laboratorio di rappresentazione e modellazione dell ... · pdf fileil metodo di monge o della...

Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell’ArchitetturaSeconda Università di Napoli | Facoltà di Architettura | Corso di Laurea in ArchitetturaLaboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell’Architettura BProf. Nicola Pisacane

01. IL METODO DELLE DOPPIEPROIEZIONI ORTOGONALI

Seconda Università degli Studi di Napoli | Facoltà di Architettura | Corso di Laurea in ArchitetturaLaboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell’Architettura B | Prof. Nicola Pisacane

14

tra i due piani è detta linea di terra l. I due piani individuano

quattro diedri (I, II, III e IV).

Il metodo di Monge assume come riferimento nel piano il

foglio da disegno coincidente con il piano ʌ1, mentre il piano

ʌ2 si suppone ribaltato (con una rotazione per convenzione

antioraria intorno alla linea di terra l) sul piano ʌ1.

Il metodo di Monge o della doppia proiezione ortogonale

assume come riferimento nello spazio due piani ʌ1 e ʌ

2

mutuamente ortogonali tra loro e due centri di proiezione

O�� e O��, rispettivamente ortogonali ai suddetti piani. Il

piano ʌ1 è assunto come primo piano di proiezione, mentre il

piano ʌ2 come secondo piano di proiezione. La retta intersezione

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Il riferimento nello spazio e sul piano01a


15

proiezioni P’ e P’’ allineate su una retta ortogonale alla

linea di terra detta retta di richiamo, viceversa dati due punti

P’ e P’’ allineati su una retta ortogonale alla linea di terra,

questi saranno la proiezione di uno ed un solo punto

dello spazio. La distanza del punto P dal piano ʌ1 è detta

quota, la distanza del punto P dal piano ʌ2 è detta aggetto.

condcendo una retta contenente il centro di proiezione

O��per il punto P, l’intersezione della suddetta retta con

il piano di proiezione ʌ2 darà la prima proiezione (P’’)

del punto P. Nel ribaltamento di ʌ2 su ʌ

1, la seconda

proiezione (P’’) di P assumerà la posizione nel punto

P’’. Il punto P sarà dunque rappresentato dalla sue due

Assegnato un punto P nello spazio, la sua prima

immagine o prima proiezione si avrà condcendo una

retta contenente il centro di proiezione O��per il

punto P, l’intersezione della suddetta retta con il piano

di proiezione ʌ1 darà la prima proiezione P’ del punto

P. La seconda immagine o seconda proiezione si avrà

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. Il punto01b


16

/H�ÀJXUH�ULSRUWDQR��QHO�ULIHULPHQWR�VSD]LDOH�H�LQ�TXHOOR�sul piano, i casi in cui i punti P, Q, R e S appartengano

rispettivamente al I, II, III e IV diedro.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. Il punto01b


17

Analogamente, assegante nel piano le tracce Sr e T

r,

sarà possibile individuare le rette r’ e r’’ (proiezioni di

r) congiungendo le prime e le seconde proiezioni delle

suddette tracce.

proiezione sono detti rispettivamente prima traccia di r e

seconda traccia di r. Il primo ha quota nulla, il secondo ha

aggetto nullo.

La retta r sarà rappresentata nel riferimento piano dalle

rette r’ e r’’, viceversa date due rette r’ e r’’ queste saranno

le proiezioni di una e una sola retta dello spazio.

piano proiettante in seconda proiezione) contenente il

centro di proiezione O��e la retta r, l’intersezione del

suddetto piano con il piano di proiezione ʌ2 darà la prima

proiezione (r’’) della retta r. Nel ribaltamento di ʌ2 su ʌ

1,

la seconda proiezione (r’’) di r assumerà la posizione nella

retta r’’. I punti Sr e T

r in cui la retta r interseca i piani di

Assegnata una retta r nello spazio, la sua prima proiezione

r’ si avrà conducendo un piano (detto piano proiettante in

prima proiezione) contenente il centro di proiezione O��

e la retta r, l’intersezione del suddetto piano con il piano

di proiezione ʌ1 darà la prima proiezione r’ del punto r.

La seconda proiezione si avrà condcendo un piano (detto

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta01c


18

Se la retta r interseca i piani ʌ1 e ʌ

2 nel secondo quadrante,

le tracce Sr e T

r cadono entrambe al di sopra della linea di

terra.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta01c


19

Se la retta o appartiene a un piano parallelo a ʌ1 è detta

retta orizzonatale. La seconda proiezione o’’ sarà parallela

alla linea di terra l e la prima proiezione o’ parallela

alla retta obiettiva o. La prima traccia S’R�� è il punto

improprio di o (e quindi di o’).

