvoksi Rn = n²137²d, missä n saa arvot 1,2,3...68. Sijoittamalla Rn = n²137²d säteen r = 137d paikalle kaavaan

ħ = (137d)mc saadaan kaavaa laventamalla

n ħ = (n²137²d)m x c /137n.

Nopeus vn = c /137n on kuoren n vektorin projektion kiertonopeus 3D-pinnalla. Nopeus vn ja massa m merkitsevät liikemäärää p = mv hiukkasen projektion kiertäessä r-säteisellä kehällä projektion keskipistettä. Kiertonopeus vn ja säde r määrittelevät pinnan ħ avulla vektorin pro-jektion. Käänteisavaruudessa saadaan eri kuorille n = 1, 2, 3, ...68 seuraava taulukko:

n = kuori v = nopeus r = säde

n = 1 c / 137 137²d n = 2 c / 137 x 2 4 x 137²d n = 3 c / 137 x 3 9 x 137²d

n = 68 c / 137 x 68 68² x 137²d

Taulukko kuvaa vetyatomin Bohrin atomimallin mukaisia elektronin kiertoradan säteitä ja elektronin kiertonopeuksia eri kuorilla.

Huom! Elektroni ei kierrä ydintä vaan sen projektiolle voi-daan määritellä kiertonopeus.

Normaaliavaruudessa pätee edelleen

ħ = 137dmc.

Tästä saadaan laventamalla

ħ = n x 137dm x c / n

missä n = 1,2,3...68. Huom! Elektronit eivät liiku normaaliavaruudessa.

Nopeus v = c / n on kuoren n projektion kiertonopeus 3D-pinnalla. Nopeus v ja säde r määrittelevät pinnan ħ avulla vektorin projektion. Normaaliavaruudessa saadaan eri kuorille seuraava taulukko:

n = kuori v = nopeus r = säde

n = 1 c 137dn = 2 c / 2 2 x 137d n = 3 c / 3 3 x 137d

n = 68 c / 68 68 x 137d

Normaaliavaruuden kuori n = 1 vastaa tilannetta 3D-avaruudessa eli absoluuttista nopeutta c.

Huomataan, että kuorella n = 1 sädettä r = 137d ja kiertonopeutta v = c vastaava projektion kehä c = 137d 2 on saaduista projektioista kooltaan kaik-kein pienin. Kehää c kutsutaan nimellä Comptonin aallonpituus. Lisäksi tämä projektion koko esiintyy lavennettuna kaikilla kuorilla. Se on avaruusmallin mukaan pienin mahdollinen kvanttivaikutus. Se määrittelee epätarkkuusperiaatteen, joka tunnetaan nimellä "Heisenbergin epätarkkuusperiaate".

Käänteis-avaruus

Normaali-avaruus

Näiden projektoiden avulla voidaan tarkastella ½-kuoren korkuisen vektorin projektiota 3D-pinnalla. Vektori voidaan ajatella myös fotoniksi, jonka on spin-1-hiukkanen. Projektiot tuottavat silloin fotonille energian yhtälön E = hf mukaan.

132

Hilajonot eli eetteri

Jo aikaisemmin on esitetty, että nelikantaisen hyperoktaedrin 3D-pinnan molemmin puolin sijaitsevat yksiulotteisista hiukkasista koostuvat ns. hilajonot. Ne ovat 45 asteen kulmassa 3D-pintaan nähden ja kuorella sekä antikuorella keskenään kohtisuorassa. Hilajonot yhdessä muodostavat avaruushilan eli eetterin. Jonojen hiukkaset ovat positiivisia ja negatiivisia hiukkasia, positroneita ja elektroneita. Pinnan ulkopuolella jonon hiukkasia ja kuoria on 68.5 kappaletta ja sisäpuolella 68. Jonot sijaitsevat 1-ulotteisissa soluissa. Hilajonojen hahmot liikkuvat havaitsijan ja 3D-pinnan suhteen valonnopeudella.

Hilajono voi kiertyä kuvan osoittamalla tavalla muuttuvassa voimakentässä hilavirtana Id ja samalla polarisoida hilan eli eetterin. Hilavirran seurauksena avaruuteen kumuloituu hilavaraus Qi. Hilavaraukseen liittyy potentiaali V, jonka projektio 3D-pinnalla on magneettikenttä. Hilavaraus Qi on yhtä suuri kuin sen synnyttävä sähköinen varaus q 3D-pinnalla. Qi:n potentiaali V havaitaan kokonaisuudessaan vasta, kun havaitsijan nopeus varauksen q suhteen on c.

