cuadrilateros

5/17/2018 CUADRILATEROS - slidepdf.com

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Cuadriláteros 1

CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos.ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes

RECTÁNGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes.TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos.Los lados paralelos del trapecio se llaman bases.TRAPECIO ISÓSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paraleloscongruentes.

TEOREMA.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º

HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero

TESIS: 360º m DAB m ABC m BCD m CDA

1. Se traza la diagonal AC 1. definición de diagonal.

2. 180º m m m CDA 2. En ADC la suma de los ángulointeriores es 180º

3. 180º m m m ABC 3. En ABC la suma de los ángulointeriores es 180º4. 360ºm m m CDA m m m ABC 4. Suma de 2 y 3

5. m(BCD)+m(DAB)+m(CDA)+m(ABC) = 360º 5. De 4. Adición de ángulos.

TEOREMA:En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

TESIS: AB DC y AD BC

1. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis

2. ; AB DC AD BC 2. De 1. Definición de paralelogramo

3. Se traza la diagonal AC . 3. Definición de diagonal

4. 1 4 4. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.5. 3 2 5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas



Cuadriláteros 2

6. AC AC 6. Propiedad reflexiva

7. ADC ABC 7. De 4, 5, 6. A – L – A

8. AD BC 8. De 7. Lados correspondientes en triánguloscongruentes.

9. AB DC 9. De 7. Lados correspondientes en triángulos

congruentes.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces elcuadrilátero es un paralelogramo.

HIPÓTESIS: ABCD es un cuadriláteroAB DC y AD BC

TESIS: ABCD es un paralelogramo

1. Se traza la diagonal AC . 1. Definición de diagonal2. ; AD BC DC AB 2. De hipótesis


4. ADC ABC 4. De 2 y 3. L – L – L5. 3 2 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos

congruentes

6. AD BC 6. De 5. Por formar ángulos alternos internoscongruentes

7. 4 1 7. De 4. ngulos correspondientes en triánguloscongruentes.

8. AB DC 8. De 7.Por formar ángulos alternos internoscongruentes.

9. ABCD es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo

TEOREMAEn un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.

HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

TESIS: DAB BCD y ADC ABC

1. DC AB y AD BC 1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestosson congruentes

2. AC AC 2. Propiedad reflexiva.

3. ADC ABC 3. De 1 y 2. L – L – L4. ADC ABC 4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos

congruentes.

Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB .



Cuadriláteros 3

TEOREMA:Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es unparalelogramo.

HIPOTESIS: ABCD es un cuadriláteroA C y D B


1. m( A) = m( C) 1. De hipótesis2. m( B) = m( D) 2. De hipótesis3. m( A)+m( B)+m( C)+m( D) = 360º 3. De hip. La suma de los ángulos

interiores de un cuadrilátero es 360°4. 2m( A)+2m( B) = 360º 4. Sustitución de 1 y 2 en 35. 2 m( A)+m( B) = 360º 5. De 4 factorizacion6. m( A)+m( B) = 180º 6. De 5. Transposición de términos

7. AD BC 7. De 6. Si los ángulos consecutivosinteriores son suplementarios setienen rectas paralelas.

8. 2m( A)+2m( D) = 360º 8. De sustituir 1 y 2 en 39. 2 m( A)+m( D) = 360º 9. Factor común10. m( A)+m( D) = 180º 10. Álgebra

11. AB DC 11. De 10. Si los ángulosconsecutivos interiores sonsuplementarios se tienen rectasparalelas.

12. ABCD es un paralelogramo 13. De 7 y 11. Definición de

paralelogramo.

TEOREMASi un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadriláteroes un paralelogramo.

HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero

; DC AB DC AB

TESIS: ABCD es un paralelogramo.

1. DC AB 1. De hipótesis

2. DC AB 2. De hipótesis

3. DCA CAB 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas


5. ABC ADC 5. De 1, 3, 4. L – A – L6. DAC ACB 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en



Cuadriláteros 4

triángulos congruentes.

7. AD BC 7. De 6. Por formar ángulos alternos internoscongruentes

8. ABCD es un paralelogramo. 8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes.La demostración se deja como tarea.

TEOREMASi en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo.

HIPÓTESIS: ABCD es un cuadriláteroAP PC y DP PB


1. y DP PB AP PC 1. De hipótesis.

