corso modellazione 1b

52
1B LEZIONE Guido Camata, [email protected] Università degli Studi “G. D’Annunzio” Chieti-Pescara Aprile 2011

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Corso modellazione strutturale Ing. Camata - Udine 2011

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Page 1: Corso Modellazione 1B

199

1B LEZIONE

Guido Camata, [email protected]

Università degli Studi “G. D’Annunzio” Chieti-Pescara

Aprile 2011

Page 2: Corso Modellazione 1B

200

INTERPOLAZIONE TRA GLI ELEMENTI

Come detto in precedenza l’equilibrio tra gli elementi non é garantito e

quindi nel programma a elementi finiti ci sono degli scarti (interelement

jumps) tra gli elementi adiacenti. Questi scarti sono un indice di quanto

l’elemento sia adatto a simulare il problema, inoltre indicano se la mesh é

sufficientemente fitta per descrivere il problema accuratamente. Gli scarti

possono essere definiti come max(si)-min(si) dove i varia tra 1 e n e n é il

numero di elementi affluenti al nodo.

Senza media Valori mediati

1 2

3 4

-1334

8156 -4482

-6005

-12416

-

20920 -2016 24179

19041

24200

13200

7800

23000

-50 -3300

-1400 -200

100 -3800 -19000

-19000

-4200

-5600 -2800 -4800 -6288

-1200

-20500

-4300

Page 3: Corso Modellazione 1B

201

INTERPOLAZIONE TRA GLI ELEMENTI

Si deve fare molta attenzione all’interpretazione dei risultati. Solo

l’esperienza dell’analista é in grado di determinare l’accuratezza del

risultato. Si deve sempre tenere in mente che anche se c’é un errore

molto grande negli sforzi, il campo dello spostamento ai nodi potrebbe

essere sufficientemente corretto. Si deve raffinare la mesh dove serve

per predirre gli sforzi nei punti piu’ interessanti.

Fare la media tra in valori ottenuti negli elementi non é sempre corretto

dipende dall’entità dell’interelement jump.

Facendo il global smoothing si perde

qualsiasi informazione sull’entita’

dell’errore e sulla discontinuita’ del

campo di sforzi. ATTENZIONE!

Page 4: Corso Modellazione 1B

202

ELEMENTI PIANI: ESEMPIO MODELLAZIONE DI

UNA TRAVE IN ACCIAIO

Vincoli e forze

applicate

Deformata

Tensioni

Attenzione i colori sono ottenuti con una interpolazione. I valori

calcolati sono quelli dei punti di Gauss estrapolati ai nodi

Page 5: Corso Modellazione 1B

203

ELEMENTI PIANI: ESEMPIO MODELLAZIONE DI

VOLTA A BOTTE

1

2

3

U (cm) 1

2

~∞

Page 6: Corso Modellazione 1B

204

FORZE EQUIVALENTI

Nella formulazione agli elementi finiti, tutte le forze devono essere

rimpiazzate da forze nodali equivalenti (forze consistenti o forze

lumped).

Per comprendere il problema consideriamo la forza di gravità (body

forces) e le forze di superficie (tractions).

Page 7: Corso Modellazione 1B

205

Nella soluzione esatta in tutti gli elementi sono garantiti equilibrio e

congruenza

Nel caso di una discretizzazione a elementi finiti non é sempre vero:

1. Equilibrio delle forze ai nodi: questa condizione é sempre soddisfatta

per definizione ku = f

2. Congruenza ai nodi: elementi connessi hanno lo stesso campo di

spostamenti al nodo che li connette

EQUILIBRIO E CONGRUENZA NELLA

SOLUZIONE

Page 8: Corso Modellazione 1B

206

3. Congruenza degli spostamenti tra gli elementi: elementi connessi

hanno lo stesso campo di spostamenti sul contorno, se questa condizione

non é soddisfatta l’elemento é chiamato non-compatibile (incompatible) o

non-conforme (nonconforme)

4. Congruenza degli spostamenti all’interno dell’elemento: sempre

soddisfatta per definizione.

EQUILIBRIO E CONGRUENZA NELLA

SOLUZIONE

Elemento non

conforme

Page 9: Corso Modellazione 1B

207

5. Continuità delle tensioni e delle deformazioni fra gli elementi: non

é di solito soddisfatta, l’equilibrio fra gli elementi non necessariamente é

rispettato.