Hilavirta syntyy, kun 3D-pinnan oktaedrien tai antioktaedrien kohdalla olevat erimerkkiset hilajonot siirtyvät toistensa alueille kuvan osoittamalla tavalla. Hilavirta 3D-pinnan yli on nolla, kun yhtäsuuret mutta vastakkaissuuntaiset virrat lasketaan yhteen. Siten 3D-pinnan yli ei synny potentiaalia ja potentiaalin integraali minkä tahansa suljetun 2-kantaisen pinnan läpi on 3D-avaruudessa aina nolla. Se on myös magneettikentän ominaisuus. Potentiaalin havaitsemiseksi tarvitaan suhteellinen nopeus, jonka suunta on erikoisasemassa potentiaalin eli magneettikentän havaitsemisen kannalta.

Potentiaalilla on olemassa maksimiarvo eli magneettikentän suuruudella on tietyssä avaruus-pisteessä olemassa maksimiarvo, joka määräytyy hilan ominaisuuksista. Hilavaraus ja poten-tiaali syntyvät siitä, että hila pyrkii homogeeniseksi 4.D:n suunnassa ja se tapahtuu hilavirran avulla.

3D-pinta

68.5 kuorta käänteis-avaruu-dessa

68 kuorta normaali-avaruu-dessa

+q

VId

Kuvassa hilajonot on piirretty kohtisuoraan 3D-pintaa vastaan eli liikesuunnasta katsottuna.

133

Hilavaraus purkautuu liikkuvassa hilassa hilavirtoina itsestään, kun 3D-pinnan varaus +q jää valon nopeudella liikkuvien hilajonojen jälkeen. Tällöin varauksen +q on oltava tasaisessa liikkeessä. Varauksen +q ollessa kiihtyvässä liikkeessä hilavaraus sensijaan ei purkaudu täysin vaan hilaan jää purkautumatonta hilavarausta fotoneina eli sähkömagneettisena aaltona. Havaintojen mukaan sähkövarauksen kiihtyvä liike synnyttää sähkömagneettista säteilyä.

Hilavarauksen synnyttämä potentiaali V on kvantittunut kuten sähkövarauskin. Kvantittuminen voidaan huomata ainoastaan atomitasoa pienemmässä mittakaavassa. Potentiaalille ja hilavaraukselle saadaan 4.D:n suunnassa

V Qi = qv / c,

missä v on havaitsijan suhteellinen nopeus varauksen q suhteen ja on verrannollinen 4.D:n suuntaiseen etäisyyteen varauksesta.

Hilavarausta ei vastaavasti synny 3D-avaruuden suunnassa vaan hila pyrkii homogeeniseksi siirtämällä varauksia q eli syntyy 3D-avaruuden suuntainen Coulombin voima varausten välille.

Fotonin rakenne hilassa

Edellä tarkasteltiin sähkövarausta +q hilassa. Varauksen ollessa tasaisessa liikkeessä hilavirrat ovat identtiset varauksen etu- ja takapuolella ja hilavaraus syntyy ja purkautuu täysin symmetrisesti. Kiihtyvässä liikkeessä näin ei käy ja tuloksena hilaan jää fotoneita. Lukuisat fotonit synnyttävät yhdessä radioaaltoja.

Kaksi kiertynyttä hilajonoa

Fotoni on hilaan varastoitunutta potentiaalia, joka liikkuu hilan mukana. Hilan ominaisuuksista johtuen fotonilla on hilassa pysty- ja vaakakomponentit, jolloin se havaitaan valon nopeudella liikkuvana magneetti- ja sähkökenttänä ilman, että sillä olisi sähkövarausta tai lepomassaa.

Fotonin energia on hilan ominaisuuksista johtuen kvantittunut.

Fotonijoukon synnyttämä radioaallon osa. Kuvassa hilajonot on piirretty pystyyn vaikka niiden kulma on tosiasiassa 45º.

134

3D-pinnan ulkopuolella oleva solurakenteinen avaruus muodostaa hilan. Hila ei ole tyhjää avaruutta vailla ominaisuuksia. Hilahiukkaset ovat elektroneja ja positroneja. Ne kiertävät 3D-pinnan ulkopuolella vaiheittain hilan osana vuorovaikuttaen jokaisen 3D-pinnan pisteen kanssa. Vuorovaikutus luo pinnalle sen jokaiseen pisteeseen "kellopulssin" eli 3D-avaruuden ajan. 3D-pinnalla hilajonojen hahmojen nopeus mitataan valon nopeudeksi.

Kvanttikenttäteoria ennustaa tällaisen hilan olemassaolon. Teorian mukaan elektroni ei ole yksinäinen objekti, vaan sitä ympäröi kaikkialla virtuaalisten fotonien, virtuaalisten positronien ja elektronien muodostama ”pilvi”, tyhjiö polarisoituu. Puhutaan myös ”Diracin kentästä”.

