copi & cohen cap viii

Introduccin a laLGICA

Irving M. CopiUniversidad de Hawaii

Carl CohenUniversidad de Michigan

EISELIMUSA

NORIEGA EDITORESMXICO Espaa Venezuela Colombia

Copi, IrvingIntroduccin a la lgica = Introduction to logic / Irving

Copi. Mxico : Limusa, 2007700 p. : II.; 15.5 x 23 cm.ISBN-13: 978-968-18-4882-8Rstica1. LgicaI. Cohen, Carl, coaut. II. Gonzlez Ruiz, Edgar Antonio, tr.

LC: BC108 Dewey: 160 dc21

VERSION AUTORIZADA EN ESPANOL DE LA OBRA PUBLICADA ENINGLS CON EL TTULO:INTRODUCTION TO LOGIC

MACMILLAN PUBLISHING COMPANY, A DIVISION OFMACMILLAN, INC., U.S.A.

COLABORADOR EN LA TRADUCCION:EDGAR ANTONIO GONZLEZ RUIZMAESTRO EN CIENCIAS, LOGICA Y FILOSOFIA EN LA UNIVERSIDADAUTONOMA METROPOLITANA.

REVISION:PEDRO CHVEZ CALDERNDOCTOR EN FILOSOFIA. PROFESOR EMERITO EN LA UNIVERSIDADNACIONAL AUTONOMA DE MEXICO.

LA PRESENTACIN Y DISPOSICIN EN CONJUNTO DE

INTRODUCCIN A LA LOGICA

SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE ESTA OBRAPUEDE SER REPRODUCIDA 0 TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGNSISTEMA 0 METODO , ELECTRNICO 0 MECANICO (INCLU-YENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACIN 0 CUALQUIER SISTEMADE RECUPERACION Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACION),SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR.

DERECHOS RESERVADOS:

2007, EDITORIAL LIMUSA, S.A. DE C.V.GRUPO NORIEGA EDITORESBALDERAS 95, MEXICO, D.F.C.P. 06040

5130 07005512 [email protected]

CANIEM Num. 121

HECHO EN MEXICOISBN-13: 978-968-18-4882-8

12.1

8Lgica simblica

No hay un camino real para la lgica y las ideas realmentevaliosas slo se pueden obtener prestando atencin cuidadosa.

-- CHARLES SANDERS PEIRCE

Como el lenguaje es confundente, lo mismo que difuso e inexacto,cuando se aplica a la lgica (para lo cual no fue creado) esabsolutamente necesario un simbolismo lgico para untratamiento exacto de nuestro objeto.

BERTRAND RUSSELL

Para evitar las desventajas de los lenguajes naturales respecto alanlisis lgico, es necesario primero traducirlo a una nocin msexacta.

ALONZO CHURCH

8.1 El valor de los smbolos especialesLos argumentos que se presentan en espaol o en cualquier otro lenguajenatural a menudo son difciles de evaluar debido a la naturaleza vaga yequvoca de las palabras que se usan, la ambigedad de su construccin,los confundentes giros idiomticos que pueden contener, su estilo poten-cialmente confundente y la distraccin debida al significado emotivo quepuedan expresar. Estos temas fueron discutidos extensamente en la prime-ra parte de este libro. Aun despus de eliminar estas dificultades, todavapermanece el problema de determinar la validez o invalidez del argumen-to. Para evitar estas dificultades perifricas, es conveniente establecer unlenguaje simblico artificial, libre de esos defectos, en el cual se puedanformular y enunciar los argumentos.

En el captulo 4, se han mencionado ya algunas de las ventajas decontar con un vocabulario tcnico para la ciencia. El uso de una notacinlgica especial no es peculiar de la lgica moderna. Aristteles, el antiguofundador de esta disciplina, us variables para facilitar su propio trabajo.

321

322 Lgica simblica

Aunque la diferencia en este aspecto entre la lgica moderna y la clsica noes sino de grado, esta diferencia es enorme. La mayor medida en la cual lalgica moderna ha desarrollado su propio lenguaje tcnico la ha hecho unaherramienta inmensamente ms poderosa para el anlisis y la deduccin.Los smbolos especiales de la lgica moderna nos exhiben con mayorclaridad las estructuras lgicas de las proposiciones y argumentos cuyasformas pueden ser oscurecidas por las dificultades que presenta el lengua-je ordinario.

Un valor adicional de los smbolos especiales de la lgica es la ayudaque proporcionan en el uso actual y la manipulacin de enunciados y deargumentos. Aqu, la situacin es comparable a la que se consigui con elreemplazo de los nmeros romanos por la notacin arbiga. Todos noso-tros sabemos que los numerales arbigos son ms claros y fciles decomprender que los viejos nmeros romanos a los que desplazaron. Perola superioridad real de los numerales arbigos se revela solamente en elclculo. Cualquier estudiante puede fcilmente multiplicar 113 por 9. Peromultiplicar CXIII por IX es una labor ms difcil y la dificultad se incre-menta a medida que se consideran nmeros mayores y mayores) Deigual manera, la extraccin de inferencias y la evaluacin de argumentosse facilita considerablemente por la adopcin de una notacin lgicaespecial. Para citar a Alfred North Whitehead, uno de los mayores perso-najes en el avance de la lgica simblica,

...con ayuda del simbolismo, podemos hacer transiciones en el razona-miento casi mecnicamente por medio de la vista, que de otra forma tendra-mos que realizar apelando a facultades superiores del cerebro.'

Desde este punto de vista, bastante paradjico, la lgica no concierne aldesarrollo de nuestros poderes de pensamiento sino de tcnicas que nospermiten realizar algunas tareas sin tener que pensar demasiado.

8.2 Los smbolos para la conjuncin, la negaciny la disyuncionEn este captulo estaremos involucrados con argumentos relativamentesimples como los que se muestran al inicio de la pgina siguiente.

'Existen muchas pruebas de que incluso los antiguos romanos no usaron sus numeralesen clculos. En su lugar utilizaron "tablas de contar", versin occidental del baco oriental.Vase Karl Menninger, Nu mber Words and Number Symbols, MIT Press, Cambridge, Mass.,1969.

2A. N. Whitehead, An Introduction tu Mathematics, Oxford University Press, NuevaYork, 1911.

Los smbolos para la conjuncin, la negacin y la disyuncin 323

El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o un sombrero blanco.El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo.Por lo tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco.

Y

Si el seor Robinson es el vecino del maquinista, entonces el seorRobinson vive entre Detroit y Chicago.

El seor Robinson no vive entre Detroit y Chicago.Por lo tanto, el seor Robinson no es el vecino del maquinista.

Cada argumento de este tipo general contiene por lo menos un enun-ciado compuesto. Al estudiar tales argumentos, dividimos todos losenunciados en dos categoras generales: simples y compuestos. Un enun-ciado simple es uno que no contiene ningn otro enunciado como compo-nente. Por ejemplo, "Carlos es limpio" es un enunciado simple. Unenunciado compuesto es un enunciado que contiene otro enunciado comoparte. Por ejemplo, "Carlos es limpio y Carlos es dulce" es un enunciadocompuesto, porque contiene dos enunciados simples como componentes.Por supuesto, los componentes de un enunciado compuesto pueden ellosmismos ser compuestos.

La nocin de un componente de un enunciado es sencilla, aunque noes exactamente lo mismo que "una parte que es ella misma un enunciado".Por ejemplo, las ltimas cuatro palabras del enunciado "El hombre quedispar a Lincoln era un actor" podran de hecho considerarse como unenunciado por s mismo. Pero ese enunciado no es un componente delenunciado mayor del cual esas cuatro palabras forman parte. Porque unaparte del enunciado ser un componente de ese enunciado solamente si secumplen dos condiciones: primera, que la parte debe ser en s misma unenunciado y, segunda, que si la parte en cuestin se reemplazara por otroenunciado el resultado sera significativo. Aunque la primera condicin sesatisface en el ejemplo dado, la segunda no. Porque si reemplazamos laparte "Lincoln era un actor" por "Hay leones en frica", el resultado es laexpresin carente de sentido: "El hombre que dispar hay leones enfrica"?

3Por esta explicacin ms complicada pero ms satisfactoria de los enunciados compues-tos y de sus componentes agradecemos al profesor C. Mason Myers de la Northern IllinoisUniversity, al profesor Alex Blum de la Bar-flan University (quienes enviaron comunicacio-nes independientes) y al profesor James A. Martin de la University of Wyoming por suartculo "How Not to Define Truth-Functionality", Logique et Analyse, Vol. 14, Nm. 52,1970, pp. 476-482.

324 Lgica simblica

1. ConjuncinHay varios tipos de enunciados compuestos; cada uno requiere de supropia notacin lgica. El primer tipo de enunciado compuesto serconsiderado como la conjuncin. Podemos formar la conjuncin de dosenunciados colocando la palabra "y" entre ellos: los dos enunciados ascombinados se llaman conyu n tos. As, el enunciado compuesto "Carlos eslimpio y Carlos es dulce" es una conjuncin cuyo primer conyunto es"Carlos es limpio" y su segundo conyunto es "Carlos es dulce".

La palabra "y" es una palabra corta y conveniente, pero tiene otrosusos aparte del que consiste en conectar enunciados. Por ejemplo, elenunciado "Lincoln y Grant fueron contemporneos" no es una conjun-cin sino un enunciado simple que establece una relacin. Para contar conun smbolo nico cuya funcin exclusiva sea la de relacionar enunciadosconjuntivamente introducimos el punto "" como nuestro smbolo para laconjuncin. As, la conjuncin previa se puede escribir como "Carlos eslimpio Carlos es dulce". En trminos ms generales, donde p y q soncualesquiera enunciados, su conjuncin se escribe p q.

Sabemos que cada enunciado es o bien verdadero o bien falso. Por lotanto, decimos que cada enunciado tiene un valor de verdad, donde elvalor de verdad de un enunciado verdadero es verdadero y el valor de ver-dad de un enunciado falso es falso. Usando este concepto de "valor deverdad" podemos dividir los enunciados compuestos en dos categorasdistintas, segn si el valor de verdad del enunciado compuesto est o nodeterminado completamente por los valores de verdad de sus partes, obien por alguna otra cosa diferente.

Apliquemos esta distincin a las conjunciones. El valor de verdad dela conjuncin de dos enunciados est determinado exclusiva y totalmentepor los respectivos valores de verdad de sus componentes. Si ambosconyuntos son verdaderos, la conjuncin es verdadera; en cualquier otrocaso es falsa. Por ello, se dice que una conjuncin es un enunciadocompuesto veritativo funcional y sus conyuntos son sus componentesveritativo funcionales.

Sin embargo, no todos los enunciados compuestos son veritativofuncionales. Por ejemplo, el valor de verdad del enunciado "Otelo cree queDesdmona ama a Casio" no est en modo alguno determinado por elvalor de verdad de su enunciado componente "Desdmona ama a Casio",porque Otelo puede creer que eso es cierto aun cuando no lo sea. As, elcomponente "Desdmona ama a Casio" no es un componente veritativofuncional del enunciado "Otelo cree que Desdmona ama a Casio" y esteltimo no es un enunciado compuesto veritativo funcional.