2. DPC APB 2. Opuestos por el vértice3. DPC APB 3. De 1 y 2. L – A – L4. DCP PAB 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos

congruentes

5. DC AB 5. De 4. Por formar ángulos alternos internoscongruentes.

6. DC AB 6. De 3. Por ser lados correspondientes en triánguloscongruentes

7. ABCD es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y

paralelos.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)En un paralelogramo las diagonales se bisecan.La demostración se deja como tarea.

COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES:1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de

rectas paralelas son congruentes3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud

4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de losvértices.NOTA: El reciproco no se cumple



Cuadriláteros 5

EJERCICIOS RESUELTOS1)

CD BA

Hallar x, y.

2)HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

DM MC 2 DC AD

TESIS: AM MB

1.2

DC AD

1. De hipótesis

2. M es punto medio de DC 2. De hipótesis. Definición de punto medio3.

2

DC DM MC

3. De hipótesis y de 2

4. DM MC AD 4. De 1 y 3. Ley transitiva

5. ADM es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.6. m( ) = m( ) 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes

se oponen ángulos congruentes.

7. AD BC 7. De hipótesis. los lados opuestos de unparalelogramo son congruentes

8. MC BC 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva.

9. MCB es isósceles. 9. De 8. Definición de triangulo isósceles.10. m( ) = m( ) 10. De 9. La misma razón de 7.11. m(D)+m(C) = 180º 11. Por ser ángulos consecutivos en un

paralelogramo12. m( ) + m( ) + m(D) = 180º 12. En el ADM los ángulos interiores suman

180º13. 2m( )+m(D) = 180º 13. Sustitución de 6 en 1214. m( ) + m( ) + m(C) = 180º 14. En el MCB la suma de los ángulos

interiores es 180°



Cuadriláteros 6

15. 2m( )+m(C) = 180º 15. Sustitución de 10 en 1416. 2m( )+m(D)+2m( )+m(C) =

360º16. Adición de 13 y 15

17. 2m( )+2m( )+180º = 360º 17. Sustitución de 11 en 1618. 2 m( )+m( ) = 180º 18. De 17. Factor común y transposición de

términos19. m( )+m( ) = 90º 19. De 18. Algebra20. m( )+m(AMB)+m( ) = 180º 20. Por formar un par lineal21. 90º+m(AMB) = 180º 21. Sustitución de 19 en 2022. m(AMB) = 90º 22. De 21. Transposición de términos

23. AM MB 23. De 22. Definición de perpendicularidad.

3)HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

y DM AC BN AC TESIS: DMBN es un paralelogramo.

1. AD CB 1. De hipótesis. Definición de paralelogramo

2. DAC BCA 2. Por ser alternos internos entre paralelas3. y CNB DMA son rectángulos 3. De Hipótesis. Definición de triangulo

rectángulo

4. AD BC 4. De hipótesis. Lados opuestos de unparalelogramo son congruentes.

5. CNB DMA 5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes lahipotenusa y un ángulo agudo.

6. DM BN 6. De 5. Lados correspondientes entriángulos congruentes.

7. y DM AC BN AC 7. De hipótesis.

8. DM BN 8. De 7. Por ser perpendiculares a la mismarecta.

9. DMBN es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestosparalelos y congruentes.

4)HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo.

DM y BN son bisectrices

TESIS: DMBN es un paralelogramo

1. m (ADC) = m (ABC) 1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de unparalelogramo

2. m (ADM) = m (NBC) 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. Por sermitades de ángulos congruentes y de 1



Cuadriláteros 7

3. NCB MAD 3. Por ser alternos internos entre paralelas( AD BC )

4. AD BC 4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de unparalelogramo

5. AMD BNC 5. De 2, 3, 4. A – L – A

6. DM BN 6. De 5. Por ser lados correspondientes entriángulos congruentes

7. AM NC 7. De 5. Por ser lados correspondientes entriángulos congruentes

8. y AB DC AB DC 8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de unparalelogramo.

9. MAB DCN 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas10. AMB CND 10. De 8, 9,7. L – A – L

11. MB DN 11. De 10. Por ser lados correspondientes entriángulos congruentes.

12. DMNB es un paralelogramo. 12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos

congruentes.