Paul Dirac:

”Tyhjässä avaruudessa on ääretön määrä negatiivisen energian omaavia elektroneja, jotka ovat pakkautuneet yhteen säännöllisesti ja tasaisesti. Tyhjässä avaruudessa pitäisi olla myös aukkoja.” ja ”Aineellisen hiukkasen energia voi olla positiivinen tai negatiivinen.”

Hilan täytyy sijaita kaikkialla avaruudessa. Koska tällaista hilaa ei ole suoraan havaittu eikä hilassa tapahtuvaa virtaa tai potentiaalieroa ole voitu suoraan mitata, täytyy hilan sijaita havaintopiirin ulkopuolella. Neljäs avaruudellinen ulottuvuus eli kanta antaa luonnollisen suunnan hilalle, sillä neljännestä tilaulottuvuudesta voidaan euklidisella 3D-pinnalla tehdä mittauksia vain epäsuorasti ja siitä voidaan havaita ainoastaan ilmiöiden projektio.

Pinnalla ja pinnan ulkopuolella keskenään kohtisuorassa olevien solujen välillä ei voi olla vuorovaikutusta, sillä niillä ei ole toisen solun suuntaista komponenttia. Kun pääakseleiden suuntaiset kohtisuorat pituudet ovat a ja b, niiden summa on S = a² + b². Vuorovaikutusta ilmenee, jos kahden solun välillä on kulma ja 90º eli avaruus on esim. jollakin tavalla kaareutunut. Silloin summaksi saadaan

S = (a + b)² = a² + b² + 2ab cos

, missä a ja b ovat vektoreita ja niiden välinen kulma.

Termi 2ab cos on nimeltään interferenssitermi, ja se kuvaa vuorovaikutuksen suuruuden. Vuorovaikutus on suurimmillaan, kun a ja b ovat samansuuntaiset. Termi voi olla konstruktii-vinen eli positiivinen tai destruktiivinen eli negatiivinen.

135

L3 L1L2 p+

L4 > L3 > L2 > L1 > 0

N

N

r = /2

L4

Hilan ominaisuudet

Tarkastellaan seuraavaksi 3D-pinnalla sijaitsevan protonin p+ ympärilleen luomaa hilavirtasil-mukkaa. Hilavirrat heijastuvat kuvan mukaan 3D-pinnalta ja hilan reunoilta. Hilavirran 3D-pin-nan yläpuolella oleva osa muodostaa -muotoisia silmukan osia, jotka ovat ½-kuoren verran pidempiä kuin pinnan alapuolella olevat vastaavat V-muotoiset silmukan osat. Pituudet L1, L2, ...Ln kasvavat, kun etäisyys protonista kasvaa ja kuvassa ne kasvavat liioitellun nopeasti. Ku-vaan on piirretty vain osa hilan hilajonoista.

Pinnan eri puolilla olevat hilavirrat yhtyvät silmukaksi, kun ne kohtaavat toisensa 3D-pinnalla. Siinä kohdassa syntyy virtuaalisen elektronin projektio. 3D-pinnan yläpuolella on -muotoisia silmukan osia 136 kappaletta ja 3D-pinnan alapuolella V-muotoisia osia yhtä enemmän eli 137 kappaletta.

1.2.3.4.

Kuvasta ilmenee, että hilavirta voidaan jakaa kahteen komponenttiin; Toinen on 3D-pinnan pääakselin suuntainen ja toinen 4.D:n suuntainen. Kukin hilajonon hahmo sijoittuu 2-ulotteiseen matemaattiseen avaruuteen, jonka toinen akseli on reaalinen ja toinen on imaginäärinen. Tällaiseen avaruuteen määritellään 2-ulotteinen rotaatioryhmä U(1). Hilajonon ominaisuuksia voidaan nyt kuvata 3D-avaruuden yhdessä pisteessä vektorilla U(1)-rotaatioavaruudessa. Vektorin pituus rotaatioissa säilyy, mutta vaihekulma muuttuu. Virittäjiä U(1)-rotaatio-avaruudessa on vain yksi eli vaihekulma.

136

Protoni ei ole elektronin lailla yksiulotteinen hiukkanen vaan 4-ulotteinen hiukkanen kompleksiavaruudessa. Seuraavaksi käsitellään protonin sähköisiä ominaisuuksia.

Protonin 4.D-komponentti luo ympärilleen hilaan potentiaalin eli sähkökentän ja sen potentiaalienergian. Energiaan liittyy aina massa. Tässä tapauksessa sähkökentän energia näkyy 3D-pinnan kaareutumisena protonin sähkökentässä. Kaareutumista ja sähkövarauksen omaavien hiukkasten massan syntymistä käsitellään myöhemmin D-teoriassa. Protonin 3D-komponenttien massaa ei tässä huomioida.

Hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma on tasaisessa avaruuudessa 45º. Protonin sähkövaraus eli 4.D- komponentti saa kulman kiertymään suuremmaksi niin, että kulma on suurimmillaan protonin kohdalla. Samalla hilajonojen hahmon ympärille piirretty ympyrä muuttuu protonin sähkökentässä ellipsiksi. Projektiosuhde säilyy kentässä vakiona, mutta avaruuden hilajonojen kulma muuttuu avaruuden supistumisen myötä. Oleellista on, että hilajonojen vaihe kentässä muuttuu lokaalisti kuvan esittämällä tavalla ja ellipsi kuvaa vaiheen muutosta. Vaiheen muutosta käsitellään seuraavalla sivulla.

Positiivinen positroni e+ aiheuttaa samansuuntaisen hilavirran ja kulmaan samansuuntaisen kiertymän kuin protoni.

Schrödingerin aaltoyhtälö vapaalle hiukkaselle kirjoitetaan esim. seuraavaan muotoon

- h² d² (x) = E (x) . 8²m dx ²

Aaltoyhtälö on globaalisti ja lokaalisti invariantti aaltofunktion (x) vaiheen muutoksille. Kuitenkin edellisen kuvan mukaan hilan ja samalla aaltofunktion (x) vaihe muuttuu hiukkasen sähkökentässä lokaalisti. Aaltoyhtälö saadaan toimimaan, kun siihen lisätään korjaustermi, joka muuttaa eli korjaa aaltofunktion (x) vaihetta vastaavalla määrällä lokaalisti. Tämä ns. Yangin ja Millsin korjaustermi kuvaa silloin hiukkasen sähkökenttää kaikissa avaruuden pisteissä ja on muotoa

q A(x) (x) ,

missä q on kentän aiheuttavan hiukkasen varaus. Funktio A(x) on tässä sähkökentän poten-tiaalienergiafunktio. Myöhemmin huomataan, että samankaltainen hilajonojen vaiheen muutos syntyy myös kiihtyvyyskentässä ja myös silloin vastaavanlainen potentiaalienergiafunktio A(x) voidaan kirjoittaa aaltoyhtälöön. Kun A(x) voi kuvata eri kenttiä ja potentiaalienergialtaan erilaisia kenttiä, kyseessä on ns. mittavapaus, joka on merkittävä käsite Standardimallissa.

3D-pintap+

137

Hilassa tapahtuvaa aaltofunktion vaiheen muutosta sähkökentässä kuvataan ellipsin avulla. Ellipsille saadaan yleisesti:

vw

4.D

c

Hilajonojen ympärille voidaan piirtää viereisen kuvan mu-kaan ellipsi. Ellipsin isoakseli on sähköisessä kentässä oheisen kuvan mukaan neljännen ulottuvuuden suun-tainen eli kohtisuorassa 3D-pintaa vastaan. Sen puolikas on suuruudeltaan c. Ilman sähköistä kenttää hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma olisi tasaisessa avaruudessa 45º ja kyseessä olisi ympyrä. Nopeusvektori v kuvaa sähköisen kentän pakonopeutta kyseisessä avaruuden pisteessä.

c

Hilajono

F F'

a ( = c)

b ( = w )

f ( = v )

f² = a² - b² , kun a b ja

PF + PF' = 2a.

Kentän nopeuksille saadaan vastaavasti

v² = c² - w², kun c w ja v on kentän pakonopeus eli esim. elektronin pakonopeus protonin sähkökentästä.

Silloin

a c ja bw ja fv.

P

c

Protonin sähkökenttää kuvaava ellipsi rajaa hilajonoja.

Hilajonojen tasaisessa avaruudessa muodostama neliö muuttuu sähkökentässä vinoneliöksi, jota ellipsi ympäröi. Avaruuden pisteessä olevan aaltofunktion vaihe muuttuuu verrattuna vaiheeseen pisteessä, joka on kentän ulkopuolella.

Edellä on esitetty esimerkki hilajonojen vaiheen muuttumisesta voimakentässä. Voimakenttä on esimerkissä sähkövarauksen luoma sähkömagneettinen kenttä, jolloin voima kohdistuu vain muihin sähköisesti varattuihin kappaleisiin. Voimakentässä hila muuttuu epäsymmetriseksi ja epäsymmetriaa kuvataan ellipsin avulla. Makroskooppisen kappaleen kohdalla hilan epäsym-metria merkitsee kappaleen supistumista hilan kompleksisten akselien projektioiden suunnissa. Supistuminen saa 3D-avaruuden näyttämään isotrooppiselta, kuten on jo kerrottu.