EQUILIBRIO E CONGRUENZA NELLA

SOLUZIONE

Tensioni sxx

6. Equilibrio all’interno degli elementi: non é di solito soddisfatta.

Page 10: Corso Modellazione 1B

208

ELEMENTI MEMBRANA (MEMBRANE)

Possono essere considerati l’equivalente 2D dell’elemento biella1D

z

y

x

pyy

pxy

pxx

b

a

pxx pyy

pxy

pxy

pxy

Non ci sono sforzi perpendicolari al piano.

2

2

t

xx xxtp dzs

2

2

t

yy yytp dzs

2

2

t

xy xytp dz

Page 11: Corso Modellazione 1B

209

ELEMENTI MEMBRANA (MEMBRANE)

Gradi di libertà

Spesso vengono utilizzati elementi a 4 nodi con drilling d.o.f. (sap

2000, Winstrand). Ogni programma é diverso e si deve controllare gli

elementi che il software possiede. Attenzione al problema dello shear

locking.

12 gradi di libertà se ha il drilling d.o.f.

8 gradi di libertà se non ha il drilling d.o.f.

y

q2

q4

q1

q3

z,w

u1

v1

u4

v4

u2

v2

u3

v3

Page 12: Corso Modellazione 1B

210

ELEMENTI PLATES

Congruenza

Legge costitutiva

Diagramma di Tonti: www.dic.univ.trieste.it/perspage/tonti

Condizioni al

contorno

naturali

Condizioni al

contorno essenziali Spostamenti

approssimati u

forzeb

forze t,q

spostamenti u

Tensioni s

Deformazioni e

Applica BCs

Condizioni

sul corpo

naturali

Equilibrio forzato

(debole)

0

STRONG FORM

Page 13: Corso Modellazione 1B

211

ELEMENTO PIASTRA SOTTILE (THIN PLATE)

Possono essere considerati l’equivalente 2D (teoria di Kirckhoff)

dell’elemento trave alla Bernoulli 1D

z

y

x

mxy

mxx

mxy

b

a

mxy mxy

myy

myy

mxx

2

2

t

xx xxtm t dzs

2

2

t

yy yytm t dzs

2

2

t

xy xytm t dz

v23

v23

v13

v13

2

2

t

xz xztv dz

2

2

t

yz yztv dz

Page 14: Corso Modellazione 1B

212

ELEMENTO PIASTRA SOTTILE ( PLATE) Gradi di libertà

q7

q8

y

q3

q6

q1

q2

q4

q5

12 gradi di libertà

x

z,w z4

z1

z2

z3

Page 15: Corso Modellazione 1B

213

ELEMENTO SHELL (PIASTRA + MEMBRANA)

Possono essere considerati

l’equivalente 2D dell’elemento trave

alla Eulero-Bernoulli 1D

z

y

x

mxy

mxx

mxy

b

a

mxy mxy

myy

myy

mxx

2

2

t

xx xxtm t dzs

2

2

t

yy yytm t dzs

2

2

t

xy xytm t dz

v23

v23

v13

v13 2

2

t

xz xztv dz

2

2

t

yz yztv dz

pyy

pxy

pxx

pyy

pxy

pxy

2

2

t

xx xxtp dzs

2

2

t

yy yytp dzs

2

2

t

xy xytp dz

Page 16: Corso Modellazione 1B

214

+

12+12 = 24 gradi di libertà se ha il drilling d.o.f.

8+12 = 20 gradi di libertà se non ha il drilling d.o.f.

ELEMENTO SHELL (PIASTRA + MEMBRANA) Gradi di libertà

q7

q8

y

q3

q6

q1

q2

q4

q5

x

z,w z4

z1

z2

z3

y

q2

q4

q1

q3

x

z,w

u1

v1

u4

v4

u2

v2

u3

v3

Page 17: Corso Modellazione 1B

215

ELEMENTO SHELL SPESSA (THICK PLATE)

Possono essere considerati

l’equivalente 2D (teoria di Mindlin-

Reissner) dell’elemento trave alla

Eulero-Timoshenko 1D.Tengono

conto della deformazione tagliante.

z

y

x

mxy

mxx

mxy

b

a

mxy mxy

myy

myy

mxx

2

2

t

xx xxtm t dzs

2

2

t

yy yytm t dzs

2

2

t

xy xytm t dz

v23

v23

v13

v13

2

2

t

xz xztv dz

2

2

t

yz yztv dz

pyy

pxy

pxx

pyy

pxy

pxy

2

2

t

xx xxtp dzs

2

2

t

yy yytp dzs

2

2

t

xy xytp dz

ATTENZIONE: pochi programmi hanno a disposizione questo elemento

Page 18: Corso Modellazione 1B

216

+

12+12 = 24 gradi di libertà se ha il drilling d.o.f.