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. La retta. Casi particolari01c


20

Se la retta f appartiene a un piano parallelo a ʌ2 è detta

retta di fronte. La prima proiezione f ’ sarà parallela alla linea

di terra l e la seconda proiezione f ’’ parallela alla retta

obiettiva f. La seconda traccia T’’I�� è il punto improprio

di f (e quindi di f ’’).



21

proiezione ʌ2, la sua seconda proiezione k’’ coinciderà

con la seconda traccia T’’k, mentre la prima proiezione k’

sarà perpendicolare alla linea di terra l. La prima traccia

S’N� sarà il punto improprio della retta k (e quindi di k’).

Se la retta h è perpendicolare al primo piano di proiezione

ʌ1, la sua prima proiezione h’ coinciderà con la prima

traccia S’h, mentre la seconda proiezione h’’ sarà

perpendicolare alla linea di terra l. La seconda traccia T’’K�

sarà il punto improprio della retta h (e quindi di h’’).

Se la retta k è perpendicolare al secondo piano di



22

rette si intersecano in un punto della linea di terra l,

intersezione dei piani ʌ1, ʌ

2 e Į.

Dato un piano Į è sempre possibile determinare le sue

tracce, viceversa, assegnate due rette che si intersecano in

un punto di l resta individuato uno e un solo piano.

Assegnato un piano Į nello spazio, non parallelo né

appartenenete ai piani di proiezione, incontrerà ʌ1 e ʌ

2

secondo due rette, generalmente proprie, dette tracce. In

paricolare, sĮ, retta intersezione con il primo piano di

proiezione, sarà la prima traccia; tĮ, retta intersezione con il

secondo piano di proiezione, sarà la seconda traccia. Queste

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. Il piano01d


23

Un piano Į� perpendicolare al primo piano di proiezione

ʌ1, si dice piano proiettante in prima proiezione e avrà la

seconda traccia tĮ perpendicolare alla linea di terra l.

Un piano ȕ� perpendicolare al secondo piano di

proiezione ʌ2, si dice piano proiettante in seconda proiezione e

avrà la prima traccia sȕ perpendicolare alla linea di terra l.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. Il piano. Casi particolari01d


24

linea di terra l mentre la seconda traccia tȕ��sarà impropria

e avrà la giacitura di ʌ2 (e quindi di ȕ).

Un piano Į, parallelo al primo piano di proiezione ʌ1, si

dice piano orizzontale e avrà la seconda traccia tĮ parallela

alla linea di terra l mentre la prima traccia sĮ��sarà

impropria e avrà la giacitura di ʌ1 (e quindi di Į).

Un piano ȕ, parallelo al secondo piano di proiezione ʌ2,

si dice piano di fronte e avrà la prima traccia sȕ parallela alla

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Rappresentazione degli enti fondamentali. Il piano. Casi particolari01d


25

Data una retta r, un punto P appartiene ad r se le

immagini del punto P (P’ e P’’) appartengono alle

immagini omonime della retta r (r’ ed r’’).

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di un punto ad una retta01e


26

Dato un piano Į, una retta r appartiene ad Į se le tracce

delle retta r (Sr e T

r) appartengono alle tracce omonime

del piano Į (sĮ e tĮ).

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di una retta ad un piano01e


27

Dato un piano Į, una retta orizzontale o appartiene ad Į

se le tracce delle retta o (SR� e To) appartengono alle tracce

omonime del piano Į (sĮ e tĮ). Poiché la prima traccia SR�

è impropria, la pima immagine o’ dovrà essere parallela

alla prima traccia sĮ.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di una retta orizzontale ad un piano01e


28

Dato un piano Į, un punto P appartiene ad Į se il punto

appartiene ad una retta di Į. Se il piano non è parallelo

alla linea di terra ci si può servire di una retta orizzontale

o di Į, la cui prima immagine o’ passi per P’ e la seconda

immagine o’’ passi per P’’.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Appartenenza di un punto ad un piano01e


29

Due piani Į e ȕ sono paralleli se le tracce omonime sono

parallele, ossia sĮ è parallelo a

sȕ e tĮ

è parallelo a tȕ.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Parallelismo tra piani01e


30

Due rette r e v sono parallele se le immagini omonime

sono parallele, ossia r’ è parallela a v’ e r’’ è parallela a v’’.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Parallelismo tra rette01e