Hilan epäsymmetria syntyy myös painovoimakentässä eli kiihtyvyskentässä. Siinä voima syn-tyy kappaleen massasta ja kohdistuu muiden kappaleiden massaan. Kiihtyvyyskenttä ja sähkö-magneettinen kenttä ovat erillisiä voimakenttiä ja niiden aiheuttama hilan epäsymmetria on eri-lainen. Kentät vaikuttavat kuitenkin samoissa avaruuden alueissa ja niiden vaikutus summau-tuu, kun kappaleella on sekä sähkövaraus että massa. Sähköinen voima on kuitenkin hiukkas-ten välillä paljon voimakkaampi. Tarkastellaan seuraavaksi molempia voimakenttiä yhdessä ja niiden eroja.

138

vc

w

3D-pinta

Nopeusvektori c on kaltevassakin avaruudessa aina 4.D:n suuntainen ja v on aina 3D-pinnan suuntainen.

4.D

Mittaperiaatteen mukaan hilajonojen vaiheen on muututtava myös kiihtyvyyskentässä. Kun sähköistä kenttää ei esiinny, hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma on kiihtyvyyskentässä aina pienempi kuin 45º eikä silloin hilavirtaa esiinny hilassa. Ellipsin isoakseli on kuvan kiihty-vyyskentässä 3D-pinnan suuntainen ja pinta on kalteva.

Kiihtyvyyskentässä hilan vaiheen muutos on vastakkaismerkinen kuin sähkökentässä. Seuraa-va kuva esittää hilajonojen epäsymmetriaa kaltevalla 3D-pinnalla. Kiihtyvyyskentässä pinta on aina kalteva. Kuvasta huomataan, että vektori c on aina 4.D:n suuntainen. Nopeusvektori v on nyt 3D-pinnan suuntainen ja osoittaa kentän suunnan ja suhteellisen voimakkuuden vektoriin c nähden. Nopeus v on kiihtyvyyskentän pakonopeus kentän pisteessä.

Kuva esittää hilajonojen vaiheen muutosta kiihtyvyyskentässä. Havainnollisuuden vuoksi vinoneliöitä ei ole kallistettu pinnan mukana.

y(x)

x

Kuvassa vihreiden hilajonojen ja 3D-pinnan välinen kulma on (x) ja pinnan kaarevuutta esittää y(x). Kaartuipa 3D-pinta miten tahansa, ’ on kiihtyvyyskentässä aina vastakkaismerkkinen kuin sähkökentässä. Oleellista on, että kulman absoluuttisella suuruudella ei ole kentän kan-nalta merkitystä, samaan tapaan kuin ei aaltofunktion vaiheellakaan, vaan kulman muutos ’ on merkittävä. Siten esim. maan kiihtyvyyskentässä hilajonojen kulmalla on tietty arvo (< 45º), mutta paikallinen sähkökenttä aiheuttaa siihen muutoksen. Muutos lisää paikallisesti kulman arvoa. Silloin nopeusvektori c ei ole enää 4.D:n suuntainen.

139

e-

L3 L1L2

N

N

r = /2

Seuraavassa kuvassa on esitetty vapaan elektronin e- hilavirtasilmukka. Huomataan, että sil-mukka on nyt toisentyyppinen. Pituudet L1, L2, ...Ln kasvavat kuitenkin samalla tavalla. Sil-mukka on vastaava kuin atomin elektronilla kuorella n = 68. Pinnan yläpuolella -muotoisia silmukan osia on 136 kappaletta ja pinnan alapuolella V-muotoisia osia yhtä enemmän. Va-paan positronin e+ hilavirtasilmukka on samanlainen, mutta hilavirran suunta on vastakkainen.

Huomataan, että protonin ja vapaan elektronin hilavirtasilmukat ovat melkein samanlaajuiset.

Elektroni luo ympärilleen potentiaalin eli sähkökentän ja sen potentiaalienergian. Elektronin aiheuttaman hilavirran suunta silmukassa on vastapäivään, kun se protonilla ja positronilla on myötäpäivään. Huomaa, että vapaa elektroni liikkuu hilan ulkoreunalla kaukana 3D-pinnasta. Sillä on siellä elektronin nollapiste-energia, joka ei kuitenkaan vaikuta atomin havaittaviin ener-giatasoihin, kuten myöhemmin osoitetaan.

3D-pinta

e-

Elektroni e- saa hilajonojen ja 3D-pinnan välisen kulman kiertymään suuremmaksi niin, että kulma on suurimmillään elektronin kohdalla. Samalla hilajonojen vaihe elektronin sähkökentässä muuttuu lokaalisti.

Seuraavaksi tarkastellaan positronia.v

w

4.D

c

c

Hilajono

Elektronin sähkökenttää kuvaava ellipsi rajaa hilajonoja.