8+12 = 20 gradi di libertà se non ha il drilling d.o.f.

ELEMENTO SHELL SPESSA (THICK PLATE) Gradi di libertà

q7

q8

y

q3

q6

q1

q2

q4

q5

x

z,w z4

z1

z2

z3

y

q2

q4

q1

q3

x

z,w

u1

v1

u4

v4

u2

v2

u3

v3

Page 19: Corso Modellazione 1B

217

FORMULAZIONE IDEALE

Moltissimi elementi sono stati proposti per l’elemento piastra. Un

elemento ideale dovrebbe avere i requisiti seguenti:

1. La formulazione dovrebbe essere basata sulla meccanica del

continuo e sulla teoria delle piastre.

2. L’elemento dovrebbe essere corretto numericamente e

convergente. In altre parole l’elemento dovrebbe possedere i

tre moti rigidi e essere di rango completo (no rank deficiency)

3. L’elemento non dovrebbe avere problemi di locking nelle piastre

sottili

4. L’elemento dovrebbe essere poco sensibile alle distorsioni

Page 20: Corso Modellazione 1B

218

LOCKING

L’elemento shell tende al “locking” quando è molto sottile.

Questo problema si aggrava in presenza di grandi distorsioni

dell’elemento

Soluzioni possibili:

•Integrazione ridotta

•Elementi non conformi

•Formulazioni ad hoc

Page 21: Corso Modellazione 1B

219

ELEMENTI SOLIDI

Gli elementi solidi possono essere visti come un’estensione in 3D

degli elementi bidimensionali. Si applicano le stesse regole degli

elementi isoparametrici bidimensionali.

8 nodi 20 nodi

Gli elementi a 8 nodi soffrono del problema dello shear locking.

Normalmente si utilizzano integrazioni ridotte o modi supplementati

(incompatible modes)

Page 22: Corso Modellazione 1B

220

CONSIDERAZIONI

DI

MODELLAZIONE

Page 23: Corso Modellazione 1B

221

Stima dell’errore

Considerazioni di modellazione

Condizioni di vincoli

Sistema resistente al carico gravitazionali

Sistema resistente a carichi orizzontali

Esempi

Page 24: Corso Modellazione 1B

222

STIMA DELL’ERRORE

I risultati ottenuti con un software FEA contiene errori, a parte quando il modello matematico e’ molto semplice (elementi rod, beam etc.)

Gli errori possono essere classificati nel modo seguente:

• Errori inerenti la modellazione. Sono dovuti alla differenza tra il modello fisico e il modello matematico.

• Errori dell’utilizzatore. Input: condizioni di vincolo, carichi, Materiali e scelta dell’elemento; output: incapacità nell’interpretare i dati.

• Software non appropriato. Errori nell’implementazione (succede spesso).

• Errori nella discretizzazione. Si passa da un sistema fisico continuo a un sistema con un limitato d.o.f.

• Errori numerici e di troncamento. Esempio: x = 1.23456, y = 1.23455, x - y = 10-5.

• Errori di manipolazione. Sono possibili in dinamica e nelle soluzioni non Lineare.

Page 25: Corso Modellazione 1B

223

STIMA DELL’ERRORE – Soluzioni mal condizionate “Ill conditioned”

Una piccola variazione numerica nei coefficienti della matrice provoca

delle grandi variazioni nei risultati.

Esempio: Ku = F

1 1 1

1 1 2 2 0

k k u P

k k k u

P

1 2

u1 u2

k1 k2

u2

u1

u2

u1

k1u1-k1u2 = P (1)

-k1u1+(k1+k2)u2 = 0 (2)

(1)

(2) k1<=k2 k1>>k2

(1)

(2)

Ben condizionato Mal condizionato

Page 26: Corso Modellazione 1B

224

STIMA DELL’ERRORE – Soluzioni mal condizionate “Ill conditioned”

In ingegneria strutturale quindi le soluzioni mal condizionate sono

quelle per esempio dove una struttura rigida e’ supportata da una

regione flessibile.