SECANTEUna secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas.

TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P)Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entoncesdeterminan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.

HIPÓTESIS:m n s

AB BC

TESIS: DE EF

1. Por D se traza una paralela a r1, que corta

a n

en G. O sea DG AB

1. Postulado de la paralela.

2. AD BG 2. De hipótesis.

3. ABGD es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo

4. AB DG 4. De 3. Por ser lados opuestos de unparalelogramo.

5. Por E se traza una paralela a r1, que corta

a s

en H. O sea EH BC

5. Postulado de la paralela

6. BE CF 6. De hipótesis.

7 BCHE es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo



Cuadriláteros 8

8. BC EH 8. De 7. Por ser lados opuestos de unparalelogramo

9. AB BC 9. De hipótesis

10. EH DG 10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva.

11. ABG DGE11. De 3. AB DE . Por ser ánguloscorrespondientes entre paralelas.

12. ABG BCH 12. De hipótesis. Por ser ánguloscorrespondientes entre paralelas

13. BC EH 13. De 7. Por ser lados opuestos de unparalelogramo.

14. BCH EHF 14. De 13. Por ser ángulos correspondientesentre paralelas

15. EHF DGE 15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva

16.1

DG r EH

16. De 1 y 5. Propiedad transitiva delparalelismo

17. GDE HEF 17. De 16. Por ser ángulos correspondientesentre paralelas.18. DGE EHF 18. De 17, 15 y 10. A – L – A

19. DE EF 19. De 18. Por ser lados correspondientes detriángulos congruentes

CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes.

TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULOEl segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer

lado y tiene por medida la mitad de ese lado.

HIPÓTESIS: M es punto medio de AC

N es punto medio de BC

TESIS: 1)

2)2

MN AB

AB MN

1. En MN

existe un punto Q, tal

que MN NQ y unimos B con Q

1. Construcción

2. CN NB 2. De hipótesis. Definición de punto medio



Cuadriláteros 9

3. CNM QNB 3. Por ser opuestos por el vértice4. CMN BQN 4. De 2, 1,3. L – A – L

5. C NBQ 5. De 4. ngulos correspondientes en triánguloscongruentes

6. BQ AC 6. Por formar ángulos alternos internos

congruentes.7. BQ AM 7. De 6 y de hipótesis. A – M – C

8. CM BQ 8. De 4. Lados correspondientes en triánguloscongruentes

9. CM MA 9. De hipótesis. Definición de punto medio

10. BQ MA 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva

11. ABQM es un paralelogramo 11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos ycongruentes.

12. MQ AB 12. De 11. Definición de paralelogramo

13. MN AB 13. De hipótesis M – N – Q

14. MQ AB 14. De 11. Por ser lados opuestos de unparalelogramo

15. MN NQ 15. De 4. Lados correspondientes en triánguloscongruentes.

16.2

MQ MN 16. De 15. N es punto medio de MQ .

17.2

AB MN

17. Sustitución de 14 en 16.

TEOREMAUna recta paralela a un lado de un triangulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasapor el punto medio del otro lado.

HIPÓTESIS: MN AB

M es punto medio de AC

TESIS: N es punto medio de BC

1. Por N se traza una paralela a AM ,

corta a AB en D.

1. Construcción

2. MN AD 2. De hipótesis, de 1. A – D – B

3. ADNM es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo

4. CM MA ND 4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos deun paralelogramo son s

5. B MNC 5. De hipótesis. Por ser ánguloscorrespondientes formados por rectasparalelas



Cuadriláteros 10

6. C DNB 6. De 1. Por ser ángulos correspondientesformados por rectas paralelas

7. MNC DBN 7. De 4, 5, 6. L – A – A

8. CN NB 8. De 7. Por ser lados correspondientes entriángulos congruentes.

9. N punto medio de BC . 9. De 8. Definición de punto medio.

DEFINICIÓN:El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llamabase media.

TEOREMA DE LA BASE MEDIALa base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida lasemisuma de las medidas de las bases del trapecio.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con

y F son puntos medios de los lados no paralel

DC AB

E

TESIS:

1.

