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Le antinomie DALLA FILOSOFIA ALLA MATEMATICA E ALLA LOGICA

PASSANDO PER L’ARTE DI ESCHER Tesina

Giovanni Azrak

2010/2011

Giovanni Azrak VB Tesina - Antinomie

2

INDICE

• Schema

• Introduzione

• L’origine in filosofia

o Le 4 antinomie nella scienza

• La grafica di Escher come ponte tra filosofia, logica e

matematica

o Le opere e i loro paradossi

Belvedere

Concavo e convesso

La scala di Schröder

Salita e discesa

o La logica dei paradossi nella produzione artistica

di Escher

o Il parallelismo con i paradossi della lingua.

• La svolta: Classe di tutte le classi, Russel

o L’evoluzione nella storia recente

Conclusione


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SCHE MA

Origine in filosofia

• Le 4 antinomie

La grafica di Escher

come ponte tra filosofia,

logica e matematica

Le opere e i loro

paradossi

• Belvedere

• Concavo e

convesso

• La scala di

Schröder

• Salita e discesa

La logica dei paradossi

nella produzione

artistica di Escher

Il parallelismo

con i paradossi

della lingua.

La svolta: Classe di tutte le

classi, Russel

• L’evoluzione nella

storia recente


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IN TR O D U Z I ON E Mediante questa tesina mi ripropongo di approfondire

cosa sia una antinomia: in sintesi, per antinomia si

intende la compresenza di due proposizioni fra loro

incompatibili, designate l'una tesi e l'altra

antitesi, che sono tuttavia egualmente dimostrabili.

Mostrerò il caso più classico di antinomia. Quello studiato da

Kant nella Critica della ragion pura, e precisamente nella

sezione relativa alla dialettica che contraddistingue le idee

della ragione. Secondo Kant, infatti, nel tentativo di

unificare le conoscenze si va al di là di quanto l'esperienza

ci attesta. Questo porta la nostra ragione ad avvolgersi in

una serie di contraddizioni, come appunto le quattro antinomie

relative all'idea del mondo come totalità assoluta di tutti i

fenomeni.

Per mezzo della produzione grafica di Escher illustrerò,

quindi, come la sua arte faccia da ponte tra la filosofia e la

logica.

Affronterò, poi, l’implicazione delle antinomie nella logica

contemporanea in cui il termine antinomia designa quei

ragionamenti paradossali (già studiati nell'antichità, come il

paradosso del mentitore: “se tu dici che menti, o dici il vero

e allora menti, o dici il falso e allora dici la verità”), che

pur partendo da premesse accettabili conducono a conclusioni

contraddittorie. In particolare analizzerò la celebre

antinomia Betrand Russell relativa alla classe di tutte le

classi che non sono membri di se stesse.


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L’O R I G IN E IN F IL O S O F I A Le antinomie vengono introdotte per la prima volta da Kant. Le

antinomie kantiane sono quattro coppie di affermazioni

contrarie in cui ciascuna coppia è formata da una tesi e una

antitesi. Queste vengono anche definite come paradossi logici,

anche se tale dicitura non è del tutto precisa essendo un

paradosso semplicemente un affermazione che appare impossibile

in quanto contraria all’opinione comune. In ogni antinomia o

coppia di affermazioni non è possibile stabilire se sia vera

la tesi o l' antitesi, e ciò distingue le antinomie dalle

normali coppie di contrari in cui è possibile individuare il

vero e il falso.

Se ad esempio consideriamo le affermazioni:

a. Il sole gira intorno alla terra.

b. La terra gira intorno al sole.

Questo esempio, prima di Copernico, era paradossale ma non

antinomico, infatti, Copernico poté provare la seconda

affermazione. Quindi non si tratterà di un’antinomia.

Le antinomie vengono trattate per la prima volta, con tale

nome, nella Critica della ragion pura di Immanuel Kant e più

precisamente nella critica alla Cosmologia Razionale contenuta

nella Dialettica Trascendentale. Antinomia deriva dal greco

αντινομια, composto di αντι "contro" e un derivato di νομος

"legge"

Secondo Quintiliano, "la parola antinomia significa

propriamente conflitto di leggi". Nel "Dizionario di

Filosofia" Nicola Abbagnano scrive che Kant estese il concetto

ad indicare il conflitto della ragione con se stessa in virtù

dei suoi stessi procedimenti.