Para nuestros propsitos, definimos un componente de un enuncia-do compuesto como veritativo funcional si cuando todas las aparicionesdel componente se reemplazan en el enunciado por otro componente con


el mismo valor de verdad (sustituyendo uniformemente todas las apari-ciones iguales del componente) , el enunciado resultante tendr el mismovalor de verdad que el enunciado original. Definimos ahora un enunciadocompuesto como un enunciado compuesto veritativo funcional si todossus componentes son componentes veritativo funcionales.4

Aqu estamos interesados solamente en aquellos enunciados com-puestos que son veritativo funcionales. Por tanto, en el resto del librousaremos el trmino "enunciado simple" para referirnos a cualquierenunciado, que no es un enunciado compuesto, veritativo funcional.

Una conjuncin es un enunciado veritativo funcional, as que nuestrosmbolo es una conectiva veritativo funcional. Dados dos enunciados, p yq, hay solamente cuatro conjuntos posibles de valores para ellos, que sepueden exhibir como siguen:

si p es verdadera y q es verdadera, p q es verdaderasi p es verdadera y q es falsa, p q es falsasi p es falsa y q es verdadera, p q es falsasi p es falsa y q es falsa, p q es falsa

Si representamos los valores de verdad "verdadero" y "falso" median-te las letras maysculas V y F, la determinacin del valor de verdad de unaconjuncin por los valores de verdad de su conjunto se puede representarbrevemente y con mayor claridad por medio de una tabla de verdad comola siguiente:

P q

V V VV F FF V FF F F

Esta tabla de verdad se puede tomar como definicin del smbolo depunto, puesto que explica qu valores de verdad toman p q en cada casoposible.

Encontraremos conveniente abreviar los enunciados simples por me-dio de letras maysculas; generalmente usaremos para este fin una letraque nos ayude a recordar el enunciado que abrevia. As, abreviaremos"Carlos es limpio y Carlos es dulce" como L D. Algunas conjuncionescuyos conjuntos tienen el mismo sujeto, como por ejemplo "Byron fue un

'El profesor David H. Stanford ha propuesto definiciones algo ms complicadas en suartculo "What Is a Truth Functional Component?", Logic et Analyse, Vol. 14, No. 52, 1970,pp. 483-486.

326 Lgica simblica

gran poeta y Byron fue un gran aventurero", se enuncian ms brevementey quizs de manera ms natural colocando la "y" entre los predicados y norepitiendo el nombre de Byron, como sucede en "Byron fue un gran poetay gran aventurero". Para nuestros propsitos, reconocemos la ltimaformulacin como el mismo enunciado que el anterior y simbolizamoscada uno de ellos indiferentemente como P A. Si los dos conjuntos de unaconjuncin tienen el mismo predicado, como "Lewis fue un famosoexplorador y Clark fue un famoso explorador", de nuevo usualmenteescribiramos ms bien "Lewis y Clark fueron exploradores famosos". Suformulacin simblica es L C.

Como muestra la tabla de verdad que define el smbolo de punto, unaconjuncin es verdadera si y slo si sus dos conyuntos son verdaderos.Pero la palabra "y" tiene otro uso en el cual significa no la mera conjuncin(veritativo funcional) sino que tiene el sentido de "y subsecuentemente",esto es, significa sucesin temporal. As, el enunciado "Jones entr al paspor Nueva York y luego fue directamente a Chicago" es significativo ypuede ser verdadero, mientras que Iones fue directamente a Chicago yentr al pas por Nueva York" es ininteligible, dada la ubicacin geogrficade ambas ciudades. Y hay una diferencia entre "tom sus zapatos y se fuea la cama" y "se fue a la cama y tom sus zapatos". Estos ejemplos enfatizanla necesidad de contar con un smbolo especial para representar exclusiva-mente la conjuncin veritativo funcional.

Debemos enfatizar que las palabras "pero", "mientras que", "tam-bin", "sin embargo", "ms an", y otras, incluso los signos de puntacinde "coma" y de "punto y coma" se pueden usar para conjuntar dos enun-ciados y, por tanto, se pueden representar mediante el smbolo de punto.

2. Negacin

La negacin (o contradictoria) de un enunciado en espaol frecuentemen-te se forma insertando un "no" en el enunciado original. Alternativamente,uno puede expresar la negacin de un enunciado prefijando la frase "esfalso que", o "no es el caso que". Es usual usar el smbolo "" (llamadotilde) para formar la negacin de un enunciado. As, donde M simbolizael enunciado "Todos los humanos son mortales", los enunciados "Notodos los humanos son mortales" , "Algunos humanos no son mortales","Es falso que todos los humanos son mortales", "No es el caso que todoslos humanos son mortales" se simbolizan por igual como M. Msgeneralmente, donde p es un enunciado cualquiera su negacin se escribep. Es obvio que la tilde es un operador veritativo funcional. La negacinde cualquier enunciado verdadero es falsa y la negacin de cualquierenunciado falso es verdadera. Este hecho se puede representar muy simpley claramente mediante la siguiente tabla de verdad:


~P

VF V

Esta tabla de verdad se puede reconocer como la definicin del smbolo denegacin "--".

3. Disyuncin

La disyuncin ( o alternacin) de dos enunciados se forma en espaolinsertando la palabra "o" entre ellos. Los dos componentes combinados deesta forma se llaman disy Un tos (o alternativas). La palabra "o" es ambigua,tiene dos significados relacionados pero distintos, uno de ellos se ejemplificaen el enunciado "Se otorgarn compensaciones en el caso de enfermedado desempleo", porque aqu la intencin obviamente es que estas compen-saciones se otorgarn no solamente a las personas que enferman o quequeden sin empleo, sino a las que les suceden los dos contratiempos a lavez. Este sentido de la palabra "o" se llama dbil o inclusivo. Una dis-yuncin inclusiva es verdadera solamente cuando uno o los dos disyuntosson verdaderos: solamente si los dos disyuntos son falsos, la disyuncininclusiva es falsa. El "o" inclusivo tiene el sentido de "cualquier, posible-mente ambos". Donde es vital la precisin, como en el caso de losdocumentos legales, esta disyuncin se puede representar como "y / o".

La palabra "o" se usa tambin en un sentido fuerte o exclusivo, en elcual el significado no es "por lo menos uno" sino "uno y slo uno". Cuandoun restaurante pone en su men "ensalada o postre", es claro que el precioespecificado es para uno de los dos platillos, pero no ambos. Cuando laprecisin es vital, se escribe "pero no ambos" para referirse a este tipo dedisyuncin.

Interpretamos la disyuncin inclusiva de dos enunciados como unaafirmacin de que por lo menos uno de ellos es verdadero, y la disyuncinexclusiva es una afirmacin de que por lo menos uno de los enunciados esverdadero pero no los dos al mismo tiempo. Observemos aqu que los dostipos de disyuncin tienen una parte de significado en comn. Ese signi-ficado parcial comn, en que por lo menos uno de los disyuntos esverdadero, es el significado total del "o" inclusivo y una parte del signifi-cado del "o" exclusivo.

Aunque las disyunciones se enuncian ambiguamente en espaol, nohay esa ambigedad en latn. El latn tiene dos palabras diferentes quecorresponden a los dos sentidos de la palabra en espaol. La palabra velsignifica la disyuncin dbil o inclusiva, mientras que la palabra a ut

328 Lgica simblica

corresponde a la disyuncin fuerte o exclusiva. Se acostumbra usar la letrainicial de la palabra "vel" para representar la disyuncin en su sentidodbil o inclusivo. Si p y q son dos enunciados cualesquiera, su disyun-cin dbil o inclusiva se escribe como p v q. El smbolo para la disyuncininclusiva (una y) es tambin una conectiva veritativo funcional. Unadisyuncin dbil es falsa solamente en el caso de que ambos disyuntossean falsos. Podemos reconocer la definicin de esta conectiva en lasiguiente tabla:

p q p v q

V V VV F VF V VF F V

El primer ejemplo de argumento que se present en esta seccin fue unsilogismo disyuntivo:5

El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o un sombrero blanco.El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo.Por lo tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco.

Su forma se caracteriza diciendo que su primera premisa es unadisyuncin: su segunda premisa es la negacin del primer disyunto de laprimera premisa y su conclusin es el segundo disyunto de la primerapremisa. Es evidente que el silogismo disyuntivo as definido es vlidobajo cualquier interpretacin de la palabra "o", esto es, independiente-mente de si se trata de una disyuncin inclusiva o exclusiva.' Puesto queel argumento tpico vlido que descansa en una premisa disyuntiva es,como el silogismo disyuntivo, vlido bajo cualquier interpretacin de lapalabra "o", se puede efectuar una simplificacin traduciendo la palabra"o" con el smbolo lgico " y" sin importar qu significado en espaol tengala "o". En general, solamente un examen ms detallado del contexto o delas intenciones del hablante o escritor puede revelar el sentido de "o"que est usando. Este problema, frecuentemente difcil y hasta imposible deresolver, se puede evitar si acordamos tratar toda ocurrencia de "o" comoinclusiva. Por otra parte, si se dice explcitamente que la disyuncin es

'Un silogismo es un argumento deductivo que consiste en dos premisas y una conclusin.6E1 estudiante ha de observar que el trmino "silogismo disyuntivo" se usa en un sentido

ms amplio que en el captulo anterior.


exclusiva, por medio de la frase "pero no ambos ", por ejemplo, tenemos lamaquinaria para formular indirectamente esa condicin en forma simblica.

En todos los casos en que los dos disyuntos tienen el mismo sujeto o elmismo predicado, frecuentemente es natural comprimir la formulacin desu disyuncin en espaol colocando el "o" de manera tal que se evite larepeticin. As, "O bien Smith es el propietario o Smith es el administra-dor" se puede escribir como "Smith es el propietario o el administrador"y se simboliza como O v M. Y "Red es el culpable o Butch es el culpable"se enunciara como "Red o Butch es el culpable" y se simboliza como RB. Se puede observar que las palabras "a menos que" se pueden usar paraformar la disyuncin de dos enunciados. As, "Se har el picnic a menosque llueva" y "A menos que llueva se har el picnic" equivalen a "Se harel almuerzo o llover" y se simbolizan A y L.

4. Puntuacin

En espaol la puntuacin se requiere para aclarar el significado de enun-ciados complejos. Se usa una gran variedad de signos de puntuacin, sinlos cuales muchas oraciones seran muy ambiguas. Por ejemplo, "Elmaestro dice Juan est loco" tiene significados muy diferentes dependien-do de la puntuacin que tenga. Otras oraciones requieren de la puntuacinpara ser entendidas. De igual manera, la puntuacin es necesaria enmatemticas. En ausencia de una convencin especial, ningn nmero esdenotado de manera nica por 2 x 3 + 5, aunque cuando se aclara cmoestn agrupados sus constituyentes significa 11 o 16, lo primero cuando sepunta ( 2 x 3) + 5 y lo segundo cuando se punta 2 x (3 + 5). Se requierede la puntuacin tanto en matemticas como en espaol para evitar laambigedad y aclarar el significado.