2.2

EF AB DC

AB DC EF

1. DF

corta a AB

en P 1. Construcción

2. DFC BFP 2. Por ser opuestos por el vértice3. C FBP 3. De hipótesis. Por ser alternos internos entre paralelas

4. CF FB 4. De hipótesis. F es punto medio de CF5. DCF PBF 5. De 2, 3 y 4. A – L – A

6. DF FP 6. De 5. Lados correspondientes en triánguloscongruentes.

7. F es punto medio de DP 7. De 6. Definición de punto medio

8. E es punto medio de AD 8. De hipótesis.

9. EF AP 9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el trianguloADP.

10. EF AB 10. De 9 y 1. A – B – P

11. AB DC 11. De hipótesis

12. EF AB DC 12. De 10 y 11. Propiedad transitiva

13.2

AP EF

13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en untriangulo.

14.2

AB BP EF

14. De 13. Adicion de segmentos

15. BP DC 15. De 5. Lados correspondientes en triánguloscongruentes



Cuadriláteros 11

16.2

AB DC EF


TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media)Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases,

esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB

M es punto medio de AD MN AB DC

C – N – B

TESIS: N es punto medio de BC .

1. M es punto medio de AD 1. De hipótesis

2. AM MD 2. De 1. Definición de punto medio

3. MN AB DC 3. De hipótesis

4. BN NC 4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental delparalelismo

5. N es punto medio de BC 5. De hipótesis y 1.

TEOREMAEl punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista de los vértices. O deotra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.

HIPÓTESIS: Triangulo ABC es rectángulo

M es el punto medio de la hipotenusa CB

TESIS: 1)AM MB MC

2)2

BC AM

1. Por M se traza una paralela a AB , que

corta a AC en N

1. Construcción

2. N es punto medio de AC 2. De 1. Si por el punto medio de un lado

de un triangulo se traza una paralela a unlado, cortara al otro lado en su puntomedio.

3. m(CNM) = m(CAB) = 90º 3. De hipótesis y de 1. Por sercorrespondientes entre paralelas

4. MN es altura 4. De 3. Definición de altura.

5. CMA es isósceles. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura.

6. AM MC 6. De 5. Definición de triangulo isósceles.



Cuadriláteros 12

7. MC MB 7. De hipótesis. Definición de punto medio.

8.2

BC AM MC MB

8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M espunto medio.

TEOREMALas medianas de un triangulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que Gestá a 2/3 de cada vértice.

HIPÓTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G

TESIS:

2

3

2

3

AG AM

BG BN

1. M y N son puntos medios de y BC AC 1. De hipótesis. Definición de mediana

2. ;2

AB NM AB NM

2. De 1. Teorema de la paralela media en ABC

3. Sean P y Q los puntos medios de

y AG BG respectivamente.

3. Todo segmento tiene un punto medio

4. ;2

ABPQ AB NM

4. De 3. Teorema de la paralela media entriangulo AGB

5. NM PQ

NM PQ

5. De 2 y 4. Propiedad transitiva

6. NPQM es un paralelogramo 6. De 5. Por tener dos lados opuestosparalelos y congruentes.

7. PG GM 7. De 6. Las diagonales de un paralelogramose cortan en su punto medio

8. PG AP 8. De 3. Definición de punto medio

9. AP PG GM 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

10.1

3 AP PG GM AM

10. De 9. Definición de fracción

11.

2

3 AP PG AM

11. De 10. Aritmética.

12.2

3 AG AM

12. De 11. Adición de segmentos.

De la misma forma se demuestra que BG = 2/3 BN



Cuadriláteros 13

RESUMEN DE CUADRILÁTEROS

Paralelogramos 1. Lados opuestos congruentes2. Ángulos opuestos congruentes

3. Ángulos consecutivos suplementarios4. Las diagonales se bisecan

Cuadrado 1. Diagonales congruentes2. Diagonales perpendiculares3. Las diagonales son bisectrices4. Las diagonales se bisecan

Rectángulo 1. Las diagonales se bisecan

2. Las diagonales son congruentesRombo

1. Diagonales se bisecan2. Diagonales son perpendiculares3. Diagonales son bisectrices

Trapecio isósceles 1. Los lados no paralelos son congruentes2. Los ángulos de las bases son congruentes3. Al trazar las alturas se generan triángulos rectángulos congruentes.



Cuadriláteros 14

EJERCICIOS RESUELTOS1)

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB

E, D, F son puntos medios.