Alla maniera dei ragionamenti dei sofisti, le antinomie

kantiane sono affermazioni opposte, ciascuna dimostrabile

logicamente ed in modo ineccepibile senza contraddizione nelle

ragioni l'una dell'altra. In concreto, sono proposizioni

probabilmente vere o false (ossia se ne può dare prova), ed

inconfutabili di per sé. Ciò in quanto hanno le loro

fondamenta in un presupposto inconoscibile, ossia la realtà, o

nelle parole di Kant "la vera natura del mondo". Dato che la

cosa in sé, ossia la realtà, è per Kant inconoscibile, la


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ragione non può dimostrare, né provare certamente e in modo

perentorio, alcuna delle quattro antinomie.

Le stesse teorie scientifiche attuali confermano tale

indimostrabilità:

P R I M A A N T I N O M I A

a) Il mondo ha un inizio nel tempo e, nello spazio, è chiuso

dentro limiti.

b) Il mondo è infinito sia nel tempo che nello spazio.

Anche secondo la cosmologia, la tesi è vera se accettiamo la

teoria del Big Bang, invece l'antitesi vale in alcune altre

ipotesi cosmologiche, ad esempio nel modello dello Stato

Stazionario o in alcuni modelli di universo inflazionario.

Anche nel caso del Big Bang, il volume dell'Universo può

essere finito, ma non ci sono né limiti né confini, come sulla

superficie di una sfera: come lì il confine è nella terza

dimensione e non sulla superficie, il confine dello

spaziotempo è nella quarta dimensione e noi non lo percepiamo.

S E C O ND A A N T I N O M I A .

a) Ciascuna cosa è composta da parti semplici che

costituiscono altre cose composte da parti semplici.

b) Non esiste nulla di semplice, ogni cosa è complessa.

Anche qui notiamo come la fisica delle particelle sia ancora

alla ricerca dei costituenti ultimi della materia, e tuttavia

anche questi, per via delle proprietà della meccanica

quantistica, possono essere interpretati come sovrapposizioni

di più stati o particelle.

Altri modelli, come la teoria delle stringhe ritornano alla

teoria del continuo, ritenendo le particelle "proiezioni" in 3

dimensioni delle stringhe, definite continue, che ne hanno

invece 10 o 11.


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Altre teorie ancora, come la gravitazione quantistica a loop,

ritengono invece che esistano granelli indivisibili (quanti)

persino dello spaziotempo.

T E R Z A A N T I NO M I A

a) La causalità secondo le leggi della natura non è la sola

da cui possono essere derivati tutti i fenomeni del

mondo. È necessario ammettere per la spiegazione di essi

anche una causalità per la libertà.

b) Nel mondo non c'è nessuna libertà, ma tutto accade

unicamente secondo leggi della natura.

Anche qui, sebbene la teoria delle variabili nascoste nella

meccanica quantistica sia ormai screditata, esistono

dimostrazioni di come il comportamento quantistico possa

emergere da sistemi complessi e non lineari, anche se nessuno

sa come darne prova sperimentale.

Q U A R TA A N TI N O M I A

a) Esiste un essere necessario che è causa del mondo.

b) Non esiste alcun essere necessario, né nel mondo né fuori

dal mondo che sia causa di esso.

Anche qui, oltre le cinque vie di Tommaso d'Aquino vi sono i

lavori di John Conway sui numeri surreali che mostrano come

sia possibile "inserire matematicamente" una causa prima e la

prova ontologica ripresa da Kurt Gödel.

Al contrario, Feuerbach e Marx negano l’esistenza di Dio

fornendo spiegazioni alternative alla genesi del concetto.

Netizsche, poi, dà forma e sostanza di tesi (Dio è morto) al

suo sospetto.


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LA G R AF I CA D I ES C H E R C O M E P ON TE TR A F I L OS O F I A , L OG I C A E M ATE M A T I C A L’opera grafica di Escher posteriore al 1935 è interessante

non solo dal punto di vista artistico, ma anche da quello

matematico e filosofico, giacchè spazia con felici intuizioni

dalla geometria alla logica e nei quali possiamo osservare un

espressione grafica di diverse antinomie, concetto filosofico

già spiegato in precedenza.