Tambin se requiere de la puntuacin en el lenguaje de la lgicasimblica, pues los enunciados compuestos pueden ellos mismos estarcompuestos de otros enunciados complejos. As, pqvr es ambiguo, o biensignifica la conjuncin de p con la disyuncin de q y r o puede significar ladisyuncin cuyos disyuntos son la conjuncin de p y q y el enunciado r.Distinguimos entre estos dos sentidos diferentes puntuando la frmuladada como p (q v r) o bien como (p q) v r. En lgica simblica, losparntesis, llaves y corchetes se usan como signos de puntuacin. Ladiferencia que implican diferentes formas de puntuar es clara si conoce-mos el caso en que p es falso y q y r son ambos verdaderos. En este caso,la segunda frmula puntuada es verdadera (puesto que su segundodisyunto es verdadero) mientras que la primera es falsa (puesto que elprimer conyunto es falso). Aqu, la diferencia en la puntuacin hace todala diferencia entre la verdad y la falsedad, pues diferentes puntuacionesproducen diferentes valores de verdad del enunciado ambiguo p q v r.

330 Lgica simblica

Las palabras "o bien" tienen una variedad de significados y usos en elespaol. Tienen una fuerza conjuntiva en la oracin "Hay peligro o bien deun lado o de otro ". Ms frecuentemente se usan para introducir el primerdisyunto de una disyuncin, como sucede en "O bien el prisionero ciegotiene un sombrero rojo, o el prisionero ciego tiene un sombrero blanco":Ello contribuye al balance retrico de la oracin pero no afecta su signifi-cado. Quizs el uso ms importante de las palabras "o bien" es puntuar elenunciado compuesto. As la oracin:

La organizacin se reunir el martes y Alicia ser electa o bien laeleccin ser pospuesta.

puede tener su ambigedad resuelta en una direccin colocando las pa-labras "o bien" en el comienzo, o en la otra direccin, insertando "o bien"antes de "Alicia". Tal puntuacin se efecta en el lenguaje simblico pormedio de parntesis. La frmula ambigua p q v r discutida en el prrafoprecedente corresponde a la oracin ambigua examinada. Las dos puntua-ciones distintas de la frmula corresponden a las dos puntuaciones dife-rentes de la oracin que se efectan mediante las dos diferentes insercionesde las palabras "o bien".

La negacin de una disyuncin frecuentemente se forma usando lafrase "ni... ni". As, el enunciado "O bien Fillmore o Harding fue el mayorpresidente norteamericano" se puede contradecir por medio del enuncia-do "Ni Fillmore ni Harding fue el mayor presidente norteamericano". Ladisyuncin se simbolizara como F v H y su negacin o bien como (F v H)o como (F) (H). (La equivalencia lgica de estas dos frmulas simb-licas se discutir en la seccin 8.5.) Ser claro que para negar una disyun-cin que enuncia que uno de los dos disyuntos es verdadero se requiereque ambos sean enunciados falsos.

En espaol, la palabra "ambos" desempea varios papeles. Uno escuestin de nfasis. Decir que "Ambos, Lewis y Clark, fueron explorado-res famosos" es meramente enunciar con mayor nfasis que "Lewis yClark fueron exploradores famosos", pero la palabra "ambos" tambintiene una funcin de puntuacin, comparable a la de "o bien". Notamosen el prrafo anterior que "Ambos no son..." se puede usar para formularel mismo enunciado que "Ni... ni... es...". El orden de las palabras "ambos"y "no" es muy importante. Hay una diferencia considerable entre:

Jane y Dick no sern ambos elegidos.

Y

Jane y Dick ambos no sern elegidos.


La primera niega la conjuncin J D y se simbolizan como -(J D).La segunda dice que ninguno de los dos ser electo, y se simboliza como(-1) (-D).

Para fines de brevedad, esto es, de disminuir el nmero de parntesisque se requiere, es conveniente establecer la convencin de que en cual-quier frmula el signo de negacin se entender como aplicable al enun-ciado ms reducido que permite la puntuacin. Sin esta convencin, lafrmula -p v q es ambigua, significa o bien (-p) v q o bien -(p v q). Peropor nuestra convencin adoptamos la primera de estas alternativas, puesla tilde puede (y de hecho as es por nuestra convencin) aplicarse alprimer componente, p, ms bien que a la frmula mayor p v q.

Dado un conjunto de signos de puntuacin para nuestro lenguajesimblico, es posible escribir no solamente conjunciones, negaciones ydisyunciones dbiles, sino tambin disyunciones exclusivas. La disyuncinexclusiva de p y q afirma que por lo menos uno de ellos es verdadero, locual se escribe simplemente como: (p v q) (p q).

La frase "a menos que" se usa en espaol para formar la disyuncin dedos enunciados. As, "El picnic se har a menos que llueva" y "A menosque llueva se har el picnic"equivalen a "O bien el picnic se har o llue-ve" y se simboliza como P v R.

Cualquier enunciado compuesto construido a partir de enunciadossimples usando solamente las conectivas veritativo funcionales punto,tilde y o, tiene su valor de verdad completamente determinado por laverdad o falsedad de sus enunciados componentes simples. Si conocemoslos valores de verdad de los enunciados simples, el valor de verdad decualquier compuesto veritativo funcional de ellos se puede calcular fcil-mente. Al trabajar con tales componentes, siempre comenzamos con suselementos ms internos y trabajamos hacia afuera. Por ejemplo, si A y B sonverdaderos y X y Y son falsos, calculamos el valor de verdad del enunciadocompuesto -[-( A X)( Y v -B)] como sigue. Puesto que X es falso, laconjuncin A X es falsa y su negacin -(A X) es verdadera. B esverdadera, su negacin -B, por ende, es falsa, y puesto que Y es falsatambin, la disyuncin de Y con -B tambin es falsa, Y y -B es falsa. Lafrmula [-(A X) (Y y -B)] es la conjuncin de un enunciado verdaderoy otro falso y, por ello, es falsa. Por tanto, su negacin, que es el enunciadocompleto, es verdadera. Tal procedimiento paso a paso siempre nospermite determinar el valor de verdad de un enunciado compuesto a partirde los valores de verdad de sus componentes.

EJERCICIOSI. Cules de los siguientes enunciados son verdaderos?.

* 1. Roma es la capital de Italia y Roma es la capital de Espaa.2. -(Londres es la capital de Inglaterra Estocolmo es la capital de

Noruega).

332 Lgica simblica

Londres es la capital de Inglaterra Estocolmo es la capital deNoruega.

(Roma es la capital de Espaa y Pars es la capital de Francia).5. Roma es la capital de Espaa y Pars es la capital de Francia.

Londres es la capital de Inglaterra y Londres es la capital deInglaterra.

Estocolmo es la capital de Noruega . Estocolmo es la capital deNoruega.

(Pars es la capital de Francia Roma es la capital de Espaa) y (Parses la capital de Francia Roma es la capital de Espaa).

(Londres es la capital de Inglaterra y Estocolmo es la capital de No-ruega) (Roma es la capital de Italia Estocolmo es la capital deNoruega).

10. Roma es la capital de Espaa y (Pars es la capital de Francia Roma es la capital de Espaa).

Roma es la capital de Italia . (Pars es la capital de Francia y Romaes la capital de Espaa).

(Pars es la capital de Francia Estocolmo es la capital deNoruega).

HRoma es la capital de Espaa y Pars es la capital de Francia)(Pars es la capital de Francia y Estocolmo es la capital de Noruega)].

H Londres es la capital de Inglaterra Roma es la capital deEspaa) (Roma es la capital de Espaa . Roma es la capital de Espaa)].

15. (Estocolmo es la capital de Noruega y Pars es la capital deFrancia) v(Londres es la capital de Inglaterra . Roma es la capital deEspaa)].

Roma es la capital de Espaa y (Londres es la capital de Inglaterray Londres es la capital de Inglaterra).

Pars es la capital de Francia ( Pars es la capital de Francia Romaes la capital de Espaa).

18. Londres es la capital de Inglaterra (Roma es la capital de ItaliaRoma es la capital de Italia).

19. (Estocolmo es la capital de Noruega y Pars es la capital de Fran-cia) y (Estocolmo es la capital de Noruega Londres es la capital deInglaterra).


20. (Pars es la capital de Francia v-Roma es la capital de Espaa)-(-Pars es la capital de Francia -Roma es la capital de Espaa).

-HRoma es la capital de Espaa Estocolmo es la capital deNoruega) v -(-Pars es la capital de Francia y -Roma es la capital deEspaa)].

-[-(Londres es la capital de Inglaterra Pars es la capital de Fran-cia) v-(-Estocolmo es la capital de Noruega v-Pars es la capital deFrancia)).

-[(-Pars es la capital de Francia v Roma es la capital de Italia) -(-Roma es la capital de Italia y Estocolmo es la capital de Noruega)].

-[-Roma es la capital de Espaa y Estocolmo es la capital deNoruega) -(-Estocolmo es la capital de Noruega v Pars es la capital deFrancia)].

25. -R(Londres es la capital de Inglaterra Pars es la capital deFrancia) v-(Pars es la capital de Francia Roma es la capital de Espaa)].

II. Si A ,B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son enunciadosfalsos, cules de los siguientes son verdaderos?

1. -A v B 2. -B v X3. -Y v C 4. -Z v X5. (A X) v (B Y) 6. (B C) v (Y Z)7. -(C Y) (A Z) 8. --(A B) v (XY)9. -(X Z) (B C) * 10. -(X -Y) (B -C)

11. (A X) (Y B) 12. (B v C)(Y v Z)13. (X Y) (X y Z) 14. -(A v Y) (B v X)15. -(X Z) (-X v Z) 16. -(A C) -(X-Y)17. -(B v Z) -(X -Y) 18. -[(A v -C) v (C v -A)]19. -[(B C) -(C B)] * 20. -[(A B) v -(B A)]

[A y (B C)] -[(A B) C][X (Y Z)] -[(X Y) (X Z)][A(B C)] -[(A B) (AC)]-{[(-A B) (-X Z)] -[(A -8) v -(-Y -Z)1)

25. -{-[(B -C) y (Y -Z)] [(-B y X) v (B v -Y)]]

334 Lgica simblica

III. Si sabemos que A y B son verdaderos y que X y Y son falsos, perodesconocemos los valores de verdad de P y Q, cules de los valores deverdad de los siguientes enunciados se pueden conocer?