140

3D-pinta

e+

Positiivinen positroni e+ aiheuttaa elektroniin e- verrattuna vastak-kaissuuntaisen hilavirran ja kulmaan samanlaisen kiertymän. Positronin massa on samansuuruinen kuin elektronin massa.v

w

4.D

c

c

Hilajono

Positronin sähkökenttää kuvaava ellipsi rajaa hilajonoja.

Esitetty hilamalli hilavirtoineen ei ole vielä valmis eikä välttämättä lopullinen malli.

Atomimalli

Elektroni ja protoni muodostavat yhdessä yksinkertaisimman atomin, jonka rakennetta solura-kenteisessa avaruudessa tarkastellaan seuraavaksi.

141

N

M

L

K

4.D

+4.D

Atomin profiili 4-kantaisessa avaruudessa (punainen) ja siihen lomittuneessa antiavaruudessa (vihreä)

Tarkastellaan 4-ulotteisessa avaruudessa atomia, jonka elektronikuoret opvat täyttyneet. Tar-kastellaan aluksi vain kompleksiavaruutta (ei sen kanssa lomittunutta kompleksista antiavaruutta) ja vain atomin spiniltään positiivista puolikasta (punaisella). Kuva esittää vetyä paljon raskaamman atomin puolikkaan täysiä elektonikuoria. (Kuvassa vihreällä merkitty avaruuden osa sisältää antiavaruuden spiniltään negatiiviset elektronit.)

fd

ps

dp

s

pssn = 1

-4.D

3D-pinta

Kun atomin puolikkaan elektronien pinoa katsotaan alhaalta 4.D:n suunnasta ja kuoret ajatel-laan 3D-avaruuden suuntaisiksi tasoiksi, saadaan kuorilla olevat elektronit jaetuksi tasoille kehiksi kuvan mukaan. Jokainen kuori vastaa yhtä tasoa eli 3D-avaruuden suuntaista pintaa. Pinnat sijaitsevat 3D-avaruuden ulkopuolella.

Ydin sijaitsee 3D-pinnalla ja jokaista elektronia kohti ytimessä on yksi protoni. Ytimen puolik-kaassa protonit sijaitsevat vastaavalla tavalla eri 3D-pinnan kuorilla. Kuoret ovat 3D-avaruuden sisäkkäisiä palloja. Kuorilla protonien määrä kasvaa pallon säteen mukana 1,4,9,16,25... Määrät kertovat solumaisen avaruuden puolikkaan rakenteesta.

Atomin negatiivinen puolikas sijaitsee nelikantaisessa avaruudessa samankeskisten nurin käännettyjen pallojen pinnalla eikä sitä voi erottaa positiivisesta puoliskosta muusta kuin spinien etumerkistä. Mallissa sivukvanttilukujen mekaaninen rakenne tulee esiin. Sivukvanttiluku kuvaa elektronin etäisyyttä atomin 4.D:n suuntaiselta pystyakselilta 3D-avaruuden suunnassa. Sivukvanttilukuja l = 0,1,2 on merkitty kirjaimilla s,p,d,f. Pääkvanttiluku n kuvaa etäisyyttä 4.D:n suunnassa.

Kuvasta nähdään, että elektronit ovat paikoillaan eivätkä kierrä atomin ydintä kiihtyvässä liikkeessä. Ne silti vuorovaikuttavat ympäröivien hilajonojen kanssa ja seurauksena kauemmaksi ytimestä syntyy kiertävä vuorovaikutuskenttä, kuten edellä jo esitettiin.

spin +spin -

142

N

N

Kuvasta huomataan, että absoluuttisessa avaruudessa nähtynä elektronin projektion paikka 3D-pinnalla on pisteessä P ja riippuu lineaarisesti kuoresta n eli elektronin etäisyydestä 3D-pinnalla sijaitsevasta protonista p+. Kuorelta n = 1 lähtenyt elektroni saavuttaa hilan ulommai-simman kuoren kuorella n = 68. Elektroni vapautuu siinä ytimen kvantittuneesta potentiaali-kuopasta eikä sen enää ajatella ympäröivän ydintä. Sille jää tällä kuorella elektronin nollapiste-energia EZ = E1 / 68², joka ei kuitenkaan vaikuta atomin havaittaviin energiatasoihin En, kuten myöhemmin osoitetaan. Vapaat elektronit siis kulkevat hilan ulkoreunalla käänteisavaruudes-sa.

