Corso di logica matematica

Prima lezione

AA alloraA A se

A; A alloraA A se X};X|{XA

Introduzione: Antinomie logiche e semantiche.

Antinomia di Russel.

A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non hanno se stessi come elemento.

Antinomia semantica

Un uomo dice

“ IO STO MENTENDO”.

Se egli mente dice la verità; se dice il vero, mente.

La frase scritta sulla diapositiva

successiva è falsa

La frase scritta sulla diapositiva precedente è vera

Uno dei compiti della

logica matematica è quello di determinare il corretto

uso dei simboli e delle loro combinazioni per accertare che cosa si può dimostrare usando assiomi e regole di inferenza.

Il calcolo proposizionale: connettivi proposizionali e

Tavole di verità• Consideriamo solo combinazioni

vero-funzionali , nelle quali la verità o la falsità della nuova

proposizione è determinata dalla verità o falsità delle proposizioni

che concorrono a formarla.

NegazioneA A

V FF V

Congiunzione

A B AB V V V

V F F

F V F

F F F

Disgiunzione

A B A B

V V V

V F V

F V V

F F F

Condizionale

A B AB

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondizionale

A B AB

V V V

V F F

F V F

F F V

Forme enunciative.

• 1)Tutte le lettere enunciative, eventualmente con indice numerico, sono forme enunciative (A, B, C, A1, B2...);

• 2)SE e sono forme enunciative, allora lo sono anche (), (), (), () e ().

• Sono forme enunciative solo quelle espressioni determinate per mezzo della 1) e della 2).

Ciascuna forma enunciativa determina una funzione di verità che può essere rappresentata graficamente da una tavola di verità per la forma enunciativa.

A B C (A) ((A)B) (((A)B)C)

V V V F V V

F V V V V V

V F V F F V

F F V V V V

V V F F V F

F V F V V F

V F F F F V

F F F V V F

Tautologie

• Una forma enunciativa è una tautologia se e solo se la sua funzione di verità ha solo il valore V.

• Se è una tautologia , si dice che implica logicamente oppure che è una conseguenza logica di .

• Se è una tautologia, si dice che e sono logicamente equivalenti.

• Le tavole di verità costituiscono una procedura effettiva che ci permette di determinare se una forma enunciativa è una tautologia.

• Una forma enunciativa è una contraddizione se la sua funzione di verità ha solo il valore F.

Proposizione 1.1

• Se e () sono tautologie, allora anche è una tautologia.

Proposizione 1.2

• Se è una tautologia contenente come lettere enunciative A1, A2,...,An, e si ottiene da per sostituzione di A1, A2,...,An con, rispettivamente, forme enunciative 1, 2,..., n, allora è una tautologia

Proposizione 1.3

Se 1 deriva da 1 per sostituzione di a una o più occorrenze di , allora (() (11)) è una tautologia . Quindi, se e sono logicamente equivalenti, lo sono anche 1 e 1.

Proposizione 1.4

• Ogni funzione di verità è generata da una forma enunciativa in cui occorrono i connettivi , , .

x1 x2 x3 F(x1,x2,x3)

V V V V ABCF V V F

V F V V ABCF F V V ABCV V F F

F V F F

V F F F

F F F V ABC (ABC) (ABC) (ABC) (ABC).

Forma normale disgiuntiva

• Una forma enunciativa scritta come disgiunzioni di congiunzioni di lettere enunciative o delle loro negazioni è in forma normale disgiuntiva.

• Da quanto si è visto, ogni forma enunciativa può essere scritta in forma normale disgiuntiva