Le più famose opere di Escher si fondano su due principali

elementi:

• Il primo è esplicato nel motto che troviamo alla fine

della Poetica di Aristotele ove si ripete due volte

che una convincente impossibilità è preferibile a una

non convincente possibilità.

• Il secondo è rappresentato da ben noti paradossi

percettivi.

Questi paradossi sono basati sul contrasto antinomico tra

percezione e interpretazione di dati sensoriali oltre che sul

condizionamento fisiologico e culturale che spinge a

considerare figure bidimensionali come rappresentazioni di

oggetti tridimensionali.

L E O P E R E E I L O R O P A R A D OSS I

BEL V ED E R E

BELVEDERE

La litografia Belvedere è ispirata al 'cubo

di Necker', che si ottiene disegnando un cubo

in prospettiva con tutti i lati in evidenza:

così facendo si crea un'ambiguità su quale

delle facce stia davanti e quale dietro, e

due possibili cubi si alternano nella

percezione. Il cubo di Necker è disegnato nel

progetto che sta ai piedi del personaggio

seduto sulla panca (con i due punti

problematici evidenziati), ed egli tiene in

mano un modello di 'cubo impossibile', in cui

l'ambiguità viene risolta fondendo le due

possibilità, e creando così un cubo


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localmente corretto (nella parte alta e in quella bassa), ma

globalmente impossibile. L'edificio della figura realizza poi

il cubo impossibile, congiungendo paradossalmente le parti

alta e bassa, che sono separatamente consistenti.

C ON C A VO E C ON VE S S O

La litografia Concavo e convesso illustra due paradossi. Il

primo, detto dei cubi reversibili, era già noto ai Romani, che

l'hanno usato in vari mosaici, ed è

stato sfruttato in modo sistematico da

Victor Vasarely, la cui opera Escher

però disprezzava: tre rombi adiacenti

sono visti come le facce di un cubo, ma

possono essere interpretati sia come

facce esterne sia come facce interne;

inoltre, se ce ne sono più di tre,

quelli non estremi possono appartenere

a più di un cubo, facendo apparire CONCAVO E CONVESSO

l'immagine alternativamente convessa e concava. Cubi

reversibili sono disegnati sulla bandiera in alto a destra

della figura, e questa realizza il contrasto convesso/concavo

fra le parti sinistra e destra. In particolare, dei tre

tempietti cubici quello centrale è ambiguo, e rappresenta

quindi un cubo reversibile, mentre quelli ai lati mostrano le

due possibilità separatamente, dall'esterno e dall'interno.

L A C A S C A T A Il secondo paradosso, detto scala di Schröder, mostra come il

disegno di una scala possa risultare ambiguo, ed essere

considerato allo stesso tempo come la rappresentazione di una

scala posta sia su un pavimento (a sinistra) sia su un

soffitto (a destra), o da percorrere stando sia sopra sia

sotto i gradini.


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In questa opera il triangolo impossibile appare per tre volte

consecutive nella rappresentazione di un canale che sembra

localmente in piano, ma globalmente

in salita. Escher crea così

l'impressione doppiamente

paradossale, da un punto di vista

fisico, di un moto perpetuo generato

dall'acqua che scorre all'insù. Si

noti come l'intera figura sia in

realtà la sovrapposizione di due

figure separatamente consistenti: due

torri (l'una a tre piani e l'altra a

due), e un canale orizzontale (con i

lati a due a due perpendicolari).

Sulle colonne di La cascata sono

raffigurati due strani poliedri: CASCATA quello a sinistra è l'intersezione di

tre cubi, quello a destra

l'intersezione di tre ottaedri irregolari (o,

alternativamente, un dodecaedro con facce romboidali

stellato).

