corso tecniche di rappresentazione dello spazio a.a. 2009/2010 docente arch. emilio di gristina 05

corso tecniche di rappresentazione dello spazio

A.A. 2009/2010docente Arch. Emilio Di Gristina

05

l’assonometria

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per eseguire una proiezione assonometrica, detta anche proiezione parallela o assonometria, bisogna riferirsi ad una terna di assi cartesiani ortogonali e proiettare rispetto ad un centro improprio, posto all’infinito, sul quadro

se x,y,z con centro O è la terna di assi x1 y1 z1 con centro O1 saranno gli assi dell’assonometria e C il punto, improprio, di proiezione

le proiezioni assonometriche - generalità

l’assonometria è detta ortogonale se la direzione dei raggi visuali è perpendicolare al quadro assonometrico


l’assonometria è detta obliqua se la direzione dei raggi visuali è inclinata rispetto al quadro assonometrico

Si noti che per convenzione lo schema degli assi grafica digitale 3D è così individuato:x - rosso, y - verde, z - blu (RGB), usulamente il tripode del gizmo riporta questi colori


nella proiezione assonometrica ortogonale la direzione dei raggi proiettanti si considera normale, perpendicolare, al quadro; data una terna di assi x, y, z e proiettandoli su un piano a, detto anche quadro, otterremo:

x1 y1 z1 = assi dell’assonometriaA B C = vertici del triangolo delle tracce

le proiezioni assonometriche - generalità, assi dell’assonometria e triangolo delle tracce

nel triangolo delle tracce le altezze sono le proiezioni degli assi x, y, zdi conseguenza l’origine degli assi assonometrici O1 è il suo ortocentroil triangolo A B C è acutangolole sue altezze, e quindi gli assi x1 y1 z1 , formano angoli ottusi

le proiezioni assonometriche - generalità, assi dell’assonometria e triangolo delle tracce

gli angoli che formano gli assi dell’assonometria x1 y1 z1 tra loro a due a due (z1 y1 x1 z1 y1 z1) sono gli: angoli di orientamentogli angoli che formano gli assi x, y, z con il piano di proiezione, quadro, sono chiamati angoli di inclinazione

le proiezioni assonometriche - angoli di orientamento e inclinazione

se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce equilatero, l'assonometria si dice isometrica o monometrica e l'unità di misura si proietta in tre segmenti uguali tra di loro.

se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce isoscele, l'assonometria si dice dimetrica;si ha un sistema di assi con due angoli al centro uguali: l'unità di misura si proietta in due segmenti uguali tra loro e uno diverso.

se il triedro interseca il piano assonometrico in modo da formare un triangolo delle tracce scaleno, l'assonometria si dice trimetrica;l'unità di misura si proietta in segmenti minori dell'unità di misura e diversi tra loro.

le proiezioni assonometriche – isometrica, dimetrica, trimetrica

gli angoli che formano gli assi dell’assonometria x1 y1 z1 tra loro a due a due (z1 y1 x1 z1 y1 z1) sono gli: angoli di orientamentogli angoli che formano gli assi x, y, z con il piano di proiezione, quadro, sono chiamati angoli di inclinazione

le proiezioni assonometriche - angoli di orientamento e inclinazione

rappresentando nel piano:

tabella dei valori dei sistemi assonometrici più usati

angoli di orientamento angoli di inclinazione rapporto di accorciamento

tipo di assonometria z1 y1 x1 z1 y1 x1 a b g cos a cos b cos g

assonometria isometrica 120° 120° 120° 35° 35° 35° 0,816 0,816 0,816

assonometria dimetrica 131° 1/2 97° 131° 1/2 19° 1/2 62° 19° 1/2 0,94 0,47 0,94

assonometria trimetrica 108° 95° 157° 27° 1/2 60° 1/2 10° 0,89 0,49 0,98

sotto la tabella con i valori generalmente utilizzati, si noti che la terna degli angoli di inclinazione e orientamento determina il tipo di assonometria:

isometrica – tutti gli angoli ugualidimetrica –due angoli uguali ed uno differentetrimetrica – tutti gli angoli differenti

le proiezioni assonometriche – tipi e tabella dei valori più utilizzati

esempio di assonometria trimetrica

si noti la terna degli angoli a, b, ged il loro utilizzo per la riduzione grafica dei lati del parallelepipedo

le proiezioni assonometriche – assonometria trimetrica

esempio di assonometria dimetrica - si noti la terna degli angoli a, b, g ed il loro utilizzo per la riduzione grafica dei lati dei solidi in esame

le proiezioni assonometriche – assonometria dimetrica

esempio di assonometria isometrica - si noti la terna degli angoli a, b, g ed il loro utilizzo per la riduzione grafica dei lati del solido in esame

le proiezioni assonometriche – assonometria isometrica

esempio di assonometria isometrica di un insieme di volumi – anche per oggetti complessi, com’è evidente, il procedimento resta analogo a quelli esaminati