31

Una retta n è perpendicolare al piano Į se le immagini

della retta sono perpendicolari alle tracce del piano, ossia

n’ è perpendicolare a sĮ e n’’ è perpendicolare a tĮ.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Condizioni di appartenenza, parallelismo ed ortogonalità. Retta ortogonale ad un piano01e


32

Assegnati due punti A (A’ e A’’) e B (B’ e B’’), le proiezioni

della loro congiungente r saranno A’B’Łr’ e A’’B’’Łr’’.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Problemi grafici fondamentali. Retta individuata da due punti01f


33

Assegnate due rette r (r’ e r’’) e v (v’ e v’’), incidenti in P

(P’ e P’’), il piano Į individuato da r e v avrà le tracce sĮ

e tĮ

contenenti le tracce omonime delle due rette, ossia sĮ

conterrà Sr e

S

v e

tĮ conterrà T

r e

T

v.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Problemi grafici fondamentali. Piano individuato da due rette incidenti01f


34

Assegnati tre punti A (A’ e A’’), B (B’ e B’’) e C (C’ e C’’),

costruite le rette ABŁv e ACŁr, le tracce del piano Į,

individuato dai punti A, B e C, saranno determinate dalle

tracce omonime delle rette v ed r, ossia ossia sĮ conterrà

Sv e

S

r e

tĮ conterrà T

v e

T

r.

Assegnato un punto P (P’ e P’’) e una retta r (r’ e r’’) non

contenente P, per costruire il piano Į individuato da P

e da r condurrò una retta s (s’ e s’’) per P. Le tracce del

piano Į saranno determinate dalle tracce omonime delle

rette r ed s, ossia ossia sĮ conterrà Sr e

S

s e

tĮ conterrà T

r e

Ts.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Problemi grafici fondamentali. Piano individuato da due rette incidenti/Piano individuato da tre punti non allineati01f


35

tra le prime immagini r’ e v’ delle rette r e v e la seconda

immagine P’’ nel nel punto di intersezione tra le prime

immagini r’ e v’ delle rette r e v.

Assegnati tre piani Į, ȕ e Ȗ, il punto P comune ai tre

piani si determina costrunedo le rette r e v intersezione

rispettivamente di Į con ȕ e di ȕ con Ȗ. Il punto P,

intersezione delle suddette rette, dovendo soddisfare le

condizioni di appartenenza rispetto ad Į, ȕ e Ȗ e ad r e

v, avrà la prima immagine P’ nel punto di intersezione

Assegnati due piani Į e ȕ non paralleli, la retta r di

intersezione, dovendo soddisfare le condizioni di

appartenenza rispetto ad Į e ȕ, avrà le tracce Sr e T

r nei

punti di intersezione delle tracce omonime dei due piani,

ossia Sr all’intersezione tra sĮ

e sȕ

e Tr all’intersezione tra tĮ

e tȕ.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Problemi grafici fondamentali. Retta intersezione tra due piani/Punto comune a tre piani01f


36

IURQWH��ÀJ��$VVHJQDWD�TXLQGL�XQD�ÀJXUD�DSSDUWHQHQWH�DO�SLDQR�Į,

ad esempio, il triangolo ABC, determinata la sua prima

proiezione A’B’C’, con la suddetta omologia posso

GHWHUPLQDUH�OD�VXD�VHFRQGD�LPPDJLQH�$··%··&··��ÀJ��

data dall’intersezione di Į�con il secondo piano bisettore

ȕ2. È possibile determinare l’asse dell’omologia facendola

passare per il punto di concorso delle tracce del piano

Į�e per un qualsiasi altro punto che appartenga ad Į�e a

ȕ2. Tale punto può essere l’intersezioni tra la prima e la

seconda immagine di una retta di Į�e per semplicità di

costruzione una sua retta orizzontale o (o una retta di

ribaltando ʌ2 su ʌ

1, ovvero proiettando (P’’) su ʌ

2Ł ʌ

1 dal

centro improprio ortogonale al secondo piano bisettore

ȕ2, otteniamo P’’.