S A L IT A E D IS C E S A

Nella litografia Salita e discesa è infine rappresentata la

“scala di Penrose”, in cui un moto perpetuo è generato in modo

opposto a quello di La cascata: non

mediante un percorso in salita che

dovrebbe essere in piano, ma da un

percorso in piano che dovrebbe

essere in salita. Il disegno è

un'anamorfosi, cioè la

rappresentazione distorta di una

prospettiva che si vede in modo

naturale soltanto guardandola da

un'angolazione particolare. Gli

scalini sono in realtà posti l'uno

sull'altro come tegole su un tetto SALITA E DISCESA piano, o libri su un tavolo, in modo

da formare un quadrilatero:


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l'illusione deriva dal disegnare come verticali i

prolungamenti delle altezze degli scalini, che sono in realtà

linee oblique. Poiché però tali prolungamenti vanno in

direzioni opposte su lati opposti del quadrilatero, l'edificio

si può disegnare solo a metà, e non potrebbe stare in piedi.

Paradosso a parte, Escher vide qui una metafora dell'assurdità

della vita, non solo del 'come è duro calle lo scendere e 'l

salir per l'altrui scale' (Paradiso, XVII, 59-60), ma anche di

quanto tale affanno sia inutile, e non porti in realtà da

alcuna parte.

L A LOG I C A D E I P A R A D OS SI In conclusione, possiamo dividere i 6 paradossi percettivi

usati da Escher in due classi. Tre di essi (il cubo di Necker,

i cubi reversibili e la scala di Schröder) sono semplicemente

figure ambigue, che rappresentano più di un oggetto allo

stesso tempo, su cui la percezione oscilla. I rimanenti tre

(cubo impossibile, triangolo impossibile e scala di Penrose)

sono invece figure assurde, che rappresentano un solo oggetto

ben definito.

L'assurdità delle figure del secondo gruppo è però di un tipo

molto particolare: essa risiede soltanto nella loro

interpretazione, e non nel fatto che esse siano

rappresentazioni di percezioni impossibili. Richard Gregory ha

infatti dimostrato come tre sbarre a due a due perpendicolari

(ovviamente formanti non un triangolo chiuso, ma una figura

aperta) possano sembrare un triangolo impossibile, se

osservate da un particolare punto di vista. Analogamente, un

modello di cubo con due lati discontinui può sembrare un cubo

impossibile, se osservato da un particolare punto di vista

(perché le discontinuità permettono di vedere lati che si

trovano in realtà sul retro).

I P A R A D OS SI I N D I V I D U A T I NE L L A G R AF I C A S O N O ANC H E

N E L L A L I N GU A Come sarà ormai evidente i paradossi delle figure assurde sono

in realtà di natura logica, e non fisica. Pertanto ritroviamo

tali paradossi in ogni strumento espressivo dell’uomo.


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Come la lingua per la quale l'esempio più celebre di questo

genere è certamente il famoso “paradosso del mentitore”, una

versione del quale è la seguente: “Questa frase è falsa”.

Naturalmente, se la frase fosse vera dovrebbe essere falsa

(perché questo è ciò che essa dice); e se fosse falsa dovrebbe

essere vera (perché questo è il contrario di ciò che essa

dice).

Un aspetto fondamentale della frase precedente è

l'autoriferimento, il fatto cioè che essa parli di se stessa.

Tale aspetto è esemplificato, nei disegni di Escher, dalla

presenza di un richiamo della figura principale in Stelle, del

cubo impossibile in Belvedere, e dei cubi reversibili sulla

bandiera di Concavo e convesso. Un aspetto secondario della

frase precedente è invece il fatto che l'autoriferimento sia

ottenuto in un solo passo. Gli usi moderni dei paradossi hanno

anzi mostrato che è più efficace spezzare l'autoriferimento in

due passi, come nel caso della seguente versione del paradosso

del mentitore, proposta da Jourdain nel 1913: “La frase

successiva è vera. La frase precedente è falsa”.

Il fatto che essa sia in realtà

l'accostamento inconsistente di due frasi

separatamente consistenti ricorda

ovviamente le realizzazioni di Belvedere e

La cascata. Ma i due passi sono illustrati

nel modo più efficace in Mani che

disegnano: in quanto immagine del processo

di riflessione di Escher sull'attività del

MANI CHE DISEGNANO

disegnatore, essa è forse anche il simbolo più indovinato di

tutto il suo lavoro.