TESIS: DECF es un rombo

1. A B 1. De hipótesis, en un triangulo isósceles los ángulos de labase son congruentes

2. AD DB 2. De hipótesis, definición de punto medio

3. CA CB 3. De hipótesis.

4. AE BF 4. De 3 y de hipótesis, por ser mitades de segmentoscongruentes

5. AED BDF 5. De 4, 2 y 1 L - A – L6. DE DF 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos

congruentes

7. DE BC CF 7. Teorema de la paralela media en un triangulo.

8. DF AC CE 8. Teorema de la paralela media en un triangulo.

9. DECF es unparalelogramo

9. De 7 y 8, por tener los lados opuestos paralelos

10. DE CF 10. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo

11. DF CE 11. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo

12.DF CE CF DE

12. De 6, 10 y 11, por la propiedad transitiva de la congruenc

13. DECF es un rombo 13. De 9 y 12, definición de rombo.

2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios desus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramoM es punto medio de DC N es punto medio de AB

A – P – M; C – Q – N

TESIS: DP PQ QB



Cuadriláteros 15

1. DC AB 1. De hipótesis definición de paralelogramo

2. MC AN 2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B

3. DC AB 3. De hipótesis, por ser lados opuestos de unparalelogramo

4.2

DC MC 4. De hipótesis, definición de punto medio.

5.2

AB AN

5. De hipótesis, definición de punto medio.

6.2

DC AN


7. MC AN 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva8. ANCM es un paralelogramo 8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes

y paralelos.9. MA CN 9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo

10. MP CQ 10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N

11. En CQD : P es punto medio

de DQ

11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de unlado de un triangulo se traza una paralela a un lado deltriangulo, pasa por el punto medio del otro lado.

12. DP PQ 12. De 11, definición de punto medio.

Continuar con la demostración, pero ya analizando el triangulo PBA.

3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo se cortan en unpunto llamado incentro.

HIPÓTESIS: BE y AD son bisectrices y se cortanen I.

TESIS: I es un punto de la bisectriz de ACB



Cuadriláteros 16

1. IP IR 1. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ánguloequidista de los lados del ángulo

2. IR IQ 2. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ánguloequidista de los lados del ángulo

3. IP IQ 3. De 1 y 2, propiedad transitiva

4. I es un punto de labisectriz de ACB

4. De 3, por equidistar de los lados del ángulo.

4)

1. DM AB EH 1. De hipótesis, teorema de la paralela media

2. DEHM es un trapecio 2. De 1, definición de trapecio3. CHB es un triangulo rectángulo 3. De hipótesis, definición de altura y de triangulo

rectángulo

4.2

CB HM

4. De 3, en un triangulo rectángulo la mediana a lahipotenusa mide la mitad de esta

5.2

CB DE 5. De hipótesis, teorema de la paralela media

6. HM DE 6. De 4 y 5, propiedad transitiva7. DEHM es un trapecio isósceles 7. De 6 y 2, definición de trapecio isósceles.



Cuadriláteros 17

PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO:1. Un triangulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( )2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triangulo isósceles es

paralela a la base. ( )3. La mediana de un triangulo es perpendicular a la base. ( )

4. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( )6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas

de ángulos alternos internos. ( )7. En un triangulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la

medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de30º ( )

8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulosinteriores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( )

9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( )10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( )

11. Las diagonales de un paralelogramo son congruentes. ( )12. Las diagonales de un rectángulo son congruentes, ( )13. Un rectángulo es un paralelogramo. ( )14. Un paralelogramo es un rectángulo ( )15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un

cuadrado. ( )16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las

bases. ( )17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se

bisecan mutuamente. ( )18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( )

19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectánguloforman un rombo. ( )20. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( )21. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son

perpendiculares.( )

EJERCICIOS

1. AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m (B) = 120º, hallar m (BAC).2. En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m (B). Hallar m(A )3. En el triangulo ABC. AD DB (A – D – B), m(C) = 90º, m (B) = 30º. AC = 35 cm.

Hallar BD y la mediana CD

4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.



Cuadriláteros 18

5.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC

TESIS: DE FB

6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio esisósceles.

7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares,entonces el paralelogramo es un rombo.

8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo sonperpendiculares.