Elektronin ympärilleen luoma hilavirtasilmukka vastaa fotonin geometrista mallia siten, että täl-laisen fotonin energia on sama kuin elektronin potentialienergia kyseisellä kuorella. Fotonin eli silmukan ulkokehän pituus = 2r 3D-pinnalla on samalla fotonin aallonpituus. Hilavirta pola-risoi hilan sekä 3D-pinnan että 4.D:n suunnassa.

r = /2

Alla olevassa kuvassa on vetyatomi ja ytimen vasemmalla puolella sijaitseva osa sen ympärillä olevasta hilavirrasta. Ytimen varausluku Z = 1 ja atomissa on yksi elektroni, mikä tekee atomis-ta sähköisesti neutraalin. Kuvan esimerkissä kuorella n=4 sijaitsevan elektronin luoma hilavirta kiertää hilassa kuvan mukaisesti. Sen hilavirtasilmukka sisältää ytimen toisella puolella n = 4 kappaletta -muotoisia silmukan osia. Silmukka sulkeutuu pisteessä P. Elektronin projektio syntyy 3D-pinnalle kohtaan P, jossa elektronin luomat hilavirrat yhtyvät 3D-pinnalla. Kuvassa on myös ytimen p+ luoma hilavirta, joka ei mahdu kuvaan kokonaan. Protonin ja elektronin hila-virrat eivät kohtaa toisiaan 3D-pinnan eri puolilta vaan lomittuvat kuorien eri puolille.

e-

p+

n

L2L4 L3 L1

L4 > L3 > L2 > L1

P

Tämän rakenteen avulla voidaan johtaa geometrisesti vetyatomille Bohrin atomimallin ratojen säteet rn seitsemän merkitsevän numeron tarkkuudella, kun n = 1,2,3... eli

rn = 4 n² ħ² = n² ħ = n² c , Ze²m Zmc Z

missä m on elektronin massa ja = e² / 4 ħc = 1 / 137.035999174 on hienorakennevakio, sekä c on Comptonin aallonpituus c = ħ / mc. Lisäksi tästä geometrisesta mallista johdetaan vetyatomin energiayhtälö

E = ½mv² - Ze² = ½mc² Z ² = h f 4r n

143

Edellä on jo todettu, että elektronin siirtyessä kuorelta n = 1 uloimmalle kuorelle n = 68, sen nollapiste-energiaksi (EZ) jää kuoren n = 68 energia, josta elektroni ei koskaan pääse eroon. Nollapiste-energia vaikuttaisi atomin kaikkiin energiatasoihin vähentävästi ellei olisi olemassa vastaavansuuruista korjaavaa tekijää, joka löytyy hilavirran rakenteesta. Kuorella n=1 sijaitse-va elektroni on 3D-pinnan suunnassa etäisyydellä 136d ytimestä, kun sen Bohrin atomimallin sähködynamiikan mukaan pitää olla etäisyydellä 137d. Elektronilla on silloin absoluuttisesti suurempi energia kuin Bohrin atomimalli edellyttää. Määritellään siksi atomin elektronille absoluuttinen energia En*, joka sisältää nollapiste-energian EZ, eli vetyatomin kuorella n = 1, elektronin potentiaalienergia on E1 = E1* - EZ , jossa E1 on sama kuin Bohrin atomimallin antama energia kuorella n = 1.

Nollapiste-energia EZ ei ole neliöllisessä absoluuttisessa avaruudessa yksikäsitteinen vaan riippuu tarkasteluetäisyydestä. Hiukkasen paikka ja energia eivät siis ole yksikäsitteisiä. Vasta havainto paljastaa ne. Kuorella n nähtynä nollapiste-energia on

EZ(n) = En / 68² = E1 / (n² 68²).

Kun n = 1, hilavirtasilmukassa kuoren pituutta (U = 2D) vastaava energia 3D-pinnan suunnassa on ED = E1 /68². Se on sama kuin nollapiste-energia eli ED = EZ. Kuorella n sensijaan n-kertainen 3D-pituus merkitsee energiaa ED = EZ = E1 /(n² 68²) = En /68².

Hilavirtasilmukan halkaisija koostuu kuorella n = 1 kahdesta V-pituisesta hilavirran osasta (oi-kea ja vasen puoli). Kun n = 2, pituuden V avulla laskettiin Rydbergin vakion tarkka arvo. Pituudesta V on kuvan mukaan kuitenkin vähennettävä ½-hilakuorta eli X = V - d. Hilavirtasil-mukan halkaisija kuorella n = 1 on 2X = 2V – 2D eli halkaisija on kuoren (= 2D) verran lyhenty-nyt ja sen energia on kasvanut määrällä ED. Halkaisija 2X vastaa nyt energiaa E1*. Kuorella n = 1 pätee E1* = E1 + ED = E1 + EZ. Lisäys ED kompensoi elektronin nollapiste-energian EZ.