P

Page 27: Corso Modellazione 1B

225

STIMA DELL’ERRORE – Soluzioni mal condizionate “Ill conditioned”

FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 54 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 19 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 900 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 7.258 KB NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 54 * * * W A R N I N G * * * NUMERICAL PROBLEMS ENCOUNTERED DURING EQUATION SOLUTION: TYPE LABEL DOF X-COORD Y-COORD Z-COORD PROBLEM VALUE ----- ------- -- ----------- ----------- ----------- ------------- ----------- Joint 7 RX -0.500000 .000000 2.000000 Lost accuracy 14.3 digits * * * W A R N I N G * * * EXCESSIVE LOSS OF ACCURACY WAS DETECTED DURING THE SOLUTION OF EQUATIONS NUMBER OF DIGITS LOST EXCEEDED 11.0 * * * W A R N I N G * * * THE STRUCTURE IS UNSTABLE OR ILL-CONDITIONED !! CHECK THE STRUCTURE CAREFULLY FOR: - INADEQUATE SUPPORT CONDITIONS, OR - ONE OR MORE INTERNAL MECHANISMS, OR - ZERO OR NEGATIVE STIFFNESS PROPERTIES, OR - EXTREMELY LARGE STIFFNESS PROPERTIES, OR - BUCKLING DUE TO P-DELTA OR GEOMETRIC NonlineareITY, OR - A FREQUENCY SHIFT (IF ANY) ONTO A NATURAL FREQUENCY

Page 28: Corso Modellazione 1B

226

STIMA DELL’ERRORE – Errori di discretizzazione, velocitá di convergenza

w=wx(x)

x

L

N

wx(x)

N+dN

dx

dx

x

2

2

( )( )x

d u xEA w x

dx

Se EA = cost:

xi xi+1

1 111 i i

APPROX i i

i i

x x x xu x u u

h h

Lo spostamento tra il punto x e il nodo xi:

x

hi

Soluzione esatta, u(x)

Page 29: Corso Modellazione 1B

227

A) Tensione piana: = 4.562

B) Tensione piana + modi incompatibili:

= 8.572

C) Shell: = 8.567

STIMA DELL’ERRORE – Raffinamento della mesh

P=100 E=104 n=0.25

A) Tensione piana: = 4.469

B) Tensione piana + modi incompatibili:

= 8.649

C) Shell: = 8.593

A=0.1x0.4

3 6Soluzione esatta: 8.64 0.18 8.820

3 5

FL FL

EI GA

4x1

4x2

L=2.4

Page 30: Corso Modellazione 1B

228

STIMA DELL’ERRORE – Raffinamento della mesh

A) Tensione piana: = 8.273

B) Tensione piana + modi incompatibili:

= 8.766

C) Shell: = 8.760

16x4

A) Tensione piana: = 7.048

B) Tensione piana + modi incompatibili:

= 8.711

C) Shell: = 8.694

8x2

Page 31: Corso Modellazione 1B

229

STIMA DELL’ERRORE – Raffinamento della mesh

Errore negli sforzi C

4x1 7%

4x2 9%

8x2 2%

16x4 -3%

A B C

4x1 49% 2% 3%

4x2 48% 3% 3%

8x2 20% 1% 1%

16x4 6% 1% 1%

1 2 2 1

2 1

q q

esatta q q

u h u hu

h h

% di errore negli spostamenti

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

4x1 4x2 8x2 16x4

ABC

Page 32: Corso Modellazione 1B

230

Stima dell’errore

Considerazioni di modellazione

Condizioni di vincoli

Sistema resistente al carico gravitazionali

Sistema resistente a carichi orizzontali

Esempi

Page 33: Corso Modellazione 1B

231

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE

Quali elementi si devono usare: biella, trave, membrana, shell,

Solido?

Se piani: triangolari o rettangolari?

Quanti elementi? Come le mesh devono essere raffinate?

Per rispondere a queste domande si deve capire come la

struttura e gli elementi si comportano. Un elemento può

rappresentare un campo di spostamenti non più complicato

della formulazione contenuto nella sua formazione.

Per questo motivo non si devono utilizzare elementi a 3 o 4

nodi da soli in quanto non possono rappresentare una

variazione Lineare della deformazione e perché hanno il

problema dello shear locking.

Page 34: Corso Modellazione 1B

232

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE

“KEEP IT SIMPLE”, Carlos Felippa

1. Usare l’elemento più semplice in grado di risolvere il

problema

2. Mai usare elementi complicati se non si conoscono

perfettamente

3. Usare la mesh più grossa (coarse) possibile in grado di

catturare il comportamento della struttura.