9.HIPÓTESIS: SRQT es un paralelogramo

QL es la bisectriz de TQR

SM es la bisectriz de TSR

TESIS: SLQM es un paralelogramo.

10.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonalesse cortan en E.

TESIS: E es el punto medio de FG

11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtieneun paralelogramo.

12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectánguloforman un rombo.

13.



Cuadriláteros 19

14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de untrapecio, biseca a la base media del trapecio.

15.HIPÓTESIS: M y N son puntos medios de las bases deltrapecio. E y F son los puntos medios de los lados no

paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales.

TESIS:

1)

2)

3) es punto medio de PQ

EP QF

ES SF

S

16.HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB

D, E, F son puntos medios

TESIS: CDEF es un rombo

17.HIPÓTESIS; ELMN es un cuadrilátero

A, B, C, D son puntos medios de los lados delCuadrilátero.

TESIS: yCA DB se bisecan mutuamente.

18.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramoP es el punto medio de AD Q es el punto medio de BC

TESIS: AR RS SC

19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero,entonces el cuadrilátero es un rombo.

20.



Cuadriláteros 20

21

22.

HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto

medio de medio deBC

.AH HR

yBG GS

TESIS:1)

2)

S C R

CR CS

AYUDA: Trazar BR y AS

23. En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar queel triangulo APB es isósceles.

24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de

BD . AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un

paralelogramo.

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.



Cuadriláteros 21

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILÁTEROS

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

DE es bisectriz de ADCBF es bisectriz de ABCA – E – B ; D – F – C

TESIS: DE FB

1.( )

( 1)2

m ADC m

1. De hipótesis. Definición de bisectriz

2.( )

( 2)2

m ABC m


3.m(ADC)=m(ABC) 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo

4. ( )( 2)2

m ADC m


5. m(1) = m(2) 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva.6. C A 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo7. 3 4 7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el

tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo delsegundo.

8. DC AB 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo sonparalelos

9. 4 5 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas10. 3 5 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.11. DE FB 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes

Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio esisósceles.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB A B

TESIS: ABCD es un trapecio isósceles

1. Se trazan las alturas DH y

CE

1. Construcción auxiliar

2. DH CH 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB

3. DC HE 3. De hipótesis. DC AB 4. HECD es un paralelogramo 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo.5. DH CE 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

6. A B 6. De hipótesis.7. DHA CEB 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un

cateto y un ángulo agudo congruentes.



Cuadriláteros 22

8. AD BC 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s9. ABCD es un trapecioisósceles

9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles.

Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo sonperpendiculares.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramoAE es bisectriz de DABBE es bisectriz de ABC

TESIS: AE EB

1.( )

( 1) 2 ( 1) ( )2

m DAB m m m DAB


2( )

( 2) 2 ( 2) ( )2

m ABC m m m ABC


3. m(DAB) + m(ABC) = 180° 3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos enun paralelogramo son suplementarios

4. 2 m(1) + 2 m(2) = 180° 4. Sustitución de 1 y 2 en 35. m(1) + m(2) = 90° 5. De 2. Algebra6. m(E) = 90° 6. De 5. Los ángulos interiores de un triangulo

suman 180°7. AE EB 7. De 6. Definición de perpendicularidad

1. M es punto medio de AD y N es punto

medio de BC

1. De hipótesis

2. MN es la base media del trapecio 2. De hipótesis. Definición de base media

3. MN DC 3. De 2. La base media es paralela a lasbases

4. MP DC 4. De 3 y M – P – Q – N

5. En ADC : P es punto medio de AC 5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un ladode un triangulo se traza una paralela a u nlado, esa paralela pasa por el punto mediodel otro lado.

Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB.



Cuadriláteros 23

HIPÓTESIS: ELNM es un cuadriláteroA, B, C, D son los puntos medios de los ladosdel cuadrilátero.

TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente.