Kuvasta nähdään lisäksi, että jokaisen kuorilla n = 1,2,3,...68 olevan elektronin hilavirran sä-teen laajuudesta nV vähennetään absoluuttisessa avaruudessa nähtynä määrä nd, jotta saa-daan tarkka hilavirtasilmukan pituus. Niinpä voidaankin kirjoittaa kaikille kuorille n

nX = nV – nd.

Kuorilla n pituus nV siis lyhenee aina määrällä nd, jolloin hilavirtasilmukan halkaisija lyhenee määrällä 2nd. Muutoksen 2nd suhde hilavirtasilmukan halkaisijaan 2nX on vakio kaikilla n. Muutosta 2nd vastaavan energian ED suhde hilavirtasilmukan energiaan En on myös vakio eli sama kuin kuorella n = 1 eli ED / En = 1 / 68².

e-p+

137 solua

n = 2

133 solua

V = 137d X = V-nd

2ndKuvan elektroni sijaitsee kuorella n = 2.

136 solua

144

E Niinpä voidaan todeta, että elektronin nollapiste-energia EZ tulee kompensoiduksi kaikista atomin energiatasoista 1...68, kun hilavirtasilmukkaan syntyy vastaava suhteel-linen lyhennys atomin ytimen kohdalla. Suhteellinen ly-hennys lisää elektronin potentiaali-energian itseisarvoa nollapiste-energian määrällä.

Elektronin nollapiste-energia ei ole yksikäsitteinen kuten ei havaitsemattoman hiukkasen paikkakaan.EZ

ED En En*En

Kuvassa ovat elektronin energiatasot kuorella n.

Pienin atomin emittoima fotonin energia saadaan, kun atomin elektroni siirtyy kuorelta 68 kuo-relle 67. Energiaa vastaavan fotonin aallonpituus on

max = 1 = 0.014 m R (1 / 67² – 1 / 68² )

Se on siis pisin sähkömagneettinen aalto, jonka atomin elektroni voi emittoida kuorta vaihtaes-saan.

Edellä ei ole huomioitu ytimen varauslukua Z. Sen vaikutusta atomimalliin pohditaan tarkem-min seuraavaksi.

145

Avaruuden solujen projektiosuhde säilyy kaaareutumisessa eli mittayksikkö U = 2 · 137,0359 d = vakio. Kun tällainen muutos tapahtuu atomissa, muuttuvat elektronien projektioiden paikat kuten myös hilavirtasilmukoiden koot.

Atomin elektronien projektioiden säteille saatiin, kun U = 2 · 137,0359 d,

rn = n² · 137,035999² d = n² · 137,035999 d = n²U 2

Kun varausluku Z muuttaa hilajonojen kaltevuutta lineaarisesti ja U = vakio, voidaan projektio-suhteena käyttää lukua Z, jolloin voidaan kirjoittaa

rn = n² U . 2 Z

Myöhemmin johdetaan kaava 137dmc = ħ, missä m on elektronin massa. Saadaan

rn = n² . ħ . Z mc

Hilavirtasilmukoiden kehille saatiin edellä

n = 2 n ² 137,0359² U = 2 n ² U ²

Kun varausluku Z muuttaa hilajonojen kaltevuutta lineaarisesti ja U = vakio, voidaan projektio-suhteena käyttää edelleen lukua Z, jolloin voidaan kirjoittaa

n = 2 n ² U Z ² ²

Kun fotonin taajuus fn = c / n ja 137dmc = h / 2 , saadaan

fn = 1 . mc² Z ² ² ja 2 n² h

E = hf = 1 . mc² (Z)² . 2 n²

e-

3D-pintap+

146

D-teorian osa 1. päättyy tähän.

Lähteet:

W. R. Fuchs Fysiikka

B. K. Ridley Aika, avaruus ja asiat

Albert Einstein, Leopold Infeld Fysiikan kehitys

Richard Feynman QED - Valon ja aineen ihmeellinen teoria

R.T. Weidner, R.L. Sells Elementary modern physics

H. C. von Baeyer Maxwellin Demoni

Jukka Maalampi, Tapani Perko Lyhyt modernin fysiikan johdatus

Raimo Lehti A. Einstein - Erityisestä ja yleisestä suhteellisuusteoriasta

Malcolm E. Lines Jättiläisen harteilla

David Ruelle Sattuma ja kaaos

P.C.W. Davies, J.R. Brown Atomien haamu - kvanttifysiikan ongelmia

Tarja Kallio-Tamminen Kvanttilainen todellisuus

Bruce A. Schumm Syvällä asioiden sydämessä, Hiukkasfysiikan kauneus

Paul Davis Kultakutrin arvoitus

Wikipedia

PS. Kaikki maailman ulottuvuudet löytyvät jatsista!

d-teoria uusi kvanttimekaniikan tulkinta perustuen kvantittuneeseen avaruuteen ja aikaan &

Documents