1.AvP 2. Q X3. Q - X 4. -B P5. P -P 6. -P v (Q v P)7. Q ~Q 8. P(-P v X)9. -(P Q) P * 10. -Q [(P Q) -P]

11. (P v Q) -(Q v P) 12. (P Q) (-P v -Q)13. -P v [-Q v (P Q)] 14. P -(-A X)15. P HP v Q) v -13 1 16. -(P Q) v (Q P)17. -[--(-P Q) 13] P 18. (-P v Q) -[-P v (P Q)]19. (-A P) (-P Y)20. -(P v (B Y)lv [(P v B) (P v Y)]

[P v (Q A)] -[(P v Q) (P v A)][P v (Q X)] -[(P v Q) (P v X)]-[-P v (-Q v X)] v H-P v Q) v (-P v X)]-[-P v (-Q y A)] y [-(-P v Q) (-P A)]

25. -[(P Q) (Q -P)] -[(P -Q) (-Q -MIIV. Usando las letras E, I, J, L y S para abreviar los enunciados simples

"Egipto disminuye sus aprovisionamientos","Irn eleva el precio delpetrleo","Jordania pide ayuda a Estados Unidos","Libia aumenta elprecio del petrleo" y "Saudiarabia compra otros quinientos aviones deguerra", simbolice lo siguiente:

1. Irn eleva el precio del petrleo pero Libia no aumenta el precio delpetrleo.

0 bien Irn o Libia aumentarn el precio del petrleo.Irn y Libia elevarn el precio del petrleo.

4. Irn y Libia no aumentarn el precio del petrleo.5. Irn y Libia aumentarn ambos el precio del petrleo.

Irn o Libia aumentarn el precio del petrleo pero no lo harnambos a la vez.

Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra y o bien Irneleva el precio del petrleo o Jordania pide ms ayuda norteamericana.


8.0 bien Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra e Irneleva el precio del petrleo o Jordania pide ms ayuda a Estados Unidos.

9. No es el caso que Egipto disminuya sus aprovisionamientos yJordania pida ms ayuda norteamericana.

10. No es el caso que o bien Egipto disminuya sus aprovisionamien-tos o Jordania pida ms ayuda a Estados Unidos.

No es el caso que Egipto disminuya sus aprovisionamientos oJordania pida ms ayuda norteamericana.

No es el caso que a la vez Egipto disminuya sus aprovisionamien-tos y Jordania pida ms ayuda a Estados Unidos.

Jordania pide ms ayuda a Estados Unidos, a menos que Saudiara-bia compre otros quinientos aviones de guerra.

A menos que Egipto disminuya sus aprovisionamientos, Libiaelevar el precio del petrleo.

15. Irn no elevar el precio del petrleo a menos que Libia tambin lohaga.

A menos que tanto Irn como Libia eleven el precio del petrleo,ninguno de ellos lo har.

Libia eleva el precio del petrleo y Egipto disminuye susaprovisionamientos.

No es el caso que ni Irn ni Libia elevarn los precios del petrleo.Egipto disminuye sus aprovisionamientos y Jordania pide ms

ayuda de Estados Unidos, a menos que tanto Irn como Libia no elevenel precio del petrleo.

20. 0 bien Irn eleva el precio del petrleo y Egipto disminuye susaprovisionamientos o no es el caso que a la vez Jordania pida ms ayudanorteamericana y Saudiarabia compre otros quinientos aviones de guerra.

0 bien Egipto disminuye sus aprovisionamientos y Saudiarabiacompra otros quinientos aviones de guerra o Jordania pide ms ayuda aEstados Unidos o Libia eleva el precio del petrleo.

Saudiarabia compra otros quinientos aviones de guerra y o bienJordania pide ms ayuda a Estados Unidos o tanto Libia como Irn elevanel precio del petrleo.

0 bien Egipto disminuye sus aprovisionamientos o Jordania pidems ayuda a Estados Unidos, pero ni Libia ni Irn elevarn los precios delpetrleo.

Egipto disminuye sus aprovisionamientos; sin embargo, Saudiara-bia compra otros quinientos aviones de guerra y Jordania pide ms ayudaa Estados Unidos.

336 Lgica simblica

25. Libia eleva el precio del petrleo y Egipto disminuye sus aprovi-sionamientos; sin embargo, Saud iarabia compra quinientos aviones deguerra y Jordania pide ms ayuda a Estados Unidos.

8.3 Enunciados condicionalese implicacin materialCuando se combinan dos enunciados por medio de las palabras "si" alprincipio del primero y "entonces" entre los dos, el enunciado compuestoresultante se llama condicional (o enunciado hipottico o implicacin oenunciado implicativo). En un enunciado condicional, el componenteentre el "si" y el "entonces" se llama antecedente ( o implicante o msraramente protasis) y el componente que sigue al "entonces" se llamaconsecuente ( o implicado o ms raramente apodosis). Por ejemplo, "Si elseor Jones es el vecino del maquinista, entonces el seor Iones ganaexactamente tres veces lo que el maquinista" es un enunciado condicionalen el cual "el seor Jones es el vecino del maquinista" es el antecedente y"el seor Jones gana tres veces lo que el maquinista" es el consecuente.

Un enunciado condicional afirma que en cualquier caso en que su antece-dente sea verdadero, tambin el consecuente ser verdadero. No afirma quesu antecedente es verdadero, sino solamente que si su antecedente es verda-dero, su consecuente tambin lo ser. No afirma que su consecuente seaverdadero, sino solamente que si su antecedente es verdadero, su consecuen-te tambin lo ser. El significado esencial de un enunciado condicional es larelacin afirmada entre su antecedente y su consecuente, en este orden. Paraentender el significado de un enunciado condicional, entonces debemosentender cul es esa relacin de implicacin.

De hecho, "implicacin" tiene ms de un significado. Encontramos tildistinguir entre diferentes sentidos de la palabra "o" antes de introducirun smbolo especfico para representar uno de los significados que tiene enespaol. De no hacerlo as, la ambigedad presente en el espaol hubierainterferido con los fines de claridad y precisin que se buscan con ellenguaje simblico. Ser igualmente til distinguir sentidos diferentes de"implica" o "si-entonces" antes de introducir un smbolo lgico especial.

Comencemos por listar un nmero de enunciados condicionales dife-rentes, cada uno de los cuales parece afirmar un tipo diferente deimplicacin, y a cada uno de los cuales parece corresponder un sentidodiferente de "si-entonces".

Si todos los humanos son mortales y Scrates es humano, entoncesScrates es mortal.Si Leslie es soltero, entonces Leslie no es casado.

C. Si se coloca una pieza de papel tornasol en cido, entonces esa piezade papel se volver roja.

Enunciados condicionales e implicacin material 337

D. Si el equipo estatal pierde el partido, entonces me comer misombrero.

Hasta una inspeccin somera de estos cuatro enunciados condicionalesrevela que son tipos muy diferentes. El consecuente de A se sigue lgica-mente de su antecedente, mientras que el consecuente de B se sigue de suantecedente por la definicin misma del trmino "soltero", que significano casado. El consecuente de C no se sigue de su antecedente ni por lgicani por la definicin de los trminos; su conexin es descubierta emprica-mente, porque la implicacin que se presenta es causal. Por ltimo, elconsecuente de D no se sigue de su antecedente ni por la lgica ni pordefinicin ni es resultado de una ley causal, en el sentido usual del trmino.La mayora de las leyes causales, por ejemplo aquellas descubiertas por lafsica o por la qumica, describen lo que sucede en el mundo indepen-dientemente de las esperanzas o deseos de las personas. Por supuesto,tales leyes no estn involucradas con el enunciado D. Ese enunciadoreporta una decisin del hablante de hacer determinada cosa bajo circuns-tancias especficas.

Los cuatro nunciados condicionales examinados en el prrafo anteriorson diferentes en el sentido de que cada uno afirma un tipo diferente deimplicacin entre su antecedente y su consecuente, pero no son completa-mente diferentes, todos ellos afirman tipos de implicacin. Existe algnsignificado comn identificable, un significado parcial comn a estos tiposde implicacin, sin importar que no sea el significado completo de cual-quiera?

Para buscar un significado parcial comn en este caso, tiene intersrecordar lo que hicimos para buscar una representacin simblica de la"o". En ese caso, procedimos como sigue. Primero, enfatizamos la diferen-cia entre los dos sentidos de esa palabra, contrastando la disyuncinexclusiva con la inclusiva. La disyuncin inclusiva de dos enunciados,como notamos, significa que por lo menos uno de los enunciados esverdadero, y la disyuncin exclusiva significa que exactamente uno delos dos es verdadero. Segundo, notamos que estos dos tipos de disyuncintienen un significado parcial comn. Este significado parcial comn, endonde al menos uno de los disyuntos es verdadero, es todo el significadode la disyuncin inclusiva y una parte del significado exclusivo. Luego,introducimos el smbolo "v" para representar este significado parcialcomn. En tercer lugar, notamos que el smbolo que representa esesignificado parcial comn era una traduccin adecuada de cualquiersentido de la palabra "o" para el propsito de conservar el silogismodisyuntivo como una forma vlida de argumento. Admitimos que altraducir el "o" exclusivo con el smbolo "v" estamos ignorando una partede su significado, pero la parte de su significado que se preserva mediantela traduccin es toda la que necesitamos para que el silogismo disyuntivo

338 Lgica simblica

permanezca como un argumento vlido. Puesto que el silogismo disyuntivoes tpico de los argumentos que involucran la disyuncin en la queestamos interesados, esta traduccin parcial de la palabra "o", que signi-fica en abstracto su significado "total" o "completo" en algunos casos, estotalmente adecuada para nuestros propsitos presentes.

Ahora queremos seguir el mismo tipo de procedimiento, pero enconexin con la frase " si-entonces". Ya se ha hecho la primera parte, hemosenfatizado las diferencias entre los cuatro sentidos de la frase "si-enton-ces" correspondientes a los cuatro tipos de implicacin. Ahora estamoslistos para el segundo paso, que es descubrir el sentido comn a los cuatrotipos de implicacin.

Una forma de enfrentar este problema consiste en preguntarnos por lascircunstancias que bastaran para establecer la falsedad del enunciadocondicional dado. Consideremos otro ejemplo. Bajo qu circunstanciadiremos que el enunciado condicional

Si esta pieza de papel tornasol se coloca en esa solucin, entoncesesta pieza de papel tornasol se volver roja.

es falso? Hay, por supuesto, muchas formas de investigar la verdad de unenunciado y no todas ellas suponen que de hecho hay que poner la piezade papel en la solucin. Se puede usar algn otro indicador qumico y si semuestra que la solucin es un cido, esto confirmar que el condicional esverdadero, puesto que conocemos las propiedades de los cidos. Por otraparte, si se muestra que la solucin es alcalina, esto mostrara que elenunciado es falso. Es importante darnos cuenta de que este condicionalno afirma que una pieza de papel deba ser colocada en una solucindeterminada, o que el papel se volver rojo. Slo afirma que si esta piezade papel tornasol se coloca en la solucin entonces esta pieza de papel sevolver roja. Resulta falso en caso de que esta pieza de papel se ponga dehecho en la solucin y no se vuelva roja. Por decirlo as, la prueba de acidezo de la falsedad de un enunciado condicional se obtiene cuando su ante-cedente es verdadero y su consecuente es falso, en este caso el condicionalser falso.

Cualquier enunciado condicional "si p entonces q" se conoce comofalso en el caso de que la conjuncin p -q sea verdadera, esto es, en el casoen que su antecedente sea verdadero y su consecuente sea falso. Para queun condicional sea verdadero, entonces la conjuncin indicada debe serfalsa, esto es, su negacin -. (p -q) debe ser verdadera. En otras palabras,para que cualquier condicional "si p entonces ti" sea verdadero, -(p -q),la negacin de la conjuncin de su antecedente con la negacin delconsecuente debe ser verdadera. Podemos, entonces, reconocer a -(p -q)como una parte del significado de "si p entonces ti".