1. Se traza la diagonal EN 1. Construcción auxiliar

2. D es punto medio EM y C es punto medio deMN 2. De hipótesis

3. DC es paralela media en el EMN 3. De 2. Definición de la paralelamedia en un triangulo.

4. ;2

EN DC DC EN

4. De 3. Teorema de la paralela media

5. A es punto medio de EL y B es punto medio deLN

5. De hipótesis.

6. AB es paralela media en el ELN 6. De 5. Definición de la paralela mediaen un triangulo.

7. ;2

EN

AB AB EN 7. De 6. Teorema de la paralela media

8. yDC AB DC AB 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva

9. ABCD es un paralelogramo 9. De 8. Por tener un par de ladoscongruentes y paralelos.

10. AC y DB se bisecan 10. De 9. Las diagonales de un paralelose bisecan.



Cuadriláteros 24

HIPÓTESIS: BT es alturaA – P – BPR AC y PS BC

TESIS: PR + PS = BT1. Se traza PQ BT 1. Construcción auxiliar.

2. AC BT 2. De hipótesis. Definición de altura.

3. PQ AC 3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la mismarecta

4. PR AC 4. De hipótesis

5. BT AC QT AC 5. De hipótesis. Definición de altura

6. PR QT 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la mismarecta

7. RPQT es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo8. PR QT 8. De 7. Los lados opuestos de un son

congruentes

9. BT = BQ + QT 9. Suma de segmentos10. BT = BQ + PR 10. Sustitución de 8 en 9.11. PQB y PSB son rectángulos 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo

rectángulo.12. A ABC 12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un

triangulo isósceles son congruentes.13. QPB A 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre

paralelas.14. QPB ABC 14. De 12 y 13. Propiedad transitiva15. PB PB 15. Propiedad reflexiva16. PQB PSB 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos

con un ángulo agudo y la hipotenusacongruentes.

17. BQ = PS 17. De 16. Por ser lados correspondientes entriángulos congruentes.

18. BT = PS + PR 18. Sustitución de 17 en 10.

En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales secortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles.

1. DAB CBA 1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un trianguloisósceles son congruentes

2. AD BC 2. De hipótesis.

3. AB AB 3. Propiedad reflexiva

4. DAB CBA 4. De 1, 2, 3. L – A – L5. 1 2 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos

congruentes.



Cuadriláteros 25

6. APB es isósceles 6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes

En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de

BD . AB CD . CH AB ; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.

1. AHC es un triangulorectángulo

1. HM es la mediana sobre la hipotenusa

2. HM MA MC 2. De 1. En un triangulo rectángulo la mediana sobre lahipotenusa mide la mitad de esta.

3. AMH es isósceles 3. De 2. Definición de triangulo isósceles.4. MAH MHA 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo

isósceles.5. APB es isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior6. MAH PBA 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triangulo

isósceles7. MHA PBA 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva.

8. HM BN 8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes.

9. AC BD 9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles soncongruentes.

10. BN AM 10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentoscongruentes.

11. BN AM HM BN 11. De 10 y 2. Propiedad transitiva

12. MHBN es unparalelogramo.

12. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes yparalelos.

Se da un triangulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M puntomedio de CA. Demostrar 1) APNM es un paralelogramo. 2) PBNM es un paralelogramo3) CMPN es un paralelogramo. AYUDA: Utilizar varias veces el teorema de la paralela

media en un triangulo y la definición de paralelogramo. Sea un triangulo ABC, rectángulo en A, K es el centro de la circunferencia inscrita en eltriangulo. Demostrar que la hipotenusa es el lado del cuadrado inscrito en lacircunferencia que pasa por los puntos B, C, K.



Cuadriláteros 26

Se trazan los diámetros yCE BD , como las diagonalesde un cuadrado se bisecan y son perpendiculares,vamos a demostrar que estos diámetros sonperpendiculares.K es el incentro, es decir el punto donde se cortan las

bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo,por consiguiente yKC KD son bisectrices.

( ) ( ) 90ºm ACB m ABC Porque los ángulos agudosde un triangulo rectángulo son complementarios,entonces se tiene que ( ) ( ) 45ºm KCB m KBC ,

porque yKC KD son bisectrices.Como los ángulos interiores de todo triangulo suman 180º entonces en el triangulo CKB elángulo K mide 135º y por lo tanto el arco CDEB mide 270º y por resta de arcos el arcoCKB mide 90º y por lo tanto el ángulo COB mide 90º por ser un ángulo central. Entoncestenemos que las diagonales yCE BD se bisecan y son perpendiculares, por lo tanto CB es el lado de un cuadrado.

Profesor: José Manuel Montoya Misas

cuadrilateros

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