Page 35: Corso Modellazione 1B

233

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Strutture sottili

Le strutture sottili hanno modi di deformarsi più complesse

delle travi tradizionali

P

z

x

y

P

z

y

Elementi shell a 4 nodi

con d.o.f.

Page 36: Corso Modellazione 1B

234

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Strutture sottili

1

2

s22

s11

smax

Piano analizzato

Mesh di cattiva

qualitá, deve

essere raffinata

Sforzo di

taglio elevato

-36

36

s22

Mesh

migliorata

Page 37: Corso Modellazione 1B

235

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Strutture sottili: serbatoi

Vb

Mb Mb

Vb

Sforzo membranale

lungo la circonferenza sqq

Sforzo flessionale

sxx

x

Gradiente

molto alto

Attenzione alla

concentrazione di

tensioni

Page 38: Corso Modellazione 1B

236

MODELING REMARKS Model 1 - 20 elements L=4200 mm

Flexural forces, Mxx, Myy

Page 39: Corso Modellazione 1B

237

MODELING REMARKS Model 2 - 80 elements L = 1050 mm

Flexural forces, Mxx, Myy

Page 40: Corso Modellazione 1B

238

MODELING REMARKS Model 3 - 240 elements L = 350 mm

Flexural forces, Mxx, Myy

Page 41: Corso Modellazione 1B

239

MODELING REMARKS Model 4 - 800 elements L = 43.8 mm

Flexural forces, Mxx, Myy

Page 42: Corso Modellazione 1B

240

MODELING REMARKS Model 5 - 1560 elements L = 14.6 mm

Flexural forces, Mxx, Myy

Page 43: Corso Modellazione 1B

241

MODELING REMARKS Comparison - Flexural forces, Mxx

Model 1

Max = 0.2 kNm/m Model 3

Max = 96.3 kNm/m Model 5

Max = 166.8 kNm/m

Page 44: Corso Modellazione 1B

242

MODELING REMARKS Comparison – Membrane forces, Fyy

Model 1

Max = 4.7 kN/m

Model 3

Max = 13.6 kN/m

Model 5

Max = 13.5 kN/m

Page 45: Corso Modellazione 1B

MODELING REMARKS Connection between elements

Element 3D Degrees of Freedom

Truss 3 x node translation in DX, DY, DZ;

Beam 6 x node

translation in DX, DY, DZ; rotation in RX, RY, RZ

Membrane 3 x node

translation in DX, DY, DZ;

Membrane + drilling 4 x node translation in DX, DY, DZ; rotation in RZ

Shell 5 x node translation in DX, DY, DZ; rotation in RX, RY, RZ

Shell + drilling 6 x node

translation in DX, DY, DZ; rotation in RX, RY, RZ

Brick 3 x node translation in X, Y, Z

Page 46: Corso Modellazione 1B

244

CONNESSIONI TRA ELEMENTI

Elementi trave connessi a

elementi senza drilling d.o.f.

Il nodo di connessione si

comporta come una cerniera

Si può allungare la trave

facendo attenzione poiché

gli sforzi non sono realistici

nei pressi della connessione

Page 47: Corso Modellazione 1B

In generale I nodi

dovrebbero corrispondere

Alcuni software permettono

di unire elementi con mesh

diverse, sfruttando la

definizione di funzione di

forma

“Zipper”

COLLEGAMENTI TRA MESH

Page 48: Corso Modellazione 1B

246

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

Rifinire la mesh nei punti dove ci possono essere alti gradienti di

deformazione (tensioni).

• Angoli rientranti o spigoli

• Nella vicinanza di carichi concentrati, reazioni, fessure.

• All’interno delle strutture dove ci sono variazioni di spessori o di Materiale.

Tagli Fessure Rientranze Forze concentrate

(anche in zone)

Saldature Spessori

diversi

Zone di

interfaccia

Page 49: Corso Modellazione 1B

247

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

Fessura 2

Fessura 1

Load step a (Displacement = 0.031 mm)

Load step b (Displacement = 0.077 mm)

Load step c (Displacement = 0.088 mm)

Zone con gradienti di deformazioni elevati

Page 50: Corso Modellazione 1B

248

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

Load cell

Faces

Core

48.5 in

¾ in. steel Piastra

13 in

½ in. rubber pad

Teflon sheet

½ in. steel Piastra

Page 51: Corso Modellazione 1B

249

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

Page 52: Corso Modellazione 1B

250

CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh

Panel local

bending