Cada enunciado condicional significa negar que su antecedente seaverdadero y su consecuente sea falso, pero no necesariamente agota su


significado. Un condicional como A, (si todos los humanos...), tambinafirma una conexin lgica entre su antecedente y su consecuente; unocomo B afirma una conexin definicional; C una conexin causal; y D unaconexin decisional. Pero no importa qu tipo de implicacin afirme uncondicional, parte de su significado es la negacin de la conjuncin de suantecedente con la negacin de su consecuente.

Introducimos ahora un smbolo para representar este significado par-cial comn de la frase "si-entonces". Definimos al nuevo smbolo "o"(llamado herradura) tomando p D q como una abreviatura de -(p -q). Elsignificado exacto del smbolo "a" se puede indicar por medio de una tablade verdad:

P q -q P -11 -(1) -1) p D

V V F F V VV F V V F FF V F F V VF F V F V V

Aqu las dos primeras columnas de la tabla son las guas; la tercera sellena en referencia a la segunda, la cuarta en referencia a la primera ytercera, la quinta en referencia a la cuarta y la sexta es idntica pordefinicin a la quinta.

El smbolo "D" no se reconoce como denotando el significado de "si-entonces" o representando la relacin de implicacin. Sera imposible,porque no hay un nico significado de la implicacin, sino varios diferen-tes. Ni el smbolo "D" se reconoce como algo que representa todos lossignificados de "si-entonces", ya que son todos diferentes y cualquierintento de abreviar todos ellos por medio de un nico smbolo lgicoresultara tan ambiguo como la frase del espaol "si-entonces" o la pala-bra "implicacin". El smbolo "o" es totalmente no ambiguo. Lo queabrevia p D q es -(p -q), cuyo significado est incluido en los signifi-cados de cada uno de los diferentes tipos de implicaciones considerados,pero esto no constituye el significado total de cualquiera de ellos.

Podemos considerar el smbolo "D" como representacin de otro tipode implicacin y ser conveniente hacerlo as, puesto que una formaadecuada de leer p D q es "si p entonces q". Pero no se trata del mismo tipode implicacin que cualquiera de los mencionados antes. Los lgicos lellaman implicacin material y al darle un nombre especial admiten que esuna nocin especial, la cual no debe confundirse con los otros tipos msusuales de implicacin.

No todos los enunciados condicionales del espaol han de afirmar unode los cuatro tipos de implicacin previamente considerados. La implicacinmaterial es un quinto tipo que se puede afirmar en el discurso ordinario.

340 Lgica simblica

Consideremos la observacin "Si Hitler fue un genio militar, entonces yosoy el to de un mono". Es claro que no se puede afirmar una implicacinlgica, definicional o causal. Deba ser evidente que no puede representartampoco una implicacin decisiona 1, puesto que no se refiere a la capaci-dad del hablante para hacer el consecuente verdadero. Ninguna "conexinreal", sea lgica, definicional o causal, se obtiene entre el antecedente y elconsecuente. Un condicional de este tipo se usa a menudo como un mtodohumorstico para negar su antecedente. El consecuente de tal condicionalusualmente es un enunciado que es obvio o ridculamente falso. Y puestoque ningn condicional puede tener a la vez su antecedente verdadero yconsecuente falso, afirmar tal condicional equivale a negar que su antece-dente sea verdadero. El significado completo del presente condicionalparece ser que la negacin de "Hitler es un genio militar" es verdaderacuando "Yo soy el to de un mono" es falsa. Y puesto que la ltima esobviamente falsa, el condicional debe entenderse como una negacin delprimer enunciado.

La implicacin material no sugiere ninguna "conexin real" entre elantecedente y el consecuente. Todo lo que afirma es que es un hecho queno es el caso de que el antecedente sea verdadero cuando el consecuentees falso; debemos notar que el smbolo de implicacin material es unconectivo veritativo funcional, como los smbolos para la conjuncin y ladisyuncin. Como tal, se define mediante la tabla de verdad:

p D q

V V VV F FF V VF F V

La extraeza con la que a veces se juzga el smbolo de herradura, como fuedefinido por la tabla de verdad, se disipa al menos en parte por lassiguientes consideraciones. Como el nmero 2 es menor que el 4 (lo cualse simboliza 2 < 4), se sigue que cualquier nmero menor que 2 es menorque 4. La frmula condicional

Si x < 2 entonces x < 4

es verdadera para cualquier nmero x. Si nos concentramos en los nme-ros 1, 3 y 4 y reemplazamos la variable numrica x por cada uno de ellos,podemos hacer las siguientes observaciones. En la frmula:

Si 1 < 2 entonces 1 < 4


tanto el antecedente como el consecuente son verdaderos y, por supuestoel condicional es verdadero. En la frmula


el antecedente es falso y el consecuente es verdadero y, por supuesto, elcondicional es tambin verdadero. En


tanto el antecedente como el consecuente son falsos, pero el condicionalqueda como verdadero. Estos tres casos corresponden al primero, terceroy cuarto renglones de la tabla que define el smbolo "D". As, no hay nadaparticularmente notable o sorprendente en que el condicional sea verda-dero siendo verdadero tanto el antecedente como el consecuente, falso elantecedente y verdadero el consecuente, o ambos falsos. Por supuesto, nohay un nmero menor que 2 pero no menor que 4, esto es, no hay uncondicional verdadero con antecedente verdadero y consecuente falso.Esto es exactamente lo que define la tabla de verdad del smbolo "D".

Ahora, proponemos traducir cualquier aparicin de "si-entonces" conel smbolo lgico "o". Esta propuesta significa que al traducir los enuncia-dos condicionales en nuestros simbolismos, los tratamos meramente comoimplicaciones materiales. Por supuesto, muchos de los enunciados condi-cionales, si no la mayora de ellos, afirman ms que una implicacinmaterial entre los antecedentes y los consecuentes. As, nuestra propuestaequivale a sugerir que ignoramos la "forma abstracta" del significado deun enunciado condicional cuando lo traducimos en el lenguaje simblico.Cmo se puede justificar esta propuesta?

La propuesta previa al traducir tanto la disyuncin exclusiva comoinclusiva por medio del smbolo "y" fue justificada sobre la base de que lavalidez del silogismo disyuntivo se preserva aun si el significado adicionalque se asigna al "o" exclusivo se pasa por alto. Nuestro propsito presenteal traducir todos los enunciados condicionales como implicaciones mate-riales (simbolizadas "D") se justifica exactamente de la misma manera.Muchos argumentos contienen condicionales de varios tipos diferentes,pero la validez de todos los argumento vlidos de tipo general en los queestamos interesados se preserva aun si los significados adicionales seignoran. Esto ha de ser probado, por supuesto, y ocupar nuestra atencinen la siguiente seccin.

Los enunciados condicionales se pueden formular con una variedad deformas. El enunciado:

Si tiene un buen abogado, entonces ser absuelto.

se puede expresar bien sin usar el "entonces" como:

Si tiene abogado, ser absuelto.

342 Lgica simblica

Se puede invertir el orden de antecedente y consecuente, dado que "si"precede directamente al antecedente como en:

Ser absuelto si tiene un buen abogado

Es claro que en las oraciones anteriores se puede reemplazar el "si" poruna frase como "en caso de que", "dado que", o "a condicin de que " sinalterar su significado. Haciendo algunos ajustes menores a las ora-ciones condicionales se pueden tener formulaciones alternativas como:

Que l tenga un buen abogado implica que ser absuelto.

o

Tener un buen abogado implica absolucin.

Al cambiar el orden de antecedente y consecuente hay que pasar de la vozactiva a la pasiva, para obtener el equivalente lgico:

Su absolucin est implicada por el hecho de que l tenga un buenabogado.

y cualquiera de esas formulaciones se simboliza como L D A.Las nociones de condiciones necesarias y suficientes proporcionan otra

formulacin para los enunciados condicionales. Para cualquier sucesoespecificado hay muchas circunstancias necesarias para establecerlo. As,para que un auto corra es necesario que tenga gasolina en su tanque, quesu motor y sistema de encendido funcionen correctamente, etc. As, si elevento ocurre, deben haberse cumplido todas y cada una de las condicio-nes necesarias para su ocurrencia. Por ello, decir

Que el tanque tenga gasolina es una condicin necesaria para queel auto corra.

se puede expresar de igual manera:

El auto corre solamente si tiene gasolina en su tanque.

que es otra forma de decir:

Si el auto corre, entonces hay gasolina en su tanque.

Cualquiera de stas se simboliza como R G y, en general, es unacondicin necesaria para p" y "p slo si q" se simbolizan como p D q.


Dada una situacin especfica, hay muchas circunstancias alternativas,cualquiera de ellas es suficiente para producir esa situacin. As, para queuna bolsa contenga ms de un peso es suficiente con que contenga cientoun centavos, veintin monedas de cinco centavos u once monedas de diezcentavos, etc. Si cualquiera de esas circunstancias se cumple, tambin serealizar la situacin especificada. Por lo tanto, decir "Que la bolsacontenga ciento un centavos es una condicin suficiente para que contengams de un peso" es lo mismo que decir "si la bolsa contiene ciento uncentavos, entonces contiene ms de un peso". En general, "p es una condi-cin suficiente para q" se simboliza como p D q .

Si p es una condicin suficiente para q, tenemos p D q y q debe ser unacondicin necesaria para p. Si p es una condicin necesaria para a, tenemosq D p y q debe ser una condicin suficiente para p . Por tanto, si p es unacondicin necesaria y suficiente para q, entonces q es una condicinnecesaria y suficiente para p (o podramos decir que q es necesaria ysuficiente para p, puesto que la conjuncin es conmutativa).

No todo enunciado que contenga la palabra "si" es un condicional;ninguno de los siguientes enunciados es un condicional: "Hay comida en elrefrigerador si quieres comer algo", "La mesa est puesta, si gustas pasar","Hay un mensaje para ti, si te interesa", "La reunin se realizar aun si no seobtiene el permiso para ella". La presencia o ausencia de palabras particularesnunca es decisiva. En cada caso, uno debe entender lo que una oracin dadasignifica y luego rescatar ese significado en una frmula simblica.

No hay una relacin lgica o necesaria entre la palabra "si" y el carcterazaroso que pueda tener un acontecimiento determinado, aunque fre-cuentemente se sugiere que algo precedido por la palabra "si" debedenotar algo dudoso. Esto se ilustra mediante la siguiente ancdota:

... George Bernard Shaw una vez envi a Winston Churchill dos boletospara la funcin de estreno de su nueva obra de teatro, hacindole notar "Vecon un amigo si lo tienes"; a lo cual Churchill respondi diciendo que no podair al estreno, pero que agradecera que le enviaran boletos para la segundafuncin, "si es que la hay"?