ESEMPIO DI AUTORIFERIMENTO


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LA S V O L TA : CL A SSE DI T U T T E L E C L A S SI , RU SSE L Una prima vera svolta nel mondo antinomico si ha con la

scoperta, a opera del giovane Bertrand Russell, dell'antinomia

che concerne la classe di tutte le classi. L'antinomia di

Russell infatti si presenta come un paradosso del tutto nuovo

che scardina una delle teorie in quel momento in più grande

espansione: il logicismo di cui lo stesso Russell sarà

convinto portavoce e che si propone di ridurre matematica e

logica a fondamenti comuni, attraverso la teoria delle Classi.

In sintesi il filosofo britannico scopre che, se ogni oggetto

può essere definito in termini di classi e il numero delle

classi è, di conseguenza, infinito, ed è quindi possibile

definire una classe (ove per classe si intende un insieme

ordinato a partire da una qualunque proprietà logica), si

possono individuare classi caratterizzate da un comportamento

“problematico”.

Ad esempio se si tenta di definire la "classe di tutte le

classi che non si appartengono" (che chiameremo "R") ci si

deve porre il problema se tale classe goda o meno della

proprietà riflessiva, se cioè, appartenga o meno a sé stessa.

Ora se R appartiene a R allora è una classe che si appartiene,

quindi non si appartiene e, di conseguenza, gode della

proprietà R e dovrebbe appartenere a R.

La scoperta di tale antinomia provocò una crisi anche

personale nel filosofo tedesco Frege che, in pratica, suggerì

semplicemente di considerarla un'eccezione.

Russell, invece, continuò a studiare il problema, arrivando in

seguito a proporre vari modi per tentare di risolvere quello

che nel frattempo era divenuto il "problema delle antinomie".

Infatti, a partire da quella prima scoperta, diverse altre

antinomie vennero identificate o riscoperte, conducendo la

logica d'inizio secolo a un vero e proprio momento di crisi.


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L ’E V OL U Z I ON E N E LLA ST O R I A R E C E NT E Solo a partire dagli anni venti, infatti, i logici d'Europa

iniziarono a elaborare teorie che consentivano il superamento

di molte antinomie soprattutto attraverso l'elaborazione di

linguaggi multilivello che consentivano di superare le

antinomie determinate da contraddizioni del linguaggio (come

le due riportate sopra) o, addirittura, attraverso

l'elaborazione di logiche cosiddette polivalenti cioè con più

di due valori di verità (vero e falso) anche dette "non

aristoteliche".

CO NC L US I O NE Le antinomie sono, quindi, come si è visto, intrinseche in

tutti i prodotti del pensiero umano.

L’uomo non possiede intuizione intellettuale e pertanto non

può conoscere la verità assoluta. Questo, però, non implica

che essa non esista.

Sta all’uomo la capacità di comprendere, prescindendo da

pregiudizi, le diverse interpretazioni della realtà senza dare

il proprio punto di vista per scontato.

Ampliando il proprio orizzonte visivo sarà possibile creare

logiche e linguaggi in grado di proporre una verità il più

possibile verosimile a quella assoluta.

In altre parole sebbene non sia possibile avere una certezza

della verità basandosi sull’esperienza si può stabilire una

maggiore probabilità di veridicità del soggetto o del

predicato. Affinché questa valutazione sia attendibile è

necessario valutare tutti i suoi aspetti.


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BIBLIOGR A FIA G. REALE – D.ANTISERI, Storia della filosofia, Vol. 2, Ed. LA

SCUOLA, 2009.

C. PIGNOCCHINO FEYLES – L. NEVIANI, Geografia Generale, 2009.

P. ODIFREDDI, Le Scienze CD Rom, 1996.

D. ALIGHIERI, La Divina Commedia, Paradiso, XVII, 59-60. BOMPIANI, Enciclopedia filosofica, Vol. 12, 2006.

MICROSOFT, Encarta, V. 16.0.0.1117, 2009.

RIZZOLI-LAROUSSE, Enciclopedia Larousse, 2003.

SIT O GR A F IA http://www.treccani.it/ (Versione online integrale della

celebre enciclopedia)

http://www.youtube.com/ (Celebre portale dedicato allo scambio

di materiale video)

http://www.megavideo.com/ (Celebre portale dedicato allo

scambio di materiale video)

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per la ricerca di immagini e ulteriori video)

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