le proiezioni assonometriche – assonometria isometrica, un insieme

proiettando una terna di assi cartesiani x, y, z su un quadro coincidente, o parallelo, ad uno dei piani coordinati secondo una direzione obliqua otterremo una terna di assi assonometrici che ha un angolo di orientamento di 90°quanto sopra consente delle operazioni di rappresentazione semplificate e più immediate

si noti anche che se l’angolo a è uguale a 45° non si hanno variazioni poiché cotangente di 45° = 1se l’angolo a è uguale a 63° si applica una riduzione di ½ per avere una rappresentazione gradevole

l’angolo che x1 forma con z1 , che sia di 135° o 45°, determina l’assonometria Cavaliera dall’alto o dal basso cavaliera

venne codificata da Bonaventura Francesco Cavalieri matematico italiano vissuto nella prima metà del '600

le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera o obliqua

assonometria Cavaliera dall’alto

assonometria Cavaliera dal basso

l'assonometria Cavaliera è un tipo di assonometria obliqua in cui uno dei tre piani del sistema di riferimento è parallelo al piano di proiezione.

viene detta militare se il piano di proiezione è orizzontale parallelo a xy

viene detta frontale se il piano di proiezione è verticale parallelo a xz o yz

le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera militare o frontale

schema assonometria Cavaliera militare

schema assonometria Cavaliera frontale

facendo coincidere il piano del quadro con il piano coordinato x1 y1,considerando i raggi proiettanti con un’inclinazione di 45°: gli assi x1 e y1 formeranno un anglo rettoe l’asse z1 assumerà una posizione verticale, tutto senza variazioni poiché, come detto, cotg di 45° = 1

con questo tipo di rappresentazione partendo da un elaborato planimetrico e semplicemente riportando le altezze ricavate dai fronti si può velocemente sviluppare un disegno tridimensionale senza dover procedere a calcoli di riduzione


le immagini prodotte dall'assonometria cavaliera risultano innaturali per l'occhio umano, pertanto si usa ridurre, in genere della metà, le misure relative all'asse verticale z perpendicolare al quadroun'assonometria cavaliera che non utilizza la riduzione, né i calcoli che questa richiede, è detta rapida.

teorema di Pohlke - Schwarzil teorema di Pohlke asserisce che ogni tripla di vettori complanari, non allineati e di cui eventualmente uno nullo, può essere ottenuta come proiezione di una tripla di vettori ortonormali nello spazio euclideo.

questo risultato può venire interpretato in geometria descrittiva come:tre segmenti non allineati sul piano, aventi un estremo in comune, rappresentano sempre una proiezione di un sistema di riferimento, con le relative riduzioni assonometriche, in pratica i tre segmenti possono essere utilizzati per rappresentare un cubo in modo assonometricamente corretto.

le proiezioni assonometriche – assonometria Cavaliera, il teorema di Pohlke - Schwarz

partendo da una planimetria e semplicemente riportando le altezze ricavate dai fronti otterremo un disegno tridimensionale senza dover procedere a calcoli di riduzione

ciò è senza dubbio un vantaggio nel caso di elaborati complessi


nel caso di proiezioni parallele, l'omologia di ribaltamento è un'affinità, e poiché la proiezione è ortogonale, si tratta di un'affinità ortogonale, avente per asse la retta txy comune al piano della figura e al quadro

i punti O e O1 sono corrispondenti e sono ancora corrispondenti le rette x e x1 e y e y1 nonché le relative coppie di punti impropritra le immagini x O y e x1 O1 y1 c'è un'affinità omologica ortogonale, con asse txy e centro improprio U, punti corrispondenti O O1

le proiezioni assonometriche – l’omologia nell’assonometria

l’assonometria è uno dei metodi più utilizzati per la rappresentazione di oggetti, spazi o architetture, sono utili sia per la trasmissione dell’informazione anche a terzi non necessariamente “addetti ai lavori”, che per l’indagine progettuale e lo studio delle forme.Spesso, ad esempio, le immagini dei cataloghi di design o ancor più nel caso di elementi modulari ricorre a questo tipo di strumento di rappresentazione.

nella pratica è conveniente prima di costruire un’assonometria con riga e squadra preparare una serie di schizzi per stabilire quale potrebbe essere l’angolo visivo migliore per descrivere ciò che desideriamo studiare o rappresentare

nel caso di oggetti complessi o per realizzare ideogrammi tridimensionali lo spaccato/esploso assonometrico e/o la sezione assonometrica sono senz’altro uno dei migliori mezzi per la trasmissione delle informazioni visive

sezioni assonometriche a vari livelli orizzontalmente o in diverse “fette” verticali di un oggetto possono aiutarne la comprensione

le proiezioni assonometriche – in pratica

A. Libera – Casa Malaparte a Capri

le proiezioni assonometriche – suggerimenti

immagini tratte da: manuale di tecniche grafiche T. Porter e S. Goodman ed. CLUP

le proiezioni assonometriche – esempio di una rappresentazione esaustiva

Mario Botta – casa a San Vitale

le proiezioni assonometriche – esempio: concept, schizzo di studio, rappresentazione finale

Cristiano Toraldo Di Francia

l’assonometria è lo sguardo con l’occhio di Dio

anonimo

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