EJERCICIOS

I. Si A, B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son falsos, determinecules de los siguientes son verdaderos:

* 1.ADB 2. A X

3. B D Y 4. Y D Z

'Aristides, "The Gentle Art of the Resounding Put-Down", The American Scholar,verano de 1987, p. 313.

344 Lgica simblica

5. (A D B) D Z 6. (XD D Z7. (A D B) D C 8. (X D Y) D C9.AJ(BiZ) * 10.XD(YDZ)

11. [(A D B)D C] D Z 12. [(A D D Y] Z13. [A (X D Y)] D C 14. [A D (B D Y] D X15. [(X D Z) DC] D Y 16. [(Y D B) D Y] D Y

[(A D Y) D B] D Z[(A X) D C] D [(A D C) D XI

19. [(A X) D D [(A D X) D C1*20. [(A X) D Y] D [(X D A) D (A D Y)]

[(A X) V (-A -X)] D [(A D X) (XD A)]{[A D (B D C)] D [(A B) D D [(Y D B) D (C Z)]{[(XD Y) Z1 D [Z D (XD Y)]1D [(X D Z) D Y][ (A X) D Y] D [ (A D X) (A D Y)]

25. [ (A D(X Y)] D [ (A D X) y (A D Y)]

II. Si A y B se conocen como verdaderos y X y Y como falsos, pero losvalores de verdad de P y de Q no se conocen, de cules de los siguientesenunciados podemos determinar los valores de verdad?

1. P D A 2. X D Q3.(QIDA)IDZ 4. (P A) D B5. (P D P) D 6.(XDQ)IDX7.XD(QIDX) 8. (P X) D Y9. [P (Q D P)] D Y * 10. (Q Q) D (A D X)

11. (PD X)D (XD P) 12. (P D A) D (B D X)13. (X D P) D ( B D Y) 14. [ (P D B) DB] D B15. [(X D Q) D (2] D Q 16. (P D X) D (-XD -P)17. (XD P)D (-XD Y) 18. (P D A) D (A D -B)19. (P D Q) D (P D Q) * 20. (P D D (A D -B)21. - (A P) D ( -A v -P) 22. -(P X) D -(P v -X)23. (X v Q) D (-X -Q)


24.[PD(AvX)]D[(PDA)D X]25. [Q V (B Y)] D [(Q v B)- (Q v Y)]

III. Simbolice lo siguiente usando letras maysculas para abreviar losenunciados involucrados.

1. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protesta ante la ONU,entonces Chile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

Si Argentina se moviliza, entonces o bien Brasil protesta ante la ONUa menos que Chile convoque a una reunin de los pases latinoamericanos.

Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestar ante la ONU yChile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

4. Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestar ante la ONU, yChile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

5. Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entoncesChile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

Si Argentina se moviliza o Brasil protesta ante la ONU, entoncesChile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

Si o bien Argentina se moviliza o Brasil protesta ante la ONU,entonces Chile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

Si Argentina no se moviliza, entonces o bien Brasil no protestar antela ONU o Chile no convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

Si Argentina no se moviliza, entonces ni Brasil protestar ante laONU ni Chile convocar a una reunin de los pases latinoamericanos.

10. No es el caso que si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestarante la ONU y Chile convocar a una reunin de todos los paseslatinoamericanos.

Si no es el caso que Argentina se moviliza, entonces Brasil pro-testar ante la ONU y Chile convocar a una reunin de todos los paseslatinoamericanos.

Brasil protestar ante la ONU si Argentina se moviliza.Brasil protestar ante la ONU slo si Argentina se moviliza.Chile convocar a una reunin con los pases latinoamericanos slo

si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU.15. Brasil protestar ante la ONU solamente si Argentina se moviliza o

Chile convoca a una reunin de los pases latinoamericanos.

346 Lgica simblica

Argentina se movilizar o bien Brasil protesta ante la ONU o Chileconvoca a una reunin de los pases latinoamericanos.

Brasil protestar ante la ONU a menos que Chile convoque a unareunin de los pases latinoamericanos.

Si Argentina se moviliza, entonces Brasil protestar ante la ONUa menos que Chile convoque a una reunin de los pases latinoamericanos.

Brasil no protestar ante la ONU a menos que Argentina semovilice.* 20. A menos que Chile convoque a una reunin de pases latinoame-ricanos, Brasil protestar ante la ONU.

Que Argentina se movilice es una condicin suficiente para queBrasil proteste ante la ONU.

Que Argentina se movilice es una condicin necesaria para queChile convoque a una reunin de pases latinoamericanos.

Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entoncesChile y la Repblica Dominicana convocarn a una reunin de paseslatinoamericanos.

Si Argentina se moviliza y Brasil protesta ante la ONU, entonces obien Chile o la Repblica Dominicana convocarn a una reunin de paseslatinoamericanos.

25. Si ni Chile ni la Repblica Dominicana convocan a una reunin depases latinoamericanos, entonces Brasil no protestar ante la ONU amenos que Argentina se movilice.

8.4 Formas argumentales y argumentoEn esta seccin especificaremos ms precisamente lo que significa eltrmino "vlido". Relacionamos nuestra definicin formal con nocionesms familiares e intuitivas considerando el mtodo de refutacin poranaloga lgica,' frente al siguiente argumento:

Si Bacon escribi las obras atribuidas a Shakespeare, entonces fueun gran escritor.

Bacon fue un gran escritor.Por lo tanto, Bacon escribi las obras atribuidas a Shakespeare.

podemos estar de acuerdo en las premisas del argumento pero en desa-cuerdo con la conclusin, juzgando as que el argumento es invlido. Una

8Como al discutir el silogismo categrico en la seccin 6.2.

Formas argumentales y argumento 347

forma de probar su invalidez es por medio del mtodo de la analogalgica. "Lo mismo podra usted argir que:

Si Washington fue asesinado, entonces Washington muri.Washington muri.Por lo tanto, Washington fue asesinado.

Y uno no puede defender este argumento dado que las premisas seconocen como verdaderas y la conclusin como falsa. Este argumento esobviamente invlido y, puesto que tiene la misma forma que el primerargumento, ste es tambin invlido". Este tipo de refutacin es muyefectiva.

Examinemos ms atentamente el mtodo de refutacin por analogalgica, pues indica cmo se puede obtener una tcnica excelente paraprobar argumentos. Para probar la invalidez de un argumento, basta conformular otro argumento que (1) tenga exactamente la misma forma y (2)tenga premisas verdaderas y conclusin falsa. Este mtodo se basa en elhecho de que la validez e invalidez son caractersticas puramente formalesde los argumentos, es decir, que cualesquiera dos argumentos que tienenexactamente la misma forma son o bien vlidos o invlidos, independien-temente de las diferencias en el tema de que traten.'

Un argumento dado exhibe su forma muy claramente cuando losenunciados simples que aparecen en l se abrevian con letras maysculas.As, abreviamos enunciados como "Bacon escribi los trabajos atribuidosa Shakespeare", "Bacon fue un gran escritor", "Washington fue asesina-do" y "Washington est muerto" por las letras B, G, A y D, respectivamen-te, y usando el smbolo familiar de los tres puntos "... " para "por lo tanto",simbolizamos los dos argumentos de arriba como:

B G A DGY

B A

Escritos de esta forma, se puede ver fcilmente su forma comn.Si estamos interesados en discutir formas de argumentos ms que

argumentos particulares, necesitamos algn mtodo para simbolizar lasformas argumentales. Para tenerlo, introducimos la nocin de una varia-

'Suponemos que los enunciados simples implicados no son lgicamente verdaderos (porejemplo, "Todas las sillas son sillas") ni lgicamente falsos (por ejemplo, "Algunas sillas noson sillas"). Tambin suponemos que las relaciones lgicas entre los enunciados simples sloson las implicadas o afirmadas por las premisas. El objetivo de estas restricciones es el delimitar nuestras consideraciones en este captulo y el siguiente a los argumentos veritativo-funcionales solamente y excluir otra clase de argumentos cuya validez depende de conside-raciones lgicas ms complejas que no se han introducido en forma apropiada hasta estemomento.

348 Lgica simblica

b I e. En las secciones anteriores, usamos letras maysculas para simbolizarenunciados particulares simples. Para evitar confusiones, usaremos letrasminsculas de la parte media del alfabeto, p, q, r, s... como variablesenunciativas. Una variable enunciativa es simplemente una letra para lacual, o en lugar de la cual, se puede sustituir un enunciado. Los enunciadoscompuestos, lo mismo que los enunciados simples, se pueden poner enlugar de variables enunciativas.

Definimos una "forma argumental" como cualquier arreglo de smbo-los que contiene variables enunciativas pero no enunciados, de tal modoque, cuando los enunciados se sustituyen uniformemente a las variablesenunciativas, el resultado es un argumento. Para mayor precisin, estable-cemos la convencin de que en cualquier forma argumental p ser laprimera variable enunciativa que aparece, q la segunda, r la tercera y assucesivamente. As, la expresin:

p D qq

es una forma argumental, porque cuando los enunciados B y G se ponenen lugar de las variables enunciativas p y q, respectivamente, el resultadoes el primer argumento que aparece en esta seccin. Si los enunciados A yD se sustituyen donde estn las variables p y q, el resultado es el segundoargumento. Cualquier argumento que resulta de la sustitucin de varia-bles enunciativas por enunciados en una forma argumental se llama ins-tancia de sustitucin de esa forma argumental. Es claro que cualquierinstancia de sustitucin de una forma argumental tiene la misma forma yque cualquier argumento que tiene cierta forma es una instancia desustitucin de esa forma.

Para cualquier argumento, en general, hay varias formas argumentalesque tienen al argumento dado como una instancia de sustitucin. Porejemplo, el primer argumento de esta seccin

B GG

B

es una instancia de sustitucin de cada una de las cuatro formasargumentales:

PI q P D LI p pq r r- .. P ..P


As, obtenemos el argumento dado sustituyendo B por p y G por q en laprimera forma argumental; sustituyendo B por p y G por q y por r en lasegunda; B por p y por s, y G por q y por r en la tercera; y BD G por p, Gpor q y B por r en la cuarta. De estas formas argumentales, la primeracorresponde ms ntimamente a la estructura del argumento dado que lasotras. Esto es as porque el argumento dado resulta de la primera formaargumental sustituyendo el enunciado simple distinto para cada variableenunciativa diferente. Llamamos a la primera forma argumental la "formaespecfica" del argumento dado. Nuestra definicin de "forma especfica"de un argumento dado es la siguiente: en caso de que un argumento seproduzca sustituyendo un enunciado diferente simple para cada variableenunciativa diferente de la forma argumental, la forma argumental es laforma especfica de ese argumento. Para cualquier argumento dado, hayuna nica forma argumental que es la forma especfica de ese argumento.

La tcnica de refutacin por analoga lgica se puede describir ahorams precisamente. Si la forma especfica de un argumento dado tienecualquier instancia de sustitucin cuyas premisas son verdaderas y cuyaconclusin es falsa, entonces el argumento dado es invlido. Podemosdefinir el trmino "invlido" como aplicable a formas argumentales comosigue: una forma argumental es invlida si y slo si tiene por lo menos unainstancia de sustitucin con premisas verdaderas y conclusin falsa. Larefutacin por analoga lgica est basada en el hecho de que cualquierargumento cuya forma especfica es invlida es tambin un argumentoinvlido. Cualquier forma argumental que no sea invlida debe ser vlida.