P’ e P’’, e tutte le prime e seconde proiezioni dei punti

di Į, si corrisponderanno in un’omologia avente come

centro il punto improprio ortogonale alla linea di terra l

ed asse la retta x’Łx’’, luogo dei punti uniti della retta x

Dato un piano Į (sĮ e tĮ), individuiamo la relazione

proiettiva che lega le prime e le seconde immagini delle

ÀJXUH�DSSDUWHQHQWL�DG�Į. Consideriamo, ad esempio,

un punto P (P’ e P’’): è possibile passare da P’ a P’’ (e

YLFHYHUVD��DWWUDYHUVR�XQ�QXPHUR�ÀQLWR�GL�RSHUD]LRQL�di proiezione e sezione. Proiettando P’ da O�� su Į,

otteniamo P; proiettando P da O�� su ʌ2 otteniamo (P’’);

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Omologia rappresentativa del piano01g

ÀJ��

ÀJ��


37

Procedendo in tal modo è possibile conoscere la vera

IRUPD�H�JUDQGH]]D�GL�TXDOVLDVL�ÀJXUD�DSSDUWHQHQWH�ad Į�proiettante in prima proiezione, o analogamente

proiettante in seconda proiezione.

FKH�FRQWLHQH�OD�ÀJXUD�VX�XQR�GHL�GXH�SLDQL�GL�SURLH]LRQH�(VDPLQLDPR�GDSSULPD�LO�FDVR�GL�XQD�ÀJXUD�DSSDUWHQHQWH�al piano Į�(sĮ e

tĮ) proiettante in prima proiezione. Il

punto P*, ottenuto dal ribaltamento del piano Į�su ʌ1, è

sulla perpendicolare ad sĮ conotta per P’ ad una distanza

da sĮ pari alla quota del punto P, ovvero P0P’’=P’P*.

2JQL�ÀJXUD�FRQWHQXWD�LQ�XQ�SLDQR�q�GHWHUPLQDWD�GDOOD�rappresentazione del piano a cui appartiene e da una delle

VXH�GXH�SURLH]LRQL��3HU�OD�ULVROX]LRQH�GL�SUREOHPL�JUDÀFL�ma soprattutto per la determinazione della vera forma e

JUDQGH]]D�GL�XQD�ÀJXUD��H�TXLQGL�SHU�FRQRVFHUQH�OH�VXH�misure lineari ed angolari, è necessario ribaltare il piano

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Determinazione della vera forma e grandezza. Ribaltamento di un piano proiettante01h


38

Dove la circonferenza di centro K e raggio KP1 interseca

OD�UHWWD�3·.�FDGUj�LO�ULEDOWDWR�3 �GL�3��ÀJ��$VVHJQDWD�TXLQGL�XQD�ÀJXUD�DSSDUWHQHQWH�DO�SLDQR�Į, ad

esempio, il triangolo ABC, attraverso le tracce sĮ e tĮ e la

prima proiezione A’B’C’, con la suddetta omologia posso

determinare la vera forma e grandezza A*B*C* attraverso

il ribaltamento di Į�su ʌ1��ÀJ��

ortogonale ad sĮ. Resta da determinare una coppia di

punti corrispoindenti, ad esempio P’ e P*. Noto P’, P*

cade sulla perpendicolare ad sĮ per P’ ad una distanza

KP*, pari all’ipotenusa del triangolo rettangolo PP’K.

Dato un punto P (P’ e P’’) appartenente ad Į�e condotta

per P’ la perpendicolare a sĮ, si stacchi su o’a partire da

P’ un segmento pari alla quota di P, ovvero P0P’’=P

1P*.

geometria proiettiva, pag.13), in quanto proiezione e

ribaltato (ovvero proiezione da un centro improprio

ortogonale piano bisettore del diedro attraversato nel

ULEDOWDPHQWR��GL�SXQWL��UHWWH�H�ÀJXUH��DSSDUHQHQWL�DG�un piano su due piani sovrapposti ĮŁʌ

1. L’omologia, in

SDUWLFRODUH�XQ·DIÀQLWj�RUWRJRQDOH��DYUj�FRPH�DVVH�OD�SULPD�traccia sĮ di Į�(intersezione tra Į�e ʌ

1) e centro improprio

Il ribaltamento di un piano generico consente la

GHWHUPLQD]LRQH�GHOOD�YHUD�IRUPD�H�JUDQGH]]D�GL�XQD�ÀJXUD�appartenente al piano ma anche la risoluzione di alcuni

problemi metrici.

La prima proiezione P’ di un punto P di Į�su ʌ1 e il

ribaltato P* del punto P nel ribaltamento del piano Į�su ʌ

1 si corrispondono in un’omologia (cfr. Cenni di

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali Determinazione della vera forma e grandezza. Ribaltamento di un piano generico01h

ÀJ��

ÀJ��

laboratorio di rappresentazione e modellazione dell ... · pdf fileil metodo di monge o della...

Documents