Por lo tanto, una forma argumental es vlida si y slo si no tieneinstancias de sustitucin con premisas verdaderas y conclusin falsa. Ypuesto que la validez es una nocin formal, un argumento es vlido si yslo si la forma especfica de ese argumento es una forma argumentalvlida.

Se prueba que un argumento es invlido si se puede hallar para l unaanaloga refutatoria, pero pensar en tales analogas puede no resultarsencillo. Felizmente, no es necesario, porque para los argumentos de estetipo hay una prueba mecnica ms simple basada en el mismo principio.Dado cualquier argumento, probamos la forma especfica de ese argumen-to, pues sta determina la validez o invalidez del argumento mismo.

Para probar una forma argumental, examinamos todas las posiblesinstancias de sustitucin para ver si cualquiera de ellas tiene premisasverdaderas y conclusin falsa. Por supuesto, cualquier forma argumentaltiene infinitas instancias de sustitucin, pero no debemos preocuparnos detener que examinar cada una de ellas. Porque estamos interesados sola-mente en los valores de verdad involucrados en ellas. Los argumentos queaqu nos interesan contienen solamente enunciados simples y enuncia-dos compuestos construidos a partir de los enunciados simples por me-dio de las conectivas veritativo funcionales simbolizadas por el punto, la

350 Lgica simblica

tilde, la "y" y la herradura. Por ende, obtenemos todas las posiblesinstancias de sustitucin cuyas premisas y conclusiones tienen diferentesvalores de verdad, examinando todos los arreglos diferentes posibles delos valores de verdad de los enunciados que se pueden sustituir en lugarde las diferentes variables enunciativas que aparecen en la formaargumental.

Cuando una forma argumental contiene solamente dos diferentesvariables enunciativas p y q, todas sus instancias de sustitucin sonresultado de sustituir enunciados verdaderos para p y q, o un enunciadoverdadero para p y falso para q, o uno falso para p y uno verdadero paraq o falsos para las dos. Estos casos diferentes se pueden conjuntar msapropiadamente en una tabla de verdad. Para decidir la validez de laforma argumental:

p D

P

construimos la siguiente tabla de verdad:

p

V V VV F FF V VF F V

Cada rengln de la tabla representa toda una clase de instancias desustitucin. Las V y las F de las dos columnas iniciales representan losvalores de verdad de los enunciados sustituidos en lugar de las variablesp y q en la forma argumental. Llenamos la tercera columna volviendo a lascolumnas iniciales o guas y a la definicin del smbolo de herradura. Latercera columna corresponde a la primera "premisa" de la formaargumental, la segunda columna es la segunda premisa y la primeracolumna es la conclusin. Al examinar esta tabla de verdad, encontramosque en el tercer rengln hay solamente V bajo ambas premisas y F bajo laconclusin, lo cual indica que hay por lo menos una instancia de sustitu-cin de esa forma argumental que tiene premisas verdaderas y conclusinfalsa. Este rengln basta para mostrar que la forma argumental es invlida.Cualquier argumento de esta forma especfica (esto es, cualquier argu-mento cuya forma especfica es la forma dada) se dice que comete la falaciade afirmar el consecuente, puesto que su segunda premisa afirma elconsecuente de la primera premisa condicional.

Mientras uno no se familiarice con el uso de las tablas de verdad paraestablecer la validez o invalidez de las formas argumentales, resultar ms


sencillo usar una versin un poco ms compleja. Luego de que cada unade las premisas y la conclusin tengan su columna correspondiente llenacon V y F, deben escribirse de nuevo todas la premisas en el orden en queocurren en el argumento seguidas inmediatamente por la conclusin y lascolumnas bajo ellas se llenan de nuevo con V y F. La tabla de verdadexpandida ser la siguiente:

pDfri q

V V V VF F F V

F V V V FF F V F F

En esta tabla es ms fcil ver que hay un rengln (el tercero) en el cualtodas las premisas son V y la conclusin F, lo cual establece la invalidezde la forma argumental en cuestin.

Para mostrar la validez de la forma argumental del silogismo disyun-tivo:

p v q

11

construimos la siguiente tabla de verdad:

p v-1)

V V FF V F

F V V VF F F V

Aqu tambin escribimos bajo las columnas guas o iniciales todos losdiferentes valores de verdad de los enunciados sustituidos en lugar de lasvariables p y q. Encontraremos los valores de la tercera columna porreferencia a las primeras dos y los de la cuarta por referencia a la primerasolamente. Ahora, el tercer rengln es el nico en el que aparecen las V bajoambas premisas (la tercera y la cuarta columnas) y hay una V tambin bajola conclusin (la segunda columna). La tabla de verdad muestra que laforma argumental no tiene instancias de sustitucin con premisas verda-deras y conclusin falsa y, as, prueba la validez del argumento.

352 Lgica simblica

Aqu la tabla ms extensa es slo un poco ms larga que la original. Dehecho, solamente se necesita una columna ms, encabezada por la conclu-sin g . La tabla de verdad ms larga es:

P v q -P

V V F VF V F F

F V V V VF F F V F

"donde leemos la validez" de la forma argumental directamente de las tresltimas columnas de la tabla.

La tcnica de tablas de verdad proporciona un mtodo completamentemecnico para probar la validez de cualquier argumento del tipo generalque aqu hemos considerado. Ahora estamos en condiciones de justificarnuestra propuesta de traducir cualquier ocurrencia del "si-entonces" connuestro smbolo "D " de la implicacin material. En la seccin anterior seha hecho la afirmacin de que todos los argumentos vlidos del tipogeneral en los cuales estamos interesados, que involucran oraciones deltipo "si-entonces", permanecen como vlidos cuando estos enunciados seinterpretan como afirmando solamente la implicacin material. Las tablasde verdad se pueden usar para probar esta afirmacin y justificar asnuestra traduccin de "si-entonces" en el smbolo de la herradura.

El tipo ms simple de argumento intuitivamente vlido que involucraun enunciado condicional se ilustra por el argumento:

Si el segundo nativo dice la verdad, entonces solamente uno de losnativos es poltico.

El segundo nativo dice la verdad.Por lo tanto, solamente un nativo es poltico.

La forma especfica de este argumento, conocido como modus ponens es:

P q

q

y se prueba como vlido por medio de la siguiente tabla de verdad:

p q

V VF F

F V VF F V


Aqu, las dos premisas se representan por la primera y tercera columnasy la conclusin por la segunda. Slo el primer rengln representa instan-cias de sustitucin en las cuales ambas premisas son verdaderas y la V enla segunda columna muestra que tambin la conclusin es en este casoverdadera. Esta tabla de verdad establece la validez de cualquier argu-mento de la forma modus ponens.

Aqu la tabla ms extensa aparece como:

p q pTq

V V V V VV F F V FF V V F VF F V F F

y leemos la validez del modus ponens directamente de las tres ltimascolumnas.

Otro tipo de argumento intuitivamente vlido contiene enunciadoscondicionales exclusivamente y se llama "silogismo hipottico".' Unejemplo es:

Si el primer nativo es un poltico, entonces el primer nativo miente.Si el primer nativo miente, entonces el primer nativo niega ser un

poltico.Por lo tanto, si el primer nativo es un poltico, entonces el primer

nativo miente.

La forma especfica de este argumento es:

p D qq D rp r

Puesto que contiene tres variables enunciativas diferentes, la tabla deverdad aqu tiene tres columnas iniciales o guas y requerir de ochorenglones para listar todas las instancias de sustitucin posibles. Aparte delas columnas iniciales, se requieren tres columnas adicionales, dos para laspremisas, la tercera para la conclusin. La tabla aparece al inicio de lasiguiente pgina.

Al elaborarla, llenamos la cuarta columna por referencia a la primera ysegunda y la quinta por referencia a la segunda y tercera, y la sexta porreferencia a la primera y tercera. Examinando la tabla completa,vemos

"'Llamado "silogismo hipottico puro" en el captulo 7.

Lgica simblica

p q r P q q Dr p Dr

V V V V V VV V F V F FV F V F V VV F F F V FF V V V V VF V F V F VF F V V V VF F F V V V

que las premisas son verdaderas solamente en los renglones primero,quinto, sptimo y octavo y que en todos ellos la conclusin estambin verdadera. Esta tabla de verdad establece la validez de la formaargumental y prueba que el silogismo hipottico permanece vlido cuan-do los enunciados condicionales se traducen por medio del smboloherradura.

Se han proporcionado suficientes ejemplos para ilustrar el uso apropia-do de las tcnicas de tablas de verdad para probar argumentos. Y quizsse han dado suficientes ejemplos para mostrar que la validez de cualquierargumento vlido que involucra enunciados condicionales se preservacuando sus condicionales se traducen como implicaciones materiales.Cualesquiera dudas que puedan quedar, sern resueltas por el lector alproporcionar, traducir y probar sus propios ejemplos.

A medida que se consideran formas argumntales ms complejas, serequieren tablas de verdad ms extensas para probarlas, pues unacolumna inicial o gua se requiere para cada variable enunciativa queaparezca en la forma argumental. Solamente dos columnas se requierenpara una forma con dos variables, y la tabla correspondiente tendr cuatrorenglones. Pero se necesitan tres columnas iniciales para una tabla con tresvariables y en este caso tendremos ocho renglones. Para probar la validezde una forma argumental como el dilema constructivo:

(p ti) (r D s)pvr

q v s

que contiene cuatro variables enunciativas diferentes, se necesita una tablade verdad con cuatro columnas iniciales y diecisis renglones. En general,para probar una forma argumental que contenga n variables enunciativasdiferentes, se requiere una tabla con n columnas y 2" renglones.

La primera forma argumental que probamos como invlida:

354

P q

P


tiene una semejanza superficial con la forma vlida del modus ponens y lanombramos la falacia de afirmar el consecuente. Otra forma invlida a laque se ha dado un nombre especial es:

que es la falacia de negar el antecedente y cuya invalidez se establecerpidamente por medio de las tablas de verdad. La ltima de estas falaciastiene una semejanza superficial con la forma argumental vlida:

p q-q

-p

que se llama modus tollens.Como se seal en la pgina 348, un argumento dado puede ser una

instancia de sustitucin de varias formas argumentales diferentes. Undeterminado argumento vlido como el silogismo disyuntivo de la pgina328 se puede simbolizar como:

R v W-R

W

y es una instancia de sustitucin de la forma argumental vlida:

p q-p

q

pero tambin es una instancia de sustitucin de la forma argumentalinvlida:

pq

r

No hay razn alguna por la cual una forma argumental invlida nopueda tener un argumento vlido como instancia de sustitucin. Pero laforma especfica de un argumento vlido debe ser una forma argumentalvlida. As, la primera forma argumental es vlida y es la forma especficade un argumento vlido especfico. Pero la segunda forma argumental esinvlida y, por lo tanto, no puede ser la forma especfica de un determina-do argumento vlido.

356 Lgica simblica

Por otra parte, un argumento vlido puede tener solamente instanciasde sustitucin que son argumentos vlidos. Esto se prueba por medio dela tabla de verdad que prueba la validez de la forma argumental vlida,que demuestra que no hay instancias de sustitucin posibles que tenganpremisas verdaderas y conclusin falsa.

Se debe enfatizar que aunque una forma argumental vlida tienesolamente argumentos vlidos como instancias de sustitucin, una formaargumental invlida puede tener tanto argumentos vlidos como invli-dos como formas de sustitucin. As, al probar que un determinadoargumento es invlido, debemos probar que la forma especfica de eseargumento es invlida.

EJERCICIOS1. En las pginas siguientes, el lector encontrar un grupo de argumentos

(Grupo A, de la a a la o) y un grupo de formas argumentales (Grupo B, de la1 a la 24). Para cada uno de los argumentos, indique de cul forma argumentalen el grupo Bes una instancia de sustitucin, si es que lo es de alguna de ellas.Adicionalmente, para cada argumento del grupo A indique cul de lasformas argumentales del grupo B es su forma especfica.Grupo A, argumentos.

* a. A B b. C D D c. E:.A C D (C D) :. E v F

d.GiH * e. 1 f. (K D L)(M D N)H J K v M

G :. I J L v N

g. O D P h. Q D RO Q D S

LI D V

R v S

:. V T

* j. (IN-X)D(YZ) m. [G D (G H)] [H D (H G)]( W )0 [ ( 1/\1 X) ( Y G (G H)

k. A D B n. (I v J) D (/ J):. (A D B) v C --(/ J)

(I J)I. (D v E) F o. (K D L)(M D N)

:.DvE K D L


Grupo B, formas argumentales.1. p D q 2. p D q

-que--p -p D3. p q 4. p

P p v q

5. p 6. p D qpD q P (P q)

7. (p v q)D (pq) 8. pD q(p D q) (q D p) p

--q

9. p D q * 10. p

P q

11. p q 12. p q

p D r qDrq v r :.rDp

13. p D (q D r) 14. p D (q r)

p D q (q v r)Dp

15. p (q r) 16. (p q) (r Dq D (p D r) p v r

(p v q) r q v s17. (p D q) (r D s) 18. p D (ti D r)

q q D (r D s)p V ...pDs

19. p D (q D r) * 20. (p D q) [(p q)D r](q D r) D 5 p D (r D s)..pDs p D S

21. (p v q)D (t) q) 22. (p v q) (p q)(p v q) P q

(P q) p v q23. (p q)D (r s) 24. (p D q) (r D s)

q) [(P (I) ( r 5)] p D q

II. Use tablas de verdad para probar la validez o invalidez de cada unade las formas argumentales del grupo B, de arriba.

358 Lgica simblica

Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de cadauno de los siguientes argumentos:

* 1. (A v B) D (A B) 2. (C v D) D (C D)A v B C D

A B C v D3. EDF 4. (G v H) D (G H)

FUE (G H)E v F .'.-(G vH)

* 5. (ivpD(/J) 6. K v L(I v J)

(1 J)7. M v (N N) 8. (0vP)1Q

M Q D (0 P)(1\I N) ;. (O v P) D (O P)

9.(RvS)DT 10. 11 D (V v W)T D (R S) (VW) D U

(R S) D (R v S)

U

Use tablas de verdad para determinar la validez o invalidez de cadauno de los siguientes argumentos:

* 1. Si los dirigentes de Albania se liberan de la influencia china, entoncestanto Bulgaria como Checoslovaquia adoptarn polticas ms liberales.Pero Bulgaria no adoptar una poltica ms liberal, por lo tanto, losdirigentes de Albania no se liberarn de la influencia china.

Si Dinamarca sigue alinendose hacia la izquierda, entonces siEstonia continua siendo un satlite de la ex Unin Sovitica, entoncesFinlandia cada vez ser ms dependiente de la ex Unin Sovitica. As, siDinamarca sigue alinendose a la izquierda, entonces Finlandia depende-r cada vez ms de la ex Unin Sovitica.

Si Grecia fortalece sus instituciones democrticas, entonces Hungraseguir una poltica ms independiente. Si Grecia fortalece sus institucio-nes democrticas, entonces el partido comunista italiano atraer cada vezmenos votantes. Por tanto, si Hungra sigue una poltica ms independien-te, entonces el partido comunista italiano atraer cada vez menos votantes.

4. Si Japn sigue exportando capitales, entonces o bien Corea o Laos seindustrializarn rpidamente. Corea no se industrializar rpidamente.Se sigue que si Japn sigue exportando capitales, entonces Laos se indus-trializar rpidamente.

Formas argumentales, equivalencia material y equivalencia lgica 359

* 5. Si Montana sufre una severa sequa, entonces, si Nevada recibe sudosis normal de lluvia, entonces el suministro de agua de Oregon se re-ducir considerablemente. Nevada no tiene su dosis normal de lluvia. As,si el suministro de agua de Oregon se reduce considerablemente, Montanasufre una severa sequa.

Si se logra la igualdad de oportunidades, entonces las personas queantes tenan desventajas recibirn ahora oportunidades especiales. Si esaspersonas reciben oportunidades especiales, entonces tendrn un tratopreferencial. Si algunas personas reciben un trato preferencial, entonces nose lograr la igualdad de oportunidades. Por lo tanto, la igualdad deoportunidades no se lograr.

Si se cumplen las demandas de los terroristas, entonces ser vulne-rada la legalidad. Si las demandas de los terroristas no se cumplen,entonces sern asesinadas personas inocentes. As, o bien se vulnerar lalegalidad o sern asesinadas personas inocentes.

Si las personas son totalmente racionales, entonces, o bien todos losactos humanos se pueden predecir con seguridad o el universo es esencial-mente determinista. No todas las acciones de las personas se puedenpredecir con seguridad. As, el universo no es esencialmente deterministao las personas no son totalmente racionales.

Si contina creciendo el consumo de gasolina, entonces, o bien lasimportaciones de gasolina crecern o se acabarn las reservas. Si crecen lasimportaciones de gasolina y se acaban las reservas, entonces la nacin seir a la bancarrota. Por lo tanto, si contina creciendo el consumo degasolina, entonces la nacin se ir a la bancarrota.

10. Si el consumo de gasolina sigue creciendo, entonces las importacio-nes de gasolina crecern y se acabarn las reservas. Si o bien se incrementanlas importaciones de gasolina o se acaban las reservas, entonces la nacinse ir a la bancarrota. Por lo tanto, si el consumo de gasolina continacreciendo, la nacin ir a la bancarrota.

8.5 Formas argumentales, equivalencia materialy equivalencia lgica

1. Formas enunciativas y enunciados

Ahora, haremos explcita una nocin tcitamente supuesta en la seccinanterior, la nocin de la forma enunciativa. Hay un paralelo exacto entrela relacin de un argumento como una forma argumental y de un enuncia-do con una forma enunciativa. La definicin de "forma enunciativa" hace

360 Lgica simblica

evidente este hecho: "una forma enunciativa es cualquier secuencia desmbolos que contiene variables enunciativas pero no enunciados, tal quecuando las variables enunciativas se sustituyen por enunciados, la mismavariable por el mismo enunciado cada vez que aparezca, el resultado es unenunciado". As, p v q es una forma enunciativa, pues cuando reemplaza-mos variables enunciativas por enunciados, se obtiene un enunciado.Puesto que el enunciado resultante es una disyuncin, p v q se llama unaforma enunciativa disyuntiva. De manera anloga, p cl y p D q se llamanformas enunciativas conjuntatva y condicional, respectivamente, y -p sellama forma enunciativa negativa. Exactamente con cualquier argumentode cierta forma se dice que es una instancia de sustitucin de esa formaenunciativa. As como distinguimos la forma especfica de un argumentodado, as distinguimos la forma especfica de un enunciado determinadocomo la forma enunciativa de la cual resulta ese enunciado al sustituir unenunciado simple distinto por cada variable enunciativa diferente. As,p v q es la forma especfica del enunciado: "El prisionero ciego tiene unsombrero rojo o el prisionero ciego tiene un sombrero blanco".

2. Formas enunciativas tautolgicas, contradictorias y contingentes

Es perfectamente natural creer que aunque los enunciados "Lincoln fueasesinado" (simbolizado como L) y "o bien Lincoln fue asesinado o no lofue"(L v -L) son ambos verdaderos, lo son de "diferentes formas" o tienendistintos "tipos" de verdad. De manera parecida, es perfectamente naturalcreer que aunque los enunciados "Washington fue asesinado" (W) y"Washington fue asesinado y Washington no fue asesinado" (W -W) sonambos falsos, lo son de "diferentes formas" o tienen "diferentes tipos" defalsedad. Si bien no podemos tratar de dar un tipo de explicacin psicol-gica a esas "creencias", sin embargo, podemos sealar diferencia lgicaspara las cuales probablemente son apropiadas.

El enunciado L es verdadero y el enunciado W es falso, estos son hechoshistricos. No hay necesidad lgica en ellos. Las cosas pudieron haberocurrido de diferente forma y los valores de enunciados como W y L sedeben descubrir por medio de un estudio emprico de la historia. Pero elenunciado L v -L, aunque verdadero no es una verdad histrica. Aqu hayuna necesidad lgica, los hechos no podran hacer falso este enunciado ysu verdad se puede conocer independientemente de cualquier estudioemprico. El enunciado L v -L es una verdad lgica, una verdad formal,verdadera en virtud solamente de su forma. Es una instancia de sustitu-cin de una forma enunciativa cuyas instancias de sustitucin son todasellas enunciados verdaderos.

Una forma enunciativa que tiene solamente instancias de sustitucinverdaderas se llama enunciado tautolgico o tautologa. Para mostrar que

Formas argumentales, equivalencia material y equivalencia lgica 361

la forma enunciativa p v .p es una tautologa construimos la siguientetabla de verdad:

p p V p

V F VF V V

Hay solamente una columna gua o inicial de esta tabla de verdad, puestoque la forma bajo consideracin contiene solamente una variable enun-ciativa. En consecuencia, hay solamente dos renglones, los cuales repre-sentan todas las posibles instancias de sustitucin. Slo hay V en lacolumna bajo la forma enunciativa en cuestin, y este hecho muestra quetodas sus instancias de sustitucin son verdaderas. Cualquier enunciadoque es una instancia de sustitucin de una forma enunciativa tautolgicaes verdadero en virtud de su forma y se dice que es un enunciadotautolgico o tautologa.

Una forma enunciativa que tiene solamente instancias de sustitucinfalsa se dice que es contradictoria o que es una contradiccin y es lgica-mente falsa. La forma enunciativa p p es contradictoria, pues en su tablade verdad solamente ocurren F bajo ella, lo cual significa que todas susinstancias de sustitucin son falsas. Cualquier enunciado tal como W Wque es una instancia de sustitucin de una forma enunciativa contradicto-ria, es falso en virtud de su forma y se dice que l mismo es un enunciadocontradictorio o una contradic

copi & cohen cap viii

Documents